Воросы теории дифференциальных уравнений на симметрическом пространстве некомпактного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

HOpriira.TOÜl ОГДНІІЛ ЛИШИ A ШіУЛЛГСТІШ'НП уііш.кп.’іпкт ИМ!’НН лт'Н:пICIO ТО ШКОММЛЛ

Нч пр^пчх рукописи

СОЛОШ'ПШЛ Лвбпвь Кпгеньешш ' '

, УЛК 517.954 ! ГЛЯ.Ш6.7

ВОПРОСЫ ІЕ'ЛТИ ДП'ШП'ЛПИШШП« УГЛІЖНіШ нл .

симмктпгтеском іігоотранстіж ішкомилкпкл'о типа

Спєпиіш.ность Ot.OI.ll2 - ді'І^рпітичлніно уріанеияя

Автореферат диосертшлш на соискание учоной отрпени КПІЩїТПЯТП фіІЗИКО-МПТРГ.ТТЛЧЧСКИХ І’пуг.

Лороио* - Т990

/

Работа выполнена на кафедро математики Воронежского ордена Дружбы народов лесотехнического института.

Научный руководитель - доктор технических наук,

Профессор С.Г.КРЕЙН

кандидат физико-математических наук, доцент В.И.КОНОНЕНКО'

Ведущая организация: Институт математики АН УССР

час. на заседании специализированного Совета К 063.^8.09 по

наук в Воронежском ордена Ленина государственном университете имениЛенинского комсомола по адресу: 39^693. г.Воронеж, Университетская п., I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разоолан . 1990 г.

Официалышв оппоненты: доктор физико-математических

наук, доцент Б.Р.ВАЙНБЕГГ,

Защита состоится

присуждение ученой степени кандидата физико-математических

Ученый секретарь специализированного сонета К 063.'іЄ.09

■к ¿-¡і. В.Г.Звягин

mm хлглі'лт.гііошл гаеоін

Лкт^«ль110йть_темы. H - у 'ич'ия ві'Цітлі-іічх ypawmiU,

¡■'прицнт'т* относительна гручіш прпо'''Р'»эовзшп>, і» тйточею» potin уде.ппотол больчое ушипчиа Очі.например., рчботм С.У.ел-їсон'і, П.Л.Кучіїента, Н.Х.ІІОрпмімоРЗ, Л.ІЗ.Свслнникога п др.). го объясняется тем, что талого рола уравнения срчзанн с теп-іірЛ iîj Бдстанленнй, методом обратіїсн задачи рассеяния, іарю-іпескии анализом ^С.Хрлгзоои, Л.іі.їоюбеїїко, И.А.Очонои-Тпи-чньскміі)> ичгеї-рпльнои іеопе-триэ;! (ІІ.М.Гелі-іанл, .I.A.Теребим) атенатическои физикой ІВ.И.Фуаич).

Супострснинії интерес предстанляпт іппросч теории прчириаиг

1.-х ди|'рероннналглшг урппнвчіиі ни ¡ччшновчх с'шінеірнч"скчх fоотранствах н"коічпчтиого і mm. Гстестпсчность расскотрпичя аі’.ого класса сднороднпх пространств состоит в гом, что а ра-отах ¡І.М.Гелі-ранла, С.Г.І ичтикнна, !.tl.îfnj пгмю.'мпа, Харп-андри, С.Хплі-аиопн і прношпессий псплнз на них доі^дсн до

- г 'Í?’L

ровня, слизкого к пьгокорагччпому анагмгу Рурьч і> ІГЬ .

* Построение трансляционного предстарлрти роения задачи Коии для голнопого уравнения на негомпактмом иниотрнческом пространсте <í-r /К. Построение и счепк.п оведеиич по ~Ь ¡у нланеитальнеї о решения £(Vr/yt) задачи où.i для волпойого yj чтіенип, а тчкг>с фушпн'нкали'мх р ti-se ни Я ай&ртити'.х гипоодлтпи’ио’ш* yj арнсші t тина yj апчг'ішл І «'лі.ч-ольцч, удоулеті'орчиї.И'' аналої нч услопиа и-яу ч'чіііи.

&'їод;і*2 ипслеловаїмі. Іі'лкммугтсй четочч ттрии пр‘чи'[ч-г.ляим ,уі>! з ". Галона на cii'vvTpii-i'-ctfi'r простраіістпач я

■:0И''П';0ТИ'-:':'С'::" м’чолч rW'ü'í tinec!:":! '{ичиги.

_ ц _

Научная. новизна.. Рассматривается риианово симметрическое пространство некомпактного типа, В случае, когда

'fcW-32 •- число несетное, впервые построено трансляционное .

представление решения 1Л(ix.) задачи Коши для волнового у равнения 4 С его помощью получен явный вид для 'М.(Ч,сс) , что

позволило установить условия, при которых выполняется принцип Гюйгенса.,

1J случае, KormXiíbÁ ОС произволен, построено фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения

и исследована зависимость по t для и производных

Для гипозллиптических инвариантных уравнении типа Гельмгольца также впервые ndc+роены фундаментальные решения специального вида, удовлетворяющие Ий бесконечности "условиям излучения".

[*Ей|^ХЯческая_и_аео£)етнчеакая_значнмодть. Результаты, полученные в данной работе, носят теорошчвский характер и могут йнть Попользованы для изучения поведения при-é-*00 решении гипорсюличнокнх уравнений и коротковолновой асимптотики решении стационарных; задач.

Лпраба1)ия_работы. Гезультаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались: в Воронежских зимних математически* п:кслах (1982 й 1984 п). на семинаре кафедры дифференциальных ургашений факультета ИНН ИГУ О’оронеж), на Всесоюзном совещании lio теории функции в Чгртюловкр (1905 г), на XI Воооо-r>:uioti школе По теории операторов и фуркциональних пространствах ,ч ЧпляОшюко i на паседянияу ппучинч семинаром кафодры

(гиоиатг.ки и иаучинх K4ii»| «нщнч ертрулникоп Норамемкого ле-

сотехнического института (1983-1983, 1990 гг).

Публикации, Но теме диссертации опубликовано работы, список которих приведен в конце автореферата.

страницах и состоит из вврлония й трех глов> ГиблиографйчоскиН список содержит 51 Наименование.

Нумерация приводимых и автореферата утверждении соблюдает с

Введение содержит обоснование актуальности выбранного-направления исследования, краткий обзор литературы по теме диссертации и краткое нзлетенио результатов диссертации. -Глава 1 посвятена изложении необходимых предварительных сведении; связанны* с полупроотнми группами и алгебрами Ли, симметрическими пространствами, преобразованиями Ф.урь& И Радона на них, а также краткому оче{’*у своРств сферических функции и инвариантных дифференциальных операторов

Параграф I главы ¡1 посвящен исследований задачи Коши для волнового уравнения

Объем_£аботы. Диссертационная работа Изложена на 95

Нумерацией, принято!! в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РЛЕОТН

- б -

компактного типа ; ^ - полусумма положптельнчх корней алгебра Кяртана ; Щ - алгебра Ли групп» tí< : Ог- - подалгебра КартйМч, Oft - -d- - ранг симметрического пространства 00 В атом параграфе расснатривчотоя только случай нечетного ранга і Вводится преобразование нячалышх данных Г--

ЧіЛГ ó но^ошью операторов Ri

но формуле

ы

Кtfs ji 6)»R*F- сомі(ds*(ОеЧ,Y

rdPfleft)*)

Здесь соклі *• І ^ 3 ;/«*/- порядок Гр/ППУ

Яеііля IV ; -¿^Ч-СМіЛ Od~c¿¿‘n(7с. _ ранг симметрического прост-pOHGtm X* ; '{’с&О- преобразование Радона функции . Значком ^ tur обозначаем опклилого преобразование Радона, Фуі-кпип 2-^(о. | £ М) = 0^ ^ ^ дл„ 3)Сех ае/\ и &Є.К ,

- псєіідодііЙ-і ‘-¡нп/алиши опср’тор, .действия кото_йрго палеоген по правилу [') ( 3.) - С OvT'* F (^), , f1

означает стч.иидоео преобразование fypi-e функции Р1

Р*(Х)* §F(o.)tcX^A)¿o,

А

сел) - ф/нкцич Хари.а-Чанлрн.

ОпногноИ результат солеряч'.тсч я с.лодуйі'іоП теореме:

Теорема 2.1. а). Лпп лсбого начального услояич выполняется papeнот га

R + Zfa.) t' - fCj- ("St t,J3, <?)

где

Ы(ь) -

эво шоционнч

- ? -

онервтор Сен. Ы , гл. П.), отва- ■

чающий исходной эалчче ч нпзнтрчмй с дпчы'пПтен оператором решения отоЙ задачи.

представления решения инвариантного волнового уравнения. Второй параграф глапн П посвящен изучении условии, мри

приниип Гяйгекса. Известно, что имеется тестя агписимость инвариантности ли^ференциолышх уравнении и выполнением прим-' пипа Гюйгенса для них. Отмотим, что ймеичся разине подходи к определению принципа Гпйгеиса. Мы попишем принцип Ги!!гея<:я в точном смысле по Лдямару.

Результаты прпдыдупРго ппрпгра|>4 позволяет внпиеть в явном виде формулу для решения ,и$|30 исходное., аплачи Коши и, тем самым, разрешить вопрос об условиях при которнх справедлив принцип Гсйюноа для волнового уравнения 1т симметрическом пространстве. Л именно, иное г место теорема:

Теореме. Пусть 'ьйлД Х~ _ число нечетное и пусть нее «огни ол*.,ог>р» ¡Саргана им^вт чппшо крайности. Тогда для [ рй'-гий г.аглч»: К("зн ляп волновт о у; ягнения я«||1,личптоя принцип [г.'ГРПСа.

б). Для ЛЧС'ОГО г с С-о ' J " енрчзе.тлипн рав^четяп

В работах ИЛакса и Р.Зиллипса но теории рассеяния показано, что наличие трансляционною представления для решении волнового уравнения позволяет развить абстраг.тнуп теорию рассеяния с тем, чтоб сравнить асимптотические свойства решений в свободном пространстве и во внешне»! области. .

С етой целью длл операторов Ш) выделяется пара подпространств £2)+ и Я) -(называемых соответственно уходящим и приходящим) таким образом: sa+fio. 1 состоит из начальных данных тех решений волнового уравнения, которые обра-

щайся в нуль в переднем ("заднем конусе

oUsi fo,x) < b [oùti {o,x ) "1

Здесь X € OC , oUst f:означает расстояние между точками ОС и ^ в метрике С& . Эти подпространства обладапт следующими свойствами

для всех 4.^ О

(î-î- ) ^ {о}

(Î.U ) \J -с^-

Наличие подпространств с такими свойствами гарантирует как существование абстрактного оператора рассеяния S-i?+ отвечаввего группе Ш) и паре ££)+ , так как и некоторые

ого свойства (наприкор унитарность и коммутируемость со сдвигами). Кроме ТОГО, поскольку ПОСЛ(: преобразования Фурье нк получаем спектральное представление, то оператор рассеяния при этом переходит в оператор ^VSSr-1 с соответствующими свойствами.

Параграф 3 главы ь посгяиоп исследогамиг вопроса о локаль-

ном убывании энергии для инвариантного волнового уравнении. Рассматривается фундаментальное решение слодуп'леП

яяг'лчи Коши на ОС (отнотим, что в зтом параграфе сняты ограничения на ранг прострячтттч ОС> ). ,

Основной результат этого параграфа составляет следующая теорема.

Теорема 2.3. а). Аля любого компактауК С^СнОС. суиест-

ізует такая константа Т >0 , что при лобих спра-

ведлива оценки

ъи

при {.>Т И , Хф% , Ьхеиик ОС. .

Замечание: В случае, когда пав корни алгебри Нортама имеют четные кратности оценку ножно улучшить на 2 единицы.

б). Если чапЖ- , то при некоторой конотанте

О для лгбого компакта -'Х ^ ОО- существует такая константа ^ , что при любнх^^-ь справедливі) оценки

д* - 0(£~ЛЬ)

при ^>7\ =с^. .

!!, .'но птчг г'.ть і«сну» сичзь локального уСнванчч энергии со с^сттл^м ( ^ '■ ) полн; острпнсти . Кроме того, результати

о локальном убывании энергии МсФут бить полезны для получения асимптотичеокиго разложения спектральной функции длп оператора ШредиНгера с финитный потенциалом. .

Глава 3 посвящена изучение, гипоэллиптнчвеких уравнений ' типа уравнения Гельмгольца на симметрическом некомпактном .пространстве X произвольного ранга. .

0 § 3.1 вводится необходимый далее вариант метода стационарной фазм, где роль зкепойент играют сферические функции на ОС- е/к , Основной результат этого параграфа, содержащийся п теореме 3.1 таков:

ПустЬ $ - гладкая ограниченная замкнутая (-£-4 )-мерная Поверхность л Ох? (оО-ш Ох*= в) , на которой имеется конечное число кг! точек 6"4 , нормаль к в которых параллельная

никоторому фиксированному слемонту /'(о положительной камеры Войля СТС4. Пусть при этом полней кривизна поверхности в точках отлична от О . Тогда найдется такое о о ,

что при .1Н-Н*1<£ верно: ■ ’ ■

5^ЯРхЛаМ)»18. -

Й '

* ¿Л-,(н)%м№^ * 0(1-^),

Г

»¿I" > Ч^о(Н)1

чх

где \(Н)* (&) ^1 \(Н) ^(&(Н) \

- некоторая гладкая функция на (7С* > “ сферическая фуНКЦИЯ, ^ - /ЕЭН^ОГЬ ИРМ у ЧИСЛОМ ПОЛПКПТОЛЬНЧХ и

отрицательных кривм?н в течке 6^0 .

(¿яелупки'Л § 3.2 срл'.'р;';ir гомс tpyvii't) фундямеитчлытго ¡iSüeJIHn СППЧИЧЛЫШГО ЛИЛ! ЛЛ” У гм « ни я типа уровцрмич Гельмгольца. Глсоиатриваотсл t mm эллиитпч^скиИ onepáiop pe $( PJc ) "оиилол" pW которого у ДОЛЛЄ! Dcp/ІЄТ слрдугкип УОЛОРКШС

I. Гшісоллнптичності-. то есть ллч мулкгчи1Ч':кса

(¿4,.. .,Ui ) Є g/ ; <^).r эы pCx)/àXt'... 9ліе

ПЧПОЛПЯОТСП ЛЛЛ BCfiX

>•

если О ^г>/ £

2. EtVrCTop <^tac¿ p (''Л) ф о п тох точкчх Ох?! в KOtypHX

рс'л>--0. .

3. ПоНОрХНОСТЬ нулел многочлена p (^) C'JCTOIIT из конпч-ного числа ье

гладких сшнннч ( Í- і ) - цпрнчх гкіЕпрхмпетеГі

s¿ О-‘і**')

і\. ¡дшіач крипнзна поворхіюстоіі S^j нигло не ¡члнч нулп. Раиа.міїтрчнаотсч К - пнляї ноіітнчл ебобпенн.чя ^упкннч êjA на СС

= Я/К

, ЛГШШ'ЧОЧЦЯ следу пвшм образом

ги np« 4>eS>CX) т тттт» ^ __ ^

- сферическое пр^образогвпие їурье І'унг.іпмі LfD^ im , .

С5об;-,оннач функции умеренного рейтч £д» (^Л) геть їуи1'<цто¡тл на (7t7. ди.'І стше которого опродел'-'отои пічп ночієннрч

^ Зі

13 ГОС [-Of му ЛІ І'ОНОЛкЗОРЧ.іИС)- СЛвДуРПіПР эСээчччснкч !

~ '\Ґ* >• • 'і ÇJ ір- ) - Р?ктор (і к< "і ик'таї'и piriwit A £ ,

се*) - функция Хариш-Чачдри (см. § ^. З главы І). Многочлен ррО представлен в виде р ('л)г рі (>)• ^Г-А) , где 'ГС-^З -гшічзллиппіческий многочлен с вещественными коэффициентами ■и с^гсіс(.'1г^0и яешеотвсиных нулях Х7У, а р^ - гипооллиптичес-кіні многочлсії без вещественных пулен. Справедлива следующая Теорема 3.2. При выполнения условии I. - на полином р(Л) обобиеннаи функция (э/Ч является фундаментальним решением для оператора Р , то есть

• Дня построенного таким образом фундаментального решения £д< получен сілгдуодіиі результат, содержащийся в теореме Э.Э: Теорема 3.3. При сделанных ограничениях на символ р £Х) оператора р*т/к) , его Фундаментальное решение <&Ч допускает при Ч-^оо следующее разложоние ^

примем от? разложение допускает дифференцирование по хНйОх.

Рассмотрения адесь существенно нспользуит следушцео свойс

во С -функции Харии-Чапдрн, даваемзо леммой 3.2:

С?* ^

Для любого мультииндекса + сукгствугт такая комета

та , что при всех спрувпдлива оценка

В § 3 гЛ<г,»ы 3 считан некоюриї гчмчжальннн класс фун"!ыи, р котором неоднороднее уіаот>и;іе Р?Лг и іг»г единственное

--fc*

- ІЗ - •

|iLijonna. D случае /R?X mi ппночпачтся уолопилми типа уелояШІ ■ излучения. Нам tie удалось, к оі»».п*г*нчк», описать их Липло г г» терминах поведения решения in Д». Он опИсаи в вил г» уг.яович ч-і некоторым образом преобразованную функ|1«п.

Определение¡ обозначим череп я^сстрэнЬтео функчті, пролстпт>тшч и виде îC nnnraewix 'U~ 5J 't/j (x. ) , , каждое

из которых удовлетворяет слелуяпему условии! функция t?j г = (?■ $) пум каждом *5-- Ум удовлетворяет П <1|'.рвСТИОСТИ

бесконечности следугіцим оценкам

ln9jftHJ)l ¿Cfÿ ■

. При Лс-^Оэ

Гоперь г - если &J* *- упомянутое инше Фундаментальное рогаение,

- свертка на X функций ISj* , то справедлива іледующая '

Теорема 3.^4 Уравнение имечт единственное решение

К = $Х ’Í JU в классе длit либеП 1<( - интрионтноіі Функ-

ции ^ с компактном носителем.

Основные результат» диссертации опубликован« в работах:

1. Соломатина JÍ.E» Транплччйонпое представление и принцип Чшгенса для инвариантного волнового уравнения на риматвої* Г!(ИЄТр,ІЧОСКОМ П)’ОС7[ аІІг’ТЧр/ OopOH"**. ЛС001ГМГЧ. пн-т. - Дороет, ISit‘3. - 20 п. - Лен. в РИііНТИ ¿7.0¡’,?r\ .» J7}')- 05 З'-ti.

2. Оолон.атеч і Л. Ь‘. !уііланпіпачьі!ііп р«к*ч»(><| Hitnaj иангмчд

Д.ін.чпиі, уло " 1‘’"'1'!рЧГГ,І>п YO 1>,«НЯ» ТІМ!» ІПЛі 'ІГІМІ«// !•

XI floecoDBHOtt шкоЛи по теории операторов в Функциональных пространствах, 26-30 мая, 19дб. - Челябинск, 1906. - Ч.ІЇ -с, не; . .

Э. Соломатина Л.В. Трансляционное представлений и принцип Гюйгенса для инвариантного волнового уравнения на римдновом симметрическом йространстве// Изв. ВУЗов. Сер. математика. -1986. - К б. - С. 72-74.

4» СолоМатина Л.Ё. О фундаментальных решениях инвариантных дифференциальных уравнений йа симметрических пространствах// Функциональные пространства и уравнения математической физики: Сб.статей. - Воронеж: Изд-во Воронеж.гос.ун-та. -1908і ~ С.51-61. .

Автор выракоет искренняя благодарность С.Г.Крепну и П.А.йуЧнвнту »¿Г постоянное шЫмание и помощь в работе.

ЛК 01*51)3 отЗі’.07.90г., ззиоэ 575, тирак 100 экп. Объем 1пл. if-ормят Г'ОхЭО 1 /16. Офсетная лаб. ВГУ».