Восстановление коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния и оператору Дирихле-Неймана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Дятлов, Глеб Владимирович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ
1997 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Восстановление коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния и оператору Дирихле-Неймана»
 
Автореферат диссертации на тему "Восстановление коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния и оператору Дирихле-Неймана"

Российская академия наук Сибирское отделение Институт математики им. С. Л. Соболева

Восстановление коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния и оператору Дирихле — Неймана

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Дятлов Глеб Владимирович

Новосибирск 1997

Работа выполнена в Отделе условно-корректных задач Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Бухгейм

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Г. Чередниченко

кандидат физико-математических наук, доцент В. Б. Кардаков

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН

Защита состоится « /Г часов на заседа-

нии диссертационного совета К 063.98.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пиро-гова 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан « » 199

г.

Ученый секретарь /

диссертационного совета В. В. Шелухин

доктор физико-математических нау^'профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена изучению ряда коэффициентных обратных задач, а также уравнения Рисса, которое возникает при решении некоторых обратных задач. Рассматриваемые задачи так или иначе связаны со свойством полноты произведений решений дифференциальных уравнений.

Некоторые обратные задачи восстановления коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния, сводятся к уравнению Рисса

п

(см. работы М. М. Лаврентьева [3, 4], А. Л. Бухгейма [1], В. М. Исакова [7], И. Сайто [13]). Здесь П — ограниченная область в Е3, Ь(у) — искомая функция, а правая часть /(ж) задана при х € По, ^о П О = 0. Существует несколько способов доказательства единственности решения этого уравнения, первый из которых принадлежит М. Риссу [12]. Однако устойчивость до сих пор не изучалась. Использование уравнения Рисса при исследовании обратных задач делает его интересным с точки зрения численного решения и получения необходимых для этого оценок условной устойчивости.

В своей классической работе [14] Дж. Сильвестер и Г. Ульман доказали существование специальных экспоненциально растущих решений уравнения

Аи + д(х)и = О, 16Й(£13, п^З,

что позволило доказать единственность в задаче восстановления <?(ж) по измерениям на границе П, в частности, по оператору Дирихле — Неймана, и вызвало общий интерес к подобным задачам. Далее, их идея была использована в работах Г. Алессандрини [5], В. М. Исакова [8], Ракеша и В. Саймса [11] и др. для доказательства единственности и

устойчивости в различных задачах нахождения коэффициентов по измерениям на границе.

В последнее время наблюдается повышенный интерес к задачам восстановления памяти, т. е. ядра сверточного интегрального оператора, входящего в интегродифференциальное уравнение (см. работы А. Л. Бухгейма [6], Д. К. Дурдиева [2], А. Лоренци [10], Дж. Янно и Л. Вольферсдорфа [9]). Однако большинство авторов рассматривали случай, в котором память не зависит от пространственной переменной.

В связи с изложенным представляется интересным изучить различные постановки задач восстановления коэффициентов и памяти, зависящей от пространственных переменных, по данным рассеяния и оператору Дирихле — Неймана.

Цель работы. Изучить различные задачи восстановления коэффициентов волновых уравнений, в частности, задачи нахождения памяти интегродифференциальных гиперболических уравнений. Доказать единственность и условную устойчивость решения этих задач. Кроме того, изучить уравнение Рисса, возникающее при решении задач нахождения коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния, с точки зрения возможности численного решения.

Методика исследования. В работе используются методы теории условно-корректных задач, теории дифференциальных операторов с частными производными, теории функций комплексного переменного и теории интегральных операторов. При решении обратных задач восстановления памяти применяется преобразование Фурье — Лапласа для сведения рассматриваемых задач к стационарным. При рассмотрении уравнения Рисса используется техника априорных оценок кар-лемановского типа.

Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты:

• предложен новый подход к изучению уравнения Рисса, с помощью которого можно строить эффективные алгоритмы для численного решения;

• доказана условная устойчивость решения уравнения Рисса;

• доказана условная устойчивость решения в задаче восстановления переменной скорости в приведенном волновом уравнении по данным рассеяния;

• доказана единственность решения в задаче восстановления поглощения и пространственно неоднородной памяти в гиперболическом интегродифференциальном уравнении по данным рассеяния;

• доказана условная устойчивость решения в задаче восстановления пространственно неоднородной памяти гиперболического интегро-дифференциального уравнения по оператору Дирихле — Неймана. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит преимущественно теоретический характер. Однако доказанные в работе оценки условной устойчивости могут быть использованы при численном решении соответствующих задач. Предложенный подход к изучению уравнения Рисса может быть использован для построения численных алгоритмов решения указанного уравнения. Кроме того, методы, используемые в работе, могут применяться для решения других обратных задач математической физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

• Условно-корректные задачи математической физики и анализа (Новосибирск, июнь 1992 г.);

• International Symposium on Computerized Tomography (Новосибирск, август 1993 г.);

• Advanced Mathematics, Computations, and Applications (Новосибирск, июнь 1995 г.);

• Сибирская конференция по неклассическим уравнениям матфизики (Новосибирск, сентябрь 1995 г.);

• Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, июнь 1996 г.);

• Обратные задачи геофизики (Новосибирск, сентябрь 1996 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в 8 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа оформлена в системе Т|]Х с использованием макропакета ./tA^S-lfeX и занимает 102 страницы печатного текста.

Во введении дан обзор понятий и результатов, относящихся к содержанию работы, а также изложены основные полученные результаты.

Первая глава посвящена изучению уравнения Рисса

Содержание работы

Здесь Вр — шар радиуса р > 0 в М3, Ь(у) — искомая функция, а правая часть /(х) задана в шаровом слое = {х € К3 | а < |х| < /?}, р < а < /?, не пересекающемся с Вр.

Для формулировки основного результата главы введем некоторые обозначения. Для функций и(х) £ ¿2(^0,/з) введем норму

/ \ 1/2 т>3

где ит] (г) — коэффициенты в разложении и(х) по сферическим гармоникам. Если а = 0, ¡3 — р, т. е. Па,0 = Вр, то мы пишем | • ||р вместо | • Ца,^. Кроме того, пусть || • || обозначает норму в £г(0, р). Основным результатом является оценка условной устойчивости решения уравнения Рисса.

Теорема 1.1. Пусть р ^ 1, а функция Ь(у) удовлетворяет условиям:

(61) 6 € С$(ВР);

(62) / (9^6(г/)|г/| 2 ¿у = 0 для любого мультииндекса. а с |а| ^ 2. В?

Тогда имеет место оценка условной устойчивости

¡612 $ С(е2^3|||/|||2а^ + \\13{Вр)), р > 1,

где С зависит только от а и ¡3.

Теорема 1.1 может быть переписана в терминах множества корректности и модуля непрерывности.

Следствие 1.2. Пусть выполнены условия (61), (62) теоремы 1.1. Предположим, что ||6||с3(в„) ^ К, где К — некоторая положительная постоянная, тогда имеет место оценка

М/ЧЬ/^ОМмп...,)),

_1 /о

где ш(е) ~ С(1пе-1) при е —► 0, а С зависит только от р, а, /? и К.

В § 1.1 вводятся обозначения, приводится постановка задачи и формулируются основные результаты главы.

В § 1.2 с помощью разложения функций Ь(у) и /(х) в ряды по сферическим гармоникам уравнение (1) сводится к семейству одномерных задач:

Следствие 1.3. Если для Ь(у) и /(ж) выполнено равенство (1), то Ьт^(г) и /т] («) (коэффициенты Ь(у) и /(х) в разложениях по сферическим гармоникам) связаны следующим образом:

р

= (2)

о

<

Кроме того, вводится вспомогательная функция В,

а также доказывается ряд утверждений, связанных с разложением по сферическим гармоникам. В конце параграфа приводится схема доказательства теоремы 1.1.

В § 1.3 при помощи известных оценок для интегральных операторов Вольтерра доказывается следующее утверждение:

Лемма 1.3. В условиях теоремы 1.1 для функций 6го^(г) и имеет место оценка

1Г+1^;(г)||2 ^ с{т2\\(з^Ьт^з)У\\2 + ||((*т+1Лтоу(«))7«)'112)- (4)

Здесь — коэффициенты Н в разложении по сферическим гармоникам, а С зависит только от р.

В § 1.4, опираясь на априорную оценку карлемановского типа, доказанную А. Л. Бухгеймом, мы доказываем следующую лемму, которая, по существу, дает оценку условной устойчивости в задаче аналитического продолжения:

Лемма 1.6. В условиях теоремы 1.1 имеет место оценка

+ ^2(||^112 + 11<2т+1^|Г)!, (5)

где р ^ 1, а := (8т+1/гт;)'/5. Константа С зависит только от р, а и р.

Наконец, в § 1.5, комбинируя оценки (4) и (5), мы завершаем доказательство теоремы 1.1.

Вторая глава посвящена обратным задачам восстановления коэффициентов волновых уравнений по данным рассеяния назад. Рассматриваемые задачи так или иначе сводятся к уравнению Рисса. В §2.1 изучается приведенное волновое уравнение

Аи + Х2а(х)и = 6(х — хо), х,х0еШ-3. (6)

Предполагается, что а(х) = 1 + Ь(х), где Ь(х) — достаточно гладкая функция с носителем в шаре Вр радиуса р > 0, а хо может меняться в некоторой области Г2сь не пересекающейся с Вр. Известно, что при А > 0 (6) имеет единственное решение вида

и(х, х0, А) = <?(х - х0, А) + ь(х, х0, А),

где &{х — жо, А) = — ^[д.дд! — падающая волна, а у(х, хо, А) — рассеянная волна, удовлетворяющая условиям излучения Зоммерфельда.

Обратная задача состоит в нахождении Ь(х) по данным рассеяния назад г>(х, х, А), х 6 ^о, А > 0. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, которая отвечает на вопрос: насколько точно можно определить Ь(х), измеряя рассеянную волну ь(х,х, А) при я € = {х € М3 | а ^ \х\ ^ /?}, где р < а, на конечном множестве частот А = Ао,... , А^:

Теорема 2.1. Предположим, что Ь\(у) я 6г(у) — две (различные) функции, удовлетворяющее следующим условиям:

(61) б,- ес$(вр), 3 = 1,2-,

(62) / ду (¿1 (у) — 6г(у)) |.уГ2 с1у = 0 для любого мультииндекса а,

в,

(63) ||Ьу||с»(В,,) ^ М, где М — положительная константа, определяющая класс корректности.

Пусть У](х,хо, А) — рассеянные волны, соответствующие 6Ду), у = 1,2. Пусть А0,... , Адг — конечный набор чисел в интервале (0, Имеет место оценка

140 •) - Ь3{0 • )В,/л ^ ш(Мц + цыс).

Здесь модуль непрерывности ш(и) имеет асимптотику ш((/) ~ при и —+ 0 с константой С, зависящей только от р, а, /3, М; М^ и /(дг

зависят только от расположения точек Ао,... , Адг, кроме того, Мдг ^ (а_р)2лг+1, а ^лг ->• оо при лг оо;

£Г = Бир

В §2.2 рассматривается следующая задача относительно функции и = и{х, г, х0), х, х0 6 М3, < €

1

ип - Аи +ш(х)щ + J- т)итт(х,т,х0)<1т = 6(х - х0^), (7) о

и|«<о = 0. (8)

Мы предполагаем, что функции к(з:,<), х £ М3, < > 0, и ш(х), х € К3, удовлетворяют следующим условиям:

(к 1) к(х,1) = 0 при х £ О, где О — ограниченная область в К3; (к2) к(х, дважды непрерывно дифференцируема и интегрируема в О х (0, оо);

(к3) к(х, быстро убывает при / —+ оо в том смысле, что

вир —* 0

геп

при < —► оо для любого натурального т; (а;1) 8иррш(аг) С П; (ш2) ш(ж) непрерывна в О. Допустим, что точка хо может двигаться в некоторой области По С К3 такой, что П Л По = 0, форма и размер области По несущественны. Задачи Коши (7), (8) имеет решение вида и(х^,хо) = £(х — хо,£) + ^(ж, хо), где — фундаментальное решение волнового опера-

тора, а V представляет собой рассеянную волну.

Основной результат этого параграфа — следующая теорема единственности:

Теорема 2.2. Пусть функции к(х, и удовлетворяют условиям (И)-(&3) и (оЛ), (ш2) соответственно и таковы, что преобразование Фурье по времени у(х, А, хо) рассеянной волны ь(х, I, хо) бесконечно дифференцируемо по X в окрестности А = 0.

Предположим, что к{х,Ь) = ко(х,Ь) + к^х^), где з = 0,1,

удовлетворяют условию (к 1), ко{х, ¿) — известная функция, а к\(х, <) — неизвестная функция, удовлетворяющая еще одному условию:

(¿4) к 1(ж,<) = 0 при I > Т, где Т > 0 — некоторое фиксированное число.

Тогда к\(х,Ь) и ш(х) однозначно определяются по данным рассеяния и(х,*,х), х 6 По, < € К.

третья глава посвящена изучению задачи восстановления памяти гиперболического уравнения по оператору Дирихле — Неймана. Пусть П — ограниченная область в 1", п ^ 3, с гладкой границей дО. В области й х 1 рассмотрим следующее интегродифференциаль-ное уравнение с памятью:

t

и»(х, — Ди(х, I) - J и(х, т)к(х,1 — г) ¿т = 0. (9)

-оо

Здесь к(х,{) — достаточно гладкая функция вйх (0, оо). Предположим, что для некоторого класса функций д(х,{), заданных на границе 80. х М, существует достаточно гладкое решение и(х,£) уравнения (9) с граничным условием

4®,<)|апхк= яОМ)- (Ю)

На указанном классе функций определим оператор Дирихле — Неймана Н, который функции д(х, сопоставляет след нормальной производной дии решения (9), (10) на границе д£1 х К.

Рассматриваемая обратная задача состоит в восстановлении неизвестной памяти к(х,1) по заданному оператору Дирихле — Неймана Н. Основной результат главы — это следующая теорема устойчивости:

Теорема 3.1. Пусть ¿у (г, = 1, 2, —две (различные) функции из класса Иг {К) := {*(*»*) € С2(П х (0, оо)) | ||*||с»(Пх(о,оо)) ^ К}. Существует такое у о > 0, зависящее от О, и К, что при любом ^ */о соответствующие операторы Дирихле — Неймана определены как операторы, действующие из 11^(80. х М) в х Е) (определение

пространств см. ниже) и имеет место оценка

где ы(е) ~ С\ (Сг/ при е —* 0, С\ зависит только от П, К,

7 и п, а Сч от П.

Пространства #®(<9fi х Ж) определяются как пространства таких функций u(x,t), что е~1*и{х,г) G H'(dQ xffi), где Я'(сЮ хЖ) — обычные пространства Соболева.

В §3.1 приводится постановка задачи и теорема 3.1. В § 3.2 изучается прямая задача. Показано, что оператор Дирихле — Неймана Н действует корректно как оператор из Hy(dQ х К) в Н°(д(1 х К).

В § 3.3 преобразованием Фурье — Лапласа задача (9), (10) сводится к семейству стационарных задач

Ай(х, в) + {к(х, в) + в2)й{х, 9) = 0, (11)

й(х,0)к2х® = £(М), (12)

доказывается некоторое тождество, связывающее оператор Дирихле — Неймана и память к(х, t), а также вводятся специальные решения уравнения (11) вида й{х, С, в) = е< х(1 + w(x, <, 0)), где < € С", С • < + = 0, a w убывает с ростом

В § 3.4, используя результаты § 3.3, мы доказываем теорему 3.1.

Публикации автора по теме диссертации

1. Бухгейм А. П., Дятлов Г. В. Единственность в обратной задаче восстановления памяти // Тез. докл. Сибирск. конф. по неклассическим уравнениям математической физики, Новосибирск, сент. 1995 г. Новосибирск, 1995. С. 22.

2. Бухгейм А. П., Дятлов Г. В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 3. С. 526-533.

3. Бухгейм А. Л., ДятловГ. В. Two problems of memory reconstruction // Тез. докл. Второго Сибирского Конгрессапо Прихладнойи Индустриальной Математике, Новосибирск, июнь 1996 г. Новосибирск, 1996. С. 306-307.

4. Бухгейм А. Л., Дятлов Г. В. Уравнение Рисса и обратные задачи // Тез. докл. Междунар. конф. Обратные Задачи Геофизики, Новосибирск, сент. 1996 г. Новосибирск, 1996. С. 59-62.

5. Дятлов Г. В. Устойчивость обратной задачи для уравнения Гельмгольпа // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №3. С. 583-601.

6. Dyatlov G. V. Stability of a solution to an inverse problem for the Helmoltz equation // Тез. докл. International Symposium on Computerized Tomography, Новосибирск, авг. 1993 г. Новосибирск, 1993. С. 46.

7. Dyatlov G. V. A Numerical Algorithm for Solving an Inverse Problem for the Helmholtz Equation // Тез. докл. Междунар. конф. Advanced Mathematics, Computations, and Applications, Новосибирск, июнь 1995 г. Новосибирск, 1995. С. 91-92.

8. Dyatlov G. V. Uniqueness and stability in two problems of memory reconstruction // Тез. докл. Междунар. конф. Inverse and 111-Posed Problems, Москва, сент. 1996 г. Москва, 1996. С. 61.

- И -

Цитированная литература

1. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

2. Дурдаев Д. К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №3. С. 574-582.

3. Лаврентьев М. М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. Т. 157, №3. С. 520-521.

4. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, №1. С. 32-35.

5. Alessandrini G. Stable Determination of Conductivity by Bounadry Measurements // Applicable Armal. 1988. V. 27. P. 153-172.

6. Bukhgelm A. L. Inverse problems of memory reconstruction // J. Inv. Hl-Posed Problems. 1993. V. 1, N.3. P. 193-206.

7. Isakov V. Inverse Source Problems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1990.

8. Isakov V. Completeness of products of solutions and some inverse problems for PDE // J. of Differential Equations. 1991. V. 92, N. 2. P. 305-316.

9. Janno J., v. Wolfecsdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. V. 4, N. 1. P. 39-66.

10. Lorenzi A. Identification problems for integrodifferential equations // Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тр./ Междунар. конф., Москва, авг. 1991 г. М.: ТВП, 1992. Р. 342-366.

11. Rakesh, Symes W. W. Uniqueness for an inverse problem for the wave equation // Comm. Partial Differential Equations 1988. V. 13, N. 1. P. 87-96.

12. Riesz M. Integrates de Riemmann— Liouville et potentiels // Acta Szeged. 1938. V. 9. P. 1-42.

13. Saito Y. Some properties of the scattering amplitude and the inverse scattering problem // Osaka J. Math. 1982. V. 19. P. 527-547.

14. Sylvester J., Ublmann G. A globed uniqueness theorem for an inverse boundary value problem // Ann. of Math. 1987. V. 125. P. 153-169.

Подписано в печать 14.02.97. Формат 60 X 84 '/is. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 100 экз. Бесплатно.