Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости

Ткаченко, Наталья Михайловна

Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ткаченко, Наталья Михайловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Брянск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости»

Автореферат диссертации на тему "Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости"

На правах рукописи

Ткаченко Наталья Михайловна

ВЕСОВЫЕ //-ОЦЕНКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

01.01.01 - математический анализ

2 2 ОПТ ?гг

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

'^гиЯу-

Саратов 2009

003480279

Работа выполнена на кафедре математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Шамоян Файзо Агитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Коточигов Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Лукомский Сергей Федорович

Ведущая организация: Смоленский государственный университет

Защита состоится «12» ноября 2009 года в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Однако, если по теории классов Харди в течение почти векового исследования получены результаты практически исчерпывающего характера, то ряд центральных задач теории классов Бергмана все еще ожидает своего решения.

Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению. Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного Случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.

Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И.И. Привалова1, А.Н. Колмогорова2 и М. Рисса3 об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.

Приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, для этого введем необходимые обозначения и определения.

Пусть 5 = {геС:|г|<1} - единичный круг на комплексной плоскости С, T = {zeC: |г| = 1} - его граница; G - некоторая односвязная область на С;

' Privalojf LI. Sur les fonctions conjuguées / 1.1. Privaloff. - Bull. Soc. Math. France. - 1916. -V. 44. - P. 100-103.

2 Koïmogoroff A.N. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier / A.N. Kolmogoroff // Fund. Math. - 1925. - V.7. - P. 24-29.

3 RieszM. Sur les fonctions conjuguées / M. Riesz// Math. Zeit. - 1927. - V. 27. - P. 218-244.

d(w,dG) - расстояние от точки w до границы 8G. Пусть также #(G), h(G) -множества всех аналитических и гармонических функций в G соответственно; Lpp (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций / таких, что

|/(w)|/'^(wjeG)i/m2(w)<+oo,0</?<+oo,/ff>-l, (1)

где dm2 - плоская мера Лебега; hp(G) - множество гармонических в G функций и, для которых справедливо условие (1); A^(G) - подпространство пространства hp(G), состоящее из аналитических функций; Нр - класс Харди в

единичном круге S; hp — класс Харди гармонических в S функций. Обозначим, кроме того, Lp(G) = LP(G), hp(G) = hp(G), Ap(G) = AP(G).

Для и e h(S) пусть также

f i яг Yp

Mp(r,u)= — J|u(re'°)\p da , 0<p<+oo.

\ -п У

Из классической теоремы М. Рисса3 известно, что если uehp, 1 <р< +оо,

и v - гармонически сопряженная с к функция, v(0) = 0, то Mp(r,v)<c(p)Mp(r,u), 0<г<1. При 0 < р < 1 такая оценка неверна. Так, известная теорема А.Н. Колмогорова2 утверждает: если меЛ1, тогда для сопряженной с ней функции v, v(0) = 0, справедливо неравенство М p(r,v)<c(p)Mi(r,u), 0<г<1, при всех О < /7 <1.

Г. Харди, Д. Литглвуд4 доказали: если и, v - гармонически сопряженные функции в единичном круге S, v(0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия sup М Jr,и) <+оо вытекает

0<г<1

4 Hardy G.H. / Some properties of conjugate functions / G.H. Hardy, J.E. Littlewood // J. Reine Angew. Math. -1932.-V. 167.-P. 405-423.

A//,(rsv)<^ln^-j P, c> 0. Более того, существует функция uQ(z) такая, что sup Mp(r,w0)< +оо, но в то

0<г<1

же время для функции v0(z), гармонически сопряженной с ней, справедлива

( 1 \УР

оценка Mp(r,v0)> с0( -1 , с0 >0.

Вышеуказанная теорема М. Рисса эквивалентна ограниченности интегрального оператора с ядром Коши P{f){z) = — i^^-dC, zeS, в простран-

Im^-z

стве LP(T) при всех 1 < р < -нх>.

В то же время, из результатов А.Н. Колмогорова следует, что интегральный оператор с ядром Коши не отображает пространство ]} (Т) в Я1.

В работе Д. Ньюмена5 было установлено, что не только интеграл типа Коши не отображает пространство l}(T) на Я1, но и вообще не существует

ограниченного линейного оператора, выполняющего указанное отображение.

Учитывая, что интегральный оператор с ядром Пуассона отображает пространство 1'} (Т) в класс hl, вышеуказанный результат можно сформулировать следующим образом: не существует никакого ограниченного линейного оператора, отображающего й1 на Я1.

В случае пространств типа Бергмана картина совершенно иная. Еще в 1981 г. Ф.А. Шамоян6'7 установил, что можно построить линейный ограничен-

5 Newman D.J. The nonexistence of projections from l) to Я1 / D.J. Newman//Proc. Amer. Math. Soc. - 1961. -V. 12.-P. 98-99.

6 Шамоян Ф.А. Теорема вложения и характеристика следов в пространствах Н? (0 < р < +со) / Ф.А. Шамоян//Мат. сборник. -1978.-Т. 107(109), вып. 3. - С. 126-144.

7 Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений М.М. Джрбашяна к некоторым вопросам анализа I Ф.А. Шамоян // ДАН СССР. - 1981'. - Т. 261, № 3. - С. 557-561.

I г V

ный интегральный оператор с ядром D (С, z) = + ^ / jfl . , г, f е S,

* [l-izj

отображающий пространство в Aß(S), ß >-1, при всех 0<^<1,

ß + 2

Ц >--1. Для 1 < < +=о данный результат можно вывести непосредствен-

но из вышеуказанной теоремы М. Рисса. Заметим, что ядра Dn{£,z) впервые были введены в работе М.М. Джрбашяна8.

Естественно, возникает вопрос: существует ли ограниченный линейный интегральный оператор, выполняющий вышеуказанные отображения в случае областей, отличных от единичного круга, и если существует, то при каких р ?

Изучению данных проблем при 1 < р < -к», то есть распространению теоремы М. Рисса на области с более общими границами, посвящено большое количество работ. Обратим внимание по этому поводу на статьи П.Х. Татояна9, A.M. Шихватова10, A.A. Соловьева", Я. Бурбеа12, X. Хеденмальма13.

Отметим, что в вышеперечисленных работах рассматривались проекторы,

строящиеся на основании ядра Бергмана K(yv,/i) = ~ ^ —Ç— , ^/i.weC,

1 у'Ш'М

где цг - функция Римана, конформно отображающая область С на единичный круг 5, выполняющие отображения в пространствах Бергмана без веса, то есть в пространствах Ар(<3).

* Джрбашян ММ. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. - 1948. - Вып. 2. - С. 3-35.

9 Татоян П.Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций / П.Х. Татоян // Доклады АН АрмССР. - 1969. - Т. 49, № 1. - С. 3-8.

10 Шихватов А.М. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой / AM. Шихватов // Математические заметки. - 1975. - Т. 18, № 3. - С. 411-420.

11 Соловьев А.Л. Оценки в If интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций / А. А. Соловьев // Сибирский математический журнал. -1985. - Т. 26, № 3. - С. 168-191.

12 Burbea J. The Bergman projection over plane regions / J. Burbea // Ark. for mat. - 1980. - V. 18, № 1. - P. 207221.

13 Hedertmalm H. The dual of Bergman Space on Simply connected domains / H. Hedenmalm // J. d' Analyse Mathématique. - 2002. - V. 88. - P. 311-335.

Так, например, A.A. Соловьев анализировал проблему существования ограниченного проектора в случае односвязной области, граница которой является кусочно-гладкой кривой; A.M. Шихватов - в областях с углами. Задача оказалась решена с существенными ограничениями для величины угла. Оказывается, если граница области G состоит из конечного числа гладких дуг, обра* - * 1 ^

зующих между собой в точках стыка внутренние углы •—, — <а.<-ко.

ctj 2

j = 1,2,...,/?/, m = m(G), а = min а.-, то проектор Бергмана, отображающий про-

1 <.}<т

странство Лебега на соответствующее пространство аналитических функций, ограничен, в отличие от областей с гладкой границей, не при всех р, а только

при р е(——;—— ], если — < а < 1, и при 1 < р < +оо, если а > 1. Vl + a l-aj 2

В работе X. Хеденмальма13 установлено, что оператор с ядром Бергмана действует из LP(G) в AP(G) для произвольной односвязной области G со

Ро

спрямляемой границей, но только при р0<р< , где рй е

Ро"1

С вышеуказанной проблемой тесно связана задача оценки Ьр -нормы аналитической функции через норму ее производной. В этой связи напомним известную теорему Харди-Литтлвуда14: если /еЯ(5), 0<р<+со, /(0) = 0, Р > -1, то при некоторых положительных постоянных С],С2 справедливы неравенства

сх\\т\р(1~Ц)Рс1т2(2):

* J|/'(*f(l -\^рсЬпг{2)<с2 |/(rf (1-|г|)pdm2{z).

14 Duren P. Theory of Hp spaces / P. Duren. - New York: Academic Press, 1970. - 292 p.

Проблемы обобщения данной теоремы на области, отличные от единичного круга, рассматривались в работах как российских, так и зарубежных ученых.

Отметим, например, результаты Ж. Детраз15, распространившую оценки для областей с границей класса С1; К.П. Исаева, P.C. Юлмухаметова16, которые доказывают аналог оценки Харди-Литтлвуда для дополнения выпуклых ограниченных областей, но только при р = 2.

В диссертации исследуются ¿''-весовые пространства аналитических и

гармонических в односвязных областях функций. Рассматриваются вопросы, связанные с возможностью обобщения вышеуказанной теоремы Харди-Литглвуда на области с границей более общего вида в пространствах аналитических функций с весом, представляющим собой степень расстояния до границы. Кроме того, решение указанной проблемы позволяет в явном виде построить ограниченные интегральные проекторы, действующие в ¿''-весовых пространствах аналитических и гармонических функций, при всех 0 < р < -и».

Цель работы.

1) Получить обобщение теоремь1 Харди-Литтлвуда об № -весовых оценках нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной для более широких классов областей.

2) Построить ограниченный проектор, отображающий Ü -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей при всех IS/X+oO.

15 DeirazJ. Classes de Bergman de fonctions harmoniques / Detraz J. //Bull. Soc. Math. France. - 1981. - V. 109. -P. 259-268.

16 Исаев К.П. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана / К.П. Исаев, P.C. Юлму-хаметов // Известия РАН. Серия математическая. - 2004. - Т. 68, № 1. - С. 5-42.

3) Построить ограниченный проектор, отображающий Ьр -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

Методика исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов посредством специальных воспроизводящих ядер.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Доказана оценка сверху Ьр -нормы производной п-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции при всех О < р < +со в весовом пространстве аналитических в произвольной области функций.

2) Получены оценки V -нормы аналитической функции через норму производной п-го порядка функции при всех 0 < р < -н» в весовом пространстве аналитических функций как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае области с асимптотически конформной границей.

3) Построен ограниченный проектор, отображающий V -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 <р<+со в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

4) Построен ограниченный проектор, отображающий V -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 <р< для областей вышеуказанных классов.

5) Описаны пространства, сопряженные к I/ -пространствам аналитических

функций со степенным весом, в случае односвязных областей рассматриваемых классов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в комплексном анализе, в гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов. Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2004 - 2009 гг.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2008 г.); на всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [9], список которых приведен в конце автореферата. Работа [8] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной'литературы. Работа занимает 116 страниц. Библиография содержит 43 наименования.

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы.

В первой главе диссертации рассматриваются LP -оценки сверху n-й производной функции, аналитической в произвольной области, через норму самой функции при 0 < р < +=о, что позволяет обобщить теорему Харди-Литтлвуда для односвязных областей с кусочно-гладкой границей, областей с асимптотически конформной границей при всех 0 < р < -но и для дополнения ограниченных выпуклых областей при 2 < р < +оо.

В § 1.1 главы I введены основные обозначения и установлены вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В § 1.2 главы I оценивается производная аналитической функции в произвольной области для всех 0 < р < -юз:

Теорема 1.2. Пусть G - произвольная область на комплексной плоскости С, / eH(G), 0< р<+ао. Тогда при neZ+ справедлива оценка

J/(n) (iw)\Pdr,p+T (w,dG)dm2 (w) ^ с(п, г) j]/(w)[ V (w,dG)dm2 (w),

G G

где г>-1, с(п,т) —положительная константа, зависящая только от п ит.

В § 1.3 главы I доказывается аналог правой оценки в теореме Харди-Литтлвуда для областей с кусочно-гладкой границей.

Пусть (С) - класс односвязных областей G на комплексной плоскости С, граница Г каждой из которых состоит из конечного числа гладких дуг Гу, образующих между собой в точках стыка Wj положительные внутренние углы л 1

—,-<cCj<+cc,j = 1,2,...,/л, m = m(G). ctj 2

Заметим, что результаты теоремы 1.2. позволяют непосредственно получить аналог левого неравенства теоремы Харди-Литтлвуда и в указанном слу-

чае, и в других специальных случаях. Для наглядности доказанные результаты сформулируем в виде:

Теорема 1.6. Пусть Ое(С), /еЯ(0, /(1)(м>0) = 0, * = 0,и-1, пеЫ, для некоторой точки м-'0 е С. Тогда для 0 < р <+оо справедливы оценки

г-1*;"

б б где г > —1, сх(п,т), с2(п,г) - положительные постоянные, зависящие только от п и г.

В § 1.4 главы I рассматривается обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для областей с асимптотически конформной границей17, то есть односвязных областей б с условием

5 (2)

/1{8) = вир вир

И1;.ЧтСс-С И-бГ

- 'И'1 + \м>2 - ^

-» 0 при 8 -» О,

где Г' - кратчайшая дуга кривой, соединяющей точки

Теорема 1.7. Пусть С - односвязная область с асимптотически конформной границей; /еН(С), 0 < р<+<я, /(^(уу0) = 0, Л = 0,и, пе N. для некоторой точки м>0 еС. Тогда справедливы оценки вида (2), где г >-1, С|(и,г), с2(п,т) - положительные константы, зависящие только от пи т.

В § 1.5 главы I доказывается обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для дополнения ограниченных выпуклых областей при 2 < р < +°о, существенную роль при этом сыграли методы работы16:

Теорема 1.8. Пусть О - ограниченная выпуклая область; О = С \ О - ее дополнение, / е Я(П). Тогда для V/? е N, 2 < р < -ко, справедливы оценки

17 Макаров Н.Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений / Н.Г. Макаров // Алгебра и анализ. - 1989. - Т. 1, вып. 1. - С. 3-57.

п п

где т>— 1, С|(и,г), с2{п,р,т) — положительные постоянные, зависящие только от п, г, р соответственно.

Во второй главе строятся ограниченные проекторы из пространства в соответствующее пространство Лд(С7) при всех 0< р < +со, а ^кже из пространства 1Рр{С) на АРр(0) при 1<р<+оо в случае областей класса (С) и областей с асимптотически конформной границей. Полученные результаты позволяют описать линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических функций.

В § 2.1 главы II доказаны некоторые вспомогательные оценки и получены неравенства, позволяющие оценить норму градиента гармонической функции

через норму самой функции в I'? -весовых пространствах гармонических функций.

Теорема 2.1. Пусть й — произвольная односвязная область на комплексной плоскости С, иеИ?(О), 0 <р<+ао, г>-1. Тогда справедлива оценка

^гас1и(ЦР <1Р+1 {м>,дв)с1т2 О) < с(г) |и(»| V О, дС,)с1т2 О), с в

где с(т) - положительная постоянная, зависящая только от г.

В § 2.2 главы II доказываются результаты, касающиеся существования и ограниченности вышеуказанных проекторов из весовых пространств гармонических функций в соответствующие пространства аналитических функций в областях с границей класса (С) и с асимптотически конформной границей при

всех 0<р< +со. По сути, обосновывается ограниченность оператора гармонического сопряжения в вышеуказанных областях.

Теорема 2.2. Пусть б е (С); <р(:) — функция Ргшана, отображающая Б на б, 9>(0) = и,о, <р'(0)> 0, \VqgG, у/ — обратная функция для (р. Пусть также /еЯ(С), /(и'0) = 0 для некоторой точки V>0еС?. Тогда если / = « + /V, ие.Щ(С), 0<р<+оа, уЗ>-1, /по /е^(в), 0<р<+оо, /?>-1, более того, интегральный оператор

я-

2(/7 + 21)

непрерывно отображает пространство (б) в А%(<3) при г/ —— -1

Р . Р

для 0<р<1 и?]> 2{Р +1) для 1 £ р < +оо.

В частности, оператор гармонического сопряжения \ = Т(и) является ограниченным оператором из Щ{С) в при всех 0 < р < +со, р > -1.

В теореме 2.3. сформулирован аналогичный результат для областей с асимптотически конформной границей.

В § 2.3 главы II доказывается ограниченность оператора вышеуказанного вида, действующего из весового пространства измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в областях с кусочно-гладкой границей:

Теорема 2.4. Пусть бе (С); <р(г) - функция Ргшана, отображающая 5 на Б, = <р'(0)>0, \VgeG, - обратная функция для ср. Тогда интегральный оператор

Р„ (/)0) = = Г—/(/л)\ц/'(р^<1т2 (р) (3) ' я- ¿<\-уг(м№)Т

непрерывно отображает пространство на 1< р<-н», /?>-1,

7] > тах{2(/? + 1);Л}, Я= тах(— -1)(/3+ 2) +/3, -<а,<-юо, у = 1,2,...,/и, 1<_/5т 2 '

т = /и(С), причем существует постоянная с(/?,р) такая, что справедлива оценка

\ПЛ^(Р,р)\А\,^у (4)

Аналогичное утверждение справедливо и для областей с асимптотически конформной границей:

Теорема 2.6. Пусть й — односвязная область с асимптотически конформной границей на комплексной плоскости С; <р(~) - функция Римана, отображающая Б на С, (р(0) = и'0, <р'(0)>0, щ&С, у/ — обратная функция для (р. Тогда интегральный оператор вида (3) непрерывно отображает пространство на /4^(6), 1<р<+оо, Р>— 1, г] > 2(р +1), причем существует постоянная с(Р,р) такая, что справедлива оценка вида (4).

Кроме того, оказалось, что оператор вида (3) отображает весовое пространство измеримых функций в соответствующее пространство аналитических функций и в случае веса, отличного от расстояния до границы.

Пусть й - произвольная односвязная область на комплексной плоскости С, и как и выше, <р(г) - функция, конформно отображающая круг 5 на область й, у/ - обратная функция для <р.

Обозначим 1Р(ДС) - класс измеримых по Лебегу функций, для которых

МиР,С) = {!/И"(! - И«0|2 У |у 'И2¿т2(п) <+сс,0 < р <+<*,Р > -1,

и Ар(Р,0) - подпространство Ьр(/?,6"), состоящее из аналитических в С функций.

Тогда справедлива

Теорема 2.7. Пусть С - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; <р(£) - функция Римана, отображающая Б на Б, р(0) = ту0, <р'(0)>0, м^ ей, у - обратная функция для <р. Тогда интегральный оператор вида (3) непрерывно отображает пространство (7) на Ар(£, О), 1< /><+оо, р>-\, Т}>Р при 1< р <+<ю и ц > Д при р-1, причем существует постоянная с(/3,р) такая, что справедлива оценка

НЛ^.О^рИАьчм

Полученйые результаты позволяют в § 2.4 главы II описать линейные непрерывные функционалы в пространствах аналитических функций Ар(<3), 1<р<+°о.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Ткаченко Н.М. Об ограниченности некоторых интегральных операторов в пространстве аналитических функций в области с угловой точкой [Текст] / Н.М. Ткаченко, Ф.А. Шамоян // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ, 2004. - № 4. - С. 128-133.

[2] Ткаченко Н.М. Некоторое обобщение теоремы Харди-Литтлвуда [Текст] / Н.М. Ткаченко, Ф.А. Шамоян // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции / Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2006. - Вып. 7. - С. 134-135.

[3] Ткаченко Н.М. Об оценках производной аналитической функции ъ У-

весовых пространствах [Текст] / Н.М. Ткаченко // Вестник Брянского государ-

ственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ,

2006.-№4.-С. 194-197.

[4] Ткаченко Н.М. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для областей с кусочно-гладкой границей [Текст] / Н.М. Ткаченко // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы / Воронежский гос. университет [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ,

2007. - С. 219-220.

[5] Ткаченко Н.М. Ограниченные проекторы в весовых пространствах функций, гармонических в угловых областях [Текст] / Н.М. Ткаченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. -Брянск: РИО БГУ, 2007. - № 4. - С. 67-71.

[6] Ткаченко Н.М. Оценки производной аналитической функции в областях с кусочно-гладкой границей [Текст] / Н.М. Ткаченко // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвузовский сборник научных трудов / Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. - Вып. 8. - С. 85-93.

[7] Ткаченко Н.М. Проекторы в весовых пространствах функций, аналитических в областях с квазиконформной границей [Текст] / Н.М. Ткаченко, Ф.А. Шамоян // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XIX» / Воронежский гос. университет [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - С. 207-208.

[8] Ткаченко Н.М. Об оценках модуля производной аналитической в угловой области функции [Текст] / Н.М. Ткаченко // Вестник Ижевского государственного технического университета. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2008. - № 1 (37). - С. 96-98.

[9] Tkachenko N.M. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary [Text] / N.M. Tkachenko, F.A. Shamoyan // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - Kharkov. - 2009. - Vol. 5, № 2. - P. 192-210.

Подписано в печать «23» сентября 2009 г. Формат 60 х 84 1/16. Бумага писчая. Объем 1 п. л. Печать офсетная. Заказ №239. Тираж 100 экз.

Отпечатано с оригинала - макета в ООО «Полиграм-Плюс» г. Брянск, пр. Ленина, 67

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ткаченко, Наталья Михайловна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА В НЕКОТОРЫХ

КЛАССАХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ.<.

§1.1. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений.

§ 1.2. Оценка производной аналитической функции в произвольной области комплексной плоскости.

§1.3. Обобщение теоремы Харди-Литглвуда для односвязных областей с кусочно-гладкой границей.

§1.4. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для односвязных областей с асимптотически конформной границей.

§1.5. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для дополнения ограниченных выпуклых областей.

ГЛАВА II. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ И ЛИНЕИНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ.

§2.1. Некоторые оценки градиента гармонической функции.

§2.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах гармонических функций.

§2.3. Ограниченные проекторы в весовых пространствах измеримых функций.

§2.4. Линейные непрерывные функционалы в пространствах аналитических функций.

Введение диссертация по математике, на тему "Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскости"

Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению (см., например, [30], [35], [32], [43]). Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.

Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И.И. Привалова (см. [41]), А.Н. Колмогорова (см. [37], [36]) и М. Рисса (см. [42]) об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.

Пусть Я = {г е С: \г\ < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С,

Т = {геС: |г| = 1} - его граница; (г - некоторая односвязная область на С; й(м!,дО) - расстояние от точки до границы 80. Пусть также Н{С), к{0) — множества всех аналитических и гармонических функций в О соответственно; ЬРр (О) - класс измеримых по Лебегу в области С функций / таких, что ы)\рс1Р(м>,дС)с1т2(м>)<+оо,0< р<+оо,/3>-\, (0.1) в где с1т2 — плоская мера Лебега; /гд((7) — множество гармонических в С функций и, для которых справедливо условие (0.1); Ар (О) — подпространство пространства /^((7), состоящее из аналитических функций; IIр - класс Харди в единичном круге ; кр - класс Харди гармонических в £ функций. Обозначим, кроме того, Ьр (С?) = V (в), Ц (в) = кр (в), Ар (С) = Ар (в).

Для и е h(S) пусть также Мр{г,и) = 1 ' . 'р u(re'°)\p da

V -я

Из классической теоремы М. Риссаизвестно, что если ugJip, 1 <р< +°о, и v - гармонически сопряженная с и функция, v(0) = 0, то

Мр(г,v)<с{р)Мр(г,и), 0<г<1,1<р< +00. При 0 < р < 1 такая оценка неверна. Так, известная теорема А.Н.

Колмогорова утверждает: если и е /г1, тогда для сопряженной с ней функции v, v(0) = 0, справедливо неравенство

Мр(г,v)<c(p)Mi(г,и), 0<г< 1, 0<р<1.

Г. Харди, Д. Литтлвуд доказали (см. [33]): если и, v — гармонически сопряженные функции в единичном круге S, v(0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия sup Мр(г,и)<+ со вытекает

0<г<1

MJr,v)<c(p) In

1 ^

1 -г р с>0.

Более того, существует функция u0(z) такая, что sup Мр(г,и0)<+ оо, но в то

0<г<1 же время для функции v0(z), гармонически сопряженной с ней, справедлива 1 лУр оценка М (r,v0) > с0 In-- , с0 > 0.

V 1 -rJ

Вышеуказанная теорема М. Рисса эквивалентна ограниченности интегрального оператора с ядром Коши P(f)(z) =-í zgS, в

2 mJT£ -z пространстве LP (Т) при всех 1 < р < +оо.

В то же время, из результатов А.Н. Колмогорова следует, что интегральный оператор с ядром Коши не отображает пространство Ú (Т) в Н1.

В работе Д. Ньюмена [38] было установлено, что не только интеграл типа Коши не отображает пространство Ll (Т) на Нно и вообще не существует ограниченного линейного оператора, выполняющего указанное отображение.

Учитывая, что интегральный оператор с ядром Пуассона отображает пространство Ú (Т) в класс hl, вышеуказанный результат можно сформулировать следующим образом: не существует никакого ограниченного линейного интегрального оператора, отображающего hl на Н1.

В случае пространств типа Бергмана картина совершенно иная. Еще в 1981 г. Ф.А. Шамоян установил (см. [24], [23]), что можно построить линейный п (г ^ 2(77 + 1) (l-Id2)7 ограниченный интегральный оператор с ядром D = ——---г— . / , к (i-^ЧГ z,£<=S, отображающий пространство h^ (S) в А^ (S), /3>-1, при всех В +2

0< р<\, r¡>--1. Для l< р < +со данный результат можно вывести Р непосредственно из вышеуказанной теоремы М. Рисса. Заметим, что ядра Dq (C,z) впервые были введены в работах М.М. Джрбашяна [4], [3].

Изучению данных проблем при 1 < р < +со, то есть, по сути, обобщению вышеуказанной теоремы М. Рисса в случае областей с общими границами, посвящено большое количество работ. Обратим внимание по этому поводу на статьи П.Х. Татояна [12], A.M. Шихватова [25], [26], A.A. Соловьева [9], [10], Я. Бурбеа [28], X. Хеденмальма [34].

Отметим, что в вышеперечисленных работах рассматривались проекторы, строящиеся на основании ядра Бергмана K(w,ju) = — -,ju,weG,

1 ysWiw) где у/ - функция Римана, конформно отображающая область G на единичный круг S, выполняющие отображения в пространствах Бергмана без веса, то есть в пространствах Ар (G).

1< j<m J пространство Лебега на соответствующее пространство аналитических функций, ограничен, в отличие от областей с гладкой границей, не при всехр, а только при р е 2 2 л

1 + а 1 -а если — < а < 1, и при 1 < р < +<х>, если а > 1. 2>

В работе X. Хеденмальма [34] установлено, что оператор с ядром Бергмана действует из Ьр(Ст) в Ар {О) для произвольной односвязной области

Ро

G со спрямляемой границей, но только при р0<р< —-—, где pQ е

Ро~1 з',

С вышеуказанной проблемой тесно связана задача оценки LP -нормы аналитической функции через норму ее производной. В этой связи напомним известную теорему Харди-Литтлвуда (см., например, [31]): если / е H(S), 0<р< +со, /(0) = 0, ß > —1, то при некоторых положительных постоянных сх,с2 справедливы неравенства

C\\\f{z)\PQ~\z\)ß dm2{z)< s \\fX4P - \z\)ß+P dm2 £ c2\\f{z)\p (1 - \z\)ß dm2 (z). s s

Отметим, например, результаты Ж. Детраз (см. [29]), распространившую оценки для областей с границей класса С1; К.П. Исаева, P.C. Юлмухаметова (см. [6]), которые доказывают аналог оценки Харди-Литтлвуда для дополнения выпуклых ограниченных областей, но только при р = 2.

В диссертации исследуются 2/-весовые пространства аналитических и гармонических в односвязных областях функций. Рассматриваются вопросы, связанные с возможностью обобщения вышеуказанной теоремы Харди-Литтлвуда на области с границей более общего вида в пространствах аналитических функций с весом, представляющим собой степень расстояния до границы. Кроме того, решение указанной проблемы позволяет в явном виде построить ограниченные интегральные проекторы, действующие в LP -весовых пространствах аналитических и гармонических функций, при всех 0 < р < +оо.

Цель работы.

1) Получить обобщение теоремы Харди-Литтлвуда об Ьр -весовых оценках нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной для более широких классов областей.

2) Построить ограниченный проектор, отображающий Ьр -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей при всех 1 < р< +оо.

3) Построить ограниченный проектор, отображающий ¿/-весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех О < р < +оо в случае односвязной области с кус очно-гладкой границей и. в случае односвязной области' с асимптотически конформной границей.

Методика исследования. В работе" применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов посредством специальных воспроизводящих ядер.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Доказана оценка сверху Ьр -нормы производной п-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции при всех' 0<р< +оо в весовом пространстве аналитических в произвольной области функций.

2) Получены оценки V -нормы аналитической функции через норму производной п-го порядка функции при всех 0 < р < +оо в весовом пространстве аналитических функций как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае области с асимптотически конформной границей.

3) Построен ограниченный проектор, отображающий Ьр -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

4) Построен ограниченный проектор, отображающий Ьр -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех О < р < +со для областей вышеуказанных классов.

5) Описаны пространства, сопряженные к Ьр -пространствам аналитических функций со степенным весом, в случае односвязных областей рассматриваемых классов.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые пространства аналитических в односвязных областях функций: изучаются проблемы ограниченности интегральных операторов в данных пространствах; вопросы оценки I/ -нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной в указанных весовых пространствах; задачи описания линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических функций.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в комплексном анализе, в гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут употребляться специалистами в области комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Весовая оценка сверху Ьр -нормы производной п-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции в произвольной односвязной области при всех 0 < р < +оо, а также весовая оценка сверху и снизу Ьр -нормы аналитической функции через аналогичную норму производной п-го порядка функции при всех 0 < р < +оо как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей, а также для дополнения ограниченной выпуклой области при 2 < р < +оо.

2) Построение ограниченного проектора, отображающего Ьр -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

3) Построение ограниченного проектора, отображающего V -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 < р < +оо в случае односвязной области с кус очно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2004 - 2009 гг.); на апрельских конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2004 - 2009 гг.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2008 г.); на всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 91 научных работ: [13] — [21], четыре из них в соавторстве с научным руководителем. Работа [20] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 116 страниц. Библиография содержит 43 наименования.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ткаченко, Наталья Михайловна, Брянск

1. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт. - М.: Мир, 1984.-469 с.

2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

3. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. 1948. - Вып. 2. - С. 3-35.

4. Джрбашян М.М. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций / М.М. Джрбашян // ДАН АрмССР. 1945. -Т. 3, № 1. - С. 3-4.

5. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. М.: Наука, 1977. - 512 с.

6. Исаев К.П. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана / К.П. Исаев, P.C. Юлмухаметов // Известия РАН. Серия математическая. 2004. - Т. 68, № 1. - С. 5-42.

7. Макаров Н.Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений / Н.Г. Макаров // Алгебра и анализ. 1989. - Т. 1, вып. 1. -С. 3-57.

8. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих комплексных переменных / Л.И. Ронкин. М.: Наука, 1971. - 432 с.

9. Татоян П.Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций / П.Х. Татоян // Доклады АН АрмССР. 1969.Т. 49, № 1.-С. 3-8.

10. Ткаченко Н.М. Об оценках производной аналитической функции в Ьр-весовых пространствах / Н.М. Ткаченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. Брянск: РИО БГУ, 2006. - № 4. - С. 194-197.

11. Ткаченко Н.М. Ограниченные проекторы в весовых пространствах функций, гармонических в угловых областях / Н.М. Ткаченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки.- Брянск: РИО БГУ, 2007. № 4. - С. 67-71.

12. Ткаченко Н.М. Об оценках модуля производной аналитической в угловой области функции / Н.М. Ткаченко // Вестник Ижевского государственного технического университета. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2008. № 1 (37). - С. 96-98.

13. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. — 1990. Т. 31, № 2.С. 197-215.

14. Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений М.М. Джрбашяна к некоторым вопросам анализа / Ф.А. Шамоян // ДАН СССР. 1981. - Т. 261, № з. с. 557-561.

15. Шамоян Ф.А. Теорема вложения и характеристика следов впространствах Нр (0 < р < +оо) / Ф.А. Шамоян // Мат. сборник. 1978. -Т. 107 (109), вып. 3. - С. 126-144.

16. Шихватов A.M. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой / A.M. Шихватов // Математические заметки. 1975.Т. 18, №3.-С. 411-420.

17. Шихватов A.Ml Об LP -пространствах функций, аналитических в области с кусочно-аналитической границей / A.M. Шихватов // Математические заметки. 1976. - Т. 20, № 4. - С. 537-548.

18. Bergman S. The kernel function and conformai mapping / S. Bergman // Amer. Math. Soc., Math. Sur. 1950. -№ 5. - P. 1-161.

19. Burbea J. The Bergman projection over plane regions / J. Burbea // Ark. for mat. 1980. - V. 18, № 1. - P. 207-221.

20. Detraz J. Classes de Bergman de functions harmoniques / Detraz J. // Bull. Soc. Math. France. 1981. - V. 109. - P. 259-268.

21. Djrbashian A.E. Topics in the theory of A§ spaces / A.E. Djrbashian, F.A. Shamoyan // Leipzig: Teubner-Texte zur Math. 1988. - V. 105. - 200 P.

22. Duren P. Theory of Hp spaces / P. Duren. New York: Academic Press, 1970.-292 c.

23. Duren P. Bergman spaces / P. Duren and A. Schuster // Math. Sur. and Monographs. 2003. - V. 100. - 298 P.

24. Hardy G.H. / Some properties of conjugate functions / G.H. Hardy, J.E. Littlewood // J. Reine Angew. Math. 1932. - V. 167. - P. 405-423.

25. Hedenmalm H. The dual of Bergman space1 on simply connected domains / H. Hedenmalm // J. d' Analyse Mathématique. 2002. - V. 88. - P. 311-335.

26. Hedenmalm H. Theory of Bergman spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum and K. Zhu // New York: Springer, 2000. 277 P.

27. Kolmogoroff A.N. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier / A.N. Kolmogoroff// Fund. Math. 1925. - V. 7. - P. 24-29.

28. Kolmogoroff A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout / A.N. Kolmogoroff// Fund. Math. 1923. -V.4. - P. 324-328.

29. Newman D.J. The nonexistence of projections from Û to H1 / D.J. Newman //Proc. Amer. Math. Soc. 1961. -V. 12. - P. 98-99.

30. Pommerenke Ch. Schlichte Functionen und analytische Functionen von beschrankter mittlerer Oszillation / Ch. Pommerenke // Comment. Math. Helvetici. 1977. - V. 52. - P. 591-602.

31. Pommerenke Ch. On univalent functions, Bloch functions and VMOA / Ch. Pommerenke // Math. An. 1978. - V. 236. - P. 199-208.

32. Privaloff I.I. Sur les fonctions conjuguées / I.I. Privaloff. Bull. Soc. Math. France. - 1916. -V. 44. - P. 100-103.

33. Riesz M. Sur les fonctions conjuguées / M. Riesz // Math. Zeit. 1927. - V. 27.-P. 218-244.

34. Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions / K. Seip // Amer. Math. Soc., Univ. lecture series. 2004. - V.33. - 132 P.