Вероятностные свойства примеси в нелинейных и турбулентных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

1 Поведение примеси в нелинейной среде.

1.1 Система уравнений для пассивной примеси в нелинейной среде.

1.2 Уравнение илотности примсси в нелинейной среде.

1.3 Выражение для илотности в случае гауссова потенциала начального поля скоростей.

1.4 Концентрация пассивной примеси.

1.5 Система уравнений для концентрации активной примеси в бюргерсовом поле скоростей.

1.6 Решение линейной неоднородной системы уравнений диффузии.

1.7 Модель процесса горения.

1.8 Краткий обзор результатов 1-й главы.

2 Диффузия падающей частицы в турбулентной среде.

2.1 Законы движения частиц.

2.2 Вывод уравнения для плотности вероятностей

2.3 Вихревое поле скорости.

2.4 Потенциальное поле скорости среды.

2.5 Общий случай потенциального и соленоидального поля.

2.6 Условия применимости диффузиоиного уравнения.

2.7 Краткий обзор результатов 2-й главы.

3 Турбулентная локализация примеси.

3.1 Связь между эйлеровыми и лаграижевыми статистиками

3.2 Средняя плотность сгустков.

3.3 Стационарная средняя плотность.

3.4 Вероятностный подход.

3.5 Механизм локализации

3.6 Краткий обзор результатов 3-й главы.

Актуальность темы и содержание работы. Анализ нелинейных гидродинамических процессов важен для понимания различных явлений в физике, астрономии, биологии и других областях. В частности, одним из направлений их изучения можно считать исследование моделей движения примеси в турбулентных и нелинейных средах, а также влияние самих примесей на эти среды. Построение математических моделей, безусловно, требует индивидуального подхода в каждом конкретном случае, однако можно говорить об общепризнанных уравнениях, отражающих реальную картину происходящего как, например, уравнение Навье-Стокса. Однако его общее решение неизвестно. Это привело к поиску других моделей нелинейных явлений, подчиняющихся более простым уравнениям.

Одним из наиболее известных является уравнение Бюргер-са [1]. Область применения его оказалась довольно обширной. Предложенное изначально как модель, описывающая поле скоростей турбулентности в одномерном варианте, оно ей не соответствовало в силу ряда причин. Одна из которых - реальная турбулентность не может быть одномерной. Многие ведущие исследователи турбулентности, как например Крсйчнан в работах [2], отмечали это несоответствие. Однако уравнению Бюргсрса было найдено применение и в других областях. Так Хохлов [3] показал, что оно описывает нелинейные акустические волны. Позднее для исследования нелинейных волн его использовали Гурбатов, Малахов и Саичев в работах [9], [74].

Кроме того, в астрофизике Зельдович, Шандарин, Гурбатов, Саичев и другие использовали трехмерный вариант уравнения Бюргсрса в качестве основного уравнения для построения модели слипания крупномасштабного распределения вещества во Вселенной [32], [35]. В данном случае трехмерное уравнение Бюргерса позволило приблизиться к объяснению формирования ,,блинов"и "иитей,,из примеси в турбулентных средах [18], [26]. Это явилось новым подходом к идеям, предложенным Зельдовичем в работах [30], [31], где он рассматривает изначально для моделирования расширяющейся Вселенной хорошо известную под его именем аппроксимацию.

Кроме универсальности, причиной популярности уравнения Бюргсрса служит подстановка Хопфа, позволяющая получить его точное решение. Кроме того, практический интерес представляют так называемые родственные уравнения [4], или когда например в левой части уравнения Бюргерса присутствует зашумленный источник [5], [6], [7]. Аналитически получить их решения довольно сложно, но проводились и проводятся численные исследования, как например [8] - [17], где исследуются различные частные случаи.

В реальных процессах часто больший интерес представляет не столько распределение скоростей, сколько распределение концентрации или плотности примеси.

Поэтому первая глава данной работы посвящена поиску решения неоднородного уравнения Бюргерса и родственных ему уравнений для концентрации пассивной и активной примеси. В диссертации предлагаются точные решения для подобных нелинейных уравнений. Рассматривается и анализируется влияние активной примеси на окружающую среду на примере модельных уравнений, описывающих процесс горения.

Во второй главе данной работы уделяется внимание статистическим свойствам примеси в турбулентной среде. Анализ диффузии частиц примеси в турбулентной среде важен для решения некоторых технических задач, например впрыскивания топлива в двигатель внутреннего сгорания, а также решения экологических и метеорологических проблем, таких как формирование облаков и движение аэрозолей.

Довольно часто, например в работах [50]- [60], при рассмотрении движения примеси считают, что скорость ее равна скорости окружающей среды. Однако, в реальных ситуациях значительную роль играют эффекты, связанные с инерционностью движения частиц и силой тяжести. Как например, аэрозоль или капли дождя в атмосфере. Это может повлиять не только на законы турбулентной диффузии, но и на статистику самой окружающей среды. Так в [61] Махеу численным моделированием показал, что средняя скорость частиц в турбулентной среде больше скорости падения в покоящейся среде, а в [51] Сзапас1у численно установил, что в соленоидальном поле отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии стремится к 1/2. В диссертации удалось получть аналитический вывод данного факта, провести исследование коэффициентов продольной и поперечной диффузии [64] и обобщить полученные результаты. С этой целью рассматривалась задача о падающей частице в случайном поле скоростей с учетом сил гравитации и вязкого трения.

Что касается результата Махеу, во второй главе показано, что увеличение средней установившейся скорости частиц примеси происходит в потенциальном поле скоростей только при определенных соотношепих между параметрами движения, характеризующими инерционность частицы и характерный масштаб турбулентной среды.

В третьей главе исследуется механизм локализации примеси. Влияние турбулентности на распределение примеси представляет широкий практический интерес, например в задачах, связанных с метеорологическими [50], [89], [63], [71], [79]- [85], экологическими, океанографическими [66], [67], [70], а также производственными проблемами.

Среди возникающих явлений особое внимание в последних исследованиях уделяется таким эффектам, как перемежаемость и локализация. Локализация примеси состоит в образовании квазирегулярных сгустков, плотность которых превышает среднюю плотность примеси, распыленной в турбулентной среде. Локализация возникает, если где т^С^, г) гидродинамическая составляющая скорости движения примеси. В диссертации дана вероятностная интерпретация процесса локализации, а также рассмотрен механизм локализации.

Цель работы. При проведении исследований, в диссертационной работе были поставлены следующие цели:

1. Получить решение уравнений, родственных уравнению

Бюргерса, для концентрации пассивной и активной примеси. Проанализировать полученные решения на примемере моделирования процесса горения.

2. Вывести уравнение для совместной плотности вероятности распределения координат и скорости частиц примеси в турбулентной среде в приближении свободного падения. Сравнить полученные теоретические результаты с численными исследованиями, проведенными ранее Махеу и Сзапас1у.

3. Провести анализ статистических характеристик координаты и скорости примеси в приближении свободного падения.

4. Получить уравнение для средней плотности сгустков в турбулентной среде и, применяя вероятностный подход, дать объяснение механизму локализации примеси.

Методы решения. При решении поставленных задач использовались методы решения дифференциальных уравнений [48], [49], преобразование Фурье, а также методы теории вероятностей и статистической радиофизики [38], [74], [65].

Научная новизна работы.

1. Получено решение уравнений, родственных уравнению Бюргерса для концентрации пассивной и активной примеси.

2. Выведено уравнение для совместной плотности вероятности распределения координат и скорости для примеси в нелинейной среде в приближении свободного падения. Дана теоретическая трактовка проведенных ранее численных экспере-ментальных исследований статистик координаты и скорости примеси в турбулентной среде.

3. В диффузионном приближении получен средний профиль плотности сгусков примеси в турбулентных средах. Дана классификация возможных локализаций примеси в зависимости от степени дивергентности движения частиц примеси, исследован механизм ее локализации.

Практическая ценность.

Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при решении экологических роблем, а также при моделировании метеорологических процессов.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы 134 страниц, включая 28 рисунков и список литературы из 93 наименования.

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получено точное решение уравнения для концентрации пассивной и активной примеси в бюргерсовом поле скоростей. При этом были сделаны следующие предположения: коэффициенты рассатриваемого уравнения, такие как диффузия примеси, химическое взаимодействие ее с окружающей средой и источник примеси - постоянные величины; коэффициенты вязкости и диффузии стремятся к нулю и равны между собой.

Было проанализировано решение для концентрации примеси в зависимости от соотношений между параметрами. Рассмотрены три частных случая соотношений между параметрами.

2. На основе полученных результатов проведено исследование? модели процесса горения. Проанализированы возможные варианты течения данного процесса при различных соотношениях параметров и выявлены следующие факты: на начальном этапе примесь, имеющая в начальный момент времени гауссово распределение, начинает !,стягиваться"в начало координат (точку максимума начального рапределения). Это приводит к "взрыву", когда концентрация примеси в центральной точке распределения устремляется в бесконечность, и далее распределение становится неоднородным. При этом появляется несколько областей наибольшей концентрации, которые "разбегаются "от ценра. Результаты исследования представлены в виде графиков.

3. Выведено уравнение для плотности вероятности координаты и скорости частицы, падающей в турбулентной среде, с учетом сил вязкого трения. При этом сделаны следующие предположения: падение частицы рассматривалось в турбулентном статистически изотропном и однородном иоле; флуктуационпые компоненты координаты и скорости частицы малы но сравнению с характерными масштабом и скоростью турбулентности.

4. При решении полученного уравнения рассматривался случай соленоидального и потенциального полей скорости среды. Кроме того, процесс надеиия частицы считался установившимся, что позволило ограничится анализом стационарного уравнения.

5. Получены законы зависимости продольной и поперечной диффузии от скорости падения для случая потенциального и соленоидального поля скоростей среды, а также при их совместном влиянии. Для исследования полученных результатов рассматривался корреляционный тензор турбулентной среды, имеющий в случае вихревого поля поперечную гауссову компоненту, а для потенциального поля - продольную гауссову компоненту. Результаты исследования показали, что для соленоидального поля отношение поперечного коэффициента диффузии к продольному стремится к 1/2 с ростом средней установившейся скорости падения. Это подтвердило результаты экспериментов, проделанных ранее СяапаЛу. Для потенциального поля наоборот, отношение; поперечного коэффициента диффузии к продольному стремится к нулю с ростом средней установившейся скорости падения. Для обобщенного случая отношение продольного и поперечного коэффициентов диффузии зависит не только от средней установившейся скорости падения, но и от соотношения между характерными скоростями турбулентности потенциального и соленоидальиого нолей среды. Было установлено также, что коэффициенты диффузии примеси не зависят от инерционности частицы для обоих типов полей. б. Получено выражение для отклонения от средней установившейся скорости падения частицы в случае потенциального ноля скоростей. Показано, что средней установившейся скорость падения частицы изменяется за счет сжимаемости среды, а в случае соленоидальиого ноля отклонение от нее равно нулю в рамках данной модели. Исследование значения отклонения скорости в зависимости от инерционности частицы и средней установившейся скорости падения показал, что для частиц с большой инерционностью и маленькими скоростями падения, что может быть, например в вязкой среде, оно отрицательно, а для частиц с большой инерционностью и с большими установившимися среди ими скоростями падения -оно положительно, т.е. происходит незначительное увеличение скорости за счет взаимодействия со средой. Это позволило уточнить результаты численного эксперимента, проделанного Махеу, уверждавшего только о наличии ускорения частиц с большой инерционностью в турбулентном иоле скоростей. Кроме того, ускорение частиц ограничено областью применимости выведенных формул для дисперсии скорости частицы.

7. В диффузионном приближении выведено уравнение средней плотности сгустков, олучено его решение для стационарного случая. Анализ распределения расстояний между частицами позволил сделать предположение о форме сгустков. Были найдены области изменения параметров распределения расстояний между частицами, при которых сгустки обладают определенными свойствами: а) Изотропные сгустки, имеющие характерный размер, получили название "круги". Это соответствует случаю суперлокализации. б) Сгустки, имеющие вытянутую форму, получили название "нити ". Они обладают характерной толщиной, а длина может простираться до внешнего масштаба турбулентности. в) Протосгустки, приобретающие причудливую форму и обладающие; характерным размером, равным внешнему масштабу турбулен тности, по всем направлениям.

8. Предложен механизм, позволяющий объяснить природу локализации примеси. Суть его заключается в следующем: расположенные рядом частицы "сваливаются"в "потенциальную яму"для профиля скорости примеси.

Заключение.

1. G. M. Burgers The nonlinear diffusion equation. // Dordrecht: Reidel, 1974.

2. R.H. Kraichnan Lagrangian -history statistical theory for Burgers equation.// Phys. Fluid., 19G8. V.ll, №3. P.2G5.

3. P.B. Хохлов О нелинейных волновых процессах. //УФН. 19G5. Т.87, т. С.17.

4. Е. Barkai Fractional Fokker-Plank equation, solution, and application //Phys. Review E, V. G3. P. 04G118

5. O. Zikaiiov, A Thess Statistics of turbulence in a generalized random-force-driven Burgers equation // Phys. Fluids. May 1997 (5). V. 9 P.13G5-13G7.

6. G. H. Forgedby, A. Brandenburg Solutions in the noisy Burgers equation. //Phys. Review. 2002. E 6G. P. 01G604.

7. M. Verma Intcrmittency in the Burgers and KPZ equations with correlated noise. // chao-dyn/9904021. 12. Apr 1999.

8. S.A. Boldyrev Burgers turbulence, interinittency, and non universality. //Phys. Plasmas. V.5. №5. May 1998. P. 1G81-1687.

9. Гурбатов СМ., Демин И.Ю., Саичеа А. И. О свойствах турбулентности Бюргерса на стадии взаимодействия ударных фронтов. //Радиофизика, Т. XXVII. 1984. С.1079-1081.

10. V. S. L'vov, I. Procaccia, A. L. Faivhall Anomalous scaling in fluid mechanics: The case of passive scalar. // Pliys. Rev. E. 1994. 50. P. 4G84-4704.

11. T.Passot, E. Vazcucz-Semadcni Density probability distribution in one-dimensional polytropyc gas dynamics. // Pliys. Rev. E. 1998. 58. 4. P. 4501-4510.

12. A. Yu. Karnt'.nshchik, I. M. Khalatnikov, M. Martellini Singularities in solutions of Burgers equation. //Pliys. Letters A. 1997. V. 232. P. 87-90.

13. S.N. Gurbatov, A.V. Troussov. The decay of multiscale signals a deterministic model of Burgers turbulence. // Physica D. 2000. V. 45. P. 47-G4.

14. T. Elpcrin, N. Klcorin Isotropic and anisotropic spectra of passive scalar fluctuations in turbulent fluid flow //Pliys. Review E. 1996. V. 53. №4. P. 3431 -3441.

15. Shigeo Kida Asymptotic properties of Burgers turbulence //Л. Fluid Mech. 1979. V. 93. part 2. P. 337 -377.1G| J. Вес, K. Khanin Forced Burgers equation in unbonded domain // (arXiv:nlin.CD/0210001 vl 1 Okt 2002).

16. Hiroslii Nakazava. Probabilistic aspect of equation of motion of forced Burgers and Navier Stokes turbulence //Progress of theoretical physics. 1980. V. 64. №5 P 1551-1563.

17. Frish U., J. Bee, D. Villone. Singularities and distribution of density in the; Burgers equations // (arXivxond-mat/9912119v2 26 Sep 2000).

18. Frish U. and Parisi G. In Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics and Climate Dynamics,// edited by Ghil M., Benzi R., and Parisi G. (North Holland, Amsterdam, 1985).

19. S.N. Gurbatov, A. I. Saichev Inertia! nonlinearity and chaotic motion of particle flux.// CHAOS 1993. V. 3. P.333-358.

20. E. Stanley Random Fluctuations and Pattern Growth,// edited by Stanley E. and Ostrowsky N. (Kluwer, Dordrecht, 1988).

21. Prudence, N. Foster and Alaan P. Boss Triggering Star Formation With Stellar Ejecta. //The Astrophysical Jornal. 1996. September 10. V. 486 P. 784-796

22. M. Veryassola, D. Dubrullcs, U. Frisch, A. NoullezBurgcr's equation, Devil's staircases and the mass distribution.//Astron.Astrophys. 1994. V. 284. P.325-356.

23. E. Hopf. The partial different equation ut 4- uux = uxs. // Coinmun. Pure apple. Math., 1950. V.3. P.201-230.28. .7. Cole. One a quasi-linear parabolic equation occuring in aerodynamics //Quart. Appl. Math. 1951. V. 9. P. 225

24. C. Bcndej', S. Orsziuj. Advanced Mathematical Method for Scientists and Engineers,// Mc Graw-Hill. 1978

25. Ya.D. Zaldovich. Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations // Astron. Astrophys. 1970. V.5. P.84-89

26. S.F. Shandarin, Ya.D. Zeldomch. //Rev.Mod.Phys. 1989. V.61. P.62332J S.N. Gurbatov, A.I. Saichcv . Probability distribution and spectra of potential hydrodynamic turbulence. // Radiophys. Quant. Electr. Izv. VUS, Radiophys 1999. V. 27, №4, 303. P.456.

27. А.И. Сапчсо, С.А. Лапипова. Суперсингулярные функции и их применение в механике //Изв.Вузов. Радиофизика. 2001. XLIV. т С.700-709

28. С.А. Лапипова, А.И. Саичсв. Статистические свойства некоторых решений нелинейных гидродинамических уравнений в 2-D пространстве.// Труды (пятой) научной конференции но радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А Андронова, 2001. С. 300.

29. Saichcv A.I., Woyczynski W.A. Density Fields in Burgers and KdV-Biirgers Turbulence// SI AM Л. Appl. Math. 199G. V. 56. N 4, P. 1008-1038.

30. A.I. Saichev, W.A. Woyczynski Distributions in the physical and engeneeririg science. Vol. 1 "Distributional and fractal calculus, integral transforms and wavelets" // Birkhauser, Boston 1997. P.30

31. A.I. Saichcv, W.A. Woyczynski. Evolution of Burgers Turbulence in Presence of External Forces. // Л. Fluid. Mecli. 1997. V.331. P.314-343.

32. Saichev A.I., Woyczynski W.A. Advection of passive and reactive tracers in multi-dimensional Burgers' velocity field// Physica D. 1997. V. 100. P. 119-141.

33. А.И. Саичев, С.A. JIanunoea. Плотность и концентрация частиц пассивной иримеси в бюргерсовом поле ско-ростей.//Изв Вузов. 1998. T. XL/9 С. 1144- 1154.

34. Э.Л. Айне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // ОНТИ, НКТП Государственное научно-техническое издательство Украины. 1939.

35. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. // "Наука". М. 1971. С. 83-84.

36. G.T. Csanady., Turbulent diffusion in the Environment, // Dordrecht: Reidel. 1980. С. 1.

37. G.T. Csanady. Turbulence diffusion of Heavy particles in the Atmosphere. //J. Atmosph.Sci. 1963. V.20. P.201-208.

38. M. B. hichcnko. // Rev. Mod. Pliys. 1992. V. 64. P. 961.

39. B. Lutchi, U. Burr, A.Gyr, W.Kinzclbah, A. Tsinober. Velocity derivatives in turbulence flow from 3D- PTV measuments.//

40. B.H. К ошалев. С. A. JIanunoea, А.И. Спичем, И.С. Сапунов. Баллистическая модель аномальной диффузии.// Труды третьей научной конференции но радиофизике. 1999. С. 269-270.

41. P. Olla Particle trasport in a random velocity field with Lagrangian statistics. // (arXivmlin.CD/0201003 vl 3 Jan 2002).5G. В. И. Кляцкии, А. И. Саичев,// ЖЭТФ. 1997. Т. 111. Вып. 4. С. 1297.

42. И. С. Жукова, А. И. Саичев. // ПММ. 1997. V. 61. Bi.iii. 5. С. 788.

43. Т. Elpcrin, N. Klecorin, I. Royachevskii, D. Sokolov. Strange behavior of a passive scalar in a linear velocity field.// Pliys. Rev. E. 1995. V. G3. P. 04G305 1-7.

44. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Royachcvskii, D. Sokolov. Mean field theory for a passive scalar advected by a turbulent velocity field.// Phys. Rev. E. 1995. V. G4. P. 026304 1-9.

45. GO. A. I. Saichcv, I. S. Zhukova. //In Lecture Notes in Physics. • Ed. by S. Benkadda, G. M. Zaslavsky. Springer. Berlin. 1998. V. 511. P. 353.

46. Gl. M.R. Maxv.y The gravitational settling of aerosol particles in homogeneous turbulence and random flow fields. //.J.Fluid Mecli. 1987. V. 174. P. 441-4G5.

47. G2. А. С. Монин, A. M. Яглом, Статистическая гидродинамика. Ч. 1. Наука. Москна. 19G5. С. 1.

48. G3. Т. Elpcrin, N. Klccorin, I. Royachcvskii, D. Sokolov. Mean -field theory for a passive scalar advected by turbulence velocity fields.// Phys. Rev. E. 1995. V. 64. P. 02G304 1-5.

49. E.3. Грибова, И.С. Жукова, С.А. Лапинова, А.И. Саичев, Т. Эльперин. Особенности диффузии падающей частицы. //ЖЭТФ. 2003. Т. 123, Вып. 3. С. 543-551.

50. G5. С.М. Рытое, Ю.А. Кравцов, Б. И. Татарский. Впадение в статистическую радиофизику. Случайные поля.// М. "Наука", 1978, С. 48.

51. GG. J.F.R. Gowcr, K.L.Dcnmaii, and R.J. Hoylcr ,// Nature; (London). 1980. V. 288. P. 157.

52. G7. W.I. Goldburg, J.R. Cress?nan, Z. Vores, D. Eckhardt, J. Schumaher Turbulence in a free surface. // Pliys. Rev. E. 2001. V. G3 P. 0G5303.

53. G8. T. Elpcriu, N. Kleorin Turbulent barodiffusion, turbulent termal diffusion and large- scale instability in gases. //Pliys. Review E. 1997. V. 55. №3. P. 2713 -2721.

54. G9. W.I. Goldburg, J.R. Crcssman, Z. Voros, D. Eckhardt, J. Schumahcr Turbulence in a free surface. // Pliys. Rev. E. 2001. V. G3 P. 0G5303.

55. E.Wcinan, Yu.G.Rykov, Ya.G. Sinai. Generalized variational principle;«, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics. //Commun. Math. Pliys. 199G. V.177. P.349-380.

56. T. Elperin, N. Kleeorin, V. L'vov, I. Rogachevskii, D. Sokolov. Strong and weak clustering of inertial particles in turbulent flows.// (arXivnilin.CD/0202048 vl 22 Feb 2002)

57. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Гидродинамика. // M. "Наука". 198G. С. 209.

58. П.А.Либби, Ф.А. Вильяме. Турбулентные точении реагирующих газов.// М."Мир". 1983. С. 37.

59. С.Н.Гурбатов, А.Н. Малахов, А.И. Саичсв.// Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. //М. "Наука". 1990. С. 54.

60. A.I.SaicJicv, W.A. Woyczynski. In The IMA Volumes in Mathematics and its Applications.// Ed. by W.A. Woyczynski. Springer. New York. 1996. V. 85. P. 353.

61. В.И. Кляцкип. Стохастические уравнения глазами физика. // 2001. Физматлит. M. С.280.

62. R.H. Kraichmm. Pliys. Rev. Lett. 1994. V.72. P. 1016.

63. И. С. Жукова, А.И. Саичсв, Т. Эльпсрии Эффект турбулентной локализации примеси.( в печати )

64. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Rogachcvskii. Dynamics of the passive scalar in compressible turbulent flow: large scale pattens and small-scale fluctuations. // Pliys. Rev. E. 1995. V. 52. №. P. 2617.

65. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Rogachcvskii. Formation of inhomogeneties in two phase low -Machnumber compressible turbulent fluid flows. // Inernational Jornal of Multiphase Flow. 1998 V. 24. P. 1163- 1182.

66. T. Elpcrin, N. Klccorin, I. Rogachcvskii, D. Sokolov. Turbulent transport of atmospheric aerosols and formation of large scale structures.// Pliys. Chem. Earth (A) V. 25. №12 P. 797-803.

67. Т. Elрciin, N. Klceorin, V. L'vov, I. RogacAcvskii, D. Sokolov. The clastering instability of inertia] particles spatial distribution in turbulence flow.// (arXiv:nlin.CD/0204022 vl 12 Apr 2002)

68. S. Ott, Ya. Mann. An experimental investigation of the relative diffusion of particle pairs in three dimensional turbulent flow. //J. Fluid. Mecli. 2000. V. 422. P. 207-223.

69. D. Eckhardt, J. Schumaher. Turbulence and passive scalar trasport in a free-slip surface. // Pliys. Rev. E. 2001. V. G4. P. 016314-1-10.

70. E. Balkovsky, G. Falkovich, A. Fouxon. Interinitten Distribution of inertial particles in turbulence flows.// Pliys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 2790.

71. А.И. Саичео, С.A. JIanunoea, Е.З. Грибова, И.С. Жукова. Исследование диффузионного уравнения примеси в турбулентной среде в приближении свободного падения.// Труды шестой научной конференции по радиофизике, 2002, с. 310-311.

72. M.R. Махеу,Oil the advection of spherical and noil spherical particles in non-uniform flow //Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 1990. V. 333. P. 289-307.

73. M.R. Maxey, Equation of motion for a small rigid sphere in nonuniform flow //Phys. Fluids. April 1983. V. 26 (4) P. 883-889.

74. И.С. Жукова, А.И. Саичев, //Прикладная Математика и Механика. 2000. Т. 64. С. 624.

75. S.N. Gurbatov, A.N. Malakhov, A.I. Saichev, Nonlinear random waves and turbulence in nondispersive media: waves, rays and particles. //Manchester University Press, Manchester 1991 P. 55.

76. В. И. Кляцкин, А. И. Саичев, //ЖЭТФ. 1997. Т. 111, вып. 4, 1297.

77. С.А. Лапипова, А.И. Саичев. Анализ поведения частицы в сжимаемой турбулентной среде.// Шестая научная конференции по радиофизике, 2003.

78. S.A. Lapinova, A. I. Saichev. Statistical properties of falling particles diffusion.// "Avila Seminar on Noneqiiilibrium Phenomena and Phase Transitions in Complex Systems"(Avila, Spain September 23 30, 2002 г.).