Ветвление представлений локально p-одномерных квадратичных форм родом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГВ ОД

К - 2~5 ЛЕК 2000

Владимирским государственный ьоии

педагогический университет

На правах рукописи Хорошева Анна Владимировна

ВЕТВЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНО р-ОДНОМЕРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ РОДОМ

01.01.06. - математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир 2000

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Владимирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор Журавлев В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение

математического института РАН им. В.А. Стеклова

Защита диссертации состоится декабря 2000 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом университете доктор физико-математических наук, доцент

доцент Гриценко С.А.,

доктор физико-математических наук, профессор Танкеев С.Г.

Степанов С.Е.

Ш2>.2 оз

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В диссертации исследуется задача представления квадратичной формы А размерности т родом 7 положительно определенных квадратичных форм <2 размерности п > т и находится вес рп(А\ 3") примитивных представлений формы А родом Э" = [<3]. Задачи классификации и представления квадратичных форм являются классическими для теории чисел. Первый общий результат по представлению формы А родом 3" был получен Зигелем [1] в 1935 году

п(Л;У) = т(У) Ц ар(А,?),

р= —1,2,3,...

где ар(А\3") - локальные плотности, т(Эг) = ~ мас-

са рода Э', вычисленная в 1885 году Минковским [2]. В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки вычисления локальных плотностей. Используя локальные плотности и зиге-левы модулярные формы, Китаока [3, 4] получил качественные и оценочные результаты о представлении формы А формой С} размерностей п 2т + 2 и п ^ 2т + 3 (т ^ 2).

А.Н. Андрианов в работах [5] - [7], используя операторы Гек-ке, для произвольных размерностей т выразил усреднение числа представлений формы А родом У. В последнее время А.Н. Андрианов [8] исследовал случай сингулярных операторов Гекке Т(р) для р, делящих одновременно определители форм А и <2- Другим методом О.М. Фоменко и Е.П. Голубева [9, 10] исследовали асимптотическое распределение целых точек на поверхностях второго порядка.

Аддитивный подход к вычислению веса представлений формы родом, впервые предложенный Гауссом для нахождения количества представлений числа суммой трех квадратов, использовал В.Г. Журавлёв в 1996 [11]. Используя р-символы Конвея и Слоэна

[12] и масс-формулу Минковского - Зигеля [1], им были получены условия существования примитивных представлений формы А с бесквадратной ступенью а родом Э" форм определителя й, взаимно простого с а, и формула Гаусса - Минковского для веса п{А\3). Геометрическим аналогом аддитивного подхода является склейка форм Витта - Кнезера.

Случай, когда уровень а формы А и определитель (I = |<5| имеют общие делители, не был ранее исследован и представляет трудность при любом подходе так как возникает ветвление представлений, проявляющееся в многообразии р-инвариантов форм сцепки. Благодаря классификации всех минимальных неразложимых представлений, которые задают число орбит примитивных представлений, в диссертации удалось получить условия'существования и формулы веса примитивных представлений локально р-одномерной формы родом в случае ветвления.

Геометрическим аналогом представления форм являются вложения соответствующих решеток.Задача о числе возможных под-решеток возникает в связи с ростом квазикристаллов и является современной проблемой кристаллографии.

Цель работы. Для форм А нечетной коразмерности найти условия существования примитивных представлений формы А родом Э" и получить формулы для веса рп{А\ 3) примитивных представлений в случае ветвления, то есть когда уровень а формы А и определитель й формы С} имеют общие делители р. Рассмотреть приложения формул к классическим решеткам корней, одноклассным формам и формам небольших размерностей.

Методы исследования. В работе используется теория р-символов Конвея и Слоэна, локальный метод Минковского-Хассе, аддитивный метод склейки форм и теория ветвления представлений над кольцом р-адических чисел.

Научная новизна. В диссертации получены следующие но-

вые результаты для положительно определенных квадратичных форм А нечетной коразмерности.

1. Благодаря классификации минимальных неразложимых представлений найдены условия существования примитивных представлений родом 3" формы А и получена формула для веса рп(А\Эг) примитивных представлений, если а = |Л| и наибольший общий делитель (a, d) ^ 1, (а, d) = 1 (mod 2);

2. Рассмотрены приложения формул веса к формам классических решеток корней, одноклассным формам и формам небольших размерностей;

3. Найдены роды квадратичных форм с заданными локальными инвариантами.

Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в дискретной геометрии, связанной с многомерными решетчатыми упаковками, в арифметической теории квадратичных форм для решения систем диофантовых уравнений второй степени и найти практическое приложение в задачах цифровой связи, в теории двумерных и трехмерных упаковок, используемых в кристаллографии и химии, в численных вычислениях многомерных интегралов. Результаты диссертации могут быть положены в основу спецкурса по диофантовым уравнениям и системам в Московском государственном университете, С.-Петербургском государственном университете и Владимирском государственном педагогическом университете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." (Ростов-на-Дону, 1999), на XXII конференции молодых ученых (МГУ, 2000). Основные результаты были представлены в тезисах докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим сис-

темам (Суздаль, 2000), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Владимирского государственного педагогического университета (1998 - '2000 г. г.), на научном семинаре Владимирского государственного педагогического университета под руководством профессора Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [14] - [19].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих пятнадцать параграфов и изложена на 143 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 50 наименований, включая работы автора.

Содержание работы

Во введении определен круг решаемых задач, обоснована их актуальность. Приведен обзор результатов, получепных ранее другими авторами в этой области. Сформулирована цель работы и кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава состоит из пяти параграфов. В ней приводятся основные определения, используемые в диссертации. Форма А размерности т представима родом И форм С} размерности п, если хотя бы для одной формы С] Е имеет целочисленное решение уравнение

<2[Х] = 'ХАХ, X £ М„,т(2).

В работе рассмотрены представления р-одномерных форм А. Форма А называется р-одномерной, если а = |Л|. Для таких форм получены все минимальные неразложимые представления.

В первом параграфе определяются локальные р-символы и 2-приведенные (канонические) символы Конвея-Слоэна [12]. При-

ведены условия существования для каждой жордановой составляющей разложения формы над кольцом 2Р.

Во втором параграфе сравниваются два подхода к вычислению веса представлений п(А; 3") формы родом, приведена формула Гаусса-Минковского, полученная В.Г. Журавлевым [11] для веса представлений формы А родом 3" = [<Э]

рп(Л;У) = с{п - т) ■ вМ(п - т, |С|) Д ар(Л;0), (1)

р\2аЛ

где с=\ для п — т = 1 и с = 1 для п — т > 1, std(n — т, |С|) -стандартная функция, равная произведению ^-функции Римана и ¿-функции Дирихле. Значения std(n—m, |С|) вычислены Конвеем и Слоэном [12]. Локальные множители ар(Л; зависят только от р-символов форм А и и получены в явном виде во второй главе.

В третьем параграфе получена классификация представлений первого уровня - разбиение множества примитивных представлений по родам [О] форм <7 из ортогонального дополнения к А в <5 (Предложение 3.1) и классификация представлений форм второго уровня - разбиение множества примитивных представлений по орбитам матриц сцепки {С} из множества решений матричного сравнения аА~1[С] = —С(шо<1 а Хр) (Предложение 3.2). Для описания всех возникающих родов [С] и орбит матриц сцепки {С} используется локальный метод теории квадратичных форм - переход от кольца целых чисел Ъ в локальное кольцо Ър. В работе рассматриваются локально р-одномерные формы А, то есть формы, ступень а которых совпадает с ее определителем с1е1 А = = \А\. Ограничение а = |Л| означает, что для любого простого р\а . разложение А в прямую сумму над кольцом целых р-адических чисел 2Р имеет вид:

ЛхФрМр,, (2)

где А1 е Мт-i(Zp), det А\ = |/li| ^ 0 (mod р), и - степень вхождения р в а.

В четвертом параграфе для произвольных форм G найдены все сцепляющие А и G векторы С и вычислены локальные инварианты получающихся при этом квадратичных форм Qq(C).

В пятом параграфе содержатся основные результаты об орбитах примитивных представлений. Здесь классифицированы орбиты {С} по содержащимся в них векторам С минимальной длины и выписаны соответствующие минимальные представления X и их веса и>. Для и = 1 возможны всего два вида минимальных представлений (Теорема 5.1). Для и = 2 появляются уже семь видов минимальных представлений размерностей один, два и три (Теорема 5.2). Если же и = 3, то минимальных представлении -13 различных видов, добавляются еще минимальные представления размерности четыре (Теорема 5.3). Зная минимальные представления, легко получать условия существования представлений форм, а также находить число орбит {X} для решений квадратичного уравнения Q[X] = А: число орбит равно взвешенному числу разложений формы Q в виде прямой суммы Л' ф У с произвольной второй формой Y.

Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней устанавливаются условия существования примитивных представлений родом 7 формы А, ступень а которой совпадает с ее определителем det. ,4 = |Л| и в явном виде получены формулы веса примитивных представлений формы А родом 3".

В седьмом параграфе вычисляются локальные множители ap(A;Q) для взаимно простых and, причем сняты ограничения - d = |Q| и а - бесквадратное, налагаемые в [11].

В восьмом, девятом и десятом параграфах исследуется ветвление представлений р-одномерной формы А (2) родом Э" = [Q]. Формы Q для простого p\d над кольцом целых р-адических чисел

Zp разлагаются в прямую сумму:

Q~pQi®P°Qp(3)

где Qi е M„_i(Zp) или Q! G M„_2(ZP), det.Q, = ЮжI £ О (mod р). Условия существования примитивных представлений найдены благодаря классификации примитивных представлений и сформулированы в терминах локальных инвариантов формы А и рода J = [Q]. Этот результат представляет собой набор локальных ограничений, количество которых зависит от простых делителей произведения 2ad, обеспечивающих представимость формы А родом 3. При вычислении формулы весартг(у1; 7) примитивных представлений родом 3 определителя d форм А ступени а = |Л|, (a, d) = l(mod 2), использована общая формула веса (1) В.Г. Журавлева [11]. В отличие от [11], на ступень а не накладывается условий бесквадратности и взаимной простоты с d.

В одиннадцатом параграфе сформулированы основные результаты второй главы. Для р-одномерных форм Q в Теореме 11.1 найдены локальные множители ap(A',Q) для р-одномерной формы Q. Для s = 1 и s = 2 эта теорема имеет вид.

Теорема 11.1. Если род форм Q (3) с одномерным блоком Qps представляет форму А (2), тогда локальный множитель a(A;Q) для нечетного р, делящего а и d одноврельенно в случае нечетной разности размерностей п — т вычисляется по формулам:

1. Если .ч = 1, то

aP{A-,Q) = (рп> + ep{A)ep{Q))/2, для i/ = 1, <*p(A;Q) =рп'12{рп' -1)/2, для v = 2, ap{A-,Q)=pn'{pn' - 1)/2, для is =3-,

2. Если s = 2, и = 1, то

ap(A]Q)=pn''2(pn' - 1)/2,

3. Если в = 2, и — 2, то

/ (_1)»'/2 . а \

где £1 = I -—'—-£ I е1(б?)е1(Л)ер5(<Э), если ер2(Л) -е,,^«?) =

^—и £1 умножается на (—1) в противном случае, а последнее слагаемое не равно нулю при £рг(Л) = £рз(<3); множитель (г]) вычисляется по формуле (4-22). 4- Если в = 2, V — 3, то

аР(А;<?) = (р3"'/2(рп' _ 1} + {р _ 1)(рп'/з + £2))/2>

где знак е2 = - I — ) £х ({?)£1(Л)£рз(<3).

Рассмотрим двуклассный род 3", состоящий из неэквивалентных форм вида <5х = 1 8 А4, (¡1 — 14 ф 5, где 1п - единичная матрица размера п, Ап - матрица Грама п-мерной решетки корней с нулевой суммой, с инвариантами п = 5, в. = 5, 5д = 1+45+1, = 17®. По Теореме 11.1 вес примитивных представлений бинарной формы А ~5 Лх ф 5А5 нечетной ступени а, 52||а родом 3" вычисляется по формуле

рп(Л;3-) = 10-а2(Л;д) Д р^1 (р +£1(А) (-)) ,

Р#3.5

где а2= (1 ± 2-1)/4 при ocí = ±1 или ±3(то<1 8), ос* = 5 --<х(Л)(тос! 8), если ^^ = +1; ос1 = 1—*х(Л)(то<1 8), если ^^ = = —1. Здесь ¿х(Л) - странность блока А\ формы Л.

В Теореме 11.2 найдены локальные множители для р-двумер-ных форм вида (3). Для в = 1 эта теорема имеет вид.

Теорема 11.2. Если форма А (2) представима родом форм <3 (3) с двумерным блоком С}р>, тогда локальный множитель

ар(Л;<5) для нечетного р, делящего а и (1 одновременно в случае нечетной разности размерностей п — т вычисляется по формулам:

Для и = 1

оРИ;<2) = (Р{Р(П'-2)Г1 + Рп' ~ 1)(Р - £2)"' + (р"'/2 + е. ))/2. Для V = 2

Ор(Л;д) = (р(»' + 2)/2^(п'-2)/2 + _ 1)(р_е2)-1

+ 2рп'/2{рп'/2+£з))/2

Для и = 3

ар(Л;д) = (р"'+1(Р1"'-2)/2 - 1)(р-еа)-1

+ 2(Р"'/2 + £1))/2,

где последнее слагаемое не равно нулю, если £^(<5) = ^—^ . Знаки = (у) (Л), £2 = (у) ер. (3), £3 = £1 • .

Рассмотрим двуклассный род 1 = [<3] форм вида = 1з Ф 3 • • <5'2 = 1 Ф Ф с инвариантами п = 5, /г = 2, с/ = 9, Зд = = 1+33+2, 2ц = 1*®. Предположим, что бинарная форма А имеет четный уровень а, З3||а. Отсюда, по Теореме 11.2 вес примитивных представлений формы А родом 1 вычисляется по формуле

рп(Л;7) = 3-(4 + е2)/8 Д Ри~1(Р+^(А)),

где £2 = ( -^-)'

В третьей главе рассмотрены приложения результатов второй главы к формам классических решеток корней, одноклас-сным формам и формам небольших размерностей. Если род 3" содержит один класс эквивалентности, то результаты второй главы

позволяют найти условия и формулу для числа pr(A\Q) примитивных представлений формы А индивидуальной формой Q,

pr(A; Q) = o(Q)pn(A; Q),

что особенно важно в теории чисел.

В тринадцатом параграфе рассматриваются примитивные Рг

вложения 1д ч Lq в n-мерную решетку Lq решетки ¿д нечетной коразмерности с матрицей Грама А, удовлетворяющей условию (2). В качестве Lq берутся классические решетки корней Ап(п = 4,5,6) и Es, так как на их примере удобно иллюстрировать ветвление представлений по простым р, р ф 2. Все рассмотренные решетки одноклассны. Для этих решеток можно подсчитать локальные символы и порядки o{L) их групп автоморфизмов. Отметим важность изучения вложений многомерных решеток для прикладных задач. Например, они широко используются в теории кодирования.

Рассмотрим решетку с матрицей Грама

1 1 1 1 \ 1111 2 111 12 11 112 1 1112/

и инвариантами га = 6,Л = 1,о?=7, о (Ад) = 25 • З2 • 5 • 7, 7Ае = = 1-57-1, 2д6 = Количество примитивных представлений

тернарной формы А формой решетки Ае равно

где локальные множители вычисляются по формулам из Теоремы

Л6

/ 2 1

1 2

1 1

1 1

1 1

\ 1 1

11.1:

а7(А-А6) = [T¿ - (у)) /2, если 7||а; а7(А;Ав) = 7(72 - 1)/2 = 168, если 72||а; а5(Л;д) = 72(72 - 1)/2 = 1176, если 73||а.

В пятнадцатом параграфе найдены формулы количества примитивных представлений четных чисел А — а кватернарными формами Q из списка Уотсона [13] с нечетными определителями.

В четырнадцатом параграфе используется метод ортогонального дополнения для получения полных родов форм. Известных форм решеток корней и кватернарных форм Уотсона оказалось недостаточно для работы с полученными формулами, поэтому возникла необходимость получения новых одноклассных и многоклассных родов. Если {X} - орбиты всех примитивных представлений одноклассной формой Q одноклассной формы А и Iii -L Xi для Ki € [А'], то классы {Ki} G К образуют полный род (Теорема 14.1). В пятнадцатом параграфе для форм, полученных методом ортогонального дополнения, найдены формулы количества представлений. Все результаты, полученные в диссертации, проверены на компьютере.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, за советы, замечания и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Siegel C.L. Uber die analytische Theorie der Quadratischen Formen // Ann. Math. - 1935. - Vol. 36. - P. 527 - 606.

[2] Minkowski H. Untersuchungen über quadratischer Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein ge-

gebenes. Genus enthalt. Königsberg. Innagural dissertation // Acta Math. • 1885. - Vol 7. - P. 201 - 258.

[3] Kitaoka Y. Some remarks on representations of positive definite quadratic forms // Nagoya Math. - 1989. - Vol. 115. - P. 23 - 41.

[4] jöcher m., Kitaoka Y. Representation of positive quadratic forms with congruence and primitive conditions //J. Number Theory. - 1994. - Vol. 48, - No 1. - P. 88-101.

[5] Андрианов A.H. Ряды Дирихле с эйлеровым произведением в теории зигелевых модулярных форм рода 2 // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. - 1971. - Т. 112. - С. 73 - 94. .

[6] Андрианов А.Н. Эйлеровы произведения, отвечающие модулярным формам Зигеля рода 2 // УМН. - 1974. - Т. 29, -Вып. 3. - С. 43 - 110.

[7] Андрианов А.Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных форм // УМН. - 1979. - Т. 34. - Вып. 1. -С. 67 - 135.

[8] Andrianov A.N., Panchishkin A.A. Singular Frobenius operators on Siegel modular forms with characters zeta-functions // L'Institut Fourier, Univer. Grenoble. - 1999. - No 469. - P. 1 -31.

[9] Голубев а Е.П., Фоменко O.M. Асимптотическое распределение целых точек на трехмерной сфере // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. - 1987. - Т. 160. - С. 54 - 71.

[10] Голубева Е.П., Фоменко О.М. Замечание об асимптотическом распределении целых точек на большой трехмерной

сфере // Зап. науч. семин. ЛОМИ. - 1990. - Т. 185. - No 10. - С. 22 - 2В .

[11] Журавлев В.Г. Представление квадратичной формы родом квадратичных форм// Алгебра и анализ. - 1996. - Т. 8. - No 1. - С. 21 - 112.

[12] Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы: в 2-х тт. - М.: Мир. 1990.

[13] Watson G.L. One-class genera of positive quaternary quadratic forms // Acta Math. - 1974. - Vol. 25. - No 5. - P. 461 -475.

Публикации автора по теме диссертации

[14] Хорошева A.B. Представление чисел кватернарными квадратичными формами// В кн.: VII международная конференция. "Математика. Экономика. Экология. Образование." Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону. - 1999. - С. 109 - 110.

[15] Хорошева A.B. Представление чисел родом одноклассных кватернарных форм: Вестник ВГПУ. Вып. 5. - Владимир. -2000. - С. 338 - 346.

[16] Хорошева A.B. Представление чисел неодноклассным родом // Владимирский государственный педагогический университет. Владимир. 2000. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 19 апреля 2000. № 1078-В00.

[17] Хорошева A.B. Представление чисел одноклассным родом // Владимирский государственный педагогический университет. Владимир. 2000. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 19 апреля 2000. № Ю79-ВОО.

[18] Хорошева A.B. Ветвление представлений числа кватернар-ными формами // Владимирский государственный педагогический университет. Владимир. 2000. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 19 апреля 2000. № Ю82-В00.

[19] Хорошева A.B. Распределение целых точек на эллипсоиде //В кн.: Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. - Владимир. - 2000. - С. 193 - 194.

Типография ОАО "ЗиД" Тираж 100 Заказ 3654