Ведущее и следующее за ведущим логарифмические приближения в КЭД тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АРБУЗОВ Андрей Борисович

ВЕДУЩЕЕ И СЛЕДУЮЩЕЕ ЗА ВЕДУЩИМ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В КЭД

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о 3 [.;,;р 20 г,

Москва-2010

4856531

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Вернов Юрий Сергеевич

доктор физико-математических наук Волобуев Игорь Павлович

доктор физико-математических наук Дорохов Александр Евгеньевич

Ведущая организация — Учреждение Российской академии наук Институт ядерной физики имени Г.И. Будкера Сибирского отделения РАН (ИЯФ СО РАН)

Защита состоится » 2011 г. в I^ час. на

заседании диссертационного совета Д 002.119.01 при Учреждении Российской академии наук Институте ядерных исследований РАН (117312, Москва, просп. 60-летия Октября, д. 7а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт ядерных исследований РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Б.А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований

Физика высоких энергий переживает в настоящее время критический момент. Мы близки к определению пределов применимости стандартной модели (СМ) [1] физики элементарных частиц и их взаимодействий. Несмотря на то, что практически все наблюдаемые на ускорителях высоких энергий явления находятся в хорошем согласии с предсказаниями СМ, множество косвенных факторов указывает на близость масштаба энергий, при которых должны проявиться новые физические феномены. Поиск таких феноменов и последней неоткрытой частицы СМ, бозона Хиггса, активно проводится в экспериментах на существующих и будущих ускорителях частиц, таких как Большой Адронный Коллайдер (БАК), Тэ-ватрон (Те\га(топ), и планируемый международный линейный электрон-позитронный коллайдер. С другой стороны, обнаружение новых частиц и взаимодействий возможно только в ходе детального сравнения результатов опыта с теоретическими предсказаниями, полученными в рамках стандартной модели. Все возрастающая точность экспериментальных измерений всевозможных наблюдаемых величин в современной физике высоких энергий требует адекватного увеличения точности теоретического описания соответствующих физических явлений, что и является основной целью работы.

Диссертация посвящена развитию и применению методов построения высокоточных теоретических предсказаний для характеристик процессов взаимодействий элементарных частиц, изучаемых на современных и планируемых экспериментах физики высоких энергий. Конкретно в работе рассматриваются эффекты квантовой электродинамики (КЭД), учет которых необходим при прецизионном анализе опытных данных.

В КЭД при высоких энергиях обычно применяется метод пертурбатив-ного разложения по константе связи, а и 1/137, и уточнение предсказаний достигается за счет учета членов этого разложения все более высоких порядков. Развитие методов вычислений радиационных поправок высших порядков и совершенствование соответствующих компьютерных алгоритмов позволило за последние годы существенно продвинуться в точности описания ряда процессов, изучаемых экспериментально. В общем случае желательно иметь точность теоретических предсказаний не хуже, чем 1/3 от экспериментальной точности. Тогда окончательные результаты анализа экспериментальных данных на будут сколько-нибудь заметно страдать от теоретических неопределенностей.

Однако для многих процессов полное аналитическое решение подобной задачи еще не выполнено в силу серьезных технических трудностей (■

С другой стороны, в некоторых случаях оказывается достаточно учесть только численно наиболее значимые вклады высших порядков. В КЭД при высоких энергиях эта задача решается систематическими методами, позволяющими находить все члены, усиленные степенями так называемого большого логарифма, Ь = 1п(Л2/т2), где т — масса легкой заряженной частицы, участвующей в рассматриваемом процессе, а Л — характерный масштаб энергии данного процесса. Условие малости массы по сравнению с масштабом энергии характерно для экспериментов физики высоких энергий. Оно обеспечивает численную значимость членов пертурбативно-го разложения, содержащих такие логарифмы в виде множителей.

В работе [2] метод ренормализационной группы был впервые применен для нахождения ведущих логарифмических поправок КЭД к процессам электрон-позитронной аннигиляции при высоких энергиях. Авторами было показано, что ведущие логарифмические вклады, усиленные логарифмом отношения энергии сталкивающихся пучков в системе центра масс к массе электрона, могут быть просуммированы и представлены в виде факторов, названных структурными функциями электрона. При этом проведена параллель с аналогичными вычислениями, делавшимися в КХД для процессов типа Дрелла-Яна с помощью структурных функций адрона, удовлетворяющих уравнениям Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи (ДГЛАП) [3].

Совершенствование и развитие метода ренормализационной группы в КЭД, осуществляемое в диссертации, позволяет существенно повысить точность теоретических предсказаний необходимых для прецизионной проверки стандартной модели и поиска так называемой новой физики, проявляющейся как отклонение от названных предсказаний.

Актуальность решаемых в диссертации задач проявляется и в том, что большинство из них выполнены с учетом особенностей конкретных экспериментов и применяются при анализе опытных данных. С другой стороны, развитые в диссертации методы и общие результаты находят применение при решении вновь возникающих задач.

Цели и методы исследования

В диссертации решаются следующие основные задачи.

1) Развитие и применение подхода структурных функций электрона в ведущем логарифмическом приближении с целью получения аналитических и численных оценок вкладов радиационных поправок для процессов взаимодействий частиц, изучаемых в современных экспериментах.

2) Расчет полных вкладов первого порядка теории возмущений к ряду процессов и разработка схемы их учета одновременно с ведущими логарифмическими поправками, получаемыми с помощью подхода ренорма-

лизационной группы.

3) Вычисление полного вклада следующих за ведущими поправок второго порядка к Баба-рассеянию на малые углы, что необходимо для высокоточного определения светимости в экспериментах на ускорителях LEP1 и LEP2.

4) Высокоточное теоретическое описание процессов электрок-позитроиной аннигиляции и Баба-рассеяния в условиях коллайдеров промежуточных энергий (порядка нескольких ГэВ в системе центра масс).

5) Построение прецизионного описания процесса глубоконеупругого рассеяния с детектированием фотона, излученного электроном из начального состояния под малым углом к оси пучка, что необходимо для расширения кинематической области, изучаемой на электрон-протонном кол-лайдере HERA (DESY, Гамбург).

6) Обоснование метода радиационного возвращения применительно к экспериментам на электрон-позитронных коллайдерах промежуточных энергий.

7) Разработка метода определения бегущей постоянной электромагнитного взаимодействия путем прецизионного изучения Баба-рассеяния на малые углы.

8) Создание высокоточного описания спектра распада мюона с учетом ведущих и следующих за ведущими поправок высших порядков.

Как отмечено выше, основным методом, применяемым в диссертации, является подход ренормализационной группы [4], основанный на фундаментальном физическом принципе масштабной инвариантности законов Природы. Помимо этого, при проведении теоретических построений и последующем их применении к анализу феноменологии взаимодействий частиц использовались стандартные хорошо известные методы квантовой теории поля. Важно отметить, что особенностью диссертации является, в частности, адаптация к случаю квантовой электродинамики методов, ранее разработанных для решения задач квантовой хромодинамики.

Научная новизна и значимость

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и важными для развития современной физики высоких энергий. Приоритет автора в получении решении основных задач диссертации признается мировым сообществом, что подтверждается цитированием и использованием его результатов в дальнейших исследованиях другими учеными как в нашей стране, так и за рубежом. В диссертации существенно развит метод учета ведущих логарифмических поправок высших порядков. Разработка нового подхода, позволяющего расширить применение метода ренормализационной группы КЭД на случай следующих за веду-

щими логарифмических поправок, открывает новое широкое направление теоретических исследований. Значимость последнего обуславливается запросами современных экспериментов, для которых высокоточные теоретические предсказания абсолютно необходимы. Решаемые с помощью разработанных в диссертации методов задачи актуальны и значимы для современных экспериментов физики высоких энергий, проводимых как на ускорителях высоких энергий (HERA, LEP, LHC, Tevatron, ILC), так и при более низких энергиях, в частности, на электрон-позитронных кол-лайдерах с энергиями порядка нескольких ГэВ. Важно, что все основные теоретические результаты уже нашли применение при симуляции, анализе данных и погрешностей соответствующих экспериментов. Например, созданный на основе разработанных методов генератор событий разных процессов [5] использован при анализе данных коллаборации КМД-2 [6,7], полученных на коллайдере ВЭПП-2М в ИЯФ СО РАН (Новосибирск). Методы, развитые в диссертации для задач физики высоких энергий, оказались востребованы и для решения задачи прецизионного описания спектра распада мюона. Последний процесс является одним из базовых классических процессов для физики элементарных частиц.

Положения, выносимые на защиту

Автором впервые получены и выносятся на защиту следующие основные результаты диссертации.

1. Развит метод учета ведущих логарифмических квантовоэлектроди-намических поправок высших порядков к сечениям процессов взаимодействия частиц при высоких энергиях и ширинам распадов. Получены аналитические выражения для структурных функций электрона вплоть до пятого порядка теории возмущений. Построен и применен эффективный метод сшивки полных поправок первого порядка и ведущих поправок высших порядков.

2. С помощью подхода ренормализационной группы разработан систематический метод учета следующих за ведущими логарифмических кван-товоэлектродинамических поправок к процессам взаимодействия частиц. При этом допускается возможность налагать ограничения на кинематические переменные не только заряженных лептонов, но и фотонов, что необходимо для учета реалистических экспериментальных условий.

3. Явление радиационного возвращения (эффективного уменьшения энергии взаимодействующих частиц за счет излучения фотона из начального состояния) исследовано в следующем за ведущим приближении. Получено прецизионное описание радиационных событий для глубоконеупру-гого рассеяния. Впервые предложено и обосновано применение метода радиационного возвращения к процессам электрон-позитронной аннигиля-

ции в адроны на коллайдерах промежуточных энергий.

4. Развитые в диссертации методы применены к созданию высокоточных теоретических предсказаний для ряда процессов, изучаемых в современных экспериментах физики высоких энергий: электрон-позитронной аннигиляции (в мюоны, адроны или фотоны), Баба-рассеяния, процессов аннигиляции и глубоконеупругого рассеяния с детектированием тормозного излучения, тормозного излучения при рассеянии на ядрах, обратного тормозного излучения в процессе Дрелла-Яна.

5. Получено прецизионное теоретическое описание спектра распада поляризованного мюона. Впервые учтены ведущие и следующие за ведущими логарифмические поправки высших порядков, а также — точная зависимость от массы электрона в выражениях для поправок первого порядка. Это позволило достичь точности предсказаний порядка 10~4, необходимой для анализа данных современных и планируемых экспериментов.

Достоверность результатов

Вычисления, проделанные в диссертации, основываются на использовании стандартных методов квантовой теории поля. Все новые результаты проверялись на предмет соответствия (для ряда предельных случаев) известным классическим достижениям в данной области теоретической физики. Аналитические преобразования, в частности, связанные со взятием многократных интегралов, всегда контролировались численно. Во многих случаях оригинальные результаты диссертации в дальнейшем проверялись и воспроизводились другими исследователями.

Апробация работы

Результаты данной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ (Дубна), Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва), на теоретических семинарах зарубежных научных центров: ЦЕРН (Женева, Швейцария), DESY (Цойтен, Германия), LNF (Фраскати, Италия), Университеты городов Парма и Турин (Италия), Лаборатория TRIUMF (Ванкувер, Канада), Университет провинции Альберта (Эдмонотон, Канада), IHEP (Пекин, Китай), КЕК (Цуку-ба, Япония), PSI (Виллиген, Швейцария), MPI (Мюнхен, Германия), Brookheaven Lab. (США); на ряде международных конференций и рабочих совещаний:

• 2009, Дубна, 1—4 декабря, Всероссийское совещание по прецизионной физике и фундаментальным физическим константам

• 2009, 13—17 октября, Пекин (КНР), International Workshop on е+е-collisions from phi to psi"(PHIPSI09)

• 2009, 17—18 марта, Милан, Италия, Международное рабочее совеща-

ние "W-mass workshop"

• 2008, 4—8 ноября, Ettore Majorana Foundation and Centre for Scientific Culture, Erice, Sicily, Italy 12-е Международное рабочее совещание "Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research "(ACAT 2008)

• 2008, 7—15 октября, Пекин (КНР), 4-е рабочее совещание "Radiative Corrections and Generators for Low Energy Hadronic Cross Section and Luminosity"("Радиационные поправки и генераторы для адронного сечения и светимости при низких энергиях") 7-15 октября 2008 г., Пекин (КНР)

• 2008, 5—13 апреля, Фраскати, Италия, Рабочее совещание "PHIPSI08 - International Workshop on е+е- collisions from phi to psi"n 3-е рабочее совещание "Radiative Corrections and Generators for Low Energy Hadronic Cross Section and Luminosity"

• 2008, 1—6 сентября, Дубна, Международная конференция "Renormalization Group and Related Topics"

• 2006, 27 февраля — 2 марта, Новосибирск, "International Workshop on e+e- collisions from Phi to Psi"

Материалы данной диссертации широко известны специалистам, работающим в области теории и феноменологии физики высоких энергий, а также — экспериментаторам, непосредственно использующим результаты диссертации при анализе опытных данных.

Публикации и личный вклад автора

Основные результаты диссертации опубликованы в виде 34 статей в ведущих российских и зарубежных физических журналах, входящих в Перечень ВАК. Из этих работ 7 выполнены без соавторов и еще 4 — совместно с аспирантами соискателя. Помимо этого, по материалам диссертации опубликованы 6 работ в трудах конференций и рабочих совещаний и три препринта, содержащих дополнительные детали вычислений. Основные работы по диссертации имеют высокую цитируемость и хорошо известны специалистам.

Вклад автора во все полученные результаты является определяющим. Автором осуществлялись: формулировка задач, разработка путей и методов их решения, развитие необходимого математического аппарата, подготовка текстов публикаций, а также переписка с редакциями научных журналов и рецензентами.

Следует отметить, что в работе №23 А.Б. Арбузову принадлежит основной вклад в развитие теоретического подхода и в проведение аналитических вычислений, тогда как численные результаты были получены соавтором данной работы Е.В. Земляной. В работе №5 описывается один из этапов развития компьютерной программы ZFITTER. Вклад соискателя в

данную работу существенный и состоит во внедрении в программу результатов лично выполненных им работ №13 и №14. Однако сама программа ZFITTER развивалась в течение долгого времени, и в ее создание вложен труд большого коллектива ученых. Публикация №31 имеет 22 соавтора, она явилась результатом совместной работы нескольких международных групп исследователей. Личный вклад автора в основной результат этой работы существенный, он подробно описывается в третьей Главе диссертации.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы.

I. Статьи в рецензируемых журналах

1. А.В. Arbuzov, Radiative Corrections to High Energy Lepton Bremsstrahlung on Heavy Nuclei // JHEP, Vol. 01 (2008) 031 (8 pages).

2. A.B. Arbuzov and R.R. Sadykov, Inverse bremsstrahlung contributions to Drell-Yan like processes (на англ. языке) // ЖЭТФ, T. 133 N3 (2008) С.564-570.

3. A.B. Arbuzov and E.S. Scherbakova, QED collinear radiation factors in the next-to-leading logarithmic approximation // Physics Letters В, Vol. 660 (2008) pp.37-42.

4. A.B. Arbuzov and E.S. Scherbakova, Next-to-leading order corrections to Bhabha scattering in renormalization group approach. I: Soft and virtual photonic contributions (на англ. языке) // Письма в ЖЭТФ, Т. 83, N10 (2006) С.499-503.

5. А.В. Arbuzov, M. Avvramik, M. Czakon, A. Freitas, M.W. Grunewald, K. Monig, S. Riemann, T. Riemann, ZFITTER: A semi-analytical program for fermion pair production in e+ e- annihilation, from version 6.21 to version 6.42 // Computer Physics Communications, Vol. 174 (2006) pp.728-758.

6. A.B. Arbuzov, E.S. Scherbakova, One-Loop Corrections to Radiative Muon Decay // Physics Letters B, Vol. 597 (2004) pp.285-290.

7. A.B. Arbuzov, D. Haidt, C. Matteuzzi, M. Paganoni and L. Trentadue, The running of the electromagnetic coupling alpha in small-angle Bhabha scattering // European Physical Journal C, Vol. 34 (2004) pp.267275.

8. А.Б. Арбузов, Virtual and soft pair corrections to polarized muon decay spectrum (на англ. языке) // Письма в ЖЭТФ, Т. 78 (2003) N4, С.215-218.

9. A. Arbuzov, Higher order QED corrections to muon decay spectrum // JHEP, Vol. 0303 (2003) 063 (18 pages),

10. A. Arbuzov and K. Melnikov, 0(alpha**2 ln(m(mu)/m(e))) corrections to electron energy spectrum in muon decay // Physical Review D, Vol. 66 (2002) 093003 (6 pages).

11. A. Arbuzov, A. Czarnecki, and A. Gaponenko, Muon decay spectrum: Leading logarithmic approximation // Physical Review D, Vol. 65 (2002) 113006 (7 pages).

12. A.B. Arbuzov, First order radiative corrections to polarized muon decay spectrum // Physics Letters B, Vol. 524 (2002) 99-106, Erratum -ibid., Vol. 535 (2002) p.378.

13. A.B. Arbuzov, Higher order pair corrections to electron positron annihilation // JHEP, Vol. 0107 (2001) 043 (17 pages); см. также препринт этой работы: A.B. Arbuzov, Light pair corrections to electron positron annihilation at LEP/SLC // arXiv:hep-ph/9907500.

14. A.B. Arbuzov, Non-singlet splitting functions in QED, // Physics Letters B, Vol. 470 (1999) p.252-258.

15. A.B. Арбузов, Э.А. Кураев, Б.Г. Шайхатденов, Violation of the factorization theorem in large-angle radiative Bhabha scattering (на англ. языке), // ЖЭТФ Т. 115 (1999) р.392-403, ibid Поправка Т. 134, вып. 4(10) (2003) С.960.

16. Н. Anlauf, A.B. Arbuzov, Е.А. Kuraev, N.P. Merenkov, QED corrections to deep inelastic scattering with tagged photons at HERA j/ Physical Review D, Vol. 59 (1999) 014003 (6 pages).

17. H. Anlauf, A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, Tagged photons in DIS within the next-to-leading accuracy, // JHEP, Vol. 10 (1998) 013 (17 pages).

18. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov and L. Trentadue, Hadronic cross-sections in electron positron annihilation with tagged photon // JHEP, Vol. 9812 (1998) 009 (13 pages).

19. А.В. Arbuzov, Е.А. Kuraev, В.G. Shaikhatdenov, Second order contributions to elastic large-angle Bhabha scattering, // Modern Physics Letters A, Vol. 13 (1998) p.2305-231G.

20. A.B. Arbuzov, O. Krehl, E.A. Kuraev, E.N. Magar, B.G. Shaikhatdenov, Radiative corrections to the background of /i —>■ cy decay, // Physics Letters B, Vol. 432 (1998) p.421-426.

21. I. Akushevich, A. Arbuzov and E. Kuraev, Compton tensor with heavy photon in the case of longitudinally polarized fermion // Physics Letters B, Vol. 432 (1998) p.222-229.

22. A.B. Arbuzov, V.A. Astakhov, A.V. Fedorov, G.V. Fedotovich, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, Radiative Corrections for Pion and Kaon Production at e+e~ colliders of energies below 2 GeV // JHEP, Vol. 10 (1997) 006 (13 pages).

23. A.B. Arbuzov, V.A. Astakhov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, E.V. Zemlyanaya, Emission of Two Hard Photons in Large-Angle Bhabha Scattering // Nuclear Physics B, Vol. 483 (1997) p.83-94.

24. А.Б. Арбузов, Э.А. Кураев, H.П. Меренков и Л. Трентадуэ, Virtual and Soft Real Pair Production in Large-Angle Bhabha Scattering (на англ. языке), // Ядерная Физика, Т. 60 (1997) C.673-G82.

25. А.В. Arbuzov, G.I. Gach, V.Yu. Gontchar, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Small-Angle Bhabha Scattering at LEP1. Analytical Results for Wide-Narrow Angular Acceptance // Physics Letters B, Vol. 399 (1997) p.312-320.

26. N.P. Merenkov, A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, L. Trentadue, Analytical calculation of small-angle Bhabha cross-section at LEP1 // Acta Physica Polonica B, Vol. 28 (1997) p.491-507.

27. A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov, L.G. Trentadue, Small-Angle Electron-Positron Scattering // Physics Letters B, Vol. 394 (1997) p.218-224.

28. A.B. Arbuzov, G.V. Fedotovich, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, V.D. Rushai, L. Trentadue, Large Angle QED Processes ate+e~ colliders at energies below 3 GeV // JHEP, Vol. 10 (1997) 001 (21 pages).

29. A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Small-Angle Bhabha Scattering with a Per Mille Accuracy // Nuclear Physics B, Vol. 485 (1997) p.457-502.

30. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Hard Pair Production in Large-Angle Bhabha Scattering .// Nuclear Physics B, Vol. 474 (1996) p.271-285.

31. A.B. Arbuzov, M. Bigi, H. Burkhardt, M. Cacciari, M. Caffo, H. Czyz, M. Dallavalle, J.H. Field, F. Filthaut, S. Jadach, F. Jegerlehner, E. Kuraev, G. Montagna, 0. Nicrosini, F. Piccinini, B. Pietrzyk, W. Placzek, E. Remiddi, M. Skrzypek, L. Trentadue, B.F.L. Ward, Z. Was, The Present Theoretical Error on the Bhabha Scattering Cross-Section in the Luminometry Region at LEP // Physics Letters B, Vol. 383 (1996) p.238-242.

32. А.Б. Арбузов, Э.А. Кураев, Баба-рассеяние на малые углы // ЭЧАЯ, Т. 27 (1996) С.1247-1320.

33. А.Б. Арбузов, Э.А. Кураев, Н.П. Меренков и JI. Трентадуэ, Pair Production in Small-Angle Bhabha Scattering (на англ. языке) // ЖЭТФ, Т. 108 вып. 4(10) (1995) С.1164-1178.

34. A.B. Arbuzov, On a novel equal time relativistic quasipotential equation for two scalar particles // Nuovo Cimento 107A (1994) p.1263-1274.

II. Материалы конференций и рабочих совещаний

35. A. Arbuzov, V.S. Fadin, Е. Kuraev, L. Lipatov, N. Merenkov and L. Trentadue, Small angle Bhabha scattering for LEP // [hep-ph/9506323]; Reports of the working groups on precision calculations for the Z resonance, D. Bardin, W. Hollik, G. Passarino (eds.), CERN Yellow Report, CERN 95-03 (1995) p.369-387.

36. H. Anlauf, A. Arbuzov et al. (24 co-authors), S. Jadach, O. Nicrosini (conveners), Event Generators for Bhabha Scattering // [hep-ph/9602393], CERN Yellow Report 96-01, vol.2, 1996, p.229.

37. H. Anlauf, A.B. Arbuzov and E.A. Kuraev, QED corrections to DIS with a tagged photon at HERA // [arXiv:hep-ph/9907248], Contributed to Workshop on Monte Carlo Generators for HERA Physics (Plenary Starting Meeting), Hamburg, Germany, 27-30 Apr 1998. Published in "Monte Carlo generators for HERA physics A.T. Doyle,

G. Grindhammer, G. Ingelman, H. Jung (editors), Hamburg 1998/1999, p.539-546.

38. M. Kobel, Л.В. Arbuzov et al. [Two Fermion Working Group], Two-fermion production in electron positron collisions // [arXiv:hep-ph/0007180], published in CERN Yellow Report, S. Jadach, G. Passarino and R. Pittau (editors), "Reports of the working groups on precision calculation for LEP2 physics Geneva 1999/2000, p.269-378.

39. A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Small-Angle Bhabha Scattering // Invited talk of L.T. at the Zeuthen workshop on Elementary Particle Theory "QCD and QED in Higher Orders Rheinsberg, April 21 — 26, 1996; published in Nuclear Physics В Proc. Suppl., Vol. 51S С (1996) p.154-163.

40. A. Arbuzov, U. Baur, S. Bondarenko, C. Carloni Calame, S. Dittmaier, M. Kramer, G. Montagna, 0. Nicrosini, R. Sadykov, A. Vicini, D. Wackeroth, Tuned comparison of electroweak corrections to Drell-Yan-like W- and Z-boson production - a status report // in C. Buttar et al., "Les houches physics at TeV colliders 2005, standard model and Higgs working group: Summary report, " arXiv:hep-ph/0604120.

III. Неопубликованные препринты

41. A.B. Arbuzov, LABSMC: Monte Carlo event generator for large-angle Bhabha scattering // arXiv:hep-ph/9907298.

42. A.B. Arbuzov, Event generation of large-angle Bhabha scattering at LEP2 energies // arXiv:hep-ph/9910280.

43. A.B. Arbuzov, Tables of convolution integrals // arXiv:hep-ph/0304063.

Наиболее важные результаты диссертации опубликованы в работах под номерами 4, 10, 12-14, 18, 28, 29.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, двух Приложений и Списка литературы. Материал изложен на 215 страницах, включает 28 рисунков, 19 таблиц, 261 библиографическую ссылку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Здесь обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основная цель и задачи, возникающие при ее решении,

обсуждается научная новизна представленных исследований. Представляется обзор литературы в данной области исследований.

Глава 1. В первой Главе диссертации систематически излагается и развивается метод структурных функций электрона, позволяющий вычислять ведущие логарифмические поправки к процессам взаимодействия частиц в рамках квантовой электродинамики. В основе этого метода лежит подход ренормализационной группы и квантовомеханическое явление факторизации подпроцессов, протекающих на существенно разных масштабах расстояния. Во многом в КЭД повторяется (с некоторыми важными модификациями) предложенная Р. Фейнманом картина факторизации жесткого партонного подпроцесса и структурных функций. В КЭД в качестве партонов выступают электроны, позитроны и фотоны. При этом вычисления ведущих логарифмических поправок можно строить в различных схемах и при различном выборе масштаба факторизации. Зависимость результата от их выбора в КЭД есть, но она существенно меньше, чем в КХД, в первую очередь, из-за малости константы связи первой теории. При учете (после проведения необходимых вычислений) следующих порядков теории возмущений и схемная зависимость, и зависимость от масштаба факторизации уменьшаются, поскольку они обусловлены еще неучтенными членами высших порядков по а.

Действуя по аналогии с процедурой факторизации КХД поправок к процессу Дрелла-Яна [8], мы представляем ведущие логарифмические КЭД поправки к полному сечению, например, процесса электрон-позитронной аннигиляции в адроны в виде

1 1

О О

х ъае-{хи з^Ье+(х2, з)а^Шгоп^8х1х2), (1)

а,6=е+,е~,7

где суммирование ведется по всем возможным сочетаниям партонов а и 6, которые могут участвовать в подпроцессе рождения адронов с сечением а$ь~*'1аёг0"3(зх1х2), рассчитанным без учета радиационных поправок к начальному состоянию. Функции партонных распределений Т>ае-(х1,8) и Т^Ье+{х2>3) описывают плотности распределения партонов типов а и Ь в начальных электроне и позитроне, соответственно. Доли энергии партонов, £1,2, вводятся полностью аналогично описанию кварковых и глюон-ных распределений в адронах, т.е. задают доли энергии партонов по отношению к полной энергии излучившей их частицы. Функция В{х1,х2) определяет область интегрирования по долям энергии партонов, соответствующую экспериментальным условиям. Отметим, что эти условия могут

быть правильно учтены только в том случае, когда они зависят только от долей энергии, но не затрагивают угловое распределение излученных частиц.

Функции распределения партонов в электроне удовлетворяют уравнениям эволюции, которые получаются из уравнений ДГАЛП [3] путем редукции неабелевой КХД к абелевой КЭД. В частности, несинглетная функция удовлетворяет уравнению

3 1

(2)

где 5 (¿) определяют масштаб факторизации. В данной Главе подробно разбирается итерационная процедура решений этих уравнений в КЭД. Для несинглетных функций распределения электрона в электроне выводятся аналитические выражения вплоть до пятого порядка разложения по апЬп в виде:

VI3{г, д2) = ^{г, д2) + VI3' (г, С?2),

5

1 (Р

П=1

п! \4

Р®п{г) + 0( а6),

+ 0(а6),

,8 = —(1,-1),

7Г

Ь = 1п

0_2 ТП\

2 '

(3)

Индексом 7 помечена чисто фотонная часть структурной функции. Вторая часть описывает поправки за счет е+е~ пар и, начиная с третьего порядка, с возможностью также и фотонного излучения. Функции расщепления высших порядков получаются путем конволюции:

1 1

р®(п+= у йа.1 у ^ рв^ж^р®-^)^ _ тага),

Р®1^) = =

1 + а:2

(4)

Все свертки, входящие в выражение (3), найдены аналитически. Показывается, что учет вкладов пертурбативного разложения выше третьего порядка избыточен для большинства задач, в силу ограниченности экспериментальной точности. Однако в особых случаях, например, для процесса е+е~ аннигиляции на коллайдере LEP2 и ведущие поправки четвертого порядка следует принимать во внимание. Это обусловлено появлением в радиационных поправках усиливающего фактора, связанного с радиационным возвращением на резонансное рождение Z-бозона. Кроме того, полезно численно сравнить итерационное решение с прямым учетом поправок разных порядков и аналогичные решения уравнений эволюции КЭД с экспоненциацией части слагаемых, полученными в работе [9]. Оказывается, что разница численно незначительна.

Глава 2. Во второй Главе поднимается вопрос об учете поправок, следующих за ведущими. Как показано в первой Главе, поправки в ВЛП дают численно наиболее значимую часть эффекта. Однако современные эксперименты требуют создания и более точных теоретических предсказаний. Для многих процессов, изучаемых в настоящее время, полные поправки первого порядка хорошо известны, их вычисления многократно проверены и опубликованы. Однако на практике для учета особых требований вновь возникающих экспериментов возникает необходимость проведения новых вычислений и в первом, и в более высоких порядков. В качестве примера в этой Главе рассматривается расчет О (а) поправок к процессу тормозного излучения лептоном при рассеянии на тяжелом ядре. Полученные результаты предназначены для использования при анализе данных эксперимента COMPASS, проводимого в ЦЕРН. В частности, условия эксперимента требовали аккуратного учета особенностей кинематически двойного тормозного излучения, часть диаграмм для которого приведена на Рис. 1.

Рис. 1: Часть диаграмм Фейнмана, описывающих двойное тормозное излучение.

Далее в этой Главе обсуждается развитие метода структурных функций электрона в следующем за ведущим порядке О (апЬп~1). Это построение является центральным для данной диссертации. Как было показано выше, ведущие логарифмические КЭД поправки к процессам при вы-

соких энергиях можно описать с помощью подхода ренормализационной группы, используя факторизашо подпроцессов. Встает вопрос, можно ли распространить этот метод на случай вычисления следующих за ведущими поправок? Действительно, полной факторизации вкладов порядка 0(апЬп~1) относительно борцовского сечения ожидать нельзя. Это хорошо видно на примере нефакторизованных нелогарифмических поправок первого порядка, рассмотренных выше. Во втором порядке по а мы видим уже дополнительные источники следующих за ведущими логарифмических поправок, перепутывание которых с теми, что имелись в первом порядке, потенциально могло бы разрушить всю аналогию с ВЛП. Однако собственно применимость подхода ренормализационной группы не зависит от порядка теории возмущений ни по степеням а, ни по степеням Ь. Из КХД берется и модифицируется к случаю КЭД мастер-формула, основанная на доказанной в КХД теореме факторизации. Рассмотрим для примера формулу, описывающую сечение Баба-рассеяния в подходе структурных функций электрона:

где - это вклад порядка О (а) в сечение безмассового (те = 0) Баба-рассеяния, рассчитанный в МБ схеме вычитания массовых сингулярно-стей. Второй аргумент структурных функций (масштаб факторизации) в формуле, приведенной выше, опущен для краткости. Доли энергии (по отношению к энергии исходных пучков в системе центра их масс), входящих в жесткий подпроцесс электрона и позитрона, заданы как ¿1,2, а выходящих — как У^- Уравнения эволюции для структурных и фрагментационных функций решаются теперь в СВЛП аналогично тому, как это делалось в КХД. В работе (10) вычисление в СВЛП КЭД впервые проводится для случая распада, а именно, для решения задачи прецизионного описания распада мюона.

Мастер-формула (5) в следующем за ведущим приближении показывает, что все КЭД поправки порядка О {а2Ь) могут быть найдены, если известны формулы для сечения заданного процесса в борновском приближении и для радиационных поправок первого порядка к нему. Однако прямое применение этой формулы даст нам только инклюзивное по фотонному излучению значение для искомой поправки, тогда как в реальных случаях часто требуется наложить определенные ограничения на энергию и углы вылета испускаемых фотонов. Поэтому, учитывая высокую разре-

с\а

+

шающую способность современных детекторов, ставится вопрос о более детальном описании кинематики исследуемого процесса. Это достигается последовательным учетом факторизационных свойств вкладов поправок с разной кинематикой. Показывается, что путем выделения коллинеарных кинематических областей вдоль направлений движения легких заряженных частиц, можно аккуратно учесть все вклады в СВЛП и при этом иметь возможность накладывать любые экспериментальные ограничения на кинематику жестких фотонов, излученных на большие углы.

Глава 3.

В третьей Главе представлены результаты применений разрабатываемых в диссертации методов для создания прецизионного теоретического описания конкретных процессов взаимодействия частиц, изучаемых в современных экспериментах на коллайдерах.

Одним из результатов диссертации, наиболее значимых для современной феноменологии элементарных частиц, является впервые проведенный расчет полного вклада следующих за ведущими радиационных поправок порядка О (а2Ь) к процессу Баба-рассеяния на малые углы в условиях экспериментов, проводившихся на ЬЕР1 и ЬЕР2. Эти поправки были найдены прямым счетом всех диаграмм Фейнмана относительного порядка О (а2), но при этом учитывались только вклады, усиленные большими логарифмами. Актуальность и важность данного расчета обусловлена тем, что экспериментальная точность измерения Баба-рассеяния на малые углы на ЬЕР достигла рекордной для экспериментов при высоких энергиях точности 0.05%. Высокоточное измерение сечения данного процесса было абсолютно необходимо для выполнения физической программы ЬЕР, поскольку по нему определялась светимость коллайдера. А экспериментальная неопределенность измерения последней давала вклад в систематические ошибки всех прецизионных тестов стандартной модели, проводившихся на ЬЕР. Как сказано выше, желательно было иметь точность теоретического описания данного процесса на на уровне одной третьей от экспериментальной, т.е. порядка 0.02%. Для такой точности необходим полный учет двухпетлевых радиационных поправок порядка О (а2), включая и те, что не усилены большими логарифмами, и ведущих логарифмических вкладов высших порядков. Более того, погрешность в определении вклада поляризации вакуума адронами на этом уровне точности уже существенна и ограничивает результирующую теоретическую точность на уровне 0.04%. Оценка теоретической неопределенности описания Баба-рассеяния на малые углы в условиях ЬЕР, выведенная в рамках международной рабочей группы с учетом полученных в диссертации результатов, оказалась равна 0.11% для ЬЕР1 (и 0.25% для ЬЕР2), т.е. в два раза больше эксперимен-

тальной ошибки. Это обусловлено, в первую очередь, отсутствием на тот момент полных расчетов всех численно значимых КЭД радиационных поправок высших порядков. В частности, полное вычисление двухпетлевых диаграмм для данного процесса сопряжено с существенными техническими сложностями. Оно было проведено только относительно недавно [10].

Второй раздел 3-ей Главы посвящен построению систематического описания процессов, изучаемых на электрон-позитронных ускорителях с энергиями сталкивающихся пучков в системе центра масс порядка нескольких Гэв, таких как ВЭПП-2М, ВЭПП-2000 (Новосибирск), БА<ШЕ (Фраска-ти), ВЕРС-П (Пекин) и др. Решается задача повышения точности теоретических предсказаний за счет одновременного учета полных поправок первого порядка и ведущих логарифмических вкладов высших порядков. Для этого разрабатывается оригинальный метод сшивки поправок первого и высших порядков. Метод основан на свойстве факторизации амплитуд (и сечений) подпроцессов, проходящих на разных масштабах расстояний. В частности, мы можем выделить радиационные факторы, описывающие подпроцесс жесткого тормозного излучения одного или нескольких фотонов внутри узкого конуса вдоль направления движения какой-либо заряженной частицы. Если импульс жесткого фотона к коллинеарен импульсу, например, начальной заряженной частицы Р\ (угол между импульсами не превышает величины #о), то сечение процесса 2 2 представимо в виде

¿а[а{Р1) + Ь{р2) с(91) + <*(<&) + 7{к и (1 - г)Р1)} » с1а[а(гр1) + Ь{р2) с(Я1) + с?(д2)] ®

= ^ ('" 5 "1+'»)+1 - + ° + ° '

^ < т/Е « д0 < 1, /0 = 1п(1?о/4),

где знак С5> обозначает свертку сечений подпроцессов. Радиационные факторы (случай излучения из конечного состояния аналогичен) содержат логарифм численно наиболее значимый при ультрарелятивистской

энергии излучающей частицы, Е т. Свойство факторизации коллине-арного жесткого излучения одного фотона хорошо известно в литературе. Показано, что в высших порядках все ведущие логарифмические вклады, связанные с жестким излучением, также происходят из коллинеарных кинематических областей. Поэтому их можно учесть в приближении колли-неарной кинематики. Для повышения точности требуется выйти за рамки ведущего логарифмического приближения и учесть остальные слагаемые порядка О (а). Часть из них присутствует в самих радиационных факторах, а часть — во вкладе неколлинеарного излучения, т.е. кинематической

области, в которой углы вылета фотона по отношению ко всем заряженным частицам превышают При этом важно, что последний вклад не содержит больших логарифмов. Зависимость от введенного вспомогательного параметра "до сокращается в сумме вкладов коллинеарной и неколли-неарной кинематических областей. Вклады виртуальных (петлевых) поправок и мягкого тормозного излучения не меняют кинаматики процесса. Потому учет ведущих логарифмических поправок в них сводится лишь к добавлению соответствующих слагаемых к известным результатам для поправок первого порядка. Используя эту схему, было построено прецизионное описание с теоретической точностью порядка 0.2% для процессов взаимодействия е+е--пучков с образованием конечных состояний е+е~, 77 и а для адронных 7г+7г~, K^Ks, и К+К~ точность оценена в 0.3%.

В случае присутствия заряженных пионов и каонов в конечном состоянии мы использовали для них приближение точечных частиц, т.е. работали в рамках скалярной электродинамики. Это давало дополнительный источник теоретической неопределенности по сравнению со случаем чисто леп-тонных процессов. В случае рождения пары заряженных частиц вблизи порога, т.е. с малой относительной скоростью, помимо собственно пертур-бативных поправок для учета взаимодействия в конечном состоянии учитывался и релятивизированный фактор Гамова-Зоммерфельда-Сахарова, выведенный в (34). На основании полученных формул был построен генератор событий по методу Монте-Карло [5] и использован при анализе данных экспериментов, проводившихся на ВЭПП-2М [6,7]. Кроме того, разработанный в диссертации подход и выведенные формулы использовались независимо другими исследователями при создании программы AfkQed, используемой коллаборацией ВаВаг (Стэнфорд). Проводились также прецизионные сравнения с аналогичными результатами, полученными другими группами, использовавшими альтернативные методы сшивки полных поправок первого порядка и ведущих логарифмических вкладов высших порядков. Получено хорошее согласие [5], что подтверждает наши оценки достигнутой теоретической точности. В недавно появившемся обзоре [11] международная рабочая группа описала современное состояние теоретических исследований в данной области.

Раздел 3.3 посвящен обоснованию и развитию метода радиационного возвращения. Сначала разбирается случай глубоконеупругого рассеяния (ГНР). В работе [12] было предложено утилизировать события с жестким тормозным излучением из начального состояния электрон-протонного рассеяния. На ускорителе HERA (Гамбург) эксперименты ZEUS и Hl имеют детекторы, расположенные практически под нулевым углом к налетающему электронному пучку. Как обсуждалось выше, коллинеарное

тормозное излучение усилено фактором, содержащим большой логарифм Ь = 1п(Еъсат/те)- Вследствие этого, несмотря на подавляющий фактор а/(27г), набирается достаточно большое количество событий глубоконе-упругого рассеяния с детектированием жесткого тормозного фотона. Причем, практически гарантированно излучение происходило из начального состояния (остальные вклады дополнительно подавлены квадратом углового раствора детектора и не содержат Ь). Таким образом, детектирование фотона позволяло полностью восстановить кинематику безрадиационного подпроцесса и расширить кинематическую область, в которой изучается ГНР, в сторону малых переданных импульсов и значений переменной Бьеркена х. В диссертации впервые найдены полные радиационные поправки порядка О (а) к ГНР с детектированием фотона. Показано, что величина поправок существенно зависит от выбора переменных, которые используются для экспериментального определения кинематики событий ГНР.

Позже в работе №18 нами впервые было предложено использовать метод радиационного возвращения для изучения процессов рождения адро-нов на электрон-позитронных коллайдерах с суммарной энергией пучков в системе центра масс порядка нескольких ГэВ. Ранее процесс е+е~ аннигиляции с излучением жесткого фотона неоднократно рассматривался в литературе, в частности в [13]. В то время было подробно изучено явление радиационного возвращения на резонанс, которое состоит в том, что жесткое тормозное излучение электроном или фотоном приводит к эффективному уменьшению энергии пучков. Причем на эксперименте при этом наблюдается рождение адронных резонансов, имеющих массу меньшую, чем сумма энергий исходных пучков. В современных же экспериментах имеется возможность использовать известное ранее явление для целенаправленного исследования процессов рождения частиц с квадратом инвариантной массы меньшим квадрата суммы энергий исходных пучков. Для применения предложенного метода должны выполняться три основных условия: 1) высокая светимость ускорителя, поскольку наблюдаемые события с излучением жесткого фотона составляют лишь малую часть

1 /а) от общего числа; 2) высокая экспериментальная точность определения импульсов и энергий наблюдаемых частиц, включая фотоны; 3) прецизионное теоретическое описание процессов тормозного излучения в электрон-позитронной аннигиляции. Все эти три условия реализовались в настоящее время. Эксперименты практически на всех существующих и планирующихся е+е~ коллайдерах промежуточных энергий, таких как БАФЫЕ (Фраскати, Италия), РЕР-И (Стэнфорд, США), КЕКВ (Цукуба, Япония), ВЕРС-П (Пекин, Китай) и ВЭПП-2000 (Новосибирск), имеют в

своей физической программе измерения с использование метода радиационного возвращения. Активно проводятся также и дальнейшие теоретические исследования в данном направлении, см. обзор [11].

В разделе 3.4 предлагается новый метод определения бегущей постоянной электромагнитных взаимодействий из данных по наблюдению Баба-рассеяния на малые углы. В настоящее время непертурбативный вклад адронов в зависимость значения а(Ь) от квадрата переданного импульса £ определяется с помощью дисперсионных соотношений из данных процессов е+е~ аннигиляции в адроны и альтернативно из адронных мод распадов тау-лептона. Важность прецизионного изучения этой зависимости обусловлена тем, что величина входит в определение большинства изучаемых в современных экспериментах физики высоких энергий наблюдаемых. Кроме того, сам адронный вклад в поляризацию вакуума интересен с точки зрения исследований непертурбативной области КХД. В диссертации предлагается выделить искомую зависимость из прецизионных данных, полученных при определении светимости на ЬЕР1, БЕР2 и в будущем на международном линейном коллайдере 1ЬС. На основании результатов раздела 3.1 мы можем утверждать, что теоретическое описание процесса Баба-рассеяния на малые углы выполнено с высокой точностью. Наблюдаемое дифференциальное сечение по квадрату переданного импульса может быть представлено в виде произведения трех факторов:

где der0 — борновское сечение, Дг(£) — суммарный вклад пертурбативных радиационных поправок, a a(t)/a(0) — искомое относительное изменение константы взаимодействия, зависящее от t. Предложенный метод уже использовался коллаборацией OPAL при анализе данных LEP [14]. Было показано, что получаемая зависимость адронной поляризации находится в согласии с той, что получается при использовании стандартных методов, хотя точность результатов нового метода пока недостаточно высока. Последнее обусловлено, в первую очередь, систематическими экспериментальными погрешностями.

Глава 4. В четвертой Главе подробно описывается построение высокоточного теоретического описания спектра распада мюона. Актуальность этой задачи связана с проходившим в недавнее время экспериментом TWIST (Ванкувер), в котором с точностью порядка 10~4 определялись параметры Мишеля, параметризующие моделыю независимым образом названный спектр. Такая высокая точность не позволяла ограничиться известными в литературе поправкам первого порядка. Однако нахождение

(6)

полного вклада поправок второго порядка по а остается до сих пор нерешенной задачей из-за существенных технических трудностей, связанных с наличием трех размерных параметров (массы мюона, массы электрона и квадрата 4-х импульса унесенного парой нейтрино). В этом случае применение развитых в диссертации методов учета наиболее значительных поправок высших порядков оказалось верным ключом к решению проблемы.

Спектр распада мюона описывается следующей формулой:

где те и тпц — массы электрона и мюона; в — угол между направлениями вылета позитрона и спина мюона (для перехода к случаю распада ц~ достаточно поменять знак перед соэ^); — степень поляризации мюона; Е — энергия позитрона.

Функции Г (г) и б? (г) описывают изотропную и анизотропную части спектра позитрона. Их можно разложить в ряд по а и по большому логарифму Ь = \п{тп2 /тп\) к, 11:

и аналогично для ¿?(,г).

Во-первых, для уточнения существовавших в литературе результатов для процесса распада поляризованного мюона в диссертации был проведен полный расчет поправок первого порядка с учетом точной зависимости от массы электрона, которая ранее не была получена. Как и следовало ожидать, в пределе те -» 0, взятом всюду, кроме аргументов больших логарифмов, найденные выражения для }\{х) = + и <71(2:)

совпадают с классическими результатами [15].

Обратим внимание на то, что высокоточное измерение вперед-назад асимметрии по углам вылета электрона относительно направления спина распадающегося мюона дает дополнительную возможность осуществления прецизионной проверки предсказаний стандартной модели. Современные эксперименты по измерению времени жизни мюона приближаются по относительной точности к 1 • Ю-6. Измерение вперед-назад асимметрии с такой точностью помогло бы существенно продвинуться в поиске

^гр/г+'+е+^С

¿г (¿соэ О

(8)

отклонений от предсказаний стандартной модели, конечно, в комплексе с исследованиями, проводимыми сейчас при высоких энергиях на БАК.

В диссертации впервые проведены аналитические вычисления вкладов высших порядков теории возмущений КЭД к распаду мюона с помощью .методов, развитых в первых двух Главах. Ранее в литературе рассматривалась только возможность экспоненциации вклада мягкого тормозного излучения. Нахождение полного вклада ведущих логарифмических поправок второго порядка /^(z) и g$L(z) оказалось существенно для анализа экспериментальных данных по определению параметров Мишеля, которые можно выделить модельно независимым образом при рассмотрении Лоренц-структуры 4-х фермионных взаимодействий общего вида. В стандартной модели слабый заряженный ток взаимодействует только с левыми компонентами спипорных частиц (V — А взаимодействие), что приводит к предсказанию значений параметров Мишеля: р = 3/4, rj = 0, ( = 1 и 6 = 3/4. Выяснилось, что эксперименты, проводившиеся ранее, существенно недооценивали систематическую ошибку, связанную с неучтенными ими радиационными поправками. Для реалистических экспериментальных условий вследствие учета поправок втрого порядка в ВЛП рассчитаны следующие смещения значений параметров Мишеля:

Ар ~ 11 • Ю-4,

Д?/ ~ 350 • 10~4,

~ 3-Ю"4,

AS ^ 4-Ю"4. (9)

Результаты эксперимента TWIST, полученные с учетом вычисленных в диссертации поправок оказались в прекрасном согласии с предсказаниями стандартной модели:

р = 0.7503 ±0.0004, г] = 0.001 ±0.024,

= 1.0007 ± 0.0035, S = 0.7404 ± 0.0006. (10)

Полезно отметить, что логарифмические поправки (кроме тех, что связаны с бегущей а) к спектру распада не дают вклада в полную ширину в согласии с теоремой Киношиты-Ли-Науэнберга.

Для дальнейшего увеличения точности теоретического описания рассматриваемого процесса применен метод учета следующих за ведущими логарифмических поправок второго порядка, /^"(z) и fl^iL(z), и поправок третьего порядка в ВЛП, f^L{z) и g^L{z). Эти поправки численно сопоставимы с экспериментальной погрешностью, достигнутой экспериментом

TWIST, они были использованы для оценки теоретической неопределенности и будут востребованы при проведении в будущем более аккуратных экспериментов.

В последней части 4-ой Главы рассмотрены поправки к радиационному распаду //, -» сицйе7 с детектированием излученного фотона. Этот процесс интересен по двум причинам. Во-первых, когда суммарная энергия унесенная нейтрино мала, он дает фон к процессу безнейтринного распада /1 —» су. Во-вторых, изучение дифференциальных распределений радиационного распада позволяет получить дополнительную информацию о лоренцевской структуре слабых взаимодействий и искать отклонения от предсказаний стандартной модели.

Заметим, что все проведенные исследования, касающиеся описания распада мюона, легко переносятся на случаи распадов тау-лептона: г —» fiP^T ит—> еРе1/т. Однако точность экспериментального изучения этих распадов еще не так высока, чтобы учет поправок высших порядков стал актуальным.

Заключение. Здесь кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертационной работе, формулируются положения, выносимые на защиту. Обсуждаются перспективы проведения дальнейших исследований по теме диссертации. Приводится неполный список семинаров и научных конференций, где докладывались и обсуждались основные результаты диссертации. Выражаются благодарности коллегам по совместной работе.

Приложения. Диссертация содержит два Приложения. В Приложении I приводится таблица интегралов конволюции функций, возникающих при вычислении поправок высших порядков методом репорма-лизационной группы. В частности, приводятся интегралы, необходимые для нахождения сверток обобщенных функций, регуляризованных плюс-прескрипцией. Аналитические выражения для всех интегралов проверены численно. Приложение II содержит сведения об основных свойствах специальных полилогарифмических функций, которые часто встречаются в аналитических формулах для радиационных поправок высших порядков, полученных в диссертации. Также приведены полезные соотношения между полилогарифмами разных аргументов. Использование этих формул позволило представить результаты в компактном виде, позволяющем легко переходить к предельным случаям.

Список литературы

[1] S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579;

S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264;

A. Salam, in "Elementary particle theory ed. N. Svartholm, Stockholm, Almqvist and Wiksel, 1968, p.367.

[2] Э.А. Кураев и B.C. Фадин, ЯФ 41 (1985) 733.

[3] B.H. Грибов, Л.Н. Липатов, ЯФ, 15 (1972), 781; 1218; Л.Н. Липатов, ЯФ 20 (1988) 181;

G. Altarelli and G. Parisi, Nucl. Phys. В 126 (1977) 298; Ю.Л. Докшицер, ЖЭТФ, 73 (1977), 1216-1249.

[4] E.C.G. Stueckelberg, A. Peterman, Helv. Phys. Acta, 26 (1953) 499; M. Gell-Mann, F.E. Low, Phys. Rev. 95, 5 (1954) 1300;

N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov, Doklady AN SSSR, 103 (1955) 203.

[5] A.B. Arbuzov, G.V. Fedotovich, F.V. Ignatov, E.A. Kuraev and A.L. Sibidanov, Monte-Carlo generator for e+e- annihilation into lepton and hadron pairs with precise radiative corrections, Europ. Phys. J. С 46 (2006) 689-703.

[6] R.R. Akhmetshin, E.V. Anashkin, A.B. Arbuzov et al [CMD-2 Collaboration], Measurement of e+ e—> pi+ pi- cross section with CMD-2 around rho meson, Phys. Lett. В 527 (2002) pp.161-172.

[7] R.R. Akhmetshin, E.V. Anashkin, A.B. Arbuzov et al. [CMD-2 Collaboration] (45 co-authors), Reanalysis of Hadronic Cross Section Measurements at CMD-2, Phys. Lett. В 578 (2004) pp.285-289.

[8] B.A. Матвеев, P.M. Мурадян, A.H. Тавхелидзе, Препринт ОИЯИ P2-4543, Дубна, 1969;

S.D. Drell and T.M. Yan, Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 316 [Erratum-ibid. 25 (1970) 902].

[9] M. Przybycien, Acta Phys. Polon. В 24 (1993) 1105-1114.

[10] A.A. Penin, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 010408.

[11] S. Actis, A. Arbuzov, G. Balossini et al., Quest for precision in hadronic cross sections at low energy: Monte Carlo tools vs. experimental data, Europ. Phys. J. С 66, Issue 3 (2010) 585-686.

[12] M.W. Krasny, W. Placzek and H. Spiesberger, Z. Phys. С 53 (1992) 687.

[13] В.Н. Байер, В.А. Хозе, ЖЭТФ, том 48 (1965) С.946, 1708; Ядерная физика, том 2 (1965) С.287; В.Н. Байер, В.М. Катков, B.C. Фадин, Излучение релятивистских электронов, М:Атомиздат, 1973, 375с.

[14] G. Abbiendi et al. [OPAL Collaboration], Eur. Phys. J. С 45 (2006) 1-21.

[15] Т. Kinoshita and A. Sirlin, Phys. Rev. 113 (1959) 1652.

Получено 3 декабря 2010 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 06.12.2010. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,97. Тираж 100 экз. Заказ № 57179.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Ведущее логарифмическое приближение

1.1 Формализм структурных функций электрона.

1.2 Функции расщепления высших порядков в ВЛП.

1.3 Решение уравнений эволюции КЭД

1.4 Численные оценки и обсуждение результатов.

2 Следующее за ведущим логарифмическое приближение

2.1 Следующие за ведущими поправки первого порядка.

2.1.1 Тормозное излучение мюоном при рассеянии на ядре

2.1.2 Виртуальные одно-петлевые поправки

2.1.3 Излучение дополнительного мягкого фотона

2.1.4 Излучение дополнительного жесткого фотона

2.1.5 Численные результаты и обсуждение

2.2 Следующие за ведущими поправки высших порядков

2.2.1 Факторизация в следующем за ведущим порядке КЭД

2.2.2 Виртуальные и мягкие фотонные поправки 0{а2Ь)

2.2.3 Радиационные факторы в СВЛП

3 КЭД поправки к процессам на ускорителях

3.1 Баба-рассеяние на малые углы.

3.1.1 Борновское сечение и однопетлевые поправки

3.1.2 Поправки второго порядка.

3.1.3 Оценка теоретической неопределенности

3.2 Электрон-позитронная аннигиляция и Баба-рассеяние на большие углы.

3.2.1 Аннигиляция в мюонную пару.

3.2.2 Баба-рассеяние на большие углы.

3.2.3 Аннигиляция в фотоны.

3.2.4 Аннигиляция в пионы и каоны.

3.2.5 Взаимодействие в конечном состоянии.

3.2.6 Численные результаты и оценка точности.

3.3 Метод радиационного возвращения

3.3.1 Процесс глубоконеупругого рассеяния.

3.3.2 Процесс е+е~ аннигиляции в адроны.

3.4 Метод определения бегущей a(Q2).

3.4.1 Описание метода.

3.5 Обратное тормозное излучение в процессе Дрелла-Яна

3.5.1 Учетом массы кварков.

3.5.2 Вычитание кварковых массовых сингулярностей

3.5.3 Численные результаты.

4 Прецизионное описание спектра распада мюона

4.1 Распад мюона на борновском уровне.

4.2 Полная поправка первого порядка.

4.3 Ведущие логарифмические поправки к спектру распада мюона.

4.4 Следующие за ведущими поправки второго порядка

4.5 Радиационный распад мюона.

Физика высоких энергий переживает в настоящее время критический момент. Мы близки к определению пределов применимости стандартной модели (СМ) элементарных частиц и их взаимодействий [44-46] Несмотря на то, что практически все наблюдаемые на ускорителях высоких энергий явления находятся в хорошем согласии с предсказаниями GM [47]', множество косвенных факторов указывает на близость масштаба энергий, при которых должны проявиться новые физические феномены. Поиск таких феноменов и последней неоткрытой частицы GM, бозона Хиггса, активно проводится в экспериментах на существующих и будущих ускорителях частиц, таких как Тэватрон (Tevatron), Большой Адронный Коллайдер (ВАК, LHO) и планируемый- Международный Линейный Коллайдер (ILC). С другой стороны, обнаружение новых частиц и взаимодействий возможно только в ходе детального сравнения результатов опыта с теоретическими предсказаниями, полученными* в рамках стандартной модели. Все возрастающая точность экспериментальных измерений всевозможных наблюдаемых величин в современной физике высоких энергий требует адекватного увеличения точности теоретического описания соответствующих физических явлений.

В случае физики высоких энергий обычно применяется' метод пертур-бативного разложения по константе связи, и уточнение предсказаний достигается за счет учета членов этого разложения все более высоких порядков. В частности, в квантовой электродинамике (КЭД) применяется разложение по степеням постоянной тонкой структуры а ~ 1/137, которое мы будем записывать в виде der = daBora -1- do-W + d(T(2) + d^3) + О (а4) , (1) где dcrBorn представляет борновское дифференциальное сечение в низшем порядке теории возмущений для заданного процесса, а dc^1'2,3) являются вкладами в сечение поправок первого, второго и третьего порядков теории возмущений, соответственно. С каждым шагом разложения задача становится все более и более сложной с технической точки зрения. Аналогичные разложения по константе связи сильных взаимодействий строятся и в пертурбативной квантовой хромодинамике (КХД).

Список литературы на стр. 196 начинается с перечисления работ автора по материалам диссертации, поэтому нумерация списка использованной литературы начинается с [44].

В рамках диссертации под радиационными поправками мы будем понимать вклады процессов взаимодействия частиц, имеющих в рамках теории возмущений более высокую степень константы связи а и неотличимых на эксперименте, хотя бы в какой-то части фазового пространства 4-х импульсов конечных частиц, от основного исследуемого процесса. Следует отметить, что в некоторых случаях разделение радиационных поправок и фоновых процессов, также неотличимых (обычно — частично) от основного процесса, становится условным и требует специального уточнения в каждом конкретном случае.

Развитие методов вычислений радиационных поправок высших порядков и совершенствование соответствующих компьютерных алгоритмов позволило за последние годы существенно продвинуться в точности описания ряда процессов, изучаемых экспериментально. В частности, недавно завершена программа расчетов вкладов виртуальных поправок второго порядка к процессу Баба-рассеяния (электрон-позитронного рассеяния [48]). Однако для многих процессов полное аналитическое решение подобной задачи еще не выполнено в силу серьезных технических трудностей, возникающих в первую очередь при наличии в рассматриваемом процессе нескольких энергетических масштабов, что характерно, например, для процессов электрослабых взаимодействий.

С другой стороны, в некоторых случаях оказывается достаточно учесть только численно наиболее значимые вклады высших порядков. На практике известны также попытки ограничиться теми из них, что проще найти с технической точки зрения. В частности, пользуются популярностью методы учета тех поправок, которые можно просуммировать во всех порядках, например, суммирование геометрической прогрессии вкладов в поляризацию вакуума и экспоненцирование вкладов излучения мягких фотонов [49]. Однако такие частичные суммы вкладов высших порядков далеко не всегда позволяют учесть численно действительно наиболее важные члены и избежать существенного отклонения от истинного значения оцениваемой величины.

В КЭД при высоких энергиях более последовательными и систематическими являются методы, позволяющие находить все члены, усиленные степенями так называемого большого логарифма,

А2

Ь = \п—¡г, А >т, (2) т2 где т — масса легкого заряженного фермиона, участвующего в рассматриваемом процессе, а А — характерный масштаб энергии данного процесса. Условие малости массы по сравнению с масштабом энергии характерно для экспериментов физики высоких энергий. Оно обеспечивает собственно численную значимость членов пертурбативного разложения, содержащих такие логарифмы в виде множителей. При учете этих вкладов следует различать двойное логарифмическое приближение

ДЛП или DEA), когда сечение (или амплитуда) процесса представимо в виде

ОО г daDLA = к=О ckakL2k + 0(akL2k~l) 5

3) ведущее логарифмическое приближение ( ИЛИ LLAJ, если

ОО Г d<7

LLA к=О ckakLk + О (akL к т к-1>

I Ат> X 7

4) и следующее за. ведущим логарифмическое приближение (СВЛП или: ЫЬЬА), в» котором по сравнению с ВЛП явно учтены члены следующего порядка разложения по степени большого логарифма:

ОО. da

NLLA к=О ckakLk + с1какЬк~г + 0(akLk~2) к> 2

5)

Большой^логарифм (2) можно рассматриватькакмассовую*сингулярность. Действительно, он становится бесконечно большим при- стремлении массы фермиона к: нулю. В каждой конкретной задаче полезно проводить анализ выполнения условий теоремы Киношиты-Ли-Науэнберга [50, 51]. Если они выполнены, то ответ для сечения (или ширины распада) исследуемого процесса должен быть полностью свободен от массовых сингулярностей2; Точнее, последние могут присутствовать в отдельных. вкладах,, но должны сократиться в полной: сумме. Данная теорема позволяет строить правила сумм, отражающие такие сокращения, некоторые из; них будут обсуждаться ниже. Однако, в большинстве реалистических экспериментальных ситуаций мы стараемся исследовать эксклюзивные каналы взаимодействия частиц, что приводит к нарушению условий теоремы и, соответственно, к присутствию больших логарифмов в окончательных ответах.

Отметим важное различие между радиационными поправками в КЭД и в КХД. За счет принципиальной разницы в степени инклюзивности КЭД- и КХД-наблюдаемых, обусловленной, в первую очередь, явлением конфайнмента в сильных взаимодействиях, слагаемые в пертурбативных КХД поправках, содержащие сингулярность по массе легких кварков, практически никогда явно не присутствуют в итоговых формулах. А в КЭД именно эти слагаемые обычно обеспечивают основную часть радиационных поправок.

Одним из важнейших инструментов современной теоретической физики является подход ренормализационной группы. Он базируется на

2Массовые сингулярности, возникающие при учете бегущей константы связи, не сокращаются. таком фундаментальном принципе физики, как масштабная инвариантность. В квантовой теории поля этот подход начал обсуждаться со времени пионерских работ Штюкельберга (Е. Stueckelberg) и Петермана (A. Pefcerman) [52], Гелл-Мана (М. Gell-Mann) и JToy (F.E. bow) [53]. Строгая же формулировка с анализом групповых свойств была сделана H.H. Боголюбовым и Д.В. Ширковым в статьях [54-57], и книге [58]. Обзор современного состояния этого подхода и его приложений может быть найден в [59].

Уравнения ренормализационной группы, описывающие вклады радиационных поправок, усиленных коэффициентами, содержащими логарифм масштаба факторизации, были выведены сначала в ведущем логарифмическом приближении для случая квантовой хромодинами-ки (КХД), где получили название уравнений Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи (ДГЛАП) [60-64]. Разложение вычисляемых амплитуд ведется в данном случае не только по степеням константы связи КХД, но и по степеням логарифма масштаба факторизации. Уравнения ДГЛАП успешно применялись для описания целого ряда процессов с сильными взаимодействиями при высоких энергиях, в частности - при исследовании глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах и процессов Дрелла-Яна [65, 66] в адронных столкновениях. Проведение аналитических вычислений радиационных поправок в первом порядке теории возмущений КХД позволило расширить ДГЛАП уравнения для учета следующих за ведущими (next-to-leading order, NLO) членов [67-70]. Для отдельных величин, изучаемых в КХД, найдены поправки и в более высоких порядках таких разложений, т.е. NNLO, NNNLO и т.д. Важно отметить, что помимо собственно вычислений во всех возможных более высоких порядках, со временем развивался и более глубоко осознавался и общий метод подхода ренормализационной группы в применительно к пертурбативным калибровочным теориям [71].

С практической точки зрения процедура выделения вкладов, усиленных большими логарифмами, связана с возможностью выделить кинематическую область и часть амплитуды процесса, ответственных за возникновение этих логарифмов. При этом используется метод факторизации, когда вероятностное распределение представляется в виде произведения вероятностей подпроцессов. Обычно в квантовой физике факторизация вероятностей подпроцессов возникает, когда наличие какого-либо малого (или большого) параметра в выбранной схеме вычислений позволяет подавить вклады квантовой интерференции амплитуд.

Основной целью диссертации является развитие и затем применение метода ренормализационной группы к описанию ведущих и следующих за ведущими логарифмических квантовоэлектродинамических поправок к процессам взаимодействия элементарных частиц. Основное внимание уделяется задачам, актуальным для физических программ современных экспериментов в физике высоких энергий.

Учет ведущих логарифмических КЭД поправок с помощью метода структурных функций электрона [72,73] в настоящее время хорошо известен и является одним из наиболее востребованных и широко применяемых подходов к оценке эффектов КЭД радиационных поправок в физике высоких энергий. В диссертации продолжается развитие этого метода с целью систематического учета ведущих логарифмических поправок высших порядков и их сшивки с результатами прямых пертурбативных расчетов следующих за ведущими членов.

Метод структурных функций в следующем за ведущим логарифмическом приближении КЭД был впервые применен в 1988 г. в работе [74], посвященной вычислению поправок к начальному состоянию электрон-позитронной аннигиляции (в виртуальный фотон с последующим образованием лептонов или адронов). Эта публикация оказалась исключительно важной и востребованной при анализе данных экспериментов на ЬЕР1 и ЬЕР2, поскольку там впервые была найдена полная КЭД поправка второго порядка, О (а2), за счет излучения в начальном состоянии в названном процессе. В. одном из разделов этой статьи было также продемонстрировано, что ведущая и следующая за ведущей логарифмические части полной поправки, т.е. вклады порядков О (а2£2) и Ю'(а2Ь), могут быть воспроизведены методом структурных функций электрона в следующем за ведущим логарифмическом приближении, построенном по аналогии с КХД. Однако в течение последующих 15 лет, насколько мне известно, этот метод в КЭД более не применялся вплоть до 2002 г., когда вышла наша с К. Мельниковым работа [10]. Причины столь большого перерыва, на мой взгляд, следующие. Во-первых, на фоне основного результата работы [74] развитие нового метода, который мог бы быть применен к целому классу задач, осталось просто незамеченным. Во-вторых, в работе 1988 г. авторы имели дело с инклюзивными поправками, тогда как для описания реалистических экспериментальных ситуаций необходимо дальнейшее развитие этого метода, которое будет обсуждаться ниже. С другой стороны, многие сложные задачи даже в инклюзивной постановке, над решением которых трудились целые группы исследователей, могли бы быть решены намного раньше и с меньшими затратами усилий, если бы был применен метод ренормализационной группы. Например, вычисление виртуальных поправок второго порядка к Баба-рассеянию, в первую очередь — двухпетлевых бокс-диаграмм, существенно осложнялось присутствием в задаче нескольких энергетических масштабов, включая массу электрона. Тогда, как аналогичные вычисления в КХД с безмассовыми партонами были уже давно известны. В работе [75] были рассчитаны двухпетлевые диаграммы для процесса Баба-рассеяния с безмассовыми электронами. Ясно, что при этом были потеряны слагаемые, усиленные степенями большого логарифма и потому наиболее важные с количественной точки зрения. Позднее в работах [76,77] А. Ленину удалось получить полный результат для виртуальных поправок с учетом массы электрона. И лишь недавно в [78] было явно продемонстрировано, что результат [77] воспроизводится путем добавления к [75] предсказаний, полученных с помощью разработанного в диссертации метода расчета СВЛП КЭД поправок.

Задача высокоточного теоретического описания процесса Баба-рассеяния на малые углы была очень актуальна для физической программы коллайдеров ЬЕР1 и ЬЕР2. Этот процесс использовался там для экспериментального определения светимости и, таким образом, служил как нормировочный практически3' для всех наблюдаемых. Потому точность всех результаты прецизионных проверок стандартной модели на ЬЕР в зависит от теоретической неопределенности в описании Баба-рассеяния. Тот же процесс рассеяния на малые углы планируется в качестве нормировочного для будущего линейного коллайдера, где мы надеемся достичь еще большей экспериментальной точности его измерения. Соответственно и точность теоретического описания должна вырасти.

Вообще говоря, точность теоретических предсказаний должна быть по крайней мере в несколько раз лучше, чем суммарная экспериментальная ошибка [для одной и той же наблюдаемой]. Действительно, если эти теоретическая ^Ьеог и экспериментальная (^ехр ошибки будут одинаковы, то результирующая неопределенность анализа экспериментальных данных будет т.е. из-за недостаточно высокой точности теоретических предсказаний, мы существенно теряем в результирующей точности. Например, если в экспериментальной точности доминирует статистическая погрешность, то наличие теоретической ошибки той же величины приводит к эффективной потере половины данных. Для больших современных экспериментов в области физики высоких энергий, такие потери крайне нежелательны.

Процесс Баба-рассеяние на большие углы используется для мониторинга светимости на абсолютном большинстве электрон-позитронных коллайдеров с энергиями пучков порядка нескольких гигаэлектронвольт. Потому и для этого случая необходимы как можно более точные теоретические предсказания. Кроме того, поскольку процесс е+е~ рассеяния имеет большое сечение, удобен для экспериментального наблюдения и может быть описан с высокой точностью теоретически, то он используется для поиска новых физических явлений. Действительно, многие модели (например, модели супергравитации с дополнительными размерностями пространства) предсказывают дополнительные к стандартным

3Формально, измеряемые на ЬЕР асимметрии не зависят от светимости.

6) вклады типа 4-х фермиоииых взаимодействий. Путем сравнения экспериментальных данных LEP с теоретическими предсказаниями для процесса Баба-рассеяния на большие углы были получены ограничения на параметры нескольких моделей, выходящих за рамки СМ.

Помимо того, что развитие методов расчетов радиационных поправок и их применение существенно для конкретных задач в области феноменологии элементарных частиц, на их основе можно, оказывается, предлагать новые подходы исследований. Примером тому служит предлагаемый в диссертации метод радиационного возвращения, который уже сейчас широко используется при анализе данных многих электрон-позитронных коллайдеров. Явление радиационного возвращения на резонанс наблюдалось в электрон-позитронных столкновениях, давно и подробно обсуждалось в литературе, см. например [79, 80]. Это явление состоит в том, что в процессе электрон-позитронной аннигиляции с суммарной энергией пучков, превышающей массу некоторого узкого резонанса, например, р-мезона, излучение жесткого фотона из начального состояния приводит к эффективному уменьшению энергии до резонансной. Причем сечение такого радиационного процесса помимо малого фактора а/7Г « 1/400, связанного с выходом в следующий порядок теории возмущений по сравнению с бор'новским, появляются и усиливающие факторы: большой логарифм L и отношение массы резонанса к его ширине, Mres/Fres- С развитием экспериментальной техники выросли светимости ускорителей и повысилась точность детектирования энергии и импульса тормозных фотонов. Это позволило нам использовать обсуждаемое явление и развить метод радиационного возвращения. Для этого потребовалось создать прецизионное описание ряда процессов с тормозным излучением из начального состояния с учетом радиационных поправок. Причем, за счет точности описания и высокой светимости оказалось возможным применять этот метод не только для резонансных, но вообще для всех возможных состояний, лежащих ниже по энергии4. Это позволяет, не меняя энергии работающего ускорителя, существенно расширить область доступных изучению значений кинематических переменных исследуемых процессов.

В глубоконеупругом рассеянии тормозное излучение налетающим леп-тоном из начального состояния также приводит к радиационному возвращению по энергии и расширению доступной на опыте области кинематических переменных. Идея использования этого явления при обработке экспериментальных данных коллайдера HERA в DESY (Гамбург) была предложена в 1991г. в работе [81]. Со временем точность эксперимента заметно повысилась и встал вопрос об учете следующих за ведущими радиационных поправок. В диссертации проведены расчеты полного вклада КЭД поправок в СВЛП к процессу глубоконеупругого рассеяния

4Для очень узких резонансных состояний метод работает, но и предварительных оценках надо учитывать то, что набираемая статистика пропорциональна ширине резонанса. электрона на нуклоне с излучением фотона на малый угол по отношению к оси пучка электронов.

Методы, развитые в диссертации также использовались в некоторых приложениях компьютерной системы SANC [82-85], развиваемой с целью обеспечения теоретической поддержки экспериментов на коллайде-рах высоких энергий. В частности, метод учета СВЛП был использован для согласованного описания КЭД и КХД радиационных поправок к начальному состоянию процессов типа Дрелла-Яна [2,40,86-88] в заряженном и нейтральном токах. А ведущие логарифмические поправки высших порядков учитывались для конечного состояния этого процесса. Разработанный в диссертации метод расчета КЭД поправок в СВЛП далее применялся и другими авторами, например, для уточнения описания глубоконеупругого рассеяния [89].

Метод сшивки полного результата для поправок первого порядка с ведущими логарифмическими поправками высших порядков был применен в Монте-Карло генераторе событий MCGPJ [90], который непосредственно использовался для анализа данных экспериментов, проводившихся на ВЭПП-2М (Новосибирск) [91,92].

Одной из наиболее объемных задач, решаемых в диссертации является создание прецизионного теоретического описания спектра распада мюо-на на основании развиваемых нами методов. С момента открытия мюо-на экспериментальные и теоретические исследования стали играть роль одного из краеугольных камней всего здания физики элементарных частиц. Проводимые высокоточные измерения свойств мюона позволяют проверять предсказания теоретических моделей, накладывать ограничения на значения параметров моделей, выходящих за рамки СМ, и дают возможность искать проявления новой физики [93,96]. Доступность пучков мюонов большой интенсивности и прецизионность современного экспериментального оборудования приводят к необходимости создания адекватных по точности теоретических предсказаний. Информация о структуре слабых взаимодействий извлекается из экспериментов по наблюдению дифференциальных распределений продуктов распада мюона по импульсам и энергиям. Сопоставление получаемых таким образом данных с предсказаниями стандартной модели позволяет накладывать серьезные ограничения на параметры моделей повой физики.

Цели и методы исследования

В диссертации решаются следующие основные задачи.

1) Развитие и применение подхода структурных функций электрона в ведущем логарифмическом приближении с целыо получения аналитических и численных оценок вкладов радиационных поправок для процессов взаимодействий частиц, изучаемых в современных экспериментах.

2) Расчет полных вкладов первого порядка теории возмущений к ряду процессов и разработка схемы их учета одновременно с ведущими логарифмическими поправками, получаемыми с помощью подхода peнормализационной группы.

3) Вычисление полного вклада следующих за ведущими поправок второго порядка к Баба-рассеянию на малые углы, что необходимо для высокоточного определения светимости в экспериментах на ускорителях LEP1 и LEP2.

4) Высокоточное теоретическое описание процессов электрон-позитронной аннигиляции и Баба-рассеяния в условиях коллайдеров промежуточных энергий (порядка нескольких Гэв в системе центра масс).

5) Построение прецизионного описания процесса глубоконеупругого рассеяния с детектированием фотона, излученного электроном из начального состояния под малым углом к оси пучка, что необходимо для расширения кинематической области, изучаемой на электрон-протонном коллайдере HERA (DESY, Гамбург).

6) Обоснование метода радиационного возвращения применительно к экспериментам на электрон-позитронных коллайдерах промежуточных энергий.

7) Разработка метода определения бегущей постоянной электромагнитного взаимодействия путем прецизионного изучения Баба-рассеяния на малые углы.

8) Создание высокоточного описания спектра распада мюона с учетом ведущих и следующих за ведущими поправок высших порядков.

Как отмечено выше, основным методом, применяемым в диссертации, является подход ренормализационной группы [52-54], основанный на фундаментальном физическом принципе масштабной инвариантности законов Природы. Помимо этого, при проведении теоретических построений и последующем их применении к анализу феноменологии взаимодействий частиц использовались стандартные хорошо известные методы квантовой теории поля. Важно отметить, что особенностью диссертации является, в частности, адаптация к случаю квантовой электродинамики методов, ранее разработанных для решения задач квантовой хромодина-мики.

Научная новизна и значимость

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и важными для развития современной физики высоких энергий. Приоритет автора в получении решении основных задач диссертации признается мировым сообществом, что подтверждается цитированием и использованием его результатов в дальнейших исследованиях другими учеными как в нашей стране, так и за рубежом. В диссертации существенно развит метод учета ведущих логарифмических поправок высших порядков. Разработка нового подхода, позволяющего расширить применение метода ренормализационной группы КЭД на случай следующих за ведущими логарифмических поправок, открывает новое широкое направление теоретических исследований. Значимость последнего обуславливается запросами современных экспериментов, для которых высокоточные теоретические предсказания абсолютно необходимы. Решаемые с помощью разработанных в диссертации методов задачи актуальны и значимы для современных экспериментов физики высоких энергий, проводимых как на ускорителях высоких энергий (HERA, LEP, LHC, Tevatron, ILO), так и при более низких энергиях, в частности, на электрон-позитронных коллайдерах с энергиями порядка нескольких ГэВ. Важно, что все основные теоретические результаты уже нашли применение при симуляции, анализе данных и погрешностей соответствующих экспериментов. Например, созданный на основе разработанных методов генератор событий разных процессов [90] использован при анализе данных коллаборации КМД-2 [91,92], полученных на коллайдере ВЭПП-2М в ИЯФ СО РАН (Новосибирск). Методы, развитые в диссертации для задач физики высоких энергий, оказались востребованы и для решения задачи прецизионного описания спектра распада мюона. Последний процесс является одним из базовых классических процессов для физики элементарных частиц.

Положения, выносимые на защиту сформулированы в Заключении диссертации.

Публикации и личный вклад автора

Основные результаты диссертации опубликованы в виде 34 статей в ведущих российских и зарубежных физических журналах, входящих в Перечень ВАК, см. номера 1-34 в списке литературы диссертации. Из этих работ 7 выполнены без соавторов и еще 4 — совместно с аспирантами соискателя. Помимо этого, по материалам диссертации опубликованы б работ в трудах конференций и рабочих совещаний [35-40]. Кроме того, в трех препринтах [41-43], которые доступны в электронных базах данных, содержатся некоторые дополнительные детали вычислений. Основные работы по диссертации имеют высокую цитируемость и хорошо известны специалистам.

Вклад автора во все полученные результаты является определяющим. Автором осуществлялись: формулировка задач, разработка путей и методов их решения, развитие необходимого математического аппарата, подготовка текстов публикаций, а также переписка с редакциями научных журналов и рецензентами.

В работе [5] описывается один из этапов развития компьютерной программы ZFITTER. Вклад соискателя в данную работу существенный' и состоит во внедрении в программу результатов лично выполненных им работ [13,14]. Однако сама программа ZFITTER развивалась в течение долгого времени, и в ее создание вложен труд большого коллектива ученых. Следует отметить, что в работе [23] A.B. Арбузову принадлежит основной вклад в развитие теоретического подхода и в проведение аналитических вычислений, тогда как численные результаты были получены соавтором данной работы Е.В. Земляной. Публикация [31] имеет 22 соавтора, она явилась результатом совместной работы нескольких международных групп исследователей. Личный вклад автора в основной результат этой* работы существенный, он подробно описывается в третьей Главе диссертации.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, 4-х Глав, Заключения и 2-х Приложений. В1 первой Главе представлены методы учета ведущих логарифмических поправок в КЭД. Основное внимание уделяется поправкам высших порядков теории возмущений. Уравнения эволюции КЭД для несин-глетных функций в ВЛП решаются вплоть до порядка О (а5). Основные результаты первой Главы опубликованы в работах [9,11,13,14,21,28,32]. Во второй Главе излагается систематический подход к вычислению следующих за ведущими логарифмических квантовоэлектродинамических поправок. Обсуждаются методы работы в СВЛП в первом порядке теории возмущений, и получение на этой основе поправок порядка О (а?2£) для инклюзивных и эксклюзивных процессов. Особое внимание уделяется вопросу согласования результатов, полученных в ВЛП и СВЛП, что необходимо для избежания двойного счета и оптимального выбора масштаба факторизации. Методы и подходы, обсуждаемые во второй Главе, опубликованы в статьях [3,4,9,10,12]. Третья Глава посвящена приложению разработанных методов к вычислению радиационных поправок к конкретным процессам взаимодействия элементарных частиц на коллай-дерах высоких энергий. Рассмотрены: электрон-позитронная аннигиляция [5,13,21,28,38,42], Баба-рассеяние [4,7,15,19,25-27,29-33,35,36,39,41], процессы с детектированием тормозного излучения [1,16,17,37] и обратное тормозное излучение в процессе Дрелла-Яна [2]. В четвертой Главе решается задача создания прецизионного теоретического описания спектра распада мюона [6,8-10,12,20]. В Заключении формулируются основные выводы и перечисляются результаты диссертации, выносимые на защиту. Приложения I и II содержат таблицу интегралов конволюции и сведения об основных свойствах полилогарифмов, соответственно.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Развит метод учета ведущих логарифмических квантовоэлектроди-намических поправок высших порядков к сечениям процессов взаимодействий частиц при высоких энергиях и ширинам распадов. Получены аналитические выражения для структурных функций электрона вплоть до пятого порядка теории возмущений. Построен и применен эффективный метод сшивки полных поправок первого порядка и ведущих поправок высших порядков.

2. С помощью подхода реиормализационной группы разработан систематический метод учета следующих за ведущими логарифмических квантовоэлектродинамических поправок к процессам взаимодействия частиц. При этом допускается возможность налагать ограничения на кинематические переменные не только заряженных лептонов, но и фотонов, что необходимо для расчетов в реалистических экспериментальных условиях.

3. Явление радиационного возвращения (эффективного уменьшения энергии взаимодействующих частиц за счет излучения фотона из начального состояния) исследовано в следующем за ведущим приближении. Получено прецизионное описание радиационных событий для глубо-конеупругого рассеяния. Впервые предложено и обосновано применение метода радиационного возвращения к процессам электрон-позитронной аннигиляции в адроны на коллайдерах промежуточных энергий.

41 Развитые в диссертации методы применены к созданию высокоточных теоретических предсказаний для ряда процессов, изучаемых в современных экспериментах физики высоких энергий: электрон-позитронной аннигиляции (в мюоны, адроны или фотоны), Баба-рассеяния, процессов аннигиляции и глубоконеупругого рассеяния с детектированием тормозного излучения, тормозного излучения при рассеянии на ядрах, обратного тормозного излучения в процессе Дрелла-Яна.

5. Получено прецизионное теоретическое описание спектра распада поляризованного мюона. Впервые учтены ведущие и следующие за ведущими логарифмические поправки высших порядков, а также — точная зависимость от массы электрона в выражениях для поправок первого порядка. Это позволило достичь точности предсказаний порядка 10~4, необходимой для анализа данных современных и планируемых экспериментов.

Апробация

Результаты данной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ (Дубна), Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва), на теоретических семинарах зарубежных научных центров: ЦЕРН (Женева, Швейцария), DESY (Цойтен, Германия), LNF (Фраскати, Италия), Университеты городов Парма и Турин (Италия), Лаборатория TRIUMF (Ванкувер, Канада), Университет провинции Альберта (Эдмонотон, Канада), IHEP (Пекин, Китай), КЕК (Цукуба, Япония), PSI (Виллиген, Швейцария), MPI (Мюнхен, Германия), Brookhaven Lab. (США); на ряде международных конференций и рабочих совещаний:

• 2009, Дубна, 1—4 декабря, Всероссийское совещание по прецизионной физике и фундаментальным физическим константам

•<2009, 13—17 октября, Пекин (КНР), International Workshop on е+е-collisions from phi to psi (PHIPSI09)

• 2009, 17—18 марта, Милан, Италия, Международное рабочее совещание "W-mass workshop"

• 2008, 4—8 ноября, Ettore Majorana Foundation and Centre for Scientific Culture, Erice, Sicily, Italy 12-е Международное рабочее совещание "Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research" (ACAT 2008)

• 2008, 7—15 октября, Пекин (КНР), 4-е рабочее совещание "Radiative Corrections and Generators for Low Energy Hadronic Cross Section and Luminosity"("Радиационные поправки и генераторы для адронного сечения и светимости при низких энергиях") 7-15 октября 2008 г., Пекин

КНР)

• 2008, 5—13 апреля, Фраскати, Италия, Рабочее совещание "PHIPSI08 - International Workshop on е+е- collisions from phi to psi"n 3-е рабочее совещание "Radiative Corrections and Generators for Low Energy Hadronic Cross Section and Luminosity"

• 2008, 1—6 сентября, Дубна, Международная конференция "Renormalization Group and Related Topics"

• 2006, 27 февраля — 2 марта, Новосибирск, "International Workshop on e+e- collisions from Phi to Psi"

Благодарности

Выражаю искреннюю благодарность всем свои соавторам и коллегам за плодотворное сотрудничество и помощь в работе над диссертацией. Отдельно хочу поблагодарить Д.Ю. Бардина и всю группу SANC за многолетнюю совместную работу. Выражаю искреннюю признательность Э.А. Кураеву, вместе с которым выполнены многие из работ, вошедших в диссертацию. Спасибо Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований за уютную рабочую атмосферу и обеспечение условий для исследований и общения со специалистами.

Заключение

Таким образом, в диссертации получен ряд результатов важных для развития современной теоретической^ физики высоких энергий. По сути в диссертации открыто новое направление исследований

Достоверность результатов

Вычисления, проделанные в диссертации, основываются на использовании стандартных методов квантовой теории поля. Все новые результаты проверялись на предмет соответствия (для ряда предельных случаев) известным классическим достижениям в данной области теоретической физики. Аналитические преобразования, в частности, связанные со взятием многократных интегралов, всегда контролировались численно. Во многих случаях оригинальные результаты диссертации в дальнейшем проверялись и воспроизводились другими исследователями.

1. А.В. Arbuzov, Radiative Corrections to High Energy Lepton Bremsstrahlung on Heavy Nuclei, JHEP, Vol. 01 (2008) 031 (8 pages).

2. A.B. Arbuzov and R.R. Sadykov, Inverse bremsstrahlung contributions to Drell-Yan like processes, (на англ. языке) ЖЭТФ, Т. 133 N3 (2008) С.564-570.

3. А.В. Arbuzov and E.S. Scherbakova, QED collinear radiation factors in the next-to-leading logarithmic approximation, Physics Letters B, Vol. 660 (2008) pp.37-42.

4. A.B. Arbuzov and E.S. Scherbakova, Next-to-leading order corrections to Bhabha scattering in renormalization group approach. I: Soft and virtual photonic contributions (на англ. языке), Письма в ЖЭТФ, Т. 83, N10 (2006) С.499-503.

5. A.B. Arbuzov, E.S. Scherbakova, One-Loop Corrections to Radiative Muon Decay, Physics Letters B, Vol. 597 (2004) pp.285-290.

6. A.B. Arbuzov, D. Haidt, C. Matteuzzi, M. Paganoni and L. Trentadue, The running of the electromagnetic coupling alpha in small-angle Bhabha scattering, European Physical Journal C, Vol. 34 (2004) pp.267-275.

7. A.B. Арбузов, Virtual and soft pair corrections to polarized muon decay spectrum (на англ. языке), Письма в ЖЭТФ, Т. 78 (2003) N4, С.215-218.

8. A. Arbuzov, Higher order QED corrections to muon decay spectrum, JHEP, Vol. 0303 (2003) 063 (18 pages).

9. A.B. Arbuzov, First order radiative corrections to polarized muon decay spectrum, Physics Letters B, Vol. 524 (2002) 99-106, Erratum ibid., Vol. 535 (2002) 378.

10. A.B. Arbuzov, Higher order pair corrections to electron positron annihilation, JHEP, Vol. 0107 (2001) 043 (17 pages).

11. A.B. Arbuzov, Non-singlet splitting functions in QED, Physics Letters B, Vol. 470 (1999) p.252-258.

12. A.B. Арбузов, Э.А. Кураев, Б.Г. Шайхатденов, Violation of the factorization theorem in large-angle radiative Bhabha scattering (на англ. языке), ЖЭТФ Т. 115 (1999) р.392-403, ibid Поправка, Т. 134, вып. 4(10) (2003) С.960.

13. Н. Anlauf, A.B. Arbuzov, Е.А. Kuraev, N.P. Merenkov, QEB corrections to deep inelastic scattering with tagged photons at HERA, Physical Review D, Vol. 59 (1999) 014003 (6 pages).

14. H. Anlauf, A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, Tagged photons in BIS within the next-to-leading accuracy, JHEP, Vol. 10 (1998) 013 (17 pages).

15. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov and L. Trentadue, Hadronic cross-sections in electron positron annihilation with tagged photon, JHEP, Vol. 9812 (1998) 009 (13 pages).

16. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, B.G. Shaikhatdenov, Second order contributions to elastic large-angle Bhabha scattering, Modern Physics Letters A, Vol. 13 (1998) p.2305-2316.

17. A.B. Arbuzov, O. Krehl, E.A. Kuraev, E.N. Magar, B.G. Shaikhatdenov, Radiative corrections to the background of fj, —> e^y decay, Physics Letters B, Vol. 432 (1998) p.421-426.

18. A.B. Arbuzov, V.A. Astakhov, A.V. Fedorov, G.V. Fedotovich, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, Radiative Corrections for Pion and Kaon Production at e+e~ colliders of energies below 2 GeV, JHEP, Vol. 10 (1997) 006 (13 pages).

19. I. Akushevich, A. Arbuzov and E. Kuraev, Compton tensor with heavy photon in the case of longitudinally polarized fermion // Physics Letters B, Vol. 432 (1998) p.222-229.

20. A.B. Arbuzov, V.A. Astakliov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, E.V. Zemlyanaya, Emission of Two Hard Photons in Large-Angle Bhabha Scattering, Nuclear Physics B, Vol. 483 (1997) p.83-94.

21. A.B. Арбузов, Э.А. Кураев, Н.П. Меренков и Л. Трентадуэ, Virtual and Soft Real Pair Production in Large-Angle Bhabha Scattering (на англ. языке), Ядерная Физика, Т. 60 (1997) р.673-682.

22. A.B. Arbuzov, G.I. Gach, V.Yu. Gontchar, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Small-Angle Bhabha Scattering at LEP1. Analytical Results for Wide-Narrow Angular Acceptance., Physics Letters B, Vol. 399 (1997) p.312-320.

23. N.P. Merenkov, A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, L. Trentadue, Analytical calculation of small-angle Bhabha cross-section at LEP1) Acta Physica Polonica B, Vol. 28 (1997) p.491-507.

24. A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov, L.G. Trentadue, Small-Angle Electron-Positron Scattering, Physics Letters B, Vol. 394 (1997) p.218-224.

25. A.B. Arbuzov, G.V. Fedotovich, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, V.D. Rushai, L. Trentadue, Large Angle QED Processes at e+e~ colliders at energies below 3 GeV, JHEP, Vol. 10 (1997) 001 (21 pages).

26. A.B. Arbuzov, V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Small-Angle Bhabha Scattering with a Per Mille Accuracy, Nuclear Physics B, Vol. 485 (1997) p.457-502.

27. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov, L. Trentadue, Hard Pair Production in Large-Angle Bhabha Scattering, Nuclear Physics B, Vol. 474 (1996) p.271-285.

28. А.Б: Арбузов, Э.А. Кураев, Баба-рассеяние на малые углы, ЭЧАЯ, Т. 27 (1996) с.1247-1320; •

29. А.Б. Арбузов,. Э: А. Кураев, Н:П. Меренков и JI. Трента дуэ. Pair Production in Small-Angle Bhabha Scattering (на англ.: языке),. ЖЭТФ, Т. 108 вып. 4(10) (1995) с.1164-1178.

30. А.В. Arbuzov, On a novel equal'time relativistic quasipotential equation for two scalar particles, Nuovo Cimento A, Vol. 107 (1994) p.1263-1274.

31. Публикации по материалам диссертации?

32. И. Материалы конференций и рабочих совещаний

33. H. Anlauf, A. Arbuzov et all (24 co-authors), S: Jadach, O. Nicrosini (conveners), Event Generators for Bhabha Scattering,. hep-ph/9602393], ©ERN» Yellow- Report 96-01, vol.2, .1996, p.229:

34. A. Arbuzov, U. Baur, S. Bondarenko, C. Carloni Calame, S. Dittmaier, M. Kr'amer, G. Montagna, O. Nicrosini, R. Sadykov, A. Vicini, D.

35. I. Неопубликованные препринты

36. А.В. Arbuzov, LABSMC: Monte Carlo event generator for large-angle Bhabha scattering, arXiv:hep-ph/9907298.

37. A.B. Arbuzov, Light pair corrections to electron positron annihilation at LEP/SLC; arXiv:hep-ph/9907500.

38. A.B. Arbuzov, Tables of convolution integráis, arXiv:hep-ph/0304063.1. Использованная литература

39. S.L. Glashow, "Partial symmetries of weak interactions", Nucl. Phys. 22 (1961) 579.

40. S. Weinberg, "A model of leptons'.', Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.

41. A. Salam, in "Elementary particle theory", ed. N. Svartholm, Stockholm, Almqvist and Wiksel, 1968, 367.

42. D.Y. Bardin, G. Passarino, "The standard model in the making: Precision study of the electroweak interactions", Oxford, UK: Clarendon (1999) 685 p.

43. H.J. Bhabha, "The scattering of positrons by electrons with exchange on Dirac's theory of the positron", Proc. Roy. Soc. A 154 (1936) 195.

44. D.R. Yennie, S.C. Frautschi and H. Suura, "The infrared divergence phenomena and high-energy processes", Annals Phys. 13 (1961) 379.

45. T. Kinoshita, "Mass Singularities Of Feynman Amplitudes", J. Math. Phys. 3 (1962) 650-677.

46. T.D. Lee, M. Nauenberg, "Degenerate Systems and Mass Singularities", Phys. Rev. 133 (1964) B1549-B1562.

47. E.C.G. Stueckelberg, A. Peterman, "La normalisation des constantes dans la theorie des quanta", Helv. Phys. Acta, 26 (1953) 499-520.

48. M. Gell-Mann, F.E. Low, "Quantum electrodynamics at small distances", Phys. Rev. 95, 5 (1954) 1300.

49. N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov, "On the renormalization group in quantum electrodynamics", Doklady AN SSSR, 103 (1955) 203.

50. N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov, "Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмущений", ДАН СССР, 103 (1955) 391.

51. Д.В. Ширков, "Двухзарядная ренормализационная группа в псевдоскалярной мезонной теории", ДАН СССР, 105 (1955) 972.

52. N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov, "Charge renormalization' group in quantum* field theory", Nuovo Cim. 3 (1956) 845-637.

53. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, М., ГИЗТТЛ, 1957.

54. D.V. Shirkov, "Evolution of the Bogoliubov renormalization group", In Mitra, A.N. (ed.): Quantum field theory, 25-58 arXiv:hep-th/9909024].

55. V.N. Gribov, L.N. Lipatov, "Deep inelastic ер p scattering in perturbation theory", ЯФ 15 (1972) 781.

56. B.H. Грибов, Л.Н. Липатов, "e+e~ pair annihilation and deep inelastic ep scattering in perturbation theory", ЯФ 15 (1972) 781; 1218.

57. Л.Н. Липатов, "Партонная модель в теории возмущения", ЯФ 20 (1988) 181.

58. G. Altarelli and G. Parisi, "Asymptotic freedom in parton language", Nucl. Phys. В 126 (1977) 298-318.

59. Ю.Л. Докшицер, "Calculation of the structure functions for deep inelastic scattering and e+ e- annihilation by perturbation theory in quantum chromodynamics", ЖЭТФ, 73 (1977) 1216.

60. B.A. Матвеев, P.M. Мурадян, A.H. Тавхелидзе, "Рождение мюон-ных пар в сильных взаимодействиях: асимптотические правила сумм", Препринт ОИЯИ Р2-4543, Дубна, 1969.

61. S.D. Drell, Т.М. Yan, "Massive lepton pair production in hadron-hadron collisions at high-energies", Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 316 Erratum-ibid. 25 (1970) 902].

62. G. Curci, W. Furmanski and R. Petronzio, "Evolution of parton densities beyond leading order: the nonsinglet case", Nucl. Phys. В 175 (1980) 27.

63. E.G. Floratos, C. Kounnas, R. Lacaze, "Higher Order QCD Effects In Inclusive Annihilation And Deep Inelastic Scattering", Nucl. Phys. В 192, 417 (1981).

64. W. Furmanski, R. Petronzio, "Singlet Parton Densities Beyond Leading Order", Phys. Lett. В 97 (1980) 437.

65. R.K. Ellis and W. Vogelsang, "The evolution of parton distributions beyond leading order: the singlet case", arXiv:hep-ph/9602356.

66. G. Grunberg, "Renormalization Scheme Independent QCD And QED: The Method Of Effective Charges", Phys. Rev. D 29 (1984) 2315.

67. E.A. Kuraev, V.S. Fadin, "On Radiative Corrections To E+ E- Single Photon Annihilation At High-Energy", ЯФ 41 (1985) 733-742.

68. M. Skrzypek, "Leading Logarithmic Calculations Of QED Corrections At Lep", Acta Phys. Polon. В 23 (1992) 135-172.

69. F.A. Berends, W.L. van Neerven and G.J.H. Burgers, "Higher Order Radiative Corrections At Lep Energies", Nucl. Phys. В 297 (1988) 429 Erratum-ibid. В 304 (1988) 921].

70. E.W.N. Glover, J.B. Tausk and J.J. Van der Bij, "Second order contributions to elastic large-angle Bhabha scattering", Phys. Lett. В 516 (2001) 33.

71. A.A. Penin, "Two-loop photonic corrections to massive Bhabha scattering", Nucl. Phys. В 734 (2006) 185-202.

72. A.A. Penin, "Two-loop corrections to Bhabha scattering", Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 010408.

73. T. Becher, K. Melnikov, "Two-loop QED corrections to Bhabha scattering", JHEP 0706 (2007) 084.

74. V.N. Baier, V.A. Khoze, "Radiation accompanying two particle annihilation of an electron-positron pair", Sov. Phys. JETP 21 (1965) 1145.

75. B.H. Байер, В.А. Хозе, "Photon emission in muon pair production in electron positron collisions", ЖЭТФ 48 (1965) 946.

76. M.W. Krasny, W. Placzek and H. Spiesberger, "Determination of the longitudinal structure function at HERA from radiative events", Z. Phys. С 53 (1992) 687.

77. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin et al., SANCscope v. 1.00, Comput. Phys. Commun. 174 (2006) 481 Erratum-ibid. 177 (2007) 623]; http://sanc.jinr.ru, http://pcphsanc.cern.ch.

78. A. Arbuzov et al, "SANCnews: Sector 4f, charged current", Eur. Phys. J. С 51 (2007) 585.J

79. A. Andonov, A. Arbuzov et al, "Standard SANC Modules", Comput. Phys. Commun. 181 (2010) 305.

80. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko et al., "SANC press release", Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 576.

81. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko et al, "One-loop corrections to the Drell-Yan process in SANC. I: The charged current case", Eur. Phys. J. С 46-(2006) 407 Erratum-ibid. С 50 (2007) 505].

82. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko et al., "One-loop corrections to the Drell-Yan process in SANC. (II) . The Neutral current case", Eur. Phys. J. С 54 (2008) 451

83. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko et al, "NLO QCD corrections to Drell-Yan processes in the SANC framework", Phys. Atom. Nucl. v.73, No 10 (2010) pp. 1810-1818.

84. J. Blumlein and H. Kawamura, "0(alpha**2 L) radiative corrections to deep inelastic e p scattering", Phys. Lett. B.553 (2003) 242.

85. A.B. Arbuzov, G.V. Fedotovich, F.V. Ignatov, E.A. Kuraev and A.L. Sibidanov, "Monte-Carlo generator for e+e- annihilation into lepton and hadron pairs with precise radiative corrections", European Physical Journal С 46 (2006) 689-703.

86. R.R. Akhmetshin, E.V. Anashkin, A.B. Arbuzov et al CMD-2

87. Collaboration., "Measurement of e+ e--У pi-}- pi- cross section with

88. CMD-2 around rho meson", Physics Letters В 527 (2002) pp. 161-172.

89. R.R. Akhmetshin, E.V. Anashkin, A.B. Arbuzov et al CMD-2 Collaboration] (45 co-authors), "Reanalysis of Hadronic Cross Section Measurements at CMD-2", Physics Letters В 578 (2004) pp.285-289.

90. W. Fetscher and H.J. Gerber, "Muon decay parameters", Eur. Phys. J. С 15 (2000) 316.

91. W. Fetscher and H. J. Gerber, "Precision measurements in muon and tau decays", Adv. Ser. Direct. High Energy Phys. 14 (1995) 657.

92. W. Fetscher, H. J. Gerber and K. F. Johnson, "Muon Decay: Complete Determination of the Interaction and Comparison with the Standard Model", Phys. Lett. В 173 (1986) 102.

93. Y. Kuno and Y. Okada, "Muon Decay and Physics Beyond the Standard Model", Rev. Mod. Phys. 73 (2001) 151.

94. R.P. Feynman, "Very high-energy collisions of hadrons", Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 1415.

95. J.D. Bjorken and E.A. Paschos, "Inelastic Electron Proton And Gamma Proton Scattering, And The Structure Of The Nucleon", Phys. Rev. 185 (1969) 1975.

96. E.A. Kuraev, "Radiative tail in pi(e2) decay and some remarks on mu e universality", JETP Lett. 65 (1997) 127.

97. V.B. Berestetskii, Е.М. Lifshitz, and L.P. Pitaevskii, Quantum Electrodynamics, 2nd ed., Oxford, Pergamon Press, 1982.

98. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya et al, "SANCnews: Sector f f b b", Comput. Phys. Commun. 177, 738 (2007).

99. G.P. Lepage, "A New Algorithm For Adaptive Multidimensional Integration", J. Comput. Phys. 27 (1978) 192.

100. A.A. Akhundov, D:Y. Bardin, G. Mitselmakher and A.G. Olszewski, "About The Electromagnetic Corrections To The Polarizabilities Of A Charged Pion", HO 42 (1985) 671.

101. W.A. Bardeen, A.J!. Buras, D.W. Duke, and T. Muta, "Deep Inelastic Scattering Beyond The Leading Order In Asymptotically Free Gauge Theories", Phys. Rev. D 18 (1978) 3998.

102. R.K. Ellis, W.J. Stirling and B.R. Webber, QCD And Collider Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 1996) and references therein.

103. S. Catani, "The singular behaviour of QCD amplitudes at two-loop order", Phys. Lett. B 427 (1998) 161.

104. W. Beenakker, F.A. Berends and S.C. van der Marck, "Large Angle Bhabha Scattering", Nucl. Phys. B 349 (1991) 323.

105. V.N. Baier, V.S. Fadin and V.A. Khoze, "Quasireal electron method in high-energy quantum electrodynamics", Nucl. Phys. B 65, 381 (1973).

106. G. 't Hooft and M.J.G. Veltman, "Scalar One Loop Integrals", Nucl. Phys. B 153 (1979) 365.

107. LEP Electroweak Working Group, A Combination of Preliminary LEP Electroweak Results from the 1995 Summer Conferences, 1995, CERN report LEPEWWG/95-02.

108. Neutrino Counting in Z Physics at LEP, G. Barbiellini et al., L. Trentadue (conv.), G. Altarelli, R. Kleiss and C. Verzegnassi eds., CERN Report 89-08 (1989).

109. V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, N.P. Merenkov and L. Trentadue, "Generalized eikonal representation of the small angle e+ e-scattering amplitude at high-energy", HO 56 (1993) 145.

110. S. Jadach, E. Richter-Was, B. P. L. Ward and Z. Was, "Analytical O(alpha) distributions for Bhabha scattering at low angles", Phys. Lett. В 253 (1991) 469.

111. R. Budny, "Weak effects in e+e~-*?+e"", Phys.Lett. B58 (1975) 338.

112. D.Y. Bardin, W. Hollik and T. Riemann, "Bhabha Scattering With Higher Order Weak Loop Corrections", Z. Phys. С 49 (1991) 485.

113. M. Bohm, A. Denner and W. Hollik, "Radiative Corrections to Bhabha Scattering at High-Energies. 1. Virtual and Soft Photon Corrections", Nucl. Phys. В 304 (1988) 687.

114. W. Beenakker, F.A. Berends and S.C. van der Marck, "Small Angle Bhabha Scattering", Nucl. Phys. В 355 (1991) 281.

115. M. Cacciari, A. Deandrea, G. Montagna et al, "Bhabha scattering at LEP: Small angle", Phys. Lett. В 271 (1991) 431.

116. M. Caffo, H. Czyz and E. Remiddi, "Bhabha Scattering At High-Energy", Nuovo Cim. A 105 (1992) 277.

117. K.S. Bjoerkevoll, P. Osland and G. Faeldt, "Two loop ladder diagram contributions to Bhabha scattering. 2: Asymptotic results for high-energies", Nucl. Phys. В 386 (1992) 303.

118. W. Beenakker, B. Pietrzyk, "Contribution of terms containing Z boson exchange to the luminosity measurements at LEP", Phys. Lett. В 296 (1992) 241.

119. W. Beenakker, B. Pietrzyk, "Bhabha scattering at very small angles at LEP", Phys. Lett. В 304 (1993) 366.

120. M. Cacciari, G. Montagna, O. Nicrosiniei al, "Sabspv: A Monte Carlo Integrator For Small Angle Bhabha Scattering", Comput. Phys. Commun. 90 (1995) 301.

121. P.B. Половин, "Радиационные поправки к рассеянию электрона на электроне и позитроне", ЖЭТФ 31 (1956) 449.

122. M.L.G. Redhead, "Radiative Corrections to the Scattering of Electrons and Positrons by Electrons", Proc. Roy. Soc. A220 (1953) 219.

123. F.A. Berends, K.J.F. Gaemers and R. Gastmans, "Hard photon corrections for Bhabha scattering", Nucl. Phys. В 68 (1974) 541.

124. S. Actis, A. Arbuzov, G. Balossini et al., "Quest for precision in hadronic cross sections at low energy: Monte Carlo tools vs. experimental data", Europ. Phys. J. С 66 (2010) 585-686.

125. S. Eidelman and F. Jegerlehner, "Hadronic contributions to g-2 of the leptons and to the effective fine structure constant alpha (M(z)**2)", Z. Phys. C 67 (1995) 585.

126. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov and N. P. Merenkov, "High energy behavior of total cross-sections for e-f- e- scattering and the slope at q-squared = 0 of the Dirac form-factor", Phys. Lett. B 47 (1973) 33.

127. H. Cheng and T. T. Wu, "High-energy collision processes in quantum electrodynamics, ii", Phys. Rev. 182 (1969) 1868.

128. V.G. Gorshkov, "Electrodynamical processes in opposed high-energy particle beams", Usp. Fiz. Nauk 110 (1973) 45.

129. R. Barbieri, J. A. Mignaco, E. Remiddi, "Electron form-factors up to fourth order. 1.", Nuovo Cim. A 11 (1972) 824-864.

130. R. Barbieri, J. A. Mignaco and E. Remiddi, "Electron form factors up to fourth order. 2", Nuovo Cim. A 11 (1972) 865.

131. J.A.M. Vermaseren, "The FORM project", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 183 (2008) 19;

132. J.A. Vermaseren, New features of FORM, math-ph/0010025.

133. H. Cheng and T.T. Wu, Expanding Protons: Scattering at High Energies, London, England, 1986.

134. V.N. Baier, E.A. Kuraev, V.S. Fadin and V.A. Khoze, "Inelastic Processes In Quantum Electrodynamics At High-Energies", Phys. Rept. 78 (1981) 293.

135. V.M. Budnev, I.F. Ginzburg, G.V. Meledin and V.G. Serbo, "The Two photon particle production mechanism. Physical problems. Applications. Equivalent photon approximation", Phys. Rept. 15 (1975) 181.

136. N.P. Merenkov, "Production of hard e-f- e- pairs in e p collisions at high-energies", 51© 50 (1989) 750.

137. R. R. Akhmetshin et al., "Measurement of phi meson parameters with CMD-2 detector at VEPP-2M collider", Phys. Lett. B 364 (1995) 199.

138. S. Eidelman, "Physics at VEPP-2000", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 162 (2006) 323.

139. A. Aloisio et al, "KLOE, A General Purpose Detector for DA$NE", preprint LNF-92/019 (IR); also in The DA&NE Physics Handbook Vol.2, 1993.

140. P. Franzini, "The moun gyromagnetic ratio and Rh at DA$NE", in The Second DAQNE Physics Handbook, L. Maiani, G. Pancheri, N. Paver (eds.), Vol.2, p.471, 1995.169., H.L. Ni et al, "The luminosity monitor of BES", Nucl. Instrum. Meth. A 336 (1993) 542.

141. S.L. Olsen, "Status of BEPC-II and BES-III", AIP Conf. Proc. 1182 (2009) 402-405.

142. F.A. Berends, R. Kleiss and S. Jadach, "Radiative Corrections To Muon Pair And Quark Pair Production In Electron-Positron Collisions In The Z(0) Region", Nucl. Phys. B 202 (1982) 63.

143. D.Y. Bardin and' L. Kalinovskaya, "QED corrections for polarized elastic mu e scattering", hep-ph/9712310; FORTRAN code ßela.

144. F.A. Berends, K.J.F. Gaemer, R. Gastmans, "Hard Photon Corrections For The Process E+ E- Mu+- Mu-+", Nucl. Phys. B 57 (1973) 381.

145. E.A. Kuraev, G.V. Meledin, "QED distributions for hard photon emission in e+e~ p+pT gamma", Nucl. Phys. B 122 (1977) 485.

146. M.V. Terentiev, "Double-logarithm asymptotics of the e-plus + e-minus3 gamma annihilation", OT 9 (1969) 1212.

147. F.A. Berends and R. Gastmans, "Hard Photon Corrections For E+ E

148. Gamma Gamma", Nucl. Phys. B 61 (1973) 414.

149. S.I. Eidelman and E.A. Kuraev, "E+ E- Annihilation Into Two And Three Photons At High-Energy", Nucl. Phys. B 143 (1978) 353.

150. F.A. Berends, R. Kleiss, P. De Causmaecker et al., "Multiple Bremsstrahlung In Gauge Theories At High-Energies. 2. Single Bremsstrahlung", Nucl. Phys. B 206 (1982) 61.

151. G. Gamow, "Zur Quantentheorie des Atomkernes", Z. Phys. 51 (1928) 204.

152. A. Sommerfeld, Atmobau und Spektralinien, Bd. 2. Braunschweig: Vieweg 1939.

153. А.Д. Сахаров, "Interaction of an electron and positron in pair production", ЖЭТФ 18 (1948) 631.

154. I.T. Todorov, "Quasipotential equation corresponding to the relativistic Eikonal approximation", Phys. Rev. D 3 (1971) 3251.

155. B.C. Фадин, В.А. Хозе, "Production of a pair of heavy quarks in e+ e- annihilation in the threshold region", ЯФ 48 (1988) 487.

156. V.S. Fadin, V.A. Khoze and T. Sjostrand, "On the threshold behavior of heavy top production", Z. Phys. С 48 (1990) 613.

157. D.Y. Bardin, W. Beenakker and A. Denner, "The Coulomb singularity in off-shell W pair production", Phys. Lett. В 317 (1993) 213.

158. J.H. Yoon and C.Y. Wong, "Relativistic modification of the Gamow factor", Phys. Rev. С 61 (2000) 044905.

159. J.H. Yoon and C.Y. Wong, "Relativistic generalization of the Gamow factor for fermion pair production or annihilation", J. Phys. G 31 (2005) 149.

160. O.P. Solovtsova, Yu.D. Chernichenko, "Threshold resummation S-factor in QCD: the case of unequal masses", Phys. Atom. Nucl. 73 (2010) 1612.

161. A.B. Arbuzov, D.Y. Bardin and A. Leike, "Analytic final state corrections with cut for e+ e—> massive fermions", Mod. Phys. Lett. A 7 (1992) pp.2029-2038, Erratum-ibid., Vol. 9 (1994) p.1515].

162. L.W. Mo and Y.S. Tsai, "Radiative Corrections To Elastic And Inelastic E P And Mu P Scattering", Rev. Mod. Phys. 41 (1969) 205.

163. H. Spiesberger, (convener), et al., Radiative Corrections at HERA, in Physics at HERA, W. Buchm'uller, G. Ingelman, (eds.), DESY, Hamburg, 1991.

164. A.A. Akhundov, D.Y. Bardin, L. Kalinovskaya and T. Riemann, "Model independent QED corrections to the process ep —> eX", Fortsch. Phys. 44 (1996) 373.

165. S. Jadach, W. Placzek and M. Jezabek, "How To Handle QED Bremsstrahlung Effects At Hera By Photon Tagging", Phys. Lett. В 248 (1990) 417.

166. D.Y. Bardin, L. Kalinovskaya and T. Riemann, "Deep inelastic scattering with tagged photons at HERA", Z. Phys. С 76 (1997) 487.

167. Т. Ahmed et al Hl Collaboration], "Experimental Study Of Hard Photon Radiation Processes At Hera", Z. Phys. С 66 (1995) 529.

168. L. Favart, M. Gruwe, P. Marage et al., "On the possibility of measuring F(L)(x,Q2) at HERA using radiative events", Z. Phys. С 72 (1996) 425.

169. HI collaboration: talk no. 404 given by M. Klein at the ICHEP98 conference, Vancouver, Canada, July 1998, and contributed paper no. 535.

170. A. Aktas et al. HI Collaboration], "Measurement of the proton structure function F2 at low Q**2 in QED Compton scattering at HERA", Phys. Lett. В 598 (2004) 159.

171. R.P. Feynman, Photon-hadron interactions, W.A. Benjamin, Inc., Reading, Massachusetts, 1972.

172. N.P. Merenkov, "A Study of the process of emission of two hard photons in e p collisions at high-energies", ЯФ 48 (1988) 1782.

173. H. Abramowicz, A. Levy, "The ALLM parameterization of cr(tot)(7*p): An Update", Preprint DESY-97-251, hep-ph/9712415.

174. V.N. Baier, V.S. Fadin and V.A. Khoze, "Photon bremsstrahlung in collisions of high-energy electrons", Sov. Phys. JETP 24 (1966) 760.

175. V.N. Baier, V.S. Fadin and V.A. Khoze, "Radiation effects in experiments with colliding electron beams", Sov. Phys. Dokl. 12 (1967) 464 ДАН СССР 174 (1968) 323].

176. S. Catani and L. Trentadue, "Fermion pair exponentiation in qed", JETP Lett. 51 (1990) 83.

177. S.I. Dolinsky et al, "Summary of experiments with the neutral detector at e+e~ storage ring VEPP-2M", Phys. Rep. 202 (1991) 99.

178. S. Binner, J.H. Kuhn, К. Melnikov, "Measuring sigma(e+ e- -> hadrons) using tagged photon", Phys. Lett. В 459 (1999) 279.

179. A.B. Arbuzov, V.V. Bytev and E.A. Kuraev, "Radiative muon pair production in high-energy electron positron annihilation process", Письма в ЖЭТФ, Т.79 N12 (2004) С.729-733.

180. I. Levine et al TOPAZ Collaboration], "Measurement of the electromagnetic coupling at large momentum transfer", Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 424.

181. J.R. Musser et al TWIST Collaboration., "Measurement of the Michel Parameter p in Muon Decay", Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 101805.

182. A. Gaponenko et al TWIST Collaboration., "Measurement of the Muon Decay Parameter delta", Phys. Rev. D 71 (2005) 071101.

183. N. Danneberg et al, "Muon decay: Measurement of the transverse polarization of the* decay positrons and its implications for the Fermi coupling constant and time reversal invariance", Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 021802.

184. K.R. Lynch MuLan Collaboration., "The Mulan Experiment: The Muon Lifetime At 1 Part Per Million", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 189 (2009) 15.

185. B. Lauss, "Fundamental measurements with muons View from PSI", Nucl. Phys. A 827- (2009) 401C.

186. Y. Okada, K. -i. Okumura, Y. Shimizu, "Mu -> e gamma and mu -> 3 e processes with polarized muons and supersymmetric grand unified theories", Phys. Rev. D61 (2000) 094001'.

187. T. van' Ritbergen and R. G. Stuart, "On the precise determination- of the Fermi coupling constant from the muon lifetime", Nucl. Phys. B' 564 (2000) 343.

188. S.M. Berman, A. Sirlin, "Some Considerations On The Radiative Corrections to Muon And Neutron Decay", Ann. Phys. 20 (1962) 20.

189. W.J. Marciano and A. Sirlin, "Electroweak Radiative Corrections To Tau Decay", Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 1815.

190. A. Sirlin, "Radiative Corrections In The SU(2)-L X U(l) Theory: A Simple Renormalization Framework", Phys. Rev. D 22 (1980) 971.

191. W.J. Marciano, "Fermi Constants and "New Physics"", Phys. Rev. D 60 (1999) 093006.

192. T. Kinoshita and A. Sirlin, "Radiative Corrections To Fermi Interactions", Phys. Rev. 113 (1959) 1652.

193. R.E. Behrends, R.J. Finkelstein and A. Sirlin, "Radiative Corrections To Decay Processes", Phys. Rev. 101 (1956) 866.

194. S.M. Berman, "Radiative corrections to muon and neutron decay", Phys. Rev. 112 (1958) 267.

195. W.J. Marciano, G.C. Marques and N. Papanicolaou, "On Infrared Problems In Muon Decay", Nucl. Phys. B96 (1975) 237.

196. M. Fischer, S. Groote, J. G. Korner and M. C. Mauser, "Leptonic mu and tau decays: Mass effects, polarization effects and O(alpha) radiative corrections", Phys. Rev. D 67, 113008 (2003).1. M (B) In Semileptonic B

197. Y. Nir, "The Mass Ratio M (C) / Decays", Phys. Lett. B221 (1989) 184.

198. A. Pak and A. Czarnecki, "Mass effects in muon and semileptonic b -> c decays", Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 241807.

199. I. Beltrami et ai, "Muon decay: measurement of the integral asymmetry parameter", Phys. Lett. B 194 (1987) 326.

200. B. Bartos, E.A. Kuraev and M. Secansky, "Radiative corrections toi muon decay in leading and next to leading approximation for electron spectrum", Phys. Part. Nucl. Lett. 6 (2009) 365-367.

201. C. Anastasiou, K. Melnikov, F. Petriello, "The electron energy spectrum in muon decay through O(cr)", JHEP 0709 (2007) 014.

202. T. van Ritbergen and R. G. Stuart, "Complete 2-loop quantum electrodynamic contributions to the muon lifetime in the Fermi model", Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 488.

203. M. Steinhauser, T. Seidensticker, "Second order corrections to the muon lifetime and the semileptonic B decay", Phys. Lett. B 467 (1999) 271.

204. M. Roos and A. Sirlin, "Remarks on the radiative corrections of order alpha-squared to muon decay and the determination of g(mu)", Nucl. Phys. B 29 (1971) 296.

205. L. Michel, "Interaction Between Four Half Spin Particles And The Decay Of The Mu Meson", Proc. Phys. Soc. A 63 (1950) 514.

206. C. Bouchiat and L. Michel, "Theory of mu-Meson Decay with the Hypothesis of Nonconservation of Parity", Phys. Rev. 106 (1957) 170.

207. T. Kinoshita and A. Sirlin, "Polarization of Electrons in Muon Decay with General Parity-Nonconserving Interactions", Phys. Rev. 108 (1957) 844.

208. A.I. Davydychev, K. Schilcher, H. Spiesberger, "Hadronic corrections at 0(alpha**2) to the energy spectrum of muon decay", Eur. Phys. J. C 19 (2001) 99.

209. A.M. Sachs and A. Sirlin, in Muon Physics, edited by C. Wu and V. Hughes; Academic Press, NY, 1977, Vol.2, p.49.

210. M. Quraan et al, "A precision measurement ^of muon decay", Nucl. Phys. A663 (2000) 903.

211. N.L. Rodning et al, "TWIST The TRIUMF Weak Interaction Symmetry Test: The Michel parameters from mu+ decay", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 98 (2001) 247.

212. A.B. Arbuzov, E.A. Kuraev, N.P. Merenkov and N.V. Makhaldiani, "Five lepton decay modes of mu and tau mesons", Письма в ЖЭТФ 57 (1993) 746-749.

213. E. Frlez et al, "Design, commissioning and performance of the PIBETA detector at PSI", Nucl. Instrum. Meth. A 526 (2004) 300.

214. A. Devoto and D.W. Duke, "Table Of Integrals And Formulae For Feynman Diagram Calculations", Riv. Nuovo Cim. 7N6 (1984) 1-39.

215. S. Wolfram, Mathematica A system for doing mathematics by computer, Addison - Wesley Publishing Company Inc., 1998.

216. K.S. Kolbig, J.A. Mignaco, and E. Remiddi, "On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation", В. I. T. 10 (1970) 38.

217. Lewin, L. (1981) Polylogarithms and Associated Functions, North-Holland-New York. ISBN 0-444-00550-1.