Вложение топологичеких инверсных полугрупп и структура их связок с ограничениями на сдвиги тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Міністерство освіти Україии .

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

На правах рукопису

ГУТІК ОЛЕГ ВОЛОДИМИРОВИЧ

ВКЛАДЕННЯ ТОПОЛОГІЧНИХ ІНВЕРСНИХ НАПІВТРУП ТА СТРУКТУРА ЇХ В’ЯЗОК З ОБМЕЖЕННЯМИ НА ЗСУВИ

01.01.0G - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ — 1996

Робота виконана на кафедрі алгебри і топології Львівського державного університету ім. І.франка.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук доцент Гуран І.Й.

Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук професор Протасов І.В., .

- кандидат фізико-математичних наук доцент Зеленюк Е.Г.

Провідна установа — Харківський державний університет

Захист відбудеться ” ідд 2: р. о ^^ год.

на засіданні Спеціалізованої Вченої Ради Д 01.01.01 при Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка за адресою:

252127, м. Київ-127, пр. Академіка Глушкова, б, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 62).

Автореферат розіслано ” ^ ^І&Г&го . ідд ¿р.

Вчений секретар .

Спеціалізованої Ради канд. фіз.-мат. наук . С.А.Овсієнко

Актуальність теми. Теорія типологічних напівгруп в порівняно новим розділом топологічної алгебри: вона боре початок від праць математиків початку ,50-х років Уолссса, Коха, Нумакури, Шварца та ін.. Само інтенсивний розвиток теорії топологічних груп спонукав виникненню і становленню теорії топологічних напівгруп.

Одним з основних напрямків в топології та топологічній алгебрі є задача про вкладення. Саме в перші роки становлення теорії топологічних напівгруп було доведено, що біциклічна напівгрупа не вкладаєтьс я в компактну, оскільки остання стабільна на відміну під біциклічної напівтрупи (Koch R.J., Wallace A.D. Stability in semigroups // Duke. Math. J., 1957, Vol. 24, P.193-195). Відомо також, іцо на біциклічній напівгрупі існує лише дискретна топологія (Eberhart C., Seiden J. On the closure of the bicyclic semigroup //.Trans. Amer. Math. Soc., 19G9, Vol. 144, P.115-126) і біциклічна напівгрупа - проста. Природнім чином постав питання; чи біциклічна напівгрупа вкладається в просту лінійно зв’язну топологічну напівгрупу.

За своєю алгебраїчною структурою до груп найбільше подібні напівгрупи зі скороченнями та інверсні напівгрупи. У той же час топологічні групи достатньо далекі за своїми властивостями від топологічних напівгруп зі скороченнями і топологічних інверсних напівгруп. Так, наприклад, в топологічних групах зсуви в гомеоморфізмами, а в напівгрупах зі скороченнями і в інверсних напівгрупах зсувц можуть бути навіть не відкритими відображен-

• 4 і ними. Природно було б розглянути топологічні інверсні напівтрупи, які за сооїми топологічними властивостями близькі до топологічних груп.

Таким чином, постає задача: описати структуру топологічних інверсних напівтруп з відкритими зсувами, дослідити будову їх в’язок.

Аналогічні питання виникають, якщо умову відкритості зсувів в топологічній інверсній напівтрупі послабит” до відкритості головних ідеалів.

Б.М.Бокала (див.: Гуран І.Й. Мстризовність компактних

інверсних підгруп // Алгебра і топологія. - K.: 1993, С.33-40.)

поставив наступну задачу: чи компактна інверсна кліффордова-. напівгрупа з метризовними максимальними підгрупами і метризовною в’язкою - метризовна? '

Відомо, що довільна цілком незв’язна компактна напівгрупа є строгою проективною границею скінченних дискретних напівтруп (Numakura K. Theorems on compact totally disconnected semigroups and lattices // Proc. Amer. Math. Soc.-, 1957, Vol. 8, P.623-626.), a кожна компактна напівгрупа в строгою проективною границею сім’ї компактних метричішх напівтруп (Hofmaun К.Н., Mostert P.S. Elements of compact semigroups. Columbus (Ohio), 1966, C.49-50), тобто вкладається в їх добуток. Лоусон і Мадісон (On congruences and cones //. Math. Z., 1970, Vol. 120, P.18-24) довели: топологічна напівгрупа S е А>простором тоді і лише тоді, коли S є фактор-напівгрупою локально компактної топологічної напівтрупи.

Таким чином пшіиклб задача: описати секпенціальні

шіпівгрупи, як фактори напівтруп, простори яких полодіють ’хорошими" властивостями.

Багато питань, згаданих вище, залишаються відкритими. Вирішенню деяких з них присвячена дана дисертаційна робота.

Мета роботи. . Описати конструкції складення довільної топологічної напівтрупи в просту і и просту лінійно зв’язну топологічну напівтрупу. Знайти умови послаблення топології' прямої гуми на напівтрупі Брака. Дослідити структуру компактних комутативних в'язок з відкритими головними ідеалами або з відкритими зсувами. Довести аналог теорема Франкліна для топологічних напівтруп.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії топологічних напівтруп, теорії топологічних напіпграток, а також алгебраїчні та загально топологічні методи. Наукова нонизна. '

Описана конструкція вкладення довільної топологічної (інверсної) напівтрупи в просту топологічну (інверсну) напівтрупу.

Знайдено умови послаблення топології прямої суми на напівтрупі Брака. ■

- Описана конструкція вкладення довільної топологічної (інверсної)

напівтрупи в просту лінійно зв’язну топологічну (інверсну) напівтрупу. •

- Описані кардинальні інваріанти топологічних просторів локально компактних і компактних комутативних в’язок з відкритими

о

головними Ідеалами.

- Описано базу топології компактної комутативної б’язки з відкритими головними ідеалами.

Доведено, що компактна комутативна в’язка з відкритими головними ідеалами (з відкритими зсувами) в наліпграткою Лоусона (зліченною напівграткою Лоусона) зі скінченним числом максимальних ідемпотентів.

-- Описана структура ///Міапшграток з відкритими головними ідеалами або з відкритими зсувами. '

- Доведено, що компактна інверсна топологічна напіпгрупа . і відкритими головними ідеалами і з першою аксіомою зліченності є метризовною.

-■Доведено, що на одноточковій компактифікації Александрова незліченного дискретного простору не існує структури топологічної інверсної напівтрупи з відкритими головними лівими (правими) ідеалами.

Доведено, що довільна секвенціальна топологічна напівгрупа є фактор-напівгрупою нульвимірної, локально компактної, повної метризовної напівгрупи.

Теоретична і практична цінність. Результати дисертації в певним внеском в теорію топологічних напівтруп. Побудовані конструкції і методи можуть бути використані для подальших досліджень в топологічній алгебрі.

Апробація роботи. Результаті отримані в дисертаційній роботі доповідались: на семінарі ’’Топологія і застосування” у Львівському

університеті; на семінарі відділу алгебри Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України ім. Я.С.Підстригача (м. Львів); на алгебраїчному семінарі в Київському університеті; на Всеукраїнській науковій конференції ’’Розробка та застосування математичних методів н науково-технічних дослідженнях”, присвяченій 70-річчю від дня народження професора П.С.Кашмірського (м. Львів, 1995р.); на Четвертій і П’ятій міжнародних наукових конференціях ім. академіка М.Кравчука (м. Київ, 1995р., 1996р.); на ' IV міжнародній конференції ’’Групи і групові кільця”

(м. Великий Любінь, 1996р.). '

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботе х [1]-[5], список яких подано в кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. Всі результати дисертації отримані автором самостійно. ■ -

Основні положення дисертації, що виносятся на захист.

- Описання ' конструкції вкладення довільної топологічної

(інверсної) напівгрупи в просту лінійно, зв’язну- топологічну (інверсну) напівгрупу. ,

- Теорема про послаблення топології прямої суми на напівгрупі Брака.

- Описання структури компактних комутативних в’язок з відкритими ідеалами або з відкритими зсувами.

- Теорема про метризовність компактної інверсної напівгрупи з відкритими головними ідеалами і з першою аксіомою зліченності. Аналог теоремі! Франкліна для топологічних напівгруп.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, висновків, трьох глав і списку літератури, викладених на 94 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 57 найменувань.

Зміст роботи

У вступі зроблено короткий огляд літератури по темі дисертації, викладено основні результати роботи.

Перша глава присвячена конструкції вкладення довільної топологічної шшівгрупи в просту топологічну йапівгрупу.

У § 1.1 описана конструкція вкладення топологічної напівгрупи S в просту топологічну напівгрупу.

Нехай S - напівгрупа, о,Ь £ S. Напівгрупа C(S) породжується множиною Sl U {а,Ь}, та задається наступними співвідношеннями аЬ = 1, ав — а, вЬ =г Ь для всіх s Є 5, а також співвідношеннями, що виковуються в S. Одиницею напівгрупи C(S) є або одиниця напівгрупи S, якщо 1 6 S, або ж приєднана звичайним чином до C(S) одиниця, якщо S яв містить одиниці. Вважаючи а° — 1 і 6° as 1, легко бачити, Іцо елементи напівгрупи C(S) можна зобразити у вигляді b*sа* (а Є 5і, i,j Є Z+). Напівгрупа C(S) ~ проста і S ізоморфно вкладається в С(5). Надалі будемо називати напівгрупу C(S) напівгрупоіо Брака вад S.

Встановлено метод продовження топології з топологічної напівтрупи S на канівгрупу С{$), причому, якщо S - метричний простір,

то описано продовження метрики з S кл напівгрупу Брака над S. Топологія визначена на напівтрупі C(S) мне наступну властивість: топологічний простір C(S) є зліченноіо прямою сумою топологічних просторів 5. Саме тому в наступних викладках таку топологію на C(S) будемо-назипати топологією прямої суми. Ми також доведемо, якщо S - топологічна інверсна напіпгрупа, то C(S) - топологічна інверсна напівгрупа. '

§ 1.2 присвячений ослабленню топології прямої суми на напівтрупі Брака. Центральною у цьому -параграфі є наступна теорема:

Ткоі’і;мл 1.2.1. Топологію прямої суми на C(S) можна послабити лише н точках Ь'а1, i,j (Е N.

Виявляється, що існування компактного ідеалу d топологічній напівтрупі S є достатньою умовою того’, щоб на напівгрупі Брака C(S) існувала лише топологія прямої суми (теорема 1,2.2).

Наступна теорема в узагальненням відомого результату Ебергарта-Селдена (Eberhart C., Seiden J. On the closure of the bi-cyclic semigroup // Trans. Amer. Math. Soc., 1969, Vol. 144, P.ll5-126.), що на біциклічній напівгрупі існує лише дискретна топологія.

ТЕОРЕМА 1.2.3. Нехай (»S’, г) - компактна гауедорфова топологічна напівгрупаі C(S) - напівгрупа Брака над S. Топологія прямої суми т* на C{S) - едина серед таких гауедорфоаих, для яких (S,r) топологічно ізоморфно вкладається в (C(S),t*).

Теореми 1.2.4 і 1.2.5 присвячені послабленню топології прямої суми на напівгрупі Брака C(S), коли S — топологічна інверсна

напівгрупа. Доведено, якщо топологічна інверсна напівгрупа 5 містить мінімальний ідемпотент, то топологія прямої суми на С(5) не послаблюється. Метод ослаблення топології прямої суми на напівгрупі Брака С(5), якщо 5 - топологічна інверсна напівгрупа, що є регулярним топологічним простором і не містить мінімального ідемпотента, описаний а доведенні теореми 1.2.5. ,

§ 1.3 присвячений описанню конструкції вкладення довільної топологічної (інверсної) напівгрупи в просту/ лінійно зв’язну топологічну (інверсну) напівгрупу. В основі цієї конструкції лежить конструкція Брака вкладення напівгруп у прості..

другій главі длеертаційної роботи розглядаються деякі класи топологічних інверсних напівтруп, а саме компактні інверсні напівтрупи з відкритими зсувами або з відкритими головними одно-та двосторонніми ідеалами.

Метою § 2.1 є дослідження структури компактних комутативних в'язок з відкритими головними ідеалами. Доведено, що локально компактна комутативна в’язка з відкритими головними ідеалами -нульвимірний розріджений топологічний простір (леми 2.1.1 і 2.1.3). Якщо простір комутативної в’язки Е - компактний, то Е *-іфпіпгратка ЛоусоНЯ ЗІ скінченною кількістю максимальних ідемпотеитіп.

Нехай Е - локальїіо компактна комутативна в’язка з відкритими

головнями ідеалами, тоді йідмножина ізольованих точок І\(Е) в’язки • ' і. .

Е всюди щільна в £ і ййконуються рівності: и>(Е) — |.£| і

с(Е) = сІ(Е) = ¡К(Е)\ (*(?орема 2.1.1).

. Центральною у 5 2.1 в наступна теорема:

ТЕОРЕМА 2.1.2. Нехай Е - компактна комутативна в’язка з відкритими головними ідеалами. Тоді

а) довільна підмнозіс.ина попарно непорівняльних. ідемпотентів в Іі(Е) скінченна;

б) підліножипа ізольованих точок в'я.гки Е визначає базу топології

простору Е; '

н) х(Е) = ,с(Е) = |Л-(Е)| = |Е|.

Доведено, що на одноточкооій компактифікації Алєксандрова незліченного дискретного простору не існує структури топологічної комутативної в’язки з відкритими головними ідеалами (твердження 2.1.2). Приклад 2.1.1 ілюструє, що потужність компактної комутатипиої п’язки з відкритими головними ідеалами може бути довільними кардиналом.

§ 2.2 присвячений компактним комутативним в’язкдм з відкритими зсувами. Доведена .

ТЕОРЕМА 2.2.1. П іднапівгрупа ізольованих точок компактної комутативної в ’язки з відкритими зсувами зліченна.

З теореми 2.2.1 випливає структурна теорема для компактних комутативних в’язок з відкритими зсувами:

ТЕОРЕМА 2.2.2. Компактна комутативна в’язка з відкритими зсувами є злі'іепною напівграткою Лоусона зі скінченною кількістю максимальних ідемпотентів.

Наведено приклад зліченної, компактної, лінійно впорядкованої комутативної в’язки з відкритими головними ідеалами, що не є напівгрупою з відкритими зсувами.

У § 2.3 досліджується структура компактних д/і-напівграток і лінійно впорядкованих напіпграток з відкритими головними ідеалами або з відкритими зсувами.

Комутативна в’язка Е називається дН-папівграт^ою, якщо для довільного ідемпотента х Є Е лівий промінь .#(.г) є лінійно впорядкованою підв’язкою.

Виявляється, що лінійно впорядкована компактна комутативна в’язка з відкритими головними ідеалами є ії-напівграткою (теорема 2.3.1). .

Доведена ■

ТЕОРЕМА 2.3.2. Нехай Е - компактна лінійно впорядкована комутативна в'язка а відкритими зсувами. Тоді справедлива одна з умов:

1) в’язка Е є (ш 4- 1)-напівграткою;

2) в’язка Е є п-напіаграткою. .

Виконується

ТЕОРЕМА 2.3.3. Компактна дИ-напівгратка з відкритими головними ідеалами є скінченною прямою сумою топологічних просторів о-напівграток.

З теореми 2.3.3 випливає, “що компактна <7^-напіпгратка з відкритими зсувами є скінченною прямою сумою топологічних

просторів (и> + 1)- > п-напівгргіток. -

У § 2.-1 розглядаються компактні інверсні напівтрупи з відкритими головними одно- і двосторонніми ідеалами або з відкритими одно- і двосторонніми зсувами.

Доведено, що піднапівгрупа ідемпотентів топологічної інверсної напівтрупи з відкритими лівими або правими зсувами є напівгрупою з відкритими зсувами (лема 2.4.1).

. Для топологічних інверсних напівгруп виконується

ТЕОРЕМА 2.4.1. Нехай Б - топологічна інверсна напівгрупа, Е -піднапівгрупа ідемпотентпіе напгвгрупи 5. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1) 5 - напівгрупа з відкритими головними правими ідеалами;

2) Б - напівгрупа з відкритими головними лівими ідеалами;

3) Е - напівгрупа з відкритими головними ідеалами.

Якщо 5 - топологічна інверсна кліффордова напівгрупа, то твердження 1), 2) і 3) теореми 2.4.1 еквівалентні наступному, в -напівгрупа з відкритими головними двосторонніми ідеалами (теорема 2.4.2). '

Доведено, що в класі компактних інверсних напівгруп з відкритими головними правими (лівими, двосторонніми) ідеалами справедлива гіпотеза Б.М.Бокала (Гуран І.Й. Метризовність компактних інверсних півгруп // Алгебра і топологія. - К.: 1993, С.33-40.):

ТЕОРЕМА 2.4.3- Компактна топологічна інверсна напівгрупа з

відкритими головними правими (лівими, двосторонніми) ідеалами, з першою аксіомою зліченності метризовни.

Описана структура компактних інверсних напівгруп з відкритими головними одно- і двосторонніми ідеалами (зсувами) і з лінійно впорядкованою піднапівгрупою ідемпотентів.

Доведено, що компактна кліі)>фордова інверсна д/і-напівгрупа з відкритими головними одно- або двосторонніми ідеалами (з відкритими одно- або двосторонніми зсувами) в скінченною прямою сумою топологічних просторів а-напіпгруп ((с + 1)- і п-напівгруп). Виконується

ТВЕРДЖЕННЯ 2.4.3. На одноточковій компактифікаціїАлєксандрова незліченного дискретного простору не існує структури топологічної інверсної напгвгрупи з відкритими головними лівими (правими,, двосторонніми) ідеалами.

Третя глава дисертаційної роботи присвячена доведенню аналога теореми Франкліна (Franclin S. P. Spaces in which sequences suffice // Fund. Math., 1965, Vol. 67,- P.107-115.) для топологічних напівгруп: .

ТЕОРЕМА 3.2. Довільна секвенціальна топологічна напівгрупа в фактор-напівгрупою нульвимірної, локально компактної, повної метризовног топологічної гіапівгрупи. .

Для довільної секвенціальної топологічної напівгрупи S побудована нульвимірна, локально компактна, повна метризовна

топологічна напівтрупа і визначена конгруенція ~ нп^г(5) такі, що = 5.

II И С Н О В К И

В дисертаційній роОоті описана конструкція вкладення допільної топологічної (інверсної) напівтрупи о просту топологічну (інверсну) напіпгрупу. Встановлені умоии послаблення топології прямої суми на напівтрупі Врака. Узагальнено результат Ебергарта-Селдсна про те. ню на біциклічній напівтрупі можлива лише дискретна топологія. Описана конструкція вкладення допільної топологічної (Інверсної) напівтрупи п просту лінійно зп'пзну топологічну (іниерсну) напівтрупу. Досліджена структура компактних комутативних іі'яіик ч відкритими зсувами. Досліджена структура компактних комутативних в’язок з відкритими головними'ідеалами. Описана будова компактних д^-капіпграток та лінійно

впорядкованих иапіпграток з відкритими голошшми ідеалами. Описана будова компактних г;//-напіпграток та лінійно

впорядкованих напівграток з відкритими зсувами. Доведено, що компактна.'інверсна напівтрупа з відкритими головними лівими (правими, двосторонніми) ідеалами з першою аксіомою зліченності метризовна. Доведено аналог теореми Франкліна для топологічних напівтруп: довільна секвенціальна топологічна напівтрупа в фактор-напівгрупоіо нульшшірної, локально компактної, повної метризовної топологічної напівтрупи. -

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Гутик О.В. Вложение топологических полугрупп а простые// Математичні студії, 1994, З, С. 10-14.

2. Гутік О.О. Доцільна топологічна напгчгрутіа топологічно ізо-

морфно складається а просту лінійно зн'язну топологічну напіа-групу // Алгебри, і топологія: тематичний' збірник наукових

праць. - Львів. - 1990., С.05- 73. .

3. Гутик О.В. О структуре связки компактной ииперепой полугруппы с открытыми сдвигами// Математичні студії, 1990. 0. С.33-38.

4. Гутик О.В. О вложении топологической полугруппы о простую . линейно связную топологическую полугруппу // Тези доповідей

Четвертої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука. Київ, 1995, С.89.

5. Гутик О.В. Об аналогах теорем Пономарсна и Франклина и

категории топологических полугрупп // Тези доповідей П’ятої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М.Кравчука. Київ, 1996, С.112. .

Гутик О.В. Вложение топологичеких инверсных полугрупп и структура их связок с ограничениями на сдвиги.

Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет им. Тараса

III сичі'нкі), Киев, 1000.

В диссертационной раПоте описана конструкции вложения произвольной топологической (инверсной) полугруппы в простую ЛИНЄЙНО ' сьнзпую ТОІІОЛОГІІЧС-CKJ'IO (инверсную) полугруппу. Исследована структура компактных коммутативных связок с открытыми главными идеалами и с открытыми сдвигами. Доказано, что произвольная сскоснцкальнап полугруппа является фактор-лолугруппой нульмерной, локально компактной, полной метризу-емой полугруппы.

Gutik O.V. Embedding of topological inverse semigroups and sructure of their bands with restrictions on translations.

Manuscript. Tlio thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Taras Sluivcheuko Kyiv National University,-Kyiv, 1996. •

A construction of embedding of any topological (inverse) semigroup into a simple path-connected topological (inverse) semigroup is discribed. The sructure of compact commutative bauds with open principle ideals or open translations is invistigated. It is proved that any sequential topological semigroup is a quotient semigroup of a 0-dimensional, locally compact, complete metrizable semigroup.

Ключові слова: топологічна напівгрупа, топологічний

ізоморфізм, топологічна напівгратка, комутативна в’язка.