Восстановление функции цельности и функции распределения сплавнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ДШПРОТЕТРОВСЬКИЯ ягашн УШБЕРСЙ1ЕТ

КЛГГ'ЛЗИ'Л ВЛЛЕНТ1ШД ВАСДШВ11А

ВШЮВЛЯШ ©У1-ЗДН ЩДЬИПСП 'С Л ^ЛШЦП Г0ЕП0Д1ЛУ ШШШШ

01.01.01. - )датечзт:гш;а анал!з

АВТОРЕФЕРАТ дазаргадН па здобуття паукового стушил uKir-Trvn СЛзнхо-кзтекатшних паук

lía гфаппт. рушп1

Да игрмштросоьв-! 004

Днсертац1я е рукошс.

Робота виконша на кафедрах вщо! математики, пршиадно! математики та обчнслзолаяьноГ твхн!ки ДШпродаершнського 1ндустр1вльчого Шстптута

Науковий К8р{вшж - доктор ф1зико-иатематачниь наук, професор Лигул А.О.

Сф1ц1Вн1 опоненти - доктор ф1зико-матвмаютиих наук, професор Т1ман М.П., доктор фЗзико-математичних наук, доцент Кисельова О.М.

Пров 1 дав установа - 1нститут математики АН Укра1ни. (и.Ки!в)

Заяаст дасертадП в!дбудэться п{0" 0& 1994 р. о 15 годна! на з5с1дада1 спац1ал1зовано! Вчено! рада К 03.01.04 яри Дв!проп8,гровськоиу Д8ржун1вэрситет1 за адресов :

' 320625 Ы.Дв1пропзтровськ, пр Гагар 1ва 7£, Да1щхжетровський детауШварситет, корп. 14, ауд.405

8 дасвртац1ев тжав озна£оштись в ОЮлЮтец!

Да1протатровського державного. уШверситату

(

ч .

Автореферат роз1сладай " 1994 р.

Втавий секратар сгои1ал1зовано! Вадно! рада

Зогапьиа характеристика роботм.

АктузлыНсть теми.Проблеми наближеиня та в1даовлзння функцШ сплайнами активно досл1даувялися багатьма математика:® як з тео-ретичноГ так I з практично? точки зору. 0станн1м часом у роботах I.Шенберга, К.Де Бора, М.П.КорЮЙчука та 1ншюс автор¡в були вив-чон1 питания про як!сть Шдноьлоння функц1й за допомогов ло-калышх сплайн!в.У тому чмсл! у работах т.Шонборга та К.Ло Вора були побудован! метода в1дпэгшеннл функцП щ!лыгост1 та функцП роапод1лу iMOBtpnocTon (як! е додзтнши операторами) та занро-поноваШ дояЮ Гх застосувяння.У роботах М.Г1.Корн!йчука,А.0„Ли гуиа.ОЛ.ГробоннИсова.В.Л.МирошЮчонко були досл1джвн1 власта-вост! докллышх сплайн 1 в близьких до 1нтерполяц1йшк.Ш сшгайнк 01лыз зручн1 у практичному застосуванн}, н!а 1нтерполяц1ЙН1ра яЮсть апрокс!мац11 вони мають таку ж ефоктивну як 1итврполя-Шйш'.

Ось чоку ¡стотним вяявляеться проблема побудування та досл1дження аналогiв цих сплайн¡в (це будуть локаяьн! сплайнп близьк! до ¡нтерполяцШшх у .серадньому) для з1дяовлшшя функцП пильност! та функцП розпод1лу шов1рностей. Дгл1 вош5 будуть вп-користан! як промпап наблляення (як теоретична функЩя "Л.-.ъ-носгП при в1дновлэ1ш1 функцП пЦлыгост! сплайп-експонэяцlitest або сплаШыгормалышми розпод!лами.

3 дещо Irasot, точки лору роз!бран1 гатсгаш зШюзлон^я фуккцП щ1льнсст1 та функцП розподиу у роботах H.P.Gallitiar, Я. С. li"hee 1 ег, Л. Балог, В .1. Зу бовз ,Н. А. 01 ладельф! ко I, L. Воле'та, D .Кса-(1а11,1.31еГалпоу,А.Ф.Прнстав1а1(0.В.Ра?коЛ„Л.елясзенко та pssffiJx роботах автора.В цих роботах були введен!„обгрунтован! pisai тали кусково-гюперорвтк фуяхц1й роздал 1лу та фуннцШ aiльпос? 1,ггстзв-' до hi алгоритм!! псшуку вузл!в та парамзтр!в сшгайн-нормалынг I. сплайн-экспокенцiйшк розподШв.У шрзвазшШ (Илывост! вклада!в ц{ алгоритм! ефзгстивн! т!льки при мал1й Юлксос?! вузл1в (один, два)„Нэзвахаючи на цз.вони добрэ себз зарекомоняувалн при розв'я-зашП проблем нзд!йности та масового обслуговування.планування та обробки екснерименту,розп1знавання образ ia. та статисткчного мода-■лювання.

Мэта роботи.Досл!дити апроксиматавп! та геомотрэтн! характеристики в1даовлвння функцП а1льност! ! ФункцП розпод!лу 1ков1р-ностэй за доиомогою пол1ном1альшпс локальгокс сплаШПв п!дЕИщзтюТ точно'стi другого J трзтього порядЮв близьких ДО !НТ9рП0ЛЯЦЩ"1х

у сорэдньому.

Доел!дати задачу про асимптотично опташлышй виб!р вузл!в при в!даовлбнн1 функцП ц)льност! та функцП розпод!лу 1мов!ршстеЯ за допомогою сплайн-вкспоненЩйшис та садайн-нормальних розподГ-д!в та розглянути алгоритми визиачення асимятотично оптшальних вузл1в та парамэтр!в,в!дп0в1дних сплайн!в.

Методи досл!дження. В робот! використан! сучасн! метода творП найлиаення функцШ.зокреыа мэтода точного розв'язання ■екстремальних задач теорП наблишшя функц!й,асиыптотичн1 метода досл!даэння екстрамалышх задач, а такоа двяк1 визначення 1 а^астивост! з теорЛ 1мов(рдастой та ыатематичног статистики. При пэрев1рц1 на адвкватн!сть була використана ЕОМ.

Наукова новизна та значения робота. Основа! результата ди-сортацП е новимиЛх зм!ст толлгае в побудуванн! зфективно реа-л!зуемих на ЕШ ыетод!в в1дновлення ФункцП щ1льност1 1 функцП розпод!лу шов 1раостей за допомогою сплайн-експоненшйних та сплайц-нормальних. роздод1лт з в!лышш вузлаал, При цьоау як проШш1 наблшиэннл буш використан! локалып полшсм1альн! сплайна 2.и 3 порядив з р!внов!ддалешшй вузлами.

Доведано ряд р!вноствй про норма сплайн-оператор I в 2 и 3 поряд-к1в близы-шх до 1нтерполяц»йних у серодаьому та в1дпов!дних 1ы оператор!в поровдвних пох1днями в1д сплаййв.- Обчислен! асинп-тотично точн!- оц!нки похеОки и i давления щи сшшйШв в1д теоретично! функцП щ1льност! розпод1лу и.ювГрностой та априори! оцш-1Ш (дэяк! з ш точн!) в!дхшення ФутцИ г!льност! в!д в!дпов!д-нпх сплайн!в. Аналог1чн1 оц1нки отршан! ! для в1дшнвшя поулд-ко1 фуккцП ;,1льност1 в!д пох!дно1 сплайна,

Досл!даои! у робот! сплаЯни ми мокемо використовувата при зна-хокданн!- поправок типа Шеппарда (поправки на групувшшя неперерв-тшх ешрдкових Белячш) як для початкових шмонт!в,цо у ряд! ви-падк!в зб1гаються до поправок Шеппарда,так ! для !ншх,иаприклад, окспоненцШних момент 1в.

Знайден! 'асишгготгшо оптшальн! посл!довност! розбитт!в при £1днош!втш1 фуккцИ ц!льяост!. 1 функцП роздал¡лу сплайн-ек-споц91щ1 йниии та сплайн-норм алышш розпод!лаии з в1льними . вуз-ламн.

Результата дисортацН мавть в основному геерэтиншй характер, форцулташя приводен! такдо допволяють легко виконати !х рэав1аац:в на ЕШ.

ПуПл1каи)1'. Основа! рэзулм-ати диеертацИ опуолжован! у 8

роботах ( Г5Э-ГШ ), список яких наведено в к!нц1 автореферату.

Структура и od'ем робота. Дисертац1я складаеться i3 вступу, доох рог.дШв та списку л1тературк«,що ы!стить 48 найкенуь?нь. За-гальний обсяг 157 cropíHOK маишопису.

АпробаЩя робота. Результата дисертвцН допов!дались 1 одвр-кади позитивну оцйгку на наукових сем!нарах кафодри fsopt! функц!й та кафедра математичного анал!зу Дн1пропотрсвського держушверситету.кэфедри чиселытх метод!в матаматично! ф!зкки КШбського дорзхун1версит8ту,в1дд1лу оптим1зиШ 1иотитуту к|бзр-нетики АН УкраПга (м.Кшв); на пауковому мк®уз!вському сем!нгр1 по нол1н!йшзд чебкаевськш иаближепням та негладкШ оптам1зацН у ЛвШнгрдському дер::ушверситет1; на республиканской кэуковЩ кояференц!! ,присвячеп!Л 70-р1ччю М.П.КорнШчука по тэорП нюбиг-тиш (м.Ки!в,1990р.); на тратШ рег!ональн1й кокфздегц!" "Тзорпя аппроксимации и задачи вычислительной мазшатшш" (м.Новосиб!рськ,1991р.); на м1кнародн!й наукозШ копфарэгщН "Теор1я наблпкэЕЯЯ тз задач) обчислюзальь'оГ математики" (м.Дк)пропетровськ,1993р.).

ч

2н1ст роботи.

У вступ1 навалено обсяг рэзультат1в по розглянутпм генам до-сл1д::0кь,обгруптову£ться актуашПсть.ввзпачаетьсч мата i 'задач! дисэртац1Пно! робота,сфор?лульовеио основа! таюг.ешш.як! виноса-ться ка заякзт та коротай огляд зшсту даоертац! I. •

НэхаЯ задана егаЛрнчна фувкц1я Шлы:ост{ розпод!ду р, з крокоа h» тобто задано розбяття hH i вэктор

р=(...р_,.р0.р1....) такпДдо л 1s pta0»-(tez).

та дкзэ скилешэ число координат воктора р в1др1зиявться в!д нуля.

В поршпму eonni Jii були тозглянут1 сплайни ткпу S ,,(р» t)

" i к

(г=1,2,3,4, к=0,1,2), як.; являють собой лШ1йну KotsdiHcatn В-сплаЯн1в i на конному з 1нторвал1в Uh,(i-:-i)h) дор!вазэть елгэ-6pal4B0'íy икогоггапу ступзал по ища г. Щ сплайпл s аналог лска-•льних сплаан 1в блкзыш. до Штврпшятйшх у сорэднъспу. '

У §1.1 наводзп! дзяк* нэобх1дп! означошш та anacniBOCTf бэзисзих сш!айи1з.

Позпачнмо через розбиття Betel■ oct точками ' t4=th (t ez),якдо г непарне та точка?™ tt+ = (i+l/2)h (tez), якщо г

парне.

В-силайни внзначадться наступними рекуренпшми р1вностями ti-h/2

Вг.Л<*)=И 0г-ьЛ»№ <^.2...). (1)

t-h/2

m

вл Jt)={ !г1<11/2'

О» fe 1

I 0, |tJíh/2.

У SI -2' розглянуг1 оплгйни , визначен! на усШ oci ptbhíстю í. î > i —i л iiz-л

Щ сплайны при 7i~ í(í/j) (tez) називаоться локалышми cmaSasîda Шонберга.а при

7t= l j i(t) Üt (tez) i

i

Ut сплайна досл!ддувались Де Бором.

Туг í дал{ вtдтинох [ (t-0,5)fc, и+-0,5)л] позначаеться як г4, а в1дтшох £(t-1 )л, ih]- як г4_0Б-

' У цьому параграф! шводяться такой неоОхщй надал1 для дос-л1ДЕвпь зображэння та властивосп сплрЯшв вигляду (2).

В §1,3 впровздхэн! локальяi сплайни Sr х<7,t), як! формально мокяа одеркати з (2) зам liras вокторз 7 на вектори

7- | t? .7 ,7- I i2 7 . 7- I4 Д2 7 . 7" | Л2 7 щи г=1 »2,3,4 в1ддов1ддо, Указуеться, що середнЕ зиачааня спла2в1в Sr г<7) на i4 в1др1зняеться вЦ у ■ найагато максе, hís у сплайнЮ Sr 0(т> (г=1,2,3,4).

. В §1.4'досл4дхуегься проблема про норда сплайн-оператор1в .

НахаП задана емШрнчна функШя ц1лыюст1 розподШ <pe>te¿3 кроша h t така, цо л ^ pt=1, ptüO,í

tez

p(t). теоретична фуакШя в1льност1 розтод!лу, et- похкбкн.

Тод!

p(t)-Srfc(p,t)=p(4)-Srjir(p,t)-Sr)A:(E,t)

i | p(t)-sr t(p,t) Iii P(t)-srj/f(p.t) |+Etsr/fcs.

ДВ |E-t |<Б (ieZ).

Таким чипом яглсть в1даовлвння теоретично! фушцП ц!лькост1 розшшлу за допоиогою сплайн 1в зводаться до доел {драгам позшбкк в i ДК0ВЛ8ШШ та обчислепня норм в1дпов!дша сшшйг-шарегор i в„ Позначкмо чорез

I А = sup |з А(лс) Jv:| л IgS

норму л1н1йиого оператора А, ягатй в1добратае л1н1йшй нормозеваЗ npocTip X з нормой J-g в лШйний иормовений npocTip Y з поркою Ну

Основши результатом цього параграфа е пастуша теорема. Теорема 1. Hexой к ,г,оЭ1

с? 9 Г° - 3/2, 1» 0 1,

°2,1 = 4/3. CL,= 3/2, Cio= 2, 10 3' С1 -2,2 22, а*

°2,<Г 4, Ъл- го ™з' ■ <-э TS "3* 1, <tl= <51 За'

С3,2= 2297 1Ö3Ö' сз,о= 3/2, 13 "в» СЬ= ЙЙ6777П 1073376' л =2, 3,0 '

Чл- 02 Чл" 170 "Го* п» _ 4,0— 1, 5/4, С4,0= 4/3,

Зв64 1320' Чо" 5/2, за 4,0 8, 39/4.

У §1.5 досл1дхуеться проблема точное?! Ыдноблопяя ФутмцП щ1льност1 розпорДлу за допомогоп cromflntB другого порядку.

Тшювин результатом цього пврзгрг$з с наступив твердгмиял;

Пехай реС3 , nodl при !\-.0 .кге л1сц? апшяояито cxfwxi нер1вч1с?.ь

г

SP- S2pi(P)ici -jgi,ïpÎ3>|c + ou?). (3)

Аналог1чн1 HapîBHocTi отражая! для сплайн!в S, (p,t) i S2 2(p,t), a таког одорзан! под1СШ оц1шш в!дхилэшь величин

SP<V>- S£>)|c . для f=1.2 1 дг=0,1,2. У §1 „6 отраынн1 iioBHi аналога оц!нок (3) для сплайн!в

У §1.7 навэден! застосування сплайн!в S„ ^(p.t) для знагодаэння поправок на групувгння.

Нэхай вектор jj=\pt} t€2 вдомий та визначеш початков! мокэкти

œ

га ¡г J" tfcp(t)dt, * -•»

с

R,. .„ e i" ,<Р.*) dt, (т-=1,2,3,4)

A •r _<в r • 1

та

tëZ

Доведено, капрнхлад, то

л2

Иг г" --

J2

&наяогаян! еШввШюЕзаня ■ отргаш! ! для

Esлкщша Vi^-ji^ip) називаються цо.правками Шеппарда на грутаування нэпороринпх Еьшадаовнх еоличш.

Доведено, щр ci^-p.jj.ip) та а^. зб^гаютьса xij^ui

r=1,2,3,4, тобто в!днозлвння функц!! Щльноот! розпод1лу за допо-кого» oinaflHiB Sr дозболяе одерауватн початков1 момента з

урахуванням поправок Шзппарда за дояошгоао вшсоряотозуемшс вами спла&Нв. ООчнслен! тасог поправки на групування для експоненцШ-1шх момэнт1в. .

У другому роздШ досл1дкуютъся пробломи асгоятготпчпого

зхбору кузл!в при 131днотутепп 1 функц!! щ!лыгаст! та функцН розпод!лу сплаЕн-ггорг.гальняыи та сплайп-аксуопэктйкия! фуисц1ягя! розпод1лу з вЬчьшмк вузлаки.

У §2.1 наводиться шобх1Ди1 падал! визпачешм та постановил

задач.

КехаЯ нам в1домэ (задана) Фушсц!я щ!льност! розпод!лу p(t) Як функц!ю p(t) будеио винорястовувати сялаЯзш, рсзглякут! з парному роздш. Враховупчи, що сплаЯпи це глади1 функц! I, ввазаг.мо, цо n(t) тако;; гладка.

НахаЯ [а,Ь] - це носШ функц1Г p(t) та

V <а= Vn<ti.n<ta,n< —A.n= b>= <г«.л>2-о '

розбиття в!дткта:а [atbj.

Позначшо як S„ ^(Л ) гаюхнну ус!х сплайн!в порядку г дефекту к по розйиттв Л^ при ф!ксоваша г 1 к.

Для г=1 ! 2 фугссц!в 5S(t) будет еезивйтп зкспоншщЖшм сплайкж порядку г дефзкту к. по розбнтт» , гпс;о вона мохе бута гобрагзна у егпг.шд!

та задоволыше у!ловсг,г.

{ ES(t) dt= 1 (R+= СО,®)}

Г>

при г=1 i

j" ЕЗ(t) dt=l

к

при г=2.

Позкачимо через ESr v(An) шогину таких вкспсвдт;!йшх сдлайМв* Вваяаеко, що при г1 , а=0 та для t>b фугащ!я s(t) Еизначвна р1вн!ста

ff(t)= s(b-0)+ s'(b-0)(t-b) ,

а при г=2 для t<a та для t>b Фушщ1я г/U) сгпшачогз

plEHOCTFJ-CZ

e(t)= s(aiQ)+ .v'(a+0)(t-a)^ | s~(a+0)(t-4)a (из)

s(t)- 3(D-0)+ 3' (b-O) It-b)f i <?"(b-0)(t-b)3 (t>b).

ffexafl i с в сбо п»., га г е простtp ~ сгс(ггпяз?з •

нордов

ЁЧ

т

iil= ma* | |.t(t) j , te I j ^ (6)

aOo

gf|= { J i2(t) dt ]J/? (7)

i

Haxail IS(p,t)= S(p,A ,t) будь-якнй cnocid в1дновлвння

фупкцП пДлыюст! p(t) (шс ES(p,t) надал! будуть ф!гурувати спла^ш-експакенцt¡'лt (r=1) або скдайн-нормадып (r=2) розпод!ли).

Взлгдйка §p- E3(p)[

*

1дэ fig- одна з корм (4)-(7)) характерпзуе похкбку в1днозл8ння теоретично! функцП аильносй p(t) катодом ES(p,t).

Розбиття Д* ааз1шагтьоя оптималышм (иайкразщм) пля функцП p=p<t) 'та, для ыэтоду IS(p,t) i норма | •$,звячайио), яйцо

Ер- s(p,a*)§= те {§р- s(p,An)B .

Посл!довн1сть розбитт!в звоться асимптотично

оптимальною для фунздИ p(t) , якао при п-» «

Ер- S(p,A^)l= mtn |§P-S(p,An)g |ЛЛ| (1+ о (1 )).

9 роботах Приставки A.©., Paffico О.В. та 1нжих„ а тахоа в pamilx роботах автора розглянут! pisul прям! иатодк созуку оптшдашшг, вузл!в, як! зводалися до т!ег вбо !шэ! алгорзгга!зац!1 екстромальво! задач1

t

- так

| I j Г(И) du j, te Е I (4)

—О

= max 1 J J f(U) du j, te R 1 ^ (5)

inr üp- s(p,a )3

Це'' п!дх!д офзктивно poa.nísoL-tiira на EOM т1лыш для нрвэлжо! к1лькост! вузл!в (один, два) та по дозполяе онайта отчмалта! вузли в явному ВЯГЛЯД1 для 6!льеого числа вузл!в.

Задач! поиуку посл1довяостой аскмптотичко сштега-пыгаг. вугл!в при 3!д!ювл8ш! функц1й 33 допсшгоз с1ысйя13 р!зного вигллду разгляиут! з роботах Б.О.Полоза, A-OJî2?rîîh А.0.Шумейко, Л.Д.МалшавоЯ та lina. 3 основному цэ задач! bíjoice-лош'я функцШ пол!номшвш та перахэтрятешя гашЗпшя. Ставитъсл задача про ссжягготячио оатималышй sntíip зузлЛв позл!дозпоо?1

при в!дповленн! фушщП rt! литое? i сялзй1-8ксгслгщ!£йЕ?.,а сплайн-нормалысмл розпод! ло:та.

У §2.2. Оуло розтлуто з1даовлз!2И Çyic'.uS! рсслзд!лу сплайнагш з фИ'.совшрш вузлг/з. íl;: tros.'» cns-îa гула розгляптта фуктпил ЗН(йлД).

ФухгаЦя S?í(i ,t) нспороргп; jüi'l coi, Суд???о 1 !кз:гзата сплайн- воршыпм розподьюм, ¿.-г» -.и г«ггюа? з 1нторзал1п li,</2~~ ('c^.'i ) -( i-G,,„„,n-1) ксна ?sas пт1гллд

i-Я

До

i

(ir1)-

^/««P [fldu.

Параметра (nt,ot) внзпачавться як розв'язок зхстремалыю! задач!

п-1 44+1 , „

П >> dt

-» rai л

1=0 ít

при у«овзх непорерззост! 8!Щ »г) в узлах, t^

Тут фСtC(F(t)). ?(t) - цо емп!рична <3ункц!я розпод Uy. *

Розв'язог-с ц!е! екстремально! задач! зводятьря до класичко! задач! огптайзацП квадра-пганого фунгщ! опала при- л!н!Пшес

1Í

обмзкэналх, кка;розв'язуеться методом Лаграша.-

Доведано, цо такий шдалд дозволяе кращс в1дновлввати функ-ц1к розпод1лу в око л 1 кПщ!в Штервалз И^Д^]. Розглянута мо;л-фшац1я запропоновашюго Шдходу, яка в деякому розум1нш позбав-лэна'цього нэдол!ка. ООгрунтування такого шдходу полягас в сл1-дуючоиу

явдо ~ зн(?,дп,г), то ф(г> « ф_1(5Н(р,лп,1)) та

<&"1(ЗН(Г5Дл,г)) = ;(!л(Р),Дл,г) - е непарервна на [а.Ы ломана з вузла-.а в точках ti, ¡нтерполююча значешш в узлах

^ (¿=0,1 ,...,п). Таким чином, якщо е^) = • ) та

= Р(г)-811(Р,Дп,1) то, ввекавчц ко б (г) кале, одержу еко

лег> « Ъ'■ (г)- (в)

Тод! задача в1дповлош:я функцН розпод!лу сплайн-нормалыиии

розшд1ламк з ф1ксоваш5ли вузлаыи зводаться до настугао!

екстроиальног задач::

L Г

t-o t

(?'(t) )-(<p(t)-J (Ц(1")ДЛ,t) )2dt- ml n

i

при тшаа ¡uo обгазиэшшх.

Сллайн-нориальний розпод!л побудовани.. портим методом позначаетъол Б1<г,t), а другим - SN2(F,An,t).

Тут га описаний п1дх!д до в1даовлешш фулкцН розпод1лу ашайа-иорналыпаш роошд!ла!,ш з ф1ксованши вузлаии, коли задана о;л11р;г-:цц фущщ!п ц1лыюст).

■ ' У §2.3 розв'ягуеться задача оптимального выбору вузл!в при Шдаовлэш11 фу1п:ц! I розпод1лу сплайн-нормальшаш розцод1ла:.и.

Носл1досн1сть }-п_1 Судеш називати аенштотнчно опткма-

лшоа для F(t) , якцо при гь® викоцуеться сп1вв1даоаогаш r(f,a*).(ho(1)),

ь

П(?.Лп)= J (?'(t)}2 (cp(t)- г(ц<Р),ДлД))2 dt,

Основою для тякого визначвтш осимптотичш оптимально!

посл1дош!ОСТ1 розбитт1в {Лп)л=] € сп 1вв|ДПОПв1ШЯ (8).

т _ э Теорема 2. Нехай а< i , P(t)e 0{a bJ па

f "I05 °

тгослгдовтстъ розбиш:в |{t t n>t Jn_s= 6u

з р!вноетей

' i, n

J (G(t)+i^}a]dt= J (0(tH(i)a)dt (t=0,l,...,n).

6(t)= ((<p"(t))-?' it))2''-5.

Го<Э1 послЮовн1сг.ь розбгт1в dyOe асиаг-псг^аю

сппшхиьнса 6мг F(t) 1 при. "цъому б-jde билонувспься сп1вв1дшяиення

H(F

У §2.4 буля розглянута задача в!дновлэння функцП, Щльност! розпод!лу 0успон9вц1йнй?ля сотайнгда з ф1ксованкмн вузламм.

0унзд1п S3(t) будеш незивзгй силаЯн-вксдапонцИ&згм розпод1дом г.кчьност! 1нов1рностей по рсзбятга шло вона по-пэрэрЕна на tt0,i,lj та на кохному ¡игорнзл1 (t t. ) "пе кггляд

SE(dn>i)= э*/>{-att+ ь4) (i=o,it...n-t) . «

Ток so, як i в §2.2 для будь-яхого ф1ксованого рообкття Д будуеться гадаПн-експокошИйний розпод1л SE ((p.A^.t) та досл!д-

ь

жуеться £ого шрокснмацШп характеристика. Тут г.в вшсладоио 1нший п1дх1д в1даовлешш фуикцП 1д1лыюст1 сш1айн-експоненц1йними розпод!лами.

Пехай x(t)= -in p(t) ,

S./» ' . W,T2bT *л-1.л •

1+1/2, Л= Ч+1.л- Ч.л (i=-1 .0,1 ,...n), \*.л = Ai+i/a.n("i-i/2.n+ 'и+х/г.пУ'1 <t= .....n)-

*1.Л= Xt. Л" l((1~ *4,n><Xt«.lT Xt.!>)"

- xt-i.n>) (i=0'1.....n)-

in(p,&/),'t) - ломана s вузлащ в точках tt л шса проходить чороз точки (<=0,1,..., 11).Год! фуНКЦ1Ю зхр (-i*(p,t)), до

t*<p.t)= гл(р.длд)+ 50 b

йс= in | (-lrt(p.&„.t)) Clt ,

а

Оудзаз иааштг *спле2я-вкспононц1Ешз| в|даозлзтшы фушецН

^и^гогг) pit)-та поэиачата S2,,(p,Att.t).

со * •

f SE„(p,An,t) dt= 1

та piBHOMipiio no t

Ji-" (p(t)-syp,An,t))dt= 0(h®) (i= 1,2,....n).

^t-l,n

В цьому параграф! досд!дяуегься проблема якост! в!дновлэння функцП niijibHocTi розпод1лу за допомогою SB2(p,An,t),

На основ! цях розультаг!в в §2.5 розв'язуетьсл задача аскмптотично оптимального вкбору вузл!в при в!дновлвШ1! функцП ц!льност! сплайн-експоненцШпши розпод1дсмя та доводиться наступив твердкення.

Теорема з. Пехай чслири рази пеперервпо ОирзреиЩйовака ФунщЫ щ\лъност1 p(t) погя, цо

p(t)> О при. Ы <а,ü)» i

2 * 0 при te [a,b]

H(t)= P"(^-P(t)- (P'(t))2 I p(t)

Pia вувли t* ccpœtt a улови li,n b

] R(t) dt= i J H(t) dt (1= 0,1,2,

a a

Tod 1

Ь

max' |p- SE' (p,A*)|- -¿-g f f Pit) dtK ofU

te [ a, £>) 2 л 12л 1 Î >

3

m для öt/flb-iuiol поыЮовносяЧ ! буОь-мюео

сп>.айн-експонсщ1йного в10ноб«?ния SE2tp,ûn,t), vxaioso, цо

/ pit) dt= J se2 an,t> dt+.

+0 (,b\n/2t„) (*=0.1.....П-1),

вшонуетъся нер16н1алъ

ь

так |p(t)- S%(p,An,t)|i -Ц- f f H(t) dt)2* о(-ЦЛ

teia.b) л " 12rT * > tT> '

¡пакив какучи, якщо вузлл внбран! з зазначених умов, то серед ycix шсл!довкостзй сплайп-експонэнШВнях В1днозлень SE2(p,An,t), 3 Т0ЧН1СГВ ДО °(Л4+1/2 л^ в!дновлшчж in:er-рали по частконш прои!ккш» асимптоткчш «айнрацою е Посл1довп1сть SE^(p0A*,-t).

В параграф! 2.б„ наводен! результата npoBipKji адекватное?5 рэзгляцутпх шдолей.

На закончены! висловета тару здячнiсть ыауковюл кер!внихаы Лигуну АнатолИв Ояэксацдрозячу та Приставке Олзксандру Шшшозичу за постановку задач, шст!йну увагу та п!дтршку в poGoTi.

Осяовп! воложэння длсертацп опу<5я!ковш! в насгупншс роботах.

1„ Лигвин В.В. (Карыззззна В.В. Щшжэрые свойства составного нормального разпрэдоле1шя/Л1р1Е£энэа20 математических методов к" роаеюш проязаодсивдшо-шошаачост» задач .-Дшодропетровск: ДГУ.-1973.-Ещ.2.-е.216-229.

2. Приставка A.Q., Ксригскне В.В. Алгоритм построения «срйаяькс-го ы садайы-шрааяьЕого рзспрэдзлэная одномерной случайной вэльчааш.- Киэзг^Ш Ш SCGP.19T4.-H 65.-13 с. •

3. Приставка ¿.©..Kapuasssa В.В. Проварка гипотеза о ¡.тргалькоа п с2ла.Т21-кор:,:альзог.з ргепродегэниг однокэрпоа случгПиой esjt.i-чгЕц/Лйтемаигавсггкэ ттом рзшеиш задач оятаагалькэго уира-влзппл на ЗЕЙ.- Диопропотровск;ДГУ, 1974. -с.46-55.

Л. Карлазкна В.В., Приставка Л.Ф. Посдздователъиая процедура определения состояния систем при сплайн-гауссовой аппроксимации плотностей распределения признаков // Оценки характеристик качества слолшх систем и слстеглшЛ анализ.-М.- 1980.-с.65-66.

5. Кармазина В.В.,Шумейко A.A..Приставка А.О„ Об одном способе восстановления функций плотности распределения с помощью сплайнов / Дпепродзеркинский шадустриальннй гшститут.-Днэпро-дзерзкинск, 1988.-11 е.- Деп. в Укр1ШНГ15 5.11.83, М283б-Ук88.

6. Лигун A.A. .Караазяна В.В..Юумейкр A.A. Асимптотически оптимальный выбор узлов при восстановления Функщт распрэдедетш и функции плотности экспоненциальными сплайнами / Днэпродзэр-кинский индустриальный институт.-Дпопродзергзгаск,1989,- 49с. - Доп.- в УкрШПШТИ 3.05.89,И 1205-Ук39.

7. Лигун A.A. .Кармазина В.В. О восстановлении эжфичоской функции плотности распределения с поггспьп гастясилайлов второго порядка / ДпенродзергсинскнЯ яндустртлышй институт.-Днепродзержинск , 1989.- 30с.- Деп. 3 УкрККЯГШ 8.Сб.89,Ü 1559~Ук89.

8. Лпгун Л.А.,Кармазина В.В. Восстаиовлошо функций плотности распределения и их производшх с помощью кубических гисто--сплайнов / ДнепродаеряшсгаШ индустриальный институт.-Днепродзержинск, 1989,- 38с.- Деп. в УкрШЖГИ 13.11.89,Н 2Е61 -УкС9.

9. Лигун'А.А.,Кармазина В.В. Восстановлешв эмпирической функции плотности распределения локальны?,(л сплайна;,от // Совреиеннцв вопроси теории приближения и коотлэксного анализа.-К.институт математики АН УССР -1990.-с.78-88.

10.Кармазина В.В. Выбор узлов при восстановлении функций плотности распределения экспоненциальным:! сплай1!ами//Тез. республик. ковф. Экстремальные задачи теории приближения и их приложения, Киев.29-31 мая. 1990 г.-II.; Институт математики АН УССР-1990.-с.70-71.

а

11 .Лигун A.A.,Кармазина В.В. Восстшовлзиио функции распродоле-1ия вероятностей с помощью сяяайн-норивльиих роспредол&ниЗ // Моделирование в механике.- Новосибирск, 1991,- т.5(22),1!5, -с.61-69.

rvuni . I ^й

П