Волновая функция частицы в электромагнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТОЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ

1. Бегущая волновая функция дираковской частицы в постоянном магнитном поле

2. Дираковская частица в бегущем электрическом поле

3. Дираковская частица в бегущем магнитном поле

4. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в бегущем электрическом и магнитном полях

5. Заряженная дираковская частица с аномальным магнитным моментом в плоско и циркулярно поляризованной волне

6. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне и постоянном поперечном магнитном и электрическом полях

7. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в плоско поляризованной волне и постоянном поперечном магнитном и электрическом полях

8. Волновые уравнения для частицы со спином

9. Векторный мезон в бегущем электрическом поле

10. Движение частицы со спином 1 в бегущем электрическом поле в рамках уравнения Брейта

11. Векторный мезон в плоско поляризованной волне

12. Решение уравнения Брейта в плоско поляризованной волне

13. Скорость заряженной частицы в плоско поляризованной волне в нерелятивистском и ультрарелятивистском приближении в рамках уравнения Кеммера и уравнения Брейта

14. Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта в циркулярно поляризованной волне

15. Векторный мезон в циркулярно поляризованной волне и постоянном магнитном поле

16. Векторный мезон с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне и постоянном магнитном поле

17. Волновая функция частицы с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне в рамках уравнения Брейта

18. Решение аналогов уравнения Кеммера и уравнения Брейта в постоянном магнитном поле

19. Собственные значения уравнения Брейта для частиц с разными массами в постоянном магнитном поле

ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ

1. Атомный электрон в переменном магнитном поле

2. Излучение атомного электрона в переменном магнитном поле

3. Действие переменного магнитного поля на распространение циркулярно поляризованного излучения в веществе

4. Усиление света средой с переменным коэффициентом преломления

5. Магнитооптика электронного газа с нулевым спиновым моментом

6. Оптические свойства электронного газа с ненулевым спином в магнитном поле

7. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне

8. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле

9. Условие существования собственных функций уравнения Брейта

10. Аномальный эффект Зеемана для двух дираковских частиц, связанных потенциалом Брейта

11. Условие существования собственных функций уравнения Кеммера в кулоновском поле

12. Волновая функция скалярной частицы. Эффект Зеемана для скалярных частиц, связанных кулоновским потенциалом и потенциалом Брейта

13. Аномальный эффект Зеемана для дираковской и скалярной частиц, связанных потенциалом Брейта

14. Связь уравнения Кеммера и уравнения Брейта с уравнениями Максвелла

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ, СВЯЗАННЫХ ГРАВИТАЦИОННЫМ

И КУЛОНОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

1. Верхние оценки энергии частиц, связанных гравитационным потенциалом

2. Нижние оценки энергии частиц, связанных гравитационным потенциалом

3. Уточнение нижних оценок

4. Оценка спектра сумм собственных чисел

5. Оценка плотности звезд

6. Плотность частиц в окрестности звезды

7. Зависимость энергии и радиуса звезды от температуры

8. Нижние оценки энергии связи кулоновских частиц

9. Верхние оценки энергии связи кулоновских частиц

10. Зависимость энергии связи от плотности конденсированного водорода

Релятивистское уравнение Дирака [1-3] для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле - основа релятивистской квантовой механики и квантовой электродинамики. Точные решения этого уравнения и уравнения Дирака-Паули [3, 4] представляют особый физический интерес, так как они, определяя, в основном, картину движения частиц со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле, являются в то же время базой для получения с помощью квантовой электродинамики точной картины движения такой частицы. Наиболее известные решения уравнения Дирака появились в такой последовательности: стационарная волновая функция в кулоновском поле - в 1928 году [5, 6], в постоянном и однородном магнитном поле - в 1930 [7], решение в плоской электромагнитной волне - в 1935; а, когда волна распространяется вдоль постоянного и однородного магнитного поля - в 1965 году [9]. Решение уравнения Дирака-Паули в постоянном и однородном магнитном поле найдено в 1965 [10] ив 1966 году [11]. В постоянном электрическом поле - в 1966 [12, 13], в плоской электромагнитной волне в 1967 [14] и в 1968 году [15, 16]. Другие точные решения этих уравнений приведены в монографиях [17, 95]. Точных решений уравнений для частиц со спином 1 существенно меньше. Уравнение Кеммера [18 -20] в постоянном однородном магнитном поле для заряженной частицы решено в 1949 году [21], для заряженной частицы с аномальным магнитным моментом - в 1970 [22] и в 1971 году [23]. Решение уравнения Кеммера для заряженной частицы, движущейся в плоской электромагнитной волне, приведено (с легко исправимой опиской) в 1966 году [24]. Исследование точных решений уравнений Дирака и Дирака-Паули в электромагнитном поле наиболее полно представлено в монографиях [17, 95], а движение дираковской частицы в постоянном магнитном поле анализировалось в сравнительно многочисленных публикациях, в том числе в [25 - 33]. Исследование уравнений для частиц со спином 1 малочисленны и абстрактны. Характер этих исследований иллюстрируют работы [34 -36]. Уравнение Кеммера [18 -20] и уравнение Брейта [37, 38, 3, 20] описывают поведение частицы со спином 0 и 1 хуже чем уравнение Дирака описывает поведение частицы со спином ХЛ. Поэтому желательно иметь как можно больше решений этих уравнений в разных электромагнитных полях, чтобы, сопоставляя эти решения друг с другом и точными решениями уравнения Дирака и Дирака-Паули, сделать вывод: какое же из этих уравнений - Кеммера или Брейта - предпочтительнее для описания поведения частиц со спином 0 и 1. Поэтому основная тема первой части диссертации - получение новых решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, сопоставление и анализ этих решений.

Решения уравнений Дирака и Дирака-Паули представлены в виде суммы произведений у -матриц Дирака на компоненты, зависящие только от координат

39, 40, 2]. Такая запись решения эквивалентна обычной записи в виде четырехрядных квадратных матриц [1, 3, 41 - 45]. Для перехода от представленной записи решения к матричной записи в дополнение приводится конкретный вид у -матриц Дирака, которые образованы только из чисел 0, ±1 и ±/. Поскольку большинство их элементов равно нулю, перемножение этих матриц и, следовательно, переход к обычному решению не сложен.

Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта находилось в виде суммы произведений компонент, зависящих от координат, на гиперкомплексные группы, которые выбраны так, чтобы для свободной частицы со спином 1 шесть компонент этого решения, когда масса частицы стремится к нулю, в пределе совпали с проекциями электрического и магнитного поля свободной электромагнитной волны, а четыре - с компонентами ее четырехвектора. Для уравнения Кеммера система уравнений, определяющих эти компоненты, идентична уравнениям Прока [46].

В работах [47 - 49] утверждается, что заряженная частица со спином 1 в кулоновском поле в рамках уравнения Кеммера не имеет регулярных стационарных волновых функций. Поэтому во второй главе находятся условия существования стационарных волновых функций у таких частиц в кулоновской поле как в рамках уравнения Кеммера, так и уравнения Брейта, а затем рассматривается эффект Зеемана у двух связанных друг с другом частиц с разными спинами: 0 и 0, 0 и 1/2, 1/2 и 1/2. Кроме этого, в начале второй главы рассматривается в нерелятивистском приближении влияние меняющегося во времени однородного магнитного поля на оптические свойства среды и на спонтанную эмиссию атомов, а также магнитооптика электронного газа.

Верхние и нижние оценки энергии связи N частиц, связанных друг с другом гравитационным потенциалом впервые, в рамках уравнения Шредингера, приведены в [50, 51], затем [52 - 60]. В третьей главе диссертации эти оценки уточняются и дополняются оценками состояния частиц, ранее не исследованных. Затем, используя лишь математические приемы, оценивалось влияние температуры звезды на ее плотность и на плотность термодинамически равновесной газовой среды в окрестности звезды. В этой главе оценивается влияние на энергию частиц их кулоновского взаимодействия, когда полный заряд частиц равен нулю. В частности, оценивается сверху и снизу энергия частиц в сжатом водороде.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТ, ИЗЛОЖЕННЫХ В ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены новые решения уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта и аналогов уравнений Кеммера и Брейта в электромагнитном поле.

2. Приведены примеры, иллюстрирующие предпочтительность использования для описания частиц со спином 0 и спином 1 уравнения Брейта, а не Кеммера.

3. Найдены условия авторезонансного ускорения дираковских заряженных частиц бегущим магнитным полем и условия захвата заряженных дираковских частиц и частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравнением Брейта, бегущим электрическим полем.

4. Рассчитаны магнитооптические параметры электронного газа и газов из частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравненем Брейта.

5.Показано, что среду, коэффициент преломления которой уменьшается с течением времени, можно использовать для эффективного усиления светового потока.

6. Предложен новый и самый простой способ двусторонних оценок собственных чисел уравнений квантовой механики и новый вариационный способ оценки суммы п первых собственных чисел уравнения Шредингера, которые использовались для оценок собственных чисел конкретных состояний частиц.

НАУЧНЫЙ МАТЕРИАЛ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЩИТУ

1. Точные решения уравнения а) Дирака для заряженной частицы, которые имеют вид бегущей со скоростью света волны, когда частица движется в постоянном магнитном поле, гл.1 (1), [61], в бегущем магнитном поле, гл.1 (3), [61]; б) Дирака-Паули для частицы с аномальным магнитным моментом

- в бегущем магнитном поле, гл. 1 (4);

- в циркулярно поляризованной волне и в продольном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (6), [62];

- в плоско поляризованной волне и поперечном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (7), [63]; в) Кеммера и уравнения Брейта для заряженной частицы

- в бегущем электрическом поле, гл.1 (9,10); в циркулярно поляризованной волне, гл. 1 (14), [64 - 66];

- в плоско поляризованной волне, гл.1 (12), [66]; г) Кеммера и уравнения Брейта для частицы с аномальным магнитным моментом

- в бегущем электрическом поле, гл.1 (2);

- в циркулярно поляризованной волне, которая распространяется вдоль постоянного магнитного поля,гл.1 (16, 17); д) Кеммера для заряженной частицы в циркулярно поляризованной волне и продольном магнитном поле, гл.1 (15), [67]; е) Брейта и точные решения аналогов уравнения Кеммера и Брейта для заряженных частиц со спином 3/2 и 2 с аномальным магнитным моментом в 4 постоянном и однородном магнитном поле, гл.1 (18), [68]; ж) Шредингера для атома водорода в однородном магнитном поле, которое меняется во времени как по величине, так и по направлению, гл.2 (1), [69].

2. Сравнительный анализ решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, из которого следует, что в отличие от уравнения Кеммера, волновая функция уравнения Брейта, как и волновая функция дираковской частицы

- имеет везде положительную плотность вероятности и дает для скорости частицы величину, лишь в пределе достигающую скорости света, гл.1, (8, 11 -14), [64-66];

- в сильном магнитном поле при больших квантовых числах имеет собственные числа, в пределе совпадающее с собственными числами полученными, в квазиклассическом приближении, гл. 1 (8);

- в кулоновском поле регулярна гл. 1 (9).

3. Уравнения движения частиц в электромагнитной волне, оптика и магнитооптика а) электронного газа, гл. 1 (4 - 7), гл.2 (7), [62, 63, 70 - 74]; б) газа из векторных мезонов, гл.1 (11, 14-16), [64 - 67]; в) газа из частиц, которые движутся в рамках уравнения Брейта, гл.1 (12, 14, 17), [65, 66].

4. Анализ уравнения Кеммера и уравнения Брейта в кулоновском поле, из которого следует, что оба уравнения имеют в достаточно слабом поле собственные функции, однако регулярны они только у уравнения Брейта, гл.2 (9, 11), [75, 76].

5. Магнитооптика в переменном магнитном поле, в которой имеют место эффекты а) когерентное усиление света средой, если показатель преломления среды с течением времени уменьшается, гл.2 (2, 3), [77, 78]; б) независимость спонтанной эмиссии от скорости изменения магнитного поля, гл.2 (1), [69].

6. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле, гл.2 (8), [79].

7. Эффект Зеемана в системе двух связанных

- дираковских частиц, гл.2 (10), [80];

- скалярных частиц, гл.2 (12); скалярной и дираковской частиц, гл.2 (13), [68].

8. Связь уравнения Кеммера и уравнения Брейта с уравнениями Максвелла, гл.2 (14), [81].

9. Использование метода Заутера [39, 40, 2] для анализа состояний со спином, не равным 1/2, гл. 1 (8 - 19), гл.2 (10 - 14), [82 - 84, 80, 68, 64 - 67].

10. Теорема, справедливая для уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Брейта и для аналогов уравнения Брейта: область значений вещественного функционала Н^/1? включает в себя хотя бы одно собственное л число Яп дифференциального уравнения — , если функция ¥ удовлетворяет тем же граничным условиям, что и хУп. Поэтому, меняя функцию так, чтобы область значений функционала НЧ'/ЧР была как можно уже, получаем двустороннюю оценку собственного числа уравнения Йх¥п =Лпх¥я) точность которой увеличивается по мере увеличения числа изменяемых параметров в У, гл.2 (9), [82 - 84, 76, 77].

11. Теорема: сумма первых к собственных чисел уравнения Шредингера

НХКП =ЯЧ/„ меньше суммы <р, |Н\<р,), где <р( - любые ортонормированные вещественные функции, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и гл.3 (4), [88].

12. Новые двусторонние оценки собственной энергии системы многих частиц, связанных друг с другом

- гравитационным взаимодействием, гл.З (1 - 3), [88 - 90];

- кулоновским взаимодействием, гл.З (8 - 10), [88. 91].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводятся и обсуждаются точные, а во второй - возмущенные решения уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта в электромагнитном поле. В третьей главе в рамках уравнения Шредингера оцениваются сверху и снизу собственная энергия системы многих частиц, связанных друг с другом гравитационным или кулоновским взаимодействием. Кроме этого, во второй главе в рамках уравнения Шредингера анализируются особенности воздействия на атомы

11 переменного магнитного поля. Начинается диссертация введением, список литературы и дополнение находятся в конце диссертации.

Основные результаты трегьей главы - в рамках уравнения Шредиигера оценена плотность околозвездной водородной плазмы, которая находится в термодинамическом равновесии с нейтронной и водородной звездой, и оценены давления, при которых водород переходит в металлическое состояние, нейтронизуется, и, если бы не было нейтронизации, перешел бы в плазменное состояние.

В этом заключении отражены лишь результаты, полученные в рамках основной задачи каждой главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе показано, что движение частицы со спином 0 и 1 лучше описывается уравнением Брейта, а не Кеммера. Для этого определены волновые функции уравнения Кеммера и уравнения Брейта в электромагнитных полях, для которых волновые функции уравнения Дирака найдены или известны. Сравнение волновых функций этих трех уравнений показало, что волновые функции уравнения Кеммера качественно отличаются от волновых функций уравнения Дирака и уравнения Брейта. Например, в отличие от уравнения Дирака и уравнения Брейта, в рамках уравнения Кеммера плотность вероятности не всегда положительна, скорость частицы может превысить скорость света, а уровни энергий заряженной частицы в сверхсильных магнитных полях при увеличении поля растут не как корень квадратный из величины магнитного поля, а линейно. Последнее означает, что в сверхсильных магнитных полях в пределе больших квантовых чисел уравнение Кеммера не приводит к классической картине движения частиц. Перечисленных особенностей уравнения Кеммера достаточно, чтобы выбрать для описания частиц со спином 0 и 1 не уравнение Кеммера, а уравнение Брейта, хотя его волновые функции имеют несколько качественных отличий от волновых функций уравнения Дирака. Например, у заряженной дираковской частицы в электромагнитной волне нет поляризационного (спинового) тока, так как ток магнитной поляризации равен по величине и противоположно направлен току электрической поляризации и оптические свойства электронного газа не зависят от ориентации спинов электронов. У заряженной частицы, которая описывается уравнением Кеммера или Брейта, токи магнитной и электрической поляризации одинаковы и полный поляризационный ток не равен нулю. Поэтому оптические свойства таких частиц зависят от их спиновых состояний, и газ из них, в отличие от газа из дираковских частиц, будет вращать плоскость поляризации электромагнитной волны, если спины частиц будут ориентированы вдоль волны. Другая особенность уравнения Брейта, отличающая это уравнение от уравнения Дирака и от уравнения Кеммера, - это наличие у него собственных функций с нулевой полной энергией.

Во второй главе сначала доказано, что в отличие от уравнения Кеммера, уравнение Брейта, как и уравнение Дирака, имеет в кулоновском поле регулярные собственные функции. Затем уравнение Брейта использовано для определения зеемановского расщепления уровней двух связанных взаимодействием частиц с разными массами и спинами. В этой главе подтвержден основной вывод первой главы о предпочтительности использования для описания частиц со спином 0 и 1 уравнения Брейта, так как обобщение потенциала Брейта и получение регулярных собственных функций в поле с кулоновской особенностью для частиц со спином 0 и 1 возможно при использовании уравнения Брейта, а не Кеммера. Однако, основная тема второй главы - исследование действия электромагнитного поля на кинематическую (нормальную) и аномальную часть спинового магнитного момента частицы. Анализ аномального эффекта Зеемана у двух связанных друг с другом частиц с разными массами и разными спинами с аномальными магнитными моментами привел к следующему выводу. Относительное движение частиц не влияет на результат действия магнитного поля на аномальную часть спиновых магнитных моментов частиц и уменьшает результат действия магнитного поля на кинематическую часть спиновых магнитных моментов частиц в такой же степени, как и на орбитальный магнитный момент, пока масса одной из частиц много меньше другой. При соизмеримых массах это уменьшение для кинематической части магнитного момента и для орбитального магнитного момента будет различным, а результат действия на аномальный спиновой магнитный момент по-прежнему не будег зависеть от масс частиц и, следовательно, от их относительного движения. Когда заряженная дираковская частица движется в электромагнитной волне и постоянном продольном магнитном поле, ее скорость совпадает со скоростью классической частицы и не зависит от действия поля волны и постоянного магнитного поля на кинематический магнитный момент частицы. Но действие этих полей на аномальный магнитный момент меняет эту скорость. В первом приближении изменение скорости дираковской частицы линейно зависит от произведения аномального магнитного момента, напряженности постоянного магнитного поля и амплитуды волны. Изменение спина дираковской частицы в первом приближении линейно зависит от произведения амплитуды волны на полный спиновой момент частицы. Когда в электромагнитной волне и постоянном магнитном продольном поле движется векторный мезон, его скорость отличается от скорости классической частицы из-за действия этих полей на спиновой магнитный момент частицы. В первом приближении это отличие линейно зависит от произведения амплитуды волны на полный спиновой момент частицы. Изменение спина векторного мезона в первой приближении линейно зависит от произведения амплитуды волны на кинематическую часть магнитного момента частицы и от произведения напряженности магнитного поля, амплитуды волны на аномальный магнитный момент. Поэтому компенсация кинематического спинового момента аномальным не делает движение дираковской частицы и векторного мезона спинонезависимым. Скорость у дираковской частицы и спин у векторного мезона по-прежнему зависят от спинового магнитного момента частицы, хотя полный спиновой магнитный момент равен нулю. Приведенные примеры, иллюстрирующие разный характер действия электромагнитного поля на кинематическую и аномальную часть спинового магнитного момента частицы, подчеркивают их разную природу, аномальный магнитный момент связан с внутренней структурой частицы, кинематический - с ее движением во внешнем поле. Поэтому при действии электромагнитного поля на частицу следует его действие на кинематическую часть и на аномальную часть спинового магнитного момента рассматривать отдельно.

1. Dirac P.A.M. The Quantum Theory of the Elektron. //Proc.Roy.Soc., 1928, V.117, P.610

2. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. T.2, М.-Л., ГИТТЛ, 1956.

3. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М. Физматгиз, I960'.

4. Pauli W. Relativistic Field Theories Elementary Particles. //Rev.Mod.Phys., 1941, V. 13, P.203.

5. Gordon W. Die Energieniveaus des Wassertoatoms nach der Diracschen Quantentheorie des Electrons.//Z.Phys., 1928, B.48, S.ll.

6. Darwin C.G. The Wave Equations of the Electron. //Proc.Roy.Soc., 1928, V.118, P654.rf

7. Landau L. Diamagnitismus der Metalle. //Z.Phys., 1930, B.64, S.629

8. Volkow D.M. Uber eine Klasse Losungen der Diracschen Gleichung //Z.Phys., 1935, B.94, S.250

9. Redmond P.I. Solution of the Klein-Gordon and Dirac Equation for a Particle with a Plane Electromagnetic Wave and a Paralell Magnetic Field. //I.Math.Phys., 1965, V.7, P. 1163.

10. Strocchi F. Relativistic Particles in a Constant Magnetic Field. //Nuovo Cimento,1965, V.37,P.1079.

11. Тернов И.М., Багров В.Г., Жуковский В.Ч. Синхротронное излучение электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом. //Вестник МГУ, Сер.физ.,астр., 1966, №1, С.ЗО.

12. Тернов И М., Багров В.Г. Движение нейтрального фермиона, обладающего аномальным магнитным моментом, в электрическом поле. //ДАН СССР,1966, Т. 168, С. 1298. /

13. Тернов И.М., Багров В.Г. О движении нейтральной дираковской частицы, обладающей аномальным магнитным моментом, в электрическом иоле. //ЯФ, 1966, Т.4, С. 797.

14. Тернов И М., Багров В.Г., Бордовицин В.А., Маркин Ю.А. Рассеяние электромагнитных волн на нейтральных ферми-частицах. //ЖЭТФ, 1967, Т.52, С. 1584.

15. Тернов И.М., Багров В.Г., Клименко Ю.И. Движение и излучение электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом, в поле плоской электромагнигной волны.//Изв.ВУЗов СССР. Физика, 1968, №2, С.50.

16. Chakrabarti. Exact Solution of the Dirac-Pauli Equation for a Class of Fields: Precession of Polarisation. //Nucvo Cimento.A., 1968, P.604.

17. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И М., Халилов В.Р., Шаповалов В.Н. Точные решения релятивистских уравнений, Новосибирск, Наука, 1982.

18. KemmerN. The particle aspect of meson theory. //Proc.Roy.Soc.A., 1939, V.173, P.91.

19. Duffin R.J. On the Characteristic of Covariant Sistems. //PhysRev., 1938, V.54, P. 1114.

20. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. Москва, Физматгиз, 1959.

21. Symonds N. Vector Meson in a Ilomogeneos Magnitic Field. //Phil.Mag., 1949, V.40, P.636.

22. Боргардт А.А., Карпенко Д.Я. Квантовая механика заряженных векторных бозонов с аномальным магнигиым моментом во внешних электромагнитных полях. //УФЖ., 1970,Т. 15, С. 1091.

23. Tsai W. Motion of spin-1 particles in homogenious magnetic feld -multispinor formalizm.3. //Phys.Rev.D., 1971, V.4, P.3652.

24. Боргардт A.A., Карпенко Д.Я. Бозон в поле плоской электромагнитной волны. //ЖЭТФ, 1966, Т. 50, С.1167.

25. Case К.М. Some Generalizations of the Foldy-Wouthuysen Transformations. //Phys.Rev., 1954.95.1323.

26. Тернов И М., Багров В.Г., Бордовицин В.А., Дорофеев О Ф. //ЖЭТФ, 1968, Т.55, С.2273.

27. Tsai W., Yildiz A. Motion of charged particles in homogenious magnetic field 1. //Phys.Rev.D., 1971, V.4, P.3643.

28. Ramesh Chand, Szamosi G. Solution of the Dirac Equation with Magnetic Moment. //Lett.Nuovo Cimento, 1978. V/22, P.660.

29. Байер В Н., Катков B.M., Фадин B.C. Излучение релятивистских электронов. Москва, Атомиздат, 1973.

30. Соколов А.А ., Тернов И М. Релятивистский электрон. М.Наука, 1982.

31. Тернов И.М., Михайлин B.B. Синхронное излучение. Теория и эксперимент. Москва, Энергоатомиздат, 1986.

32. Тернов И.М. Уравнение эволюции спина релятивистского электрона в представлении Гейзенберга. //ЖЭТФ, 1990, Т.98, С.И69.

33. Силенко А.Л. Точное квантомеханическое описание движения частиц со спином 1/2 и движения спина в однородном магнитном поле. //ЖЭТФ, 1998, Т. 114, С.448.

34. Kyriakopoulos Е. Tensor approach to spin-one mesons. III. Magnetic dipole moment and electric quadrupole moment //Phys.Rev.D., 1972, V.6, P.2207.

35. Власов П.А. Электромагнитные моменты частиц со спином 1 и эквивалентность некоторого класса волновых уравнений. //УФЖ, 1977, Т.22, С.951.

36. Власов П.А. Заряженная частица со спином в однородном магнитном поле. //УФЖ, 1985, Т.30, С. 1605.

37. Breit G. The Effect of Retardations on the Interactions of Two Electrons. //Phys.Rev., 1929, V.34, P.553.

38. Oppenheimer I.R. Note on the Theory of the Interaction of Field and Matter. //Phys.Rev., 1930, V.35, P.461.

39. Sauter F. Zur Losung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren.I//Z.Phys., 1930, B.63, S.803.

40. Sauter F. Zur Losung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren.il //Z.Phys., 1930, B.64, S.295.

41. Дирак П. Основы квантовой механики. М.-Л. ГИТТЛ, 1937.

42. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М.-Л. ГИТТЛ, 1940.

43. Соколов А., Иваненко Д. Квантовая теория поля. М.-Л. ГИТТЛ, 1952.

44. Шифф Л. Квантовая механика. ИЛ.Москва, 1959.

45. Берестецкий В.Б., Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинимика. М., Наука, 1989.

46. Proca М.А. Sur les equations fondumentales des particules elementaires. //Compt.Rend. 1936. B.202, P. 1490.

47. Тамм И.Е. Мезон в кулоновском поле. //ДАН, 1940, Т.29, С.551.

48. Tamm Ig. Mesons in a Caulomb Field. //Phys.Rev., 1940, V.58, P.952.

49. Corben H.C., Schwinger Iulian. The Electromagnetic-Properties of Mesotrons. . //Phys.Rev., 1940, V.58, P.953.

50. Post H.R. Many-particie systems. II. //Proc.Roy.Soc.A., 1956, V.69, P.936.

51. Post II.R. Many-particie systems. III. //Proc.Roy.Soc.A., 1962, V.79, P.819.

52. Fisher M.E., Ruelle D. The Stability of Many-Particle Systems. // I.Math.Phys., 1966, B.7, P.260.

53. Hall R.L., Post H.R. Many-particle systems IV. Short-range interactions. //Proc.Roy.Soc.A., 1967, V.90, P.381.

54. Hall R.L., Many-particle systems V. Short-range interactions. //Proc.Roy.Soc.A., 1967, V.91, P. 16.

55. Calogero F., Simonov Y.A. //Phys.Rev., 1968, V. 169, P.789.

56. Calogero F.,Marchoro C. Lower Bounds to the Ground-State Energy Containing Identiale Particles. // I.Math.Phys., 1969, V. 10, P.562.

57. Levy-Leblond leans-Marc. Nonsaturation of Gravitional Forces. // I.Math.Phys., 1969, V.10,P.806.

58. Simenog I.V. //Phys.Lett.B, 1972, V.40, P.53.

59. Заставенко Л.Г. Энергия системы многих бозонов, связанных силами тяготения.//ТМФ, 1973, Т. 15, С.307.

60. Сименог И В. Асимптотически точные решения для ферми-систем. //ТМФ, 1974, Т.20, С.235.

61. Савченко О.Я. Дираковская частица в бегущем магнитном поле. //ЯФ, 1998, Т.61, С.540.

62. Савченко О.Я. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне и постоянном продольном магнитном и электрическом полях. //ЖЭТФ, 1997, Т. 111, С. 190.

63. Савченко О.Я. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в плоско поляризованной волне и постоянном поперечным магнитном и электрическом полях. //Изв.ВУЗов, Физика, 1998, №5, С.69.

64. Савченко О.Я. Векторный мезон в электромагнитном поле //ТМФ, 1993, Т.95, С.51.

65. Савченко О.Я. Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейте в циркулярно поляризованной волне.//ТМФ, 1994, Т. 101, С.200.

66. Савченко О.Я. Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта в плоско поляризованной волне.//ГМФ, 1999, Т. 119, С.282.

67. Савченко О.Я. Векторный мезон в циркулярно поляризованной волне и постоянном магнитном поле. //ТМФ, 1995, Т. 104, С.271.

68. Савченко О.Я. Спиновые частицы в рамках обобщенного уравнения Кеммера. //Препринт-53, ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1966.

69. Савченко О.Я. Излучение атомного электрона в переменном магнитном поле. //Опт.и спектр., 1963, Т. 14, С.З.

70. Савченко О.Я. Магнитооптика электронного газа. //Опт.и спектр., 1968, Т.33, С.658.

71. Савченко О.Я. Оптические свойства электронного газа в магнитном поле. // Оггг.и спектр., 1970, Т.39, С.З.

72. Савченко О.Я. Днраковская частица с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне.//ЖЭТФ, 1996, Т. 109, С. 1234.

73. Савченко О.Я. Магнитооптика дираковских частиц с аномальным магнитным моментом.//Опт.и спектр., 1996, Т.81, С. 1016.

74. Савченко О.Я. Оптические свойства дираковских частиц с аномальным магнитным моментом. //Опт.и спектр., 1997, Т.83, С.709.

75. Савченко О.Я. Двусторонние оценки собственных чисел уравнения Дирака и его аналогов. //Дифферец.уравнения, 1993, Т.29, С.2190.

76. Савченко О.Я. О собственных числах уравнения Дуффина-Кеммера и его аналогов. //Дифферец.уравнения, 1994, Т.30, С.342.

77. Савченко О.Я. Действие переменного магнитного поля на распространение циркулярно поляризованного излучения в веществе. //Опт.и спектр., 1961, Т.9, С.223.

78. Савченко О.Я. Усиление света средой с переменным коэффициентом преломления. //Опт.и спектр., 1967, Т.22, С.527.

79. Савченко О.Я. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле.//Опт.и спектр., 1980, Т.48, С.398.

80. Савченко О.Я. Оценка квадруполного момента дейтрона по пр и рр-рассеянию. //Препринт ИТФ-69-92, ИТФ АН УССР, Киев, 1969.

81. Савченко О.Я. Условия перехода уравнения Кеммера с правой частью в уравнения Максвелла. //Препринт ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1966.

82. Савченко О.Я. Разделение переменных в уравнении Бете-Салпетера. //Препринт ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

83. Савченко О.Я. Амплитуда рассеяния плоско поляризованных состояний при электрон-электронных столкновениях. //Препринт ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

84. Савченко О.Я. Векторные свойства двухфермионной системы. //Препринт ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1966.

85. Савченко О.Я. Определение области, внутри которой находится собственное число дифференциального уравнения. //Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1985, Т.25, С 1327.

86. Савченко О.Я. О собственных значениях уравнения Штурма-Лиувилля. //Дифференц.уравнения, 1987, Т.23, С.2006.

87. Савченко О.Я. О собственных значениях уравнения Шредингера. //Дифференц.уравнения, 1987, Т.23, С.2168.

88. Савченко О.Я. Оценки собственных чисел уравнения Шредингера для системы взаимодействующих частиц. //Препринт ИЯФ 77-104, ИЯФ СО АН СССР, Новосибирск, 1977.

89. Савченко О.Я. Верхние вариационные оценки энергии взаимодействия нуклонов в атомном ядре. ИЯФ, 1975, Т.21, С.737.

90. Савченко О.Я. Оценки собственных чисел уравнения Шредингера для системы взаимодействующих частиц. I. //ТМФ, 1978, Т.35, С.386.

91. Савченко О.Я. Оценки собственных чисел уравнения Шредингера для системы взаимодействующих частиц. II. //ТМФ, 1978, Т.36, С. 136.

92. Малкин И.А., Манько В.И. Когерентные состояния заряженной частицы в магнитном поле.//ЖЭТФ, 1968, Т.55, С. 1014.

93. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. // М., Наука, 1979.

94. Багров В.Г., Гитман Д.М., Мешков А.Г., Шаповалов В.И. Дополнение к работам «Новые точные решения уравнения Дирака». II,Ш. //Изв.ВУЗов, Физика, 1977, №1, С. 126.

95. Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. //Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1992.

96. Воробьев И.И., Зубков П.И., Кутузова Г.А., Савченко О.Я., Трубачев A.M., Харитонов В.Г. Задача 14.4.6. //Задачи по физике. Под ред.Савченко О.Я., 3 изд., НГУ, Новосибирск, 1999.

97. Нагорский Г. А. Частица с аномальным магнитным моментом в поле плоской электромагнитной волны. //Изв.АН Армян ССР, 1966, T.I, С.340.

98. Bloch F. Nuclear Induction. //Phys.Rev., 1946, B.70, P.460.

99. Дивильковский М.А. Классическая картина Зееман-эффекта в переменном магнитном поле. //ЖЭТФ, 1937, Т.7, С.651.

100. Волькенштейн М.В. Молекулярная оптика.//М.-Л. ГИТТЛ, 1951.

101. Борн М. Оптика. //Москва, ОНТИ, 1937.

102. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. //М., Физматгиз, 1963.

103. Bargman V., Wigner Е. // Proc.Nat.Ac.Sc. (USA), 1948, V.34, Р 211.

104. Lamb W.E.//Phys.Rev. 1952. В.85, Р.299.

105. Берестецкий В.Б. О спектре позитрония. //ЖЭТФ, 1949, Т. 19, С. 1130.

106. Breit G., Rabi I.I. Measurement of Nuclear Spin. //Phys.Rev., 1931, V.38, P.153.

107. Дитчберн P. Физическая оптика. //M., "Наука", 1965.

108. Зельдович Я.Б. Квазиэнергия квантовой системы, подвергающейся периодическому воздействию.//ЖЭТФ, 1966, Т.51, С. 1163.

109. MargenauH. //Phys.Rev., 1940, В.57,Р.383.

110. ПО. MillmanS., Rabi I., Zacharias I. //Phys.Rev., 1938, B.53, P.384.

111. Schrodinger E. // Proc.Roy. Irish. Acad. A, 1943, V.49, P.29.

112. Савченко О.Я. К анализу уравнения Шредингера для системы из N взаимодействующих частиц. //ЯФ, 1967, Т.6, С.645.

113. Савченко О.Я. Нижняя оценка энергии взаимосвязанных частиц в рамках уравнения Шредингера. //ЯФ, 1968, Т.8, С. 1259.

114. Савченко О.Я. Оценка снизу собственной энергии системы частиц с жестким кором.//ЯФ, 1971, Т. 13, С. 1196.

115. Calogero F. Solution of the One-Dimensional N-Body Problems with Quadratic and/or Inveratic Quadratic Pair Potentials. // I.Math.Phys., 1971, V.12, P.419.1. ДОПОЛНЕНИЕ

116. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЕДИНИЦ ЧЕРЕЗ ЧЕТЫРЕХРЯДНЫЕ МАТРИЦЫ.

117. Таким образом, степень редукции при таком умножении равна —. Ту же степень редукции имеет матрица0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10.5)

118. Если теперь образовать произведение (Б.4) и (0.5), то получится матрица, в которой только один элемент отличен от нуля:0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 01. О.б)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

119. Поэтому при умножении матрицы А на одну из последних матриц получается матрица, у которой все столбцы, за исключением одного, равны нулю:1. АГ,=0 «12 0 00 ап 0 00 аЪ2 0 00 а42 0 00.7)