Весовые алгебры на локально компактных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им М. В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи УДК 517 986

Кузнецова Юлия Николаевна

ВЕСОВЫЕ АЛГЕБРЫ НА ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ

ГРУППАХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

ООЗ165522

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель. доктор физико-математических наук,

профессор А Я Хелемский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е М Семенов

доктор физико-математических наук, профессор С А Григорян

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института имени В А Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 21 марта 2008 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, г Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 21 февраля 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических

наук, профессор

И H Сергеев

Общая характеристика работы Актуальность темы

Тема диссертации является вполне классической и восходит к 30-м годам прошлого века Впервые алгебры суммируемых с весом функций и рядов рассматривались в работах А Берлинга1 и И М Гельфанда2 Основные свойства классических весовых алгебр с показателем р — 1 можно считать известными Однако алгебры с показателем р > 1, а также на абстрактных группах изучены относительно мало, и потому тема остается актуальной и в настоящее время

По определению весовым пространством на локально компактной группе G с показателем р ^ 1 называется пространство

= {/ / 1/ИР < °о}

JG

с нормой |[/||р,ш = ||/w||p = (f \fw\p)l!p Мы всегда предполагаем, что w > О

Хорошо известны достаточные условия, при которых данное весовое пространство образует алгебру относительно свертки При р = 1 это полумультипликативность1,2

w{st) < w{s)w{t), (1)

при р > 1 — следующее неравенство3 (поточечно локально почти всюду)

«Г« * w~q < w(2)

где q — сопряженный показатель к р, так что l/p+1/g = 1 Связь между этими условиями проясняется, если ввести семейство функций

( \ -

Ы8) ~ w{s)w(s-4y s,í е G Тогда неравенства (1) и (2) записываются в единой форме4

sup |Ы|9 < 1, teG

1Beurbng A Sur les intégrales de Founer absolument convergentes IX Congres Math Scand, Helsinki, 1938, 345-366

2Gelfatid I XJber absohrt konvergente tngonometnsche íteihen vmd Integróle Матем с6 9 (51) (1941), 51-66

3Wermer J Oía dass of normed nngs Ark Mat 2 (1954), Hf 6, 537-551

^Никольский H К Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа (§ 3 2) Труды МИАН им Стехлова 120 (1974)

где q= оо при р = 1

Условия (1) и (2) являются необходимыми при р = 1, но не при р > 1, см ниже изложение главы 1 диссертации

Случай, когда группа G представляет из себя вещественную прямую, исследован достаточно полно Для таких алгебр описаны пространства максимальных идеалов2, условия регулярности по Шилову5 Показано, что в отсутствие регулярности всегда есть идеалы, не содержащиеся в ядре никакого характера6, в случае веса w{t) = exp(a|tj) описаны все такие примарные идеалы7

Детально исследованы также аналогичные алгебры функций на классических полугруппах вещественной полупрямой К+ и на натуральных числах Известен критерий8 для веса алгебры £f (К+), исследуются гомоморфизмы и дифференцирования этих алгебр9'10 Получены (при некоторых ограничениях на вес) критерии11'12 того, что данный набор функций порождает все весовое пространство (К+) (не обязательно замкнутое относительно свертки) Особенно интересен случай быстро убывающего веса «/(t)1/* —> 0, í —> оо, при котором алгебра £j"(]K+) становится радикальной13 (на группе этот случай невозможен), так как автоморфизмы и дифференцирования такой алгебры автоматически непрерывны14 Известно также15, что любая сепарабельная коммутативная алгебра (без единицы и без делителей нуля, в предположении континуум-

бКоммутативная алгебра называется регулярной, если ее элементы как функции на пространстве максимальных идеалов разделяют точки и замкнутые множества. Критерий для алгебр ¿J'(R) см Beurhng А Оп the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math 81 (1949), 225-238

6Domar Y Translation mvariant subspaces of weighted С and L? spaces Math Scand 49 (1981), 133-144

7КоренблюмБ И Обобщение тауберовой теоремы Винера и гармонический анализ быстро растущих функций, Труды моек мат общ 7 (1958), 121-148

8Grabmer S Weighted convolution algebras as analogues oí Banach algebras of power senes Radical Banach algebras and aatomatic contmmty Proc Gonf Long Beach, 1981, Lect Notes Math 975 (1983), 295-300

"Ghahramam F Homomorphisms and denvations on weighted convolution algebras, J London Math Soc S2-21 (1980), 149-161

l0Ghahramani F , Grabmer S The W theory of standard homomorphisms, Pacific J Math 168 №1 (1995), 49-60

Гурарий В П , Левин Б Я О полноте системы сдвигов в пространстве Ь(0, оо) с весом, Зал мех -мат фак и Харьков мат общ 30 (1964), 178-185

12Borichev А , Hedenmalm Н Completeness of translates ш weighted spaces on the half-line, Acta Math 174 (1995), 1-84

13Банахова алгебра А называется радикальной, если в ней нет максимальных (односторонних) модулярных идеалов

14 Jewell N Р, Smclajr А М Epimorphisms and denvations on í1 (0,1) are contmuous, Bull London Math Soc 8, 135-139 (1976)

15Esterle J Homomorphismes discontmuous des algebres de Banach commutatives separables, Studia Math 66, 119-141 (1979)

гипотезы) вкладывается как подалгебра в любую радикальную алгебру вида £?( Ж+)

При этом об алгебрах на абстрактных группах известно значительно меньше Получены необходимые условия16 для веса алгебры L™(G), описаны мультипликаторы таких алгебр17, исследованы свойства, вытекающие из инвариантности алгебр £p(G) относительно сдвигов18 Однако, например, необходимые условия16 являются критерием лишь для полунепрерывного веса, что заставляет некоторых авторов19 требовать непрерывности веса в самом определении алгебр Ci(G) В случае р > 1 задавался вопрос18 даже о существовании алгебр £p(G) на группах экспоненциального роста, например, на свободной группе с двумя образующими Таким образом, представляется важным продолжить изучение весовых алгебр именно на общих локально компактных группах

Цель работы.

Построить весовые алгебры £p(G) на возможно более широком классе локально компактных групп G, улучшить известные теоремы о свойствах таких алгебр, применить полученные результаты к исследованию свойств различных алгебр с заданной линейно-топологической структурой

Научная новизна.

Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем

1 Получен критерий для веса произвольной алгебры (G)

2 Построены весовые алгебры с показателем р > 1 на любой ег-компактной группе Показано, что ст-компактность является необходимым условием существования весовых алгебр на абелевых группах

3 Обобщены на случай р > 1 условия регулярности коммутативных алгебр Cp{G), известные ранее для случая р — 1 Построены регулярные весовые

"Edwards R Е The stability of weighted Lebesgue spaces Trans Amer Math Soc 93 (1959), 369-394

"Gaudry G I Multipliers of weighted Lebesgue and measure spaces Proc London Math Soc (3) 19 (1969), 327-340

lsFeichtmger H G Gewichtsfunktionen auf lokalkompakten Gruppen, fttzier Osterr Akad Wtss AU II, 188, № 8-10 (1979), 451-471

lsDales H G , Lau A T -M The second duals of Beurling algebras, Memoirs of the AMS177, № 836 (2005)

алгебры на любой сг-компактной абелевой группе

4 Рассматривается класс М(Х) всех спектров коммутативных полупростых банаховых алгебр с единицей, изоморфных данному банахову пространству X Доказано, что

1) для пространства X со счетным безусловным базисом класс М(Х) содержит все счетные бесконечные компакты,

2) класс является максимально возможным для сепарабельных банаховых пространств и совпадает с классом всех бесконечных метри-зуемых компактов

Методы исследования

В диссертации используются различные методы функционального и абстрактного гармонического анализа, общей топологии В доказательстве критерия для веса используется теория дифференцирования на абстрактных пространствах с мерой Критерий регулярности опирается на теоремы Пэли и Винера об аналитических функциях

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер Ее методы и результаты могут найти применение в дальнейшем исследовании групповых алгебр

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре «Алгебры анализа» (неоднократно в 2004-2007 г, руководитель семинара — д ф -м н , профессор А Я Хелемский), на международных конференциях «Банаховы алгебры-2005» (г Бордо, 3-13 июля 2005) и «Банаховы алгебры-2007» (г Квебек, 3-14 июля 2007), на XXX Дальневосточной математической школе-семинаре (г Хабаровск, 23-27 августа 2005 г), а также на семинаре М Фрагу-лопулу Афинского университета (15 мая 2007)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 5'работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на разделы) и списка литературы, насчитывающего 64 наименований Общий объем диссертации — 102 страницы

Краткое содержание диссертации

Во введении приведен краткий исторический обзор по тематике работы, изложены цели и методы исследования, а также структура диссертации

В первой главе рассматриваются общие (некоммутативные) весовые алгебры £р (G) В §1 1, 1.2 приводятся определения и доказываются различные вспомогательные утверждения В §1.3 рассматриваются условия (1), (2), при которых пространство (G) (при р = 1 и р > 1 соответственно) является алгеброй относительно свертки Достаточность этих условий очевидна, но довольно сложен обратный вопрос следует ли справедливость этих неравенств из того факта, что пространство £p{G) является алгеброй7

Введем одно определение Веса w\, vu2 называются подобными, если с некоторыми константами С\, локально почти всюду выполняется неравенство

Ci < ^ < Са (3)

1У2

Подобные веса задают одно и то же весовое пространство и эквивалентные нормы на нем

Для случая р — 1 первый результат в направлении необходимости условия (1) был получен Р Эдвардсом, который доказал16, что если полунепрерывная сверху функция w на локально компактной группе G задает сверточную алгебру Ci [G), то неравенство (1) выполняется для подобного w веса Позднее Грабинер20 доказал тот же, по существу, факт для вещественной прямой и лю-

20Grabmer S Weighted shifts and Banach algebras of power series Amer J Math 97, № 1 (1975), 16-42

бой измеримой функции w В диссертации доказан критерий в наиболее общем виде

Теорема 1 (1.3.1) Пусть w > 0 — измеримая функция на локально компактной группе G Следующие условия равносильны

(г) вес w подобен непрерывной полумультипликативной функции,

(гг) Cf(G) — алгебра,

(ггг) при некотором р, 1 ^ р < оо, справедливо включение jCf(G) * CVP(G) С £»(G)

При р > 1 условие (2) является необходимым в некоторых естественных частных случаях21,22, но, вообще говоря, это не критерий Фрике23 построил пример семейства алгебр (N) на полугруппе натуральных чисел, вес которых не удовлетворяет условию (2). Первые контрпримеры на группах (единичной окружности и вещественной прямой) построены автором (примеры 1 3 4, 1 3 5)

Интересен также вопрос, можно ли вес произвольной весовой алгебры выбрать непрерывным, не изменив саму алгебру Фейхтингер18 ответил на этот вопрос положительно в случае р — 1 при дополнительном требовании инвариантности алгебры £f (G) относительно сдвигов При р > 1 верно аналогичное утверждение (следствие 12 3) Кроме того, в теореме 13 1 показано, что при р ~ 1 инвариантность появляется автоматически, т е результат верен для любой алгебры Cf{G) Простые примеры (1 3 6) показывают, что при р > 1 вес нельзя, вообще говоря, выбрать непрерывным

В §1.4 рассматривается вопрос о существовании весовых алгебр при р > 1 в зависимости от группы G При р = 1 весовые алгебры JOf(G) можно построить на любой локально компактной группе, в частности, при w = 1 мы получаем обычную алгебру £j(G) Если же р > 1, то группа не может быть произвольной Здесь можно напомнить доказательство известной £р-гипотезы пространство CP{G) на локально компактной группе G при р > 1 замкнуто относительно

21Кег1ш Е , Lambert A Strictly cyclic shifts on lp Acta Sci Math (Szeged) 35 (1973), 87-94

мЭль-Фалла 0 , Никольский H К , Зарраби М Оценки резольвент в алгебрах Берлинга—Соболева Алгебра и анализ 10, № 6 (1998), 1-92

23Fncke, G A note on strictly cyclic shifts on lp Int J Math Math Sei 1, № 2 (1978), 203-208

свертки тогда и только тогда, когда группа С компактна (доказательство в общем случае и историю вопроса см в статье Саеки24) Добавление веса расширяет класс допустимых групп в диссертации доказано, что на любой с-компактной (т е представимой в виде счетного объединения компактов) группе при любом р > 1 существует вес w, при котором пространство £p(G) является алгеброй Точнее, верна

Теорема 2 (1.4 1) Для локально компактной группы G следующие условия эквивалентны

(г) группа G а-компактна,

(it) для некоторого р > 1 существует вес w, удовлетворяющий условию (2) (при этом пространство £p(G) является алгеброй),

(т) при любом р > 1 существует вес w, удовлетворяющий условию (2)

Для абелевой группы G эти условия равносильны также следующим

(iv) для некоторогор > 1 существует вес w, с которым пространство £p(G) является алгеброй,

(v) при любом р > 1 существует вес ги, с которым пространство С™(G) является алгеброй

В §1.5 для любого р > 1 приводится явная конструкция веса, задающего алгебру (Fqo) на свободной группе F00 со счетным числом образующих Это позволяет построить (способом, отличным от приведенного в §1.4) весовые алгебры на любой счетной дискретной группе

Единицы в алгебрах £p(G) есть только в том случае, если группа G дискретна В §1.6 рассматриваются аппроксимативные единицы в весовых алгебрах При р = 1, как легко проверить, в алгебрах £f(G) имеются ограниченные аппроксимативные единицы В диссертации доказывается, что при р > 1 в инвариантных относительно сдвигов алгебрах £p(G) есть аппроксимативные единицы стандартного вида, которые не могут быть ограничены, если группа не дискретна Есть ли алгебры, вообще не имеющие аппроксимативных единиц,

MSaeki S The ¿"-conjecture and Young's inequality Illinois J Math 34, № 3 (1990), 614-627

неизвестно, но приведен пример (1 6 3) неинвариантной алгебры, в которой нет аппроксимативных единиц, состоящих из неотрицательных функций

В §1.7 рассматривается инволюция на весовых алгебрах Хорошо известно, что алгебра Сх{С) на локально компактной группе С полупроста, те не содержит элементов / с быстро убывающими степенями Ц/"!!1^ 0, п -»■ оо Это доказывается обычно с использованием инволюции /*(£) = где Д — модулярная функция группы, задающая переход от левой меры Ха-ара к правой Для весовых алгебр эта идея не всегда применима поскольку не при всяком весе на алгебре (С?) (и даже при р = 1) можно определить естественную инволюцию Полупростота алгебр С™ (!&) доказана в настоящее время для симметричных весов (ги(£) = -ш(Ь~г)), для аменабельных групп и в некоторых других случаях19 В диссертации доказана полупростота алгебр £р (С?) при р > 1 для симметричных весов (следствие 1 7 7) и для абелевых групп (теорема 2 14)

Вторая глава посвящена коммутативным весовым алгебрам Первым типичным вопросом при изучении коммутативной банаховой алгебры А является описание ее пространства максимальных идеалов Е(Л), которое мы будем называть также спектром алгебры А Как известно, спектр алгебры А (60 на коммутативной группе С? можно отождествить с двойственной к б группой С? В §2.1 доказывается, что для весовых алгебр по-прежнему справедливо вложение (? С Е(£р ((?)), но спектр уже не обязательно сводится к характерам группы (тек точкам двойственной группы (?)

Теорема 3 (2.1.1) Спектр алгебры С™(С?), р ^ 1, можно отождествить с множеством непрерывных гомоморфизмов % —> С \ {0}, принадлежащих пространству С™ 1 (С) Характер X этой алгебры выражается через функцию X формулой

*(/)= [ №х№ Jв

Равенство О = (С?)) верно, например, для класса регулярных алгебр, который обсуждается ниже

Коммутативная банахова алгебра Я называется регулярной, если она разделяет точки и замкнутые множества в своем спектре, те если для любого замкнутого множества ^ и точки х найдется функция / е И, равная нулю

на ^ и отличная от нуля в точке х Регулярные полупростые коммутативные алгебры были впервые рассмотрены Шиловым25 В такой алгебре Я возможен спектральный анализ если мы рассмотрим идеал 1(Р) всех функций из 11, равных нулю на замкнутом множестве ^ С 6, то множество общих нулей функций из 1{Р) снова равняется Г

Регулярность алгебры при дополнительных условиях (см , напр , у Люми-са26) влечет за собой абстрактную тауберову теорему всякий собственный замкнутый идеал ./ С 11 содержится в регулярном максимальном идеале, т е в ядре некоторого характера алгебры Я

Весовые алгебры не всегда регулярны Это связано с тем, что при быстро растущем весе гу преобразования Фурье функций из (К) образуют квазианалитический класс, и для них справедлива теорема единственности Этот результат выводится из теоремы Пэли и Винера27 и является основным инструментом в изучении преобразований Фурье весовых пространств Точное условие на рост веса таково вес 'ш на вещественной прямой называется неквазианалитическим, если сходится интеграл

1п

Г

J - с

-dt < оо, (4)

-ос 1 + *2

и квазианалитическим, если этот интеграл расходится (здесь 1п+£ = тах(0,1п4)) Как критерий регулярности банаховых алгебр условие (4) встречается впервые у Шилова25 для некоторых весовых алгебр степенных рядов Берлинг5 получил этот критерий для весовых алгебр на прямой Далее результат Берлинга был распространен Домаром28 на случай произвольной абелевой локально компактной группы, причем определение квазианалитичности пришлось немного изменить Согласно Домару, вес 'ш на группе С? называется неквазианалитическим, если для любого х € (7 сходится ряд

1п+го(па;)

П2 < (5)

71—1

при этом условие (5) является критерием регулярности алгебры £™((?)

2БШиловГ Е О регулярных нормированных кольцах Труды Матем ин-таим Стеклова21 (1947), 1-118

26Лк>мис J1 Введение в абстрактный гармонический анализ (§25D) М Изд Ин лит-ры, 1956

27Винер Н , Пэли Р Преобразование Фурье в комплексной области, М Наука, 1964

28Domar Y Harmonic analysis based on certain commutative algebras, Acta Math 96, № 2 (1956), 1-66

Доказательство Домара практически без изменений переносится на случай инвариантных алгебр с показателем р > 1, это сделано в §2.2 диссертации Пример 2 2 3 показывает, что в отсутствие инвариантности условие (5) может нарушаться

В §2.3 строятся регулярные алгебры £p(G) при всех р > 1 на любой а-компактной абелевой группе G Таким образом, если на группе существуют какие-нибудь весовые алгебры, то среди них есть и регулярные Спектр регулярных алгебр Ср (G) равняется двойственной группе G 28

В главе 3 рассмотрен другой вопрос, тесно связанный с теорией весовых алгебр Напомним, что на данной группе G при фиксированном р все алгебры £p(G) изоморфны между собой как банаховы пространства и различаются только алгебраической структурой В связи с этим возникает вопрос какими свойствами могут обладать различные алгебры, изоморфные данному банахову пространству7 Пример результата такого рода — теорема о том, что бесконечномерная аменабельная банахова алгебра не может быть изоморфна гильбертову пространству29

В главе 3 рассматривается простейшая из задач подобного вида описать класс Л4(Х) пространств максимальных идеалов всевозможных полупростых коммутативных банаховых алгебр с единицей, изоморфных данному банахову пространству X При решении этой задачи используются, в частности, результаты главы 2

Из общей теории банаховых алгебр следует, что все пространства M € Ai (X) должны быть хаусдорфовы и компактны Несложно показать также, что вес (наименьшая мощность базы топологии) пространства M не превосходит плотности (наименьшей мощности всюду плотного множества) Э(Х) пространства X Эти условия описывают максимально возможный класс А4(т) для пространства данной плотности га В частности, для сепарабельного пространства (счетной плотности) класс Л1(^о) состоит из всех бесконечных метризуемых компактов Из теоремы Милютина30 следует, что С[0,1] является примером простран-

s9Ghahramani F , Loy R J , Willis G A Amenability and weak amenability of second conjugate Banach algebras

Ptoc Amer Math Soc 124 (1996), 1489-1497

30Мшпотин А А Изоморфизм двух пространств непрерывных функций на компактных множествах мощности континуум Теория функций, функциональный анализ и их приложения 2 Харьков, 1966

ства, имеющего максимальный класс Л4(С[0,1]) = .M(No)

В диссертации описываются классы М{Х) для некоторых пространств X В §3.2 показано, что пространство £2 является, наряду с С[0,1], примером пространства с максимально возможным классом M.{£q) — В §3 1 доказано, что для некоторого класса пространств, включающего пространства со счетным безусловным базисом, Л4(Х) содержит все счетные бесконечные компакты

В п 3 2 2 получен следующий результат о несепарабельных пространствах Пусть m — бесконечное множество Если пространство £р(т), р > 1, наделено какой-нибудь структурой коммутативной банаховой алгебры с единицей, то характеры образуют замкнутое подмножество в единичном шаре i?(m) сопряженного пространства ¿9(m) со слабой топологией Иначе можно сказать, что любое пространство М € Aí(¿p(m)) гомеоморфно вкладывается в шар В(ш) В теореме 3 2 3 доказано, что, с другой стороны, верно включение В(т) Е .M(¿p(m))

Можно определить также минимально возможный класс J\f(m) пространств М(Х) при данной плотности Ь(Х) = m Обозначим символом О сходящуюся последовательность {0} U {1/n n € N} в обычной топологии Пличко31 доказал, что О € ЛЛ{Х) для любого сепарабельного банахова пространства X С другой стороны, Шкариным32 приведен пример сепарабельного банахова пространства, для которого другие компакты невозможны, т е Л4(Х) = {Q} Таким образом, {О} = A^Kq) является наименьшим возможным классом М(Х) для сепарабельного пространства X

В §3.3 получено обобщение результата Пличко31 на случай сепарабельного пространства Фреше X, те возможность задать на пространстве X такую структуру коммутативной алгебры Аренса—Майкла с единицей, что ее пространство максимальных идеалов будет гомеоморфно Q

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А Я Хелемскому за постоянное внимание к работе

31Плгчко А М Автоматична неперервтсть, базиси i радикали в метризовних алгебрах Укр мат окурн 44, № 8 (1992), 1129-1132

32Shkarm S А , Kuznetsova Yu N Multiplicative spectra of Banaeh spaces J Math Sa NY 131, № 6 (2005), 6112-6119

Работы автора по теме диссертации

1 Кузнецова Ю Н Весовые Lp-алгебры на группах Функц анализ и его прил , 40, JV® 3 (2006), 82-85

2 Кузнецова Ю Н Об умножении в пространствах Фреше Вестник МГУ, сер 1, матем, мех, 56 (2001), 58-61

3 Shkann S А , Kuznetsova Yu N Multiplicative spectra of Banach spaces J Math Set NY 131, № 6 (2005), 6112-6119

С А Шкарину принадлежит постановка задачи, предложения 1-5, утверждения (1) и (2) теоремы 1 и теоремы 2, 3 Ю Н Кузнецовой принадлежит утверждение (3) теоремы 1 и предложение 6

4 Кузнецова Ю Н Сверточные £р-алгебры с весами на группах XXX Даль-невост матем школа-семинар им акад Е В Золотова тез докл Хабаровск изд-во ДВГУПС, 2005

5 Кузнецова Ю Н Конструкции регулярных алгебр £™(G) Деп в ВИНИТИ 27.09 2007, 911-В2007, 16 с

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 02. 03 Формат 60x90 1/16 Уел печ л Тираж {ОО экз Заказ 0$

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механике-математического факультета

Введение

Формулировки основных результатов

1 Теоремы общего характера

1.1 Начальные сведения.

1.2 Инвариантность относительно сдвигов.

1.3 Описание весовых функций.

1.3.1 Обобщение теоремы Лебега.

1.3.2 Критерий для веса алгебры С™(G).

1.3.3 Различные условия для случая р >

1.4 Описание допустимых групп.

1.5 Разные конструкции весовых алгебр.

1.6 Аппроксимативные единицы

1.7 Инволюция в весовых алгебрах.

2 Коммутативные алгебры

2.1 Пространство максимальных идеалов.

2.2 Критерий регулярности.

2.3 Конструкции регулярных алгебр.

3 Задание умножения на данном линейном пространстве

3.1 Пространства со счетным безусловным базисом

3.2 Пространства £р

3.2.1 Сепарабельный случай.

3.2.2 Несепарабельный случай

3.3 Пространства Фреше.

Алгебры суммируемых с весом функций и рядов впервые появились в работах А. Бёрлинга [26] и И. М. Гельфанда [40] и с тех пор стали классическим объектом изучения в гармоническом анализе. Настоящая диссертация продолжает исследования в этой области.

Напомним, что одним из основных объектов гармонического анализа является алгебра суммируемых функций C\{G) = {/ : JG\f\ < оо} на локально компактной группе G с операцией свертки

Можно заметить, что весовое пространство Cf(G) = {/'•/ \fw\ < оо}, где вес w — некоторая функция, имеет очень похожие свойства, в частности, замкнуто относительно свертки, если вес w полу мультипликативен, т.е. удовлетворяет условию

Бёрлинг [26] впервые рассматривал такие алгебры функций на вещественной прямой, доказал для них теорему о голоморфном исчислении и описал несколько других свойств. Гельфанд [40] вычислил пространства максимальных идеалов алгебр и аналогичных алгебр степенных рядов if (Ж). Позже теория обобщалась на случай алгебр Cp(G), р > 1 (первой в этом направлении является работа Вермера [64]). В этом случае, однако, не удаw(xy) ^ w(x)w{y).

1) лось получить столь же законченные результаты, и в настоящее время случай р = 1 также исследован значительно лучше.

Мы рассмотрим далее некоторые основные свойства весовых алгебр {!■■[ IЫр < оо},

JG излагая известные и новые результаты. Это изложение будет одновременно соответствовать структуре диссертации.

В первых же работах, посвященных весовым алгебрам на вещественной прямой, появились достаточные условия, при которых данное весовое пространство образует алгебру относительно свертки. При р = 1 это полу мультипликативность (1). При р > 1 достаточно, чтобы выполнялось следующее неравенство (поточечно локально почти всюду): w~q * w~q ^ w~q, (2) где q — сопряженный показатель к р, так что 1 /р + 1 Jq = 1. Связь между этими условиями станет более ясной, если ввести функции = / ч / i,v w{s)w{s Н) s,t G G. Неравенства (1) и (2) записываются тогда в единой форме (это заметил Н. К. Никольский [13, §3.2]): sup < 1, teG где q = оо при р = 1. Эти условия тривиально обобщаются на случай произвольной локально компактной группы. Не столь очевиден, однако, ответ на обратный вопрос: следует ли справедливость этих неравенств из того факта, что пространство C™{G) является алгеброй?

Первый результат в этом направлении был получен Р. Эдвардсом [36], который доказал, что для полунепрерывной сверху функции w на локально компактной группе G условие (1) следует из того, что — сверточная алгебра. Позднее Грабинер [43] доказал тот же, по существу, факт для вещественной прямой и любой измеримой положительной функции w. В диссертации содержится окончательное решение вопроса: неравенство (1) для любой положительной измеримой функции w на локально компактной группе является критерием того, что пространство Cf(G) замкнуто относительно свертки (теорема 1.3.1).

При р > 1 условие (2) является необходимым в некоторых естественных частных случаях [48], [23], но, вообще говоря, это не критерий. В 1978 г. [38] был построен пример семейства алгебр ^p(N) на полугруппе натуральных чисел, вес которых не удовлетворяет условию (2). Первые контрпримеры на группах (единичной окружности и вещественной прямой) построены автором (примеры 1.3.4, 1.3.5).

Весовые алгебры Cf (G) можно построить на любой локально компактной группе, в частности, при w = 1 мы получаем обычную алгебру C\{G). Если же р > 1, группа не может быть произвольной. Здесь уместно вспомнить доказательство известной /^-гипотезы: пространство CP(G) на локально компактной группе G при р > 1 замкнуто относительно свертки тогда и только тогда, когда группа G компактна (доказательство в общем случае и историю вопроса см. в статье Саеки [61]). Добавление веса расширяет класс допустимых групп: в диссертации доказано, что на любой сг-компактной (т.е. представимой в виде счетного объединения компактов) группе при любом р > 1 существует вес w, при котором пространство C™(G) является алгеброй (теорема 1.4.1). В теореме показано также, что условие сг-компактности в случае абелевых групп необходимо для того, чтобы на группе существовала хоть какая-то алгебра C™(G) с р > 1. Аналогичный вопрос для неабелевых групп остается открытым.

Интересен также вопрос, можно ли вес произвольной весовой алгебры выбрать непрерывным, не изменив саму алгебру. Фейхтингер [37] ответил на этот вопрос положительно в случае р = 1 при дополнительном требовании инвариантности алгебры j£±(G) относительно сдвигов. При р > 1 верно аналогичное утверждение (следствие 1.2.3). Кроме того, в теореме 1.3.1 показано, что прир = 1 инвариантность появляется автоматически, т.е. результат верен для любой алгебры Cf(G). Простые примеры (1.3.6) показывают, что при р > 1 вес нельзя, вообще говоря, выбрать непрерывным.

Хорошо известно, что алгебра C\{G) на локально компактной группе G полупроста. Это доказывается обычно с использованием инволюции f*{t) — гДе А — модулярная функция группы, задающая переход от левой меры Хаара к правой. Для весовых алгебр вопрос усложняется, поскольку не при всяком весе на алгебре C™(G) (и даже при р = 1) можно определить естественную инволюцию. Полупростота алгебр Ci(G) доказана в настоящее время для симметричных весов {w(t) = u>(i-1)), для аменабель-ных групп и в некоторых других случаях [32]. Окончательный же ответ неизвестен. В диссертации доказана полупростота алгебр C£{G) при р > 1 для абелевых групп (теорема 2.1.4).

Другим существенным алгебраическим свойством является аменабельность. Банахова алгебра называется аменабельной, если все ее дифференцирования со значениями в сопряженных бимодулях — внутренние [19, гл. VII, §2.3]. Это понятие было введено Джонсоном [47], который доказал следующую теорему: алгебра C\{G) на локально компактной группе G аменабельна тогда и только тогда, когда группа G аменабельна. Для случая р = 1 ответ дает теорема Грёнбека [45]: алгебра Ci(G) на локально компактной группе G аменабельна тогда и только тогда, когда группа G аменабельна, а вес w удовлетворяет условию sup{u>(s)u>(s-1) : s G G} < оо.

В диссертации доказано, что при р > 1 инвариантные алгебры C™(G) не могут быть аменабельны (раздел 1.6). В общем случае ответ неизвестен.

В классическом гармоническом анализе наиболее содержательная теория развита для абелевых и компактных групп. На компактной группе рассмотрение веса не дает практически ничего нового. Точнее, все алгебры C™(G) изоморфны обычной алгебре С\ (G), а для алгебр С™ (G) при р > 1 верно то же самое, если потребовать непрерывности веса или хотя бы инвариантности пространства C™{G) относительно сдвигов (см. раздел 1.2). Неинвариантные алгебры при р > 1 существуют, но обладают патологическими свойствами (примеры 1.3.6, 1.3.4, 2.2.3).

Коммутативные весовые алгебры, напротив, разнообразнее по своим свойствам, чем классические алгебры C\{G). Первым типичным вопросом при изучении коммутативной банаховой алгебры А является описание ее пространства максимальных идеалов которое мы будем называть также спектром алгебры А. Как известно, спектр алгебры £>i(G) на коммутативной группе G можно отождествить с двойственной к G группой G. Для весовых алгебр по-прежнему справедливо вложение G С T,(Cp(G)) (теорема 2.1.1), но спектр уже не обязательно сводится к характерам группы (т.е. к точкам двойственной группы G). Равенство G = T,(Cp(G)) верно, например, для класса регулярных алгебр [33], который будет обсуждаться ниже.

Коммутативная банахова алгебра it называется регулярной, если она разделяет точки и замкнутые множества в своем спектре, т.е. если для любого замкнутого множества F и точки х ^ F найдется функция / £ it, равная нулю на F и отличная от нуля в точке х. Регулярные полупростые коммутативные алгебры были впервые рассмотрены Шиловым [22]. В такой алгебре 11 возможен спектральный анализ: идеал 1(F) функций из it, равных нулю на замкнутом множестве F С G, является ядром своей оболочки [10, §25D], иначе говоря, множество общих нулей функций из 1(F) снова равняется F.

Регулярность алгебры при дополнительных условиях (см., напр., [10, §25D]) влечет за собой абстрактную тауберову теорему: всякий собственный замкнутый идеал J С it содержится в регулярном максимальном идеале, т.е. в ядре некоторого характера алгебры it. Тауберова теорема для алгебры C\(G) на абелевой локально компактной группе G — классический результат гармонического анализа.

Весовые алгебры не всегда регулярны. Это связано с тем, что при быстро растущем весе w преобразования Фурье функций из С™ (М) образуют квазианалитический класс, и для них справедлива теорема единственности. Этот результат выводится из теоремы Пэли и Винера [3] и является основным инструментом в изучении преобразований Фурье весовых алгебр. Точное условие на рост веса таково: вес w на вещественной прямой называется неквази-аналитическим, если сходится интеграл и квазианалитическим, если этот интеграл расходится.

Как критерий регулярности банаховых алгебр условие (3) встречается впервые у Шилова [22] для некоторых весовых алгебр степенных рядов. Бёрлинг [27] получил этот критерий для весовых алгебр на прямой. Далее результат Бёрлинга был распространен Домаром [33] на случай произвольной абелевой локально компактной группы, причем определение квазианалитичности пришлось немного изменить. Согласно Домару, вес w на группе G называется неквазианалитическим, если для любого х £Е G сходится ряд при этом условие (4) является критерием регулярности алгебры Cf(G).

Доказательство Домара практически без изменений переносится на случай инвариантных алгебр с показателем р > 1, это сделано в разделе 2.2 диссертации. Пример 2.2.3 показывает, что в отсутствие инвариантности условие (4) может нарушаться.

В разделе 2.3 строятся регулярные алгебры C™(G) при всех р > 1 на любой сг-компактной абелевой группе G. Таким образом, если на группе существуют какие-нибудь весовые алгебры, то среди них есть и регулярные. Спектр регулярных алгебр C™(G) равняется двойственной группе G — это результат Домара [33].

3)

4)

Последняя глава диссертации посвящена другому вопросу, тесно связанному с теорией весовых алгебр. Напомним, что на данной группе G при фиксированном р все алгебры С™ (G) изоморфны между собой как банаховы пространства и различаются только алгебраической структурой. В связи с этим возникает вопрос: каков диапазон свойств различных алгебр, изоморфных данному банахову пространству? Пример результата такого рода — теорема о том, что бесконечномерная аменабельная банахова алгебра не может быть изоморфна гильбертову пространству [41].

В главе 3 рассматривается простейшая из задач подобного вида: описать класс М.(Х) пространств максимальных идеалов всевозможных полупростых коммутативных банаховых алгебр с единицей, изоморфных данному банахову пространству X. При решении этой задачи используются, в частности, результаты главы 2.

Из общей теории банаховых алгебр следует, что все пространства М Е Ai(X) должны быть хаусдорфовы и компактны. Несложно показать также (см. гл. 3), что вес (наименьшая мощность базы топологии) пространства М не превосходит плотности (наименьшей мощности всюду плотного множества) D (X) пространства X. Эти условия описывают максимально возможный класс тИ(т) для пространства данной плотности ш. В частности, для сепарабельного пространства (счетной плотности) класс состоит из всех бесконечных метризуемых компактов. Из теоремы Милютина [11] следует, что С[0,1] дает пример пространства, имеющего максимальный класс

М(С[ 0,1]) = Л*(К0).

В диссертации описываются классы Л4(Х) для некоторых пространств

X. В разделе 3.2 показано, что пространство £2 является, наряду с С[0,1], примером пространства с максимально возможным классом Л4(£2) = А^(^о)-В разделе 3.1 доказано, что для некоторого класса пространств, включающего пространства со счетным безусловным базисом, Л4(Х) содержит все счетные бесконечные компакты.

Можно определить также минимально возможный класс Л/*(т) пространств М(Х) при данной плотности с)(Х) = т. Обозначим символом Q сходящуюся последовательность {0} U {1 /п : п G N} в обычной топологии. Пличко доказал [15], что Q £ М.{Х) для всякого сепарабельного банахова пространства X. С другой стороны, Шкариным [62] приведен пример сепарабельного банахова пространства, для которого другие компакты невозможны, т.е. Л4(Х) = {Г2}. Таким образом, = А/"(^о) является наименьшим возможным классом Л4(Х) для сепарабельного пространства X.

В разделе 3.3 получено обобщение результата Пличко на случай сепарабельного пространства Фреше Х) т.е. возможность задать на пространстве X такую структуру коммутативной алгебры Аренса—Майкла (определение см. в § 3.3) с единицей, что ее пространство максимальных идеалов будет гомеоморфно

И, наконец, в разделе 3.2.2 получен следующий результат о несепара-бельных пространствах. Пусть m — бесконечное множество. Если пространство £р(m), р > 1, наделено какой-нибудь структурой коммутативной банаховой алгебры с единицей, то характеры образуют замкнутое подмножество в единичном шаре В(т) сопряженного пространства со слабой топологией. Иначе можно сказать, что любое пространство М £ Л4{£р{ш)) гомеоморфно

13 вкладывается в шар В(т). В теореме 3.2.3 доказано, что, с другой стороны, верно включение В{m) G Л4(£р(т)).

Автор благодарит своего научного руководителя А. Я. Хелемского за неизменное внимание к работе. Автор выражает также глубокую благодарность Е. А. Горину за плодотворные обсуждения и редакторскую работу над текстом введения.

Формулировки основных результатов

1. Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972.

2. Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. М.: Изд. Ин. лит-ры, 1950.

3. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области, М.: Наука, 1964.

4. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960.

5. Горин Е. А. Исследования Г. Е. Шилова по теории коммутативных банаховых алгебр и их дальнейшее развитие. Успехи мат. наук 33, №4 (202), 169-188 (1978).

6. Граев М. И. Свободные топологические группы. Изв. АН СССР. Сер. матем. 12 (1948), 279-324.

7. Кузнецова Ю. Н. Об умножении в пространствах Фреше. Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех., 56 (2001), 58-61.

8. Кузнецова Ю. Н. Весовые Lp-алгебры на группах. Функц. анализ и его прил., 40, № 3 (2006), 82-85.

9. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

10. Люмис Jl. Введение в абстрактный гармонический анализ. М.: Изд. Ин. лит-ры, 1956.

11. Милютин А. А. Изоморфизм двух пространств непрерывных функций на компактных множествах мощности континуум. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 2. Харьков, 1966.

12. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968.

13. Никольский Н. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа. Труды МИАН им. Стеклова 120 (1974).

14. Никольский Н. К. Спектральный синтез для оператора сдвига и нули в некоторых классах аналитических функций, гладких вплоть до границы. ДАН 190, № 4 (1970), 780-783.

15. Пл1чко А. М. Автоматична неперервшсть, базиси i радикали в метризов-них алгебрах Укр. мат. журн. 44, № 8 (1992), 1129-1132.

16. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства М.: Мир, 1967.

17. Сакс С. Теория интеграла, М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.

18. Сипачёва О. В. Топология свободных топологических групп. Фундам. прикл. мат. 9, № 2 (2003), 99-204.

19. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

20. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989.

21. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. I, М.: Наука, 1975 и т. II, М.: Мир, 1975.

22. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах. Труды Матем. инта им. Стеклова 21 (1947), 1-118.

23. Эль-Фалла О., Никольский Н. К., Зарраби М. Оценки резольвент в алгебрах Бёрлинга—Соболева. Алгебра и анализ 10, № 6 (1998), 1-92.

24. Энгелькинг Р., ОбщаяИпопология М.: Мир, 1986.

25. Banach S. Sur le theoreme de M. Vitali. Fund. Math. 5 (1924), 130-136.

26. Beurling A. Sur les integrates de Fourier absolument convergentes. In IX Congres Math. Scand., Helsinki, 1938, 345-366.

27. Beurling A. On the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math. 81 (1949), 225-238.

28. Benazzouz A., El Kinani A. Structure m-convexe dans l'espace a poids Щ.Rn). Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 10, № 1 (2003), 49-57.

29. Bruckner A. Differentiation of integrals. Amer. Math. Monthly 78, № 9 pt. 2 (1971).

30. Dales H. G. Convolution algebras on the real line. Radical Banach algebras and automatic continuity, Proc. Conf. Long Beach 1981, Lect. Notes Math. 975 (1983).

31. Dales H. G. Banach algebras and automatic continuity, London Mathematical Society Monographs, Volume 24, The Clarendon Press, Oxford, xv+907 pp., 2000.

32. Dales H. G., Lau A. T.-M. The second duals of Beurling algebras, Memoirs of the AMS 177, Ж 836 (2005).

33. Domar Y. Harmonic analysis based on certain commutative algebras, Acta Math. 96, № 2 (1956), 1-66.

34. Domar Y. Bilaterally translation-invariant subspaces of weighted LP(K), Radical Banach algebras and automatic continuity, Proc. Conf., Long Beach 1981, Lect. Notes Math. 975, 210-213 (1983).

35. Domar Y. Translation invariant subspaces of weighted lp and Lp spaces, Math. Scand. 49 (1981), 133-144.

36. Edwards R. E. The stability of weighted Lebesgue spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), 369-394.

37. Feichtinger H. G. Gewichtsfunktionen auf lokalkompakten Gruppen, Sitzber. Osterr. Akad. Wiss. Abt. II, 188, № 8-10 (1979), 451-471.

38. Fricke, G. A note on strictly cyclic shifts on lp. Int. J. Math. Math. Sci. 1, № 2 (1978), 203-208.

39. Gaudry G. I. Multipliers of weighted Lebesgue and measure spaces. Proc. London Math. Soc. (3) 19 (1969), 327-340.

40. Gelfand I. Uber absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale. Матем. сб. 9 (51) (1941), 51-66.

41. Ghahramani F., Loy R. J., Willis G. A. Amenability and weak amenability of second conjugate Banach algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1489-1497.

42. Grabiner S. Weighted convolution algebras as analogues of Banach algebras of power series. Radical Banach algebras and automatic continuity: Proc. Conf. Long Beach, 1981, Lect. Notes Math. 975 (1983), 295-300.

43. Grabiner S. приветрггг>е£ Weighted shifts and Banach algebras of power series Amer. J. Math. 97, № 1 (1975), 16-42.

44. Grochenig K. Weight functions in time-frequency analysis, arXiv:math/0611174.

45. Gr0nbaek N. Amenability of weighted convolution algebras on locally compact groups, Trans. American Math. Soc., 319 (1990), 765-775.

46. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C. Topics in the theory of lifting. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 48. Springer—Verlag, 1969.

47. Johnson В. E. Cohomology in Banach algebras. Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

48. Kerlin E., Lambert A. Strictly cyclic shifts on lp. Acta Sci. Math. (Szeged) 35 (1973), 87-94.

49. Kolzow D. Differentiation von Mafien. Lecture Notes in Math., v. 65, Springer-Verlag, 1968.

50. Kerman R., Sawyer E. Convolution algebras with weighted rearrangement-invariant norm. Stud. Math. 108, № 2 (1994), 103-126.

51. Lebesgue H. Sur l'integration des fonctions discontinues, Annates scientifiques de I'Ecole normale superieure, Ser. 3, 27 (1910), 361-450.

52. Maharam D. On a theorem of von Neumann, Proc. Amer. Math. Soc. 9, № 6 (1958), pp. 987-994.

53. Nikodym O. Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont rectilinearement accessibles, Fund. Math. 10 (1927), 116-168.57. de Possel R. Sur le derivation abstraite des fonctions d'ensemble, J. Math. Pures Appl. 15 (1936), 391-409.

54. Reiter H., Stegeman J. D. Classical harmonic analysis and locally compact groups, Oxford: Clarendon Press, 2000.

55. Rudin W. Fourier analysis on groups. NY: Interscience, 1962.

56. Runde V. Lectures on Amenability, Springer—Verlag, 2002.

57. Saeki S. The ZAconjecture and Young's inequality. Illinois J. Math. 34, № 3 (1990), 614-627.101

58. Shkarin S. A., Kuznetsova Yu. N. Multiplicative spectra of Banach spaces. J. Math. Sci. NY 131, № 6 (2005), 6112-6119.

59. Wendel J. G. Left centralizers and isomorphisms of group algebras, Pacif. J. Math. 2 (1952), 251-261.

60. Wermer J. On a class of normed rings. Ark. Mat. 2 (1954), Hf. 6, 537-551.102Список публикаций автора по теме диссертации.

61. Кузнецова Ю. Н. Об умножении в пространствах Фреше. Вестник МГУ, сер. 1, матем., мех., 56 (2001), 58-61.

62. Shkarin S. A., Kuznetsova Yu. N. Multiplicative spectra of Banach spaces. J. Math. Sci. NY 131, № 6 (2005), 6112-6119.

63. Кузнецова Ю. H. Сверточные Lp-алгебры с весами на группах. XXX Далъневост. матем. школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова: тез. докл. Хабаровск: изд-во ДВГУПС, 2005.

64. Кузнецова Ю. Н. Весовые Lp-алгебры на группах. Функц. анализ и его прил., 40, № 3 (2006), 82-85.

65. Кузнецова Ю. Н. Конструкции регулярных алгебр C™{G). Деп. в ВИНИТИ 27.09.2007, № 911-В2007, 16 с.