Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Магомед-Касумов Магомедрасул Грозбекович

ВОПРОСЫ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ и СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ СУММ ФУРЬЕ И ИХ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ ПО НЕКОТОРЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ

01.01.01 — «Вещественный, комплексный и функциональный

анализ»

Автореферат 2 3 СЕН 2015

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2015

005562454

Работа выполнена в

ФГБУН «Дагестанский научный центр Российской академии наук» в Отделе математики и информатики, г. Махачкала

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шарапудинов Идрис Идрисович

Официальные оппоненты: Дьяченко Михаил Иванович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа Московского государственного университета им. М.ВЛомоносова и

Вакулов Борис Григорьевич кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений

ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

университет имени Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится 6 октября 2015 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Милъчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке им. Ю.А. Жданова при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 21-ж) и в сети интернет по адресу http://hub.sfedu.ru/diss/announcement/ 7cb90672-7c69-4d8e-8a21-8eelee849beb/. Автореферат разослан «¿/» ©3 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.29

fif^ Кряквин В.Д.

Общая характеристика работы

В данной диссертации можно выделить два направления. Первое направление посвящено исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по системе Хаара в весовых и безвесовых пространствах Лебега с переменным показателем (гаава 1). Второе направление включает в себя исследование особенностей поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара для разрывных функций, а также содержит некоторые вопросы, связанные с локальными аппроксимативными свойствами средних Валле-Пуссена по тригонометрической системе для кусочно гладких функций (глава 2).

Актуальность. Рассмотрим первое направление (глава 1). В последние годы стремительными темпами растет число работ, так или иначе связанных с пространствами Лебега с переменным показателем (см. монографии L. Diening, P. Haijulehto, Р. Hásto; И.И. Шарапуцииова; D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, М. Ruzhansky и приведенные там списки литературы). Данные пространства естественным образом возникают в многомерном вариационном исчислении (Q. Zhang, Z. Qiu, X. Liu, В.В. Жиков), в теории дифференциальных и интегральных уравнений (L. Diening), в теории и приложениях по обработке сигналов и в ряде других областей. Поэтому изучение и развитие теории этих пространств не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.

Первое систематическое исследование топологии этих пространств было дано в работе И.И. Шарапудинова (1979). В частности, в ней было показано, что если 1 < р{Е) < р(Е) < оо *, то топология пространства LP^X\E) нормируема и одну из эквивалентных норм можно определить, полагая для / 6 1$х\Е)

В настоящее время имеется большое количество других работ, в которых детально рассмотрены эти пространства и их свойства. Более подробную историческую справку по становлению теории этих пространств можно найти в упомянутых работах.

В последнее время активно развивается теория приближений в пространствах Лебега с переменным показателем (Ь. Р. НацикЫо, Р. НюЮ; И.И. Шарапудинова; Б. Сгиг-ипЬе, А. Рюгепга, М. ИигЬашку). Наиболее важные результаты, полученные в этих работах, связаны с так называемым условием

"Здесь и далее символами р(М), р{М) будем обозначать еээ ¡о£ р(:г) и езззирр(х) соответственно

Е

Дини - Лицшица

|р(х) - p(w)| ¡ln í—L-^i < с (1)

I i* У i >

которое впервые в контексте пространств Лебега с переменным показателем появилось в работе И.И. Шарапудинова (1986). Среди основополагающих результатов, полученных в этом направлении, можно отметить следующие: базисность системы Хаара (И.И. Шарапудинов, 1986), ограниченность максимальной функции Харди - Литтдвуда (L. Diening, Р. Haijulehto, Р. Hasto, A. Nekvinda, D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, C.J. Neugebauer), базисность тригонометрической системы (И.И. Шарапудинов, 2007). базисность системы нормированных полиномов Ле-жандра (И.И. Шарапудинов, 2009) и др. В связи с тематикой диссертации особый интерес для нас представляют результаты, которые связаны с системой Хаара. Остановимся более подробно на некоторых из них.

В статье И.И. Шарапудинова было показано, что система Хаара является базисом в V^ — LP(X\E), Е — [0,1], тогда и только тогда, когда переменный показатель р{х), 1 < р{Е) < р(Е) < оо, удовлетворяет условию Дини - Липшица. Эта статья появилась в 1986 г. Однако до последнего времени вопрос о скорости сходимости сумм Фурье - Хаара в метрике пространства Lp"-X' оставался открытым. Этот пробел был устранен совсем недавно в работе И.И. Шарапудинова (2014), в которой доказано, что если переменный показатель р(х) удовлетворяет условию (1), то для сумм Фурье - Хаара Qn(f) имеет место аналог первой теоремы Джексона вида ¡¡/ - Qn(/)|¡P() < с(р)П(/, ~)р( ), ще íí(/, - модуль непрерывности в определенный с помощью функций Сгеклова.

В той же работе исследована задача об оценке отклонения сумм Фурье - Хаара от функций f{x) € W^.). где W^ - пространство Соболева с переменным показателем р{х), и доказано, что ||/ - Qn(f)\\p( ) < ^||/'||Р()-

Целью главы 1 данной работы является перенос некоторых упомянутых выше результатов, полученных для системы Хаара, на многомерные и весовые пространства Лебега.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Обобщение на весовые пространства ряда свойств и утверждений, полученных для безвесовых пространств Лебега с переменным показателем.

2. При построении рядов Фурье - Хаара для функции f(x) € L^f^ =

]J¡aX\[Q, lj) приходится ВЫЧИСЛЯТЬ коэффициенты Cfc = f f(x)xk{x)dx.

о

Для того чтобы эти коэффициенты были конечны, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была суммируемой. В связи с этим появляется требование

о вложенности iffl С L1, и возникает задача исследования условий на вес w(x), при которых упомянутое вложение будет выполнено.

3. Выше мы говорили об исследовании условий, при которых возможно построение рядов Фурье - Хаара для произвольной функции / е Ь^. Естественным развитием этого" исследования является вопрос о сходимости рядов Фурье - Хаара в метрике к соответствующей функции, т.е. возникает задача поиска условий на показатель р(х) и вес ги(х), при которых система Хаара будет базисом

4. После того, как будут найдены условия, обеспечивающие базисность системы Хаара в Ь^х>, встанет вполне закономерный вопрос о том, с какой скоростью ряды по указанной системе сходятся к самой функции. Таким образом, появляется задача о получении аналогов первой теоремы Джексона для сумм Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.

Перейдем теперь к рассмотрению второго направления (глава 2). Как было отмечено в самом начале, оно включает в себя две задачи.

Первая задача связана с вопросами поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара

Подобные задачи рассматривались многими авторакш (см., например, работы Б.И. Голубова, ПЛ. Ульянова и цитированную там литературу). В частности, сначала Г. Фабер (1910), а затем ПЛ. Ульянов (1963) показали, что для функций ограниченной вариации суммы Фурье - Хаара (2) обладают следующими свойствами:

1°. Суммы (2) сходятся во всех точках непрерывности функции

2°. Суммы (2) сходятся во всех двоично-рациональных точках.

3°. Суммы (2) существенно расходятся в каждой двоично-иррациональной точке разрыва функции /(¿).

При проведении практических экспериментов по приближению разрывных функций суммами Фурье - Хаара было обнаружено, что если двоично-иррациональная точка разрыва является рациональной, то последовательность частичных сумм Фурье - Хаара в данной точке принимает относительно простой вид.

i

о

(2)

Целью 1 главы 2 является более детальное исследование поведения сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

Перейдем к рассмотрению второй задачи главы 2. Пусть f{x) - суммируемая 2тг-периодическая функция. Для каждой такой функции можно определить частичную сумму Фурье порядка п:

п

Ш х) — + "¿Z ак cos кх + bk sin кх, к=i

J 2.т J 2тг

где ак = - J f(t) cos ktdt, bk = - / f(t) sin ktdt.

0 7!" 0

Суммы Валле-Пуссена представляют собой усеченные средние арифметические частичных сумм Фурье:

^ т—1

Vm(f, = Sn+k(f> х)> ГС > 0,771 > 1.

171 к—О

Аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена в равномерной метрике для некоторых классов непрерывных и гладких функций рассматривались многими авторами (С.М. Никольский, С.А. Теляковский, A.B. Ефимов, A.A. Захаров, Е.Ю. Овсий, A.C. Сердюк). В интегральной метрике исследования подобного рода можно найти, например, в статьях С.П. Байбородова (1980), И.И. Ша-рапудинова (2012). Однако вопросы локальных аппроксимативных свойств сумм Валле-Пуссена на классах кусочно гладких функций до последнего времени оставались малоизученными.

Целью 2 главы 2 является исследование скорости приближения кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдены необходимые и достаточные условия базисности двумерной системы Хаара {Хп,т(х,У)} в пространстве Лебега //^'"'([О, I]2) с переменным показателем р(х, у).

2. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега ЬшХ\ Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес ги(х), при которых система Хаара образует базис В 1'^хц \

3. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега Ь^ и Соболева суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (3).

4. Рассмотрены условия ВЛОЖСННОСТИ С Ь1. Получены достаточные условия на вес, при вьшолнении юторых указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва.

6. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена

х). на классах кусочно гладких функций /(х). Получепа оценка скорости стремления величины х) — /(х)| к нулю для таких функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, на наш взгляд, представляют интерес для научного сообщества, поскольку вносят определенный вклад в развитие бурно развивающейся теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем, а также в развитие теории тригонометрических рядов Фурье. Стоит отметить к тому же, что результаты данной работы могут найти прямое применение в практических вопросах, таких, как обработка, сжатие и хранение цифровых сигналов (изображений, звука, видео).

Степень достоверности. Основные результаты вместе со строгими математическими доказательствами опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов по данной тематике.

Апробация работы. Результаты данной диссертационной работы докладывались на конференциях:

• Международная научная конференция «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.),

• VI Региональная научно-практическая конференция «Информационные технологии: математические аспекты» (Даганформ-2011) (Махачкала, 26 ноября 2011 г.),

• 16-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2012 года, статус -международная),

• 8-я Региональная школа-конференция молодых ученых «Владикавказская молодежная математическая школа» (г. Владикавказ, 16-21 июля 2012 года),

• Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.),

• 17-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения (г. Саратов, 27 января - 3 февраля 2014 года, статус -международная),

а также на научных семшгарах Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН.

Публикации и личный вклад. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [1-12], 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1-5], 7 — в тезисах и материалах конференций [6-12].

Доказательство всех результатов, выносимых на защиту, выполнено автором самостоятельно. Постановка задач и выбор методов исследования принадлежат И.И. Шарапудинову. Исключение составляет задача 4 (см. выше Основные положения, выносимые на защиту), постановка и выбор методов решения которой принадлежат автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц. Список литературы содержит 53 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Глава 1 посвящена некоторым вопросам теории приближений суммами Фурье - Хаара в весовых и многомерных пространствах Лебега с переменным показателем. В §1.1 приводятся общие сведения и вспомогательные утверждения, связанные с системой Хаара, безвесовыми и весовыми пространствами Лебега. Особенно важными для дальнейшего изложения являются результаты пункта §1.1.4. Остановимся на них более подробно.

Условимся прежде о некоторых обозначениях. Символом Т[Е) обозначим множество измеримых на множестве Е функций р{х), удовлетворяющих

8

условию 1 < р(Е) < р(Е) < 00. Множество тех р(х) из Т{Е), которые удовлетворяют дополнительному ограничению 1 < р{Е), будем обозначать с помощью V(E). Через Vlog{E) обозначим множество р(х) g 'Р(Е), удовлетворяющих условию Дини - Липшица (1). Если речь идет о множестве Е = [0,1], то мы будем опускать скобки с обозначением множества. Через с, с(р), c(jj. w) будут обозначаться константы, зависящие лишь от величин в скобках и, вообще говоря, различные в разных местах.

Как уже было отмечено выше, для построения рядов Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега необходимо и достаточно, чтобы имело место вхождение 1&х) С L1.

Замечание. Далее для нормированных пространств X uY будут использоваться термины вхождение и вложение. Говоря вхождение, мы будем подразумевать включение X С Y как операцию над множествами. Под вложением мы понимаем вхождение X С Y, при котором для любого х в X выполняется неравенство !N|r < c|HU> где с не зависит от х.

В §1.1.4 проведено исследование условий на вес w(x), при которых будет выполнено вложение £„(xl в L1, и получены достаточные условия этого вложения. Приведем тут основной результат. Пусть ПР(.)(Е) - множество весовых функций, удовлетворяющих условиям (Ei = {а;: р(х) = 1 },Е2 = Е \ Ех):

(HI) w(x) > Cxiw) > 0, п.в.),

(Н2) ||u»-^||^(.)(£li)<oo.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Если w{x) б Hpi.)(E). р(х) е Р(Е) то имеет место вложение причем

Данная теорема дает достаточные условия вложения. Однако можно утверждать, что эти условия близки к необходимым. Эта уверенность проистекает, во-первых, из леммы 1.1, в которой показано, что условие (HI) является необходимым для вложения, и во-вторых, из теоремы 1.2.

Лемма 1.1. Функция / е L$'\e) будет суммируемой на Е{ в том и только в том случае, если вес отграничен от нуля почти всюду на Е±:

w(x) > сi(w) > 0 для почти всех х 6 Еу.

Теорема 1.2. Пусть Е - произвольное множество с конечной мерой Лебега и заданными на нём показателем р(х) е V{E) и весом w{x). Для того чтобы имело место вхождение

Ц}*\Е) С L\E),

необходимо, чтобы iv{x)al^ 6 Ll{E) для любой измеримой функции а{х), которая при некотором е > О почти всюду на Е удовлетворяет условию

—т-^—~+е<а{х) < 1. р(ж) - 1

Замечание. Если в приведенном выше условии взять е = 0, то из него будет следовать условие (Н2).

В том же параграфе показано, что условия (HI), (Н2) при всем внешнем их различии на самом деле тесно связаны: условие (HI) является предельным случаем при р 1 условия (Н2).

Далее исследуются некоторые свойства классов НР(.){Е). В частности, показано, как связаны между собой классы НР(.){Е) при различных показателях р{х).

Теорема 1.3. Если

1 < р{х) < q{x),

(включая и случай esssupp(:r) = со), то Ир(.){Е) С Hq(.)(E). Е

Проверка условия (Н2) для весовой функции w(x) может быть затруднительной. В частных случаях удается получить более простые условия, которые позволяют судить об их принадлежности классу

Утверждение 1.14. Если существенная нижняя грань весовой функции w(x) строго больше нуля на рассматриваемом множестве Е:

ess inf w(x) > О, Е

то w(x) е 7ip(.){E).

Основной интерес представляет случай, кода ess^inf w{x) = 0. Для постоянного показателя нам удалось получить следующие результаты.

Утверждение 1.15. Пусть w(x) - непрерывная весовая функция, положительная всюду на множестве Е = [а, Ь] за исключением одной точки х0 6 [а, 6], в которой она принимает нулевое значение. Если w(x) ~ \х - xQ\d, х х0, то

10

• №(» е Пр^Е) при р >/3 + 1;

• w(x) £ Пр(.){Е) при \<р<В + 1.

Утверждение 1.16. Если заданная на множестве Е = [a, b] функция w(x) пред-

ставима в виде w(x) = cf\\x - А > 0, хг / xj при i ф j, то i=i

• w(x) е ПР{.)(Е) при р > max {ft} + 1;

• w(x) g Hp^E) npu\<p< max{/3;} + 1.

Для исследования вопросов приближения функций из весовых пространств Лебега Ь''}1- суммами Фурье - Хаара потребовалось также ввести класс весов Лр(.)(е), состоящий из функций w(x), удовлетворяющих условиям

(Л1) sup т^т j w(x)dx < c(p, w), 565я(6)Р!У

(Л2) sd\Z (в) (w\Iw(x)dx) (м / <

s S

где © - система множеств, а Зр(6) подсистема ©, состоящая го множеств S, для которых p(S) = 1: 5Р(6) = {5 € © : p(S) = 1}. В дальнейшем мы будем рассматривать ЛР(.)(©) для следующих двух систем множеств:

1) ®„ - множество всех двоичных интервалов Л', из пачек с номерами j > v

= {Aj : j > = 1,... 12J}, =

2) £>!, - множество спаренных двоичных интервалов Aj из пачек с номерами j > "

S>„ = {Д} U Д}+1 : j >»/,: = 1,..., 2J' - 1}.

В §12 найдены условия на вес, при которых система Хаара образует базис в Lw = 1-2, ([0,1]).

Теорема 1.4. Пусть р(х) е V!os, w{x) е Щ.у Тогда система Хаара будет базисам пространства L$x\ если w(x) 6 (J )

В §1.3. рассмотрена задача о скорости приближения функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега Lw*^ — L?jx\[0,1]) с переменным показателем р{х) и весом w(x). Результаты этого параграфа являются обобщениями на весовой случай результатов, полученных в статье И.И Шара-пудннова (2014).

В случае постоянного р задача о скорости приближения функций f(x) 6 17 суммами Фурье - Хаара была решена П.Л. Ульяновым (1964). t

Теорема (П.Л. Ульянов). Если /(х) € V(0,1) с некоторым р е [1, оо), то j

II/ - Qn(f)\\p < 24«„(/, -) при п > 1,

edeUj,(J,S) = sup (ЛД* + A) " f^W^Y-

0<h<6y 0

Как уже отмечалось выше, в работе И.И. Шарапудинова (2014) этот результат был обобщен на переменный показатель. Напомним, что для этого потребовалось ввести модуль непрерывности, основанный на усредненном сдвиге.

Теорема (И.И. Шарапуднпов). Пусть р{х) е Vlog, f{x) е Тогда

справедлива оценка

II/- Qn(f)\\P{.) < ФМ/^.у В §1.3.4 в терминах модуля непрерывности

(О, 5 = 0,

т <*)*),» .= < sup ц; _ аА(/)||р1.)1в), 5 > 0, (3)

K0<h<5

основанного на функции Стеклова вд(/), получена аналогичная оценка для функций f{x) €

Теорема 1.6. Пусть р(х) е Vlog, w(x) € Нр(.) Л [(J Ар{.){Т>. Тогда для / б LPJ'} имеет место оценка

II/ - Qnif)lUo.«, < <tp,wW,

Доказательство этой теоремы состоит из двух шагов. На первом шаге оценивается скорость сходимости сумм Фурье - Хаара для функций из так называемых классов Соболева Классом Собо-

лева Ш(М) с переменным показателем р(х) и весом w(x) называется тожество г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций f(x), для которых J^^-Hx) абсолютно непрерывна, a /(г'(я) € L® и ¡|/м||р(.),ц, < М.

12

Положим WTv[.lw = UM>0Wrp{,) w(M), Wpi]iW = В §1.3.3 доказана следу-

ющая теорема.

Теорема 1.5. Пусть р(х) G Vlog, w(x) £ Щ.) П [U4( )(®")]- Справедлива следующая оценка для / € И^.^щ

На втором шаге вводится оператор:

v v x+li

©Л/К*) = Ц sH(f)(x)dh = Ц X I f® dt> 0 < < 1.

f/2 v/2 x

Отметим, что данный оператор использовался при доказательстве приведенной выше теоремы И.И. Шарапудинова (см. также А. Guven, D. Israfilov (2010)). В данной работе нам понадобилось исследовать некоторые свойства этого оператора в весовом случае. Приведем некоторые из них (см. §1.3.4):

a) Для любого }{х) £ w € 'Hv{-) выполняется неравенство

II(еЛЛ)%(-),» < с(р) 0 < г/ < 1. *

b) е„(/) е wpi.lw для / е w е пр{.ь о < v < i.

c) Пусть / е L$x\w € "НР(.),0 < v < 1. справедливо неравенство

l|Ö.<(/) - /11*0.« ^ ФМ/

Доказательство теоремы 1.6 основано на использовании свойств а) - с) и теоремы 1.5.

В §1.4 исследуются условия, при которых двумерная система Хаара Хпт(х,у) — Хп(х)Хт(у), Где \'„(х) - функции Хаара, определяемые обычным образом (см. монографию Б.С. Кашина, A.A. Саакяна), образует базис в безвесовом y^VfO, I]2). Для этого вводятся модуль непрерывности и условие Дини - Липшица для случая функций двух переменных.

Модуль непрерывности для функции р(х, у), заданной на множестве Е, определяется следующим образом:

w(p, Е, 6) = 8ир{|р(Л) - р(В)| : А, В € Е, р[А, В) < 5}.

13

Говорят, что функция р(х,у) удовлетворяет условию Дини - Липшица порядка а > 0, если

1\а

;(р,Е, 6) (in -) < с (0 < ¿ < 1),

ще с = с(Е,р, а).

Основной результат § 1.4 представлен в следующем утверждении.

Теорема 1.7. Для того чтобы для любой функции / G LP^'V) = ¿^^'([О, I]2), 1 < р([0,1]2) < р([0,1]2) < ос, прямоугольные частичные суммы

N М .

СптХпт Спт — / / f(x,y)x пт (х, y)dxdy

n= 1 т=1 [одр

сходились в пространстве IP'^^ к функции f(x,y) при N,M —> оо(N х М), необходимо и достаточно, чтобы показатель р(х, у) удовлетворял условию Дини - Липшица порядка а > 1.

Отметим, что все основные результаты главы 1 получены для р(х) > 1. Другими словами, мы не налагаем на показатель искусственного ограничения р > 1, часто встречающегося в иностранной литературе.

Глава 2 посвящена исследованию локальных аппроксимативных свойств сумм Фурье - Хаара и средних Валле-Пуссена по тригонометрической системе для разрывных и кусочно гладких функций.

В §2.1 изучено поведение сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестностях рациональных двоично-иррациональных точек разрыва. Приведем гут основной результат этого параграфа.

Из определения функций Хаара непосредственно выводится равенство

2k + io<N< 2k+\

где Xq G (0,1) - двоично-иррациональная точка, а г'о = io(k) - номер того двоичного интервала из к-той пачки, который содержит точку xq. Поэтому для изучения поведения частичных сумм Фурье - Хаара Qj\-(f, х) в точке xq достаточно ограничиться рассмотрением сумм с номерами N = 2к.

Как известно, частичные суммы Q«><(f, х) постоянны на двоичных интервалах Д-.. Обозначим через Qk значение <?2*(/, х) на Д'А°: = Q2*(/i х),х € Д[°. В §2.1.3 доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Если х0 - рациональная двоично-иррациональная точка, двоичное разложение

ОС ^

а-о = О, hh ... M»+i... = J2 bj 6 {0,1},

i=i

которой имеет период длины п, то числовая последовательность qk = Q.2t(f,x), х ё для любой функции ограниченной вариации f со скачкам в точке аг0 будет представлять собой объединение п сходящихся последовательностей:

впй, /(*о + 0) - yp(f(xо + 0) - f(xо - 0)), I -> ос, 0 < р < п,

гЭе ур = (О, bp+ibp+2 ■ • -Ь-

В §2.2 проведено исследование скорости прибшгжеиия кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена по тригонометрической системе. Рассмотрены пространства кусочно гладких функций, которые вводятся следующим образом. Через Wp([a, 6]) обозначим пространства Соболева, состоящие из г - 1 раз непрерывно дифференцируемых на [а,Ъ] функций f(x), для которых абсолютно непрерывна на [а, Ъ], a f{r)(x) € Ща, Ь]). Пусть теперь дано конечное разбиение отрезка [0,2тг]

А={0 = во<01<...<вч = 2тг}.

Тогда через обознач1Ш пространство 27г-периодических функций, которые на каждом отрезке [0¡, 0¡+i} можно презратнть в функщпо из wi([9í, 0¡+i]) Путём переопределения её на концах.

Величина уклонения функций f(x) из Wf'А от классических сумм Валле-

Пуссена V"(/) была рассмотрена в [5].

Теорема 2.2. Для функций f(x) € справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > I):

где Mf = max{|¡/¡|oo, Ц/'lloo, II/"lU И-ИНЬ £ ~n}o6oe положительное число.

В данной работе этот результат переносится на более широкое множество W¿A. Кроме того, оценка дается для общих сумм Валле-Пуссена V™ при произвольных тип.

Теорема 2.3. Для функций f(x) из класса справедлива следующая оценка остатка при приближении суммами Валле-Пуссена (п > 0,т> 1):

\т-m*)i < Щ-tb+ш) f\,v хе-£}

тг Vsnrs /т{п +1) X

где М/ = maxdl/Цоо, ||/'||оо, ||/"||оо}. а £ - любое положительное число.

Доказательство этой теоремы дано в §2.2.3. Оно опирается на ряд вспомогательных утверждений, которые вместе с доказательствами приведены в §2.2.2.

В теории приближений часто рассматривается задача оценки величины верхней грани по некоторому классу уклонения функции от приближающего полинома. Используя теорему 2.3, можно получить подобную оценку для классов состоящих го функций f(x) G удовлетворяющих условиям

¡l/(i)IU<M,z = 0,l,2.

«

Следствие. Пусть е > О, V = U [#¿-1 4- £, Oi — е]. Имеет место неравенство: где

ОВД = sup max |/0r) - \%(f,x)|. few *€V

В заключении приведены основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Получено обобщение результата И.И. Шарапудинова (1986) о базисности системы Хаара в пространстве Лебега Lp^([0,1]) с переменным показателем на двумерный случай. А именно, найдены необходимые и достаточные условия, при которых прямоугольные частичные суммы Qn,m( f, х, у) Фурье по системе Хаара {Хп,т{х, у)} сходятся в пространстве //^'^([О, I]2) к функции f(x, у), когда N, М —> оо, N х М.

2. Рассмотрены вопросы базисности системы Хаара в весовых пространствах Лебега Найдены достаточные условия на показатель р(х) и вес ги(х), при которых система Хаара образует базис

В Z/uf

3. Исследована скорость приближения функций из пространств Лебега L^i1' и Соболева И'р(.)|Ш суммами Фурье - Хаара в терминах модуля непрерывности (3).

4. Для исследования вопросов теории-приближений, связанных с системой Хаара в весовых пространствах Лебега Ь^ с переменным показателем, потребовалось изучить услов1и на вес IV (х), обеспечивающие вложенность С Ь1. Получены достаточные условия на весовую функцию, при выполнении который указанное вложение выполнено. Было также показано, что эти условия близки к необходимым.

5. Для выполнения теоретических задач, связанных с весовыми пространствами, понадобилось осуществить перенос ряда известных свойств пространств Лебега с переменным показателем с безвесового случая на весовой.

6. Изучено поведение частичных сумм Фурье - Хаара для функций ограниченной вариации в окрестности рациональной двоично-иррациональной точки разрыва хд. Показано, что в этом случае последовательность сумм Фурье - Хаара С}п{1, Хо) представляет собой объединение п сходящихся подпоследовательностей, щеп - длина периода двоичного разложения числа хо-

7. Исследованы локальные аппроксимативные свойства сумм Валле-Пуссена

х) на классах кусочно гладких функций }{х). Получена оценка скорости стремления величины \У£(/,х) — /(х)| к нулю. Эта оценка позволяет утверждать, что для такого рода функций суммы Валле-Пуссена дают скорость приближения, на порядок более высокую, чем суммы Фурье.

В заключении также приводятся некоторые из нерешенных задач, имеющих непосредственное отношение к результатам диссертации:

1. Остается неизученным вопрос о сходимости по Принсгейму сумм СЭн.м (/, х, у) по двумерной системе Хаара, т.е. не рассмотрен случай, когда N и М не связаны ограничением N х М.

2. Пока не найдены необходимые условия базнсности системы Хаара в весовом пространстве Лебега с переменным показателем.

3. При изучении вопросов вложенности Ь^х> С Ь1 получены отдельно достаточные условия и необходимые условия и показана их близость. Однако вопрос о необходимом и достаточном условии пока остается открытым.

4. При исследовании скорости сходимости сумм Валле-Пуссена к функциям из классов кусочно гладких функций получена оценка сверху. На данный момент не рассмотренным является вопрос об оценке снизу.

17

Результаты диссертации представляют не только теоретический интерес, но и могут быть использованы в различных приложениях. В частности, эти результаты могут быть востребованы в таких областях, как, например, обработка и сжатие сигналов.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. И.И. Шарапудинову за постановку задач и руководство в подготовке работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Магомед-Касумов М.Г. Особенности поведения частичных сумм Фурье-Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва // Сибирский математический журнал. 2013. Т. 54, Л® 6. С. 1331-1336.

2. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем 1?(х<у) // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1(2). С. 76-81.

3. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Владикавказский математический журнал. 2014. Т. 16, № 3. С. 38-46.

4. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 295-304.

5. Магомед-Касумов М.Г. Аппроксимативные свойства классических средних Валле-Пуссена для кусочно гладких функций // Вестник Дагестанского научного центра РАН. 2014. Т. 54. С. 5-12.

6. Магомед-Касумов'М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Математический форум. Т . 5. Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 139-144.

7. Магомед-Касумов М.Г. Явление Гиббса для частичных сумм Фурье-Хаара // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции (Волгодонск, 4-8 июля 2011 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. С. 183.

8. Магомед-Касумов М.Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега ЬР^1^ // Современные проблемы теории функций и

19

их приложения: Материалы 16-й Сарат. Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2012. С. 112.

9. Магомед-Касумов М.Г. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2013. С. 68-69.

10. Магомед-Касумов М.Г. Приближение функций суммами Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 17-й Сарат Зимней школы. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2014. С. 173-176.

11. Магомед-Касумов М.Г. Приближение кусочно гладких функций суммами Валле-Пуссена // Тезисы докладов Международной научной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирова-ние"(пос. Дивноморское, 7-13 сентября 2014 года). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 52-53.

12. Магомед-Касумов М.Г. Некоторые вопросы теории приближений суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XII международной научной конференции (Владикавказ, 12-18 июля 2015 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2015. С. 8283.

Магомед-Касумов Магомедрасул Грозбекович

ВОПРОСЫ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ И СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ СУММ ФУРЬЕ И ИХ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ ПО НЕКОТОРЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 28.07.2015. Формат 60x84 11/16. Бумага офсетная № 1. Гарнгаура «Тайме». Печать офсетная. Усл. пл. 1,15. Тираж 130 экз. Заказ № 164.

«Типография «Наука-Дагестан» 367015 Махачкала, 5-й жилгородок, корпус 10