Вязкие несжимаемые течения жидкости в секторах и конусах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

003469122

На правах рукописи

УДК 532.5.032; 519.63

Шапеев Александр Васильевич

ВЯЗКИЕ НЕСЖИМАЕМЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СЕКТОРАХ И КОНУСАХ

Специальность: 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 2339

Новосибирск 2009

003469122

Работа выполнена

в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: член-корреспондент РАН

профессор Владислав Васильевич Пухначев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Виктор Михайлович Ковеня

кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Валерьевич Головин

Ведущая организация: Институт проблем механики им.

А. Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 9 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск-90, проспект ак. М. А. Лаврентьева, 15. факс: (383) 333-16-12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан « 2-4 » апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Задачи о течениях жидкости в секторах и конусах начали изучаться почти сто лет назад [1, 2]. После этих работ на тему течений жидкости в секторах и конусах было опубликовано много работ [3-12]. Однако в большинстве существующих работ они рассматривались в стационарной постановке, которая не позволяет изучать развитие и установление течений. Задача о стационарных течениях в секторах изучена достаточно подробно, однако стационарные течения в конусе изучены недостаточно хорошо. Стационарная постановка позволяет лишь находить и изучать стационарные течения (такие как, например, течения Джеффри-Гамеля [1, 2], или течения Моффатта [9]), но не позволяет исследовать эволюцию течений. Нестационарная постановка же почти никем не рассматривалась.

Нестационарная постановка позволяет изучать эволюцию и установление стационарных течений, которые рассматривались в литературе. Изучение нестационарных течений является сложной задачей, поскольку ее решения могут быть получены только численно и это может потребовать больших вычислительных ресурсов. Поэтому для изучения нестационарных течений в секторах и конусах необходим эффективный численный метод.

Таким образом, актуальным является изучение нестационарных течений в секторах и конусах (а в конусах также и стационарных течений). В частности, актуальны изучение вопросов развития и установления стационарных течений, изученных ранее, и разработка эффективных численных методов для расчета таких течений. Целью работы является:

1. Разработать и реализовать эффективный численный метод для решения задач о течениях жидкости в секторах и конусах.

2. Изучить развитие и установление течений в бесконечных секторах на основе нестационарной автомодельной постановки.

3. Изучить осесимметричные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости как в стационарной постановке, так и в нестационарной автомодельной постановке.

4. Исследовать эффективность численного метода реализованного в данной работе в применении к задачам о течениях в секторах и конусах.

В данной работе нестационарные течения исследуются в автомодельной постановке, что соответствует развитию течений из начального радиального режима в двумерном случае и из начального режима специального вида в трехмерном случае.

Методы исследования. Стационарные течения в конусах изучаются с помощью методов асимптотических разложений. Нестационарные автомодельные течения изучаются численными методами.

Достоверность результатов обусловлена точностью численного метода, установленной в данной работе, а также сравнениями результатов данной работы с результатами предыдущих исследований.

Научная новизна. В данной работе впервые изучается задача о течениях жидкости в секторах и конусах в нестационарной постановке. Рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расходом жидкости через угловую точку сектора или вершину конуса. В такой постановке впервые исследуются вопросы развития течений и установления течений, исследовавшихся ранее в стационарной постановке, таких как течения Джеффри-Гамеля, течения Моффатта и их аналогов в конусе. Обнаружен ряд новых гидродинамических явлений в нестационарных течениях в секторах и конусах, например образование вихрей при установлении течений Джеффри-Гамеля, в которых присутствуют зоны противотока. Также впервые приводятся примеры асимптотических разложений решений уравнений Навье-Стокса в конусе вдали от угла.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты данной работы имеют прежде всего теоретическую ценность. Подробный численный и асимптотический анализ течений, проведенный в данной работе, способствует лучшему пониманию нестационарных течений в секторах и конусах, а также стационарных течений в конусах с болыпйми углами раствора. Результаты работы имеют также практическое значение, так как изученные в ней течения жидкости важны в таких приложениях, как машиностроение и аэрокосмонавтика. Численный метод, предложенный в данной работе, может быть обобщен для решения аналогичных задач, например, для изучения течений в конусах более общего вида (то есть, не обязательно осесимметричных).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

— на семинаре под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,

— на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,

— на семинаре под руководством проф. С. В. Нестерова в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН,

— на семинаре под руководством академика РАН Ю. И. Шокина и профессора В. М. Ковени в Институте вычислительных технологий СО РАН,

а также на следующих научных конференциях:

— Международная конференция по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004)

— The 1st Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Bangkok, Thailand, 2005),

— The 3rd East Asia SIAM Conference (Xiamen, China, 2007),

— The 3rd Mathematics and Physical Science Graduate Congress (Kuala Lumpur, Malaysia, 2007),

— Третья всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008),

и на следующих научных мероприятиях:

— International Workshop "Modeling and Simulation in Applied Mathematics" (Nakhon Ratchasima, Thailand, 2006),

— Summer Mathematical Research Center on Scientific Computation and Its Applications, (Marseille, Prance, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в реферируемых журналах, один препринт и тезисы трех конференций.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 168 страниц состоит из введения, двух глав, посвященных течениям в секторах и конусах соответственно, заключения, 78 иллюстраций, 3 таблиц и списка литературы из 61 наименования. Главы 1 и 2 содержат следующие разделы: постановка задачи, численный метод и соответствующие разделы с результатами и их обсуждением.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор известных работ по вязким несжимаемым течениям в секторах и конусах, анализируются существующие результаты, дается краткий обзор численных методов, которые могут быть полезны для решения данных задач, приводятся цель и значимость диссертации, а также дается краткое описание работы.

В первой главе рассматриваются течения вязкой несжимаемой жидкости в секторах. В разделе 1.1 из уравнений Навье-Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости выводятся уравнения, описывающие автомодельные течения. Уравнения Навье-Стокса приводятся к единственному уравнению четвертого порядка для функции тока, для которого ставится краевая задача. Затем устанавливаются свойства полученной краевой задачи на основе анализа порядков членов уравнения. Показывается, что автомодельные течения описывают нестационарные течения жидкости, развивающиеся из радиального начального режима, и установление в них стационарных или квазистационарных режимов.

В разделе 1.2 предлагается численный метод, основанный на спектральной дискретизации в угловом направлении (то есть, по полярному или сферическому полярному углу), конечно-разностной дискретизации в радиальном направлении и применении прямых вычислительных методов линейной алгебры к получающейся после дискретизации системе линейных уравнений. Спектральная дискретизация в представленной работе проводится, следуя в основном [13]. Эффективность такого численного метода основывается на том, что конечно-разностная дискретизация дает разреженную матрицу блочного вида системы дискретных уравнений, спектральная дискретизация, в силу своей экономичности, позволяет обходиться небольшим количеством базисных функций, уменьшая размер блоков матрицы, а прямые методы линейной алгебры оказываются очень эффективными для таких матриц.

Предложенный численный метод используется для изучения течения нестационарных автомодельных течений. Отдельно друг от друга рассматриваются два варианта течений: с нулевым и ненулевым расходом жидкости через угловую точку сектора (положительный расход жидкости соответствует источнику, а отрицательный — стоку). В стационарном случае течения с ненулевым расходом жидкости связаны с тале называемыми течениями Джеффри-Гамеля, а течения с нулевым расходом связаны с течениями с вихрями Моффатта (также называемыми просто течениями Моффатта).

В разделе 1.3 рассчитываются автомодельные течения с ненулевым

г = 0.001

г = 0.01

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

х

(а) линии тока

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

(б) линии тока

Рис. 1: Течение с источником при Ие = 9.5 и а = 30°, в различные моменты безразмерного времени I. При этих значениях параметров в стационарном режиме течения имеются противотоки вблизи стенок. Видны два вихря, образовавшиеся в процессе установления такого течения. На втором графике виден установившийся стационарный радиальный режим течения вблизи вершины.

расходом жидкости в широком диапазоне значений числа Рейнольдса Ие и угла раствора сектора 2а. В численном расчете обнаружено, что все изученные течения при времени £ —> оэ стремятся к соответствующим режимам Джеффри-Гамеля, когда последние устойчивы. Тем самым подтверждается вывод о том, что автомодельная формулировка позволяет изучать вопросы развития и установления стационарных режимов течений в секторе. Также обнаружено, что когда стационарные течения Джеффри-Гамеля с источником неустойчивы, то тогда же и неустойчивы автомодельные течения. В расчетах наблюдается гидродинамический эффект возникновения в процессе установления течения двух симметричных вихрей, которые двигаются в сторону, противоположную углу области (см. рис. 1).

Течения со стоком, которые более устойчивы, чем течения с источником, при очень больших числах Рейнольдса имеют погранслои вблизи стенок конуса. Обнаружено, что численный метод адекватно описывает течения с такими погранслоями (хотя в решении наблюдается явление Гиббса), и в частности, не расходится при увеличении Ые. Более подробные результаты о точности расчетов течений с погранслоями приведены во второй главе (для задачи о течениях в конусах).

В разделе 1.4 рассматриваются автомодельные течения в секторах

? = 0.00004

{=0.001

-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 х

(а) линии тока

? = 0.07

-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

(в) линии тока

(г) линии тока

Рис. 2: Автомодельное течение с нулевым расходом жидкости при И,е = 15 и а = 30°

с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов показывают, что во всех случаях эти течения стремятся к квазистационарным режимам течений при i —+ оо, аналогично поведению течений с ненулевым расходом. При малых и умеренных углах раствора образуются квазистационарные вихри Моффатта с увеличивающимися размерами. Проведенное сравнение отношения интенсивностей и размеров вихрей с теоретическими значениями указывает на то, что предложенный метод может рассчитывать вихри Моффатта с высокой точностью, несмотря на возможные большие отношения интенсивностей соседних вихрей (например, 9.61 • 106 при а = 60°).

Во второй главе рассматриваются осесимметричные вязкие несжимаемые течения в конусах. Вследствие того, что стационарные течения в конусах другими исследователями изучены не настолько основательно, насколько были изучены течения в секторах, то сначала изучются как стационарные, так и нестационарные течения в конусах. Задача о течениях в конусах во многом сходна с задачей о течениях в секторах. Отличия заключаются в особенностях на оси конуса и в вершине конуса. С особенностью на оси конуса можно справиться специальной заменой переменной. Особенность в вершине конуса для течений с ненулевым расходом жидкости является более сильной по сравнению с особенностью в угловой точке сектора. Это является причиной доминирования инерционных сил вблизи вершины, что в свою очередь приводит к образованию погранслоев вблизи стенок (вне зависимости от того, насколько мал расход жидкости).

В разделах 2.1 и 2.2 дается математическая постановка задач об автомодельных и о стационарных течениях в конусах. Вывод уравнений во многом повторяет соответствующий раздел диссертации о течениях в секторах. Разница заключается в том, что в уравнениях течений в конусах присутствует особенность на оси вращения конуса, что обуславливает введение вспомогательной переменной s = cos в, где 0 < в < тг — сферический полярный угол.

В разделе 2.3, по аналогии с задачей о течениях в секторах, на основе простого анализа порядков членов в уравнениях показывается, что автомодельные течения описывают развитие течений из начальных режимов специального вида с полным расходом жидкости Q(t) — c\/i (для заданной константы с) и установление в течениях квазистационарных режимов. Также показывается, что автомодельные течения могут иметь два или три режима в зависимости от значений числа Рейнольдса Re: начальный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными силами инерции и, в случае малых Re, квазистационарный режим с пре-

обладающими линейными силами вязкости. Число Рейнольдса Ле здесь соответствует скорости нарастания расхода жидкости С}.

Также в разделе 2.3 проводится асимптотический анализ уравнений Стокса и Навье-Стокса вдали от вершины конуса, результаты анализа сравниваются с результатами существующих работ. Следует отметить, что результаты существующих работ не во всем согласуются между собой. Анализ уравнений Стокса во многом следует работе Керчмана [5], на основе которого приводится (впервые) анализ уравнений Навье-Стокса. Все результаты асимптотического анализа подтверждаются численными экспериментами. Обсуждаются причины отличия результатов данной работы от результатов работ [6, 10, 11].

В разделе 2.4 описывается численный метод для расчета течений в конусах, который во многом аналогичен методу для течений в секторах. Отличие метода заключается в базисе и точках коллокации для спектральной дискретизации, которые адаптируются для краевых условий задачи о течениях в конусах из критерия оптимальности, предложенного в работе [13].

В разделе 2.5 расчитываются стационарные течения в конусах с источником или стоком в его вершине. Численные эксперименты указывают на то, что задача о течениях с источником плохо поставлена: в ней возникают неблагоприятные градиенты давления, которые дестабилизируют стационарное течение. Течения со стоком удается рассчитать для любых значений угла раствора (заметим, что число Рейнольдса для стационарных течений в конусе не определяется). Результаты расчетов полностью согласуются с результатами асимптотического анализа решений вдали от угла, проведенного в [5] и в данной работе, а также с результатами асимптотического анализа решений вблизи угла, полученными в [12].

Предложенный численный метод исследуется на основе задачи о стационарных течениях в конусе. В частности показывается, что погранс-лой, всегда возникающий вблизи вершины конуса, адекватно описывается спектральной дискретизацией и имеет место сходимость численного решения с первым порядком вблизи погранслоя. На умеренном расстоянии от вершины сходимость численного решения экспоненциальная по количеству базисных функций спектрального метода и квадратичная по шагу сетки конечно-разностного метода. Это подтверждает эффективность предложенного метода.

В разделе 2.6 рассчитываются автомодельные течения в конусах с ненулевым расходом жидкости С}. В случае источника (С} > 0) не удается рассчитать течение во всем конусе. Удается лишь рассчитать течения в конусах с отсеченной вершиной. На основе рассчитанных течений в кону-

/ = 0.01

г = 0.2

•X о.о

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 х

х

(а) линии тока

(6) линии тока

Рис. 3: Автомодельное течение при 11е = 0.1 и а = 160°

сах с отсеченной вершиной делается предположение, что реальные течения с источником не автомодельны, возможно даже турбулентны вблизи вершины.

Автомодельные течения в конусах со стоком удается рассчитать при произвольных значениях Ие и а. В течениях четко видны начальный режим, квазистационарный режим с преобладающими нелинейными силами инерции и, в случае небольших Ие, квазистационарный режим с преобладающими линейными силами вязкости. Это находится в полном соответствии с выводами, сделанными на основе анализа порядка членов уравнений. Особенно интересны течения с а > 7г/2 (то есть, в области шире полупространства). Там промежуточный квазистационарный режим с преобладающими силами вязкости имеет зоны противотока. По аналогии со случаем течений в секторе, в конусе возникают вихри в переходной зоне между начальным и конечным режимами течения (см. рис. 3).

В разделе 2.7 рассчитываются автомодельные течения с нулевым расходом жидкости. Результаты расчетов этих течений во многом аналогичны результатам расчетов соответствующих течений в секторах: вблизи вершины при малых и умеренных углах раствора возникают квазистационарные вихри типа вихрей Моффатта.

Сравнение параметров вихрей в последовательности вихрей Моф-фата, наблюдающихся в численных расчетах, с их теоретическими значениями приведено в таблице 1. Следует отметить, что вихри в расчетах квазистационарны: они развиваются во времени, но в каждый момент времени асимптотически (то есть при £ —* оо) удовлетворяют стационарным

Таблица 1: Отношение размеров и интенсивностей последовательных вихрей_

а теоретич. отношение вычисленное отношение

размеров интенсивностей размеров интенсивностей

30° 3.32632 53849.9 3.33015 54284.8

45° 7.40679 266990 7.41364 268280

60° 26.3870 7.59639 • 10е 26.416 7.63238 • 10°

75° 1327.87 3.51892 • 1012 1333.15 3.57354 ■ 10й

уравнениям движения. Расчеты проведены с шагом сетки по оси ( = 1п г равным /¡.^ = 0.01 и всего с Л^ = 3 базисными полиномами в спектральной дискретизации. Хорошее совпадение рассчитанных параметров вихрей с их теоретическими значениями говорит о высокой точности метода. А тот факт, что для достижения такой точности расчета достаточно всего лишь трех базисных функций, говорит о высокой экономичности метода. Заметим также, что предложенный в работе метод достаточно точно передает характеристики вихрей, даже при а — 75°, когда отношение размеров последовательных вихрей порядка 1300, а отношение их интенсивностей порядка 3.5 • 1012.

В заключении работы сформулированы следующие основные результаты диссертации.

1. Предложен эффективный численный метод для расчета автомодельных и стационарных вязких несжимаемых течений в секторах и конусах.

2. Впервые проведен асимптотический анализ решений вдали от вершины конуса стационарных уравнений Навье-Стокса.

3. Проведены численные расчеты стационарных течений в конусах, полностью согласующиеся с результатами асимптотического анализа.

4. Рассчитаны автомодельные течения в секторах и конусах со стоком, источником и нулевым расходом жидкости.

5. В результате проведенных расчетов показано, каким образом устанавливаются соответствующие стационарные режимы течений в секторах и конусах.

6. Обнаружено, что автомодельные течения в секторах неустойчивы при тех же значениях параметров (a, Re), при которых неустойчивы и стационарные течения Джеффри-Гамеля.

7. Обнаружены новые эффекты, в частности, образование вихрей при установлении течений в секторах и конусах с зонами противотока.

8. Точность предложенного в работе численного метода тщательно изучена на основе численных экспериментов.

9. Установлено, что предложенный в работе метод позволяет адекватно расчитывать течения с погранслоем вблизи вершины конуса и имеет высокую точность при умеренных и большйх расстояниях от его вершины.

Список литературы

[1] Jeffery G. В. The two-dimensional steady motion of a viscous fluid // Phil. Mag. - 1915. - Vol. 29. - Pp. 455-465.

[2] Hamel G. Spiralformige bewegungen zaher flussigkeiten // Jahresbericht Deutch. Math. Verein.- 1917.- Vol. 25.- Pp. 34-60.

[6] Bond W. N. Viscous flow through wide angle cones // Phil. Mag.— 1925. - Vol. 50. - Pp. 1058-1066.

[7] Rosenhead L. The steady two-dimensional radial flow of viscous fluid between two inclined plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1940. — Vol. 175, no. 963. — Pp. 436-467. http://www.jstor.org/stable/97501.

[8] Praenkel L. E. Laminar flow in symmetrical channels with slightly curved walls, i. on the Jeffery-Hamel solutions for flow between plane walls // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences.— 1962,- Vol. 267, no. 1328.- Pp. 119-138.

[9] Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // J. Fluid Mech. - 1964. - Vol. 18. - Pp. 1-18.

[10] Ackerberg R. The viscous incompressible flow inside a cone //J. Fluid Mech. - 1965. - Vol. 21, no. 1. - Pp. 47-81.

[11] Goldstein S. On backward boundary layers and flow in converging passages // J. Fluid Mech. — 1965. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 33-45.

[12] Brown S. N., Stewartson K. On similarity solutions of the boundary-layer equations with algebraic decay //J. Fluid Mech. — 1965. — Vol. 23, no. 4. - Pp. 673-687.

[5] Керчман В. И. Бифуркация многомодовых течений вязкой жидкости в плоском диффузоре // Изв. АН СССР МЖГ.~ 1972.- № 2.-С. 41-47.

[4] Rivkind L., Solonnikov V. Jeffery-Hamel asymptotics for steady state Navier-Stokes flow in domains with sector-like outlets to infinity // J. Math. Fluid Mech. — 2000. - Vol. 2, no. 4. - Pp. 324-352.

[3] Akulenko L. D., Georgievskii D. V., Kumakshev S. A., Nesterov S. V. New solutions and hydrodynamical effects in the Jeffery-Hamel problem // Russ. J. Math. Phys. — 2005. — Vol. 12, no. 3. — Pp. 269-287.

[13] Malek A., Phillips T. N. Pseudospectral collocation methods for fourth-order differential equations // IMA J. Numer. Anal. — 1995. — Vol. 15, no. 4. - Pp. 523-553.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шапеев А. В. Нестационарное автомодельное течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском диффузоре // Изв. РАН МЖГ. — 2004. — № 1. - С. 41-46.

2. Шапеев А. В. Исследование смешанной спектрально-разностной аппроксимации на примере задачи о вязком течении в диффузоре // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2005. — Т. 8, № 2. - С. 149-162.

3. Shapeev А. V. Application of combined spectral and finite difference method to unsteady viscous fluid flow in conical domains // Abstracts of the 3rd East Asia SIAM Conference / Xiamen, China. — 2007. — November.

4. Shapeev A. V. Application of combined spectral and finite difference method to unsteady viscous fluid flow in conical domains // The 3rd Mathematic and Physical Science Graduate Conference / Kuala Lumpur, Malaysia. - 2007. — December. — Pp. PlMS-2.

5. Шапеев А. В. Стационарные осесимметричные течения вязкой жидкости в конусе // Тезисы докладов третей всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения". — г. Бийск: 2008. — июнь-июль.

6. Shapeev А. V., Lin P. An asymptotic fitting finite element method with exponential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscous flows // SIAM J. Sci. Comput.— 2009.— Vol. 31, no. 3.— Pp. 1874-1900.

7. Шапеев А. В. Вязкие несжимаемые осесимметричные течения в конусах. — Новосибирск, 2009. — Препринт / Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; №2-09.

Подписано в печать 17.04.2009 Формат 60x84/16 Уч.-изд. л. 1

Заказ № 192 Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090 Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2