Восстановление динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Платонов Андрей Анатольев!

ии^и5ББ80

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИНАМИКИ ЛЕНТОЧНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ

01.04.04 - Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград - 2007

003056680

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Волгоградском государственном техническом университете на кафедре «Физика»

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шеин Александр Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Бецкий Олег Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Свежинцев Евгений Николаевич.

Ведущая организация Волгоградский государственный

университет.

Защита диссертации состоится «27» апреля 2007 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета К 212.028.01 при ГОУ В110 Волгоградском государственном техническом университете по адресу: г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета

Автореферат разослан «26» марта 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Авдеюк О. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одной из актуальных задач физической электроники является изучение процессов, протекающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными волнами, имеющими сложный спектральный состав. При этом интерес представляет не только усиление или генерация сигнала с дискретным набором спектра частот, но и поиски путей создания условий, при которых может осуществляться генерация стохастических сигналов.

Учитывая, что натурный эксперимент не в состоянии сразу дать ответ на поставленные задачи ввиду сложности явлений в пространстве взаимодействия, приходится прибегать к машинному эксперименту, то есть моделированию этих явлений, что позволяет решить ряд важных практических задач, таких как создание новых или совершенствование имеющихся устройств. Кроме того, моделирование делает возможным исследование процессов, недоступных для непосредственного изучения в реальных приборах, таких как динамика электронного потока внутри пространства взаимодействия, поскольку в электронном приборе именно электронный поток является основным рабочим инструментом и его группировка в высокочастотном поле (с учетом дисперсионных характеристик замедляющей системы) определяет протекающие явления.

В ряде последних работ рассматривались многочастотные процессы в приборах со скрещенными полями. Это обусловлено, прежде всего, тем, что приборы М-типа широко используются благодаря хорошим техническим характеристикам (высокий электронный КПД, высокий уровень мощности при малых габаритах), что делает их исследование важным с практической точки зрения. Кроме того, теория таких приборов в определенной мере развита, и результаты дос таточно хорошо коррелируют с экспериментальными данными. Однако дальнейшее изучение ограничивается тем, что при современных мощностях ЭВМ невозможно в течение практически приемлемых промежутков времени исследовать долговременные закономерности динамики потока. Поэтому необходима разработка такой методики анализа, который бы позволила на базе ограниченного количества результатов предсказать, что получится при взаимодействии потока с электромагнитной волной в дальнейшем.

В качестве исходного прибора выбрана лампа бегущей волны М - типа (ЛБВМ). Этот выбор обусловлен несколькими причинами, основной из которых является то, что ЛБВ является распределенной автоколебательной системой с длительным взаимодействием электромагнитной волны и электронного пучка. Такие системы обладают бесконечной размерностью фазового пространства. Следовательно, знать весь бесконечномерный вектор их состояния невозможно. Систему необходимо рассматривать как «черный ящик», а для получения модели -использовать математический аппарат нелинейной динамики.

Хотя в качестве объекта исследований выступает физический прибор, источником исходных данных для исследования является компьютерная модель движения электронного потока, которая основана на решении системы уравнений его движения и уравнений возбуждения. При этом наиболее сложная часть модели - определение сил пространственного заряда, действующих на частицы, реализована классическим методом частица-частица. Такой выбор обусловлен, в первую очередь, тем, что модель дает возможность анализировать не только выходные параметры, но и «внутренние» характеристики электронно-волнового взаимодействия, что недоступно в реальном эксперименте. Примером такой характеристики являются значения силы тока через некоторое внутреннее сечение прибора. В реальном приборе получение этих значений невозможно реализовать практически, поскольку внесение электрода внутрь пространства взаимодействия повлечет изменение электрического поля внутри прибора, что отразится на достоверности полученных результатов.

В этой связи целью исследования является создание метода моделирования величин, описывающих динамику ленточного электронного потока в скрещенном электрическом и магнитном полях, по экспериментальным данным. Он позволяет, используя величины, рассчитанные с применением какой-либо классической модели в течение небольшого промежутка времени, получить на их основе некоторую модельную систему уравнений, на основе которой сделать долговременный прогноз. За счет этого существенно ускоряется расчет наиболее существенных величин. Кроме этого, появляется возможность исследовать некоторые важные свойства сигнала (наличие и тип шума, изменение скорости убывания гармоник в зависимости от частоты и другие).

Основные задачи, решенные в рамках исследования:

- изучены основные методы анализа и реконструкции динамических систем, проведено исследование их применимости для реализации нелинейного прогноза;

- проведено сравнение различных методов, исследование их применимости к реконструкции величин, описывающих динамику электронного потока;

- показана необходимость фильтрации шума для осуществления реконструкции, разработан метод разделения шумовой и динамической компонент;

- разработан итерационный метод нелинейного прогноза на основе глобальной реконструкции динамической системы;

- проведены исследования адекватности и устойчивости данного метода;

- разработан прямой метод нелинейного прогноза на основе функции Вей-ерштрасса;

- проведены исследования его адекватности и устойчивости.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан метод моделирования по экспериментальным данным, позволяющий существенно сократить время расчета плотности тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях;

- показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, хорошо описывается гауссовым шумом и не оказывает принципиального влияния на динамику системы;

- разработан метод разделения шумовой и динамической составляющей, основанный на применении преобразования Фурье;

- показано, что значение тока через сечение прибора зависит только от предшествующих значений в небольшом интервале;

- впервые получена размерность фазового пространства системы, равная 4;

- показано, что зависимость значения тока от времени с достаточной точностью описывается известной функцией Вейерштрасса;

- показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания;

- показано и подтверждено численным экспериментом, что шум, наблюдаемый при движении электронного потока, не является динамическим (неотъемлемым от принципиальной динамики системы), а представляет собой аддитивный компонент.

Практическая ценность заключается в том, что предложенный метод позволяет сократить затраты на моделирование электронных потоков.

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в госбюджетных научно-исследовательских работах «Математическое моделирование многочастотных взаимодействий в скрещенных полях» (№ гос. регистрации 01990010964), «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М - типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653 ), выполненных в Волгоградском государственном техническом университете в 1999 - 2003 г. фундаментальных и поисковых работ Министерства образования РФ, и выполняемых настоящее время на кафедре физики по планам Агентства по образованию РФ.

Достоверность результатов исследования обусловлена использованием классических методов и процедур нелинейной динамики, достаточным количеством результатов, коррелирующих с результатами других авторов, а также сравнением результатов работы метода с данными, полученными известными классическими моделями.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, основанный на процедуре нелинейного итерационного прогноза с использованием глобальной реконструкции.

2. Алгоритм разделения шумовой и динамической составляющей величины

тока.

3. Метод моделирования величины тока, основанный на процедуре прямого прогноза с использованием функции Вейерштрасса.

Публикации. По результатам данной работы имеется пять публикаций, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Диссертант полностью провел исследование и прогноз в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем: разработал алгоритм фильтрации шума, провел выбор параметров этого алгоритма, выбрал нелинейные функции для описания сигнала; разработал новый алгоритм моделирования величины тока на основе метода глобальной реконструкции; предложил идею об аппроксимации сигнала функцией Вейерштрасса и провел исследование зависимости ее параметров от условий эксперимента; провел исследования устойчивости полученных моделей в зависимости от исходных параметров; сделал оценку скорости работы предложенных алгоритмов по сравнению с классическим методом моделирования «частица-частица».

CTpymjpa диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии, включает 107 страниц, 33 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, ее научная новизна и практическая ценность, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, носящей обзорный характер, рассмотрено современное состояние методов анализа, реконструкции и прогноза систем, приведены основные понятия и основы математического аппарата теории динамических систем (ДС). Для реализации численного моделирования рассмотрена теорема Такенса, заключающаяся в следующем. Предположим, что зависимость a(t) представляет собой одномерную проекцию фазовой траектории некоторой ДС, которая определена как система ооыкновешгых дифференциальных уравнений. Предположим также, что фазовая траектория при надлежит аттрактору А системы, размерность которого равна d. Фазовый портрет динамической системы может быть восстановлен по скалярному временному ряду а;, если в качестве недостающих координат вектора состояния используется тот же самый ряд, взятый с некоторым запаздыванием. По одномерной реализации a(t) ДС, обладающей аттрактором А, принадлежащим гладкому М-мерному многообразию, методом задержки можно получить п-мерную реконструкцию Лм исходного аттрактора как множество векторов x(i) в R":

x(t) = A„[(a(t)) = (a(t),a(t + r),...,a(t + (n- ljr)) = (x,, x2,...,xj (1)

Согласно теореме Такенса отображение А~>АЯ является гладким и обратимым на Ац почти при любой задержке г (если число отсчетов iV—>■со). Число п называется размерностью вложения. Основной проблемой при восстановлении фазового портрета будет определение тип.

Кроме того, в первой главе рассмотрены физические основы динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях.

Во второй главе показано, что широко известные методы моделирования приборов СВЧ обладают рядом недостатков, наиболее существенным и непреодолимым из которых можно назвать их низкую скорость работы. Поставлена задача моделирования посредством нелинейного прогноза и предложен метод моделирования, включающий следующие основные шаги.

1. Выбор исходной модели для исследования и получение временного ряда на некотором интервале времени.

2. Выбор метода первичной обработки данных. Фильтрация входных данных (сглаживание для снижения уровня шума и получения фазового портрета, пригодного для реконструкции динамических уравнений)

3. Определение динамических параметров для реконструкции фазового портрета. Реконструкция фазового портрета.

4. Выбор вида нелинейных уравнений, описывающих систему. Нахождение коэффициентов уравнений, описывающих систему.

5. Предсказание значений силы тока на основе полученной модели. Проверка адекватности полученной модели.

В качестве исходной модели взята трехмерная модель электронного потока, с расчетом взаимодействия методом «частица-частица».

Проведенное сравнение и анализ широкого спектра имеющихся методов показывает, что оптимальным для решения поставленной задачи является метод глобальной реконструкции. Показана необходимость фильтрации шума во входных данных, предложен алгоритм фильтрации. В отличие от широко применяемых цифровых фильтров, предложенный алгоритм фильтрации «отрезает» гармоники не в заданной полосе частот, а по всему спектру (значения модуля которых меньше некоторого порога). Уравнение, описывающее предложенный фильтр, имеет следующий вид:

_ 0,101og(cy)<ср

Cj~ ct^oiogic^zc^ (2)

где ср - значение величины порога в децибелах (дБ).

Определен способ восстановления фазового портрета по теореме Такенса с предварительным нахождением параметров реконструкции тип. Проанализированы различные алгоритмы выбора данных величин, показана необходимость использования метода ложных ближайших соседей для нахождения п и первого минимума функции средней взаимной информации для определения т. Показано, что предсказание оптимально осуществлять итерационным методом (в виде дискретного отображения), а в качестве базисных функций- использовать полиномы.

В третьей главе реализован прогноз величины тока через сечение пучка методом глобальной реконструкции с полиномиальным базисом.

В качестве входного временного ряда используются значения тока через поперечное сечение модулированного пучка, полученные на основе решения уравнений движения трехмерного электронного потока в пространстве взаимодействия при наличии постоянного по величине высокочастотного поля. Модель для получения входных данных разработана Евдокимовым P.A.

Рисунок 1 - Схематическое изображение пространства взаимодействия ЛБВМ

Параметры данной системы таковы: величина индукции магнитного поля В =0,1 Тл, напряжение между электродами ¡7=6000 В, длина пространства взаимодействия /.=50 мм, ширина системы вместе с боковыми полостями 1=22 мм (рисунок 1), ширина полостей /„=1 мм, высота системы 1=2 мм, высота полостей над системой /„= 4 мм, высота влета h=1 мм, ширина потока Dp= 16.5 мм, толщина потока Я = 0,2 мм, величина тока /=0,99А, все частицы инжектируются с одинаковой скоростью о0= 0,1с = 3-Ю7 м/с (с-скорость света). Параметры временного ряда: значения тока через сечение /=46 мм от точки влета потока, шаг дискретизации ift=3-10"12c.

Реализован метод прогноза динамики электронного потока в скрещенных полях на основе величины тока через сечение прибора путем реконструкции уравнений по экспериментальным данным. На фазовых портретах проанализировано влияние порога фильтрации на уровень шума и выбрано оптимальное значение порога -20 дБ. При помощи методов, описанных выше и реализованных в программах TISEAN и Fractan, найдена оптимальная временная задержка т =3310"'2 с (11 отсчетов входного временного ряда), которая использована для восстановления фазовых портретов в двумерном пространстве. Определена размерность фазового пространства системы п, равная 4.

После определения параметров для реконструкции фазового портрета необходимо получить уравнения, описывающих систему и последующий прогноз значений на их основе. Для этого используется метод глобальной реконструкции с полиномами в качестве базисных функций. Его целью является построение математической модели исследуемой системы, которая полагается динамической.

Учитывая, что имеющийся временной ряд является дискретным, задать искомую ДС можно в виде «-мерного дискретного отображения

х/ i+[=F(xiji,X2ii,...,xnj), (3)

гдеху ,- координаты вектора состояния, рассмотренного в моменты времени i.

Поскольку координаты n-мерного вектора связаны между собой в соответствии с ( 1 ), получаем рекуррентное соотношение, описывающее зависимость тока через сечение пучка в некоторый момент времени от предыдущих значений тока (т.к. время связано с индексом i следующим образом: t=idt=5-10' i):

Xi+i=F(xilXi.1i...,Xi-(H.i)J u (4)

Если размерность пространства вложения определена и фазовый портрет исходной системы восстановлен, то основная проблема на данном этапе состоит в конкретизации вида функций Fj в правых частях искомых уравнений. Выбор вида функций Fj осуществляется априорно и достаточно произвольным образом. Наиболее популярным является представление функций в правых частях уравнений в виде полиномов степени v :

É'^v, (5)

hh—h-O i-l к.\

где Сп, j- неизвестные коэффициенты, которые требуется найти. Варьируя число оставляемых членов ряда, можно менять ошибку аппроксимации функции в окрестности заданной точки.

Система уравнений (5) допускает запись для любого номера г. Для нахождения коэффициентов каждой функции Fj необходимо решить систему N линейных алгебраических уравнений

i,j,.....1,-0 i.l

с неизвестными С;,, ; , в которой N- число точек скалярного временного ряда, используемых для аппроксимации правых частей (иногда используются не все доступные точки, а только выборочные), a v -степень полинома.

Функция F находится с использованием многомерной регрессии, реализованной в системе Mathcad 12.

Для этого находятся ряды, полученные из исходного методом задержек:

xl, =

х-1 - ,

ХП, = *,_r.,v

Функция regress используется для нахождения матрицы коэффициентов полинома, a interp - для определения непосредственно полиномиальной функции F. Для их работы необходимо задавать также степень получаемого полинома. При малых I', точность полученной функции будет достаточно низкой. При слишком больших- значительно возрастает вероятность расхождения полученной функции (бесконечного роста или уменьшения значений F с ростом г), что связано с так называемым «переобучением». Поэтому степень полинома v выбрана путем экспериментальных реконструкций и равна 4. N определено ранее. Число коэффициентов полинома равно:

К = (N + \>y./(N№), где N- число независимых переменных, а г - степень полинома.

Число коэффициентов полинома К равно 70. Получаемая полиномиальная модель является весьма громоздкой и не подходит для аналитического исследования. В то же время скорость ее работы на шесть порядков превосходит скорость метода частица-частица, а точность достаточно высока. После того, как F найдена, значения реконструированной функции Xpoly находятся последовательно методом итераций формулы (4).

Проанализирована адекватность полученной модели, т.е. проверено выполнение следующих условий (в порядке возрастания жесткости требований к модели).

1) Проверка реконструкции. Соответствие полученного ряда исходному (длина обучающей выборки равна длине всего временного ряда). В этом случае полином используется как аппроксимирующая функция для входного ряда.

2) Проверка прогноза. Соответствие прогноза данным, полученным классическим методом моделирования. При этом за обучающую выборку принимается некоторая часть входного ряда, по ней делается прогноз и сравнивается с полным рядом.

3) Проверка модели вне выборки (обучение модели на одной части ряда, а в дальнейшем сравнение полученных данных с другой его частью). Такой подход позволит доказать устойчивость модели в зависимости от входных данных.

4) Проверка модели на рядах, полученных при разных значениях параметров прибора (устойчивость в зависимости от изменения параметров). Поскольку обратная задача не имеет однозначного решения, имеется возможность выбрать модель, лишь некоторые, заранее выбранные свойства которой будут со-

ответствовать свойствам исходной. С этой целью были выбраны наиболее значимые критерии, описывающие сигнал: его форма, восстановленный фазовый портрет и его спектр Фурье. Восстановленный фазовый портрет отражал основные динамические свойства сигнала, а спектр Фурье- частотное распределение, важное для практического применения в усилителях, одним из видов которых является ЛБВМ.

Для качественной оценки сходства реконструированного и исходного сигнала использован визуальный анализ.

Для анализа корректности использовались следующие критерии:

1) восстановленный в двумерном пространств^ фазовый портрет (рисунок 2в),

2) спектр Фурье полученного сигнала (рисунок 36).

Ы Г\ р{ А

ь -г /А— ;. I-

V

а) б) в) г)

Рисунок 2 - Фазовые портреты сигналов На рисунке 2 приведены восстановленные в двумерном пространстве фазовые портреты исходного (а), сглаженного (б) реконструированного (в) и реконструированного с добавлением шума (г) сигнала.

а)

ЯЩи*

б)

Рисунок 3 - Спектры сип [ала

в)

На рисунке 3 приведены спйпры Фурье для исходного (а), реконструированного (б) и реконструированного с добавлением шума (в) сигналов.

Фазовые портреты дают хорошее описание динамики системы, но их невозможно строить при размерности фазового пространства N более 3, Так как н нашем случае .V равно 4. то используется проекция меньшей размерности. Для наглядности используются двумерные проекции (т.е восстановленные методом задержек в 2-мерйОм пространстве). Как видно нз сравнения фазовых портретов реконструированного и исходного сигнала, а также из сравнения их спектров Фурье, полученное дискретное отображение может использоваться для долговременного прогнозирования поведения системы.

Для предсказания значения силы тока через сечение пучка необходимо знать лишь значения тока в 4 прошлых момента времени^ причем самый ранний из них отстоит от предсказываемого на (3т+ I т.е. на 34- 1<У Это связано, по-видимому. с конечным расстоянием, на котором взаимодействуют частицы.

Также видно, что исследуемый сигнал можно разделить на две составляющие: полезную и шумовую. Последнюю можно аппроксимировать с достаточной точностью добавлением к отфильтрованному сигналу гауссова шума. Для этого использована программа а<1(Ш015е из пакета для нелинейного анализа временных рядов ТСЕАК. К исследуемому потоку добавлялся гауссов шум с абсолютной

амплитудой 0.12 {ключ -г 0.12). Спектр реконструированного сигнала с добавлением шума приведен на рисунке За.

Реализована проверка модели вне выборки. Ниже приведен спектр сигнала, Причем выборка в первом случае производилась, начиная с 3126-го отсчета, а но втором- с начала входного ряда. Поскольку длина выборки в обоих случаях составлена 201)0 отсчетов, то выборки не пепесекаются.

ft, дБ

"Г

; I^" 4.л" ■ юшш ■ нГ*

'.Гц Г.Ги

Частота 3,5 ГГц. Выборка - начиная с 3126-го отсчета, длина выборки -2000 отсчетов. Рисунок 4 - Спектр исходного (а) и реконструированного сигнала

к

дБ

А. дБ

liwnWW*«!!

'.Гц Г.Ги

Выборка- начиная с 1 -го отсчета, длина выборки -2000 отсчетов Рисунок 3 - Спектр исходного а) и реконструированного (б) сигналов.

Из сопоставления рисунков видно, что модель устойчива по входным данным, поскольку свойства сигнала не меняются в зависимости от положения выборки во входном раду.

Также проведена проверка устойчивости модели при изменении параметров прибора.

Проведены численные эксперименты по реконструкции для параметров прибора, описанных выше.

Частота модуляции ВЧ полем 5.2 ГГц, длина обучающей выборки здесь и далее- 2000 отсчетов.

А, дБ

■WTIFII«

f.ru

Рисунок 6 - Спектр исходною и реконструированного сигналов. Частота модуляции 5.2

1Й5 0-1 01> 42 02J l(t- í).mA

Частота модуляции 5.2 ГГц Рисунок 7 Фазовый портрет исходного и реконструированного сигнала

Особенность реконструкции для данного временного ряда по сравнению с предыдущим состоит в том, что амплитуда модулирующей бегущей волны существенно меньше (доля от равна 1е-6). Поэтому меньше как величина полезного сигнала, так и уровень шума. По этой причине порог фильтра выбирался равным -33 дБ, а соответствующий уровень гауссова шума, добавляемого к реконструированному сигналу. 0 007мА. _ _ _

А.

Аг дб

Частота модуляции 5.7 ГГц, амплитуда- 5е-6 Рисунок Я Спектп неполного и пеконеттипояанного сигналов

Для проверки устойчивости модели к изменению параметров прибора проведена реконструкция потока с другой скоростью влета электронов в пространство ззаимолиЙстйия.

1«-1),шА 1(1-1).ллА

Частота модуляции 5.7 ГТц Рисунок 9 - Фазовый портрет исходного и реконструированного сш нала

А. аБ

Г, Гц ГГц

Частота модуляции 3.5 ГТц, скорость электронов 2.8-10' м/с Рисунок 1 0 Ггшкгп неполного и пеконстпуипояачною сигнклап

А,

ДБ '

ггм

Частота модуляции 3.5 ГГц, скорость влета потока равна 3.6-107 м/с Рисунок 11 - Спектр исходного и реконструированного сигналов

Фазовый портрет и спектр Фурье предсказанного сигнала соответствуют аналогичным характеристикам исходного сигнала. Показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, и хорошо описывается гауссовым шумом.

Сделана оценка скорости работы, показано, что предложенный метод является в 2.5-2.75 более быстрым по сравнению с методом частица-частица (при проведении полной реконструкции). При заранее полученной модели метод дает выигрыш в скорости более, чем в 4 млн. раз.

В четвертой главе получен прогноз величины тока через сечение пучка с использованием функции Вейерштрасса.

Как показывает анализ спектра сигнала, в нем присутствуют кратные пики (гармоники) основной частоты. Следовательно, сигнал можно представить в виде суммы некоторых периодических базисных функций.

В математике достаточно давно известны функции, обладающие такими свойствами. Функция в том виде, как она описана Вейерштрассом, имеет следующий вид:

y(x) = ^A"cos(B"7a), (7)

где 0<А<1, а А В достаточно велико (в оригинальной работе ЛВ> 1 +3/2 к).

В общем виде эту функцию можно записать как:

y(x)^^a(kJcos(k„x + <p,J, (8)

-о

где а(к„) к~а, кп х п, <рп - фаза,а -скорость убывания Фурье-спектра.

Необходимо определить вид функций a(kj и кп. В рассматриваемом случае из формы спектра видно, что к„ где Г0 = —-, /m0ll-частота модуляции. Та-

Т® /mod

кой выбор к„ соответствует наличию кратных пиков в спектре. Кроме того, поскольку для описания работы модели принципиальное значение имеет лишь периодическая составляющая, можно брать нижний предел суммы, равным 1.

Следовательно, необходимо найти а(к„). В соответствии с (8):

a(k„) = n~"+b (9)

Задача реконструкции будет состоять в нахождении коэффициентов а, Ъ.

Для численного расчета значений функции верхний предел суммы необходимо брать равным какому-либо конечному числу. Изучение вида спектров сигнала при разных значениях основной частоты показывает, что отчетливо различаются 8-12 гармоник сигнала, остальные из них неразличимы в общем уровне шумов. Поэтому этот предел целесообразно взять равным 12.

Следовательно, функция, используемая для реконструкции динамической системы, имеет вид:

= +6)cosfe+ «>,,) (10)

л=0 I ^

Все параметры прибора, за исключением частоты модулирующего высокочастотного электромагнитного поля, остаются постоянными, указанными выше. Исходная зависимость представляет собой одномерный временной ряд - функцию значения тока через^поперечное сечение пучка от времени, дискретизирован-ную с периодом dt=3-10~ с. Данный период выбран не произвольным образом, а в качестве компромисса между точностью и производительностью модели.

Для реализации прогноза используется система Mathcad версии 12. Полученный в результате работы модели ряд загружается в систему, для него определяется спектр Фурье. По величине пиков гармоник основной частоты находится их огибающая. Численный эксперимент показывает, что она действительно опи-

сывается формулой (10), где а зависит от параметров физической системы, а п — номер гармоники. Определение параметров а и Ь производится путем аппроксимации огибающей спектра функцией (9). Получаемый при использовании (10) сигнал дискретизируется с периодом Л=3-10' с.

Анализ полученного сигнала показывает, что данная формула не учитывает шумовую составляющую. Последнюю можно добавить либо после реконструкции непосредственно, например, при помощи программы асШшлБе из пакета ТКЕАЫ, либо учесть непосредственно в указанной формуле в виде некоторого случайного сдвига начальной фазы (приближение случайных фаз). Тогда (10) можно записать в виде:

/(*) = |>-<" + 6) * +

и^С) * и

(П)

где 8 -некоторая случайная добавка, реализованная с использованием функции МаЛсас1 гпс1(я), дающей случайную величину, равномерно распределенную в интервале [0,.?]

Важным шагом при реализации любого метода моделирования по экспериментальным данным является проверка адекватности полученной модели (ее применимости к реализациям при разных параметрах прибора, устойчивости в зависимости от обучающей выборки, длины предсказания).

Рассмотрим предложенный метод для прогноза сигнала при модуляции волной частотой 3.5 ГГц. Длина обучающей выборки -500 отсчетов, длина полученного впеменного пяла -5500 отсчетов.

ЛИГ).

дЕ

Рисунок 12

А2(Г>. лт; .

Частота 3.5 ГГц а =1/5 - Спектр исходного (А1) и реконструированного (А2) сигнала

Коэффициенты модели определялись при помощи вычислительного эксперимента. Для рассматриваемого временного ряда функция а(кп) имеет вид

а(ка) = п '+0.6. 8 = 0-;-0.7. 8 выбирается исходя из вида спектра исходного ряда. Параметр а из (5), (характеризующий скорость убывания Фурье-спектра), оказывается равным 1/5.

Как видно из рисунка. 12, предложенная модель адекватно описывает форму и спектр сигнала

Далее рассмотрим реконструкцию для другой частоты модуляции, равной 4 ГГц. Спектры исходного и реконструированного сигнала приведены на рисунке 13.

Параметр Ъ остается неизменным, а незначительно возрастает и становится равным 0.21. Можно предположить, что данный параметр зависит от частоты модуляции, а поскольку изменение частоты несущественно, то он не претерпевает заметных изменений. ,

Частота 4 ГГц а =0.21 Рисунок 13 - Спектр исходного (А1) и реконструированного (А2) сигнала

Чтобы проверить это предположение, проведем реконструкцию для потока, модулированного ВЧ - полем с существенно большей частотой 5.7 ГГц. Соответствующие спектры приведены на рисунке 14.

---«

»"г> г"

Alif),

дБ-,»1

А3(0,

дБ .,„

Рисунок 14 - Спектр исходного (А1) и реконструированного (А2) с частотой5.7 ГГц а =1/3

сигнала

Получено а(кп)~п 3 +0.6, <5 = 0н-0.7. Как видно, |а|,'характеризующий скорость убывания гармоник, зависит от величины основной частоты сигнала. С ростом частоты до 5.7 ГГц гармоники убывают существенно быстрее, и уже на 5-6 становятся неразличимы в общем уровне шумов.

Как показано выше, метод является устойчивым к изменению частоты модуляции. Необходимо исследовать также необходимую для его работы длину обучающей выборки.

Из сравнения результатов реконструкции при 2000, 1300 и 500 отсчетов, метод мало чувствителен к длине обучающей выборки. Несмотря на изменение формы спектра при уменьшении длины входного ряда, высота пиков в спектре меняется незначительно, поэтому метод дает корректные результаты при небольшой длине входного ряда (порядка 500 отсчетов). В силу жесткого задания формы базисной функции, метод не подвержен переобучению модели. Основное ограничение сверху на длину обучающей выборки носит практический характер и связано с большим временем расчета измеряемого временного ряда.

Наиболее важным параметром, характеризующим практическую ценность метода, является его длина прогноза. В исследованных рядах длина обучающей выборки составляла 500-600 отсчетов, а длина прогноза - 5500 отсчетов. Длина предсказания теоретически не ограничена. На практике основное ограничение накладывается погрешностью определения коэффициентов модели. В связи с простотой используемой формулы и аппроксимацией огибающей основных гармоник, а не непосредственно сигнала, точность их определения ниже. Для рассмотренных рядов длина прогноза составляет 1000-1100% длины обучающей выборки.

Полная реконструкция при длине обучающей выборки 500-600 отсчетов занимает менее секунды. Это время включает построение огибающей и нахождение а и Ъ. Непосредственно расчет тока по формуле (11) занимает время порядка десятков миллисекунд.

Время моделирования ряда длиной 5500 отсчетов классическим способом частица-частица составит 198 часов, а при применении предлагаемого метода - 18 часов, требуемые на расчет входного ряда (обучающей выборки) длиной 500 отсчетов. Видно, что предлагаемый метод позволяет сократить время расчета в 11 раз или на 126 часов.

При условии заранее полученной модели время расчета составляет 10-30 миллисекунд, то есть более чем в 4 миллиона раз меньше, чем при расчете классическим методом. Длина обучающей выборки прямой модели существенно (в 4 раза) меньше, чем итерационной.

Длина предсказания прямой модели больше, чем итерационной, что обусловлено отсутствием накопления погрешности при последовательных итерациях.

Заключение

В результате проведенной работы можно сделать следующие выводы:

1. Разработан метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях, путем реконструкции полиномиальных дискретных отображений, позволяющий производить анализ поведения электронного потока в расширенной области и при проведении полной реконструкции обеспечивающий ускорение в 2.5-2.75 раза по сравнению с классическим методом, в котором для расчета пространственного заряда используется алгоритм частица-частица.

2. Показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, и хорошо описывается гауссовым шумом.

3.Для получения пригодного для реконструкции фазового портрета разработан алгоритм фильтрации шума, позволяющий разделить шумовую и динамическую компоненты сигнала, и определен оптимальный порог фильтрации шума, равный -20 дБ.

4. Определена оптимальная временная задержка, используемая для восстановления фазовых портретов в двумерном пространстве, равная г-33-10"12 с.

5.Определена размерность фазового пространства динамической системы, описывающей движение потока, равная 4, таким образом показана возможность глобальной реконструкции системы.

6. Разраоотан метод моделирования значений тока через сечение ЛБВ М-типа с использованием в качестве базиса функции Вейерштрасса, обеспечивающий ускорение в 10-11 раз по сравнению с классическим методом расчета.

7. Показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания а .При увеличении основной частоты с 3.5 до 5.7 ГГц ( в 1.6 раза) а возрастает с 1/5 до 1/3 соответственно (в 1.67 раза).

8. Показано, что уровень шума при заданных параметрах прибора заметно не меняется при увеличении частоты, и составляет величину порядка -20 дБ для всех исследованных частот.

9. Показана устойчивость полученных моделей при изменении частоты модуляции и скорости влета электронов.

Как видно из вышесказанного, методы прогноза динамики электронного потока представляют собой перспективное направление в анализе и исследовании его поведения. Для реализации долговременного прогноза целесообразно решать задачу реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. При практически полном отсутствии априорных данных о форме сигнала («черный ящик»), она является одной из наиболее сложных и полезных с точки зрения получения дополнительной информации о свойствах сигнала. Достаточно интересным с практической точки зрения представляется проведение в будущем комплекса исследований для различных режимов работы приборов M-тина, в том числе в многочастотном режиме. Более крупной задачей, едва ли реализуемой на данном этапе развития методов реконструкции, является получение уравнений, содержащих в качестве параметров все или основные технические характеристики прибора.

Библиографический список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Платонов, A.A. Выбор параметров реконструкции динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.А. Платонов //'

/

«Нелинейный мир». 10 междисц. научи, конфер. Тезисы докладов- Нижний Новгород: ННГУ, 2005.- С. 107.

2. Платонов, A.A. Фильтрация шума и определение параметров реконструкции динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.А. Платонов //X региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области: тезисы докладов - Волгоград: РПК «Политехник», 2001. - С. 243-245.

3. Платонов, A.A. Реконструкция динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.А. Платонов //«Нелинейные волновые процессы». Конференция молодых ученых: тезисы докладов - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2006.-С. 120-121.

4. Платонов, A.A. Определение параметров реконструкции динамики электронного потока в скрещенных полях/А.А. Платонов // Математика и ее приложения- Иваново: ИвГУ, 2006, №1(3). - С. 31-38.

5. Платонов, A.A. Реконструкция динамики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.А. Платонов // Известия Волгоградского государственного технического университета. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах» -Волгоград: ВолгГТУ, 2007, №1 (27). - С. 95-99.

Подписано в печать 22.03.07г. Заказ 2.52- . Тираж 100. Усл. - печ. л. 1.0. Формат 60x84 1/ 16. Печать офсетная. Бумага писчая. Бесплатно.

РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета 400131, Волгоград, ул. Советская, 35

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ИХ РЕКОНСТРУКЦИЯ

ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ.

1.1 Динамические системы и их классификация.

1.2 Фазовые портреты динамических систем.

1.3 Устойчивость (линейное приближение).

1.4 Аттракторы динамических систем. Детерминированный хаос.

1.5 Динамические системы и временные ряды.

1.6 Статистические методы обработки временных рядов.

1.7 Реконструкция аттракторов по временным рядам. Теорема Такенса.

1.8 Предсказание временных рядов. Построение модели по входным данным

1.9 Алгоритм глобальной реконструкции динамических систем.

1.10 Электронный поток в скрещенных полях. ЛБВ М-типа.

Выводы.

2. ВЫБОР ОБЪЕКТОВ И МЕТОДОВ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГНОЗА ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА.

2.1 Постановка задачи моделирования электронного потока методом нелинейного прогноза.

2.2 Систематизация задач по объему априорной информации. Прямые и обратные задачи.

2.3 Основные этапы прогноза.

2.4 Анализ входных данных и выбор метода первичной обработки данных.

2.5 Определение параметров для реконструкции фазового портрета системы.

2.6 Выбор метода прогноза.

2.7 Выбор вида нелинейных уравнений, описывающих систему.

Выводы.

3. ПРОГНОЗ ВЕЛИЧИНЫ ТОКА ЧЕРЕЗ СЕЧЕНИЕ ПУЧКА МЕТОДОМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ.

ЗЛ Описание входного временного ряда.

3.2 Фильтрация шума и определение параметров фильтра.

3.3 Определение динамических параметров для реконструкции фазового портрета.

3.4 Реконструкция уравнений системы.

3.5 Проверка адекватности реконструкции динамической системы.

3.6 Определение длины обучающей выборки.

3.7 Проверка модели вне выборки. Прогноз.

3.8 Проверка устойчивости модели при изменении параметров прибора.

3.9 Длина прогноза итерационной модели.

3.10 Скорость работы итерационной модели.

Выводы.

4. ПРОГНОЗ ВЕЛИЧИНЫ ТОКА ЧЕРЕЗ СЕЧЕНИЕ ПУЧКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА.

4.1 Выбор базисной функции для реализации прямого метода прогноза.

4.2 Проверка адекватности модели.

4.3 Определение длины обучающей выборки.

4.4 Длина прогноза прямого метода.

4.5 Скорость работы прямого метода.

Выводы.

Одной из актуальных задач физической электроники является изучение процессов, протекающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными волнами, имеющими сложный спектральный состав. При этом интерес представляет не только усиление или генерация сигнала с дискретным набором спектра частот, но и поиски путей создания условий, при которых может осуществляться генерация стохастических сигналов.

Учитывая, что натурный эксперимент не в состоянии сразу дать ответ на поставленные задачи ввиду сложности явлений в пространстве взаимодействия, приходится прибегать к машинному эксперименту, то есть моделированию этих явлений, что позволяет решить ряд важных практических задач, таких как создание новых или совершенствование имеющихся устройств. Кроме того, моделирование делает возможным исследование процессов, недоступных для непосредственного изучения в реальных приборах, таких как динамика электронного потока внутри пространства взаимодействия, поскольку в электронном приборе именно электронный поток является основным рабочим инструментом и его группировка в высокочастотном поле (с учетом дисперсионных характеристик замедляющей системы) определяет протекающие явления.

В ряде последних работ рассматривались многочастотные процессы в приборах со скрещенными полями. Это обусловлено, прежде всего, тем, что приборы М-типа широко используются благодаря хорошим техническим характеристикам (высокий электронный КПД, высокий уровень мощности при малых габаритах), что делает их исследование важным с практической точки зрения. Кроме того, теория таких приборов в определенной мере развита, и результаты достаточно хорошо коррелируют с экспериментальными данными. Однако дальнейшее изучение ограничивается тем, что при современных мощностях ЭВМ невозможно в течение практически приемлемых промежутков времени исследовать долговременные закономерности динамики потока Поэтому необходима разработка такой методики анализа, которая бы позволила на базе ограниченного количества результатов предсказать, что получится при взаимодействии потока с электромагнитной волной в дальнейшем.

В качестве исходного прибора выбрана лампа бегущей волны М - типа (ЛБВМ). Этот выбор обусловлен несколькими причинами, основной из которых является то, что ЛБВ является распределенной автоколебательной системой с длительным взаимодействием электромагнитной волны и электронного пучка. Такие системы обладают бесконечной размерностью фазового пространства. Следовательно, знать весь бесконечномерный вектор их состояния невозможно. Систему необходимо рассматривать как «черный ящик», а для получения модели - использовать математический аппарат нелинейной динамики.

Хотя в качестве объекта исследований выступает физический прибор, источником исходных данных для исследования является компьютерная модель движения электронного потока, которая основана на решении системы уравнений его движения и уравнений возбуждения. При этом наиболее сложная часть модели - определение сил пространственного заряда, действующих на частицы, реализована классическим методом частица-частица. Такой выбор обусловлен, в первую очередь, тем, что модель дает возможность анализировать не только выходные параметры, но и «внутренние» характеристики электронно-волнового взаимодействия, что недоступно в реальном эксперименте. Примером такой характеристики являются значения силы тока через некоторое внутреннее сечение прибора. В реальном приборе получение этих значений невозможно реализовать практически, поскольку внесение электрода внутрь пространства взаимодействия повлечет изменение электрического поля внутри прибора, что отразится на достоверности полученных результатов.

В этой связи целью исследования является создание метода моделирования величин, описывающих динамику ленточного электронного потока в скрещенном электрическом и магнитном полях, по экспериментальным данным. Он позволяет, используя величины, рассчитанные с применением какой-либо классической модели в течение небольшого промежутка времени, получить на их основе некоторую модельную систему уравнений, на основе которой сделать долговременный прогноз. За счет этого существенно ускоряется расчет наиболее существенных величин. Кроме этого, появляется возможность исследовать некоторые важные свойства сигнала (наличие и тип шума, изменение скорости убывания гармоник в зависимости от частоты и другие).

Основные задачи, решенные в рамках исследования:

- изучены основные методы анализа и реконструкции динамических систем, проведено исследование их применимости для реализации нелинейного прогноза;

- проведено сравнение различных методов, исследование их применимости к реконструкции величин, описывающих динамику электронного потока

- показана необходимость фильтрации шума для осуществления реконструкции, разработан метод разделения шумовой и динамической компонент;

- разработан итерационный метод нелинейного прогноза на основе глобальной реконструкции динамической системы;

- проведены исследования адекватности и устойчивости данного метода;

- разработан прямой метод нелинейного прогноза на основе функции Вей-ерштрасса.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан метод моделирования по экспериментальным данным, позволяющий существенно сократить время расчета плотности тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях;

- показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, хорошо описывается гауссовым шумом и не оказывает принципиального влияния на динамику системы;

- разработан метод разделения шумовой и динамической составляющей, основанный на применении преобразования Фурье;

- показано, что значение тока через сечение прибора зависит только от предшествующих значений в небольшом интервале;

- впервые получена размерность фазового пространства системы, равная

4;

- показано, что зависимость значения тока от времени с достаточной точностью описывается известной функцией Вейерштрасса;

- показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания;

- показано и подтверждено численным экспериментом, что шум, наблюдаемый при движении электронного потока, не является динамическим (неотъемлемым от принципиальной динамики системы), а представляет собой аддитивный компонент.

Практическая ценность заключается в том, что

- предложенный метод позволяет сократить затраты на моделирование электронных потоков.

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в госбюджетных научно-исследовательских работах «Математическое моделирование многочастотных взаимодействий в скрещенных полях» (№ гос. регистрации 01990010964), «Исследование возможности создания многочастотных сверхвысокочастотных усилителей и генераторов М - типа» (тема № 54-53/429-04, № гос. регистрации 01200500653 ), выполненных в Волгоградском государственном техническом университете в 1999 - 2003 г. фундаментальных и поисковых работ Министерства образования РФ , и выполняемых настоящее время на кафедре физики по планам Агентства по образованию РФ.

Достоверность результатов исследования обусловлена использованием классических методов и процедур нелинейной динамики, достаточным количеством результатов, коррелирующих с результатами других авторов, а также сравнением результатов работы метода с данными, полученными известными классическими моделями.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, основанный на процедуре нелинейного итерационного прогноза с использованием глобальной реконструкции.

2. Алгоритм разделения шумовой и динамической составляющей величины тока.

3. Метод моделирования величины тока, основанный на процедуре прямого прогноза с использованием функции Вейерштрасса.

Апробация результатов. Основные положения диссертационной работы и ее отдельные результаты докладывались и обсуждались на 10 - ой междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005 г.), на XIII научной школе «Нелинейные волны-2006» (Нижний Новгород 2006г, на X и XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2005 и 2006 г.), на научных конференциях и семинарах ВолгГТУ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии.

Выводы

На основании полученных в этой главе результатов можно сделать следующие выводы.

Получен долговременный прогноз значений величины тока через сечение пучка для разных значений частоты модуляции, проведено сравнение предсказанных значений с модельными. Показано, что форма и спектр прогнозируемого сигнала с достаточной точностью повторяют эти параметры для модельного сигнала.

Зависимость значения тока от времени с достаточной точностью описывается известной функцией Вейерштрасса. Как следствие, данный процесс обладает свойством самоподобия.

Скорость работы предлагаемого метода в 10-11 раз выше скорости классического метода расчета уравнений движения при расчете сил пространственного заряда методом «частица-частица». При его использовании нет накопления ошибки, что позволяет делать прогноз на большое число шагов вперед (5700) при малой длине выборки (500-700 шагов), т.е длина прогноза в 11 раз превышает длину исходной выборки. Простота модели (3 параметра уравнения) дает возможность аналитического исследования полученной зависимости. Скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания а.При увеличении основной частоты с 3.5 до 5.7 ГГц (« в 1.6 раза) \а\ возрастает с 1/5 до 1/3 соответственно (« в 1.67 раза).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследований получены следующие основные научные результаты:

1. Разработан метод моделирования величины тока через сечение электронного потока, движущегося в скрещенных полях, путем реконструкции полиномиальных дискретных отображений, позволяющий производить анализ поведения электронного потока в расширенной области и при проведении полной реконструкции обеспечивающий ускорение в 2.5-2.75 раза по сравнению с классическим методом, в котором для расчета пространственного заряда используется алгоритм частица-частица.

2. Показано, что шумовая компонента сигнала является аддитивной, и хорошо описывается гауссовым шумом.

3.Для получения пригодного для реконструкции фазового портрета разработан алгоритм фильтрации шума, позволяющий разделить шумовую и динамическую компоненты сигнала, и определен оптимальный порог фильтрации шума, равный -20 Дб.

4. Определена оптимальная временная задержка, используемая для восстановления фазовых портретов в двумерном пространстве, равная 7=33*10-12 с.

5. Определена размерность фазового пространства динамической системы, описывающей движение потока, равная 4, таким образом показана возможность глобальной реконструкции системы.

6. Разработан метод моделирования значений тока через сечение ЛБВ М-типа с использованием в качестве базиса функции Вейерштрасса, обеспечивающий ускорение в 10-11 раз по сравнению с классическим методом расчета.

7. Показано, что скорость спадания гармоник основной частоты зависит от величины основной частоты, введен параметр для ее описания а .При увеличении основной частоты с 3.5 до 5.7 ГГц ( в 1.6 раза) а возрастает с 1/5 до 1/3 соответственно (в 1.67 раза).

8. Показано, что уровень шума при заданных параметрах прибора заметно не меняется при увеличении частоты, и составляет величину порядка -20 Дб для всех исследованных частот.

9. Показана устойчивость полученных моделей при изменении частоты модуляции и скорости влета электронов.

Как видно из вышесказанного, методы прогноза динамики электронного потока представляют собой перспективное направление в анализе и исследовании его поведения. Для реализации долговременного прогноза целесообразно решать задачу реконструкции динамических систем по экспериментальным данным. При практически полном отсутствии априорных данных о форме сигнала («черный ящик»), она является одной из наиболее сложных и полезных с точки зрения получения дополнительной информации о свойствах сигнала. Достаточно интересным с практической точки зрения представляется проведение в будущем комплекса исследований для различных режимов работы приборов М-типа, в том числе в многочастотном режиме. Более крупной задачей, едва ли реализуемой на данном этапе развития методов реконструкции, является получение уравнений, содержащих в качестве параметров все или основные технические характеристики прибора.

1. Шеин А.Г. Особенности многочастотного взаимодействия электронного потока с прямой электромагнитной волной в приборах М-типа/А.Г. Шеин, А.Н. Мутовкин// Электромагнитные волны и электронные системы. Междунар. науч. журнал.-2004.-Т.9. №2.-С.4-10

2. Шеин А.Г. Спектральные характеристики ленточного электронного потока в скрещенных полях/А.Г. Шеин, Р.А. Евдокимов// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.-2002.-№8.-С. 4-8

3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1972

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах.- М.: Наука, 1990

5. Каток А.Б., Введение в современную теорию динамических систем/ Каток

6. A.Б., Хасселблат Б. М.: Факториал, 1999

7. Анищенко B.C. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах/Анищенко В.С.,Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. и др.; Под ред.

8. B.C.Анищенко.-М.;Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003

9. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991

10. Странные аттракторы. Сборник статей / Ред: Колмогоров А. Н., Новиков1. C. П. и др.-М.: Мир. 1981

11. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001

12. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988

13. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990

14. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000

15. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Lecture Notes in Mathematics.-l 980 v. 898.-p. 366

16. H.Kaplan J.L., Yorke J.A., Lect. Notes Math.730, 204, 1971

17. Ruelle D., Takens F. Commun. Math. Phys. 20, 167, 1971

18. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики/ Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. М.: УРСС, 2002

19. Gershenfeld N., Weigend A. Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past. Proceedings of a NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis. Addison-Wesley, 1993

20. Boccara N. Modeling Complex Systems. New York, Springer-Verlag, 2004

21. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание/Авт. предисл. Самарский А.А. М.: Наука, 1988

22. Chatfield. С. The Analysis of Time Series: An Introduction, Fifth Edition. London: Chapman and Hall, 1996

23. Богнер P. Введение в цифровую фильтрацию/ Богнер Р., Константинидис А. М.: Мир, 1976.

24. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S., Phys Rev. Lett. 45, 712, 1980

25. Stark J., Broomhead D.S., Davies M.E., Huke J. Takens Embedding Theorems for forced and Stochastic Systems, in Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. Proc. Of 2nd Congress of Nonlinear Analysis, Vol. 30 (Elsevier, Amsterdam 1997) p. 5303

26. Parker T.S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, 1989

27. Yamamoto Y. Detection of Chaos and Fractals from Experimental Time Series Электронный ресурс. 2005.- URL: http://www.p.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/papers/nstech.pdf

28. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991

29. Small M. Optimal time delay embedding for nonlinear time series modeling Электронный pecypc.-2006.- URL: http://arxiv.org/abs/nlin/0312011

30. Enns R.H., McGuire G.C. Nonlinear Physics with Mathematica for Scientists and Engineers. Boston, Birkhauser, 2001

31. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. The Analysis of Observed Chaotic Data in Physical Systems //Rev. Mod. Phys. 65 (1993). p 1331-1391

32. Smith L.A. Identification and Prediction of Low-dimensional Dynamics // Physica D. 58 (1992). P.50-76

33. Павлов A.H. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности/ Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Капитаниак Т., Анищенко B.C. // Письма в ЖТФ, т.25, вып. 11, 1999

34. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. М.: Гостехиздат, 1953

35. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания/ Неймарк Ю.И., Ланда П.С. М.: Наука. 1987

36. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах/Николис Г., Пригожин И. -М.: Мир, 1979.

37. Николис Г. Познание сложного/Николис Г., Пригожин И. -М.: Мир, 1980.

38. Хокни Р. Численное моделирование методом частиц/Хокни Р., Иствуд Дж-М.: Мир, 1987

39. Евдокимов Р.А. Спектральный состав электронного потока в скрещенных полях. Дисс. канд. физ.-мат. наук: Волгоград, 2004.

40. Байбурин В.Б. Многопериодная численная модель магнетронного генератора на основе метода крупных частиц / Байбурин В.Б., Терентьев А.А., Пластун С.В // Радиотехника и Электроника.-1996.- Т.41, № 2.-С.236-240.

41. Рошаль А.С. О статистическом моделировании стационарных режимов плоского магнетрона/Рошаль А.С., Романов П.В.// Изв. Вузов-Радиоэлектроника.- 1970.- Т. 13, № 9.- С. 1092-1098.

42. Chan Н., Chen С., Davidson R. Computer simulation of relativistic multiresonator cylindrical Magnetrons // Appl. Phys.Lett.-1990.- V.57, № 12.-P.l 271-1273.

43. Васильев C.B. Эффективная модель для расчета характеристик магнетрона// Радиотехника. Харьков: "Вища школа", 1985.- № 75.-С.79-84.

44. Романов П.В. О расчете методом Монте-Карло электронного потока в скрещенных полях/ Романов П.В., Рошаль А.С., Галимуллин В.Н. // Изв. Вузов- Радиофизика.-1970.- Т. 13, № 7.-С. 1096-1105;

45. Yu S., Kooyers G., Buneman О. Computer simulation of distributed-emission crossed-field devices// Tubes hyperfrequences.- 1965, Paris.- P.308-310

46. Dombrowski G. Simulation of Magnetrons and Crossed-Field Amplifiers// IEEE Trans on ED-35.- 1988.- № 11.- P.2060-2067.

47. Безручко Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005.

48. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.- М.: Советское радио, 1961

49. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968

50. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

51. Безручко Б.П. Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами/ Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 11. С. 78-82.

52. R. С. Singleton, "A method for computing the fast Fourier transform with auxiliary memory and limited high-speed storage," IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-15, pp. 91--98, June 1967

53. Дженкинс Г. Спектральный анализ и его приложения/ Дженкинс Г., Ватте Д. -М.: Мир, 1978.

54. Рабинер JI.P. Теория и применение цифровой обработки сигна-лов/ Рабинер Л.Р., Гоулд Б.- М.: Мир, 1978.

55. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli М., Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. 1992. V. 57. P. 1-30.

56. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1131-1140.

57. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A. 1989. V. 142. P. 107-111.

58. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 617-656.

59. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D. 1998. V. 120. P. 273-286.

60. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // Успехи физических наук. 1989. Т. 158, № 1. С. 93-115.

61. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V. 20. P. 217-236.

62. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. V. 9. P. 189-208.

63. Ланда П.С. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным/ Ланда П.С., Розенблюм М.Г. // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 11. С. 1-8.

64. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys.Rev. A. 1992. V. 45. P. 3403-3411

65. Анищенко B.C. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов / Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 7. С. 1-6.

66. Булдакова Т.И. Метод нейросетевой реконструкции систем / Булдакова Т.Н., Суятинов С.И. // Информ. технологии. — 2002. — № 7. — С. 37-40

67. М. Casdagli, Nonlinear prediction of chaotic time series, Physica D 35, 335 , 1989

68. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848.

69. Judd K., Small M. Towards long-term prediction // Physica D. 2000. V. 136. P. 31-44.

70. Small M., Judd K., Mees A. Modelling continuous processes from data // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046704.

71. Bezruchko B.P., Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. 016207.

72. Fractan 4.4 Электронный ресурс.-2005.- URL: http://impb.psn.ru/~sychyov/soft.shtml

73. Holger R., Kantz H., Schreiber T. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // CHAOS 1999. 9. p. 413

74. Афраймович B.C. Устойчивость,структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации/ Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д.- Горький: ИПФ АН СССР, 1989. 254 с.

75. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. -М.: Мир. 1974.

76. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент (введение в нелинейную динамику). -М.: Эдиториал УРСС, 2000.

77. Dikanev Т., Smirnov D., Ponomarenko V., Bezruchko B. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, № 3. С. 165-178.

78. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Части 1 и 2/ Бокс Дж., Дженкинс Г. М.: Мир, 1974.

79. Вартофский М. Модели. Репрезентация и научное понимание.- М.: Прогресс, 1988.

80. Дмитриев А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике/ Дмитриев А.С., Кислов В.Я. М.: Наука, 1989.

81. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

82. Бутковский О .Я. Анализ погрешности восстановления параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам/ Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю. // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 1. С. 55-66.

83. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса/ Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. М.: Наука, 1988

84. Брур Х.В. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы/Брур Х.В., Дюмортье Ф., Ван Стрин С. И др.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003

85. Зельдович Я.Б. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика/ Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. // Успехи физических наук. 1985. Т. 146, вып. 3. С. 493-505.

86. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск: РХД, 2001

87. Chamizo, F. and Cordoba, A. "Differentiability and Dimension of Some Fractal Fourier Series." Adv. Math. 142, 335-354, 1999.

88. Girgensohn, R. "Functional Equations and Nowhere Differentiable Functions." Aeq. Math. 46, 243-256, 1993

89. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

90. Falconer К. The Geometry of Fractal Sets, Oxford, 1984