Вопросы квантовой механики и термодинамики энионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

гв од

5 ДПР 1В&3:дишшый институт ядерных исследования

На правах рукописи УДК 530.145

МАШКЕВИЧ Стефан Владимирович

ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ ЭНИОНОВ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна - 1993

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Н.Н.Боголюбов

АН Украины

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Г.М.Зиновьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Андрианов

доктор физико-математических наук, профессор А.Т.Филиппов

Ведущее научно-исследовательское учреждение:

Украинский научный центр Харьковский физико-технический институт, г.Харьков

Защита состоится 1993 г. в _ча0.

на заседании Специализированного совета К 047.01.01 при Объединенном Институте ядерных исследований.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан ■М-и^^о^ 1993 г.

Ученый секретарь совета

А.Е.Дорохов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСЖА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие квантовой статистики является одним из основных и принципиальных в квантовой теории. Квантовый способ описания систем тождественных частиц принципиально отличается от классического, и учет эффектов квантовой статистики в таких системах необходим фактически во всех тех случаях, в которых играют роль квантовые эффекты вообще.

Из общих принципов следует возможность ровно двух видов статистики - бозевской и фермиевской, что полностью согласуется с опытом. Вместе с тем в двух измерениях топологические свойства пространства допускают существование промежуточной статистики, непрерывно интерполирующей между бозевской и фермиевской. Такая статистика характеризуется статистическим параметром О - вещественным числом; частицы, подчиняющиеся промежуточной статистике, были названы анионами.

Изучение двумерных систем в последнее время вызывает песьма значительный интерес в связи с наличием в природе ситуаций, в которых двумерность играет существенную роль, и с возможностью проявления в этих ситуациях качественно новых эффектов, связанных с пониженной размерностью. Имеется экспериментально наблюдаемое явление, о котором можно с достаточной уверенностью говорить как о проявлении промежуточной статистики - квантовый эффект Холла. Чрезвычайно интересной и актуальной областью, где считается возможным проявление промежуточной статистики, является высокотемпературная сверхпроводимость. Такая возможность связана с тем, что, как было установлено, эта сверхпроводимость имеет существенно двумерный характер.

Промежуточная статистика возникает также в (2+1)-мерных топологических полевых моделях для частиц, взаимодействующих с калибровочным полем, лагранжиан которого представляет собой так называемый член Черна-Саймонса. Данный член может быть индуцирован как часть эффективного действия калибровочного поля, взаимодействующего с фер-мионами, и потому может возникать в реальных физических моделях.

Кроме этого, исследование анионов интересно с точки зрения общих принципов квантовой механики. Известно, каковы характеристические свойства бозонов и фермионов, и естественно возникает вопрос о том, каким образом происходит интерполяция между этими предельными случаями. Сказывается, что для промежуточной статистики задача существенно усложняется.

-2В связи со всем вышесказанным изучение систем частиц, подчини ющихся промежуточной статистике, может представлять значительны теоретический и прикладной интерес.

Цель и задачи работы. Цель данной работа состояла в рассмотре нии задачи многих анионов в терминах неоднозначных волновых функций в получении точных выранений для анергий и еолновых функций некото рых состояний, в оценке относительного количества этих состояний их вклада в статистическую сумму, а такасе в развитии общего поняти о статистике, зависящей от расстояния.

В соответствии с указанной целью в работе решались следующие задачи:

- построение неоднозначных волновых функций, удовлетворявши анионным перестановочным условиям; •

- рассмотрение системы N анионов в энионной калибровке, : которой гамильтониан не содержит взаимодействия, а Еолновая функци. неоднозначна;

- точный анализ случая К = 3 и выяснение структуры треханион-ного спектра;

- рассмотрение системы частиц, взаимодействующих с калибровочным полем, лагранжиан которого есть сумма Черн-Саймонсовского слагаемого и слагаемого нетопологической природы (частицы в этом случае подчиняются статистике, зависящей от расстояния).

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит ] том, что в ней впервые

- последовательно рассмотрена задача многих анионов в термина; неоднозначных волновых функций, найден вид таких функций, подчиняющихся перестановочным условиям, накладываемым промежуточной статистикой, и в этом подходе подучены точные решения задачи произвольного числа анионов в потенциале гармонического осциллятора;

- проведен точный анализ спектра трех знионов, получены формулы, определяющие кратности вырождения всех состояний и показано, чтс "хорошие" (найденные точно) состояния составляют одну треть общегс количества;

- выполнена оценка числа "хороших" состояний для произвольной числа анионов и показано, что эти состояния не дают вклада в термодинамическом пределе;

- развито понятие о статистике, зависящей от расстояния, проанализированы общие свойства частиц, подчиняющихся такой отатиотике,

получена формула для второго вириального коэффициента газа таких частиц;

- качественно рассмотрена задача о частицах с зависящей от расстояния статистикой при низких температурах и сделаны некоторые общие еыводы относительно их поведения; проанализирован частный случай Максвелл-Черн-Саймонсовских энионов.

Практическая и научная ценность работы определяется тем, что развитый в работе подход к решению задач многих энионов с использованием неоднозначных волновых функций представляется полезным при исследовании не найденных точно "плохих" состояний, для которого стандартный анзац Лафлина не дает практически никаких упрощений; такое исследование актуально в связи с тем, что, как показано в работе, "хорошие" состояния не дают вклада в термодинамическом пределе. Выполненный в диссертации анализ свойств частиц с зависящей от расстояния статистикой моает быть использован для дальнейшего исследования систем таких частиц. Рассмотрение задач о частицах с промежуточной статистикой и статистикой, зависящей от расстоянии, представляет интерес с точки зрения возможной реализации в топологических полевых моделях и физике твердого тела.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Проведенное рассмотрение задачи многих энионов с использованием неоднозначных волновых функций позволяет получить выражения для энергий и волновых функций некоторых ("хороших") состояний, а также может быть применено для исследования остальных ("плохих") состояний, точные выражения для которых неизвестны; показано, что "хорошие" состояния не дают вклада в термодинамический предел.

2. Проведенный анализ спектра трех энионов приводит к точным выражениям для кратностей вырождения всех состояний этого спектра, дает точное соотношение между числом "хороших" и "плохих" состояний, а также позволяет сделать некоторые выводы о поведении третьего вириального коэффициента.

3. Рассмотрение частиц, взаимодействующих с калибровочным полем, в лагранжиан которого входит "стандартное" слагаемое и член Черна-Саймонса, приводит к общему понятию о статистике, зависящей от расстояния; частным случаем частиц, подчиняющихся такой статистике, являются Максвелл-Черн-Саймонсовские энионы.

4. Второй вириальный коэффициент газа частиц с зависящей от расстояния статистикой существенно зависит от соотношения между те-

—А—

пловой длиной волны и длиной взаимодействия; при предельных соотношениях он стремится к двум различным значениям, соответствующим идеальным анионам. При низких температурах и определенных соотношениях между параметрами возможен ван-дер-Ваальсовский фазовый переход.

Апробация работы. Материалы диссертации были долокены и обсуждались на: Международной конференции "Адронная материя в экстремальных условиях" (Одесса. 1991), Международном ссмииарс "Кварки-92" <Звенигород, 1992), Международной конференции "Современные проблемы квантовой теории поля, струн, квантовой гравитации" "(Киев, 1992), Международной школе НАТО "Релятивистсткие ядерные столкновения" (Иль Чокко, Италия, 1992).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 6 научных работах, перечень которцх приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 125 страницах текста. Она содержит 10 рисунков и список литературы из 74 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРШ/Е РАБОТЫ

Во введении приведено описание различных моделей, в которых возникает промежуточная статистика, и систем, в которых имеют место эффекты, тем или иным образом связанные с такой статистикой. Описываются общие свойства задач анионов и подчеркиваются их принципиальные сложности по сравнению с задачами бозонов и фермионов.

Первая глава, являющаяся по существу обзорной, посвящена обоснованию принципиальной возможности появления промежуточной статистики и описанию конкретных механизмов ее возникновения. В ней такие вводится понятие о статистике, зависящей от расстояния.

§ 1.1 представляет собой подробное рассмотрение вопроса, являющегося, с точки зрения общих принципов квантовой механики, основным в понимании природы и общих свойств промежуточной статистики: почему, в каких случаях и каким образом необходимо уточнять стандартное рассуждение, приводящее к выводу о возможном существовании в природе лишь двух видов статистики - бозевской и фермиевской?

Основные моменты этого рассуждения таковы: во-первых, при перестановке любых двух частиц, ввиду их тождественности, водновая функция может изменяться лишь на глобальный фазовый множитель; во-вторых, поскольку две перестановки восстанавливают начальное положе-

ме частиц, то квадрат этого мнонителя должен равняться единице, что I дает ровно две возможности. Такое рассмотрение, однако, на язля-гтся строгим. Для системы многих частиц необходимо вводить понятие конфигурационного пространства, точки которого характеризуются мно-сеством координат частиц {г1 ?м> , причем eciи частицы тоас-

цественны, то множество неупорядоченное, т.е. при замене г, г. точка остается той не. Волновая функция задается именно на конфигу-иционном пространстве и при этом является, вообще говоря, неодно-¡начной (иначе была бы возможна только бозевская статистика). Огра-1ичения яе на ее свойства связаны с топологической структурой пространства. Если провести в нем непрерывный замкнутый путь, дающий ¡клад б амплитуду перехода И * И , где й - некоторая конфигурация, I обойти его, требуя непрерывности изменения волновой функции при >бходе, то по возвращении в начальную точку волновая функция ока-сется, вообще говоря, домысленной на некоторый фазовый мнояитель. Априорных требований на множители два: групповое свойство и одинако-юсть для путей, принадлеаащих одному гомотопическому классу, т.е. ¡епрерывно деформируемых друг в друга. Рассматривая конфигурационное фостранство системы двух частиц, приходим к следующим выводам. Для ■рехмерного пространства существует ровно два класса путей: пути, финадлехащие первому (второму) классам, могут (не могут) быть не-ферывно деформированы в точку. Фазовый мнояитель для путей второго :ласса, соответствующих, на классическом языке, нечетному числу [ерестановок, мохет равняться либо плюс единице, либо минус единице. ! то хе время для двумерного пространства гомотопических классов ¡четное множество, и никаких ограничений на фазовый множитель, кроме •руппового свойства, не существует; однократной перестановке моает юответствовать фазовый мноэситель ехр[ гчс5] , где статистический мрадетр С - любое вещественное число. На самом деле достаточно «осматривать случай б € [0,1] . В частных случаях в-0 и 0-1 [меем, соответственно, бозоны и фермионы.

Поскольку реальный мир трехмерен, то частицы с внутренне присуди энионной статистике существовать не могут. Такая статистика юхет лишь эффективно возникать за счет некоторого взаимодействия. )писанию модели, в которой имеет место такое взаимодействие, посвя-1ен §• 1.2. Рассматривается "зарядо-потоковый композит", т.е. заряд ! , жестко скрепленный с соленоидом, ориентированным вдоль оси г и [есущим магнитный поток Ф , причем вне соленоида магнитное поле явно нулю. Коль скоро от координаты г ничего не. зависит, задача

-е-

является элективно двумерной; в плоскости ху имеем заряды, скрепленные с "точками потока". Пусть имеется два таких композита. Посчитанная классически, сила их взаимодействия равна нулю, если не считать кулоновской силы, которую можно сделать достаточно малой и которой мы не будем интересоваться. Однако при их взаимном перемещении волновая функция приобретает фазу, которая на квантовом уровне существенно сказывается на поведении системы (эффект Ааронова-Бома). В частности, при перестановке получаем фазу ехрЦий] , где О = еФ/21с . Подбирая значения е и Ф , получим промежуточную статистику с любым наперед заданным С .

Более точная формулировка выглядит следующим образом. Задача об Н тождественных композитах (в дальнейшем для простоты говорим о частицах) есть задача об N бозонах (фермионах), взаимодействующих посредством электромагнитного потенциала определенного вида. При этом волновая функция долзша, как обычно, быть (анти)симметричной по отношению к перестановкам. Вместе с тем, в связи с вышесказанным, потенциал представляет собой чистую калибровку, т.е. мояет быть сведен к пулю (везде, кроме являющихся сингулярностями точек располояе-ния частиц) посредством калибровочного преобразования. Преобразованный гамильтониан характеризует невзаимодействующие частицы, и в то хе врег. т фаза волновой функции изменяется такии образом, что новая функция удовлетворяет перестановочным условиям

Р^в = ехр[{ий]в , 1 < < N , 3 < Ъ , (1)

означающим эффективное появление промежуточной статистики. Здесь под следует понимать операцию перестановки 7-й и Ь-й частиц против часовой стрелки.

О первом варианте обычно говорят как о регулярной калибровке, о втором - как об анионной калибровке. Таким образом, задача о невзаимодействующих анионах эквивалентна задаче о взаимодействующих специальным образом бозонах (фермионах).

В § 1.3 описан стандартный путь возникновения промежуточной статистики в (2+1)-мерных теоретико-полевых моделях. Рассматривается сохраняющийся ток , взаимодействующий о калибровочным полем

А'' , лаграняиан которого есть так называемый член Черна-Саймонса, или топологический член:

* = ¡ае^Хд^ - АХ

(2)

Член Черна-Саймонса возникает в эффективном действии длл калибровочного поля после интегрирования по фермионным степеням свободы в (2+1)-мерной модели калибровочного поля, взаимодействующего с ферми-онами. Имея это в виду, в нашем рассмотрении считаем его заданным "руками". Б модели (2) заряды и токи, по сравнению с обычной электродинамикой, "меняются местами": заряды производят магнитное поле, токи - электрическое поле. В частности, магнитное поле пропорционально плотности заряда. Поэтому точечный заряд становится источником сингулярного магнитного поля, подобного полю описанного выше бесконечно тонкого соленоида. В некотором смысле сам заряд играет роль "зарядо-ггатокоЕого композита" (причем кулоновское взаимодействие здесь отсутствует). Частицы эффективно становятся анионами со статистическим параметром О = ае + е2/2ш , где зс описывает статистику "голых" частиц: х = О для бозонов и х = 1 для фермионов.

В § 1.4 описывается ситуация, в которой возникает так называемая статистика, зависящая от расстояния. Она имеет место для час-т::ц. взаимодействующих с калибровочным полем, лагранжиан которого содержит Черн-Саймонсовское слагаемое и "стандартное" слагаемое нетопологической природы. В этом случае заряды по-прежнему являются источниками магнитного поля, однако это поле не является сингулярным, а имеет некоторый характерный радиус затухания, так что частица окрухена "облаком" магнитного поля. Поведение частиц различно в зависимости от того, насколько сильно перекрываются их облака, и сводится к поведению обычных, "идеальных" знионов в предельных случаях отсутствия перекрытия и полного перекрытия, причем статистический параметр для этих двух случаев имеет различные значения. Именно в этом смысле говорят о статистике, зависящей от расстояния.

Во второй главе обсуждается задача многих энионов. В 5 2.1 рассматривается формулировка этой задачи и ее отличительные свойства. Как и для бозонов или фермионов, требуется найти те решения уравнения Шредингера X® = Е® , которые удовлетворяют перестановочным условиям вида (1). В качестве Я выбран гамильтониан системы невзаимодействующих осцилляторов. Одночастичный спектр в этом случае прост, и решение задачи многих бозонов или фермионов не представляет принципиальных трудностей. Энионный случай, однако, существенно сложнее.

Неоднозначность волновых функций означает, что писать ®(?1,...,?м) , строго говоря, лишено смысла: задание положений частиц фиксирует лишь амплитуду Ф , но не ее фазу. Последняя зависит от фаз всех комплексных чисел г г (г^-гк)//!Г , где

г^ а + , изменяясь при изменении любой из этих фаз на 2^ Чтобы ® подчинялась перестановочным условиям вида (1), в ней должны фигурировать множители Еида . При дробном 0 такое выражение не монет быть универсальным образом разложено в ряд по г^ I 2а ; поэтому для знионов отсутствует понятие одночастичных волновы; функций, и задача изначально является существенно многочастичной. Это согласуется с тем, что эниойы эквивалентны взаимодействуют« бозонам или фермионам: хотя на классическом уровне сила равна нулю, взаимодействие, как и обычно, "завязывает" волновые функции частиц.

В 5 2.2 рассматривается вопрос о построении волновых функций, удовлетворяющих анионным перестановочным условиям. Имеет место равенство = ехр[ а-Ъ) . Поэтому волновая функция ищется в виде линейной комбинации произведений степенных функциЕ и . Определяется, как действует на произвольную функции этого вида. Результатом является другая функция такого же вида, умноженная на некоторый фазовый множитель. Искомая линейная комбинация должна содержать в качестве слагаемых все функции, получаемые действием произвольного числа операторов Р^ с различными ./ , & , а ее перестановочные свойства при этом определяются коэффициентами при различных слагаемых и вышеупомянутыми фазовыми множителями. Условия (1) выполняются при определенных соотношениях между показателями степеней для линейных комбинаций, имеющих вид, аналогичный обычным симметричным и антисимметричным функциям.

Коль скоро в волновые функции входят разности комплексных координат, задачу целесообразно переформулировать с использованием этих разностей в качестве независимых переменных. Такой формулировке посвящен 5 2.3. В качестве независимых используются кординаты г^^ , 3 = 2,..., плюс координата центра масс. Движение последнего полностью отделяется, а задача об относительном движении представляет собой задачу об Н-1 попарно взаимодействующих "относительных осцилляторах". Вместе с тем действие гамильтониана на степенную волновую функцию оказывается сравнительно простым. Результат состоит из "хорошей" части, представляющей собой исходную функцию, умноженную на некоторый коэффициент, и "хвоста" в виде линейной комбинации нескольких функций также степенного вида, но с другими показателями. Задача сводится к построению таких линейных комбинаций функций указанного вида, для которых Есе "хвосты" взаимно уничтожаются.

Рассмотрение такой задачи проводится в § 2.4. Вначале указываются два простых случая, в которых "хвосты" тождественно обращаются

-9в ну.^ь. Зависимость энергии от б в этих двух случаях имеет вид

£1 = Ев+Ж|=11о . Ег = Ев-Ж^11б . (3)

где Ев - энергия при 6 = 0 (т.е. при бозевской статистике). Затем офсухдается более общий случай. Строится функция, записываемая в виде ряда, которая удовлетворяет и уравнению Шредингера, и перестановочным условиям. Накладывается требование отсутствия сингулярно-стей, которое может удовлетворяться в случае, когда ряд содержит конечное число членов. При этом естественным образом возникает два класса состояний, для краткости называемых "хорошими", причем зависимость энергии от б для этих классов имеет вид (3). Оказывается, однако, что при Л > 2 найденными состояниями не исчерпывается весь спектр; в многоэнионной задаче существуют другие ("плохие") состояния, точные выражения для которых при дробном С неизвестны и, по-видимому, не могут быть получены.

Наконец- разработанный нами метод сравнивается с обычно применяющимся для решения энионных задач так называемым акзацем Лафлина. Последний имеет вид

= Д . (4)

где - неоднозначная волновая функция в энионной калибровке. Идея этого анзаца состоит в том, что из условия (1) на ®а следует условие симметричности на Ф^ . Соответствующий задаче о невзаимодействующих анионах гамильтониан, действующий на , содержит двух-

¿4

частичное взаимодействие. Таким образом, задача о нахождении есть задача о взаимодействующих бозонах, которая может решаться более или менее стандартными методами. Этот подход, однако, представляется малополезным для "плохих" состояний. Для "хороших" состояний 1-го класса функция не содержит дробных степеней (того же можно цобиться для состояний 2-го класса, элементарно модифицировав (4)). Удобство этого состоит, разумеется, в том, что может быть разло-!ена по одночастичным функциям, что упрощает решение. Для "плохих" ;остояний, однако, это не имеет места. Коль скоро содержит дроб-ще степени, задача о его нахождении, вообще говоря, не проще, чем задача о нахождении ®а . В нашем подходе дробные степени изначально 1меют место, и в этом смысле он является более универсальным.

Наличие в многоэнионном спектре "плохих" состояний означает,

что задача многих анионов, по-видимому, не допускает полного точной решения. В связи с этим приобретает смысл рассмотрение задач малоп числа анионов, для которых возможен более или менее точный анализ Таким задачам посвящена третья глава. Их решение целесообразно, во-первых, потому, что позволяет хотя бы на простых примерах проследить, каким образом происходит интерполяция между бозонным и ферми-онным спектрами, и во-вторых, так как известно, что если решен: и-частичные задачи с я = 1,...,К , то мохно вычислить вириальнт коэффициенты а^ с з = 2,...,)! , входящие в разложение уравнени состояния по плотности.

Б § 3.1 обсуждаются результаты, полученные к настоящему време ни. Задача двух анионов сводится отделением двияения центра масс одночастичной и для простых потенциалов может быть решена точно. Е решение для гармонического потенциала было получено одновременно ведением понятия промежуточной статистики. Кроме того, было получе но выракение для второго вириального коэффициента знионного газа Била тагаге рассмотрена задача о двух взаимодействующих анионах.

Очень большое внимание было уделено трехчастичной задаче.-Как в общем случае, для трех энионов имеют место "хорошие" состояниг однако здесь появляются такхе "плохие" состояния, для которых зав* симость £(С) нелинейна. Важным свойством этих состояний являете их -симметричность относительно семионной (6=1) точки. На оснс вании этого и общего свойства симметрии "хороших" состояний на> впервые были получены точные выражения для кратностей вырожден! "хороших" и "плохих" состояний и показано, что относительное чис; первых стремится к 1/3 с ростом анергии. Другим следствием упом; нутой симметрии оказывается симметрия третьего вириального коэфф] циента: а3(С) = а3( 1- С) . Ухе для четырехэнионной задачи никак! общих выводов сделать не удается; ни спектр, который устроен сущес ценно сложнее, чем трехчастичный, ни соответственно четвертый вир| альный коэффициент не обладает никакими свойствами симметрии.

Достаточно большое внимание было уделено пертурбативному ра смотрению анионных задач. В регулярной калибровке решается задача взаимодействующих бозонах или фермионах, причем гамильтониан взаим действия пропорционален 7 , где 7 = 0 для бозонов или 7=1 для фермионов. При 7 « 1 его мохно рассматривать как возмущение, рамках пертурбативного подхода были вычислены энергии некотор "плохих" состояний, в частности, основного состояния в трехчастичн задаче, и получены выражения дли вириалышк коэффициентов а2 ,..

а& с точностью до Т2 .

В 5 3.2 рассматривается задача двух энионов в осцилляторном потенциале. В этом случае имеется ровно одна относительная координата, гамильтониан относительного двияения имеет осцилляторный вид, и задача допускает точное решение. Подчеркивается следующее различие между энионной и регулярной калибровками: в первой механический момент импульса и канонический угловой момент имеют одно и то яе дробное значение, во второй - механический момент (который калибро-вочно инвариантен) имеет дробное значение, а канонический момент, как тому и следует быть, целое значение.

Все состояния в двухчастичной задаче являются "хорошими"; точное знание спектра при любом о позволяет вычислить статистическую зумму и второй вириальный коэффициент. Зависимость последнего от О 1ри О < О < 2 дается формулой

аг(б) = 1[1-2(1-б)2] (5)

!д»я простоты с2 определяется без размерного мнояителя X2 ); эта зависимость должна быть периодически продола е. на с периодом 2 и в ¡езультате является непрерывной, но не гладкой: производная 1а0{6)/й& терпит разрыв в точках б = О,±2,... , соответствующи.. Ьзевской статистике. Это связано с тем, что энергия некоторых двух-жионных состояний содержит слагаемые вида |С| . -

В § 3.3 обсуждается структура трехзниокного спектра. Рассматривается следующий вопрос: какие бозонные состояния являются "хороши-!И" состояниями 1-го класса, т.е. какие состояния .с ¿' = ¿'в (тильда »боэначает относительное движение) превращается при увеличении б в »стояние с Е = св + 7 Доказывается, чго таковыми заведомо являйся все состояния с Ь = Е и Ь = В - 2 ( Е = £ - 2 - энергия с «четом нулевых колебаний, Ь - момент), а также отмечается, что

:уществуют такае "хорошие" состояния с Ь = Е - Л , £ - 6..... О.

¡алее рассматривается второй класс "хороших" состояний, для которых ! = Ев-30 . С помощью теории возмущений вблизи фермиевской статисти-:и показывается, что каадому "хорошему" состоянию 1-го класса с Е = в+30 соответствует ровно одно состояние 2-го класса с Е = Ев-+6~30 .

Для "плохих" состояний ранее были проведены численные рачеты, а акже построены аналитические волновые функции, имеющие сравнительно ростую структуру и дающие при подсчете среднего значения оиерпм

результаты, близкие к полученным численно, на основании чего сделан вывод, что эти функции представляют собой хорошие приближения к истинным волновым функциям "плохих" состояний.

В 5 3.4 проводится вычисление кратности вырождения "хороших" и "плохих" состояний. Если обозначить и кратности вырождения п-го уровня в трехчастичном относительном спектре (имеющего энергию п ), соответственно для бозевской и фермиевской статистики, то есть сумма четырех чисел, представляющих собой количества состояний,

N «V

принадлежащих этому уровню, с наклоном (разностью £(1)-£{0) ) 3, 1, -1, -3 . Обозначим эти четыре числа, соответственно, через /г ,

W IV W

г* , г~ , Д~ . Первое и последнее числа соответствуют "хорошим" состояниям, остальные два - "плохим". Чтобы получить выражения для Я* и г* через п , необходимы четыре уравнения для каждого п . Два уравнения выражают "закон сохранения количества состояний" при 6=0

и 5=t (выражения для в„в и разумеется, известны); еще два

можно получить, используя свойства симметрии "хороших" и "плохих" состояний. С помощью этих уравнений определяются искомые величины. Выражения для них имеют вид

Я* = AV + в*п2 + Т*п + А* . Г* = aV + 4 tn + 0* , (6)

п Г* . Л Л Ti n п п 'п п

где А* - числа, зависящие от n mod 6 . Для всех п имеет

место А* = , из чего следует, что в пределе п * а> количество "хороших" состояний составляет 1/3 от полного количества.

В 5 3.5 показывается, что полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы относительно поведения трехчастичной статистической суммы и третьего вириального коэффициента. Прямое вычисление вклада в статистическую сумму "хороших" состояний подтверждает установленный ранее факт независимости соответствующего вклада в третий вириальный коэффициент от О , так что поведение данного коэффициента полностью определяется "плохими" состояниями. Семионная симметрия последних влечет за собой семионную симметрию коэффициента. Никаких других точных выводов сделать не удается - опять-таки из-за неизвестности точного поведения "плохих" состояний.

Далее в этом яе параграфе анализируется следующий вопрос. Согласно вышесказанному, в системе двух энионов все состояния являются "хорошими", тогда как для трех энионов относительное количество "хороших" состояний составляет 1/3 . Чему равно это количество при

юизвольном М и, в частности, как оно ведет себя при Н ■»• ® ?

Провести точный анализ при N > 3 не удается из-за нехватки явнений. Оказывается возможным, однако, выполнить оценку, основан-ю на формуле для второго вириального коэффициента. Зная, чему ран этот коэффициент, легко вычислить с соответствующей точностью отность состояний для системы N анионов. С другой^стороны, зга отность Еыраяается через фермионную плотность и величины ак , где есть относительное число состояний с |£(1)-£(0)| = к . Относи-льное число "хороших" состояний есть а^ , где и = . При-

внивая два выражения для плотности состояний, получаем уравнения я ак , из которых следует, что а^ < 4/Нг . Таким образом, "хоро-з" состояния не дают вклада в термодинамическом пределе.

Четвертая глава посвящена рассмотрению статистики, зависящей от ютояния, имеющей место для частиц, взаимодействующих о калибровым полем, лагранжиан которого, помимо члена Черна-Саймонса, со-эзит "стандартный" член нетопологической природы. Такой член может 5о присутствовать в теории изначально, либо бить генерирован как штовая поправка. Частицы, о которых идет речь, в определенном юле аналогичны рассмотренным выше идеалышм анионам, и- вместе о 1 для них имеют место некоторые специфические черты.

В § 4.1 проводится общее рассмотрение модели частиц, взаимо-¡ствующих с калибровочным полем, лагранжиан которой есть

£ = + - v" • с"

>той модели заряд производит, вообще говоря, как электрическое, и магнитное поле. Первое приводит к квазккулоковскому заряд-ядовому взаимодействию, которое никак не отражается на статистике тиц и в дальнейшем не будет приниматься во внимание <при необхо-ости оно монет быть учтено стандартным образом). Магнитное поле, 'тличие от чисто Черн-Саймонсовского случая, отлично от нуля не ько там, где отлична от нуля плотность заряда. Для точечного за-а в начале координат создаваемый магнитный поток через круг ради-г есть Ф(г) = -2хНг)/в , где А(г) - функция, определяемая соотношения

(8)

Рассматривается задача о двух ча.отицах, взаимодействующих по-

средством указанного калибровочного поля. Угловая часть волновой функции отделяется стандартным образом, и гамильтониан относительного движения для 1-й парциальной волны имеет вид

Pi [1+Л(г)]2 " + —ТЕ»—+ ™ ' (9)

где I - момент, V(r) - механический потенциал взаимодействия. Пр> А(г) = const (что имеет место при = 0 ) этот гамильтониан соответствует идеальным энионам. Поэтому, если Vir) выбран так, чтс расстояние между рассматриваемыми частицами меняется в достаточно узком диапазоне, в котором можно считать ¿(г) е Л = const , то частицы ведут себя подобно Л-энионам (идеальным энионам с ß = Л ). Если изменить диапазон г , то изменится и А , в связи с чем имеет смысл говорить о статистике, зависящей от расстояния.

Подчеркивается существенное отличие частиц с зависящей от расстояния статистикой от идеальных анионов. Для последних, как уже отмечалось, задача может быть сфэрмулирована как задача о невзаимодействующих частицах (хотя взаимодействие и "оставляет следы" в вид? существенно многочастичной волновой функции). Для первых же така; формулировка невозможна. Здесь все время идет речь о взаимодействующих бозонах (фермионах), а характер взаимодействия таков, что npi определенных условиях оно может быть описано как э$>1ективное изменение статистики.

В 5 4.2 рассматривается задача о вычислении второго вириальног< коэффициента газа частиц с зависящей от расстояния статистикой. Система таких частиц характеризуется различными параметрами размерности длины: средним расстоянием между частицами ? , характерно! длиной взаимодействия cZ , а при конечной температуре, кроме того • тепловой длиной волны Д. . При А. < £ применимо вириальное разложение, и отклонение поведения системы от поведения идеального газа i нижайшем порядке определяется вторим вириальным коэффициентом. Точн; вычислить этот коэффициент не удается; вычисление проводится в полу классическом приближении Уленбека и Бета, в котором угловое движени квантуется, а радиальное движение рассматривается классически Результатом является общая формула, которая в предельных случая \/d * О и А/а * <о сводится к формуле (5) для идеальных энионов причем в качестве ö е этих двух случаях фигурируют соответствен» и 00 = Л0 mod 2 ; такие результаты легко объясняются на ochobi простых качественных рассуждений. Вообще говоря, формула, полученна

з полуклассическом приближении, справедлива лишь при Я « й . Тот факт, что в предельном случае А./а * т она также дает верный результат, объясняется, очевидно, тем, что в этом пределе эффект взаимодействия, который учитывается рассматриваемым приближением неточно, сводится к эффекту изменения статистики, который учитывается точно, поскольку точно проводится разложение по парциальным волнам. Таким образом, формула правильно отражает качественное поведение о2 с изменением X .

В § 4.3 проводится качественный анализ свойств частиц с зависящей от расстояния статистикой при низких температурах. Основное внимание уделяется вопросу о поведении основного состояния. На основе простой модельной зависимости Л(г) определяется энергия этого состояния в различных режимах и обсуждается, каким образом происходит интерполяция между этими режимами. В частности, показывается, что при определенных соотношениях между параметрами возможна ситуа-дия, в которой давление уменьшается при уменьшении площади. Соответствующие состояния являются неустойчивыми, и диапазон таких состояний интерпретируется как область фазового перехода, подобного происходящему в газе ван-дер-Ваальса.

В § 4.4 рассматривается частный случай частиц, подчиняющихся зависящей от расстояния статистике - Максвелл-Черн-Саймонсовскил знионов. Приводится явное выражение для функции А(г) и обсуждается доведение таких частиц при различных соотношениях параметров. Общие выводы остаются справедливыми для этого случая; кроме того, прослеживается форма потенциала взаимодействия в различных режимах. Дается численная оценка значений параметров, при которых возможен ван-дер-Ваальсовский фазовый переход.

В заключении формулируются основные результаты работы.

1. Впервые последовательно рассмотрена задача многих энионов в энионной калибровке, в которой волновая функция неоднозначна, и найден общий вид такой функции, удовлетворяющей анионным перестановочным условиям. Преимущество такого метода рассмотрения состоит в том, что он не требует упрощений, на которых основаны имеющиеся рассмотрения задачи в регулярной калибровке, но которые возникают лишь в частном случае.

2. В рамках разработанного метода получены точные решения задачи многих энионов; энергия соответствующих состояний линейно зависит эт статистического параметра. Впервые показано, что относительное количество таких состояний убывает с ростом числа частиц не медлен-

нее, чем обратно пропорционально квадрату этого числа,

3. В задаче трех энионов впервые получены точные выражения д кратностей вырождения энионного спектра. Показано, что состояний линейной зависимостью энергии от статистического параметра вдв меньше, чем состояний с нелинейной зависимостью (не найденн точно). •

4. Развито понятие о статистике, зависящей от расстояния. Пр анализирован представляющий интерес с точки зрения возможного ос ществления в реальных физических системах частный случай возникное ния такой статистики - случай Максвелл-Черн-Саймонсовских энионоз.

5. Впервые получена формула для второго вириального коэффиц ента газа частиц, подчиняющихся зависящей от расстояния статистою и показано, что при предельных соотношениях тепловой длины волны длины взаимодействия она сводится к формуле для идеальных энионов различными значениями статистического параметра в зависимости < того, которая из длин больше. Кроме того, качественно проаналйзир< вано низкотемпературное поведение таких частиц и показано, что во: можна ситуация, подобная фазовому переходу в газе ван-дер-Ваальса.

ЖЕРАТУРА

1. Mashkevich S.V. Exact solutions of a many-anyon problem. Preprint, Institute for Theoretical Physics, Kiev, ITP-91-106E (1991), 28 p.

2. Mashkevich S.V. Exact solutions of a many-anyon problem. Int.J.Kod.Phys. A7 (1992), No.32, p.7931-7942.

3. Mashkevich S.V. Towards the exact spectrum of the three-anyon problem. Phys.Lett. 3295 (1992) Wo.2, p.233-236.

A. Mashkevich S.V. Precise analysis of the three-anyon

spectrum. Preprint, Institute for Theoretical Physics, Kiev

ITP-92-48E (1992), 17 p.

5- Mashkevich S.V., Sato H., Zinovjev G.M. The two-body

problem for Maxwell-Chern-Simons anyons. Preprint, University of Bielefeld, BI-TP 92/46 (1992), 10 p.

6. Mashkevich S.V. Quantum mechanics and thermodynamics of particles with distance dependent statistics. Preprint, Institute for Theoretical Physics, Xiev, ITP-93-5 (1991), 12 p.

Стефан Володимирович Машкевич

Питания квантово! механ!ки та термодинам!ки ен!он!в

Зам. Формат 60x84/16. Обл.-вид. арк. 0,93

ГИдписано до друку 01.03.93 . Тираж 100.

Пол1граф1ч:ш д!льниця 1ТФ 1м.М.М.Боголюбова АН Укра1ни