Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Такмазьян Андрей Куркенович

Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2003

Диссертация выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор В. Я. Шкадов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н. Н. Смирнов;

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Варапаев.

Ведущая организация

Институт проблем механики РАН.

Защита состоится 21 ноября 2003 г. в 16 ч. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского Государственного университета.

Автореферат разослан

октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

¡64\<?

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В работе рассматриваются течения тонких пленок вязкой жидкости по поверхности твердого тела, движущегося или неподвижно погруженного в объем жидкости. Основное внимание уделено теоретическому исследованию течения в области мениска, где тонкий слой пленки переходит в основной объем жидкости. Такого рода течения возникают в ряде важных процессов и устройств современной техники, например, при получении защитных пленок покрытия на металлических, стеклянных, пластмассовых нитях; пленок оптически активного вещества на плоских подложках для кино- и фототехники; при образовании остаточных пленок на стенках цилиндрических и плоских капилляров при вытеснении из них вязкой жидкости другой менее вязкой жидкостью или газом; возникновении пленок загрязнителей при самопроизвольном растекании капель жидкости под воздействием градиентов поверхностного натяжения или массовых сил.

В технологии покрытия поверхностей тонкими слоями вещества и получения пленок широко распространен способ вытягивания из объема жидкости твердой основы (пластины или нити), на которой образуется пленка. При вытеснении вязкой жидкости из капилляров другой жидкостью или газом возникает течение с поверхностью раздела, которая включает в себя область динамического мениска вблизи передней точки движущегося фронта вытеснения и область кольцевой остаточной пленки вдали от передней точки. Еще один из способов нанесения тонкого слоя жидкости на твердую неподвижную подложку состоит в создании градиента температуры на поверхности контакта подложки с жидкостью. Вследствие этого возникает градиент поверхностного натяжения, который служит движущей силой, вызывающей растекание жидкости по подложке (эффект Ма-рангони). При этом движение жидкости может быть направлено против действия массовых сил.

Основной проблемой в данных задачах является определение толщины пленки для данной жидкости при заданном режиме течения (скорости вытягивания или вытеснения, градиенте температуры). На данный момент существует необходимость в теории, позволяющей на основе быстрых и эффективных численных расчетов производить вычисление профиля динамического мениска и, соответственно, асимптотической толщины пленки вдали от мениска, с учетом влияния инерции и яАНмжтя. Мяпянгпн.и _

Дели работы

1. Исследовать влияние динамического мениска в течениях пленок покрытия при а) извлечении твердого тела из жидкого объема, б) при вытеснении жидкости из капилляра другой жидкостью, в) при самопроизвольном распространении жидких пленок по твердой поверхности под действием градиента поверхностного натяжения. 2. Примененить к исследованию данных течений метод последовательного сведения полной краевой задачи, включающей уравнение Навье-Стокса и граничные условия на неизвестной свободной поверхности, к системе одномерных уравнений для локальной толщины слоя и построить численный алгоритм, пригодный для проведения быстрых и эффективных расчетов. 3. Найти форму мениска и толщину формирующейся пленки для высокоинтенсивных движений, когда требуется включения в математические модели всех главных нелинейных членов, связанных с инерционной частью уравнений и кривизной поверхности раздела в граничных условиях. 4. Дать теоретическое истолкование новых экспериментов по вытеснению жидкостей из капилляров, нанесению покрытий при извлечении пластины из жидкого объема, термокапиллярному натеканию на вертикальную пластину.

Методы исследования

Используемый в диссертации метод исследований течений тонких пленок основывается на трех существенных моментах. Вводится малый параметр, характеризующий отношение производных искомых величин по продольной и поперечной координатам, и исходная краевая задача для уравнений Навье-Стокса сводится к задаче для уравнений типа пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. Выбирается базисная система функций от поперечной координаты, искомые решения разлагаются по этой системе и методом Галеркина выводятся дифференциальные уравнения для коэффициентов разложений. Набор безразмерных параметров задачи приводится к простейшему виду при рассмотрении класса течений, в которых силы вязкости, тяжести и поверхностного натяжения имеют одинаковый порядок. Профиль мениска строится из решения полученной краевой задачи гладким склеиванием поверхностей динамического и статического менисков в некоторой промежуточной точке, подбираемой в процессе решения, либо сквозным расчетом всей поверхности динамического мениска, удовлетворяющей условиям на краях.

«с-

Достоверность результатов

Достоверность результатов диссертации обусловлена достоверностью используемого метода, успешно применявшегося при решении множества задач динамики тонких пленок, корректностью вычислений и подтверждением теории экспериментальными данными.

Научная новизна

В диссертации впервые получены следующие результаты. 1) Теоретически найдена зависимость толщины термокапиллярной пленки на вертикальной пластине от градиента поверхностного натяжения, соответствующая современным экспериментальным данным. 2) Теоретически найдена зависимость при инерционных режимах вытеснения толщины остаточной пленки на стенках круглого капилляра от скорости вытеснения, соответствующая данным экспериментов. 3) Показано существование семейства решений для формы фронта вытеснения жидкости из круглого капилляра при каждом фиксированном наборе внешних параметров: кроме монотонно сужающегося к передней точке фронта теоретически построены наблюдавшиеся в экспериментах немонотонные профили поверхности раздела с локальными максимумами толщины пленки. 4) Построено семейство решений для формы мениска в зависимости от числа Капицы и найдена зависимость асимптотической толщины пленки на вытягиваемой из объема жидкости пластине от числа капиллярности при больших числах Рейнольдса в условиях высокоинтенсивного нанесения с полным учетом инерционных членов и кривизны мениска.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации могут служить для построения простых инженерных моделей пленочных течений с зоной мениска; для определения толщин получаемых в приложениях тонких пленок при интенсивных режимах нанесения покрытий, при воздействии на пленочное течение термокапиллярных эффектов, при возникновении немонотонных профилей границы раздела в процессе вытеснения жидкости из капилляра. Результаты могут быть применены в технологических приложениях, включающих покрытие твердой основы тонкой пленкой — фармакология, пищевая промышленность, защита от коррозии, производство многослойных композитов и полимерных пленок; для оценки возможного процента добычи нефти

методом водозаполнения пласта.

Апробация диссертации

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на 5-й Международной конференции по механике жидкости Европейского механического сообщества, на конференции "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке" в МГУ им. М. В. Ломоносова (2003 г.), на IX, X и XI школах-семинарах "Современные проблемы аэрогидродинамики" под руководством академика Г. Г. Черного (2001, 2002 и 2003 гг.), конференциях "Ломоносовские чтения" (2002 и 2003 гг.), на научно-исследовательском семинаре "Течения в пористых средах" под руководством профессора Н. Н. Смирнова и научно-исследовательских семинарах кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ.

Публикации

Результаты диссертации достаточно полно отражены в восьми публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. В первой главе формулируется общий подход, три последующие отражают результаты решения трех основных задач, в приложение вынесены замечания, не существенные для общего понимания работы. Текст работы изложен на 95 страницах и включает 19 иллюстраций и список литературы из 55 наименований.

Краткое содержание работы Введение

Во введении приведен обзор предыдущих теоретических и экспериментальных работ по теме диссертации и сформулированы новые результаты автора.

Глава I. Модельные эволюционные уравнения для многослойных пленочных течений

В данной главе выводятся модельные уравнения для многослойных пленочных течений, включающих зону мениска, на движущейся вертикальной осесимметричной поверхности, частично погруженной в жидкость.

Рассматривается течение без смешения п слоев вязких несжимаемых жидкостей, расположенных один поверх другого, так что первый слой те' чет по цилиндрической поверхности твердого тела, а п-й слой имеет поверхность, свободную от напряжений. Течение происходит в поле силы тяжести, симметрично относительно оси цилиндра и имеет нулевую азимутальную составляющую скоростей. Рассматриваются течения, для которых суще-• ственно влияние сил поверхностного натяжения на поверхности первого слоя.

В предположении малости капиллярного числа задачи (капиллярное I число определяет отношение вязких сил к силам поверхностного натяже-

ния), система уравнений Навье-Стокса и граничных условий, описывающих течение, сводится к системе уравнений типа пограничного слоя с самоиндуцированным (засчет поверхностного натяжения) давлением. При этом в граничных условиях сохраняются сильно нелинейные члены, которые малы в области пленочного течения, но велики в зоне мениска.

Уравнения для профилей границ раздела жидкостей получаются с помощью варианта метода Галеркина, примененного в 1967г. Шкадовым к исследованию волновых режимов пленочных течений на вертикальной > стенке. Продольную компоненту скорости каждой жидкости можно при-

ближенно представить в виде конечной суммы N членов разложения по некоторой полной системе функций. Уравнения баланса продольного им-I пульса преобразуются с учетом уравнений неразрывности и интегрируются

в поперечном направлении, каждое в пределах своего слоя, при этом учитываются кинематические граничные условия на границах раздела. Далее, преобразования с учетом граничных условий баланса нормальных напряжений и постоянства давления поперек каждого слоя, дают п нелинейных эволюционных уравнений для толщины пленки. Еще п уравнений получаются аналогичным интегрированием уравнений неразрывности поперек слоев с учетом кинематических условий на границе. Вместе с п кинематическими условиями равенства продольных скоростей и п условиями баланса касательных напряжений на границах разделов, мы получаем систему 2п нелинейных эволюционных уравнений и 2п нелинейных связей для п

функций безразмерной локальной толщины каждого слоя и N хп коэффициентов разложения. Если ограничиться первым шагом в применении прямого метода (Галеркина) и принять N = 3, то получается замкнутая система.

Глава II. Инерционные режимы нанесения покрытий

В данной главе рассмотрена задача нанесения покрытия на пластину при вытягивании ее в поле силы тяжести из жидкого объема. Получены новые результаты для инерционного режима вытягивания, наилучшим образом описывающие известные эксперименты.

Рассматривается вытягивание цилиндра радиуса Я вертикально вверх со скоростью и в поле силы тяжести д из объема жидкости вязкости [л и плотности р. Результат для пластины получается в пределе Я оо. Безразмерные параметры, входящие в задачу, заданы выражениями

е = 8 = Са1/3, Са=^, ^ = е2^, с = е6 СаЛ,

Л <7 Ой

а ц1

здесь а — поверхностное натяжение, Но — асимптотическая толщина пленки на цилиндре вдали от объема жидкости. Параметры Са, Вс1, А известны из условий проведения эксперимента, а е нужно определить из решения краевой задачи для системы модельных уравнений. При вытягивании пластины нужно положить е = 0, еЯ = Ло и по заданным параметрам Са, 7 = <тр11гц~*13д~11г (число Капицы) определить Р = рдЬ^/фу), учитывая, что с =

Приближая продольную скорость полиномом второй степени, удовлетворяющим кинематическим условиям и условию равенства касательных напряжений нулю на свободной границе, получаем, используя метод главы I, систему обыкновенных дифференциальных уравнений для толщины пленки Н и кривизны свободной поверхности ус:

#' =__-__? = и-

(1_ ¿2/2)1/2' /

£ «

Начальные условия для численного интегрирования системы (1) задаются в области перехода мениска в слой пленки постоянной толщины и определяются из решения уравнений, линеаризованных около асимптотического значения толщины пленки Я = 1. При известном режиме вытягивания для данной жидкости (заданных параметрах Ca и j) выбирается пробное значение F, тогда коэффициенты системы (1) полностью определены, и система (1) интегрируется численно в сторону убывания продольной координаты до выполнения одного из двух краевых условий перехода поверхности мениска в поверхность объема жидкости: Н' — сю, и —)■ 0. При этом, когда F принадлежит некоторому интервалу (0, Ft), в процессе численного интегрировании достигается точка, в которой выполняется первое краевое условие, и профиль мениска нигде не имеет точки перегиба, а при F > F, у профиля мениска существует точка перегиба х = 0. При F -ъ F, + 0 в точке перегиба имеем Н' —» -оо, т.е. значение F* — искомое.

Из сравнения полученных результатов с экспериментами, проводившимися при малых значениях 7, следует, что данная теория хорошо описывает такие режимы течения. Кроме того, построенная теория наилучшим образом описывает эксперименты с инерционными режимами нанесения, когда число Капицы жидкости может значительно превышать единицу, а число капиллярности — быть конечным.

Глава III. Инерционное вытеснение жидкостей из капилляров

В данной главе дано развитие гидродинамической теории процесса вытеснения жидкости из капилляра, обеспечивающее возможность истолкования экспериментов при различных условиях и, прежде всего, для инерционных режимов вытеснения. Также получены решения, соответствующие немонотонным профилям фронта вытеснения, и обсуждена их связь с экспериментальными данными.

Рассматривается стационарное осесимметричное течение внутри круглого вертикального капилляра радиуса R при установившемся вытеснении из него жидкости вязкости и плотности pi другой жидкостью с вязкостью р2 и плотностью р2- Граница раздела жидкостей в области фронта вытеснения, движущегося с постоянной скоростью Uq, образует динамический мениск, который с удалением от передней точки фронта асимптотически переходит в цилиндрическую поверхность пленки вытесняемой жидкости, остающейся на стенках капилляра, и имеющей постоянную толщину ho-

Задача содержит следующие независимые безразмерные комбинации

Ло ^ , Р\<?П в Р\дИ2 Р2 №

е = —, Са =-, А = —, В = ——, р = — , М = — -

Кар. { р\

Подход главы I при подстановке в уравнения баланса продольного импульса скоростей жидкости в виде, соответствующем точному решению этих уравнений в безынерционном приближении:

«(Ч = 7г(0(1 - + Д(0 - «?) + , г = 1,2.

(здесь £ — продольная, г) — поперечная к пленке координата) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка для определения толщины пленки #(£) и кривизны

£ 1 + <$2Я'2

х' = е2 [4(^72 - 71) + В{ 1 - р)} + 2с

Ж2 ¿К?! 2

(2)

где 6 - Са1/<3, с = е (Са)4/3А Функции -^(х), 7г(х), С?1(х), С2(х), где х = (1 — еН)-1, содержащие параметры е, /х, р, В, известны.

При заданных значениях параметров Са, А, В, р., р параметр е подбирается так, чтобы при численном интегрировании от асимптотических начальных условий вдали от мениска при достижении передней точки фронта вытеснения (находящейся на оси капилляра) выполнялись условия гладкости поверхности раздела.

Рассмотрены случаи инерционного режима вытеснения жидкостей газом из горизонтальных капилляров, при значениях параметров р, = р = В = О, А = 9800,65700,35100,18900. Результаты с хорошей точностью описывают эксперимент.

Получен следующий результат: при каждом фиксированном значении Са существует последовательность решений с п = 0, ], 2,... максимумами толщины остаточной пленки, каждое из которых соответствует динамически возможному стационарному режиму вытеснения жидкости из капилляра. Такие течения представляют последовательность выпуклых пузырей, соединенных тонкими перешейками. Такие решения обладают двумя свойствами: а) асимптотическая толщина пленки для них больше, чем у пленок с монотонной границей и растет с увеличением количества точек минимума; б) продольный размер каждого горба составляет примерно 3Я, поэтому протяженность зоны мениска больше ЗД на этих решениях. Оба

эти свойства согласуются с результатами экспериментальных наблюдений о том, что эффективная остаточная толщина пленок при вытеснении из капилляра пузырей растет с увеличением длины пузыря.

Глава IV. Течение пленки под воздействием эффекта Марангони

Рассматривается пленка, образующаяся под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони на вертикальной плоской пластинке, погруженной одним концом в сосуд с жидкостью. Температура пластинки линейно убывает вверх по мере удаления от горизонтальной поверхности жидкости в сосуде. Поверхностное натяжение жидкости а в первом приближении линейно зависит от температуры. В тонкой пленке температура поверхности принимается равной температуре на пластинке, таким образом, на свободной поверхности пленки существует градиент поверхностного натяжения г, направленный против силы тяжести. Течения, вызываемые градиентом поверхностного натяжения, достаточно медленные, поэтому инерционными членами в уравнениях можно пренебречь. Задача содержит два параметра: 5 = (г2/рда)1!3, известный из условия проведения эксперимента, и а = т/{рд}1о), где Ло — предельная толщина пленки вдали от мениска, а определяется в процессе решения. Система уравнений метода Галеркина с параболическим профилем продольной скорости имеет вид

Решение системы (3) гладко склеивается в промежуточной точке с решением уравнения для статического мениска, из условий склеивания определяется значение параметра а — безразмерной толщины пленки. Расчетная зависимость а(5) с хорошей точностью описывает данные экспериментов. При введении в рассмотрение расклинивающего давления в тонком слое пленки, с изотермой П(Л) = А1ъ~г + ВЬг2, можно описать результаты измерений экспериментов при нестандартных условиях (течение органического масла по серебряной пластине, покрытой слоем нихрома), приняв для констант А и В значения А = Ю-16 Дж или В = Ю-10 Н (для обычных условий А = Ю-21 Дж, В = Ю-12 Н).

Проведены также расчеты профиля движущегося фронта термокапиллярной пленки, хорошо соответствующие экспериментальным.

Я" = -^(1-Ь<52Я'2)3/2

За 1 2Я (1 + ¿2ЯЯ)3/2 '

(3)

Выводы

Разработан эффективный метод сведения краевых задач для уравнений Навье-Стокса, описывающих неоднородные течения пленок с включением зон мениска, к модельным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Во всех трех рассмотренных частных случаях двухточечные краевые задачи для модельных систем корректны и допускают построение решений численными методами. Тем самым обеспечена возможность математического моделирования реальных пленочных течений на режимах, которые до сих пор не поддавались теоретическому описанию.

В рамках единого подхода исследованы три группы течений, в которых формирующаяся на твердой поверхности жидкая пленка соединена с жидким объемом зоной мениска: вытягивание пластины из объема жидкости, вытеснение жидкости из круглого капилляра, термокапиллярное нате-кание пленки на неподвижную вертикальную пластину. Успешно рассчитаны инерциальные режимы течений при больших значениях капиллярного числа, для ряда случаев впервые получено согласование расчетных и экспериментальных данных о предельной асимптотической толщине пленки и форме ограничивающей поверхности раздела. Обнаружены явления: образование немонотонных поверхностей раздела при вытеснении жидкости из капилляра; существование критического значения числа Капицы, разделяющего режимы извлечения плоской поверхности из жидкого объема на два типа по характеру зависимости асимптотической толщины пленки от числа капиллярности; существование двух принципиально различающихся режимов натекания жидкой пленки на твердую поверхность против действия силы тяжести, вызываемых термокапиллярным эффектом Ма-рангони.

Представленная теория течения неоднородных пленок при больших значениях безразмерных параметров, связанных с силой тяжести и инерционными членами, представляет существенное развитие асимптотического подхода, приводящего к формуле Ландау-Левича-Дерягина, при выводе которой эти параметры полагаются равными нулю.

Публикации автора по теме диссертации

1. Такмазьян А. К., Шкадова В. П., Шкадов В. Я. Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью // Тезисы докладов IX школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики". Сочи, "Буревестник" МГУ. 5-14.09.2001. Изд-во МГУ.

2. Такмазьян А. К., Шкадов В. Я. Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2002. № 3, 46-50.

3. Такмазьян А. К., Шкадова В. П., Шкадов В. Я. О формах поверхности раздела при вытеснении вязкой жидкости из капилляра // Тезисы докладов X школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики". Сочи, "Буревестник" МГУ. 5-15.09.2002. Изд-во МГУ.

4. Такмазьян А. К., Шкадов В. Я., Шкадова В. П. Стационарные капиллярные течения вязкой жидкости со свободной поверхностью, включающей область мениска // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке", посвященной 80-летию академика Г. Г. Черного. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова. 27-30.01.2003. Изд-во МГУ.

5. Такмазьян А. К. О неединственности решения задачи вытеснения вязкой жидкости из круглого капилляра // Тезисы докладов научной конференции "Ломоносовские чтения", секция механики. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова. Апрель 2003. Изд-во МГУ.

6. Шкадов В. Я., Такмазьян А. К. Инерционные режимы вытеснения вязкой жидкости из капилляра // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2003. № 3.

7. Шкадова В. П., Шкадов В. Я., Такмазьян А. К. Пленочные течения вязкой жидкости, включающие зоны мениска // Отчет № 4650 НИИ Механики МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва. 2003.

8. Shkadov V. Ya., Shkadova V. P., Takmazian A. K. Steady viscous capillary film flows including meniscu // 5-th Euromech Fluid Mechanics Conference 2003. Book of abstracts, p.446.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать А/. £<Рс>3 г. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. # Тираж /о О экз. Заказ 3 $

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета, и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

»16419 1

Öooj-A

i1

i ï

»

Введение

I Математические модели течения многослойных пленок вязкой несжимаемой жидкости

1 Гранично-краевые задачи пленочных течений.

1.1 Граничная задача для уравнений Навье-Стокса

1.2 Безразмерная постановка граничной задачи.

1.3 Краевые задачи стационарных и квазистационарных пленочных течений.

2 Сведение гранично-краевой задачи к системе эволюционных уравнений для толщины пленки.

2.1 Приближение пограничного слоя.

2.2 Метод Галеркина.

II Нанесение пленки вязкой жидкости на движущуюся поверхность

Тонкая пленка жидкости на твердой поверхности — основной технологический элемент в ряде важных процессов и устройств современной техники. Можно упомянуть защитные пленки покрытия на металлических, стеклянных, пластмассовых нитях; пленки оптически активного вещества на плоских подложках для кино- и фототехники; остаточные пленки на стенках цилиндрических и плоских капилляров, образующиеся при вытеснении из них вязкой жидкости другой менее вязкой жидкостью или газом; пленки загрязнителей, образующиеся при самопроизвольном растекании капель жидкости под воздействием градиентов поверхностного натяжения или массовых сил.

В полной постановке гидродинамический расчет таких течений сводится к решению сложной многопараметрической краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в области с неизвестной границей. Эта граница образуется свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела и включает зоны пленочного течения и мениска: в разных задачах граница пленки дополняется неизвестными формами движущихся фронтов или областями менисков при извлечении поверхностей из объемов жидких растворов. В общем случае течения в этих задачах очень сложны по структуре, по обилию физических процессов, определяющих пленочные образования, и пока не имеется их прямых исследований без упрощений и облегчающих задачу дополнительных ограничений. Начиная с самых первых работ по определению толщины пленок нанесения рассматривалась не система уравнений Навье-Стокса, а разумные балансовые соотношения, и справедливость их оценивали из сравнения экспериментальных толщин пленок с результатами решения. Много десятилетий эта задача была предметом обсуждений экспериментаторами и предметом сравнений различных приближений решения с количественными значениями толщины пленок в зонах асимптотического их постоянства.

Эффективный метод исследования капиллярных пленочных течений, основанный на применении приближения пограничного слоя к полной краевой задаче, был предложен в Институте Механики МГУ классической работой (Шкадов, 1967), в которой из полной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса выведена система модельных уравнений, сохраняющая с большой точностью все свойства исходной постановки, связанные с действием сил капиллярности, вязкости, инерции, гравитации, но допускающая и то же время систематические и быстрые численные расчеты. Последнее обстоятельство особенно важно для анализа капиллярных течений с поверхностями раздела, исследование которых сводится к многопараметрическим моделям. В развитие этой работы был создан целый раздел гидродинамики волновых пленок, дано теоретическое истолкование основных экспериментальных фактов, решена знаменитая задача П. JI. Капицы (Капица, Капица, 1949) о нелинейных волнах и открыты новые свойства нелинейных волн в системах с дисперсией и диссипацией, в частности, в капиллярных движущихся пленках. И. П. Семеновой и А. Е. Якубенко в рамках метода Шкадова была рассмотрена задача стекания пленки вязкой несжимаемой жидкости по сухой вертикальной стенке с постоянной скоростью (Семенова, Якубенко, 1980). Для задачи извлечения тела из объема жидкости при конечных скоростях извлечения расчеты возмущенной поверхности жидкости, объединяющей слой увлечения и мениск, непрерывно и гладко сопрягающихся в промежуточной области, были проведены в цикле работ коллектива В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова, А. Е. Кулаго и А. К. Такмазьян (Кула-го и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997; Кулаго и др., 1997; Такмазьян, Шкадов, 2002; Шкадов, Такмазьян, 2003). Плодотворность выдвинутых идей Шкадова была использована и другими коллективами в экспериментальных и теоретических исследованиях пленочных течений, результаты которых в частности отражены в монографиях (Холпанов, Шкадов, 1990; Алексеенко и др., 1992; Chang, Demekhin, 2002).

В настоящей работе приводятся результаты исследования систем модельных эволюционных уравнений применительно к пленочным течениям на поверхности вытягиваемых из жидкого объема нитей, вытеснения вязкой жидкости из цилиндрического капилляра, натекания жидкости на твердую поверхность под действием термокапиллярного эффекта Марангони. Эти три гидродинамические системы мениск-пленка рассмотрены в условиях высокоинтенсивных движений, когда требуется включения в математические модели всех главных нелинейных членов, связанных с инерционной частью уравнений и кривизной поверхности раздела в граничных условиях. Наряду с осесимметричными течениями рассматриваются также соответствующие им плоские мениски и пленки. Во всех случаях построение моделей сопровождается их численным решением и математическим моделированием путем варьирования основных свободных управляющих параметров. Результаты численного моделирования сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными.

Нанесение пленочных покрытий вытягиванием тела из объема жидкости На поверхности твердого тела, движущегося из жидкости в газ или другую жидкость, образуется пленка. При движении тело пересекает границу раздела фаз, увлекая за собой тонкий слой жидкости — происходит покрытие поверхности тела пленкой, а сама граница раздела вблизи поверхности тела искривляется, образуя динамический мениск. Из-за небольшой толщины пленки целесообразно рассматривать движение жидкости в пленке в рамках приближения пограничного слоя, что существенно облегчает решение уравнений движения.

В первой работе (Landau, Levich, 1942), в которой было предложено решение задачи о толщине образующейся пленки на вытягиваемой вертикально вверх из объема жидкости плоской пластине, существенно предположение о порядке малости толщины пленки, таком, что силы гравитации и инерции дают пренебрежимо малый вклад в динамику жидкости в пленке и динамическом мениске. Данное предположение верно лишь при предельно малых скоростях извлечения пластины из жидкости, при Са —> 0, где

Са — число капиллярности по скорости пластины. Подход работы Ландау и Левича основан на асимптотическом сращивании профилей статического мениска и поверхности пленки, так, чтобы давление в пленке, индуцированное кривизной ее поверхности, изменялось непрерывным образом. При этом в выражении кривизны поверхности динамического мениска не учитываются нелинейные члены.

Потребности практики не могли ограничиваться только малыми скоростями вытягивания, и поэтому поиски теоретических обоснований новых экспериментальных данных, не описываемых формулой Ландау-Левича продолжались. Путем сравнения линеаризованных около асимптотического решения (в области постоянной толщины пленки) уравнения без гравитационного члена и уравнения с учетом гравитации в работе (White, Tallmadge, 1965) из формулы Ландау-Левича было получено соотношение между числом капиллярности и относительной толщиной пленки, которое применимо в более широком диапазоне по числу капиллярности. В работе (Spiers et ai, 1974) учтено в первом приближении изменение давления вдоль поперечной к пленке координате, которым в приближении пограничного слоя пренебрегают. Такое уточнение позволяет с хорошей точностью предсказывать толщину пленки, но только для достаточно вязких жидкостей, когда эффекты инерции пренебрежимо малы. Недостаток подхода работы (Landau, Levich, 1942) — разрывный профиль мениска — сохраняется и в данных работах, в них фактически используется асимптотическое сращивание профилей менисков, предложенное в (Landau, Levich, 1942). Главным результатом этих работ является отыскание зависимости безразмерной асимптотической толщины пленки вдали от мениска от числа капиллярности по скорости пластины — фактически в задаче присутствуют два безразмерных параметра (один из них неизвестен и находится при решении). Некорректность такой постановки задачи для вытягивания при конечных скоростях показана еще в работе (Tallmadge, Soroka, 1969). Задача вытягивания содержит Ф шесть размерных величин: плотность и вязкость жидкости, скорость движения пластины, толщина образующейся пленки (неизвестная), ускорение силы тяжести, поверхностное натяжение. Как легко заключить, безразмерных параметров всего три, а не два, как считается в предыдущих работах: при учете инерции кроме искомой относительной толщины пленки и числа капиллярности в задачу должен входить дополнительный параметр, выражающий физические свойства жидкости, например, число Капицы. Такие инерциальные режимы нанесения покрытий осуществляются при числах Рейнольда по толщине пленки порядка единицы: больших скоростях извлечения пластины или когда вязкость жидкости сравнительно невелика. Для жидкости, число Капицы которой существенно больше единицы, подход работ (Landau, Levich, 1942; White, Tallmadge, 1965; Spiers et al, 1974) оправдан лишь при малых скоростях извлечения, в пределе Са —> 0.

Другой предельный случай, Са —>• оо, обозначает режимы, когда скорости извлечения настолько высоки, что распределением давления в мениске из-за сил поверхностного натяжения можно пренебречь. Этот случай рассмотрен в работе (Cerro, Scriven, 1980). Полученное авторами значение безразмерной асимптотической толщины пленки несколько меньше наблюдаемого в экспериментах (Kizito et al, 1999), но оно может служить для проверки решения полной задачи с учетом инерционных, гравитационных и капиллярных сил в пределе при Са —> оо.

Непрерывный профиль динамического мениска построен в работе (Kheshgi et al, 1992). В ней решалось уравнение для поверхности мениска работы (Kheshgi, 1989), выведенное в первом приближении разложением по малому параметру — числу капиллярности — из полной системы уравнений Навье-Стокса с учетом инерционной и гравитационной составляющих. Такой подход дает сильно заниженное значение для толщины пленки, предел при Са оо меньше, чем результат работы (Cerro, Scriven, 1980).

Новый теоретический подход к задаче нанесения покрытий, учитывающий эффект инерции, предложен в (Кулаго и др., 1993). Он основан на сращивании решений профиля динамического и статического менисков в некоторой промежуточной точке, подбираемой в процессе решения. Такой подход дает построение гладкого с непрерывными третьими производными профиля динамического мениска и позволяет продвинуться в истолковании экспериментальных данных до умеренных значений Са, на порядки больших верхней границы применимости по Са формулы Ландау-Левича. Этот результат был получен из системы уравнений, учитывающей нелинейные конвективные члены в краевой задаче, роль которых возрастает с увеличением скорости движения твердой поверхности.

Теория, с учетом полной кривизны поверхности раздела, позволяющая получить абсолютно гладкий профиль мениска при вытягивании цилиндра из объема жидкости, построена в работах (Кулаго и др., 1993; Шкадов, Шкадова, 1997) в применении к задаче о пленке на круглом цилиндре. Расчетные значения толщины пленки показали хорошее соответствие с экспериментом (de Ryck, Quere, 1996; Quere, 1999). Экспериментальные данные демонстрировали тот факт, что при числах Са порядка 0,01 зависимость асимптотической толщины пленки от числа капиллярности существенно перестраивается, качественно отличается от зависимости Ландау-Левича. Результаты интегрирования системы уравнений, выведенных в работе (Шкадов, Шкадова, 1997) с учетом в граничных условиях производных от профиля свободной поверхности до третьего порядка, отразили с достаточной точностью это явление. Это решение было существенным продвижением в задаче извлечения нити из жидкости, так как полученные результаты пригодны до Са ~ 1.

Вытеснение вязкой жидкости из капилляров В процессе вытеснения вязкой жидкости другой жидкостью или газом из круглого капилляра возникает сложное течение с поверхностью раздела, которая включает в себя область динамического мениска вблизи передней точки движущегося фронта раздела и область кольцевой остаточной пленки асимптотически постоянной толщины вдали от передней точки. Экспериментальные исследования таких течений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961; Goldsmith, Mason, 1963; Aussillous, Quere, 2000) касаются, прежде всего, измерений толщины остаточного слоя на стенках капилляра и показывают, что не существует единой корреляционной кривой, которая объединяла бы все экспериментальные точки.

Решение задачи о толщине остаточной пленки на стенках капилляра при Са —0 в рамках асимптотического подхода работы Ландау и Ле-вича для задачи о пленке на пластине, вытягиваемой из объема жидкости, было предложено в работе (Bretherton, 1961). Асимптотический метод (Bretherton, 1961) развит в работе (de Ryck, 2002), где сделана попытка учесть вклад инерции при малых инерционных членах в уравнении Навье-Стокса и использована поправка в уравнениях приближения смазки, введенная в (Spiers et al., 1974) для задачи о пленке на вытягиваемой пластине. При этом в (de Ryck, 2002) критерий для определения предельной толщины пленки выбирался исходя из эмпирических соображений.

Новый подход к задаче нанесения покрытий, заключающийся в построении системы уравнений, допускающей сквозной счет от асимптотических условий постоянства толщины пленки до передней точки динамического мениска (Шкадов, Шкадова, 1997) был применен и к процессу вытеснения жидкости из капилляра как при малых, так и при больших значениях Са (Кулаго и др., 1997). Было получено хорошее согласие теоретических решений с экспериментальными данными (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961) и обнаружен немонотонный характер формы вытеснения в интервале капиллярных чисел от Са = 0, 05 до Са = 0, 5.

В настоящей работе дано развитие гидродинамической теории процесса вытеснения жидкости из капилляра, обеспечивающее возможность истолкования экспериментов при различных условиях и прежде всего для инерционных режимов вытеснения, наблюдавшихся в работе (Aussillous, Quere, 2000). Для этого система уравнений работы (Кулаго и др., 1997) обобщается посредством учета сил инерции; выводится полная система уравнений для формы поверхности раздела жидкостей при вытеснении из капилляра с учетом взаимодействия фаз. Получены численные решения данной системы для теоретического истолкования результатов эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Также получены решения, соответствующие немонотонным профилям границы раздела, и обсуждена их связь с экспериментальными данными работ (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986; Scoffoni et al., 2001).

Течение пленки под воздействием эффекта Марангони Один из способов нанесения тонкого слоя жидкости на твердую неподвижную подложку состоит в создании градиента температуры на поверхности контакта подложки с жидкостью. Вследствие этого возникает градиент поверхностного натяжения, который служит движущей силой, вызывающей растекание жидкости по подложке (эффект Марангони). При этом движение жидкости может быть направлено против действия массовых сил. Вертикальные пленки в поле силы тяжести с движущимся вверх фронтом наблюдались в экспериментах (Ludviksson, Lightfoot, 1971; Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al., 1996). В этом случае пленка ограничена снизу зоной мениска и сверху движущимся фронтом.

При движении фронта пленки на линии контакта поверхности пленки с твердой подложкой невозможно выполнение условия равенства нулю скорости жидкости на твердой поверхности. Это ограничение можно снять, предположив, что пленка распространяется не по сухой подложке, а поверх тонкого слоя жидкости ("предвестника"), возникшего в результате испарения жидкости из пленки и конденсации ее на подложке. Такой предвестник наблюдался в (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Теоретические работы (Kataoka, Troian, 1997, 1998) по исследованию термокапиллярного течения на вертикальной пластине посвящены определению профиля фронта термокапиллярной пленки. Для решения такой задачи необходимо знать условия на границах исследуемой области — асимптотическую толщину пленки вдали от фронта и толщину предвестника. Толщина пленки определяется течением в области мениска — области перехода пленки в объем жидкости. Таким образом, задача определения параметров термокапиллярного нате-кания жидкости на твердую вертикальную пластину заключается в решении уравнений движения и определении формы границы течения в области динамического мениска и в области фронта пленки. В настоящей работе представлены первые результаты по этой новой задаче, полученные интегрированием системы уравнений, характерной для подхода работы (Шкадов, Шкадова, 1997) и дополненной необходимыми граничными условиями для конкретного случая термокапиллярной пленки (Такмазьян, Шкадов, 2002).

Подробное экспериментальное исследование термокапиллярной пленки на вертикальной стенке было проведено в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Авторами этой работы было экспериментально установлено, что толщина пленки линейно зависит от приложенного градиента поверхностного натяжения. Экспериментальные измерения толщины термокапиллярной пленки были проведены также в работах (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). В работе (Fanton et al., 1996) было сделано обобщение формулы Ландау, из которой таким образом была получена формула для зависимости асимптотической толщины пленки от градиента поверхностного натяжения. При этом в области значений параметров, соответствующей эксперименту этой работы, данная формула требует поправки порядка 20% в градиенте поверхностного натяжения, в то время как результаты нашей работы в определении толщины пленки полностью соответствуют экспериментам (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996).

В настоящей работе проведен расчет профиля мениска термокапиллярной пленки для случая свободной геометрии (когда нет влияния границ объема жидкости). Полученные результаты совпадают во всем диапазоне параметров с данными экспериментов (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al., 1996). Построена модель и проведены расчеты фронта термокапиллярной пленки. Рассчитанные профили фронтов хорошо соответствуют измеренным экспериментально в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971).

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе формулируется общий подход, три последующие отражают результаты решения трех основных задач.

Заключение

Разработан эффективный метод сведения краевых задач для уравнений Навье-Стокса, описывающих неоднородные течения пленок с включением зон мениска, к модельным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Во всех трех рассмотренных частных случаях двухточечные краевые задачи для модельных систем корректны и допускают построение решений численными методами. Тем самым обеспечена возможность математического моделирования реальных пленочных течений на режимах, которые до сих пор не поддавались теоретическому истолкованию. Модифицированный вариант метода, названный методом поверхностей равных расходов, позволяет успешно исследовать также течения жидкостей и газов без поверхностей раздела, как это было продемонстрировано ранее на задаче смешения нагретых газов в дымовых трубах.

В рамках единого подхода исследованы три группы течений, в которых формирующаяся на твердой поверхности жидкая пленка соединена с жидким объемом зоной мениска. Успешно рассчитаны инерциальные режимы течений при больших значениях капиллярного числа Са, для ряда случаев впервые получено согласование расчетных и экспериментальных данных о предельной асимптотической толщине пленки и форме ограничивающей поверхности раздела. Обнаружены явления: образование немонотонных поверхностей раздела при вытеснении жидкости из капилляра; существование критического значения числа Капицы 7, разделяющего режимы извлечения плоской поверхности из жидкого объема на два типа по характеру зависимости асимптотической толщины пленки, от Са; существование двух принципиально различающихся режимов натекания жидкой пленки на твердую поверхность против действия силы тяжести, вызываемых термокапиллярным эффектом Марангони.

Вывод Представленная теория течения неоднородных пленок при больших значениях безразмерных параметров, связанных с силой тяжести и инерционными членами, представляет существенное развитие асимптотического подхода, приводящего к формуле Ландау-Левича-Дерягина, при выводе которой эти параметры полагаются равными нулю. Метод исследования может успешно применяться как к течениям с поверхностями раздела, так и к течениям однородной среды в тех случаях, когда исходная постановка задачи отбрасыванием малых членов сводится уравнениям типа пограничного слоя.

1. E. P. Bretherton. The motion of long bubbles in tubes. J. Fluid Mech., 10, 166-188, 1961.

2. P. Carles, A. M. Cazabat. The thickness of surface-tension-gradient-driven spreading films. J. Colloid Interface Sci., 157, 196-201, 1993.

3. R. L. Cerro, L. E. Scriven. Rapid free surface film flows: An integral approach. Ind. Eng. Chem. Fundam., 19, № 1, 40-50, 1980.

4. H.-C. Chang, E. A. Demekhin. Complex Wave Dynamics on Thin Films. Elsevier, 2002.

5. A. de Ryck. The effect of weak inertia on emptying of a tube. Phys. Fluids, 14, № 7, 2102-2108, 2002.

6. A. de Ryck, D. Quere. Inertial coating of a fibre. J. Fluid Mech., 311, 219-237, 1996.

7. F. Fairbrother, A. E. Stubbs. The bubble-tube method of measurement. J. Chem. Soc., № 1, 527-529, 1935.

8. X. Fanton, A. M. Cazabat, D. Quere. Thickness and shape of films driven by a Marangoni flow. Langmuir, 12, 5875-5880, 1996.

9. H. L. Goldsmith, S. G. Mason. The flow of suspensions through tubes: II. single large bubbles. J. Coll. Sci., 18, 237-261, 1963.

10. P. Groenveld. High capillary number withdrawal from viscous newtonian liquids by flat plates. Chem. Eng. Sci., 25, № 3, 33-40, 1970.

11. C. Gutfinger, J. A. Tallmadge. Films of non-newtonian fluids adhering to flat plates. AIChE J., 11, № 3, 403-413, 1965.

12. D. E. Kataoka, S. M. Troian. A theoretical study of instabilities at the advancing front of thermally driven coating films. J. Colloid Interface Sci., 192, 350-362, 1997.

13. D. E. Kataoka, S. M. Troian. Stabilizing the advancing front of thermally driven climbing films. J. Colloid Interface Sci., 203, 335-344, 1998.

14. H. S. Kheshgi. Profile equtions for film flows at moderate Reynolds numbers. AIChE J., 35, № 10, 1719-1727, 1989.

15. H. S. Kheshgi, S. F. Kistler, L. E. Scriven. Rising and falling film flows: Viewed from a first-order approximation. Chem. Eng. Sci., 47, № 3, 683-694, 1992.

16. J. P. Kizito, Y. Kamotani, S. Ostach. Experimental free coating of flows at high capillary and reynolds number. Experiments in Fluids, 27, 235-243, 1999.

17. A. Koulago, V. Shkadov, D. Quere, A. de Ryck. Film entrained by a fiber quickly drawn out of a liquid bath. Phys. Fluids, 7, № 6, 1221-1224, 1995.

18. D. Landau, V. G. Levich. Drag of a liquid by a moving plate. Acta Phys. Chim. USSR, 17, 42-54, 1942.

19. C. Y. Lee, J. A. Tallmadge. Meniscus shapes in withdrawal of flat sheets from liquid baths. Dynamic profile data at low capillary numbers. Ind. Eng. Chem. Fundam., 13, № 4, 356-360, 1974.

20. V. Ludviksson, E.N. Lightfoot. The dynamics of thin liquid films in the presence of surface-tension gradients. AIChE J., 17, 1166-1173, 1971.

21. D. Quere. Fluid coating a fiber. Annu. Rev. Fluid Mech., 31, 347-384, 1999.

22. S. Radev, V. Shkadov. On a stability of two-layer capillary jet. Theor. Appl. Mech, № 16, 68-75, 1985.

23. C. Ruyer-Quil, P. Manneville. Modeling film flows down inclined planes. Eur. Phys. J. B, 6, 277-292, 1998.

24. W. Schwartz, R. A. Cairncross, D. E. Weidner. Anomalous behavior during leveling of thin coating layers with surfactant. Phys. Fluids, 8, № 7, 1693-1695, 1996.

25. W. Schwartz, H. M. Princen, A. D. Kiss. On the motion of bubbles in capillary tubes. J. Fluid Mech., 172, 259-275, 1986.

26. J. Scoffoni, E. Lajeunesse, G. M. Homsy. Interface instabilities during displacement of two miscible fluids from a vertical pipe. Phys. Fluids, 13, № 3, 553-556, 2001.

27. E. Scriven, W. L. Suszynski. Take a closer look at coating problems. Chem. Eng. Progr., , 24-29, September 1990.

28. V. Ya. Shkadov. Hydrodynamics of slopped falling films. In M. G. Velarde, R. Kh. Zeytounian, editors, Interfacial phenomena and the Marangoni effect, pages 191-224. Springer-Verlag, 2002.

29. R. I. Spiers, С. V. Subbaraman, W. L. Wilkinson. Free coating of a newtonian liquid onto a vertical surface. Chem. Eng. Sci., 29, 389-396, 1974.

30. J. A. Tallmadge, A. J. Soroka. The additional parameter in withdrawal. Chem. Eng. Sci., 24, 377-383, 1969.

31. G. I. Taylor. Deposition of a viscous fluid on the wall of a tube. J. Fluid Mech., 10, 161-165, 1961.

32. G. F. Teletzke, H. T. Davis, L. E. Scriven. Wetting hydrodynamics. Rev. Phys. Appl, 23, 989-1007, 1988.

33. D. A. White, J. A. Tallmadge. Theory of drag out of liquids on flat plates. Chem. Eng. Sci., 20, 33-37, 1965.

34. С. В. Алексеенко, В. E. Накоряков, Б. Г. Покусаев. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск, Наука, 1992.

35. A. В. Бунов, Е. А. Демехин, В. Я. Шкадов. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 73-78, 1986.

36. E. А. Демехин, М. А. Каплан, В. Я. Шкадов. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 6, 73-81, 1987.

37. B. Е. Епихин, Г. М. Сисоев, В. Я. Шкадов. Стационарное течение составных капиллярных струй. ПМТФ, № 1, 134-138, 1989а.

38. В. Е. Епихин, Г. М. Сисоев, В. Я. Шкадов. Течение двухслойных осесиммет-ричных струй с предварительной закруткой. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 67-71, 1989b.

39. P. X. Зейтунян. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони. Успехи физических наук, 168, № 3, 259-286, 1998.

40. П. JI. Капица, С. П. Капица. Волновые течения тонких слоев жидкости. Журн. Экспер. Теор. Физ., 19, 105-120, 1949.

41. А. Е. Кулаго, В. П. Шкадова, В. Я. Шкадов. К гидродинамической теории нанесения тонкослойных покрытий на движущиеся поверхности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 2, 95-100, 1993.

42. А. Е. Кулаго, В. П. Шкадова, В. Я. Шкадов. К задаче о вытеснении вязкой жидкости из капилляра. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 4, 42-46, 1997.

43. И. П. Семенова, А. Е. Якубенко. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости по сухой стенке. Отчет НИИМех МГУ, № 2381, 1-37, 1980.

44. A. К. Такмазьян, В. Я. Шкадов. Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 3, 46-50, 2002.

45. Д. А. Тушканов, В. Я. Шкадов. Нелинейные волны в двухслойных пленках. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. (в печати), , 2003.

46. JI. П. Холпанов, В. Я. Шкадов. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела. М., Наука, 1990.

47. B. Я. Шкадов. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 1, 43-51, 1967.

48. В. Я. Шкадов. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 2, 20-25, 1968.

49. В. Я. Шкадов. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. М.: МГУ, 1973.

50. В. Я. Шкадов. Уединенные волны в слое вязкой жидкости. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, N2 1, 63-66, 1977.

51. В. Я. Шкадов, В. Е. Епихин, А. В. Бунов, Е. А. Демехин, Л. В. Филянд. Устойчивость течений с поверхностями раздела (слои жидкости, капиллярные струи). Отчет НИИМех МГУ, № 2564, 1-100, 1981.

52. В. Я. Шкадов, А. К. Такмазьян. Инерционные режимы вытеснения вязкой жидкости из капилляра. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., № 3, 2003.

53. В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова. Турбулентное смешение газов в комбинированных высотных сооружениях. Отчет НИИМех МГУ, № 4349, 1-48, 1994.

54. В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова. Инерционные режимы течения капиллярных пленок. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., N5 2, 45-50, 1997.1. Иллюстрации

55. Техника проведения эксперимента с вытягиванием пластиныF08 06 0.402 0• • •••