Вопросы теории устойчивости гранулированных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Устойчивость свободной поверхности слоя гранулированного материала, движущегося по наклонной плоскости.

§1. Постановка задачи.

§2. Медленное движение.

1. Вывод уравнения для формы свободной поверхности.

2. Случай малых, но конечных возвышений.

3. Случай произвольных возвышений.

§3. Быстрые течения.

1. Вывод уравнений, осредненных по толщине слоя.

2. Линейный анализ устойчивости.

3. Возмущения конечной амплитуды.

Глава 2. Устойчивость слоя степенной среды на наклонной плоскости.

§1. Математическая модель.

§2. Медленное движение слоя.

1. Уравнения и граничные условия.

2. Анализ уравнения для свободной поверхности.

§3. Быстрые движения слоя.

1. Осредненные уравнения.

2. Линейный анализ устойчивости.

3. Нелинейные решения.

Глава 3. Устойчивость гранулированного сдвигового течения в инерционном режиме.

§1. Постановка задачи.

1. Законы сохранения.

2. Замыкающие соотношения.

§2. Стационарные решения.

1. Течения с постоянным сдвигом скоростей.

2. Течения со сдвигом скоростей, зависящим от координаты поперек канала.

§3. Анализ устойчивости неограниченного течения при постоянном сдвиге скоростей.

1. Линейные уравнения.

2. Дисперсионное уравнение.

3. Решение дисперсионного уравнения в длинноволновом приближении.

4. Результаты численного решения дисперсионного уравнения при произвольных волновых числах возмущений.

Гранулированными называются среды, состоящие из большого числа твердых частиц (гранул), погруженных в жидкость и/или газ, причем свойства среды в значительной степени, а иногда и полностью определяются поведением твердой фазы. Такие среды - непременные участники сложных природных явлений, примерами которых могут служить каменные и снежные лавины, вулканические выбросы, оползни, обвалы, грязевые сели, песчаные и пылевые бури, движущиеся пески, например, [1-4]. С использованием гранулированных сред связаны и технологические процессы, составляющие основу различных областей производства. Это порошковая металлургия, химическая промышленность, создание керамических и композитных материалов и изделий из них, химические реакторы с кипящим слоем, разработка месторождений минерального сырья и его переработка, хранение и транспортировка зерна, каменного угля, например, [1-6].

Даже сухие гранулированные среды, часто называемые сыпучими, в которых нет усложняющего влияния жидкости или газа, в разных условиях ведут себя и как твердое тело, например, неподвижные угольные терриконы, и как текучее вещество (струйка песка в песочных часах). Поэтому теоретическое описание сухого сыпучего материала основывается на идеях и методах теории деформируемого твердого тела, реологии, гидродинамики, кинетической теории плотных газов. В настоящее время считается общепринятым выделение трех режимов поведения такого материала в зависимости от его плотности и скорости сдвига течения, например, [4,7,8].

Квазистатический режим, соответствующий большим концентрациям и малым (в том числе, и нулевым) скоростям сдвига. В подобных условиях гранулы находятся в постоянном тесном контакте, когда они скользят и перекатываются друг через Друга.

2)Промежуточный режим, соответствующий большим плотностям материала и умеренным скоростям сдвига. Взаимодействие гранул осуществляется как при их скольжении, так и при соударениях друг с другом.

3)Инерционный режим, соответствующий меньшим плотностям и большим скоростям сдвига. При таких условиях между гранулами всегда имеются некоторые зазоры и взаимодействие гранул происходит в результате их непрерывных столкновений, а скольжение играет несущественную роль. В моменты соударений частицы резко меняют направление движения, описывая зигзагообразные траектории. Предельным случаем этого режима является режим трансляционный, который соответствует очень малым объемным концентрациям гранул, их большим свободным пробегам и редким столкновениям.

Описание квазистатического режима основано на законе Мора - Кулона, который гласит, что сыпучий материал, рассматриваемый как континуум, при приложении сдвигающего усилия начинает скользить там, где между нормальным напряжением <т и напряжением сдвига г выполняется соотношение | т crtgcf) + с. Здесь угол внутреннего трения ф и константа с > 0- характеристики материала. Величина с связана со степенью слипания гранул, значение с = 0 отвечает материалу, состоящему из отдельных неслипшихся частиц. Что касается величины угла внутреннего трения, то, например, ф = 24° для сферических стеклянных шариков и ф = 37° для необработанного песка.

Поведение сыпучего материала в промежуточном и инерционном режимах анализируется, как правило, в рамках механики сплошных сред, оперируя величинами, осредненными по большому числу частиц. При условиях, которые приводят к возникновению режима поведения материала, называемого промежуточным, энергия хаотического движения гранул мала. Если скорость сдвига среды достаточно велика, то энергия хаотического движения гранул, являющегося следствием столкновений частиц, становится большой и начинает играть значительную роль в поведении гранулированного материала (инерционный режим). Существование и основные качественные закономерности этих режимов были установлены в ставших теперь классическими опытах Багнольда [9], которые мы сейчас кратко опишем.Одинаковые твердые шарики с диаметром 0,132 см были взвешены или в воде, или в водной смеси глицерина со спиртом, чтобы можно было менять вязкость среды. Такая смесь твердых частиц и жидкости заполняла кольцевой зазор шириной 1,1 см между двумя соосными барабанами (внутренний неподвижен, внешний может вращаться с различной скоростью). Когда внешний барабан начинает вращаться, среда вовлекается в движение и создается течение с постоянным сдвигом скоростей, величина которого может меняться, если изменять скорость вращения барабана. Объемная концентрация частиц, равная отношению объема, занимаемого частицами, к полному объему, занимаемому средой, менялась от 62 до 13 процентов. Часть поверхности внутреннего барабана представляла собой резиновую мембрану, что давало возможность измерять давление; измерялось также напряжение сдвига на внешнем барабане. В экспериментах было обнаружено превышение давления над статическим уровнем, связанное Багнольдом со столкновениями гранул друг с другом и названное им дисперсным. Результаты измерений показали, что при достаточно больших скоростях вращения внешнего барабана, то - есть при больших скоростях сдвига течения (поскольку ширина зазора между барабанами постоянна), и давление, и напряжение сдвига пропорциональны квадрату скорости сдвига. Такая зависимость была найдена при всех значениях (s/a) > 0,08. Здесь а - диаметр гранул, s - среднее расстояние между их поверхностями. Это соответствует объемным концентрациям v = vm{l + s/a)-3 < 0, 59,где vm - объемная концентрация гранул (отношение собственного объема гранул к объему, занятому веществом) при их максимально плотной упаковке, когда s = 0; в частности, для сферических частиц ит = 0, 74. Давление и напряжение сдвига определяются соударениями гранул друг с другом, и этот режим назван Багнольдом инерционным.

Эксперименты и оценки [9] дают следующие зависимости дисперсного давления и напряжения сдвига от величины сдвига скоростей р = pva2f{v)T2 cos т = р tg<f>d, где рр - плотность вещества гранул, f(u) - некоторая функция, зависящая от объемной концентрации твердых частиц, ф^ - угол динамического трения, Г - величина сдвига скоростей. Если угол динамического трения не зависит от сдвига скоростей, то давление и напряжение сдвига квадратично зависят от сдвига течения. Это сильно отличает гранулированную среду от обычной (ньютоновской) жидкости, в которой связь напряжения сдвига от скорости сдвига линейна: т = 7](dU/dy), где 7] - коэффициент динамической вязкости, постоянный при заданных температуре, давлении и составе жидкости (указанная связь записана для простейшего случая плоского течения со сдвигом, U - скорость потока, у - координата поперек потока). Таким образом, гранулированная среда в промежуточном и инерционном режимах обнаруживают свойства неньютоновской жидкости.

Поскольку, как сказано выше, в промежуточном режиме энергия хаотического движения гранул мала и ее влиянием пренебрегается, математическое описание этого режима может быть основано на уравнениях, выражающих законы сохранения массы и импульса, которые имеют форму, аналогичную теории неньютоновских жидкостей. Для них напряжение сдвига связано со сдвигом скоростей соотношением г = rj(dU/ду), где " коэффициент вязкости " 7} есть функция величины сдвига скоростей. В частности, существует большой класс так называемых степенных жидкостей, для которых г/ — —щ | 8U/ду |n1; величина щ = const (мера консистенции вещества) и показатель п являются характеристиками рассматриваемой жидкости. Из приведенной формулы следует, что при п > 1 вязкость увеличивается в тех частях потока, где скорость сдвига больше. Такие неньютоновские среды называются дилатантными ,см., например, [12-14]. К ним относится и сыпучая среда, так как т ~ (dU/ду)2, что соответствует значению п — 2. Если показатель п < 1, то вязкость меньше ам, где скорость сдвига больше. К таким средам, называемым псевдопластическими, относятся, например, нефть и многие полимерные растворы и расплавы [12-14].

При условиях, соответствующих режиму поведения сыпучего материала, который называется инерционным, энергия хаотического движения гранул становится существенной и для описания этого режима необходимо учитывать не только законы сохранения массы и импульса, как в промежуточном режиме, но и закон сохранения энергии хаотического движения гранул [4,5,7,8]. Такую энергию по аналогии с газом, состоящим из молекул, принято называть квазитепловой или просто тепловой энергией. В уравнениях, выражающих законы сохранения указанных физических величин, появляются дополнительные функции, которые с помощью некоторых соотношений должны быть связаны с плотностью и тепловой энергией среды,иначе система уравнений будет незамкнутой. Это - давление гранул р, возникающее при их соударениях (дисперсное давление, по терминологии Багнольда), коэффициенты вязкости г/, диффузии тепловой энергии к, а также функция /, описывающая уменьшение тепловой энергии среды при столкновениях гранул, которые всегда являются неупругими.

Прежде чем говорить о способах получения замыкающих соотношений, отметим, что опыты Багнольда были повторены и расширены в работах [10,11]. Хорошо развитый инерционный режим в экспериментах [9-11] наблюдался при относительной плотности гранулированного вещества р/рр ~ 0,5 в интервале скоростей сдвига 50сеА;-1 < Г < lOOOcefc-1, соответственно. Поэтому в качестве нижней границы инерционного режима можно принять скорость сдвига Г = 50се&-1, а в качестве типичных значений скоростей сдвига для квазистатического и промежуточного режимов - 0 < Г < \cek~1 и 1 сек"1 < Г < lOcefc"1, соответственно.

Замыкающие соотношения во многих работах выводятся с помощью методов статистической физики, исходя из кинетического уравнения Больцмана для функции распределения гранул по скоростям, как это делается в теории молекулярных газов

15-22]. Конечно, гранулированная среда чрезвычайно сильно отличается от газа. И, прежде всего, размерами частиц, поскольку гранулы - объекты макроскопические, а молекулы -микроскопические. Это очень важно при рассмотрении вопроса применимости использования понятий механики сплошных сред. Каждое столкновение гранул, в отличие от молекул, приводит к потере их кинетической энергии, так как все соударения носят неупругий характер. Поэтому в уравнение для тепловой энергии необходимо включить слагаемое, описывающее ее уменьшение. В естественных условиях гранулы имеют большое разнообразие в размерах и форме, что трудно учесть в теоретических построениях. Кроме того, шероховатость гранул может приводить к возникновению их трения и вращения при столкновениях. Вывод замыкающих соотношений путем приближенного решения кинетического уравнения и сами формулы являются очень громоздкими и, что представляется еще важнее, эти построения могут быть превышением точности, поскольку в них по необходимости вводятся серьезные идеализации.

Поэтому в ряде работ замыкающие соотношения выписываются на феноменологическом уровне, опираясь на наглядные физические соображения, выбирая функциональную зависимость искомых величин по их размерностям и оставляя входящие в формулы коэффициенты порядка единицы параметрами задачи [23-25,6,7].

Помимо указанных методов механики сплошных сред, некоторое распространение получили методы прямого численного моделирования динамики гранул с последующим вычислением средних величин, имеющих физический смысл [8,26-28]. 'Компьютерная' гранулированная среда представляется набором сферических частиц (или дисков, если решается задача в двумерной постановке), число которых зависит от возможностей компьютера. Эти частицы помещаются в область пространства, ограниченную непроницаемыми для них или периодическими границами. Частицам предписываются выбранные случайным образом координаты и скорости, затем изучается их передвижение в соответствии с уравнениями движения с использованием законов центральных соударений, после чего вычисляются средние характеристики - плотность, макроскопическая скорость, энергия, - необходимые для определения состояния среды.

Много сведений о свойствах различных сред обычно можно получить из анализа их волновых характеристик, позволяющих судить об устойчивости состояний сред по отношению к тем или иным классам возмущений. Рассмотрению именно таких теоретических вопросов для ряда задач механики сухих гранулированных (или сыпучих) материалов посвящена предлагаемая работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем основные результаты,полученные в диссертации.

В рамках модели среды со степенной зависимостью напряжения сдвига от скорости сдвига изучено движение слоя сухого гранулированного материала (показатель п =■ 2) по шероховатой наклонной плоскости.

Для медленных течений выведено нелинейное уравнение формы свободной поверхности слоя, которое в случае малых,но конечных ее возвышений сведено к квазилинейному уравнению Бюргерса. С помощью численных расчетов показано, что произвольные возвышения свободной поверхности эволюционируют с образованием устойчивых волн конечной амплитуды,катящихся по поверхности движущегося слоя.

Для быстрых течений выведена система уравнений, описывающих форму свободной поверхности и расход гранулированного материала. Покозано, что однородный слой постоянной толщины неустойчив или устойчив по отношению к малым возмущениям в зависимости от того, больше или меньше число Багнольда В а = Hq /v, чем критическое значение В а* — bet да. Эволюция возмущений произвольной амплитуды, исследованная численно, происходит либо с их затуханием (устойчивость, Ва < Ва*), либо с ростом амплитуды и значительным изменением профиля ( неустойчивость, В а > В а*).

Для слоев степенных сред, движущихся по наклонной плоскости, в широком диапазоне значений показателя п (от п < 1-псевдопластические среды до п > 1-дилатантные среды) выведены: 1) нелинейное уравнение формы свободной поверхности (медленные течения), 2) система нелинейных уравнений формы свободной поверхности и расхода (быстрые течения).

Показано, что медленные течения всегда устойчивы, а устойчивость или неустойчивость быстрых течений зависит от числа Оствальда Оп = Hln~2Q\~n/vn : при Оп < О* устойчивость, при Оп > 0*п неустойчивость. Значение критического числа Оствальда равно О* = (2п + 1 )n~ln2~nctga.

Для сухой гранулированной среды в инерционном режиме построена математическая модель, основанная на законах сохранения массы, импульса, энергии хаотического движения гранул и замыкающих соотношениях с учетом конечного времени контакта деформируемых гранул при соударениях.

Найдены стационарные решения полученных уравнений, соответствующие неограниченному течению с постоянным сдвигом и течению Куэтта в плоском канале.

С помощью анализа выведенного дисперсионного уравнения показано, что неограниченное течение с постоянным сдвигом скоростей устойчиво или неустойчиво по отношению к малым возмущениям, распространяющимся перпендикулярно плоскости сдвига, в зависимости от плотности среды и времени контакта между гранулами. Определены нейтральные кривые в плоскости 'волновое число возмущений-средняя длина свободного пробега гранул', разделяющие области устойчивости и неустойчивости, при различных временах контакта гранул.

1. Savage S.B. Gravity flow of cohesionless granular materials in chutes and channels // J.Fluid Mech. 1979. V.92. P.53-96.

2. Savage S.B., Hutter K. The motion of a finite mass of granular material down a rough incline // J.Fluid Mech. 1989. V.199. P.177-215.

3. Hutter K. Avalanche dynamics, a review // Hydrology of Disasters (V.P.Singh, Ed.) Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 1995.

4. Hutter K., Rajagopal K.R. On flows of granular materials // Cont.Mech. Thermodyn. 1994. V.4,N2. P.82-141.

5. Shahinpoor M. On rapid flow of bulk solids // Bulk Solids Handling 1981. V.1,N3. P.487-500.

6. Khelil A., Roth J.C. Gravitational flow behavior of granular materials // Eur.J.Mech., B/Fluids. 1994. V.13,N1. P.52-72.

7. Jackson R. Some features of the flow of granular materials and aerated granular materials // J.Rheology. 1986. V.30,N5. P.907 930.

8. Campbell C.S. Rapid granular flows // Ann.Rev.Fluid Mech. 1990. V.22. P. 57-92.

9. Bagnold R.A. Experiments on a gravity free dispersion of large solid spheres in a Newtonian fluid under shear // Proc.Roy.Soc.London. 1954. V.A225. P.49-63.

10. Savage S.B., Sayed M. Stresses developed by dry cohesionless granular materials sheared in an annular shear cell // J.Fluid Mech. 1984. V.142. P.391- 430.

11. Hanes D.M., Inman D.J. Observations of rapidly flowing granular-fluid materials // J.Fluid Mech. 1985. V.150. P.357-380.

12. Шульман З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньют.тоновских жидкостей. Минск, Наука и техника, 1966.

13. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager О. Dynamics of polymeric liquids. V.l. Fluid Mechanics. John Wiley and Son, 1977.

14. Eirich F.R. Rheology. V.4. Academic Press, New York, 1967.

15. Jenkins J.Т., Savage S.B. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic particles // J.Fluid Mech. 1983. V.130. P.187-202.

16. Lun C.K., Savage S.B., Jeffrey D.J., Chepurniy N. Kinetic theories for granular flow // J.Fluid Mech. 1984. V.140. P.223-256.

17. Jenkins J.T., Richman M.W. Kinetic theory for plane flows of a dense gas of identical, rough, inelastic, circular disks // Phys.Fluids. 1985. V.28. P.3485- 3494.

18. Lun C.K., Savage S.B. A simple kinetic theory for granular flow of rough, inelastic, spherical particles // J.Appl.Mech. 1987. V.54. P.47-53.

19. Richman M.W. Boundary conditions based upon a modified Maxwellian velocity distribution for flow of identical, smooth, nearly elastic spheres // Acta. Mech. 1988.V.75. P.227-240.

20. Lun C.K. Kinetic theory for granular flow of dense, slightly inelastic, slightly rough spheres // J.Fluid Mech. 1991. V.233. P. 539-559.

21. Jenkins J.T. Boundary conditions for rapid granular flow // J.Appl.Mech. 1992. V.59. P.120-127.

22. Goldshtein A., Shapiro M. Mechanics of collisional motion of granular materials. Part 1. General hydrodynamic equations // J.Fluid Mech. 1995. V.282. P.75-114.

23. Haff P.K. Grain flow as a fluid-mechanical phenomenon // J.Fluid Mech. 1983. V.134. P.401-430.

24. Hui K., Haff P.K., Ungar J.E., Jackson R. Boundary conditionsfor high-shear grain flows // J.Fluid Mech. 1984. V.145. P.223-233.

25. Hwang H., Hutter K. A new kinetic model for rapid granular flow // Cont.Mech. Thermodyn. 1995. V.7,N3. P.357-384.

26. Campbell C.S., Brennen C.E. Computer simulation of granular shear flow // J.Flid Nech. 1985. V.151. P.167-188.

27. Campbell C.S., Gong A. The stress tensor in a two-dimensional granular shear flow // J.Fluid Mech. 1986. V.164. P. 107-125.

28. Campbell C.S. Boundary interactions for two-dimensional granular flows // J.Fluid Mech. 1993. V.247. P.lll-156.

29. Березин Ю.А., Сподарева Jl.А. Медленное движение гранулированного слоя по наклонной плоскости // ПМТФ. 1998. Т.39,N2. С.117-120.

30. Березин Ю.А., Сподарева Л.А. Анализ устойчивости слоя гранулированного материала, движущегося по наклонной плоскости // ПМТФ. 1998. T.39,N . С. .

31. Berezin Yu.A., Hutter К., Spodareva L.A. Stability properties of shallow granular flows // Int. J.Non-Linear Mech. 1998. V.33,N4. P.647-658.

32. Berezin Yu.A., Hutter K., Spodareva L.A. Stability analysis of gravity driven shear flows with free surface for power law fluids // Arch.Appl.Mech. 1998. V.68,N3. P. 169-178.

33. Berezin Yu.A., Spodareva L.A. On linear stability of rapid shear granular flows // Proc.ICMAR'96. Novosibirsk. 1996. Part 1. P.22-24.

34. Berezin Yu.A., Hutter K., Spodareva L.S. On stability of rapid granular shear flows // Cont.Mech.Thermodyn. 1997. V.9,N4. P. 229-240.

35. Березин Ю.А., Сподарева Л.А. Об устойчивости течения Куэтта в гранулированных средах // ПМТФ. 1997. T.38.,N6. С.41-48.

36. Рождественский Б.JI., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968.

37. Peyret R., Taylor T.D. Computational Methods for fluid flow. Springer Verlag. 1983.

38. Накоряков B.E., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо-и парожидкостных средах. Новосибирск: Институт теплофизики СОАН СССР. 1983.

39. Datapat B.S., Gupta A.S. Instability of a horizontal layer of viscoelastic liquid on an oscillating plane // J.Fluid Mech. 1975. V.72, Part 3. P.425-432.

40. Datapat B.S., Gupta A.S. Long waves on a layer of a viscoelastic fluid down an inclined plane // Rheol. Acta. 1978. V.17. P.492-499.

41. Savage S.B. Instability of unbounded uniform granular shear flow // J. Fluid Mech. 1992. V.141. P.109-123.

42. McNamara S. Hydrodynamic modes of a uniform granular medium // Phys.Fliuds A. 1993. V.5,N12. P.3056-3070.

43. Mello T.M., Diamond P.M., Levine H. Hydrodynamic modes of a granular shear flow // Phys.Fluids A. 1993. V.3,N9. P.2067-2075.

44. Babic M. On the stability of rapid granular flow // J.Fluid Mech. 1993. V.254. P. 127-150.

45. Schmid P.J., Kytomaa H.K. Transient and asymptotic stability of granular shear flow // J.Fluid Mech. 1994. V.264. P.255-276.

46. Wang C.H., Jackson R., Sundaresan S. Stability of bounded rapid shear flows of a granular material // J.Fluid Mech. 1996. V.308. P.31-62.