Влияние температуры на теоретическую прочность алюминия, меди, кремния на сдвиг и графена при растяжении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

005046490

На правах рукописи

/I

/ /

/

/ /

Л

р /

Искандаров Альберг Маратович

лияние температуры на теоретическую прочность алюминия, меди, кремния на сдвиг и графена при растяжении

С пециальность 01.04.07 - физика коденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ИЮЛ 2012

Уфа - 2012

005046490

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки статуте проблем сверхпластичности металлов РАН, г. Уфа.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Назаров Айрат Ахметович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор,

Горностырев Юрий Николаевич Институт физики .металлов УрО РАН

доктор физико-математических наук, профессор,

Екомасов Евгений Григорьевич Башкирский государственный универси

Ведущая организация: Алтайский государственный техничесм

верситет. г. Баричул

Защита состоится 25 сентября 2012 г. в 14— часов на заседании диссертационного совет Д 002.080.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Инсті туте проблем сверхпластичности металлов Российской академии наук, расположение! по адресу: 450001, г. Уфа, ул. Ст. Халтурина, 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСПМ РАН.

Автореферат разослан 12 июля 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просі ба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационног совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.080.02,

---'Г/ / / " — / •/.•• Л / (■'"///; ' ч/

доктор технических наук Р.Я. Лутфулли

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теоретическую прочность можно определить как верхний предел прочности, который может быть достигнут для рассматриваемого твердого тела. Как правило, материалы начинают пластически деформироваться или разрушаться, когда внутренние напряжения не достигают и сотой части от теоретической прочности. Это происходит из-за наличия дефектов кристаллической структуры таких, как дислокации, границы зерен и др. Однако эксперименты по растяжению нитевидных кристаллов, наноиндентированию, сжатию наностолбиков, изгибу нанопроволок и др. показали, что прочность материалов, тестируемая в малых объемах, может приближаться к теоретической. В случае наноиндентирования, максимальные касательные напряжения возникают не на контактной поверхности, а в малом объеме вещества на некоторой глубине под индентором, где дефекты присутствуют в очень малом количестве или полностью отсутствуют, что приводит к гомогенному зарождению дислокаций при значениях напряжений, близких к теоретическому пределу прочности. При сжатии столбиков диаметра порядка сотен нанометров, благодаря малой исходной плотности дислокаций и их быстрому выходу на поверхность, наблюдается «дислокационное голодание», что также приводит к повышению прочности с уменьшением диаметра столбиков и к приближению её к теоретическому пределу. Работа источников дислокаций, например, таких как источник Франка-Рида, в малых объемах затруднена, и дислокации зарождаются на поверхности, что происходит при значительно более высоких напряжениях.

Модель Я.И. Френкеля, предложенная в 1926 году, дает оценку теоретической прочности кристаллов при сдвиговой деформации [1]. В рамках модели рассматривается сдвиг одного атомного слоя относительно другого как целого, при этом максимальное (критическое) сдвиговое напряжение оценивается как тс = С/2тт, где (3 - модуль сдвига. На сегодняшний день одним из наиболее используемых методов изучения теоретической прочности является моделирование на основе первопринципных расчетов. Такие расчеты показали, что теоретическая прочность на сдвиг в направлениях легкого скольжения многих металлов и керамик составляет величину порядка нескольких ГПа [2]. Теоретическая прочность подвержена влиянию многих факторов, которые необходимо принимать во внимание в реальных условиях. Так, при наноиндентировании, область под индентором подвержена сильному сжатию, что приводит к необходимости учета влияния сжимающих компонент напряжений на теоретическую прочность при сдвиге. Например, было показано, что в алюминии сжимающее гидростатическое напряжение величиной 10 ГПа увеличивает теоретическую прочность на сдвиг более чем на 1 ГПа [3], однако для углерода наблюдается понижение теоретической прочности на сдвиг под действием сжимающих напряжений [4]. Наличие свободной поверхности, даже атомарно гладкой, может понизить прочность кристаллов, свободных от дефектов другого типа. Температура также является очень важным фактором при изучении теоретической прочности материалов. Естественно ожидать понижения теоретической прочности материалов с ростом температуры за счет термоактивированной потери устойчивости кристаллической решетки. Однако до сих пор систематического исследования влияния температуры на теоретическую прочность материалов сделано не было. Особенно актуальной данная проблема является для наноразмерных изделий, которые нередко демонстрируют прочность, близкую к теоретической.

Целью диссертационной работы является определение теоретической проч-

поста ряда материалов в широком интервале температур и выяснение механизмов термоактивированной потери механической устойчивости кристаллических решеток под напряжением при помощи методов компьютерного моделирования.

Для достижения данной цели были решены следующие задачи:

1 Разработка методики молскулярно-динамического моделирования дая определе-

' ния теоретической прочности материалов в широком диапазоне температур.

2. Определение влияния температуры на теоретическую прочность ГЦК металлов при деформации сдвига.

3. Исследование влияния температуры на теоретическую прочность на сдвиг кремния.

4 Определение влияния температуры на характеристики процесса потери устойчивости графена под действием растягивающих напряжений.

Неумная новизна

1 На примере нескольких кристаллических материалов (алюминий, медь, кремний)

' проведен расчет теоретической прочности на сдвиг в широком диапазоне изменения температуры, и показано, что теоретическая прочность линейно убывает с температурой.

2 Впервые изучена температурная зависимость безразмерного параметра С1с/тс,

' связывающего теоретическую прочность тс с критической деформацией 7с, соответствующей потере механической устойчивости кристалла и входящей в обобщенную модель Френкеля [2]. Обнаружено, что в широком интервале температур этот параметр остается практически постоянным и равным тг/2, тогда как параметр С/тс, входящий в исходную модель Френкеля и по порядку величины равный 2тт, существенно зависит от температуры.

3 Установлено, что среднее время до разрушения однородно деформированного растяжением графена экспоненциально растет с обратной температурой и убывает обратно пропорционально площади листа графена. Полученные результаты позволили оценить феноменологические параметры указанной зависимости и осуществить прогноз времени до разрушения листа графена макроскопического размера.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1 Методика и параметры моделирования, включая выбор эмпирических межатомных потенциалов, для определения влияния температуры на теоретическую прочность алюминия, меди, кремния и графена посредством молекулярно-динамиче-ских расчетов.

2 Результаты расчетов, демонстрирующие линейное убывание теоретической прочности на сдвиг ГЦК металлов и кремния с температурой и показывающие, что при комнатной температуре теоретическая прочность алюминия, меди и кремния на 15-25% ниже, чем при абсолютном нуле температуры.

3 Утверждение о приблизительном постоянстве и равенстве тг/2 входящего в обобщенную модель Френкеля параметра С1с/тс для меди, алюминия и кремния в широком интервале температур.

4. Аррениусовская зависимость от температуры среднего времени до разрушения графена под действием растягивающих напряжений и результаты расчета зависимости энергии активации разрушения от степени деформации. Результаты оценки, показывающие, что при комнатной температуре лист графена с размерами около 1 мм может просуществовать без разрыва порядка одного года при степени растяжения не более 8-13% в зависимости от направления растяжения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: ИПСМ РАН; Токийский государственный университет; International Symposium on Bulk Nanostructured Materials: Prom Fundamentals to Innovations (Уфа, 2007); Открытая школа-конференция стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы (УМЗНМ) - 2008» (Уфа, 2008); 2nd International . Symposium on Bulk Nanostructured Materials: Prom Fundamentals to Innovations (Уфа, 2009); Открытая школа-конференция стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы (УМЗНМ) - 2010» (Уфа, 2010); 3rd International Symposium «Bulk Nanostructured Materials» (Уфа, 2011); International Symposium on Atomistic Modeling for Mechanics and Multiphysics of Materials (Токио, 2011); LII Международная конференция «Актуальные проблемы прочности» (Уфа, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 1 статья в сборнике трудов конференции и 2 тезиса докладов.

Личный вклад автора. Соискателем лично получены все представленные в щссертации результаты численных расчетов, определяющим было участие соискателя в обсуждении постановочных задач и полученных результатов, а также в подготовке [убликаций и выступлений на научных форумах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, включения, библиографии и одного приложения. Общий объем диссертации 138 стра-шц, из них 109 страниц текста, включая 57 рисунков. Библиография включает 123 [аименования на 14 страницах.

Содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертационной работы, Формулировку цели и задач работы, ее научной новизны, а также основные положения, ыносимые на защиту. Дан краткий обзор содержания глав диссертации.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ НАНОМАТЕРИАЛОВ

В первом разделе дан обзор экспериментальных работ, в которых для различных (атериалов была достигнута прочность близкая к теоретической. Приведено описание [еханизмов разрушения в каждом из рассмотренных экспериментов. Показано, что от-ичительной чертой большинства из них является наномасштабность характерных раз-[еров вещества где достигается высокая прочность.

Во втором разделе представлен анализ теоретических моделей в которых пред-агаются оценки теоретической прочности материалов. Рассматривается модёль Я.И. Френкеля и её обобщение, предложенное в работе [2].

Во третьем разделе рассмотрены основные методы компьютерного моделирова-ия, которые широко используются для моделирования процессов деформации нано-"руктур и определения теоретической прочности материалов - это молекулярная ди-

намика и моделирование на основе первых принципов1. Указаны основные достоинства "сГкТэхи^ подходов, а также определены критерии их применимое™ к задачам

даССеРВ™Ртом разделе представлены результаты компьютерного моделирования по наноиндентированию и сжатию наностолбиков. Для наноиндентирования описаны ^^особенности процесса зарождения дислокации в объеме под индентором В ГасГости, оказывается, что наиболее вероятное место зарождения дислокации сильно —™ ориентации индентируемой поверхности. Для моделирования сжатия м -" неких наностолбиков, продемонстрировано, что уменьшение диаметра стол-—сГствует упрочнению. Также да« обзор работ, посвященных прямому изуче-^Гтеоре™ой Точности методами компьютерного моделирования на основе рас-прищипов и молекулярно-динамических расчетов. Показано, что тео-— аТпро^ть на растяжение и сдвиг металлов и керамик находится на уровне нескольких ^ТГа. Продемонстрирована зависимость прочности материалов от различ-Гф™р , таких как температура, скорость деформации и напряженное состояние материало в частности прочность на сдвиг металлов увеличивается при гидростати-ческомТжатии, в то времТкак углерод (с решеткой типа алмаза) проявляет обратное

поведеши. да литературных данных делаются выводы о состоянии изучае-

мой проблемы и формулируются основные задачи диссертационно* работы. Проводи^ ся обоснование выбора исследуемых материалов. Для поиска общих закономерностей в™ температуры на теоретическую прочность необходимо рассмотреть сильно различающиеся материалы. Выли выбраны следующие материалы:

1 Алюминий и медь, как эпичные представители ГЦК металлов, обладающие вы' сокой и низкой энергиями дефекта упаковки соответственно.

2 Кремний - представитель ковалентных кристаллов, являющийся исключите^но важным материалом для электронной промышленности, с целью сравнения и обобщения результатов, полученных для ГЦК металлов.

3 Графен - двумерный наномамериал, обладающий чрезвычайно высокой прочно-с£ю на растяжение, что представляет непосредственный интерес для темы исследования.

Выбор ввдов нагружения, под действием которых исследовалась теоретическая прочность выбранных материалов, был продиктован условиями экспериментальных наблюдений в них высокой прочности. При наноиндентировании происходит потеря устои-решетки за счет зарождения дислокаций в объеме под действием сдвиговых напряжений. Поэтому для объемных материалов (алюминий, медь и кремнии) была исследована прочность на сдвиг. Графен в экспериментах проявляет высокую прочность на растяжение, поэтому в настоящей работе было изучено влияние температуры на разрушение графена, подвергнутого однородной деформации растяжения.

Глава 2 МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ В ШИРОКОМ ИНТЕРВАЛЕ ТЕМПЕРАТУР

В данной главе описалы методики и параметры моделирования для определения теоретической прочности исследуемых материалов в широком интервале температур. -1 в литературе для этого подхода часто используется обозначение ab initio (лат. от начала).

©

^[110]

Рис. 1. Расположение атомов в трех последовательных плотноупакован-ных плоскостях {111} (А, В я С) ГЦК решетки. Сдвиг в направлении [110] осуществляется за счет зарождения двух частичных дислокаций Шокли с векторами Бюргерса g[211] и^[121].

д: [112]

Рис. 2. Схема расчетной ячейки для моделирования сдвиговой деформации под действием сдвигового напряжения г в направлении [112] (111) в ГЦК кристаллах. Белым, серым и черным цветами показаны три чередующиеся плотноупакованные плоскости А, В и С, показанные на рис.1.

В первом разделе приведено обоснование выбора ориентировок исследуемых кристаллов и способов их нагружения для изучения их теоретической прочности. Проведено описание построения исходных структур для моделирования теоретической прочности меди, алюминия, кремния и графена. Как известно, в ГЦК кристаллах основной системой скольжения является (110}{111}, когда дислокация имеет вектор Бюргерса b = |(110). Однако, как правило, такая дислокация расщепляется на две дислокации Шокли с вектором Бюргерса Ь = |{112). Действительно, иде-' альный ГЦК кристалл можно представить как последовательность ... АВСАВСАВС... плотноупа-кованных плоскостей {111}, схематично изображенных на рис.1. Сдвиг в направлении (110) {111} происходит за счет движения верхнего слоя А над слоем С в направлении [110]. Однако, сдвиг атомов слоя А в этом направлении приводит к большему увеличению энергии, по сравнению со случаем, если атомы А сначала двигались бы в направлении атомов В. Таким образом, расщепление полной дислокации с вектором Бюргерса 6 = |(110) можно записать в виде дислокационной реакции ¿[110] = g [211] + |[121]. Смещение атомов А в положение атомов В приводит к нарушению последовательности плотноупакованных слоев ... АВС\ВСА... и образованию дефекта упаковки, обозначенному как |. Поэтому для алюминия и меди было проведено моделирование сдвиговой деформации в направлении легкого скольжения [112] (111).

Оси а, Ь, с недеформированной расчетной ячейки параллельны кристаллографическим направлениям [112], [110], [111] соответственно (рис. 2). Использовались периодические граничные условия во всех трех направлениях. В процессе моделирования производилось увеличение сдвигающего напряжения со скоростью 50 • 1012 МПа/с до момента образования дефекта

упаковки, который фиксировался по максимуму на кривой напряжение-деформация.

Для кремния, имеющего структуру алмаза, как и для ГЦК металлов, направление [112] (111) является направлением легкого скольжения, поэтому использовались аналогичные построения исходной структуры и метод нагружения.

Для графена был изучен процесс разрушения при растяжении. С прикладной точки зрения важно знать не только максимальную прочность материала, нс> и время, в течение которого он способен выдерживать приложенные нагрузки без разрушения.

8 £

t

Риг 3 Расположение атомов углерода в плоском листе графена. Графен подвергается од-^осномГрастяжению в направлении .зигзаг», в„ > 0,ет = 0, в направлении «кресло», £хх = 0,£уу > 0, и двуоосному растяжению ехх - еуу > О.

Поэтому для графена было изучено влияние температуры на время до разрушения при

неизменных температуре и деформации.

Расчетная ячейка содержала двумерный плоский лист графена (рис. 3), подверженный одному из трех рассмотренных видов деформации: одноосное растяжение вдоль направления «зигзаг»^ > 0,еуу = 0), одноосное растяжение вдоль направления «кресло»(&хх = 0, £уу > 0) и двуосное растяжение (еет — £уу > О;.

Так как графен является двумерным материалом, то периодические граничные условия использовались только в направлениях х и у, вдоль оси z расчетная ячейка не была периодична. В процессе моделирования размер и форма расчетной ячейка не изменялись. Начальное распределение скоростей атомов задавалось из условия равного распределения кинетической энергии по фононным модам системы. Температура погшерживалась постоянной масштабированием скоростей атомов на каждом шаге мо; делирования. Момент разрушения фиксировался по резкому падению потенциальной

энергии системы. _ _______

Во втором разделе изучается вопрос выбора метода моделирования. В качестве

наиболее точного и приоритетного для использования метода рассматривался аЬ гпгНо подход Однако, его принципиальным ограничением по сравнению с молекулярно-дина-мическими расчетами является относительно небольшое количество атомов, которое представляется возможным использовать в моделировании. Как правило, в динамических ab initio расчетах используется не более сотни атомов, так как расчет межатомных взаимодействий в этом случае требует намного больших временных затрат по сравнению с использованием эмпирических межатомных потенциалов в молекулярной динамике Для оценки возможности применения аЬ initio расчетов к задачам настоящего диссертационного исследовали* было изучено влияние количества атомов в расчетной ячейке на получаемые значения теоретической прочности при различных температурах На рис 4 приведена зависимость теоретической прочности на сдвиг тс алюминия в направлении 11121(111) как функция количества атомов N в расчетной ячейке. Приведены зависимости для 10, 100, 200, 400, 600 и 800 К. При температура*, отличных от нуля значение теоретической прочности меняется от расчета к расчету из-за различия случайных начальных условий, поэтому результат усреднялся по 10 реализациям. Для 10 К при всех значениях N, получены одинаковые средние значения теоретической прочности 2 45 ГПа, незначительно отличающиеся от значения 2.47 ГПа для нулевой

О 200 400 600 800 1000 1200

N

Рис. 4. Зависимость между прочностью алюминия на сдвиг тс и числом атомов N в расчетной ячейке. Вертикальными отрезками показана выборочная дисперсия тс .

температуры. Малая дисперсия результатов позволяет говорить о том, что усреднение результатов можно производить по небольшому числу независимых экспериментов. Это означает, что при низких температурах допустимым является использование малого (менее 100) количества атомов для определения теоретической прочности на сдвиг, а значит, возможно использование ab initio подхода. Однако, с повышением температуры наблюдается возрастание дисперсии результатов при тех же значениях N, что говорит о необходимости проведения большего числа независимых экспериментов для одного набора параметров с целью получения достоверного среднего значения. Более того, повышение температуры приводит к заниженному значению тс для малых N, тс перестает зависеть от N лишь при N > 1000. Поэтому при повышенных температурах необходимо использование большего числа независимых расчетов для получения меньшей дисперсии, а также число атомов, которое следует использовать в моделировании составляет порядка 1000, что говорит об огромных вычислительных затратах, необходимых для проведения ab initio расчетов при высоких температурах. Таким образом, был сделан вывод о необходимости использования в данной работе метода молекулярной динамики с использованием современных потенциалов межатомного взаимодействия. Молеку-лярно-динамический подход основан на рассмотрении атомов как материальных точек, характер взаимодействий между которыми определяется используемым потенциалом межатомного взаимодействия. На основе расчета силы, действующей на каждый атом, производится интегрирование траектории его движения согласно второму закону Ньютона. Как правило, каждый атом непосредственно взаимодействует только с атомами, находящимися на нескольких ближайших координационных сферах, что дает возможность существенно снизить время на расчеты сил, действующих на атомы.

В третьем разделе рассматривается вопрос выбора эмпирических потенциалов межатомного взаимодействия для молекулярно-динамического моделирования изучаемых материалов. В качестве критерия выбора потенциала межатомного взаимодействия при изучении деформации сдвига в меди, алюминии и кремнии использовано изменение расстояний между атомными плоскостями в процессе деформации. Как показывав ют результаты ab initio расчетов, по характеру изменения межплоскостных расстояний можно судить о механизмах атомных перестроений в процессе сдвиговой деформации и образования дефекта упаковки.

Были исследованыизменения межплоскостных расстояний, воспроизводимые эмпирическими потенциалами при нулевой температуре, и было проведено их сравнение

с результатами ab initio расчетов.

Для алюминия были изучены пять потенциалов, построенные следующими авторами: Зоуп [5], Жу [6], Менделев [7], Лю [8] и Уини [9]. Для меди были проанализированы три потенциала, построенные следующими авторами: Мишин [10], Менделев [7] и Жу [6], а для кремния были рассмотрены три потенциала, построенные следующими авторами: Баскес [И], Терсоф [12] и Стиллин-джер-Вебер [13]. Для дальнейшего исследования были выбраны потенциалы, которые показали наименьшие отклонения в изменении межплоскостных расстояний при сдвиге от ab initio результатов. На рис. 5 приведены зависимости расстояний d между плоскостями а) [111], б) [112], в) [110] от деформации сдвига 7 для меди. Расстояния d нормированы на соответствующиезначения do при 7 = 0.

Для меди потенциал, построенный Мишиным, дает наименьшие отклонения от ab initio кривых на всех трех графиках на рис.5. Таким образом, он точнее других воспроизводит эволюцию межплоскостных расстояний при сдвиге и именно этот потенциал был выбран для моделирования теоретической прочности меди на сдвиг. На основе аналогичных исследований, проведенных для алюминия и кремния, были выбраны потенциалы Зоуп и Стиллинджер-Вебер, соответственно. В четвертом разделе проведен детальный анализ параметров расчетной схемы, использованной для моделирования. Для контроля компонент тензора напряжений был использован метод Паринелло-Рамала [14], который позволяет изменять размер и форму расчетной ячейки согласно целевым значениям напряжений. Обнаружено, что при повышенных температурах наблюдаются флуктуации размеров расчетной ячейки, а также колебания напряжений около целевых значений с амплитудой порядка 500 МПа, что может способствовать преждевременной потере устойчивости кристаллов при сдвиговом напряжении ниже действительного значения. Для устранения этого эффекта была реализована процедура демпфирования колебаний расчетной ячейки, позволившая снизить амплитуду колебаний напряжений до 100 МПа. Также на основе проведенного анализа влияния других параметров моделирования был определен их оптимальный набор, который был использован в дальнейшем для определения теоретической прочности исследуемых материалов.

Рис. 5. Изменение трех межплоскостных расстояний d как функций приложенной сдвиговой деформации 7 при сдвиге вдоль направления [112](111) в меди. Значение d нормировано на соответствующее значение do в недеформированном состоянии. Показаны кривые, полученные на основе ab initio расчетов (•) и потенциалов Мен-делева (□), Мишина (о), Жу (о).

Глава 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ АЛЮМИНИЯ И МЕДИ ПРИ СДВИГОВОЙ ДЕФОРМАЦИИ

В главе приведены результаты компьютерного моделирования по определению влияния температуры на теоретическую прочность при сдвиге алюминия и меди. Теоретическая прочность определялась по методике, описанной во второй главе: сдвиговая деформация была приложена в направлении легкого скольжения [112] (111) до момента образования дефекта упаковки, по возникновению которого фиксировалось критическое сдвиговое напряжение тс и критическая деформация 7С. Так же на основе анализа показателя неоднородности деформации был проиллюстрирован процесс зарождения дефекта упаковки.

Повышение температуры приводит к термоактивированному механизму потери -устойчивости кристаллической решетки из-за термических флуктуаций атомов около положений равновесия, что приводит к понижению прочности материалов при прочих равных условиях. На рис. 6 приведены кривые деформация-напряжение для а) алюминия и б) меди, построенные для интервала температур от 0 до 800 К. Крайние правые точки на каждой кривой соответствуют моменту образованию дефекта упаковки.

При нулевой температуре возможно прямое сравнение полученных данных с результатами расчетов из первых принципов. Теоретическая прочность алюминия на сдвиг равна = 2.47 ГПа, что всего на 13% ниже значения 2.84 ГПа, полученного в ab initio расчетов. Критическая деформация при этом составляет 7° = 0.135, что | свою очередь на 35% ниже ab initio результата. Для меди теоретическая прочность т° = 2.85 ГПа больше значения 2.16 ГПа, найденного из ab initio вычислений, а кри-ическая деформация оказывается завышенной примерно на 40% и равной 7° - 0.185. Модуль сдвига равен 29.3 ГПа и 30.3 ГПа для алюминия и меди соответственно, что орошо согласуется с ab initio результатами (25.4 ГПа и 31.0 ГПа соответственно).

'ис. 6. Зависимости напряжение-деформация для а) алюминия и б) меди при сдвиговой дефор-[ации в направлении [112](111) в интервале температур от 0 до 800 К.

С температурой происходит понижение теоретической прочности у обоих метал-:ов, о чем свидетельствует уменьшение максимального значения кривых на рис.6. Сле-ует также отметить, что происходит понижение критической деформации и модуля двига. Значения модуля сдвига при комнатной температуре можно сравнить напрямую с экспериментальными данными. Так для алюминия модуль сдвига равен 24.5 ГПа о сравнению со значением 27.4 ГПа из эксперимента, а для меди - 28.0 ГПа, что все-о на 15% ниже экспериментально определенного значения 33.3 ГПа. Таким образом, "подается хорошая согласованность полученных результатов с экспериментальными

Рис 7 Понижение а) прочности тс и б) критической деформации 7с с ростом температуры при сдвиговой реформации в алюминии (.) и меди (с). Значение гс нормировано на соответствующее значение т° при О К. Температура нормирована на температуру плавления Тт.

данными и ab initio расчетами. Для того, чтобы непосредственно сравнить влияние температуры на теоретическую прочность двух рассматриваемых металлов, удобно изобразить прочность на сдвиг те, нормированную на значение т° при нулевой температуре как функцию температуры Т, нормированной на температуру плавления Тт. На рис. 7 представлены такие зависимости, полученные на основе проведенных расчетов.

Во-первых, следует отметить близкое к линейному убывание критического напряжения с ростом температуры, что дает возможность аппроксимировать полученные зависимости линейными функциями вида

тЦ

Здесь коэффициент к = 0.71 и к = 0.84 для алюминия и меди, соответственно. Таким образом, на основе полученного соотношения (1) становится возможным сделать оценку

прочности при любой температуре.

Во-вторых, понижение прочности при комнатной температуре составляет 25% и 22% для алюминия и меди, соответственно. Данные значения близки, несмотря на большую разницу энергий дефекта упаковки и температур плавления алюминия и меди.

В-третьих, следует отметить, что в работе Жу [15], где методом молекулярной динамики (с использованием того же потенциала межатомного взаимодействия) исследовался процесс сжатия монокристаллического наностолбика меди, было отмечено, что сжимающее напряжение, необходимое для гетерогенного зарождения дислокации с поверхности уменьшается на 40% при комнатной температуре по сравнению с нулевой температурой. Таким образом, можно сделать вывод о том, что влияние температуры на прочность материалов зависит от геометрии образцов и наличия свободной поверхности

' В-четвертых, критическая деформация 7с убывает с температурой нелинейно и медленнее тс (рис. 7). Как правило, теоретическую прочность на сдвиг рассматривают в связи с соответствующим модулем сдвига, так как именно эти два параметра входят в оценку теоретической прочности Френкеля. Действительно, модель Френкеля рассматривает два атомных слоя под действием сдвиговой деформации и делается предположение о синусоидальной зависимости сдвигового напряжения г от относительного смещения слоев х, а именно

т= ^.sinteV (2)

! 27га \ b J

Ъ - период функции т(х), а - расстояние между атомными слоями, в - модуль ига. Согласно (2) максимум сдвигового напряжения достигается при х = Ъ/4, что гветствует деформации у -- Ъ/Аа. Принимая Ь яз а, модель Френкеля теоретической чности на сдвиг дает С/тс = 2тг. Модель Френкеля не учитывает влияния температу-и, по сути, дает оценку теоретической прочности при абсолютном нуле. Повышение пературы приводит к уменьшению не только тс, но и б, что можно увидеть на исимости б от Т, изображенной на рис. 8а, для алюминия и меди.

. 8. Зависимость а) модуля сдвига G и б) отношения G/tc от температуры для алюминия и и. Модуль сдвига нормирован на значение Go при нулевой температуре. Символами ■ и □ азаны данные для алюминия и меди, полученные на основе ab initio расчетов при нулевой пературе.

Модуль сдвига, как и критическое напряжение тс, уменьшается по закону, близ-[у к линейному, для обоих металлов в широком диапазоне температур. Однако, ско-ть убывания этих величин различна. При нулевой температуре моделирование дает чение G/tc практически вдвое превышающее значение 2тт (рис. 86). Более того, с том температуры до 800 К происходит его 50% рост. Таким образом, модель Френ-я позволяет дать лишь оценку порядка величины тс при нулевой температуре, а ошение G/tc не остается постоянным при различных температурах.

Модель Френкеля подвергалась многочисленным попыткам уточнения, большин-о из них были направлены на изменение вида периодической зависимости (2). Одна последних модификаций основывается на предположении, что деформация jc, при орой достигается максимум сдвигового напряжения тс, не равна Ь/4а, а является ичиной, присущей каждому отдельно взятому материалу [2]. На основе ab initio четов было подтверждено соотношение

(3,

[ нулевой температуре для большого набора металлов и керамик. При нулевой тем-атуре полученные результаты для алюминия и меди находятся в хорошей согласо-ности с описанной моделью. Действительно, отношение С-ус/тс равно 1.60 и 1.96, тветственно, что близко к значению 7г/2 ~ 1,57.

Изменение отношения G^c/tc с температурой представлено на рис 9. Оказывает^ что в отличие от параметра модели Френкеля, оно очень слабо зависит от температу-

ры. Отклонение Gio/Тс в рассмотренном интервале температур от среднего значенияд-ля обоих металлов составляет менее 5%. Таким образом, обобщение модели Френкеля за счет учета критической деформации как независимого параметра, позволяет получить более точную количественную согласованность с результатами молекулярно-динамических и ab initio расчетов. Более того, как было установлено в настоящей диссертационной работе, параметр С7с/тс практически не зависит от температуры, что позволяет использовать его значение, полученное при одной температуре, для оценки критических параметров при других температурах.

Для описания процесса зарождения дефекта упаковки было изучено отклонение атомов от положений, соответствующих однородной деформации кристаллической решетки в процессе сдвига. На основе таких отклонений можно судить о степени неоднородности распределения деформации по образцу. Для этого удобно рассмотреть параметр неоднородности деформации вида

n;

IV

= (^|Х>хр(гТК.г,)| ), (4)

12-

з

Рис. 9. Зависимость между 07с/тс и температурой Т, нормированной на температуру плавления Тт для алюминия (•) и меди (о). Квадратами показаны соответ-

харажтеризующий среднее отклонение атомной цепочки, перпендикулярной плоскости (110), равновесное положение которой при однородной деформации имеет координаты х и г на оси абсцисс и аппликат соответственно

(рис.3). В (4) величина г,- - координата атома с

. ... - ствующие данные, полученные на основе

номером з, Ыу - число атомов в каждой цепоч- аЬ расчетов при ^солютпаи „уле.

ке. Угловые скобки () соответствуют усреднению по времени в несколько периодов колебания атомов около положений равновесия. Вектор К = —(1,0,0), где ао - параметр решетки. Матрица Г описывает поворот для задания начальной ориентировки кристалла из положения когда кристаллографические направления [100], [010] и [001] направлены вдоль осей х,у,г соответственно. Б(х,г) задает двумерную поверхность. Когда деформация однородна, то эта поверхность гладкая и её уровень близок к единице, такая ситуация соответствует малым приложенным деформациям. По мере приближения деформации сдвига к критическому значению 7С происходит волнообразное искривление поверхности 5, что говорит о возникающей неоднородности.

На рис.Юа представлена 5 поверхность для меди при 7 = 0.182, когда уже становится заметной неоднородность деформации. Следует отметить, что деформация неоднородна как в направлении х, так и в направлении 2. Это означает, что существуют области материала в которых произошел больший коллективный сдвиг группы атомов, чем в других частях образца. При дальнейшей деформации происходит усугубление неоднородности, что в конце концов приводит к возникновению кинка на 5 поверхности, свидетельствующего о начале зарождения дефекта упаковки (рис. 106). Следует отметить, что для наглядности на рис.10 приведена картина для низких температур, с увеличением температуры эксперимента происходит общее понижение уровня 5 поверхности и увеличивается степень неоднородности деформации, однако качественно картина остается прежней.

. 10. Показатель неоднородности деформации S(x,z) для меди при 0 К для а) 7 = 0.182 и 7 = 0.185. Критическая деформация = 0.185.

Глава 4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ КРЕМНИЯ ПРИ СДВИГОВОЙ

ДЕФОРМАЦИИ

Данная глава посвящена рассмотрению теоретической прочности кремния на .двиг в направлении [112] (111) в интервале температур от 0 до 1400 К. При нулевой тем-гратуре критическая деформация на сдвиг составляет 0.32, как показывают ab initio г чсчеты, проведенные в работе [4]. Выполненные нами молекулярно-динамические рас-"зты дают значение 0.42. Такие высокие значения сдвиговой деформации приводят к льному искажению и понижению симметрии решетки.

0.4 0

Т/Тт

0.4 0.6

Т/Тт

:Рис. 11. Зависимость критического напряжения тс (слева) и критической деформации -ус (спра-!::) от температуры при сдвиговой деформации кремния в направлении [112](111). Произведена "рмировка тс на соответствующие значения т® при нулевой температуре. Температура отнесена к температуре плавления кремния Хт = 1688 К.

Проведенный в диссертационной работе анализ показал, что столь значительные сдвиговая деформация и искажение решетки при нулевой температуре приводят потере устойчивости кристаллической решетки не посредством образования дефекта упаковки. Поэтому значения прочности и критической деформации для абсолютного /ля, полученные на основе молекулярно-динамического моделирования, могут быть 1шь условно сопоставлены с данными ab initio расчетов. Однако, уже при темпера/ре 100 К и выше, критическая деформация не столь велика и потеря устойчивости -ристалла связана с образованием дефекта упаковки. Следовательно, при температурах ' 00 К и выше, оказывается возможным сравнение результатов расчета теоретической юности для кремния с результатами для ГЦК металлов, приведенными в предыду-

щей главе, поскольку механизмы потери устойчивости для них одинаковы (образование дефекта упаковки). На рис. 11 показаны зависимости критического напряжения и критической деформации от температуры, рассчитанные для кремния, аналогичные изображенным на рис. 7 для меди и алюминия.

Для кремния наблюдается практически линейное убывание теоретической прочности на сдвиг и нелинейное убывание критической деформации с ростом температуры. Качественное совпадение с результатами, полученными для ГЦК металлов, позволяет сделать предположение об универсальности наблюдаемого влияния температуры на критические параметры для рассмотренных материалов. Однако, линейная аппроксимация зависимости критического напряжения от температуры вида (1) дает значение коэффициента к = 0.51, что говорит о меньшей относительной скорости убывания прочности на сдвиг кремния по сравнению с рассмотренными ГЦК металлами.

"04 06

Т/Т„

04

т/т„

Рис. 12. Изменение параметра С/тс (слева) и Оус/тс (справа) с температурой для кремния. Температура нормирована на температуру плавления кремния Тт — 1688 К.

На рис. 12 изображены зависимости критических параметров модели Френкеля (2) и модели (3). Параметр С/тс в рассмотренном температурном интервале возрастет примерно на 40%, но, в отличие от ГЦК металлов, его значение при низких температурах находятся ниже уровня 2тт, предсказанного в модели Френкеля, что подтверждает вывод о том, что эта модель может служить лишь для оценки порядка величины теоретической прочности на сдвиг. Значение параметра модели (3) для кремния также, оказывается близким к значению тт/2 и во всем интервале температур их различие составляет менее 10%. Таким образом, несмотря на то, что кремний является ковалент-ным материалом, зависимость его теоретической прочности на сдвиг от температуры качественно совпадает с тем, что наблюдалось для ГЦК металлов.

Глава 5. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА РАЗРУШЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО ГРАФЕНА

В данной главе рассматривается влияние температуры на время, которое однородно деформированный лист графена способен просуществовать без разрыва межатомных связей.

Температура и деформация являются основными факторами, от которых зависит среднее время до разрушения материалов. Чем ниже величина каждого из этих факторов, тем больше время до разрушения. Такую зависимость времени до разрушения с температурой и внешней нагрузкой описывает формула Аррениуса, согласно

эрой

^"•^UtJ' (5)

to - частота элементарных «попыток» разрушения (как правило, принято брать эту мину порядка периода колебаний атомов в кристаллической решетке), п3 - число .тентов системы, подверженных разрушению (в нашем случае это число равно ко-еству связей, подверженных разрыву при растяжении, и пропорционально размеру га графена), AQ - энергия активации, зависящая от приложенной деформации, кв стоянная Вольцмана, Т - температура. Зависимость (5) можно записать в виде

log(i/) = log(iO)-logK)+0;. (6)

им образом, формула Аррениуса предполагает экспоненциальную зависимость меж-зременем до разрушения i/ и обратной температурой. Время tf также меньше для ьших размеров п3 листа графена. Более того, логично предположить, что с увеличе-м приложенной деформации величина AQ должна уменьшаться, а значит, величина ;олжна также уменьшаться.

\п. ю° к."1 m, ю"3к"' îrr, ш"3к"'

. 13. Зависимости времени до разрушения от обратной температуры для графена, подвер-ного одноосному растяжению вдоль а) направления «зигзаг», б) «кресло»и в) двуосному гяжению. На каждом графике представлены результаты для трех размеров расчетной ячей-содержащей 512 (о), 2048 (Л) и 8192 (□) атомов.

На рис. 13 символами о, Д, □ представлено время до разрыва графена от об-ной температуры для 512, 2048, 8192 атомов в расчетной ячейке соответственно, кдая точка представляет собой усреднение по 10 расчетам. Показаны графики для одноосного растяжения вдоль направления «зигзаг»при £хх = 0.19, б) одноосного гяжения вдоль направления «кресло»при еуу—0.17 и в) двуосного растяжения при = Еуу = 0.14.

Полученные результаты хорошо согласуются с формулой Аррениуса. Во-первых, всех трех видов деформации, полученные зависимости логарифма от Т-1 хорошо роксимируются линейным законом. Во-вторых, величина п3 пропорциональна разу листа графена, поэтому, согласно (5), для больших размеров должно наблюдаться ижение tf. Более того, при пропорциональном увеличении п, должно происходить номерное уменьшение значения к^(¿/). Действительно, изображеные данные для х размеров расчетной области, показывают равномерный сдвиг аппроксимирующих :мых вниз с увеличением размера, что так же свидетельствует о качественной согла-анности результатов с моделью (5).

Одноосное растяжение (кресло) Дауосиое растяжение Одноосное растяжение (зигзаг)

Наклон аппроксимирующих прямых соответствует коэффициенту Д<2//:в в (6' Таким образом, по наклону прямых можно построить зависимость между Д<5 и прил( женной деформацией. На рис. 14 приведены такие зависимости, полученные на основ проведенных расчетов. Для каждого вида деформации Д<9 рассматривается в интерв; ле, ограниченном сверху деформацией ес, при которой графен становится неустойчз вым при нулевой температуре (при растяжении в направлении «зигзаг»ес = 0.30, а пр растяжении в направлении «кресло»и при двуосном растяжении ес = 0.23).

Отметим, что, во-первых, Дд монотонно убывает с ростом деформации и в рассмотренном интервале деформаций составляет менее 0.5 еУ. Во-вторых, кривая для двуосно-го растяжения расположена ниже остальных. Это объясняется разницей удлинения межатомных связей, под которыми подразумеваются расстояния между ближайшими атомами. Действительно, при двуосном растяжении происходит удлинение всех межатомных связей на величину приложенной деформации и углы между связями сохраняются. При рассматриваемых направлениях одноосного растяжения, происходит поворот связей, изначально ориентированных вдоль направления зигзаг, таким образом, что удлинение этих связей составляет около двух третей от приложенной деформации. Таким образом, одна и та же величина приложенной деформации сильнее понижает Д<5 при двуосном растяжении, чем при любом одноосном. Более низкие значения АС} для растяжения вдоль н правления «зигзаг» по сравнению с направлением «кресло» также объясняются те» что в первом случае связи, ориентированные в направлении «зигзаг», деформирую ся больше, чем связи в направлении «кресло» во втором случае. Действительно, пр растяжении на 10% вдоль направления «зигзаг»происходит деформация связей в н правлении «зигзаг»лишь на 6.2%, тогда как такая же по величине деформация, прил женная в направлении «кресло», приводит к деформации связей, ориентированных направлении «кресло», на 7.0%.

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0Л8 0,30

е

Рис. 14. Величина энергетического барь ра АС} как функциявеличины приложе ной деформации е для одноосного растяж ния в направлении «зигзаг» (Л), «кресло (о) и двуосного растяжения (□).

0.30 0,25 0,20 £ 0,15 0,10 0,05 0,00

1200 К

10*

10° £. м

■Рис. 15. Зависимость деформации, при которой время до разрушения графена составляет ОД1 год, от линейного размера листа графена Ь. Представлены графики для 100, 300 и 1200 К.

Экстраполяция кривых на рис. 14 на область меньших деформаций позволяет ъ оценку верхней границы деформации, для которой время до разрушения графена тавляет требуемую величину.

На рис. 15 представлены соответ-ующие оценки для времени жизни, ;ного одному году, для различных раз-)ов листа графена и при различных шературах. При комнатной температу-миллиметровый лист графена спосо-: просуществовать в течение года при юсительном растяжении вдоль направил «зигзаг»равном 0.13, при относи-ъном растяжения вдоль направления эесло»равном 0.11, и при двуосном рас-кении до величины деформации рав-"1 0.08. Для двуосного растяжение полу-[ы наименьшие оценки для предельной формации при прочих равных услови-что объясняется тем, что в этом слу-! происходит удлинение всех связей на [ичину приложенной деформации, в от-ши от случаев одноосной деформации, едует отметить, что оценки для нано-гровых и сантиметровых размеров ли. графена отличаются по значению пре-и>ной деформации на 2-3%, в то время с увеличение температуры от 100 до )0 К приводит к изменению предель-1 деформащш на 6-7%, что говорит о гьшем влиянии температуры на пре-шную деформацию, чем размера листа 1фена.

Разрушение графена происходит ;редством разрыва наиболее напряжен-х межатомных связей и последующе-раскрытия трещины. Действительно, качестве примера на рис. 17а приведе-расположение атомов после разрыва

жольких первых межатомных связей при растяжении в направлении «зигзаг» (егх = , Т = 465 К). Раскрытие трещины было инициировано разрывом связи между двумя эмами, изображенными незакрашенными кругами. Видно, что дальнейшее распро-)анение трещины происходит за счет разрыва соседних связей, также ориентирован-х в направлении «зигзаг».

Представляет интерес описания механизма разрыва первой межатомной связи, э, как было установлено, приводит к зарождению трещин в графене при растяжении, ссмотрим два атома А и В (рис..17б), между которыми происходит разрыв первой 13и, и изучим, как меняются их кинетические энергии Еа, Ев, расстояние И между ми и углы Фа,Фв между их смещениями из положений равновесия и вектором, со-1НЯЮЩИМ их положения равновесия, непосредственно перед разрывом связи (рис.16), чо выделить три основных момента времени I, II и III, отмеченных на рис.16 вер-

Рис. 16. Зависимость от времени а) кинетической энергии Еа и Ев атомов А и В углерода, между которыми происходит первый разрыв межатомной связи, б) расстояния О между ними и в) их угловых координат Фа и фв.

тикальными пунктирными линиями. В момент I (рис.176) атомы А и В расположены на среднем расстоянии друг от друга (значение D даже немного выше равновесного значения, отмеченного горизонтальной пунктирной линией на рис.166), однако кинетическая энергия атома А в несколько раз выше средней кинетической энергии атомов, отмеченной горизонтальной пунктирной линией на рис. 16а. При этом атом А начинает двигаться в направлении атома В, о чем свидетельствует приближение угла фл к нулю к моменту времени II. Атом В в это время также движется в направлении атома А хотя и с заметно более низкой скоростью. В результате такого встречного движения атомы сильно сближаются (рис.17в), что подтверждается образованием абсолютного минимума значения D. Сильное сближение сопровождается взаимным отталкиванием атомов, что приводит к противоположно направленному движению атомов (фл и фв близки к 180°) и последующему разрыву связи в момент времени III (рис.17г). Таким образом, разрушение графена при температуре отличной от абсолютного нуля носит термоактивированный характер.

••••••••.••■••••И**

••••••••»•.•••••••и

.SV.S* Л*.'.*.'

HASVA'AV

а)

А В ••••••••••••

••••••••••••

б)

••••••••••••

••••••••••••

••••••••••••

••••••••••••

в)

••••••••••••

О*.*.* ••••••••••••

••••••••••и

Рис. 17. Расположении атомов углерода в листе графена а) на позднем этапе раскрытия трещины, б) в момент локализации на атоме А большой кинетической энергии, в) при сильном сближении атомов А и В, г) при разрыве межатомной связи между атомами А и В

Основные результаты и выводы

1. Разработана методика и выбраны наиболее подходящие межатомные потенциалы для молекулярно-динамического расчета теоретической прочности меди, алюминия, кремния и графена в широком интервале температур.

2. Теоретическая прочность на сдвиг ГЦК металлов и кремния убывает линейно с ростом температуры, в то время как критическая деформация убывает нелинейно. При комнатной температуре теоретическая прочность исследованных металлов примерно на 25%, а кремния на 15% ниже, чем при абсолютном нуле температуры.

3. Установлено, что безразмерный параметр С-ус/тс связывающий теоретическую прочность тс с критической деформацией 7с, для алюминия, меди и кремния незначительно зависит от температуры, что позволяет использовать его для оценки теоретической прочности и критической деформации материалов на сдвиг при любой температуре.

4. Проведена оценка среднего времени до разрушения однородно деформированного графена. Установлено, что зависимость времени до разрушения от температуры и деформации описывается формулой Аррениуса. Показано, что лист графена макроскопического размера может просуществовать без разрушения порядка одного года при деформации не более 8-13% в зависимости от направления растяжения.

5. Снижение теоретической прочности с ростом температуры обусловлено термоактивированным зарождением дефекта упаковки при сдвиговой деформации и термоактивированным зарождением трещины под действием деформации растяжения.

исок статей, опубликованных по теме диссертации

Iskandarov А. М., Dmitriev S. V., Umeno Y. On Accurate Approach for Molecular Dynamics Study of Ideal Strength at Elevated Temperature // Journal of Solid Mechanics and Materials Engineering. 2012. Vol. 6. P. 29-38.

Iskandarov A. M., Dmitriev S. V., Umeno Y. Temperature effect on ideal shear strength of A1 and Cu // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 224118-1-224118-7.

Искандаров A. M., Дмитриев С. В., Умено Е. Temperature effect on ideal shear strength of A1 and Cu // Перспективные материалы. 2011. Т. 12. С. 191-195.

Iskandarov А. М., Dmitriev S. V., Umeno Y. Atomistic model simulation of influence of temperature on ideal strength of FCC metal // IS AM4, SEIKEN Symposyum No.66. Book of Extended Abstracts / Ed. by Y. Shiihara. Tokyo: 2011.

Iskandarov A. M., Dmitriev S. V., Umeno Y. Temperature effect on theoretical strength of nanomaterials // BNM 2011, The third international symposium Bulk nanostructured materials: from fundamentals to innovations BNM. Book of abstracts. Ufa: 2011.

Искандаров A. M., Умено E. Теоретическая прочность кремния при сдвиге в широком интервале температур // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2012. Т. 9. С. 89-93.

Искандаров А. М., Умено Ё., Назаров А. А., Дмитриев С. В. Влияние температуры и размера на прочность деформированного графена // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2012. Т. 9. С. 89-93.

Искандаров А. М., Умено Ё., Дмитриев С. В. Влияние температуры на прочность графена // Письма о материалах. 2011. Т. 1. С. 143-146.

исок цитируемой литературы

Frenkel J. The theory of the elastic limit and the solidity of crystal bodies // Z. Phys. 1926. Vol. 37. P. 572-609.

Ogata S., Li J., Hirosaki N. et al. Ideal shear strain of metals and ceramics // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 104104-1-104104-7.

Ogata S., Li J., Yip S. Ideal Pure Shear Strength of Aluminum and Copper // Science. 2002. Vol. 298. P. 807-811.

Umeno Y., Shiihara Y., Yoshikawa N. Ideal shear strength under compression and tension in C, Si, Ge, and cubic SiC: an ab initio density functional theory study //J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. P. 385401.

5. Zope R., Mishin Y. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system / Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 024102.

6. Zhou X., Johnson R., Wadley H. Misfit-energy-increasing dislocations in vapor-deposite CoFe/NiFe multilayers // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 144113.

7. Mendelev M., Kramer M., Becker C., Asta M. Analysis of shear deformations in A1 an Cu: empirical potentials versus density functional theory // Phil. Mag. 2008. Vol. &'< P. 1723.

8. Liu X.-Y., Ercolessi F., Adams J. Aluminium interatomic potential from density function; theory calculations with improved stacking fault energy // Modelling Simul. Mater. Sc' Eng. 2004. Vol. 12. P. 665-670.

9. Winey J., Kubota A., Gupta Y. A thermodynamic approach to determine accurate p tentials for molecular dynamics simulations: thermoelastic response of aluminum // Mo elling Simul. Mater. Sci. Eng. 2009. Vol. 17. P. 055004.

10. Mishin Y., Mehl M., Papaconstantopoulos D. et al. Analysis of shear deformations i A1 and Cu: empirical potentials versus density functional theory // Phys. Rev. B. 200 Vol. 63. P. 224106.

11. Baskes M. Modified embedded-atom potentials for cubic materials and impurities / Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 2727-2742.

12. Tersoff J. Modeling solid-state chemistry: Interatomic potentials for multicomponei systems // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 39. P. 5566-5568.

13. Stillinger F. H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases i silicon // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. P. 5262-5271.

14. Parrinello M., Rahman A. Polymorphic transitions in single crystals: A new molecul; dynamics method // J. Appl. Phys. 1981. Vol. 52. P. 7182-7190.

15. Zhu T., Li J., Samanta A. et al. Temperature and Strain-Rate Dependence of Surfa( Dislocation Nucleation // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 025502-1-025502-4.

Введение

Глава 1. Теоретическая прочность и её значение для наномате-риалов.

1.1. Экспериментальные методы достижения высокой прочности материалов.

1.2. Аналитические оценки теоретической прочности материалов

1.3. Обзор методик компьтерного моделирования.

1.4. Результаты компьютерного моделирования по определению теоретической прочности материалов.

1.5. Выводы к первой главе и формулировка цели и задач диссертационной работы.

Глава 2. Методика моделирования для определения теоретической прочности в широком интервале температур.

2.1. Построение исходных структур для моделирования.

2.2. Влияние размера расчетной ячейки и выбор методики моделирования

2.3. Анализ потенциалов межатомного взаимодействия.

2.4. Исследование влияния параметров моделирования

2.5. Выводы по второй главе

Глава 3. Теоретическая прочность алюминия и меди при сдвиговой деформации

3.1. Влияние температуры на теоретическую прочность.

3.2. Сопоставление результатов с моделью Френкеля.

3.3. Сопоставление результатов с обобщенной моделью Френкеля

3.4. Показатель неоднородности деформации.

3.5. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Теоретическая прочность кремния при сдвиговой деформации

4.1. Влияние температуры на теоретическую прочность кремния

4.2. Потеря устойчивости при 100 К.

4.3. Потеря устойчивости при OK.

4.4. Сравнение результатов с моделью Френкеля и модифицированной моделью Френкеля.

4.5. Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Влияние температуры на разрушение деформированного графена.

5.1. Влияние температуры на время ожидания до разрушения графена

5.2. Оценка параметров формулы Аррениуса.

5.3. Прогноз времени до разрушения листа графена макроскопического размера.

5.4. Механизм термоактивированной потери устойчивости графена

5.5. Выводы по пятой главе.

Актуальность работы. Теоретическую прочность можно определить как верхний предел прочности, который может быть достигнут для рассматриваемого твердого тела. Как правило, материалы начинают пластически деформироваться или разрушаться, когда внутренние напряжения не достигают и сотой части от теоретической прочности. Это происходит из-за наличия дефектов кристаллической структуры таких, как дислокации, границы зерен и др. Однако эксперименты по растяжению нитевидных кристаллов, наноиндентированию, сжатию наностолбиков, изгибу нанопроволок и др. показали, что прочность материалов, тестируемая в малых объемах, может приближаться к теоретической. В случае папоиндентирования, максимальные касательные напряжения возникают не на контактной поверхности, а в малом объеме вещества на некоторой глубине под индентором, где дефекты присутствуют в очень малом количестве или полностью отсутствуют, что приводит к гомогенному зарождению дислокаций при значениях напряжений, близких к теоретическому пределу прочности. При сжатии столбиков диаметра порядка сотен нанометров, благодаря малой исходной плотности дислокаций и их быстрому выходу на поверхность, наблюдается «дислокационное голодание», что также приводит к повышению прочности с уменьшением диаметра столбиков и к приближению её к теоретическому пределу. Работа источников дислокаций, например, таких как источник Франка-Рида, в малых объемах затруднена, и дислокации зарождаются на поверхности, что происходит при значительно более высоких напряжениях.

Модель Я.И. Френкеля, предложенная в 1926 году, дает оценку теоретической прочности кристаллов при сдвиговой деформации [48]. В рамках модели рассматривается сдвиг одного атомного слоя относительно другого как целого, при этом максимальное (критическое) сдвиговое напряжение оценивается как тс = С/2тг. где С? - модуль сдвига. На сегодняшний день одним из наиболее используемых методов изучения теоретической прочности является моделирование на основе первопринципных расчетов. Такие расчеты показали, что теоретическая прочность на сдвиг в направлениях легкого скольжения многих металлов и керамик составляет величину порядка нескольких ГПа [1]. Теоретическая прочность подвержена влиянию многих факторов, которые необходимо принимать во внимание в реальных условиях. Так, при наноипдентировании, область под индеитором подвержена сильному сжатию, что приводит к необходимости учета влияния сжимающих компонент напряжений на теоретическую прочность при сдвиге. Например, было показано, что в алюминии сжимающее гидростатическое напряжение величиной 10 ГПа увеличивает теоретическую прочность на сдвиг более чем на 1 ГПа [2], однако для углерода наблюдается понижение теоретической прочности на сдвиг под действием сжимающих напряжений [3]. Наличие свободной поверхности, даже атомарно гладкой, может понизить прочность кристаллов, свободных от дефектов другого типа. Температура также является очень важным фактором при изучении теоретической прочности материалов. Естественно ожидать понижения теоретической прочности материалов с ростом температуры за счет термоактивированной потери устойчивости кристаллической решетки. Однако до сих пор систематического исследования влияния температуры на теоретическую прочность материалов сделано не было. Особенно актуальной данная проблема является для наноразмерных изделий, которые нередко демонстрируют прочность, близкую к теоретической.

Целью диссертационной работы является определение теоретической прочности ряда материалов в широком интервале температур и выяснение механизмов термоактивированиой потери механической устойчивости кристаллических решеток под напряжением при помощи методов компьютерного моделирования.

Научная новизна

1. На примере нескольких кристаллических материалов (алюминий, медь, кремний) проведен расчет теоретической прочности на сдвиг в широком диапазоне изменения температуры, и показано, что теоретическая прочность линейно убывает с температурой.

2. Впервые изучена температурная зависимость безразмерного параметра С7с/тс, связывающего теоретическую прочность тс с критической деформацией 7С, соответствующей потере механической устойчивости кристалла и входящей в обобщенную модель Френкеля [2]. Обнаружено, что в широком интервале температур этот параметр остается практически постоянным и равным 7г/2, тогда как параметр С/тс, входящий в исходную модель Френкеля и по порядку величины равный 27т, существенно зависит от температуры.

3. Установлено, что среднее время до разрушения однородно деформированного растяжением графена экспоненциально растет с обратной температурой и убывает обратно пропорционально площади листа графена. Полученные результаты позволили оценить феноменологические параметры указанной зависимости и осуществить прогноз времени до разрушения листа графена макроскопического размера.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Методика и параметры моделирования, включая выбор эмпирических межатомных потенциалов, для определения влияния температуры на теоретическую прочность алюминия, меди, кремния и графена посредством молекулярно-дипамических расчетов.

2. Результаты расчетов, демонстрирующие линейное убывание теоретической прочности на сдвиг ГЦК металлов и кремния с температурой и показывающие, что при комнатной температуре теоретическая прочность алюминия, меди и кремния на 15-25% ниже, чем при абсолютном нуле температуры.

3. Утверждение о приблизительном постоянстве и равенстве7г/2 входящего в обобщенную модель Френкеля параметра (?7с/тс для меди, алюминия и кремния в широком интервале температур.

4. Арреииусовская зависимость от температуры среднего времени до разрушения графена под действием растягивающих напряжений и результаты расчета зависимости энергии активации разрушения от степени деформации. Результаты оценки, показывающие, что при комнатной температуре лист графена с размерами около 1 мм может просуществовать без разрыва порядка одного года при степени растяжения не более 8-13% в зависимости от направления растяжения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах: ИПСМ РАН; Токийский государственный университет; International Symposium on Bulk Nanostructured Materials: From Fundamentals to Innovations (Уфа, 2007); Открытая школа-конференция стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы (УМЗНМ) - 2008» (Уфа, 2008); 2nd International Symposium on Bulk Nanostructured Materials: From Fundamentals to Innovations (Уфа, 2009); Открытая школа-конференция стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы (УМЗНМ) - 2010» (Уфа, 2010); 3rd International Symposium «Bulk Nanostructured Materials» (Уфа, 2011); International Symposium on Atomistic Modeling for Mechanics and Multiphysics of Materials (Токио, 2011); LII Международная конференция «Актуальные проблемы прочности» (Уфа, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 1 статья в сборнике трудов конференции и 2 тезиса докладов.

Личный вклад автора. Соискателем лично получены все представленные в диссертации результаты численных расчетов, определяющим было участие соискателя в обсуждении постановочных задач и полученных результатов, а также в подготовке публикаций и выступлений на научных форумах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографии и одного приложения. Общий объем диссертации 138 страниц, из них 109 страниц текста, включая 57 рисунков. Библиография включает 123 наименования на 14 страницах.

5.5. Выводы по пятой главе

Связь среднего времени до разрушения графена с внешними факторами, такими как температура и величина приложенной деформации, качественно и количественно хорошо описывается формулой Аррениуса. Рост температуры, как и рост величины приложенной деформации, приводит к уменьшению времени до разрушения. С ростом температуры увеличивается амплитуда колебаний атомов, поэтому становится более вероятным их сильное сближение с последующим отталкиванием и разрывом наиболее напряженных межатомных связей. Рост приложенной деформации приводит к понижению энергетического барьера, который необходимо преодолеть системе для начала разрушения, за счет уменьшения энергии межатомных связей.

Деформаций, при которых графен макроскопических размеров способен просуществовать год без разрушения при комнатной температуре, в среднем в два раза ниже критических деформаций при нулевой температуре.

Заключение

На основе проведенного исследования влияния тепературы на теоретическую прочность материалов можно сформулировать следующие основые результаты и выводы:

1. Разработана методика и выбраны наиболее подходящие межатомные потенциалы для молекулярно-динамического расчета теоретической прочности меди, алюминия, кремния и графена в широком интервале температур.

2. Теоретическая прочность на сдвиг ГЦК металлов и кремния убывает линейно с ростом температуры, в то время как критическая деформация убывает нелинейно. При комнатной температуре теоретическая прочность исследованных металлов примерно на 25%, а кремния на 15% ниже, чем при абсолютном нуле температуры.

3. Установлено, что безразмерный параметр С?7с/тс, связывающий теоретическую прочность тс с критической деформацией 7С, для алюминия, меди и кремния незначительно зависит от температуры, что позволяет использовать его для оценки теоретической прочности и критической деформации материалов на сдвиг при любой температуре.

4. Проведена оценка среднего времени до разрушения однородно деформированного графена. Установлено, что зависимость времени до разрушения от температуры и деформации описывается формулой Аррениуса. Показано, что лист графена макроскопического размера может просуществовать без разрушения порядка одного года при деформации не более 8-13% в зависимости от направления растяжения.

5. Снижение теоретической прочности с ростом температуры обусловлено термоактивированным зарождением дефекта упаковки при сдвиговой деформации и термоактивированным зарождением трещины под действием деформации растяжения.

1. Ogata S., Li J., Hirosaki N. et al. 1.eal shear strain of metals arid ceramics // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 70. P. 104104-1-104104-7.

2. Ogata S., Li J., Yip S. Ideal Pure Shear Strength of Aluminum and Copper // Science. 2002. Vol. 298. P. 807-811.

3. Umeno Y., Shiihara Y., Yoshikawa N. Ideal shear strength under compression and tension in C, Si, Ge, and cubic SiC: an ab initio density functional theory study // J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. P. 385401.

4. Nazarov A., Mulyukov R. Nanostructured Materials // Handbook of Nanoscience, Engineering and Technology, Ed. by W. Goddard, D. Brenner, S. Lyshevski, G. Iafrate. CRC Press, 2002. P. 22-1-22-41.

5. Мулюков P. P. Развитие принципов получения и исследование объемных наноструктурных материалов в ИПСМ РАН // Российские нанотехно-логии. 2007. Т. 2. С. 38-53.

6. Валиев Р. 3., Александров И. В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. Москва: Логос, 2000. С. 272.

7. Валиев Р. 3., Александров И. В. Объемные наноструктурные металлические материалы: получение, структура и свойства. Москва: Академкнига, 2007. С. 398.

8. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Физическая механика деформируемых структур. СПб: Янус, 2003. Т. 1. С. 194. ISBN: 5-9276-0032-8.

9. Штремель М. А. Прочность сплавов. Часть II. Деформация: Учебник для вузов. Москва: МИСИС, 1997. С. 527. ISBN: 5-87623-015-4.

10. Hall E. The deformation and ageing of mild steel: 3. Discussion of results // Proc. Phys. Soc. London Sect. B. 1951. Vol. 64. P. 747-753.

11. Petch N. The cleavage strength of polycrystals //J. Iron Steel Inst. 1953. Vol. 174. P. 25-28.

12. Грязиов В. Г., Капрелов А. М., Романов А. Е. О критической устойчивости дислокаций в микрокристаллах // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. С. 39-444.

13. Gryaznov V. G., Polonsky I. A., Romanov А. Е., Trusov L. I. Size effects of dislocation stability in nanocrystals // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44. P. 42-46.

14. Siegel R. W., Fourege G. E. Mechanical properties of nanophase metals // Nanostruct. Mater. 1995. Vol. 6. P. 191-200.

15. Ke M., Hackney S. A., Milligan W. W., Aifantis E. C. Observation and measurement of grain rotation and plastic strain in nanostructured metal thin films // Nanostruct. Mater. 1995. Vol. 5. P. 689-697.

16. Жиляев А. П., Пшеничнюк А. И. Сверхпластичность и границы зерен. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2008. С. 320. ISBN: 978-5-9221-1014-3.

17. Schiotz J., Tolla F. D., Jacobsen K. Softening of nanocrystalline metals at very small grain sizes // Nature. 1998. Vol. 391. P. 561-563.

18. Chokshi A. H., Rosen A., Karch J., Gleiter H. On the validity of the Hal-1-Petch relationship in nanocrystalline materials // Scr. Metall. 1989. Vol. 23. P. 1679-1684.

19. Fedorov A. A., Gutkin M. Y., Ovidko I. A. Triple junction diffusion and plastic flow in fine-grained materials // Scr. Metall. 2002. Vol. 47. P. 51-55.

20. Yip S. Nanocrystals the strongest size // Nature. 1998. Vol. 391. P. 532-533.

21. Asaro R. J., Krysl P., Kad B. Deformation mechanism transitions in nanoscale fee metals // Phil. Mag. Lett. 2003. Vol. 83. P. 733-743.

22. Zhu T., Li J. Ultra-strength materials // Progress in Materials Science. 2010. Vol. 55. P. 710-757.

23. Argon A., Yip S. The strongest size // Phil. Mag. Lett. 2006. Vol. 86. P. 713-720.

24. Schiotz J., Jacobsen K. A maximum in the strength of nanocrystalline copper // Science. 2003. Vol. 301. P. 1357-1359.

25. Brenner S. Tensile strength of whiskers // J. Appl. Phys. 1956. Vol. 27. P. 1484-1491.

26. Brenner S. Growth and properties of whiskers // Science. 1958. Vol. 128. P. 569-575.

27. Brenner S., Doremus R., Roberts B. W., Turnbull D. Growth and perfection of crystals. New York: Wiley, 1958. P. 157.

28. Nix W. D., Greer J. R., Feng G., Lilleodden E. T. Deformation at the nanometer and micrometer length scales: Effects of strain gradients and dislocation starvation // Thin Solid Films. 2007. P. 3152-3157.

29. Bei H., Shim S., George E. et al. Compressive strengths of molybdenum alloy micro-pillars prepared using a new technique // Scripta Mater. 2007. P. 397-400.

30. Hana S. M., Bozorg-Grayelib T., Grovesb J. R., Nix W. D. Size effects on strength and plasticity of vanadium nanopillars // Scripta Materialia. 2010. Vol. 63. P. 1153-1156.

31. Gilman J. Flow solids // Appl Micromech. 1953. P. 185-190.

32. Lee S.-W., Han S. M., Nix W. D. Uniaxial compression of fee Au nanopillars on an MgO substrate: The effects of prestraining and annealing // Acta Mater. 2009. P. 4404-4415.

33. Greer J. R., Hosson J. T. D. Plasticity in small-sized metallic systems: Intrinsic versus extrinsic size effect // Progress in Materials Science. 2011. Vol. 56. P. 654-724.

34. Greer J. R., Oliver W. C., Nix W. D. Size dependence of mechanical properties of gold at the micron scale in the absence of strain gradients // Acta Mater. 2005. Vol. 53. P. 1821-1830.

35. Greer J. R., Nix W. D. Nanoscale gold pillars strengthened through dislocation starvation // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 245410.

36. Volkert C. A., Lilleodden E. T. Size effects in the deformation of sub-micron au columns // Philos. Mag. 2006. P. 5567-5579.

37. Kiely J. D., Houston J. E. Nanomechanical properties of Au (111), (001), (110) surfaces // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 57. P. 12588-12594.

38. Minor A., Asif S. S., Shan Z. et al. A new view of the onset of plasticity during the nanoindentation of aluminium // Nat. Mater. 2006. Vol. 5. P. 697-702.

39. Bansal S., Toimil-Molares E., Saxena A., Tummala R. R. Nanoindentation of single crystal and polycrystalline copper nanowires // Proceedings of the55th IEEE Electronic Components and Technology Conference. Vol. 1. Orlando, FL: 2005. P. 71-76.

40. Volinsky A. A., Moodya N. R., Gerberich W. W. Nanoindentation of Au and Pt/Cu thin films at elevated temperatures // Journal of Materials Research. 2004. Vol. 19. P. 2650-2657.

41. Liu Y., Varghese S., Ma J. et al. Orientation effects in nanoindentation of single crystal copper // International Journal of Plasticity. 2008. Vol. 24. P. 1990-2015.

42. Bei H., Shim S., George E. et al. Strength differences arising from homogeneous versus heterogeneous dislocation nucleation // Phys. Rev. B. 2007. P. 060103-1-060103-4.

43. Johnson K. L. Contact mechanics. London: Cambridge University Press, 1985.

44. Morris J. R., Bei H., Pharr G. M., George E. P. Size Effects and Stochastic Behavior of Nanoindentation Pop In // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 106. P. 165502-1-165502-4.

45. Qu S., Huanga Y., Pharr G., Hwang K. Nanoindentation of copper thin films on silicon substrates // Scripta Materialia. 1999. Vol. 41. P. 951-957.

46. Shim S., Bei H., Georgea E., Pharr G. A different type of indentation size effect // Scripta Materialia. 2008. Vol. 59. P. 1095-1098.

47. Frenkel J. The theory of the elastic limit and the solidity of crystal bodies // Z. Phys. 1926. Vol. 37. P. 572-609.

48. Хоникомб P. Пластическая деформация металлов. Москва: Мир, 1972. С. 408.

49. Cottrell A. Dislocations and Plastic Flow in Crystals. Oxford: Clarendon Press, 1953.

50. Foreman J., Jaswon M. A., Wood J. K. Factors controlling dislocation widths // Proc. Phys. Soc. A. 1951. Vol. 64. P. 156.

51. Xu G., Argon A. S., Ortiz M. Nucleation of dislocations from crack tips under mixed modes of loading: Implications for brittle against ductile behaviour of crystals // Philos. Mag. A. 1995. Vol. 72. P. 415-451.

52. Parr R. G. On the genesis of a theory // International Journal of Plasticity. 1990. Vol. 37. P. 327-347.

53. Allen L. С., Karo A. M. Basis functions for ab initio calculations // Rev. Mod. Phys. 1960. Vol. 37. P. 275-285.

54. Plimpton S. J. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Сотр. Phys. 1995. Vol. 117. P. 1-19.

55. Plimpton S. J. Computational Limits of Classical Molecular-Dynamics Simulations // Сотр. Mat. Sci. 1995. Vol. 4. P. 361-264.

56. Lennard-Jones J. E. On the Determination of Molecular Fields // Proc. R. Soc. Lond. A. 1924. Vol. 106. P. 463-477.

57. Morse P. M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels // Phys. Rev. 1929. Vol. 34. P. 57-64.

58. Daw M. S., Baskes M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels // Phys. Rev. B. 1984. Vol. 29. P. 6443-6453.

59. Daw M. S., Baskes M. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlernent in metals // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 1285-1288.

60. Daw M. S., Baskes M. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Phys. Rev. B. 1984. Vol. 29. P. 6443-6453.

61. Foiles S., Daw M. S., Baskes M. Embedded-atom-method functions for the fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 33. P. 7983-7991.

62. Daw M. S., Foiles S., Baskes M. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlernent in metals // Mater. Sci. Rep. 1993. Vol. 9. P. 251-310.

63. Cao A., Ma E. Sample shape and temperature strongly influence the yield strength of metallic nanopillars // Acta Materialia. 2008. Vol. 56. P. 4816-4828.

64. Rabkin E., Srolovitz D. J. Onset of plasticity in gold nanopillar compression // Nano Lett. 2007. Vol. 7. P. 101-107.

65. Deng С., Sansoz F. Fundamental differences in the plasticity of periodically twinned nanowires in Au, Ag, Al, Cu, Pb and Ni // Acta Materialia. 2009. Vol. 57. P. 6090-6101.

66. Spearot D., Tschopp M., McDowell D. Orientation and rate dependence of dislocation nucleation stress computed using molecular dynamics // Scripta Materialia. 2009. Vol. 60. P. 675-678.

67. Zhu Т., Li J., Samanta A. et al. Temperature and Strain-Rate Dependence of Surface Dislocation Nucleation // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 025502-1-025502-4.

68. Tschopp M., McDowell D. Influence of single crystal orientation on homogeneous dislocation nucleation under uniaxial loading //J. Mech Phys Solids. 2008. Vol. 56. P. 1806-1830.

69. Шульце Г. Металлофизика. Москва: Мир, 1971. С. 500.

70. Xu G., Zhang С. Analysis of dislocation nucleation from a crystal surface based on the Peierls-Nabarro dislocation model // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. Vol. 51. P. 1371-1394.

71. Aubry S., Kang K., Ryub S., Cai W. Energy barrier for homogeneous dislocation nucleation: Comparing atomistic and continuum models // Scripta Materialia. 2011. Vol. 64. P. 1043-1046.

72. Li J. The mechanics and physics of defect nucleation // MRS BULLETIN. 2007. Vol. 32. P. 151-159.

73. Zuo L., Ngan A. H. W., Zheng G. P. Size dependence of incipient dislocation plasticity in Ni3Al // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 095501-1-095501-4.

74. Zhu T., Li J., Vliet K. V. et al. Predictive modeling of rianoindentation-in-duced homogeneous dislocation nucleation in copper // J. Mech. Phys. Solids. 2004. Vol. 52. P. 691-724.

75. Y. Zhong T. Z. Simulating nanoindentation and predicting dislocation nucleation using interatomic potential finite element method // Cornput. Methods Appl. Mech. Eng. 2008. Vol. 197. P. 3174-3181.

76. Umeno Y., Cerny M. Effect of normal stress on the ideal shear strength in covalent crystals // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77. P. 100101-1-100101-4.

77. Zhao H., Aluru R. Temperature and strain-rate dependent fracture strength of graphene // J. Appl. Phys. 2010. Vol. 108. P. 224103-1-224103-5.

78. Cai J., Ye Y. Simple analytical embedded-atom-potential model including a long-range force for fee metals and their alloys // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. P. 8398-8410.

79. G. Grochola I. S., S.P. Russo. On fitting a gold embedded atom method potential using the force matching method //J. Chem. Phys. 2005. Vol. 123. P. 204719.

80. S.A. Syed Asif J. P. Nano-scale indentation creep-testing at non-ambient temperature //J. Adhes. 1998. Vol. 67. P. 153-165.

81. D.F. Bahr D. C., D.E. Wilson. Energy considerations regarding yield points during indentation //J. Mater. Res. 1999. Vol. 14. P. 2269-2275.

82. B.D. Beake J. S. High-temperature nanoindentation testing of fused silica and other materials // Philos Mag A. 2002. Vol. 82. P. 2179-2186.

83. Schuh A., Mason J., Lund A. Quantitative insight into dislocation nucleationfrom high-temperature nanoindentation experiments // Nat. Mater. 2005. Vol. 4. P. 617-621.

84. Mason J., Lund A., Schuh С. Determining the activation energy and volume for the onset of plasticity during nanoindentation // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 054102.

85. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: теория упругости. Москва: Наука, 1987. С. 248.

86. Hirth J. Р., Lothe J. Theory of Dislocations 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1982. P. 435.

87. Parrinello M., Rahman A. Polymorphic transitions in single crystals: A new molecular dynamics method //J. Appl. Phys. 1981. Vol. 52. P. 7182-7190.

88. Boyer R. D., Li J., Ogata S., Yip S. Analysis of shear deformations in Al and Cu: empirical potentials versus density functional theory // Modelling Sirnul. Mater. Sei. Eng. 2004. Vol. 12. P. 1017-1029.

89. Ercolessi F., Adams J. Interatomic potentials from first-principles calculations: the force-matching method // Europhys. Lett. 1994. Vol. 26. P. 583-588.

90. Mishin Y., Farkas D., Mehl M., Papaconstantopoulos D. Analysis of shear deformations in Al and Cu: empirical potentials versus density functional theory // Phys. Rev. B. 1999. Vol. 59. P. 3393.

91. Mishin Y., Mehl M., Papaconstantopoulos D. et al. Analysis of shear deformations in Al and Cu: empirical potentials versus density functional theory // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 63. P. 224106.94. http://www.ctcrris.nist.gov/potentials.

92. Winey J., Kubota A., Gupta Y. A thermodynamic approach to determine accurate potentials for molecular dynamics simulations: thermoelastic response of aluminum // Modelling Sirnul. Mater. Sci. Eng. 2009. Vol. 17. P. 055004.

93. Zhou X., Johnson R., Wadley H. Misfit-energy-increasing dislocations in vapor-deposited CoFe/NiFe multilayers // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 144113.

94. Mendelev M., Kramer M., Becker C., Asta M. Analysis of shear deformations in A1 and Cu: empirical potentials versus density functional theory // Phil. Mag. 2008. Vol. 88. P. 1723.

95. Liu X.-Y., Ercolessi F., Adams J. Aluminium interatomic potential from density functional theory calculations with improved stacking fault energy // Modelling Sirnul. Mater. Sci. Eng. 2004. Vol. 12. P. 665-670.

96. Zope R., Mishin Y. Interatomic potentials for atomistic simulations of the Ti-Al system // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 024102.

97. Stillinger F. H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. P. 5262-5271.

98. Tersoff J. Modeling solid-state chemistry: Interatomic potentials for multi-component systems // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 39. P. 5566-5568.

99. Baskes M. Modified embedded-atom potentials for cubic materials and impurities // Phys. Rev. B. 1992. Vol. 46. P. 2727-2742.

100. Godet J., Pizzagali L., Brochard S., Beauchamp P. Comparison between classical potentials and ab initio for silicon under large shear // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. Vol. 15. P. 6943.

101. Brenner D. W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42. P. 9458-9471.

102. Gear C. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. New Jersey: Prentice Hall, 1971. P. 253.

103. Gear C. W. The numerical integration of ordinary differential equations of various orders // Report #ANL-7126, Argonne National Laboratory. 1966.

104. Jahnatek M., Hafner J., Krajci M. Shear deformation, ideal strength, and stacking fault formation of fee metals: A density-functional study of A1 and Cu // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 79. P. 224103-1-224103-17.

105. Wang W., Lu K. Nanoiridentation study on elastic and plastic anisotropics of Cu single crystals // Phil. Mag. 2006. Vol. 86. P. 5309.

106. Wang J., Horsfield A., Lee P., Brommer P. Heterogeneous nucleation of solid A1 from the melt by A13Ti: Molecular dynamics simulations // Phys. Rev. B. 2010. Vol. 82. P. 144203-1-144203-10.

107. Lopis A., Reynolds Q., Bisaka K. Computational simulation of molten ti-tataniurii-aluminium metal and alloys // Paper presented at the Conference of Metallurgistics. 2010.

108. Suzuki A., Mishin Y. Atomic mechanisms of grain boundary diffusion: Low versus high temperatures //J. Mater. Sci. 2005. Vol. 40. P. 3155.

109. Plimpton S., Wolf D. Comparison of semi-empirical potential functions for silicon and germanium // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 47. P. 7686-7699.

110. Landman U., Luedtke W. D., Barnett R. N. et al. Faceting at the Silicon

111. Crystal-Melt Interface: Theory and Experiment // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56. P. 155-158.

112. Cook S. J., Clancy P. Effect of interatomic potential on simulated grain-boundary and bulk diffusion: A molecular-dynamics study // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 41. P. 2712-2721.

113. Broughton J. Q., Li X. P. Phase diagram of silicon by molecular dynamics // Phys. Rev. B. 1987. Vol. 35. P. 9120-9127.

114. Godet J., Pizzagalli L., Brochard S., Beauchamp P. Comparison between classical potentials and ab initio methods for silicon under large shear //J. Phys.: Condens. Matter. 2003. Vol. 15. P. 6943.

115. Arrhenius S. Uber die Reaktionsgeschwindigkeit bei der Inversion von Rohrzucker durch Sauren // Z. Phys. Chem. 1889. Vol. 4. P. 226-248.

116. Баимова Ю., Савии А. Устойчивость и послекритическое поведение листа графена под действием однородной плоской деформации // Письма о материалах. 2011. Т. 1. С. 171-175.

117. Дмитриев С., Баимова Ю., Савин А., Кившарь Ю. Границы устойчивости плоского листа графена при деформации в плоскости // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93. С. 632-637.

118. Clementi Е., Roetti С. Tables of Roothaan-Hartree-Fock Wavefunctions // Special Issue in Atomic Data and Nuclear Data Table. 1974. Vol. 14.

119. Puska M. J., Nieminen R. M., Manninen M. Atoms embedded in an electron gas: Immersion energies // Phys. Rev. B. 1981. Vol. 24. P. 3037-3047.

120. Rose J. H., Smith J., Guinea F., Ferrante J. Universal features of the equation of state of metals // Phys. Rev. B. 1984. Vol. 29. P. 372-379.

121. Савин А., Савина О. Нелинейная динамика углеродных молекулярных решеток: солитонные плоские волны в графитовом слое и сверхзвуковые акустические солитоны в нанотрубках // Физика твердого тела. 2004. Т. 46. С. 2963-2969.