Аналитическое исследование прикладных нестационарных задач для упругих и пластически сжимаемых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Головешкин Василий Адамович

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИ СЖИМАЕМЫХ СРЕД

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Орел-2004

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете и в Московской государственной академии приборостроения и информатики.

Научный консультант: доктор технических наук, профессор,

Холин Николай Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

Фролов Михаил Ильич;

доктор технических наук, профессор, Чумаченко Евгений Николаевич;

доктор физико-математических наук, профессор, Шоркин Владимир Сергеевич

Ведущая организация - Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится « 16» сентября 2004 г. в 1 4 часов на заседании диссертационного совета Д 212.182.03 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Орловского государственного технического университета.

«ЛР»

Автореферат разослан«*?» . . . . ."Тт 2004 г

Ученый секретарь диссертационного совета

М.И. Борзенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании многих современных технических проблем важную роль играет вопрос математического моделирования нестационарных задач механики деформированного твердого тела. При математическом моделировании таких задач возникают две основные проблемы. Первая - это математические трудности моделирования, которые связаны с волновым характером динамических задач, геометрической нелинейностью в нестационарных задачах, физической нелинейностью в определяющих соотношениях. Решение этих проблем требует разработки сложных вычислительных алгоритмов. Вторая проблема более принципиальная и связана с проблемой построения определяющих соотношений и критерия разрушения. Из-за сложного характера процесса деформации любые определяющие соотношения будут приближенными. Вместе с тем, в ряде технических задач требования, предъявляемые к точности полученных результатов, являются очень жесткими, и точность определяющих соотношений не всегда позволяет удовлетворить этим требованиям. Эти проблемы наиболее явно проявляются в нестационарных задачах. Примером динамических задач подобного рода может служить задача проектирования защитной преграды, требования к надежности которой, являются очень высокими. Примером квазистатических задач являются задачи проектирования капсулы для производства изделий методом порошковой металлургии. Материалы, создаваемые методом порошковой металлургии имеют высокие эксплуатационные свойства (прочность, износостойкость, возможность работы в агрессивных средах). Потребность в таких изделиях испытывают многие области современной техники. В задачах подобного рода требования к точности конечной геометрии полученного изделия составляют десятые доли миллиметра.

Поскольку возможности математического моделирования не всегда могут удовлетворить подобным требованиям, то результаты математического моделирования нуждаются в экспериментальной проверке.

Исследование поведения твердого деформируемого тела в условиях ударного взаимодействия представляет интерес не только в оборонной промышленности, но и многих гражданских областях, например, защита ядерных реакторов от возможного попадания обломков, конструирование защитных костюмов и т.д. Отметим важный момент. Для ответственных изделий необходима экспериментальная проверка полученных результатов. Поскольку натурный эксперимент часто бывает дорогостоящим, а иногда и невозможным, то важным является вопрос о методике проведения модельного эксперимента, который бы не использовал конкретную математическую форму определяющих соотношений.

Для порошковой металлургии уточнение принятой математической модели проводится после изготовления экспериментального образца. Обычно до налаживания производства проходят две-три экспериментальные итерации.

В работе проводится аналитическое исследование некоторых нестационарных задач для упругой среды и для пластически сжимаемых сред. Последние, имеют непосредственное отношение к порошковой металлургии. Поскольку определяющие соотношения носят приближенный характер, то и полученные решения, даже аналитические, будут приближенными. В этой связи роль аналитических решений может быть определена следующим образом. Во-первых, как правило, проектирование подобных изделий требует исследования многих возможных вариантов (например, проектирование многослойной защитной преграды, проектирование капсулы для процесса горячего изостатического прессования). Аналитическое решение позволяет более точно выявить влияние различных параметров и на стадии экспресс-анализа производить отбор приемлемых, для их последующего более точного исследования. Во- вторых, аналитическое решение позволяет выявить особенности напряженно-деформированного состояния среды, которые могут быть не учтены принятыми определяющими соотношениями. Это позволяет внести необходимые уточнения в принятую математическую модель. В третьих, точные аналитические решения необходимы для тестирования

вычислительных программ Ввиду перечисленного, именно аналитическое исследование прикладных задач механики деформируемого твердого тела является актуальным

Цель paботы - аналитическое исследование некоторых нестационарных задач механики упругих и пластически сжимаемых сред в сложных, с точки зрения адекватности описания ситуациях: ударного взаимодействия и квазистатического формоизменения порошкового материала. Данное исследование включает следующее

Исследование метода замены натурного динамического эксперимента (на примере изучения проблемы пробивания защитной преграды) модельным экспериментом при самых общих предположениях относительно характера определяющих соотношений и критериев разрушения, а также возможности замены динамического эксперимента по пробиванию преграды квазистатическим экспериментом по продавливанию пластины.

Получение точных и приближенных аналитических решений некоторых динамических задач таких как: напряженно-деформированное состояние клина с гладкой границей при задании начальной скорости в клинообразной области и исследование особенностей напряженного состояния в его вершине; разработка методики аналитической оценки некоторых интегральных характеристик в задаче соударения ударника с преградой; оценка дефекта импульса ударника после отражения от преграды.

Аналитическое решение важной практической задачи о начальном этапе прессования труб из порошковых материалов, и на основании его исследования, выявление особенностей деформированного состояния в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью.

Разработка и экспериментальная проверка такого математического метода исследования -трехмерной задачи горячего изостатического прессования деталей сложной формы с периодической структурой закладных элементов, который позволял бы сводить эту задачу к исследованию некоторой осесимметричной задачи. Проблема создания такого метода актуальна для проектирования определенного класса изделий сложной формы, используемых в аэрокосмической промышленности, типа рабочих колес турбин и крыльчаток турбонасосных агрегатов.

Для достижения поставленной цели настоящего диссертационного исследования были сформулированы и решены следующие задачи:

- разработана методика замены натурного динамического модельным при самых общих предположениях относительно математического вида зависимости определяющих соотношений и критерия разрушения от параметров, характеризующих состояние среды;

- исследована возможность замены динамического эксперимента по пробиванию преграды квазистатическим экспериментом по продавливанию пластины;

- получены аналитические решения некоторых плоских упругих динамических задач;

- разработан приближенный аналитический метод оценки некоторых интегральных параметров в задаче соударения ударника преградой и проведено сравнение результатов с полученными численными методами;

- получено аналитическое решение о дефекте импульса при отражении от преграды;

- получено аналитическое решение важной технической задачи о начальном этапе прессования труб из порошковых материалов;

• исследованы особенности деформированного состояния порошкового материала в окрестности закладного элемента с большой радиальной жесткостью;

- разработан математический метод сведения исследования трехмерной задачи горячего изостатического прессования деталей сложной формы с периодической структурой закладных элементов к исследованию некоторой осесимметричной задачи для упругой анизотропной среды;

- проведена экспериментальная проверка разработанного метода.

Научная новизна работы:

- разработан метод замены динамических испытаний по пробиванию преграды квазистатическим экспериментом по продавливанию пластины;

- получены новые аналитические решения некоторых плоских упругих динамических задач;

- получено аналитическое решение задачи о начальном этапе прессования трубы и проведено его исследование;

- показана возможность возникновения разрыва нормальной составляющей скорости перемещений;

- исследованы особенности поведения порошкового материала в окрестности закладного элемента с большой радиальной жесткостью;

- создан метод, упрощающий математическое моделирование задачи горячего изоста-тического прессования деталей типа крыльчапж и турбин с лопатками путем сведения исследования трехмерной задачи, близкой к осесимметричной, к исследованию осесимметрич-ной задачи для некоторой анизотропной среды; метод легко адаптируем к достаточно широкому классу существующих алгоритмов расчета процесса ГИП и удобен для экспресс-анализа различных начальных форм при проектировании капсулы;

Практическая ценность работы состоит:

- в разработке методики замены натурного динамического эксперимента модельным с уменьшенными геометрическими размерами;

- в возможности непосредственного использования предложенного метода при разработке методик проведения экспериментов;

- в разработке метода замены динамических испытаний по пробиванию защитной преграды квазистатическим экспериментом по продавливанию пластины;

- в решении актуальной технической задачи создания модели рассчета процесса горячего изостатического прессования изделий с периодической структурой монолитных и объемно-сжимаемых порошковых элементов, необходимой для проектирования оснастки при изготовлении изделий типа рабочих колес турбин и крыльчаток турбо-насосных агрегатов, используемых в аэрокосмической промышленности (это подтверждено актом о внедрении);

- в исследовании особенностей напряженного состояния в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью, что позволило более точно моделировать характер дефектов (менисков), возникающих на их поверхности и принять меры для их устранения (это подтверждается актом о внедрении).

На защиту выносятся:

- методика замены натурного динамического эксперимента модельным при самых общих предположениях относительно математического вида зависимости определяющих соотношений и критерия разрушения от параметров, характеризующих состояние среды;

- метод замены динамического эксперимента по пробиванию преграды квазистатическим экспериментом по продавливанию пластины;

- аналитические решения динамических задач: о напряженно-деформированном состоянии клина при задании начальной скорости в клинообразной области, методика аналитической оценки некоторых интегральных характеристик в задаче соударения ударника с преградой, оценка дефекта импульса ударника после отражения от преграды;

- аналитическое решение важной практической задачи о начальном этапе прессования труб из порошковых материалов и выводы об особенностях деформированного состояния в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью;

- метод сведения трехмерной задачи процесса ГИП для деталей с периодической структурой закладных элементов к исследованию осесимметричной задачи для некоторой анизотропной среды;

- экспериментальная проверка данного метода.

Методы исследования. В работе использован комплексный метод исследования, включающий теоретический анализ и экспериментальную проверку в лабораторных и производственных условиях.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов.

Достоверность и обоснованность выводов вытекает из аналитического характера решения основных задач, использования известных методов математики, механики сплошных сред, гарантированной точности численных методов.

Достоверность методики сведения трехмерной задачи к осесимметричной подтверждается ее экспериментальной проверкой, а также ее использованием для расчета реальных конструкций (подтверждено актом о внедрении).

Апробация работы. Положения диссертационной работы изложены на; 3 Всесоюзной конференции «Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов» 24-26 окт. 1989 г. Запорожье; 11 Всесоюзной конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» Волгоград, 1989; Республиканском. семинаре ИПП АН УССР «Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии динамических физико-механических полей», Киев; Научно-технической конференции «Новые материалы и технологии в порошковой металлургии», София, 1990; International Conference on Hot Isostatic Pressing- HIP-93. Antwerp., Belgium, 1993;HIP International Conference, Osaka, 1992; International conference of Hot Isostatic Pressing HIP'02, Москва, 2002;The fourth International Conference on Physical and Numerical Simulation of Material Progressing, Shanghai, China, 2004.

Результаты докладывались также на научных семинарах Орловского государственного технического университета и Тульского государственного университета.

Реализация работы. Работа внедрена в "Лаборатории Новых Технологий" (ЛНТ, Москва) в работах по проектированию оснастки для изготовления деталей сложной формы для изделий аэрокосмической промышленности - рабочих колес турбин и крыльчаток ТНА.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано 25 печатных работ, из них 12 работ в реферируемых российских и зарубежных журналах.

Структура и объем работ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 241 наименования, приложений, и содержит 285 страниц, в том числе 222 страниц основного текста, 46 рисунков и графиков, 6 таблиц и 3-х приложений.

Работа выполнена в Московской государственной академии приборостроения и информатики и Орловском государственном техническом университете, при сотрудничестве с-Лабораторией новых технологий (ЛНТ, г. Москва). Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00019.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изложено состояние вопроса.

Показано, что особенностью математического моделирования нестационарных задач является необходимость учета больших пластических деформаций. Это приводит к существенным трудностям, связанным с геометрической и физической нелинейностью задачи. Отмечаются трудности построения определяющих соотношений и критерия разрушения. В связи с трудностью построения определяющих соотношений любое математическое решение будет содержать некоторую ошибку. Общим моментом в исследуемых задачах являются высокие требования к точности решения, которые могут превышать точность определяющих соотношений. Это требует развития методов экспериментальной проверки решения. Применительно к исследованию пластически сжимаемых сред отмечается, что реально построение модели процесса горячего изостатического прессования (ТИП) представляет собой итерационный процесс следующего характера. Создается модель рассчета детали, далее по ней рассчитываются параметры и формируется сама деталь, затем ее геометрические характеристики сравниваются с требуемыми, и если сравнение удовлетворительно, то деталь запускается в производство, а если нет, то модель уточняется на основании результатов эксперимента и проводится следующая итерация. Обычно приемлемый результат достигается на 3-й итерации. С учетом трудности математического моделирования удовлетворительной обычно считается такая модель, которая дает неплохое первое приближение, правильно учитывает влияние параметров на конечную форму и позволяет вносить уточнения в модель.

Общие принципы построения определяющих соотношений поведения материала за пределом упругости изложены в работах Ильюшина А.А., Годунов С.К., Хилла Р., Соколовского В.В. и других. Методы исследования динамических задач и критерии разрушения рассматривали в своих в работах Cristescu N, Malvern L.E, Perzyna Р., Кравчук А.С., Холин Н.Н. и другие.

Примеры решения конкретных динамических задач приведены в работах Поручикова

B.Б., Кийко И.А., Исраилова М.Ш., Добрушкина В.А и других.

Модели для пластически сжимаемых сред разработаны в работах Бальшина М.Ю., Скорохода В.В., Штерна М.Б., Самарова В.Н., Друянова Б.А., Перельмана В.Е., Александрова

C.Е., Raisson G., Green R.J. и других.

Отмечатется, что для описания свойств порошковых материалов в процессе ГИП традиционно используется условие текучести Грина.

Проводится анализ численных методов, используемых при математическом моделировании данных процессов. Выясняется роль аналитических решений подобных задач.

Во второй главе исследуется возможность замены натурного динамического эксперимента модельным при наиболее общих предположениях относительно математической формы определяющих соотношений и критерия разрушения. Необходимость такой замены вызвана тем, что, как правило, для сложных процессов определяющие соотношения и критерий разрушения лишь приближенно описывают процесс. В связи с этим, полученные результаты • носят приближенный характер и для ответственных конструкций нуждаются в экспериментальной проверке. Проведение натурного динамического эксперимента часто требует слишком больших затрат, а иногда и невозможно. Данная проблема рассматривается на примере исследования задачи проникания жесткого ударника в многослойную защитную преграду. Под понятием подобного эксперимента понимается такой эксперимент в уменьшенных геометрических размерах, при котором в соответствующих точках будет воспроизведена та же самая история процесса деформирования, а, следовательно, и та же самая картина разрушения.

Задача проникания ударника в многослойную защитную преграду рассматривается в Ла-гранжевой системе координат (рис. 1). Пусть:

- вектор перемещений, - время, - тензор напряжений, -

толщина пакета, Н^Н^г—Н п - границы соответствующих слоер/ - плотность материала в слое с соответствующим номером. _

Приведем основные уравнения. Уравнения движения в слое с номером i.

На границе слоев принимается условие равенства перемещений и равенства усилий. На свободном участке поверхности, в исходном состоянии заданной уравнением Xj = 0 и на внешней границе предполагаем

отсутствие напряжений.

Предполагается, что на некоторой боковой границе преграда закреплена ¿/(х,,дс3,дгз,/)=0 при xf =R\-

Уравнение поверхности ударника в Лагранжевой системе координат

где R -некоторый характерный размер ударника. Ударник предполагается жестким, летящим перпендикулярно преграде.

Зона контакта ударника и преграды также является, в общем случае, неизвестной. На поверхности контакта преграды и ударника принимается условие равенства нормальных перемещений и условие равенства нулю касательных напряжений.

Пусть - бВД путь, пройденный ударником с момента начала взаимодействия. Тогда из условия равенства нормальных перемещений на границе контакта следует

(*,,*; АО Лг+к!1 (*,.*; АО ц, 0

Относительно определяющих соотношений принимается гипотеза, что тензор напряжений определяется лишь историей деформирования в некотором пространстве деформаций, то есть в слое с номером

где ЕI - величина, имеющая размерность напряжений, например модуль Юнга, L¡ - некото-

рый функционал, зависящий лишь от истории изменения величин

производных пере-

мещений по координатам.

Относительно критерия разрушения принимается аналогичная гипотеза, что он так же определяется лишь историей деформирования, то есть может быть записан в виде

ФЬ

где - некоторый функционал, конкретная математическая форма которого, может быть неизвестной.

Закон движения ударника запишется в виде.

где 2 - поверхность контакта в Лагранжевой системе координат, I - якобиан, Р3 - проекция. вектора напряжений на поверхности контакта на направление движения ударника. Начальные условия:

Используются следующие безразмерные переменные:

Подстановка данных переменных в исходные уравнения позволяет выявить следующие безразмерные параметры, которые обеспечивают подобие процесса.

Я /?! Н,

1. Геометрическое подобие определяется параметрами:

п п п

2. Механическое подобие обеспечивается равенством отношений

Е,

и равенством функ-

ционалов I.

V

З.Кинематическое подобие определяется равенством величин —.-(С, величина порядка

скорости распространения волн в среде).

4.Энергетическое подобие определяется параметром

Е^Я2 МУ2 '

Анализ данных групп параметров подобия показывает, что при принятых предположениях для обеспечения подобия модельного и натурного эксперимента нельзя менять скорость ударника, поскольку изменение скорости ударника требует изменения величин с,. Такое изменение требует изменения материала. Изменение материала приводит к изменению вида функционала и подобие модельного и натурного эксперимента становится проблематичным.

При подобном изменении всех геометрических размеров и неизменной скорости обеспечивается полное подобие процесса деформирования материала.

Необходимо отметить, что при уменьшении геометрических размеров и неизменной скорости ударника скорость деформации возрастает. Поэтому гипотеза об отсутствии влияния реального времени на определяющие соотношения является существенной и накладывает определенные ограничения на возможность проведения модельного эксперимента.

В связи с анализом безразмерных параметров в случае К «с, возникает вопрос о принципиальной возможности замены динамических испытаний по пробиванию преграды квазистатическими испытаниями по продавливанию пластин. Постановка этого вопроса связана не только с определенными трудностями в проведении динамических испытаний. При динамических испытаниях мы можем наблюдать лишь итог испытаний, но не процесс его развития. Динамическое испытание невозможно прервать, не доведя до завершения. Например, трудно ответить на вопрос, что будет с преградой, когда снаряд проникнет в нее на третью часть и так далее.

Квазистатический эксперимент может быть прерван в любой момент, и всегда можно проанализировать состояние преграды на этом этапе. При анализе многослойной преграды это представляется важным.

В ряде динамических задач по пробиванию преград известно, что перемещения по направлению перпендикулярному направлению удара малы. Если предположить, что скорость ударника мала по сравнению с характерной скоростью распространения волн, то в уравнении движения для преграды можно пренебречь слагаемыми, связанными со второй производной по времени и уравнения становятся статическими. Если нам удастся на некотором расстоянии от места удара выявить границу, на которой перемещения малы, то мы можем рассмотреть квазистатическую задачу с условием задания нулевых перемещений на этой границе.

В качестве модельной задачи рассмотрим задачу о действии сосредоточенной силы на бесконечную пластину. Уравнение движения такой пластины под действием сосредоточенной силы F имеют вид:

где прогиб пластины, - жесткость, - толщина -

п л о -р да т

2 О

Г

РЛ' 2./рГ

- дельта функция.

С начальными условиями ч1 = 0, = 0 при 1—0. Известное решение этой задачи имеет вид

Из анализа размерности и самого решения можно сделать вывод, что решение затухает на характерном расстоянии порядка . Поэтому предположим, что на подвижной границе Г=к^р( перемещения равны нулю.

В этом случае в качестве параметра процесса можно рассматривать перемещение ударника б. Предположим, что в ходе эксперимента замеряется величина силы как функция перемещений ударника. Тогда закон движения ударника можно записать в виде

м

Л

<к2

Л

с условиями £ = 0,-= Го при 1=0.

л

Интегрируя это уравнение, получаем

Эти два соотношения определяют программу эксперимента по продавливанию пластины. Соображения относительно выбора значения параметра к будут приведены в следующей главе.

Если воспользоваться гипотезой о том, что значение силы определяется с достаточной точностью только глубиной погружения ударника в пластину, то можно на основании экспериментальных данных по продавливанию пластины с защемленной границей получить оценку критической скорости. Предположим, что в результате статического эксперимента мы имеем значение силы Р(и)1, где и - глубина погружения ударника в пластину. Заметим, что из решения динамической задачи о действии сосредоточенной силы на пластину следует, что

скорость пластины в точке приложения силы равна

е сна

то есть определяется лишь текущи-

ми значениями силы И. Обозначим - в - перемещение снаряда, - перемещение пластины в точке удара, и - глубина погружения ударника в пластину, и* - глубина погружения, при которой произошло разрушение пластины, Тогда имеем систему уравнений

Решая это уравнение с начальным условием = 0 при 11=11*, определяем —р при и=0. Это

значение и соответствует оценке критической скорости.

В третьей главе приводятся аналитические решения некоторых динамических задач. В 3.1 рассмотрена задача о напряженно деформированном состоянии упругой плоскости при задании постоянной начальной скорости в клинообразной области (рис.2).

Рис. 2. Начальное поле скоростей

Рассмотрим математическую постановку задачи.

Уравнения движения в полярной системе координат имеют вид

да. 15сти» ог-а,

—гх+-

дг г ар г

да

т> . 1 ^Ф | 2°гф

дг + г дф

сРи

Л

Г

где стг,аф,стЛ() - соответствующие напряжения; и, v - соответствующие перемещения , I -время, р - плотность.

Связь ог,ст<р,сг/Хр с перемещениями и,у определяется обычным упругим законом, например, для радиальных напряжений имеем ,,ди и I дv. - ди ОГ Г Г ОФ от где К, ц - постоянные Ламе.

Начальные условия при 1=0: и=у=0;

— = — = 0 при 0<ф<а,Р<ф<27:; от д1

ди дг „

—- = у>х ««ф + м' бшф, — = -и^ Етф+м» соБф при а<ф<р. от от

Поскольку отсутствует характерный линейный размер, решение можно искать в виде ч . / \ г г А.+2ц 2 И

с/ р р

с, С| - скорости объемных и сдвиговых волн соответственно, Ь=—.

с

Уравнения движения примут вид

л/Г 1 ¿>2 э2^ | (1-&2) (1+г>2)% 0>

&2 г & г2 г2 5(р2 г йгЭф г2 Эф

г &Эф г2 оф дг2 2 дг 22 г1 Зф2

Решение ищем в виде

00

/(г,ф) = «Ь(г)+Х(мп,1(2)С05а"<1>+ия.2(г)5'пап(Р).

£(г,<р) = У0(г) + £(уя,(2)Бталф+у„2(г)со5а„ф) .

Л=]

В силу периодичности решения в данной задаче можно положить а„ = п.

Для определения неизвестных функций получаем системы дифференциальных уравнений

вида

(1-z2)-

d\

л.1

1 du„:

dz1

z dz

"«.1 6 2

~2---2 a" "».1 ^-

Z Z Z

I-b2 dv„, 1 + 62

"~dz---¡r-ra»v«.l=0'

\-b2 dunX 1 + b2

-a

.A

».1 , 62 <^„1 2 V , 1 2 n

+--r--b -5—2 a„ v„j =0,

г4 z

¿z

с соответствующими граничными условиями. Введем величины т, Tj, Т2, Т3 следующим образом

chx = — при z<l, cost] =— при z>I,

Z 2

Ь ¿V

с«т2 = — при z<b, cos т3 = — при z>b.

2 Z

Пары функций X„„Ynl являются решениями систем уравнений(/=/-ф. При этом пары -(^'n.b^n.l ). №n.l'Yп,2 )• (Xn 5,Y„ 5 ), (А"п6,Кп6 ) соответствуют потенциальной составляющей решения, а остальные - соленоидальной. Эти функции имеют следующий вид:

cos(g„ + l)r, cos(g„ - 1)г, 1 fcos(g,, +2)г, cos(g„-2)r| g„ + l а,-1 cosr.l g„ + 2 ~ а,- 2

1 fcos(a,+2)г, cos(a.-2)г,^

cos(g, + l)f| cos(g„ - 1)г, _

a,+ 1 -1 2cosгД a,+2 a,-2

ift(a„ + l)r2 sh(on — 1)Гд 1 (sh(a„ +2)r, sh(a„-2)r,

ol + 1

g.-l

2сАг31, g„ +2

a.-2 J

;а. + 1)г, ^(g.-Qr,__1 fлй(а, + 2)г, _ -2)гЛ

g„+l a.-l сйгД «„+2 J

При г>1 решение системы имеет вид ыл, 1 +

=^/1,1^,1 +^/1,2^.2 +^„,3^,3 + Ап,4Гп,4-В аналогичном виде ищется решение и в других областях (Ь<г<1, г<Ь). Определяя произвольные постоянные, получаем решение в виде ряда. Полученный ряд суммируется, и решение может быть представлено в конечном виде. Ниже приведем формулы для радиальных перемещений в области (г<Ь). /(г,ф) = /р(г, ф) + /4(г,<р). Где:

/5(г,ф)=^(р)(и11(т2,ф,р)-51(а)1/и(т2,ф,а) +А,(ф* а,Р),

. „. Я . 2 ^Лт И1/)(Т,ф,Р) = ——БШ-1 V--—С05Ч1-

-sin vyarc/g—

2chx sin2y

e +cos2\y cht

chx

sin2 w cos w H--y-Z-arctg——^+у sin v + т cos 4/,

s/tt

"ь(т2,Ф,Р) = ~тт~ sin2v|/-^Ilsinv -4cAt2 сят2

sin2\w cosvi) sin2v|/

--—arctg-—+cos yarctg—-+ t2 cos 4/ - \j/cos 4/,

2сЛт2 shx2 e 2 + cos2\j1

y/ = <p-p, s_(P) = -!-(wx sinP-wy cosP), s4(P) = Wj cosp + wy sinP),

Л4(ф*,а,Р) = ~(м>ж cos9*+Wj, sin9*)/i(9*,a,P),

Л(ф*,а,Р) = 0 при<р* б(0,а + я)и(р + тс,2я), А(ф*,и,Р) = 1 при ф* е(а +л,р + я),

ф * - реальный угол в полярной системе координат, полагая <р* е[0,2я).

В 3.2 рассматривается аналогичная задача для клина с гладкими границами, то есть на границах q>=0 и (р=у предполагается равенство нулю нормальных перемещений и касательных напряжений. Решение ищется в аналогичном виде, полагая а„ = и—. Отметим особенности решения, возникающие в вершине клина z="

С точностью до бесконечно-малых величин

Я/о / л ч °ггО =®ффО =—( *■ + »*)■

При ая<1 с точностью до бесконечно-малых слагаемых

л+ л+

{2Y- а„ 1-Р

l + ¿Ta" ап

При 1<а„<2

■(Г;

(Ь^'А^-А,,)

"" W а,-2

При Ct п>2 особенностей не возникает.

Проведенное исследование показывает, что сильные концентрации напряжений в вершине клина могут возникать, если угол раствора клина превышает девяносто градусов. Концентрации объемных напряжений возникают, если угол раствора превышает сто восемьдесят градусов. Отметим, что потенциальное и вихревое решение не влияют друг на друга, если угол раствора клина не превышает 180 градусов, в противном случае наблюдается взаимодействие потенциального и вихревого решений.

В 33 рассматривается приближенная аналитическая модель оценки некоторых интегральных характеристик в задаче соударения ударника с пластиной. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

В начальный момент t=0 происходит соударение (со скоростью Ид) цилиндра радиуса Гд и длины I с дискообразной пластиной толщины h (рис. 3). Предполагается, что величины

г0 и Н имеют одинаковый порядок. Обозначим Я.|,|Д|,Х.2>Ц2 - постоянные Ламе для материалов цилиндра и пластины соответственно. Рассматривается осесимметричный случай, когда оси цилиндра и диска совпадают,

. Уравнения движения в цилиндрической системе координат имеют вид

г J У0 I

г "

Рис. 3. Схема соударения цилиндра с пластиной

Связь напряжений с перемещениями определяется упругим законом. Граничные условия имеют вид:

на поверхности контакта (г = 0, г ^ г0)

Щ,г = = = ст2..->°1,/г =

остальная часть поверхности свободна от напряжений. Начальные условия при 1=0:

8их ди2 ди>2 п Эиц ,.

Исследование разбивается на два этапа. Первый этап - до прихода отраженной волны от свободной поверхности пластины. На этом этапе рассматривается одномерная волновая задача.

от се

Р2~2 = (^2+2^2 )~2 примет & С начальными условиями:

Эй», дн>2 п

И условиями на поверхности контакта 2=0: и-, =*>2ЛЬ +2Й])^7 = (>-2+2Й2)-ТГ-

СС 02

На втором этапе для цилиндра рассматривается одномерная задача, а для описания поведения пластины используется уравнение движения упругой пластины под действием нагрузки Б. Для определения силы Б принимается линейная связь между силой и изменением расстояния между торцом цилиндра и срединной плоскостью пластины. В предположении, что нагрузка Б равномерно распределена по участку контакта, прогиб срединной поверхности имеет вид

вующии сосредоточенной силе, равной по величине распределенной.

Полученное решение сравнивалось с решением полученным на основании программы расчета динамических задач, разработанной Андрущенко В А. и Холиным Н.Н., проверенной на примере решения многих задач. Результаты сравнения приведены в таблице. В первом столбце таблицы приведены результаты, полученные при замене действующей силы сосредоточенной нагрузкой. Во втором - предполагается, что нагрузка равномерно распределена по всему участку контакта.

Распределение прогиба срединной поверхности пластины как функция радиуса при Ы0.9МКС.

Таблица 1

г/см Нг,1) V» и>(г,0 —2—- с учетом 40,0 3 поправки Цг.Г) - расчет- и<(0,/) ное Относительное отклонение в %

1 0.65 0.8 0.8 0

1.5 0.44 0.54 0.54 0

2 0.23 0.28 0.3 6.7

2.5 0.08 0.1 0.09 11

Расчет велся при следующих значениях параметров: /0=З.Осм, г0 = 1см, У0 =40 м/с,

— Х-2 -

с, = сг = 5500м/с,

4 =¿2 = 2940 м/с,

р, =р2 = 2700кг/лг.

Результат сравнения показывает приемлемую точность принятой модели. Получены так же соответствующие формулы для определения силы на поверхности контакта.

В заключительной части рассмотрена возможность применения квазистатической аналогии, рассмотренной во второй главе. Рассматривается квазистатическая задача определения прогиба пластины с переменным радиусом защемления. Закон изменения радиуса защемления выбирался из условия равенства прогиба в начале координат защемленной пластины и бесконечной пластины под действием сосредоточенной силы. Данный закон имеет вид

Сравнение результатов приведено в таблице 2.

Время 1=10,9 Таблица2

г,см Мг) по статической оценке- МО) фактически

1 0,84 0,81

1.5 0,52 0,56

2 0,25 0,29

2,5 0,08 0,08

Таким образом, квазистатическая аналогия дает неплохую оценку прогибов.

В 3.4 рассматривается в плоской постановке задача о дефекте импульса короткого прямоугольного ударника после отражения от гладкой неподвижной преграды.

На первом этапе решается задача о напряженном состоянии полуплоскости х>0 под действием на границе х=0 нагрузки вида:

'*У

= 0 при х = 0, -00 < у < 00,

Охх =0 при х = О, I у I > с1 а„ =о0 при х = О, I у I < с^

где с - скорость объемной волны.

В результате определяется суммарное усилие в направлении оси Y при у=0, которое соответственно равно

Полученный результат используется для решения задачи о дефекте импульса короткого прямоугольного стержня длины /, ширины 2Л (Ъ<1). Дефект импульса после отражения от преграды связан с тем, что часть энергии переходит в энергию поперечных колебаний.

Выражение для относительного дефекта импульса имеет вид

Примеры расчета относительного дефекта импульса приведены на графике (рис. 4). Исследуется также вопрос о возможности потери контакта с преградой части поверхности ударника.

В 3.5 рассматривается задача о распространении поперечной волны в анизотропной среде. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси х. Модули сдвига в двух перпендикулярных оси х направлениях (у и z) разные и равны С\ И £2- соответственно. Перемещения вдоль этих осей - U и V соответственно. Уравнения движения имеют вид:

сРи 2 сРи

а2

д*У

аг2 2 &2

А-Яз,

1_р' 2" р

, р - плотность.

Предполагается, что в такой среде создана неоднородность следующего типа. Вырезан слой перпендикулярный оси X, и этот слой повернут на некоторый угол. Исследуется влияние длины слоя и угла поворота на процесс распространения установившихся колебаний. Показано, что изменяя эти величины можно усилить отражающий эффект слоя, а также существенно изменить направлений колебаний в прошедшей через слой волне.

В четвертой главе проводится исследование особенностей деформированного состояния порошковых материалов, возникающих в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью. Из практического опыта известны трудности математическою моделирования процесса ГИП изделий, содержащих закладные элементы с большой радиальной жесткостью. Для идеально-пластических материалов известны факты возникновения линий разрыва касательных скоростей на линиях скольжения. Для пластически сжимаемых сред обнаруживается возможность возникновения разрыва нормальных составляющих скоростей перемещений в условиях сжимающих напряжений. Физически это означает локализацию значительных объемных деформаций в узкой области. В данной главе исследуется это явление на примере плоской задачи о начальном этапе внутреннего и наружного прессования порошкового слоя, и задачи о прессовании трубы с учетом наличия осевой деформации. Исследуется также развитие данного разрывного решения в моменты близкие к начальному этапу процесса.

В 4.1 рассматривается плоская задача о внутреннем и наружном прессовании осесим-метричного порошкового слоя при наличии неподвижной границы.

Общая математическая постановка задачи исследования процесса ГИП включает следующие уравнения.

Уравнения равновесия

diver = 0.

где - тензор напряжений.

Для описания поведения порошкового материала на заданной траектории нагружения (давление, температура) используется эллиптическое условие текучести

Где = - первый инвариант тензора н а п р s^— ж и ^Vr второй.

инвариант девиатора тензора напряжений, где

- экспериментально определяемые функции относительной плотности порошкового материала

Т - предел текучести монолитного материала (при р=1), который является известной функцией температуры.

Связь тензора напряжений и тензора скоростей деформаций определяется ассоциированным законом течения.

где уравнение поверхности текучести.

Для описания поведения материала капсулы и закладного элемента используется условие идеальной пластичности

и условие несжимаемости

divй=0,

где - скорость перемещений.

Значение 7] - предела текучести материала капсулы также предполагается известной функцией температуры.

Задача рассматривается в квазистатической постановке. Процесс нагревания предполагается достаточно медленным, и температура считается величиной, не зависящей от координат. Температурным расширением материала пренебрегаем.

Для определения плотности используется уравнение неразрывности.

где - скорость перемещений в порошковом материале.

Предполагается, что на внешней границе задано равномерное давление, которое является известной функцией времени.

На границе раздела «порошок - капсула» и «порошок - закладной элемент» принимается условие непрерывности поля перемещений.

Рассматривается задача о наружном прессовании с неподвижной внутренней границей. Для исследуемой плоской задачи уравнение поверхности текучести может быть записано в виде:

9(0;+о;) з(оу-<7,) 4(9//+/,J) + 4 /.'

Представим напряжения в виде <тг = -7/ícos4'-7!8sin4/, <У(р = -ТА cos + ГД sin У,

где - некоторая неизвестная функция

Тогда, используя уравнение равновесия, находим функцию Ч'(г): íij/

г2втЧ'е в =С.

Используя ассоциированный закон течения, определяем скорость перемещений

= Г2.

и2=С.

1

В

У

"1 sin У

где С, - некоторая константа.

Равномерному сжатию соответствует особое решение Ч*=0 U=Kx.

Особенность полученного решения состоит в том, что если значение скорости перемещения и равно нулю хотя бы в одной точке, то оно равно нулю всюду, что приводит к неожиданному выводу.

При исследовании использовалась гипотеза о непрерывности поля скоростей. Данная задача исследуется другим путем, используя вариационный принцип минимума мощности. Исследование сводится к минимизации функционала вида

в классе неубывающих функций с граничными условиями

где E = A1+Bi,D = A1-B1, D<E.

Минимизация этого функционала приводит к аналогичному решению. Исследование задачи о внутреннем прессовании при неподвижной внешней границе показывает, что деформации локализуются у подвижной внутренней границы.

В 4.2 получено аналитическое решение задачи о начальном этапе прессования труб из порошковых материалов.

Отметим, что при решении плоской задачи о прессовании цилиндрического слоя напряженное состояние определялось независимо от решения задачи о деформированном состоянии. В связи с этим возникает вопрос о том, не является ли полученное разрывное реше-

ние характерным лишь для плоской задачи Задача об исследовании начального этапа прессования трубы является связной Цель этой работы выяснить возможность появления разрывных решений в таких задачах

Проблема математического моделирования процесса прессования труб из порошковых материалов состоит в трудности предсказания конечных размеров изделия Отыскание аналитического решения задачи имеет более широкое значение, и не только для труб Существует важная техническая проблема математического моделирования процесса ГИП при наличии закладных элементов со значительной радиальной жесткостью Проблема математического моделирования процесса ГИП труб - это часть более широкой задачи, проблемы математического моделирования процесса ГИП изделий, содержащих закладные элементы с большой радиальной жесткостью Постановка задачи

Пусть область (капсула) занята пластически несжимаемым

материалом, область < Г < Л^ - пластически сжимаемым порошковым материалом (рис 5)

Рис 5 Схема прессования трубы из порошкового материала

Предполагается, что скорость деформации £а постоянна по всему объему

Обозначим - скорость перемещений, - соответствующие компонен-

ты тензора напряжений, зависящие только от координаты Г Рассматриваем начальный момент процесса, поэтому плотность полагаем постоянной по всему объему Тогда полная постановка задачи включает следующие соотношения Уравнение равновесия

Л- г

Уравнение поверхности текучести для порошкового материала

Уравнение поверхности текучести для пластически несжимаемого материала имеет вид

1[(2а,-а,)' +(2<г. -а,-а,)2] = Т,1

На внешней границе предполагается заданным равномерное внешнее давление Р

Тогда граничные условия запишутся в виде аг = -Р при г = Л/, г = Я4

Уравнение равновесия относительно оси г удовлетворяется интегральным соотношением к.

1к ¡а, {г)гЛ- = -Рл{я1 - Я?) и

В областях Я/ <г<Я2, Я3<г<^ имеем условие несжимаемости

Его решение позволяет определить скорость перемещений и =

Из уравнения равновесия и закона течения получаем следующее уравнение для определения скорости перемещений в порошковом материале

Решение этого уравнения и(г) может быть представлено в следующем параметрическом ви-

Величины Лц.^о - произвольные постоянные; О, 8, у определяются свойствами порошковой среды.

Далее проводится исследование полученного решения в зависимости от механических и геометрических параметров.

Проведенное исследование показывает, что в области геометрических параметров существуют четыре зоны, которым соответствуют различные режимы деформации. Схематично данные зоны приведены на рисунке 6.

Рис. 6. Схема расположения зон различных режимов деформации

Зоне 1 соответствует непрерывное поле скоростей перемещений во всей системе.

Зоне 2 соответствует поле скоростей перемещений с разрывом на внутренней границе.

Зоне 4 соответствует плоская деформация с неподвижной внутренней границей.

Зоне 3 соответствует плоская деформация с неподвижной внешней границей и локализацией

деформации на внутренней границе.

Для всех этих зон и их границ получены и исследованы системы уравнений, определяющие напряженно деформированное состояние в этих областях.

Результат, отражающий тот факт, что, начиная с определенной толщины стенок капсулы, деформация становится плоской, имеет важное практическое значение. Он свидетельствует о возможности создания капсулы радиального направленного действия. Капсулы осевого направленного действия по грубой схеме конструируются следующим образом. Боковые стенки делаются достаточно тонкими, верхняя и нижняя - толстыми. В этом случае происходит преимущественно осевая усадка. Возможность перехода в плоское деформированное состояние свидетельствует о принципиальной возможности добиться в процессе ГИП только радиальной усадки. Это важно для проектирования капсулы, когда форма поверхности порошкового изделия достаточно сложная.

В 43 исследуется поведение решения в окрестности неподвижной границы, у которой в начальный момент времени наблюдался разрыв скорости перемещений. Задача рассматривается в плоской постановке для малых моментов времени. Для исследования применялся метод аналогичный тому, который применяется в теории пограничного слоя в гидромеханике.

Проведенное исследование показывает, что в окрестности возникает зона, размером

скорость за пределами зоны; - радиус неподвижной границы), в которой доминирующую роль играют радиальные деформации. Это может привести к тому, что свойства порошкового материала уже не будут изотропными. Поэтому, возможно, модель Грина требует уточнения в этой области.

Распределение плотности и скорости в такой зоне характеризуется соотношениями.

Общий вывод из исследования следующий. Вблизи неподвижной границы реализуется-напряженное состояние аналогичное тому, которое возникает при одноосной усадке образца без поперечных перемещений. При этом радиальные напряжения принимают максимально возможные значения.

В пятой главе предлагается численный метод сведения задачи исследования процесса горячего изостатического прессования (ГИП) деталей сложной формы в условиях, близких к осесимметричным, к задаче исследования осесимметричного процесса ГИП для некоторой анизотропной среды. Даный метод разрабатывался с учетом возможности использования готовых программ численного рассчета процесса ГИП осесимметричных изделий.

Под процессом ГИП понимается определений закон изменеия во времени температуры и внешнего давления.

Цель главы - создать математическую модель эффективного описания неравномерного напряженно-деформированного состояния порошковой среды, содержащей закладные элементы в виде металлических пластин с периодической структурой. Такая геометрия характерна для изделий типа рабочих колес турбин с лопатками. Необходимость создания такой модели обусловлена следующими обстоятельствами: несмотря на очевидную трехмерность геометрии • рабочего колеса, пластическое течение при ГИП капсулы с порошком является практически осесимметричным в виду большого числа лопаток и их симметричного расположения.

Как показали экспериментальные исследования, ГИП таких деталей хорошо описывается устойчивой картиной двухмерного течения, а существенно трехмерная геометрия лопаток также может быть рассчитана на основе осесимметричного поля деформаций.

определяемый свойствами среды; - некоторая характерная

Где И = 1п—, V - скорость, г = а>

г-Ъ

Я,

Привлекательным представляется заменить трехмерную модель на осесимметричную анизотропную. Это существенно упрощает математический анализ задачи.

Ряд алгоритмов решения подобных задач основан на методе конечных элементов (МКЭ) и использует, по сути, идею метода упругих решений. Суть этого заключается в том, что алгоритм представляет итерационный процесс, где на каждом шаге итерации решается некоторая упругая задача, на основании решения упругой задачи уточняются упругие модули, и процесс повторяется до сходимости.

Подобная программа была разработана в Лаборатории Новых Технологий (ЛНТ) Селиверстовым Д Г. Эта работа проводилась в сотрудничестве с данной лабораторией.

Важным элементом этой программы является матрица, определяющая связь тензора приращений напряжений с тензором приращений деформаций, которая на каждом шаге численной итерации определяется некоторым упругим законом. Тензоры напряжений и деформаций, применетельно к используемому методу, представлены как столбцы-векторы из компонент вида.

/ \ V

<7=

, £ =

\ ЯУ

Слой «лопатка-порошок» (рис. 7) приближенно рассматриваем как две параллельные пластины. Наша цель - описать эту совокупность как единую анозотропную среду. Рассмотрим область, занятую двумя средами с упругими постоянными

Связь осредненных компонент тензоров напряжений и деформаций с компонентами напряжений и деформаций в каждой среде выражается соотношениями

где Р - коэффициент соотношения объемов ¡} = /(^ +^2), ст, £ - осредненные компоненты тензора напряжений и деформаций. - соответствующие векторы в ка-

¿1, п с 2 • ■

ждой компоненте среды.

Связь вектора напряжений с вектором деформаций определяется соотношением

где. -матрица (6X6) со следующими ненулевыми элементами а^1=а22=аз5=Х„ +

Рис.7. Схема элементарной ячейки для определения осредненных свойств среды

Рис. 8. Схема расположения лопатки в цилиндрической системе координат

Используя приближенные методы, применяемые в механике композиционных материалов, можно определить связь вида

а =Д ё.

Ненулевые элементы матрицы А имеют вид:

Л = + 2^) Х-РН (Ч+2цг )р, Л, (1-Р)+РгР

Аналогичным образом можно получить связь компонент деформации каждого слоя с осредненными компонентами деформации,

= ВкЁ , где Вк матрица размерности (6X6), ненулевые элементы которой соот- • ветственно равны.

а также связь вектора напряжений в каждой компоненте с осредненными компонентами деформаций

¿7, = Л,В,£ .

Эта связь необходима для пересчета упругих модулей в итерационном процессе. Поскольку мы пытаемся решить задачу, близкую к осесимметричной введем параметр (р, определяющий угол наклона каждой лопатки к оси VI. При этом считаем, что ось г проходит через плоскость лопатки. Введем локальную прямоугольную систему координат на лопатке (х, у, z) (рис. 8).

Наша цель - смоделировать этот процесс, как осесимметричный процесс ГИП, при котором имеют место деформации £г,£г,£„,£„и напряжения Осредненные векторы напряжений и деформаций будут иметь по четыре координаты:

Используя обычные формулы преобразования компонент тензора в разных системах координат, можно записать их связь как

а - 01,е = 0ё,

где сие- соответствующие векторы в системе координат (х,уд), [)()-матрица размерности (6X4) с ненулевыми элементами <3п=1. с125 = с1зг=со^ 11г, <122=изэ = зхАф,

с1,4=-со£ф,с164 = 31.14г ,аб2=соэ1; 81и)г,1163=-с162.

А также обратную связь - как матрицу О:

-соответствующие векторы в системе координат 0(д4)- матрица размерности (4X6) со следующими ненулевыми элементами:

дц=1.923=932=со^ Ф .Ягг=9зз=з±Й1(г, дм=-соа|г ,д„=з1«(г ,ди=соа|гз1и)г,дз,=-

Используя полученные соотношения можно установить связь

где

R=GAD

Это соотношение позволяет построить итерационную процедуру.

На определенном этапе работа проводилась совместно с д-ром G. Raisson (фирма «НТМ», Франция), и с их помощью была проведена экспериментальная проверка работы. Совместно с ЛНТ и французской стороной был разработан следующий эксперимент, который проведен во Франции.

Проведено ГИП детали, закладной элемент которой (рис. 9) являл собой трубу, нижняя часть которой разрезана на пластины, расплоложенные периодически, наклоненные под углом ср.

В эксперименте измерялись следующие величины: вертикальная усадка порошка на оси симметрии. Н (расстояние Н отсчитывалось от середины закладного элемента, определяемое по границе выреза); вертикальная усадка порошка на внутренней границе закладного элемента Н 2; вертикальная усадка порошка на внешней границе закладного

Рис. 9. Схема закладного элемента

элемента Н 3; радиальные усадки внутренней

границы закладного элемента - - верхнего

-нижнего края; радиаль-

^ 2ud * ^ ^ 5

4 2dn *

края,

-середины,

На разных этапах эксперимента изменялись угол ф, а также также р - коэффициент, выражающий отношение объема пустот нижней части детали к объему периодических элементов.

Эксперимент показал правильную качественную зависимость, и неплохое количественное совпадение экспериментальных данных и результатов рассчета. Рассчет проводился Селиверстовым Д Г. в ЛНТ. Использовался порошок ТА6 V и относительно его свойств использовалась база данных имеющаяся в распоряжении ЛНТ. Для закладного элемента использовалась сталь 18СБ4 (хромистая сталь). Для капсулы использовалась сталь ХС18.

Размеры образца были следующие:

Внутренний диаметр закладного элемента = 50мм, внешний его диаметр =70мм, Высота капсулы = 50мм, внутренний ее диаметр = 190 мм, толщина ее стенок = 5 мм, высота закладного элемента совпадала с внутренней высотой капсулы.

Результаты эксперимента и рассчета приведены в таблицах 3,4.

Таблица 3

Результаты эксперимента

NN Р л Р Radii Heights

Rlup R2up- Rlmid R2mid Rldn R2dn HI H2 H3

С52 11 0 0 0 47,79 68,32 47,57 68.65 47,77 68,02 16,3 9 23,71 24,3 5

С52 04 3 0 9 0 47,87 68,27 46,57 67,54 45,87 66,19 17,5 9 23,65 233

С52 OS 6 0 1 8 0 48,02 68,38 46,58 67,50 45,95 65.88 18,3 9 23.35 22,8 9

С52 06 3 0 9 3 0 47.57 68,03 46,59 67,53 45,92 66,07 16,9 3 23,11 23,0 3

С52 07 3 0 9 6 0 47,58 68,04 46,60 67,51 45,85 66,15 16,9 4 23,09 23

С52 08 3 0 1 8 0 47,84 68,15 46.48 67,43 45,93 65,96 18.1 7 24,01 23,4 9

С52 09 6 0 1 8 3 0 48,14 68,37 46,98 67.74 18.0 4 22,98 22,7 2

С52 10 6 0 1 8 6 0 47,97 68,30 47,37 68,24 46,52 67,65 17,4 9 22.47 22.7 8

Таблица 4

Результаты расчета:

NN P л ч> Radii Heights

Rlup R2up Rlmi d R2mi d Rldn R2dn HI H2 H3

C52 II 0 0 0 48,03 6837 47,12 68,55 48,03 6837 15,8 4 24,4 4 243 8

C52 04 3 0 9 0 48.14 6836 46,14 67,21 46,00 66,45 17,7 2 24.5 1 23,0 4

C52 05 6 0 1 8 0 4838 68,49 46,28 67,19 4536 65,40 19,0 4 243 3 22,9

C52 06 3 0 9 3 0 48,20 68,41 46,40 6735 46,17 66,69 17,6 6 24.4 5 23,1 1

C52 07 3 0 9 6 0 48,10 68,37 47,24 68,49 4632 67,99 16,7 243 4 23,6 7

C52 07b

C52 08 3 0 1 8 0

C52 09 6 0 1 8 3 0 4832 68,47 46,75 6737 45,90 66.08 18,6 5 24,4 7 23,2 2

C52 10 6 0 1 8 6 0 48,20 68,41 47,48 68,53 46,10 67,54 17,5 9 243 4 23,8 8

Отметим, что первый эксперимент проводился без вырезов для проверки точности используемой базы данных. Эксперимент показал правильную качественую зависимость и неплохое количественное совпадение экспериментальных данных и результатов расчета.

Ниже (рис. 10 а, б) приведен пример закладного элемента и детали (рабочее колесо турбины) , при изготовлении которой применялась данная методика расчета.

В приложениях 1и 2 приведены некоторые промежуточные математические результаты. В приложении 3 приведены образцы деталей, расчет которых производился по указанной методике, и акт о внедрении.

Рис. 10а. Закладной элемент

Рис 106 Рабочее колесо турбины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена важная научно-техническая проблема, заключающаяся в аналитическом исследовании некоторых нестационарных задач механики упругих и пластически сжимаемых сред в сложных, с точки зрения адекватности описания ситуациях: ударного взаимодействия и квазистатического формоизменения порошкового материала. При этом получены следующие основные результаты:

1. Разработана методика проведения модельного эксперимента по интенсивному кратковременному воздействию ударника на многослойную преграду в условиях недостаточной информации о механических свойствах материала преграды. Построена математическая модель, позволяющая натурный эксперимент заменить лабораторными квазистатическими испытаниями по продавливанию пластин.

2. Разработан инженерный подход к оценке некоторых интегральных параметров в задаче соударения цилиндрического ударника с дискоообразными пластинами, позволяющий проводить экспресс-анализ качества защитных преград.

3. Получены новые аналитические решения плоских динамических задач, которые могут быть использованы при отладке алгоритмов численных расчетов. Получено точное решение о дефекте импульса при соударении ударника с преградой.

4. Получено аналитическое решение важной практической задачи исследования начального этапа прессования труб из порошковых материалов. Выявлены различные возможные режимы деформации. Показана < возможность создания плоского деформированного состояния путем утолщения стенок капсулы. Создание капсулы с направленной радиальной усадкой существенно упростило бы важную техническую проблему проектирования капсулы.

5-Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью. Выявленная анизотропия процесса деформации позволяет уточнить вид определяющих соотношений, используемых для моде* лирования процесса.

6. Разработан математический метод исследования процесса ГИП задач, близких к осе-симметричным путем сведения их к исследованию осесимметричной задачи для некоторой анизотропной среды. Проведена его экспериментальная проверка и с использованием этого метода спроектирован ряд изделий.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Андрущенко В.А., Головешкин В.А., Холин Н.Н. Вихревые движения твердых сред в динамических задачах теории упругости.// ИФЖ.-1999.- т.72, N4, Минск. С.802-809.

2. Андрущенко В.А., Головешкин ВА., Холин Н.Н. Задача о соосном соударении цилиндра с круглой пластиной.//МТТ.- 1990, N5.C.187-196.

3. Kundikova N.D., Zeldovich В Ya., Zhigalova I.V., Goloveshkin V. A. The effect of spin-orbit interaction ofa photon and their analogues in mechanics. //Pure Appl. Opl 3 (1994).P.129-138.

4. V.A.Goloveshkin, V.AGordon, N.N.Kholin. Shear wave spreading in anisotropic medium under particular unhomogenuity properties. //J.Phys.IV France 10(2000) P.457-459.

5. Андрущенко В.А., Головешкин В.А., Горбунов A.A., Холин Н.Н. Об особенностях распространения сдвиговых волн в слоистых анизотропных средах. //Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.- 2000.-Т.6. Ы4.Москва. С.471-481.

6. Ацдрущенко В.А., Головешкин ВА., Холин Н.Н. Дефект импульса при ударе короткого стержня о гладкую преграду. //.ИФЖ.- 2001.- т.74, N1, Минск. С. 111-117.

7. Андрущенко В.А., Головешкин ВА, Горбунов А.А.,Флакс МЛ.,Холин Н.Н. .Задача о движении бесконечного клина в упругой плоскости. Автомодельное решение. //Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.-2001.-Т .7. N4. Москва. С. 502525.

04-14179

8. Головешкин В.А. О потере контакта ударника с преградой.// Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН. -1999.-Т.5. N4. Москва..С.145-150.

9. Головешкин В.А. Исследование характера особенностей напряженного состояния в одной автомодельной динамической задаче для плоского клина //Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.-2000 -т.6. N1. Москва. С.32-41.

10. Анохина А.В., Головешкин ВА., Самаров В.Н., Селиверстов Д.Г., Raisson G. Математическая модель расчета процесса горячего изостатического прессования деталей сложной формы при наличии периодический структуры закладных элементов.//Механика композиционных материалов и конструкций. .ИПРИМ РАН. -2002-т. 8. № 2. Москва. С. 245-254.

11. Анохина А.В., Головешкин В.А., Пирумов А.Р., Флакс М.Я. Исследование начального процесса прессования труб из порошковых материалов с учетом вертикальной усадки.// Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.- 2003.- Т. 9, №2. Москва. С. 123-132.

12. Анохина А.В., Головешкин В.А., Самаров В.Н., Селиверстов Д.Г. Математическая модель неравномерности деформаций при горячем изостатическом прессовании деталей сложной формы из порошков. // Металлы. -2001- №2, Москва. С.34-37.

Подписано к печати 30 06 2004 Объем 1,5 п л Тираж 100 экз Заказ К: 1512

Отпечатано на полиграфической базе Орловского государственного технического университета Адрес. 302020, г Орел, Наугорское шоссе, 29

Введение.

1. Состояние вопроса и задачи исследования.

2. Критерий подобия динамического эксперимента при динамическом воздействии на защитную конструкцию.

3. Аналитические решения некоторых динамических задач для упругой среды.

3.1. Напряженно деформированное состояние упругой плоскости при задании начальной скорости в клинообразной области.

3.2. Исследование одной автомодельной задачи для гладкого клина.

3.3. Исследование соосного соударения стержней с пластинами.8S

3.4. Дефект импульса при ударе короткого стержня о гладкую преграду.

3.5. Поворот поперечной волны в анизотропной среде при наличии неоднородности специального типа.

4. Особенности осесимметричного деформированного состояния пластически сжимаемых сред вблизи неподвижных границ.

4.1. Плоская задача о внутреннем и наружном прессовании цилиндрического слоя. 118 4.2Аналитическое решение задачи о начальном этапе прессования труб из порошковых материалов.

4.3. Исследование особенностей процесса ГИП на начальной стадии.

5. Математическая модель расчета процесса ГИП деталей сложной формы с периодической структурой закладных элементов.

5.1. Качественное обоснование целесообразности замены исходной задачи на осесимметричную.

5.2. Принцип разработки метода.

5.3.Метод построения связи осредненных составляющих.

5.4.Анализ результатов эксперимента и расчета.

Среди современных проблем механики деформируемого твердого тела выделим две. Первая - это проблема построения определяющих соотношений (математической модели связи тензора напряжений с параметрами, характеризующими деформированное состояние среды) при сложном характере процесса деформирования. Вторая - это проблема построения критерия разрушения.

В широкой области нестационарных задач механики деформируемого твердого тела можно выделить два, в некотором смысле, граничных класса. Первый - это задачи, в которых важную роль играют волновые процессы и при исследовании которых нельзя пренебрегать ускорениями в уравнениях равновесия. Второй - это такие задачи, в которых ускорения малы и не играют существенной роли, однако некоторые параметры существенно изменяются в ходе процесса нагружения. Последний класс задач наиболее характерен для исследования процесса горячего изостатического прессования (ГИП) порошковых материалов, поскольку в ходе такого процесса достигаются объемные деформации порядка 30 процентов.

С учетом указанных трудностей построения определяющих, любое решение, даже аналитическое будет приближенным с точки зрения его практического применения.

В связи с этим, необходимо определить роль аналитических решений. Роль аналитических решений таких задач может состоять в следующем. Во-первых, аналитическое решение позволяет выявить такие особенности поведения материала, которые не учитывает принятая модель и, на основании этого, внести необходимые уточнения. Во-вторых, аналитическое решение позволяет полнее исследовать поведение системы в зависимости от параметров процесса. В третьих, аналитическое решение (даже приближенное) упрощает экспресс-анализ различных вариантов на стадии проектирования. В четвертых, оно может быть использовано для отладки программ расчета конкретных процессов. Ввиду перечисленного, аналитическое исследование прикладных нестационарных задач механики деформируемого твердого тела является актуальным.

Исследование поведения твердого деформируемого тела в условиях ударного взаимодействия представляет интерес не только в оборонной промышленности, но и многих гражданских областях, например, защита ядерных реакторов от возможного попадания обломков, конструирование защитных костюмов и т.д.

Первый вопрос, рассмотренный в данной работе - это вопрос о проведении модельного эксперимента, который отражал бы все особенности исследуемого динамического процесса. Конечно, самую точную картину процесса дает натурный эксперимент. Однако, часто бывает, что проведение натурного эксперимента иногда бывает связано со слишком большими затратами, а иногда вряд ли возможно, например, разрушение реактора. Необходимость такого эксперимента связана с тем, что из-за того, что для сложных процессов определяющие соотношения будут приближенными. В связи с этим для ответственных изделий необходима экспериментальная проверка того, как точно принятые соотношения отражают реальную картину процесса. Цель состоит в том, чтобы разработать методику проведения модельного эксперимента при минимальных предположениях относительно математической формы определяющих соотношений. Этот вопрос рассмотрен во второй главе работы.

В третьей главе работы представлены точные и приближенные аналитические решения некоторых динамических задач теории упругости.

Задачи второго класса, исследуемые в настоящей работе - это задачи исследования напряжённо-деформированного состояния пластически сжимаемых сред. Исследование данных задач актуально для порошковой металлургии. Если рассматривать порошковый материал как сплошную среду, то для нее характерны большие необратимые объемные деформации, что вызывает, упомянутые ранее известные трудности математического моделирования. Вместе с тем требования к конечной геометрии порошкового изделия очень жесткие, поскольку последующая обработка изделия затруднена из-за высоких прочностных свойств, а иногда и невозможна, из-за специфики изделия. Поэтому реальный процесс налаживания производства порошковых изделий включает две три экспериментальные итерации, с внесением необходимых поправок в математическую модель после каждой.

В четвертой главе работы исследуются особенности напряженно-деформированного состояния пластически сжимаемой среды при осесимметричном процессе горячего изостатического прессования. В ней исследуются особенности, возникающие около границ закладных элементов, имеющих большую радиальную жесткость.

Основная задача математического моделирования процесса ГИП - это задача проектирования такой капсулы, чтобы после окончания процесса порошковое изделие приняло нужную форму. Решение обратной задачи - по конечной форме изделия восстановить начальную форму капсулы, затруднено из-за известных математических проблем решения некорректных задач.

Реальный процесс проектирования представляет собой многовариантный просчет различных начальных форм. Из-за приближенного характера определяющих соотношений, математическая точность требуется до определенного предела. В связи с этим, актуален вопрос о разработке приближенных таких методов расчета, которые правильно бы характеризовали интегральные параметры процесса, но существенно при этом упрощали и сам процесс моделирования, и подготовку исходных данных.

В пятой главе предложен метод расчета процесса горячего изостатического прессования изделий, содержащих периодическую структуру закладных элементов, как процесс расчета осесимметричного процесса для некоторой анизотропной среды.

Данная работа выполнена в Московской Государственной академии приборостроения и информатики и Орловском государственном техническом университете при сотрудничестве с: Лабораторией новых технологий (JTHT, г. Москва).

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00019.

Основные выводы и результаты, полученные в работе состоят в следующем.

1 .Разработана методика проведения модельного эксперимента по интенсивному кратковременному воздействию ударника на многослойную преграду в условиях недостаточной информации о механических свойствах материала преграды. Построена математическая модель, позволяющая натурный эксперимент заменить лабораторными квазистатическими испытаниями по продавливанию пластин.

2. Разработан инженерный подход к оценке некоторых интегральных параметров в задаче соударения цилиндрического ударника с дискоообразными пластинами, позволяющий проводить экспресс-анализ качества защитных преград.

3. Получены новые аналитические решения плоских динамических задач, которые могут быть использованы при отладке алгоритмов численных расчетов.Получено точное решение о дефекте импульса при соударении ударника с преградой.

4. Получено аналитическое решение важной практической задачи исследования начального этапа прессования труб из порошковых материалов. Выявлены различные возможные режимы деформации. Показана возможность создание плоского деформированного состояния путем утолщения стенок капсулы. Создание капсулы с направленной радиальной усадкой существенно упростило бы важную техническую проблему проектирования капсулы.

5.Исследованы особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью. Выявленная анизотропия процесса деформации позволяет уточнить вид определяющих соотношений, используемых для моделирования процесса.

6. Разработан математический метод исследоавния процесса ГИП задач, близких к осесимметричным путем сведения их к исследованию осесимметричной задачи для некоторой анизотропной среды. Проведена его экспериментальная проверка и с использованием этого метода спроектирован ряд изделий. ^

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Александров С.Е. Поверхности текучести пористых тел и моделирование технологических процессов в порошковой металлургии.// Автореф. дис. на соиск. уч. ст. д.ф.м.н. Минск. 1996.

3. Алтуков В.Н., Поздеев А.А. Деформирование и разрушение плиты при тепловом ударе.// ДАН СССР,- 1986.- т.286, N1.

4. Андрианкин Э.И., Степанов Ю.С. //Искусственные спутники земли, N15, 44, 1963.

5. Андрианкин Э.И., Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Алгоритм решения трехмерных задач о волновых нестационарных процессах в конденсированных средах.// ЖВММФ,- 1986.- т. 26, N6.

6. Андрианкин Э.И., Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Распространение волн при термоударе по сжимаемому слою. //Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционных материалов. Киев. 1986.

7. Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Расчеты на прочность в условиях интенсивных импульсных воздействий.// Расчеты на прочность. М.: Машиностроение.- 1990.-t.31.

8. Андрианкин Э.И.,Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Численное решение задач волновой динамики с использованием матричного процессора ЕС- 1055М.// ЖВММФ.- 1987.- т.27.

9. Андрианкин Э.И., Андрущенко В.А., Холин Н.Н. Явление кумуляции водействия лазерного излучения в твердом деформируемом теле.// Деп. в ВИНИТИ.- N3857-B86.

10. Астафьев В.И. О росте трещин при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины.// ПМТФ. -1979, N6.

11. Баренблат Г.И., Черепанов Г.П. О расклинивании хрупких тел.// ПММ.- 1960, т.24.

12. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982.

13. Большин М.Ю., Кипарисов С.С. Основы порошковой металлургии М.: Металлургия, 1978,184 с.

14. Болыпин М.Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна. М.: Металлургия. 1972. 336 с.

15. Болыпин М.Ю. Порошковое металловедение. М.: Металлургиздат. 1948. 332с.

16. Борзых А.А. Одна пространственная задача о сверхзвуковом расклинивании тела.// ПММ,- 1981-т. 45, в. 2.

17. Бригадиров Г.В. Механическое поведение конструкции при осевом ударе о преграду.// Механика деформируемого твердого тела. Сборник научных трудов. Тульский политехнический институт. Тула, 1985.

18. Будаев Б.В. Дифракция упругих волн от свободного клина: редукция к сингулярному интегральному уравнению.// Математические вопросы распространения волн. Записки, научных семинаров ЛОМИ.- 1989, т. 179.

19. Бураго Н.Г., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов.// Пакет прикладных программ "АСТРА" . М.: Препринт ИПМ АН СССР, N326,1988.

20. Васин Р.А., Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамическая зависимость между напряжениями и деформациями.// кн. Механика, Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975.

21. П.А. Витязь, В.А. Шеког, В.М. Капцевич и др. Условие пластичности анизотропных высокопористых порошковых материалов.// Порошковая металлургия. 1984, №9 1-5 сс.

22. Власов А.В., Селиверстов Д.Г. Определение функций пластичности порошковых материалов, применяемых при ГИП.// «Исследование в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства». Сб. научных трудов. Тул. ГУ. Тула, 1998, с. 46-49.

23. Власов А.В. Теория формоизменения и уплотнения порошковых материалов и создание на ее основе методик проектирования технологии ГИП.// Дисс. на соискание ученой степени д.т.н. МГТУ им. Н.Э. Баумана. М.: 2000 г.

24. Г.М. Волкогон, A.M. Дмитриев, Е.П. Добряков и др. Под общ. ред. A.M. Дмитриева, А.Г. Овчинникова. Прогрессивные технологические процессы штамповки деталей из порошков и оборудование. М.: Машиностроение. 1991. 320 с.

25. Гасанов А.Б., Ильясов М.Х., Кийко И.А. Распространение нестационарных волн в вязкоупругом полупространстве с учетом внутреннего теплообразования и зависимости свойств материала от температуры.// Изв. АН СССР. МТТ.- 1987, N1.

26. Глушко А.И. Исследование откола как процесса образования микропор.// МТТ- 1978, N5.

27. Глушко А.И. Численное исследование полей напряжения при соударении цилиндров.// МТТ-1980, N2.

28. Глушко А.И. Взаимодействие ударника в виде стакана или цилиндра с цилиндрической мишенью .//МТТ-198 5 ,N3.

29. Годунов С.К., Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

30. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

31. Голенков В.А., Радченко С.Ю. Технологические процессы обработки металлов давлением с локальным нагружением заготовки. М.: Машиностроение. 1997г.

32. Гольдштейн Р.В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах. //Инж. ж., ПММ- 1965-т. 29, в.З.

33. Гомилко A.M., Гринченко В.Т. Динамическая задача теории упругости для четверть-плоскости.// МТТ-1990, N6.

34. Горельский В.А., Хорев И.Е., Югов Н.Т. Численный расчет трехмерной задачи несимметричного взаимодействия цилиндрического бойка с пластиной.// Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционных материалов. Киев, 1986.

35. Гордон В.А., Шоркин B.C. Нелокальная теория приповерхностного слоя твердого тела. // Итоги развития механики в Туле. Международная конференция. Тезисы докладов. Тула, ТулГУ. 12-15 сентября 1998.

36. Гордон В.А., Шоркин B.C. Нелолкальная теория приповерхностного слоя твердого тела // Известия ТулГУ. т.4. - Тула, 1998.

37. Гордон В.А., Осипов В.Н. Продольные колебания неоднородного стержня при случайных воздействиях// Исследование механического сопротивления материалов и конструкций. М.:МИСИ, 1977, вып 24.

38. Гордон В.А., Мажеру В.В. Исследование изгибных колебаний неоднородных стержней методом фазовых интегралов// Исследование работы строительных конструкций и сооружений. М.: МИСИ, 1981.

39. Гордон В.А. Собственные изгибные колебания неоднородных стержней// Всесоюзн. межвуз. сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горьк., ун-т, 1985.

40. Гордон В.А., Балан В.Ф., Яниогло В.П. Изгибные колебания и устойчивость стержней с периодическими законами изменения неоднородности// Материалы 6 Всесоюзной конференции по композиционным материалам . Ереван, 1987.

41. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука ,1963.

42. Грещук JI.В. Разрушение композитных материалов при ударе с малыми скоростями. //Динамика удара. М.: Мир, 1985,.с. 1-46.

43. Григорян С.С. О некоторых работах по разрушению хрупких тел в динамических условиях//Изв. Ан СССР. МТТ. 1977. N1.

44. Грин Р.Дж. Теория пластичности пористых тел.// Сб. переводов. «Механика». 1973. №4. с. 109-120.

45. Гулидов А.И., Фомин В.М.// ЖПМТФ. 1980. N3 .С. 126-132.

46. Гун Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением. М. Металлургия. 1983. 352 с.

47. Добрушкин В.А. Решение одной задачи об ударе упругой полубесконечной пластины .// Изв. АН БССР, Сер. физ. мат. наук, 1978, N1.

48. Добрушкин В.А. Решение первой краевой задачи теории упругости для квадранта.// ДАН БССР, 1984, N2.

49. Добрушкин В.А. Аналитическое решение одной статической краевой задачи плоской теории упругости.//, Дифф. ур.,1985, т.21, N4.

50. Добрушкин В.А. Решение второй краевой задачи плоской теории упругости для клина, //Изв. АН БССР, Сер. физ. мат. наук, 1985, N4.

51. Долматова Н.Г., Кожевников Е.Н. Контактные напряжения при осевом ударе упругого стержня об упругую пластину.//МТТ-1966, № 6.

52. Друянов Б.А., Самаров В.Н. Уплотнение порошкового материала в неоднородном температурном поле. //Порошковая металлургия. 1989, №3.

53. Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение, 1989.

54. Друянов БА. Вишняков JI.P., Александров С.Е. О расчетах процессов деформирования сжимаемых анизотропных тел.//Технологическая и конструкционная пластичность порошковых материалов. Киев. Наукова думка. 1988. с.21-33 .

55. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики., М., Наука, 1972.

56. Ерманюк М.З., Казберович A.M., Рыжова Н.А., и др. Проектирование и изготовление оснастки для получения порошковых никелевых крыльчаток с закрытым рабочим трактом сложной формы.// Технология легких сплавов -1997, N°2, с. 31-34.

57. Ефимов А.Б., Зуев В.В., Майборода В.П. Динамическое нагружение однородных и слоистых конструкций с учетом разупрочнения.// Численные методы решения задачтеории упругости и пластичности. Материалы 11 Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1990.

58. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

59. Златин Н.А., Мочалов С.М., Пугачев Г.С., Брагов A.M. Временные закономерности процесса разрушения при интенсивных нагрузках.//ФТТ- 1974- т. 16, N6.

60. Зуев В.В. Определяющие соотношения теории пластичности в пространствах деформаций и напряжений.// ДАН СССР- 1978,-т. 242, N4.

61. Зукас Д.А. Проникание и пробивание твердых тел.//. Динамика удара. М.: Мир. 1985, с.110-153.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. Гостехиздат, 1948.

63. Ильюшин А.А. Пластичность. Изд. АН СССР, 1963.

64. Ильюшин А.А. Механика сплошных сред. Изд. МГУ, 1990.

65. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела.// Уч. записки МГУ- 1940, вып. 39.

66. Им"енитова Ж.М., Огурцов К.И. О нестационарном динамическом поле, возбуждаемом источником, движущемся по границе упругой полуплоскости. // Инж. ж.МТТ- 1967, N3.

67. Исраилов М.Ш. Динамическая теоря упругости и дифракция волн. М.: МГУ, 1992.

68. Исраилов М.Ш. Некоторые точные решения задач дифракции упругих волн на отрезке.// ДАН СССР- 1976- т.231, N5.

69. Исраилов М.Ш. Точные решения задач дифракции волн на двух параллельных полуплоскостях.// ДАН СССР- 1979- т.244, N4.

70. Исраилов М.Ш. Дифракция произвольной упругой волны на клине.// ДАН СССР-1980- т.253, N1.

71. Исраилов М.Ш. Точные решения трехмерных задач дифракции плоских упругих волн на клине.// ДАН СССР-1979- т.247, N4.

72. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

73. Каплунов Д.Ю. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки.// ИПМ АН СССР, препринт N277, 1986.

74. Качанов JT.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

75. Кийко И.А., Рудакова О.Б. Связанная задача термовязкоупругости о свободных нелинейных колебаниях прямоугольной пластины.// МТТ-1989, N5.

76. Кийко И.А., Рудакова О.Б. Несвязанная задача термовязкоупругости о свободных колебаниях прямоугольной пластины.// Вестн. МГУ, сер. Математика и механика.-1988, N3.

77. Ковшов А.И. Динамические напряжения в слое при поверхностном воздействии.// Инж. ж., МТТ- 1967, N3.

78. Ковшов А.Н. //Изв. РАН, МТТ, 1966, N4, с. 47-53.

79. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г, 832 с.

80. Корнеев А.И., Шутов В.Б. Численный расчет трехмерного напряженного состояния стержня при ударе частью боковой поверхности.// Изв. АН СССР, МТТ 1986, N1.

81. Костров Б.В. Автомодельные динамические задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство.// Изв. АН СССР, Механика и машиностроение-1964, N4.

82. Кравчук А.С., Малашкин А.В. К вопросу о волне разрушения.// Расчеты на прочность. Машиностроение.-1993, Выпуск 33.

83. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела, //в кн. Механика, Проблемы динамики упруго-пластических сред. М.: Мир, 1975, N5.

84. Курран Д.Р. Динамическое разрушение. Динамика удара. М.: Мир, 1985.

85. Лаптев A.M. Критерий пластичности пористых материалов.// Порошковая металлургия 1982. № 7. С. 12-17.

86. Лебедев А.И., Низовцев В.А., Раевский В.А., Соловьев В.П., Релей-Тейлоровская неустойчивость в прочных веществах.// ДАН- 1996- т. 349, N3.

87. Ленский B.C. Взаимодействие тел с высокими скоростями.// Материалы всесоюзного совещания по распространению упругопластических волн. Изд. АН АзССР. Баку, 1966.

88. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1970.-106 с.

89. Ляв А. Математическая теория упругости. Гостехиздат. 1935.

90. Майборода В.П., Кравчук А.С., Холин Н.Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Наука, 1985.

91. Майборода В.П., Холин Н.Н., Хохлов С.Я. Ударное взаимодействие неоднородных упруговязкопластических стержней. //Механика деформируемого твердого тела. Сборник научных трудов. Тульский политехнический институт. Тула, 1985.

92. Малышев Б.М. ПМТФ-1961, N2, с. 104-110.

93. Мартиросян З.А. Плоская задача о распространении давления постоянного профиля в упругом полупространстве.// Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.-мат. Наук 1964 -т. 17, N1.

94. Маркелова Е.А. Нестационарная плоская задача о подвижной нагрузке на упругом полупространстве.// МТТ-1976, N 5.

95. Михайлов С.Е. Асимптотика решений некоторых интегральных уравнений и плоских задач теории упругости вблизи углов при заданных на границе усилиях.// МТТ-1989, N3.

96. Михайлов С.Е. Решение задачи об антиплоской деформации упругих тел с угловыми точками методом интегральных уравнений.// ПММ- 1983- т.47, в.6.

97. Молотков J1.A. О колебаниях однородного упругого полупространства под действием источника, приложенного к равномерно расширяющейся окружности.// ПММ 1967- т. 31, в. 2.

98. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. К модели упругопластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования.// МТТ- 1974, N4.

99. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. Дислокационная кинетика сверхпластичности и ползучести металлов.// ДАН- 1976- т. 231, N2.

100. Николас Т. Упругопластические волны напряжений.// Динамика удара. М.: Мир, 1985.

101. Огурцов К.И. Пахоменко Л.С., Сутягина А.И. О некоторых приближенных решениях динамических задач теории упругости.// ПММ- 1962 т. 25, в. 4.

102. Огурцов К.И. Волны напряжений в упругой плите. ПММ- 1960- т. 24, в. 3.

103. Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

104. Юб.Осадчий В.А., Жадан В.Т., , Селиверстов Д.Г. Моделирование горячего изостатического прессования порошковых заготовок. //Известия ВУЗов. Черная металлургия. 1990. №5. с. 108.

105. Ю7.Перельман В.Е. Формирование порошковых материалов. М.: Металлургия. 1979. 232 с.

106. Ю8.Петрашень Г.И. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, вып. 18, JL: Наука, 1986.

107. Петрашень Г.И. Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства .//уч. зап. ЛГУ. 1950, в. 21.

108. Ю.Понтрягин Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

109. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.

110. Поручиков В.Б. Решение динамических задач теории упругости для угловых областей со смешанными граничными условиями.// ППМ 1978 - т. 42, в. 5.

111. Поручиков В.Б. Решение задачи о дифракции акустической волны на конусе.// ПММ- 1968-т. 32, в. 2.

112. Поручиков В.Б. Дифракция сферической упругой волны на клине.// ППМ 1976 - т. 40, в. 5.

113. Поручиков В.Б. Дифракция цилиндрической упругой волны на клине.// Изв. АН СССР,МТТ- 1976, N5.

114. Поручиков В.Б. Дифракция упругой волны на конусе.// Инж. журнал, МТТ 1968, N6.

115. Поручиков В.Б. К решению задач дифракции для абсолютно жестких и абсолютно мягких клиновидных экранов.// ПММ. 1980. - т. 44, в. 2.

116. Поручиков В.Б. Точные решения пространственных задач дифракции плоских упругих волн на клине.// ДАН СССР.-1981.- т. 258, N4.

117. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.

118. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.

119. Работнов Ю.Н., Суворова Ю.В. О законе деформирования металлов при одноосном нагружении.//МТТ.- 1972, N4.

120. Райнхарт Дж., Пирсон Дж. Поведение металлов при импульсных нагрузках.М.: ИЛ, 1958.

121. Рахматулин Х.А. О распространении волн разгрузки.// ПММ -1945, N1.

122. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках.,М.: Физматгиз, 1961.

123. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир ,1973.

124. Самаров В.Н., Крат Е.Н., Селиверстов Д.Г. ГИП деталей сложной формы ключ к созданию критических узлов и компонентов из перспективных труднодеформируемых материалов.// Технология легких сплавов,- 1966, №3. С. 5459.

125. Самаров В.Н., Селиверстов Д.Г. Эволюция и место процесса ГИП в системе представлений обработки металлов давлением. //Технология легких сплавов,- 1999, №4. С. 31-34.

126. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

127. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

128. Самарский А. А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

129. Свифт Х.Ф. Механика соударения со сверхвысокими скоростями.// Динамика удара. М.:: Мир, 1985.

130. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике .М.: Наука, 1977.

131. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. // Наукова думка. Киев. 1972. 152 с.

132. Скороход В.В., Мартынова И.Ф., Штерн М.Б. Теория нелинейного вязкого и пластического поведения пористых материалов.// Порошковая металлургия. -1987, №8 с. 23-30.

133. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа,1969.

134. Соколовский В.В. Распространение упруговязкопластических волн в стержнях// ПММ, N3.

135. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

136. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов, М.: Мир, 1977.

137. Тимошенко С.П., Гудьер Дж.Н. Теория упругости, М.:, Наука, 1975.

138. Толинов Х.Б. Динамическая задача теории упругости для угловых областей с однородными граничными условиями.// ПММ-1993.- т. 57, в.5.

139. Уилкинс М., Френч С., Сорем М. Конечно-разностная схема для решения задач , зависящих от трех пространственных координат и времени, Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1975.

140. Фадеенко Ю.И. Зависимость размеров кратера от твердости мишени. ПМТФ, N5, 1964.

141. Федоренко И.М., Андриевский В.А. Основы порошковой металлургии. Киев. изд. АНЦССР. 1963,420 с.

142. Фрост Г., Эшби М.Ф. Карты механизмов деформаций. Челябинск. Металлургия. 1989. 328 с.

143. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики .//сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.

144. Хилл Р. Математическая теория пластичности. ГНТЛ. 1956.

145. Чебан В.Г, Назвал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А . Численные методы решения задач динамической теории упругости. Кишинев , 1976.

146. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения.// Проблемы прочности. 1987, N8.

147. Г.Шлихтинг. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

148. Шмегер С.В. Метод решения плоских начально-краевых задач динамической теории упругости. ПММ-1997.- т. 61 в. 2.

149. Шоркин B.C. Теория упругости поверхностных слоев твердых тел //Известия. ТулГУ. 1995. -т.1. -В.2.

150. Штерн М.Б. К теории пластичности пористых тел уплотняемых порошков.// Реологические модели и процессы деформирования пористых, порошковых и композиционных материалов. Киев. Наукова Думка. 1985.

151. Штерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко Л.А., и др. Феноменологические теории прессования порошков.//Киев. Наукова думка. 1982. 140 с.

152. Эйчельбергер Р., Дж. Кайнике Высокоскоростной удар. Физикабыстропротекающих процессов. М.: Мир, 1971.

153. Alter В.Е.К., Curtis C.W.//J. Appl. Phys,.-1956- 27,1097.

154. Arzt E., Ashby M.F., Easterling K.E. Practical application of Hot Isostatic Pressing diagrams: four case stadies.// Metall. Trans. -1983.- V.14A, p 211-221.

155. Ashby M.F. A first report of sintering diagrams.// Acta Metall.- 1974,- v.22. p. 275-284.

156. Beil J.F., Tech. Rpt, No 5, US Navy Contract N6-onr-243, Johns Hopkins Universiti,1951.

157. Bianchy J., H. Kolsky, W. Prager .in Stress Waves in Anelastic Solids.//, Springer-Verlag. -1964-Berlin.

158. Chou P.C., Hopkins A.K., Eds.Dynamics Response of material to intense Impulsive Loading. //Air Force Materials Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1973.

159. Clifton R.J., in S. Nermat-Nasser (Ed),Mechanics Today, Vol 1, Pergamon, N.J., !974, p.102.

160. Cristescu N., Dynamic Plasticiti, North Holland, Amsterdam, 1967.

161. Cristescu N. Bui. Acad. Pol.Sci, 11, 129,1963.

162. Cristescu N., in Mechanical Behavior of Materials under Dinamic Loads, U.S. Lindholm (E.d.), Springer-Verlag,N.Y. 1968.

163. Cristescu N. Int. J. Solids Struct 8, 511 ,!972.

164. Cristescu N. Appl.Mech. Rev.,21, 659,1968.

165. Cristescu N., Bell J.F.,in Inelastic Behavior of Solids, M.F. Kanninen et al Eds, Mc Craw, N.Y.,1970.

166. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies.// Geotechnique.- 1979. v.29, p.47-65.

167. R.E. Dutton, S. Shamasundar and S.L. Semilatin. Modeling the Hot Consolidation of Ceramic and Metal Powders// Metall. Trans. A. 26A (1995).

168. R.E. Dutton, D.P. Delo, S.L. Semilatin, H.R. Pichler Modeling of Hot Isostatic Pressing and Hot Triaxial Compaction of Ti-6AC-4V Powder. //Acta mater.- 1999- Vol 47. No 9. pp 2841-2852.

169. R.E. Dutton, H.R. Semilatin, S. Shamasundar. Material Modeling of Hot Consolidation Metal.// Processing and Fabrication of advanced material. IV. TMS. P.A. 1996. pp. 39-56.

170. R.E. Dutton, S.L. Semilatin. The Effect of Density Anisotropy on the Yielding and Flow behavior of Partically Consolidated Powder Compacts. //Metallurgical and material transaction.- May 1998- V29A. pp 1471 1475.

171. R.E. Dutton, S. Shamasundar and S.L. Semilatin. Modeling the Hot Consolidating of Ceramic and Metal Powders.// Metall. Trans. A. 26A (1995). pp. 2041-2051.

172. R.E. Dutton, Semilatin H.R., S. Shamasundar. Material modeling for Hot fabrication of Advanced Materials IV Edited by T.S. Srivatsan and J.J. More. The Minerals. Metals&Materials Society, 1996.

173. R.E. Dutton, R.L. Goetz, S. Shamasundar, Semilatin S.L. "The Ring Test for P/M Materials".// Journal of Manufacturing Sciena and Engineering.- 1998. November.- Vol 120. pp. 764-769.

174. Donnell L.H., Trans ASME, 52,153, 1930.

175. S.M. Doraivelu, H.L. Gegel, J.S. Cunasekera, J.C. Malas, J.N. Morgan ans J.F. Thomas, Jr. "A new Yield Functionfor Complessible P/M Materials. //Inter. J. Mech, Sci.-1984, 26 ,p. 527-535.

176. Goldsmith W, Impact, Arnold, London, 1960.

177. Graggs J.W., in I.N. Sneddon and R. Hill (Eds). Progress in Solid Mechanics.// North Holland, Amsterdam, Vol 2,1961.

178. Gresczuk L.B., Chao H., U.S.Army Air Mobiliti R and D Center, USAAMRDL-TR-75-15,1975.

179. Gresczuk L.B.,Mc. Donnell Douglas Aeronautic Company Report. DAC 60869,1967.

180. Helle A.S., Easterling K.E., Ashby M.F. Hot Isostatic Pressing diagrams: New development. Acta Metall. 1985. v.33. p. 2163-2174.

181. Hertz H„ J. Rline Ang. Math., 92,156, 1881.

182. Hertz H., Gesammelte Werke, 1, Leipzig, 155, 1895.

183. Herrmann W., in Wave Propagation in Solids, J. Miklowitz (Ed), ASME,N.Y., 1969.

184. Hopkins H.G., Progress in Applied Mechanics,Macmillan, N.J.,1963.

185. Hopkinson J., Coll. Sci. Paper, Cambridge Univ. Press, 2, !901.

186. Karman Т., von.,Nar. Def. Res.Counc. Rep. A-29,1942.

187. Kuhn H.A., Downey C.L. Deformation characteristics and Plastisity theory of Sintered powder material Int J. Powder Met, 1971,1 1 15-25 pp.

188. Lee E.H., in Inelastic Behavior of Solids, M.F. Kanninen et al (Eds), Mc. Graw, N.Y.,1970.

189. Lord Raylagh, Phil. Mag., 11, 283, 1906.

190. Malvern L.E., J. Appl. Mech.,'Trans ASME, 18 203,1953.

191. Malvern L.E., Qart. Appl. Math., 8, 405, 1951.

192. Moon F.C., National Aeronautic and Space Administration, N ASA, CR-121110,1972.

193. Norris C.B., Forrest Products Laboratory,FPL, 1816, 1950.

194. Nowcki W.K., Stress Waves in Non-Elastic Solids, Pergamon, Oxford, 1978.

195. Perzyna P., Qart. Appl. Math.,20,231,1963.

196. V. Samarov, D. Seliverstov, E. Kratt, G. Raisson. HIP of Complex shape parts the way to industrial technology through modeling, capsule design and demonstrators. Proceeding of International Conference on HIP. China, 1999.

197. Samarov V.N., Alexandrov S.A., Extrom P., Seliverstov D.G. Capsule Design for Hot Isostatic Pressing of Complex Shape Parts, Hot Isostatic Pressing'93 Elsvier, 1994 pp 555561.

198. Samarov V.N., Seliverstov D.G. HIP Modeling of Complex Shape Parts: Experience. Trends and Perspectives.// Powder Metallurgy World Congress. Proceedings. 1994.

199. Samarov V.N. Seliverstov D.G., Kratt E. Development and manufacturing of "net shape" critical rotating parts from Ni-base superalloy.// Proceedings of International Conference on Hot Isostatic Pressing. Beijing, China. 1999.

200. V. Seetharaman, S.M. Doraivelu and H.L. Gegel. Plastic Deformation Behavior of Compressible Solids. //J.Mat. Shaping Techn. 8 (1990).p. 239-248.

201. S. Shima and M. Oyane. Plasticity Theory for Porous Metals. //Inter. J.Mech. Sci. 181976, p.285-291.

202. Starnes J.H., Rhodes M.D., Williams J.G., National Aeronautic and Space Administration. NASA TM 78796,1978.

203. Strenglass E.J., Stuart D.A., J. Appl. Mech., Trans ASME,20,427, 1953.

204. Suh N.P. A yield criterion for plastic, frictional work hardening granular materials. //Int. J.Powder Met. 1969, N 1, 69-76 pp.

205. Sun C.T., Chattopadhyay S.J.// Appl. Mech. Trans. ASME, 42, No 3, 693, 1975.

206. Tabata Т., Masani S., Abe Y. A yield criterion for porous material and analysis of axi-symmetric compression of porous disks.// Tap. Soc. Technol. Prast., 1977, 196 pp 373380.

207. Taylor J.W. Britiish Ministry of Home Security, Civil Defence Res, Comm. Rep. RC329, !942.

208. Ting T.C.T., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata, J. Shioiry (Eds), Springer-Verlag, Berlin, 1978.

209. White M.P.,Griffis Le Van, J. Appl. Mech., Trans ASME, 15, 256 1948.

210. Williams J.G., Anderson M.S., Rhodes M.D., Starnes J.H., National Aeronautic and Space Administration, NASA TM 80077, 1979.

211. Zienkievich O.C., Taylor R.L. The finite elements method. New York. Nc Graw Hill. 1977. p. 376.

212. Андрущенко В.А., Головешкин В.А., Холин H.H. Вихревые движения твердых сред в динамических задачах теории упругости.// ИФЖ.-1999.- т.72, N4, Минск. С.802-809.

213. Андрущенко В.А., Головешкин В.А., Холин Н.Н. Задача о соосном соударении цилиндра с круглой пластиной.// МТТ.- 1990, N5.C. 187-196.

214. Kundikova N.D., Zeldovich В Ya., Zhigalova I.V., Goloveshkin V. A. The effect of spin-orbit interaction of a photon and their analogues in mechanics. //Pure Appl. Opt. 3 (1994).P. 129-138.

215. V.A.Goloveshkin, V.A.Gordon, N.N.Kholin. Shear wave spreading in anisotropic medium under particular unhomogenuity properties. //J.Phys.IV France 10(2000) P.457-459.

216. Андрущенко В.А., Головешкин В.А., Горбунов А.А., Холин Н.Н. Об особенностях распространения сдвиговых волн в слоистых анизотропных средах. //Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.- 2000.-T.6. N4.Москва. С.471-481.

217. Головешкин В.А. О потере контакта ударника с преградой.// Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН. -1999.-т.5. N4. Москва.С. 145-150.

218. Головешкин В.А. Исследование характера особенностей напряженного состояния в одной автомодельной динамической задаче для плоского клина.//Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН.-2000.-т.6. N1. Москва. С.32-41.

219. А.В. Анохина, В.А. Головешкин В.А., В.Н. Самаров, Д.Г. Селиверстов. Математическая модель неравномерности деформаций при горячем изостатическом прессовании деталей сложной формы из порошков.

220. Металлы. -2001- №2, Москва. С.34-37.

221. A.V. Anohina, V.A. Goloveshkin, A.R. Pirumov, M.J. Flaks. Modeling of HIP of Hollow Cylindric Parts With One Fixed Board. //Proceedings of International Conference on Hot Isostatic Pressing. HIP'02. VILS. 2003.P.229-233.

222. Goloveshkon V.A., Kazberovich A.M., Samarov V.N., Seliverstov D.G., New Regularities of the Shape-Changing of Hollow Parts During HIP.// Hot Isostatic Pressing Theory and Applications ESP. London, 1992.P.281-295.

223. Головешкин В.А., Пирумов А.Р., Флакс М.Я. Особенности поведения поля скоростей в осесимметричной задаче горячего изостатического прессования. //Моделирование и исследование сложных систем. Сборник трудов. Том 1. МГАПИ. Москва. 2003. с. 52-56.

224. Головешкин В.А. Исследование напряженно деформированного состояния упругой плоскости под действием лучевой нагрузки.//Межвуз. Сб. Вопросы исследования прочности деталей машин. Вып.6. М.: МГАПИ. 2000. С. 10-16.

225. Холин Н.Н., Толоконников O.JL, Головешкин В.А., Дмитриев В.И., Линев Б.А. Некоторые вопросы исследования динамического водействия на защитную конструкцию. .//Межвуз. Сб. Вопросы исследования прочности деталей машин. Вып.6. М.: МГАПИ. 2000. С. 33-45.

226. Головешкин B.A. Удар П-образной области о неподвижную преграду .//Научные труды 2 Межд. научн. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и права. Кн. Приборостроение. М.: МГАПИ, 1999. С.40-45.