Внутренние волны от потенциальных вихрей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Московский физико-технический институт (Государственный Университет)

На правах рукописи УДК 532.592

Секоян Ашот Хачикович

ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ ОТ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВИХРЕЙ Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук

профессор А.М.Тер-Крикоров

Москва-1999

Введение

Внутренние волны (волны плавучести) в стратифицированных средах стали интенсивно исследоваться в современных работах по теоретической гидродинамике, физике атмосферы и океана. Это связано с тем, что мировой океан и атмосфера являются естественными примерами стратифицированных сред и исследование внутренних волн в атмосфере и океане представляет не только теоретический интерес, но и важно с точки зрения практических приложений. Начало было положено в работах классиков: Гельмгольца, Рэлея, Стокса, Бус-синеска, выполненных в прошлом веке. На основании этих работ было объяснено явление мертвой зыби в норвежских фиордах, когда суда при входе в фиорд резко теряли скорость при неизменной мощности двигателя. Как оказалось, причина заключалась в том, что мощность двигателя частично тратилась на возбуждение внутренних волн на границе раздела слоя пресной воды, принесенной рекой, впадающей в фиорд, и слоя соленой морской воды.

В классической работе Н. Е. Кочина [3] была исследована в точной математической постановке плоская нелинейная задача о периодических волнах установившегося типа малой амплитуды на границе раздела двух слоев различной плотности. Для случая непрерывного распределения плотности по высоте соответствующая теорема существования периодических внутренних волн была доказана в работе Дюбрей-Жакотен [13]. Доказательство существования решений типа солитонов и кноидальных волн (длинных волн, вырождающихся в уединенную волну при длине волны, стремящейся к бесконечности) в произвольно стратифицированной жидкости дано в работе [16]. Глобальные теоремы существования, доказательства которых опираются на сложные математические теории, доказаны Л. В. Овсянниковым и его учениками [11].

Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, то огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линеаризированной постановке. Простейшее линейное уравнение внутренних волн в форме Буссинеска имеет вид

(дги dzu д2и\ „2{д2и д2и\

dt

+

+

+ N-

дхz ду" dz'

+

дхz ay

о

(1)

где N - частота Брента-Вяйсяля. Родственное уравнение

д'

/д2и

dt

+

д2и

+

д2и\

дхА dyz dz'

+ N:

/

d2u

э?

о

(2)

описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости, подробно исследовалось в работах С. Л. Соболева [8] и его многочисленных последователей. Некоторые исторические сведения и подробную библиографию можно найти в книге [1]. В этой же книге изложены в строгой математической постановке результаты этих авторов по исследованию задачи Коши и некоторых смешанных задач для уравнения (1) и уравнения (2).

Если в системе координат, движущейся с постоянной скоростью С в направлении оси X, движение представляется независящим от времени, то в подвижной системе координат уравнение (1) принимает вид

д

/д2и

dx'

+

д2и

+

д"и

dx" dyz dz'

жт2/ d2u d2u\ + N

+

дх" ду'

= 0

(3)

/

Большое количество работ посвящено исследованию фундаментального решения уравнения (1). Задачи о внутренних волнах от неподвижных или движущихся источников массы или диполей представляют значительный интерес, поскольку в однородной жидкости движущееся твердое тело иногда удается заменить системой источников и диполей. При слабой стратификации подобной же системой особенностей можно заменять движущееся тело и в неоднородной жидкости. Решение задач о внутренних волнах от движущихся и неподвижных источников и диполей просто выражаются через фундаментальное решение уравнения (1) или уравнения (3). Основные трудности связаны с изучением различных асимптотик фундаментального решения при больших временах или на больших расстояниях от источника. Такие задачи решались в работах Лонга (Long R..R), Лайтхилла (Lighthill M.J.), Майлса (Miles J.W.), Яновича (Yanovich M.), Ю (Yiu C.-S), Гудимака (Hudimac A.A.), Келлера (Keller J.В.), Манка (Münk W.H.), Вуазена (Voisin В.), Дородницына А.А.? Боровикова

\

V

В.А., Черкесова JI.B., Санникова В.Ф., Букатова А.Е., Владимирова Ю.В., Го-родцова В.А., Теодоровича Э.В., Доценко С.Ф., Каменковича В.М., Чашечкина Ю.Д., Миропольского Ю.З., Нестерова С.А., Стуровой, И.В.,Степанянца Ю.В., Тер-Крикорова A.M., Бежанова К.А., Онуфриева A.A., Яковлева Г.Н., и многих других. Подробную библиографию можно найти в работе Вуазена [17].

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В однородной жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести изучались поверхностные волны, возникающие как от подвижных источников, так и от движущихся вихрей (простейшая модель подводного крыла). Задачи о вихрях в неоднородной жидкости и об их роли в процессе возникновения и развития внутренних волн исследованы в значительно меньшей степени. Между тем исследование подобных задач является актуальным, поскольку атмосферные вихри типа «торнадо» играют большую роль в формировании атмосферных процессов. Процессы в мировом океане также существенно определяются крупными океаническими вихрями. Прежде всего нужно отметить работу Эртеля (Ertel Н.) [14], результаты которой изложены в известном курсе гидродинамики [4]. Из теоремы Гельмгольца следует, что в однородной идеальной жидкости в потенциальном силовом поле в жидкой частице сохраняется вектор вихря. Из результатов Эртеля следует, что при отсутствии в неоднородной идеальной жидкости источников и стоков в жидкой частице сохраняется проекция вектора вихря на нормаль к поверхности постоянной плотности(для несжимаемой жидкости) или на нормаль к поверхности постоянной энтропии (для идеального газа). Эта проекция впоследствии была названа потенциальным вихрем. В случае жидкости, стратифицированной по вертикали, и для достаточно малых возмущений потенциальный вихрь с точностью до малых высших порядков совпадает с вертикальной проекцией вектора вихря скорости. Слабые нелинейные взаимодействия потенциальных вихрей и внутренних волн исследовались в работе [15]. Там же содержится и библиография работ по данному вопросу. Новый подход к проблеме внутренних волн, возникающих от потенциальных вихрей, был разработан в работе [9].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в приложении идей работы [9] для исследования новых задач о волновых полях, возникающих от потенциальных вихрей, заполняющих в начальный момент времени вертикальный цилиндр. Рассмотрены также стационарные задачи о волнах от потенциальных вихрей, заполняющих вертикальный цилиндр, движущийся с постоянной скоростью в горизонтальном направлении. Эти модели можно воспринимать как простейшие модели возникновения волн от неподвижных и подвижных вихрей типа «торнадо».

В главе 1 в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных выводятся уравнения, описывающие медленные движения идеального стратифицированного по вертикали газа в поле силы тяжести. В качестве одной из независимых переменных принимается вертикальная декартова координата жидкой частицы в положении равновесия, а в качестве одной из зависимых переменных - отклонение по вертикали жидкой частицы от равновесного положения.

В главе 2 рассматривается задача о внутренних волнах, возникающих из состояния покоя, в том случае, когда в безграничном пространстве, заполненным идеальным газом, в начальный момент возникает цилиндр, заполненный потенциальными вихрями. Предполагается, что потенциальный вихрь или имеет постоянное значение или экспоненциально стратифицирован по вертикали. Показано, что уравнение, линеаризированное относительно переменной, задающей отклонение по вертикали жидкой частицы от положения равновесия, содержит в правой части квадрат потенциального вихря. Методом интегральных преобразований решение поставленной задачи Коши получено в виде двойных интегралов, зависящих от параметров. В случае постоянного значения потенциального вихря внутри цилиндра возможен переход к предельному случаю вихревой нити и для решения получена простая формула, не содержащая интегралов, из которой следует, что все жидкие частицы, находящиеся на одном и том же вертикальном круговом цилиндре, колеблются одинаково с частотой Брента-Вяйсяля. В случае экспоненциально стратифицированного вихря дальнее поле исследовано при помощи метода стационарной фазы для двойных интегралов. В этом случае уже невозможен переход к вихревой нити; решение зависит от радиуса цилиндра, заполненного вихрями. Внутренние волны бегут от цилиндра со скоростью, зависящей от времени и расстояния от оси цилиндра.

В главе 3 та же задача рассмотрена для случая, когда газ заполняет горизонтальный слой, ограниченный непроницаемыми плоскими стенками. Такая модель может считаться простейшей моделью атмосферы. Решение представляется в виде бесконечной суммы мод, причем только конечное число мод имеет волновой характер. Волновые моды исследуются методом стационарной фазы.

В главе 4 исследуется стационарная задача о волнах от стационарно движущегося в направлении, ортогональном оси кругового цилиндра, заполненного потенциальными вихрями. Решение довольно сложным образом выражается через двойные интегралы, зависящие от параметра. Для случая не-стратифицированного вихря найдена асимптотика решения при каждом фиксированном значении переменной у и при х —* . Асимптотическое решение периодично по X с периодом 2/г/ N . Для случая экспоненциально стратифицированного по вертикали вихря рассмотрена асимптотика при стремле-

нии к бесконечности по каждому фиксированному горизонтальному лучу. Методом стационарной фазы показано, что наиболее интенсивные возмущения расположены внутри некоторого угла, раствор которого зависит от частоты Брента-Вяйсяля и величины стратификации вихря. Похожая ситуация наблюдается в теории обычных корабельных волн на поверхности однородной жидкости. Изучена асимптотика при малых угловых отклонениях от направления движения вихря и на больших расстояниях от вихря.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах [5]-[7].

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались на Всероссийской конференции «Современные методы и достижения в механике сплошных сред»(Москва 12-14 ноября 1997 года), научной конференции МФТИ, семинаре кафедры высшей математики МФТИ, семинаре по нелинейным задачам при Вычислительном центре РАН.

Глава Л.Уравнения движения идеального стратифицированного газа в поле силы тяжести

§1.0сновные уравнения

Будем рассматривать атмосферу как идеальный газ в поле силы тяжести. Введем следующие обозначения:

р - давление Р - плотность

(ух ,Уу вектор скорости в декартовой системе координат с осью г, на-

правленной вертикально вверх

£ - время

g - ускорение силы тяжести

С , Си - теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме

()- плотность распределения источников и стоков массы

М - момент распределения диполей

а1 = кр / р- скорость звука

а д д

д д д

Ш 01 ох

ох ду * дг

- субстанциональная производная

Считаем, что для атмосферы определено состояние равновесия, в котором

Р = Ро(2) > Р = Ро(2) > Ро(г) = ~8Ро(2:) ао(2) = Ро(2У (2)

Система уравнений движения состоит [4] из уравнений Эйлера

дх

1 др

ду

у

1 др ду2

__________}_др

р дх ' Ж р ду ' & р дх

8

уравнения сохранения массы [4]

(1.1)

дух дУу ду дх ду дг

z дЫр

дх

(1.2)

и уравнения состояния

да д ( р х

к

= 0

(1.3)

Условие устойчивости равновесия имеет вид 0

Это условие выполнено для экспоненциальной стратификации. Действительно, в этом случае

-2\я Л

Р = Р0Се у Р0 =

2усх -ъ*

8

(1п р0) =-2у

Г !

(1пр0) =-2у , (1па0(г))

г г

= (1п/?0) -к{\пр0) =

= -2У + 2ук = 2У(К-1)>0 , лг «1.4

Если стратификация произвольна, то условие устойчивости имеет вид

О <

а.

Ро(г) _ к Ро(г)

ао(г) Ро(2) РоЬ) § Ро

Ро „ Ро

к

Ро

Ро

_~__Д^ ' и --_ / К \ /__

Щ>о1Ро Ро Л) 00

Ро(г)

8

или

Ро(г)^ 8

р0{г) Если

р0(г) = сехр(- 2гу{г)) то

-РМ 2у{г)+2гу'{г),^-РаК2) яо(2)

Считаем, что это условие выполнено. Будем далее считать, что выполнено более сильное условие

а'0(г) = ка(т:\

Ро(2) 8 р0(г) а20(г)

>0

(1.4)

Так как в силу (1.3) энтропия сохраняется в частице газа, то из (1.4) следует, что для каждой частицы однозначно определена та горизонтальная плоскость, на которой она может находиться в положении равновесия.

\

/

§2.Преобразование уравнений движения к смешанным эйлерово-ла гранжевым переменным

Идея подобного преобразования предложена в работе [9]. Если-в момент ( частица газа находится в точке {х,у,1) , то в силу замечания в конце пре-

дыдущего параграфа однозначно определена ее вертикальная координата в положении равновесия

(2.1)

Функция (2.1) должна быть интегралом уравнений движения

Ш

(2.2)

Будем предполагать, что

К

дг

>0

(2.3)

Условие (2.3) позволяет выразить X как функцию х, у

г = г{х , у , , ()

При этом в силу (2.1)

д£ 1 д£

дг

'С

дх

'С

К

ду

г

у

-с

(2-4)

Условие (2.3) можно интерпретировать как условие сохранения слоистой структуры газа. В положении равновесия поверхности постоянной энтропии являются горизонтальными плоскостями. Если в положении равновесия одна из этих плоскостей была расположена выше, чем вторая, то и после нарушения равновесия первая поверхность постоянной плотности расположена выше, чем вторая. Разумеется, это предположение не может быть выполнено для всевозможных движений, но оно представляется приемлемым при исследовании процессов распространения внутренних волн.

Так как поверхности постоянной энтропии в положении равновесия являются горизонтальными, и энтропия в частицах сохраняется, то

и после перехода к независимым переменным X , у , ^ , £ энтропия зависит только от переменной

а

где а0(£) - известная функция, а0(^) = ро{£)/Ро {С) Положим

и(х , у , £ , *) = "Х(х, у , г(х, у , £ , г), у(х , у , ^ , /) = (х, у , г(х, у , С , о, о

Р(х, у = р(х , у , г(х, у >*)>*)

„ д д д О = — + м — + V — Э£ Эх ду

Тогда, в силу (2.2)

с/уг ди ди <1х ди ¿у ди йС —* = — + +--+--=

Ж (Н дх Ж ду Ж д£ Ж

ди ди <Ьс ди йу ^

= — +--+--— = Ви

Ы дх (к ду Ш

_ йг ¿/у, с1 / ёг

—— = и\> , — = —- = —1 —

\

/

ж 'ж г' Ш Ж \ ш Ф _ _ а/? _

Эх Эх Э^ ' ду ду д£ ' дг г^ д£

(2.5)

В силу соотношений (2.5) уравнения Эйлера (1.1) принимают вид

Du = -

D2Z =

P

дР

zx дР

дх Zç dÇ

\ ^ 1 ( дР zv дР , Dv

1 дР

pzç dÇ

-g

P

ду Zç dÇ

Или

„2 1 дР Du + zxD z = -——-zxg

n2 1 дР

zrD z =---

f pK

p дх

gZç

1 дР

Dv + zyD2z =--— - zvg

P dy

(2.6)

Так как

p = P = a(Ç)pK , а2=к£ = крк-га{С)

P

то

p дх p дх дх

д (ш(С)рк~1) д ( к Р) д [ а2 )

дх { к-1 J дх дх к-1 V /

1 дР

д (а2 \

Р ду Р

ду

\

к-1

1 дР 1 д

к

К

—а Р

pdÇ

¡r-i dp

di

--\a

PK

-«'feV-1

к

кос

(Op

-2 dp К

= -a'(ÛPK-l-<*(Ç)

д (крк~1\

к-I

К

д

К

\

к-1

к-1 \

+ а

1 +

к \

к-1

Р

к-1

к

"2 ^ Чг\Р"Х

+ а —

д [ С"

К--1

7

д

I а2 N

а

/с — 1

/ а2 \ к-1

+

+

к-1

а'(е) кркМО

ка(£) к-1

а

ка(^)к-1

Используя эти соотношения, запишем уравнения (2.6) в виде

2 а

О и + г г =--

Д-

дх

/ „2

а- \

к-1

Оу + 1уВ2г =

\

д ( а2

ду

\

к-1

2 д ( а2

К-1

+

а

ю

а

ка(^)к -1

(2.7)

Введем обозначения

_ ду ди хг2 2 2 Q ----, V =и

дх ду

Н =

а

к-1 2

V

2 £ а'(С)

к а

(<г)

(2.8)

Воспользовавшись равенствами (2.8) и соотношениями

^ ди а

ии = — + —

Ы дх

(V2)

Л

ду а

-, Оу = — + —

а/ ду

(V2) 2

\ /

+ иО>

запишем уравнения (2.7) в виде

ди _ дН ду _ 2 дН

--vQ + zrD г =--, — + uQ + zvD г =--

Ы дх дг у ду

дх Ы

зн №■(„ V2

+

дС 8

д (V2 \

2

\ /

(2.9)

Преобразуем уравнение сохранения массы (1.2)

дУу ду дУ7 <Ипр _

* +—- +—- +-— = О

дх ду дг

бх

(2.10)

Воспользовавшись равенствами (2.5) и соотношениями

а

2 р (г\ АГ-1 1 йр 1 (I ( 2\

р р ш /с-1ш

запишем уравнение (2.10) в виде

ди ди ду 2У ду

+

дх дС, ду г^ д£

+

+

(дz дz дг \

— + и — + V — Ы дх ду

/\п а2\

к-1

= <2

/

Или

ди ду Во1

+ —+ —- + --— = (?

дх ду (к -1)

а

(2.11)

Если в точке (0,0,0) расположен точечный источник с расходом , то

с-СоШ*)5{у№)

Если же в начале координат расположен точечный диполь с моментом Л/0 , то в правой части равенства (2.11) будет стоять функция

В идеальной однородной жидкости шар, движущийся вдоль оси 2 , моделируется диполем. Если 1 = задает закон движения центра шара, Я -радиус шара, то

ш

§З.Уравнение для потенциального вихря

Исключая и и V двух уравнений (2.7)

Эй /Зи Эу\ ЭЙ Эй ¿(о2?, г) Л

+ Й — + — + и— + у— + —^-ч=0

дх ду Э(х, у)

+

дх ду

/

Или

DQ + Q

(ди | Эу \ [ д(р2г >_ д Эх Эу ) Э(х , _у)

(3.1)

Воспользовавшись тождеством

я

Э(<р , _ Э(0<£?, у/) Э(<р, О^) /6м Эу \ д(<р , д(х,у) д(х,у) д(х,у) I дх ду д(х , у)

и полагая (р = , у/ = 2, получаем

/д{Р2,г)\ _ д{р22,2)_ /ди ду\д(Рг,2) ^ д(х , у) ) д(х ,у) ^ Эх ду ) д{х , у)

Подставляя это выражение в (3.1), получаем

В

д(Рг, г)' д(х,у)

+

(ди ду\

— + —

дх ду

/

/

д{Рг, г) д(х, у)

= 0

Воспользовавшись уравнением (2.11), получаем

тп

1

2/к-1

\

д{х,у)

-<2

(3.2)

Если ввести обозначение

г =

1

2/к-1

\

(3.3)

то уравнение (3.2) можно записать в виде

0(1пГ)=-<2

(3.4)

Можно показать, что Г есть проекция вектора вихря на нормаль к поверхности постоянной энтропии. Будем называть Г потенциальным вихрем. В

той области, где (2=0 , выполнено условие Г = Гц^) при предположении, что потенциальный вихрь сохраняет постоянные значения на горизонтальн