Влияние масштабного фактора на упругие характеристики кристаллических структур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

003052153

Лобода Ольга Сергеевна

Влияние масштабного фактора на упругие характеристики кристаллических структур

Специальность 01.02.04 — "Механика деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург—2007

003052153

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Кривцов Антон Мирославович

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Беляев Александр Константинович

— кандидат физико-математических наук, доцент Семенов Борис Николаевич

Ведущая организация — Институт проблем машиноведения

Российской академии наук (Санкт-Петербург)

Защита состоится 11 апреля 2007 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.229.08 при ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" но адресу: 195251, Санкт Петербург, Политехническая улица, 29, II учебный корпус, аудитория 265.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет".

Автореферат разослан "ч^" марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Интенсивное развитие нанотехно-логий привело к необходимости построения адекватных аналитических моделей, позволяющих описать физико-механические свойства объектов наноразмерного масштабного уровня. Во многих существующих моделях подобного рода принимается, что основные механические характеристики нанообъектов совпадают со своими значениями, полученными из макроскопических экспериментов. Однако, когда речь идет о структурах, содержащих всего несколько слоев атомов, не может не сказываться противоречие между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов отмечалось многими исследователями Дискретность наноструктур приводит к отклонению в значении модулей упругости от их макроскопических значений. К тому же, в определении размера нанообъекта существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль Юнга. Немаловажным свойством наноструктур является также то, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства Все перечисленное делает необходимым построение моделей, которые с единых позиций описывают объекты на микро- и макро- уровнях

Методы ИССЛедОВаНИЯ. В данной работе для построения и исследования механических моделей кристаллов и нанокристаллических структур используются методы трехмерной теории упругости и теории стержней. Также используется метод частиц, который состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек или твердых тел, описываемых классическими уравнениями движения

Достоверность. Достоверность результатов достигается использованием строгих математических методов, сравнением результатов, полученных различными путями, стремлением зависимостей к известным предельным случаям.

Цель работы. Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании зависимости упругих характеристик нанокристаллических структур от их размеров и формы, установлении связи между макроскопическими тензорами жесткости и параметрами микроструктуры

Научную новизну работы составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту

1. Исследована задача об упругом деформировании конечных кристаллов, обладающих как плотноупакованными (гранецентрированная кубическая), так и неплотноупако-ванными (решетка алмаза) кристаллическими решетками Построены зависимости упругих характеристик от размеров и формы кристаллов Полученные результаты позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц.

2 Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Показано, что масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия.

3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, имеющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зависимости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статического подхода, а также с макроскопическими значениями

4 Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), получены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки. Определены характеристики межатомных связей (продольная и поперечная жесткость). Показано, что поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов.

Практическая ЦбННОСТЬ. С развитием нанотехнологий на практике широко используются тонкие нанокристаллические покрытия и нанокристаллические стержни и трубки из различных материалов Полученные в данной работе результаты позволяют предсказывать и описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц Результаты данной работы планируется использовать также в учебном процессе для факультативной работы студентов, изучающих теоретическую механику, механику сплошной среды и физику твердого тела, а также аспирантов, научных работников и инженеров.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН, а также на российских и международных конференциях II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова (2004, Абрау-Дюрсо), Summer School "Advanced Problem in Mechanics" (2004, 2005, 2006, St Petersburg, Russia), XXI Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург), 16th European Conference of Fracture (ECF16) (Alexandroupolis, Greece, 2006), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2006, Нижний Новгород).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 научных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы Общий объем 107 страниц, список литературы включает 80 наименований.

Содержание работы

Во ВВбДбНИИ обоснована актуальность исследований, дана общая характеристика работы, проведен обзор публикаций, связанных с темой диссертации, изложена методика исследования

В ПбрвОЙ Главе исследуется влияние масштабного фактора на механические свойтва трехмерного монокристалла, обладающего простой кристаллической решеткой Простой называется кристаллическая решетка, все узлы которой равнозначны, т е для простой решетки перемещение на вектор, соединяющий любые два узла, является тождественным преобразованием. Решетка, не обладающая таким свойством, называется сложной (например, решетка графита или алмаза)

Рассматривается трехмерный нанокристалл, имеющий гранецентированную кубическую решетку (ГЦК). Так как упругие свойства данной кристаллической решетки анизотропны, то рассматривались два Направления, вдоль главной диагонали и вдоль ребра кубической подрешетки. Кристалл содержит конечное число слоев по одному из направлений (х, у, z) и бесконечное по двум другим направлениям (нанопластина), а также бесконечное число слоев по одному из направлений и конечное по двум другим направлениям (нанобрус). Для данных моделей определяются значения модулей упругости — коэффициентов Пуассона и модулей Юнга в трех направлениях и исследуется зависимость этих значений от размеров нанокристалла Показано, что тензор упругости рассматриваемого кристалла не является симметричным Размер кристалла по направлению, содержащему конечное число слоев, определяется неоднозначно, что приводит к неоднозначности в определении его механических характеристик Определяется зависимость модулей упругости от размеров кристалла в различных направлениях, причем показано, что для модулей Юнга существеннным оказывается способ определения размеров нанокристалла.

Ниже приведены результаты для модели кристалла, имеющего бесконечную длину в направлении х, содержащего Ny слоев в направлении у и Nz слоев в направлении г, т. е. вытянутый вдоль оси х брус В качестве кристаллической решетки выбрана гра-нецентрированная кубическая решетка и рассматривается ориентация решетки 111. На рисунке 1 изображено сечение кристалла плоскостью ху Атомы, находящиеся в одной плоскости, обозначены белыми кружками. Серыми и черными кружками обозначены атомы, находящиеся в верхнем и нижнем слоях по отношению к изображенному на рисунке. К атомам на торцах кристалла приложены постоянные растягивающие силы Q. Каждый

атом взаимодействует только с ближайшими соседями

А А И А А о II О

о-о о о о о*-

о о о о

Л?/

-о-о-о о*—-»-о

—о-о о о о о

о—^р <

О 1Ь4

-р о о

-о-о о о о о-

л а Д Д. Д«Д и

-о о

о о

-о о

Ъ о о

а 5—£

АВС

Рис 1 ГЦК решетка Сечение плоскостью ху, направление 111

Рис 2 Фрагмент ГЦК решетки.

Расстояние между ближайшими атомами в недеформированном кристалле обозначим а0. При произвольном растяжении кристалла в трех взаимно перпендикулярных направлениях х, у и г расстояния между ближайшими соседями, очевидно, изменятся; обозначим их, соответственно, а, 6, с и й (рисунок 2). Важным эффектом, связанным с ограниченностью рассматриваемого кристалла, является невозможность однозначного определения его размеров по тем направлениям, где кристалл имеет конечное число слоев. Обозначим Л — расстояние между горизонтальными слоями в плоскости ху (рисунок 1, 2), Я

— расстояние между соседними атомными плоскостями ху (рисунок 2), Ly — толщина кристалла (протяженность кристалла в направлении у). Положим, что толщина кристалла равна расстоянию между слоями атомов, лежащими на противоположных торцах, то тогда Ly - (Nv — 1)Л (рисунок 1). Но, с другой стороны, можно определить толщину кристалла как произведение числа слоев на толщину одного слоя, что приводит к формуле Ly = Nyh. Поэтому обозначим

где Щ — величина, отражающая произвол в определении Ly. Аналогично можно получить для высоты кристалла L: (его протяженности в направлении г)

Lz = N* Н , Nt~ 1 < N* < Щ, (2)

где N* — величина, отражающая произвол в определении Lz.

Рассмотрение равновесия кристалла под действием приложенных нагрузок дает следующие зависимости для модулей Юнга и коэффициентов Пуасона от количества слоев атомов по направлениям у и г (рисунки 3 и 4). Здесь ¡/j и Ei — коэффициент Пуассона и модуль Юнга при растяжении вдоль оси х, величины v2 и Е2 соответствуют растяжению вдоль оси у, а величины i/3 и — вдоль оси г. Необходимость введения различных обозначений для коэффициента Пуассона и модуля Юнга при растяжении в разных направлениях связаны с анизотропией кристалла. На графике 3 цифрами обозначены: 1) vxj 2) Уг/е™, 3) i^/f™. Обозначения и Ej^ соответствуют макроскопическим значениям коэффициента Пуассона и модуля Юнга бесконечного кристалла, к = 1;2,3.

1.1,

1ЧГ.

V

Рис, 3, Зависимость коэффициентов Пуассона от числа атомарных слоев.

Рис. 4. Зависимость Модулей Юнга от числа атомарных слоев.

Обозначение "min" соответствует минимальному (при данном N) значению модуля Юнга, реализующемуся при N' = N. обозначение "max" — максимальному значению, реализующемуся при N* = N-1. На графике цифрами обозначено: 1) E["a*/E[*\ 2) E^jEf, 3) E^/Ef, A) ET"/Ef , 5) Ерл/Е?, 6) Ef^/E?, где Ef - макроскопическое значение модуля Юнга бесконечного кристалла:

= $ = = (3)

I о

Показано, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. На анизотропию, связанную с видом кристаллической решетки накладывается анизотропия, вызванная его размером и формой. Все упругие характеристики трехмерного нанокристалла существенно зависят от числа атомарных слоев N. При увеличении числа слоев все они стремятся к своим макроскопическим значениям, соответствующим бесконечному кристаллу.

Показано, что неоднозначность в определении размера нанообъекта приводит к неоднозначности таких макроскопических характеристик, как модуль Юнга. Особенно сильно это проявилось для нанобруса в направлении кристаллической решетки til. Из полученных результатов следует, что нельзя однозначно рекомендовать выбор величины /V*. Для направления 11 I предпочтительнее выбор N' = N, тогда как дли 100 более выгодно выбрать Л" — Л' — 1.

Масштабные эффекты вносят существенный вклад в значения упругих характери-

стик нанокристалла, особенно когда количество атомарных слоев исчисляется единицами. Ошибка в определении модуля Юнга при N = 10 может составлять более 20 процентов, однако уже при N = 100 ошибка составляет не больше 2 процентов.

Также в первой главе решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла Частицы взаимодействуют посредством парного потенциала Леннарда Джонса

где г - расстояние между взаимодействующими частицами, а - равновесное расстояние между частицами, Б = П(а)- энергия связи Рассмотрен случай нелинейного деформирования бесконечной кристаллической решетки. Определены максимально возможные напряжения, возникающие при растяжении кристаллической решетки.

При рассмотрении конечного кристалла показано, что масштабные эффекты проявляются в упругих свойствах данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия

Во ВТОрОЙ Главе рассматривается изгибные колебания двумерной кристаллической полосы, имеющей а) кубическую, б) гексагональную решетку Определяется спектр собственных частот колебаний таких кристаллов, строятся дисперсионные кривые С другой стороны, собственные частоты колебаний определяются с использованием континуальной теории стержней (рассматриваются продольные и изгибные колебания), что позволяет выразить собственные частоты через упругие модули. Из сравнения собственных частот, найденных в рамках дискретного и континуального подходов, получаем условия, из которых определяются упругие модули Результаты сравниваются с упругими характеристиками наноструктур, полученными ранее с помощью статического подхода.

На рисунках 5 и 6 приведено сравнение упругих характеристик наноструктур (модуля Юнга и изгибной жесткости), полученных с помощью статического и динамического подходов для двуслойной полосы

(4)

08 0 6 04

и2 4 6

10 12 14 16 Ш 20

Рис. 5. Зависимость модуля Юнга от числа атомарных слоев вдоль оси х

Прямая 1 на рисунке 5 показывает макроскопическое значение модуля Юнга (константа относительно количества слоев). При статическом рассмотрении двуслойной полосы бесконечной длины при Ы* = Ыу получено значение модуля Юнга, полностью совпадающее с макроскопическим (тоже прямая 1) Кривая 2 соответствует динамическому подходу. В этом случае рассматривалась двуслойная полоса конечной длины, что объясняет расхождение с прямой 1 для короткой полосы (менее 12 слоев атомов). При увеличении длины полосы значение модуля Юнга и при динамическом подходе стремится к макроскопическому

Рис 6 Зависимость изгибной жесткости от числа атомарных слоев. Прямая 1 на рисунке 6 показывает макроскопическое значение изгибной жесткости

для ширины полосы в два слоя Прямая 2 обозначает значение изгибной жескости, полученное из статического рассмотрения двуслойной полосы бесконечной длины. Как видно из рисунка, макроскопическое значение на 25 процентов больше. Результат исследования двуслойной полосы конечной длины с помощью динамического подхода представлен кривой 3. С увеличением длины полосы значение изгибной жесткости стремится к прямой 2 (статический подход)

В третьей главе рассматриваются кристаллы, имеющие сложные кристаллические решетки Используется дискретная механическая модель сложной кристаллической решетки, содержащей частицы, обладающие как поступательными, так и вращательными степенями свободы Частицы взаимодействуют между собой посредством сил и моментов Макроскопические характеристики материала зависят не только от продольной жесткости межатомной связи, но и поперечной жесткости межатомной связи, отличной от нуля только при наличии моментного взаимодействия на межатомном уровне Определяются характеристики межатомных связей для кристаллов, имеющих структуру алмаза (рисунок 7). Рассматриваются углерод, кремний, германий и др. Используются выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки

Для сложной кристаллической решетки тензоры жесткости вычисляются по формулам = 2К ^ ~а0=<*Р=0 = 2К (5)

а,0,7 а

где а — номер ячейки (пробегает все ячейки, с которыми взаимодействует данная); а^д — вектор, проведенный из частицы -у данной ячейки к частице /3 ячейки а, V, — объем

элементарной ячейки. Тензоры жесткости межатомных связей представляются в виде

= + (6)

Иааа + сиа = (аа)2Е (7)

Коэффициенты А1д в формуле (6) характеризуют продольную жесткость межатомной связи, а коэффициенты — поперечную жесткость. Собственно жесткостями являются произведения А^а^д2 и -О^а^2. Отметим, что наличие поперечных жесткостей свидетельствует о нецентральности межатомного взаимодействия

Определены характеристики межатомных связей для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий). Показано, что отношение поперечной жесткости ковалентной связи атомов углерода к продольной в кристаллах алмаза лежит в промежутке от 0.72 до 0.50, т. е. поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов. Для кристаллов кремния и германия подобное отношение составляет 0 34 В последовательности С-51-Ое расчитанная жесткость ковалентной связи убывает соответственно с увеличением межатомного расстояния.

Для кристалла, имеющего структуру алмаза, определяются зависимости упругих характеристик от размеров кристалла (рисунки 8, 9).

20 40 60 80 100

Рис 8 Зависимость молулей Юнга от числа атомарных слоев, ЛГ* = N — 1

На графике цифрами обозначено- 1) 2) Е^/Е?, 3) Е^/Е?, где Е^ -

макроскопическое значение модуля Юнга бесконечного кристалла.

Е/Е"

Рис 9 Зависимость модулей Юнга от числа атомарных слоев, N* = N

На графике цифрами обозначено: 1) Efm/E%>, 2) 3)

Подобно результатам, полученным для простых решеток, ошибка в определении модуля Юнга при N = 10 может составлять 24 процента, однако уже при N = 100 ошибка составляет не больше 2 процентов

В Заключении сформулированы основные результаты работы

1. Получены зависимости упругих характеристик нанокристаллов от их размеров и формы. Рассматривались нанокристаллы, обладающие как плотноупакованными (гра-нецентрированная кубическая), так и неплотноупакованными (решетка алмаза) кристаллическими решетками. Так как упругие свойства данных решеток анизотропны, то упругие характеристики определялись в системах осей, связанных с направлениями решетки 100 и 111. Рассматривались нанопластина (кристалл содержит конечное число слоев по одному из направлений (х, у, z) и бесконечное по двум другим направлениям) и нанобрус (бесконечное число слоев по одному из направлений и конечное по двум другим направлениям) Полученные результаты свидетельствуют о том, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. На анизотропию, связанную с видом кристаллической решетки накладывается анизотропия, вызванная его размером и формой

Все упругие характеристики нанокристаллов существенно зависят от числа атомарных слоев N, в особенности когда количество атомарных слоев исчисляется едини-

цами. При увеличении числа слоев все они стремятся к своим макроскопическим значениям, соответствующим бесконечному кристаллу.

2 Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Определены максимально возможные напряжения, возникающие при растяжении Показано, что масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия.

3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, имеющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зависимости упругих характеристик от количества слоев атомов Проведено сравнение с характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статического подхода, а также с макроскопическими значениями Значения модуля Юнга, полученные с помощью различных подходов, стремятся к макроскопическому значению с увеличением длины полосы (ростом числа атомарных слоев) При N > 12 ошибка составляет 1% Макроскопическое значение изгибной жесткости для двуслойной полосы на 25 процентов выше значения, полученного с помощью дискретного подхода. Значения изгибной жесткости, полученные с помощью статического и динамического подходов совпадают с увеличением длины полосы (N > 40).

4 Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), получены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки. Определены характеристики межатомных связей. Показано, что отношение поперечной жесткости ковалентной связи атомов углерода к продольной в кристаллах алмаза лежит в промежутке от 0 72 до 0 50, т. е. поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов. В последовательности C-Si-Ge расчитанная жесткость ковалентной связи убывает соответственно с увеличением межатомного расстояния.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Лобода О.С., Кривцов А М. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005 №4. С 27-41.

2. Loboda О. S., Krivtsov A M. Determination of elastic constants for 3D-nanocristal 11 Proc. of XXXII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2004", St Petersburg, Russia С 268-274

3 Лобода О. С. Сравнение статического и динамического подходов к определению упругих характеристик наноструктур // Труды XXI Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов", 4-7 октября, 2005, Санкт-Петербург. Т. 2 С 323-328.

4. Loboda О S. Comparison of discrete and continuum modeling for 2D nanocrystal stripe vibrations // Proc. of XXXIII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2005", St Petersburg, Russia C. 243-250

5. Loboda О S , Krivtsov A. M , Morozov N. F. Scale effect in elastic end strength properties

of nanostructures // Proc. of 16th European Conference of Fracture (ECF16), Alexandroupolis, Greece, July 3 - 7, 2006

6. Loboda O. S Scale effect in elastic properties of nanostructures with complex crystal lattices. Proc. of XXXIV Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2006", St. Petersburg, Russia.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 05.03 2007. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 Заказ 1349Ь

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29. Тел.: 550-40-14 Тел./факс: 297-57-76

Введение

1 Влияние масштабного фактора на модули упругости нано-кристалла, обладающего простой кристаллической решеткой

1.1 Введение.

1.2 Кристаллическая решетка.

1.3 Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении

1.4 Исследование масштабной зависимости модулей упругости для кристалла в направлении

1.5 Задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла.

2.2 Исследование колебаний двумерной нанокристаллической полосы, имеющей кубическую решетку. 44

2.3 Исследование колебаний двумерной нанокристаллической полосы, имеющей гексагональную решетку. 47

2.4 Сравнение дискретной и континуальной модели колебаний двумерной нанокристаллической полосы . 49

2.5 Заключение. 54

3 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для нанокристаллов, обладающих сложной кристаллической решеткой 56

3.1 Введение. 56

3.2 Обозначения векторных и тензорных величин . 58

3.3 Описание сложных кристаллических решеток. 58

3.4 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для двумерного кристалла, обладающего решеткой графита . 65

3.5 Определение модулей упругости трехмерного нанокристалла, обладающего решеткой алмаза. 71

3.6 Зависимость модулей упругости от масштабного фактора для трехмерного нанокристалла, обладающего решеткой алмаза 84

Заключение 91

Литература 95

Введение

Актуальность темы диссертации

Интенсивное развитие нанотехнологий привело к необходимости построения адекватных аналитических моделей, позволяющих описать физико-механические свойства объектов наноразмерного масштабного уровня. Во многих существующих моделях подобного рода принимается, что основные механические характеристики нанообъектов совпадают со своими значениями, полученными из макроскопических экспериментов. Однако, когда речь идет о структурах, содержащих всего несколько слоев атомов, не может не сказываться противоречие между очевидной дискретностью рассматриваемого объекта и континуальностью его описания. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов отмечалось многими исследователями. Дискретность наноструктур приводит к отклонению в значении модулей упругости от их макроскопических значений. К тому же, в определении размера нанообъек-та существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности макроскопических характеристик, таких как напряжение, модуль Юнга.

Немаловажным свойством наноструктур является также то, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. Все перечисленное делает необходимым построение моделей, которые с единых позиций описывают объекты на микро- и макро- уровнях.

Методы исследования

В данной работе для построения и исследования механических моделей кристаллов и нанокристаллических структур используются методы трехмерной теории упругости и теории стержней. Также используется метод частиц, который состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек или твердых тел, описываемых классическими уравнениями движения.

Достоверность

Достоверность результатов достигается использованием строгих математических методов, сравнением результатов, полученных различными путями, стремлением зависимостей к известным предельным случаям.

Цель работы

Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании зависимости упругих характеристик нанокристаллических структур от их размеров и формы; установлении связи между макроскопическими тензорами жесткости и параметрами микроструктуры.

Научную новизну работы составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.

1. Исследована задача об упругом деформировании конечных кристаллов, обладающих как плотноупакованными (гранецентрированная кубическая), так и неплотноупакованными (решетка алмаза) кристаллическими решетками. Построены зависимости упругих характеристик от размеров и формы кристаллов. Полученные результаты позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц.

2. Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Показано, что масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия.

3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, имеющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зависимости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статического подхода, а также с макроскопическими значениями.

4. Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), получены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки. Определены характеристики межатомных связей (продольная и поперечная жесткость). Показано, что поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов.

Практическая ценность

С развитием нанотехнологий на практике широко используются тонкие на-нокристаллические покрытия и нанокристаллические стержни и трубки из различных материалов. Полученные в данной работе результаты позволяют предсказывать и описывать аномалии механических характеристик на-норазмерных объектов, а также позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц. Результаты данной работы планируется использовать также в учебном процессе для факультативной работы студентов, изучающих теоретическую механику, механику сплошной среды и физику твердого тела, а также аспирантов, научных работников и инженеров.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН, а также на российских и международных конференциях II Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова (2004, Абрау-Дюрсо), Summer School "Advanced Problem in Mechanics" (2004, 2005, 2006, St. Petersburg, Russia), XXI Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург), 16th European Conference of Fracture (ECF16) (Alexandroupolis, Greece, 2006), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2006, Нижний Новгород).

Публикации

По теме диссертации опубликованы 6 научных работ. Список публикаций приведен в диссертации.

Обзор литературы

Основопологающими работами в области исследования кристаллических решеток считаются работы Борна [4] и другие. В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла. Впоследствии исследования кристаллических решеток проводилось многоими авторами.

Приведем здесь такие монографии, как "Кристаллография" Д. М. Васильева [6], "Foundation of nanomechanics" A. Cliland [50], "Кристаллография" М. П. Шаскольской [43], Хантингтон Г. [42] "Упругие постоянные кристаллов".

С развитием нанотехнологий появилась возможность проводить эксперименты на микро- и нано- уровнях. В работах Байдаровцева Ю. П, Савенкова Г. Н., Быкова Д. Л. и других [3], [5] отмечалось несоответствие между значениями модулей упругости, полученных из микро- и макроэкспериментов. Отметим здесь также работы группы ученых из Новосибирска Головнева И. Ф., Головневой Е. И., Фомина В. М. и других по компьтер-ному моделированию методом молекулярной динамики. В работах [7], [58] исследовалось распространение волн в кристаллах и также получено несоответствие с макроскопическими параметрами. Работы по компьютерному моделированию кристаллических структур проводились Н. Гао и другими [57], [56].

В работах Кривцова А. М., Ивановой Е. А., Морозова Н. Ф., Семенова Б. Н., Индейцева Д.А. предложен аналитичесикй подход к исследованию механических параметров наноразмерных объектов [19], [20], [24], [25], [26], [29], [30], [31].

Для описания структур, характерных для ковалентных кристаллов, традиционно использовались многочастичные потенциалы взаимодействия [79, 46]. Подобные потенциалы зависят от углов между связями, что позволяет сделать устойчивыми структуры с низкой плотностью заполнения. Однако, форма подобных потенциалов оказывается весьма сложной, а физический смысл входящих в них констант — туманным. Альтернативный подход состоит во введении в рассмотрение вращательных степеней свободы и учете моментного вклада в межатомное взаимодействие [21, 23]. В работах [21, 23] на примере простых кристаллических решеток показано, что учет парного моментного взаимодействия (дополнительно к парному силовому) может обеспечить устойчивость кристаллических структур с низкой плотностью упаковки. Подход, отличный от подхода работ [21,23], но также связанный с учетом вращательных степеней свободы, развивался в работах [2,11]. Идеи работ [21, 23] распространяются на сложные кристаллические решетки.

Исследования упругих свойств кристаллов, обладающих структурой алмаза (углерод, кремний, германий) проводились многими учеными.

В работах Городцова В. А., Лисовенко Д. С. [8], Гольдштейна Р. В., Чен-цов А. В. [9] исследовались упругие свойства графитовых стержней и углеродных нанотрубок. В справочнике под редакцией Новикова Н. В. [39] систематизированы данные о механических, электрофизических, магнитных, теплофизических и оптических свойствах природных и синтетических алмазов. Свойства алмазов исследуются в работах [45], [46], [48], [49], [55], [60], [62], [75] и других. В публикациях [78], [48], [52], [67] и др. приведены экспериментальные данные для упругих постоянных кремния, германия и углерода.

В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления [10, 17, 27]. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье [36, 37]. Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики деформируемого твердого тела отражена в монографии В. А. Пальмова [40]. Особенности тензорного аппарата, необходимые при описании механики сплошной среды и динамики твердого тела, излагаются в работах П. А. Жилина [13, 17,16].

Заключение

1. Получены зависимости упругих характеристик нанокристаллов от их размеров и формы. Рассматривались нанокристаллы, обладающие как плотноупакованными (гранецентрированная кубическая), так и неплотноупакованными (решетка алмаза) кристаллическими решетками. Так как упругие свойства данных решеток анизотропны, то упругие характеристики определялись в системах осей, связанных с направлениями решетки 100 и 111. Рассматривались нанопластина (кристалл содержит конечное число слоев по одному из направлений (х, у, z) и бесконечное по двум другим направлениям) и нанобрус (бесконечное число слоев по одному из направлений и конечное по двум другим направлениям). Полученные результаты свидетельствуют о том, что форма и размеры нанокристалла вносят дополнительную анизотропию в его упругие свойства. На анизотропию, связанную с видом кристаллической решетки накладывается анизотропия, вызванная его размером и формой.

Все упругие характеристики нанокристаллов существенно зависят от числа атомарных слоев N, в особенности когда количество атомарных слоев исчисляется единицами. При увеличении числа слоев все они стремятся к своим макроскопическим значениям, соответствующим бесконечному кристаллу.

2. Решена задача о нелинейном деформировании двумерного кристалла. Определены максимально возможные напряжения, возникающие при растяжении. Показано, что масштабные эффекты проявляются при нелинейном деформировании данной модели аналогично модели с линейным законом взаимодействия.

3. Решена задача о собственных колебаниях двумерной кристаллической полосы, имеющей кубическую и гексагональную решетку, на основе которой определены зависимости упругих характеристик от количества слоев атомов. Проведено сравнение с характеристиками тех же моделей наноструктур, полученными с помощью статического подхода, а также с макроскопическими значениями. Значения модуля Юнга, полученные с помощью различных подходов, стремятся к макроскопическому значению с увеличением длины полосы (ростом числа атомарных слоев). При N > 12 ошибка составляет 1%. Макроскопическое значение изгибной жесткости для двуслойной полосы на 25 процентов выше значения, полученного с помощью дискретного подхода. Значения изгибной жесткости, полученные с помощью статического и динамического подходов совпадают с увеличением длины полосы (N > 40).

4. Для кристаллов, имеющих структуру алмаза (углерод, кремний, германий), получены выражения для макроскопических тензоров жесткости, зависящие от тензоров жесткости межатомных связей и векторов, определяющих геометрию решетки. Определены характеристики межатомных связей. Показано, что отношение поперечной жесткости ковалентной связи атомов углерода к продольной в кристаллах алмаза лежит в промежутке от 0.72 до 0.50, т. е. поперечная жесткость сравнима с продольной и учет ее необходим для расчета ковалентных кристаллов. В последовательности C-Si-Ge расчитанная жесткость ковалентной связи убывает соответственно с увеличением межатомного расстояния.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод, что понятия классической механики сплошной среды, и в том числе теории упругости, при применении к нанообъектам должны использоваться с большой осторожностью. Обязательно следует учитывать изменение механических характеристик при приближении масштабов рассматриваемого объекта к наномет-ровым. Особое внимание необходимо уделять величинам, принципиально неоднозначным на наноуровне, таким, как модуль Юнга. При их использовании следует четко определять, что именно понимается под указанными величинами в применении к нанообъектам. Однако все сказанное не означает, что классическая теория упругости неприменима на наноуровне. Просто она должна использоваться с учетом масштабных эффектов, а адекватность континуального подхода следует оценивать при рассмотрении конкретных задач.

1. Альтенбах X., Жилин П.А. Общая теория упругих простых оболочек // Успехи механики Advances in mechanics - Warszawa, Polska, 1988, №4, с. 107-148.

2. Аэро Э. JI., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т.2. №9. С. 1399-1409.

3. Байдаровцев Ю.П, Савенков Г. Н., Тарасенко В. А. Метод определения прочностных характеристик ультратонких слоев // Высокомолекулярные соединения, серия А. 1999. Т. 41. №8. С. 1302-1307.

4. Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М., 1958. 488 с.

5. Быков Д. Л., Коновалов Д. Н. Особенности сопротивления вязкоупру-гих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций // Труды XXXVI Межд. семинара "Актуальные проблемы прочности", Витебск. 2000. С. 428-433.

6. Васильев Д. М. Кристаллография Спб гос. техн. университет, СПб. 1996. 474 с.

7. Головнев И. Ф., Конева Е. И., Фомин В.М. Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках // Физическая мезомеханика. 2001. №5.

8. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение) // Известия РАН. МТТ. 2005. №4. С.42-56.

9. Гольдштейн Р. В., Ченцов А. В. Дискретно-континуальная модель на-нотрубки // Известия РАН. МТТ. 2005. №4. С. 57-74.

10. Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк. 2001. 575 с.

11. Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах // ФТТ. 1997. Т.39. №1. С. 137-143.

12. Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории оболочек. Тр. ленингр. политехи, ин-та. 1982. 386, 29-46.

13. Жилин П. А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела // Труды СПбГТУ. 1992. №443. С. 100-121.

14. Жилин П. А., Сергеев А. Д., Товстик Т. П. Нелинейная теория стержней: статика, динамика, устойчивость. Труды XXIV Всесоюзной школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" 1996, С.-Пб. 1997. 313-337.

15. Жилин П. А. Математическая теория неупругих сред // Успехи механики, 2003. Т. 2. №4. С. 3-36.

16. Жилин П. А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики. С.-Пб. 2003. 340 с.

17. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. С.-Петербург: Нестор. 2001. 276 с.

18. Жилин П. А. Актуальные проблемы механики. Сборник статей по материалам докладов на ежегодной международной летней школе-конференции "Актуальные проблемы механики "Санкт-Петербург. Издание Института проблем машиноведения Российской академии наук. 2006.

19. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н. Ф. Особенности расчета из-гибной жесткости нанокристаллов // Доклады Академии Наук. 2002. Т. 385. №4. С. 494-496.

20. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. №4, с. 110— 127.

21. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика (принято к печати).

22. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Теоретическая механика. Описание механических свойств кристаллических твердых тел на микро- и макроуровне. Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ. 2003. 32 с.

23. Иванова Е. А., Морозов Н. Ф. Об одном подходе к экспериментальному определению изгибной жесткости нанооболочек.// Доклады Академии наук. 2005. Т. 400, №4, с. 475-479.

24. Иванова Е. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н., Фирсова А. Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов. // Известия РАН. МТТ. 2005. №4, с. 75-85.

25. Иванова Е. А., Морозов Н. Ф., Соколов И. А. Об одном подходе к экспериментальному определению изгибной жесткости кантилеверов.// Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2005. №1, с. 29-32.

26. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд. АН СССР. 1961. 426 с.

27. Кривцов А. М., Кривцова Н. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, е2, с. 254-276.

28. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках на-норазмерных объектов // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. № 12. С.2158-2163.

29. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381. №3. С. 825-827.

30. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Две причины проявления масштабного фактора при описании механических свойств наноструктур. // Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. 832, с. 485-488.

31. Кривцов A.M. К теории сред с микроструктурой // Тр.СПбГТУ. 1992. №443. С. 9-17.

32. Кучин В. А., Ульянов В. Л. Упругие и неупругие свойства кристаллов.- М.: Энергоатомиздат. 1986.

33. Лобода О. С., Кривцов А. М. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. №4. С. 27-41.

34. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970.

35. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.

36. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб: Изд-во С.-Петербургского университета. 1995. 160 с.

37. Новиков Н. В. Физические свойства алмаза. Справочник. Киев. 1987. 190 с.

38. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука. 1976. 348 с.

39. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988. 712 с.

40. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов // 1961. Т. 74. №303. С. 461.

41. Шаскольская М.П. Кристаллография М.: Высшая школа. 1984.

42. Шусторович Е.М. Химическая связь М.: Наука. 1973.

43. Bhagavantam S., Bhimuassenachar J. Elastic constants of diamond// Proc. Roy. Soc. London A. 1946. V. 187, N. 1010, pp. 381-384.

44. D.W. Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys. Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458-9471.

45. Canali С., C. Jacoboni, F. Nava, G. Ottaviani and A. A. Quaranta.// Phys. Rev. 1975 V.B12, №4, c. 2265-2284.

46. D. G. CLERC. Mechanical hardness: atomic-level calculations for diamond-like materials// JOURNAL OF MATERIALS SCIENCE LETTERS. 1990. V. 17, pp. 1461-1462.

47. Daryl G. Clerc. Ab initio elastic properties of diamond-like materials: electronic factors that determine a high bulk modulus. // Journal of Physics and Camistry of Solids. 1999. V. 60, pp. 103-110.

48. Andew N. Cliland. Foundation of nanomechanics.// Springer. 2002.

49. Т. Cramer, A. Wanner and P. Gumbsch. Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85, №788.

50. Dargys A. and J. Kundrotas Handbook on Physical Properties of Ge, Si, GaAs and InP// Vilnius, Science and Encyclopedia Publishers, 1994

51. Ivanova E., Krivtsov A., Morozov N., Semenov B. Solid mechanics methods in nano-technologies.// 21st internetional congress of theoretical and applied mechanics. 2004, august 15-21, Warsaw, Poland. Abstracts and CD-ROM Proceedings, pp. 24-25.

52. Field, J. E., in The Properties of Natural and Synthetic Diamonds.// J. E. Field, ed., Academic Press, London, 1992.

53. John J. Gilman. Origins of the outstanding mechanical properties of diamond.// Springer-Verlag, Mat. Res. Innovat, 2002. V. 6, pp. 112-117.

54. Gao H., Ozkan C.S., Nix W.D., Zimmerman J. A. and Freund L. B. Atomistic models of dislocation formation at crystal surface ledges in Sil-xGex /Si(100) heteroepitaxial thin films // Philosophical Magzine A. 1999. V. 79. P. 349-370.

55. Gao H., Huang Y. and Abraham F.F. Continuum and atomistic studies of intersonic crack propagation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2001. V. 49. P. 2113-2132. Link to PDF file(288K).

56. Golovneva E. I., Golovnev I. F. and Fomin V. M. Research of nanoclasters size effect on the molecular-dynamic modeling results // Физическая ме-зомеханика. 2004. №7. Спец. выпуск 4.2. С. 11-13.

57. Crystal and Solid State Physics, edited by K.-Hellwege// Landolt-Bo.rnstein, New Series, Group X, Vol. 11 Springer, Berlin, 1979, p. 116.

58. M. Hebbache. First-principles calculations of the bulk modulus of diamond. //Solid State Com. 1999. №110. P. 569-564.61. http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/

59. Kemmey, P. J. and P. T. Wedepohl. Physical Properties of Diamonds.// R. Berman, ed., Clarendon Press, Oxford, 1965.

60. Kim J.J., Marzouk H.A., Eloi C.C., Robertson J.D. Effect of water vapor on the nuncleation and growth of chemical vapor deposited copper films on spin-coated polyimide.// J. Appl. Phys. 1995. V.78. №1. P. 245.

61. E. Kohn, M. Adamschik, P. Schmid, S. Ertl, A. Floter. Diamond electromechanical micro devices technology and performance. // Diamond and Related Materials. 2001. V. 10, pp. 1684-1691.

62. Krivtsov A. M. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice // ZAMM Z. angew. Math. Mech. 1999. V.79. №S2. P. 419-420.

63. S. A. Kukushkin. // J. Appl. Phys. 2005. V.98. 033503.

64. Loboda O.S., Krivtsov A.M. Determination of elastic constants for 3D-nanocristal // Proc. of XXXII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2004", St. Petersburg, Russia. C. 268-274.

65. Loboda O.S. Comparison of discrete and continuum modeling for 2D nanocrystal stripe vibrations // Proc. of XXXIII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2005", St. Petersburg, Russia. C. 243250.

66. Loboda O.S., Krivtsov A.M., Morozov N.F. Scale effect in elastic end strength properties of nanostructures // Proc. of 16th European Conference of Fracture (ECF16), Alexandroupolis, Greece, July 3-7, 2006.

67. Loboda O.S. Scale effect in elastic properties of nanostructures with complex crystal lattices. Proc. of XXXIV Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2006", St. Petersburg, Russia (accepted).

68. Markham H.F. National Phisical Laboratory measurements presented by Musgrave: Diamond conf.(Reading, 1965).

69. McSkimin H. J. and P. Andreatch.// J. Appl. Phys. 1972. 43 2944-2948.

70. McSkimin H. J., Andreatch P., Glyrn P. The elastic stiffness moduli of diamond // Ibid. №3. P. 985-990.

71. McSkimin H. J., Bond W.L. Elastic moduli of Diamond // Phys. Rev. 1957. V. 105. №1. P. 116-120.

72. J. F. Nye, Physical Properties of Crystals: Their Representations by Tensors and Matrices.// Clarendon Press, Oxford, 1985.

73. Prince E., Wooster W.A. Determination of elastic constants of crystals from diffuse reflections of X-rays. Ill Diamond // Acta crystallogr. 1953. V.6. №450. P. 1717-1719.

74. G. Simmons and H. Wang. Singl Crystal Elastic Constants and Calculated Aggregate Properties: A Handbook // MIT, Cambridge, MA, 1971.

75. J. Tersoff. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Phys. Rev. B. 1988. 37, 6991-7000.

76. Tkachev P.V. Stability loss criterions of the material with microstructure. // Proc. of XXXII Summer School "Advanced Problems in Mechanics 2004", St. Petersburg, Russia, 423-425.