Влияние нелинейностей магнитного поля на динамическую апертуру циклических ускорителей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЕВИЧЕВ Евгений Борисович

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ АПЕРТУРУ ЦИКЛИЧЕСКИХ УСКОРИТЕЛЕЙ

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2004

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Зенкевич Павел Романович

Кооп

Иван Александрович Ширков

Григорий Дмитриевич

доктор физико-математических наук, ГНЦ РФ «Институт теоретической и экспериментальной физики», г.Москва. доктор физико-математических наук, Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г.Новосибирск.

доктор физико-математических наук, член-корр. РАН, Объединенный институт ядерных исследований, г.Дубна.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Курчатовский центр синхротронного излучения и нанотехнологий, РНЦ «Курчатовский Институт», г.Москва.

Защита диссертации состоится ¿¿Л_ 2004 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д.003.016.01

при Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лавретьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан ¡..-ОСЯ^Я,_ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

А.А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

По мере развития циклических ускорителей высоких энергий растет роль нелинейных явлений в динамике пучка. Это вполне естественно, так как повышение эффективности работы ускорителя, как правило, сопряжено с появлением или усилением факторов, возмущающих движение частиц. Тогда это движение уже недостаточно рассматривать в линейном приближении, и для его корректного описания следует учитывать поправки следующих порядков.

Если говорить об ускорителях электронов и позитронов, то два, по-видимому, наиболее распространенных класса таких машин - это источники синхротроенного излучения и установки со «встречными пучками (коллайде-ры). Для накопителей-источников СИ основным потребительским параметром является яркость излучения, т.е. плотность потока фотонов в фазовом пространстве источника

где I - спектральная интенсивность излучения, а ех и еу - горизонтальный и

вертикальный эмиттансы пучка электронов. Очевидным способом увеличения яркости является уменьшение фазового объема пучка, который формируется квантовыми флуктуациями излучения - и зависит от структурных функций ускорителя как

где и - параметры Твисса, а и - горизонтальная дисперси-

онная функция и ее производная. Оптимизация (1) приводит к сильнофоку-сирующим структурам с большим натуральным хроматизмом, который приходится компенсировать нелинейными магнитами - секступольными линзами.

Для коллайдеров светимость обратно пропорциональна вертикальной бетатронной функции в месте встречи

(1)

Щ*)=У,ЧI +2«,г/Ж + Рл'х •

(2)

ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА |

гага?!

которая растет в прямолинейном промежутке согласно = +$2//3*.

и может достигать в ближайших квадрупольных линзах значений в десятки и сотни метров. Это снова приводит к существенному хроматизму

где - нормализованная сила квадрупольной линзы, и к необходимости

его компенсации сильными секступольными линзами.

Кроме секступольных магнитов, которые для электрон-позитронных ускорителей являются преобладающим возмущением, источником нелинейных сил могут служить погрешности поля основных магнитных элементов ускорителя, октупольные линзы, змейки (особенно сильнополевые) и ондуляторы, пространственный заряд, вихревые токи в вакуумной камере, краевые поля магнитов и соленоидов и т.д.

Движение частицы в нелинейных полях, представляет собой частный случай более общей категории - многомерной динамической системы, чье изучение представляет несомненный интерес для многих областей науки от небесной механики до химии и биологии. В последнее время теория динамических систем вообще и гамильтоновых систем классической механики в частности переживает бурное развитие. Развиваются новые эффективные теоретические методы решения нелинейных задач, создаются алгоритмы для численного моделирования, разрабатываются новые подходы в понимании вопросов долговременной устойчивости возмущенных систем и т.п. Не вдаваясь в подробности, упомянем два важных результата, полученные за последние десятилетия.

Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) доказывает, что предельном случае малого возмущения движение является полностью устойчивым (квазипериодическим), во всяком случае, для большинства начальных условий, а траектория движения все время остается на поверхности некоторого ¡У-мерного тора (где N - число степеней свободы). В противоположном предельном случае, как было обнаружено с помощью численного моделирования, динамическая картина движения является очень сложной - стохастической - с непрерывным спектром и возможностью статистического описания некоторых средних параметров. Между этими предельными случаями лежит огромное многообразие различных явлений характеризующих переход от регулярного движения к случайному, и все это многообразие реализуется внутри одной и той же системы и подчиняется одним и тем же уравнениям.

Для циклических ускорителей нелинейность движения частиц вызывает появление ряда особенностей (зависимость частоты колебаний от амплитуды, возникновение большого числа нелинейных резонансов, ограничение области устойчивого движения пучка, искажение фазовых траекторий, ведущее к эффективному увеличению фазового объема, занимаемого пучкам, формирование стохастических областей движения и т.п.), которые могут существенно ограничивать эффективность работы установки. Иногда свойства

4

нелинейного движения используют для достижения определенных целей, например, для резонансного выпуска пучка го вакуумной камеры ускорителя, или для подавления коллективных неустойчивостей введением искусственного разброса частот колебаний частиц (затухание Ландау). Однако по большей части последствия нелинейного возмущения негативны: уменьшение времени жизни пучка, ограничение светимости или яркости синхротрон-ного излучения и т.п.

При существенном прогрессе возможностей аналитического или численного описания динамических систем следует отметить определенную нехватку экспериментальных результатов, проверяющих и подтверждающих теорию. Для одних задач (например, небесная механика) такие эксперименты проводить весьма трудно, если вообще возможно, для других - тяжело наблюдать и измерять характеристики системы. И здесь ускорители заряженных частиц представляют собой уникальный случай, поскольку параметры пучка (частота колебаний, тип и величина возмущения, связь различных мод колебаний, затухание и т.п.) могут меняться в широких пределах, а наличие развитых средств диагностики позволяет с высокой точностью измерять параметры движения.

Иными словами, циклический ускоритель, как нелинейная система, является и предметом, и удобным инструментом исследования. Этот факт привел к тому, что практически с момента появления ускорителей высоких энергий (особенно с сильной фокусировкой) проблема изучения нелинейного движения привлекала внимание многих исследователей и на сегодняшний день превратилась в большой самостоятельный раздел физики ускорителей.

Актуальность затрагиваемой темы может быть охарактеризована следующим образом. Исследование нелинейной динамики пучка является в настоящее время обязательным разделом проектирования любого современного ускорителя заряженных частиц высокой энергии. Вместе с тем, подобное исследование до сих пор не является простым и рутинным делом, требую -щим всего лишь использования хорошо известных и документированных методик. Поэтому, с одной стороны, является важным и актуальным приложение современных методов теории нелинейных динамических систем к задачам циклического ускорителя, включая

• Анализ источников нелинейного возмущения и оценка их «опасности» для конкретного режима работы ускорителя.

• Оценку влияния нелинейностей на практически важные характеристики ускорителя: время жизни, размер области устойчивости пучка, распределение плотности частиц в фазовом пространстве и т.п.

• Выработку рекомендаций по оптимизации работы ускорителя с точки зрения нелинейной динамики и коррекция влияния возмущающих факторов.

Разработку моделей, методов и алгоритмов численного интегрирования нелинейных уравнений движения частиц в циклическом ускорителе.

С другой стороны, актуальным представляется проведение специальных экспериментальных исследований с пучками в циклических ускорителях для проверки результатов аналитических и численных оценок. Здесь желательно измерение всех основных свойств и явлений нелинейной динамики для различных источников возмущения: зависимости частоты от амплитуды, искажения фазовых траекторий, нелинейных резонансов и т.п.

Цель работы

• Разработка и применение к конкретным задачам ускорителей заряженных частиц современных и эффективных теоретических методов исследования нелинейных возмущенных динамических систем.

• Исследование, классификация и сравнение различных источников нелинейного возмущения. Получение практических выражений, позволяющих оценивать их влияние на динамику пучка.

• Разработка алгоритмов и программ численного изучения динамики частиц в ускорителях для моделирования движения с учетом достаточно реалистичных граничных условий и различного рода эффектов.

• Экспериментальное гоучение нелинейной динамики пучка в накопителе электронов ВЭПП-4М, измерение основных характеристик нелинейной системы, сравнение результатов с аналитическими оценками и численным моделированием.

• Теоретическое и экспериментальное рассмотрение различных подходов и методов компенсации нелинейных ошибок движения.

Научная новизна работы

На основе современной теории канонических преобразований Ли получены выражения, описывающие характеристики нелинейного движения частицы в ускорителе для различного рода возмущений: секступольного, окту-польного, краевого поля и г.п. Впервые показано, что, по крайней мере, для некоторых типов магнитной структуры ускорителя, оценка основных гармоник секступольного возмущения может быть проведена с использованием фундаментальных параметров пучка: натурального хроматизма и горизонтального эмиттанса. Проведен подробный анализ наиболее существенного типа возмущения - секступольного, получеша практические формулы оценки нелинейного сдвига частоты во втором порядке теории возмущений и динамической апертуры. Впервые продемонстрировано, что разностный сек-ступольный резонанс = п способен существенно уменьшать дина-

мическую апертуру, несмотря на то, что движение частицы вблизи этого резонанса устойчиво.

Написаны программы, позволяющие численно моделировать 6-мерное синхробетатронное движение частиц в ускорителе для достаточно широкого набора источников нелинейного возмущения, в том числе, для потенциала возмущения, представленного не в привычном виде кусочно-постоянного приближения магнитной структуры, а в виде разложения на азимутальные гармоники. Последнее дает возможность учитывать и корректировать те гармоники потенциала, которые вносят наибольшее возмущение в движение пучка. Разработан и реализован быстрый и эффективный симплектический алгоритм численного моделирования для змеек и ондуляторов, чье магнитное поле может иметь сложную пространственную конфигурацию.

Рассмотрены в комплексе такие важные типы нелинейного возмущения, как кинематическое, октупольное, нелинейность краевого поля квадру-польной линзы, змейки и ондуляторы, нарушение симметрии магнитной структуры циклического ускорителя. Для краевого поля линзы получены простые выражения, позволяющие описать нелинейный сдвиг бетатронной частоты, используя только «линейные» параметры: градиент линзы в центре и значение бетатронных функций.

Экспериментально исследованы основные понятия нелинейной динамики, включая зависимость частоты бетатронных колебаний от амплитуды, ограничение динамической апертуры различными источниками возмущения, искажение фазовых траекторий и образование нелинейных резонансов. Впервые измерена резонансная зависимость нелинейного сдвига бетатрон-ной частоты вблизи основных секступольных резонансов, как одномерных, так и двумерных. Впервые измерялась двумерная динамическая апертура методом быстрого удара по пучку. Все результаты измерений анализируются и сравниваются с данными, полученными с помощью аналитических оценок и численного моделирования. Рассмотрены различные варианты оптимизации динамической апертуры циклического ускорителя, в том числе, впервые сформулированы условия на частоты бетатронных колебаний, позволяющие эффективно управлять основными гармониками секступольного возмущения.

Научная и практическая ценность работы

Несмотря на то, что история исследования нелинейных колебаний частиц в циклическом ускорителе насчитывает уже несколько десятилетий, рассматриваемая проблема все еще далека от полного и законченного решения. Ответы на вопросы, которые возникают каждый раз при проектировании нового ускорителя или модернизации старого - каковы основные источники нелинейного возмущения, как выбирать рабочую область бетатронных частот с точки зрения оптимизации нелинейной динамики, как получить максимальную динамическую апертуру, как скомпенсировать влияние нелинейно-стей змеек и ондуляторов и т.п. - требуют каждый раз серьезного и всестороннего рассмотрения. Кроме того, если теоретическому исследованию (осо-

бенно численному моделированию) нелинейного движения пучка посвящено достаточно большое количество литературы, то экспериментальных работ едва ли наберется полтора десятка. Поэтому, практическая и научная ценность рассматриваемой работы заключается в подробном исследовании основных типов нелинейного возмущения, получении практических выражений, позволяющих оценить характеристики возмущенной системы, проверке данных теории численным моделированием с помощью разработанного программного обеспечения, и, наконец, применении аналитических и численных результатов при экспериментальном изучении нелинейной динамики пучка в циклическом ускорителе. В частности:

• С помощью теории возмущений разработаны методики, позволяющие теоретически оценить степень влияния нелинейностей на различные характеристики движения: зависимость частоты от амплитуды, искажение инвариантных фазовых траекторий и т.п.

• Рассмотрены основные типы нелинейного возмущения, для которых получены простые аналитические выражения, позволяющие характеризовать силу возмущения.

• Разработаны компьютерные программы для численного исследования нелинейного движения частиц в ускорителе, при этом, метод гармонического трекинга существенно повышает эффективность поиска и ликвидации основных азимутальных гармоник возмущения.

• Разработаны методики экспериментально изучения нелинейной динамики циклического ускорителя, позволяющие выявлять источники возмущения и корректировать их. Так, возможность разделения нелинейной зависимости частоты колебаний от амплитуды на «постоянную» и «резонансную» (от невозмущенной бетатронной частоты) позволила выявить существенную кубическую нелинейность в линзах финального фокуса. А изучение особенностей нелинейного влияния дипольных змеек дало возможность найти схему коррекции этого влияния при помощи октупольных линз, что позволит более эффективно использовать змейки для повышения светимости накопителя ВЭПП-4М.

Апробация диссертации

Работы, положенные в основу диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах в ведущих отечественных и зарубежных центрах, таких как ИЯФ СО РАН, Объединенный институт ядерных исследований (г.Дубна), Курчатовский центр синхротронного излучения КИСИ (г.Москва), Лаборатория ядерных исследований INFN-LNF (Фраска-ти, Италия), Лаборатория DESY (Гамбург, Германия), Берлинский центр синхротронного излучения BESSY (Берлин, Германия), Объединенный европейский центр ядерных исследований CERN (Женева, Швейцария), Лабора-

тория синхротронного излучения (Дарсбери, Англия), Центр передовых технологий (Индор, Индия), университет Мельбурна и университет Перта (Австралия), Национальная лаборатория физики высоких энергий КЕК (Цукуба, Япония).

Результаты работы докладывались на российских

и международных конференциях и совещаниях, включая:

XI Всесоюзное совещание по ускорителям заряженных частиц (Дубна, 1988), 1993 Particle Accelerator Conference (Washington, USA, 1993), XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц (Протвино, 1994), European Particle Accelerator Conference EPAC'94 (London, 1994), ICFA Workshop on Nonlinear Beam Dynamics (Arcidosso, Italy, 1994), 4th International Conference on Synchrotron radiation Sources (S.Korea, 1995), European Particle Accelerator Conference EPAC'96 (Barcelona, 1996), 2nd Asian Forum on Synchrotron Radiation ICSRS-AFSR'95 (S.Korea, 1995), Asian Particle Accelerator. Conference APAC'Ol (China, 2001), 2001 Particle Accelerator Conference PAC2001 (Chicago, 2001), XVIII Совещание по ускорителям заряженных частиц (Обнинск, 2002), Workshop on eV Colliders in the 1-2 GeV Range (Alghero, Italy, 2003).

Структура работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, трех приложений и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении сформулирована направленность работы, дается краткий обзор истории изучения нелинейных колебаний применительно к циклическим ускорителям, современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в этой области, описаны структура и содержание диссертации.

Глава 1 посвящена методам теории возмущений и их применению к конкретным случаям нелинейного возмущения, свойственным циклическим ускорителям. Различные формы записи гамильтониана релятивистской частицы в стационарном магнитном поле позволяют использовать разные типы методов теории возмущений. Так, секступольный гамильтониан, записанный в виде

Я, = ß,(s) cos[/,ß,(s)cos2 <pt ~3Jyßf(s)cos2 <py]> (4)

где - канонические переменные «действие-угол», - бетатронная

функция, а - приведенная сила секступольного возмущения, удобен

для описания нелинейной системы в терминах «функций возмущения». Классическая теория Пуанкаре-Цайпеля дает возможность получить сле-

дующие уравнения (до второго порядка включительно) для исследования нелинейной системы

(5)

Здесь - гамильтониан, записанный в новых переменных, а [] - скобки Пуассона. Выбор производящей функции позволяет записать новый гамильтониан как функцию только повой переменной действия , и, тем

самым, тривиально решить задачу в данном порядке. Например, одна из важных характеристик нелинейной системы - зависимость частоты от амплитуды получается в виде

(6)

что дает

где введены функции возмущения, которые для рассматриваемого случая секступольного возмущения записываются в виде

2sin7T (V,

Функции возмущения, позволяющие аналитически исследовать такие свойства нелинейного движения как сдвиг частоты от амплитуды, ограничение динамической апертуры или искажение фазового пространства, представляют собой структурные функции, зависящие только от сил и последова-

тельности размещения магнитных элементов (включая секступольные магниты). В некотором смысле, функции возмущения играют для решения первого порядка ту же роль, какую бетатронные функции играют для теории линейных колебаний (решение нулевого порядка) частицы в циклическом ускорителе.

На рис.1 приведена зависимость двух горизонтальных функций возмущения от азимута для одной ячейки Double Bend Achromat (DBA) источника синхротронного излучения.

Рис. 1. Функции возмущения Ош($)и для магнитной

структуры DBA-типа источника СИ.

Альтернативный подход к получению аналитических выражений, описывающих характеристики нелинейной системы может быть получен на основе гармонической формы записи гамильтониана

-1{2JJ'2{2J,)£[2Bu eos(<р,-пв)+В„ eos{q>t-пв)+В.я eos(<р_ -лб)]

где пять видов гармоник имеют вид (у = 1,3)

А» = ^№(к21)я eos (М ~Ув+пв)„.

и предполагается, что сектупольные линзы, по которым идет суммирование, - точечные с интегральной силой» , а величины, снабженные под-

строчным индексом «±» записываются в виде и т.д.

Гармонический гамильтониан исследуется с помощью метода Ли канонических преобразований, который более эффективен для получения решения высоких порядков. Уравнения для гамильтониана в новых переменных получаются с помощью теории Ли в виде

где используются операторные обозначения Д, ==Э/Э0 + [,Яо] И £ = ]

Произвольная производящая функция Ли »V ликвидирует секулярность решения в каждом порядке.

Кроме удобного операторного формализма метод Ли повышает эффективность преобразования из-за того, что IV зависит от одного набора канонических переменных (а не от смешанного, как классическая производящая функция (5)). Поэтому нет необходимости на каждом этапе разрешать неявные уравнения, связывающие новые и старые переменные, и весь алгоритм может быть запрограммирован с помощью существующих систем компьютерной алгебры.

Сами гармоники возмущения (основные, отвечающие за наиболее близкие резонансы) могут быть оценены с учетом фундаментальных параметров циклического ускорителя: натурального хроматизма и функции

Н(я) = ухПх + 2ах11хПх + РхЛ'х, определяющей эмиттанс пучка. Так, для ББА-

типа магнитной структуры эта оценка выглядит как

12 \24HI

где £ - величина хроматизма, а На - значение H-функции в ахроматическом повороте.

В Главе 2 описываются основные алгоритмы и программы математического моделирования, использующиеся для исследования движения частицы в циклическом ускорителе, разработанные и реализованные в ИЯФ СО РАН при непосредственном участии автора.

Программа 6-мерного трекинга позволяет численно исследовать связанное синхро-бетатронное движение частицы с учетом элементов линейной оптики, нелинейных магнитов, соленоидов, краевого поля элементов, змеек и ондуляторов и пр. На рис.2 приведен пример работы программы - фазовые траектории частицы в 6-мерном случае.

Алгоритм гармонического моделирования позволяет заменить истинный потенциал возмущения его гармоническим представлением, так, что задача отыскания набора наиболее влиятельных гармоник и их коррекция существенно облегчаются. На рис.3 показано горизонтальное фазовое пространство частицы, полученное обычным численным решением уравнения движения и с помощью гармонического трекинга всего по трем основным гармоникам.

Рис. 3. Традиционный метод численного моделирования (слева) и гармонический тренинг с гармониками и

Часто нелинейное поле магнитных элементов имеет сложное трехмерное распределение и его трудно представить тонкими мультиполями или в кусочно-постоянном приближении (например, поля змеек и ондуляторов). Для трекинга частицы в таком поле был разработан метод канонического интегрирования, который использует двумерный массив значений вертикального магнитного поля в медианной плоскости. Такая карта поля получается естественным образом при моделировании змеек или при их измерении линейкой датчиков Холла.

По массиву значений поля восстанавливаются компоненты векторного потенциала ( и = еАу/р0, У)=-еА,1 рй), а само преобразование координат частицы от $ к 5 + Ах выглядит как

где введено обозначение: иу = Ъи!ду и аналогично для -м. В таком виде алгоритм обладает достаточно большой универсальностью, быстротой счета и удовлетворяет условиям симплектичности.

Рис.4 показывают структуру горизонтального фазового пространства с «включенной» сверхпроводящей змейкой, рассчитанного методом Рунге-Кутта и описанным выше алгоритмом. Отчетливо виден результат иесим-плектичности алгоритма Рунге-Кутта 4-го порядка. Регулярные кривые, хорошо видные справа, слева превращаются в размытые слои, которые на больших амплитудах создают ложное впечатление наличия сильной стохастической компоненты.

Рис. 4. Горизонтальные фазовые траектории с учетом поля «змейки». Интегрирование методом Рунге-Кутта (слева) и симплектическим трекингом.

Глава 3 посвящена подробному теоретическому исследованию (аналитическому и численному) случая секступольного возмущения, как наиболее существенному и важному для ускорителей электронов и позитронов. Изучение секступольных резонансов проводится по следующему сценарию.

(1) Применение нерезонансной теории возмущений (в форме метода Ли) для секступольного возмущения. Поскольку первый порядок решения не дает секулярности, оказывается необходимым расчет во втором порядке по параметру малости, который приводит к следующему гамильтониану в новых переменных (горизонтальное движение)

позволяя получить зависимость частоты колебаний от амплитуды согласно:

/Т Ч <Юг

X

Легко видеть, что эта зависимость имеет резонансный характер вблизи ух=п и V, =и/3 ,где п - целое число (рис.5).

Рис. 5. Горизонтальный нелинейный сдвиг частоты как функция невозмущенной частоты бетатронных колебаний.

Одновременно, поскольку гамильтониан не зависит от соответствующей циклической координаты, новое действие также является интегралом движения и может быть записано как функция старых канонических переменных с точностью до второго порядка в виде

СОБ^У-

V -Л

(П)

Константа 7 х находится из начальных условий, например при =0,./, =У10 (что соответствует рхО=0,х9=х(0)), решение уравнения дает фазовые траектории системы , а последняя устойчивая траекто-

рия и определяет размер динамической апертуры.

Принято считать, что использование нерезонансной теории возмущений ограничено областью бетатронных частот, где резонансные знаменатели не малы, и не препятствуют сходимости рядов решения. Иначе - приходится использовать специальную резонансную теорию, которая обеспечивает переход в специальную «вращающуюся» систему координат, позволяющий исследовать свойства изолированного резонанса.

Однако можно построить интеграл движения, не содержащий резонансных знаменателей путем домножения нового интеграла действия (11) на некоторую постоянную:

f < • V

Кг = 8тяу -втЗяУ,

Л+Зл/8Л3,;

'V -л

31> -л

(12)

Это выражение никогда не становится равным бесконечности, а инвариант позволяет находить границу области устойчивости или фазовые траектории системы, не ограничивая бетатронные частоты значениями вдали от сильных резонансов. Сам инвариант Кх может рассматриваться как «обобщенный» резонансный гамильтониан, верный для всех рассматриваемых ре-зонансов, поскольку легко показать, что в пределе новый

интеграл (12) в точности равняется обычному резонансному гамильтониану

НГ=КХ- &7Х + Зл/5Л3/2Л,, с™<р, •

(2) Получение резонансного гамильтониана, общего для всех основных резо-нансов первого порядка:

V. =п, 3 V =л, V.

Такой гамильтониан может быть записан в форме

где канонические переменные и коэффициенты свои для каждого конкретного резонанса.

В зависимости от конкретных численных значений, фазовые траектории рассматриваемой системы могут принимать вид, показанный на рис.6. Причем в соответствующих канонических переменных эти траектории свойственны всем типам как одномерных, так и двумерных секступольных резо-нансов.

Анализ фазового пространства позволяет определить многие практически важные характеристики нелинейного движения. Например, сепаратриса резонанса определяет область устойчивого движения (динамическую апертуру) вблизи соответствующего резонанса. Так, для резонанса динамическая апертура запишется как

а и - значения резонансных гармоник, определенных выше.

Рис. 6. Фазовые траектории секступольных резонансов.

Для суммового резонанса динамическая апертура запишется как

Разностный резонанс не приводит к неустойчивости, а вызывает биения амплитуды поперечных мод колебаний (рис.7), однако эти биения способны уменьшать динамическую апертуру, ограниченную другими причинами.

Оценка величины биений для случая точного резонанса дает следующие выражения, показывающие уменьшение исходной (не возмущенной разностным резонансом) динамической апертуры

где бетатронные функции берутся в месте наблюдения.

17

Рис. 7. Биения амплитуды колебаний вблизи разностного резонанса.

(3) Исследуя квадратичную нелинейность в высоких порядках теории возмущений, можно показать, что она производит все нелинейные резонансы разрешенные симметрией системы. Для первых трех порядков параметра малости эти резонансы приведены в таблице 1.

Таблица 1 Иерархия секступольных резонансов,

X У Связь

1 Ух=п ЗУх =п V, ±2уу =п

2 2Ух=П 4Ух =п ±2Уу=п ±4Уу=п 2Ух±2Уу=П

3 Ух=п ЗУХ -п 5V, =л vx±Ъry=n V, ±4уу =п ЗУх ± 2уу = п

Резонансы первых двух порядков способны уменьшать область устойчивого движения частицы до нуля, и этот факт необходимо учитывать при выборе рабочей точки частот.

Более высокие порядки резонансов не определяют динамическую апертуру непосредственно, но могут, с помощью механизма перекрытия стохастических слоев, ограничивать апертуру, задаваемую ближайшим сильным резонансом.

В качестве примера на рис.8 показано ограничение апертуры вблизи основного резонанса ух —п резонансами 5, 6, 7 и 8 порядков: начиная с частоты бетатронных колебаний -{у>х}:=0.82 резонансы перекрываются и существенно уменьшают исходную динамическую апертуру.

Анализ резонансов высоких порядков можно провести с использованием резонансного гамильтониана общего вида

Я, =5 •/ + «(/) + /(/)с(кетФ.

В частности, можно записать отношение ширины сепаратрисы к резонанс-

■5

1 — I

о

к

ООО -

О 75 О «О 089 0 90 О 9В 100

Horizontal betatron tune

Рис. 8. Горизонтальная динамическая апертура вблизи резонанса v, =1 (трекинг и расчет). Линии показывают положение центральной точки для резонансов 5, 6, 7 и 8 порядков (трекинг).

ному действию в виде

ЫИ,=С-8^\ (13)

где постоянный (вблизи резонанса) множитель, не зависящий от расстройки. Из (13) можно сделать важный вывод относительно влияния различных резонансов на устойчивость. Для п> 4, т.е., начиная с третьего порядка, при приближении к резонансу ( Sт —>0) размер резонансной области уменьшается быстрее, чем величина резонансного действия (сепаратриса как бы «схлапывается»), и при выполнении точных резонансных условий v=nlm такой резонансе влияет на устойчивость нелинейного движения. При отдалении от резонанса величина переменной действия, соответствующей точному резонансу, и размер сепаратрисы увеличиваются, однако, сепаратрисная траектория сверху и снизу (по переменной действия) окружена инвариантными траекториями. Устойчивость нарушается только в случае перекрытия стохастических слоев нескольких резонансов высокого порядка и разрушения инвариантных фазовых кривых. Границу устойчивой области при этом можно оценить с помощью критерия Чирикова, Грина или иным способом.

Весьма интересным при изучении стохастической компоненты движения динамической системы оказывается трекинг с высоким пространственным разрешением. Пример такого трекинга показан на рис.9, где приведена карта динамической апертуры с разрешением 0.05 мм. Черный цвет обозначает частицу, устойчивую в течение 1000 оборотов, белый - неустойчивую (где амплитуда нарастает экспоненциально), а оттенки серого цвета обозначают частицы с числом устойчивых оборотов <1000, т.е., попавшие в стохастическую область и медленно «диффундирующие» на большие амплитуды.

Рис.9 Области стохастического движения на границе динамической апертуры.

В Главе 4 рассматриваются различные виды возмущения, которые можно отнести к кубической нелинейности: кинематические эффекты, окту-польные линзы, краевые поля квадрупольных линз, а также нелинейность, вносимая змейками и ондуляторами и эффекты, связанные с нарушением симметрии магнитной структуры.

Кубическая нелинейность приводит к появлению зависимости частоты от амплитуды

уже в первом порядке теории возмущения, где коэффициенты могут быть рассчитаны согласно следующим выражениям:

(а) кинематическая нелинейность, задаваемая гамильтонианом

, и важная, в основном, для случая предельно малой бета-функции в месте встречи:

(б) Октупольное возмущение

< («)#(')*• К =~}к}(*)0х(*)Ру(*)сЬ,

где - приведенная сила октуполыюй линзы.

(в) Краевое поле квадрупольных линз, которое может играть существенную роль для линз финального фокуса:

где А1 ($) - сила квадрупольной линзы, а штрих обозначает производную по продольной координате. Последние выражения можно существенно упростить, введя квадратичную модель краевого спада градиента линзы:

где Рху1 и Р'ху1 - значение бетатронной функции и ее производной на краю линзы, а - центральный градиент. Приведенные формулы позволяют легко оценивать вклад краевого поля квадрупольных линз в нелинейность учитывая только параметры линейной магнитной структуры ускорителя.

Эффекты, связанные с нарушением симметрии магнитной структуры циклического ускорителя, вызваны появлением слабых «неструктурных» резонансов внутри динамической апертуры. Пример показан на рис.10, где приводится горизонтальное фазовое пространство ускорителя с восемью идентичными ячейками периодичности.

Рис. 10. Горизонтальное фазовое пространство для идеальной магнитной структуры (слева) и с нарушением симметрии.

На рис.10 слева приведена горизонтальная фазовая плоскость идеальной структуры, а справа - фазовые траектории для той же структуры с малой

ошибкой градиента (результирующее искажение бетатронных функций А/?/0<1%). В последнем случае, ввиду того, что теперь на азимуте сексту-польных линз амплитудная и фазовая бетатронные функции возмущены, видно появление несистематического резонанса, существенно уменьшившего динамическую апертуру. Можно показать, что ширина сеператрисы неструктурного резонанса по координате

где (¡с - положение центра резонансного островка. Такая зависимость требует особого внимания к линейным ошибкам структур с высокой степенью симметрии и к аккуратному выбору рабочей точки.

Эффекты, связанные со змейками и ондуляторами удобно рассматривать в декартовой системе координат , где совпадает с осью змейки. Сопровождающая система координат обозначается, как и раньше, Поля змеек способны значительно возмущать движение частиц и должны учитываться при проектировании циклических ускорителей, на которые предполагается постановка таких устройств. Поперечные нелинейные компоненты поля змейки приводят к эффектам, рассмотренным ранее. Однако даже если предположить, что вертикальное поле змейки содержит только дипольную компоненту , изменение поля в продольном направлении делает движение частицы в таком устройстве нелинейным, описываемым гамильтонианом

Я, = {р2г + р) )/2 + *2 (а2 - а в)/2 + у2ав /2,

Я2 = -х'аа'в/3 + ху2(а- аав)/2, (14)

Я3 = -х2у2(аа'-2ап -а"в)/2 +у*(а2а'-а")в/24,

где штрих обозначает производную поля по продольной координате, а угол находится (аналитически или численно) с помощью уравнения для орбиты в поле змейки

-Д= = 5ш9-$т0(О) = -— (в (сг)<Лт ■

Для периодической змейки, К.Хальбаха

Ро О

чье поле описывается

выражениями

где к£ + к* —к2 =(2я/Я„)2, а А„- период змейки, гамильтониан (14), усредненный по периоду, принимает вид

где в„ - максимальный угол отклонения пучка в змейке. Гамильтониан (16) позволяет пассчитать коягЬгЬиттиентьт нелинейности поля змейки

где ¿^ - длина змейки, а для бетатронных функций берутся средние значения. Особенно просто вклад кубической нелинейности можно записать для случая в пересчете на один период змейки:

а„ =-к —

Полученные выражения хорошо согласуются с результатами численного моделирования.

Глава 5 посвящена результатам экспериментального изучения нелинейного движения на ВЭПП-4М, которое преследовало следующие цели:

• Проверка основных теоретических представлений и результатов численного моделирования нелинейной одночастичной динамики пучка.

• Проверка и уточнение модельной магнитной структуры ВЭПП-4М, особенно в части описания нелинейностей.

• Анализ основных источников нелинейного возмущения.

• Выработка методов увеличения динамической апертуры.

Методика измерений основывалась на быстром (за время меньше одного оборота) импульсном возбуждении когерентных колебаний пучка и их наблюдении пооборотно при помощи электростатического датчика положения пучка (пикапа).

Зависимость нелинейного сдвига частоты частицы изучалась путем измерения бетатронной частоты когерентных колебаний возбужденного пучка для разных амплитуд «удара». Чувствительность измерения частоты позволила не только получить соответствующие коэффициенты нелинейной зависимости частоты в рабочей точке ВЭПП-4М, но и исследовать их поведение как функцию невозмущенной частоты, что особенно важно для секступольного возмущения, когда коэффициенты нелинейности зависят от рабочей точки резонансным образом.

Для измерения динамической апертуры был обоснован метод «половинного удара», показывающий, что истинная граница апертуры определяется тогда, когда потери пучка составляют половину исходной интенсивности. При этом, однако, нужно учитывать, что при такой потере датчик положения измеряет заниженное значение центра тяжести пучка, что необходимо учитывать при определении границы финитной области движения. Изучение пооборотной потери интенсивности пучка позволяет сделать вывод о том, механическая или динамическая апертура ограничивает его движения. Для этого, а также с целью калибровки, исследовалась процедура потерь тока пучка при введении пробника внутрь вакуумной камеры.

Рис. 11. Фазовые траектории «выше» и «ниже» резонанса Зух = 26

Фазовые траектории нелинейной системы представляют наглядный и удобный инструмент для изучения ее свойств. Исследовались фазовые траектории всех основных резонансов в окрестности рабочей точки: = 26

(рис. 11), =35 (рис. 12), суммовый и разностный секступольные резонан-

сы, а также, резонансы высоких порядков (рис.13).

Полученные данные позволили, используя технику теории возмущений, получить численные оценки величины гармоник возмущения, ответственных за соответствующие резонансы.

Исследовалась, также, зависимость частоты от амплитуды, в т.ч., вблизи основных секступольных резонансов, где резонансное поведение сексту-польной компоненты (рис.14) позволяет судить о силе кубического и квадратичного возмущений.

Динамическая апертура является важной характеристикой нелинейного движения частиц в ускорителе и существенно зависит от режима его работы.

Рис. 12. Измеренные и вычисленные фазовые траектории для

Слева - сепаратриса резонанса, справа - траектории вблизи резонанса.

Рис. 13. Резонанс llvx = 95.

Coupling detuning coefficient

Qx+2Qz=24 Ctx-2Qz»-7

40

20

Я 0

E E

£ -20

3 3

/

J

i

r

7.M ' 7.7

7.74 7.7« Qz

Рис. 14. Поведение в окрестности суммового и разностного

секступольных резонансов. 25

На рис.15 показана измеренная двумерная динамическая апертура для нескольких режимов работы ВЭШ1-4М. Обращает внимание уменьшение апертуры при включении дипольных змеек, которые используются для увеличения затухания и светимости ВЭПП-4М на низкой энергии.

Рис. 15. Динамическая апертура для различных условий.

Рис. 16. Горизонтальная апертура в окрестности секступольных резонансов связи. Положение +2Уу =24 соответствует

частоте уу - 7.72,а V, ~2Уу

-7 -частоте = 7.77

На рис.16 показана измеренная и модельная динамическая апертура в окрестности суммового и разностного секступольных резонансов. Отчетливо видно не только зануление апертуры в широкой области суммового резонанса, но и ее уменьшение на разностном резонансе, как это предсказывает теория и численное моделирование.

Отдельно исследовалось влияние двух 3-х полюсных змеек с максимальным полем 1.8 Т, установленных симметрично места встречи, и увеличивающих радиационное затухание пучка на низкой энергии. С использованием змеек связывается возможность двукратного увеличения светимости, предсказанное с помощью моделирования, однако, эксперимент показал увеличение светимости в 1.7 раза. Одним из возможных объяснений этого является наблюдаемое уменьшение динамической апертуры (рис.17).

Таблица 2 Измеренные нелинейности для разных режимов змеек ВЭПП-4М.

Змейка Октуп. корр. (А) х104, мм"2

с* Сух Суу

СЖ 0 3 -0.1 1.2 -2

Оп -3 5 3 10 8

Оп +9 5 1 3 2

Одновременно измерения показали, что включение змеек заметно перераспределяет коэффициенты нелинейности (Табл.2), в частности, меняет знак и увеличивает вертикальный коэффициент, «направляя» частицы, в «хвосте» пучка к сильному суммовому резонансу.

Поэтому была предпринята попытка увеличения апертуры с помощью коррекции кубической нелинейности, для чего подходит октупольная линза SEOQ, поскольку соотношение бетатронных функций для этой линзы ( рг =¡50 м, р 80 м,) удобно для контроля перекрестных и вертикального

коэффициентов зависимости частоты от амплитуды. Для тока SEOQ = +9 А (третья строчка таблицы 2) удалось существенно уменьшить соответствующие нелинейные коэффициенты и полностью восстановить размер горизонтальной динамической апертуры (ромбы на рис.17).

Возможность коррекции нелинейных эффектов сводится, фактически, к (а) правильному выбору бетатронных частот, (б) минимизации ведущих резонансных гармоник или их комбинации (техника функций возмущения), (в) управлению зависимостью частоты от амплитуды.

При выборе рабочей точки приходится руководствоваться не только тривиальной отстройкой от сильных структурных резонансов низких резо-нансов, но и учитывать слабые неструктурные резонансы, к которым могут привести малые ошибки магнитного поля (нарушение симметрии кольца), а также, принимать во внимание возможность коррекций гармоник возмущения.

При коррекции гармоник возмущения проблемой является то, что, как правило, динамическую апертуру определяют несколько гармоник разных типов с разными фазовыми множителями, так что при уменьшении одной гармоники другие могут возрастать. Например, даже в простейшем случае

при у, ~п , где и-целое, горизонтальная апертура определяется гармониками А и Л , а вертикальная - гармоникой В.

VEPP-4M DA at SRP3 (wigglers on/off)

01 2 345678 Ах (mm)

Рис. 17. Динамическая апертура ВЭПП-4М, измеренная с включенными/выключенными змейками.

Возможность управления несколькими гармониками определяется поведением их фазовых функций вида Q =1,3)

Для рассматриваемого примера целого резонанса условие возможно-

сти одновременного уменьшения основных гармоник минимальным числом семейств секступольных линз приводит к выбору бетатронной частоты (на ячейку периодичности) |{Vx}|< 0.167. Аналогично для резонансов связи

легко получить условие на нецелую часть набега фазы по вертикали в виде |{vy|<0.241. На рис.18 показана динамическая апертура источника СИ со

структурой типа DBA, увеличенная с использованием 2-х семейств сексту-польных линз.

Эксперимент по управлению секступольными гармониками возмущения проводился на накопителе ВЭПП-4М вблизи резонанса 3vx —п, для которого можно было с хорошей точностью измерить фазовые траектории. Уменьшение гармоники резонанса А316 почти в 2 раза с помощью перераспределения сил секступольных линз действительно приводит к уменьшению искажения фазовых траекторий (рис.19).

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

(ст)

Рис. 18. Динамическая апертура до и после гармонической коррекции.

о

РЬазаХ

Рис. 19. Фазовые траектории при различной величине резонансной.

гармоники.

Эксперименты по увеличению динамической апертуры ВЭПП-4М, ограниченной змейками, с помощью октупольных линз демонстрируют еще один подход к управлению параметрами нелинейной системы.

Увеличение динамической апертуры с помощью октупольных линз осложнено двумя факторами. Во-первых, вместе с коррекцией Нелинейности, за которую отвечает нулевая гармоника азимутального распределения окту-польного поля, остальные гармоники возбуждают резонансы различных по-

рядков, способные уменьшать область устойчивого движения частиц. Во-вторых, поведение частоты колебаний частицы от амплитуды имеет вид

Причем коэффициенты высоких порядков, с одной стороны, очень сложно рассчитываются, а с другой - играют существенную роль при больших амплитудах, т.е., именно на границе области устойчивости.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. С использованием канонической теории Ли разработан подход и получены выражения, позволяющие исследовать движение частицы под воздействием различного рода нелинейностей в циклических ускорителях. Показано, что в ряде случаев величина основных гармоник, секступольного возмущения, может быть представлена с помощью таких фундаментальных параметров ускорителя, как, натуральный хроматизм £ и функция H(s) (энергетический «инвариант»).

2. Разработаны и реализованы программы и алгоритмы, позволяющие численно моделировать нелинейное движение частиц в циклическом ускорителе для различного рода источников возмущения и при достаточно общих «внешних» условиях. Реализован метод «гармонического» трекинга, позволяющий легко и эффективно выявлять основные азимутальные гармоники возмущения и давать рекомендации по их коррекции. Разработан метод численного канонического интегрирования уравнений движения частицы в сложном измеренном или рассчитанном магнитном поле с произвольной продольной и поперечной вариацией.

3. Подробно разобран основной для электрон-позитронных циклических ускорителей источник нелинейного возмущения движения пучка - сексту-польные линзы, компенсирующие естественный хроматизм магнитной структуры.

4. Рассмотрены существенные нелинейности в циклическом ускорителе включая октупольные линзы, краевое поле квадрупольных линз, кинематическую нелинейность, нарушение симметрии линейной оптики ускорителя, поля змеек и ондуляторов. Для всех описанных источников получены практически важные выражения для оценки зависимости частоты колебаний частицы от ее амплитуды, позволяющие оценить степень значимости и влияния соответствующего возмущения.

5. На ВЭПП-4М проведено экспериментальное исследование нелинейной динамики пучка. При этом измерялись такие важные характеристики нелинейной возмущенной системы как искажение фазовых траекторий, нелинейные резонансы, динамическая апертура и т.п. Впервые была измерена экспериментально зависимость частоты от амплитуды для случая квадратичной нелинейности, которая имеет характерное резонансное поведение вблизи определенных значений невозмущенных бетатронных частот.

6. Впервые экспериментально наблюдалось ограничение (горизонтальной) динамической апертуры вблизи разностного секступольного резонанса

7. Проведено исследование влияния на пучок электронов дипольных змеек, которые планируется использовать на ВЭПП-4М для увеличения светимости на низкой энергии. Найдена возможность компенсации нелинейности змеек с помощью октупольных линз, что приводит к восстановлению размеров динамической апертуры.

8. Рассмотрены вопросы возможного увеличения области устойчивого движения частиц, ограниченной нелинейным возмущением, включая коррекцию основных гармоник возмущения, выбор рабочей точки бетатронных частот, применение октупольных линз для управления коэффициентами зависимости частоты колебаний от амплитуды.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear Dynamics Study of the SIBERIA-2 Electron

Storage Ring. Arcidosso, Italy 1994, Workshop on nonlinear dynamics. AIP Conf. Proceedings 344,1995.

2. В.Н.Корчуганов, Е.БЛевичев, В.В.Сажаев. Компенсация хроматизма и динамическая апертура накопителя электронов «Сибирь-2» (численное моделирование). Новосибирск 1993, 37 с, Препринт ИЯФ СО РАН 93-27.

3. V.Korchuganov, E.Levichev, V.Sajaev. Chromaticity compensation and dy-

namic aperture limitation of SIBERIA-2. Proc. Of the 1993 Particle accelerators conference, May 17-20, 1993, Washington DC/IEEE, The Amer.Phys.Soc- Piscataway IEEE, 1993, v.l, p.230-232.

4. V.Korchuganov, E.Levichev, A.Phylipchenko. Treatment of the results of mag-

netic mapping of the SIBERIA-2 magnets. Proc. Of the 1993 Particle accelerators conference, May 17-20, 1993, Washington DC/ IEEE, The Amer.Phys.Soc- Piscataway IEEE, 1993, v.4, p.2793-2795.

5. Е.Левичев,..., В.Сажаев, Расчет параметров накопителя СИБИРЬ-2 с учетом результатов измерений магнитных элементов. XIV Совещание по ускорителям заряж. частиц, т.1, с. 43-50. Протвино 1994.

6. В.Н.Корчуганов,Е.БЛевичев, В.В.Сажаев. Изучение нелинейной динамики накопителя электронов СИБИРЬ-2 XIV совещание по ускорителям заряженных частиц: ИФВЭ, Протвино, 25-27 окт. 1994 г. - Протвино: Инт физики высоких энергий, 1994, с. 128.

7. E.Levichev, V.Sajaev. Nonlinear beam behaviour study using Lie transforms

Proc of the fourth European particle accelerator conference: EPAC 94,

London, 27 June-1 July 1994 - Singapore et al.: World sci., 1994. - Vol. 2.-p.902 - 904.

8. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear Dynamics Study of the SIBERIA-2 Electron Storage Ring. Arcidosso, Italy 1994, Workshop on nonlinear dynamics. AIP Conf. Proceedings 344,1995.

9. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear beam dynamics study in low-emittance light

sources using harmonic approximation. Preprint BINP 95-58,1995.

10. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear beam dynamics study of a dedicated SR source. Proceedings ofthe 4th Int. Conf. on SRS, p.166-171, S.Korea, 1995.

11. Е.Б.Левичев, В.В.Сажаев Приближение потенциала секступольного возмущения малым числом азимутальных гармоник. Новосибирск 1995, 38 с, Препринт ИЯФ СО РАН 95-58.

12. В.Киселев, ЕЛевичев, В.Сажаев, В.Смалюк, Экспериментальное изучение нелинейной динамики на накопителе ВЭПП-4М. Препринт ИЯФ 96-69,1996.

13. В.А.Киселев, Е.БЛевичев, В.В.Сажаев, В.В.Смалюк. Экспериментальное изучение динамической апертуры на накопителе ВЭПП-4М. Новосибирск, 1996. - 19 с. (Препринт / Гос. науч. центр РФ; Ин—т ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН; ИЯФ 96-71).

14. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk, Nonlinear beam dynamics study at VEPP-4M. Preprint BINP 96-67,1996.

15. V.Kiselev, E.Levichev, I.Protopopov, V.Sajaev, V.Smaluk. A nonlinear beam dynamics experiments at VEPP-4M ring. Proc. of the fifth European particle accelerator conference: EPAC 96, Sitges (Barcelona), 10-14 June 1996. -Bristol - Philadelphia: Inst. of Physics, 1996. - Vol. 2. - P. 896 - 898.

16. Е.Б.Левичев. Расчет динамической апертуры ускорителя заряженных частиц. Труды Международной школы молодых ученых «Проблемы ускорения заряженных частиц», Дубна, 2-9 сентября 1996 г. ОИЯИ, Дубна-1997, с.103-127.

17. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Dynamic aperture study at the VEPP-4M storage ring. Preprint BINP 96-71, Novosibirsk, 1996.

18. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk, Dynamic aperture measurement at the VEPP-4M storage ring, Particle Accelerators, v.57,1997, p.65-76.

19. E.Levichev and V.Sajaev, Nonlinear phase space study in a low-emittance light source using harmonic approximation, PA, 1997, Vol.56, pp.161-180.

20. E.Levichev, N.Mezentsev, A.Iwata. Conceptual design of a medical application radiation source. NIM A405 (1998) 200-207.

21. Е.Б.Левичев, В.В.Сажаев Динамическая апертура накопителя электронов с малым эмиттансом. Препринт ИЯФ СО РАН 98-52,1998 г.

22. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Experimental study of nonlinear beam dynamics at VEPP-4M. NIM A 406 (1998) 356-370.

23. V.Korchuganov, E.Levichev et al. The Nanohana 2 GeV synchrotron light source. Proc. of SR'98, NIM A448 (2000), 27.

24. Е.БЛевичев, П.А.Пиминов. Влияние краевого поля квадрупольной линзы на нелинейный сдвиг бетатронной частоты. Препринт ИЯФ 2000-14, Новосибирск 2000.

25. Е. Levichev, V.A. Kiselev, A. Naumenkov. A Dynamic Aperture of VEPP-4M. Proc. of 2001 Particle Accelerator Conference (PAC2001), Chicago, Illinois, June 18-22,2001, TPPH004, p.1659.

26. V.A.Arkhipov,..., E.B.Levichev,... Project of the Dubna electron synchrotron. NIM A 470 (2001), 1-6.

27. P.Beloshitsky, E.Levichev, I.Meshkov, I.Titkova, Effect of the superconducting wiggler on the DELSY beam dynamics, JINR Preprint E9-2003-129,23 p.

28. Е.Б.Левичев, П.А.Пиминов, Симплектический интегратор для моделирования движения частицы в сложных магнитных полях. Прикладная физика 3-2002, сс.136-142.

29. В.А.Квардаков, Е.БЛевичев, А.И.Науменков, П.А.Пиминов. Экспериментальное изучение резонансов связи на ВЭПП-4М. Труды XVIII совещания но ускорителям заряженных частиц. 1-4 октября 2002 г., Обнинск.

30. E.Antokhin,..., E.Levichev,... Multipoles of the SLS Storage Ring: Manufacturing and Magnetic Measurement Proc. of the Seventeenth International Conference on Magnetic Technology MT-17, CERN Sept 24-28,2001, IEEE Transaction Applied Superconductivity, March 2002, Vol. 12, No.l, p.51.

31. E.Levichev, P.Piminov, Dynamic aperture calculation for the DAFNE-2 project. Proc. of the Workshop on e+e- in the 1-2 GeV range: physics and accelerator prospects. 10-13 September 2003, Alghero, Italy.

ЛЕВИЧЕВ Евгений Борисович

Влияние нелинейностей магнитного поля на динамическую апертуру циклических ускорителей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Сдано в набор 13.05.2004 г. Подписано к печати 14.05.2004 г. Формат 100 х90 1/16 Объем 2,0 печ.л., 1,6 уч.-изд.л.

_-Тираж 100 экз." Бесплатно. Заказ № 31

Обработано на IBM PC и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН Новосибирск, 630090; пр. академика Лаврентьева, 11.

Ц06 87

ВВЕДЕНИЕ.

1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

1.1 Гамильтониан релятивистской частицы во внешних полях.

1.2 Классическая теория возмущений

1.3 Теория канонических преобразований Ли

1.4 Функции возмущения.

1.5 Гармоники потенциала возмущения.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ.

2.1 Общие требования к моделирующей программе.

2.2 Моделирование движения частицы в 6-мерном фазовом пространстве.

2.3 Моделирование движения частицы в гармоническом потенциале.

2.4 Моделирование змеек и ондуляторов.

3. СЕКСТУПОЛЬНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ.

3.1 Нерезонансная теория возмущения.

3.2 Свойства секступольных резонансов.

3.2.1 Универсальные свойства резонансов первого порядка малости.

3.2.2 Резонансы vx = п и 3vx =п.

3.2.3 Разностный резонанс vx - 2vy = п

3.2.4 Суммовый резонанс vx + 2v = п.

3.2.5 Резонансы второго порядка.

3.2.6 Резонансы высших порядков.

4. ДРУГИЕ ТИПЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ.

4.1 Кубическая нелинейность.

4.1.1 Гамильтониан.

4.1.2 Кинематические эффекты.

4.1.3 Октупольное возмущение.

4.1.4 Краевое поле квадрупольной линзы.

4.1.5 Сравнение кубической нелинейности различного рода.*.

4.2 Нарушение симметрии магнитной структуры.

4.3 Нелинейности змеек и ондуляторов.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

5.1 Цели и задачи.

5.2 Описание ВЭПП-4М.

5.3 Методика измерений.

5.4 Результаты измерений.

5.4.1 Фазовые траектории.

5.4.2 Зависимость частоты колебаний от амплитуды.

5.4.3 Динамическая апертура.

5.4.4 Влияние змеек на нелинейное движение.

5.5 Управление параметрами нелинейной системы.

По мере развития циклических ускорителей высоких энергий растет роль нелинейных явлений в динамике пучка. Это вполне естественно, так как повышение эффективности работы ускорителя, как правило, сопряжено с появлением или усилением факторов, возмущающих движение частиц. Тогда это движение уже недостаточно рассматривать в линейном приближении, и для его корректного описания следует учитывать поправки следующих порядков.

Источником нелинейных сил могут служить погрешности поля основных магнитных элементов ускорителя, специальные нелинейные линзы (секступольные и октуполь-ные), змейки (особенно сильнополевые) и ондуляторы, пространственный заряд, вихревые токи в вакуумной камере и т.д. Нелинейность движения частиц вызывает ряд явлений, которые могут ограничивать эффективность работы установки: зависимость частоты колебаний от амплитуды, появление большого числа нелинейных резонансов, ограничение области устойчивого движения пучка (динамическая апертура), искажение фазовых траекторий, ведущее к эффективному увеличению фазового объема, занимаемого пучкам, формирование стохастических областей движения и т.п. Иногда свойства нелинейного движения используют для достижения определенных целей, например, для резонансного выпуска пучка из вакуумной камеры ускорителя, или для подавления коллективных неустойчиво-стей введением искусственного разброса частот колебаний частиц (затухание Ландау). Однако по большей части последствия нелинейного возмущения негативны: уменьшение времени жизни пучка, ограничение светимости или яркости синхротронного излучения и т.п.

Таким образом, с одной стороны, нелинейное поведение пучка в циклическом ускорителе должно изучаться с практической точки зрения и учитываться на стадии проектирования с целью улучшения параметров и характеристик установки. С другой стороны, частица, движущаяся в нелинейных полях, является частным случаем более общей категории - многомерной динамической системы, чье изучение представляет несомненный интерес для многих областей науки от небесной механики до химии и биологии. При этом параметры пучка в ускорителе (бетатронная частота, тип и величина возмущения, связь различных мод колебаний, затухание и т.п.) могут меняться в широких пределах, а наличие развитых средств диагностики позволяет с высокой точностью измерять характеристики движения. Иными словами, циклический ускоритель, как нелинейная система, является и предметом, и удобным инструментом исследования. Этот факт привел к тому, что практически с момента появления ускорителей высоких энергий (особенно с сильной фокусировкой) проблема изучения нелинейного движения привлекала внимание многих исследователей и на сегодняшний день превратилась в большой самостоятельный раздел физики ускорителей.

В настоящее время принято (с некоторой долей упрощения) различать особенности нелинейной динамики легких и тяжелых частиц [1]. Для лептонных машин наличие мощного синхротронного излучения приводит к следующим эффектам: (а) радиационное затухание эффективно подавляет слабую неустойчивость нелинейных резонансов высоких порядков, (б) квантовый «шум» излучения приводит к тому, что частица «забывает» начальные условия за характерное время радиационного затухания соответствующей моды колебаний. Следствием этого для электронных ускорителей является, во-первых, возможность рассматривать нелинейное движение на достаточно коротком отрезке времени (порядка времени затухания) и, во-вторых, ввести иерархию сил или источников возмущения. Основным из них считается квадратичная нелинейность, вносимая секступольными магнитами, компенсирующими натуральный хроматизм. Остальные эффекты (коррекция кубической нелинейности, краевое поле магнитов и линз и т.д.), как правило, можно рассматривать в виде поправки к влиянию сильных секступолей.

Для протонных ускорителей, где затухание практически отсутствует, существенную роль играют эффекты стохастической диффузии, вызываемой и/или усиливаемой суммарным действием многих незначительных возмущающих факторов (резонансы высоких порядков, нестабильность источников питания и т.п.). Эти явления ввиду их слабости могут приводить к выбыванию частиц из пучка за времена, недостижимые для прямого моделирования на современных ЭВМ. Поэтому для таких ускорителей одной из основных задач исследования нелинейного поведения пучка является разработка и обоснование методов, позволяющих предсказывать глобальную неустойчивость системы исходя из результатов, полученных для ограниченного отрезка времени.

Далее речь пойдет о теоретическом и экспериментальном изучении динамики частицы во внешних нелинейных полях применительно к электронным ускорителям. Хотя, как уже упоминалось выше, различие между электронными и протонными машинами является слегка искусственным: для легких частиц резонансы высоких порядков и стохастические траектории, порождаемые их взаимодействием, также играют значительную роль, например, в ограничении области устойчивого движения пучка или увеличении его эмит-танса.

Дадим краткий обзор истории предмета, современного его состояния и основных результатов нелинейной динамики циклических ускорителей, полученных как теоретически (с помощью аналитических методов и численного моделирования), так и экспериментально. При этом общие положения теории нелинейных колебаний, дифференциальных уравнений, методов теории возмущений, регулярной и стохастической динамики будут, в виду обширности материала, излагаться кратко и применительно к конкретным примерам ускорительной физики. Для глубокого ознакомления с этими вопросами в целом можно порекомендовать монографии [2-5].

Принципиальным понятием теоретических работ, значительное число которых появилось в 50-х годах прошлого столетия в связи с открытием метода сильной фокусировки, является понятие нелинейного резонанса [6-10], реализующегося при следующем условии, накладываемом на бетатронные частоты: mxvx+myvy=n.

В этих работах выводится гамильтониан релятивистской частицы в сопровождающей криволинейной системе координат, который затем раскладывается в степенной ряд по каноническим переменным до появления требуемых нелинейных членов. Применение метода Боголюбова-Митропольского (первый порядок теории возмущений или метод усреднения, см. Главу 1) позволяет исключить быстроосциллирующие члены и получить «укороченные уравнения», где основную роль в возмущении линейного бетатронного движения частицы играют медленно меняющиеся слагаемые (постоянная и резонансная гармоники потенциала возмущения). Полученные инварианты движения [11] т

J + —J = const, тх где Jх у — переменные действия) позволяют делать важные выводы об устойчивости нелинейных резонансов связи в общем, не прибегая к детальному решению уравнений движения.

Особенностью нелинейных резонансов является то, что при наличии неизохронности системы (зависимости частоты колебаний от амплитуды), могут существовать устойчивые траектории колебаний даже при точном выполнении резонансных условий (в отличие от линейных резонансов). Эти траектории приводят к формированию сложной картины фазового пространства системы, влияют на стабильность движения частиц, определяют апертуру ускорителя и распределение частиц внутри апертуры.

В ранних работах предполагалась неизохронность системы первого порядка, хотя для самого сильного возмущения — секступольного это не так, зависимость частоты от амплитуды появляется во втором порядке, и требует более изощренной техники вычислений. Поэтому последующие теоретические работы, посвященные нелинейным колебаниям частиц в циклических ускорителях, развивали тему в трех направлениях: (а) более углубленное и методичное изучение нелинейных резонансов, [12-15], (б) применение более эффективных методов теории возмущений [16-20], (в) приложение результатов теории для конкретных ускорителей и сравнение их с численным расчетом и экспериментом. Из теоретических методик, применяемых для исследования устойчивости движения частицы в ускорителе можно отметить технику секулярных рядов Пуанкаре-Линдштедта [16], последовательную линеаризацию уравнений движения [17], классическую теорию возмущений Пуанкаре-Цайпеля [18], теорию канонических преобразований Ли [19].

Кроме анализа, основанного на применении функции Гамильтона, существует альтернативный подход к изучению нелинейных систем, ориентированный на построении и исследовании нелинейных отображений [44]. Конструирование пооборотных нелинейных отображений и их изучение может проводиться, например, методом «нормальных форм» [20,21] или с помощью операторной техники Ли [22]. Однако, как представляется, этот подход удобен для предсказания долговременной стабильности нелинейной системы и, требуя достаточно сложных математических выкладок, не имеет особых преимуществ при изучении эволюции нелинейной системы на коротких промежутках времени.

В 1984 г. Т.Коллинсом [23] было введено понятие нелинейных «функций возмущения», которые описывают поведение возмущенной динамической системы в нерезонансном случае. Формализм функций возмущения подробно разработан в работах [24-25] и позволяет вычислять различные характеристики нелинейных колебаний частицы (искажение фазовых траекторий, сдвиг частоты от амплитуды и пр.) учитывая весь спектр гармоник возмущенного потенциала. В резонансном случае v —>п/т формализм функций возмущения переходит в приближение изолированного резонанса (см. Главу 3).

Несколько слов необходимо сказать об определении и оценках области устойчивого движения частицы (динамической апертуры). В теории линейных бетатронных колебаний существование инварианта Куранта-Снайдера позволяет легко и однозначно определять апертуру или акцептанс ускорителя. Нелинейность приводит к искажению формы инвариантных кривых и возникновению на границе области устойчивости причудливой структуры резонансов высоких порядков, чьи стохастические слои при этом могут перекрываться. Тогда фазовый объем системы (аналог линейного акцептанса) невозможно описать аналитически, а определять его численно, особенно для двух- или трехмерного движения требует большого времени счета. Поэтому ниже мы пользуемся, может быть не бесспорным, но общепринятым и простым для оценок и сравнений определением динамической апертуры как набора таких начальных условий Ау0(Ах0), х(0) = Ах0, у(0) = Ау0, х'(0) = у'(0) = 0, при которых колебания частицы остаются устойчивыми некоторое заданное число оборотов (для электронных ускорителей это число обычно равно от ~500 оборотов до нескольких периодов синхротронных колебаний).

Теоретическая оценка динамической апертуры зависит от используемого метода. Признаком границы устойчивой области при аналитическом подходе может быть формальная расходимость рядов решения, сингулярности фазовой траектории Jа (фа ) —> оо, сильное искажение траектории AJ/J—>1, близость частоты к сильному резонансу v{A)»nlm и т.д.

Помимо теории возмущений мощным методом изучения нелинейных систем является моделирование [26], [27]. Именно численное решение позволило обнаружить одно из фундаментальных свойств нелинейных многомерных систем - наличие стохастических траекторий [28], которое в настоящее время имеет большое значение при объяснении многих явлений.

Наиболее простые и распространенные программы, моделирующие движение частицы, основываются на описании нелинейных элементов в виде набора «тонких» линз: bnm(s)x"ym -+Бптх"у"S{s-si). Такие программы автоматически удовлетворяют условию симплектичности (см. Главу 2.1), поскольку факторизация тонкими линзами строится на основе гамильтонова формализма. Линейные участки магнитной структуры, как правило, учитываются с помощью матриц, которые, для ускорения счета, могут быть приготовлены заранее до начала моделирования. Помимо нелинейностей, счетные программы более или менее реалистично (в зависимости от требований и способностей автора) учитывают другие эффекты, влияющие на динамику пучка: синхротронные колебания, излучение, ошибки и погрешности различного рода, апертурные ограничения и т.п. Чем более полной является модель ускорителя и чем больше эффектов она учитывает, тем больше времени счета требуется для получения результата. Поэтому для численного изучения адронных ускорителей, где принципиальным является моделирование движения частицы в течение 106-108 оборотов, активно разрабатывается другой класс компьютерных программ, основанный на технике нелинейных отображений:

Z(n) = T(Z(n-1)), где вектор координат 2 преобразуется пооборотно с помощью заранее сконструированного отображения Т. Размерность вектора может быть от двух до шести, в зависимости от изучаемой задачи (несвязанное или связанное бетатронное движение, или синхробетатронное движение). Основной проблемой для такого рода алгоритмов является обеспечение симплектичности счета, поскольку построить отображение, содержащее все порядки возмущения невозможно, а усечение ряда неизбежно ведет к нарушению условия симплектичности и накапливанию нежелательной ошибки. Решение этой проблемы ведется, в основном, двумя способами, один из которых, основанный на формализме операторов Ли, был предложен А.Драгтом, другой - дифференциальная алгебра - разработан М.Берцем. В настоящее время имеется обширная литература, посвященная построению такого рода отображений для ускорителей [29-32].

Результатом работы моделирующих программ является массив координат, рассчитанный в течение требуемого числа оборотов. Обработка этого массива позволяет определить зависимость частоты колебаний от амплитуды, наличие стохастической компоненты движения, построить фазовые траектории и т.д.

В качестве примера распространенных программ для численного изучения динамики частиц в циклических ускорителях можно упомянуть SAD [33], MARYLIE [34], TRANSPORT [35], RACETRACK [36], PATRICIA [37], MAD [38].

Какими бы совершенными и развитыми ни были аналитические или численные методы исследования нелинейных систем, окончательная проверка их правдоподобности всегда будет проводиться с помощью эксперимента. По-видимому, первый цикл экспериментального изучения основных характеристик таких систем применительно к циклическим ускорителям был проведен в ИЯФ СО РАН на накопителе электронов ВЭП-1 [39-42]. В указанных работах проводились исследования характерных особенностей нелинейного резонанса, взаимодействия нескольких резонансов и формирования области стохастического движения, прохождение частиц через и их захват в сепаратрису резонанса (область бетатронной автофазировки по терминологии того времени). Изучались как резонансы, внутренне присущие магнитной структуре накопителя ВЭП-1, так и искусственно возбуждаемые внешней резонансной раскачкой. Наблюдение нелинейных явлений проводилось оптическим путем с помощью диссектора [43]. В качестве результатов этих работ можно привести экспериментальное подтверждение теоретических представлений связанных с нелинейным резонансом, измерение его характеристик и сравнение их с аналитическими оценками, наблюдение возникновения стохастического слоя при взаимодействии нескольких резонансов, проверка критерия перекрытия резонансов (критерий Чирикова), стохастическое увеличение фазового объема, занимаемого пучком и пр.

Далее изучение нелинейной динамики проводились на многих ускорителях и накопителях, включая ALADDIN [45], TEVATRON [46], CERN SPS [47], TRISTAN [48] и других. Типичная схема эксперимента включает быстрое возбуждение когерентных колебаний пучка специальными магнитами или электродами и регистрация положения центра тяжести пучка в течение некоторого числа (несколько тысяч) оборотов с помощью датчиков положения. Данная методика весьма похожа на численное моделирование и позволяет изучать динамическую апертуру, зависимость частоты от амплитуды, фазовое движение, нелинейные резонансы и т.д. Необходимо, однако, учитывать распределение частиц по амплитудам, а, следовательно, по частотам, что приводит к эффекту раскогеренчивания пучка. С другой стороны, измерение времени раскогеренчивания само по себе может служить источником информации о нелинейных характеристиках системы [49,50].

Кроме метода возбуждения когерентных колебаний пучка существуют другие подходы к исследованию свойств пучка частиц в ускорителе, например, измерение поперечного эмиттанса пучка под воздействием нелинейного возмущения сканирующей проволочкой [51] или изучение скорости потерь частиц из «хвостов» функции распределения с помощью регулируемого ограничителя поперечной апертуры (скрепера) [52].

Отдельно хотелось бы упомянуть о методике изучения области устойчивого движения по измерению времени жизни пучка. В работе, проведенной на источнике синхротронного излучения BESSY-1 [53], время жизни частиц определялось как функция положения скрепера, вдвигаемого внутрь вакуумной камеры. Исследования, проведенные на установке со встречными пучками ВЭПП-2М, основывались на измерении тушековского времени жизни пучка в зависимости от амплитуды напряжения ВЧ резонатора [54]. В обоих случаях динамическая апертура обосновывалась и определялась как величина такого ограничения, при которой происходит качественное изменение поведения зависимости времени жизни.

Нелинейность движения частиц играет значительную роль в различных областях физики циклических ускорителей, многие явления и эффекты существенно меняются, и приобретают новые черты при учете поправок высших порядков. Можно кратко упомянуть влияние квадратичной нелинейности на сдвиг частоты спиновой прецессии частицы [55], наблюдение совместного действия эффектов встречи и внешней кубической нелинейности [56] с целью оптимизации светимости установки со встречными пучками, эксперименты по изучению кинематики когерентных бетатронных колебаний [57] и т.д.

Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН является одним из ведущих центров России по созданию и использованию ускорителей высоких энергий, источников СИ и установок на встречных пучках. Поэтому вопросы исследования нелинейной динамики частиц в ускорителях, а также практического применения результатов этих исследований при проектировании новых установок и оптимизации параметров уже работающих, всегда занимали заметное место в деятельности Института. Автор принимал непосредственное участие во многих таких исследованиях, включая работы по определению и оптимизации динамической апертуры источника СИ Сибирь-2 [58,59 и др.], изучение нелинейной динамики коллайдера ВЭПП-4М ([60] и ссылки далее в тексте диссертации), работы, выполненные в сотрудничестве с российскими и зарубежными ускорительными центрами [61-64]. Актуальность этой тематики обусловлена как неослабевающим интересом научной общественности, так и практической значимостью применения результатов для развития уже существующих ускорительных комплексов, и создания новых установок с предельными параметрами.

Диссертация основывается на работах, выполненных автором в ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН за период 1980-2002 гг., и посвящена аналитическому, численному и экспериментальному исследованию одночастичной нелинейной динамики в циклических ускорителях электронов. Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [58-64], [73], [87], [101], [118], [125-129] и неоднократно докладывались на российских и международных конференциях и совещаниях, включая: XI Всесоюзное совещание по ускорителям заряженных частиц (Дубна, 1988), 1993 Particle Accelerator Conference (Washington, USA, 1993), XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц (Протвино, 1994), European Particle Accelerator Conference EPAC'94 (London, 1994), ICFA Workshop on Nonlinear Beam Dynamics (Arcidosso, Italy, 1994), 4th International Conference on Synchrotron radiation Sources (S.Korea, 1995), European Particle Accelerator Conference EPAC'96 (Barcelona, 1996), 2nd Asian Forum on Synchrotron Radiation ICSRS-AFSR'95 (S.Korea, 1995), Asian Particle Accelerator Conference APAC'01 (China, 2001), 2001 Particle Accelerator Conference PAC2001 (Chicago, 2001), XVIII Совещание по ускорителям заряженных частиц (Обнинск, 2002), Workshop on eV Colliders in the 1-2 GeV Range (Alghero, Italy, 2003).

В заключение, пользуясь представившейся возможностью, автор благодарит А.Н.Скринского и Г.Н.Кулипанова за многолетнюю поддержку в работе, плодотворное сотрудничество и многочисленные обсуждения. Хочу, также, выразить свою глубокую благодарность Б.В.Чирикову, чьи фундаментальные труды в области нелинейных динамических систем были моими первыми учебниками и постоянно поддерживали интерес к рассматриваемой области.

Специальную признательность автор выражает Н.А.Мезенцеву, когда-то давно поставившему задачу по моделированию динамической апертуры циклического ускорителя, выросшую в представляемую работу, и В.Н.Корчуганову, под чьим руководством автор сформировался в физика-ускорителыцика.

Автор от всей души благодарит В.В.Вечеславова, Н.А.Винокурова, М.Зобова, И.А.Коопа, С.И.Мишнева, Е.А.Переведенцева, Д.В.Пестрикова, Г.М.Тумайкина, Д.Н.Шатилова и Ю.М.Шатунова за многочисленные плодотворные обсуждения тем, затронутых в диссертации.

Кроме того, выражаю признательность непосредственным участникам и соавторам совместных работ В.А.Квардакову, В.А.Киселеву, А.И.Науменкову, П.А.Пиминову, В.В.Сажаеву, В.В.Смалюку, а также коллективу комплекса ВЭПП-4М за помощь в проведении экспериментов.

ГАМИЛЬТОНИАН РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В СТАТИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В отсутствие электрического поля функция Гамильтона заряженной частицы имеет вид [140]

Н = с mlc2 +1 Р — — Я е с

1/2

П-1.1) где т0- масса покоя, Л - не зависящий от времени векторный потенциал магнитного поля, а Р - вектор обобщенного импульса. Пусть вначале гамильтониан (П-1.1) задан в декартовых координатах {^,у,сг}, в которой определена реперная кривая (равновесная орбита). Переход в натуральную (сопровождающую) систему координат {х,у, j}, привязанную к этой орбите, производиться каноническим образом с помощью производящей функции

F3 = -Р • ?(x,y,s) = —Р' [г0 (s) + х • X + у • J>], (П-1.2) где f0(s)~ векторное уравнение орбиты, а шляпкой обозначаются орты сопровождающего трехгранника, введенные в Главе 1.1.

Для выбранных координат {je, канонически сопряженные импульсы определяются согласно уравнениям дх ds ду где было использовано d?0/ds = S и dx/ds = h(s)S. Новый гамильтониан запишется как

Нх (x,s,y,px,p1,py\t) = c m

У+(рх-еЛх)2 +

U + Ах . (ру-еАуУ

1/2

П-1.3) где Ах, А и As — компоненты (проекции) векторного потенциала в-криволинейной системе координат. Поскольку гамильтониан (П-1.3) не зависит от времени явно, он является интегралом движения (энергией)

Н = Е = tJ(j?C)2 + (т0с2 )2 , где р - полный импульс частицы.

С помощью одного из канонических уравнений ds дН dt dp, перейдем к независимой переменной s (длина дуги равновесной траектории):

H2{x,y,px,p/,s)=-pt =-(l + hx)[eA, + ^jp2 -{рх-еАх)2-(р^~еАу)2 J, а затем разделим все выражение на полный импульс частицы р

П-1.4)

H2{x,y,px,py\s) = -^ + hx\^-A, + Jl е Рх —А р

-\Ру--Л.

П-1.5) где для удобства записи остались прежние обозначения для нормированных канонических импульсов рх=рх/р и т.д. Полный импульс частицы можно записать как р = p0(l + S),

8 = {р -р0)/р0, где р0- импульс равновесной частицы, а величину под знаком корня в (П-1.5) разложить до требуемого порядка согласно

Гл- 1 1 1 2 1 3

Ы\-сс=\—а — а--а + .

2 8 16

Теперь если записать компоненты векторного потенциала в виде ряда вблизи равновесной орбиты

Vя ,,т "> Vя' ,,т 00 v" ,,<я

Ах=У\апт— — > — > Л,= Успт——> (П-1.6)

X i—t пт „I „I ' У i—i пт „I „I ' i—t "m „I „I 4 ' т,л=0 п\ ml т,п=0 П\ т\ „,„,0 п\ т\ и воспользоваться калибровкой апт= 0. Ьп о=0, ^=0, то в результате можно получить гамильтониан (1.1.1)-(1.1.4).

Ненулевые коэффициенты (П-1.6) могут быть найдены из мультипольных коэффициентов разложения магнитного поля в окрестности равновесной орбиты согласно й Д ду 1 + hx ds

Ву \ + hx

ЗА ds ~hA. дА, дх ЗА дАх В = дх ду t

АЗИМУТАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ

Переход к переменным «действие-угод» {j, <р) для гамильтониана (1.1.1)-(1.1.4) в общем случае приводит к сумме слагаемых следующего вида:

F(s) = R-fc(s)cos(m<p + m4J(s)) + R'fs(s)sm(m<p + my¥(sj), (П-2.1) где R - средний радиус ускорителя, Т(^) = i//(s) - vO, y/(s) и v—бетатронная фаза и частота, азимутальный угол 9 = s/R, а периодическая функция /(s) зависит от вида возмущения. Например, слагаемое, отвечающее за связанное движение в случае секступольного возмущения, запишется как

П») = -f k2 (s)^2JxPx(s)2JyPy (5) cos(<?± + *Ft (5)), р± =<рх ±2<ру, = ±2vy)9.

Разложение в ряд Фурье по координате s функции (П-2.1) на периоде П = 2nR приводит к следующим выражениям кя

F(s) = Iеп cos{тср-пв) + S„ sin(тср-пв)], (П-2.2)

Д*-вО

Ся = ^ ]\fc cos{m4>(s') + пв)+ fs (s') sinks') + и0)]&', (П-2.3) S„ = — cf[- /c(s')sin(w4V) + «#)+/s(s')cos(wT(s') + n0)}is'. (П-2.4) ТГ "

ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТЫ ОТ АМПЛИТУДЫ ДЛЯ СЕКСТУПОЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ

Для гармонической формы записи гамильтониана (1.1.22) с учетом косинусных и синусных гармоник (П-2.2) - (П-2.4) использование выражений (1.5.7) - (1.5.9) позволяет получить следующую зависимость сдвига частоты

Jx+av-Jy, (П-3.1)

Д^ = aJcy-Jx+ayy-2Jy, ® ( лг , л*

-18£ 3 cin + Лгзл + v-n

3v, -п 2

2 AcinBcin + As\nBs\n Bc+n +Bs+n ^Bcn+Bs„ vx-n v -и v -n ц BC\n + BSln | BC+n + BS+« BC-n + BS-n ^ v.-n v^—n

V -n

П-3.2)

П-3.3)

П-3.4)

- где

48я-m sin sin 48я-m sin t« 48я-m sin

Bc 5

1 „1/2 . о • xm И ym п 4бяm cos

- sin

П-3.5) остальные обозначения даны в тексте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты данной работы: 1. С использованием методов канонической теории возмущений Ли разработан подход и получены выражения, позволяющие исследовать движение частицы под воздействием различного рода нелинейностей в циклических ускорителях. При этом рассматриваются все основные аспекты нелинейной динамики: искажение инвариантных фазовых траекторий, появление большого числа нелинейных резонансов и их перекрытие с образованием стохастических слоев, появление зависимости частоты колебаний системы от амплитуды и уменьшение области устойчивости пучка. Описаны два альтернативных подхода анализа нелинейного движения частицы в ускорителе: на основе функций возмущения и с помощью отдельных азимутальных гармоник потенциала. Показано, что в ряде случаев величина основных гармоник, секступольного возмущения, может быть представлена с помощью таких фундаментальных параметров ускорителя, как, натуральный хроматизм £ и функция #(s) (энергетический «инвариант»), ответственная за величину горизонтального фазового объема пучка, возбуждаемого квантовыми флуктуациями излучения:

2. Разработаны и реализованы программы и алгоритмы, позволяющие численно моделировать нелинейное движение частиц в циклическом ускорителе для различного рода источников возмущения и при достаточно общих «внешних» условиях. Возможно изучение связанного синхробетатронного движения частицы в нелинейных полях, определение динамической апертуры, фазового портрета и т.п. Реализован метод «гармонического» трекинга, позволяющий легко и эффективно выявлять основные азимутальные гармоники возмущения и давать рекомендации по их коррекции. Разработан метод численного каноч нического интегрирования уравнений движения частицы в сложном измеренном или рассчитанном магнитном поле с произвольной продольной и поперечной вариацией.

3. Подробно разобран основной для электрон-позитронных циклических ускорителей источник нелинейного возмущения движения пучка - секступольные линзы, компенсирующие естественный хроматизм магнитной структуры. Рассмотрение показывает, что на динамическую апертуру непосредственно влияют не только резонансы первого порядка возмущения vx=n, 3 vx=n, vx±2vy=n, но и резонансы второго порядка

2 vx=ny 4ух = п, ± 2vy = п, ±4 vy=n, 2vx±2vy=n, которые должны учитываться при решении таких практических вопросов как выбор рабочей точки или необходимой динамической апертуры.

Детально изучены все основные секступольные резонансы, включая двумерные резонансы связи первого порядка. Дли них получены выражения, оценивающие двумерную динамическую апертуру вблизи соответствующего резонанса. Показано, что разностный резонанс, принципиально не приводящий к неустойчивости движения частиц, тем не менее, может существенно уменьшать область устойчивого движения за счет биения амплитуды колебаний.

4. Кроме секступольного возмущения, подробно рассмотрены другие существенные нелинейности в циклическом ускорителе включая октупольные линзы, краевое поле квадру-польных линз, кинематическую нелинейность, нарушение симметрии линейной оптики ускорителя, поля змеек и ондуляторов. Для всех описанных источников получены практически важные выражения для оценки зависимости частоты колебаний частицы от ее амплитуды, позволяющие оценить степень значимости и влияния соответствующего возмущения. При этом для краевого поля квадрупольной линзы удалось найти простые формулы, связывающие нелинейные коэффициенты первого порядка

Д vx=aJx+axyJy,

Vy =axyjx +<XyyJy с параметрами только линеинои оптики:

16 л = -рх1р'у1 -ру2р'х2+рх2р'у2), yy^TT-boiPyJ'yi- РугР'у2\ 1ол где бетатронные функции и их производные берутся на краях квадрупольной линзы, а kl0 = G / Bp — центральный градиент линзы, нормированный на энергию пучка.

5. На ВЭПП-4М проведено экспериментальное исследование нелинейной динамики пучка с помощью быстрого возбуждения его когерентных колебаний и их наблюдения пообо-ротно датчиком положения пучка. При этом измерялись такие важные характеристики нелинейной возмущенной системы как искажение фазовых траекторий, нелинейные резонансы, динамическая апертура и т.п.

6. Впервые была измерена экспериментально зависимость частоты от амплитуды для случая квадратичной нелинейности, которая имеет характерное резонансное поведение вблизи определенных значений невозмущенных бетатронных частот

С -iif в

Нхр я=-х>

ЗА

1л г \

Зл ху

Р VO п

2АХйВи

В2

В2 ур „^ vx-n vx+2vy-n vx-2Vy-ny

Измерения проводились как вблизи одномерного резонанса Зух = п, так и для двумерных резонансов связи ух ±2vy=n. Как показано, подобные измерения позволяют разделять различные виды возмущения и оценивать их силу. Результаты измерения сравниваются с численным моделированием и аналитической оценкой.

7. Фазовые траектории наблюдались для различных случаев: вблизи резонанса третьего порядка 3vx = п, вблизи суммового и разностного секступольных резонансов vx ± 2vy = п, для резонанса четвертого порядка 4vx = 35. Возможность проведения оценок величины искажения фазовых траекторий с помощью разработанного аппарата теории возмущений позволяет получать численные значения гармоник возмущения и проводить сравнение их значимости. Так, показано, что в конкретном случае ВЭПП-4М основным резонансом в окрестности рабочей точки является ух + 2vy = 24.

8. Изучение динамической апертуры в широкой окрестности рабочей точки бетатронных частот ВЭПП-4М позволяет получить информацию, практически важную для работы кол-лайдера. Впервые экспериментально наблюдалось ограничение (горизонтальной) динамической апертуры вблизи разностного секступольного резонанса vx - 2vy = -7.

9. Проведено исследование влияния на пучок электронов дипольных змеек, которые планируется использовать на ВЭПП-4М для увеличения светимости на* низкой энергии. Результаты экспериментов показывают значительное уменьшение динамической апертуры полями змеек из-за дополнительной нелинейности (зависимости частоты колебаний от амплитуды). Найдена возможность компенсации нелинейности змеек с помощью окту-польных линз, что приводит к восстановлению размеров динамической апертуры.

10. Рассмотрены вопросы возможного увеличения области устойчивого движения частиц, ограниченной нелинейным возмущением, включая коррекцию основных гармоник возмущения, выбор рабочей точки бетатронных частот, применение октупольных линз для управления коэффициентами зависимости частоты колебаний от амплитуды.

1. F.Willeke. Dynamic aperture, a review of theory and experiment, Proc. of the 2nd EPAC-90, Nice, June 12-16, 1990, pp.219-223.

2. Б.В.Чириков. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт ИЯФ СО РАН 278, Новосибирск, 1969.

3. А.Лихтенберг и М.Либерман, Регулярная и стохастическая динамика. «Мир», М., 1984.

4. Н.Н.Боголюбов и Ю.А.Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1958.

5. Г.Е.О.Джакалья, Методы теории возмущений для нелинейных систем. «Наука», М., 1979.

6. Ю.Ф.Орлов, ЖЭТФ 32, 316 (1957); Нелинейная ткория бетатронных колебаний в синхротроне с жесткой фокусировкой, Диссертация, Ереван (1958).

7. E.Courant and H.Snyder, Ann. of. Phys. 3, 1 (1958).

8. A.Shoch, Theory of linear and nonlinear perturbations of betatron oscillation in alternating-gradient synchrotron, CERN, 57-21 (1958).

9. А.А.Коломенский, А.Н.Лебедев, Теория циклических ускорителей.- Физматгиз, М., 1962.

10. П.Стэррок, Статическая и динамическая электронная оптика.- «ИЛ», М., 1958.

11. И. R.Hagedorn, Stability and amplitude ranges of two-dimensional non-linear oscillations with periodical Hamiltonian, CERN 57-1 (1957).

12. A.Chao and M.Month, Particle trapping during passage through a high-order resonance, NIM 121 (1974), 129-138.

13. G.Guignard, The general theory of all sum and difference resonances in a three-dimensional magnetic field of a synchrotron, CERN 76-06 (1976).

14. G.Guignard, A general treatment of resonances in accelerators, CERN 78-11 (1978).

15. S.Ohnuma and R.L.Gluckstern, Width of nonlinear difference resonances, IEEE Trans, on Nuclear Science, Vol. NS-32, No.5, Oct.1985.

16. J.Hagel and H.Moshammer, Analytic approach of dynamic aperture by secular perturbation theory, CERN 88-04,42-51.

17. G.Guignard and H.Hagel, Sextupole correction: numerical and analytical tools, PA, Vol.16 (1985), 129.

18. R.Ruth, Single particle dynamics and nonlinear resonances in circular accelerators, SLAC-PUB-3836, November 1985.

19. L.Michelotti, Moser-like transformation using the Lie transforms, PA, Vol.16 (1985) 233.

20. A.Bazzani et al., Description of nonlinear beam dynamics in the CERN LHC by using normal form algorithms, Proc. of EPAC, 2, 887, Rome (June, 1988).

21. E.Forest, SSC-78 (1986), SSC-95 (1986)

22. E.Forest, M.Brrz, J.Irwin, Normal form methods for complicated periodic systems, PA, 24, 91 (1989).

23. T.L.Collins, Distortion functions, Fermilab Internal Report 84/114 (1984).

24. K.Y.Ng, Proc. of the 1984 summer study on the design and utilization of the SSC, Snow-mass, Colorado, 1984.

25. L.Meringma and K.Y.Ng, Fermilab Report FN-493 (1988).

26. F.Willeke, Modern tools for particle tracking, CERN 95-06, Vol.1,213-232 (1995).

27. H.Mais, G.Ripken and A.Wrulich, Particle tracking, CERN 87-03, Vol. 2, 690-705 (1987).

28. M.Hennon, C.Heiles, Astron. J., 1964, v.69, p.73.

29. A.Dragt, E.Forest, Computation of nonlinear behavior of Hamilton systems using Lie Algebra methods, J.Math.Phys. 24(12), 1983, p 2734.

30. A.Dragt et al., Lie Algebraic treatment of linear and nonlinear beam dynamics, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci. (1988) 38, p 455-495.

31. M.Berz, Differential Algebra description of beam dynamics to very high orders, SSC-152 (1988).

32. M.Berz, A survey of Differential Algebra and its use for the extraction of maps to arbitrary orders, SSC-152 (1988).

33. K.Hirata, An introduction to SAD, CERN 88-04 (1988), p.62.

34. A.Dragt et al., IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-32, 2311 (1985).

35. K.L.Brown et al., CERN 80-04, 1980.

36. A.Wrulich, DESY 84-026, 1984.

37. H.Wiedemann, PEP Note 220, SLAC, 1976.

38. F.C.Iselin et al., The MAD program, CERN/LEP-TH/87-60.

39. Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев, С.Г.Попов, Г.М.Тумайкин. Влияние нелинейности на бетатронные колебания в накопителе. Препринт ИЯФ 251, 1968 г. «Труды Всесоюзного совещания по ускорителям, Москва, 1968 г.

40. Н.С.Диканский, Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев и др. Изучение прохождения частиц через область автофазировки бетатронных колебаний за счет радиационного затухания. Труды Международной конференции по ускорителям, Ереван, 1969.

41. Г.Н.Кулипанов, С.И.Мишнев, А.Н.Скринский. Поведение пучка в накопителе при совместном действии двух резонансов бетатронных колебаний. Труды Международной конференции по ускорителям, Ереван, 1969.

42. Г.Н.Кулипанов. Экспериментальное исследование нелинейных резонансов. Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1969 г.

43. Э.И.Зинин. Методы измерения параметров пучков в накопителях с использованием синхротронного излучения, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1984.

44. F.M.Izraelev, Nearly linear mapping and their application, Physics ID (1980), 243-266.

45. J.Bridges et al., Dynamic aperture measurement at ALADDIN, PA, 1990, Vol. 28, pp. 1-9.

46. L.Meringma et al., IEEE Trans.Nucl.Sci., NS-32, No 5 (1989).

47. J.Gareyte, A.Hilaire, F.Schmidt, CERN SPS/89-2 (AMS).

48. S.Kamada et al., Nonlinear dynamics provided by sextupole magnets for the chromaticity correction of the TRISTAN main ring, PA, 1990, Vol.27, pp.221-226.

49. S.Kamada, N.Akasaka and K.Ohmi, Emittance measurement from decay rate of coherent oscillation through nonlinear filamentation, KEK Preprint 97-17 (May 1997).

50. S.Kamada, N.Akasaka and K.Ohmi, Decay rate of coherent oscillation through the nonlinear filamentation, KEK Preprint 97-261 (March 1998).

51. W.Fisher et al., The dynamic aperture experiment at the CERN SPS, CERN SL/95-96 (AP), 1995.

52. Y.Kobayashi et al., Experimental measurement of dynamic aperture at the Photon Factory storage ring, KEK Preprint 93-38 (June 1993).

53. B.Simon and P.Kuske, The dynamic aperture of BESSY, CERN 88-04, (July 1988), p.120.

54. A.A.Valishev, LN.Nesterenko, Yu.M.Shatunov, Dynamic aperture measurement at VEPP-2M, Frascati Physics Series Vol. X (1998), pp.233-238.

55. Ю.М.Шатунов, Прецизионные эксперименты с поляризованными пучками, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1897.

56. А.Б.Темных. Влияние кубической нелинейности ведущего поля накопителя на эффекты встречи на накопителе ВЭПП-4, Труды XIII Международной конференции по ускорителям частиц высоких энергий, Новосибирск, 1986, т.1, с.78.

57. Н.А.Винокуров, В.Н.Корчуганов, Г.Н.Кулипанов, Е.А.Переведенцев, Влияние хрома-тичности и кубической нелинейности на кинематику бетатронных колебаний, Препринт ИЯФ 76-87, Новосибирск, 1976.

58. E.Levichev, V.Sajaev, Nonlinear Dynamics Study of the SIBERIA-2 Electron Storage Ring. Arcidosso, Italy 1994, Workshop on nonlinear dynamics. AIP Conf. Proceedings 344, 1995.

59. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk, Dynamic aperture measurement at the VEPP-4M storage ring, Particle Accelerators, v.57, 1997, p.65-76.

60. E.Levichev, N.Mezentsev, A.Iwata, Conceptual design of a medica] application radiation source. NIM A405 (1998) 200-207.

61. V.Korchuganov, E.Levichev et al., The Nanohana 2 GeV synchrotron light source. Proc. of SR'98, NIM A448 (2000), 27.

62. P.Beloshitsky, E.Levichev, I.Meshkov, LTitkova, Effect of the superconducting wiggler on the DELSY beam dynamics, JINR Preprint E9-2003-129,23 p.

63. E.Levichev, P.Piminov, Dynamic aperture calculation for the DAFNE-2 project. Proc. of the Workshop on e+e- in the 1-2 GeV range: physics and accelerator prospects. 10-13 September 2003, Alghero, Italy, (in press)

64. J.Bengtsson, CERN 88-05, Geneva, 1988.

65. C.J.Gardner, "The vector potential in accelerator magnets", Particle Accelerators, 1991, Vol.35, pp.215-226.

66. А.А.Валишев, Исследование когерентных эффектов взаимодействия встречных пучков и динамической апертуры на накопителе ВЭПП-2М. Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 2000.

67. В.Н.Литвиненко, Е.А.Переведенцев, Расчет параметров пучка в накопителях со связью колебаний, Труды VI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, 1978 г., Дубна, т.2, стр.285.

68. AJ.Dragt, J.M.Finn, J.Math.Phys., 1976, v.17, p.2215.

69. J.R.Cary, Phys.Reports, 1981, v.79, No.2, 129-159.

70. R.L.Dewar, J.Phys A9 (1976), 2043.

71. The REDUCE computer algebra system, www.uni-koeln.de/REDUCE.

72. E.Levichev and V.Sajaev, Nonlinear phase space study in a low-emittance light source using harmonic approximation, PA, 1997, Vol.56, pp. 161-180.

73. J.Murphy, Synchrotron light source Data Book, BNL 42333, May 1996.

74. В.А.Квардаков, Магистерская диссертация, Новосибирск, 2003 г.

75. C.Iselin, CERN LEP (TH) 88-38 (1988).

76. F.Schmidt, CERN SL (AP) 94-56 (1994).

77. Y.Yan, Success in one-turn maps for dynamic aperture studies. Proceedings of the Workshop on stability of particle motion in storage rings, Upton, N.Y. (1992), p. 177.

78. Y.T.Yan, P J.Channel, M.Li, M.J.Syphers, Long term tracking with symplectic implicit one turn maps, SSCL-PREPRINT-452 (1993).

79. П.А.Пиминов, Расчет влияния гибридного вигглера с полем 5 Т на движение пучка в накопителе ВЭПП-3, Маг. диссертация, Новосибирск, 2001.

80. R.H.Helm, М J.Lee, P.L.Morton and M.Sands. Evaluation of synchrotron radiation integrals,

81. EE Trans.Nucl.Sci.20,900-901,1973.

82. Д.Шатилов, частное сообщение.

83. D.Shatilov, Part. Acc. 52, 65 (1996).

84. G.Ripken DESY Report 85-084, August 1985.

85. И.А.Кооп, Пучки продольно поляризованных электронов в накопителях для ядерно-физических экспериментов, Докт.диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 2000 г.

86. R.Nagaoka, Nonlinear dynamics with sextupoles in low emittance light source storage rings, NIMA302 (1991)9-26.

87. В.В.Вечеславов, Метод канонического интегрирования любого порядка. Препринт ИЯФ 89-35, Новосибирск, 1985.

88. Е.Б.Левичев, П.А.Пиминов, Симплектический интегратор для моделирования движения частицы в сложных магнитных полях. Прикладная физика 3-2002, сс. 136-142.

89. L.Verlet. Phys. Rev. 159,98 (1967).

90. E.Forest, K.Ohmi. KEK Report 92-14, September 1992.

91. V.Borovikov et.al. Proposal of superconducting 7 Telsa wiggler for LSU-CAMD. NIM A 405(1998)208-213. y

92. E.Forest at al. Sources of amplitude-dependent tune shift in the РЕР-П design and their compensation with octupoles. Proc. of EPAC'94, v.2, p. 1033.

93. Oide and H.Koiso. Phys.Rev.E, 47,2010 (1993).

94. E.Forest and J.Milutinovic. Nucl. Instr. and Meth., 269,474 (1988). .

95. D.C.Carey. The optics of charged particle beams. Harwood academic publishers, 1987.

96. K.G.Steffen. High energy beam optics. Interscience Publishers, New York, 1965, pp.47-62.

97. M.Bassetti. Analytical formulae for multipolar potential. DAFNE Technical Note G-26, 1994.

98. C.Biscari. Low beta quadrupole fringing field on off-axis trajectory. ALP Conf. Proceedings 344, pp.88-93, 1995.

99. G.E.Lee-Whiting. Measurement of quadrupole lens parameters. NIM 82 (1970), 157-161.

100. P.Krejik. Nonlinear quadrupole end-field effects in the CERN antiproton accumulator. IEEE CH2387-9/87/0000/-1278.

101. G.E.Lee-Whiting. Third-order aberrations of a magnetic quadrupole lens. NIM 83 (1970) 232-234.

102. В.Н.Корчуганов, Е.БЛевичев, В.В.Сажаев. Компенсация хроматизма и динамическая апертура накопителя электронов «Сибирь-2» (численное моделирование). Новосибирск 1993, 37 е., Препринт ИЯФ СО РАН 93-27.

103. J.Hagel, Invariants of betatron motion and dynamic aperture; an analytical approach. CERN/LEP-TH/86-22, 1986.

104. G.Guigdard, Overview of methods to define conditions for bounded motion. CERN 88-04, 29 July 1998, p. 17.

105. В.В.Сажаев, Динамическая апертура ускорителей с высоким хроматизмом: теория и эксперимент, Диссертация, ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 1997.

106. D.A.Dunnet, E.W.Laing, J.B.Tailor, J.Math.Phys., 1968, v.9, p. 1819.

107. E.J.N.Wilson, Nonlinear resonances, CERN 87-03, p.41, 1987.

108. R.D.Ruth. Single particle dynamics and nonlinear resonances in circular accelerators, SLAC-PUB-3 836,1985.

109. Б.В.Чириков, Атомная энергия, 1959, т.6, с.630.

110. B.V.Chirikov, An universal instability of many-dimensional oscillator systems, Phys. Rev. 52(1979).

111. SSRP Report No. 77/05, SLAC, Stanford, May 1977.

112. Н.А.Мезенцев. Генераторы синхротронного излучения в жестком рентгеновском диапазоне. Диссертация, ИЯФ, Новосибирск, 2001 г.

113. A.Ropert, High brilliance lattices and the effects of insertion devices, CERN 90-03,1990.

114. L.Smith, Effects of wigglers and undulators on beam dynamics, LBL-ESG Tech. Note-24 (1986).

115. M.Katoh and Y.Kamiya, Effects of insertion devices on beam parameters, IEEE Particle Accelerator Conference, 437 (1987).

116. K.Halbach, Transverse wiggler magnet design consideration. SSRP Report No.77/05, May 1977.

117. L.Smith, Effects of wigglers and undulators on beam dynamics. LBL-21391, ESG-24, Aug. 1986.

118. В.Смалюк. Диагностика поперечного движения в накопителе: разработка и развитие методов, их практическая реализация на комплексе ВЭПП-4М, канд.диссертация, 1999 г., ИЯФ СО РАН, Новосибирск.

119. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Dynamic aperture study at the VEPP-4M storage ring. Preprint BINP 96-71, Novosibirsk, 1996.

120. В.В.Анашин и др. Состояние работ на накопителе ВЭПП-4М. Труды Х1П Совещания по ускорителям заряженных частиц, т.1 с.369, Дубна 1993.

121. А.С.Калинин, Е.А.Симонов, В.В.Смалюк, Д.И.Шатилов. Компьютерная управление и обработка в системе диагностики пучков на комплексе ВЭПП-4. Труды XIV Совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1994.

122. P.L.Morton et al. A diagnostic for dynamic aperture. SLAC-PUB-3627, April 1985.

123. A.Ando. Distortion of beam emittance with nonlinear magnetic field. PA 15 (1984) p.177.

124. Г.Брук. Циклические ускорители заряженных частиц. «Атомиздат», М., 1970.

125. Г.Корн и Т.Корн. Справочник по математике. «Наука», М., 1968.

126. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Experimental study of nonlinear beam dynamics at VEPP-4M. NIM A 406 (1998) 356-370.

127. V.Kiselev, E.Levichev, V.Sajaev, V.Smaluk. Nonlinear beam dynamics study at VEPP-4M. BINP Preprint 96-67, 1996.

128. В.А.Квардаков, Е.Б.Левичев, А.И.Науменков, П.А.Пиминов. Экспериментальное изучение резонансов связи на ВЭПП-4М. Труды XVIII совещания по ускорителям заряженных частиц. 1-4 октября 2002 г., Обниск.

129. Коллайдер ВЭПП-4М. Отчет ИЯФ им.Г.И.Будкера СО РАН, 1998 г. с.100-105.

130. E.Levichev. VEPP-4M operation in the low energy range. HEACC'01.

131. W.Decking. Investigation of the nonlinear effects of wiggler and undulator fields on the beam dynamics of particle storage rings in the case of DORIS III, DESY 95-232, Nov 1995, Hamburg.

132. C.Milardi et al., Effects of nonlinear terms in the wiggler magnets at DAFNE, Proc. of the 2001 IEEE Particle Accelerator Conference (РАС 2001), pp.1720-1722.

133. A.B.Temnykh et al., Beam based characterization of a new 7-pole superconducting wiggler at CESR. ICFA Beam Dynamics Newsletter, No.31, Aug 2003, pp.53-57.

134. H.А.Винокуров, частное сообщение.

135. R.Chasman and K.Green. Preliminary design of a dedicated synchrotron radiation facility, IEEE Trans. Nucl. Sci., NS-22,1765 (1975).

136. E.A.Crosbie. Improvement of the dynamic aperture in Chasman-Green lattice design light source storage ring. IEEE CH2387-9/87, p.443 (1987).

137. A.W.Chao, Physics of collective beam instabilities in high energy accelerators, Willey (1993).

138. А.Б.Темных. О влиянии нулевой гармоники кубической нелинейности ведущего магнитного поля накопителя на эффекты встречи. Препринт ИЯФ 84-143, 1984 г.

139. M.Cornacchia, Y.Chen. A study of the dynamic aperture limit in TRISTAN. PA, 1985, Vol.17, pp.191-213.

140. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, М.; «Наука», 1973.