Вязкие течения жидкости в анизотропной и неоднородной гранулированной среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

ПАРФУС ВЛАДИМИР ОЛЕГОВИЧ

Вязкие течения жидкости в анизотропной и неоднородной гранулированной среде

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004г.

Работа выполнена на Кафедре физической механики Московского Физико-Технического Института (Государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Ширко Игорь Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Гупало Юрий Павлович доктор физико-математических наук

профессор Кондауров Владимир Игнатьевич

Ведущая организация

Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова (ИОНХ) РАН

Защита состоится «28» декабря 2004 г. в « » часов на заседании диссертационного совета К.212.156.06 при Московском Физико-Техническом институте по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, МФТИ, Институтский пер., д.9, Главный корпус, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки МФТИ. Автореферат разослан «27» ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В работе исследуется течение жидкости в гранулированных средах, для описания которых обычно применяется закон Дарси. Актуальность темы исследования определяется большим научным и практическим интересом к вопросам обеспечения однородного поля скорости потока при работе промышленных аппаратов и химических реакторов с неподвижным зернистым слоем катализатора. Особенно важно реализовать указанное направление работы при создании новых перспективных конструкций реакторов, к числу которых относятся реакторы радиального типа. Необходимо обеспечить равномерность потока, протекающего в гранулированном слое, и предотвратить образование байпасных и застойных зон. Возникающие при решении указанных вопросов трудности усугубляются тем, что равномерность движения часто необходимо сохранить в широком диапазоне изменения параметров потока. Образование застойных зон при работе реактора в режимах восстановления, которое обычно осуществляется при малых скоростях реагента в сочетании с большим выделением теплоты, может привести к прожиганию стенок реактора или порче катализатора.

Многочисленные экспериментальные работы ([1]-[7]) показывают, что при протекании жидкости или газа сквозь гранулированную среду с переменной порозностью возникающие профили скорости находятся в существенном отличии от профилей, предсказываемых законом Дарси. Как правило, эксперименты проводились в круглых трубах, в которые засыпался слой материала, состоящий из гранул определенной формы и размера. Слой продувался потоком газа или жидкости, имеющим на входе постоянное распределение скорости. На выходе из слоя профиль скорости существенно менялся: он имел минимум в центре трубы, достигал своего максимума вблизи стенки и затем стремился к нулю по мере приближения к стенке (так называемые «уши»).

Цель и задачи работы.

объяснение отличий профиля скорости, возникающих при течении жидкости в неоднородных гранулированных средах, от профилей, предсказываемых законом Дарси, путем учета процессов поперечного переноса, приводящих к возникновению дополнительных сил «эффективной» вязкости;

нахождение и анализ структуры коэффициентов «эффективной» вязкости путем использования теорий дополнительных напряжений Рейнольдса и длины смешения Прандтля. Сравнение с экспериментальными данными; вывод и анализ системы уравнений движения, содержащей в себе как частный случай закон Дарси. Нахождение безразмерных чисел потока (параметров подобия) для течений в гранулированных средах; получение аналитических и численных решений ряда представляющих практический интерес задач для течения в анизотропных гранулированных средах.

Основные результаты, выносимые на защиту.

показано, что при течении в гранулированных средах жидкостей, имеющих неоднородное поле скоростей, возникает тензор «эффективных» вязких напряжений, по своей физической природе подобный тензору дополнительных напряжений Рейнольдса;

найдена структура коэффициентов «эффективной» вязкости путем применения представлений о длине смешения Л. Прандтля. Из сравнения имеющихся экспериментальных данных с результатами численного моделирования найден вид зависимости коэффициента «эффективной» вязкости от порозности среды в изотропном случае. Сформулированы условия, при которых эти коэффициенты не зависят от скорости потока. Показано, что эти коэффициенты превышают в сотни раз коэффициент динамической вязкости протекающей жидкости;

в анизотропном случае путем введения понятий тензора масштабов скоростей поперечного переноса и тензора длин смешений найдена структура анизотропных коэффициентов эффективной вязкости, образующих тензор четвертого ранга;

выведена и проанализирована система разрешающих уравнений, имеющая вид уравнений течения вязкой жидкости с объемными силами, пропорциональными скорости, содержащая в себе как частный случай закон Дарси. Показано, что наряду с известными безразмерными параметрами Эйлера, Струхаля, Прандтля и Рейнольдса существует безразмерный параметр Бо, характеризующий отношение сил пористого сопротивления Дарси к силам эффективной вязкости;

решен ряд конкретных задач, имеющих практическое значение. Получены и проанализированы численные решения полной системы уравнений для анизотропных осесимметричных течений, соответствующих течениям в трубчатом и радиальном проточных реакторах, выполнено сравнение с аналитическими решениями упрощенных моделей.

Научная новизна. Несмотря на обширные исследования причин возникновения крупномасштабных гидродинамических неоднородностей в гранулированной среде, ранее не проводилось систематическое последовательное построение модели описания данного явления с помощью понятия «эффективной» вязкости.

Выведенная система уравнений позволяет осуществлять постановку и решение задач для течений в анизотропных средах. Новый безразмерный параметр потока позволяет еще на этапе постановки задачи оценить необходимость учета различных членов в полной системе уравнений движения. Впервые решен ряд конкретных задач для течений в анизотропных средах.

Обоснованность и достоверность подтверждается совпадением полученных результатов с известными экспериментальными данными. Предложенная в работе модель описания явлений фильтрации основана на общих законах и уравнениях гидродинамики, а также физически естественных гипотезах и допущениях. Обоснованность предложенной модели подтверждается также совпадением с точностью до графиков полученных численных решений полной системы уравнений и аналитических решений упрощенных моделей в предсказываемых интервалах параметров.

Практическая значимость. Многочисленные промышленные и природоохранные технологии основаны на явлениях протекания жидкостей или газов сквозь слои гранулированного материала. Практическая значимость результатов работы определяется возможностью и целесообразностью их использования при проектировании технологических устройств, в основе действия которых лежат процессы фильтрации, с заданными свойствами течения. Важным требованием технологической эффективности и высокого качества получаемого продукта является проектирование потоков с однородным профилем скорости, удовлетворяющих определенным критериям оптимальности. Результаты работы также могут быть использованы для целей сопоставительного анализа экспериментальных данных и расчетных характеристик, для разработки новых моделей химических реакторов, фильтрационных и других промышленных установок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XLIII -XLVI научных конференциях МФТИ, а также на Второй Конференции по поромеханике памяти Биота, Гренобль, Франция, 2002 год (The Second Biot Conference on Poroumechanics, Grenoble). Работа выполнена при поддержке грантов Министерства образования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук №Е02-4.0-35 и РФФИ-Наукограды Подмосковья №04-05-97200.

Публикации. По результатам работы имеется 6 публикаций (список приведен в конце автореферата).

Объем и структура работы. Работа изложена на 100 страницах, содержит 25 рисунков. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка обозначений, списка литературы из 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определен объект и цели исследования, обоснована актуальность работы и перечислены основные положения, вынесенные на защиту. Приведен краткий обзор литературы, в котором излагается история изучения течений в гранулированных средах, описываются текущее состояние и основные направления исследований. На основании изучения накопленного к настоящему времени экспериментального материала и трудностей его интерпретации можно сделать вывод о том, что для обобщения и сопоставительного анализа экспериментальных данных необходимо развитие теоретических методов исследования процессов фильтрации. Указано на недостатки существующих моделей, не учитывающих дополнительные процессы переноса при неоднородном течении в гранулированном слое. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о необходимости создания модели, лишенной отмеченных недостатков.

В первой главе выполнен обзор исследований геометрических характеристик гранулированного слоя, имеющих существенное значение для его гидродинамики. Основными геометрическими параметрами гранулированного слоя являются диаметр (характерный размер) частицы d, объемная доля пустот £ (порозность) и объемная концентрация твердой фазы 1-е.

Необходимо отметить, что в литературе объемная доля пустот называется как пороз-ностью [5], так и пористостью [11]. В данной работе под пористостью понимается доля свободной от частиц площади в сечении гранулированного слоя. Доказано [11], что в слое, состоящем из хаотически расположенных гранул, средняя пористость равна порозности

е. Это сечение определяет среднюю расходную скорость V, а так же связь между средней расходной скоростью и средней скоростью в незагруженном сечении.

Отметим, что случайно упакованный слой одинаковых частиц произвольной формы обладает свойством изотропности. При протекании жидкости в таком слое в любом направлении среднее относительное проходное сечение равно е. Такими свойствами, в частности, обладают случайно упакованные слои частиц наиболее легко реализуемых на практике форм: сферических и цилиндрических частиц, а так же частиц типа колец Раши-га. Однако с помощью упорядоченной укладки несферических частиц возможно создание таких геометрических конфигураций, когда при постоянной порозности среднее относительное проходное сечение и минимальное проходное сечение будут зависеть от направления протекания жидкости в слое. Таким образом уложенный слой будет анизотропным, т.к. гидравлическое сопротивление слоя, а следовательно - значение средней по сечению скорости жидкости V, будут являться функцией угла между направлением протекания жидкости и характерными направлениями укладки частиц слоя.

Исследование широкого круга геометрических характеристик регулярных укладок выполнено в [11]. Подробно изучены геометрические характеристики так называемых «идеального» и «фиктивного» грунтов. Так как легче всего исследовать движение вязкой жидкости в каналах цилиндрической формы, то при гидродинамическом исследовании фильтрации в модели «идеального» грунта принимают все поры цилиндрическими и предполагают, что оси цилиндров параллельны между собой. Следующей моделью является среда, построенная из одинаковых шарообразных частиц. Такую среду называют «фиктивным» грунтом. Для пористой среды в приближении фиктивного грунта:

к Р

и = —Т> ц А

где <1 - диаметр поры, А - толщина слоя, Р - перепад давления на слое, а величина к = а/2/2, имеющая размерность площади, называется проницаемостью среды.

Аналитически полученные формулы для проницаемости фиктивного грунта основаны на различных моделях перехода от фиктивного грунта к идеальному. В модели Слих-тера действительная поря фиктивного грунта, имеющая весьма сложную конфигурацию, заменяется идеальной цилиндрической порой, площадь поперечного сечения которой равна площади поперечного сечения действительной поры в ее самом узком месте, а длина поры равна ребру основного ромбоэдра. В этом эффективная длина прямолинейного канала, заменяющего криволинейную пору, равна поперечное сечение образует

равносторонный треугольник с площадью = 1,436- 0,0368</2 = 0,05М2. Данная формула получена в [11] и учитывает образование так называемых «линз», т.е. зон застоя жидкости вблизи точек соприкосновения шаров. Эффективная площадь канала принимается равной геометрической площади, уменьшенной на 3%. Модель Слихтера дает точное значение скорости фильтрации при б = 60°:

Р

V =-¡=--,

20Ди I,

и обобщена на случай б > 60° в виде известной формулы для теоретической проницаемости по Слихтеру: тЧ2

к.=

96(1 - е)'

где (0 = 1--

к

характеризует площадь прохода жидкости в самом узком месте

4 вин? порового канала.

Другая модель перехода от фиктивного к идеальному грунту предложена Козени. В соответствии с этой моделью фиктивный грунт должен быть заменен идеальным грунтом равного объема, имеющим такую же порозность, составленного из цилиндрических трубок таким образом, что сумма поверхностей всех сферических частиц фиктивного грунта равна сумме боковых поверхностей трубок идеального грунта. Теоретическая проницаемость по Козени для фиктивного грунта определяется формулой:

, еЧг ' _ . \2 '

120(1-£)2

Также в первой главе приводится обзор моделей описания течения вязкой жидкости.

Во второй главе выполнен анализ физического механизма возникновения переносной «эффективной» вязкости и определено значение ее коэффициента в изотропной неоднородной гранулированной среде.

При протекании жидкости сквозь пористую (гранулированную) среду для определения поля скоростей обычно используется экспериментально полученный закон Дарси:

Зо Ли

0-1)

ЭР дц

"^-аГ'аГ-0

здесь V — вектор средней по элементарной площадке скорости, ц - коэффициент вязкости протекающей жидкости, Р - давление, а ца - коэффициент гидравлического

сопротивления, обратный коэффициенту фильтрации, который в практических приложениях определяется экспериментально. Многочисленные работы показывают, что коэффициент а может быть представлен в виде:

где ё - характерный размер гранулы или поры, а / - безразмерная величина, зависящая от формы гранул и вида их укладки. Хотя формула (1.1) была получена как самостоятельный закон природы, она может быть выведена при определенных предположениях из уравнений течения идеальной жидкости Эйлера которые в предположении, что на жидкость действует объемная сила, пропорциональная скорости, имеют вид:

здесь и далее по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Если в этих уравнениях пренебречь инерционными членами, стоящими в круглых скобках, то мы получим закон Дарси, т.е. с реологической точки зрения среда, описываемая законом Дарси, есть идеальная жидкость Эйлера. В ней не могут возникать касательные напряжения и условия полного прилипания на граничных поверхностях не могут быть выполнены. При обтекании частиц гранулированной среды потоком жидкости в продольном направлении возникают пульсационные составляющие скорости в поперечном направлении. Если средняя скорость течения меняется в поперечном направлении, то эти пульсации переносят из слоя в слой дополнительные количества движения, что приводит к появлению сил трения. Аналогичный физический механизм лежит в основе теории турбулентной вязкости, которая в свою очередь опирается на представления о дополнительных напряжениях Рейнольдса. Следуя этим представлениям компоненты скорости течения жидкости в порах гранулированной среды у, были записаны в виде средних значений и пульсационных составляющих средние значения которых равны нулю, т.е. В результате обычных преобразований уравнений

Навье-Стокса [12] получено выражение для рейнольдсовских напряжений:

где черта сверху означает среднее значение произведений, соответствующих пульсационным составляющим скорости. Был рассмотрен установившийся плоский прямолинейный поток параллельный оси х, средняя фильтрационная скорость которого

(1.3)

«V =-/>«,у

(1.4)

ох=и(у) зависит от поперечной координаты элементарная площадкя Д5 с координатой у расположена параллельно линии тока осредненного движения. Эта площадка пройдет через некоторое количество пор, площадь каждой из которых обозначим через. Отношение суммарной площади пор к площади площадки будет пористостью среды

£ = £¿«,¡/45, где N - число пор пересеченных площадкой. Через сечение каждой поры

проходят линии тока пульсационного движения и переносят импульсы смежных слоев, расположенных как сверху, так и снизу от площадки на некотором расстоянии причем скоростью переноса служит поперечная к осредненному потоку составляющая пульсационной скорости Приравнивая силу трения в сечении каждой поры изменению количества движения, из (1.4) получим:

Г, = -р{у'и')к = р(М),

4У

(1.5)

Для турбулентных потоков, не содержащих гранул, вводится коэффициент турбулентной вязкости = р(1)'Г), который во многих приложениях (гидравлика, метеорология и т.д.) полагается постоянной величиной (гипотеза Бусинеска). Не трудно

видеть, что (и'1')к =соп$1 если предположить, что величина длины перемешивания 1\ будет тем меньше, чем больше пульсационная скорость о'*.

Считая это утверждение справедливым для течения в каждой поре и вводя среднее касательное напряжение т, действующее по площадке А51, из (1.5) может быть получено:

й 45 £Г ¿У

-сЯГ Дл„

(1.6)

и после очевидного сокращения: т=ц^и!<1у,ц,=р(и'1'). Величина может трактоваться как коэффициент «эффективной» (переносной) вязкости при протекании сквозь пористую среду переменного по пространству потока жидкости. Коэффициент эффективной вязкости удобно представить в виде:

М.=М (1.7)

где ¡3 - безразмерная функция порозности, показывающая, во сколько раз

коэффициент «эффективной» вязкости превышает коэффициент динамической вязкости протекающей жидкости. В общем случае изотропной- среды эффективные напряжения образуют симметричный тензор второго ранга, который на основании (1.6), (1.7) может быть выражен через средние скорости в виде:

(1.8)

где &,)- символ Кроиекера, а множитель при нем в теории турбулентности называется пульсационным давлением. Полагая, что помимо сил давления Р, сил инерции и эффективной вязкости (1.8) на жидкость действует объемная сила пористого сопротивления Дарси, были получены уравнения движения в виде:

(ЭУ,

Р-

Эг

Эу, Эх. I Эх.

ЭР, | ЬУ) Эх. Эх.

+ ^1 = 0 </2 ' Эх, ' Эх1

(1.9)

В формулах (1.11) и ниже черта над средними значениями опущена, а по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Уравнения (1.9) в несколько иной форме были получены в работе [13] из феноменологических соображений.

Уравнения (1.9) могут быть приведены к безразмерному виду, если в качестве масштабов времени, длин, скоростей и давлений выбрать некоторые характерные для потока постоянные величины Т, Ь, V, Р. Обозначая штрихом соответствующие безразмерные величины Г = Г-<\ *,=£•*,', ц=У-ц', р = Р р\

и подставляя эти значения в уравнения (1.9) получим:

(УЭу,' У2 ,Эь>,Л цВУ

) (Эи,' | э^Л :ДЭ*/ Эх,') /Ы'

Р Эр' ¿Эх,''

Х(е)у,'

Вводя как обычно безразмерные числа подобия Струхаля, Эйлера и Рейнольдса:

(1.10)

УТ рГ2 цр

эти уравнения можно записать в виде:

д? ' ЭхИе

> (Эу,' | ЭиуЛ

ДЭ(/ ' J

-—Ей

М.

Эх

(1.11)

Безразмерное число &?, стоящее перед вторым членом в квадратных скобках

Р ¿гр{е)

характеризует отношение сил пористого сопротивления Дарси к силам эффективной вязкости и было предложено из несколько других соображений в работе [13]. Причем <1 есть характерный размер гранулы (или поры), а безразмерный коэффициент/(1.2) зависит от структуры гранулированной среды.

(1.13), (1.14) можно найти величину коэффициента эффективной вязкости. Проведенная таким образом обработка имеющихся экспериментальных данных [1] показала, что коэффициент эффективной вязкости превышает коэффициент динамической вязкости жидкости в сотни раз.

Для определения зависимости коэффициента «эффективной» вязкости от порозности были использованы данные работы [1], в которой были получены экспериментальные профили скорости в трубе радиусом К, заполненной гранулированной средой с характерным размером частиц ё. Изменение порозности среды вдоль радиуса так же находилось экспериментально. Характерные экспериментальные профили скорости [1] показаны на рис. 2, 3 точками. Характерный вид радиального распределения порозности приведен на рис. 4. Уравнение (1.9) с координатой х, направленной в осесимметричном случае вдоль оси трубы, имеет вид:

ß

dlr U dr) dr

fi Эх'

(1.15)

где а определяется формулой Козени. Исходя из вышеописанного механизма возникновения «эффективной» вязкости был предложен следующий вид зависимости ß(e)-.

ß{e)=±, (1.16)

£

где Aul- безразмерные коэффициенты, не зависящие от порозности и размера гранул.

1.4 1.2 1

0.8 >

> ■

i

0.6 0.4 02 О

-расчет ■ 1 1

о эксперимент

- в |

- 1

0.2

0.4 0.6

r/R

0.8

Рисунок 2. Профиль скорости течения в трубе Б = 5.08 см, (1 = 0.635

Рисунок 3. Профиль скорости течения в трубе О = 10.16 см, (1 = 0.635

Рисунок 4. Характерное распределение порозности в трубе О = 5.08

Уравнение (1.15) с использованием (1.2) и (1.16) было численно решено для нескольких диаметров трубы и размеров гранул укладки. Было обнаружено, что значения параметров А—50-60, Х=2. Характерный вид полученных профилей скорости и соответствующие им экспериментальные данные приведены на рис. 2, 3 сплошными линиями, где ит - средняя скорость потока. Предложенная зависимость (1.16) хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные в широком диапазоне параметров.

Вторая глава посвящена течению в анизотропной гранулированной среде. В случае анизотропной среды следует допустить, что векторы скорости и градиента давления по направлению не совпадают, и естественным обобщением формул (1.1) является выражение:

где ау образуют тензор второго ранга, который в случае взаимно ортогональных осей анизотропии будет симметричным. Показано, что обобщением формул Ньютона & = на анизотропную несжимаемую жидкость является выражение [14]:

из которого следует, что главные оси тензоров вязких напряжений и скоростей деформаций повернуты друг относительно друга, и тензор IV ранга Етт осуществляет этот поворот. Компоненты тензора Етм определяются распределением порозности других физических параметров среды и жидкости, и могут являться функциями координат. Показано, что Ещп = Еяш] ,т.е. тензор коэффициентов является симметричным

по парам индексов у - qm, и в общем случае число независимых коэффициентов анизотропии сокращается до 20.

Рассуждения, позволяющие считать тензор коэффициентов переносной «эффективной» вязкости, возникающей при течении жидкости в анизотропной гранулированной среде, тензором четвертого ранга с постоянными коэффициентами аналогичны рассуждениям, приведенным в предыдущем параграфе при выводе формул (1.5-1.8). При этом величина пульсации скорости и'и длина смешения / будут зависеть от взаимной ориентации осей анизотропии и избранной системы координат и будут различными по разным направлениям. Поэтому должен быть определен эллипсоид линейных масштабов, т.е. задан симметричный тензор второго ранга (тензор масштабов), компоненты которого имеют размерность длины, и такой, что вектор /,

(2.1)

'удтЬдт *

(2.2)

дх„ дх„

Д5

соответствующий площадке с нормалью п, имеющей направляющие косинусы пт, определяется равенством:

ни« (2-3)

Главные оси этого тензора совпадают с осями анизотропии гранулированной среды. Аналогичным образом, имея в виду закон Дарси (2.1), следует определить эллипсоид масштабов пульсационной скорости компоненты которого имеют размерность скорости и таким же образом определяют вектор Р для площадке с нормалью п(п1):

"ЧКИ" (2.4)

Подставляя (2.3), (2.4) в формулы (1.6), (1.8) получим

Поскольку для каждой «к»-ой поры, пересекаемой площадкой площадь Д5 оси анизотропии одни и те же, можно ввести величины Ещт = р\р\ 1т ), которые в силу того, что и у (2.4) и 1дт (2.3) по определению являются тензорами второго ранга, будут преобразовываться при повороте координатных осей как тензоры четвертого ранга. Отметим, что если среда ортотропная, т.е. имеет три взаимно ортогональных оси анизотропии, то тензоры «'(, и 1Ч„ являются симметричными, а общее число коэффициентов Ещт в системе координат, оси которой совпадают с осями анизотропии, сокращается до 5. Для удобства записи разрешающей системы уравнений коэффициенты «эффективной» вязкости были записаны в виде:

Е,„»=»Рт„ (2-5)

Коэффициенты (1.7) и (2.5) должны определяться экспериментально для каждого вида упорядоченных укладок гранул. Рассуждения, приведенные выше, должны лишь помочь их физической интерпретации.

Из условия сохранения импульса для произвольного объема жидкости, в предположении, что помимо сил давления и инерции, на среду действуют силы сопротивления Дарси (2.1) и «эффективной» сдвиговой вязкости, уравнения движения жидкости получены в виде:

дР

(дц_ ЗиЛ _Э_ ( й/ +г,'дх]удх1

М,

(4.3 "

Эх- Эх

(2.6)

где черточки сверху для средних значений скорости отброшены. Уравнения,

Рисунок 5. Плоский анизотропный гранулированный слой. Постановка задачи.

Рисунок 6. Профиль скорости течения Куэтта в плоском анизотропном гранулированном слое (плоская задача) для разных значений параметра хЬ.

Уравнения (2.6) допускают решение типа пограничного слоя, которое для случая плоской стенки имеет вид:

(2-9)

V 1 дх //а, V ) ох цаг

где компоненты ь"/ и о"г - компоненты скорости основного потока, определяемые законом Дарси, а 8- толщина пограничного слоя. Если величина <5 « Л, то формулы (2.9) можно

использовать для нахождения поля скоростей в пристеночной области круговой трубы радиуса К, когда упорядоченная укладка состоит из винтовых линий. С помощью уравнения (2.6) было также рассмотрено течение типа течения Куэтта, изображенное на рис.5. Показано, что в зависимости от значения параметра х могут реализовываться два крайних режима течения (рис. 6): при близкий к линейному профиль течения

реализуется в укладке, частицы которой по размеру сопоставимы с характерным размером поля течения. С уменьшением относительного размера частицы и увеличением происходит переход к типу течения с «застойной» зоной, жидкость в которой захватывается движущимся слоем только вблизи пластины.

Также было рассмотрено течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе длины Ь и радиуса К « Ь, заполненной гранулами типа колец Рашига. Было положено, что упорядоченная укладка имеет вид винтовых спиралей (рис. 7), и введена цилиндрическая система координат. Угол наклона спирали в к плоскости, проходящей через начало

координат и параллельной оси г, задавался так: tgв = аг, ш= у^, где г - расстояние от

центра трубы, а со- постоянная величина, характеризующая относительный угол поворота у/ торцевых сечений. Направления касательной и нормали винтовой линии являются направления главных осей тензоров коэффициентов анизотропии.

Рисунок 7. Течение в цилиндрической трубе (винтовая укладка). Постановка задачи.

Полагая, что течение в радиальном направлении отсутствует, а компоненты скорости в осевом ог и кольцевом направлениям зависят только от г, отличными от нуля остаются две компоненты тензора скоростей деформации и :

7)

Уравнения движения (2.9) в цилиндрической системе координат примут вид:

13, , дР 1 д / г \ _

=-^'ТГ^ -^0=0 (2.10)

Направления касательной и нормали винтовой линии являются направлениями главных осей тензора четвертого ранга коэффициентов «эффективной» вязкости и тензора коэффициентов в законе Дарси. Если обозначить главные значения этих коэффициентов через /?/ и/?2, а2 и сц соответственно, то уравнения (2.10) могут быть записаны так:

(гт„)+fi(a. -a,)sm0cos0-ut + ц[а, sin2 6+a. cos2û\, +— = 0 r dr dz

—~-{r2r )+fi(a¡ sm2 0+or2 cos2 é\tt +fi(a¡ -or,)sin0cosé'ni = 0 . r dr

а выражения для компонентов тензора напряжений примут вид:

г = - Д )sm0cosá-r—i — I +ц{в2 cos2 в+Д sin2 в)^-dr\ г ) дг

ЭР

(2.11)

Trf = м(Р2 sin2 в + Д cos2 )sm0cos0

(2.12)

Подставляя выражения (2.12) в уравнение (2.11), получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно двух искомых компонентов вектора скорости v¡ ,vv . Она имеет довольно громоздкий вид и мы ее здесь приводить не будем. Условие симметрии в центре и требование равенства нулю скорости на боковой поверхности трубы определяют двухточечную краевую задачу для

уравнений (2.11), (2.12) следующего вида: г = 0,—= = 0,r = R,u, =и, =0.

дг дг г

Решение данной краевой задачи было получено численными методами. Для численного решения задачи были выбраны следующие значения параметров: L = 1 0m,R = 0.5м,d = 0.635см,АР = 1 атм,ц = 1.808-10"' кг/м с,е = 0.32, и коэффициенты анизотропии среды: a, = 150(l-f)2/(<iV),a2 =2аг„Д =300,/?2 =2Д.

Решение рассматриваемой задачи может быть получено в простой замкнутой форме в приближении закона Дарси [16]. Для этого достаточно в уравнениях (2.11) положить х!Г = xrf = 0, после чего для компонентов v,, »,, найдем:

(2-13)

1 + ^а>2г2

V (1Р V = . (о-; -а,У* АР

* (] + а)2г2)ра, dz ' * ^ + ю1г2)цща1 I

где АР - перепад давления между концевыми сечениями трубы. На рис. 8, 9

приведены численное (сплошные линии) и аналитическое в приближении закона Дарси (пунктирные линии) решения для выбранных значений параметров и са=2 И (О=20. В центральной области трубы гидравлическое сопротивление потоку минимально и увеличивается с увеличением г. Как видно, на значительной части интервала численное решение и аналитическое решение упрощенного уравнения совпадают. Область вблизи стенки образует «пограничный слой», в котором учет членов эффективной вязкости необходим.

Рисунок 8. Профиль скорости течения в цилиндрической трубе, ч/=2.

Рисунок 9. Профиль скорости течения в цилиндрической трубе, w=20.

В третьей главе решена задача о течении в осесимметрическом радиальном цилиндрическом реакторе, во внутренней части которого гранулы среды образуют упорядоченную укладку. Рабочая область реактора заполнена гранулами катализатора

типа колец Рашига, уложенными регулярно вдоль плоских спиралей (рис. 10). Использование анизотропных укладок позволяет направленно изменять величину полного вектора скорости в зависимости от радиуса. В этом смысле наиболее эффективной является укладка, предложенная в [17] и соответствующая наиболее плотной «естественной» упаковке. Её срединная линия в полярной системе координат задается уравнением:

где а - параметр спирали, и обладает тем свойством, что расстояние, измеренное по нормали между двумя соседними спиралями, остается постоянным.

Рисунок 10. Линии укладки в радиальном осесимметричном реакторе.

Рабочая зона ограничена цилиндрическими поверхностями радиусов которые в действующих аппаратах представляют собой мелкозернистую сетку. При этом было положено, что порозность остается постоянной и не зависит от г. В полярной системе координат Г,<р поле течений не зависит от угла <р. Уравнения течения (2.6) могут быть записаны в следующем виде:

(3.1)

Р

Эг г др

1 ЭР

= 0

(3.2)

где компоненты тензора аг9, и ап являются коэффициентами сопротивления в законе Дарси, а 5г,е, тензор «эффективных» напряжений в полярной системе

координат для анизотропной среды. Из последнего уравнения (3.2) следует, что:

С

Ч =—»

г

(3.3)

где С - постоянная интегрирования, и тогда компоненты тензора «эффективных» напряжений запишутся в виде:

Э ( К

'п"рГ Ъг

(3.4)

где компоненты тензора коэффициентов «эффективной» вязкости в системе координат г, <р должны быть выражены через главные значения тензора коэффициентов «эффективной» вязкости вдоль касательной к линии укладки и нормали к ней. Полные выражения имеют довольно громоздкий вид и здесь не приводятся.

Для постановки краевых условий для уравнений (3.2) при г = Л/ и г = Я: определено поле скоростей во внутренней 0<г<Л, и внешней Яг <г<<*> зонах. Уравнения стационарного плоского течения вязкой несжимаемой жидкости (в полярной системе координат) записываются в виде:

Эиг VI дг г

р дг

д\ | 1 ЭУ, дг2 г дг г*

Э»,, ч»,

V—£■ +— —VI дг г

^ дг1 г дг г2) дг г

Получены решения уравнений (3.5) и, =Аг°,0<гйН,; иг=Вг~\1(2йг<°°-, Г2 Г2

(3.5)

(3.6)

(3.7)

г г

где А и В - постоянные интегрирования. Из (3.6) значения касательных напряжений

и скоростей на границах Л/ и получены в виде: «„(Я,) = ) = // = ^Г'(а~О-

г>, (л2)=вя? ,ггД*2)=- ^-'М-1).

(3.8)

(3.9)

В рабочей зоне третье из уравнений движения жидкости в анизотропной

среде (3.2) по прежнему допускает решение (3.2). Подставляя во второе уравнение (3.2) выражение для компоненты тгф из (3.4) и составляющую скорости ог из (3.2) получим для нахождения составляющей скорости обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Однако оно имеет довольно громоздкий вид и здесь не приводится. Это уравнение в общем случае может быть проинтегрировано только численным методом. Краевые условия для его интегрирования следуют из требования непрерывности компонент тгф и составляющей скорости на границах слоя гранулированной среды Л; и Я2, которые с учетом (3.4), (3.8) и (3.9) запишутся так:

= = Аг\с{р,= Аг^{а-\), (3.10)

г = Я2,иг =Вг-ь,фг-Д>2/?г/|-|^ = -ВЛ">(й + 1), (3.11)

где {¡г Рггпр, Р<р=Рпрчнр, АТакая двухточечная краевая задача позволяет найти значения констант А и В, определяющих поле течения в областях 0<г<Л; и Я2<г<°о соответственно, и численно построить распределение скорости в гранулированном слое. Вычислительная процедура существенно упрощается, если допустить, что вместо радиуса Я2 задана величина А. При таком подходе формулы (3.10) определяют задачу Коши, которая может быть без труда решена каким-либо численным методом. Условием окончания расчета является выполнение равенства:

с(Рг-Р,)+2Р,/У^ = -г{Ь + \Х приг=Я, (3.12)

которое следует из (3.12) после исключения постоянной В и позволяет определить радиус Л2 , соответствующий заданной величине А. После этого, первая из формул (3.11) дает В= Л?«!),//?^, что полностью определяет компоненту скорости ь9= ь9(г) во всем поле течения. Численное решение рассмотренной задачи было получено для следующих значений параметров: С=0.5м2/с, е=0.4, 0.05м, Л/ = 0.5м, р=раощ-х. р=1.7*10'5

кг/(м*с), р2222 - 4Рии, о.22=2ац. Предполагалось, что средними линиями укладок гранул являлось семейство спиралей (3.1), где параметр а был принят равным а=Л/ . При г= Я/ срединная линия спирали была перпендикулярен окружности г= Л; и гидравлическое сопротивление было минимальным, а по мере возрастания г стремилась к касательной к окружности г= Л.?. На рис. 11 приведены профили безразмерной скорости ,

рассчитанные с помощью полных уравнений (3.2) (сплошная линия), закона Дарен (штрих пунктирная линия) и закона Дарси с учетом сил инерции (пунктирная линия).

В области вблизи границы «закручивающее» действие среды на поток

уменьшается и все уравнения дают близкие значения скорости. В центральной области происходит поворот практически на 90° главных осей анизотропии относительно направления градиента давления, и влияние всех членов уравнений движения (3.2) существенно, что подтверждается значительным (в несколько раз) расхождением в профиле скорости 1)^(г) для разных моделей в этой области. Как видно, решение уравнения с учетом инерционных членов ближе к решению полной системы (3.2), чем течение по закону Дарси. Как следует из полученных решений, пренебрежение инерционными силами в законе Дарси может приводить к получению «завышенного» решения при малых значениях и «заниженного» решения при больших

Выводы:

1. Показано, что при течении в гранулированных средах жидкостей, имеющих неоднородное поле скоростей, возникает тензор «эффективных» вязких напряжений, по своей физической природе подобный тензору дополнительных напряжений Рейнольдса;

2. Найдена структура коэффициентов «эффективной» вязкости путем применения представлений о длине смешения Л. Прандтля. Из сравнения имеющихся

экспериментальных данных с результатами численного моделирования найден вид зависимости коэффициента «эффективной» вязкости от порозности среды в изотропном случае. Сформулированы условия, при которых эти коэффициенты не зависят от скорости потока. Показано, что эти коэффициенты превышают в сотни раз коэффициент динамической вязкости протекающей жидкости.

3. В анизотропном случае путем введения понятий тензора масштабов скоростей поперечного переноса и тензора длин смешений найдена структура анизотропных коэффициентов эффективной вязкости, образующих тензор четвертого ранга.

4. Выведена и проанализирована система уравнений движения, имеющая вид уравнений течения вязкой жидкости с объемными силами, пропорциональными скорости, содержащая в себе как частный случай закон Дарси. Показано, что наряду с известными безразмерными параметрами Эйлера, Струхаля, Прандтля и Рейнольдса существует безразмерный параметр Бо, характеризующий отношение сил пористого сопротивления Дарси к силам эффективной вязкости.

5. Решен ряд конкретных задач, имеющих практическое значение. Получены и проанализированы численные решения полной системы уравнений для анизотропных осесимметричных течений, соответствующих течениям в трубчатом и радиальном проточных реакторах, выполнено сравнение с аналитическими решениями упрощенных моделей.

6. Показано, что применение упорядоченных укладок позволяет направленно изменять параметры потока и удовлетворять определенным критериям оптимальности.

Литература:

1. Schwartz C.E., Smith J.M., Flow distribution in packed beds. // Ind.Eng.Chem., 1953, Vol.45, №6, p. 1209-1218;

2. Sato K., Akehata T. Flow distribution in packed beds. // Chem. Eng., 1958, Vol.22, №7, p.430-436;

3. Попов Е.К., Смирнова Е.В., Абаев Г.М., Стерн П.Г., Турунтаев СВ., Лычагин В.Ф. Проблемы исследования реакторов с неподвижным слоем катализатора. // Аэродинамика химических реакторов. Новосибирск, 1976, стр.65-71;

4. Кириллов В.А., Кузьмин ВА., Пьянов В.И. Ханаев В.М. О распределении скорости в неподвижном зернистом слое. // Академия наук СССР, 1957, №11, стр.89-98;

5. Гольдштик М.А. Процессы переноса в гранулированном слое. // Новосибирск, 1984, стр.163;

6. Вайсман A.M., Гольдштик МА. Динамическая модель течения жидкости в пористой среде. // Академия наук СССР, 1957, №11, стр.89-98;

7. Гремячкин В.М., Дементьев В.Н. Неоднородности распределения скорости в неподвижных зернистых слоях. // ТОХТ, 1994г., №2, стр. 212 - 217;

8. Григорян С.С., Дао Мин Нгок. Гидродинамические проблемы химических технологий. // М.: МГУ, 1979, стр. 161;

9. Гремячкин В.М. Неоднородности распределения скорости в аппаратах с неподвижным зернистым слоем. // ТОХТ, 1994г., №3, стр. 99-103;

10. Матюшенко В.К. Эффект регулярной укладки катализатора в трубчатых реакторах. // Гидродинамические проблемы технологических процессов, Москва, Наука, 1998г. стр. 32-42;

11. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. ОГИЗ Гостехиздат, Москва, 1947 г., стр.244;

12. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. // М. Наука, 1987, стр. 840;

13. Shirko I.V., Viscous properties of hydrodynamic flow in porous media. // Proceedings of Mechanics Forth Congress, 1981, Varna, Bulgaria, v.l, p.912-917;

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды // Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976, стр. 162.

15. Ширко И. В. Течение жидкости в анизотропных гранулированных средах. // Сб. Взаимодействие тел с границами раздела сплошной среды. Чебоксары. 1985 г., стр.85-91.

16. Shirko I.V., Parfus V.O. Flow distribution in nonhomogenious anisotropic packed beds. // Proceedings of the Second BIOT Conference on Poroumechanics, Grenoble, France, p.539-545,2002.

17. Shirko I.V., Sobakin S.V. Flow optimization in nonhomogeneous anisotropic granular medium. // Proceedings ofthe BIOT Second Conference on Poroumechanics, Grenoble, France, 2002, p.547-548.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Ширко И.В., Парфус В.О. Течение жидкостей и газов в неоднородных и анизотропных гранулированных средах. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Тезисы докладов XLIII научной конференции МФТИ, Москва, 2000г.

2. Ширко И.В., Парфус В.О. Течение несжимаемой жидкости или газа в неоднородной и анизотропной гранулированной среде. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Тезисы докладов XLIV юбилейной научной конференции МФТИ, Москва, 2001г.

3. Ширко И.В., Парфус В.О. Радиальное течение в анизотропных гранулированных средах. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Тезисы докладов XLV научной конференции МФТИ, Москва, 2002г.

4. Shirko I.V., Parfus V.O. Flow distribution in nonhomogenious anisotropic packed beds. // Proceedings of the Second Biot Conference on Poroumechanics, Grenoble, France, p. 539-545, 2002.

5. Ширко И.В., Парфус В.О. Тепломассообмен в анизотропных зернистых слоях. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Труды XLVI научной конференции МФТИ, Москва, 2003г.

6. Ширко И.В., Парфус В.О. Вязкие свойства течений несжимаемой жидкости в анизотропной и неоднородной гранулированной среде. // Теоретические основы химических технологий. Т.38, №6, стр.630 - 642, 2004.

1124 9 75