Влияние сильного электрон-фононного взаимодействия на динамические и термодинамические свойства сверхпроводников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

на правах рукописи

ДОЛГОВ Олег Владимирович

ВЛИЯНИЕ СИЛЬНОГО ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ

(01.04.02 - теоретическая физика) .

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Москва - 1996

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И. Е. Тамма Физического Института им. П. Н. Лебедева РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук Г. М. Элнашберг ( ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН )

доктор физико-математических наук Л. А. Максимов

( ННЦ "Курчатовский институт")

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук

М. В. Садовский

( Институт электрофизики УрО РАН )

Везущая организация: Кафедра теоретической ядерной

физики МИФИ

Зашпта состоится "30 »с Я 1996 г. в_часов на заседании

Специализированного Совета Д 002.39.03 Физического института им. П.Н.Лебедева РАН по адресу: 117924 Москва, Ленинский проспект 53

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН Автореферат разослан "__"__1996 г.

Ученый секретарь ' Специализированного Совета доктор физико-математических наук

Л. М. Горбунов

Оглавление

Общая характеристика работы Введение

Электронные состояния в сверхпроводниках с сильным ЭФВ .Оптические свойства нормального состояния 4.1.Оптическая проводимость

4.2."Обобщенная" формула Друде

4.3.Анализ спектра промежуточных бооонов

4.4.Температурная зависимость сопротивления .Спектр возбуждений сверхпроводников .Оптпческне свойства сверхпроводников с сильным ЭФВ

6.1.Оптическая проводимость

6.2.Температурная зависимость проводимости и двужидкостная мо-

ель

6.3.Оптическое поглощение в пределе сильной связи 6.4.Холынтейновский сдвиг н ВТСП и его наблюдение с помощью тер-:омодуляцпонной рефлектометрии .Термодинамические свойства систем с сильным ЭФВ 7.1 .Высокотемпературные сверхпроводники 7.2.Сверхпроводящие фуллерены .Приложение. Вершинные функции для оптической проводимости .Заключение

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы теории сильного электрон-фононного взаимодействия начали разрабатываться задолго до открытия высокотемпературных сверхпроводников. Параллельно шло развитие оптических методов исследования сверхпроводящего состояния. Вместе с туннельными экспериментами эти данные подтвердили электрон-фононный механизм сверхпроводимости в низкотемпературных сверхпроводниках ( за исключением, может быть, систем с тяжелыми фермнонами). С открытием высокотемпературных сверхпроводников в 1986 г. вопрос о механизме сверхпроводимости в данных соединениях вышел на первое место. Появилось большое количество теорий, в том числе и весьма экзотических, объясняющих отдельные экспериментальные факты. В то же время среди этих моделей не существует теорни, охватывающей широкий круг явлений. Единственной теорией, позволяющей сделать количественные выводы, как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии, является теория сильного эдектрон-фононного (бозонного) взаимодействия. Под бозонами понимаются возбуждения, лежащие в области фононных частот (магнитные флуктуации, низколежащие экситоны и т.д.). Более того в последнее время, с улучшением качества кристаллов и экспериментальной методики, широкое применение получили оптические методы исследования высокотемпературных сверхпроводников. Указанная модель сильного запаздывающего межэлектронного взаимодействия позволяет не только объяснить существующие результаты, но и на их основе определить основные характеристики переносчиков межэлектронного взаимодействия (промежуточных бозопов). Последнее, вместе с появившимися в недавнее время надежными туннельными данными, позволяет выполнить количественное описание многих свойств высокотемпературных сверхпроводников, а также сверхпроводящих фуллеренов, к которым также в последнее время привлечено большое внимание не только с научной точки зрения, но и с точки зрения практического применения, ко-

горое, в свою очередь, затруднено отсутствием однозначного ответа о хрнроде механизма сверхпроводимости в указанных соединениях. Основной целью выполненного автором в 1981-1995 годах цикла работ гвляется последовательное описание динамических (кинетических) и термодинамических свойств сверхпроводпиков (включая высокотемператур-гые сверхпроводники и фуллерены) с сильным эдектрон-фононным (боронным) взаимодействием. Диссертацию условно можно разбить на четыре части, основные положения и результаты, которых выносятся на ращпту:

[. Построение единой микроскопической схемы для описания элекгрон-мх характеристик II оптических свойств в нормальном состоянии при температурах, превышающих критическую температуру сверхпроводя-цего перехода. Объяснение линейной зависимости от частоты обратного оптического времени релаксации.

I. Анализ (реконструкция) параметров спектра промежуточных бозонов 13 электромагнитных свойств нормального состояния для высокотемпературных сверхпроводников и соединений с тяжелыми фермионами. 5. Исследование температурных зависимостей оптических и термоди-гамических свойств металлов с сильным электрон-фононным взаимодей-;твием в сверхпроводящем состоянии. Наблюдение, так называемого, сдвига Холыитейиа в сверхпроводящем состояшш.

1. Последовательное описание термодинамических свойств фуллеренов, >снованное' на предложенной модели взаимодействия электронов как с шзкочастотными межмолскулярными колебаниями, так и с внутримоле-сулярными фояонами.

Заучная новизна и достоверность. Все основные результаты, приведенное в диссертации, являются оригинальными и получены автором впер-зые. Научные положения и выводы диссертации обоснованы использова-шем хорошо опробированного на низкотемпературных сверхпроводнп-сах микроскопического описания эффектов сильной связи, а также коли-тественным согласием, полученных теоретических результатов с имею-

щимися экспериментальными данными. Кроме того , ряд результатов, представленных в диссертации, был подтвержден более поздними расчетами других авторов.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены и докладывались: - на трех Международных конференциях по Материалам и Механизмам Сверхпроводимости (Интерлакен, Швейцария 1988, Стэн-форд, США 1989, Гренобль, Франция 1994), Международных конференциях по ВТСП (Сингапур 1988, Джайпур, Индия 1988), Международных рабочих совещаниях по ВТСГ1 (Турин, Италия 1989, 1994; Оакстепек, Мексика 1990; Майами, США 1995), Советско-немецком рабочем совещании по спектроскопии (Бад Хонев, ФРГ 1991), Ежегодном съезде нидерландских физиков твердого тела (Вельдховен, Нидерланды 1993). На научных семинарах в ФИАН, ИТФ, ИФП, МИФИ, ИФП, ИСАИ. В Университетах Аахена,Байройта, Регенсбурга, Бохума, Свободного Университета Берлина, в Институте пм.М.Планка в Штутгарте, Рабочей группе пм.М.Планка в Дрездене (ФРГ), Университетах Гронингена, Дельфта, Лейдена (Нидерланды), Международном центре теотетической физики в Триесте, Университетах Рима, Турина, Болоньи (Италия), Кембриджа, Оксфорда, Брайтона, Бирмингема (Великобритания), в Институте им. М.Планка (Гренобль), Высшей нормальной школе в Париже (Франция), Аргонской национальной лаборатории, Исследовательской лаборатории ВМС США, Национальной лаборатории им. Лоуренса в Беркли, Университетах Стопи Брук (Нью Порт;), Ратгерс (США).

Публикация работы. Основное содержание диссертации опубликование в 36 научных статьях-и двух монографиях" Superconductivity, Superfluidity and Superdiamagnetism" и "Dielectric Function of Condensed Systems", цитируемых в конце реферата ( ссылки 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 24, 27, 28, 37, 38, 39, 46, 52, 56, 57, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 74, 79, 82, 83, 88, 93, 94, 95, 96, 99,103, 108 ).

2 Введение

За прошедшую декаду со времени открытия высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) до сих пор не достигнуто теоретического консенсуса о природе сверхпроводимости в данных веществах. Речь идет не только о сверхпроводящих свойствах, которые действительно кажутся аномальными, но и об описании нормального ( выше Тс) состояния данных веществ. До сих пор общественное мнение продолжает отрицать саму возможность того, что многие свойства ВТСП могут быть описаны не только с помощью стандартного электрон-фонопного взаимодействия (ЭФВ), но, даже в рамках теории ферми-жидкости. Основные аргументы гледующие:

а.) сама высокая критическая температура, 5) близость к антиферромагнетизму, з) двумерная кристаллическая структура, :■) необычное поведение в нормальном состоянии.

Однако, в последнее время появились сдвиги в сторону прнятия обычного, тотя н видоизмененного, механизма. Аргументы за такую возможность зключают в себя:

г') хорошие совпадения данных по фотоэмиссии и позитронной анигиля-11ш с поверхностью Ферми, вычисленной с помощью зонных расчетов, 5') кубическая (то есть не квазпдвумерная) кристаллическая структура :верхпроводнпков на основе ВаВЮз и фуллеренов,

з') электрон-фононный характер сверхпроводимости в соединениях М^Сем. Трежде всего заметим, что хотя нпоколежащпе электронные и фонон-¡ые возбуждения были обнаружены экспериментально, основное внима-ше было обращено на свойства электронной подсистемы.

В начале рассмотрим фундамент, на котором покоится "стандартный" шектрон- фононный подход. Это три "кита" [1]: .. Теория ферми-жидкости Ландау, !. Приближение Миг дала,

3. БКШ - тип спаривания (конденсации).

Обобщение теории ВКШ на сильное ЭФВ - теория Элнашберга (ТЭ), является комбинацией выше указанных положений. При этом следует заметить, что ТЭ для нормального состояния, с учетом вершинных функций, обычно называется квантовым уравнением Больцмана (см.[2], [1]). Приближение Мигдада довольно хорошо выполняется для ВТСП и гораздо хуже для внутримолекулярных колебаний металлических фуллеренов. Вопрос о применимости этого приближения будет рассмотрен ниже.

Наибольшим нападкам подвергался первый пункт - возможность использования теории ферми-жидкости.- Основным положением теории ферми жидкости Ландау является следующее: электронная система металлов в нормальиом состоянии описывается хорошо определенными одночастич-ными возбуждениями, переносящими заряд ±е и полуцелый саин. Только в этом случае можно говорить о взаимодействии п спаривании таких квазпчастиц. В значительной части публикаций по ВТСП утверждается, что даже нормальное состояние этих веществ не может быть описано в рамках указанной теории, а представляет собой новый тип квантовой жидкости. Это может быть, так называемая жидкость Латтинжера, чье геетическое происхождение ведется от КУВ - модели [3]. В этой модели ие существует хорошо определенных электронных возбуждений, а заряд и спины переносятся отдельно новыми возбуждениями - холонами и сшшо-нами. Существует другой вариант, в котором не выполняются условия 1) и 2). Это так называемая ферми-жидкость [4]. В этой феноменологической теории предполагается, что одноэлектронные возбуждения не являются хорошо определенными квазичастицами, например, квазичастичиая масса при Т=0 пш = (1 логарифмически расходится, что приводит к непрерывной (по имеющей логарифмическую расходимость в производной) функции распределения на поверхности Ферми. Однако более корректный учет, так называемых вершинных поправок, приводит к тому, что прн низких температурах теория маргинальной ферми-жидкости переходит в

стандартную [5].

Последний пункт, связанный с типом спаривания, также вызывает множество споров. В стандартной теории БКШ постулируется спаривание электронов в импульсном пространстве с противоположно направленными спинами н импульсами к и -к вблизи поверхности Ферми. Существуют альтернативные теории, где спаривание происходит в реальном пространстве в бпполяроны тгаи спиновые мешки. В дальнейшем мы не будем касаться данного вида спаривания. Однако в стандартном БКШ-типе спаривания среди теоретиков существуют большие разногласия относительно агента, переносящего межэлектронное взаимодействие. В стандартной теории это- фононы, но это могут быть спиновые флуктуации (парамагноны) или ниоколежащие электронные возбуждения (эк-ентоны). Это автоматически накладывает ограничение на симметрию параметра порядка Д^. Например, в случае спиновых флуктуации это может быть р- или ¿-спаривание. Однако, даже в случае ЭФВ, широко распространено мнение, что такого взаимодействия недостаточно для высоких критических температур. Бытует мнение, что существуют общие ограничения на Тс, независимо от вида взаимодействия. Коэи и Андерсон [6] в начале семидесятых годов высказали утверждение, что в рамках теории БКШ принципиально нельзя получить высокие критические значения Тс > ЮЛ". Это утверждение, в более резкой форме, было повторено Андерсоном [7], где оп довел ограничение до 1К. Это связано с тем, что помимо ЭФВ в электрон-ионной системе, всегда существует прямое кулоновсхое отталкивание, причем оба эти взаимодействия не являются независимыми. В случае слабой связи, критическая температура записывается в следующем виде 1

где А- константа ЭФВ, ги- характерная частота бозонов ( фононов или

'см., подробности в книге [8]

(1)

экситонов), а /I*- так называемый кулоновский псевдопотенцнал

^ = 1 +мЫ(егМ' (2)

где ер- характерная электронная энергия.

Вместе А и /х выражаются через полную статическую диэлектрическую проницаемость (ДП) системы

= (3)

'Л 2д|д2е<О((Ч,0)'

где Лг(0)- плотность состояний на поверхности Ферми, а интегрирование по q!cooтвeтcтвyeт усреднению по этой поверхности. Если поверить теперь утверждению Андерсона и Коэна (см. также книгу [9]), что в стабильной системе статическая диэлектрическая проницаемость е(я,0) должна удовлетворять неравенству

<(Ч,0)>1, (4)

то из положительности автоматически следует условие

р > X. (5)

Последнее, с учетом выражений (1) и (2) и более корректным учетом эффектов сильной связи, приводит к существованию максимального значения Тс

ГГх = ^ехр(-4-3/А). (6)

Для типичного значения в металлах £р ~ 10еУ, из этого следует, что Тс < 10К [6] или даже 1К [7]. Конечно х конкретным цифрам нельзя относиться серьезно, но это означало бы невозможность получения высоких критических температур, сравнимых с Тс ВТСП ни в фононном, ни в экс-итонном механизме. Поэтому важным был ответ на вопрос о возможном знаке статической диэлектрической проницаемости 0). Этому были посвящены работы [10],[8],[14],[11],[15],[16], где было показано, что условие (4) выполняется только при q = 0. Более общее условие, вытекающее

из требований причинности и стабильности среды гласит [10],[8],[14] для

1/е(Ч,0) <1, (7)

что допускает возможность отрицательных значении е^, 0). Это устраняет ограничения (5) н приводит к отсутствию максимума в Тс. Вопрос о реализации такой возможности был рассмотрен в работах [14], [11], [12], [13], [15], [16]. Мы не будем останавливаться подробно на исследовании продольной диэлектрической проницаемости в кристаллических системах (этому посвящена Глава4 в книге [15]), но выпишем полную диэлектрическую проницаемость, состоящую из двух вкладов - электронного и фо-нонного

1/€**(ч,0) = 1Ле:(ч,0) - (1/е£!(Ч,0))2§Е^^?• (8)

Я А ^А(Ч)

Здесь €е[- статическая ДГ1 электронного газа, П.,/- плазменная частота ионной решетки, ^д(я) и частота и вектор поляризации фонопов,

соответственно. В однокомпонентноп системе можно переписать (8) и уравнение на частоту продольного фонона, входящего в это уравнение через так называемую поправку на локальное поле (У^) [11]

О2

= -^(1 - ее/(Ч,0)ед). (10)

е<

Функция выражается через некую сумму по векторам обратной решетки. Из условия положительности квадрата фононных частот ( при ее/(Ч)0) > 0) с необходимостью следует отрицательный знак полной ста-тическохх диэлектрической проницаемости за счет вклада ионных колебаний. Таким образом, в отличие от утверждений [6] и [7], в фононном механизме отсутствуют ограничения на критическую температуру сверхпроводимости.

Более сложной представляется ситуация с нефононным механизмом сверхпроводимости. Для этого необходимо £ег(<1> 0) < 0. Сам по себе отрицательный знак электронной ДП не противоречит общим свойствам устойчивости электронной подсистемы. Неустойчивость тппа волны зарядовой плотности возникает при больших значениях константы взаимодействия а — е2/тт\гр, чем появление отрицательных значений электронной ДП (см.,[17], [12]). Однако, согласно (10), это могло бы привести к неустойчивости иоаноп решетки (отрицательному знаку квадрата фотонной частоты). Таким образом реальная опасность неустойчивости в кристаллических системах возникает не из-за возникновения неустойчивости типа волны зарядовой плотности в электронной подсистеме, а из-за возможного появления неустойчивости в фононной подсистеме, связанной с электронной ДП. Вторым важным фактором является то обстоятельство, что электронная ДП становится отрицательной только в случае сильного межэлектронного взаимодействия из-за, так называемых, поправок па локальное поле ( или вершинных функций). В этом случае эффективное межэлектронное взаимодействие электронов с противоположно направленными спинами не выражается непосредственно через электронную ДП, а выражается более сложной формулой (см.,([16]))

где Ус = 47ге2/д2- кулоновское взаимодействие хо- электронная восприимчивость, айиб зарядовая и спиновая поправки па локальное поле, еш-полная ДП (8). Зарядовая С и спиновая (5 поправки на локальное поле определяют электронную диэлектрическую проницаемость

(12)

и магнитную восприимчивость

соответственно. В выражении (11) второй члеп отвечает па взаимодействие за счет зарядовых, а последний за счет спиновых флуктуации.2

Таким образом наиболее эффективным механизмом, который может привести к высоким Тс, является стандартный фононный механизм.

Чем /ко отличаются высокотемпературные сверхпроводники и фулле-рены от обычных сверхпроводящих металлов? Какие особенности приводят к высоким Тс? Основным параметром, определяющим ЭФВ является так называемая функция Элиашберга или спектральная плотность ЭФВ, a2(u>)F(u) , где F(u>)- плотность состояний фононов, а а2(ш)- квадрат матричного элемента ЭФВ. Эта функция определяется экспериментально из туннельных и, как будет показано ниже, оптических измерений. Через эту функцию определяются основные параметры сверхпроводника, например А-констанга ЭФВ

Ä = 2ffa2(n)F(Q) (14)

и характерная частота w

Into = jj™ ~lnüa2{Q)F{ti), (15)

входящие в выражение для Тс (1) в случае слабой связи. Главной особенностью ВТСП и фуллеренов является широкий спектр фононов F(u>): Это связано с наличием легких элементов, таких как кислород и углерод. Для сравнеппя знамение zu для соединения Nb3Ge. с максимальным значением Тс=23,2К, известным до открытия ВТСП, равно vj м 160К. Характерные значения спектров высокотемпературных сверхпроводников, полученных из туннельных и оптических данных, дают значение ги > 50071 и спектр F(u>) простирается вплоть до u>Tmx ä 1000Jv. В фуллеренах эта величина еще больше (выше 1500К), что приводит к проблемам с использованием теоремы Магдала.

2В случае s- спаривания этот член приводит к дополнительному отталкиванию. Для /¿-спаривания именно этот член может привести к сверхпроводимо сти.

Вообще говоря, наличие в металлическом соединении легких элементов не гарантирует высоких Тс. Так, исследованные до появления ВТСП оксиды, карбиды, нитриды и гидриды обладали высокими характерными частотами, но малыми плотностями состояний на поверхности Ферми и небольшими константами связи Л. С другой стороны, большие константы А : наблюдались в веществах, содержащих тяжелые элементы. Так, например, сплав -РЬо,45^о,55 обладает А = 2,59, но его Тс лишь 7К. Таким образом ВТСП обладают двумя особенностями важными для Тс:

1) широким фонопным спектром

2) довольно большой константой связи А ~ 1 -5- 2.

Выяснение причин такого довольно сильного взаимодействия не является целью данной работы. Мы отошлем читателя к обзорам Гинзбурга и Максимова [18], [19], где с точки зрения зонных расчетов обсуждается данный вопрос. Отметим лишь основные причнны, способствующие появлению в ВТСП оксидах сильного ЭФВ. Это:

1) из-за близости электронных уровней ионов Си2+ и О2" происходит сильная гибридизация ¿-состояний Си и р- кислорода. Это приводит к появлению на поверхности Ферми состояний, связанных с легким кислородом, что позволяет вовлечь последний в ЭФВ.

2) квазидвумерный слоистый характер приводит, во-первых, к большой плотности электронных состояний на поверхности Ферми и,во-вторых,к ослаблению кулоновского потенциала ионов в направлении поперек слоев, что приводит к сильному ЭФВ с колебаниями перпендикулярными плотности Си02 за счет кулоновского потенциала Маделунга.

3) надо также отметить, что в высокотемпературных сверхпроводниках лишь один электрон из примерно сорока непосредственно участвует в проводимости, остальные же электроны обеспечивают стабидьость решетки, что и позволяет получить большие значения А > 2, не опасаясь решеточных пеуст о ичпв о с т ей.

Целью данной работы является изучение эффектов сильного электрон-фононного взаимодействия на оптические и термодинамические свойства

сверхпроводников, а также анализ характеристик ЭФВ, исходя из экспериментальных данных. Структура автореферата такова: в Главе 3 рассматриваются свойства квазпчастиц в нормальном состоянии и показано, нто пз-за сильного ЭФВ нарушается стандартное фермижндкостное описание квазичастиц. Глава 4 посвящена микроскопическому расчету оптических спектров нормальных металлов с сильным ЭФВ и приводится анализ функции а?г(и>).Р(и>) на основе оптических данных. В Главе 5 исследуется поведение данных систем в сверхпроводящем состоянии. Оптпка сверхпроводников рассмотрена в Главе 6. Последняя Глава 7 посвящена термодинамическим свойствам высокотемпературных сверхпроводников и сверхпроводящих фуллереиах. В Приложении дается краткий вывод важного соотношения между транспортной функцией Элиашберга и эффективными оптическими массой и затуханием.

3 Электронные состояния в сверхпроводниках с сильным электрон-фононным взаимодействием

Главный вопрос, иа который необходимо ответить, состоит в том, пмеем ли мы право применять вышеизложенный подход, связанный с взаимодействием через фононы (или другие низкочастотные бозоны), то есть уравнение Элиашберга к известным ВТСП соединениям. Естественно, чтобы понять механизм сверхпроводимости, необходимо выяснить, что представляет из себя электронная система в нормальном состоянии. Все обсуждавшиеся выше механизмы имеют смысл лишь в случае, если электроны могут быть описаны, хотя и сильно взаимодействующей, но ферми-жидкостью. Однако, именно возможность фермижидкостного описания электронов в нормальном состоянии высокотемпературных сверхпроводников подвергается сомнению в значительной части, как экспериментальных, так и в теоретических работ.

Для обсуждения этого вопроса, напомним, что основные положения

теории ферми- жидкости гласят:

1. Существуют низкоэнергетические одноэлежтронные возбуждения (квазичастицы), с зарядом ±е и полуцельш спином, причем, обратное время жизни квазичастиц мало, по сравнению с их энергией.

2. Существует хорошо определенная поверхность Ферми, на которой энергия квазичастиц равна нулю, а функция распределения Д имеет конечный скачек. Выполняется теорема Латинжера о числе квазичастиц.

3. Взаимодействие между квазычастицами описывается небольшим набором констант (параметров Ландау), через которые выражаются все термодинамические (теплоемкость, статическая магнитная восприимчивость и т.д.) для низких температур, а также нпзкоэнергетические динамические (кинетические) коэффициенты (проводимость, эффект Холла, чермоэдс и т.д.)

Действительно, существует ряд экспериментальных свидетельств, что поведение таких систем в нормальном состоянии не согласуется с "каноническим" описанием ферми-жидкости, для них не выполняется ни одно лз указанных положений. Именно эти экспериментальные факты, а также вопросы "научной моды" прпвели к появлению большого количества "экзотических сценариев" для описания поведения электронов в ВТСП. В действительности, если бы мы столкнулись с фактом перечисленных выше свойств для (Т = 0) состояния системы, нам бы пришлось заняться разработкой подходов, отличающихся от "стандартного" ферми-жидкостного. В случае высокотемпературных сверхпроводников ( и фул-леренов) ситуация оказывается не такой простой. Дело в том, что нормальное состояние в этих системах существует лишь при температурах Т > Тс, где сама критическая температура сверхпроводящего перехода Тс достаточно высока ( магнитных полей, достаточных для подавления сверхпроводимости при низких температурах, до сихпор не существует). Более того эти температуры сравнимы с характерными энергиями всех возможных промежуточных бозонов ( фононов, спиновых флуктуаций и

т.п.). Мы не будем останавливаться па пункте 2.) ( см.,подробнее обзор [21] ), а на примере электрон-фононного взаимодействия покажем, что нарушения, сформулированных выше положений теории ферми-жидкости, являются вполне естественными.

Запишем одноолектронную функцию Грина через собственную энергию Е(и;,к) и затравочпый электронный спектр е^

<?Кк) =-* (16)

ш - ек — Е(и>, к)

В общем виде электронная собственная энергия выражается через электронную функцию Грина и соответствующее взаимодействие ( для простоты мы выпишем выражение на мнимой Мацубаровской оси = яТ(2га+ 1)) (см., Рпс.(1))

Е(гшп,к) = -Г5:£э(ч)^(ых>тя)Г(к,Ч,а;п,а;п.)О(к-я>1'уя,1ып0, (17)

п' <1

где для случая обмена зарядовыми возбуждениями (см.,(11))

д2 = 4тге2/д2; 7%, = 1/^4, *>п), (1В)

Если же взаимодействие связаяо с обменом магнитными флуктуациями, то,согласно (11)

4тге2

д = 1шп) D(q, \ив) = х(я, (19)

где - полная диэлектрическая проницаемости (см.(8)), х~ магнитная восприимчивость, а <5 - соответствующая поправка на локальное поле. В случае электрон-фононного взаимодействия д^) представляет собой матричный элемент электрон-фононного взаимодействия, а -

обычную фононную функцию Грина, которые входят в выражение для функции Элпашберга

а2(ВДО) = (20)

1\ (К) ' и? '

И(шп) — - Г(шп,шп -

шп — Ши

Рисунок 1: Диаграмма для одноэлектройной собственной энергии. Волнистой лиыяуей обозначена фонопная функция Грина заштрихованным треугольником-вершинная

функция Г.

где плотность состояний фононов, а <*2(П)- квадрат константы вза-

имодействия электронов и фононов с частотой П. В выражении (17) Г(к^,представляет собой вершинную функцию. Вообще говоря, чтобы получить эту величину, необходимо решить самосогласованное уравнение Бете-Солпптера. Однако, в случае электрон-фононного взаимодействия, эта задача существенно упрощается, так как характерные фононные частоты существенно малы по сравнению с электронными энергиями ~ Ер. В этом случае, хотя Г « д(1 + 0(А)), где Л -константа ЭФВ, в области дир « ш, в обратном пределе ш,

Г и д(1 + 0(\Ирн/£к)) (Теорема Мигдала [22] ). Однако в интегрирование выражения (17) наибольший вклад вносит последний предел, поэтому при вычислении £ можно использовать нулевые приближения для вершины (см. обсуждение в [23]). В последнее время появились утверждения, что теорема Мигдала в ВТСП и, особенно, фуллеренах нарушается. В работе [23] были подробно исследованы неадиабатические поправки к собственной энергии и показано, что существует область А, как функции выше которой нарушаются аналитические свойства собственной энергии (см.,[24]), что может привести к поляронной неустойчивости. Это огра-

Ч

ничение на А дается выражением

что совместимо с характерными параметрами ВТСП (Л ~ 2, < 100теУ и ер > 0, 4 е.V ). Для фуллеренов указанное ограничение приводит к слабой связп Л < 0,3 для взаимодействия электронов с высокочастотными внутримолекулярными коле баниямп.

В дальнейшем при рассмотрении электрон-фононного взаимодействия мы пренебрежем вершинными поправками, и также зависимостью собственной энергии Е от импульса к, положив | к |= кр и рассматривая изотропную ферми-поверхность. В таком случае функция Щш) зависит только от спектральной функции ЭФВ и температур Т [25],[26]

ВеЛ(ш) = /+ - - (22)

и

1тЩш) = ^2(П)^(П)[2с^(|) - + (23)

где ■ф(х)- логарифмическая производная гамма-функции (дигамма-функция). Формально, написанные выше уравнения применимы для простейшего случая одцозонного изотропного металла и не могут быть непосредственно применены для сильпоанпзотропных ВТСП. Формальное их обобщение на случай анизотропии может быть проведено без особого труда (см.[26]), однако это не приводит к качественным изменениям, хотя увеличивает вычислительные трудности.

Начнем рассмотрение со случая Т=0. Как известно, мнимая часть собственной энергии обращается в нуль на поверхности Ферми (т.е. ш — 0) как

1тЕ(и) = -1 (24)

где (О2) - квадрат средних фононных частот. Действительная часть ведет себя как ЛеК(у) ~ Аил Эти формулы показывают, что вблизи ферми-поверхности мы имеем хорошо определенные электронные квазичастицы

со спектром (полюсами (16))

с перенормированной массой т*¡т = 1 + А и малым затуханием 7* =

Таким образом при Т=0 мы имеем хорошо определенные квазитастицы вблизи поверхности Ферми. При Т ф 0 1т1и отлично от нуля даже на поверхности Ферми, в отлцчае от случая Т=0, где она пропорциональна ш3. Согласно (23)

Для дебаевского спектра фононов ото сводится к 7(0, Т) ~ АТ(Т/0д)2 ф О где ©д- дебаевская частота фононов. Это означает, что при Т ф 0 условие ферми-жидкости о существовании слабоэатухающих квазичастиц нарушается непосредственно на поверхности Ферми. При очень низких температурах и малых константах связи ЭФВ это нарушение теории фермн-жидкости оказывает слабое влияние на низкотемпературное термодинамическое и кинетическое поведение квазичастиц. Это связано с тем, что в указанные процессы вовлекаются электроны из области и а число квазичастиц в данной области (где 7(0>,Т) > и) достаточно мало ~ (Г/0д)2. Однако, при достаточно больших константах ЭФВ и температурах, сравнимых с характерными фононными частотами, эффекты затухания являются существенными и простое описание, основанное на указанных выше постулатах, оказывается неприменимым.

Обратимся к конкретным численным расчетам коэффициента затухания квазичастиц 7(ш,Т), для нормального состояния, основанны на реальных фононных спектрах [28] для ВТСП соединений, В качестве функций Элиашберга были взяты функции а2((1)Р(Щ , постановленные, как из туннельных данных ( см. Глава 5, Рис. (11)), так и из оптических спектров (см., Рис.(7)). На Рис.(2) показаны частотные зависимости 7(ь>,Т)

7(и,)/(1+А).

(26)

7 3000 Е

2000

^ 1000

г--

о

0 500 _ 1000

со (cm-1)

Рисунок 2: Обратное время релаксации квазичастиц = — 1тпЕ(ш) как функция частоты для различных температур: Т=100К (сплошная линия), Т=200К (штриховая линия) и Т=300К (пунктир).

для Т=100К, 200К, 300К ( для определенности константа ЭФВ равняется Л = 2). В работах [27], [28] было показано , что эти зависимости мало чувствительны к спектру ЭФВ, и /у(и>, Т) превышает энергию квазичастиц в широком спектральном интервале 100стп~1 < ш < 1000cm-1. Другой характерной особенностью, которая следует непосредственно из выражения (23), является сильная частотная дисперсия. Эта величина практически линейно растет от 260 до 600 сто-1 и выходит на насыщение

7 (Г) = ж\(П) = 2тг dQa2(n)F(n)cth(Ü/2T) (27)

при частотах,больше граничной частоты спектра фононов. Это означает, что стандартное ферми- жидкостное описание, основанное на положении 1.), является необоснованным. Последний факт подтверждается и вычислением спектральной плотности одноэлектронной функции Грина

л(, ч_ 1 _1тТ,(ы)_

Alk'~ я- (а/ - еь - iieS(w))2 + (1тЦы))*' 1

которая измеряется в фотоэмиссионных экспериментах.

Вычисления [28] (см.,Рнс.(3)) показывают, что указанная величина при различных. сильно отличается от функции ¿(и/ — £к), предсказываемой

и (ст 1)

Рисунок 3: Спектральная плотность электронных возбуждении А(а>) для различных затравочных энергий еь Т=100К

стандартной теорией ферми-жидкости, и представляет собой скорее шп-рокий лоренциан, чья ширина сравнима с положением максимума.

Таким образом электронная система ВТСП с сильным ЭФВ ( или другим электрон-бозонным взаимодействием) в нормальном состоянии ( то есть при Т > Тс) не может быть описана с помощью слабозатухающих одноэлектронных возбуждений, что предполагает "каноническая" теория ферми-жидкости.

4 Оптические свойства нормального состояния 4.1 Оптическая проводимость

В предыдущей главе было показано, что в случае сильного ЭФВ обычное фермя-жидкостное описание нарушается. Это связано с большой величиной обратного времени релаксации, а также с его сильной частотной дисперсией в области фононных частот. Последнее означает, что мы не можем описывать поведение электронов, используя конечный набор параметров теории Ландау ( таких, как эффективная масса, малое затухание и т.д.). Это приводит к тому, что для описания оптических свойств систем с сильным ЭФВ мы не можем пользоваться простыми одночастотными выражениями типа формулы Друде

-г-г-, (29)

v ' 4тг1 /т-гит*/т v '

где 1 /г- постоянная обратного времени квазичастиц, а т* их эффективная масса. Цель настоящей главы - исследовать отклик системы на электромагнитное поле с учетом как фононного, так и примесного рассеяния.

Экспериментально измеряемой величиной является коэффициент отражения iï(u;,q), где w - частота падающего света, a q - волновой вектор в среде. В нормальном металле последняя величина определяется не волновым вектором падающего света w/c, а обратной толщиной скин -слоя q ~ 1/6,где 6 ~ ^c^/ow, а - проводимость на частоте ш. В ВТ-СП и фуллеренах мы имеем случай нормального скин - эффекта, когда qVp ~ Vp/6 < г1, где 1 /г - обратное время рассеяния (Vp/l, а I - длина свободного пробега). В дальнейшем мы можем положить q = 0. Коэффициент отражения связан с поперечной диэлектрической проницаемостью etr(u}), которая, в свою очередь, через оптическую проводимость

б<г = 1 + 1™и (30)

ш

Здесь a (lu) = ainteT (w) + airltTa(u), где первый член связан с межзонными переходами, в то время как, внутризонный вклад определяется фононным

п примесным рассеяниями и определяет низкочастотную проводимость ( в дальнейшем мы будем опускать индекс intra). Сама оптическая проводимость дается так называемым электромагнитным ядром

№

О-и

М1> ' iiriu

{ H,v - декартовы координаты). В свою очередь электромагнитное ядро

Рисунок 4: Электромагнитное ядро Заштрихованный треугольник соответствует

вершинной функции Г

выражается через одночастичные функции Грина С(к)(к = (к, и>)) и вершину Г), (см.Рис.(4))

К», И = —4хге2 / к + д)(3(к + д)Г,{к.к + ч)в{к). (32)

(27Г)

В уравнении (32) 7д)\ч-0 = - затравочная электромагнитная вершина. Как было уже сказано, вершинные части Г„ при дУр "С ш являются вершиной порядка Л. Учет вершинных поправок (см. Приложение) приводит к замене а2(ы)Г(ш) па транспортную спектральную функцию ( сравни (20)) и Гм па

И * И = / ^ / ^[1 - к')!2/тР(к, к>) (33)

в выражении для £(а>) (22,23). Последнее связано с изменением вкилада при рассеянии вперед. (см.[29],[1]). В результате мы иолучаенвыражение

для фононного вклада в оптическую проводимость [31], [32] без учета вершинных поправок и [28], [1] с учетом вершинных поправок.

<7 (ш) = и2р1/4л Д ОшЩ(ш -Ь ^)/2Т)5-1(о»,о;')+ . .

[Щ(ш + ш')/2Т) - ЩШ'/2Т)] в-Ци,, ш'),

где

5(0/, ы') = ы + £{*> + и') - - г7ГР, (35)

где = 1 - обратное транспортное время рассеяния на примесях. В уравнении (34) было использование выражение для плазменной частоты ^рг/47г = |Л7"(0)е2У| в случае сферической и ш^/Ап = 27У(0)е2У| цил-лпндрической поверхностей Ферми, соответственно. Из уравнения (34) следует, что оптическая проводимость зависит от собственной энергии нелокальным по частоте выражением. Зная транспортную собственную энергию на действительной осп, несложно используя формулу (34), вычислить оптическую проводимость. На Рис.(5) изображены действительная и мнимая части оптической проводимости, вычисленные [28] для Г = 100 К согласно уравнению (34) с использованием плазменной частоты и>р1 = ЗеУ, взятым из зонных расчетов[33]. Для сравнения на этом же рисунке изображены кривые, описываемые стандартной формулой Друде (29) с двумя наборами параметров 1. т*/тп = 3,29,7 = 513ст-1 (штриховая лппия), 2. тп*/т = 1,3,7 = 1970стп-1 (пунктир). Мы видим, что хотя формула Друде с указанными константами я может достаточно хорошо описать проводимость в пределах малых и больших частот, она не может быть применима во всей области частот, особенно в районе характерных фононных частот.

Зная оптическую проводимость, несложно вычислить коэффициент отражения В,(ш) [28]. Соответствующие кривые для ВТСП будут показаны в Параграфе 3 данной Главы.

20 10

?

о *

С

X 0

'з

5

0

0 500 1000 1500 . 2000

со (сггГ1)

Рисунок 5: Действительная и мнимая части оптической проводимости а„[и>) при Т=100К, вычисленные по формуле (34) (сплошная линия). Для сравнения штриховой и пунктирной пиниями показаны возможные подгонки по формуле Друде (см., текст).

4.2 "Обобщенная" формула Друде

Как видно из предыдущего Параграфа, стандартная формула Друде (29) не может описать оптической проводимости в системе с сильными ЭФВ ( точнее может быть описана лишь д.тя очень больших и очень малых частот). Для анализа полученных данных экспериментаторы предпочитают иметь дело с так называемой "обобщенной" формулой Друде (ОФД).

^ = 4тг~1/г(ц>) — шт*{ш)]т00' ^

где вместо двух- КОМСХЯлтвводятся две частотно п температурно зависящие функции: т*(ш) - эффективная динамическая масса, 1 /т(ш) - обратное оптическое время релаксации. Часто вместо оптического времени

V

м 1 1 ! ! I ; : | I 1 ....... | м | | м 1 1 | 1 1 ( 1 1 1 1 1 1

/ \ 4 0"2п(ш)

/ \ 4 / \ 4 / \ \ 1 4

I

"--■ -

релаксации т(и>) используется эффективное перенормированное время релаксации т*(и>)

1/г» -

т0

(37)

т(ш)т*(и>)'

Эта величина удобна тем, что не зависит от плазменной частоты т*(и>) = ¿ д^-, и, именно, "линейный" ход этой функции от частоты (см.[34,35]) является важным аргументом против стандартного механизма сверхпроводимости в ВТСП.

Рассмотрим физический смысл величин т*(ш),т(ш) и т*(ш) и их соотношение с собственной энергией Е (22,23). Для начала сравним кривые 1 /т{ш) и 7 = —2ГтпЕ (см.(23)) изображенные на Рис.(б). Как уже гово-

4000 -

1 I I ! (—I ! I I | '"I—Г

о и (ст-')5000

2000 -

1—|—I—1—I—1—I—I—1—г-1—I—I—I—I—I—I—I—г 0 .1000

и [ст"']

Рисунок 6: Частотная зависимость обратного оптического времени релаксации 1 /т(ш) (сплошпая линия), 1 /т*(ы) (короткие штрихи) и квазичастичнсго затухания а также 1/г (а»), полученного с помощью выражения (41). На вставке к рисунку показано поведение 1/т*(ш) с учетом (сплошная линия) и без учета (штрихи) межзонных переходов.

рилось выше, затухание квазичастиц 7 =- —2/т£ при Т > Тс практически линейно растет с частоты 150ст"1 и насыщается на границе спектра промежуточных бозонов ( в данном случае - фононов с шШ1 = 700ст~'). Именно это обстоятельство и было дополнительной причиной заключения, сделанного в работе [34], что линейная зависимость 1 /т*{ш) от ш до энергий ш « 2000ст', значительно превышающих граничную энергию фононного спектра, указывает на принципиальную неприменимость теории фермн - жидкости дпя электронов в ВТСН системах. В отличае от ■у(ш) оптическое обратное время жизни 1 /т(ш) имеет гораздо меньший наклон и показывает полное отсутствие насыщения на границе бозонно-го спектра. Реально величина 1/т(ш) насыщается на частоте в несколько раз большей этой величины. Однако, асимтотпческое значение 1/г(оо) совпадает с выражением (27). Еще более интересно поведение эффективного перенормированного обратного времени 1/т*(о>). Рис.(6) показывает, что эта величина ведет себя квазилинейно в широком спектральном интервале 150ста-1 < и < 200Ост"1 с наклоном порядка единицы. Именно такая экспериментальная зависимость [34] и рассматривалась как один из самых важных аргументов против стандартного подхода к ВТСП.

Более того, зависимость 1/г*(ш) хорошо совпадает с экспериментальной, что, вообще говоря, не удивительно, так как с помощью функций Элиашберга мы хорошо описываем экспериментальный коэффициент отражения, из которого экспериментаторы и извлекают 1/т*(ш) (см., Параграф 3). Как уже говорилось выше, линейная зависимость \/т*(ш) привела к появлению теории маргинальной ферми - жидкости, в которой постулировалось —.ГтЕ на малых частотах. Это приводит к линейным зависимостям не только 1/т*(о;), но и 1/г(а>), что противоречит экспериментальным данным [36],[35], которые ясно показывает изменение знака кривизны 1 /т(ш) на частотах, совпадающих с граничными фононньши частотами. Анализ (34) показывает, что насыщение 1/г(ш) происходит на частотах где восстанавливается стандартное дру-

девское описание. Так как ш$сЛ существенно больше характерных фонон-

ных частот, то учитывая, что т*(шло<) « 1, можно получить, что наклон 1/т*(о>) от си является величпной порядка единицы, что п наблюдается экспериментально.

В работах [37],[38] наблюдалась корреляция между 1/т(ш5с4) в нормальном состоянии п критической температурой Тс для ^с12-уСеуСиО^ монокристаллов с различным содержанием Се. Эта зависимость хорошо описывалась фононным спектром, извлеченным из тунельных данных, с различными константами связи. Чем больше 1/т ~ 2тт\Т, тем выше критическая температура. На основании этих данных можно сделать вывод, •что рассеяние и сверхпроводимость определяются одними и теми же возбуждениями.

Интересно проанализировать связь эффективной тп*(ш) и эффективного времепп релаксации с транспортной функции Элпашберга а2(и>)Р(ш). В Приложении было показано, что оптическую проводимость в низшем пределе по Л/1 + А можно представить в виде

/ ч _ ^/4тг _1 ••

а{Ь}) \?{ы,Т)-гш 47г1/г(о;) — 1и>тп*(ш)/т00' [ }

где знаменатель (38) дается выражением [39]

(т-'Н/тоо - 1)ш + г/т(ш) = i7tгP + 2 с1Па1(ПЩП)К(^ А),

Ядро К равно

У) = ; + - « + *») - + «/)]}-

. г -{»-*-»}. т

где ф(х) - дигамма функция. Для сравнения с затуханием квазичастиц рассмотрим выражение для оптического затухания [28]

1/т(ы) = тг /0°°(та1(а)Р(0.)[2сЩП/2жТ)- , ,

«±а + ^сЩ^) + 7?тр.

При Т = 0 это выражение переходит в известную формулу [29]

1/т(ш, Т = 0) = — Г <Ш(а, - 12К(П)2ЧП). (42)

и> 'У

Сравним выражения (41) и ¡затухание квазичастиц (23). Первый член абсолютно тот же самый в обоих случаях, однако другие имеют совершенно различную физическую природу. Если в случае квазичастиц мы имеем фермионные функции распределения в 1тЪ и ф(\ + г~)

для ЯеЕ, то оптические свойства определяются бозонными функциями распределения (см., с1к(-~р) и -у (1 -+- г), соответственно). Это означает, что 7 = —27таВ соответствует релаксации фермионных квазичастиц, в то время как 1 /т(и>) - релаксации бозоноподобных электрон-дырочных пар. Это и приводит к совершенно различному частотному поведению этих величин (см.,Рис.(6)). Однако, в большенстве работ многие авторы используют квазичастпчное время релаксации вместо оптического.

4.3 Анализ спектра промежуточных бозонов

В большинстве теорий сверхпроводимости межэлектронное взаимодействие рассматривается как испускание и поглощение виртуальных частиц (промежуточных бозонов). В стандартных теориях сверхпроводимости это фононы, спиновые флуктуации (парамагноны), электр он- дыр очные возбуждения (экситоны). Обычно спектр таких возбуждений определяется из туннельных экспериментов. Измерения в области дальнего инфракрасного (ИК) диапазона также дают возможность изучить особенности спектра промежуточных бо-зовов как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. Для низкотемпературных сверхпроводников процедура определения спектра в сверхпроводящем состоянии была проведена в работах [29],[40]. В "экзотических" сверхпроводниках, таких как ВТСП и системы с тяжелыми фермионами, интерпретация ИК данных в СП состоянии затруднена отсутствием, до сих пор, информации о симметрии параметра порядка, вершинных функциях и т.д. В нормальном состоянии эти трудности отсутствуют: параметр порядка равен нулю, вершинные поправки учтены выше (см.,Параграф 1, данной Главы), и мы можем проанализировать спектр промежуточных бозонов, используя ИК данные в

нормальном состоянии.

Для этого мы воспользуемся формулами (38-41) предыдущего Параграфа. Знание комплексной проводимости 3 сг(ш) позволяет определить эффективную массу т*(а>) и эффективное оптическое время рассеяния 1/т(а>). В этом случае мы имеем интегральное уравнение Фредгольма первого рода (39) с ядром К((ц/2ъТ,(1/2яТ) (40). Можно также перейти на мнимую (Мацубаровскую) ось и использовать линейную систему (103) с последующим аналитическим продолжением на действительную ось вектора Ль Решение обратной задачи (39) определяет не только функции т*{ш) и т(ш)г а также плазменную частоту и)р1 (см.(38)) из условия т'(и! шс) = тщ, где шс- граничная частота спектра бозонов.

При нулевой температуре нахождение а^г(П)^(0) делается тривиально. Из уравнения (42) следует

аЦПЩП) = ±-|^(и,/тН). (43)

Однако, для температур, сравнимых с характерными фононными частотами, ситуация становится более сложной.

Такая обратная задача была численно решена для нормального состояния па основании экспериментальных данных ВТСП, УВа2Сиз07 ([41])и ЫгЗг-хСаСичОъ ([42]), а также для соединения с тяжелыми фермионамп V14, ([43]).

Следует заметить, что мы не были первыми, кто пытался определить спектр промежуточных возбуждений для КВа2С«зС>7 (см.,[44]). Однако авторы ошибочно заменяли эффективное оптическое время рассеяния на время жизни квазичастиц. Так как первое, в отличие от последнего, не имеет насыщения в области фононных частот, авторы [44] получили

3 Заметим, что комплексная проводимость есть результат сложного анализа, использующего соотношение Крамерса-Кронига, который может привести к большим погрешностям, поэтому в дальнейшем мы будем сравнивать вычисления с коэффициентами отражения и поглощения, соответственно.

большой вклад в спектральную функцию от возбуждений, лежащих существенно выше характерных фононных частот. Вследствии этого был сделан ошибочный вывод о нефононном механизме сверхпроводимости в ВТСП. Результаты корректного решения обратной задачи (интеграль-

и сггГ1

Рисунок 7: Экспериментальные [41] (сплошные пинии) и вычисленные (штриховые пинии) коэффициенты отражения для УВа2СизОт при Т=100К, 200К, ЗООК (сверху вниз). Вставка: восстановленный спектр для Т=100К с тремя пиками (сплошная лилия), одним пиком (штриховая линия) и фононная плотность состояний .Р(ш) (пунктир).

Рисунок 8:. Экспериментальный [42] (сплошная линия) и расчитанный (штрихи) коэффициенты отражения для St25V2CaC]í0s при Т=Ю0К в широком спектральном диапазоне. Вставка: восстановленный спектр (сплошная линия) и фононная плотность состояний F('ü/)'(nyHKTiip)J ' -

Рисунок 9: Вычисленный (сплошная линия) и экспериментальный [43](звездочки) кооффи-ниент логложення {7Р£з при Т=1,2К. Вставка: восстановленная спектральная плотность промежуточных бооонов В(ш) .

ного уравнения (39)) представлены на Рис.(7,8,9) . Рисунок (7) показывает коэффициент отражения на низких частотах для УВй2СщОт, согласно данным [41] для температур Т=100К, Т=200К, Т=300К. Восстановленный спектр показан на вставке ж этому рисунку. Высокая температура Т > Тс не позволила найти топкую структуру, поэтому на Рис.(7) показаны два возможных спектра (с одним и тремя пиками). Константы взаимодействия \т при этом одинаковы А,г = 1,5 (и>р\ = 15000ст-1) и оба спектра лежат в области фононных частот, спектральная плотность которых Р(ш) показана точками. Для более высоких температур форма спектра сохраняется, хотя слегка уменьшаются транспортные константы связи \1т = 1,2(Т = 200К) и 0,93(Т = 300К). Аналогичный спектр был получен и для соединения ВгЗ^СаСщОя на основе экспериментальных данных [42] при Т = 100К в широком спектральном интервале. Для этого были использованы вклады межзонпых переходов в диэлектрическую проницаемость на основе зонных вычислений. Результаты показаны на Рис.(8), при этом рассматривалась только однопиковая модель с Агг = 1,1 при и)р1 = 14500сте-1. Все указанные спектры согласуются со стандартной фононной моделью шрн < 800ст-1 с промежуточной свя-

зью Л(г яа 1 -г 1,5. Последнее, однако, нн в коем случае не означает, что в ВТСП за сверхпроводимость ответственен только электрон-фононный механизм. Дело в том, что в уравнении (39) функция а2г (ш)-Р(о;) является суммой спектральных плотностей всех запаздывающих взаимодействий, в том числе, например, спиновых флуктуации или нпзколежащих окспто-нов. Единственное, что можно сказать, что все эти возбуждения лежат в области фононных частот, а константа взаимодействия с ними является величиной порядка единицы.

Интересен также результат исследования спектра промежуточных бозонов для соединения с тяжелыми фермионами 17Р1з по данным коэффициента поглощения [43] в дальнем ИК диапазоне в нормальном состоянии при Т = 1,2К. Спектральная функция В(ш) являющаяся обобщением а1т(ы)Р(ш) показана на вставке к Рис. (9). Если в случае ВТСП соединений мы получали для низких частот а2(и/)Р(и>) ~ шп, где п > 2, то для ?7/'¿з мы имеем В(ш) ~ и, что хорошо согласуется с моделью спиновых флуктуации, где В(ш) = а Хз(^) - магнитная восприимчи-

вость. Учет спиновых флуктуации в диффузононном приближении дает

Сравним функции В(ш) = Д{г/7г(Г2 + о;2) со спектром, восстановленным нз коэффициента поглощения в дальнем ИК, это дает значение А<г — 50 иГ = 4ст"1. Соответствующие измерения магнитной восприимчивости с помощью поляризованных нейтронов [45] дают величину Г„ ~ 2,5сто-1. Следует однако отметить, что нейтронные измерения велись для конкретного (большего) импульса в зоне Бриллюэна, наши же расчеты соответствуют усредненной величине. На основе полученной спектральной функции можно оценить критическую температуру сверхпроводящего перехода для модели ¿-спаривания, предполагая 4 А = А(г. Соответствующее вычисление дает Тс = 0,18К = 0,53К).

* Заметим, что, согласно (33) А4г < А.

Другой возможностью получить информацию о транспортной функции Элиашберга является метод термомодуляционной рефлектометрии [46], который будет рассмотрен в Параграфе 3 Главы 6.

4.4 Температурная зависимость сопротивления

Также информацию о транспортной константе связи Д4г можно извлечь из наклона температурной зависимости сопротивления выше Тс. Из выражения (41) при ы —> 0 имеем выражение для обратного транспортного времени релаксации

чът-мГЩ*»™^^. «я

Это выражение также можно получить решением квантового уравнения Бояьцмапа (см.,напр.,[30],[1]). Подставляя сюда а£(П).Р(П) = 2А^(П/©о)4 мы получаем стандартное выражение Бдоха-Грюпайзена..

При больших Т выражение (45) может быть разложено по малым степеням П/2Т ■

. 1/т,г(Т) ~ 2^ГТ[1 - 1Ш] (46)

с большой аккуратностью, практически независимо от спектральной функции а|г(0)-Р(П) (см.анализ [47]), член в скобках может быть замененеди-ницей для температур Т > 9д/5 (см.,[18]). Это приводит к тому, что температурная зависимость удельного сопротивления

Р(Т) = 1/<г(Т)=8т:2\1тТ/Ш2р1 (47)

линейна в широкой области температур. Действительно, во всех (за редким исключением, перечисленным в обзоре [1]) стандартные металлы имеют линейное электросопротивление до низких температур.

В ВТСП в оптимально допированных образцах наблюдается идеальное линейное поведение сопротивления ниже Тс. Однако, эта величина достаточно высока, чтобы понять, применимо ли выражение (то есть весь фоноиный подход) к более низким температурам. Ответ на данный

вопрос до спх пор остается противоречивым-Наличие довольно большого числа низкочастотных колебаний может легко объяснить линейный ход электросопротивления вплоть до температур 30 -г 40К. Более интригующим является вопрос о низкотемпературном линейном ходе р(Т) в соединении BíiSt-iO^ с Тс — WK, где линейный ход сопротивления наблюдался вплоть до 10К, [49]. Однако, последние данные на однофазных образцах показывают, что и это соединение следует выражению Блоха-Грюнайзепа при низких температурах [48].

Вернемся к определению транспортной константы ЭФВ А¿г. Согласно выражению (47) это не сложно делать, используя информацию о dp/dT и плазменной частоте иу. Первые оценки, сделанные Гурвнчем и Фьори [50] с: использованием данных на поликристаллических образцах и ранних зонных расчетов, привели к величине А1г < 0,2. Позднее, с появлением недвойниковынных монокристаллов и уточнением зонных расчетов, оценки стали меняться.Автором и И.И.Мазиным [52] на основе экспериментальных данных [51] и зонных расчетов плазменных частот в различных направлениях

(Wpf )2 = 4тге2 Е Vlr,Vkp6(sk - р), (48)

к

где ££ - электронный спектр (к — к, /(.), где /х - номер листа на поверхности Ферми и Vita = де^/дка - соответствующая скорость, были проведены оценки констант взаимодействия вдоль соответствующих осей.

Таблица 1

а b с

dp/dt [цйстп/К] 0.6 0.25 12.5 (?)

[el/] 3.6 4.8 1.05

V 1.8 1.4 3.7 (?)

В таблице 1 показаны, соответствующие экспериментальные значения dpi/dT, (г = а, Ь, с),соответствующие плазменные частоты сор1 и вычисленные в ЫЗА приближения, и транспортные константы взаимодействия А1г (к величине Ас не стоит относится серьезно так, как точность экспериментальных данных, так и зонных расчетов в с-направлении не позволяет

провести корректную оценку Ас). Аналогичные оценки А!г были получены Ф.Алленом из подгонки экспериментальных данных с помощью фиксирования этой величины, где он получил слегка меныиеганачение и!р\.

Другие ограничения на Агг возникают из величины длины свободного пробега I — Урт^(Т). Согласно качественному критерию Йоффе-Регеля линейный ход температурной зависимости в металлическом состоянии выходит на насыщение, если / ~ а (а-межатомное расстояние). В наших вычислениях [52] длина свободного пробега с А£г = 1,5 при Г = 3001С равнялась 13А, конечно это достаточно малая величина ( надо заметить, что 1(ТС) ~ 39л), однако в этом случае мы можем рассматривать ВТСП как нормальный металл. Более того, пересчет экспериментальных данных р(Т) с учетом коэффициента теплового расширения дают поведение типа "насыщение" для УВагСщ07\ЬЪ}.

Все сказанное выше позволяет сделать оценку для транспортной константы связи Агг ~ 1,5.

5 Спектр возбуждений сверхпроводников

Если мы принимаем гипотезу о спаривании типа БКШ (см.Введенне), то не сложпо получить ее обобщение на случай сильно запаздывающего взаимодействия. В этом случае электронные свойства описывают нелинейные уравнения Элиашберга (см.напр.,[54], [26]) в которые входят две комплексные функции5: фактор перенормировки Z(ш,T) и функции щели А {и,Ту (пли соответствующей ей компоненте собственной энергии Ф(о>,Т) — г(ш,Т)А(ш,Т)~). Вообще говоря, величины Д и Ф могут зависеть от волнового вектора к. В данном случае мы пренебрегаем этой зависимостью и рассматриваем изотопное, так называемое ^-спаривание (хотя многие выводы не зависят от выбора типа спаривания).

5В дальнейшем, если это не оговорено особо, рассматривались решения на действительной оси частоты (со + {¿).

Основным отличием теории Элиашберга от модели БКШ является сильно запаздывающий характер взаимодействия (напр.фононный), что приводит к отличию фактора перенормировки 2(ш,Т) от единицы и к сильной зависимости от частоты функции щели А(и>,Т).

Основной величиной, описывающей спектр электронных возбуждений является плотность состояний N(u). В рамках теории Элиашберга (ТЭ) мы имеем

В теории ВКШ функция А (о>,Т) зависит только от температуры вплоть до частоты обрезания в о. Это приводит к существованию щели в энергетическом спектре при всех температурах Т вплоть до критической температуры Тс, то есть плотность состоянии равна нулю при ш < Д(Т), но область запрещенных значений уменьшается с ростом температуры, обращаясь в ноль при Т — Тс.

Совершенно иная ситуация имеет место в системах с сильными ЭФВ. В случае сильной связи было показано [54],[55], что в рамках ТЭ щель существует только при Т = 0.. Для нулевых температур величина N(10) конечна при любых и.

Это означает, что мы имеем безщедевой спектр. Чтобы убедиться в этом^ запишем функцию в виде [55]

= (50)

из

Здесь Г(а>,Т) — 1 /г(о/,Т) - время релаксации электронов (обратное время жизни), выражающееся формулой, очень напоминающей (23) для нормального состояния

Цш,Т) = х/0ос^а2(П)Р(П)ЛГ(ш + П)х ( «

При Т = 0 функция обращается в ноль при всех энергиях ш, меньших энергетической щели А0, определяемой уравнением

ДеД(Д0) = Д0. (52)

При Т ф 0 функция (как видно по (51)) не зануляется ни при каких значениях ш. Именно это обстоятельство и приводит к отсутствию щели в спектре электронных вобужепий. Это становится ясным, если переписать (49), используя (50) и (51) [56],

аг/ \ » и> + гТ(ш,Т) / .

= Ие~Г-_-——-—53)

где

г<-г> = ») <51>

_ (55>

Выражение (53),( которое иногда называют формулой Дайнса), весьма популярно среди экспериментаторов при описании эффекта разрыва пар, например, за счет рассеяния на магнитных примесях. Как видно из (53), при Т ф 0 плотность состояний 7\Г(0) нигде не обращается в ноль, в частности при и = О

N(0) = -г__(56)

При низких.температурах величина и, вообще, вся плотность со-

стояний внутри ( то есть при ш < До) мала и не оказывает существенного влияния на термодинамику и кинетику сверхпроводников. С ростом температуры растет скорость релаксации Г(и>,Т) (см. ниже), и щель в плотности состояний начинает заплывать, максимум же этой величины, связанный обычно с величиной энергетической щели, практически не зависит от температуры, и остается на месте, что наблюдается на эксперименте [57],[58]. Это следует из выражения (53) при Т —* Тс. В этом случае, если мы определим щель, как максимум N(01), А(Т —► Тс) = штах = \/ЗГ(0, Тс). Учет определений (51) и (54) для больших Л приводит к соотношению

А(Г~>ГС) А(Г = 0)_ ¿г 7С(3) Г1^07оД А(Т — 0) Х Тс -27ГЛ^3[1 + 2^(М827-°'79А- (57)

( здесь мы воспользовались выражением для Тс и 11е2 для А 1, которые хорошо работают при А > 2). Это позволяет оценивать А из поведения Д(Т —> Тс). Данные [58] дают значение А и 2.

Рисунок 10: Зависимость плотности состояний от приведенной энергии о>/Д0

( где Д0 - щель при Т=0) для различных температур. Заштрихованная площадь пропорциональна. числу сверхпроводящих электронов.

Рнс.(Ю) показывает зависимость N(0/) от приведенной частоты а//До (где До - решение (52) при Т = 0), при различных температурах для А 2 [56]. Мы видим, что при Т ф 0 плотность состояний, для системы с сильным ЭФВ, радикально отличается от теории БКШ, что является причиной многих аномалий в термодинамических и кинетических свойствах. Рассмотрим, например, число сверхпроводящих электронов. При Т ~ 0 это число совпадает с полным числом электронов. В теории БКШ нормальные электроны возникают как температурные возбуждения че-

рез щель До(Т) и их число равно тгп = 1 - п$ ~ ехр(-^Р-) для

Т <С До(Т). Вблизи Тс, где До(Т) С Т это число пропорционально ('Т/Тс)2. В случае сильного ЭФВ для Т ф 0 мы имеем состояние внутри "щели", число которых растет с. ростом температуры. В этом случае мы имеем появление нормальных электронов скорее как заполнение состояний внутри "щели", чем возбуждение через "щель". Этот процесс приводит к совершенно другой зависимости числа сверхпроводящих электронов, чем в стандартной теории БКШ. Это число может быть оценено вычислением числа незанятых состояний внутри "хцели", то есть разностью между единицей и Ат(и) (заштрихованная площадь на Рис.(10)) Действительно эта разность показывает число состояний, которые подвержены сверхпроводящему переходу. В результате [56] мы имеем

5(Г) = Г ¿ы{ 1 - АГН) = Г <Ч^И - 1) = , (58)

/О /о>о

где о-'о определяется из условия — 1. Зависимость числа пп — 1 — па

показана на Рпс.(13) а удовлетворяет старой феноменологической теории Горт ера-Казимира.

пп = (Т/Тс)4. (59)

Следует заметить, что при Т ф 0 величина Ф(ш,Т) (см.,55), в отличие от Д(а>,Т), которую можно представить в виде [55]

(60)

ш + г1 {01,1)

остается постоянной при малых ш. Именно эту величину Ф(0,Т) следует отождествлять с параметром порядка. Эта величина практически не меняется с температурой вплоть до 0,7 Тс и резко падает вблизи Тс [56]. В отличие от нее эффективная функция рассеяния Г(0, Г) (51) монотонно возрастает вплоть до Тс, имея зависимость [56]

Г(0,Т)~(Г/Ге)п, (61)

где п ~ 3. Последнее наблюдалось экспериментально в туннельных измерениях на Ш\^хКхВаО [59]. Таким образом мы видим, что электрон-фононное взаимодействие, с одной стороны, приводит к существованию в ВТСП соединениях высоких значений Тс и больших величин энергетической щели До при Т = 0. В то же время сильное ЭФВ при конечных температурах, даже в сверхпроводящем состоянии, приводит к зависящему от температуры п энергии затуханию квазичастиц, что, в свою очередь, обуславливает появление эффектов разрыва пар, размыванию плотности состояний квазичастиц п безщелевое состояние таких сверхпровод-пиков. Здесь следует остановиться на анализе туннельных экспериментов, на которых основываются некоторые наши вычисления, стандартный метод восстановления спектральной функции промежуточных бозонов (функция Элиашберга а2(а;)2г(и')) базируется на методе Макмиллана-Роуэла [60] пли его улучшенной версии [61]. Таким образом были восстановлены спектры для Ьа2~х5гхСи01,ЕиВа%Си^0-; [57],[65], а также для Ш2Зг2СаСщОв-х [65], [62]. Спектры, полученные из указанных данных, лежат в области фононных спектров, измеренных с помощью нейтронного рассеяния, Величина константы ЭФВ А колеблется от 1,25 (£а2_15г1С«04) до 2,6 (ЕиВагСщО7).. Однако, все указанные выше результаты применялись для изотропной модели с постоянной" щелью". Экспериментальные данные покалывают размытие "щели" и описываются формулой Дайнса (53).Природа этого размытия может быть связана как с внутренними свойствами сверхпроводников (температурное размытие, магнитные примеси, анизотропия, наличие нескольких зон на поверхности Ферми6) так и внешними, как то свойства контакта. В работах [63], [64] был предложен метод устранения указанного уншрения с помощью решения обратной задачи. Формула (53) эквивалентна свертке плотности состояний в модели БКШ с лоренцианом, с шириной Г. Это, во-

'Например, модель, описывающая туннеяирование между двумя зонами на поверхности Ферми [66], [79] мы получаем уширение пика в плотности состояний в зоне, соответствующей плоскости а-в.

первых приводит к размытию особеностей в N(10) вблизи Д0. Во-вторых, ото приводит к некорректному использованию программы Макмил.тана-

Рисунок 11: Сравнение фононной точности состояний <3(ш) и функции а2(ш)Р(о>), полученной с учетом дехонво.чюции (сплошная линия) и без нее (штриховая линия)

устранения указанного уширення и без него. Такой процесс деконволю-цин приводит к более богатому спектру ЭФВ, который дает лучшее соответствие. нейронным данным. Основные пики находятся в области 16-26, 55-60 п 72-82 теУ, однако структура 38-47 тпеУ довольно подавлена по сравнению с Это можно объяснить частотной зависимостью а2(ш)

[63].

6 Оптические свойства сверхпроводников с сильным ЭФВ

6.1 Оптическая проводимость

Измерения проводимости в оптическом и дальнем ИК диапазонах довольно широхо распространены в настоящее время (см. обзор [35]). Это

могло бы дать важную информацию об оптически активных возбуждениях (бозонных и фермионных) в данной системе. В частности могли бы быть получены значения сверхпроводящей щели Д0 (если таковая существует).

Классическая теория ИК поглощения была сформулирована Маттисом-Вардиным (МБ) в рамках БКШ теории. Эта теория достаточно хорошо описывала низкотемпературные сверхпроводники. Это в первую очередь относилось к сверхпроводникам I рода ( Пшшардовский предел, дУр ш ~ До) и грязным сверхпроводникам (1/т До). В последствии эта теория была обобщена на случай сильной связи [2], [31]. Это приводит к учету частотной (и температурной) зависимостям фактора перенормировки ¿?(а>,Т) и функции щели Д(ш,Т). Кроме того, теория сильной связи учитывает так называемый эффект Хольстейна. Физически, это соответствует процессу, когда квазичастицы поглощают фотон, а затем теряют часть энергии, излучая реальный фонон (см. ниже Параграф 4. данной Главы). В результате, оптическая проводимость при сильном ЭФВ, сильно отличается от теории МБ.

Как было сказано выше, мы имеем дело с нормальным скин эффектом. В сверхпроводящем случае это соответствует лондоновскому пределу Ч^р ~ Ур/Хь -С Д0. Существует два подхода к вычислению оптической проводимости: 1) вычисление на действительной оси частоты (см.,[31],[32],[67], [74]) н2) вычисление на манубаровской оси частоты с последующим продолжением на действительную ось [69]. Последний метод хорошо работает только при Т < 0,1 Тс и дает сглаженные особенности, поэтому мы будем пользоваться расчетами на действительной оси [67].

Оптическую проводимость в локальном лондоновском пределе можно

расчитатъ, иснольоуя стандартную теорию лннеиното отклика

' ¡4'\

тггш '

___I Лг(ш,ш')+1 \

{ __|__А2(ш,И')+1

где е(и>) — (Го(^) + г Г (и-1) = - ¿Щм) - энергия квазичастиц Ла(2) =

- соответствующий факторы когерентности 7,тр = 1/2г- амплитуда рассеяния на нормальных примесях. Если мы предположим зависимость параметра порядка и фактора перенормировки от волнового вектора к, то данное выражение применимо к любым видам спаривания. Однако ниже мы будем рассматривать лишь изотропный 5 -параметр порядка. Проводимость, расчитанная по формуле (62), пока-

Г 1000 <а [СГТГ1]

I 1 1 1500

Рисунок 12: Действительна! часть оптической проводимости при Т=0 для различного примесного рассеяния, начииая с. чистого случая.

зана на'Рис.(12) для Т — 0 и различного примесного рассеяния. Каковы главные особенности величины В,е(т(ш) для сильного электрон-фононного взаимодействия? Во-первых, как и в теории МБ, мы имеем нулевое поглощение ниже 2До (при Т ф 0 мы, естественно, имеем поглощение внутри "щели", так как имеем заполненные состояния при всех энергиях в плотности состояний (см.Ряс.(10))) Однако, в чистом случие, из-за законов

сохранения импульса, порог поглощения (в отличие от МБ) начинается с 2йогде £1тт- минимальная частота фонона. Так как мы имеем звуковой вклад 7 в а2(ы)Р(ш), то поглощение начинает медленно нарастать от 2До- Наличие примесей резко меняет данный результат. Поглощение резко (Иеа ~ у{тр(и> — 2Д0)) возрастает, достигая значения в нормальном состоянии, а потом падает согласно обобщенной формуле Друде (см.(29)). Далее в действие включаются фононы, и мы снова наблюдаем резкий рост действительной часты проводимости выше 2До +

Сравнение с экспериментом данных вычислений довольно затруднительно. Во-первых, в эксперименте (аналогично туннельным данным) мы имеем поглощение (состояние) внутри "щели". Это может быть объяснено многими причинами 1) анизотропией щели (включая ¿-спаривание), поглощением на поляритонах, при учете шероховатости поверхности, наличием двух иди нескольких зон с различными параметрами порядка [66], взаимодействием в конечных состояниях [68]. Некоторые попытки сравнения оптических свойств сверхпроводников с сильным ЭФВ привели авторов [70], [71] к отрицательным выводам, вследствии использования нефизических модельных функций а2 (и) Г {и)). Более того, авторы зачастую используют модельные ЭФВ для подгонки значений проводимости при фиксированной температуре. В дальнейшем мы будем рассматривать, с помощью одной функции ЭФВ, весь комплекс проблем, связанных с оптическими свойствами при различных температурах.

6.2 Температурные зависимости проводимости и двужидкост-ная модель

Экспериментальные исследования [72], [73] показывают, что температурные зависимости оптической проводимости в ВТСП материалах не описываются моделью БКШ, а скорее двужидкостной моделью

а(ы,Г) = /,(Г)ог1И+(1-Л(ГЖ(ы), (63)

Здесь и ниже мы пренебрегаем разницей между а2(ш) и

т

где с,(ш) = сг(ш,Т <С Тс)- оптическая проводимость в сверхпроводящем состоянии, н стп{ш) — Кеа(ш,Т = Тс)- проводимость в нормальном состоянии. Авторы [72], [73] утверждают, что наилучшая подгонка проводимости при различных частотах ш дает плотность сверхпроводящих электронов определяется выражением

Л(Т) - 1 - {Т/Тс)\ (64)

Используя величины 2{и,Т) и Д(ы,Г), вычисленные раннее для систем с сильным ЭФВ, мы получили значения о(ш,Т) для различных шеТ [56]. Для простоты, расчеты велись в чистом пределе. Температурная зависимость 11есг(ш,Т)/11есг(и>,Тс) при ы = 375ст~х изображена на Рис.(13). Температурное поведение этой функции совпадает с полученным эмпирическим законом (64). Кроме того, функция Л(Т) в выражении (63) может быть рассмотрена как подгоночный параметр для фиксированной температуры. Это означает, что проводимость, расчитанная по формуле (62) для произвольного Т была представлена в виде (63) с подгоночным параметром /.,(Г). График ¡зависимости 1 — /5(Т) также показан на Рпс.(13). Как последняя величина, так и отношение Десг(а»,Г)/Яеа(ш,Тс) совпадают с двужидкостной феноменологической теорией Гортера-Казимира /„ — (Т/Тс)4. Дело в том, что все перечисленные вьипе величины пропорциональны числу нормальных электронов, которые определяют потери в сверхпроводниках. Как было показано в предыдущей главе, это число (также изображенное на Рис.(13)) следует закону Гортера-Казимира. Аналогично можно вычислить глубину проникновения магнитного поля. Эта величина также пропорциональна числу сверхпроводящих электронов'

2 4тгпа(Г)е2 г 1Цш/2ТЩи,Т)_

(65)

Зависимость пп(Т) — 1 - А|(0)/Л|(Г) для не слишком низких температур, также показана на Рис.(13). В работах [72], [73] обсуждалось большое

Т/Тс

Рисунок 13: Температурная зависимость числа нормальных электронов 1 — 5(Х)/5(0)(светлые кружки), лондоновской глубины проникновения 1 — А|(0)/А|(Т) (звездочки), нормированной оптической проводимости Лесг(ш, Т)/Ие(г(ш, Тс) при ш = 375сто-1 (квадраты) и подгоночной функции /(У) (см.,текст,черные кружки). Сплошная линия соответствует феноменологическому закону Гортера,- Казимира (Г/Тс)4.

количество механизмов, приводящих к подобному поведению ВТСП. В [72] было подчеркнуто, что такие зависимости могут появиться в случае, как уже говорилось выше, заполнения состояний внутри "щели", чем с ее "захлопыванием" при приближении к Тс, что соответствовало бы теории БКШ. Мы видим, что все эти факты находят естественное объяснение в рамках теории БКШ, обобщенной на случай сильного ЭФВ (вообще говоря, любого сильно запаздывающего взаимодействия).

Выше был рассмотрен случай оптической проводимости при довольно больших частотах( ш — 375ст~1) и температурах Т > 0,3Тс. Оказывается, что оптическая проводимость является сильно немонотонной

функцией при малых частотах [74], а глубина проникновения при малых температурах.

Не останавливаясь на подробностях, можно показать пз (62), что действительная часть проводимости, при палых си дается следующим выражением

Яеа^ ~ 0) = ^^ | ехр{-Д/Т}/\/д?, (66)

где Г- затухание квазнчастпц. Как было показано раньше, эта величина завпсит от температуры стеленным образом Г(Т) ~ (Т/Тс)п. В этом случае микроволновая проводимость имеет максимум прп ТтаХ = 2А/п+2. ,Из-за сильной зависимости Г(Т) поверхностный импеданс резко падает на четыре порядка вблизи Тс, что наблюдается в эксперименте. Кроме того, учет сильной связи дает степенную п > 3 зависимость глубины проникновения при низких температурах [75], [76].

Однако, современные экспериментальные данные [80], [81] дают различный температурный ход глубины проникновения: от линейного до экпоненциального с малой экспонентой. Действительная часть микроволновой проводимости имеет максимум вблизи несколько раз превосходящий 11е<т(Тс). Такие зависимости невозможно описать в рамках изотропной, однозонной модели. Для описания указанных эффектов была предложена двузонная.модель[77], [66] , в которой зона, соответствующая а — Ъ плоскости, описывается с помощью сильного ЭФВ (как и в однозонной модели), а во второй зоне( соответствующей цепочкам) благодаря межзонным переходам наводится маленькая щель. Более того, недостаток кислорода в цепочках создает нескомпенсированные спины (то есть, магнитные примеси). Для этого было необходимо решить две пары уравнений Элнашберга8 для Zl(u), Т) и Д¿(о;,Т)

= £{(АуД„, - + (7у - 7^)}7Гл АУл, 2~» (67)

8для экономии места уравнения записаны на мнимой осп, хотя все решения проводились на действительной оси частоты.

аЛ = + *Т Е + (7ц + (68)

(где г — а,/3- номера зон), связанных между собой, как межзонкым электрон-фононньш взаимодействием \(Х1в и так и межзонным рассеянием на примесях и 7да (здесь 7 соответствует рассеянию на обычных примесях, а у1 ~ на магнитных). Эта модель объясняет сразу несколько экспериментальных фактов: 1) уширение максимума плотности состояний в туннельных экспериментах [66],[83], 2) полный спектр температурной зависимости глубины проникновения ( от линейной, в случае сильных магнитных примесей в цепочечной зоне до малой экспоненты без магнитных примесей) [78],[82]. 3) Возможное изменение знака параметра порядка в различных зонах [79]. Более того, в формуле (66) конкуренция между экспонентой, определяющейся малой наведенной щелью, и эффективным временем жизни Г(Т), которое определяетя сложными процессамп межзонного рассеяния, могут привести к максимуму в действительной части микроволновой проводимости в несколько раз превышающей значения в Тс. Эта модель позволяет объяснить ряд существующих экспериментальных данных дляУБагСмзО?. На Рис.(14) и (15) показано сравнение расчетных данных микроволновой проводимости и поверхностного импеданса [83] для такой двузонной модели с экспериментальными данными [80] . Вычисления микроволновой проводимости проводились аналогично [74] со следующими параметрами Аав = 3, Ада = 0, — 0,24, Хр.у = 0,17 ( межзошхое примесное рассеяние предполагалось равным *7а,¡9 = 90К и 7= %АК) . Указанная модель является естественным продолжением однозонной модели с сильным ЭФВ, рассматриваемой в данной работе.

6.3 Оптическое поглощение в пределе сильной связи

Выше были расчитаны оптические спектры сверхпроводников для промежуточного ( А ~ 2 ) ЭФВ. Интересно изучить поведение оптических свойств сверхпроводников при очень больших константах связи. В случае

1 30

■р

щ 1 с.

Ш 15

0 80

60

л"

I ^ 40

г-

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -Т/Тс

Рисунок 14: Температурные зависимости действительной части проводимости и лондо-новской глубины проникновения в двудонной модели по сравнению с экспериментальными данными [80].

слабой связи существуют универсальные соотношения, такие как выражение Тс через Л и характерную фояонную частоту П ( см.,[8]). Кроме того отношение 2Д0/Те равно 3,52. Величина приведенного критического поля равняется К-,{0) = -Яс2/ТсЯ'2 = 0,69 (см., подробнее Главу 7). Также оптическое поглощение начинается с порога ш = 2До. Интересно было бы ответить на вопрос.: существуют ли подобные соотношения в случае А 1- Как уже говорилось выше, предел сильной связи определяется также параметром, 27гТс/Й, где Й- характерная фононная (бозонная) частота. В случае сильной связи 2тгТе ш й, однако в некоторых сверхпро-

Рисунок 15: То же самое, что и на Рис.14 для поверхностного импеданса в линейном и логарифмическом масштабе.

водниках как, например, фуллеренах величина 2жТс существенно больше характерных частот межмолекулярных колебании соединений МзСео- Поэтому вопрос предела 2ixTcj& оо не ставится чисто академическим.

В дальнейшем мы предположим для удобства взаимодействие посредством фоноиов с эйнштейновским спектром так как при А 1 вид спектра не имеет значения. Формально мы рассматриваем предел Q —> 0. Если мы держим величину А = const, то это приводит к обращению Тс в ноль. Мы будем рассматривать случай ч/АО = const. Последнее связано с тем, что данная величина выражается через, так называемый, фактор Хопфилда г) = iV(0)(f2) (где JV(0) - плотность электронных состояний,

I2)- квадрат матричного элемента электрон-ионного взаимодействия) и гассу иона М. Эта же величина входит в известное выражение для Тс в лучае А > 1 [84]

Тс = 0,182712 \/А = 0,(69)

В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать величину Щм = Е как энергетическую единицу). В указанном пределе спектр озбуждений существенно отличается по сравнению с БКШ моделью. 1ри Т — 0 этот спектр вырождается в бесконечный набор 6- функций 35],186],[87]

СО

Ще) = тг £ Рп[«5(г-.£») -Ь <5(е + Еп)],, . (70)

П=1

де Еп определяются с помощью условий <р(Еп) — тг(п — 1/2) , а соответ-твующие вычеты Р„ = 1/<р (Д.) ,где функция <р(Е) дается апроксимацией

+ (71)

х ■

¡ля первых трех п величины Еп и Рп даются До = Е\ = 1,16, Р\ — 0,71; ;2 = 3,04, Р2 = 0,48; Ег = 4,30, Р3 = 0,34. Последнее приводит к ому, что мы имеем набор щелей, наименьшая из которых удовлетворяет о отношению 2Д 0/Тс =" 12, 7 [85].

Рассмотрим оптические свойства указанной модели. Во-первых из-за ольших А длина свободного пробега является малой величиной. Поэто-у мы будем рассматривать экстремально грязный случай и нормиро-ать действительную часть проводимости на величину проводимости в ормальнбм состоянии

=-^-, (72)

^ет- время свободного пробега, В- размерность сверхпроводника. Во-горых из-за Я —> 0 трудно расчитывать на появление сильных эффек-ов Хольштейна (испусканпя или поглощения фонона при разрыве пар), ¿пользование стандартных формул для проводимости (62) приводит к

выражению [88]

Rea И - ая- £ [1 + {~1)^1}РтРпЬ(Ет + Еп-ш) (73)

LO туп

. Естественно, что спектр поглощения является дискретным из-за дискретности спектра квазнчастиц (70). Однако интересными являются строгие правила отбора, связанные с факторами когерентности. Именно последние и дают множитель [1 4- (—l)m+n+1], который позволяет оптические переходы лишь в том случае, когда сумма т + п является четной. Остальные переходы запрещены. Интересным примером запрещенного процесса является обычный порог 2 До (то = п — 1). В действительности это же явление ( а именно, зануление фактора когерентности при и> ~ 2До ) существует и в теории Магтиса-Бардина для сверхпроводников со слабой связью. Однако здесь зануление факторов когерентности компенсируется расходпмостями в плотности состояний, и мы наблюдаем линейную зависимость поглощения выше 2До- В отличае от непрерывного спектра возбуждений в случае слабой связи, мы имеем дискретный набор оптических переходов. Поэтому край поглощения находится не на ожидаемой величине 2До = 2,32 (в единицах Е), а соответствуют переходу между т = 1 и п = 2, для Ег = 1,16 и Е2 = 3,04, то есть краг поглощения дается величиной 4,20 , что почти вдвое больше, чем 2До Вычисления были проведены также для конечных температур. В это?, случае функция <р(е)(Т1) становится комплексной, и спектр поглощена: является непрерывным.

На Рис.(16) изображена Яесг(а>) для различных температур Т — 0,Т -0, ЗТС, Т = 0,6ТС я Т ~ 0,9ТС. В случае Т = 0 стрелки обозначают пс ложепие 6 - функций, а их высота соответствующий вес. Мы видт. что основной пик поглощения соответствует[88] 3,8До- Вычисления дл меньших констант связи (А = 100,40) показывают аналогичное повед ние. Однако следы пика сохраняются и при меньших А, но его лоложеш сдвигается в область высоких частот. На наличие пиков в плотное! состояний, не связанных с фононной структурой, при больших А бы.

Рисуяок 16: Частотная зависимость действительной части проводимости для различных температур: Т=0 (6 - функции изображены стрелками с амплитудой пропорциональной их весу),Г= 0,31с,0,6Гс и 0,9ТС ( Ла - соответствует маленькой щели при Т=0).

указано в работах [89],[90]. На Рис.(17) показаны расчеты [88] для констант связи Л = 4 (сплошная линия), А — 3 (длинная штриховая линия), А = 2 (штриховая линия) и А = 1 (точки). Интересно сравнить положение пиков с так называемым Холынтейновским краем поглощения, расположенным на частоте ш — 2До+Пр?1 (см. стрелки на Рис.(17)). Этот эффект соответствует разрыву куперовской пары с одновременным излучением фононами; Мы видим, что положение пиков поглощения для случая промежуточной связи (А > 2) не имеет отношения к эффекту Хольщтейна.

12.0

Рисунок 17: Действительная часть проводимости в грязном случае как функция приведенной частоты для Л = 4 (оиошнм'ятм), А = 3 (длинные штрихи), А = 2 (штриховая ляния) и А _ 1 (пунктир). Для сравнения штрих-пунктирной линией показан БК1П предел. Стрелки указывают положения хольштейновских особенностей дня А = 2 (правая стрелка), А = 3 (средняя стрелка) и А = 4 (левая стрелка).

6.4 Хольштейновский сдвиг в ВТСП и его наблюдение с помощью термомодуляционной рефлектометрии

Обратимся конкретно к, так называемому, сдвигу Хольпхтейна, который неоднократно упоминался выше. Оптическая проводимость содержит вклад, связанный с промежуточными бозонами, ответственными за сверхпроводящее спаривание, ввиду того, что это взаимодействие влияет на разрыв светом куперовских пар (так называемая boson-assisted conductivity, см. ,напр., [2], [29]). В этом случае разность между нормальным и сверхпроводящим состоянием следующая: край поглощения, который в первом случае совпадает с характерной частотой бозона fi0, в последнем случае должен сдвинуться до частоты П0 + 2Д0. Этот эффект

наблюдался в обычных сверхпроводниках и играл важную роль в доказательстве фононного механизма сверхпроводимости в данных системах [91],[40]. Однако отсутствие такого сдвига в спектрах отражения ВТ-СП является одним из важных аргументов про тип обычного механизма сверхпроводимости в этих веществах [35], [70].

Как видно из Рис.(17) изменение оптической проводимости в случае промежуточной связи мало само по себе. Еще меньше указанный эффект в спектрах отражения, где коэффициент отражения очень близок к 1. Более того, отсутствие информации о симметрии щели, ее температурпое размытие затрудняет интерпретацию экспериментальных данных.

В работе [72] был предложен метод термомодуляционной рефлекто-метрип, который позволяет не только заметить указанный эффект, но и определить верхнюю границу спектра промежуточных бозонов. Суть этого метода-измерепне отношения коэффициентов отражения при двух близких температурах Т+<5Т) Экспериментальные достоин-

ства указанного метода связаны с тем фактом, что в указанном отношении компенсируются все внешние термические эффекты, как то свойства установки и т.д., и данное отношение отражает только температурные зависимости чисел заполнения, соответствующих бозонным и фермион-ным возбуждениям.

Введем коэффициент температурной зависимости отражения .

Хотя для сравнения с экспериментальными данными были использованы полные расчеты оптической проводимости, интересно провести ряд аналитических расчетов.

В нормальном состоянии можно воспользоваться " обобщенной" формулой Друде (36) п зависимостями эффективной массы и времени релаксации от температуры и частоты (39,41). В этом случае мы имеем

Т) ¡П{и,Т + 6Т) = 1 + т(ш, Т)6Т.

(74)

4тг

г(ш,Т) = —-{ 2т2Т

V, Т > Оо

'аЦш)Г{ш), Т<£0о,

так, что термомодул яционыаа рефлехтометрия в нормальном состоянии может дать прямую информацию о транспортной спектральной функции. В сверхпроводящем состоянии основной вклад в проводимость вносит мнимая часть. Для сверхпроводников при низких Т

г(ы,Т) = 8тг3и^А|/Зс3{с4.(и - 2А^(а> - 2Д)

-I«Шей (76)

Мы видим, что в сверхпроводящем состоянии транспортная функция Эли-ашберга сдвинута на удвоенную щель, это и есть отражение эффекта Холыптеина. В случае промежуточных температур (0 < Т < Тс), как было сказано выше, оптическая проводимость может быть представлена двухжидкостной моделью

о(и,Т) = аа/л{Т) + <г„(1 - /ДТ)), (77)

(см., вьппе (63)). Функция f¡¡(T) пропорциональна числу сверхпроводящих электронов и анроксимируется в виде /г(Т) = 1 — (Т/Тс)и, где ь> -некоторый показатель (обычно V — 4). Для Т < Тс мы видим, что г(и>,Т) ~ Ле[/7п(и) —а£(и>)] и достигает максимальное значение непосредственно ниже Тс.

Чтобы лучше понять особенности т(ш,Т) были проведены вычисления коэффициентов отражения для модельной функции а2 (0)^(0) в виде одного широкого пика на частоте О — 350сто_1 с константой ЭФВ А = 1,5 и шр1 — ЗеУ. Данная функция а2((1)Р(£1) дает Тс = 87К. График модельной г(о),Т) показан на Рис.(18), Основными особенностями являются: 1 .)широкий максимум в нормальном состоянии совпадает со спектральной функцией, 2,)при низких температурах указанный максимум сдвигается на 2Д(2Д/УС =5,1), 3.)наибольшая амплитуда достигается вблизи Тс и существует отрицательный вклад выше 2Д 4- П, связанный с медленно меняющимися членами в (76) (см.[46]).

Сравним данные вычисления с экспериментальными данными. Рис .(19 демонстрирует1 экспериментальные значения [46] коэффициента г{ш,Т)

аз о с га о

cd

® -0.001

о сг о £

ш .с

-0.002

0 500 1000 1500 Frequency (cm-1)

Рисунок 18: Теоретические счисления коэффициента температурной аавис:™«сти,этра-

¡Тг(«,Г) * случае сильного ОФВ [72] (см.,-текст). Температуры следуют Т-35К, 55К, 75К, 95К, 115IC и Г25К сверху вниз соответственно

для а - Ь ориентированной пленки УВа2Сщ07для температур между ЗОК и 140К 6Т = 10К.- Аналогичные данные го работы [92), обработанные нами указанным способом, показаны на Рис.(19,Ъ). В нормальном состоянии все особенности имеют конец на частотах около 700cm , что соответствует области фононных частот в атом материале. Согласно выражению (75) вид r(W,T) должен быть пропорционален спектру промежуточных бозонов a\Q)F(Q). Это дает возможность говорить о вкладе промежуточных фононов в оптические свойства ВТСП. Согласно выражению (76) для Т < % спектр промежуточных бозонов должен быть сдвингт на 2Д. Экспериментальные данные несомненно показывают такой сдвиг и дают возможность оценить величину 2Д ( если Дк является анизотропной функцией, например, анизотропное спаривание, то подобному сдвигу соответствует величина, усредненная по поверхности Фер-

Рисунок 19: а) Экспериментальные значения т(ш,Т) для Е ± с эшггаксиал-ьных пленок УВагСи307 {46]. Температуры Т=35К, 55К, 75К, 95К, 115К и 135К сверху вниз, соответственность же самое для температур Т=3-5К, 80К и 125К [92]

ми). Оценка показывает, что указанный сдвиг лежит в пределах от 250 до ЗООстп-1 , что соответствует отношению 2Д/ТС ~ 4—5. Интересно отметить отрицательный вклад в т(и>, Т) выше 2А + П, что соответствует модификации оптической проводимости (второй член в (76)). При промежуточных температурах поведение г (и, Т) соответствует двужидкостнов модели.

7 Термодинамические свойства систем с сильным электрон -фононным взаимодействием

7.1 Высокотемпературные сверхпроводники

В данном разделе мы не будем останавливаться на такой важной характеристике сверхпроводника, как критическая температура сверхпроводящего перехода Тс с данным спектром ЭФВ. Этому посвящены обзоры [12],[13], в которых было показано, что невозможно получить компактное аналитическое выражение для Тс в обоих пределах слабой А <С 1 (см.,(1)) и сильной связи (см.,(69))- Отметим однако, что важным критерием сильной связи является отношение Я/2я-Те, где О характерная фононная частота. Для ВТСП большая часть фононного спектра лежит и указанной области. Это, как уже говорилось выше, приводит к нестандартному температурному поведению плотности состояний: в отличие от модели ВКШ, щель не закрывается, а заплывает за счет заполнения уровней внутри щели. Последнее приводит к ряду интересных результатов, таких как, изменение кривизны верхнего критического поля и к отсутствию ппка в обратном времени ЯМР релаксации вблизи Тс [93],[94].

Верхнее критическое поле в сверхпроводниках второго рода определяет величину магнитного поля, при которой возникает первый зародыш сверхпроводящего состояния. В случае слабой связи приведенное верхнее критическое поле к*2 — —Нс2(Т)/(ТсН'с2(Тс)) имеет стандартное поведение: отрицательную кривизну и стремится к величине Л*2(0) = 0,69. В работе [96] показано, что в случае сильной связи при больших А величина И*2 меняет знак кривизны, например в грязном пределе (при 2жТ П) /г*2(Т) ~ Т/2ТС(ТС2/Г2 - 1) Однако в грязном случае этот эффект заметен при А > 4 [96].

В чистом случае изменение знака кривизны Кс2 происходит при меньших значениях величины А. Последнее связано с сильной температурной зависимостью рассеяния на фононах 1 /трЛ ~ 2хАТ. Именно эта ве-

личина входит в величину IIс 2 при температурах, близких к Тс (Рис.20 [97]). В дальнейшем данный подход широко использовался в работах

энштейиовского спектра с различными константами ЭФВ: а) грязный случай [96]), б) чистый случай [97]

Карботге (см., обзор [98]). В ВТСП наблюдается сильное отличее температурной зависимости К2(Т) от БКШ, особенно в безмедном соединении Ва1-хКхОз, где существует сильная положительная кривизна НС2(Т). Указанный подход [97] был применен к обобщению уравнений Гинзбурга-Ландау на случай сильной связи. Это приводит к появлению коэффициента /3(А) в члене при Ф4, зависящего от константы связи А.

(Я - адлг (0) (2тгТс)2 = е I[V - 2геА/с] Ф|2 - 4Ф2 + /3 (А) Ф4/4 (78)

где Ф - параметр порядка, £ - длина когерентности ,4 = 1— Т/Тс Функция /?(А) связана со скачком теплоемкости, наклонами верхнего и нижнего

критического поля вблизи Тс и плотностью состоянии соотношением 9

величина к - параметр Гинзбурга-Ландау определяется стандартным, соотношением Н'с2 и Н'с1. Последние уравнения будут важны для изучения сверхпроводящих фуллеренов.

Помимо указанных оценок были проведены численные расчеты [99] для скачка теплоемкости с использованием спектра, востановленного из тун-нелных данных для разных параметров. Первое, что следует заметить, то, что как и в оптических свойствах, система с сильной связью при Т ф 0 сильно отличается от стандартной модели БКШ. В последней величина С(Т) в нормальном состоянии ведет себя как С(Т) = 70Т, где 70 — 2/Зтг2Л'(0) ( ¿¥(0)- плотность состояний). В случае сильного ЭФВ функция 7(Т) = С(Т)/Т является сильно немонотонной функцией температуры. В этом случае отношение АС(Тс)/у(Тс)Тс сильно отличается от значения (АС{Тс)/7оТс)/;я';л = 1.43. Анализ экспериментальных данпых[100] Д С(Тс)/Тс с вычислениями 70, о снованными на зонных расчетах[102]. показывают, что эти данные можно согласовать при константе связи[99] Л и 2 . Второй интересной особенностью сильного ЭФВ является подавление так называемого Хебель-Шлпхтеровского пика в обратном времени ЯМР релаксации 1 /Т\. Общее выражение для обратного времени ЯМР релаксации имеет вид .

. куто./а/то, = 2 ^^квд^р)]5

хт ^

В теории БКШ ( 2 = 1, Д = Д(71) ) из-за корневой сингулярности N(E) интеграл (80) имеет логарифмическую расходимость вблизи Т < Тс, Наличие больших мнимых частей у 2(и>, Т) ( связанных с сильным затуханием квазичастиц) и, как следствие у А(ш,Т) при Т ф 0, о чем уже

3 Однако последняя величина выпадает из флуктуацпонного вклада в теплоемкость выше Тс [95].

неоднократно говорилось выше, приводит к отсутствию указанных особенностей [93],[94]. На Рис.(21 ) рассмотрены вычисления 1 )Т{Г для

1—|—1—I—I—I—г

2.0-

1.5-

t 1.0г—

0.5-

0.0 ' "I-1-1-!-1-1-1-1-1-1-1-г—Т-1-1-1-1-1-1—г

0.4

0.6

0.8

1.0

Рисунок 21: Температурная зависимость обратного времени ЯМР релаксации от приведенной температуры для различных констант ЭФВ.

нашего стандартного спектра а~ (Q)F(Q) с различными константами связи А = 1; 1,5; 2; 2,5. Для слабой связи плотность состояний имеет БКШ-нодобную структуру, н мы получаем пик ниже Тс. Сильное ЭФВ, как уже не раз говорилось, при Т ф 0 размывает плотность состояний п подавляет X-HI пик. В последствии это было подтверждено расчетами Аллена и Райнера [101]. Экспериментально в ВТСП Х-Ш пик не наблюдается, однако существуют и другие объяснения данного эффекта (сильная анизотропия, ci-спариванце).

7.2 Сверхпроводящие фуллерены.

Со времени открытия сверхпроводимости в металлических фуллеренах (М3Сео, где М = K,Rb, итд) появилось большое количество теорий, объясняющих сверхпроводящие свойства этих соединений. В основном все теории базируются на ЭФВ. Однако спектр фононов в фуллеренах очень богат: это высокочастотные тангенциальные колебания на молекуле Ceo (частотой до 180(k;m~3), радиальные колебания этих молекул с частотой

500cm 1, составляющие непрерывный спектр. Также, помимо высоко-"1-1-1-г

1

3

2 -

1 -

M1[a2F(tn)J=1.6'*103 cm"2 X=2M.1[a2F(c'i)]=2.7

M1[a2FM]=1.9*105cm"2 Â=2M, [a2F(oi]=0.5

T-1-1-Г

500 ffl [Cm-1 ]

1000

Рисунох 22: Модельная спектральная функция а2(и')F(u) для сверхпроводящих фулле-эенов. На рисунке указаны соответствующие константы связи и первые моменты для зысокочастотвых и низкочастотных вкладов.

эастотных внутримолекулярных колебаний существуют низкочастотные межмолекулярные колебания с част о-тамн-меньше ЮОстга171-,—связанные с колебаниями как самих фуллеренов, так и щелочных ионов. В принципе критические температуры сверхпроводящего перехода Тс m 20 -г 30А' можно было бы объяснить за счет слабой (А га 0, 5) связи с внутримолекулярными фононами. Однако экспериментальные данные по температурами зависимостям верхнего критического поля, глубины проникновения я, особенно, туннельные измерения щели (2Д /Тс м4т 5) [105],[106], [107] указывают на сильные отклонения от поведения в модели БКШ в сторону сильной связи. Анализ[103], аналогичный, проведенному в предыдущем параграфе по данным Н'с1, Н'с2 и плотности состояний, основаной на зонных расчетах [104] привел к довольно большому значению константы связи А > 2 . Если это ЭФВ приписать к высокочастотным (внутримолекулярным) фононам, то мы получили бы большие Тс ~ ЮО-К", и малое отношепие 2Д/Тс « 3,52. Чтобы разрешить указанный парадокс, в работе[103] была предложена так называемая двухпиковая модель

(см.Рис.(22) ) d которой электроны слабо взаимодействуют с внутримолекулярными фпионами X ~ 0,5 (что и следует из оценок, связанных с шириной зоны , см., Глава 3) и сильно взаимодействуют с низкочастотными вращательными колебаниями (либронами) Л ~ 2,7. Отношения первых моментов Мг = 1 J0°° <ШПа2(П)Г(0) этих двух частей спектра пропорционально отношению числа фононных мод на молекуле С60 и трех либронных мод и равно 60. Данный набор параметров дает значение Тс = 23К для К3Сео и соответствующее отношение 2Д/ТС = 5,3 (см. экспериментальные данные [105],[106]). Интересно отметить, что величина 2тгТс

1.0

^тттттт-т-г г f г » тт-1п т т; ? 1 1 i i г т г г" f nnnni i 'i ч т т'ч'т т т~г

ТРЫ (Ь/т=500 cm"')

_ _ BCS, dirty limit ООООО expt.

0.0

0.2

0.4 06

t=T/Tc

о.в

1.0

Рисунок 23- Приведенное верхнее критическое лояе, вычисленное в указанной медени, ш сравнению с экспериментальными данными [109].(Штриховая юш соответствует модели

БКШ.)

лежит между двумя этими пиками, это означает, что слабое взаимодействие с высокочастотными колебаниями определяет в основном значение Тс , а сильное взаимодействие с низкочастотными модами значение щели

О

1.20

1.00

о.ао

0.60

о.

(U

-а

с о ..—i я

K-t

cu 0.40 С

cu п.

хз üi [Я Ul

<u >

с

0.30

0-00„

0.0

0.2

0.4 О.в

т/тс

о.в

1.0

Рисунок 24: То же, что и на Рис.23 для обратной глубины проникновения. Экспериментальные точки из работы [ПО].

при низких температурах, что, в свою очередь и приводит к большому значению 2А/Тс.

На основании данной функции Эянашберга, a2(Ü)F(Q) были рассчитаны [108] также термодинамические характеристики как приведенное верхнее критическое поле Нс2(Т), глубина проникновения А(Т) и обратное время ЯМР релаксации (см, Рис.(23,24,25 ). Показало, что поведение этих величин существенно отличается от модели БКШ п довольно хорошо соответствует экспериментальным данным. Следует особо отметить отсутствие Х-Ш пика в обратном времени ЯМР релаксации, благодаря сильному затуханию на низкочастотных либронах. Таким образом было показало, что, хотя, по-видимому, тяжело объяснить экспериментальные результаты для сверхпроводящих фуллеренов как с помощью ЭФВ только с жесткими внутримолекулярными колебаниями, так и с сильным взаи-

1.0 ГГ

0.8 1

0.6 -

Е-

Е-

1U

to

С

О 0.4

га x a

£ 0.2

ой S

0.0,

0.0

I 1 ' 1 ' ■ ' f I I I » 1 I I t 1 ■ I I 1 1 > 1 t I 1 I t 1 I I I

0.2

0.4 0.6

T/Tc

0.8

1-0

Рисунок 25: To же, что и на предыдущих рисунках дм обратного времени ЯМР релаксации. Экспериментальные точки из работы [111].

модействием с другими возбуждениями, эти факты легко объясняются с помощью двухпиковой модели, в которой электроны связаны как с жесткими внутримолекулярными колебаниями, так и с очень мягкими межмо-лекулярнымп фононами.

8 Приложение. Вершинные функции для оптической проводимости в нормальном состоянии

Уравнение для электромагнитного ядра (3.2) перепишем для простоты на мнимой (Мацубаровской) оси (ит ~ 2кТт,шп = яТ(2п + 1))

К^гп) = 4 яе2Г5:£ + г/т,к)Г>„,и;п + 1/т, к)С(«„,к), (81)

п ](

:дс уравнения на вершину даются выражениями

r"(w„, -f vm, к) = + j^j £„• Eic G(wn + vm,к)Г"К, шп + Vniк) „ xG(wn,h)W((jjn, шп>, к, к').

(82)

Зелпчнна

ТГК,о»я.,к,к') = AK,Wni,k,k') + (83)

мелсэяектронное взаимодействие, состоящее пз фононного вклада

лК.^к') = <84>

.7«- зависящий от импульсов матричный элемент взаимодействия электронов с фононом ветви а, п 7k,k' обратное время рассеяния на примесях, подставляя в (81) функции Грина, получаем

W = + + ит,к). (85)

n к

3 уравнениях (82) и (85) воспользуемся разложением функций, зависящих )т волнового векторак по, так называемым " Ferml-surface harmonics" Fj(k) (см.,[26])

¿(k)=E^ib-,<jF/(k), (86)

j

где функции ij(k) удовлетворяют условию ортонормированностп на экви-тотенциалп = е

Е ^(к)*>(к)%к - е) = <5j,j.N(e). (87)

к

В дальнейшем мы будем пренебрегать зависимостью величин от е ( то зсть рассмотрим вершинные поправки на поверхности Ферми). В этом ;лучае

= 8тге2Г Е + + (88)

JiJi,h п

где учитывается, что коэффициент перенормировки зависит лишь от частоты

*igrw„-sipnwn+m iri

и3 = SJfiU(n, m) = бЛо{ ^ ^ (89)

Если в качестве Fermi-surface harmonics выбрать полиномы из скоростей на поверхности Ферми

ад = 1, ад - (эо)

где (...) означает усреднение по поверхности Ферми. В результате (88) имеет вид

Г/м(п, т) = + (91)

п' J'

где

гаг-"'/« - 9 п'О О^АПЩП)

УГ (п,п)-2]о (92)

Функция ЭФВ а231,{й)Р(Щ имеет вид

*ищт = ^ £ £ - ^ад^к^Ы^-)- (93)

л 1и/ к,к' «

£4(0)^(0) соответствует обычной функции Элиашберга Из (91-93) следует, т1То если мы будем рассматривать бездисперсные фононы с взаимодействием, не зависящим от волновых векторов к и к', то получим

Кхх = &пе2М(Ъ){У?)Т £ И(п, т) (94)

п

- стандартное выражение в ПХФ ( вершинные поправки отсутствуют). Таким образом вершинные функции радикально зависят от пространственной дисперсии ЭФВ и рассеяния на примесях.

Следующим приближением является учет только диагональных членов 1У~',!'(п,п') В этом случае / = /г, и мы получаем

го) = 41+ Т Е «'№'>п»)Г"(п', т), (95)

га'

П

= (96)

П

С помощью выражения для £(сип) имеем из (89)

т \ - и^ЫМ___

{п,т] ~ 1 + rsv W^n- п')и(°)(п\тУ

к ¿m) = ^ ç (100)

шп — m

поляризуемость свободных электронов. С помощью (97)

Т, , , 2 ~ „-1, ч U(0Hri,m) , ч

= ^/^ТТт^^ (99)

1е матрица - п') = 6п>п, - TW^(n - n'), а = 8Л2 / ^(V?)2-лазменная частота вдоль оси ¡х. В низшем порядке по А/(1 + А) несложно получить, что

f/W(n,rn) ^ 1 + Т Е„. Wif(n - п')Г7<в)(п', ш) '

те H'"fr(?n) — И7"0(m) — W^(rn), a Air выражается через транспортт^ю ункцию Элпашберга

«(»и«») - ("»)

го соответствует выражениям, полученным в работе [30]. Аналитиче-ïoe продолжение (100) приводит к выражению (34)

Следующим шагом является вычисление эффективной массы и обрат-ого транспортного времени релаксации. Введем функцию М(тп) на Мнп-ой оси

(102)

• низшем порядке по Atr/(1 + Air) получаем

M (m) = - 2тгА оТ + 4пТ £ (1 - )Д|% (103)

гсо

АГ - 2/о ¿Па* (П)П/(П> + i/f). (104)

■ учетом — -^(-г) + ^(п-Ьг + 1) аналитическое продолжение

L02-103) на действительную ось частоты приводит ж выражениям (38), 59), (40).

9 Заключение

Основной целью данной диссертации было последовательное описание свойств сверхпроводников с сильным эдектрон-фононвым взаимодействи-емю

Показано,что:

1.Ввиду большой критической температуры и большой константы ЭФВ в нормальном состоянии, вследствие сильного затухания квазпчастиц, нарушается стандартное фермижндкостное описание квазичастиц.

2.Микроскопический расчет оптической проводимости таких систем показывает невозможность использования стандартной формулы Друде.

3.Проведен последовательный ( с учетом вершинных функций) вывод ''обо щенной" формулы Друде: получены выражения для частотно и темпера-турнозависящих оптической массы т*(ш,Т) и оптического времени ре-лаксапшг 1/т(ш,Т) через спектральную функцию промежуточных бозонов.

4.Показано, что благодаря широкому фононному спектру ВТСП и большой константе связи, эффективное оптическое время релаксации ведет себя практически линейно в широком диапазоне частот, что соответствует экспериментальным данным.

5.На основе полученных выражений восстановлены спектры промежуточных бозонов для ВТСП и соединения с тяжелыми фермионами II Ри. Б первом случае полученный спектр лежит в области фононных частот, е для иР1Ъ определяется спиновыми флуктуацпями.

6.Темиературная зависимость оптической проводимости при промежуточных частотах описывается двужидкостной моделью, а концентрацш сверхпроводящих электронов, формулой Гортера-Казимира.

7. В области низких частот действительная часть микроволновой прово дпмости зависит от температуры сильно немонотонным образом и, из-з; сильного рассеяния, имеет максимум при Т « Амплитуда этого мак симума резко усиливается при учете двузонного характера системы, чт<

сорошо согласуется с экспериментальными данными. >.В случае сильного ЭФВ (Л —» оо, П -+ 0) поглощения при Т=0 явля-■тся пе величине 2До (как в случае теории БКШ), а величина, почти 1двое больше 3,8До- Модель сильной связи демонстрирует особенности, 1е связанные с фононной структурой, которые сохраняются и в случае громежуточной связи.

•.Впервые на основании метода термомодуляцпонной рефлектометрии федложен метод и обнаружен, так называемый, сдвиг Холынтейна. .0.Показано, что сильное ЭФВ меняет знак кривизны верхнего критиче-:кого магнитного поля.

.1.Наличие низкочастотных фононных возбуждений подавляет Хебель-Плихтеровскпй пик вблизи Тс в обратном временп ЯМР релаксации. 2.Предложена двупиковая модель, позволяющая описать термодинамнче-•кие свойства сверхпроводящих фуллеренов.

Литература

[1] P.D.Allen, Соmmens Cond. Mai. Phys., 15, 327 (1992)

[2] T.D.Hoktein, Ann. Pkys.(NY), 29, 410 (1964)

[3] P.W.Anderson, Science, 235, 1196 (1987)

[4] C.M.Varma, et al., Phys.Rev. Lett., 13, 1936 (1989)

[5] M.MiUni, et al, Physica, С 192, 230 (1992)

[6] M.L.Cohen, P.W.Anderson., Superconductivity in d- and f-band metals.AIP Conf. Proc. (ed. D.H.Duglass ) NY, 1972, p.17

[7] P.W. Anderson, Preprint, 1991

[8] "Проблема высокотемпературной сверхпроводимости", под ред., В.Л. Гинзбурга и Д.А. Киржница, М., Наука, 1977

[9] Д. Панне, Ф. Нозьер,"Теория квантовых жидкостей", М.,МИР ,1967

[10] Д.А. Киржииц, УФН, 104, 469 (1971)

[11] О.В. Долгов, Е.Г. Максимов, "Эффекты локального поля и нарушение соотношений Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости", УФН, 135, 441 (1981)

[12] О.В. Долгов, Е.Г. Максимов, "Критическая температура сверхпроводников с сильной связью", УФН, 138, 95 (1982)

[13] О-В. Долгов, Е.Г. Максимов, "Электрон-фонопное взаимодействие и сверхпроводимость", Труды ФИАН, 148, 3 (1983)

[14] O.V. Dolgov, D.A.Kirzhmts, E.G.Maksimov, "On an admissible sign of the static dielectric function of matter", Rev. Mod. Phys., 53, 81 (1981)

[15] O.V. Do]gov, E.G. Maksimov, ''Dielectric function of crystalline systems", Ch..4 in ''Dielectric function, of condensed systems", eds. L.V.Keldysh, D.A.Kirzlmits, A.A.Maradudin, Elsevier Publ.,1989. p.221-298

[16] O.V. Dolgov, D.A. Kirzhnits, E.G. Maksimov. "Dielectric function and superconductivity", Ch.2 in "Superconductivity, superdiarnagrietism and superfluidity", cd. V.L.Ginzburg, MIR PubL, M., 1987

[17] O.V. Dolgov, E.G. Maksimov, S.N. Rasiikeev, ''The dielectric screening and magnetic instabilities in an interacting electron gas " Solid State Comm., 40, 51, (1983)

[18] B.JI. Гинзбург, Е.Г. Максимов, Сверхпроводимость, 5, 1505 (1992)

[19] У.I. Ginzburg, E.G. Maksimov, Physica, С 235-240, 193 (1991)

[20] P.Lee, N.Nagaosa , Physica, С 185-189 , 130 (1991)

[21] W.E.Pickett, Rev. Mod. Phys., 61, 433 (1989)

[22] А.Б. Мигдал, ЖЭТФ, 34, 1438 (195S)

[23] А.В. Даниленко, О.В. Долгов, "Беадпабагические поправки к электронной кваэичастичной собственной энергии", Препринт ФИАН, No 13, 1996

[24] O.V. Dolgov, V.V.Losyakov, "Renormalization factor and odd-ш gap singlet superconductivity", Phys.Lett., A 190, 189 (1994)

[25] С.В.Вонсовский, Ю.А. Изюмов, Э.З. Курмаев,"Сверхпроводимость переходных металлов, их сплавов и соединений." М., "Паука",1977

[26] Р.В. Allen, В. Mitrovic, in Solid State Phys., eds H.Ehrenreic, F.Zeitz, D.Tumbull, 37(1982)

[27] O.V. Dolgov, E.G. Maksimov, S.V. Shulga, "Electron-phonon interaction and infrared spectra of high temperature superconductors", in "Electron-phonon interaction in oxide superconductots", ed. R.Baquero, World Scient., 1991, p.30

[28] S.V. Shulga, O.V.Dolgov, E.G. Maksimov, "Electronic states and optical spcctra of HTSO with electron-pkonon interaction", Physica C 1T8, 266 (1991)

[29] P.B. Allen, Phys. Rev., B 3, 305 (1971)

[30] G.D, Mahan, "Many-Particle Physics". Plenum, 1890

[31] S.B. Nam, Phys. Rev., 156, 470 (1967)

[32] W. Lee, D Rainer, W. Zimmermann, Physica C159, 535 (1989)

[33] E.G. Maksimov et al., Phys. Rev. Lett., 63, 1870 (1989)

[34] Z. Schlesinger et al., Phys. Rev. Lett., 65, 801 (1990)

[35] D.B. Tanner, T. Timusk iu "Physical properties of high temperature superconductors III"ed.D.M.Ginsberg, World Seien.,1992

[36] D.B. Romero et al. Phys. Rev. B 44, 2318 (1991)

[37] E.V. Abel', V.S. Bagaev D.N. Basov, O.V. Dolgov, A.F. Plotnikov, A.G. Poiarkov, W. Sadovsky, "Infrared spectroscopy of Nd2~vCe!/Cu04(y = 0-r-0.2) single crystals" Solid State Comm., 79, 266 (1991)

[38] E.V. Abel', V.S. Bagaev D.N. Basov, O.V. Dolgov, A.K.Kazakov, S.R. Okt'yabrskii, A.F. Plotnikov, A.G. Poiarkov, \V. Sadovsky, "Optical properties of Nd.2-yCtyCuOi single crystals in dielectric, superconducting and metallic phases" in"High temperature superconductivity and localization phenomena" eds A.A.Aronov, A.I.Larkin, V.S.Lutovinov, World Seien.,1992, p.643

[39] O.V. Dolgov, S.V. Shulga, "Analysis of intermediate boson spectra from FIR data for HTSC and heavy fermion systems", J. of Superconductivity, 8, 611,(1995)

[40] B Farnwoth, T Timusk, Phys.Rev. B 10, 731 (1974)

[41] J.Schutzmann et.al, Phys. Rev. B 46, 512(1991)

[42] K. Kamaras et al., in "Springer series in solid state physics" 99, 260 (1990)

[43] P.E. Sulewski et al, Phys. Rev. В 38, 5338 (19S8)

[44] R.T. Coffins ct al.,Phys.Rev. В 39, 6571 (1989)

[45] G. Aeppli et al, Phys. Rev. Lett., 63, 657 (1989)

[46] O.V. Dolgov, A.E. Karakozov, A.A.Mikhailovsky, B.J. Feenstra, D. van der Marel, "Observationof the Holstein shift in high-Г, superconductors with thermal-modulation reflectometry", Physica С 229, 396 (1994)

[47] W.E.Pickett, J. of Superconductivity, 4, 397 (1991)

[48] S.I. Vedeneev et al., Phys. Rev., В 51, 16380 (1995)

[49] A.T. Pioiy et al, Physica C, 1G2-161, 1195 (19S9)

[50] M. Gurvitch, A.T.Fiory, Phys.Rev.Lett., 59, 1337 (1987)

[51] T.A. Friedman e.t a!., Phys. Rev.,В 42, 6217 (1990)

[52] I J. Mazin, O.V.Dolgov, "Oil the estimation of the electron -phononcoupling from the resistivity", Phys. Rev.,В 45, 2509 (1992)

[53] В. Suhdqwist, В.M. Andersson, Solid State Comm., 74, 1305 (1990)

[54] Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ, 38, 966 (1960)

[55] A.E. Каракозов, Е.Г. Максимов, С.А. Машков, ЖЭТФ, 68, 1937 (1975)

[56] А.А. Mikhailovsky, S.V. Shulga, A.E. Karakozov, O.V.Dolgov, E.G.Maksimov, "Thermal pair-breaking in superconductors with strong electron-phonon interaction", Solid State Comm., 80,511 (1991)

[57] L.N. Bulaevskii,O.V. Dolgov,LP. Kazakov, S.N. Maksimovskii, M.O. Ptitsyn, V.A. Srepanov, S.I. Vedeneev, "A tunneling study ofthe oxide superconductots la2-tSrxCu04-v аЫ ЕиВо2Сщ07", Supercond.Sci.Technol. 1, 205 (1988)

;58] S.I. Vedeneev et al, Phys.Rev.,B 49,9823 (1994)

[59] R. Zasadzinski et al., J.Appl.Phys., 76, 407 (1991)

[60] W.l McMillan, J.M. Rowell in "Superconductivity ed R.D.Parks,Vol 1, Dekker, NY, 1969

[61] V.M. Svistunov et al, J. Low Temp. Phys., 31, 339 (1978)

[62] R.S. Gonnelli, L.N.Bulaevskii, O.V.Dolgov, S.I.Vedeneev, "A method for the determination of the density of states from tunneling measurements in high-Tc superconductors" ,in "Advances in high temperature superconductivity", eds,, D.Andreone, R.S.Gonnelli, E.Mezzetti, World Sient., 1992 p.331

[63] R.S. Gonnelli, S.I.Vedeneev, O.V.Dolgov, G.A.Ummarino, "Iniluece of lifetime broadening in the determination of the Eliashberg function from break-junction tunneling data in BiiSr^CaCv^O^ single crystals", Physica C 235-240 ,1861 (1991)

[64] R.S. Gonnelli, O.V.Dolgov, G.A.Umma.rmo, SJ.Vedeneev, "Comparison of the Eliashberg functions determined from point-contact and break junction tunneling experiments in B^SriCaGuoP^, Nuovo Cimento, D 16, 1903 (1994)

[65] L.N. Bulaevskii,O.V. Dolgov, M.O. Ptitsyn, V.A. Srepanov, S.I. Vedeneev, "Tunneling measurements and electron-phonon interaction"in high Tc superconductors', in "High temperature superconductivity and other related topics", eds B.E.Baaquie et al, World Sient., 1939 p.18

[66] A.A. Golubov, O.V.Dolgov, E.G. Maksimov, I.I. Mazin, S.V.Shulga, "Strong-coupling effects'in s -wave two-band superconductors" Physica C 235-240 ,2383 (1994)

[67] O.V.Dolgov, A.A. Golubov, S.V. Shulga, • "Far-infrared properties of high-Tc superconductors", Phys.Lett., A 147, 317 (1990)

[68] A.H. JIapKHH, X3T<I>, 46, 2188 (1964)

[69] N.E. Bickers, et al., Phys. Rev., B 42, 67 (1990)

[70] Z. Schlesinger, et al., Nature, 343,242 (1990)

[71] J. Orenstein, tt al., Phys. Rev.,13 42, 6342 (1990)

[72] D. van der Marel, et al., Phys.Rev.,B 43, 8606 (1991)

[73] R.T. Collins, et al., Phys. Rev., В 43, 8701 (1991)

[74] O.V. Dolgov, E.G.Maksimov, Л.Е. Karakozov, A.A. Mikhailovsky, "Microwave conductivity of superconductors with a strong electron-phonon interaction", Solid State Comm., 89, 827 (1994)

[75] G.M.Eliashberg, tt al, J.of Supercond., 4, 393 (1991)

[76] X. Leyronas, R. Combescot, Preprint, 1996

[77] V.Z. Kresin, S.A.Wolf, Phys. Rev., В 46, G458 (1992)

[78] S.D. Adrian , tt al, Phys. Rev., В 51, 6800 (1995)

[79] A.A. Golubov, O.V. Dolgov, E.G. Maksimov, I.I. Mazin, S.V. Shulga, "Strong coupling effects in s-wave two band superconductors", in: "Nonlinear superconducting devices and HTS materials", eds., R.D.Parmenter, N.F.Pedersen, World Scient., 1995, p.49

[80] S. Orbah-Werbig, et al,Physica С 235-240 , 1823 (1994)

[81] J. Mao, et al, Phys. Rev., В 51, 3316 (1995)

[82] A.A. Golubov, M.R. Trunin, A.A. Zhukov, O.V. Dolgov, S.V. Shulga, "Effects of impurity scattering on the magnetic field penetration depth in YBa2Cu^Or^s '■ comparison with experiments", Письма в ЖЭТФ, 62, 477 (1995)

[83] A.A. Golubov, M.R. Trunin, A.A. Zhukov, O.V. Dolgov, S.V. Shulga, "Comparative description of the micriwave surface impedabce of Nb, BaKBiO andY BaCuOv, J. de Physique, September (1996) (in press)

[84] G. Bergmann, D. Rainer, Z. Physik, 263, 59 (1973)

[85] R. Combescot, Phys. Rev., В 51, 11625 (1995)

[86] F. Maxsiglio, J .P. Carbotte, Phys. Rev., В 43, 5355 (1991)

73

[87] Л.Е. Karakozov, et al,Solid state Comm., 79, 329 (1991)

[88] R. Combescot, O.V. Dolgov, D. Rainer, S.V. Shulga, "Optical absorbtion in the strong coupling limit of Eliashberg thery", Phys. Rev., В 53, 2739 (1996)

[89] O.V.Dolgov, A.A. Golubov, "Energy gap in .s- and ¿-pairing superconductors", Int. J. of Modern Physics., В 1. 1089 (1988)

[90] O.V.Dolgov, A.A.. Golubov, "Energy gap in s- and (¿-pairing superconductors" in "Towards the theoretical understanding of high Tc superconductors" eds. S.Lundqvist et al, World Scient., 1988.p. 533

[91] R.R. Joyce, P.L. Richards, Phys. Rev. Lett., 24, 1007 (1971)

[92] M. Bauer, Ph.D. thesis, University of Wiirzburg (1990)

[93] O.V. Dolgov, A.A. Golubov, A.E.Koshelev, "Influence of electron-phonon scattering on the properties of high Tc superconductors", Solid State Comm., 72, 81 (1989)

[94] L.N.Bulaevskii, O.V. Dolgov, A.A. Golubov, "Electron-phonon coupling model and high-temperature superconductors", Physica С 162-164, 1527 (1989)

[95] L.N.Bulaevskii, O.V. Dolgov, "The fluctuation in strong coupled superconductors", Solid State Comm., 67 63 (1988)

[96] Л.Н. Булаевским, О.В. Долгов,"Свойства сверхпроводников с сильным электрон-фоноиньш взаимодействием" Письма в ЖЭТФ, 45, 413 (1987)

[97] L.N.Bulaevskii, O.V. Dolgov, М.О. Ptitsyn, "Properties of strong-coupled superconductors", Phys. Rev., В 38, 11290 (1988)

[98] J.P. Carbotte, Rev. Mod. Phys., 62, 1027 (1990)

[99] S.V. Shulga, O.V.Dolgov, I.I. Mazin, "Electron-phonon coupling and specific heat in YBa2Cu30T", Physica., С 192, 41 (1992)

[100] N.E. Phillips et al, Phys. Rev. Lett., 65, 357 (1990)

101] P.B. Allen, D.Rainei, Nature, 349, 396 (1991)

102] W.E. Pickett, et al, Phys. Rev., B 42, 8764 (1990) ■

103] O.V.Dolgov, I.I. Mazin, "Ginzburg-Landau analysis of superconducting K^Cea ", Solid State Comm., 81, 935 (1992)

104] I.I. Mazin, et al., Phys.Rev., B 45, 5114 (1992)

105] Z.Zhang, C.M. Lieber, Mod. Phys.Lett, 5 1905 (1991)

106] P. Jess, et al. Physica,C 235-240, 2499 (1994)

107] L. Mihaly (unpublished)

108] I.I. Mazin, O.V.Dolgov, A.A.Goltibov, S.V.Shulga, "Strong-coupling effects in alkali-metal-doped C00 " Phys- Rev., B 47, 538 (1993)

109] G.S. Boebinger, et al., Phys. Rev., B 46, 5876 (1992)

110] Y.J. Uemura, et al, Nature, 352, 605 (1991)

111] R. Tycko, et al, Phys. Rev. Lett., 68, 1912 (1992)