Влияние нестационарного температурного поля и закладных элементов на характер деформации порошковых материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

0030БЭ720

Пономарев Антон Васильевич

ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ЗАКЛАДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ХАРАКТЕР ДЕФОРМАЦИИ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01,02.04 Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003069720

Работа выполнена в Московском государственном университете приборостроения н информатики

Научный руководитель. доктор технических наук, профессор,

Головешкнн Василий Адамович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Зуев Владимир Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор, Ковалев Владимир Александрович

Ведущая организация.

Орловский государственный технический университет

Защита состоится « 7.1? » 91 2007г. в -/¡Г часов на заседании диссертационного совета Д 212133.04 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу:

113054, Москва, Малая Пионерская ул, д.12-18/4-6, стр.1 Московский государственный институт электроники и математики, кафедра Математического моделирования

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технический университет)

Автореферат разослан » ¿'{Л7/!^/^ 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

к. ф.-м. н. Яганов В.М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Многие проблемы современной техники требуют изделий, обладающих высокими эксплуатационными характеристиками (прочность, возможность работы в агрессивных средах, износостойкость и т д ), которые можно получать методами порошковой металлургии Особенностью подобных изделий являются их высокие прочностные свойства С этим связана трудность их последующей обработки Поэтому к изделиям, изготовленным методом порошковой металлургии, предъявляются высокие требования по соответствию геометрическим размерам

Традиционным процессом изготовления изделий из порошковых материалов является процесс горячего изостатического прессования (ТИП) порошковых материалов - процесс высокотемпературного уплотнения порошковых материалов (температуры порядка 1000 градусов по Цельсию) под действием высокого внешнего давления (порядка 1000 атмосфер)

Задача математического моделирования процесса ГИП состоит в том, чтобы спроектировать капсулу таким образом, чтобы конечная форма порошкового монолита имела проектную геометрию

Но, поскольку данная задача является физически и геометрически нелинейной, то подобная точность трудно достижима в сипу во-первых, чисто математических трудностей, во-вторых, и это главное, трудностей построения соотношений, точно описывающих данный процесс

Процесс налаживания производства порошковых изделий происходит по следующей схеме В начале разрабатывается математическая модель На основании этой модели проводится расчет и изготавливается изделие Параметры полученного изделия сравниваются с требуемыми, и на основании этою вносятся коррективы в параметры модели и процесс повторяется снова Обычно для запуска в производство необходимы две-три экспериментальные итерации Задачей, стоящей перед математическим моделированием процесса

ГИЛ в настоящее время, является стабильное получения нужного результата на второй экспериментальной итерации Для этого, как показывает опыт, первая итерация должна давать погрешность, не превышающую 10% Поэтому к математической модели процесса ГИП предъявляются следующие требования 1 она должна давать удовлетворительное первое приближение, 2 правильно учитывать зависимость конечной формы от параметров задачи, 3 позволять вносить необходимые изменения

С учетом указанных выше замечаний любое аналитическое решение задачи будет приближенным с точки зрения практических целей Роль аналитических методов состоит в выяснении характера зависимости процесса деформации от параметров, а также в выявлении тех особенностей, которые они вносят в процесс деформации

Из опыта исследования процесса ГИП известно, что многие трудно устранимые дефекты закладываются на начальной стадии процесса Известны также трудности моделирования осесимметричных изделий, содержащих закладные элементы с большой радиальной жесткостью, связанные с развитием неоднородности напряженно-деформированного состояния Математическое исследование этого явления приобретает особую актуальность, поскольку оно существенно проявляется на начальной стадии процесса Характерной особенностью порошковых материалов является существенная зависимость коэффициента теплопроводности от плотности, а предела текучести от температуры Влияние этого факта на процесс ГИП еще не достаточно изучено

Второй момент связан с исследованием влияния закладных элементов на общий характер процесса Влияние закладных элементов также может проявляться в образовании недеформируемых зон в порошке на начальном этапе процесса Некоторые особенности поведения порошкового материала проявляются у границ закладных элементов с большой радиальной жесткостью Все эти особенности требуют аналитического исследования, так как их необходимо учитывать в процессе построения математической модели и в процессе ее уточнения на основании изготовления опытных образцов

Цель работы

Цель работы состоит в исследовании влияния существенной зависимости коэффициента теплопроводности от плотности, а предела текучести от температуры на характер процесса деформации в условиях неоднородного нестационарного температурного поля, а также в исследовании влияния закладных элементов на этот процесс

Достижение поставленной цели осуществляется путем решения следующих задач

— аналитическое исследование и численное решение задачи о деформации порошкового слоя в условиях неоднородного нестационарного температурного поля,

— исследование задачи о деформации тел, чьи геометрические размеры существенно отличаются в различных направлениях в условиях неоднородного нестационарного температурного поля,

— аналитического исследования задачи о характере напряженно-деформированного состояния порошкового материала в окрестности неподвижных границ,

— аналитическое решение задачи о деформации порошкового материала с закладным элементом и ее исследования с целью выяснения условий, при которых закладной элемент экранирует поле напряжений,

— аналитическое решение задачи о нанесении порошкового покрытия на вал и ее исследования в зависимости от параметров

Научная новизна

Следует из характера рассмотренных задач и состоит в следующем

— аналитически и численно исследовано влияние неоднородного нестационарного температурного поля на процесс деформации порошкового материала с учетом указанных ранее особенностей их свойств и показано наличие на начальном этапе процесса фронта

уплотнения, характеризуемого высокими градиентами плотности и температуры,

—- показано, что для тел, чьи геометрические размеры существенно отличаются в различных направлениях, влияние фронта уплотнения приводит к различным итоговым деформациям в различных направлениях,

— аналитически исследовано напряженно-деформированное состояние порошкового материала в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью в осесимметричпой задаче,

— получены аналитические решения задач о деформации цилиндрического слоя при наличии закладного элемента, о нанесении порошкового покрытия на вал, а также проведено их исследование в зависимости от параметров

Достоверность

Достоверность результатов следует из аналитического характера решения задачи в рамках модели Грина, которая традиционно используется для описания процесса ГИП

Практическая значимость

Практическая значимость состоит в

— выявлении особенностей напряженно-деформированного состояния порошковых материалов в условиях нестационарного неоднородного температурного поля и в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью, что важно на стадии разработки математической модели и в процессе ее уточнения,

— получении аналитических решений, которые могут быть использованы для тестирования программ численного моделирования процесса горячего изостатического прессования

Апробация работы

Положения диссертационной работы были представлены на

1 Proceedings of the 2005 international conference on hot isostatic pressing Paris, May 22-25, 2005

2 IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Нижний Новгород, 22-28 августа 200бг

3 Всероссийская конференция «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» Новосибирск, 9-13 октября 2006j

4 V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» Саратов, 23-25 августа 2005г

5 VII международная научно-техническая конференция «Авиакосмические технолоти «АКТ-2006» Воронеж, 13-15 сентября 2006г

6 VIII международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» Сочи, 3-6 октября 2005г

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ Структура и объем работ

Диссертация состоиг из введения, четырех глав, основных результатов и выводов, списка использованной литературы из 116 наименований, и содержит 124 страницы текста, в том числе 5 рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследования, сформулирована практическая значимость

В первой главе изложено состояние вопроса Показано, что особенностью математического моделирования процесса ГИП является необходимость учета больших объемных пластических деформаций Это приводит к существенным трудностям, связанным с геометрической и физической нелинейностью задачи

Общие принципы построения определяющих соотношений поведения материала за пределом упругости изложены в работах Ильюшина А А , Хилла Р , Соколовского В В и других

Модели для пластически сжимаемых сред разработаны в работах Балыпина М Ю , Скорохода В В , Штерна М Б , Самарова В Н, Друянова Б А , Перельмана В Е , Александрова С Е , Raisson G , Green R J и других

Отмечается, что для описания свойств порошковых материалов в процессе ГИП традиционно используется условие текучести Грина

Проводится анализ численных методов, используемых при математическом моделировании данного процесса

Отмечается, что отдельного исследования требуют вопросы влияния нестационарного неоднородного температурного поля и закладных элементов на характер процесса деформации

Во второй главе исследуется одномерная задача о напряженно-деформированном состоянии порошкового слоя под действием внешнего давления и мгновенного нагрева одного из концов

Важность исследования одномерной задачи определяется тем, что на начальном этапе процесса порошок прогревается вблизи границ капсулы Следовательно, деформированное состояние будет близко к одноосному сжатию

Общая математическая постановка задачи моделирования процесса ГИП включает следующие моменты 1 Уравнение равновесия

diva = О 8

где а — тензор напряжений

2 Уравнение поверхности текучести в общем случае задается в виде

Ф(<та,р,т) = 0

где р - относительная плотность, Т - температура

3 Связь тензора напряжений и тензора скоростей деформаций определяется ассоциированным законом течения

6Ф

<4

4 Для описания поведения материала капсулы и закладного элемента используется условие идеальной пластичности

- о-*

где <ys - предел текучести

5 И условие несжимаемости

(I¡VII = О

где и - скорость перемещений

6 Для определения температуры используется уравнение теплопроводности

С^р— = ЖуА ( р) gradT -

Значение о\ - предела текучести материала капсулы и закладного элемента также предполагается известной функцией температурь;

Задача рассматривается в квазистатической постановке, процесс деформации считается достаточно медленным, поэтому ускорениями в уравнениях равновесия пренебрегаем Температурным расширением материала пренебрегаем

7 Для определения плотности используется уравнение неразрывности

+ pdlvu = О

Л

где и — скорость перемещении

На внешней граиице предполагается заданное равномерное давление На границе раздела «порошок - капсула» и «порошок — закладной элемент» предполагается условие неразрывности поля перемещений Предполагается, что в начальный момент относительная плотность и температура порошка известны, и постоянны по объему Внешнее давление и температура границы предполагаются известными функциями времени

Для описания механических свойств порошкового материала в данной работе используется условие текучести Грина

^ с2

о 2 /14

72-+7Г = °-; (!)

/г ]\

где а - среднее напряжение,

Б1 - интенсивность девиатора тензора напряжений, /"2 и - экспериментальные функции относительной плотности р, <у$ — предел текучести монолита (считается известной функцией температуры)

Исследуется одномерная задача прессования порошкового слоя (вдоль оси X)

Уравнение поверхности текучести для одномерной постановки имеет вид

СТЛ-=С75 -д--(2)

Для определения температуры Т используется уравнение теплопроводности

от дх ох дх

где С„ - коэффициент теплоемкое га единицы объема монолита, Я -коэффициент теплопроводности, зависящий от плотности р, II - скорость перемещений, / - время

Для определения плотности используется закон сохранения массы

Данная система уравнении при соответствующих начальных и граничных условиях определяет математическую постановку задачи Отметим, чго традиционно начальная температура и плотность считаются постоянными по объему

Считается, что в точке х = 0 поддерживается постоянная темпера!ура Tt, а начальная температура слоя равна То, а также, что напряжение ах является известной величиной crY = —F Тогда, в силу уравнения равновесия, ах =-F во всем объеме

Поскольку <ух = —F постоянная величина, а <ть=<т5 (Г) известная функция температуры и при этом _/, и /2 являются известными функциями плотности, то уравнение (2) в рассматриваемой постановке определяет р как известную функцию температуры р{Т)

При F2 < сг2 ^ (Ро ~ начальная плотность порошка)

материал не деформируется, его плотность равна начальной плотности р0 и он допускает лишь перемещения как жесткого тела

Следовательно, материал разбивается на две зоны - зона наличия деформаций, прилегающая к нагретому краю и зона, в которой деформации отсутствуют Границы этой зоны определяются из условия

и соответствуют температуре Т-Ти, определяемой данным соотношением

В Лагранжевой системе координат уравнение теплопроводности запишется в виде

Начальные и граничные условия для уравнения (5) в данной постановке имеют вид Т = Г0 при / = О, Т-Тх при х = 0

9

дт д( (ЛрдтЛ

Bt oxl р„ ох /

(5)

Учитывая, что плотность в данной постановке является функцией температуры, коэффициент теплопроводности может быть представлен в виде

Ра

где 1, вг-^

/ т _т\

Т-Т

-ч 2о у

\ (0) - функция, имеющая

Т -Т 1\ ■'о

производную, порядка единицы и Я, (б) - 0 при 0 <ви

С учетом автомодельного характера постановки, для безразмерной температуры уравнение теплопроводности имеет вид

-^-¿['■^ся! Ю

х Л.

с условиями 0 = 0 при 2 = <х>, 0 = 1 при 2 = 0, где 2 = ,-, а =

Обозначим границу зоны уплотнения Тогда при 2>2и имеем р = р0 и уравнение (6) имеет вид

= ^ (7)

¿й ¿г2

Решение этого уравнения известно

Тогда при 2 < 2^ имеем уравнение (6) с соответствующими граничными условиями, которые следуют из условия непрерывности температуры и потока при 2 = 2и и известной температуре при 2- 0

Проведенные исследования показывают, что граница зоны уплотнения 2и имеет порядок ^[р , т е 2и 2> 1

¿0 ав

В окрестности зоны уплотнения — имеет порядок — ~ , х е тоже

¿2 ¿2

много больше единицы Физически это означает наличие значительных

градиентов плотности

Численно проанализировано решение двух модельных задач

1. Сжатие холодного слоя постоянным давлением с нагревом на концах, которое проведено при следующих предположениях. Приняты зависимости вида:

а/;2' 1

Р-Ро 1"Ра

ил

6(1 -р)

где: / - 3,47, -^- = 13,87, /? = 100.

График зависимости плотности от координат для различных значений

безразмерного времени г =

у

имеет вид:

| Шаи ■■ 0,01 Чан = 0,03 Чаи - 0,05 ~1

Результаты расчёта показывают наличие области с высоким градиентом плотности. Это связано с тем, что при повышении температуры происходит уменьшение предела текучести, что приводит к уплотнению материала. Это в с»о\0 очередь увеличивает коэффициент теплопроводно^гй;. В итоге мы наблюдаем аналог движения фронта уплотнения материала. Закон движения зоны уплотнения близок к зависимости \[т, что совпадает с полученными ранее теоретическими оценками.

2. Осадка холодного порошкового слоя нагретыми плитами при заданном равномерном законе движении плит.

На данном графике мы видим распределение плотности для различных моментов времени. Средние значения плотности соответственно равны 0,7; 0,75 и 0,8, В этом случае эффект значительных 1 радистов плотности проявляется сильнее.

Исследована также плоская Задача о Деформации прямоугольного порошкового слоя, у которого один размер существенно больше другого под действием постоянного давления при мгновенном нагреве границ.

Исследование показывает, что на начальном этапе продольные деформации отсутствуют и появляются лишь при достаточном прогреве слоя. Это приводит к различным итоговым деформациям в разных направлениях.

Для конкретного примера расчеты покачали, что относительное изменение поперечного размера более чем в 4 раза превышало относительное изменение продольного.

В третьей главе рассматривается задача о характере деформации порошкового слоя в окрестности неподвижной границы в плоской осесимметричной постановке.

В данной постановке полная система уравнений имеет вид: уравнение равновесия:

сг - а

+ --~ = ° (8)

дг г

уравнение поверхности текучести

\2 / \2

.2

АА2 = ^ (9)

гд =

9 3

уравнение неразрывности

др Ву др ру л

+ 4 + ^ = 0 (10)

от ог дг г

Для постоянной начальной плотности, с учетом ассоциированного закона

течения, решение для зависимости скорости от координаты может быть

представлено в следующем параметрическом виде

где у/й = аг^д, 5 = В/ А

Г = (12)

\ Б1П Ц/

где у0 - скорость на границе г = Я, 0 < (// < <//0

Особенность решения (11-12) проявляется в том, что если скорость равна нулю хотя бы в одной точке, то она равна нулю всюду Это свидетельствует о возникновении неоднородной плотности в окрестности неподвижной границы

Для неоднородной плотности в окрестности неподвижной границы скорости радиальных деформаций существенно выше остальных, поэтом}' уравнение равновесия приближенно можно представить в виде

А ¿А 1 1 йВ

л---

(13)

дг г

{в2 йр^ вар

Физически это означает, что характер процесса близок к одноосному сжатию Математически это означает, что мы пренебрегаем отклонением вектора нормали к поверхности текучести от направления сг,, те из-за

изменения плотности меняется поверхность текучести, но направление нормали остается практически неизменным

Это позволяет найти приближенно характер распределения скорости и плотности в окрестности неподвижной границы

Р = Р* —

2 г-П

г-К

V = -

(14)

Н Я Ре

где р., - плотность на границе, Н — параметр, определяемый свойствами материала

Рассмотрена также задача о внутреннем прессовании порошкового слоя при неподвижной внешней границе и показано, что на начальном этапе процесса деформация локализуется в окрестности внутренней границы, при этом глубина проникания деформации АЯС имеет порядок , где ЛК, -

перемещение внутренней границы

Показано, что характер распределения скорости при постоянной плотности достаточно слабо зависит от свойств материала Благодаря этому, получены аналитические оценки характера распределения плотности вдали от неподвижной границы, которые имеют вид

р I

с

1

Ж р

л

где г = — <1, р* - плотность на бесконечности г

В четвертой главе рассматривается задача о влиянии закладного элемента на характер деформированного состояния

Рассматривается плоская осесимметричная задача деформации системы «порошок I (0 <г<Щ) - закладной элемент II (Я, <г < Л2) - порошок III (Л2 < г < Л3) - капсула IV (Д3 < г < Д,) »

Показано, что при определенных условиях закладной элемент экранируе г поле напряжений, что приводит к локализации деформации в наружном порошковом слое и оставляет внутреннюю область недеформированнои Это условие записывается в виде

где соответствующие параметры для каждой зоны определяются свойствами материала и указаны в соотношении (9)

В этом случае деформация зоны I начинается лишь после достижения соответствующей плотности порошка в зоне III

Далее подобная задача рассмотрена с учетом возможной осевой усадки При этом предполагается, что скорость деформации е. постоянна по объему, а уравнение равновесия относительно оси Z удовлетворяется интегрально, используя принцип Сен-Венана

Для порошкового материала задача определения скорости перемещений сводится к решению дифференциального уравнения

2 jo\ (r)rdr = -PR]

о

йг

-С.

^[(Я3 + Я4) с2, + (Я3 + Я4) ^ + 2 Н<е,ег] -

+

г

'-+ "Л + {Ну - Я4)+ Нц£гЕ_ + Я^.с,-] = о

ди и

где ег = —, с = — , параметры л, определяются свойствами среды 5/- г

Решение данного уравнения позволяет представить в зоне III скорости перемещений в следующем параметрическом виде

Д,

^скЩу - у/0)бшу/ + 6\Ь8(V - ^о)соэу/ ~увЪ8(у/ -ц/й)~-

и = с.г

28

\[35г-\){82+\) ГДеГ1-^-1

Поле скоростей перемещений в каждой из остальных зон представляется в виде в первой зоне, в силу осевой симметрии гг1 =вг, в зонах 2 и 4 в силу

С, с.

условия несжимаемости и = — —^г

г 2

Целью данного раздела являлось не столько получение точного решения задачи, сколько исследование характера зависимости этого решения от свойств закладного элемента

В самом общем случае задача сводится к исследованию решения системы 7 уравнений, которые мы не приводим в виду их громоздкости

Характер полученного решения исследовался в зависимости от предела текучести закладного элемента Проведенное исследование показывает следующее

1 При достаточно малом пределе текучести во всей области реализуется непрерывное поле скоростей перемещений При его росте наблюдается относительное уменьшение скорости осевых деформаций по сравнению со скоростями радиальных деформаций в зоне, между капсулой и закладным

элементом, а также относительное уменьшение скоростей радиальных деформаций в зоне внутри закладного элемента

2 Начиная с некоторого значения предела текучести закладного элемента, скорость терпит разрыв на его внешней границе При дальнейшем увеличении предела текучести закладного элемента наступает момент, когда деформация приобретает плоский характер При этом деформации локализуются на внешней стороне закладного элемента Фактически это означает, что закладной элемент как бы "экранирует" поле напряжений, создаваемое внешним давлением

Аналот ичная задача рассмотрена для вала, на который наносится порошковое покрытие Показано, что при малом пределе текучести вала происходит его вертикальная усадка С увеличением предела текучести наступает момент, после которого деформация приобретает плоский характер

Переход в плоское деформированное состояние при большой радиальной жесткости закладного элемента показывает принципиальную возможность исследований в направлении создания капсулы направленного действия для радиальной усадки Для вертикальной усадки такие капсулы создаются по схеме - толстые верхние и нижние границы и тонкие боковые стенки Однако их использование ограничено из-за большого расхода металла на капсулу Создание капсулы направленного действия для радиальной усадки существенно упростило бы задачу математического моделирования процесса горячего изосташческогс прессования

Выводы

1 Показано, что в условиях неоднородного нестационарного температурного поля из-за существенной зависимости коэффициента теплопроводности порошкового материала от плотности и предела текучести от температуры, у границы порошка на начальном этапе процесса формируется фронт уплотнения, характеризуемый высоким градиентом плотности, а за пределами этого фронта материал остается недеформированным

2 Показано, что в условиях неоднородного нестационарного температурного поля для тел, чьи геометрические размеры в разных направлениях существенно отличаются, формирование фронта уплотнения вблизи границ приводит к различным итоговым деформациям по различным направлениям

3 Показано, что в окрестности неподвижного закладного элемента возникает деформированное состояние, близкое к одноосному сжатию Получено аналитическое соотношение, характеризующее распределение плотности в окрестности неподвижной границы Этот факт важен при уточнении модели, поскольку при одноосном сжатии возникает анизотропия свойств порошкового материала

4 Решение задачи о внутреннем прессовании цилиндрического порошкового слоя показывает, что на начальном этапе процесса деформация локализуется в окрестности внутренней границы

5 Показано, что при определенных свойствах на начальном этапе процесса, закладной элемент экранирует поле напряжений, что приводит к локализации деформаций в наружном порошковом слое и оставляет внутреннюю область недеформированной

6 Выявлено, что при определенных свойствах закладного элемента и капсулы деформация становится плоской Это открывает принципиальную возможность исследований в направлении создания капсулы направленного действия для радиальной усадки Создание такой капсулы существенно упростило бы математическое моделирование процесса

Основные публикации по теме диссертации:

1 В А Головешкин, А Р Пирумов, А В Пономарев «Особенности напряженно-деформированного состояния порошкового материала в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью» Журнал «Электромагнитные волны и электронные системы» т 11, изд «Радиотехника» Москва, август 2006г с 14-17

2 AB Анохина, В А Головешкин, А Р Пирумов, А В Пономарев «Исследование осесимметричного процесса деформации пластически сжимаемых сред при наличии неподвижной границы» Ежемесячный научно-технический и производственный журнал «Вестник машиностроения» №10 Москва, 2006г с 17-22

3 А V Goloveshkm, A R Pirumov, А V Ponomarev, М J Flaks "Modeling oí powder material behavior during HIP near the fixed border m the case of axsymmetnc deformation" Proceedings of the 2005 international conference on hot isostatic pressing Paris, May 22-25, 2005 p 176-181

4 AB Пономарев, В А Головешкин, В А Андрущенко, Н Н Холин «Осадка пластически сжимаемого слоя в условиях неоднородного температурного поля» Материалы V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» Саратов, 23-25 августа 2005г с 260-263

5 В А Головешкин, И А Калугин, А В Пономарев, М Я Флакс «О влиянии геометрии капсулы на характер напряженною состояния порошкового материала» Труды шестой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2005» Воронеж, 7-9 сентября 2005г с 196-203

6 AB Бочков, А В Пономарев, МЯ Флакс «Об экранировании напряженного состояния закладными элементами в процессе горячего изостатического прессования порошковых материалов» Труды седьмой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ2006» Воронеж, 13-15 сентября 2006г с 380-385

7 AB Пономарев «Аналитическое исследование одномерного процесса горячего изостатического прессования в условиях неоднородного нестационарного температурного потш» Сборник трудов VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» Сочи, 3-6 октября 2005г с 89-95

8 В А Головешкин, А Р Пирумов, А В Пономарев, В Л Прищеп «Автомодельное решение одномерной задачи прессования порошковых материалов в условиях нестационарного температурного поля» Сборник трудов международной научно-технической конференции «Информационные технологии и моделирование приборов и техпроцессов в целях обеспечения качества и надежности» том III, Москва, 2006г с 113117

9 В А Головешкин, А В Пономарев, В Л Прищеп «О характере напряженно-деформированною состояния порошковых материалов в условиях неоднородного нестационарного температурного поля» Сборник трудов VIII всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии» Москва, 26 апреля 2005г с 70-74

10 А В Пономарев «Деформации вала в ходе нанесения порошкового покрытия» IX всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии» Сборник трудов Москва, 26 апреля 2006г с 65-70

11 А В Пономарев «Проблемы математического моделирования процесса горячего изостатического прессования» IX всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии» Сборник трудов Москва, 26 апреля 2006г с 70-75

12 И А Калугин, А В Пономарев, В Л Прищеп «Влияние геометрии цилиндрической капсулы на характер деформированного состояния внутреннего порошкового слоя» Сборник трудов VIII всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии» Москва, 26 апреля 2005г с 78-83

13 АЯФлакс, В А Головешкин, А В Пономарев, И А Калугин «Особенности процесса горячего изостатического прессования тороидальной оболочки» Труды пятой международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2004» Воронеж, 22-24 сентября 2004г с 248-255

14 В А Головешкин, А В Пономарев, Н Н Холин «О влиянии нестационарного неоднородного температурного поля на процесс уплотнения порошковых материалов» Тезисы докладов всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» Новосибирск, 9-13 октября 2006г с 39-40

15 В А Головешкин, А В Пономарев, Н Н Холин «О характере осесимметричного процесса деформации пластически сжимаемых сред в окрестности неподвижной границы» IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов т 3 Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г III 2, з ст (27 08)

Пономарев Антон Васильевич

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 16 04 2007 г Формат 60x90, 1 /16 Объем 1,0 п л Тираж 100 экз Заказ № 150

Отпечатано в ООО "Фирма Блок" 107140, г Москва, ул Краснопрудная, вл 13 т 264-30-73 www blokOl centre narod ru Изготовление брошюр, авторефератов, печать и переплет диссертаций

Введение.

1. Обзор литературы.

2. Влияние неоднородного нестационарного температурного поля на характер деформированного состояния пластически сжимаемой среды.

2.1. Одномерная задача уплотнения материала в условиях нестационарного температурного поля

2.2. Качественное исследование одномерной задачи процесса ГИП.

2.3. Аналитическое решение задачи уплотнения в нестационарном неоднородном температурном поле.

2.4. Численное решение задач прессования порошковых материалов в условиях нестационарного неоднородного температурного поля.

2.5. Некоторые особенности процесса деформации порошковых материалов в условиях неоднородного нестационарного температурного поля.

3. О характере напряженно-деформированного состояния порошковых материалов в плоской осесимметричной задаче при наличии неподвижных границ.

3.1.0 характере напряженно-деформированного состояния в плоской осесимметричной задаче при наружном прессовании в окрестности неподвижной границы.

3.2. Особенности деформированного состояния при неподвижной внешней границе.

3.3. Характер напряженно-деформированного состояния вдали от неподвижных границ.

4. Влияние закладных элементов на характер процесса деформации в пластически сжимаемой среде.

4.1. Влияние свойств закладного элемента на характер процесса деформации в плоской осесимметричной задаче прессования пластически сжимаемых сред.

4.2. О влиянии закладного элемента на процесс деформации в осесимметричной задаче процесса ГИП.

4.3. Деформация вала при нанесении порошкового покрытия.

Выводы.

В настоящее время все большее значение приобретают изделия, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками. Это обусловлено существенным прогрессом в развитии техники, когда материалы традиционного качества перестали удовлетворять все более возрастающим требованиям конструкторов. Существенно расширились области применения техники, возросли требования к ее качеству, надежности, рентабельности, экологичности и многим другим параметрам. Использование при изготовлении техники принципиально новых материалов зачастую не оправдано экономическими и техническими соображениями. В то же время использование современных методов обработки тех же материалов, что использовались раньше, может дать прирост необходимых характеристик без приложения колоссальных финансовых затрат.

Одним из современных методов обработки материалов является порошковая металлургия. Она позволяет получать изделия, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и, в то же время, получать существенную экономию исходного материала. Но, как и везде, здесь тоже есть свои недостатки. Основным из них является трудность последующей обработки изделия, а иногда и невозможность таковой в силу специфики изделия. Поэтому основной задачей порошковой металлургии является достижение как можно более высокой точности геометрии изделия. Эта задача обуславливается еще и высокой стоимостью исходного материала, что с учетом больших габаритов современных изделий образует весьма значительные суммы. Высокой стоимостью обуславливается и невозможность проведения большого количества предварительных экспериментов по подгонке геометрии изделия к требуемым рамкам.

Традиционным методом получения изделий в порошковой металлургии является горячее изостатическое прессование (ГИП) порошковых материалов. Процесс ГИП представляет собой высокотемпературное (порядка 1000° С) уплотнение порошковых материалов под действием внешнего давления (порядка 1000 атмосфер). Заготовка для процесса ГИП представляет собой капсулу, заполненную порошковым материалом и, в случае необходимости, расположенными в определенных местах закладными элементами, которые в дальнейшем удаляются из готового изделия, оставляя пустоты необходимой формы. В ходе процесса ГИП заготовка искажается, принимая форму изделия. Именно сложность моделирования процесса искажение заготовки создает трудности получения изделия требуемой геометрии.

В связи с перечисленными выше трудностями возникает необходимость предварительного расчета геометрии полученного изделия, которое можно осуществить методами математического моделирования. В самом общем виде постановку задачи математического моделирования процесса ГИП можно сформулировать следующим образом: требуется спроектировать капсулу таким образом, чтобы конечная форма порошкового монолита, полученного после удаления капсулы, удовлетворяла требуемой геометрии. Отметим, что в силу специфики использования таких изделий, эти требования бывают достаточно жесткими.

Проблема математического моделирования процесса ГИП характерна для проблемы описания поведения материалов за пределом упругости. Она связана с точностью самих определяющих соотношений. Их точность, как правило, не позволяет достичь необходимой точности в реальном изделии. Особенность моделирования процесса ГИП состоит в том, что очень точно известен конечный объем изделия. Поэтому ошибка в одном размере влечет ошибку в других размерах.

В этих условиях реальный процесс налаживания производства изделий порошковой металлургии состоит в экспериментальных итерациях, когда после каждой попытки вносятся уточнения в форму капсулы или саму модель. При этом нормальным считаются две-три предварительные попытки. Очень важно уже на первой итерации получить близкое значение конечной формы.

В связи с выше сказанным, необходимо отдельно отметить роль аналитического исследования подобных задач, поскольку с точки зрения практической применимости аналитическое исследование само является приближенным из-за тех погрешностей, которые присутствуют в самих определяющих соотношениях. Роль аналитического исследования состоит в выяснении характера влияния тех или иных параметров на процесс деформации и конечную форму. Это важно на стадии подготовки первой экспериментальной итерации и особенно важно на стадии уточнения параметров после первой экспериментальной итерации.

Работа посвящена аналитическому исследованию двух моментов:

Первый из них связан с тем, что неуплотненный порошок имеет малый коэффициент теплопроводности. Поэтому на начальном этапе процесса прессования деформируется только небольшой слой, непосредственно прилегающий к капсуле. Это вносит свои особенности в конечный результат процесса.

Второй момент связан с исследованием некоторых аспектов влияния закладных элементов на общий характер процесса. Влияние закладных элементов может проявляться, как показано в работе, в образовании недеформируемых зон в порошке на начальном этапе процесса. Некоторые особенности поведения порошка проявляются у границ закладных элементов с большой радиальной жесткостью.

Все эти особенности необходимо учитывать в процессе построения математической модели и в процессе ее уточнения на основании изготовления опытных образцов.

1. Обзор литературы

Как сказано, во введении, в идеале задачей математического моделирования процесса ГИП является следующая: требуется спроектировать такую капсулу и закладные элементы, чтобы по завершению процесса монолитное порошковое изделие приняло необходимую геометрическую форму.

Отметим, что под капсулой понимается некоторый металлический контейнер, в который помещается порошковый материал. В процессе ГИП капсула деформируется вместе с порошковым материалом. После окончания процесса капсула удаляется химическим или механическим путем. Фактически, капсулу можно рассматривать как инструмент одноразового использования.

Под закладным элементом понимается некоторый сплошной (как правило металлический или керамический) образец, помещенный в порошковый материал. Он также деформируется вместе с порошковой средой. После ГИП он удаляется тем или иным путем. Его назначение состоит в том, чтобы после удаления в монолите образовалась полость нужной формы.

Проблемы, возникающие при математическом моделировании процесса ГИП, подробно, например, изложены в [1], перечислим эти проблемы.

Первая: для процесса ГИП характерны большие деформации (начальная плотность порошка примерно 65% от плотности монолита), математически это означает, что определяющие соотношения будут нелинейными, а граничные условия ставятся на переменной во времени границе. Эти требования порождают известные трудности математического моделирования процесса.

Вторая проблема более принципиальная: это трудность построения определяющих соотношений (под определяющими соотношениями мы понимаем соотношения, определяющие связь тензора напряжений в среде с параметрами, характеризующими состояние среды).

Эта проблема характерна для всех задач механики деформируемого твердого тела, исследующих его поведение за пределом упругости [2-5].

Поскольку любые определяющие соотношения будут приближенными, тогда даже если исключить математические проблемы, любой расчет будет носить приближенный характер. Поэтому реальный процесс изготовления порошковых изделий на практике является итерационным процессом, схема которого изложена в [6]. Его суть состоит в следующем: строится математическая модель, на основании этой модели проектируется капсула, изготавливается изделие. Его параметры сравниваются с требуемыми, на основании этого сопоставления проводится уточнение математической модели. Этот метод является некоторым аналогом метода СН-ЭВМ, предложенного A.A. Ильюшиным в [2]. Поэтому приемлемой математической моделью процесса ГИП считается модель удовлетворяющая следующим требованиям:

1. Она дает близкое первое приближение;

2. Правильно учитывает влияние параметров;

3. Позволяет вносить изменения в параметры модели на основании результатов эксперимента, и в случае необходимости вводить дополнительные параметры.

Обычно для запуска изделия в производство требуется 2-3 экспериментальные итерации [6].

Существуют различные подходы по описанию поведения порошковой среды, некоторые из них (см., например, [12]) рассматривают среду как дискретную. При таких подходах, рассматривая взаимодействие отдельных частиц, необходимо учитывать эффекты, возникающие на поверхности их взаимодействия [13-15]. Чаще порошковый материал рассматривается как единый континуум, поскольку в процессе ГИП нас интересуют кинематические аспекты поведения, а как показано в [16-19], кинематические аспекты поведения порошковых материалов не отличаются существенно от поведения сплошных сред.

Используемые определяющие соотношения для порошковых материалов обладают одним существенным отличием от используемых в классических теориях пластичности [2-5] или используемых в работах по обработке металлов давлением [7], поскольку эти работы исходят, как правило, из малых объемных деформаций или равенства их нулю. Для порошковых материалов объемная деформация (или эквивалентные параметры: относительная плотность, пористость) является важным параметром, характеризующим состояние среды. Вместе с тем, необходимо отметить, что реальный интерес при описании процесса ГИП представляет как раз сдвиговая часть тензора деформаций. Поскольку целью ГИП является получение монолитного изделия, а начальную плотность можно определить с высокой степенью точности, то объемную составляющую тензора деформации можно считать известной. Время процесса уплотнения достаточно точно (при известной температуре и давлении) может быть определено по диаграммам уплотнения [8-11] (диаграмма Эшби).

Различные модели, описывающие поведение пластически сжимаемых сред представлены в работах Друянова Б.А. [20], Грина Р. Дж [21], Штерна М.Б. [22-23], Перельмана В.Е. [24], Александрова С.Е. [25] и других.

В большинстве моделей для построения определяющих соотношений используется ассоциированный закон течения. Для описания уравнения поверхности текучести обычно используется уравнение вида: /(а, *2,Мк) = 0, здесь а - это первый инвариант тензора напряжений сг = ^сг(7, а .у2 - обычно второй инвариант девиатора тензора напряжений: я2 = , («^ = сг. Мк

- некоторые другие параметры.

Различные уравнения поверхности текучести для порошковых материалов представлены в [20], [22-23], [24], [26-31].

Для учета возникающей в процессе ГИП анизотропии свойств используются уравнения поверхности текучести, приведенные в [32-33]. Отметим, что анизотропию процесса деформации на начальном этапе определяет форма капсулы. Для изотропных пористых тел, при отсутствии влияния деформационной анизотропии, используется условие текучести Грина или эллиптическое условие текучести [20-22], которое записывается в виде:

2 2 с 2

СГ + «5 = , где а - первый инвариант тензора напряжений, ¿2 - второй инвариант девиатора тензора напряжений, а,3 - экспериментальные или теоретические функции относительной плотности р, сгх - предел текучести монолита. значение предела текучести пористой среды как функцию плотности. Подобное разделение вызвано тем, что функции 5(р) и а(р) являются функциями геометрии гранул и для одних и тех же типов гранул их с достаточной степенью точности можно считать универсальными функциями.

Отметим, что исторически первым это условие было предложено в работах В.Р. Скорохода [34-35].

Во многих работах [36-44] это уравнение записывается в эквивалентном виде: где сг - первый инвариант тензора напряжений, л2 - интенсивность девиатора тензора напряжений, /2 - функции относительной плотности р. Характерный вид функций ^(р) и /2(р) представлен на рисунке. Введением функций /х(р) и /2(р) некоторым образом разделяются объемные и сдвиговые свойства порошковой среды. можно интерпретировать как текущее

О Л 2 ттаа $ мр) /ч

Ро р

Рис. 1.

Функция /¡(р) возрастает с ростом относительной плотности р и стремится к 1 при р стремящемся к единице. Функция /2(р) также возрастающая функция. Она стремится к бесконечности при р, стремящейся к единице.

Эксперименты и методики для определения вида функций /х{р) и /2(р) или им эквивалентных приведены в работах [45-50]. Влияние капсулы на результаты эксперимента исследовано в [51].

Анализ литературных источников показывает, что единой точной зависимости Для всех типов порошков, которая точно описывала бы их поведение, не существует. Используемые единые зависимости соответствующих функций от относительной плотности позволяют анализировать качественные аспекты поведения и в ряде случаев могут быть использованы для построения первых приближений модели.

В работах [38-44] уравнение поверхности текучести используется в виде: где /, - первый инвариант тензора напряжений, - интенсивность девиатора тензора напряжений, у - аналог коэффициента Пуассона, (у считается известной функцией р).

Ф(р) - называется «Фактор интенсификации напряжений».

На основании экспериментальных данных в этих работах показано, что с некоторой степенью точности v(p) может быть представлена в виде у(р)=^р2.

Относительно Ф(р) существуют теоретические представления, которые приведены в работах [59-60].

Анализ, проведенный в работах [38-44], показывает, что истинное значение функции Ф(р) лежит между теоретическими кривыми.

В некоторых из указанных работ исследуется анизотропия свойств материала, возникающая в процессе деформации. Авторы этих работ вводят понятие «areal density». Формально оно вводится следующим образом: на срезе берется отношение площади пор к общему размеру сечения, разница между единицей и полученной величиной называется «areal density». Авторы на основании экспериментальных данных делают вывод о существовании универсальной зависимости Ф(р), если в качестве р принимать значение «areal density». Хотя такое определение вызывает ряд вопросов, здесь важен скорее вывод о том, что существует некоторая интегральная характеристика деформации каждого сечения, с помощью которой может быть описана картина анизотропии свойств.

Отметим, что для описания процесса ГИП в неоднородном температурном поле существенную роль играет зависимость предела текучести от температуры, а также сильная зависимость коэффициента теплопроводности от плотности. В таких условиях в порошковой среде возникает своеобразный фронт уплотнения, отмеченный в работах Самарова В.Н. и Друянова Б.А. [61].

В настоящей работе для построения определяющих соотношений принято эллиптическое условие текучести без учета влияния реологических свойств.

Причины возможности такого подхода изложены в работах [1, 6]. Суть состоит в следующем. В большинстве задач исследования процесса ГИП целью является получение конечного монолитного изделия нужной геометрической формы. Промежуточные этапы процесса представляют меньший интерес. Как показывает практический опыт (об этом указано в [1, 62]), основные неоднородности поля деформаций и трудноустранимые дефекты конечной формы закладываются на начальной стадии процесса, то есть при относительно низких температурах, когда влияние эффектов диффузии и ползучести проявляется слабо.

Общие подходы к математическому моделированию процесса ГИП изложены в [63-67,1].

Фактически ключевыми в математическом моделировании являются две задачи. Условно их можно назвать первая и вторая обратные задачи ГИП.

Первая задача - это по заданной форме конечного изделия спроектировать капсулу.

Вторая - на основании экспериментальной итерации и известных погрешностей конечной формы внести такие изменения в форму капсулы, которые приведут к более точной конечной форме изделия.

Ввиду трудностей аналитического решения задач подобного рода задач для их решения используются численные методы. Основными численными методами решения подобных задач являются разностные методы, метод конечных элементов, метод крупных частиц [68 - 76].

Большинство численных методов построены по схеме, аналогичной методу упругих решений [77]. Суть применяемых методов состоит в следующем. Весь процесс разбивается на шаги, напряженно -деформированное состояние на каждом шаге определяется путем некоторого итерационного процесса. При этом на каждом шаге итерации решается некоторая упругая задача. После ее решения уточняются некоторые упругие параметры. Решение повторяется до сходимости. Примеры решения задач подобного рода и схемы алгоритма приведены в [76-83], [83-85], [86-87].

Отметим, что интересный способ «размазывания» закланных элементов и рассмотрения среды в целом с другой плотностью предложен в [88, 1,6].

Некоторые вопросы устойчивости поведения пластически сжимаемых сред рассмотрены в работах [92], [95].

Существенной особенностью порошковых материалов является тот факт, что неуплотненный порошок обладает низким коэффициентом теплопроводности. В процессе уплотнения он меняется на два порядка. С другой стороны предел текучести монолита в интервале температур, характерных для процесса ГИП меняется в десятки раз.

В итоге это приводит к тому, что на начальной стадии процесса прессования деформируется только слой, прилегающий к границам капсулы. Это накладывает свой отпечаток на итоговую картину деформации. Этот вопрос является предметом исследования работы.

Второй существенный вопрос - характер влияния закладных элементов на общую картину деформации. Первоочередного исследования для осесимметричных задач требуют следующие два аспекта влияния закладных элементов с большой радиальной жесткостью.

Первый - это тот факт, что на начальном этапе процесса ГИП закладные элементы такого плана могут "экранировать" поле напряжений в среде, что приводит к тому, что часть среды остается до определенного момента не деформированной.

Второй - это характер самого процесса деформации среды в окрестности границ таких элементов.

Особенность деформированного состояния на начальном этапе была показана в работе [90, 94]. Результаты этой работы требуют детального исследования качественного характера процесса деформации и характера неоднородного напряженного состояния, создаваемого закладными элементами.

Во второй главе представленной работы исследуется влияние неоднородного нестационарного температурного поля на характер деформирования порошковой среды. Показано, что существенная зависимость предела текучести от температуры и коэффициента теплопроводности от плотности приводит к образованию фронта уплотнения, который характеризуется значительными градиентами плотности.

В третьей главе исследован аналитически характер процесса деформации порошкового материала в окрестности неподвижного закладного элемента. Полученные результаты свидетельствуют о том, что процесс деформации в этой области близок к одномерному сжатию.

В четвертой главе работы аналитическими методами исследован вопрос о зависимости характера деформированного состояния от свойств закладного элемента. Показано, что при определенных условиях на начальном этапе процесса закладной элемент может экранировать поле напряжений, оставляя внутреннюю область недеформированной. Выявлена принципиальная возможность при определенных свойствах закладного элемента создавать деформированное состояние, близкое к плоской деформации. Последнее важно в плане исследования возможности создания капсулы направленного действия для радиальной усадки.

Глава 2.

Влияние неоднородного нестационарного температурного поля на характер деформированного состояния пластически сжимаемой среды.

112 Выводы

1. Показано, что в условиях неоднородного нестационарного температурного поля из-за существенной зависимости коэффициента теплопроводности порошкового материала от плотности и предела текучести от температуры, у границы порошка на начальном этапе процесса формируется фронт уплотнения, характеризуемый высоким градиентом плотности, а за пределами этого фронта материал остается недеформированным.

2. Показано, что в условиях неоднородного нестационарного температурного поля для тел, чьи геометрические размеры в разных направлениях существенно отличаются, формирование фронта уплотнения вблизи границ приводит к различным итоговым деформациям по различным направлениям.

3. Показано, что в окрестности неподвижного закладного элемента возникает деформированное состояние, близкое к одноосному сжатию. Получено аналитическое соотношение, характеризующее распределение плотности в окрестности неподвижной границы. Этот факт важен при уточнении модели, поскольку при одноосном сжатии возникает анизотропия свойств порошкового материала.

4. Решение задачи о внутреннем прессовании цилиндрического порошкового слоя показывает, что на начальном этапе процесса деформация локализуется в окрестности внутренней границы.

5. Показано, что при определенных свойствах на начальном этапе процесса, закладной элемент экранирует поле напряжений, что приводит к локализации деформаций в наружном порошковом слое и оставляет внутреннюю область недеформированной.

6. Выявлено, что при определенных свойствах закладного элемента и капсулы деформация становится плоской. Это открывает принципиальную возможность исследований в направлении создания капсулы направленного действия для радиальной усадки. Создание такой капсулы существенно упростило бы математическое моделирование процесса.

1. Ильюшин А.А. Пластичность. Изд. АНСССР. 1963.

2. Хилл Р. Математическая теория пластичности. ГНТЛ. 1956.

3. Соколовский В.В. Теория пластичности. 1969. Высшая школа.

4. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. Изд. Наука. М. 1960.

5. Голенков В.А., Радченко С.Ю. «Технологические процессы обработки металлов давлением с локальным нагружением заготовки». М.: Машиностроение. 1997г.

6. Arzt Е., Ashby M.F., Easterling К.Е. Practical application of Hot Isostatic Pressing diagrams: four case stadies. Metall. Trans. 1983, V.14A, p 211-221.

7. Ashby M.F. A first report of sintering diagrams. Acta Metall. 1974. v. 22- p. 275-284.

8. Helle A.S., Easterling K.E., Ashby M.F. Hot Isostatic Pressing diagrams: New development. Acta Metall. 1985. v.33. p. 2163-2174.

9. Фрост Г., Эшби М.Ф. Карты механизмов деформаций. Челябинск. Металлургия. 1989. 328 с.

10. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies.// Geotechnique.- 1979. v.29, p.47-65.

11. Шоркин B.C. Теория упругости поверхностных слоев твердых тел //Известия. ТулГУ. 1995. -т.1. -В.2.

12. Гордон В.А., Шоркин B.C. Нелокальная теория приповерхностного слоя твердого тела. // Итоги развития механики в Туле. Международная конференция. Тезисы докладов. Тула, ТулГУ. 12-15 сентября 1998.

13. Гордон В.А., Шоркин B.C. Нелолкальная теория приповерхностного слоя твердого тела // Известия ТулГУ. т.4. - Тула, 1998.

14. Федоренко И.М., Андриевский В.А. Основы порошковой металлургии. Киев. изд. АН ЦССР. 1963,420 с.

15. Большин М.Ю., Кипарисов С.С. Основы порошковой металлургии М.: Металлургия, 1978,184 с.

16. Большин М.Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна. М. Металлургия. 1972. 336 с.

17. Большин М.Ю. Порошковое металловедение М. Металлургиздат. 1948. 332 с.

18. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение, 1989.

19. Грин Р.Дж. Теория пластичности пористых тел. 1 сб. переводов. «Механика». 1973. №4. 109-120 сс.

20. Штерн М.Б. К теории пластичности пористых тел уплотняемых порошков. Реологические модели и процессы деформирования пористых, порошковых и композиционных материалов. Киев. Наукова Думка. 1985.

21. Штерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко Л.А., и др. Феноменологические теории прессования порошков. Киев. Наукова думка. 1982. 140 с.

22. Перельман В.Е. Деформирование порошковых материалов. М. Металлургия. 1979. 232 с.

23. Александров С.Е. Поверхности текучести пористых тел и моделирование технологических процессов в порошковой металлургии. Автореф. дис. на соиск. уч. ст. д.ф.м.н. Минск. 1996.

24. Г.М. Волкогон, A.M. Дмитриев, Е.П. Добряков и др. Под общ. ред. A.M. Дмитриева, А.Г. Овчинникова. Прогрессивные технологические процессы штамповки деталей из порошков и оборудование. М.: Машиностроение. 1991.320 с.

25. Лаптев A.M. Критерий пластичности пористых материалов. Порошковая металлургия 1982. № 7. 12-17 сс.

26. Suh N.P. A yield criterion for plastic, frictional work hardening granular materials. Int. J.Powder Met, 1969, № 1 69-76 pp.

27. Tabata Т., Masani S., Abe Y., A yield criterion for porous material and analysis of axi-symmetric compression of porous disks, Tap. Soc. Technol. Prast., 1977, № 196 pp 373-380.

28. Kuhn H.A., Downey C.L. Deformation characteristics and Plastisity theory of Sintered powder material Int J. Powder Met, 1971, № 1 15-25 pp.

29. П.А. Витязь, B.A. Шеког, B.M. Капцевич и др. Условие пластичности анизотропных высокопористых порошковых материалов. Порошковая металлургия. 1984. №9 1-5 сс.

30. Друянов БА. Вишняков Л.Р., Александров С.Е. О расчетах процессов деформирования сжимаемых анизотропных тел. «Технологическая и конструкционная пластичность порошковых материалов» Киев. Наукова думка. 1988.21-33 сс.

31. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. Киев. Наукова думка. 1972. 152 с.

32. Скороход В.В., Мартынова И.Ф., Штерн М.Б. Теория нелинейного вязкого и пластического поведения пористых материалов «Порошковая металлургия». 1987. №8 с. 23-30.

33. S. Shima and M. Oyane. "Plasticity Theory for Porous Metals". Inter. J.Mech. Sci, 18 (1976), 285-291.

34. R.E. Dutton, S. Shamasundar and S.L. Semilatin. "Modeling the Hot Consolidation of Ceramic and Metal Powders", Metall. Trans. A. 26A (1995).

35. D.P. Delo, R.E. Dutton, S.L. Semilatin, H.R. Pichler, Modeling of Hot Isostatic Pressing and Hot Triaxial Compaction of Ti-6AC-4V Powder. Acta mater. Vol 47. No 9. pp 2841-2852. 1999.

36. H.R. Semilatin, R.E. Dutton, S. Shamasundar. Material Modeling of Hot Consolidation Metal, Processing and Fabrication of advensed material. IV. TMS. P.A. 1996. pp. 39-56.

37. R.E. Dutton, S.L. Semilatin. The Effect of Density Anisotropy on the Yielding and Flow behavior of Partically Consolidated Powder Compacts. Metallurgical and material transaction V29A. May 1998. pp 1471 1475.

38. R.E. Dutton, S. Shamasundar and S.L. Semilatin. "Modeling the Hot Consolidating of Ceramic and Metal Powders". Metall. Trans. A. 26A (1995). pp. 2041-2051.

39. Semilatin H.R., R.E. Dutton, S. Shamasundar. Material modeling for Hot fabrication of Advanced Materials IV Edited by T.S. Srivatsan and J.J. More. The Minerals. Metals&Materials Society, 1996.

40. R.E. Dutton, R.L. Goetz, S. Shamasundar, Semilatin S.L. "The Ring Test for P/M Materials". 1998. November. Vol 120. pp. 764-769. Journal of Manufacturing Sciena and Engineering.

41. V. Seetharaman, S.M. Doraivelu and H.L. Gegel. "Plastic Deformation Behavior of Compressible Solids". J.Mat. Shaping Techn. 8 (1990) 239-248.

42. Kuhn H.A., Downey C.L. Deformation characteristics and Plastisity theory of Sintered powder material Int J. Powder Met. 1971, №1 15-25 pp.

43. Zienkievich O.C., Taylor R.L. The finite elements method. New York. Nc Graw Hill. 1977. p. 376.

44. S. Shima and M. Oyane "Plasticity Theory for Porous Metals". Inter. J. Mech. Sci, 18(1976). 285-291.

45. R.E. Dutton, S. Shamasundar and S.L. Semilatin. "Modeling the Hot Consolidation of Ceramic and Metal Powders", Metall. Trans. A. 26A (1995).

46. Власов A.B., Селиверстов Д.Г. Определение функций пластичности порошковых материалов, применяемых при ГИП, «Исследование в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства». Сб. научных трудов. Тул. ГУ, Тула, 1998, с. 46-49.

47. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1966.

48. Понтрягин Jl. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

49. Степанов B.B. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

50. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Наука. М., 1973 г., 832 стр.

51. Г.Шлихтинг. Теория пограничного слоя. «Наука», Москва, 1969.

52. R.L. Coble, Appl. Phys, 1961, Vol 32, pp 787-792.

53. Scima and M. Oyane Int. J. Mech Sei: 1976, Vol 18, pp. 285-291.

54. Друянов Б.А., Самаров B.H. Уплотнение порошкового материала в неоднородном температурном поле. «Порошковая металлургия». 1989. №3.

55. V. Samarov, D. Seliverstov, Е. Kratt, G. Raisson. HIP of Complex shape parts -the way to industrial technology through modeling, capsule design and demonstrators. Proceeding of International Conference on HIP. China, 1999.

56. Самаров B.H., Крат E.H., Селиверстов Д.Г. ГИП деталей сложной формы -ключ к созданию критических узлов и компонентов из перспективных труднодеформируемых материалов. Технология легких сплавов. №3. 1996. с. 54-59.

57. Ерманюк М.З., Казберович A.M., Рыжова H.A., и др. Проектирование и изготовление оснастки для получения порошковых никелевых крыльчаток с закрытым рабочим трактом сложной формы. Технология легких сплавов №2. 1997. с. 31-34.

58. Самаров В.Н., Селиверстов Д.Г. Эволюция и место процесса ГИП в системе представлений обработки металлов давлением. Технология легких сплавов. №4.1999. с. 31-34.

59. Гун Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением. М. Металлургия. 1983. 352 с.

60. Власов A.B. Теория формоизменения и уплотнения порошковых материалов и создание на ее основе методик проектирования технологии ГИП. Дисс. на соискание ученой степени д.т.н. МГТУ им. Н.Э. Баумана. М. 2000 г.

61. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971.

62. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М. Наука. 1972.

63. Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Расчеты на прочность в условиях интенсивных импульсных воздействий. Расчеты на прочность. Машиностроение. 31. 1990.

64. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975.

65. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир. 1976.

66. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М. 1982.

67. Рихтмайер Р.Д., Мортон Н. Разностные методы решения краевых задач. М. Мир. 1973.

68. Уилкин С., Френч С., Сорем М. Конечно разностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени. Численные методы в механике жидкостей. М. Мир. 1975.

69. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М. Мир. 1977.

70. Ильюшин А.Л., Пластичность. Гостехиздат. 1948.

71. Goloveshkon V.A., Kazberovich A.M., Samarov V.N., Seliverstov D.G., New Regularities of the Shape-Changing of Hollow Parts During HIP, Hot Isostatic Pressing Theory and Applications ESP. London, 1992.

72. Alexandrov S.A., Extrom P., Samarov V.N., Seliverstov D.G. Capsule Design for Hot Isostatic Pressing of Complex Shape Parts, Hot Isostatic Pressing'93 Elsvier, 1994 pp 555-561.

73. Samarov V.N., Seliverstov D.G. HIP Modeling of Complex Shape Parts: Experience. Trends and Perspectives. 1994. Powder Metallurgy World Congress. Proceedings.

74. Samarov V.N. Seliverstov D.G., Kratt E. Development and manufacturing of "net shape" critical rotating parts from Ni-base superalloy. Proceedings of International Conference on Hot Isostatic Pressing. Beijing, China. 1999.

75. S.M. Doraivelu, H.L. Gegel, J.S. Cunasekera, J.C. Malas, J.N. Morgan ans J.F. Thomas, Jr., "A new Yield Functionfor Complessible P/M Materials", Inter. J. Mech, Sci., 26 (1984), 527-535.

76. Жадан В.Т., Осадчий В.А., Селиверстов Д.Г., Моделирование горячего изостатического прессования порошковых заготовок. «Известия ВУЗов». Черная металлургия. 1990. №5. с. 108.

77. Печенкин Д.В., Математическое моделирование процессов горячего деформирования при штамповке багшенных поковой, автореф. дис. На соискание уч. ст. к.т.н. М.: МИЭМ. 2001.

78. Arzt Е., Ashby M.F., Easterling К.Е., Practical application of Hot Isostatic Pressing diagrams: four case stadies. Metall. Trans. 1983, V.14A, p 211-221.

79. Анохина A.B. Напряженно деформированное состояние осесимметричного порошкового слоя при неподвижной внутренней границе. //Вопросы исследования прочности деталей машин, межвузовский сборник научных трудов, выпуск 7. МГАПИ. с. 3-5.

80. Анохина A.B., Флакс М.Я. О влиянии условий эксперимента на поведение порошковых материалов // Новые информационные технологии. Материалы IV всероссийской научно-технической конференции.- М.: МГАПИ. 2001. с.8-11.

81. Головешкин В.А., Дмитриев В.А., Флакс М.Я., Холин H.H. Устойчивость процесса деформации полого цилиндра // Вопросы исследования деталей машин. Выпуск 7-Москва. 2002. с. 19-24.

82. A.V. Anohina, V.A. Goloveshkin, A.R. Pirumov, M J. Flaks. Modeling of HIP of Hollow Cylindric Parts With One Fixed Board. Proceedings of International Conference on Hot Isostatic Pressing. HIP'02. VILS. 2003. p. 229-233.

83. Флакс М.Я. Исследование начального этапа процесса прессования труб из порошковых материалов // Математическое моделирование и управление в сложных системах. Выпуск 5- М.: МГАПИ. 2002. с. 90-94.

84. Флакс М.Я. Напряженно деформированное состояние на начальном этапе прессования трубы из порошкового материала // Вопросы исследования прочности деталей машин. Выпуск 8 М.: МГАПИ. 2003. с. 56-59.

85. Головешкин В.А., Пирумов А.Р., Флакс М.Я. Особенности поведения поля скоростей в осесимметричной задаче горячего изостатического прессования // Моделирование и исследование сложных систем. Сборник трудов. Том 1.-М.: МГАПИ. 2003. с. 52-56.

86. А.Е.Шелест, В.А.Головешкин. Напряженное состояние при осадке нагретого металла. АН СССР Институт металлургии имени Байкова. Пластическая обработка металлов и сплавов. М: Наука, 1979. с. 39-48.

87. Gholamreza Aryanpour «Characterization of viscoplastic modeling for HIPing of stainless steel 316LN powder». Proceedings of the 2005 international conference on hot isostatic pressing. Paris, May 22-25, 2005. p. 153-160.

88. Ильюшин A.A. Изв. АН СССР. OTH, 1958, №2.

89. А.В.Пономарев «Деформации вала в ходе нанесения порошкового покрытия». IX всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии». Сборник трудов. Москва, 26 апреля 2006г. с. 65-70.

90. А.В.Пономарев «Проблемы математического моделирования процесса горячего изостатического прессования». IX всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии». Сборник трудов. Москва, 26 апреля 2006г. с. 70-75.