Временное и пространственное поведение оптических импульсов в системе углеродных нанотрубок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАЛКИНА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА

ВРЕМЕННОЕ И ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ В СИСТЕМЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК

01.04.17 - Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико7математических наук

005053228

Волгоград-2012

1 1 ОКТ 2012

005053228

Работа выполнена в Государственном бюджетом образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный медицинский университет» Минздравсоцразвития РФ.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Белоненко Михаил Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Запороикова Ирина Владимировна, ФГБОУ ВПО Волгоградский государственный университет, заведующий кафедрой судебной экспертизы и физического материаловедения

доктор химических наук, профессор Дьячков Павел Николаевич, Институт общей и неорганической химии им. U.C. Куриакова РАН, ведущий научный сотрудник лаборатории квантовой химии

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное : образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Волгоградский государственный социально-педагогический

университет»

Защита состоится «12» октября 2012 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.029.08 при ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный университет» по адресу: г. Волгоград, ул. Богданова 32, ФТИ, ВолГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный университет».

Автореферат разослан «Ь0» 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Ку Михайлова В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. В настоящее время углеродные наноструктуры, благодаря своим уникальным механическим, электрическим, оптическим и химическим свойствам, представляют огромный интерес для микроэлектроники, оптики, микробиологии, разработки композитов и т.д. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в получении разнообразных углеродных наноструктур, на большую популярность углеродных нанотрубок среди экспериментаторов, по сей день остаются вне теоретического осмысления многие вопросы, касающиеся поведения данных веществ и структурно-фазовых переходов в экстремальных условиях - в сильных электрических и магнитных полях, в условиях статического и динамического сжатия, в полях лазерного излучения, в плазме и в гравитационных полях. Особенный интерес вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы [1-3], которые важны для целого ряда химико-физических приложений.

Основной целью диссертации являлось исследование динамики предельно коротких оптических импульсов в системе однослойных углеродных нанотрубок в экстремальных условиях — в сильных электрических и магнитных полях.

В рамках заявленной цели изучены следующие задачи:

• изучение поведения предельно короткого оптического импульса в углеродных нанотрубках на больших временах и при больших скоростях,

• исследование взаимодействия двух предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках при столкновении,

• исследование влияния воздействия постоянного магнитного поля на распространение электромагнитного импульса,

• исследование возможности управления формой оптического импульса в широких пределах, а также возможности установления при помощи ультракоротких оптических импульсов параметров углеродных нанотрубок, которые важны для химико-физических приложений.

Научная новизна.

1. Впервые исследовано поведение эффективного уравнения, которое описывает динамику предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших времен, и установлена его связь с уравнением зш-Гордон.

з

2. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках возможен случай, когда более высокоскоростной импульс полностью поглощает низкоскоросгной.

3. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии постоянного магнитного поля импульсы после столкновения испытывают периодические изменения амплитуды.

4. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии постоянного магнитного поля в случае больших скоростей столкновение носит упругий характер.

Положения, выносимые на защиту:

1. На больших временах и при больших скоростях динамику предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках можно описать уравнением эт-Гордон.

2. При столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших скоростей наблюдается упругий характер столкновения.

3. В присутствии постоянного магнитного поля предельно короткий оптический импульс в углеродных нанотрубках увеличивает свою амплитуду.

Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается использованием строгого математического аппарата теоретической физики, детальным анализом общих физических принципов, лежащих в основе изучаемых моделей, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев, совпадением результатов, полученных разными методами, качественным и количественным сравнением с существующими экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность работы. В работе представлены новые результаты и установлены закономерности процессов существования и вид нелинейных волн в нанотрубках, исследована возможность управления предельно короткими оптическими импульсами электрическими полями при низких температурах, управления солитонными решетками электронов углеродных нанотрубок магнитным полем. Полученные результаты могут быть использованы как при интерпретации данных, полученных при спектроскопии

углеродных нанотрубок, так и при синтезе углеродных нанотрубок для использования в областях, связанных с полями лазерного излучения. Объекты исследования работы. Исследовались углеродные нанотрубки в присутствии электрических и магнитных полей.

Апробация работы. Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы «Известия ВУЗов. Серия физическая», «Оптика и спектроскопия», «Physics of Wave Phenomena», «Известия РАН. Серия физическая»). Среди них 5 статей в журналах из списка ВАК. Также результаты исследований были доложены на следующих конференциях: Photon Echo and Coherent Spectroscopy 2009 Казань (26-31 октября 2009 г.); Всероссийская научно-техническая конференцій «Нанотехнологии и наноматериалы: современное состояние и перспективы развития в условиях Волгоградской области» Волгоград (17-18 декабря 2009 г.); International Conference on Superconductivity and Magnetism ICSM2010 Turkey (25-30 апреля 2010 г.); 12 всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» Звенигород (25-30 мая 2010 г.); 68-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (9-13 сентября 2010 г.); VII Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» Воронеж (26-27 ноября 2010 г.); 69-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (27-30 апреля 2011 г.); 13 всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» Звенигород (25-30 мая 2011 г.); XI Международные чтения по квантовой оптике IWQO-2011 (5-9 сентября 2011 г.); VII Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика 2011» Санкт-Петербург (17-21 октября 2011 г.); Юбилейная 70-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (11-14 апреля 2012 г.).

Личный вклад автора. Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем. Автор диссертации принимал непосредственное участие в вычислениях, моделировании процессов на ЭВМ и обсуждении результатов, а также полностью выполнил численный и

5

аналитический расчет исследуемых величин. Также автор участвовал в написании статей и представлении результатов на конференциях. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая 48 рисунков и списка литературы из 93 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, кратко освещается состояние проблемы, формулируется цель, научная новизна, научная и практическая значимость и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, носящей обзорный характер, представлен обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе рассматривается поведение предельно короткого оптического импульса в системе углеродных нанотрубок (УНТ) при низких температурах на больших временах, которые много больше длительности импульса, но все еще меньше времени релаксации в системе. Рассмотрим переменное электрическое поле, распространяющееся в системе углеродных нанотрубок, в геометрии, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Геометрия задачи. Переменное поле импульса направлено вдоль оси нанотрубок.

Гамильтониан системы электронов в этом случае в присутствии внешнего

1 дА

переменного электрического поля, записанного в калибровке Е =---, имеет

с д(

вид:

б

H = j^{p--cA{t))a+Psaps>

где aps,aps - операторы рождения, уничтожения электронов с квазшшпульсом (р, s); A(l) - величина вектор-потенциала переменного электромагнитного поля, который имеет одну компоненту и направлен вдоль осей нанотрубок; £s(p) -закон дисперсии электронов. Для УНТ типа zig-zag закон дисперсии есть: ss(р) = 1 + 4cos(ap )cos(xs/m) + 4cos2(от/m),

где квазиимпульс р задается как (p,s), 5 = 1, 2 ... т, нанотрубка имеет тип (т,0). Уравнения же Максвелла с учетом диэлектрических и магнитных свойств УНТ [4] можно записать как:

02А 1 02А 4Л-- „

—;---Г—7" + — J=0'

дх2 с2 dt2 с

причем здесь пренебрегается дифракционным распльгаанием лазерного пучка в направлениях перпендикулярных оси распространения. Вектор-потенциал а считается имеющим вид А = (0,0, А (*,/)) •

Стандартное выражение для плотности тока: j = eZvs(p~^ A(t))(a+ps aps), , . dss(p)

где vs(p) = —-—, а скобки означают усреднение с неравновесной матрицей др

плотности p(t): (В) = Sp{D(Q)p(t)). Учитывая, что [а^а^, Я] = 0, из уравнений движения для матрицы плотности получаем что: (apsaps^ = (apsap^Q, где

(В)0 =Sp(B(0)pm.

Также учитывая, что р0 = ехр(-Я / кТ)! 5р(ехр(-Я / кТ)) (к - постоянная

Больцмана, Т — температура), и суммируя все вышесказанное, сразу получаем

точное уравнение на вектор-потенциал электрического поля:

52А 1 д2А Znzua . ,еаА.

—=---—5г + —— sin(-)

дх1 с2 dt2 с с

£ dp cos(cp)cos(тп/m) cxp(-fies(p)) = Q (j)

»-1 -*/<• n/l + 4 cos(cp - ae/l / c) cos(/-n / m) + 4 cos 2 (m / 1 + (p))

/3 = l/kT

Данное уравнение после обезразмеривания, разложения корня в ряд Фурье по cos(ар-аеА/с) и выполнения интегрирования может быть представлено в виде:

дх ■ с 8t k-i

в = e^l\x' = t—^ътфд-, ^2)

s-y dpcos(ap^C0S(7S!w) exP(~/fe?(p))

s=l-?r/a Л/1 + 4 COS

О/w) l + exp(-/fesO))

Здесь и0 - концентрация равновесных электронов в углеродных нанотрубках, bk = t "¡dpA^cosikp) СХР(-^(Р)) .

Отметим, что данное уравнение (2) является обобщением хорошо известного уравнения sin-Gordon.

Исследуемые уравнения решались численно при помощи прямой разностной схемы типа крест [5]. Шаги по времени и координате определялись из стандартных условий устойчивости. Шаги разностной схемы уменьшались последовательно в два раза, до тех пор, пока решение не изменялось в 8-ом значащем знаке. Начальное условие выбиралось в виде хорошо известного кинк-решения для уравнения sin-Gordon. Данное начальное условие соответствует тому, что на образец подается предельно короткий импульс, состоящий из одного «полуколебания» электрического поля. Значения таких параметров как /<»2.7 эВ, 6 = 0.142 нм выбирались, исходя из геометрии задачи. На рис. 2 приведено типичное решение исследуемых уравнений. Предельно короткий импульс разделяется на несколько импульсов, и импульсы имеют существенно разную амплитуду.

Рис. 2. Зависимость электрического поля от координаты в фиксированный момент времени. По оси х — обезразмеренная координата (единица соответствует 3-Ю"10 м), по оси у - обезразмеренная величина электрического поля (единица соответствует 106 В/м). Для сплошной кривой время в два раза больше, чем для пунктирной, у/с = 0.95.

Если рассматривать уравнение вида:

+ ДЛ) = 0,

82А 1 82А дх2 с2 812

где Р(А) периодическая с периодом 2л функция, и искать решение в виде волны, которая распространяется в одну сторону:

А = А(П = А{-ЩГ=), VI "V2/ с2

то легко получить решение в неявном виде: НА)

и учитывая, что асимптотически при -> -<зо: Р(А) = Г"ф)А2 /2

получаем: , =, или: А~ехр( I----• Таким образом,

асимптотически поведение определяется как величиной второй производной функции, которая задает нелинейность, так и начальной скоростью импульса. Отметим, что при V 1 решение становится более локализованным в

9

пространстве.

Далее были сравнены на больших временах решения исследуемых уравнений и следующего ниже уравнения для случая больших скоростей начального импульса: д2В 1 д2В

ctx,z с2 8t'2

к=2

+ A sin(2?) = О

(3)

Типичная картина дня начальных условий приведена на рис. 3.

1301-1-1-1-

300 330 400 130 500

Рис. 3. Сравнение зависимостей электрического поля, определяемого сравниваемыми уравнениями, от координаты в фиксированный момент времени. По оси х - обезразмеренная координата (единица соответствует 3-Ю"10 м), по оси у - обезразмеренная величина электрического поля (единица соответствует 106 В/м). Сплошная кривая - уравнение (2), пунктирная -уравнение (3). v/c = 0.995.

Таким образом, на больших временах и для больших начальных скоростей динамика электромагнитного поля в системе углеродных нанотрубок, описываемая исследуемым уравнением, эффективно может описываться при помощи уравнения sin-Gordon с коэффициентом, зависящим от коэффициентов исходного уравнения.

Учитывая, что характерное время релаксации для электронной системы

углеродных нанотрубок имеет величину порядка 10_пс, а длительность

рассматриваемого предельно короткого импульса порядка 10~15с,

предлагаемый нами подход можно применять для времен порядка 10~12с, что

ю

соответствует пройденному импульсу расстоянию в КГ4 м, что вполне может быть достигнуто в эксперименте.

Кроме того, как показали результаты численных расчетов, аналогичное поведение возможно, например, и для отличающихся начальных условий (рис. 4.):

Щх, Г) = К ■ агс/^(ехр((лг - V/) / у)) у = (1-г2/с2)1П

150 100 50 О

-30 -100

230 300 330 400 450 500

Рис. 4. Сравнение зависимостей электрического поля, определяемого сравниваемыми уравнениями, от координаты в фиксированный момент времени. По оси х — обезразмеренная координата (единица соответствует 3-10"10 м), по оси у - обезразмеренная величина электрического поля (единица соответствует 10б В/м). Сплошная кривая - уравнение (2), пунктирная -уравнение (3). х/с= 0.99, К= 7.

В третьей главе рассматривается взаимодействие двух предельно коротких импульсов. Динамику электромагнитного поля в системе углеродных нанотрубок в низкотемпературном случае, и для предельно коротких импульсов электромагнитного поля описывают исследуемые уравнения (2).

С помощью компьютерного моделирования рассматривалась ситуация, когда сталкивались два предельно коротких импульса, каждый из которых имел вид:

В, (х,/) = Л,ага&(ехр((х - хы - V,/) / у,)) ¡ = 1, 2.

Соответствующие результаты для типичных картин столкновений импульсов приведены на рис. 5-6.

а) V

Рис. 5. Картина столкновения двух импульсов в системе углеродных нанотрубок. Яркость соответствует величине электрического поля импульса в относительных единицах. Время по вертикальной оси, по горизонтальной оси координата, а) А1=А2 = 1;у, = -г>2 = 0.95с, Ъ) А1 = А2 = 1; V, = -у2 = 0.99с.

Рис. 6. Картина столкновения двух импульсов в системе углеродных нанотрубок. Яркость соответствует величине электрического поля импульса в относительных единицах. Время по вертикальной оси, по горизонтальной оси координата, а) АХ=А2= 4;у, = -у2 = 0.95с, Ь) А1 = А2 = = -у2 = 0.99с.

С повышением скорости уменьшается как величина пространственной локализации уединенного импульса, так и время, за которое один импульс «проходит» через другой. Все это приводит к тому, что эффекты, связанные с нелинейным взаимодействием импульсов не успевают развиться и столкновение происходит «упругим» образом (т.е. без образования за импульсами хвостов). Отметим, что несимметричность рисунков, приведенных на рис. 5-6, связана с взаимодействием импульсов с границей области и отражением части импульса (для случая малых скоростей) от нее. В случае

столкновения импульсов разной амплитуды типичная картина столкновения выглядит так, как приведено на рис. 7.

а) Ъ)

Рис. 7. Картина столкновения двух импульсов в системе углеродных нанотрубок. Яркость соответствует величине электрического поля импульса в относительных единицах. Время по вертикальной оси, по горизонтальной оси координата, а) Ах = 2; А2 = 4; у, = -у2 = 0.95с ,Ь)А1- 2; Л2 = 4; ^ = -1>2 = 0.99с.

В данном случае наблюдается рассеивание уединенного импульса с меньшей амплитудой на импульсе с большей амплитудой, вследствие чего импульс с меньшей амплитудой исчезает.

В четвертой главе рассмотрено влияние постоянного магнитного поля на динамику предельно коротких импульсов в системе углеродных нанотрубок. Исследование электронной структуры углеродных нанотрубок проводилось в рамках анализа динамики лхэлектронов в приближении сильной связи. Переменное электрическое поле рассматривалось как распространяющееся в системе углеродных нанотрубок в геометрии, представленной на рис. 8.

Рис. 8. Геометрия задачи. Постоянное магнитное поле параллельно переменному электрическому полю.

Гамильтониан системы электронов в этом случае в присутствии внешнего

\дк с 8i

г 15А

переменного электрического поля, записанного в калибровке ь = —, имеет вид:

H=Y,£ÀP--A^y)a+psaps >

ps с

где àps,aps - операторы рождения, уничтожения электронов с

квазиимпульсом (р, s); А(1) - величина вектор-потенциала переменного электромагнитного поля, который имеет одну компоненту и направлен вдоль осей нанотрубок; е„ (р) - закон дисперсии электронов. Для УНТ типа zig-zag на свойствах, которых мы и остановимся для определенности задачи, закон дисперсии электронов в присутствии магнитного поля параллельного оси нанотрубки есть [6]:

+ 4 cos2 (Sdkx\

1 2 J to

ss{kx,kz,H) = + 4cos(^)cos

, 2л ( Ф

где а=1А А, к- волновой вектор вдоль оси трубки, кх --+ —

v3aM0 V Ф,

Ф-

0

Не

магнитный поток через поперечное сечение трубки, Ф0 =-, 5 = 1, 2, ... ,Ма,

е

нанотрубка имеет тип (Л/0,0).

Уравнения же Максвелла с учетом диэлектрических и магнитных свойств УНТ [4] можно записать как: д2 А 1 дгА 4л--

+ — j = 0,

дх2 с2 Э/2 с

причем здесь пренебрегается дифракционным расплыванием лазерного пучка в направлениях перпендикуляр пых оси распространения. Вектор-потенциал а считается имеющим вид А = (0,0, А (х,/)).

Запишем стандартное выражение для плотности тока:

р5 С

, ч деЛр) _ „

где г.(р) =—а скобки означают усреднение с неравновесной матрицей др

плотности p{t)\ {в) - Sp(B(0)p(t)). Учитывая, что [а>рт,Я] = 0, из уравнений движения для матрицы плотности получаем что: {apsaps} = (a+psapi)0,me (В}0 = Sp(B(0)p(0)).

Учитывая, что р0 = схр(-Н / кТ)/Sp(exp(-H / кТ)) (к - постоянная Больцмана, Т - температура), и суммируя все вышесказанное, сразу получаем точное уравнение на вектор-потенциал электрического поля:

д2А 1 82А Влера . ,еа>1 sm(—}

£ "f dr cos(ap)cQs(7a/m) exp(-/fe,(p)) = Q

'=1-я1а V1 + 4cos(a/? - aeA/c)cos(xs/m) + 4 cos2 (та/m)1 + exp(-/te, {j>)) /3 = 1/kT

Данное уравнение после усреднения, разложения корня в ряд Фурье по cos(ар-аеА/с) и выполнения интегрирования может быть представлено в виде:

д2В 1 д2В wn4 « ,

С С С ,

^/l + 4cOS2(7n/77j) 1 + ехр(-/?^ (р)) щ - концентрация равновесных электронов в углеродных нанотрубках.

Отметим, что исследуемое уравнение является обобщением хорошо известного уравнения sin-Gordon.

Исследуемые уравнения решались численно при помощи прямой разностной схемы типа крест. Шаги по времени и координате определялись из стандартных условий устойчивости. Шаги разностной схемы уменьшались последовательно в два раза, до тех пор, пока решение не изменялось в 8-ом значащем знаке. Начальное условие выбиралось в виде хорошо известного кинк-решения для уравнения sin-Gordon: В(х, t) = 4яггс/&(ехр((х - vt) / у))

r=a-v2A2)1/2

На рис. 9 приведено типичное решение исследуемого уравнения.

15

Рис. 9. Зависимость электрического поля, определяемого исследуемым уравнением от координаты в фиксированный момент времени. По оси х -координата (единица соответствует 3-10"10 м), по оси у - величина электрического поля (единица соответствует 106 В/м). Сплошная кривая - без

2;т Ф я

магнитного поля, пунктирная - с магнитным полем, м/с = 0.95, ^ ^ ф = у ■

Влияние магнитного поля сводится к изменению формы предельно короткого оптического импульса вследствие изменения закона дисперсии. Магнитное поле, приложенное параллельно оси углеродной нанотрубки, изменяет закон дисперсии, что соответственно влияет на характер «развала» предельно короткого импульса и соответственно изменяет его форму. Также отметим, что предельно короткий импульс разделяется на несколько импульсов, и импульсы имеют существенно разную амплитуду.

Соответствующие результаты для типичных картин столкновений импульсов равной амплитуды в присутствии постоянного магнитного поля приведены на рис. 10.

Рис. 10. Картина столкновения двух импульсов в системе углеродных нанотрубок. Яркость соответствует величине электрического поля импульса в относительных единицах. По вертикальной оси - время, по горизонтальной -координата, а) Ах = Л2 = 4; к, = -у2 = 0.95с; Ъ) А, = Аг = 4; V, = -у2 = 0.99с,

2л Ф л л/3аМ0 Ф0 2 '

С повышением скорости уменьшается как величина пространственной локализации уединенного импульса, так и время, за которое один импульс «проходит» через другой. Все это приводит к тому, что эффекты, связанные с нелинейным взаимодействием импульсов не успевают развиться и столкновение происходит «упругим» образом (т.е. без образования за импульсами хвостов). Несимметричность рисунков связана с взаимодействием импульсов с границей области и отражением части импульса (для случая малых скоростей) от нее.

В случае столкновения импульсов разной амплитуды типичная картина столкновения выглядит так, как приведено на рис. 11.

Здесь наблюдается новый эффект. После столкновения один из импульсов резко уменьшает свою амплитуду, фактически исчезает, а потом появляется вновь. Данный эффект можно связать со сложным законом дисперсии, вследствие которого после столкновения происходит перераспределение энергии в модах колебания предельно короткого импульса, которое приводит сначала к его расплыванию, а потом в дальнейшем к «позитивной» интерференции, что и объясняет появление импульса по истечении некоторого времени.

Рис. 11. Картина столкновения двух импульсов в системе углеродных нанотрубок. Яркость соответствует величине электрического поля импульса в относительных единицах. По вертикальной оси - время, по горизонтальной -координата, а) А, = 4; А2 = 8; у1 = -у2 =0.99с; Ь) А1 = 2; А2 = 8; у1 = ~у2 = 0.99с,

2л Ф _ п л/3аМ0 Ф0 _ 2 "

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. В пределе больших скоростей асимптотическое поведение решений исследуемой системы совпадает с решениями уравнения sin-Gordon с эффективной нелинейностью, определяемой суммой коэффициентов исходного уравнения.

2. В пределе больших скоростей исходный предельно короткий импульс, на больших временах приобретает сложную гребенчатую структуру, которая аналогична распаду импульсов в интегрируемых системах.

3. Обнаружено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших скоростей наблюдается упругий характер столкновения, причем уединенные импульсы сталкиваются тем более «упруго» чем выше их скорость и амплитуда.

4. В случае, если амплитуда одного импульса превосходит амплитуду другого более чем в два раза, и в случае высоких скоростей, близких к скорости света в среде, возможно поглощение импульса с меньшей амплитудой так, что далее распространяется только импульс с большей амплитудой.

5. Обнаружено, что в присутствии постоянного магнитного поля предельно короткий оптический импульс в углеродных нанотрубках увеличивает свою амплитуду.

6. Установлено, что в случае одиночного предельно короткого импульса

изменение закона дисперсии вследствие приложенного постоянного магнитного поля приводит только к изменению формы импульса (что собственно и доказывает рол. закона дисперсии), однако, в случае столкновения двух предельно коротких импульсов возникают и новые эффекты.

Список цитированной литературы

1. Косаковская ЗЛ., Чернозатонскии JI.A, Федоров Е.А. Нановолоконная углеродная структура.// Письма в ЖЭТФ. - 1992. - Т. 56, вып. 1. - С. 26 - 30.

2. Chernozatonsky J.A. Barrelenes/tubulens a new class of cage carbon molecules and its solids // Phys. Lett. A. -1992. - V.166. - P.55 - 60.

3. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of Fullerenes and Carbon Nano-tubes. - N.Y.: Acad. Press, 1996. - P. 965.

4. Эпштейн Э. M. Солитоны в сверхрешетке. // Физика твердого тела. -1977. -Т. 19, вып. 11.-С. 3456-3458.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). - М.: Наука, 1975.

6. Овчинников A.A., Отражев B.B. // Физика твердого тела. - 1998. -Т. 40, №10.-С. 1950-1954.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г., Нелидина E.H. Асимптотическая динамика предельно коротких импульсов в системе углеродных нанотрубок. // Известия высших учебных заведений. Физика. -2010. -№ 11. - С. 14- 19.

2. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г., Галкина E.H.. Шакирзянов М.М. Столкновение предельно коротких оптических импульсов в полупроводниковых углеродных нанотрубках. // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2011. - Т. 1, № 1. - С. 70 - 77.

3. Belonenko М.В., Lebedev N.G., Nelidina E.N. Interaction of few-cycle optical pulses in nonmetallic carbon nanotubes // Physics of Wave Phenomena. — 2011. — V.19, № 1. - P. 39-42.

4. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г., Галкина E.H.. Тузалина O.IO. Влияние магнитного поля на распространение предельно коротких импульсов в углеродных нанотрубках. // Оптика и спектроскопия. - 2011 - Т. 110, № 4. -С. 598-602.

5. Галкина E.H.. Белоненко М.Б. Распространение предельно коротких импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии магнитного поля // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75, №12.-С. 1727- 1729.

19

Отпечатано в типографии ИП Березюк. 400117, Волгоград, ул. Землячки, 29. Тел. (8442) 54-53-13. Тир. 100 шт.

Введение.

Глава 1. Строение и свойства углеродных нанотрубок.

1.1. Углерод и его аллотропические формы.

1.2. Свойства углеродных нанотрубок.

1.3. Электронное строение углеродных нанотрубок.

Глава 2. Асимптотическая динамика предельно коротких импульсов в системе углеродных нанотрубок.

2.1. Основные уравнения.

2.2. Результаты численного моделирования.

Выводы к главе 2.

Глава 3. Столкновение предельно коротких оптических импульсов в полупроводниковых углеродных нанотрубках.

3.1. Основные уравнения.

3.2. Результаты компьютерного моделирования.

3.2.1. Случай равных амплитуд.

3.2.2. Случай разных амплитуд.

3.2.3. Случай внешних электрических полей.

Выводы к главе 3.

Глава 4. Влияние магнитного поля на распространение предельно коротких импульсов в углеродных нанотрубках.

4.1. Основные уравнения.

4.2. Результаты численного анализа.

4.2.1. Столкновение импульсов равной амплитуды.

4.2.2. Столкновение импульсов разной амплитуды.

Выводы к главе 4.

Актуальность темы. В настоящее время углеродные наноструктуры, благодаря своим уникальным механическим, электрическим, оптическим и химическим свойствам, представляют огромный интерес для микроэлектроники, оптики, микробиологии, разработки композитов и т.д. [19]. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в получении разнообразных углеродных наноструктур, на большую популярность углеродных нанотрубок среди экспериментаторов [10-13], по сей день остаются вне теоретического осмысления многие вопросы, касающиеся поведения данных веществ и структурно-фазовых переходов в экстремальных условиях - в электрических и магнитных полях, в условиях статического и динамического сжатия, в полях лазерного излучения. Особенный интерес вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы, которые важны для целого ряда химико-физических приложений [14-19].

Цель работы. Основной целью диссертации являлось исследование динамики предельно коротких оптических импульсов в системе однослойных углеродных нанотрубок в экстремальных условиях - в сильных электрических и магнитных полях.

В рамках заявленной цели изучены следующие задачи:

• изучение поведения предельно короткого оптического импульса в углеродных нанотрубках на больших временах и при больших скоростях,

• исследование взаимодействия двух предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках при столкновении,

• исследование влияния воздействия постоянного магнитного поля на распространение электромагнитного импульса,

• исследование возможности управления формой оптического импульса в широких пределах, а также возможности установления при помощи ультракоротких оптических импульсов параметров углеродных нанотрубок, которые важны для химико-физических приложений.

Научная новизна

1. Впервые исследовано поведение эффективного уравнения, которое описывает динамику предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших времен, и установлена его связь с уравнением эт-Гордон.

2. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках возможен случай, когда более высокоскоростной импульс полностью поглощает низкоскоростной.

3. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии постоянного магнитного поля импульсы после столкновения испытывают периодические изменения амплитуды.

4. Впервые установлено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии постоянного магнитного поля в случае больших скоростей столкновение носит упругий характер.

Положения, выносимые на защиту:

1. На больших временах и при больших скоростях динамику предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках можно описать уравнением зт-Гордон.

2. При столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших скоростей наблюдается упругий характер столкновения.

3. В присутствии постоянного магнитного поля предельно короткий оптический импульс в углеродных нанотрубках увеличивает свою амплитуду.

Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается использованием строгого математического аппарата теоретической физики, детальным анализом общих физических принципов, лежащих в основе изучаемых моделей, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученных в других работах для частных случаев, совпадением результатов, полученных разными методами, качественным и количественным сравнением с существующими экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность работы. В работе представлены новые результаты и установлены закономерности процессов существования и вид нелинейных волн в нанотрубках, исследована возможность управления предельно короткими оптическими импульсами электрическими полями при низких температурах, управления солитонными решетками электронов углеродных нанотрубок магнитным полем. Полученные результаты могут быть использованы как при интерпретации данных, полученных при спектроскопии углеродных нанотрубок, так и при синтезе углеродных нанотрубок для использования в областях, связанных с полями лазерного излучения.

Объекты исследования работы. Исследовались углеродные нанотрубки в присутствии электрических и магнитных полей.

Апробация работы. Результаты исследований опубликованы в периодической научной печати (журналы «Известия ВУЗов. Серия физическая», «Оптика и спектроскопия», «Physics of Wave Phenomena», «Известия РАН. Серия физическая»). Среди них 5 статей в журналах из списка ВАК. Также результаты исследований были доложены на следующих конференциях:

1. Photon Echo and Coherent Spectroscopy 2009 Казань (26-31 октября 2009 г.);

2. Всероссийская научно-техническая конференция «Нанотехнологии и наноматериалы: современное состояние и перспективы развития в условиях Волгоградской области» Волгоград (17-18 декабря 2009 г.);

3. International Conference on Superconductivity and Magnetism ICSM2010 Turkey (25-30 апреля 2010 г.);

4. 12-я Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» Звенигород (25-30 мая 2010 г.);

5. 68-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (9-13 сентября 2010 г.);

6. VII Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» Воронеж (26-27 ноября 2010 г.);

7. 69-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (27-30 апреля 2011 г.);

8. 13-я Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» Звенигород (25-30 мая 2011 г.);

9. XI Международные чтения по квантовой оптике IWQO-2011 (5-9 сентября 2011 г.);

10. VII Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика 2011» Санкт-Петербург (17-21 октября 2011 г.);

11. Юбилейная 70-я открытая научно-практическая конференция молодых ученых и студентов с международным участием «Актуальные проблемы экспериментальной и клинической медицины» Волгоград (11-14 апреля 2012 г.).

Личный вклад автора. Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным консультантом. Автор диссертации принимал непосредственное участие в вычислениях, моделировании процессов на ЭВМ и обсуждении результатов, а также полностью выполнил численный и аналитический расчет исследуемых величин. Также автор участвовал в написании статей и представлении результатов на конференциях.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех оригинальных глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 102 страницы, включая 48 рисунков и списка литературы из 93 наименований.

Выводы к главе 4

Данная глава была посвящена исследованию распространения предельно коротких импульсов в углеродных нанотрубках в присутствии постоянного магнитного поля, приложенного параллельно оси нанотрубок. Был проанализирован характер распространения и столкновения предельно коротких импульсов при приложенном магнитном поле.

В ходе настоящего исследования было установлено, что все основные эффекты, связанные с введением магнитного поля, параллельного оси углеродных нанотрубок, связаны с тем, что изменился закон дисперсии согласно [85], именно это и привело к другому характеру распространения импульсов.

Было обнаружено, что в присутствии постоянного магнитного поля предельно короткий оптический импульс в углеродных нанотрубках увеличивает свою амплитуду.

Кроме того, был установлен тот факт, что в случае одиночного предельно короткого импульса изменение закона дисперсии вследствие приложенного постоянного магнитного поля приводит только к изменению формы импульса (что собственно и доказывает роль закона дисперсии), однако, в случае столкновения двух предельно коротких импульсов возникают и новые эффекты.

А именно, при столкновении двух предельно коротких импульсов с разной амплитудой возможно уменьшение амплитуды одного импульса сначала до нуля вследствие дисперсионного «развала», а потом в дальнейшем вследствие «позитивной» интерференции восстановление формы импульса и дальнейшее его устойчивое распространение. Таким образом, можно сделать вывод, что закон дисперсии свободных электронов в углеродных нанотрубках (в частности в присутствии постоянного магнитного поля) является определяющим при распространении оптических импульсов в данной среде.

В заключение сформулируем наиболее важные выводы и результаты, следующие из проведенного исследования

1. В пределе больших скоростей асимптотическое поведение решений исследуемой системы совпадает с решениями уравнения sin-Gordon с эффективной нелинейностью, определяемой суммой коэффициентов исходного уравнения.

2. В пределе больших скоростей исходный предельно короткий импульс, на больших временах приобретает сложную гребенчатую структуру, которая аналогична распаду импульсов в интегрируемых системах.

3. Обнаружено, что при столкновении предельно коротких оптических импульсов в углеродных нанотрубках в случае больших скоростей наблюдается упругий характер столкновения, причем уединенные импульсы сталкиваются тем более «упруго» чем выше их скорость и амплитуда.

4. В случае, если амплитуда одного импульса превосходит амплитуду другого более чем в два раза, и в случае высоких скоростей, близких к скорости света в среде, возможно поглощение импульса с меньшей амплитудой так, что далее распространяется только импульс с большей амплитудой.

5. Обнаружено, что в присутствии постоянного магнитного поля предельно короткий оптический импульс в углеродных нанотрубках увеличивает свою амплитуду.

6. Установлено, что в случае одиночного предельно короткого импульса изменение закона дисперсии вследствие приложенного постоянного магнитного поля приводит только к изменению формы импульса (что собственно и доказывает роль закона дисперсии), однако, в случае столкновения двух предельно коротких импульсов возникают и новые эффекты.

1. S. Iijima, Nature 354 56-58 (1991)

2. S. Iijima, Т. Ichihashi, Nature 363 603-605 (1993)

3. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of Fullerenes and Carbon Nano-tubes. N.Y.: Acad. Press, 1996. - P. 965.

4. Косаковская З.Я., Чернозатонский Jl.A, Федоров Е.А. Нановолоконная углеродная структура. // Письма в ЖЭТФ. 1992. - Т. 56, вып.1. - С. 26 - 30.

5. Chernozatonsky J.A. Barrelenes / tubulens a new class of cage carbon molecules and its solids // Phys. Lett. A. 1992. - V.166. - P.55 - 60.

6. Нанотехнология в ближайшем десятилетии. Прогноз направления исследований / Под ред. М.К. Роко, P.C. Уильяме, П. Аливисатос. Москва: Мир, 2002. 296 с.

7. Пул Ч., Оуэне Ф. Нанотехнологии. Москва: Техносфера, 2004. 328 с.

8. Р. М. Ajayan and Т. W. Ebbesen, Rep. Prog. Phys. 60, 1025 (1997).

9. C. Dekker. Phys. Today 52, 22 (1999).

10. Валиев P.3., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. Москва: Логос, 2000. 272 с.1.. Гусев А.И., Ремпель A.A. Нанокристаллические материалы. Москва: Физматлит, 2000. 224 с.

11. Андриевский P.A., Рагуля P.A. Наноструктурные материалы. Москва: Академия, 2005. 192 с.

12. Сергеев Г.Б. Нанохимия. Москва: МГУ, 2003. 288 с.

13. Белоненко М.Б., Демушкина Е.В., Лебедев Н.Г. Электронные, физические и нелинейные свойства углеродных нанотрубок. Учебное пособие. Волгоград: НОУ ВПО ВИБ, 2007. 222 с.

14. Белоненко М.Б., Демушкина Е.В., Лебедев Н.Г. Нелинейные волны в однослойных углеродных нанотрубках с учетом электрон-фононного взаимодействия // Химическая физика, 2006, т. 25, № 7, с. 83 90.

15. Белоненко М.Б., Демушкина Е.В., Лебедев Н.Г. Нелинейные волны электронной плотности и нелинейные акустические волны в углеродных нанотрубках // Известия РАН, Серия физическая, 2007 т. 71, № 1, с. 140 -144.

16. Давыдов А.С. Теория твердого тела. Москва: Наука, 1976. 640 с.

17. Крючков С.В. Полупроводниковые сверхрешетки в сильных полях. Волгоград: Перемена, ВГПУ, 1992. 67 с.

18. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. Москва: Наука, 1980. 342 с.

19. Wycko R. W. G. Crystal Structures. Interscience: New York, Volume 1.1964.

20. X. Zhao, Y. Ando, Y. Liu, M. Jinno, and T. Suzuki. Carbon Nanowire Made of a Long Linear Carbon Chain Inserted inside a Multiwalled Carbon Nanotube. Phys. Rev. Lett. 90, 187401 (2003).

21. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, and R. Saito, Phys. Rev. В 45, 6234 (1992).

22. Д.А. Бочвар, Е.Г. Гальперн. О гипотетических системах: карбододекаэдре, s-икосаэдране и карбон-икосаэдре. ДАН СССР 209, 610 (1973).

23. H.W. Kroto, A.W. Allafand, and S.P. Balm. C60 Buckminsterfullerene. Chem. Rev. 91, 1213 (1997).

24. H.W. Kroto. Symmetry, space, stars, and C6o- Rev. Mod. Phys., 69, 3, 703-722(1997).

25. R. Smalley. Discovering the fullerens. Mod. Phys., 6'9 3 723 730 (1997).

26. A.B. Елецкий, Б.М. Смирнов. Фуллерены и структура углерода. УФН, 165 9, 977 1009 (1995).

27. H. Prizbach, A. Weller, P. Landenberger, F. Wahl, J. Worth, L.T. Scott, M. Gelmont, D. Olevano, B.V. Issendorff. Gas-phase production and photoelectron spectroscopy of the smallest fullerene, C2o- Nature (London), 407, 60 (2000).

28. F. Banhart, P.M. Ajayan. Carbon onions as nanoscopic pressure cells for diamond formation. Nature (London), 382, 433 (1996).

29. L. Margulis, G. Salitra, R. Tenne, M. Talianker. Nested fullerene-like structures. Nature (London), 365, 113 (1993).

30. X. Ma. Size-controlled short nanobells: Growth and formation mechanism. Appl. Phys. Lett., 77, 25, 4136 4138 (2000).

31. Z. Zhong, H. Chen, S. Tang, J. Ding, J. Lin. Catalytic growth of carbon nanoballs with and without cobalt encapsulation. Chem. Phys. Lett., 330, 1-2, 4147 (2000).

32. A. Krishnan, E. Dujardin, M.M.J. Treacy, J. Hugdahl, S. Lynum, and T.W. Ebbesen. Graphitic cones and the nucleation of curved carbon surfaces. Nature (London), 388, 451 (1997).

33. R.L. Jacobsen, M. Monthioux. Carbon beads with protruding cones. Nature (London), 385, 211 (1997).

34. Y. Saito, T. Matsumoto. Carbon nano-cages created as cubes. Nature (London), 392, 237(1998).

35. J. Liu, A.G. Rinzler, H. Dai. Fullerene pipes. Science 280, 1253 (1998).

36. J. Liu, H. Dai, J.H. Hafner, D.T. Colbert, R.E. Smalley, S.J. Tans, C. Dekker. Fullerene 'crop circles'. Nature (London), 385, 780 (1997).

37. P.N. D'yachkov, N.N. Breslavskaya. Isomerism of covalent CnXk (n = 60, 70, 76, 78) fullerides. J. Mol. Struct. (Theochem), 1997, 397, 199 211.

38. R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus, and M. S. Dresselhaus, Appl. Phys. Lett. 60, 2204-2206(1992)

39. C. Journet, W. K. Maser, P. Bernier, A. Loiseau, M. Lamy de la Chapelle, S. Lefrant, P. Deniard, R. Lee, and J. E. Fischer, Nature (London) 388, 756-758 (1997).

40. A. Loiseau, N. Demoncy, О. Stephan, С. Colliex aand H. Pascard, page 1-16, in D. Tom anek and R.J. Enbody, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1999, (Book on Conference Proceedings).

41. J. Liu, A. G. Rinzler, H. Dai, J. H. Hafner, R. K. Bradley, P. J. Boul, A. Lu, T. Iverson, K. Shelimov, С. B. Human, F. Rodriguex-Macia, D. T. Colbert and R. E. Smalley, Science 280, 1253-1256. (1998).

42. R. Saito, G. Dresselhaus, and M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes. Imperial College Press, London, 1998.

43. A. Rubio, J.L. Corkill, and M. L. Cohen, Phys. Rev. В 49, 5081-5084 (1994).

44. Y. Miyamoto, A. Rubio, M. L. Cohen, and S. G. Louie, Phys. Rev. В 50, 4976-4979 (1994).

45. Y. Miyamoto, A. Rubio, S. G. Louie, and M. L. Cohen, Phys. Rev. В 50, 18360-18366(1994).

46. F. Jensen and H. Toftlund, Chem. Phys. Lett. 201, 95-98 (1993).

47. E. Bucher. In Physics and Chemistry of Materials with Layered Structures, V. 14, edited by A. Aruchamy, pages 1-81, Kluwer Academic, NY, 1992.

48. G. L. Frey, R. Tenne, M. J. Matthews, M. S. Dresselhaus, and G. Dresselhaus, J. Mater. Research 13, 2412-2417 (1998).

49. F. Jensen and H. Toftlund, Chem. Phys. Lett. 201, 95-98 (1993).

50. R. Saito and H. Kataura. In Carbon Nanotubes, edited by M. S Dresselhaus and P. Avouris, Springer-Verlag, Berlin, 2000.

51. Фларри P. Квантовая химия. M.: Мир, 1985. - 472 с.

52. Брандт Н.Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 632 с.

53. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1. М.: Мир, 1979.-400 с.

54. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 2. М.: Мир, 1979.-424 с.

55. Губанов В.А., Курмаев Э.З., Ивановский A.JI. Квантовая химия твердого тела. М.: Наука, 1984. - 304 с.

56. Левин A.A. Введение в квантовую химию твердого тела. М.: Химия, 1974.-240 с.

57. Эварестов P.A. Квантовохимические методы в теории твердого тела. Л.: ЛГУ, 1982. - 380 с.

58. Эварестов P.A., Котомин Е.А., Ермошкин А.Н. Молекулярные модели точечных дефектов в широкощелевых твердых телах. Рига.: Зинатне, 1983.-287 с.

59. Закис Ю.Р. Модели процессов в широкощелевых твердых телах с дефектами. Рига.: Зинатне, 1991. - 382 с.

60. Жидомиров Г.М. Современные модели теории хемосорбции / Жидомиров Г.М., Шлюгер А.Л., Канторович Л.Н. // Современные проблемы квантовой химии в теории межмолекулярных взаимодействий и твердых тел. . Л.: Наука, 1987. - С. 225 - 282.

61. Кацнельсон A.A. Электронная теория конденсированных сред. М.: МГУ, 1990.-240 с.

62. P.R. Wallace. The band theory of graphite. Physical Review, vol. 71, pp. 622-634, 1947.

63. Н.Ф. Степанов. Квантовая механика и квантовая химия. М.: Мир, 2001.-519с.

64. S. Iijima. Helical microtubules of graphite carbon 11 Nature. 1991. - V. 354.-P. 56-58.

65. S. Reich. Carbon nanotubes. Basic concepts and physical properties. / S. Reich, C. Thomsen, J. Maultzsch. Berlin: Wiley-VCH Verlag, 2003. - 218 p.

66. R. Saito, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Physical properties of carbon nanotubes. London: Imperial College Press, 1999. - 251 p.

67. A.B. Елецкий. Эндоэдральные структуры. // УФН. 2000. - Т. 170. -№2.-С. 113-142.

68. A.B. Елецкий, Б.М. Смирнов. Фуллерены и структуры углерода. // УФН. 1995. - Т. 165. - №9. - С. 977 - 1009.

69. Лозовик Ю.Е., Попов A.M. Образование и рост углеродных наноструктур фуллеренов, наночастиц, нанотрубок и конусов. // УФН. 1997. Т. 165.-№7. С. 752.

70. A.B. Елецкий. Углеродные нанотрубки. // УФН. 1997. - Т. 167. -№9. - С. 945 - 972.

71. Ивановский A.JI. Квантовая химия в материаловедении. Нанотубулярные формы вещества. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 176.

72. A.B. Елецкий. Углеродные нанотрубки и их эмиссионные свойства. // УФН. 2002. - Т. 172. - №4. - С. 401 - 438.

73. A.B. Елецкий. Сорбционные свойства углеродных наноструктур // УФН. 2004. - Т. 174.-№11.-С. 1191 - 1231.

74. П. Харрис. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. М.: Техносфера, 2003. - 336 с.

75. П.Н. Дьячков. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения. М.: БИНОМ: Лаборатория знаний, 2006. - 293 с.

76. Belonenko М.В., Demushkina E.V., and Lebedev N.G . // J. Rus. Laser Res. 2006. - V. 27. - No. 5. - P. 457-465.

77. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г., Демушкина E.B. // ФТТ. 2008. - Т. 50,-№2.-С. 367-373.

78. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г., Тузалина О.Ю. // Изв. РАН. Сер. физ. 2009. Т. 73. № 12. С. 1703.

79. Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г. // Хим. физика. 2010. Т. 29. № 8. С. 85-89.

80. Lin M.F. and Shung K.W. К. // Phys. Rev. В. - 1994. - V. 50. - No. 23.-P. 17744.

81. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G., and Dresselhaus M.S. // Phys. Rev. В. 1992,-V. 46. - No. 3. - P. 1804.

82. Эпштейн Э.М. // ФТТ. 1977. Т. 19. Вып. 11. С. 3456.

83. Солитоны / Под ред. Буллаф Р., Кодри Ф. М.: Мир, 1983. С. 408.

84. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Москва: Наука, 1975.

85. Kitchenside P.W., Caudrey P.J., Bullough R.K. // Phys.Scr. 20, 673, (1979).

86. G. A. Vinogradov, T. Yu. Astakhova, O. D. Gurin, and A. A. Ovchinnikov. // Abstracts of Invited Lectures and Contributed Papers "Fullerenes and Atomic Clusters". St. Petersburg, Russia, 1999, p. 189.

87. T. Yu. Astakhova, O. D. Gurin, and G. A. Vinogradov, in Abstracts of Invited Lectures and Contributed Papers "Fullerenes and Atomic Clusters" (St. Petersburg, Russia, 2001), p. 319.

88. T. Yu. Astakhova, O. D. Gurin, M. Menon, and G. A. Vinogradov, Phys. Rev. В 64, 035418(2001).

89. S. A. Maksimenko and G. Ya. Slepyan. Handbook of Nanotechnology; Nanometer Structure: Theory, Modeling, and Simulation. SPIE Press, Bellingham 2004, P. 145-206.

90. G. Ya. Slepyan, S. A. Maksimenko, V. P. Kalosha, et al., Phys. Rev. A 60 (2), R777 (1999).

91. Овчинников A.A., Отражев B.B. // ФТТ. 1998. Т. 40. №10. С. 1950.