Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Селицкий Антон Михайлович

ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003056655

Работа выполнена на факультете физико-математических и естественных паук Российского университета дружбы пародов.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

профессор Александр Леонидович Скубачевский

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Александрович Кондратьев

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Михайлович Савчин

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский энергетический институт

(Технический университет)

Защита состоится " 27 " апреля 2007 г. в 14:30 на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан " 23 " марта 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

В. М. Говоров

Актуальность темы

1. Основы общей теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений были созданы в работах А. Л. Скубачевского. Изложение теории эллиптических краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений и обширную библиографию можно найти в его монографии [13].

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с запаздываниями по времени изучались многими авторами [8, 9,12,15,17]. Наиболее общий случай таких уравнений, содержащих переменные запаздывания в старших производных, рассматривался в работах В. В. Власова [1, 2].

Первая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным рассматривалась в работах Р. В. Шамина и А. Л. Скубачевского [4, 14].

2. Задача о пространстве начальных данных в случае первой краевой задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений была исследована А. Л. Скуба-чевским и Р. В. Шаминым [14]. Этот результат был эквивалентен положительному решению проблемы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Проблема Т. Като о корне квадратном из оператора была сформулировани так [3, гл. VI, §2, замечание 2.29]: совпадают ли Т>(Аи Т>{А"1^) для т-секториалыюго оператора Л? В работах Ж.-Л. Лионса [10] и А. Макинтоша [11] были построены примеры т-секториального оператора, для которого это утверждение не верно. Справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциальных операторов и систем с ограниченными измеримыми коэффициентами в Е" и в ограниченных областях с липши-цевой границей была установлена в работах [6, 7]. Справедливость гипотезы Т. Като для широкого класса сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов была доказана Р. В. Шаминым [5].

3. Вторая краевая задача для параболических функционально-дифференциальных уравнений возникает в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью.

Квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи [16]. Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

Цель работы

Целью диссертации является изучение второй и третьей краевых, задач для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном и многомерном случаях. Диссертация посвящена исследованию сильной разрешимости этих задач; изучению гладкости сильных решений; описанию пространств начальных данных; и выделению нового класса операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като.

Новизна результатов

В диссертации впервые рассмотрены вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. В отличие от параболических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри цилиндрической области даже при

бесконечно гладкой правой части уравнения. Для таких уравнений доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость сильных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а при п > 1 еще и на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала. Приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений па границах соседних цилиндрических подобластей.

При исследовании гладкости сильных решений впервые были рассмотрены вторая и третья краевые задачи для сильно эллиптического дифференциально-разостного уравнения в одномерном случае, показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в рассматриваемой области, но сохраняется в прямоугольных подобластях. Этот результат позволил в одномерном случае явно описать пространство начальных данных второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения и получить новый класс операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. При этом новым является подход, использующий комплексный вариант интерполяции гильбертовых пространств. В многомерном случае при дополнительных предположениях получено явное описание области определения оператора, соответствующего задаче.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (39 наименований). Общий объем диссертации — 108 страниц. В первой главе рассматривается вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном случае. Доказывается существование и единственность сильного решения. Приводится пример, когда гладкость сильных решспий может нарушаться внутри прямоугольника Qt■ С другой стороны, доказывается, что гладкость сохраняется в определенных подобластях, приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних подобластей. Доказывается, что пространство начальных данных совпадает с пространством Соболева W\{Q). Установлена справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, определенных на функциях, удовлетворяющих краевым условиям второго и третьего рода. Вторая и третья главы посвящены второй и соответственно третьей краевым задачам для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае. Их структура аналогична структуре первой главы. Существенные отличия возникают при исследовании гладкости сильных решений, а также при описании пространства начальных данных.

Глава 1. Пусть область £? — это интервал С} = (0, й). Положим й — N + в, где N — целое положительное число, 0 < в < 1.

Введем ограниченные разностные операторы Л2, Дъ Яо: ^(К) —»• по формулам

Структура диссертации

Содержание диссертации

N

N

(R2u)(x)= aku{x + k)\ (Rlu)(x) = ^ bku(x + к);

k——N

k=-N

(1)

N

(Ло«)(х) = cku(x + к).

k=-N

Здесь ад, Ьь, Ck — комплексные числа.

Введем также линейные операторы IQ, Fq, и Riq. Оператор Iq : L2(О, d) L2(R) — оператор продолжения функций нулем вне интервала (0, d); оператор Pq \ L2(R) L2(0, d) — оператор сужения функций на интервал (0, d)\ операторы Riq \ L2(0, d) L2(0, d) действуют по формулам FUq — PqRiIq (г = 0, 1, 2).

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

Щ - {R2Qux)x + Hjq«x + Лод" = f(x, t) ((х, t) е QT) (2)

с граничными условиями

(-Й2<э«, + аи)|1=0 = 0; {R2Qux + pu)\x=d = 0 (0 < t < Т); (3)

и начальным условием

u|t=o = f(x) (xeQ), (4)

где QT = Q x (О, T), 0 < Т < оо, / 6 ¿2(<Эг), V £ ¿2(0, d); а, р > 0.

Пусть — пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), имею-

щих все обобщенные производные вплоть до к-то порядка из L2{Q) с нормой

Mwi(Q) = jE/j^WI2 dx

Введем полуторалинейную форму aR[v, tu] в L2(Q) с областью определения W2{Q). ОяК Ч = (RlQVx, Wx)L2(Q) + (RiqVx, w)l2(Q) + {RoQV, ™)ща) +

+ a(vw) |x=0 + P(vw)\x=i. (5) Так как разностные операторы ограниченные, существует такое число Со > 0, что

М"> < c0\\vHw,(Q)\\w\\w,(Q) (v, w 6 WHQ)). (6)

Так как полуторалинейная форма од[г), w] непрерывна по w в W^iQ), существует линейный ограниченный оператор Ar: W2(Q) -> [WjlQ)]' такой, что

{Arv, w) = iu] (v,w e W2(Q)), (7)

где \WliQ)]' — сопряженное пространство к W2 (Q).

Определение 1. Оператор Ar будем называть сильно эллиптическим, если существуют числа Ci > 0 и с2 > 0 такие, что

Re (ArV, v) > ci||u||^ijgj — e2|M||2(Q) (veW}(Q)). (8)

Далее мы будем предполагать, что оператор Ar сильно эллиптический1 и с2 = 0. В этом случае естественно назвать задачу (2) - (4) третьей (второй при а = /3 = 0) краевой задачей для параболического дифференциально-разностного уравнения.

Достаточные условия сильной эллиптичности см., например, в гл. 1 работы [13].

Форма од[и,ги] замкнутая и секториальная с вершиной 0. По первой теореме о представлении [3, гл. VI, §2, теорема 2.1] существует m-секториальный оператор А-ц: V{An) С HQ) HQ) с вершиной 0, aR[v, w] = (ArV, w)LliQ) (v e Т>(Ац), w e W£(Q)), и V{An) плотно в Поскольку оператор Ar замкнутый, пространство V{An) является гиль-

бертовым со скалярным произведением (и, w)v{ak) = (.А^и, .4kid)i,2(Q) + (и, vj)i%{q). Введем гильбертово пространство

ЩАтг) = jt»e 1,(0, Г; V{An)) : wt е L2(Qr)}.

Определение 2. Решение и € W(Ar) уравнения

du , л г

Tt+AnUZ=f

с начальным условием

u\t=o = <Р,

называется сильным решением задачи (2) - (4)■

Пусть Ху С Хо — гильбертовы пространства с плотным и непрерывным вложением. Пусть S = {z е С : 0 < Re2 < 1}. Рассмотрим пространство

Н(Хо, Xi) ={/ : / — Хо-значная функция, непрерывная в S и аналитическая в S,

sup l!/(z)lk < 00, f(iy) е Х0, /(1 + iy) ехи уеЖ, И/Иярг,,,*!) = max (sup || f(j + ¿у)||*Л < oo}.

J— \ у J

Тогда при 0 < в < 1

[Хо, Xi], = {u6X0: 3/ е ЩХа, Х^, /(в) = «},

с нормой

llul![Xo,Xi]i = ll/IU(X„,Xl)-

Теорема 1. Пусть оператор А а сильно эллиптический и с2 = 0, / € £2((3т) и tp £ \D(An), Li[QТогда задача (2) - (4) имеет единственное сильное решение, которое определяется формулой

1

и(х, t) = ЗДх) + J Tt-J(x, s) ds, (9)

0

где {Tj} (i > 0) — аналитическая полугруппа с генератором (—А%).

В силу теоремы 1 естественно рассматривать пространство [V(An), -^2(<3)1i/2 в качестве пространства начальных данных. В отличие от граничных задач для дифференциальных уравнений гладкость решений функционально-дифференциального уравнения

Arw = /о (10)

может нарушаться внутри области Q даже при /0 6 C°°(Q). Это означает, что V(An) ф

и'Ш

Теорема 2. Пусть оператор Ar сильно эллиптический и с2 — 0. Тогда

ЩАп), HQ)]i,2 = Wi(Q). (11)

Теорема 3. Пусть Ar сильно эллиптический и с2 = 0. Тогда

Ъ(АК1/2)=Ъ{{АК)'1/2).

Большое внимание в диссертации уделено изучению гладкости сильных решений. Если 0 < в < 1, положим Qu = (/-1, /-1-1-6), I = 1, ..., JVi -N+1,uQ2i = (¿-1+6, I), I - 1, ..., N2 = N. Если 0-1, положим Qu = (I - 1, I), I = 1, ..., Nt.

Обозначим через W2'1{Qt) пространство функций v 6 L2(Qt), имеющих все обобщенные ut, их, ихх из L2(Qt), с нормой

Е I

\2/3+q<2 ' )

Теорема 4. Пусть оператор Ar сильно эллиптический и с2 — 0. Предположим также, что f е L2(Qt), V G [D(An), Ij2(Q)\\i2, и и — сильное решение задачи (2) - (4). Тогда при всех s (s = 1, если в = 1, и s = 1, 2, если в < I) и I — 1, ..., Ns решение и е

W.Iх (Qsi х (0, Т)).

Следующий пример показывает, что гладкость сильных решений может нарушаться на границах соседних прямоугольных подобластей. Пример 1. Рассмотрим задачу

щ(х, t) - (Rqux{x, t))x = f(x, t) ((x, i) £ QT), (12)

{Rqux)\x=O = {RQUx)\x=3 = 0, (13)

4=o = <p(x) (x e <Э). (14)

где Q = (0, 3), Rv(x) = v(x) + \v(x + 1) + |u(i - 1), Rq = PqRIq. Область Q состоит из одного класса подобластей: Qu = (i — 1, I), I = 1,2, 3.

Оператор Ar, соответствующий задаче (12) - (14), сильно эллиптический. Введем функцию v(x) по формуле

( 12{х - l)j)(x -1) - |хф), (zeQn),

u(z)=i §(z - 2)v{x - 2) + {х - 1)ф - 1) (х е Qu), { -i(s - 3)r,(x - 3) + f(z - 2)ф - 2) (xe Qu),

где 77 e C°°(—1/3, 1/3), ц(х) = 1 (x e (-1/4, 1/4)). Легко проверить, что v 6 W}(Q), v € \V${Qu), — (Rqvx)x e L2(Q) и (.Rcj^l^o = (Яд^х)!^ = 0. Очевидно, что функция и(х, t) = tv(x) является сильным решением задачи (12) - (14) при ip(x) = 0 и /(х, г) = v(x) - t (Rqvx[x))x е L2{Qt)- По построению

Ux|x=l_o ф Ui|i=1+0-

Таким образом, гладкость сильных решений может нарушаться на границе соседних прямоугольных подобластей <2П х (О, Т) и <312 х (О, Т).

Рассмотрим теперь вопрос сохранения гладкости сильных решений на границах соседних подобластей.

Пусть 6 = 1, будем рассматривать точки у", ..., у' = /. Положим 7^ = (/ + 0) х (0, Т), = (/ — 0) х (0, Т). Так как и — сильное решение задачи (2) - (4), выполняются условия

ЯгдИх!^ - Ягд^т =0 (1 = 1,..., ЯГ),

"Ти

- Л2Оих1(0+)х(0,Т) + ои1(0+)х(0,Г) = 0, Я2(?их|(^_о)х(0,Т) + М(<1-0)х(0,Т) - о,

(15)

(16)

Нас будет интересовать вопрос сохранения гладкости в точках у1 = I (I = 1, ..., ЛГ). Введем векторнозначные функции Ъ\ = (и\Р\и)\х=х_0; У2 = (¿ЛАм) (г + 1)|1=1+0; И7! = (*Л-Р1Их)|1=1_0; \У2 = (и^Ых) (х + 1)|1=1+0- Пусть нумерация элементов в и Цг2 начинается с нуля. Тогда равенства (15), (16) можно записать в виде:

/ ЙО ... адг ^ / й_1 . . .

\ а_л'+1... а! у

И^ц ^12

\

( Л_1 ...Олг_1 \ / 11-20 0_2 • ■ -аА»-2

У а_дг ... а0 у

V

Иит у

= 0,

(а_л' а_дг+1 ...

- (ао ... ак) И'2 + аУго = 0.

Запишем (17) - (19) таким образом

/

ао 0-1

11 а о

а^ \ адг-1

а! у

/ и^'-из \ V )

■ а'\У20 = о,

\ О-ЛГ+1

... а0) ( ) + ВЩ + = О,

(17)

(18) (19)

(20)

(21) (22)

а0 И^о = -В"^ + аУ20 = О,

где А' — первый столбец второй матрицы в (17), \У{ — вектор Щ без последней координаты, И7^ — вектор 1У2 без первого элемента, В' — строка из (18) без последнего элемента, и В" — строка из (19) без первого элемента.

Из предположения сильной эллиптичности оператора Ац следует, что матрица Л21 положительно определена2, а следовательно, положительно определена матрица и ао ф 0.

Подставляя (22) в (20) и объединяя с (21), получим:

Я21

(УГ{-Щ\__( а^А'В'Щ \ ( аа^А'Ъ 0 \

2См. сноску 1 на стр. 5.

Введем матрицы | иЙ = | аа°д ^ -/? )' ^огда соотношения (20) ~ (22)

примут вид

\¥20 = -ар1В'Щ + аар(25)

Обозначим через Т^ (5^) столбцы матриц Г (5), а через — элементы строки В". Матрицы Лц и А« получаются из матриц заменой 1-го столбца столбцом и соответственно. Тогда из (24) и (25) получим:

N

■пг ТТ7 т """" и; , Т/ ,

V?» = + ^^ У20 + -_ (26)

N " "

и/ - V аеи^нд , ёе1Л^+1,2т/

--1,"а^ЖГ + + "адГ^1' (27)

N

Що = 1 + аоо1^. (28)

1

Теорема 5. Пусть оператор Ац сильно эллиптический и с2 = 0. Для заданного I (1 < I < N) сильное решение и задачи (2) - (4) принадлежит И/2'1((^ — 1, ¿+1) х (0, Г)) (у1 = I) тогда и только тогда, когда

¿еЪ\1к = 0 = и <1е1;Лу = 0 0'= 1, 2). (29)

Аналогичным образом исследован вопрос о сохранении гладкости сильных решений на границах соседпих подобластей при 9 < 1.

Глава 2. Пусть теперь (2 — ограниченная область в I" (л > 2) с кусочно гладкой л'о_

границей <Э<2 = ^ М;, где M¡ — (п — 1)-мерные многообразия класса открытые и ¡=1

связные в топологии д(Предположим, что в окрестности каждой точки х € К = дС}\иМ*

область <3 удовлетворяет условию конуса.

Введем ограниченные разностные операторы Л^: Ь2{Жп) —> Ь2(К") по формулам

мм (30)

(1Ьи)(х) = о,-Ли(а: + Л) (г = 0, 1, ..., п). нем

Здесь аул, о;л — комплексные числа, множество М состоит из конечного числа векторов Л £ И" с целочисленными координатами.

Введем линейные операторы IQ, PQ, RijQ и RiQ. Оператор Iq: L2(Q) -+ L2(R") является оператором продолжения функций нулем вне Q; оператор Pq : L2(Rn) -4 L2{Q) — оператор сужения функций на Q; операторы RijQ, RiQ-. L2(Q) -> L2(Q) определены по формулам RijQ — РQpij^Q, RiQ = PqRJq-

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

п п

Ut-J2 {Ri3QUXj)Xi + RiQUtt + R„qU = f(x, t) ({X, t) £ QT) (31)

¡J=l i=l

с краевым условием

n

]П RijQUXJ cos(i/, Xi) = 0 ((x, t) e rT) (32)

и начальным условием

"|i=o = Ф) (xeQ), (33)

где QT = Q x (0, T), 0 < T < oo, Гт = (dQ \ К) x (0, T), v — единичный вектор внешней нормали к Гт, / е L2(Qt), f £ L2(Q).

Пусть Wj (Q) — пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до к-то порядка из L2{Q) с нормой

1Мкю> = | £ [ \D"vW\2 dx 1м<»'/(г

Введем полуторалинейную форму ал[г;, го] в L2(Q) с областью определения W2(<3) по формуле

п п

алЬ. Ч = Е [KiiQVxj, VzJbfQ) + Е (Ъеу*<> w)L2(Q) + (RoqV, w)tj(Q). (34) i,j=l i=l

Аналогично

одномерному случаю вводится ш-секториальный оператор «А^ и дается определение сильного решения задачи (31) - (33).

Чтобы сформулировать результат о пространстве начальных данных в случае п > 2, нам понадобится ввести некоторые обозначения.

Обозначим через G аддитивную группу, порожденную множеством М. Обозначим через QT открытые связные компоненты множества Q\ (dQ + h). Множество Qr будем

называть подобластью. Множество всех подобластей QT будем называть разбиением области Q. Разбиение TZ естественным образом распадается на непересекающиеся классы. А именно, подобласти Qn, Qr2 Е 11 принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h е G такой, что Qr2 = QTl 4- ft. Обозначим подобласти QT через Qsj, где s — номер класса (s = 1, 2,...), a i — номер подобласти в s-ом классе. В силу ограниченности области Q каждый класс состоит из конечного числа N, подобластей Qsl и N, < (diamQ + 1)п. Вообще говоря, множество классов счетно. Обозначим через hsi вектор h G G такой, что

<2„1 + Л = Яя1- Очевидно, = 0. В изучении гладкости решений важную роль играет множество 1С, которое определяется по формуле

к= у {дп(дя + мп[{дя + л2)\(дя + /и)]}.

Л1,Л2€С?

Обозначим через Гр компоненты множества дЯ \ К. Очевидно, что Гр £ С°°. Мы можем разбить Гр на классы следующим образом3. Множества ГР1 + и ГР2 + Л2 принадлежат одному и тому же классу, если 1) существует Л 6 б такой, что ГР1 + Л1 = ГР2 + Л2 + Л и 2) в случае ГР1 + /11, Грг + Н2 С дЯ направления внутренних нормалей к дЯ в точках и х — Н £ Гр2 + /¿2 совпадают. Обозначим Гр через где г — номер класса, & з — номер элемента в данном классе (1 < з < J = J{r)).

Условие 1. Для каждой подобласти Яс1 — 1| 2, ...; I — 1, ..., Л^ и любого е > 0 существует открытое множество С Я¡1 с границей дС,1 класса С1 такое, что 1*п{Я$1 \ СУ < £ и рп-^дС^АдЯа) < где р„(-) и — п-мерная и (п - \)-мерная

меры Лебега, соответственно. Пусть число 5о различных классов подобластей Яз1 конечно и конечно число г о различных классов множеств . Пусть также К С К и /¿„_1 (К. Г) дЯ) = 0, а подобласти Я$1 Липшицевы.

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1, оператор Ад сильно эллиптический и с2 = 0. Пусть, кроме того, из — решение задачи

Акт - /о,

где Л еЬ2{Я), ии>е Ж|(<3£,)- Тогда

[ЩЛк), Ь2(Я}]1/2 С (35)

Обозначим через Жа'^фу) пространство функций V £ Ь2(Ят), имеющих обобщенные производные Уц, из Ь2(Ят), с нормой

¡Л 1/2

^ Г г) 2 , , I

23+М<2У<?Т 1 " " ]

Теорема 7. Пусть цп~\{К. П дЯ) = 0, К С К., оператор Ац сильно эллиптический, и с2 = 0. Предположим также, что / 6 ^(Ст)) € [В(Атг), L2(Q)]1/Í2, а и — сильное решение задачи (31) - (33). Тогда для любого г > 0 и всех в — 1, 2, ..., I = 1, ..., ЛГ, мы имеем и 6 Ж?'1 ((ЯАЩ х (0, Г)).

Пример 5.2 в работе [2] из списка на странице 14 показывает, что, вообще говоря, утверждение теоремы 7 неверно при е = 0.

В диссертации приводятся примеры выполнения условия 1. Так же как и в одномерном случае получен критерий сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей.

3В силу леммы 7.5 в монографии [13].

Глава 3. Третья глава посвящена третьей краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение

П П

+ = Я*-*) (CM)e<2r) (36)

!J = 1 ¡=1

с краевым условием

п

RiiQUxj cos(v, Xi) + <?{x)u = 0 ((x, t) e I» (37)

•j=l

и начальным условием

«!t=o = <P{x) (x e Q), (38)

где / 6 L2(Qt), 4> £ L2(Q), 0 < <t G C(dQ), остальные обозначения введены выше.

Ее результаты аналогичны результатам главы 2.

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю. А. Дубинского, семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика РАН Е. И. Моисеева и И. С. Ломова, на семинаре в Московском государственном университете путей сообщения под руководством А. Д. Мышкиса, на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством В. А. Кондратьева, на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А. JI. Скубачевского, на научном семинаре в Московском авиационном институте, посвященном 80-летию Г. А. Каменского.

Результаты диссертационной работы докладывались также на IV Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2005 г.), XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2006 г.), III Международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания> (Обнинск, Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2006 г.), Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной 100-летию Я. Б. Лопа-тинского (Донецк, Донецкий национальный университет, 2006).

Список цитируемой литературы

1. В. В. Власов. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 1995, т. 186, №8, 67-92.

2. В. В. Власов. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева. — Труды Математического института РАН, 1999, т. 227, 109-121.

3. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. М.: МИР, 1972.

4. A. JI. Скубачевский, Р. В. Шамшг. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. Математические заметки, 1999, т. 66, вып. 1, 145-153.

5. Р. В. Шамип. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 2003, т. 194, №9, 141-156.

6. P. Auscher, S. Hofmann, A. Mclntosch, P. Tchamitchian. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on Rn. — J. Evolution Equations, 2001, v. 1, 361-385.

7. A. Axelsson, S. Keith, A. Mcintosh. The Kato square root problem for mixed boundary value problems. — J. London Math. Soc., 2006, v. 74, A'*2, 113-130.

8. G. Di Blasio, K. Kunisch, E. Sinestrari. Irregularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives. — J. Math. Anal. Appl., 1984, v. 102,

38-57.

9. K. Kunish, W. Shappacher. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroup. — J. Differ. Equat., 1983, v. 50, JV'l, 49-79.

10. J. L. Lions. Espaces d'interpolation et domaines de puissances fractionnaires d'opérateurs. - J. Math. Soc. Japan., 1962, v. 14, №2, 233-241.

11. A. Mcintosh. On the comparability of Л1/2 and А,1/2. — Proc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 32, 430-434.

12. S. Nakagiri. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces. — Osaka J. Math., 1988, v. 85, 353-398.

13. A. L. Skubachevskii. Elliptic functional differential equations and applications. BaselBoston-Berlin, Birkhauser, 1997.

14. A. L. Skubachevskii, R. V. Shamin. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation. — Functional Differential Equations, 2001, v. 8, 407-424.

15. O. Staffans. Some well-posed functional equations which generate semigroups. — J. Differ. Equat., 1985, v. 58, K'2, 157-191.

16. M. A. Vorontsov, N. G. Iroshnikov, R. L. Abernathy. DifFractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation. — Chaos, Solitons, and Fractals, 1994, v. 4, №8-9, 1701-1716.

17. J. Wu. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay. - Differ. Integr. Equat., 1991, v. 4, №6, 1325-1351.

Публикации по теме диссертации

1. А. М. Селицкий. О гладкости сильных решений третьей краевой задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения. — Тезисы докладов Всеукра-инской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной 100-летию Я. Б. Лопатинского. Донецк: Изд-во ДонНУ, 2006, 113.

2. А. М. Селицкий. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — Современная математика. Фундаментальные направления, 2007 (февраль), т. 21, 114-132.

3. А. М. Селицкий. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН, 2006, 14.

4. А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — УМН, 2007 (февраль), т. 62, вып. 1, 207208.

5. А. М. Selitskii. The second mixed problem for parabolic differential-difference equation. — Abstracts of the 4th Int. Conf. in Differ, and Funct. Differ. Equations, Moscow, 2005, 70-71.

6. A. M. Selitskii. The space of initial data for the third boundary problem for parabolic differential-difference equation in one-dimensional case. — III Международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 14-19 мая 2006 г. Тезисы докладов. Обнинск: Изд-во ИАТЭ, 2006, 106-107.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 16.03.2007 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 130. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

1. Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном случае

1.1. Постановка задачи.

1.2. Слабые решения.

1.3. Сильные решения

1.4. Гладкость сильных решений в прямоугольных подобластях

1.5. Гладкость сильных решений на границе соседних прямоугольных подобластей.

1.6. Пространство начальных данных и проблема Т. Като

2. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае

2.1. Постановка задачи.

2.2. Слабые решения.

2.3. Сильные решения

2.4. Гладкость сильных решений в цилиндрических подобластях

2.5. Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей.

2.6. Пространство начальных данных.

3. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае

3.1. Постановка задачи.

3.2. Слабые решения.

3.3. Сильные решения

3.4. Гладкость сильных решений в цилиндрических подобластях

3.5. Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей.

3.6. Пространство начальных данных.

1. В настоящей диссертации изучается разрешимость и гладкость сильных решений второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным. Изучается вопрос описания пространства начальных данных этих задач, а также их связь с проблемой Т. Като.

Основы общей теории краевых задач для эллиптических функциоиаль-но-дифференциальных уравнений были созданы в работах A. JT. Скуба-чевского. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гордиига, исследованы вопросы однозначной, фред-гольмовой и нетеровой разрешимости в пространствах С. J1. Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Наиболее полное изложение теории эллиптических краевых задач для диф-ференциалыю-разностпых уравнений и обширную библиографию можно найти в [35].

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с запаздываниями по времени изучались многими авторами, см. [26], [22], [29], [37], [39]. Наиболее общий случай таких уравнений, содержащих переменные запаздывания в старших производных, рассматривался в работах В. В. Власова [1], [2].

Первая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным рассматривалась в работах Р. В. Шамина и A. JI. Скубачевского [14], [36].

В [36] рассматривалось пространство начальных данных первой краевой задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений, т. е. пространство начальных функций, для которых существует сильное решение рассматриваемой задачи. Задача о пространстве начальных данных тесно связана с известной проблемой Т. Като о корне квадратном из оператора [4]: совпадают ли V{A}-I2) с V(A*1^2) для га-секто-риального оператора? В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (Ж.-JI. Лионе [24], А. Макинтош [27], [28]). П. Аушером, С. Хофма-ном, А. Макинтошем и П. Чамичаном проблема Т. Като была решена для сильно эллиптических дифференциальных операторов и систем с ограниченными измеримыми коэффициентами [19]. В работах П. Ау-шера и П. Чамичана [20] и А. Аксельсона, С. Кейт и А. Макинтоша [21] эти результаты были перенесены на случай ограниченных областей с липшицевой границей. В работе Р. В. Шамина [17] дано явное описание пространства начальных данных первой краевой задачи для параболических функционально-дифференциальных операторов, обобщающее результаты [36], а также выделен широкий класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. Интересно отметить, что аналогичные функционально-дифференциальные уравнения в одномерном случае рассматривались Т. Като и Дж. Мак Леодом [25].

2. В диссертации впервые рассмотрены вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. В отличие от параболических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри цилиндрической области даже при бесконечно гладкой правой части уравнения. Для таких уравнений доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость сильных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а при п > 1 еще и на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала. Приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей.

При исследовании гладкости сильных решений впервые были рассмотрены вторая и третья краевые задачи для сильно эллиптического дифференциально-разостного уравнения в одномерном случае, показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в рассматриваемой области, но сохраняется в прямоугольных подобластях. Этот результат позволил в одномерном случае явно описать пространство начальных данных второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения и получить новый класс операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. При этом новым является подход, использующий комплексный вариант интерполяции гильбертовых пространств. В многомерном случае при дополнительных предположениях получено явное описание области определения оператора, соответствующего задаче.

Описание пространства начальных данных опирается как на работы A. J1. Скубачевского и Р. В. Шамина [36], Р. Сили [31] и П. Гривара [23]. В диссертации также используются методы, основанные на теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений A. JI. Скубачев-ский [35], A. J1. Скубачевский и Е. JI. Цветков [13], Е. JI. Цветков [16]. Проверка гипотезы Т. Като опирается на работу Р. В. Шамина [17].

3. Вторая краевая задача для параболических функционально-дифференциальных уравнений возникает в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью. Квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи (М. А. Воронцов [38]). Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

Математическая модель указанной системы описывается бифуркацией периодических решений квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием пространственных переменных. В работе А. В. Разгулина [30] эта задача рассматривалась в случае, когда область Q — круг или кольцо, а преобразование — вращение на некоторый угол. Случай произвольной области и произвольного преобразования изучался в работах A. JI. Скубачевского [12], [34].

4. Диссертация состоит из трех глав и введения. В первой главе рассматривается вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном случае:

Щ - (R2QUx)x + R\qux + Rqqu = f(x, t) ((x, t) G QT) (1)

-R2Qux + au) |x=0 = 0; (R2Qux + 0u)\x=d = 0 (0 < t < T); (2) u|<=0 = <p(z) (x e Q), (3) где Q = (0, d), QT = Q x (0, T), 0 < T < oo, / G L2(Qt), v € £2(0, d); си, /3 > 0. Разностные операторы определяются следующим образом. Обозначим через /д: 2/2(0, с?) ^(М) оператор продолжения функций нулем вне интервала (0, d), Pq: ^(М) ^(0, d) — оператор сужения функций на интервал (0, d). Тогда Riq = PqR{Iq (i = 0, 1, 2), iV JV r.2u)(x) = aku(x + k); (ж) = ^ + k=—N k=-N N

Rqu)(x)= Cku(x + k). k=-N

Здесь ajfc, — комплексные числа, a iV такое, что d — N+в, 0 < в < 1.

В разделе 1.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, выраженные через коэффициенты уравнения (1), попутно приводятся необходимые для изложения сведения из теории разностных операторов.

В разделе 1.2 дается определение слабого решения задачи (1) - (3) с помощью операторного уравнения вида щ- Ли = / с начальным условием u\t=0 = ср.

Кроме того, приводится определение слабого решения в смысле интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений, а также существование и единственность слабого решения задачи (1)-(3).

В разделе 1.3 изучается вопрос сохранения гладкости решений по времени (так называемые сильные решения). Аналогично работе [36] доказывается, что сильные решения существуют тогда и только тогда, когда ip принадлежит интерполяционному пространству \D(A), b2(Q)]i/2> гДе А — m-секториальный оператор, соответствующий задаче (1) - (3).

В разделе 1.4 приведен пример, когда гладкость сильных решений задачи (1) - (3) может нарушаться внутри интервала Q. С другой стороны, доказывается, что гладкость сохраняется в подобластях Qsi х (О, Т). Если 9 = 1, то Qu = Q2i = (/ - 1, 1) {I = 1, ., N + 1). Если 9 < 1, то Qu = {l-l, I-1 + 9) {I = 1, ., N + l), Q21 = (1-1 + 9, l)(l = 1, ., N).

В разделе 1.5 приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних прямоугольных подобластей Qsi х (О, Т). Приводятся примеры, как на сохранение, так и на нарушение гладкости.

В разделе 1.6 доказывается, что [D(A), £2(Q)]i/2 — W^Q), где через W^(Q) обозначено пространство Соболева комплекснозначных функций из L/2(Q), имеющих обобщенные производные из L2(Q). Доказательство использует комплексный вариант интерполяции граничных условий, применявшийся в работах Сил и [31] и Гривара [23]. Доказывается справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с краевыми условиями второго и третьего рода.

Вторая глава посвящена второй краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение п п ui ~ XI (RijQUxj)xi + X RiQUx' + R°Qu = Е (4) i,j=1 г=1 с краевым условием п

RijQUXj cos(v, Xi) = 0 ((X, t) е Тт) i,j=1

5) и начальным условием u\t=o = ср(х) (х е Q)

6) где Q С Мп — ограниченная область с границей dQ = иМг- (г = 1,., 7Vo)> г п > 2. Здесь Mi — (п — 1)-мерные многообразия класса С00 открытые и связные в топологии 9Q. Предположим, что в окрестности каждой точки х 6 К = dQ \ UMi область Q удовлетворяет условию конуса.

QT = Q х (О, Т), 0 < Т < оо, Гг = (dQ \ К) х (О, Т), г/ - единичный вектор внешней нормали к Гг, / £ L,2(Qt), а ^ 6 ^(Q)- Разностные операторы RijQ, RiQ определяются следующим образом. Обозначим через Iq : LiiQ) L2(ln) оператор продолжения функций нулем вне области Q, Pq: L2(Rn) -> I/2(Q) ~ оператор сужения функций на Q. Тогда RijQ = PQRijIQ, RIQ ~ PqRJQ,

Здесь ciijh, dih — комплексные числа, множество М состоит из конечного числа векторов с целочисленными координатами.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, попутно приводятся необходимые для изложения сведения о разностных операторах.

В разделе 2.2 доказывается существование и единственность слабого решения задачи (4) - (6) путем ее сведения к абстрактному операторному уравнению. Приводится также определение слабого решения в смысле

Riju)(x) = aijhu(x + h) (г, j = 1, ., п) heM

Riu)(x) = aihu(x + h) (г = 0, 1, ., п). heM интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений.

В разделе 2.3 рассматриваются сильные решения задачи. Аналогично одномерному случаю показано, что оператор, соответствующий эллиптической части уравнения, является генератором аналитической полугруппы. Методами теории полугрупп доказана однозначная сильная разрешимость задачи.

В разделе 2.4 приведены примеры, когда гладкость сильных решений второй краевой задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения может нарушаться внутри цилиндра Qt, как на границе некоторых цилиндрических подобластей, так и в окрестности некоторых (п — 1)-мерных гиперплоскостей. Доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а также на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала.

В разделе 2.5 приводится критерий сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей. Приводятся примеры, как на сохранение, так и на нарушение гладкости. В частности, построены примеры сохранения гладкости в подобластях вплоть до их границ, а также примеры сохранения гладкости во всей области.

В разделе 2.6 аналогично работе Р. В. Шамина и A. JI. Скубачев-ского [36] при предположении сохранения гладкости решений в подобластях, конечного числа подобластей и их липшицевости доказывается, что [D(A), Li{Q)]\i2 С W^iQ), где Л — m-секториальный оператор в Z/2(Q), соответствующий сильно эллиптическому дифференциально-разностному уравнению с краевыми условиями второго рода. Вопрос о справедливости обратного вложения W^Q) С [Т>(А), -^2(Q)]i/2 остается открытым. Решение его эквивалентно положительному решению проблемы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, определенных на функциях, удовлетворяющих краевым условиям второго рода, в многомерных областях.

Третья глава посвящена третьей краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение п п

- (RiiQUxi)xi + RiQUxi + R°Qu = 6 W (7)

ZJ=1 г=1 с краевым условием п

RijQUXj cos(u, Xi) + а(х)и = 0 ((x, t) e Гт) (8) i,j=1 и начальным условием u|t=o = <p(x) {x E Q), (9) где / б Z^Qr), £ ^(Q), 0 < a G C(<9Q), остальные обозначения введены выше.

Результаты и структура третьей главы аналогичны результатам и структуре второй главы.

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] - [11], [32], [33]. Результаты диссертации излагались на IV Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2005 г.), XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2006 г.), III Международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2006 г.), Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной 100-летию Я. Б. Лопатинского (Донецк, Донецкий национальный университет, 2006); на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю. А. Дубинского, семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика РАН Е. И. Моисеева и И. С. Ломова, на семинаре в Московском государственном университете путей сообщения под руководством А. Д. Мышкиса, на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством В. А. Кондратьева, на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством A. JI. Скубачевского, на научном семинаре в Московском авиационном институте, посвященном 80-летию Г. А. Каменского.

1. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 1995, т. 186, №8, 67-92.

2. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева. — Труды Математического института РАН, 1999, т. 227, 109-121.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: МИР, 1966.

4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: МИР, 1972.

5. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: МИР, 1971.

6. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

7. Селицкий А. М. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — Современная математика. Фундаментальные направления, 2007, т. 21, 114-132.

8. Селицкий А. М., Скубачевский A. JI. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — УМН, 2007, т. 62, вып. 1, 207-208.

9. Скубачевский A. J1. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения. — Дифференциальные уравнения ,1998, т. 34, №10, 1394-1401.

10. Скубачевский A. JL, Цветков Е. JI. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. — Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, №10, 1766-1776.

11. Скубачевский A. JL, Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. Математические заметки, 1999, т. 66, вып. 1, 145-153.

12. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: МИР, 1980.

13. Цветков Е. JI. Разрешимость и спектр третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения. — Математические заметки, 1992, т. 51, вып. 6, 107-114.

14. Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 2003, т. 194, №9, 141-156.

15. Ashyralyev A., Sobolevskii P. Е. Well-posedness of parabolic difference equations. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1994.

16. Auscher P., Hofmann S., Mclntosch A., Tchamitchian P. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on Жп. — J. Evolution Equations, 2001, vol. 1, 361-385.

17. Auscher P., Tchamitchian P. Square roots of elliptic second order divergence operators on strongly Lipschitz domains: L2 theory. — J. Anal. Math., 2003, vol. 90, 1-12.

18. Axelsson A., Keith S., Mcintosh A., The Kato square root problem for mixed boundary value problems. — J. London Math. Soc., 2006, vol. 74, №2, 113-130.

19. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives. J. Math. Anal. Appl., 1984, vol. 102, №1, 38-57.

20. Grisvard P. Equations differentielles abstrites. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4e ser., 1969, 2, 311-395.

21. Lions J. L. Espaces d'interpolation et domaines de puissances fractionnaires d'operateurs. — J. Math. Soc. Japan., 1962, v. 14, №2, 233-241.

22. Kato Т., Mc Leod J. B. The functional differential equation. — Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v. 77, 891-937.

23. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroup. — J. Differ. Equat., 1983, v. 50, №1, 49-79.

24. Mcintosh A. On the comparability of A1!2 and A*1/2. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 32, 430-434.

25. Mcintosh A. Square roots of elliptic operators. — J. Func. Anal., 1985, v. 61, 307-327.

26. Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces. — Osaka J. Math., 1988, v. 85, 353-398.

27. Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback. Chaos in Optics, Proceedings SPIE, 1993, v. 2039, 342-352.

28. Seeley R. Interpolation in LP with boundary conditions. — Studia Math., 1972, v. 44, 47-60.

29. Selitskii A. M. The second mixed problem for parabolic differential-difference equation. — Abstracts of the 4th Int. Conf. in Differ, and Funct. Differ. Equations, Moscow, 2005, 70-71.

30. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics. — Nonlinear Anal., 1998, v. 32, №2, 261-278.

31. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

32. Skubachevskii A. L., Shamin R. V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation. — Functional Differential Equations, 2001, v. 8, 407-424.■ r107

33. Staffans 0. Some well-posed functional equations which generate semigroups. J. Differ. Equat., 1985, v. 58, №2, 157-191.

34. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation. Chaos, Solitons, and Fractals, 1994, v. 4, №8-9, 1701-1716.

35. Wu J. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay. — Differ. Integr. Equat., 1991, v. 4, №6, 1325-1351.