Временные асимптотики и гамильтоновы свойства нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

БАКУРОВ ВАДИМ ГЕННАДИЕВИЧ

На празах рукописи

УДК 530. 182; 517. 944. 3

ВРЕМЕННЫЕ АСИМПТОТИКИ И ГАМИЛЬТОКОВЫ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Специальность 01. 04. 02— теоретическая

физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фазико-мателатических наук

ЧЕРНОГОЛОВКА- 1990

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

С. В. Л1АНАКОВ

Официальные оппоненты— доктор физико-математических наук

А. В. МИХАЙЛОВ,

доктор физико-математических наук

Ведущая организация — Ленинградский государственный уни-

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР но адресу: 142-132, Московская область, Ногинский район, п. Черноголовка, ИТФ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ АН

П. П. КУЛИШ

.1990 года

СССР.

Автореферат разослан

/-ими

1990 г.

Ученый секретарь специализированного созгта, доктор физико-математических на\к

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения являются, как известно, основным инструментов математического описания разнообразных физических явлений. Резвитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет поэтому одну из важнейших задач математической физики.

Особую роль в теории нелинейных волн играют системы уравнений, которые принято называть универсальными. Среди одномерных гамильтоновых систем к универсальным относятся уравнения Лорте-вега - де Фриза, нелинейное уравнение Шредингэра и система трехволнового резонансного взаимодействия.

"Универсальность" этих систем означает, что они описывают подклассы решений волновых уравнений общего типа, когда последние удовлетворяет весьма слабым ограничениям. Так, например, нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию во времени кваэи-монохроматической волны малой амплитуды в среде с дисперсией. По этой причине понятен интерес, который вызывают универсальные системы.

Изучению одномерных интегрируемых систем посвящена обширная литература. Эти системы оказались вполне интегрируемыми и попали под действие классического метода обратной задачи рассеяния. Это обстоятельство закономерно. Напротив, удивительным фактом была бы их неинтегрируемость,так как интегрируемость универсальных систем следует из существования одной единственной интегрируемой системы достаточно общего положения [11..

Универсальные системы существуют в пространстве любой размерности. В двумерном случае прямыми аналогами вышеупомянутых одномерных систем являются, соответственно, уравнения Кадомцева-Петвиашвили СКПЗ, системы уравнений Дэви-Стюартсона СДС) и система уравнений трехволнового резонансного взаимодействия. Их изучение следовало бы провести с той же степенью подробности, что и в случае их одномерных аналогов.

В последнее время получен ряд результатов, относящихся к вопросу о решении задачи Коши для двумерных нелинейных уравнений. Двумерный «етод обратной задачи получил формулировку столь жэ эффективную как в одномерной ситуации, если задача Коши решается в

классе достаточно быстроубываших ка бесконечности функций. Открытыми оставались вопросы редукций вспомогательных спектральных задачах, вопрос о полной интегрируемости. Не была решена задача о■"тождествах следов" и задача об асимптотическом поведении решений на больших временах и связи этих решений с начальным:! условиям!: задачи Коши.

В настоящей диссертации получены асимптотические при больших временах решения уравььчия КП-1 и систем уравнений ДС. Предложен метод вычисления скоблк Пуассона в пределе |1ю. Показано, что уравнение КП-1 и система уравнений ДС-11 являются вполне интегрируемые гамильточовыми системами. Для них предъявляются переменные типа действие-угол. Цель работы. Целью диссертации является:

1. Получение асимптотических при больших временах решений уравнения уравнения КП-1 и систем уравнений ДС.

2. Построение переменных действие-угол вышеупомянутых систем нелинейных уравнений -по полученным асимптотическим решениям.

3. Изучение редукций во вспомогательных спектральных задачах, приводящих к решениям нелинейных уравнений с заданными свойствами Iнапример, вещественные решения уравнения КП-1 ).

4. Решение задачи о тождествах следов во вспомогательных спектральных задачах. Получение производящих функций счетных наборов интегралов движения нелинейных систем уравнений, ассоциированных с этими вспомогательными задачами.

3. Построение производящего функционала канонического преобразования, описывающего процессы рассеяния в 1+1-мерной системе трех-волнового резонансного взаимодействия. . Научная новизна.

1. Получены асимптотические решения при больших временах, отвечающие в достаточной степени произвольных« начальным условиям. Эти решения получены в терминах данных рассеяния, относящихся к моменту времени 1=0.

2. Доказана полная интегрируемость в гамильтоновом смысле уравнения Кадомцева-Петвиашвили - I и системы уравнений Дэви-Стюарт-сона - II. Переменные действие-угол получены методом временных асимптотик.

3. Изучены редукции вспомогательных спектральных задач, ассоциированных с нелинейными системами уравнений, исследованными в

диссертации.

4. Изучены особенности матричной 2x2 нелокальной задачи сопряжения, ассоциированной с ДС-1.

3. Найдены производящие функции интегралов движения рассмотренных систем нелинейных уравнений.

6. Производящий функционал канонического преобразования, описывающий процессы рассеяния в 1+1-мерной системе трех-волнового резонансного взаимодействия получен в явном виде. Квазиклассическая Н-частичная Ь'-матрица частицеподобных решений -солптонов факторизуется по двухчастичным.

Практическая и теоретическая ценность работы. Результаты диссертации применимы для анализа широкого круга нелинейных явлений в диспергирующих средах, поскольку получены в рамках нелинейных уравнений, имеющих универсальный характер. Методы получения спектральных данных вспомогательных линейных задач и тождеств следов в этих задачах могутбыть применимы к другим спектральным задачам. Разработанный математический аппарат может быть использовзн для развития теории плазмы, гидродинамики, нелинейной оптики, Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в Черноголовке 1985, 1987 гг., Рабочем совещании "Со-литоны" в Юрмале в 1986 г., на третьем международном совещании по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам в Италии в 1985 г.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав с раздельной нумерацией параграфов, заключения и списка литературы из 65 наименований. Обьем диссертации - 92 страницы.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три научные работы.

Во введении обосновывается актуальность вопросов, рассматриваемых в диссертации.Дан краткий обзор применений метода обратной задача к решению задач Коши для двумерных систем нелинейных уравнений. В рамках метода одевания с нелинейными уравнениями ассоциируются две задачи теории функций: нелокальная задача Римана-Гильберта и так называемая д - проблема. Первкя из них заключается в построении кусочно-аналитической, вообще говоря матричнозначной, функции

- ь -

*ш =

Х*ш, при 1т X > О

Ч)

X Ш. при 1т X. < О

которая удовлетворяет краевому условию на вещественной оси

1т Х=0 С хШ=*и.х,у.О, К(Х.м>=КСХ,*лх,у,и )

ш

*ЧХ) = х'(М + S dz (1т X = 0) (2)

-оо

Решением второй из вспомогательных спектральных задач является ограниченная в плоскости комплексного спектрального параметра X. функция , для которой можно записать основное соотношение

д - проблемы:

дхШ/дК = (3)

Э

Решения этих задач фиксируются значением, которое принимает функция *СХ> на бесконечности: *СХ)ч 1, |\| •» оо (21. 6 диссертации рассматриваются уравнения КП

и, + и и + и =-Зоаа-' и

1 x xxx x уу

(4)

V- д

ёБ иСБ.у)

и системы уравнений Дэви-Стюартсона. Сг = (х,у), б,а" = ±1)

1и1+ * 503|и|аи = «и

(5)

«„-О2« = гБОГ3 |и|г

хх уу 1 'хх

и одномерная система уравнений трехволнового резонансного взаимодействия С ч - вещественная константа )

Ли +у в и ~1аи и =0

I I >Х| ^ а з

а»и +у д и -ччи й, =0

1>а ахз 1 1 з.

Ли +у д и -1аи и =0 Т. з зхз 4 1 а

С6)

Во введении также сформулированы результаты диссертации. В первой главе рассматриваются уравнения КП, ассоциированные со скалярной вспомогательной задачей

Ь* = сгху-Ххх+2сгл*х-и* = 0 (7)

При 0*=-! (уравнение КП-1) обратной спектральной задачей для оператора I, является нелокальная задача Римана, а при 0^=1 СКП-1I) - 5-проблема.

"Прямая" спектральная задача состоит в определении из уравнения (7) функции.ЙСА.,р,х,у,и Сили НСХ,£,м,м,х,у,1)). входящей в соотношение (2) Сили СЗЗ, соответственно). При этом и(х,у,0)= ио(х,у) - начальные условия для уравнения КП. Функции И называются "спектральными данными" и просто зависят от времени, если и(х,у,0 является решением уравнения КП. Отображение и К, по крайней мере в бессолитонном секторе, однозначно обратимо 13].

Убывающие решения уравнений КП удовлетворяет известным апрл-орным соотношениям. Устремив х к бесконечности в уравнении С )

получим первое условие го

у(со,у) = |с1х и(х,у) = О (83

-ю

Дифференцируя это равенство по времени получаем в силу (4) второе соотношение со х

|с(х |с15 и(з,у) = О (Ш

-ю -00

Аналогично получаются все последующие условия:- дифференцируется по времени предыдущее соотношение, а затем, используя (4), получают следующее

со

Гахси^д"1* )=о, сю)

Л * УУ

-со

Эти условия выделяют инвариантный в силу динамики КП класс функций, который составляет фазовое пространство уравнений КП.

В параграфе 1.1 получены эквивалентные ограничения на фазовое пространство КП в терминах спектральных данных. Эти условия имеют

вид

= оах-цЛ, и >1 скп-1)

ЙС\Д) = оСС1ш\}Н), N >1 СКП-П)

Уравнения КЛ обладают счеными наборами законов сохранения. В диссертации найдены постоянные во времени функции спектрального параметра - производящие функции интегралов движения

$сх) = исг)*а), <экх)/<31 =0 сш

Л 2 п

Здесь - специальное решение соответствующей вспомогательной спектральной задачи, а и(х,у,и - решение собственно нелинейного уравнения.'

В параграфе 1.2 получены аналоги тождеств следов, связывающие производящие функции для КП с соответствующими спектральными данными

$СХ) =

ф/Мм -—--С12)

р-х

^СХ) = ¿гСХ.Х)^

бр ба Ь~Ср,а)Ь~Ср,ч)

(13)

СП р - лГ+1о

Здесь I) (Х,р) - новые спектральные данные для КП-1, предложенные в работе [4]. Коэффициенты асимптотического разложения §СХ) по обратным степеням X, полученные из СИ), совпадают с навесными интегралами движения. Первые три коэффициента с точностью до множителя совпадают с интегралами: энергии Н и компонент импульса Р Р

$СХ) 1ПСХ)~П 10=Гб2г и= О, = О, п=0

1Й= ~Рх' V "РУ V СШ

В параграфе 1.3 рассмотрена задача об асимптотике при больших временах решения уравнения КП-1 с учетом солитонного сектора.

Асимптотика при больших временах выражается в терминах спектральных данных, относящихся к начальным условиям. В плоскости (v v )

X у

допустимые значения скоростей решений, отвечающих разным частям спектра, разделены параболой vx=12v*. Поэтому решение КП-1 распадается в асимптотиках на солитоны и диспергирующий "хвост". Такое расщепление решения на больших временах позволяет использовать полученные результаты для решения задачи о редукциях в параграфе 1.4 и при доказательстве полной интегрируемости уравнений КП.

В параграфе 1. 4 получены редукции, обеспечивающие вещественность решений уравнений КП. Так для уравнения КП-П вещественность и(х,у,О эквивалентна условию

RCM.m) = -RCp.M) С15)

Пространственная разделенность солитонов КП-I друг с другом и с линейными волнами в асимптотике по времени позволяет свести задачу о редукциях общего решения к вопросу о редукциях для одного солитона и бессолитонной части решения. Редукция для решений из непрерывного спектра вспомогательной спектральной задачи была получена в (21: вещественность решений КП-1 обеспечивается поло-ложмтельной определенностью оператора I+R. Здесь I - единичный оператор, a R - интегральный оператор с ядром RCX.fj). Редукции в непрерывном спектре в терминах новых спектральных данных b~CX.fi) имеют вид

ЬгСХ.р) = -irifj.X) ' С16)

Для переменных из дискретного спектра можно воспользоваться известным результатом для односолитонного решения (33.

Существенно используется вид асимптотических решений КП-1 и соответствующей вспомогательной задачи при доказательстве полной интегрируемости КП-1 как гамильтоновой системы С параграф 1.5 ).

Уравнение КП-1 является гамильтоновым. Скобка Пуассона задается, как и в случае уравнения Кортевега-деФриза, оператором д/дк. а гамильтониан уравнения КП-1 имеет вид

Н = Jd2rC3w^/2+u^/2-u3), С17)

Уравнение КП-1 записывается в виде и^ = дС6И/6и)/дх.

Вычислив скобки Пуассона для спектральных данных ЬСХ.р) и используя формулы (13) и (14) получаем переменные действие-угол.

Скобки Пуассона вычисляются в асимптотиках на больших временах. Допустимость таких вычислений следует из тождества Якоби 19] и из равномерности полученных асимптотических оценок решений вспомогательной спектральной задачи. А именно, зависимость от времени скобки Пуассона двух функций на фазовом пространстве определяется временной зависимостью самих этих функций. Временная зависимость ЫХ,fjJ закается экспонентами с чисто мнимым показателем 14), а скобки имеют вид

<.ЬСХ,М>.ЬС? ,()>=0, CbCX.MJ.bC? ,C))=<5Cu-p6C\-i)/2i С183 Предлагаются переменные действия - квадраты модуля спектральных данных и их аргументы в качестве угловых переменных.

J(X,fj) = |bCX,(j)|2 , = argCbCX.fj)) С1ЭЗ

Также получены явные формулы для переменных действие-угол для солитонов в терминах их спектральных характеристик. Тем самым доказывается полная интегрируемость уравнения КП-1.

Во второй главе рассматривается спектральная задача для системы уравнений ДС-I и ее асимптотические решения при больших временах. С системой ДС-I ассоциирована матричная спектральная задача вида

¿Ф = ЗФ - ост 3 Ф - ОФ = О С20)

х э у

такого, что функция ФСХ,х,у)ехрШ1сгах-у)) является кусочно-аналитической в верхней и нижней полуплоскостях комплексного X. При помощи матричной функции Грина с матричными элементами следующего вида:

G%fza-z'c? = • « * *

С 21)

GLCza-za> = <5Cz;)CC^Cza) ♦ СС± - ХШ-г^У

получение таких решений сводится к решению системы интегральных уравнений прямой спектральной задачи.

+ <0), г + +

VX'r,=V"rJ ^r'G^Cr'.r^Cr'^CX.r') . С22)

Здесь a,p,y=l,2f za= Ст),?). z^=C{,tj)- дополнительная к za переменная, Г)=х+у, ?=х-у. Подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу у по а,/3 суммирования нет. Требование аналитичности Ф по X на определение диагональных элементов G^

- 11 -

не влияет, поэтому С~- произвольные вещественные числа. Вычтем из уравнения для Ф+уравнение для Ф~ Сна. оси 1т \=0). Для скачка Д(Х)=Ф+Ш -Ф~(Х) получаем интегральное уравнение. Подставив выражение для Д(Х) из краевого условия (2), используя (22) и соотношение ^ар^^и^ (здесь лса=са~са,иа/3 ~ 1 +ЛСа33 получим после Фурье-преобразования по , выражение для И:

Vх-^ = 0а^ШехрС-2^) (23)

Полученные спектральные данные неоднозначно определяются по данным Коти для системы ДС-1. Однозначность достигается при фиксации значения, к которому стремится поле $ при больших х и у. Иначе, следует фиксировать значения диагональных элементов Ф.

Б диссертации указанные величины заранее не фиксируются, а спектральные данные представляются в наиболее удобном для последующего использования виде - бездиагональной матрицы 2x2.

Для таких спектральных данных получены редукции в параграфе 2.2 (соответствующие антиэрмитовой матрице 0 в (20))

Я (Х,^) = -~ТГ См.ХЗ (24)

12 21

В параграфе 2.3 приводятся производящие функции интегралов движения ДС-1. Сами интегралы движения не выписываются, так как автору не известен корректный гамильтонов формализм для этой системы уравнений.

В параграфе 2. 4 получены асимптотические решения системы ДС-1 при больших временах. Полученные асимптотические по времени решения позволяют связать спектральные данные Я с фурье-преобразованиями решений линейной части уравнения (5)

IV, + +у )=0 (2П)

и с хх уу

Линеаризованная система ДС-1 (ЛДС-1) - гамильтонова система с гамильтонианом

Н = У"с12гС IV, |г+|уу |г) = |сИсхс(кусок |ак |а (26)

Ч, =Д-(кг + к1)

к с. х у

и скобкой Пуассона.

CT,s> = к krc-^L. - ) (27)

d j 6u(r) биСг) би(г) <5u(r)

Переменные типа действие-угол -Фурье-преобразования и(х,у):

г dxdy

а(к ,к ) = -Ы- vCx,y, tDexpC-ik x-ik ,у) (28)

x y j сл j r x y'

Явные формулы связи для ДС-I имеют вид

R = аСм~Х,|Л-Х), R^ÎX./j) = -sâCХ-ц,ц+Х~) (29)

В третьей главе рассматриваются асимптотические решения ДС-П и доказывается полная интегрируемость этой гамильтоновой системы. Гамильтониан системы ДС-П имеет вид С скобка Пуассона - (27))

H = yd2r(|ux|a + |uy|a-s|ur+U ) (30)

U = nJdVln|r-r'||u(r)|*|u(r')|;p

Известны интегралы числа частиц N и компонент импульса Рх, Ру

N = Jdar |u|2 , Рх= ijdar iïux, Ру= ijd2r uuy (31)

С системой ДС-II ассоциируется матричная 2x2 д- проблема [3]. В параграфе 3.1 рассмотрены некоторые соотношения для спектральных данных вспомогательной обратной задачи,

Асимптотические при больших временах решения ДС-II получены в параграфе 3.2. Приведены явные формулы связи спектральных данных с фурье-преобраэованиями решений линейной части системы ДС-II

Rist(z.z) = isâ(2r),2Ç), Ra((z,z) = -ia(2r),2О (32)

В параграфе 3.3 вычисляются скобки Пуассона (27) данных рассеяния. Вариационные производные получены также как в работе [7]. Применен метод вычисления скобок использованный в главе 1 при вычислении соответствующих скобок для К.П-1. Получены следующие нетривиальные скобки

<Ria(X.D,Rat ((jf£)) = id(Re(X-(j))i5(Im(X-(j)) (33)

Выражения для скобок Пуассона показывают, что данные рассеяния являются каноническими переменными. Переменные действие-угол

- 13 -

построены при помощи тождеств следов, в параграфе 3.4.

Интегралы движения системы уравнений ДС-П выражены в терминах спектральных данных д- проблемы Для вышеприведенных четырех законов сохранения найдены следующие выражения

Рх = 21э|с^¡¡7 /кСпСм,Д) + пСД.р)) (34)

С

Ру = 2з|с1м^Д М СпСр,м) ~ п(р,мЗ) (35)

С

Н = -is

df/лф " п(м,м5) С36)

С

п(Х,Х) = R CX.X3R (ХД) 12 21

Скобки (32) и соотношения С 33) совместно с формулами (34) -(36) позволяют предъявить пергменные действие-угол в терминах споктральных данных

J (М,Р =|Кг(м,Р|г , §C/J,iD= argCR „С м.Д)) (37)

<J(X,D ,5(p,fD) = б(Ее(Х-м))<У(1гаСХ-м)), (38)

Очевидна полная интегрируемость ДС-П в гамильтоновом смысле: гамильтониан ДС-П выражается только через переменные типа действие. Динамика системы ДС-П в этих переменных тривиальна: действия яляются интегралами движения, а угловые переменные линейно зависят от времени:

Н = -isj dpAdf7 СJCm.P СЗЭ)

С

J((j,jD = const, (40)

= §См,Д,0) + 5(йа+й®)1 (41)

В четвертой главе с гамильтоновой точки зрения рассмотривается классическая задача рассеяния в 1+1-мерной системе трехволнового

резонансного взаимодействия. Задача рассеяния в 1+1-мерной системе трех волн была рассмотрена в Г 5]. Канонические переменные для этой гамияьтоновой системы были получены в [81. При этом переменные действие-угол связывались с асимптотическими решениями задачи Ксши на больших временах.

Вэ вводных замечаниях к главе поставлена задача о построении производящего функционала канонического преобразования (ГКО, связывающего между собой ксконические переменные, определяемые е асимптотиках 1-» га и и -оа.

Производящий функционал канонического преобразования, описывающего рассеяние волн в бессолитонном секторе фазового пространства получен в параграфе 4.2.

Для рассеяния солитонов построена производящая функция канонического преобразования С параграф 4.3 )..

В заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказана полная интегрируемость в гамильтоновом смысле следующих нелинейных систем уравнений: уравнения Кадомцева-Пет-виашгчли - I, системы уравнений Дэви-Стюартсона - II.

2. Получены асимптотические решения перечисленных систем нелинейных уравнений и системы уравнений Дэви-Стюартсона - I, выраженные в терминах величин, отнесенных к моменту времени 1=0.

3. Показано, что спектральные данные матричных вспомогательных линейных задач 2x2, ассоциированных с нелинейными системами уравнений, всегда можно получить в виде бездиагональной матрицы. Получены соотношения редукции.

4. Получены аналоги тождеств следов для вспомогательных спектральных задач, использованных в диссертации.

5. Найдены ограничения на фазовое пространство уравнений Ка-домцева-Летвиашвили в терминах спектральных данных.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

А1. Б'акуров В. Г. Производящий функционал классической задачи рассеяния в системе с вполне нетривиальной динамикой. //ТМФ. -1983. -Т. 57. -N51. -С. 143-147.

А2. Бакуров В.Г. Метод обратной задачи для трехмерной теории трехволнового резонансного взаимодействия.//ТМФ.-1988. -Т. 76.

- IS -

-№1. -С, 18-29.

АЗ. Бакуров В.Г. Скобки Пуассона для двумерных систем интегрируемых методом обратной задачи. //ТМФ. -1990. -Т. 83. -N21. -С. 34-40.

1.Zakharov V.Е. , Kuznetsov Е. A. Multi-scale expansions In the theory of systems integrable by the Inverse scattering transform. //Physica. -1986. -V. D18. -№l-3. -P. 453-463.

2. Manakov S. V. The Inverse scattering transform for the time-dependent Schrodlnger equation and Kadomtsev-Fetviashvili equation.//Physica.-1981.-V. 3D.-№i&2.-P. 420 - 427.

3.Fokas A.S. , Ablovitz M.J. The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems.//Lecture Notes in Physics.-1983. -V. 189.-Nonlinear Phenomena. Ed. by K.B. Wolf Springer. P. 137-183.

4. Boitl M. , Leon J. J.-P. .Pemplnelli F. Spectral transform and ortogonality relations for the Kadomtsev-Petvlashvi1i-1 equation.//Phys. Lett.-1959.-V.A141.-N2384. -P. 96-100.

5.Захаров В.E., МанаковС.В. Теория резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейной среде. //ГОТФ. -1973. -Т. 69. -HS5. С. 1654-1673.

6.Захаров В. Е., Манаков С. В. Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений.//Функ. анализ и прилож.-1985. -Т. 19.-NS2.-С. 11.-25

7. Кулиш П. П., Липовский В. Д. О гамильтоновой интерпретации метода обратной задачи для уравнения Дэви-Стоартсона.// Зап.научи, сем. ЛОМИ.-1987.-Т.161.-С.54-71.

8. Манаков С. В. Полная интегрируемость системы с вполне нетривиальной динамикой. //ТМФ. -1976. -Т. 28. -N22. -С. 172-180.

9. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва. "Наука". 1978.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА