Весовые оценки интегралов Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

§1.1. Особенности интегральных операторов.

§1.2. Классические результаты Г.Г. Харли о дробных интегралах.

§ 1.3. Случай а > I.

§ 1.4. Критерий К. Андерсена и Э. Сойера.

Глава 2. Ограниченность и компактность одновесовых операторов Римана-Лиувилля в лебеговских пространствах

§2.1. Ограниченность.

§ 2.2. Компактность.

§ 2.3. Двойственные и дискретные варианты.

§ 2.4. Другие результаты.

Глава 3. Случай переменных пределов интегрирования.

§3.1. Предварительные замечания.

§3.2. Ограниченность.

§ -3.3. Компактность.

Глава 4. Весовые неравенства и нелинейные уравнения.

§4.1. О нелинейном уравнении типа Риккати.

§ 4.2. Об интегральном уравнении Абеля второго рода.

Идея обобщения понятия производной dpf(x dxP на нецелые значения р привела к появлению дробного дифференцирования и, обратной к ней, операции дробного интегрирования. Среди различных подходов к определению последней отметим лиувиллевскую форму 1 ф(х + t)tp-x Сit, X е м, р > о, полученную в работе [34], и конструкцию

1 ry(t)dt

Lei> х — t

1-а

X >0, а > 0.

0.1 указанную в работе Б. Римана [49] и, независимо, в работе X. Хольмгрена [31]. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии [11], где, в частности, выражение (0.1) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувиллл.

Пусть г > 0 и Lr = ЬГ(Ш+) обозначает пространство всех измеримых по Лебегу функций на полуоси М+ = (0, ос-), для которых

ОО > \\f\\r ess sup |/(.х') ж>0 при Г < оо при г = оо.

Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродифферен-цированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида

IQfu){x)v(x)\qdxJ < С Ц \f(x)\pdx\ . (0.2 где 0 < р, q < оо, р > 1, и(х) и v(x) — локально суммируемые функции без каких-либо априорных ограничений.

Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда (см.[29, теоремы 329, 383, 402], в которых найдены критерии выполнения (0.2) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / (->■ vla(uf) в пространствах Лебега.

Активное развитие выделенной области дробного интегрирования началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [57], Д. То-маселли [58], Б. Мукенхаупта [44], Дж. Брэдли [25], А.Л. Розина и В.Г. Ма-зьи [41], [42]. [8], В.М.Кокилашвили [4], С.Д. Рименшнайдера [50] и других авторов был полностью изучен случай а = 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова [13], [14], [15], [16], [17], были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова [9], [10], X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [40], С. Блума и Р. Кермана [23], [24] а также В.Д. Степанова и его учеников [36], [37]. [46], [47], [6], [7], [38], [45].

Случай а Е (0, 1), за исключением одного результата К. Андерсена и Э. Сойера [20] (см. §1.4), оставался практически не исследован. В 1994 в рамках изучения поведения s-чисел одновесового оператора / ь-> v(Iaf) в L2 в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [48] был указан критерий ограниченности и компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований во второй главе диссертации, где получены критерии выполнения (0.2) при и = 1, 0 < р, q < оо, р > тах(1, и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров ряд аналогичные результаты независимо получены А. Месхи [4-3]. Кроме этого, во второй главе даются двойственные и дискретные версии, а также охарактеризована ограниченность оператора vla в пространствах Лоренца.

В настоящее время в связи с некоторыми теоремами вложения (см. [18]) рассматриваются весовые неравенства для интегральных операторов с переменными пределами вида

ОС

Kf){x)\qdx < С

I f(x)\pdx где

-•0(Х)

К'f)(x) = v(x ф(х) x-y)Q lf{y)u{y)dy, а ф, ф возрастающие, абсолютно непрерывные на функции со свойством 'ф(х) < ф(х) < х. В третьей главе приведены критерии Lp — Lq ограниченности и компактности оператора /С в случае а > 1 и доказаны новые результаты когда и = 1, 0 < р, q < ос, р > max(^, 1), при этом случай 0 < а < 1 является новым, а критерий уже решенного случая а > 1 отличается от известных (см. [39], [2], [37], [28], [30], [27]).

В четвертой главе неравенство (0.2) охарактеризовано для и = 1 или V = 1 при р = q и а Е (0, 1), а также даны приложения к разрешимости интегрального уравнения Абеля вида v x

I*vp)(x)+ew(x), где uj измеримая неотрицательная функция на i* — оператор вида а коэффициенты а.е > 0. Показано, что данное уравнение имеет решение v в классе измеримых, конечных почти всюду на (0, а) функций "в малом11, то есть при некотором £ > 0, тогда и только тогда, когда оператор w р \(о,я)Лу действует из U в U'.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы. Параграфы и формулы занумерованы двойным индексом; первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа или формулы в данной главе. Нумерация лемм, теорем, следствий наследует нумерацию параграфов, добавляя свой порядковый внутри параграфа номер. Так, например, (1.3) означает третью формулу в первой главе, а теорема 2.4.1 означает первую теорему параграфа § 2.4, то есть четвертого параграфа второй главы.

1. Банах С. Курс функционального анал1зу // Кипз, 1948

2. Бережной Е.И. Точные оценки операторов на конусах в идеальных пространствах // Труды МИ РАН, 1993, Т. 204 с. 3 34.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ // М.: Наука, 1977.

4. Кокплашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах // Сообщ. АН ГССР, 1979, Т. 96, № 1, с. 37-40.

5. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций // М.: Наука, 1966.

6. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространствах на полуоси // Доклады АН, 1998, Т. 359, № 1, с. 21-23.

7. Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об асиптотическом поведении аппроксимативных чисел п оценках норм Шаттена-фон Неймана для интегрального оператора Харди // Доклады АН, 1999, Т. 367, № 5,с. 594-596.

8. Мазья ВТ. Пространства С.Л. Соболева // Л.: ЛЕУ, 1985.

9. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов, // Доклады АН СССР, 1992, Т. 44, с. 291- 293.

10. Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов // Труды МИ РАН, 1993, Т. 204, с. 240-250.

11. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск: Наука и техника, 1987.

12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений // М.: ГИФМЛ, 1958.

13. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля I. // Препринт, ВЦ Л ВО АН СССР, Владивосток. 1988.

14. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля II. // Препринт, ВЦ ДВО АН СССР, Владивосток, 1988.

15. Степанов В.Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков и их приложения // Доклады АН СССР, 1988, Т. 302, № 5, с. 1059-1062.

16. Степанов В.Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков // Труды МИАН СССР, 1989, Т. 187, с. 178 190.

17. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля // Изв. АН СССР Сер. Матем., 1990, Т. 54, № 3, с. 645-656.

18. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Труды МИ РАН, 2001.

19. Титчмарш Е. Теория функций // М.: Наука, 1980.

20. Andersen K.F. and Sawyer Е.Т. Weighted norm inequalities for the Rie-mann-Liouville and Weyl fractional integral operators // Trans. Amer. Math. Soc., 1988, V. 308, № 2, P. 547-558.

21. Ando T. On compactness of integral operators // Nederl. Akad. Wetensh. Proc., ser. A-65, № 2 — Indag. Math., 1962, V 24, № 2.

22. Bennet G. Some elementary inequalities, III, // Quart. Math. Oxford, 1991, V. 42, № 2, P. 149-174.

23. Bloom S. and Iverman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type // Proc. Amer. Math. Soc., 1991, V. 113, P. 135 141.

24. Bloom S. and Kerman R. Weighted Lcj-integral inequalities for operators of Hardy type // Preprint.

25. Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms // Canad. Math. Bull., 1978, V. 21, № 1, P. 405-408.

26. Chung H.-M., Hunt R.A. and Kurtz D.S. The Hardy-Littlewood maximal function on L(p, q) spaces with weights // Indiana Univ. Math. J., 1982, V. 31, P. 109-120.

27. Chen T. and Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures // Preprint, 1999.

28. Gogatishvili A. and Lang J. The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces //J. Ineq. Appl., 1999, V. 4, P. 1-16.

29. Hardy G.H., Littlewood J.E. and Polya G. Inequalities // Cambridge Univ. Press, 1959.

30. Heining H.P. and Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators // Studia Math., 1998. V. 129. P. 1-57-177.

31. Holmgren Hj. Om differentialkalkylen med indicies af hvad natur som heist // Kongl. Svenska Vetenskaps-Akad. Handl. Stockholm, 1865 1866, Bel 5, № 11, S. 1-83.

32. Imrri Ch. Semilinear ODEs and Hardy's inequality with weights // M.S. Thesis, Univ. of Missouri, Columbia, 1997, P. 1-21.

33. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators // Proc. London Math. Soc., 1999, V. 79, P. 649-672.

34. Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique. et sur un nouveau genre de calcui pour resoudre ces questions // J. l'Ecole Roy. Polytechn. 1832, T. 13. sect, 21, P. 1-69.

35. Lomakina E. The boundedncss and compactness of generalized Hardy operator with variable limits of integration // Preprint № 46, 2000, CC FEB RAS, Khabarovsk.

36. Lomakina E.N. and Stepanov V.D. On the compactness and approximation numbers of Hardy-type operators in Lorenz spaces //J. London Math. Soc., 1996, V. 53, P. 369-382.

37. Lomakina E.N. and Stepanov V.D. On the Harcly-type integral operators in Banach function spaces // Publ. Mat., 1998, V. 42. P. 165-194.

38. Lomakina E.N. and Stepanov V.D. On asymptotic behavior of the approximation numbers and estimates of Schatten-von Neumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and applications, Narosa Publishing House, New Dehli, 2000, 153-187.

39. Manakov V.M. On the best constant in weighted inequalities for Riemann-Liouville integrals // Bull. London Math. Soc., 1992, V. 24, P. 442 448.

40. Martin-Reyes J.F. and Sawyer E. Weighted inequalities for Riemann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106, P. 727- 733.

41. Maz'va V.G. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. I // Leipzig: Teubner, 1979.

42. Maz'ya V.G. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. II // Leipzig: Teubner, 1980.

43. Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators // Georgian Math. J., 1998, V. 5, P. 564-574.

44. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with weights // StudiaMath., 1972, V. 34, № 1, P. 31 38.

45. Nasyrova M.G. Overdetermined weighted Hardy inequalities on semiaxis // Proceedings of the International Conference on Function Spaces and Applications to the Partial Differential Equations, Narosa Publishing House, New Dehli, 2000, P. 201-231.

46. Nasyrova M.G. and Stepanov V.D. On weighted Hardy inequalities on semiaxis for functions vanishing at the endpoints // J. of Inequal. and Appl., 1997, V. 1, P. 223 238.

47. Nasyrova M.G. and Stepanov V.D. On maximal overdetermined Hardy's inequality of second order on a finite interval // Math. Bohemica, 1999, V. 124, No 2-3, P. 293-302.

48. Newman J. and Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis // Integr. Equat. Oper. Th., 1994, V. 20, P. 335-349.

49. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung cler Integration unci Differentiation // Gesamrrielte Mathematische Werke. Leipzig: Teubner, 1876, P. 331-344.

50. Riemenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators // Tohoku Math. J., 1974, V. 26, P. 385-387.

51. Sawyer E. Weighted Lebesgue and Lorentz norm inequalities for the Hardy operator // Trans. Amer. Math. Soc., 1984, V. 281, № 1, P. 329-337.

52. Sawyer E. Weighted inequalities for the one-sided Hardy-Lit.tlewood maximal functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1986, V. 297, № 1, P. 53-61.

53. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities // ,J. Math. Anal. Appl., 1991, V. 160, P. 434-445.

54. Sinnamon G. and Stepanov V.D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the casep = 1 // J. London Math. Soc., 1996, V. 54, P. 89-101.

55. Solomyak M. Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lv // Operator Theory: Advances and Applications, 2000, V. 113, P. 371 383.

56. Stepanov Y.D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics, Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications // Prometheus Prague, 1994, V. 5, P. 139-176.

57. Talenti G. Osservazione sopra una Classe di Disuguaglianze // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano., 1969, V. 39, P. 171-185.

58. Tomaselli G. A class of inequalities // Boll. Un. Mat. Ital., 1969, V. 2, P. 622-631.

59. Verbitsky I.E. Superlinear equations, potential theory and weighted norm inequalities, Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications // Proceedings, Prague, May 31 June 6, 1998, V. 6. P. 223 -269.

60. Welland G.V. Weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal function // Proc. Amer. Math. Soc., 1975, V. 51, P. 143-148.Работы автора по теме диссертации

61. Прохоров Д.В. Об ограниченности одного интегрального оператора // Дальневосточная матем. школа-семинар, г. Владивосток, Тезисы докладов 1998, с. 74.

62. Прохоров Д.В. Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов // Препринт, ВЦ ДВО РАН, Хабаровск, 1998, № 33.

63. Prokhorov D.V. On boundedness of fractional Riemann-Liouville integrals // Международная конференция по анализу и геометрии , г. Новосибирск, Тезисы докладов, 1999, с. 90-92.

64. Prokhorov D.V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators with variable upper limit // Preprint, CC FEB RAS, Khabarovsk, 1999, № 40.

65. Прохоров Д.В. Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами // IV-й Сибирский конгресс ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000, Тезисы докладов, часть I, с. 134-135.

66. Prokhorov D. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc:., 2000. V. 61. P. 617-628.

67. Прохоров Д.В. Об ограниченности одного интегрального оператора // Дальневосточная матем. школа-семинар, г. Владивосток, Тезисы докладов 2000, с. 91-92.