Вопросы разрешимости некоторых обратных задач электродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство по делам науки, висшёй жош

и технической политики российской .федерации

НОВОСИБИРСКИЙ Г0С7ДАРСТВЕШ1Й УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи УДК 517.946

КОРНИЛОВ Виктор Семенович

ВОПРОС):! РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ОБРАТШХ ЗАДАЧ Э.ШТРОДИНА'ЛШ!

01.01.02 --дифференциальные уравнения'

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола и в Казахском государственном педагогическом университете имени Абая.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН В.Г.Романов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Г.Чередниченко

кандидат физико-математических наук Е.Ю. Деревцов

Ввцувдя организация : Вычислительный центр Сибирского

Отделения РАН (г. Новосибирск)

Защита состоите " 7 " О.С?/1992 г. в

■ууг

часов на заседании специализированного совета. К 063.98.04 по присувдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск - 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться'в библиотеке ИГУ.

Автореферат разослан " 1992 г.

Учёный секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н. Б.В.Капитонов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. Потребности практики.довольно часто приводят к задачам определения коэффициентов дифференциальных уравнений по некоторым известным функционалам его решения. Такие задачи в отличие от обычных для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение при неко-,торых начальных и граничных условиях, получили название обратных задач математической физики.

Исследованием задач определения коэффициентов уравнений математической физики занимались А.Н.Тихонов, И.М.Гельфанц, Б.Н.Левитан, М.Г.Крейн, А.С.Алексеев, М.М.Лаврентьзв, В.Г.Романов, Ю.М.Березанский, В.И.Дмитриев, А.И.Прилепко, В.К.Иванов, А.Д.Искендеров, Л.П.Нижник, Ю.Е.Аниконов, В.ГЛередни-ченко, А.С.Благовещенский, А.Л.Бухгейм, С.И.Кабанихин, В.Г. Яхно, Р.Г.Мухомётов, А.Х.Чшров, Е.Ы.Бидайбеков, К.,С.Абдиев, В.И.Приймснко и многие другие.

Результаты диссертационной работы являются развитием теории обратных задач для уравнений математической физики.

Актуальность теш. Исследование обратных задач электродинамики активно велось в последнее десятилетие. Однако на первых порах основными изучаемыми вопросами являлись вопросы об однозначности и устойчивости разыскиваемых коэффициентов системы уравнении Максвелла по задаваемым, компонентам электромагнитного поля. Не менее вашшм вопросом является описание допустимого множества данных обратной задачи, что связано естественным образом с вопросом о разрешимости обратной задачи (главы 1,2).

Результаты главы 3 устанавливают возможность использования' развитой В.Г.Романовым техники исследования обратных задач для уравнений гиперболического типа в классе функций, аналитических по одной из переменных, в случае, когда определяется более чем один коэффициент уравнения.

Цель работы. Постановка новых обратных задач электродинамики. Исследование вопросов корректности (разрешимости,устойчивости, единственности) этих обратных задач.

Научная новизна. В дайной работе проведено исследование вопросов корректности одномершх' обратных задач об определении коэффициента проводимости изотропной однородной вертикально-проводящей среда (глава I) и совместного определения коэффициентов диэлектрической и магнитной проницаемостей в изотропной непроводящей вертикально-неоднородной среде (глава 2) .при минимально возможной информации о решении прямой задачи, когда дополнительная информация, являющаяся функцией времени, задается в одной фиксированной точке пространства.

Изучена также двумерная обратная задача об определении двух коэффициентов, входящих в уравнение гиперболического типа, в классе функций, аналитических по одной из.переменных. Получена теорема существования и оценки устойчивости рассматриваемой задачи.

Практическая и теоретическая ценность. Изучаемые постановки имеют реальную физическую интерпретацию, являются модельными при описании некоторых процессов, связанных с электроразведкой на переменном токе (например, подповерхностная радиолокация; высокочастотное,-импульсное зондирование на небольших глубинах).

Способ получения теоретических результатов носит конструктивный характер, что может 'быть использовано для построения численных методов решения данных задач. Результаты такие отвечают внутренним потребностям развития теории обратных задач. " ' "

Общая методика исследования. Исследование обратных за- . дач в диссертационной работе проводилось .на основе методов математической физики, теории интегральных уравнений, а такие методов и приемов исследования обратных задач, разработанных В. Г. Романовым.'

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [I - б] и докладывались ка Межреспубликанском научном семинаре "Теория и практика решения обратных задач геоэлектрики" (г. Алма-Ата, октябрь 1991 г.), Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физшш и анализа" (г. Новосибирск, июнь 1992 г.), семинаре волновых процессов Ш СО РАН (рук. член-корр. РАН Б.Г.Романов), се-

минаре отлила математических задач геофизики ВЦ СО РАН (рук. академик Л.С.Алексеев), семинаре кафедры высшей математики Новосибирского государственного университета (рук. член-корр. РАН В.Г.Романов), семинаре кафедры высшей математики.Новосибирского института советской кооперативной торговли (рук. проф. В.Г.Чередниченко), семинаре физико-математического факультета КазШУ. ' -

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и библиографии. По четыре параграфа содержится в главах I, 2 и три параграфа - в третьей главе. Нумерация формул теорем и т.д. состоит из трех цифр, разделенных точкой (номер главы, параграфа и формулы, теореми и т.п.). Объем диссертации НО машинописных страниц, библиография включает 44 наименования.

П. аоДЫРЕШЕ ЕАБОТК

В первой главе рассматривается система уравнений Максвелла

rot и =& £ьЕ + + j(M,t),

rotE^-jU^H, MeR.3+uR-\ , М~ С х, у, г) , ^ t e Я

с данными Кош ' / .

El 30 f Hl 50 (1.2)

It<o I t<o

и условиями непрерывности на поверхности разрыва среды

(I.I)

(1.3)

т

В равевотаах (1.1)-(1.3) В , Н=(Нх,И^Иг) ,

символ "т" означает транспонирование;

^ =5 (л ] £(х)$а) в а) , (1.4)

что соответствует мгновенному включению тока, параллельного оси у , сосредоточенного на земной поверхности ,

плотность которого описывается функцией А(х) , имеющей следующий виц

N

&(Х) =¿2. \ ■£(о)1о , (1.5)

к-о ■

под Я + понимаются облети Я £ = [м6 Я I ¿ 0 } г

[и) ~ - с/7 а Г/ , и"! -

- предельные значения функции I/,при г = о , вычисленше . изнутри областей г у о и Ь < о соответственно.

Задача. Из соотношений (1.1) - (1.5), когда система (1.1) описывает процесс возбуждения в изотропной вертикально-проводящей. однородной среде электромагнитного поля, первоначально отсутствующего, источником стороннего тока ьица (1.4), восстановить коэффициент & яри. г>о по

дополнительно! информации о второй компоненте вектора напряженности электромагнитного поля Е ч :

В,! . = , ь-ю , а.б)

!-к=о, г = о

а такае по известным значениям , £ С (о, Т)}

гсг)?о , ¿< о ; причем £<*> V*

при КО ; г(г>-,£+ , при гг а \ , У ,

о .- известные постоянные. ■ ' Определение 1.1. Решением обратной задача (1.1) - (1.6) будем называть функцию при г ?о такую,

что. решение прямой задачи (1.1) - (1,5), отвечающее этой функции, удовлетворяет условию (1.6).

Т е.о р е м а 1.1. Пусть для функций с С (о,Т)/

выполнены соотношения

1(01 Ф о, £ О, = С- Ш/(¿Г/у + </+ ')

Тогда для достаточно малого Ту О существует решение обратной задачи &*(¿) еС Со, 2 7 , где 2 - Т/л /<г >

Теорема 1.2. (Условной устойчивости). Пусть ■£(о)ФО, коэффициенты в+(ц , & @Ш,Т) - {а. (¿У /

НйИ с Со т/г3 < М } и , отвечающие этим

коэффициентам следы решения; задачи (1.1) - (1.6) на полуоси ¿го , х = г=о . Тогда имеет место неравенство :

где постоянная С ззвисит от М} /V, Т)

Во второй главе'рассматривается случай, когда система (1.1) описывает процесс возбуждения в изотропной непроводящей вертикально-неоднородной среде электромагнитного поля, первоначально отсутствующего, источником стороннего тога ви-■ да (1.4). Предполагается также, что функция плотности вещественна и представляется суммой конечного числа гармоник следующего вица

, А. ' =^ ' , (2.1).

/С---// .

где черта над к - знак комплексного сопряжения.

Тогда из соотношений (1.1) - (1.4), (2.1) восстанавливаются

коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемостей

£ *d)-?o 7 о при i 7 о по дополнительной информации o

второй компоненте вектора напряженности электрического поля £„ :

М- I £,\ (2.2)

I Х=0, i-o I Х=0 , 1=0

а также по известным значениям , = £ ,/{(г>=</<

при 1<о i ■? о , 7 о , известные постоянные.

В формуле (2.2) функции j¿(t) е с2(о,Т) ,

Определение- 2.1. Решением обратной задачи (I.I) - (1.4), (2.1), (2.2) будем называть функции £ ,

при г-? о такие, что решение прямой задачи (1,1) -- (1.4), (2.1) отвечающее этим функциям удовлетворяет условиям (2.2). '

Теорема 2.1. Пуоть для функций (t) € С (o,T)t ¿-i, 2, выполнены следующие соотношения

4(0) f О , -&(о) & "го) - ^ '(о) -i "(о) -ф. о , ' (2.3)

ф О т' (+0) ~-s¿jn &(о),

% = i'to) f,(+o) /£(0) ; у (2 4)

С (+ о)/ft (+o)) = (+о))

Тогда для достаточно малого О существует решение обратной задачи £ еЛ-¡ЦП) еССо,23 /-я Ш ? о } , где 2. = -Р ст> , • V ГТ) - известная функция, определяемая в ходе решения данной Обратной задачи.

Далее, пусть (к , М,Т - .фиксированные положительные дала, т ^'/Ч, = Т/л.т, Обозначим через ноке-

функций из класса Л, (иг, М, ) =

с roo пар С £ + i J4* ) .-т laa> eczco,Lxз I lian

í лг/ а (г> г- m } ■

Имеет место следующая теорема условной устойчивости.

Теорема 2.2. Пусть паре < + ) 6.фС«,м,)Со-

ответствует информация (2.2) о решении задачи41.1) - (1.4), (2.1), а паре (£+, е - информация (2.2) с

функциями , ?г <Ч). Тогда при условиях (2.3), (2.4)

для каждого Т у О существует такая положительная постоянная

Шах (Ц£*Сг) - £ *С1)Ц ,11А+(г) • *II

<со,п ' у с со,п

г

* Л //£ (*> -1 «>И , 1 * = т/*м .

е Со,Т2

В третьей главе исследована двумерная обратная задача определения функций &(х,г) , г) из следующих соотношений

<«} (К) (П гк, <*>

К* 'К, ♦ в(*,*>и

Л г

, г?о , (3.1)

г <к), 1К> /

" / V. I (х/#П), 2/3.2) .

Ц<0 ъ /г=0

(Н)

и / ~ $ (Х,*) ' К-(3.3)

'1-0

Здесь коэффициенты. 4(х,ь), а таете функции ,

4-к(х,¿) , к-1/ 2 являются аналитическими функциями по переменкой т. и непрерывными по переменным г,*.

Теорема 3.1. Пусть относительно- функций ) к= Л 2 имеют место условия -'

'о

„ г (г> // <*> и , <«/■ э п

3, г*

(3.4)

'о

- *.еСо,71 , К * 2 , ¿--0,1.1

Здесь II • П,е - норма в пространстве А$а , аналитических функций; верхний индекс у функции $к означает производную; - некоторое положительное конечное число;

<гСх)в^1(х) - (х> §¿1*) £0 , УсбЯ, (3.5).

, хе/г ' к = {,2. / (3'6)

Тогда найдется такое <*■ *(<>, т/г) , «^о 4 что для лю-

бого 3 е Со, 50)в области 5 { с / о & г « т/г , г * -ь £: Т- * } X II П / о * * § «< (50 - 5 ; сущест-

вует единственное решение обратной задачи (3.1) - (3.3) такое,

ТГ<Ю Л ГТ(К> Л А ,/},'

что и «Л,, I/ ^^ лрн каждом ; е Р5Т = {I о < г- * Т/г , г < ^ < 7"- г 3 Л

П {(*,*) I о $ ъ 4 (&) } и непрерывны в по переменным .

Рассмотрим множество ^Р всех пар функций К'М)

являющихся элементами , Ъ070 непрерывных по е Со,Т1, для которых выполнены соотношения (3.4) - (3.6) с фиксированным Я о .

Т е^о р ем а 3.2. Пусть (, , 6 <Р,

(, , H=hi)6ep. Тогда для отвечающих им решении

обратной

задачи (3.1) - (3.3) справедливы неравенства

Циш-и <ЮН5(*>-Ь) i а ,

Ha.-Q.Hs (г) ¿ с £ / Cs0 - s) f

И i-IHs(f> * с £s o-s),

r2>t; * PST , o< s< sD }

где постоянная С зависит от s 0 , R 0 ,

£ х тах ( таос / упах )ifK - f // w ¿/"//f.

к = г о¿tíт ' к so ¿zf е

- (К-1) Д _ л/\> ^ 0

h +ZL И¡L + 11*¿ -

Jo J = 0 ' í ¿O ottíT

- ¿ £ '//< wjd .

0

В заключеше автор выражает искреннюю благодарность • своему научному руководителю члену-корреспонденту Российской Академии Наук Владимиру Гавриловичу Романову за постановку задач и помощь в работе. .

.Список работ по теме диссертации

. I. Корнилов B.C. Условная устойчивость одной одномерной об-, ратной-задачи геоэлектрики// Теория и практика.решения обратных задач геоэлектрики: Материалы Межреспубликанского научного семинара, Алма-Ата, 1991. - С. 37.

2. Корнилов B.C. Оценка условнбй устойчивости решения одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения// Методы решения условно-коррекгних задач. Сб. науч. тр. ~ Новосибирск: Ш СО АН СССР, 1991. - С. 90-101.

3,.Корнилов B.C. Условная устойчивость одномерной обратной задачи об одновременном определении двух коэффициентов входящих в гиперболическое уравнение// Методы решешш условно-корректных задач. Сб. науч.тр. - Новосибирск: Ш СО АН СССР, 1991. - С. 102 - 122.

' 4. Корнилов B.C. О локальной разрешимости одной одномерной обратной задачи геоэлектрики/ Ред. "Сиб. Мат. Еурн." -Новосибирск, 1991. - 46 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.01.92, 15 258 - В 92.

5. Корнилов B.C. Задача определения коэффициента проводимости из системы уравнений Максвелла// Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Материалы Всесоюзной конференции, Новосибирск, 1992. - С. 61-62.

6. Корнилов B.C. О локальной разрешимости одной двумерной обратной задачи для уравнения гиперболического типа// Исследования по теории дифференциальных уравнений. Сб. науч. тр. - Алма-Ата: КазШУ, 1992. - С. 73 - 79.