Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

□030Б7329

На правах рукописи УДК 530.145, 532.507

АЛТАЙСКИЙ Михаил Викторович

ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

01.04.02 теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико математических наук

Москва - 2006

И

003067329

Работа выполнена в Институте космических исследований РАН (г.Москва) и Объединенном институте ядерных исследований (г.Дубна)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Антонов Н.В.,

доктор физико-математических наук Астафьева Н.М.,

доктор физико-математических наук Приезжев В.Б.

Ведущая организация: Институт общей физики им. А.М.Прохорова РАН Защита состоится "22"февраля 2007 г в. "11 "час. "00"мин. на заседании диссертационного совета Д.002.113.03 Института космических исследования РАН по адресу: 117997, Москва, ул.Профсоюзная 84/32, Институт космических исследований РАН, конференц зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института космических исследований РАН.

Автореферат разослан Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.м.н.

Буринская Т.М.

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность темы

Существует большой класс физических задач, связанных с нелинейными системами с большим числом степеней свободы, в которых сильное межмодовое взаимодействие делает обычные методы фурье-анализа малопригодными' наблюдаемая низкочастотная мода в такой системе может быть как связана с крупномасштабным движением, так и быть разностью двух близких высокочастотных мод. Для исследования таких систем, возникающих в геофизике, нейробиологии, медицине, радиофизике, требуется инструмент, который бы позволял локально по координате или времени разделять движения различных масштабов. Одним из таких инструментов стало вейвлет-преобразование

Вейвлет-преобразование является едва ли не наиболее часто встречающимся термином в той части прикладной математики, которая касается обработки хаотических сигналов и изображений, а также передачи и сжатия данных. Сам термин "вейвлет" был введен французским математиком Ж.Морле [34] (фактически, вариант дискретного вейвлет-преобразования был независимо введен В.Д.Зиминым [60]) в связи с задачами геофизики и в дальнейшем применялся при анализе сейсмических сигналов и турбулентности. К настоящему времени вейвлет-преобразованию посвящено уже достаточно много монографий [19, 20, 30, 38], одна из которых принадлежит автору данной диссертации [11]. Ведутся интенсивные исследования по применению вейвлет-преобразования к различным задачам анализа сигналов и изображений, возникающим в геофизике, медицине, финансовом анализе, машиностроении, физике высоких энергий [54, 55].

Тем не менее имеются вопросы, связанные с нелинейными явлениями.

где приложения вейвлет-преобразования еще слабо развиты. К таким вопросам относится аналитическое исследование взаимодействия локализованных флуктуаций различных масштабов, как в классических системах (например, в турбулентности), так и в квантовых системах (взаимодействие массивных частиц). Данная диссертация восполняет ряд пробелов в этой области.

В настоящей диссертационной работе вейвлет-преобразование используется как инструмент аналитического, а не численного исследования, позволяющий строить стохастические и квантово-полевые модели, изначально свободные от петлевых расходимостей в теории возмущений.

1.2 Цель работы

Цель диссертационной работы разработка математического аппарата для аналитического описания явлений, свойства которых зависят от масштаба. К ним относятся развитая гидродинамическая турбулентность, критические явления, кодирование квантовой и генетической информации, взаимодействие квантовых полей при высоких энергиях. В качестве основы для достижения поставленной цели было использовано непрерывное вейвлет-преобразование. При этом были решены следующие задачи:

• развитие математического аппарата, позволяющего рассматривать зависящие от масштаба измерения физические величины Фах(х, •) (такие как скорость, намагниченность, амплитуда поля) как самостоятельные объекты случайные функции на аффинной группе, не требующие существования континуального предела ф(х, •) = Ншдх_,о Фах{х, •);

• построение аналитических методов решения стохастических дифференциальных уравнений и задач квантовой теории поля, основанных на непрерывном вейвлет-преобразовании; такие методы необходимы задач

4

физики атмосферы и физики плазмы, для задач роста границы раздела фаз там, где нужно исследовать зависимость корреляционных функций от масштаба измерения;

• применение построенного аппарата к исследованию физических систем с широким спектром флуктуаций различных масштабов, в частности к описанию развитой гидродинамической турбулентности;

• устранение расходимостей в квантовол теории поля за счет использования масштабно-зависимых амплитуд поля ф&х(х> •), построенных с использованием непрерывного вейвлет-преобразования;

• использование дискретного вейвлет-преобразования для описания иерархических квантовых систем;

• применение идеи меры, зависящей от масштаба, к задачам с неархимедовой (р-адической) геометрией и получение возможных физических следствий; к таким следствиям прежде всего относятся анизотропия реликтового излучения и возможность наблюдения дискретных симметрий в ядерной физике.

1.3 Научная новизна

С использованием непрерывного вейвлет-преобразования сформулирована концепция многомасштабных случайных процессов. Путем задания корреляционной функции в пространстве вейвлет-образов построен многомасштабный случайный процесс, воспроизводящий свойства гауссова дельта-коррелированного шума, но отличающийся от прямого вейвлет-образа гауссова шума. На основе построенного процесса впервые разработана техника пертурбативного решения стохастических дифференциальных урав-

нений, не приводящая к петлевым расходимостям. Непрерывное вейвлет-преобразование впервые использовано в качестве аналитического инструмента при решении стохастических дифференциальных уравнений. Для случайной силы, действующей вблизи фиксированного масштаба, вычислена од-нопетлевая поправка к коэффициенту поверхностного натяжения границы раздела фаз в уравнении Паризи-Кардара-Занга, описывающем рост интерфейсов в случайных средах, геологическую стратификацию, рост снежного покрова и другие явления. Это позволяет, зная характерный масштаб случайной силы, оценить ее влияние на гладкость границы раздела фаз. Вычислен однопетлевой вклад в функцию отклика и корреляционную функцию поля скорости для случая зависящей от масштаба накачки, определенной в пространстве вейвлет-коэффициентов для стохастического уравнения Навье-Стокса. Гипотезы Колмогорова (К41) сформулированы для масштабных компонент поля скорости, определенных с помощью вейвлет-преобразования.

На основе многомасштабных случайных процессов предложена новая техника стохастического квантования, свободная (при соответствующем выборе коррелятора случайной силы) от петлевых расходимостей. На основе непрерывного вейвлет-преобразования предложен метод непосредственного построения квантово-полевых моделей на аффинной группе, вместо обычно используемого евклидова пространства ©А Предложены вариант многомасштабных коммутационных соотношений и упорядочение операторов.

Предложен формализм квантования иерархических систем. Построены гильбертово пространство состояний для квантовых иерархических систем и матрица плотности. К таким системам относятся, например, атомные кластеры, квантовые точки, большие биологические молекулы.

Построено непрерывное вейвлет-преобразование над полем р-адичсских

чисел 0.р. Построен аналог дискретного вейвлет-преобразования с вейвле-том Хаара над полем 0,р. Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, не сводящийся к адельному разложению по каждой из (1 координат в О^, а связывающий основание (2Р с размерностью пространства р = <1 + 2. Выдвинуто предположение о том, что наблюдаемая анизотропия микроволнового реликтового излучения может быть следствием дискретной р-адической геометрии ранней Вселенной. Данный подход может быть использован как модель происхождения непрерывного пространства из дискретного множества элементов.

С помощью непрерывного вейвлет-преобразования, одновременно и независимо от работы [38], обнаружен самоподобный характер распределения ну-клеотидов в последовательностях ДНК, а также подтвержено наличие дальних корреляций в нуклеотидных последовательностях.

Впервые предложен метод разделения гауссовых пиков при анализе экспериментальных данных на основе непрерывного вейвлет-преобразования, что важно для задач анализа спектров, масс-спектроскопии, анализа электро-форограмм.

1.4 Научная и практическая ценность

Значимость работы заключается в том, что:

1. На основе вейвлет-преобразования удалось построить стохастическую теорию возмущений, свободную от расходимостей для многомасштабных систем.

2. Вычислен однопетлевой вклад в коэффициент поверхностного натяжения для уравнения Паризи-Кардара-Занга, описывающего динамику

границы раздела фаз в присутствии случайной силы, действующей на фиксированном масштабе.

3 В рамках стохастического уравнения Навье-Стокса удалось, не прибегая к обрезанию по импульсам или использованию методов ренормализа-ционной группы, вычислить конечный однопетлевой вклад в функцию отклика и парную корреляционную функцию для случайной силы, действующей на фиксированном масштабе.

4. Формализм стохастического квантования обобщен путем введения случайной силы, зависящей от масштаба, что позволило построить схему стохастического квантования, свободную от петлевых расходимостей.

5 Непрерывное вейвлет-преобразование распространено на поле р-адических чисел (2Р, Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, который дал возможное объяснение угловых корреляций, обнаруженных в экспериментах по исследованию анизотропии микроволнового реликтового излучения.

6. Развитые методы вейвлет-анализа случайных функций, зависящих от масштаба, стали заметным вкладом в компьютерные методы анализа первичной структуры ДНК, применяемые в различных лабораториях. Обнаруженное самоподобие первичной структуры ДНК может быть использовано при конструировании лекарств для лечения генетических болезней.

7. Предложенный автором диссертации метод разделения гауссовых пиков нашел применение в обработке данных различных экспериментов в ядерной физике. Данный метод также нашел применение в программном

обеспечении, используемом при обработке результатов биохимических анализов методом гель-электрофореза

1.5 Достоверность полученных результатов

Выполненные в работе исследования опираются на использование канонических методов теоретической физики, теории вероятности, функционального анализа, а также методов квантовой теории поля и теории турбулентности. Подавляющая часть результатов получена в аналитической форме, что дает возможность ясно интерпретировать полученные эффекты и осуществить предельные переходы к ранее известным результатам.

1.6 Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции "Frontiers of Fundamental Physics 1У"(Хайдерабад, Индия, 2000),"Frontiers of Fundamental Physics V"(Хайдерабад, Индия, 2003), "Frontiers of Fundamental and Computational Physics У1"(Удине, Италия, 2004), на Международной конференции "Современные проблемы радиобиологии. радиоэкологии и эволюции" (Дубна, 2000), на Международной конференции "Group 24: Physical and Mathematical Aspects of Symmetries'' (Париж, Франция, 2002), на Международной конференции "ТН-2002: Theoretical Physics 2002" (Париж, Франция, 2002), на Международной конференции "SCI2003: Focus Symposium on Quantum Physics and Communications" (Дубна, 2003), на Международной конференции ''STM'03: Small Triangle Meeting in Theoretical Physics 2003" (Татры, Словакия, 2003). на Международной конференции по р-адической математической физике (Москва, 2003), на 2-й Международной конференции по р-адической математической физике (Белград,

2005), на Международной конференции "COSLAB'04: Vacuum instability in condensed matter and cosmology" (Ламми, Финляндия,2004), на Международной конференции "МСС-04: Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (Москва. 2004), на Международной конференции "Ренорма-лизационная группа-2005" (Хельсинки, Финляндия, 2005), на Международной конференции "Жак Артонг Симпозиум" (Страссбург, Франция, 2006).

Материал диссертации докладывался на семинарах в Институте космических исследований РАН (Москва), Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (Москва), Физическом институте им. П.Н.Лебедева РАН (Москва), Научном центре корпорации Б.М.Бирла (Хайдерабад,.Индия), Университете Хайдерабада (Индия), Университете штата Альберта (Эдмонтон, Канада), Обсерватории Пари-Медон (Медон,Франция), Университете Павиа (Италия).

1.7 Публикации

В основу диссертации положена монография Altaisky M.V., "Wavelets: Theory, Applications, Implementation', Universities Press Ltd., 2005. Основные результаты опубликованы в работах [1, 12, 3, 25, 14, 16, 4, 2, 6, 15, 13, 53, 8, 9, 49, 50, 52, 51}.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором либо самостоятельно, либо при его непосредственном, активном и творческом участии на всех этапах работы. В список положений, выносимых на защиту, включены лишь результаты и выводы, в которых вклад автора диссертации в проведенных исследованиях был основным или, по крайней мере, равным вкладу других соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения,

восьми глав, Заключения и Приложения, содержащего некоторые подробности вычислений. Она содержит 184 страницы текста. 31 рисунок и 3 таблицы. Список литературы включает 228 наименований литературных источников. Полный объем диссертации 220 страниц.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность исследований, описанных в диссертации, сформулирована цель работы и приведено краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе диссертации ("Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании") дается исторический обзор появления вейвлет-методов в физических задачах, приводятся аргументы в пользу того, что вейвлет-разложение представляет собой метод, наиболее адекватный реальным измерениям физических величин, которые всегда осуществляются с конечным разрешением. Здесь же даются основные сведения из теории непрерывного вейвлет-преобразования и теории групп, существенные для дальнейшего изложения. Приводится ряд теорем, используемых при анализе локальной регулярности функций.

С математической точки зрения, вейвлет-преобразование представляет собой разложение функции по представлениям аффинной группы

х' = ах + Ь. (1)

В этом смысле истоки вейвлет-преобразования можно найти в работах Г.Вейля. Используя единственный затравочный вектор ф, называемый базисным вейвлетом, можно определить унитарное представление группы (1) в

Легко проверить, что мера Хаара

л ( ул йайЛЬ

<Ыа.Ь) =

является левоинвариантной мерой для всех а^О.

Явные формулы непрерывного вейвлет-преобразования в пространстве / 6 Ь2(М<г) имеют вид

\¥ф(а,Ь)[/} = У \а\~Ц ' (3)

/(х) = Сф11 \а\~Ц ^(а, Ь)[/](4)

Условие допустимости, накладываемое на базисный вейвлет ф, обеспечивающее существование обратного вейвлет-преобразования (4), может быть получено путем применения преобразования Фурье к выражениям (3),(4). Для изотропных базисных вейвлетов ф оно имеет вид

(5)

где = 2-к(Ч2¡Т{й/2) площадь единичной сферы.

Вейвлет-коэффициенты (3) можно рассматривать как результат измерения функции / в точке Ь с помощью измерительного прибора с апертурой ф при характерном разрешении а. Таким образом, вводится новый класс функций, зависящих как от координаты, так и от масштаба. Функции, зависящие от масштаба, по сути, уже давно используются в физике сплошных сред, квантовой теории поля, в других разделах математической физики, а также при анализе временных рядов в экономике и биологических науках. Теория таких функций до сих пор не выделилась в самостоятельный раздел математической физики, хотя все предпосылки начиная с теории Колмогорова

12

развитой гидродинамической турбулентности, и кончая методами ренорма-лизационной группы в квантовой теории поля для этого имеются. Тем не менее, вейвлет-преобразование до сих пор остается по большей части лишь инструментом для анализа данных либо используется для построения галер-кинского базиса при решении дифференциальных уравнений. На качественном уровне идея зависящих как от масштаба, так и от координаты функций уа(х) скорости турбулентных пульсаций масштаба а как самостоятельного объекта имеется уже в трудах А.Н.Колмогорова [57], однако строгого математического оформления эта идея тогда не получила.

Во второй главе (''Случайные процессы и квантовая теория поля'') дается обзор методов квантовой теории поля, в контексте необходимости использования функций, зависящих от масштаба. Рассматривается связь квантовопо-левых методов со стохастическими дифференциальными уравнениями.

Оригинальная часть диссертации начинается с третьей главы ("Многомасштабные случайные процессы"). Основываясь на идеях колмогоровской теории развитой турбулентности [57] о взаимодействии пульсаций различных масштабов, а также на том, что значения реально измеряемых физических величин всегда вычисляется как среднее значение по некоторому физическому объему, автор обобщает процедуру "усреднения функции ф на масштабе Г. Эта процедура (см., например, [21]) состоит в интегрировании "истинного'' поля скорости по объему (Ах)° с центром в точке х:

в 15-мерном евклидовом пространстве

Определение (6) содержит как минимум два предположения: (1) существование "истинного" поля 0г(х) : I —* 0; (2) однородность меры у) = с1°у. Это достаточно сильные предположения, справедливость которых требует

(6)

проверки в случае конкретных физических процессов. В частности, они не справедливы для гидродинамической турбулентности, когда проявляется перемежаемость; усреднение же по бесконечно малому объему может оказаться физически бессмысленным, когда этот объем достаточно мал.

Освободиться от этих предположений, как было предложено автором в работе [6], можно, используя аксиомы кратно-масштабного анализа [28, 29] и непрерывное вейвлет-преобразование. Применение непрерывного вейвлет-преобразования

к уравнениям Навье-Стокса позволяет рассматривать •) как самостоятельный объект. Таким образом, гидродинамическое поле скорости (или другой физический процесс) теперь может описываться набором функций {«¡(¡г, •)};, индексируемым параметром масштаба I. Предельный переход в (7) к внемасштабному полю (А —* 0) при этом может и не существовать.

Отказ от существования предельного перехода к дифференцируемому (вне-масштабному) полю, предложенный автором в работе [6], позволяет проводить описание гидродинамической турбулентности в рамках стохастических дифференциальных уравнений с параметрами, зависящими от масштаба, в полном соответствии с идеями колмогоровской теории турбулентности. Это дает возможность исследовать п-точечные корреляционные функции гидродинамических полей, взятых в разных точках и на различных масштабах, а, следовательно, более точно определять влияние крупномасштабных возмущений на мелкомасштабные, а также исследовать свойства перемежаемости.

Для обычных случайных процессов второго порядка Х(1,и>), ¡ е1,шб

П вейвлет-образ

Ша(1,ш)= [ () Х(щш)Ни, (еЕ,а>0,шеП (8) М\/а \ а ;

также является случайным процессом. При этом автокорреляционная функция исходного случайного процесса (Их) определяет автокорреляционную функцию вейвлет-образа(Я1у):

11иг(а, 4, ь, з) = = / Ф (^г) $ (н^г) Кх(и'у)йий%}-

(9)

В работе [49] автором было показано, что рассмотрение пространства случайных вейвлет-коэффициентов И^^, •) как самостоятельного вероятностного пространства предоставляет большие возможности, чем отображение пространства случайных функций в пространство их вейвлет-коэффициентов. Действительно, взяв для просторы гауссов белый шум

= - Х2), Ш)= 0 (10)

и произведя вейвлет-преобразование, получим для корреляционной функции

£>(01,61; 02,62) = А) [ ¿х-—1 ф (-—— ) ф (-—— ] .

1 у/аЩ \ а2 / V «1 /

С другой стороны, нетрудно проверить, что корреляционная функция прообраза процесса

(Ж(аь к{)Ща2, к2)) = Сф{2тт)^^ + ^)о^+15(о1 - о2)Д, (11)

также совпадает с белым шумом (10).

В реальных физических экспериментах фиксируется суперпозиция флук-туаций различных масштабов. По этой причине для описания гидродинамической турбулентности и неупорядоченных сред удобно обобщить понятие спектрального разложения случайных функций, факторизовав случайную меру, отвечающую флуктуациям данного масштаба, и меру на группе масштабных преобразований [61.

Параграф "Многомасштабная стохастическая динамика", основанный на работе [49], посвящен итерационному решению стохастического уравнения Ланжевена с многомасштабной случайной силой, определенной в пространстве вейвлет-коэффициентов. Этот параграф иллюстрирует возможность конструирования случайных процессов путем задания корреляционных свойств их вейвлет-коэффициентов и использования таких процессов для решения физических задач.

Уравнение Ланжевена является одной из наиболее общих аппроксимаций для динамических систем, взаимодействующих с флуктуирующим окружением. Оно используется при описании магнетика в присутствии флуктуаций магнитного поля, при описании гидродинамической турбулентности, динамики границы раздела фаз и во многих других задачах'[31, 48, 26, 47]. Уравнение Ланжевена используется также в задачах стохастического квантования калибровочных теорий; при этом введение дополнительного фиктивного времени £, по которому осуществляется эволюция, и случайной силы представляет собой чисто математический прием [39].

В наиболее общей форме уравнение Ланжевена может быть представлено как

^^ = U[<Mt, х)] + ф, х), ШФ')) = D(x, О; (12)

случайная сила rj(t, х) предполагается гауссовой, с нулевым средним значением (г)) = 0. Здесь и далее- используются (cl + 1)-мерные обозначения х = (х, t),k = (к, ш).

Стандартный метод решения уравнения (12) заключается во введении малого параметра Л при потенциале взаимодействия U, с последующим итерационным решением системы, в каждом порядке теории возмущений. Усреднение по гауссовой случайной силе rj сводится к вычислению парных кор-

реляторов (щ), а все члены, содержащие нечетное число т], обращаются в нуль.

Использование гауссовой случайной силы обусловлено как математическими, так и физическими причинами. С одной стороны, для случая гауссовой статистики все высшие моменты факторизуются по теореме Вика в произведения парных корреляторов, с другой стороны, гауссова случайная сила является достаточно хорошей аппроксимацией тепловых флуктуаций, согласуется с соотношениями взаимности Онсагера, дает правильные соотношения между корреляционной функцией и функцией отклика [31, 17]. С математической точки зрения, важность уравнения Ланжевена обусловлена также эквивалентностью между усреднением по гауссовой случайной силе в уравнении (12) и фейнмановским интегрированием по путям в евклидовой теории поля, конструируемой на основе потенциала и[ф] и коррелятора D.

Для построения итерационного решения уравнения Ланжевена потенциал U представляют в виде суммы линейной Ьф части, нелинейного взаимодействия У[ф\ и регулярной внешней силы /(ж):

Ä = Щх) + А У[ф(х)} + /(*) + ф) (13)

Решение уравнения (13) может быть символически записано в виде

ф=00[ХУ[ф] + 1+7)}, (14)

где Go = (öf — L)~l может быть разложена в степенной ряд по Л (формальному малому параметру разложения) вида ф = фо + Хф^ + А2 02 + • • • •

Как в квантовой теории поля, так и в статистических задачах, среднее значение поля (ф) получается путем применения теоремы Вика при усреднении по гауссовой случайной силе т]. Полная функция Грина ф{х) = [ G(x,x')f(x')dx',t > t\ определяющая усредненный по случайной силе 77

17

(

отклик системы на регулярную силу /, также раскладывается в ряд по Л.

Возьмем хорошо известную модель Кардара-Паризи-Занга [26], описывающую динамику границы фаз во флуктуирующей среде:

(15)

где отклонение профиля границы раздела фаз от равновесного.

Уравнение (15) описывает процессы адсорбции микрочастиц из газовой фазы, рост снежного покрова и другие процессы. Применяя вейвлет-преобразование по пространственному аргументу

/л ~ ~ Нп

ехр(г(кх - к01))аЩакЩа, (16)

к уравнению (15) и используя случайную силу, удовлетворяющую условиям

{тЦаи ВДоа, к2)) = Сф(2тг)ап6'1+1(к1 + ^а^а, - а2)£(а2, к2),

Ша,к)) = 0, ' (17)

после несложных преобразований из интегрального уравнения

(~гш + 1Ук2)Й(а, к) = т](а, к) - ^аЦ(ак)Сф2 J (а^^а^Жаг^ ~ к0)

х Мк-ВДаькМък-Ь)^^^

получим, в однопетлевом приближении, выражение для функции отклика

(18)

где £?о (к) = (—ш + г/к2)-1 - нулевое приближение функции отклика, а

Д(*) = С^У^(ак)|2Я(а,к) (19)

усредненная по масштабам корреляционная функция силы. Аналогичным

образом для парной корреляционной функции получим Л2.

С{аг,а},к) = ~\С0(к)\ЩагкЩ-а/к) х (20)

(7<г+1А-1

1-|Со(А;1)|2|Со(А; - к^к^к - к1)}2А(к1)А(к - кг).

I

{2ттУ+11

Для не зависящего от масштаба коррелятора силы, после интегрирования (19), выражения (18),(20) сводятся к известному результату [26].

Рассмотрим теперь случай накачки, действующей на фиксированном масштабе а о:

£)(о, к) = Д(а — а0)-О(к). (21)

Выберем в качестве базисного вейвлета "Мексиканскую шляпу":

ф{к) = (27г)^2(-гк)2ехр(-к2/2). (22)

Подставляя (21) и (22) в (18), интегрируя по частоте, в главном порядке по малому параметру х = 11с|/11сг|, аналогично тому, как это проделано в [18], для размерности й > 2, получим

в(к) = Со £ ш ехр (_(аоч)2)

(23)

Для не зависящей от q амплитуды шума, -О(я) = Д>, выражение конечно и не требует дальнейшей перенормировки. В пределе и, к —> 0 однопетлевая поправка к коэффициенту поверхностного натяжения и, следующая из (23), равна

УеЦ = V

(24)

Полностью аналогичным образом проводятся вычисления и для других потенциалов взаимодействия. Например, для квадратичного взаимодействия уЯ2 выражения для (18) и (20) будут отличаться от приведенных выше лишь отсутствием скалярных произведений в вершинах.

Что касается вклада высших порядков теории возмущений, то при использовании вейвлетов ф(к), локализованных в fc-пространстве, и шума D(a, к) с ограниченной по а полосой эффективная константа связи, по которой реально производится разложение [23], может быть сделана малой за счет маЛой амплитуды шума. Так, для базисных вейвлетов семейства ф(к) = (27r)d/2(-ik)n ехр(—к2/2), п > 0 и коррелятора D(a,k) = Do5(a — ао) эффективной константой связи является

vz ао '

В параграфе "Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике" итерационный метод решения стохастического дифференциального уравнения путем непрерывного вейвлет-преобразования динамических переменных и включения аддитивной накачки с некоррелированными масштабными компонентами применен к.описанию развитой гидродинамической турбулентности в формализме стохастической гидродинамики. Большинство работ по применению вейвлет-преобразования к гидродинамической турбулентности посвящено либо анализу экспериментально измеренных турбулентных полей с помощью "вейвлетного микроскопа", позволяющего одновременно исследовать поле скорости на различных масштабах [54], либо численному решению уравнений Навье-Стокса с использованием дискретного вейвлет-преобразования [32, 41]. В настоящей диссертационной работе непрерывное вейвлет-преобразование впервые применено в формализме стохастической гидродинамики [49]. Исходя из физических соображений, подбирая параметры случайной силы, определенной в пространстве вейвлет-коэффициентов, мы избавляемся от петлевых расходимостей в теории возмущений. В качестве примеров приведем однопетлевой вклад в функцию Грина и парный коррелятор поля скорости. В предельном случае обычной дельта-коррелированной

20

случайной силы восстанавливаются известные результаты стохастической гидродинамики. В построенном формализме естественным образом интерпретируются гипотезы Колмогорова и осуществляется замыкание системы уравнений для моментов поля скорости. Более того, само пространство функций фа{х, •), зависящих как от координаты, так и от масштаба, представляет собой математический аппарат, адекватный реально измеряемым величинам.

В рамках подхода стохастической гидродинамики исследование развитой гидродинамической турбулентности основывается на системе уравнений Навье-Стокса со случайной силой

^ + = (25)

Вычисление корреляционных функций осуществляется с помощью преобразования Фурье от исходных уравнений (25):

{—гш + гЖ2) мг(к, и>) - I-^^М,}к(к)й3(д)щ(к - д) = т,г(к), (26) №)№)> = (2тг)1г+1<5<г+1(А;1+/с2)Ргз(к1)1?(к1). (27)

При этом условие несжимаемости приводит к появлению поперечного проектора -Ру(к) = — в корреляторе силы (27) и в вершине взаимодействия Мцк{к) = —| \к0Ргь{к) -Ь ккР,з(к)]. Преобразование Фурье, однако, является существенно нелокальным и не позволяет исследовать локальные свойства. Использование вейвлет-разложения позволяет записать уравнения для компонент поля скорости в данной точке Ъ и на данном масштабе а. Это весьма важно, так как именно с локальными свойствами связанно образование когерентных структур. Кроме того, экспериментально измеряемая "скорость потока в точке х" реально сводится к аппаратному усреднению по объему а'1. при этом для справедливости гидродинамического приближения необходимо а Л, где Л средняя длина свободного пробега. Использование непрерывно-

21

го вейвлет-преобразования позволяет получить некоторые общие закономерности для пульсаций поля скорости заданного масштаба в заданной точке, не аппелируя к конкретному виду аппаратной функции.

В результате применения непрерывного вейвлет-преобразования к уравнениям (25) приходим к системе интегральных уравнений для масштабных компонент йт(к):

(-1Ш + ик2)йа1(к) = т,аг{к) + / КаГ(Ь, Ъ к-ч) X

X иа13(д)йа2к(к-Я)——щщ, (28)

где М°°41аа(к,я, к - = ■ф{ак)Мг]к{к)ф{а1^)-ф{а2{к - я)), а вейвлет-преобразование записано в

Ь1

-норме, что обеспечивает одинаковую физическую размерность поля скорости «(ж) и его масштабных компонент иа(х)\ 2 ¿а Г <£1+1к

^ = ^Уо "а" У (2пУ+1 ехр(г(кх ~ "*)Щак)иа(к).

Из (28) стандартным образом получаются уравнения для моментов. Так, при отсутствии случайной силы в уравнении Навье-Стокса, вторые моменты связаны с третьими соотношением

х (йо.(к,^г(а1г(я,0йаа*(к-я,4)) + э.с. (29)

Особый интерес вызывает случайная сила, ¿-коррелированная по масштабам:

ЫЬЫЬ)) = (27г)'|+1^+1(Дг1 + к2)^а16(а1 - а2)Рч(к1)Д(аь к^. (30)

Теперь стохастическая диаграммная техника в случае масштабно-зависимой накачки (30) строится таким же образом, как и обычная техника Уайльда [45]. Отличие состоит в том, что в результате интегрирования по масштаб-

22

ным аргументам ¿а/а, в присутствии дельта-функции от разности масштабов, спектральная плотность обычной теории возмущений Д;(к) заменяется на эффективную спектральную плотность

= 20(а>4). (31)

(-<ф з а

Напомним, что однопетлевой вклад в функцию Грина имеет вид

йм(к) = Со(к)Ык) +Ж°Ь)С1{Щ\2 (ц-) I ~М1]к{к)х

х \С0(д)\2А4Ч)С0(к-д)МыиЬ-чЖа,к)т1а,т(к)+О(Х1), (32)

где А = 1 формальный параметр разложения, стоящий при вершине взаимодействия М; Со(к) = (—гы + гЖ2)-1 функция Грина нулевого порядка.

Для однопетлевого вклада в парную корреляционную функцию масштабных компонент поля скорости С^а^, а2, к2) = {йа1 (^1)йа2(^2)) имеем

С2{аикиа2,к2) = + к2)'ф(а1к1)'ф(-а2к1)Се//{к1),

Се//(к) = 2\2\С0(к)\21щ^А(Ч)А(к-ч)х

х с2(к,ч)\С0(д)\2\С0(к-ч)\2, (33)

где С2(к, q) след однопетлевой тензорной структуры. Для конкретного типа вейвлета "Мексиканская шляпа"' в трехмерном пространстве, п = 2, с1 = 3. и накачки, действующей на фиксированном масштабе ао, в длинноволновом приближении (х = »0^, имеем:

СеП (А, —> 0) = — ^ А. (34)

Таким образом, использование масштабных компонент поля скорости вместо функций и (х) £ Ь2(К3) позволяет с самого начала строить теорию возмущений, свободную от расходимостей, а не устранять их потом с помощью

процедур регуляризации. Кроме того, именно в терминах масштабных компонент иа{х) находит наиболее адекватное выражение гипотеза Колмогорова о самоподобии пульсаций турбулентного поля скорости. Действительно, теория Колмогорова, описывающая локально-изотропную гидродинамическую турбулентность [57], сформулирована в терминах относительных скоростей

5и(г, XI) 1= Хк5и(г, /), Л 6 К+. (35)

где 5и{г, I) = и{г+/) — и{г). Закон самоподобия (35) представляет собой частный случай более общего утверждения, сформулированного относительно масштабных компонент поля скорости, определенных посредством вейвлет-преобразования. В общем же случае может быть сформулировано следующее утверждение (вторая гипотеза подобия Колмогорова в терминах вейвлет-преобразования):

При тех же предположениях, что и для первой гипотезы (Н1), турбулентное поле скорости самоподобно на малых (но все же I ) масштабах, в том смысле, что пульсации поля скорости, определенные посредством вейвлет-преобразования щ{Ъ) = / \ф ((х — Ъ)/1) и(х)с1х, гдсф(х) - произвольная анализирующая функция удовлетворяющая условиям допустимости (5) и регулярности <1х{\ + |х|)|ч/.>(:е)| < оо, имеют следующее степенное поведение:

\щ{Ъ)\2 = 12\ Л =4 (36)

для всех Ь в области, занятой турбулентностью.

При такой формулировке физическое содержание гипотез Колмогорова не меняется, а лишь переносится на масштабный аргумент скорости, которая теперь становится функцией двух переменных: координаты (Ь) и масштаба (/). на котором производится измерение скорости. Определенное таким образом поле скоростей является функционалом от базисного вейвлета, закон

24

же распределения величин щ(Ь) от базисного вейвлета зависеть не должен, и часто именно он проверяется при численной обработке экспериментальных данных [54].

Глава 4 ("Стохастическое квантование'-) посвящена применению многомасштабных процессов к задачам стохастического квантования. Стохастическое квантование (СК) представляет собой способ квантования полевых моделей, идея которого состоит в том, чтобы представить рассматриваемую теорию поля в ¿-мерном пространстве в качестве равновесного предела некоторой (<1+ 1)-мерной статистической модели. Метод стохастического квантования был впервые предложен в работе Паризи и Ву [39].

Технически метод СК сводится к введению дополнительного, по отношению к имеющимся в исходной теории с1 измерениям, фиктивного времени т и замене квантовых полей исходной теории стохастическими полями в расширенном (с/+ 1)-мерном пространстве, ф(х) —* ф{х,т). Эволюция стохастических полей относительно фиктивного времени т определяется уравнением Ланжевена

сЩэ^т) 5вЕ _

дт + 5ф(х,т) 'Г,[Х,Т) [67}

с начальным условием ф(х,т = 0) = ф(х). Здесь 8е[Ф] евклидово действие исходной теории, а т](х, т) гауссов белый шум с нулевым средним, дельта-коррелированный как по обычным координатам, так и по фиктивному времени.

Оригинальный вклад автора заключается в применении для стохастического квантования многомасштабной случайной силы, определенной с помощью непрерывного вей влет-преобразования. Применяя вейвлет-преобразование и к динамическим полям ф. и к случайной силе г), мы получаем теорию, в которой динамические поля локализованы как по координате,

так и по масштабу взаимодействия. При этом случайная сила, локализованная вблизи фиксированного масштаба ао, по построению обеспечивает конечность теории возмущений.

Следуя [49, 10, 52], выполним непрерывное вейвлет-преобразование стохастических полей и случайной силы по пространственному аргументу (под пространственными измерениями х € К^ мы понимаем евклидово «¡¡-мерное пространство исходной теории, а под временным фиктивное время т):

2 йа Г б ~

Ф(х) = ^ТГ / (27Г^+1ехр(г(кх-^г))а^(ак)^(а,/с). (38)

Мы используем (¿+1)-мерные обозначения х = (х, г), к = (к,ш). Случайную силу определим согласно (17). После подстановки (38) в уравнение Ланжевена приходим к стохастическому интегральному уравнению для полей ф(а, к, •):

(-гш + к2+т2)ф{а,к) = Г]{а,к)-^аЦ(ак)(^ ^ *

/¿<1+1 д, л _

(2-тг)^+1 (П1а2)г^(а1к1Ма2(к _ к0Жа1> к1)ф{а2, к - кг). (39)

Используя аппроксимацию нулевого порядка для функции Грина ф0(а, к) = С0{к)т)(а, к), где

<?0 (к) = -, , о .-21

—ы + к'' + гтг

и итерируя интегральное уравнение(ЗЭ), получим выражение для однопетле-вого вклада в функцию Грина

С(к) = С0(к) + Х2С1(к) I ^тД(ч)|С?о(д)|2Со(А; - д) + 0(Х% (40)

где A(q) усредненный по масштабам эффективный коррелятор (19). Совершенно аналогичным образом могут быть вычислены и все старшие моменты стохастических полей. Таким образом, при переходе к многомасштабному описанию в формализме стохастического квантования, как в частном случае

26

решения уравнения Ланжевена со случайной силой (17). целиком воспроизводится обычная стохастическая диаграммная техника.

На рис. 1 приведены одночастично неприводимые диаграммы, дающие вклад в пертурбативное разложение стохастической функции Грина (40). Аналогично стохастической функции Грина (40), однопетлевой вклад в сто-

«2

Рис. 1. Диаграммное разложение стохастической функции Грина для ^-модели

хастический парный коррелятор также может быть записан в (а, к) представлении:

{ф(аи к)ф{а}, -к)) = С{аг, а}, к) = С0(аи а}, к) +\2С2{аи к) + 0(А4), (41)

где Са{аг,а},к) = Д(к)|Со(А;)|2(ага/)<г/'21/)(агк)1/'(—а/к). Однопетлевой вклад в парный коррелятор равен

Диаграммы, соответствующие разложению стохастического парного коррелятора (41), показаны на рис. 2.

Рис. 2 Диаграмное разложение стохастического парного коррелятора в ф1 модели

Простым, но важным примером масштабно-зависимой накачки является случайная сила, действующая на одном фиксированном масштабе (21). В

С2(аг,а/,к) = ^СоМРКа/^КкЖ-аук) х

(42)

некотором смысле введение такой силы эквивалентно переходу к решеточной теории с размером ячейки ао. Рассмотрим модель скалярного поля с взаимодействием ф3. Используя при этом накачку на фиксированном масштабе (21) и выбрав в качестве базисного вейвлета "Мексиканскую шляпу" (22). получаем выражение для эффективного коррелятора силы:

Д(Ч) = (43)

<к>

Как нетрудно видеть, петлевые интегралы, вычисленные с использованием эффективного коррелятора (43), не содержат ультрафиолетовых расходимо-стей. Инфракрасные расходимости также смягчаются благодаря степенному фактору (аоя)4.

Подставляя эффективный коррелятор (43) в выражения для однопетлевых вкладов в стохастическую функцию Грина (40) и для парного коррелятора (42), получим:

с2{к) = С1(к)1с2, (44)

йО. 1

«»- /X

2тг П2 + (q2 + m2)

2

-»(w-íl) + (k-q Y+m2' C2(auaj,k) = ^\С0{к)\\ага})л12ф{аМЩ-Чк)1С2, (45)

/ddq f°° díl 1

^A(q) Д(к - q) ^fl2 + (q2+TO2)2 ><

_1_

* (iü — fi)2 + [(k — q)2 + m2]2

Экспоненциальный фактор, входящий в эффективный коррелятор A(q), подавляет любые степенные расходимости, возникающие в ультрафиолетовом пределе. Для теории ф4 и моделей с высшим полиномиальным взаимодействием описанные выше методы также имеют очевидное обобщение.

Аналогичным образом осуществляется многомасштабное стохастическое квантование неабелевых калибровочных полей. Специфика проявляется в необходимости тем или иным способом фиксировать калибровку. Так, для полей Янга-Миллса уравнение Ланжевена имеет вид дАа(х т)

"дт' + (-+ т) = г£(х, т) + Щ(х, т) (46)

Здесь т]р(х, т) случайная сила, а т) нелинейное взаимодействие (использованы обозначения М.Намики [35]). Стохастическая функция Грина, следующая из (46), содержит поперечную (Т) и продольную (Ь) части:

описывающие распространение поперечной и продольной компонент поля.

Принимая во внимание, что продольная компонента (Ь) стохастических полей т), как следует из уравнения (46), не эволюционирует относи-

тельно фиктивного времени т, при построении многомасштабного стохастического квантования можно считать случайную силу чисто трансверсальной:

Щаикит1)т)1{а2,к2,т2)) = {2тх)'15л{к1 + к2Щп - т2)Т1и/{к1) х

х С^а15{а1-а2)В{аик{).

Это своего рода фиксация калибровки, заменяющая явное введение фиксирующего калибровку члена в уравнение Ланжевена и не приводящая к появлению новых вершин в стохастической теории возмущений.

Суммируя по индексам калибровочной группы 5С/(./V), для однопетлевого вклада в функцию Грина, содержащего две трехглюонные вершины, получим в итоге конечное выражение [52]:

= дЧаЬС2\С0{к,и)? £ I

где

я) = У,кХ(к, к-д, д)Тх7(д)УС1/1(к - д, к, -д)

Как можно показать путем непосредственного вычисления тензорных структур и I1', в случае одномасштабной случайной силы (21) вейвлет-

чае же малых к стеленной фактор, также происходящий из базисного вейвлета ^(ак), смггчает инфракрасные расходимости. В этом смысле

вейвлет-регуляризация отличается от известных моДЧгей непрерывней ,СК-регуляризации / ¿луК^{д2)г]{у,т). Последние регуляризуют ультрафиолетовой поведение теории мультипликативным фактором е л1, содержащим импульс обрезания Л. но не затрагивают инфракрасное поведение теории [24].

В Главе 5 ("Квантовая механика иерархических систем") идеи кратно-масштабного анализа использованы для описания квантовых иерархических систем.

Прогресс в области квантовой теории информации требует развития новых математических методов для описания мезоскопических квантовых систем, имеющих иерархическую организацию. Описание переходных процессов в мезоскопических квантовых системах становится актуальным в связи с получением перепутанных состояний на атомных кластерах мезоскопических объектах, которые могут быть использованы в качестве конструктивных элементов при построении квантовых вычислительных устройств [36. 56]. Ключевой проблемой здесь является проблема измерения [33]. Для сложной системы, состоящей из нескольких подсистем, мы, как правило, не имеем прямого

ный ф-.ктор 'ф(ак) подавляет ультрафиолетовые расходимости. В слу-

доступа к самим подсистемам. Так, измерение углового момента Молекулы приводит к редукции вектора состояния молекулы к вектору с определенным значением углового момента, но атомы, составляющие данную молекулу, при этом могут находиться в суперпозиции состояний; при этом мы не имеем возможности полностью контролировать эти состояния. Тем не менее мы обычно имеем возможность частично контролировать состояния подсистем, воздействуя на систему как на целое. Например, если измеренное значение проекции спина системы из двух фермионов со спином 1/2 составляет 1. можно с уверенностью сказать, что оба фермиона находятся в состоянии с проекцией спина, равной 1/2. Часто для приготовления желаемой суперпозиции состояний в подсистеме мы воздействуем с помощью магнитного поля на всю систему, не вызывая при этом полной декогеренции в отдельных подсистемах.

Состояние элементарного квантового объекта может быть представлено вектором состояния в гильбертовом пространстве состояний

Измерение, проведенное над квантовой системой, находящейся в состоянии IV1), с вероятностью |сг|2 приводит к коллапсу вектора состояния к одному из базисных состояний |фг). Измерение осуществляется путем взаимодействия системы с окружением приборами, буферами и т.п., словом всем тем, с чем взаимодействует система, и эволюция чего также описывается квантовой механикой.

Волновая функция составной системы "система ® окружение'' обычно записывается в виде произведения всевозможных чистых состояний системы на состояния окружения

% х

Здесь {!<&)}, полный набор векторов состояния системы, {|04)}г полный набор векторов состояния окружения.

Среднее значение любой наблюдаемой А, относящейся к системе, но не к окружению, может быть записано с помощью матрицы плотности:

(А) = ЩА\ф) = £ рл(Фг\А\ф,') ^ Тг(рА), М = £ С;3С,„ (49)

гг' 1

где ргч матрица плотности. Векторы состояния окружения предполагаются ортогональными = *

Можно, однако, поступить и иным образом, как было предложено автором в работе [8]. Всякая система находится внутри своего окружения, т.е. является частью большей системы. Это определяет операцию частичного упорядочения в цепочке окрестностей Ау С С С — В соответствии с данным упорядочением, мы будем называть Д- микросистемой по отношению к /1;+1, а А{+1 макросистемой по отношению к Аг.

Мы знаем, что микросистема всегда находится внутри макросистемы. Так, электрон является частью атома, атом частью молекулы и.т.д.Это наводит на мысль о том, что для получения матрицы плотности микросистемы, вместо прямого усреднения по всем степеням свободы окружения, можно представить волновую функцию в иерархической форме, последовательно учитывая степени свободы тех макросистем, для которых исследуемая микросистема является частью. Например, для волновой функции системы электронов п некоторого атома можно записать {-рл, {Флеи ■ • • > "Фле„, }}, гДе Фа волновая функция всего атома (макросистемы), обладающего полным моментом J, орбитальным моментом Ьг и полным спином Б, т.е. зависящая от характеристик не только электронной системы, но и ядра. Волновые функции атомных электронов 1рАек, таким образом, отличны от волновых функций свободных электронов ■фе,..

Теперь у нас есть достаточно элегантный способ получения информации о квантовых состояниях подсистемы путем усреднения лишь по заданной ветви иерархии, а не по всему окружению подсистемы. Например, состояние подсистемы Ли, изображенной на рис. 3, задается с помощью трех компонент волновой функции (1рс1,'Фс1в1,'Фс1В1Ап)- Матрицу плотности этой системы можно получить, усредняя по степеням свободы С\ и В\, но не В2.

Рис 3- Структура бинарной иерархической системы. Для вычисления матрицы плотности подсистемы Ап требуется усреднение по состояниям подсистем В1 и Сь но не по СОСТОЯНИЯМ В2,АЦ, У422

В общем случае для описания состояния объекта А\ (взаимодействующего с объектами А2,..., Алг), который является частью объекта В^, мы должны представить волновую функцию системы в виде

где фвг волновая функция целого (обозначенная как В\), а фв^ является волновой функцией компоненты принадлежащей системе Ву.

Такой формализм имеет два аспекта. Во-первых, если нам известны собственные векторы |фч),..., \фгк) всех частей, взаимодействие между этими частями и внешние поля, мы должны иметь возможность построения системы функций \63). Но волновые функции всех составных частей никогда

Ф = {Фв„ {ФВгАг, ■ ■■,Фв1А„}},

(50)

не могут быть известны одновременно, поэтому более разумно искусственно ввести вектор состояния макроуровня \в3) и рассматривать взаимодействие между этим средним полем макроуровня и полями микроуровня.

Во-вторых, как хорошо известно, например в биологии, влияние внешних полей на компоненты клетки сильно зависит от состояния всей клетки. Здесь мы сталкиваемся с типичной проблемой теории управления задача управления микроуровнем путем воздействия только на степени свободы макроуровня.

Пусть А оператор, действующий на микроуровне системы, состоящей из к частей. Тогда, для среднего значения наблюдаемой А, имеем

(л)=£ с^;, л,с>;и м(вл(ФгЛ ■ ■ ■ «'И1&1>...., \Ф1кт = ытю.

(51)

где полужирный шрифт I = (¿1,... ,г&), |1) = \фч), • • •, \фгк) используется для мультииндексов состояний микроуровня.

По аналогии с управляемыми квантовыми гейтами, используемыми в алгоритмах квантовых вычислений, можно ввести операторы, действие которых на микроуровне зависит от состояния макроуровня [8],

в = щет)в%(вт\(к\. (52)

Среднее значение соответствующей наблюдаемой в двухуровневой иерархической системе равно

= = ' (53)

А1Д'

Таким образом, осуществляя измерение состояния макросистемы, можно получить некоторую информацию о микросистемах, не изменяя их волновых функций. Так, если мезон найден в состоянии | применив проекционный

оператор Р| = | | к его волновой функции, можно получить информацию о том, что оба кварка, составляющие данный мезон, имеют проекции спина

= 1/2; если же мезон найден в состоянии с нулевой проекцией спина, можно утверждать, что составляющие его кварки имеют противоположные проекции спина.

Компоненты волновой функции, принадлежащие различным уровням иерархии, могут иметь существенно различную природу: различные значения спина, изоспина, цветового индекса и, следовательно, принадлежать различным пространствам. Гильбертово пространство иерархических векторов состояния можно построить исходя из предположения об общей линейности для всех уровней иерархии.

Фь Фг 6 "Н, а, Ъ е С =Ф Ф = аФ1 + ЬФ2 6 К

= {Фвг, {Фв^, Фв1Аы}, ■ ■ ■}, = {Фо,, {Фп.С^ ФогС„}, ■ ■ •}, тогда их линейная комбинация

ф = аФ1 + ЬФ2 = {афв1 + ЬфЮ1, {афв^ + ■ • •, афВ1А„ + Ъфо&н), ■ ■ •}

(54)

также принадлежит Н. Скалярное произведение иерархических векторов состояния определяется покомпонентно:

N

(ф^фз) = (фВ1\фВ1) + ^(фв^ФБгС,) + ■••• (55)

¿=1

Глава 6 ("Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля") посвящена применению непрерывного вейвлет-преобразования для устранения расходимостей в квантовой теории поля.

Хорошо известно, что ультрафиолетовые (УФ) расходимости, возникающие в квантовой теории поля на малых масштабах, связаны с трансфор-

35

мационными свойствами квантовополевых моделей по отношению к масштабным преобразованиям. Для широкого класса таких моделей, известных как мулътипликативно-ренормируемые модели, проблема ультрафиолетовых расходимостей существенно упрощается путем мультипликативного преобразования полей и констант связи. Перенормированные функции Грина, полученные путем такого преобразования, становятся конечными в ультрафиолетовом пределе Л—»с» всЪ расходимости адсорбируются бесконечными константами перенормировки Zф(g, Л), Zg{g, Л). Независимость наблюдаемых физических результатов от изменения масштаба известна как ренормализа-ционная инвариантность, а сама группа преобразований как ренормализа-ционная группа (РГ).

Наличие симметрии, связанной с масштабными преобразованиями, подсказывает следующий способ построения полевых моделей: при построении функционала действия нужно использовать поля, преобразующиеся по представлениям аффинной группы : х' = ах + Ь. Если мы считаем, что получаемая с помощью метода РГ степенная зависимость константы связи от масштаба действительно отражает физику исследуемых явлений, а не является математическим артефактом, мы должны найти способ включить эту зависимость в теорию уже на стадии построения модели, а не на стадии устранения возникающих расходимостей. Для этого обратимся к простейшей модели скалярного поля в евклидовом пространстве:

= 5/ Ф(.х1)°(хи х2)ф{х2)йхф2 +

1 г ^

+ / Хз, х4)ф(х1)ф(х2)ф(х3)ф(х^х1нх2ёх^х4.

Используя вейвлет-преобразование, можно легко переписать (56) в виде функционала от масштабно-зависимых полей фа{Ь). Производящий функци-

онал соответствующей теории поля имеет вид

га[А = 1Щ{д)ехр(1~иоф(д1)0(дид2)ф(д2)(1ц{д1)с1}1(д2)-

- 4Г /с 52,53, 54)<^(51)0(52)</>(5з)0(54)^(51)^(52)^(5з)Ф(54)+

(57)

где д = (а, &) координаты на аффинной группе, йц(д) = левоин-

вариантная мера, а У{д\, д2,5з, 54) обозначает результат применения вейвлет-преобразования к четырехточечному потенциалу У(ху, х2, х3, х4) по каждому из аргументов.

Нетрудно видеть, что диаграммная техника в такой модели будет отличаться от обычной фейнмановской техники наличием на каждой линии вейвлетных множителей а^2,ф(а1к) и интегрированием по мере ¿¡л(а, к) = вместо обычного интегрирования по импульсам в каждой вершине. Так, для свободного пропагатора имеем

Б~1(аи о2, к) = а^ф^к) ^ ) <4/2ф(а2к).

При этом подразумевается однородность по пространственным координатам, т.е. то, что матричные элементы зависят лишь от разностей координат, но не от самих координат.

Естественно, если рассматривать теорию с действием 5(^(6)] как результат вейвлет-преобразования исходной теории с действием 5[0(ж)], то после интегрирования по всем масштабным аргументам восстанавливаются обычные результаты. Если, однако, понимать под фа(Ь) = (а, Ъ\ ф\ф) результат измерения состояния |ф) в точке Ь с помощью базисного состояния |ф) при разрешении а и определить матричные элементы и функции Грина для

полей, зависящих от масштаба.

т

(фаМ-.-ФаЛЬп)) = -

.7=0

МаМ^.^Ьп)

то при соответствующем выборе зависимости константы связи от масштаба Л = А(а), масштабно-зависимые функции Грина (58) оказываются конечными. Нетрудно также показать, что за счет вейвлетного фактора оказывается конечной функция Грина свободных полей, вычисленная при совпадающих координатах, но различных масштабах.

Что касается пространственных симметрии теории, основанной на аффинной группе, то введение новой масштабной переменной фактически означает, что вместо одного скалярного поля ф(х) мы теперь имеем дело с набором полей, проиндексированных масштабом а: {(^а(:Е)}0; для каждого фиксированного значения а инвариантность по отношению к вращениям и трансляциям, естественно, остается. В пространстве же операторнозначных функций возникает проблема с определением коммутационных соотношений \фа1{х), Фа2{у)}, поставленная в работе [22]. Возможное решение этой проблемы предложено в работах автора [И, 50], где на основании двух операций частичного упорядочения по масштабу (с) и по координате (-<) введено обобщение понятия Т упорядочения по принципу "оператор, отвечающий большему масштабу, действует первым" . С использованием аналогии с многомасштабными случайными процессами предложены также возможные коммутационные соотношения для многомасштабных операторов поля. Так, для массивного скалярного поля

[МАЮ, №)] = (27^-^¿^(к! - к2)С>?+1<Ка1 - а2), (59)

где = у/к2 + т2.

Глава 7 ("Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля") по-

38

священа р-адической теории поля, в контексте ее связи с многомасштабными методами, в частности, рассматривается предложенное автором р-адическое вейвлет-преобразование.

Результаты любых физических измерений всегда выражаются в терминах рациональных чисел. Происходит это хотя бы потому, что любое измерительное устройство обладает конечной точностью, предел которой определяется принципом неопределенности Гейзенберга. Геометрия на самых малых, план-ковских масштабах, где существенны квантовые гравитационные эффекты [44], нам не известна. Существует убеждение, что геометрия планковских масштабов должна быть неархимедовой, возможно р-адической [59]. Последнее продиктовано как чисто эстетическими соображениями, так и наличием лишь двух возможных пополнений поля вещественных чисел (согласно теореме Островского): К ^ «2 ^ Все это, а также ряд результатов теории струн, делает необходимым исследование р-адических квантово-полевых моделей и, в частности, их свойств по отношению к масштабному преобразованию. Последнее непосредственно связано с р-адическим вейвлет-преобразованием, предложенным в работах автора [4, 9].

Напомним основные свойства р-адических чисел. Пусть р ^ 1 простое число. Любое вещественное число х € отличное от нуля, может быть однозначно представлено в виде

х = -р7, (60)

п

где тпип целые числа, не делящиеся на р ф 1; 7 целое число. Представление (60) позволяет определить в поле норму

Мр= -Р" I ='р"7, |0|р=Ч (61)

п \р

отличную от стандартной нормы | ■ |. Алгебраическое замыкание поля 0> от-

39

носительно нормы | • |р есть поле р-адических чисел Qp.

Любое р-адическое число может быть однозначно представлено в виде ряда

оо

х = р"^2 акРк, 0 <ак<р, v € Z. (62)

к= О

Сложение и умножение р-адических чисел осуществляются по обычным правилам сложения и умножения полиномов, таким же образом определяются и аналитические функции р-адического аргумента Любое рациональное, в частности, отрицательное число может быть представлено в виде ряда (62),

так -1 = (р - 1) + (р - 1)р + (р - 1 )р2 +----

р-Адическая норма (61) является более сильной, чем стандартная норма | • |. Вместо неравенства треугольника, в случае р-адической нормы, имеем более сильное ограничение \х + у\р < тах(|ж|р, |у|р). Функция расстояния между точками множества (метрика), определенная с помощью р-адической нормы,

d(x,y) := \x-y\p, (63)

d(x, z) < max(d(x, y), d(y, z)) < d(x, y) + d(y, z),

влечет за собой неархимедову геометрию. Метрику (63) часто называют ультраметрикой [40].

Стандартная парадигма введения р-адических чисел в квантовую теорию поля состоит в замене комплекснозначных функций вещественного аргумента функциями р-адического аргумента. Поскольку не существует предпочтительного значения основания р, используют так называемые адельные формулы. В частности, разложение плоской волны по р-адическим гармоникам имеет вид

exp(2m(ujt — kx)) = JJ Xpi^t — кх).

р^рггте

В этом смысле свободная частица представляет собой совокупность р-адических плоских волн. Обобщение р-адического анализа на многомерный (векторный) случай также производится обычным образом:

0.Р->Яр, х -> (хи...,хп), & -> (£, я) =

г

Подход, заменяющий М^ на £2р, оправдан, когда целью является регуляризация квантовополевых струнных моделей, изначально сформулированных на некотором многообразии. Если же ставится вопрос о происхождении самого многообразия, то разумно использовать более общий подход, рассматривающий непрерывную геометрию как систему связей между дискретными объектами. Такой подход, предполагающий рождение Вселенной из одного недифференцированного объекта путем процесса фрагментации, развивался в ряде работ автора [12, 4, 15, 9], и состоит во введении р-адической геометрии как системы отношений между фрагментами разбиения, помеченными р-адическими целыми х £ 2Р. Действительно, пусть имеется процесс фраг-

в

Рис. 4- Разбиение ¿-мерного симплекса {в. = 2) на {'1 + 2) равных частей. Отождествление вершин А = В = С и склеивание ребер обеспечивает гомеоморфное отображение симплекса на сферу .У2.

ментации объекта единичной меры на р-частей, рекурсивно повторяемый с

41

каждой из частей. Тогда координата х = "^л^о акРк однозначно определяет

любой фрагмент в М-м поколении фрагментации. Все множество таких х и есть кольцо р-адических целых чисел Ър = {х € 0,р : \х\р < 1}. В соответствии с таким определением процесса фрагментации, меру интегрирования на определяют исходя из условия нормировки йх = \.

Геометрия такого разбиения не обладает локальной структурой многомерного евклидова пространства. Она является "р-адически одномерной'" при этом основание р однозначно связывается с размерностью ¿-мерной сферы, куда может быть вписан данный объект, соотношением р — й + 2 (рис. 4). Переход к р-адически одномерной модели сразу же делает теорию конечной.

Построенная модель, хотя и является сильно упрощенной, демонстрирует ряд важных свойств. Так, частичное упорядочение в 2р имитирует две операции упорядочения, часть - целое (с) при |ж|р ф \у\р, и обычное Т-упорядочение (-<) при |ж|р = |т/|р. Кроме того, однозначная связь основания р с (р — 2)-мерными симплексами допускает наличие соответствующих дискретных симметрий у физического пространства, что могло бы проявляться, например, в корреляциях флуктуаций реликтового излучения [12]. в частности, в усилении корреляций при угле в = 120° и их ослаблении при в = 60", что, возможно, и наблюдалось в экспериментах СОВЕ и РЕЛИКТ-1.

Поскольку в любом физическом эксперименте наблюдаются физические поля, а не геометрия как таковая, возникает вопрос о построении физических полей над сферой с описанным выше р-адическим разбиением. В частности, для определения полей, зависящих как от положения, так и от масштаба, необходимо определить вейвлет-преобразование на 0,р. Такое преобразование

(64)

было предложено в работах автора [4, 9]

<a,W>e, = с?1* j (65)

Jq-xqp а \ а ; |«|р

и состоит в разложении функции р-адического аргумента по представлениям р-адической аффинной группы (а, Ь) о (a',b') = (aa',ab' + Ь), а,а',Ь,Ь' 6 Qp, а, а' ф 0, на которой определена левоинвариантная мера Хаара

, , гл dadb \а\р

В работе [9] был предложен дискретный алгоритм р-адического вейвлет-преобразования, обобщающий быстрый алгоритм с вейвлетом Хаара на поле

Qp.

Глава 8 ("Некоторые приложения вейвлетов к биологии и анализу данных") основана на работах автора по применению вейвлет-преобразования к анализу первичной структуры ДНК, экспериментальных данных в биологии и ядерной физике.

Самоподобие могло играть существенную роль не только в образовании Вселенной как целого, но и в кодировании генетической информации. Гипотеза о присутствии у первичной структуры генома свойств самоподобия, проявляющихся в наличии дальних корреляций, была впервые высказана в [27, 42]. В [14] наличие самоподобия в первичной структуре ДНК было проверено непосредственно путем применения вейвлет-преобразования к мерам, отвечающим каждому из нуклеотидов. Было проведено исследование интегральных мер для каждого нуклеотида, т.е. зависимости полного числа нуклеотидов данного типа от длины фрагмента. Для каждого из четырех

нуклеотидов z ~ Л, Т, С, (7 интегральная мера имеет вид

t

i,

1, если ш = z

О, если ш ^ z

Линейная зависимость логарифма вейвлет-коэффициентов log\Wg{a, я)[Дг]| от loga для каждой из мер ца, l'c> 1-1а означает степенную зависимость

что соответствует скейлинговому поведению мер ¡л{х) — /¿(хо) ос \х — обозначения показателя Липшица-Гельдера Н, вычисленные для последовательностей ДНК китайского хомячка, согласно [14] составили.

Найденные значения достаточно близки к показателю Липшица-Гельдера для

ственны ему. Это было подтверждено в работе [13], где проведено сравнение ' корреляций вейвлет-коэффициентов. вычисленных на различных масштабах,

для последовательностей ДНК кишечной палочки и случайной последовательности такой же длины. Кроме того, визуальный анализ цветовых карт абсолютных значений вейвлет-коэффициентов. вычисленных для первичной структуры различных последовательностей, указывает на наличие иерархических структур (рис. 5). Это впервые было указано в работе [43] и, независимо, в работе автора [14]. Преимуществом авторского подхода было то, что использование четырех независимых случайных мер вместо двухзначного отображения "пурин (1) - пиримидин (-1)" не приводит к вырождению между различными нуклеотидами.

Wg ~ ah+*

hA hr he ho 0,60 0,43 0,60 0,53

броуновского движения (h — i) чисто случайного процесса, но не тожде-

R{ai, а2, h - Ъ2) = {Wg{au h)Wg(a2, h))

(68)

Рис. 5: Цветовая кар га (градации серого) влот-коэффициентов для М-сегмента РНК гена хантавнруса Добрана. Номер последоветельности (NCBI) GI:3970CG9. На рисунке показан участок длиной 102--I н.п. с начала фрагмента. Каждый слой, соответствует изменению масштаба в вертикальном направлении к ч = 21/4 раз. Рисунок из монографии №

Описанная работа стимулировала дальнейшее применение методов вейвлет-анализа и мультифрактального анализа к исследованию первичной структуры ДНК различных организмов. D работе [13] были вычислены корреляционные функции (68) для последовательностей В.coli и случайной последовательности такой же длины. Наличие у естественной последовательности корреляций между большим и меньшим масштабами указывает на то, что при "кодировании" коэффициентов меньшего масштаба как бы учитываются уже известные значения коэффициентов большего масштаба (ср. ''боль-шин действует первым" па стр. 38). Все это достаточно хорошо согласуется с г ипотезой Оно о том, что корреляции между удаленными частями последовательностей объясняются общим происхождением этих частей из одного а того же фрагмента пра-ДНК, существовавшей на раннем этапе биологической эволюции [37, 46].

В качестве приложений вей влетов к обработке экспериментальных данных в диссертации рассматривается метод разделения гауссовых пиков с помощью непрерывного вей влет-преобразования. Метод основан на вычислении

вей влет преобразования от функции

с использованием . семейства базисных вейвле-

тов д„(х) = (dn/dxn) ехр(—х2/2). Решение получающейся системы уравнений позволяет по коэффициентам вейвлет-разложения W9n[f] найти параметры исходных гауссианов (Nk, хи, сгк)- В частности, для вейвлета до максимальное значение вейвлет-коэффициентов

Waa(a> b)[fganss} = Na (y^^j достигается на масштабе ат и равно

W^On, 0)[fgauss} = ^55/46-3/2 = ~ (. (71)

Va \/ат V0/

Данный метод применен при калибровке пластиковых сцинтилляторов в

эксперименте NEMO, далее был развит в работе [58], использовался во время-

пролетных экспериментах, получил применение в прикладном программном

обеспечении для анализа гель-электрофорезных изображений.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Работа также содержит Приложение, где приведены некоторые детали

вычислений.

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В настоящей работе развита теория многомасштабных случайных процессов и операторнозначных функций на основе непрерывного вейвлет-преобразования. Полученные результаты могут быть применены к различным задачам теории поля, статистической физики, биологии, геофизики, в

1 -

Ь2

а2 + сг2

ехр -

Ь2

2(а2 + а2)

(70)

задачах физики плазмы, в том числе в исследованиях солнечного ветра в околоземном пространстве.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. На основе непрерывного вейвлет-преобразования сформулирована концепция многомасштабных случайных процессов как случайных функций на аффинной группе [6, 49]. Разработан итерационный способ решения стохастических дифференциальных уравнений, в том числе содержащих многомасштабные случайные процессы, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании. Этот способ применен к решению уравнения Ланжевена и его частного случая, уравнения Кардара-Паризи-Занга, описывающего динамику границы раздела фаз в флуктуирующей среде. Вычислена поправка к коэффициенту поверхностного натяжения, возникающая при действии масштабно-зависимой случайной силы [49].

2. Показано, что два различных многомасштабных случайных процесса после обратного вейвлет-преобразования могут иметь совпадающие образы в пространстве процессов второго порядка. Данное свойство применено для построения многомасштабной процедуры стохастического квантования. Показано, что использование многомасштабных случайных процессов в процедуре стохастического квантования для определенного вида случайной силы обеспечивает регуляризацию теории [7, 49, 52].

3. Метод итерационного решения стохастических дифференциальных уравнений применен для решения уравнения Навье-Стокса с масштабно-зависимой случайной силой. В однопетлевом приближении вычислены корреляционная функция и функция отклика. Показано, что математическая формулировка гипотез Колмогорова может быть наиболее аде-

кватным образом дана именно в терминах многомасштабных случайных функций [51].

4. На основе непрерывного вейвлет-преобразования предложен метод построения квантовой теории поля непосредственно на аффинной группе. Построены упорядочение операторов и канонические коммутационные

соотношения для многомасштабных квантовых полей [11, 50]. %

5. Предложен формализм квантования иерархических систем. Построены гильбертово пространство состояний для иерархических систем и матрица плотности. Данный формализм может быть использован для описания процессов записи информации в квантовые иерархические структуры [8].

6. Построено непрерывное вейвлет-преобразование над полем 0.р как разложение по представлениям р-адической аффинной группы. Построен аналог дискретного вейвлет-преобразования с вейвлетом Хаара над полем <2Р [4, 9]. Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, на основе которого выдвинуто предположение о том, что наблюдаемая анизотропия микроволнового реликтового излучения может быть следствием дискретной р-адической геометрии ранней Вселенной [12, 15, 9].

7. Путем применения вейвлет-преобразования к кумулятивной мере, определенной для первичной структуры нуклеотидных последовательностей, обнаружен [14, 5] самоподобный характер распределения нуклеотидов, что подтверждает гипотезу Оно об иерархическом кодировании информации в первичной структуре ДНК, что подтверждается также наличием межмасштабных корреляций, обнаруженных в первичной структуре

нуклеотидных последовательностей [13]. Литература

[1] Afanasiev, S. On the application of wavelet analysis to separation of secondary particles from nucleus-nucleus interaction / S. Afanasiev. M. Altaisky, Y. Zhestkov // Nuovo Сгт. A. 1995. Vol. 108. Pp. 919 927.

[2] Altaiski, M. Fitting distributions with wavelets / M. Altaiski, 0. Kochetov, К. V. 11 Engineering Simulation. 1998. Vol. 15. Pp. 343 350.

[3] Altaiski, M. V. On the incorporation of the concept of resolution to the definition of a coordinate system / M. V. Altaiski // Differential equations and dynamical systems. 1996. Vol. 4. Pp. 267 274.

[4] Altaiski, M. V. p-Adic wavelet decomposition vs Fourier analysis on spheres / M. V. Altaiski // Indian J. Pure and Appl. Math. 1997. Vol. 28, no. 2. Pp. 195 207.

[5] Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. Т. 74. С. 35 60. Переименован в "Письма в ЭЧАЯ".

[6] Altaisky, М. V. Scale-dependent function in statistical hydrodynamics: a functional analysis point of view / M. V. Altaisky // European Journal of Physics B. 1999. Vol. 8, no. 4. Pp. 613 617.

[7] Altaisky, M. V. Wavelet based regularization for Euclidean field theory / M. V. Altaisky // Group 24: Physical and mathematical aspects of symmetries / Ed. by J.-P. Gazeau, R. Kerner, J.-P. Antoine et al. Institute of Physics Conference series number 173. Paris: IoP, 2002. July. Pp. 893 897. Proc. of 24th Int. Coll. Group Theor. Meth. in Physics.

[8] Altaisky, M. V. Quantum states of hierarchic systems / M. V. Altaisky // Int. J. Quantum Information. 2003. Vol. 1, no. 2. Pp 269 278. quant-ph/0110043.

%

[9] Altaisky, M. V. p-adic wavelet-transform and quantum physics / M. V. Altaisky // Труды Математического Института имени В.А.Стеклова. 2004. Т. 245. С. 41 46.

[10] Altaisky, М. V. Wavelet based regularization for euclidean field theory and stochastic quantization / M. V. Altaisky //' Trends in Field Theory Research /' Ed. by O. Kovras. NY: Nova Science Publishers, Inc., 2004. Pp. 105 118. hcp-th/0311048.

[11] Altaisky, M. V. Wavelets: Theory, Applications, Implementation / M. V. Altaisky. India: Universities Press Ltd., 2005.

[12] Altaisky, M. V. Fractal structure of quantum gravity and relic radiation anisotropy / M. V. Altaisky, V. A. Bednyakov, S. G. Kovalenko /f Int. J. Theor. Phys. 1996. Vol. 35. Pp. 253 261.

[13] Altaisky, M. V. Multiscale properties of DNA primary structure: cross-scale correlations / M. V. Altaisky. V. V. Ivanov, R. V. Polozov // Письма в ЭЧАЯ. 2000. Т. 4. С. 19 28.

[14] Altaisky, M. V. Wavelet analysis of DNA sequences / M. V. Altaisky, 0. A. Mornev, R. V. Polozov // Genetic. Analysis. 1996. Vol. 12. Pp. 165 169.

[15] Altaisky, M. V. p-adic physics below and above Planck scales / M. V. Altaisky. B. G. Sidharth // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. Vol. 10. Pp. 167 176.

[16] Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis. / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. T. 74. С. 35 60.

[17] Bausch, R. Renormalized field theory of critical dynamics / R. Bausch, H. K. Jansen, H. Wagner // Z. Phys. B. 1976. Vol. 24. Pp. 113 127.

[18] Burgers equation with correlated noise. Renormalization-group analysis and applications to directed polymers and interface growth / E. Medina. M. Kardar. G. Parisi, Y.-C. Zhang // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. no. 6. Pp. 3053 3075.

[19] Chui, C. An Introduction to Wavelets / C. Chui. Academic Press Inc.. 1992.

[20] Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. Philadelphie:

- S.I.A.M., 1992.

é

[21] Dubrulle, В. Possible statistics of scale invariant systems / B. Dubrulle. F. Graner // J. de Physique II France. 1996. Vol. 6. no. 5. Pp.797 815.

[22] Federbush, P. A new formulation and regularization of gauge theories using a non-linear wavelet expansion / P. Federbush // Progr. Theor. Phys. 1995. Vol. 94. Pp. 1135 1146.

[23] Forster, D. Long-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid / D. Forster, D. R. Nelson, M. J. Stephen // Phys. Rev. A. 1977. Vol. 16, no. 2. Pp. 732 749.

[24] Halpern, M. B. Universal continuum regularization of quantum field theory / M. B. Halpern // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1993. Vol. 111. Pp. 163 184.

[25] How to ressolve overlapping gaussian signals using wavelets / M. V. Altaisky, E. A. Kolganova, V. E. Kovalenko, G. A. Ososkov // Proceedings of International conference of SPIE / International Society for Optical Engineering. Vol. 2847. Denver,.USA: 1996. August 4-9. Pp. 656 664.

[26] Kardar, M. Dynamic scaling of growing interfaces / M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, no. 9. Pp. 889 892.

[27] Long-range correlations in nucleotide sequences / C. K Peng, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberg et al. // Nature. 1992. Vol. 356. Pp. 168 171.

[28] Mallat, S. A theory for multiresolution signal decomposition: wavelet transform / S. Mallat. Preprint GRASP Lab. Dept. of Computer an Information Science, Univ. of Pensilvania.

[29] Mallat, S Multiresolution approximation and wavelets / S! Mallat // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 315. Pp. 69 88.

[30] Mallat, S. A wavelet tour of signal processing / S. Mallat. Academic Press, 1999. '

[31] Martin, P. C. Statistical dynamics of classical systems / P. C. Martin, E. D. Sigia, H. A. Rose // Phys. Rev. 1973. Vol. A8. Pp. 423 437.

52

[32] Meneveau, C. Analysis of turbulence in orthonormal wavelet representation / C. Meneveau // J. Fluid. Mech. 1991. * Vol. 232. Pp. 469 520.

[33] Mensky, M. B. Quantum measurement and decoherence /' M. B. Mensky. Kluver Academic. 2000.

[34] Morlet, J. Sampling theory and wave propagation / J. Morlet // Proc. 51st Annu. Meet. Soc. Explor. Geophys. Los-Angeles: 1981.

[35] Namiki, M. Stochastic quantization / M. Namiki. Springer. 1992. Vol. m9 of Lecture notes in physics.

[36] Nielsen, M. Quantum computation and quantum information / M. Nielsen, I. Chuang. Cambridge University Press, 2000.

[37] Ohno, S. Codon preference is but an illusion created by the construction principle of the coding sequences / S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sn. . (USA). 1988. Vol.85. Pp.4378 4382.

[38] Ondelettes, multifractales et turbulence / A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry et al. Paris: Diderot, 1995.

[39] Parisi, G. Perturbation theory without gauge fixing / G. Parisi, Y.-S. Wu // Scientica Sinica. 1981. Vol. 24. Pp. 483 496.

[40] Ramal, R. Ultrametricity for physisists / R. Ramal, G. Toulouse, M. A. Virasoro // 1lev. Mod. Phys. 1986. Vol. 58. Pp. 765 788.

[41] Restero, J. M. Wavelet-Galerkin discretization of hyperbolic equations / J. M. Restero, G. K. Leaf // J.Comp.Phys. 1995. Vol. 122. Pp. 118 128.

[42] Voss, R. F. Evolution of long-range fractal correlations and 1/f noise in DNA base sequences / R. F. Voss // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68, no. 25. Pp. 3805 3808.

[43] Wavelet analysis of DNA sequences / A. A. Tsonis, P. Kumar, J. B. Eisner, P. A. Tsonis // Phys. Rev. E. ' 1996. Vol. 53, no. 2. Pp. 1828 1834.

[44] Wheeler, J. A. Superspace and the nature of quantum geometrodynamics / J. A. Wheeler // Battelle Rencontres / Ed. by C. DeWitt, J. Wheeler. NY: Benjamin, 1968.

[45] Wyld, H. W. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible fluid /' H. W. Wyld // Annals of Physics. 1961. Vol. 14, no. 2. Pp.143 165.

[46] Yomo, T. Concordant evolution of coding and noncoding regions of DNA made possible by the universal rule of TA/CG deficiency TG/'CT excess / T. Yomo, S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sci. (USA). 1989. Vol. 86. Pp. 8452 8456.

[47] Zmn-Justm, J. Renormalization and stochastic quantization / J. ZinnJustin // Nuclear Physics B. 1986. Vol. 275, no. FS17. Pp. 135 159.

[48] Аджемян, JI. Ц. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов / JL Ц. Аджемян, А. Н. Васильев, Ю. М. Письмак // Теор. Машем. Физ. 1983. Т. 57. С. 268 281.

[49] Алтайский, М. В. Уравнение Ланжевена с масштабно-зависимым шумом / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2003. Т. 392, № 2. С. 180 182.

[50] Алтайский, M. В. Причинность и многомасштабные разложения в квантовой теории поля / М. В. Алтайский // Письма в ЭЧАЯ. 2005. Т. 2. № 6. С. 7 И.

[51] Алтайский, М. В. Многомасштабная теория турбулентности в вейвлет-представлении / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2006. Т. 410. № 3. С. 326 330.

[52] Алтайский, М. В. Многомасштабное стохастическое квантование / М. В. Алтайский // Нелинейный мир. 2006. Т. 4. № 4/5. С. 246 255

[53] Алтайский, М. В. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов / М. В. Алтайский, В. А. Крылов // Вестник РУДН. 2002. Т. 1, № 1. С. 98 106.

[54] Астафьева, H. М. Вейвлет анализ: основы теории и некоторые приложения / H. М. Астафьева // УФН. 1994. Т. 166, № 11. С. 1146 1170.

[55] Дремин, И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // УФН. 2001. Т. 171, № 5. С. 465 501.

[56] Горбачев, В. Н. Физические основы современных информационных процессов / В. Н. Горбачев, А. И. Жилиба. Санкт-Петербург: Издательство "Петербургский институт печати", 2004.

[57] Колмогоров, А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. 1941. Т. 30. С. 299 303.

[58] Ососков, Г. А. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы: Tech. Rep. Pll-97-347 / Г. А. Ососков,

A. Б. Шитов. Дубна:- ОИЯИ, 1997.

[59] Владимиров, В. С. р Адический анализ и математическая физика ,/

B. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленов. Москва: Наука, 1994.

[60] Зимин, В. Д. Иерархическая модель турбулентности / В. Д. Зимин // Известия АН СССР. 1981. Т.'17, №12. С. 941 946.

4 Список публикаций автора по теме диссертации

4.1 Книги

1. Altaisky M.V. Wavelet based regularization for euclidean field theory and stochastic quantization. // Trends in Field Theory Research / Eds. O. Kovras. Nova Science Publishers, 2004. (Глава в книге)

2. Altaisky M. V. Wavelets: Theory, Applications, Implementation. Universities Press Ltd., 2005.

4.2 Статьи в журналах

1. Afanasiev S.V, Altaisky M.V, Zhestkov Yu.G. On applications of wavelet analysis to separation of secondary particles from nucleus-nucleus interactions ,// Nuovo Cimento A. 1995. V.108. P.919 - 927.

2. Altaisky M.V., Bednyakov V.A., Kovalenko S.G. Fractal structure of quantum gravity and relic radiation anisotropy // Int. J. Theor. Phys. 1996. V.35. P. 253-261.

3. Altaisky. On the incorporation of the concept of resolution to the definition of a coordinate system // Differential equations and dynamical systems. 1996. V.4. P. 267-274.

4. Altaisky M.V, Kolganova E.A., Kovalenko V.E., Ososkov G.A. How to ressolve overlapping gaussian signals using wavelets // SPIE Proc. 1996. V.2847. P.656-664.

5. Altaisky M.V., Mornev O.A, Polozov R.V. Wavelet analysis of DNA sequences // Genetic Analysis. 1996. V.12. P.165-169.

6. Altaisky M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis /,/ Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. T.74. C.35-60. Переименован в "Письма в ЭЧАЯ".

7. Altaiski М. V. p-adic wavelet decomposition vs Fourier analysis on spheres /,/ Indian J. of Pure and Appl. Math. 1997. V.28 P.195-207.

8. Altaiski M., Kochetov 0., Kovalenko V. Fitting distributions with wavelets // Engineering Simulation. 1998. V.15. P.343-350.

9. Altaisky M. V. Scale-dependent function in statistical hydrodynamics, a functional analysis point of view // European Journal of Physics B. 1999. V.8. Р.613Г617.

10. Altaisky M. V., Sidharth B.G. p-adic physics below and above Planck scales j I Chaos, Solitons and Fractals. 1999. V.10. P.167-176.

11. Altaisky M.V., Ivanov V.V., Polozov R.V. Multiscale properties of DNA primary structure: cross-scale correlations// Письма в ЭЧАЯ. 2000. T.4. С.19-28.

12. Алтайский М.В., Крылов В.А. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов// Вестник РУДН. 2002. T.l. С.98-106.

13. Altaisky M.V. Quantum states of hierarchic systems // Int. J. Quantum Information. 2003. V.l. P.269-278.

14. Altaisky M.V. p-Adic wavelet transform and quantum physics // Труды математического института им. В.А.Стеклова. 2004. Т.245. С.41-46.

15. Алтайский М.В. Уравнение Ланжевена с масштабно-зависимым шумом // Доклады РАН. 2003. Т.392. С.180-182.

58

16. Алтайский М.В. Причинность и многомасштабные разложения в квантовой теории поля // Письма-в ЭЧАЯ., 2005. Т.2. С.7-11.

17. Altaisky M.V. Scale-dependent functions, stochastic quantization and renormalization // SIGMA. 2006 V.2. P.046.

18. Алтайский М.В. Многомасштабное стохастическое квантование // Нелинейный мир. 2006. Т.4. С.246-255.

19. Алтайский М.В. Многомасштабная теория турбулентности в вейвлет-представлении // Доклады РАН. 2006. Т.410. С.326-330.

055(02)2 Ротапринт ИКИ РАН

117997, Москва, Профсоюзная 84/32

Подписано к печати 21.11.06

Заказ 2070

Формат 70x108/32 Тираж 100 2.5 уч.-изд.л.

Введение

1 Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании

1.1 Об истории вейвлет-преобразования.

1.2 Некоторые сведения из теории групп.

1.3 Разложение по представлениям аффинной группы.

1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования.

1.5 Анализ локальной регулярности.:

1.6 Дуальные вейвлеты.

2 Случайные процессы и квантовая теория поля

2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа

2.2 Случайные процессы и СДУ.

2.3 Квантовая механика.

2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики

2.5 Сингулярности и перенормировка.

2.6 Применение квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы.

3 Многомасштабные случайные процессы

3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба.

3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций.

3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты.

3.2.2 Распределение энергии по масштабам.

3.2.3 Дельта-коррелированные процессы.

3.3 Многомасштабная стохастическая динамика.

3.3.1 Уравнение Ланжевена.

3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений

3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой

3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами

3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе.

3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике

3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности

3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования.

3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой

3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам.

3.4.5 Гипотезы Колмогорова.

3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности

4 Стохастическое квантование

4.1 О методе стохастического квантования.

4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака.

4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений.

4.4 Многомасштабное стохастическое квантование

4.5 Поля Янга-Миллса .ИЗ

5 Квантовая механика иерархических систем

5.1 Иерархические системы и квантовая информация.

5.2 Квантовое измерение.

5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем

6 Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля

6.1 Ультрафиолетовые расходимости.

6.2 Теория ф4.

6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей

7 Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля

7.1 Геометрия и числовые поля в физике.

7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в математической физике

7.3 Поле р-адических чисел.

7.4 р-адическая квантовая теория поля.

7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля.

7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля.

7.5 О возможной связи неархимедовой геометрии с анизотропией реликтового излучения .".

7.5.1 Фрактальная геометрия распределения массы во Вселенной

7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация

7.5.3 Дискретные симметрии как возможная причина анизотропии реликтового излучения.

7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование.

7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp.

7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара

8 Некоторые приложения вейвлетов к биологии и анализу данных

8.1 О биологических приложения вейвлетов.

8.1.1 Многомасштабные разложения и первичная структура ДНК

8.1.2 Цветовые карты вейвлет-коэффициентов как инструмент исследования первичной структуры нуклеотидных последовательностей

8.1.3 Дальние корреляции в первичной структуре нуклеотидных последовательностей.

8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков.

8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах

8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков.

8.2.3 Распределение с одним гауссовым пиком.

8.2.4 Распределение с двумя гауссовыми пиками

8.2.5 Применение вейвлет-преобразования к калибровке пластиковых сцинтилляторов в эксперименте NEMO.

Многомасштабные разложения широко используются во всех разделах теоретической физики - везде, где решение физической задачи не сводится к монохроматической волне или к устойчивому стационарному решению. В простейшем случае многомасштабность появляется уже в классической механике, когда решение системы гамильтоновых уравнений приводит к спектру из нескольких отличных друг от друга собственных частот. Для линейных систем это приводит к разложению решения в сумму гармонических компонент и(х) — ^2кСкегкх; для нелинейных систем взаимодействие гармонических компонент между собой приводит к сложным интерференционным эффектам и вызывает стохастическое поведение.

При описании реальных физических, биологических, экономических и других систем с достаточно большим числом степеней свободы точное описание всех нелинейных взаимодействий, как правило, не возможно. Это приводит к необходимости перехода от детерминистического описания процессов с помощью дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) к описанию в рамках стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), в которых неизвестные взаимодействия системы с флуктуирующей средой и сложные нелинейные эффекты взаимодействия внутренних степеней свободы описываются с помощью случайных сил. Такое описание характерно как для классических нелинейных диссипативных систем - например, гидродинамической турбулентности, - так и для задач квантовой теории поля (КТП), в которых выполняется закон сохранения энергии, однако необходимость интегрирования по всем конечным квантовым состояниям, обусловленная вероятностной сущностью квантовой механики, приводит к эквивалентности квантовополевой задачи описанию некоторого случайного процесса в пространстве большей размерности [127, 74, 226].

Простым, однако весьма специфическим случаем применения многомасштабного разложения является разложение в ряд Фурье, однако, его использование для нелинейных систем весьма ограниченно. Разложение в ряд (или инте9 грал) Фурье представляет собой разложение по представлениям группы сдвигов G : х = х + Ь, следовательно, его применение полностью оправдано лишь в случае, когда сама физическая система однородна, т.е. инвариантна относительно сдвигов. Во всех остальных случаях приходится применять различные дополнительные приемы: разложение по малому параметру, методы ренормализационной группы (РГ), вейвлет-разложение.

Одной из целей данной диссертационной работы является унификация многомасштабных методов, применяемых в стохастических задачах и теории поля, на общей основе. Этой основой служит разложение по представлениям аффинной группы

G \ х = ах + b, x,b€Rd,a€R+®SO(d), где d-размерность евклидова пространства, известное как непрерывное вейвлет-преобразование, или вейвлет-анализ.

Несмотря на огромное число статей и монографий посвященных применению вейвлет-преобразования к анализу сигналов и экспериментальных данных, численному решению дифференциальных уравнений и численному моделированию случайных процессов, использование вейвлет-преобразования для аналитического описания нелинейных систем и квантовополевых моделей пока не нашло широкого применения. В связи с этим, важное значение приобретает вопрос о связи вейвлет-методов с методами РГ, нашедшими самое широкое практическое применив в квантовополевых и нелинейных задачах, но часто подвергаемых сомнениям, как не имеющих ясной физической основы, а представляющих лишь математический способ устранения расходимостей.

Работа построена по следующему плану. Глава 1 содержит краткий исторический обзор развития многомасштабных методов, связанных с вейвлетами. Здесь описаны основные идеи метода вейвлет-преобразования и физические задачи, в которых эти методы нашли успешное применение. Глава 2 посвящена связи между теорией случайных процессов и квантовой теорией поля. В главе 3 вводится понятие многомасштабного случайного процесса, обобщающее обычное понятие вейвлет-преобразования случайных процессов. Параграф 3.3 этой главы посвящен применению многомасштабных случайных процессов для решения стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа, в частности, их применению к задаче о динамике границы раздела фаз во флуктуирующей среде; в параграфе 3.4 многомасштабные методы решения стохастических уравнений применяются к стохастическому уравнению Навье-Стокса. В главе 4, на основе разработанной концепции многомасштабных случайных процессов, вводится многомасштабная процедура стохастического квантования, основанная на

10 вейвлет-преобразовании. Глава 5 посвящена обобщению идей вейвлет-анализа на квантовые иерархические системы. В главе 6 исследуется возможность построения евклидовой теории поля на аффинной группе, вместо обычно используемой группы трансляций. Показано, что при соответствующей зависимости константы связи от масштаба, являющегося координатой на аффинной группе, расходимости в такой теории не возникают. Глава 7 посвящена связи многомасштабной теории поля и дискретной геометрии, прежде всего р-адической, используемой в космологических моделях. Глава 8 посвящена некоторым приложениям непрерывного вейвлет-преобразования, опубликованным в работах автора, к анализу экспериментальных данных, имеющих тот или иной элемент случайности. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту. В Приложение вынесены некоторые детали вычислений.

11

12

Основные результаты выносимые на защиту

1. На основе непрерывного вейвлет-преобразования сформулирована концепция многомасштабных случайных процессов как случайных функций на аффинной группе [13, 193]. Разработан итерационный способ решения стохастических дифференциальных уравнений, в том числе содержащих многомасштабные случайные процессы, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании. Этот способ применен к решению уравнения Ланжевена и его частного случая, уравнения Кардара-Паризи-Занга, описывающего динамику границы раздела фаз в флуктуирующей среде. Вычислена поправка к коэффициенту поверхностного натяжения, возникающая при действии масштабно-зависимой случайной силы [193].

2. Показано, что два различных многомасштабных случайных процесса после обратного вейвлет-преобразования могут иметь совпадающие образы в пространстве процессов второго порядка. Данное свойство применено для построения многомасштабной процедуры стохастического квантования. Показано, что использование многомасштабных случайных процессов в процедуре стохастического квантования для определенного вида случайной силы обеспечивает регуляризацию теории [15, 193, 196].

3. Метод итерационного решения стохастических дифференциальных уравнений применен для решения уравнения Навье-Стокса с масштабно-зависимой случайной силой. В однопетлевом приближении вычислены корреляционная функция и функция отклика. Показано, что математическая формулировка гипотез Колмогорова может быть наиболее адекватным образом дана именно в терминах многомасштабных случайных функций [195].

4. На основе непрерывного вейвлет-преобразования предложен метод построе

195 ния квантовой теории поля непосредственно на аффинной группе. Построены упорядочение операторов и канонические коммутационные соотношения для многомасштабных квантовых полей [19, 194].

5. Предложен формализм квантования иерархических систем. Построены гильбертово пространство состояний для иерархических систем и матрица плотности. Данный формализм может быть использован для описания процессов записи информации в квантовые иерархические структуры [16].

6. Построено непрерывное вейвлет-преобразование над полем Qp как разложение по представлениям р-адической аффинной группы. Построен аналог дискретного вейвлет-преобразования с вейвлетом Хаара над полем Qp [8, 17]. Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, на основе которого выдвинуто предположение о том, что наблюдаемая анизотропия микроволнового реликтового излучения может быть следствием дискретной р-адической геометрии ранней Вселенной [20, 25, 17].

7. Путем применения вейвлет-преобразования к кумулятивной мере, определенной для первичной структуры нуклеотидных последовательностей, обнаружен [24, 12] самоподобный характер распределения нуклеотидов, что подтверждает гипотезу Оно об иерархическом кодировании информации в первичной структуре ДНК, что подтверждается также наличием межмасштабных корреляций, обнаруженных в первичной структуре нуклеотидных последовательностей [22].

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам и соавторам, с которыми обсуждались результаты данной диссертации. Среди них автор особо признателен Н.В.Антонову, Н.М.Астафьевой, Дж.Боуману, И.В.Воловичу, М.Гнатичу, В.Н.Горбачеву, И.М.Дремину, Н.С.Ерохину, С.В.Козыреву, В.А.Крылову, С.С.Моисееву, О.А.Морневу, Л.Ноталлю, Г.А.Ососкову, Р.В.Полозову, В.Б.Приезжеву, Б.Г.Сидхарту, О.Г.Чхетиани, Д.В.Ширкову, Е.В.Щепину, М.Юрчишину.

196

Заключение

1. Agakishiev, H. Cherenkov ring fitting techniques for the CERES RICH detectors / H. Agakishiev, a.o. // Nuclear Instruments and Methods. —1996. — Vol. A371. — Pp. 243-247.

2. Aizawa, Y. Soliton turbulence in one-dimensional cellular automata / Y. Aizawa, I. Nishikawa, K. Kaneko // Physica D. —1990. Vol. 45. - Pp. 307327.

3. Aldroubi, A. Wavelets in biology and medicine / A. Aldroubi, M. Unser. — CRC Press, 1999.

4. Altaiski, M. Fitting distributions with wavelets / M. Altaiski, 0. Kochetov, К. V. // Engineering Simulation. 1998. - Vol. 15. - Pp. 343-350.

5. Altaiski, M. V. On the incorporation of the concept of resolution to the definition of a coordinate system / M. V. Altaiski // Differential equations and dynamical systems. — 1996. — Vol. 4. — Pp. 267-274.

6. Altaiski, M. V. p-adic wavelet decomposition vs fourier analysis on spheres / M. V. Altaiski // Indian J. of Pure and Appl. Math. 1997. — Vol. 28, no. 2. — Pp. 195-207.197

7. Altaisky, M. фА-field theory on a Lie group / M. Altaisky // Frontiers of Fundamental Physics 4 / Ed. by B. Sidharth, M. Altaisky; B.M.Birlas Science Centre. NY: Kluwer Academic, 2001. - January. - Pp. 121-128.

8. Altaisky, M. Renormalization group and geometry / M. Altaisky // Frontiers of Fundamental Physics 5 / Ed. by B. Sidharth, M. Altaisky.— Hyderabad, India: 2003. — January.

9. Altaisky, M. V. Wavelet decomposition of the Schrodinger equation / M. V. Altaisky. — quant-ph/9505013.

10. Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. - Т. 74. - С. 35-60. -Переименован в "Письма в ЭЧАЯ".

11. Altaisky, М. V. Scale-dependent function in statistical hydrodynamics: a functional analysis point of view / M. V. Altaisky // European Journal of Physics B. 1999.- Vol. 8, no. 4. - Pp. 613-617.

12. Altaisky, M. V. Quantum states of hierarchic systems / M. V. Altaisky // Int. J. Quantum Information.— 2003.— Vol. 1, no. 2.— Pp. 269-278. quant-ph/0110043.

13. Altaisky, M. V. p-adic wavelet-transform and quantum physics / M. V. Altaisky // Труды Математического Института имени В.А.Стеклова. 2004. - Т. 245. - С. 41-46.

14. Altaisky, М. V. Wavelet based regularization for euclidean field theory and stochastic quantization / M. V. Altaisky // Trends in Field Theory Research /198

15. Ed. by 0. Kovras.- NY: Nova Science Publishers, Inc., 2004.- Pp. 105-118. hep-th/0311048.

16. Altaisky, M. V. Wavelets: Theory, Applications, Implementation / M. V. Altaisky. — India: Universities Press Ltd., 2005.

17. Altaisky, M. V. Fractal structure of quantum gravity and relic radiation anisotropy / M. V. Altaisky, V. A. Bednyakov, S. G. Kovalenko // Int. J. Theor. Phys. 1996. - Vol. 35. - Pp. 253-261.

18. Altaisky, M. V. Field theory model for two-dimensional turbulence: vorticity-based approach / M. V. Altaisky, J. C. Bowman // Acta Physica Slovaca.— 2002.- Vol. 52.- Pp. 553-558.

19. Altaisky, M. V. Multiscale properties ofDNA primary structure: cross-scale correlations / M. V. Altaisky, V. V. Ivanov, R. V. Polozov // Письма в ЭЧАЯ. 2000. - Т. 4. - С. 19-28.

20. Altaisky, М. V. On scale invariance and Ward identities in statistical hydrodynamics / M. V. Altaisky, S. S. Moiseev // J. de Physique I France.— 1991. Vol. 1. - Pp. 1079-1084.

21. Altaisky, M. V. Wavelet analysis of DNA sequences / M. V. Altaisky, O. A. Mornev, R. V. Polozov // Genetic Analysis. -1996. Vol. 12. - Pp. 165169.

22. Altaisky, M. V. p-adic physics below and above planck scales / M. V. Altaisky, B. G. Sidharth // Chaos, Solitons and Fractals. — 1999. — Vol. 10. Pp. 167176.

23. Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis. / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. - Т. 74. - С. 35-60.

24. Ambj0rn, J. Quantum gravity, dinamical triangulations and higher derivative regularization / J. Ambj0rn, J. Jurkiewicz, C. Kristjansen // Nucl.Phys. В.— 1993.- Vol. 393, no. 3.- Pp. 601-632.

25. Analytical and numerical study of a model of dynamically triangulated random surfaces / D. V. Boulatov, V. A. Kazakov, I. K. Rostov, A. A. Migdal // Nucl. Phys. В.- 1986.-Vol. 275.-Pp. 641-686.199

26. Arneodo, A. Wavelet transform of multifractals / A. Arneodo, G. Grasseau, M. Holschneider // Phys. Rev. Lett. 1988. - Pp. 2281-2284.

27. Aslaksen, E. W. Unitary representations of the affine group / Б. W. Aslaksen, J. R. Klauder // J.Math.Phys. 1968,- Vol. 9.- Pp. 206-211.

28. Battle, G. Wavelets and renormalization group / G. Battle. — World Scientific, 1989.

29. Baulieu, L. Equivalence of stochastic quantization and the Faddeev-Popov ansatz / L. Baulieu, D. Zwanziger // Nucl. Phys.B. — 1981. — Vol. 193, no. 1. — Pp. 163-172.

30. Bausch, R. Renormalized field theory of critical dynamics / R. Bausch, H. K. Jansen, H. Wagner // Z. Phys. В.- 1976.- Vol. 24.- Pp. 113-127.

31. Becchi, C. Renormalization in gauge theories / C. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Ann. Phys.(NY).- 1976.-Vol. 98.- Pp. 287-321.

32. Bernaola-Galvan, P. Compositional segmentation and long-range fractal correlations in DNA sequences / P. Bernaola-Galvan, R. Roman-Roldan, J. L. Oliver И Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, no. 5.- Pp. 5181-5189.

33. Best, C. Wavelet-induced renormalization group for Landau-Ginzburg model / C. Best // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.).- 2000.- Vol. 83-84.- Pp. 848-850.

34. Bowman, J. C. Spectral reduction: A statistical description of turbulence / J. C. Bowman, B. A. Sbadwick, P. J. Morrison // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 83, no. 26. Pp. 5491-5494.

35. Breit, J. Stochastic quantization and regularization / J. Breit, S. Gupta, A. Zaks // Nuclear Physics В.- 1984.- Vol. 233.- Pp. 61-68.

36. Brekke, L. p-adic numbers in physics / L. Brekke, P. Freund // Phys. Reports. — 1993.-Vol. 231.-Pp. 1-66.

37. Burgers equation with correlated noise: Renormalization-group analysis and applications to directed polymers and interface growth / E. Medina, M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 39, no. 6.- Pp. 30533075.200

38. Caire, G. Wavelet transforms associated with finite cyclic groups / G. Caire, R. L. Grossman, H. V. Poor // IEE Trans. Inf. Theory.— 1993,- Vol. 39, no. 4.-Pp. 1157-1166.

39. Caldirola, P. / P. Caldirola // Relativity Quanta and Cosmology. — New York: Jhonson Reprint Corporation, 1979.

40. Calude, C. Bio-steps beyound Turing / C. Calude, G. Paun // BioSystems.— 2004. Vol. 77. - Pp. 175-194.

41. Carey, A. L. Square-integrable representations of non-unimodular groups / A. L. Carey // Bull. Austr. Math. Soc. 1976. - Vol. 15,- Pp. 1-12.

42. Chi, Z. Construction of stationary self-similar generalized fields by random wavelet expansion / Z. Chi // Probability theory and related fields. — 2001. — Vol. 121, no. 2.-Pp. 269-300.

43. Continuous regularization of quantum field theory / Z. Bern, M. Halpern, L. Sadun, C. Taubes // Phys. Lett. В.- 1985.- Vol. 165.- Pp. 151-156.

44. Dahlke, S. Multiresolution analysis and wavelets on S2 and 53 / S. Dahlke, W. Dahmen, I. Weinreich // Numer. Funct. Anal, and Optimiz.— 1995. — Vol. 16.-Pp. 19-41.

45. Daubechies, I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets / I. Daubechies // Comm. Pure. Apl. Math.- 1988.- Vol. 41.- Pp. 909-996.

46. Daubechies, I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis /1. Daubechies // IEEE Trans. Inf. Theory. 1990. - Vol. 36, no. 5. -Pp. 961-1005.

47. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies.— Philadelphie: S.I.A.M., 1992.201

48. Dickhaus H. Khadra, L. Quantification of ecg late potentials by wavelet transformation / L. Dickhaus, H. Khadra, J. Brachmann // Comput. Methods Programs Biomed.- 1994.- Vol. 43,- Pp. 185-192.

49. Dubrulle, B. Possible statistics of scale invariant systems / B. Dubrulle, F. Graner // J. de Physique II France.- 1996.- Vol. 6, no. 5.— Pp. 797815.

50. Duflo, M. On regular representations of nonunimodular locally compact group / M. Duflo, С. C. Moore // J. Func. Anal. 1976. - Vol. 21.- Pp. 209-243.

51. Eswaran, V. Direct numerical simulations of the turbulence mixing of a turbulence mixing a passive scalar / V. Eswaran, S. B. Pope // Phys. Fluids. — 1988.- Vol. 31.- Pp. 506-520.

52. Farge, M. Wavelets and their application to turbulence / M. Farge // Annual review of fluid mechanics. — 1992. — Vol. 24. — Pp. 395-457.

53. Federbush, P. A new formulation and regularization of gauge theories using a non-linear wavelet expansion / P. Federbush // Progr. Theor. Phys. — 1995. — Vol. 94.-Pp. 1135-1146.

54. Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. MacGraw-Hill, 1965.

55. Finkelstein, D. R. Quantum Relativity: a synthesis of the ideas of Einstein and Heisenberg / D. R. Finkelstein. — Berlin: Springer, 1996.

56. Forster, D. Long-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid / D. Forster, D. R. Nelson, M. J. Stephen // Phys. Rev. A. 1977.- Vol. 16, no. 2.-Pp. 732-749.

57. Fournier, J. D. Remarks on the renormalization group in statistical fluid dynamics / J. D. Fournier, U. FYisch // Phys. Rev. A.- 1983.- Vol. 28.-Pp. 1000-1002.

58. Fractal landscapes and molecular evolution: modeling the myosin heavy chain gene family / S. V. Buldyrev, A. L. Goldberg, S. Halvin et al. // Biophys. J. — 1993.- Vol. 65.- Pp. 2673-2679.202

59. Fractal structure of two-dimensional gravity coupled to с = —2 matter / N. Kawamoto, V. Kazakov, Y. Saeki, Y. Watabiki // Phys. Rev. Lett. —1992. — Vol. 68, no. 14.-Pp. 2113-2116.

60. Freund, P. G. 0. Adelic string amplitudes / P. G. 0. Freund, E. Witten // Phys. Lett. В.- 1987.- Vol. 199, no. 2.- Pp. 191-194.

61. Frish, U. Turbulence / U. Frish. — Cambridge University Press, 1995.

62. Gabor, D. Theory of communication / D. Gabor // Proc. IEE. 1946. — Vol. 93.-Pp. 429-457.

63. Gale, J. M. Localization of DNA sequences of a replication origin in the rhodopsin gene locus of Chinese hamster cells / J. M. Gale, R. A. Tobey, J. A. D'Anna // J. Mol. Biol.- 1992.-Vol. 224.-Pp. 343-358.

64. Gawedzki, G. Anomalous scaling of a passive scalar / G. Gawedzki, A. Kupiainen // Phys. Rev. Lett.- 1995.- Vol. 75, no. 21.- Pp. 3834-3837.

65. Gell-Mann, M. Quantum electrodynamics at small distances / M. Gell-Mann, F. E. Low // Phys. Rev.- 1954.- Vol. 95, no. 5.- Pp. 1300-1312.

66. Germano, M. Turbulence: the filtering approach / M. Germano // J. Fluid. Mech. 1992. - Vol. 238. - Pp. 325-336.

67. Giovannini, M. Theoretical tools for CMB physics / M. Giovannini. astro-ph/0412601.

68. Glim, J. Quantum physics / J. Glim, A. Jaffe. — NY: Springer-Verlag, 1981.

69. Glimm, J. Quantum Physics: A functional integral point of view / J. Glimm, A. Jaffe. NY: Springer-Verlag, 1996.

70. Gowpillaud, P. Cycle-octave and related transforms in seismic signal analysis / P. Goupillaud, A. Grossmann, J. Morlet // Geoexploration.— 1984/85. — Vol. 23.-Pp. 85-102.

71. Gozzi, E. BRS symmetry in classical mechanics / E. Gozzi // Phys. Lett. B. — 1988.-Vol. 201.-P. 525.

72. Gozzi, E. The algebraic characteristic of ergodicity / E. Gozzi, M. Reuter // Phys. Lett. В.- 1989.- Vol. 233.- P. 383.203

73. Grossman, A. Wavelet analysis of the Navier-Stokes flow / A. Grossman, M. Lohden 11 Z.Phys.B.- 1996.- Vol. 100.- Pp. 137-147.

74. Grossmann, A. Transforms associated to square integrable group representations. I. general results / A. Grossmann, M. J., T. Paul // J. Math. Phys. 1985.- Vol. 26. - Pp. 2473-2479.

75. Grossmann, A. Decomposition of Hardy functions into square-integrable wavelets of constant shape / A. Grossmann, J. Morlet / / SI AM J. Math. Anal. — 1984.- Vol. 15, no. 4.- Pp. 723-736.

76. Hagan, S. Quantum computation in brain microtubules: Decoherence and biological feasibility / S. Hagan, S. R. Hameroff, J. A. Tuszynski // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65. - P. 061901.

77. Halliday, I. Simulation of field theories in wavelet representation / I. Halliday, P. Suranyi // Nucl. Phys.B.- 1995.- Vol. 436, no. 1/2.- Pp. 414-427.

78. Halpern, M. B. Universal continuum regularization of quantum field theory / M. B. Halpern // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1993. - Vol. 111. - Pp. 163-184.

79. Handy, С. M. Continuous wavelet transform analysis of one-dimensional quantum bound states from first principles / С. M. Handy, R. Murenzi // Phys. Rev. A.~ 1996.- Vol. 54, no. 5.- Pp. 3754-3763.

80. Hehre, W. G. Ab initio molecular orbital theory / W. G. Hehre, et al. — NY: Wiley, 1986.

81. Holschneider, M. Wavelet analysis on the circle / M. Holschneider // J. Math. Phys. 1990. - Vol. 31. - Pp. 39-44.

82. Holschneider, M. Regularite locale de la fonction "non-differentiable"de Riemann / M. Holschneider, P. Tchamitchan 11 Les Ondeletes / Ed. by L. P.G.- Berlin: Springer, 1990.- Pp. 102-124.

83. Holtzman, J. A. Microwave background anisotropics and large-scale structure in the universes with cold dark matter, baryons, radiation, and massive and massless neutrinos / J. A. Holtzman // Astophys. J. Suppl. — 1989. — Vol. 71, no. l.-Pp. 1-24.

84. Horii, T. Organization of the reca gene of escherichia coli / T. Horii, T. Ogawa, H. Ogawa 11 Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.- 1980.- Vol. 77.- Pp. 313-317.204

85. Houdr6, С. Wavelets, probability, and statistics: Some briges / C. Houdr6 // Wavelets, Mathematics and Applications / Ed. by J. Benedetto, M. Prazier. — CRC Press Inc., 1994.- Pp. 365-397.

86. Ни, S.-T. Elements of modern algebra / S.-T. Hu. — San Francisco: Holden-day, Inc., 1965.

87. Hiiffel, H. Generalized stochastic gauge fixing / H. Hiiffel, G. Kelnhofer // Phys. Lett. B. 1997. - Vol. 408, no. 1/4. - Pp. 241-244.

88. Isolation and characterization of Dobrava hantavirus carried by the striped field mouse (Apodemus agrarius) in Estonia / K. Nemirov, 0. Vapalahti, A. Lundkvist et al. // J. Gen. Virol. 1999.- Vol. 80. - Pp. 371-379.

89. Ito, K. On a formula concerning stochastic differentials / K. Ito // Nagoya Math. J. 1951. - Vol. 3. - Pp. 55-65.

90. Kaneko, A. Long-range correlations and 1// spectrum in noncoding DNA sequences / A. Kaneko, W. Li // Europhys. Lett. — 1992.— Vol. 17, no. 7.— Pp. 655-660.

91. Kaneko, H. Liouville theorems based pn symmetric diffusions / H. Kaneko // Bull. Soc. Math. France.- 1996.-Vol. 124,-Pp. 545-557.

92. Kardar, M. Dynamic scaling of growing interfaces / M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang 11 Phys. Rev. Lett.- 1986,- Vol. 56, no. 9,- Pp. 889-892.

93. Kawamoto, N. Fractal structure of quantum gravity in two dimensions: INS-Rep. 972 / N. Kawamoto. — Tokyo: Institute for Nuclear Study of Tokyo, 1993.

94. Kennedy, D. A. / D. A. Kennedy, S. Corrsin // J.Fluid. Mech.- 1961.-Vol. 10.-P. 366.

95. Knizhnik, V. Fractal structure of 2d-quantum gravity / V. Knizhnik, A. Polyakov, A. Zamolodchikov // Modern. Phys. Lett. A. — 1988.— Vol. 8, no. 3.-Pp. 819-826.205

96. Kreinovich, V. Causality explains why spatial and temporal translations commute: A remark / V. Kreinovich // Int.J.Theor.Phys. — 1996.— Vol. 35, no. 3.-Pp. 693-695.

97. Lewalle, J. Energy dissipation in the wavelet-transformed navier-stokes equations / J. Lewalle // Phys. Fluids A. 1993. - Vol. 5. - Pp. 1512-1513.

98. Lewalle, J. Wavelet transforms of the navier-stokes equations and the generalized dimensions of turbulence / J. Lewalle // App. Sci. Res. — 1993. — Vol. 51.-Pp. 109-113.

99. Lewalle, J. Wavelet transforms of some equations of fluid mechanics / J. Lewalle // Acta Mechanica. 1994. - Vol. 104. - Pp. 1-25.

100. Li, W. Expansion modification systems: a model for spatial 1// spectra / W. Li // Phys. Rev. A. — 1991. —Vol. 43.-Pp. 5240-5260.

101. Li, W. Understanding long-range correlations in DNA sequences / W. Li, T. G. Maar, K. Kaneko // Physica D. -1994. Vol. 75, no. 1-3. - Pp. 392-416.

102. Li, Z. Wavelet analysis for random processes / Z. Li, Q. Wang, Y. Wu // Mod. Phys. Lett.- 2001.- Vol. 16, no. 9.- Pp. 583-588.

103. Long-range correlations in nucleotide sequences / С. K. Peng, S. V. Buldyrev,

104. A. L. Goldberg et al. // Nature.- 1992.- Vol. 356. Pp. 168-171.

105. Ma, S.-K. Critical dynamics of ferromagnets in 6 — e dimensions: General discussions and detailed calculations / S.-K. Ma, G. Mazenko // Phys. Rev.

106. B. 1975. - Vol. 11, no. 11. - Pp. 4077-4100.

107. Mallat, S. A theory for multiresolution signal decomposition: wavelet transform / S. Mallat.— Preprint GRASP Lab. Dept. of Computer an Information Science, Univ. of Pensilvania.

108. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelets / S. Mallat // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. - Vol. 315. - Pp. 69-88.206

109. Martin, P. С. Statistical dynamics of classical systems / P. C. Martin, E. D. Sigia, H. A. Rose // Phys. Rev. 1973,- Vol. A8.- Pp. 423-437.

110. McComb, W. D. The Physics of turbulence / W. D. McComb.- Oxford: Clarendon Press, 1990.

111. Meneveau, C. Analysis of turbulence in orthonormal wavelet representation / C. Meneveau // J. Fluid. Mech.- 1991.- Vol. 232.- Pp. 469-520.

112. Mensky, M. B. Quantum measurement and decoherence / M. B. Mensky.— Kluver Academic, 2000.

113. Morlet, J. Sampling theory and wave propagation / J. Morlet // Proc. 51st Annu. Meet. Soc. Explor. Geophys. — Los-Angeles: 1981.

114. Morlet, J. Wave propagation and sampling theory / J. Morlet, G. Arens, I. Fourgeau // Geophysics. 1982. - Vol. 47. — Pp. 203-226.

115. Mosaic organization of DNA nucleotides / С. K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Halvin et al. // Phys. Rev. E.— 1994.- Vol. 49, no. 2.- Pp. 1685-1689.

116. Muzy, J. F. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. left. 1991.-Vol. 67.-Pp. 3515-3518.

117. Muzy, J. F. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - Pp. 3515-3518.

118. Nakano, T. Direct interaction approximation of turbulence in wave packet representation / T. Nakano // Phys. Fluids.— 1988.— Vol. 31, no. 6.— Pp. 1420-1430.

119. Namiki, M. Stochastic quantization / M. Namiki.— Springer, 1992. — Vol. m9 of Lecture notes in physics.

120. Namiki, M. Stochastic quantization method in operator formalism / M. Namiki, Y. Yamanaka // Progr. Theor. Phys. 1983. - Vol. 69, no. 6. - Pp. 1764-1793.

121. Nelson, E. Probability theory and Euclidean field theory / E. Nelson.— Springer-Verlag, 1973.207

122. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson.— New Jersey: Princeton University Press, 1985.

123. Nielsen, M. Quantum computation and quantum information / M. Nielsen, I. Chuang. — Cambridge University Press, 2000.

124. Nonlinear analysis of network traffic / P. Akritas, P. Akishin, I. Antoniou et al. // Chaos, solitons and fractals. — 2002. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 595-606.

125. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar / M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, L. V. // Phys. Rev. E.- 1995.- Vol. 52, no. 5.- Pp. 4924-4941.

126. Nottale, L. On scale relativity / L. Nottale. — Pergamon Press, 1993.

127. Nottale, L. Scale relativity and fractal space-time: Applications to quantum physics, cosmology and chaotic systems / L. Nottale // Chaos, Solitons and Fractals. 1996. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 877-938.

128. Ohno, S. Codon preference is but an illusion created by the construction principle of the coding sequences / S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sci. (USA). — 1988.- Vol. 85.- Pp. 4378-4382.

129. On multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems / R. Benzi, G. Paladin, G. Parizi, A. Vulpiani // J. Phys. A. -1984. Vol. 17. -Pp. 3521-3531.

130. Ondelettes, multifractales et turbulence / A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry et al. — Paris: Diderot, 1995.

131. Optical wavelet transform of fractal aggregates / E. Freysz, B. Pouligny,

132. F. Argoul, A. Arneodo // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - Pp. 745-748.

133. Ord, G. N. Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics / G. N. Ord // J. Phys. A.- 1983.- Vol. 16.- Pp. 1869-1884.

134. Orszag, S. A. Numerical simulation of turbulence / S. A. Orszag,

135. G. S. Patterson // Statistical models and turbulence / Ed. by M. Rosenblatt, C. Van Atta. — Springer, 1972. — Vol. 12 of Lecture notes in physics. — Pp. 127147.

136. Ostrowski, A. / A. Ostrowski // Acta Math. 1918. - Vol. 41. - P. 271.208

137. Parisi, G. Perturbation theory without gauge fixing / G. Parisi, Y.-S. Wu // Scientica, Sinica. 1981. - Vol. 24. - Pp. 483-496.

138. Parker, D. / D. Parker // Fundamental Questions in Quantum Mechanics / Ed. by L. M. Roth, A. Inomata.- NY: Gordon & Breach, 1986.

139. Patel, A. Why genetic information processing could have a quantum basis / A. Patel // J. Biosciences. — 2001. — Vol. 26.-P. 145. quant-ph/0105001.

140. Peierls, R. Suprises in theoretical physics / R. Peierls. — Princeton University Press, 1979.

141. Peyrin, F. Construction of wavelet decompositions for tomographic images /

142. F. Peyrin, M. Zaim, R. Goutte // Journal of Mathematical Imaging and Vision.- 1993.-Vol. 3.-Pp. 105-121.

143. Polyakov, A. M. Quantum geometry of bosonic string / A. M. Polyakov // Phys. Lett. В.- 1981.- Vol. 103, no. 3.-Pp. 207-210.

144. Qian, S. Wavelets and the numerical solution of partial differential equations / S. Qian, J. Weiss // Journal of Computational Physics. — 1993. — Vol. 106. — Pp. 155-175.

145. Quantification of DNA patchiness using long-range correlation measures /

146. G. Viswanathan, S. Buldyrev, S. Halvin, H. Stanley // Biophys. J. — 1997. — Vol. 72.-Pp. 866-875.

147. Ramal, R. Ultrametricity for physisists / R. Ramal, G. Toulouse, M. A. Virasoro // Rev. Mod. Phys. 1986. - Vol. 58.- Pp. 765-788.

148. Ramond, P. Field Theory: A modern Primer / P. Ramond. — Massachussets: Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1981.

149. Restero, J. M. Wavelet-Galerkin discretization of hyperbolic equations / J. M. Restero, G. K. Leaf // J.Comp.Phys.- 1995.- Vol. 122.- Pp. 118128.

150. Rioul, D. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms / D. Rioul, P. Duhamel // IEE Trans. Inf. Theory. 1992.— Vol. 38, no. 2.-Pp. 569-586.209

151. Rovelli, С. Narada's Quest: Conceptual problems and present approaches to quantum gravity / C. Rovelli // Advances in Gravitation & Cosmology / Ed. by B. Iyer, A. Prasanna, R. Varma, C. Vishveshwara. — New Delhi: Wiley Eastern, 1993.

152. Sancisi, R. HI rotation curves of galaxies / R. Sancisi, T. S. van Albada // Dark Matter in the Universe / Ed. by J. Kormendy, G. Knapp. — IAU Symposiuum No. 117.-Dordrecht: Reidel, 1987.-Pp. 67-80.

153. Schild, A. Discrete space time and integral lorentz transformations / A. Schild 11 Phys. Rev. 1948.- Vol. 73.- Pp. 414-415.

154. Sequences of the recA gene and protein / A. Sancar, C. Stachelek, W. Konigsberg, R. W. D. // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.-1980.- Vol. 77.-Pp. 2611-2615.

155. Shiff, L. I. Quantum mechanics / L. I. Shiff. — Singapore: McGraw-Hill, 1968.

156. Shirkov, D. V. The Bogoliubov renormalization group and solution symmetry in mathematical physics / D. V. Shirkov, V. F. Kovalev // Physics Reports.— 2001.- Vol. 352, no. 4/6.- Pp. 219-249.

157. Shneider, K. Wavelet approach for modelling and computing turbulence / K. Shneider, M. Farge. — Bruxelles: Von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1998. — Vol. 1998-05 of Advances in turbulence modelling.

158. Simmons, G. F. Introduction to topology and modern analysis / G. F. Simmons. New York: McGraw Hill, 1963.

159. Smirnov, V. A. Renormalization in p-adic quantum field theory / V. A. Smirnov // Mod. Phys. Lett. A. — 1991. — Vol. 6.- Pp. 1421-1427.

160. Smoot, G. Structure of the СОВЕ differential microwave radiometer first-year maps / G. Smoot, et al. // Astrophys. J. 1992. - Vol. 396. - P. LI.

161. Sonego, S. Is there a space-time geometry? / S. Sonego // Phys.Lett.A.— 1995.-Vol. 208.-Pp. 1-7.210

162. Stanley, H. Fractal landscapes in biological systems: Long-range correlations in DNA and interbeat heart intervals / H. Stanley, et. al. // Physica A. —1992. — Vol. 191.-Pp. 1-12.

163. Stratonovich, R. A new representation for stochastic integrals an equations / R. Stratonovich // SIAM J. Control- 1966.- Vol. 4.- P. 362.

164. Strukov, I. A. Anisotropy of relic radiation in the RELICT-1 experiment and parameters of grand unification / I. A. Strukov, D. P. Brukhanov, A.

165. A. Skulachev, M. V. Sazhin // Phys. Lett. В. 1993.- Vol. 315, no. 1,2.-Pp. 198-202.

166. Struzik, Z. R. Wavelet transform based multifractal formalism in outlier detection localization for financial time series / Z. R. Struzik, A. P. J. B. Siebes // Physica A. 2002.- Vol. 309, no. 3-4. - Pp. 388-402.

167. Stueckelberg, E. C. La normalisation des constantes dans la theorie des quanta / E. C. Stueckelberg, A. Petermann // Helv. Phys.Acta.- 1953,- Vol. 26.-Pp. 499-520.

168. Torresani, B. Phase Space Decomposition: Local Fourier analysis on Spheres /

169. B. Torr6sani. — Prepint Univ. of Marceile CPT-93-2878.

170. Turbulence with pressure: Anomalous scaling of a passive vector field / N. Antonov, M. Hnatich, J. Honkonen, M. Jurcisin // Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 68.- P. 046306.

171. Van der Waerden, B. L. Modern algebra / B. L. Van der Waerden. — in 2 volumes edition. — NY: Frederick Ungar Publishing Co.,, 1949.

172. Vergassola, M. Wavelet transforms of self-similar processes / M. Vergassola, U. Frisch // Physica D.- 1991.- Vol. 54.- Pp. 58-64.

173. Vidakovich, B. A note on random densities via wavelets / B. Vidakovich.— Institute of Statistics & Decision Sciences, Duke University. Preprint DP 94-13.

174. Volovich, I. p-adic string amplitudes /1. Volovich // Class, and Quant. Grav. — 1987. Vol. 4. - Pp. L83-L87.

175. Wavelet analysis of a Gaussian Kolmogorov signal / M. Vergassola, R. Benzi, R. Bifale, D. Pisarenko // J.Phys.A. 1993. - Vol. 26. - Pp. 6093-6099.

176. Wavelet analysis of DNA sequences / A. A. Tsonis, P. Kumar, J. B. Eisner, P. A. 'bonis // Phys. Rev. E.- 1996.- Vol. 53, no. 2.- Pp. 1828-1834.

177. Wavelet analysis of high-resolution ECGs in post-infarction patients: role of the basic wavelet and of the analyzed lead / D. Morlet, J. P. Couderc, P. Touboul, P. Rubel // Int. J. Biomed. Comput.- 1995. — Vol. 39,- Pp. 311-325.

178. Wavelet-based detection of coherent structures and self-affinity in financial data / B. J. W. Fleming, D. Yu, R. G. Harisson, D. Jubb // European Physical Journal B. 2001. - Vol. 20. - Pp. 543-546.

179. Weyl, H. Gruppentheorie und Quantenmechanik / H. Weyl. — Lepzig: Hirzel, S., 1928.

180. Wheeler, J. A. Superspace and the nature of quantum geometrodynamics / J. A. Wheeler // Battelle Rencontres / Ed. by C. DeWitt, J. Wheeler. NY: Benjamin, 1968.

181. Wilson, K. G. Non-Lagrangian models of current algebra / K. G. Wilson // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179, no. 5.-Pp. 1499-1512.

182. Wilson, K. G. Quantum field-theory models in less than 4 dimensions / K. G. Wilson // Physical Review D.— 1973.- Vol. 7, no. 10.- Pp. 29112927.

183. Wright, E. L. Interpretation of the cosmic microwave background radiation anisotropy detected by the СОВЕ microwave radiometer / E. L. Wright, et al. // Astrophys. J.- 1992.- Vol. 396, no. 1.- Pp. L13-L18.

184. Wyld, H. W. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible fluid / H. W. Wyld 11 Annals of Physics.- 1961.-Vol. 14, no. 2.- Pp. 143-165.

185. Yakhot, V. Renormalization group analysis of turbulence / V. Yakhot, S. Orszag // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57, no. 14.- Pp. 1722-1724.212

186. Yomo, Т. Concordant evolution of coding and noncoding regions of DNA made possible by the universal rule of TA/CG deficiency-TG/CT excess / T. Yomo, S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sci. (USA).- 1989.- Vol. 86.- Pp. 8452-8456.

187. Zinn-Justin, J. Renormalization and stochastic quantization / J. Zinn-Justin // Nuclear Physics B. 1986. - Vol. 275, no. FS17.- Pp. 135-159.

188. Zwanziger, D. Covariant quantization of gauge fixing without Gribov ambiguity / D. Zwanziger // Nucl. Phys. B. -1981. Vol. 192. - Pp. 259-269.

189. Аджемян, JI. Ц. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов / JI. Ц. Аджемян, А. Н. Васильев, Ю. М. Письмак // Теор. Машем. Физ.- 1983.-Т. 57.-С. 268-281.

190. Алтайский, М. В. Методы квантовой теории поля в задачах статистической гидродинамики: Ph.D. thesis / Институт космических исследований РАН. Москва, 1992.

191. Алтайский, М. В. Уравнение Ланжевена с масштабно-зависимым шумом / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2003. - Т. 392, № 2. - С. 180-182.

192. Алтайский, М. В. Причинность и многомасштабные разложения в квантовой теории поля / М. В. Алтайский // Письма в ЭЧАЯ.— 2005.— Т. 2, № 6.-С. 7-11.

193. Алтайский, М. В. Многомасштабная теория турбулентности в вейвлет-представлении / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2006. — Т. 410, № 3. -С. 326-330.

194. Алтайский, М. В. Многомасштабное стохастическое квантование / М. В. Алтайский // Нелинейный мир. 2006. - Т. 4, № 4/5. - С. 246-255.

195. Алтайский, М. В. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов / М. В. Алтайский, В. А. Крылов // Вестник РУДН— 2002,— Т. 1,№ 1.-С. 98-106.

196. Антонов, Н. В. Квантово-полевая ренормгруппа в задаче о растущей границе фаз / Н. В. Антонов, А. Н. Васильев // ЖЭТФ.- 1995.- Т. 108, № 3(9).-С. 885-893.213

197. Астафьева, Я. М. Вейвлет анализ: основы теории и некоторые приложения / Н. М. Астафьева // УФН 1994. - Т. 166, № 11.- С. 1146-1170.

198. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. — Москва: Наука, 1984.

199. Белоцерковский, О. М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу / О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин. — Москва: Наука, 2000.

200. Боголюбов, Я. Я. Условие причинности в квантовой теории поля / Н. Н. Боголюбов // Изв. АН СССР. сер. физ. -1955.- Vol. 19, по. 2. Pp. 237-246.

201. Боголюбов, Н. Я. К теории умножения сингулярных причинных функций / Н. Н. Боголюбов, О. С. Парасюк // ДАН СССР. 1955. - Т. 100. - С. 2528.

202. Боголюбов, Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. — Москва: Наука, 1973.

203. Дирак, П. А. М. К созданию квантовой теории поля / П. А. М. Дирак. — Москва: Наука, 1990.

204. Дмитриев, В. Ф. Производящий функционал для корреляционных функций гидродинамических течений, порождаемых случайной силой: Препринт 81-114 / В. Ф. Дмитриев. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1981.

205. Дмитриев, В. П. Стохастическая механика / В. П. Дмитриев. — Москва: Высшая школа, 1990.

206. Дремин, И. М. Дальние корреляции частиц и вейвлеты / И. М. Дремин // УФН. 2000. - Т. 170, № 11. - С. 1235-1244.

207. Дремин, И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // УФН.- 2001.- Т. 171, № 5.- С. 465-501.

208. Фейнман, Р. Статистическая механика / Р. Фейнман. — Москва: Мир, 1975.

209. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флет-чер. — Москва: Мир, 1991. — в 2х т.214

210. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гих-ман, А. В. Скороход. — Киев: Наукова думка, 1968.

211. Горбачев, В. Н. Физические основы современных информационных процессов / В. Н. Горбачев, А. И. Жилиба.— Санкт-Петербург: Издательство "Петербургский институт печати", 2004.

212. Колмогоров, А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. 1941. - Т. 30. - С. 299-303.

213. Конструктивная теория поля / Под ред. А. Н. Колмогоров, С. П. Новиков. Математика, Новое в зарубежной науке № 6. — Москва: Мир, 1977.

214. Козырев, С. В. Вейвлет-анализ как р-адический спектральный анализ / С. В. Козырев // Известия РАН. Серия Математическая. — 2002. — Т. 66, № 2. — С. 149-158. http://xxx.lanl.gov/abs/math-ph/0012019.

215. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1988.

216. Ландау, Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1989.

217. Моисеев, С. С. Спектры и способы возбуждения турбулентности в несжимаемой жидкости / С. С. Моисеев, А. В. Тур, В. В. Яновский // ЖЭТФ.— 1976. Т. 71, № 9. - С. 1062-1073.

218. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика / А. С. Монин, А. М. Яг-лом. — Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1994.

219. Найфэ, А. X. Методы возмущений / А. X. Найфэ. — Москва: Мир, 1976.

220. Ососков, Г. А. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы: Tech. Rep. PI 1-97-347 / Г. А. Ососков, А. Б. Шитов. Дубна: ОИЯИ, 1997.

221. Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. — 4е изд.— Москва: Наука, 1984.

222. Славнов, А. А. Введение в квантовую теорию калибровочных полей / А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. — Москва: Наука, 1988.215

223. Условная матрица плотности: системы и подсистемы в квантовой механике / В. В. Белокуров, О. А. Хрусталев, В. А. Садовничий, О. Тимофеев-ская // Письма в ЭЧАЯ.- 2003.- Т. 1. — С. 16-29.

224. Васильев, А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев. — Санкт-Петербург: Издательство ПИЯФ, 1998.

225. Владимиров, В. С. р-Адический анализ и математическая физика / В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленое. — Москва: Наука, 1994.

226. Зимин, В. Д. Иерархическая модель турбулентности / В. Д. Зимин // Известия АН СССР.- 1981.- Т. 17, № 12.- С. 941-946.216