Вычисление эффективных диэлектрических и проводящих характеристик случайно-неоднородных текстурированных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

0046 Г^®*

На правах рукописи

ЛАВРОВ ИГОРЬ ВИКТОРОВИЧ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ПРОВОДЯЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ ТЕКСТУРИРОВАННЫХ СРЕД

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010 ^ ] НОЯ 2010

004612386

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика №2»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ИВАНОВ Евгений Николаевич

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор САВЁЛОВА Татьяна Ивановна

доктор физико-математических наук,

профессор ФОКИН Александр Георгиевич

Ведущая организация:

Объединённый институт ядерных исследований (ОИЯИ), Лаборатория нейтронной физики им. И.М.Франка (г. Дубна)

Защита состоится « // » //^ 2010 г. в ■-''""часов

на заседании диссертационного совета Д7212.134.03 в Московском государственном институте электронной техники (техническом университете) по адресу: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электронной техники.

Автореферат разослан « » . ^¿/.^^_2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор ----—"" ^—Яковлев В.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Неоднородные материалы, в том числе поликристаллы, стёкла различной природы и дисперсные системы, композиты и нанокомпозиты, используются во многих областях человеческой жизнедеятельности. В частности, в микро- и наноэлектронике широчайшее применение находят пористые структуры на кремнии и углероде, а также тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. При стремительном уменьшении размеров элементов интегральных схем появляются новые специфические требования к свойствам таких материалов, например, высокая диэлектрическая проницаемость у диэлектрика в затворе и, наоборот, низкая у подложки в интегральных схемах. Также возрастают требования к обеспечению точности воспроизводимости их характеристик, поэтому изучению упругих, оптических, электрических, теплопроводящих и других свойств неоднородных материалов уделяется большое внимание.

Задачи теоретического исследования физических свойств неоднородных сред, например, эффективных диэлектрической проницаемости и проводимости, относятся к числу классических, поскольку многими исследователями, еще начиная с конца 19 века, предлагались свои варианты решения этих задач. Так, Максвелл вычислил электрическое сопротивление среды, состоящей из проводящей матрицы и погруженных в нее случайно распределенных проводящих сфер при их низкой объемной доле. Рэлей рассмотрел аналогичную задачу для матрицы с погруженными в нее сферами, образующими кубическую решетку. О.Винер нашёл эффективную проводимость среды, состоящей из плоских однородных и изотропных слоев. Бруггеман, а позже Ландауэр, применив идею самосогласования, вычислили соответственно эффективные диэлектрическую проницаемость и проводимость симметричной среды, состоящей из частиц сферической формы двух видов. Вышеперечисленными авторами были заложены основы различных вариантов подхода эффективной среды, которые затем объединил и обобщил Д.Страуд в работе [11], где также в качестве одного из примеров вычислена эффективная проводимость поликристаллической среды, состоящей из одноосных сферических кристаллитов одного типа с равномерным распределением их ориентаций в пространстве. Позже Ю.Хелсинг и А.Хелте в приближении среднего поля решили аналогичную задачу для поликристалла, состоящего из сферических двуосных кристаллитов с равномер-

ным распределений ориентаций в пространстве. О.Леви и Д.Страуд [9] применили приближение Максвелла-Гарнетга для вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала, состоящего из однородной изотропной матрицы и анизотропных сферических включений одного типа, ориентированных в пространстве по некоторому вероятностному закону; окончательные вычисления производились для случая одноосных включений. Существенный вклад в исследование макроскопических свойств случайно-неоднородных сред внесли В.И.Оделевский, В.М.Финкельберг, Н.Ьооуе1ща, г.НазЫп, 8.8Ыпктап, М.Вегап, 1Мо1упеих, М.ММШег, Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, З.КМрайтск, 1В.Ке11ег, А.М.Дыхне, А.Г.Фокин, Т.Д.Шермергор, Б.Я.Балагуров, О.ХВе^тап, вЛУ.МШоп, А.П.Виноградов.

И все же, несмотря на обилие работ по данной тематике и разнообразие моделей неоднородных сред, ощущается недостаток теорий, в которых рассматриваются системы с частично упорядоченными ориен-тациями их составляющих. Между тем, исследования показывают, что многие реальные материалы являются текстурироваными, т.е. ориентации текстуры формы и кристаллографической текстуры их составляющих распределены по некоторому вероятностному закону. В связи с этим представляется актуальным построение теорий для объяснения физических свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

Изучение влияния ориентаций составляющих неоднородной среды на её эффективные свойства без привлечения специальных методов является нелёгкой вычислительной задачей даже для таких сравнительно простых включений, как сфероид из изотропного материала или шар с одноосным тензором физического свойства, ориентация которых задаётся двумя скалярными параметрами. Но если включение (кристаллит) является эллипсоидом общего вида или анизотропным двуосным шаром, для задания его ориентации требуются как минимум три скалярных параметра (например, углы Эйлера), поэтому видится необходимым использование в данном случае теории представлений группы вращений 80(3) трехмерного пространства, нашедшей широкое применение в теории вращательных стохастических процессов [4], а также при исследовании текстур материалов [2, 7]. Дополнительное преимущество использования аппарата теории представлений группы 80(3) состоит в том, что в выражении для решения при произвольной плотности распределения ориентаций включений участвуют обобщенные сферические функции, а плотность распределения ориентаций часто запи-

сывают в виде ряда по обобщенным сферическим функциям, что позволяет значительно упростить аналитические выражения.

В ряде случаев текстуру случайно-неоднородной среды можно считать аксиальной, например, если формирование материала происходит под влиянием внешнего однородного поля, в частности, при напылении плёнок. В случае произвольной текстуры соответствующее ей распределение ориентации составляющих среды аппроксимируют суперпозицией канонических нормальных распределений на 80(3) [2, 7], поэтому представляется актуальной возможность обобщения решения на среды со сложными текстурами, т.е. с распределением ориентаций составляющих, являющимся суперпозицией нескольких модельных распределений.

Поскольку в реальных случайно-неоднородных средах форма включений так же, как и ориентация, является случайной, необходимы модели, учитывающие эту случайность. В силу чрезвычайной сложности задачи для произвольной формы включений, на первых этапах несомненную пользу могут принести модели, в которых форма включений является случайной величиной в рамках эллипсоидальной с малым разбросом вокруг некоторой усредненной формы.

Цель работы

1. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурирован-ного композиционного материала как функций компонент тензоров диэлектрической проницаемости изотропной матрицы и эллипсоидальных анизотропных включений, формы и объемной доли включений, а также параметров распределения ориентаций включений.

б) Обобщить метод решения данной задачи на композиты со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

в) Обобщить метод решения задачи на материалы со сложными текстурами, в которых распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

2. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент тензора эффективной проводимости текстурированной поликристаллической среды как функций компонент тензоров проводимости кристаллитов, а также параметров распределения ориентаций их кристаллографических осей.

б) Получить в явном виде аналитическое решение задачи (в неко-

тором приближении) для специальных случаев распределения ориента-ций кристаллитов или значений компонент тензоров проводимости кристаллитов.

Научная новизна работы

- Приближение Максвелла-Гарнетта обобщается для аналитического решения задачи о нахождении тензора эффективной диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды с включениями эллипсоидальной формы, ориентации которых распределены по вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры.

- Для преодоления вычислительной сложности учёта ориентаций включений используется теория представлений группы 80(3) - метод разложения симметричного тензорного представления 2-го ранга в прямую сумму неприводимых представлений весов 0 и 2.

- Приближение эффективной среды обобщается для решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды, состоящей из кристаллитов, ориентированных в пространстве по вероятностному закону, предполагающему наличие аксиальной текстуры. В случае двуосных кристаллитов применяется теория представлений группы 80(3).

Достоверность полученных результатов

Построенные теории в асимптотических случаях согласуются с разработанными ранее соответствующими теориями; полученные аналитические решения в рамках своей применимости дают результаты, совпадающие с численными расчётами для более общей модели.

Практическая и научная значимость работы

- Построенные в настоящей работе модели случайно-неоднородных сред с текстурой и разработанные методы расчёта тензоров их эффективной диэлектрической проницаемости и эффективной проводимости представляют собой аппарат для прогнозирования эффективных диэлектрических и проводящих свойств текстурированных композитов и поликристаллов в зависимости от распределения ориентаций и формы их составляющих, что может быть использовано в микро-и наноэлектронике при конструировании материалов с желаемыми физическими характеристиками.

- Поскольку при условии линейности случайно-неоднородной среды уравнения, описывающие процессы взаимодействия электрического или магнитного полей с макроскопической средой, а также распростра-

нения электрического тока или тепла в веществе, имеют один и тот же вид, то полученные результаты могут быть перенесены для исследования эффективных магнитных и теплопроводящих свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

- Полученные в работе выражения для компонент тензоров эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных текстурирован-ных материалов могут быть использованы для прогнозирования оптических свойств таких материалов в инфракрасном диапазоне, например, спектров поглощения, отражения и пропускания тонких плёнок.

- Результаты данной работы могут послужить отправным пунктом для создания теорий более сложных моделей случайно-неоднородных сред с текстурой, с учётом нелинейностей, конечного размера включений, более общей их формы и ориентации тензора их физического свойства внутри включения.

- Полученные результаты могут быть применены для оценки параметров распределения ориентаций составляющих случайно-неоднородных сред, т.е. величины разброса или степени макроскопической анизотропии, что в перспективе может быть использовано для создания дешёвых тензодатчиков.

Основные научные положения, выносимые на защиту

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала с текстурой, состоящего из однородной изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных включений, основанный на приближении Максвел-ла-Гарнетта и использующий теорию представлений группы 80(3).

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композита со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала со сложной текстурой, в котором распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

- Метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллического материала с текстурой, основанный на приближении эффективной среды и использующий теорию представлений группы 80(3) (для среды, состоящей их двуосных кристаллитов).

- Аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристалла с текстурой для следующих случаев:

при слабо анизотропных кристаллитах; при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры; при слабой макроскопической анизотропии среды.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертационной работы были представлены на:

- IX Международной конференции «Опто-, наноэлектроНика, на-нотехнологии и микросистемы» (Ульяновск, 2007);

- V, VII Международных конференциях «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2008,2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в перечисленных в конце рукописи десяти работах, в том числе 5-ти статьях из списка рекомендованных ВАК журналов для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Личный вклад автора

Автором настоящей работы самостоятельно получены все результаты глав 2 и 3, за исключением пунктов 2.1.1, 3.1.1.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и девяти приложений. Работа содержит 167 страниц, 34 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 171 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сообщаются общие сведения о работе: актуальность, цель, научная новизна, структура и т.д.

1. В первой главе даётся обзор теоретических исследований эффективных диэлектрических и проводящих свойств неоднородных сред, а также элементарные сведения об аппарате теории представлений группы БО(3), о некоторых специальных видах координат и распределений.

В первом параграфе данной главы делается краткий обзор исследований свойств неоднородных сред, начиная с работ Максвелла, Рэлея, Винера и до настоящего времени; более подробно изложена теория Бруггемана.

Во втором параграфе изложено приближение Максвелла-Гарнетта (МГ) [1, 9], один из наиболее широко применяющихся методов вычисления эффективной диэлектрической проницаемости неоднородной

среды. Приближение МГ применяется, когда один из компонентов среды можно рассматривать в качестве однородной матрицы, в которую погружены остальные компоненты, и включает точное вычисление поля (Еи), индуцированного в матрице отдельными эллипсоидальными

включениями, и приближенную оценку искажения этого поля вследствие электростатического взаимодействия включений между собой [9]. Приближение МГ учитывает средний эффект этого взаимодействия, поле (Ет) рассматривается как эффективное поле, действующее на

включения, и связь между ним и средним полем {Е^} внутри к -го включения, как предполагается, имеет вид [1]

(Щ(х)) = Цк)(Ет(х)), (1.1)

где Цк) - такой же тензор, как и для отдельно взятого включения, помещённого в матрицу с однородным полем (Еш (х)} ; при совпадении геометрических осей эллипсоидального включения с главными осями его тензора £к диэлектрической проницаемости главные компоненты тензора Х(к) равны [1]

Х)=гт[гт+Ь^г)-гт)Г\ (7 = 1,2,3), (1.2)

где £у,7 = 1,2,3 - главные компоненты тензора ек ; ет- диэлектрическая проницаемость матрицы; Lj— коэффициенты деполяризации [1, 6],

¿у =Е^](^2 + дГ1[(д + а{2)(д + а22)(д + аъ2)]~тс1Ч, /=1,2,3, о

а, = а, а2 = Ь, а3 = с - полуоси эллипсоида.

К достоинствам приближения МГ можно отнести то, что оно, в отличие от подхода эффективной среды, позволяет верно предсказать наличие оптических аномалий (например, пиков поглощения) в системах, состоящих из изолятора и проводника. Также несомненным преимуществом приближения МГ является возможность получить во многих достаточно общих случаях искомое выражение для эффективной константы среды в явном виде. Недостатком его, как считалось до недавнего времени, является сравнительно невысокая объёмная доля включений, при которых подход МГ может давать результат с достаточной степенью точности, однако недавние исследования (например, [10]) показывают, что верхний порог доли включений для некоторых сред оказывается

равным » 0,3, т.е. для многих реальных композитов применение подхода МГ вполне оправдано.

В третьем параграфе изложен обобщённый подход эффективной среды (ЭС) Д.Страуда [11], который может быть применён для вычисления эффективных характеристик как поликристалла, так и композита с высокой долей включений.

Пусть к границе 5 образца неоднородной проводящей среды объёма V , характеризующегося пространственно изменяющимся тензором электропроводности ст(х), приложено постоянное электрическое поле Е0. Проводящая среда считается статистически однородной, т.е. плотность распределения тензора о(х), рассматриваемого как случайная величина, не зависит от х. Тогда тензор ое эффективной проводимости среды (не зависящий от х) определяется уравнением 0) = ае(Е), где ) - плотность тока; следует заметить, что (Е) = Е0. Тензор с(х) проводимости среды в точке х может быть представлен в виде

о(х) = ов+5о(х). (1.3)

Уравнения стационарного тока V ■ ^ - 0, V х Е = 0 с учетом (1.3) и того, что .¡(х) = ст(х)Е(х), приводят к краевой задаче для потенциала ф(х) :

У-оеУф(х) = -У-6оУф(х), хеУ; ф(х) = ф0 (х) е -Е0 • х, хе£ , (1.4) функция Грина С(х, х') которой вводится условиями

V • аеV С(х, х') = -5(х - х'), х, х' е V; в(х, х') = 0, х' е Я . (1.5) Пусть рассматриваемый образец среды является поликристаллом или композитом, с постоянным значением а, тензора проводимости внутри г -го кристаллита. Приближение подхода ЭС состоит в замене параметров реальной среды, окружающей данный кристаллит, на эффективные значения этих параметров для целого образца этой среды. Если кристаллиты имеют форму эллипсоидов, то, как показано в [11], метод самосогласованного решения как вариант обобщенного подхода ЭС приводит к следующему уравнению для нахождения ое:

((1-(о-ов)-Г)"1-(о-ое)) = 0, (1.6)

где Г = Г| - тензор, связанный с г -м кристаллитом

Г,=-с#Л2х'(УО(х,х'))п', (1.7)

S'j - поверхность i - го кристаллита, n' - внешняя нормаль к S1,'. Зависимость компонент rf от точки х отсутствует, так как при V -» оо G(x, х') -> G(x - х') [ 11 ].

Вычислительная сложность подхода ЭС значительно выше, чем у МГ, поскольку, если среда в целом получается анизотропной, уравнение (1.6) - тензорное, включающее операцию усреднения обратной матрицы, поэтому получение его аналитического решения в явном виде (в некотором приближении) возможно только в специальных случаях при значительных ограничениях на область изменения параметров, характеризующих составляющие неоднородной среды, их объемные доли и статистическое распределение ориентаций в пространстве. Тем не менее, важность аналитических решений, полученных для таких специальных случаев (например, при слабо анизотропных кристаллитах, при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры или при слабо неравномерном распределении) несомненна, поскольку они позволяют качественно исследовать зависимость эффективных свойств случайно-неоднородной среды от параметров её составляющих.

В четвёртом параграфе первой главы приводятся сведения о теории представлений группы SO(3). Вращения g в трёхмерном пространстве образуют трёхпараметрическую непрерывную группу SO(3) [3]; в качестве параметров используются углы Эйлера у,8,ф со следующей схемой поворотов (в неподвижной системе): 1) поворот g2 (ф) вокруг оси Oz на угол ср ; 2) поворот gx (0) вокруг фиксированной оси Ох на угол 6; 3) поворот gz (у) вокруг фиксированной оси Oz на угол у.

Говорят [3], что задано представление Tg группы G, если каждому элементу g группы соответствует линейное преобразование Tg в

некотором линейном пространстве R и выполняются соотношения Т Т -Т Т=/

s\ s2 sm' е

Представление называется неприводимым, если в R нет собственных подпространств, инвариантных относительно всех преобразований данного представления. Всякое неприводимое представление группы SO(3) определяется некоторым целым или полуцелым числом / (весом представления); размерность пространства R{V>, в котором действует Т(!), равна 2/+1 [3]. Матричные элементы Tl„(y,б,ф) неприводимого

представления веса 1 группы S0(3) называются обобщенными сферическими функциями и вычисляются с помощью выражения [3]

Г1(уАф)=е-'^,,(сosBK'X т,п=-1,-1+\,...,1, (1.8)

PL (>i) =А (1-ц)-("-т)/2 (1+ц)-<"+тУ2 (1+ц)'*»],

(-l)'~mi"-m í(l-m)\(l + n)\ (L9)

~ 2'(/-т)! у(/ + /и)!(/—и)!'

=0,1,2,...,т,«=-/,...,/ образуют полную ортогональную систему; функции на SO(3) могут быть разложены в ряд Фурье по ним:

00 I

/(g)=I I cLTLte).

1=0 m,n=-l

Произвольное симметричное тензорное представление 2-го ранга группы S0(3) раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений весов 0 и 2. Рассмотрим две системы координат Oxyz и

О^т)^ , пусть система Oxyz имеет ориентацию g = g(a,p,y) относительно 0£,r¡C,. Тогда компоненты симметричного тензора А в этих системах связаны соотношениями 2

J s=-2

2 2 + «Í2=eái =4 Z (1-10)

J j=-2 s=-2

2 2

~r=-2 ~t=-2

где D=an +a22 +%з. á±2 =(«11 -an)/^ia\2 > ¿±i =+ai3 +г'«23. «о =7з/2а33; аа,а'а,к,1-\2,Ъ - компоненты тензора А в Oxyz и О^пС соответственно. Вывод закона преобразования (1.10) даётся в одном из пунктов четвёртого параграфа первой главы и в приложении 3. В приложении 2 доказывается ещё одно свойство обобщенных сферических функций, связанное с симметрией эллипсоида (тройки (уДф) и (л + л - 0, я - ф) задают ориентацию одного и того лее эллипсоида):

^тп (л + V, л - 0, я - ф) = (ц/, 0, ф). (1.11)

В пятом параграфе главы 1 приводятся сведения о координатах

Бельтрами [5] точки на единичной полусфере и некоторых видах распределений. Координаты Бельтрами произвольной точки М единичной полусферы - это координаты т]) проекции т. М из центра О полусферы на плоскость, касательную к полусфере в её полюсе. Связь между (£,г|) и сферическими координатами (0,ф) т. М дается формулами ^=tg0cos9, Л = tg0sincp. Если координаты Бельтрами т. М

имеют гауссово распределение с дисперсией s2, т.е.

/(^)=(27i52r1exp[-0,5i-2(^+T12)], (1.12)

то ее сферические координаты (0,ф) будут распределены по закону

/(0,ф)=/(8)/(2я), 0йЪ<п/2, 0<ф<2я, (1.13)

где /(0) - плотность распределения углов 0 :

/(0) = s'1 cos"2 0 tg 0 ехр[-0,5 s~2 tg2 0], 0 < 0 < тг/2, ■ (1.14)

причём s2 для распределения (1.14) имеет смысл половины начального момента второго порядка случайной величины tgQ .

Плотность равномерного распределения на сфере имеет вид

/(0,ф) = sin0/(4n), 0 < 0 S тс, 0 < ф < 2я . (1.15)

В качестве модели слабо неравномерного распределения, обладающего вращательной симметрией бесконечного порядка относительно оси Oz и симметрией относительно плоскости Оху , можно взять

Л(0.ф) = /в(0)/(2я), O<0<7t/2, 0<ф<2п, (1.16)

где у§(0)=(е5 -l)_15e5cos0sin0, 0<9<л:/2 ,

8 - параметр, характеризующий степень неравномерности распределения. Величина 5/2тс примерно равна разности между плотностями распределения на единицу площади единичной полусферы на полюсе и на экваторе. По своему физическому смыслу (1.16) является распределением Больцмана диполей в однородном электрическом поле.

При одноосных текстурах влияние распределения ориентации кристаллитов на эффективные константы среды сказывается посредством интегралов вида

Ф к/г

/,= J cos2 0Д0У0, /2= Jcos40/(0)i/0. (1.17)

о о

Если /(0) определяется выражением (1.14), то при малых s2 (<0,04)

значения /,, /2 хорошо аппроксимируется выражениями

I{*l-2s2, I2*1-4s2, (1.18)

что подтверждается расчетами в среде MATLAB. При слабо неравномерном распределении с плотностью /(9) вида (1.16) при малых 5 имеем

/,«1/3 + 5/12. (1Л9)

Нормальные распределения (НР) на SO(3) - это предельные распределения, к которому стремятся распределения ориентаций тела при случайных вращательных блужданиях [2]. Частным случаем НР с одним параметром р является центральное нормальное распределение (ЦНР). Разложение плотности ЦНР по обобщённым сферическим функциям имеет вид (с учётом множителя sin 9 инвариантной меры)

í TÜS). (1.20)

2. Во второй главе предлагается метод нахождения компонент тензора £е эффективной диэлектрической проницаемости композитов, состоящих из матрицы с эллипсоидальными включениями, как функций компонент тензоров диэлектрической проницаемости составляющих этой среды, доли включений в общем объеме, а также параметров, описывающих их форму и распределение ориентаций в пространстве. Этот метод основан на приближении МГ [1, 9] и использует теорию представлений группы SO(3). В первых двух параграфах главы 2 рассматривается базовая задача - для среды с изотропными включениями фиксированной формы, которая в четвёртом параграфе обобщается на среду с анизотропными включениями; в третьем параграфе метод обобщается на среду с изотропными включениями случайной эллипсоидальной формы, близкой к сферической; в четвёртом параграфе рассматривается также обобщение задачи на случай сложных текстур.

Рассмотрим композиционный материал, состоящий из однородной изотропной матрицы с диэлектрической проницаемостью ет и однородных анизотропных включений (кристаллитов) одного типа, имеющих эллипсоидальную форму, причём главные оси тензора Е/с диэлектрической проницаемости для каждого кристаллита совпадают с его геометрическими осями. Доля включений в общем объёме материала предполагается не превышающей 0,3. Кристаллиты ориентированы в пространстве по некоторому вероятностному закону, обладающему

трансляционной инвариантностью и подразумевающему наличие выделенных направлений - осей текстуры.

Тензоры эффективных диэлектрической проницаемости и восприимчивости композита ге и хе определяются соотношениями

<D(X))=E6<E(X)), (Р(х))=:е0Хе(Е(х)), (2.1)

где (Е(х)), (D(x)} и (Р(х)) - электрическое поле, электрическая индукция и поляризованность, усреднённые по некоторому объёму V, окружающему точку х и содержащему большое число включений; е0 -электрическая постоянная. Связь между £е и имеет вид £е=£о(1+Хе)> гДе I _ единичный тензор. Объем V складывается из объемов матрицы и всех включений, входящих в состав V , так что

(Е(х)) = (1 - d)(Em (х)) + d\w{k)(Kk (:i))dk , (2.2)

где d - объёмная доля включений; (Ет (х)) - среднее поле в матрице внутри объёма V ; (Ед-(х)) - среднее поле внутри включения, описываемого параметром к, который содержит в себе все величины, характеризующие эллипсоид: форму, объём, тензор диэлектрической проницаемости и ориентацию; w(k) - распределение вероятностей включений с параметром к. Следует заметить, что параметр к может содержать как непрерывные, так и дискретные компоненты, поэтому интеграл в (2.2) следует понимать в обобщённом смысле: интегрирование по непрерывным и сумма по дискретным компонентам. Аналогично, для усреднённого вектора поляризованности имеем:

(Р(х)) = (1 - d){Vm (х)) + d ■ ¡w(k)(Р^ (x))dk . (2.3)

Матрица и включения описываются уравнениями связи

(Ря (х)) = sоХт (Е„ (х)), (Р* (х)) = еоХк (Е* (х)), (2.4)

уж — Emjsq — 1, yjç-ZkjeQ-I - восприимчивости матрицы и включений.

Основное предположение в данной модели состоит в том, что поля (Efc(x)} и (Ет(х)) связаны линейным соотношением (1.1), т.е.

(Е^ (х)) = Цк)(Ет (х)), где главные компоненты тензора Ц/с) = определяются из (1.2). Подставляя (2.1), (2.2), (2.4), (1.1) в (2.3) и выражая £е, получим:

£е = [(1 - d)em I + d ■ (к)] • CCI -d)I + d- (X)]-1, (2.5)

где = - тензор, связанный с к -м кристаллитом, с главными

значениями (в силу совпадения главных осей тензоров z¡¡ и X¡¡)

к'и а к;- = е} Ц = е} ет[гт +Ц{г\ - гт)]~1, (¿ = 1,2,3); (2.6)

(к} = ¡w(k)ekXkdk, (X) = ¡w(k)Xkdk . (2.7)

Если (X) и (к) - диагональные, то Ес также будет диагональным с компонентами

(ее)д = [(1 -d) гт + d • (к,-,)] [(1 -d)+d-(Хц)]-1 , i = 1,2,3. (2.8) Если все кристаллиты имеют подобную эллипсоидальную форму, то у них одинаковы компоненты тензоров Х(к) и к (к) в собственной системе главных осей О^цС,. Но в системе координат Oxyz, связанной с текстурой композита, компоненты этих же тензоров зависят от ориентации кристаллита относительно Oxyz. Поэтому, чтобы из (2.5) получить тензор Ее, необходимо произвести усреднение тензоров Х(к) и к (к) по всем ориентациям кристаллитов в системе Oxyz; w(k) в (2.7) есть плотность распределения ориентаций кристаллитов в системе Oxyz, т.е. w(k) з /j>(\)/', 0', tp') = p(g'), где у',9',<р' - углы Эйлера поворота g' от Oxyz к О^лС в системе Oxyz , интегрирование производится по всей группе SO(3). Объёмная доля dV/V^ кристаллитов (от суммарного объёма Vk всех кристаллитов внутри объёма V композита), ориентации которых принадлежат элементу объёма угловых параметров ¿3co'=[v|/;i|/+éA|/]x[9';0'+й©']х[ф';ф'+с/ф'], равна dV¡Vk = /?(i¡/,0>w^v; подразумевается, что в составе p(g') учтён множитель инвариантной меры sin 0'; в силу симметрии эллипсоидов и линейности электрических свойств среды p{g') должна удовлетворять соотношению

р(ц>', 6', ф') = р(71 + цг',п-д',л- ф'). (2.9)

Компоненты Ху , к у (/, j = 1,2,3) тензоров Х(к) и к (к) в системе Oxyz определяются выражениями (1.10), поэтому формулы для компонент (Ху^ и (ку^ в системе координат Qxyz имеют вид п 2 2 Л л/2 2л

= ~ + 2 «i W \dff ¡dy'p{g')x'

xlT¿(g') + Tl(g') + (-l)k^T¿(g')], /с = 1,2,

л /о" 2 2% V2 2л

2 ^ К (2.10)

4 ^=-2 ООО

2 2я V2 2тс г ,

<а12) = <а21> = «' I № №

*=-2 ООО

2 2я V2 2тг

<аи> = (а3*> = Н/-1 X а; ¡¿у' {¿б' |Лр>(я')х

¿=-2 О О О

+ к -1,2,

где Ш . = .....1 - обобщенные сферические функции;

£> = 0.1 + 0,2+аз; ау,а),а'т (/,/ = 1,2,3, т = -2,...,2) суть Ху,Х^-,Х'т (если вычисляются (Х/у^)или ку ,к'т (если вычисляются (к.у^);Х'т,к.'т, пг = -2,...,2 равны:

Х'±2=(Х{-Х2)12, Х'о=(2\'3-Х[-\'2)/4б,

В (2.10) учтены свойства (2.9) и (1.11), поэтому интегрирование по 0' ведётся от 0 до л/2 с удвоением результата.

Таким образом, решение задачи по нахождению тензора ее композита, состоящего из матрицы с диэлектрической проницаемостью ет и включений, имеющих подобную эллипсоидальную форму и тензор диэлектрической проницаемости ориентированных случайным образом с плотностью р(\|/,0',ф'), даётся выражением (2.5) (или (2.8), если тензоры {%) и (к) - диагональные), где (Ху) и (ку} определяются из формул (2.10), которые особенно удобны, если /?(\|/',0',ф') представлена в виде ряда Фурье по обобщённым сферическим функциям.

При изотропных включениях ~в1) формулы (2.8) переходят в

(ее)и =[(1-с1)гт + с1Е{Хи)] [(l-d)+d■(Xii)r^, / = 1,2,3 . (2.11) Рассмотрены многие частные случаи задачи: при сфероидальных включениях, в том числе при тонких иглах и дисках и сфероидах, близких по форме к шарам; при распределениях ориентаций включений, соответствующих аксиальным текстурам, а также; при канонических нормальных распределениях. Например:

1. Если распределение ориентаций включений обладает аксиальной симметрией относительно оси текстуры, а также не зависит от ср', т.е.

р&')=рт*(*к2г1/т, (2.12)

тогда компоненты тензора £е в системе Охуг равны

4(1 - ¿)ет + <Ц(к\ +. к'2 )(1 + 1Х) + (1 - 7,)]

(рл = 2№)ет+а[(к[ + к'2)0-/г) + 2К&] , , _ ^ е;эз 2(1 -¿) + ¿[(М + Г2)(1-/,) + 2ВД ' 1 ' 7'

где интеграл /1 определяется из (1.17); Ц и К/ - из (1.2) и (2.6) соот-ветстввенно.

1.1. При равномерном распределении (/] =1/3) из (2.13) следует, что среда - изотропная со скалярной диэлектрической проницаемостью

_ 3(1 - ¿/)ет + ¿/ • (к! + к'2 + К3)

В частном случае одноосных шаров (Ц =1/3 , ъ\ = е2)

_ ^ I т

ш -

)(2е + е3) + (е3 _ )(2е т е и (1-й?)(2ет+е'1)(2Ет+е^) + й?-Ет(б8т+Е'1+2е^)' что соответствует результату, полученному в [9].

1.2. Если включения являются тонкими изотропными дисками, тогда Х, = = 0 , ¿з = 1, А.[=Х,2=1 , Ц=гт/е,

'(в \ Л _с , ^•(в-ест)[(Е + Ет) + (Е-£и)/1] 0*)„-(евЬ-еи+ ^^З^хГГ^) '

При равномерном распределении получим:

о ~/Р ч -р ,</-(е-еи)(2е + ем) ,

ев=(ее)й-еи+ Зе_^.(е_0 ■ (2-15)

2. Пусть изотропные включения общей эллипсоидальной формы

имеют центральное нормальное распределение ориентаций с плотно-

стью (1.20), то £е - трёхосный диагональный с компонентами

¿(Е-Ет)[Д + (31;.-£>)ехр(-бр2)]

3(\-с1) + Л[П + (Щ - £>)ехр(-бр2);

где О^Ц+Х2 • Для сфероидов £е становится одноосным.

рНР2)]' ■/=и3; (2Л6)

Замечание 1. При выводе формулы (2.5) диэлектрическая прони-, цаемость исчислялась в абсолютных единицах системы СИ, однако во все выражения для компонент тензора £е она входит в виде однородной функции первой степени, поэтому полученные формулы справедливы и для относительных диэлектрических проницаемостей.

Замечание 2. Полученные результаты справедливы также для комплексной диэлектрической проницаемости е(ю) = ед (1 + %(а)) + г ст(ю)/со в переменном электромагнитном поле при условии, что размеры включений и расстояния между соседними включениями значительно меньше длины волны этого поля [1].

На основе формул (2.13) в среде МАТЬАВ были проведены модельные расчёты эффективной диэлектрической проницаемости для композита с политетрафторэтиленовой матрицей (гт = 2) и эллипсоидальными изотропными включениями из свинцовосиликатного стекла (е = 11,5) при й- 0,3, различных относительных размерах полуосей

a,Ъ (при с = 1) включений и различных величинах разброса в ориента-циях их осей С, относительно главной оси текстуры; плотность распределения ориентаций включений принималась в виде (2.12), с плотностью (1.14) распределения углов 9'.

На рис. 2.1 представлен трёхмерный график зависимости эффективной диэлектрической проницаемости ее композита с данными компонентами от относительных размеров полуосей а,Ъ включений при равномерном распределении ориентаций последних. Величина ге композита отложена по вертикальной оси. Вычисления показали, что минимальное значение ее достигается при а=Ь-1, т.е. при сферической

форме включений. При стремлении к нулю одной из полуосей а или Ъ значение ее практически не зависит от величины другой полуоси, что выражено на рис. 2.1 горизонтальными краями поверхности при а=0 или Ь=0. Это объясняется тем, что НтХ[ =1, 1ш1£2 = Пт2,3 =0 при

а-* 0 0 а-> О

b,сф0 (Шп£2=1, НтХ, =НтХ3 =0 при я,с*0). Максимум ее (при

ь->о ь-> о ь->о

условии е>ет) наблюдается, когда одна из полуосей равна 0; размеры двух других, не равных 0, не влияют на величину этого максимума, значение которого даётся выражением (2.15).

Сечение: полуось а=0,1

2 3 4 5 6 7 8

полуось Ь

Рис. 2.4. Зависимость компоненты (ее)33 от размера полуоси Ь включений при различных значениях ; величина полуоси я = ОД < ат]п.

15

полуось а полуось Ъ

Рис. 2.1. Зависимость ее композита (еот=2, 6 = 11,5, ¿ = 0,3) от полуосей а,Ь (с = 1) включений при равномерном распределении их ориентаций.

Сечение: полуось а =0,1645

полуось Ь

Рис. 2.3. Зависимость компоненты (ее)зз от размера полуоси Ъ включений при различных значениях $г ; величина полуоси а = 0,1645 = ат;п.

е о о

N

0 1 2 3 4 5 6 полуось Ь

Рис. 2.2. Зависимость компоненты (ее)33 от полуоси Ь включений при различных х2 ; полуось а = 0,5 > дт(п . В углу - соответствие линий и значений 52.

На рис. 2.2. - 2.4 представлены зависимости компоненты (Ее)33 указанного выше композита от размера полуоси Ь включений для трёх фиксированных значений полуоси а при различных величинах разброса в ориентациях осей ^ включений, характеризуемого дисперсией я2 координат Бельтрами осей С,, имеющими, как предполагалось при рас-

чёте, нормальное распределение (1.12). На рис. 2.2 видно, что все графики пересекаются в одной точке, т.е. для фиксированного значения полуоси а = 0,5 существует значение полуоси Ь=Ь*(а), при котором величина (ее)зз не зависит от разброса в ориентациях осей С, включений. Графики аналогичных зависимостей (ее)п также пересекаются

при b=b*. Соответствующие друг другу значения полуосей а, Ь" удовлетворяют уравнению (см. (2.13))

(2.17)

А.1 Д2Л3 находятся из (1.2) при г[ . Решение уравнения (2.17)

существует только при a>amin, причём Ь\а№,п)=<я (рис. 2.3,2.4), где

^min =с[(е2 +8sm2)V2 -в]/(4еи). (2.18)

При с=1, б=1 1,5 ,еи = 2 выражение (2.18) даёт amin »0,1645, что полностью согласуется с результатами численного моделирования (рис. 2.3). В случаях трёхосных текстур может не зависеть от параметров распределения только одна из компонент тензора ее; например при центральном нормальном распределении не зависит от параметра распределения компонента (ее)^ при условии

■ЪХ)=Ц+К2+К3. (2.19)

В третьем параграфе главы 2 метод вычисления тензора се обобщается на среду со случайной формой изотропных включений (в рамках эллипсоидальной) с малым отклонением от сферической формы.

Пусть форма включений-эллипсоидов меняется от включения к включению случайным образом, являясь малым отклонением от сферической. Тогда форма отдельно взятого включения будет случайным вектором с компонентами

е, -(а-с)/с, е2 ={Ь-с)/с,

причём их средние значения равны нулю и дисперсии ст12, и22 малы: (el)f=(e2)f^0, (е,2)^,2«!, (е^ =о22 «1 . (2.20)

Символ ()j означает усреднение по форме: (е^у = Jj/?j (ех ,e2)elde]de2, где pj-{ebe2) есть совместная плотность распределения величин е\,е2. Тогда в (2.7) символ /с будет обозначать переменную-вектор, задающую ориентацию и форму включений, a w(k)=p(\\i',Q',(p',e[,e2) - совме-

стная плотность распределения величин, задающих ориентацию и форму включений. В (2.11) значение (Х^ следует понимать как среднее значение компоненты Ху по всем ориентациям и по всем формам, т.е. = е1,е2)р(У'>е1,е2}Лц1'(1В'с}(р'с1е1с1е2 .

Если ех и е2 - независимые друг от друга и от ориентации включения случайные величины, то

((- последовательное усреднение сначала по ориентациям, затем

по формам. Таким образом, усреднение в (2.11) производится последовательно по ориентациям и по формам включений, что позволяет использовать формулы (2.10), произведя в них усреднение по форме значений главных компонент тензора X.

В качестве примера рассмотрено решение задачи для случая, когда плотность распределения ориентации включений не зависит от |' и ф', т.е. имеет вид (2.12). Раскладывая Ху в ряд Тейлора по степеням е,, е2 и ограничиваясь в этом разложении квадратичными членами, учитывая (2.20) и то, что (е1е2}у=0, после линеаризации по с,2,а22 получим

компоненты тензора £е {{ге)22 =(ее)п ):

(г ч 1+2М 9 ¿МЛ2

1 -М 20 (1-М)2 Гр ^ 1 + 2Ы | 9 о

(СТ)2 +ст22),

(2.21)

(ст,2 +ст22).

1-М 10 м (1-М)2 где к = (е-ет)(е + 2ет)~1; Ц -определяется из (1.17).

В четвёртом параграфе главы 2 метод вычисления тензора Ее обобщается на случай нескольких видов кристаллитов и случай сложных текстур с распределением ориентаций кристаллитов, являющимся суперпозицией более простых, модельных распределений, подробно рассмотрены случаи суперпозиций двух и трёх одноосных распределений с взаимно перпендикулярными осями.

3. В третьей главе решается задача вычисления тензора эффек-

тивной проводимости поликристаллической среды с аксиальной тексту-

рой; кристаллиты считаются сферическими, одного типа (с точки зрения

электропроводности), имеющими омические контакты друг с другом, ориентированными в пространстве по некоторому вероятностному закону, предполагающему наличие оси симметрии бесконечного порядка. В первых двух параграфах решается задача для одноосных кристаллитов - задача 1, в третьем - для двуосных - задача 2. Обе задачи решаются при помощи приближения эффективной среды; при решении второй задачи используется теория представлений группы 80(3).

Рассмотрим образец поликристаллической среды объёма V , состоящей из одноосных сферических кристаллитов, к поверхности Я которого приложено постоянное электрическое поле Е0. Тогда тензор ае эффективной проводимости среды определяется уравнением: (.¡) = <7е(Е), где ] - плотность тока, (Е)=Е0. Согласно приближению эффективной среды, тензор ае находится из уравнения (1.6):

((1-(а-ае)-ГГ>-(а~ае))=0, (3.1)

где Г=Г1 -тензор, определяющийся из (1.7).

Усреднение в (3.1) производится по всем кристаллитам, а поскольку кристаллиты однотипные, различаются только ориентациями в пространстве, то усреднение следует производить по всем ориентациям кристаллитов в некоторой системе координат, в качестве которой удобно взять систему координат Охуг, связанную с текстурой образца, в которой ось Ог направлена вдоль оси текстуры, оси Ох и Оу перпендикулярны ей и друг другу, в остальном их направления произвольны. Пусть 0%г]^ - система координат, связанная с кристаллитом (ось ОС, направлена по оси кристаллита). Ориентацию Ос^цС, относительно Охуг обозначим как (&',ф'~ сферические углы). Так как тек-

стура среды - аксиальная, плотность распределения ориентации кристаллитов имеет вид

р(3',ф')=/(9')/(2п), 0<8'<тх/2, 0<<р'<2тс , (3.2)

где /(9')-плотность распределения углов между осью текстуры и осями кристаллитов. Пусть а' ~ матрица тензора проводимости кристаллита в системе ОЪдС,, тогда, поскольку кристаллит одноосный,

1 0

ст'=ст0 0 1 0

0 0

В системе Охуг матрицу а этого же тензора получим по формуле в = . Тензор ае в системе Охуг будем искать в виде

а? О О О а? О О 0 с?

(3.4)

Решая (1.5) с учетом (3.4) при К-»со, найдём функцию Грина [11]:

Подставив (3.5) в (1.7), найдем, что в случае сферических кристаллитов тензор Г в системе Охуг является диагональным с компонентами

(3.6)

при е>0,где е=1 -а?/а? [11];

(3.7)

при е<0.

• В итоге, задача нахождения двух неизвестных компонент с? и а? тензора эффективной проводимости поликристаллической среды, состоящей из одноосных кристаллитов сферической формы, сводится к следующей системе двух трансцендентных уравнений, которая легко может быть решена численно, если известна плотность /(9') распреде- • ления углов между осью текстуры и осями кристаллитов:

' 2(3(ух-уг)соз20'+у2(2р+у,) '

^2р(у,-Иг)со52аЧМг(2р+у;с) р

' 2Р(у1 -уг)соз29'+у2(2р+удг)

где р=^, щ= 1-^-, ух=их-(ъ0Гхс)~\ Уг =и2 -(с0Га)4. (3.9)

2 ст0 сг0

По сравнению с исходным тензорным уравнением (3.1) система (3.8) обеспечивает выигрыш в быстродействии в десятки раз, поскольку требует вычисления только одномерных интегралов.

В пункте 3 первого параграфа показано, что система (3.8) дает верное решение задачи в некоторых предельных случаях, уже ранее рас-

смотренных в работах других исследователей, или очевидных с физической точки зрения. Например, при равномерном распределении ориентации кристаллитов среда изотропна: ае-ае1,

ид=мг=м0=0,25[3-^9 + 8(а-1)], ае=0,25а0[1+79+8(а-1)]. (ЗЛО) Это значение соответствует результату, приведенному в [11].

Во втором параграфе главы 3 выводятся аналитические решения задачи 1 для некоторых специальных случаев.

Пусть компоненты тензора а0ч(с7-се) малы, т.е.

сто"'И Л«1, и=12,3, (3.11)

тогда (1-(с-се)Т)-1 »1+(о-ое)-Г, и уравнение (3.1) принимает вид <о-ов> + <(о-ое)-Г-(«т-ов)> = 0, (3.12)

независимыми в (3.12) являются уравнения для компонент ()п и ()33. Условие (3.11) выполняется в двух случаях: при слабо анизотропных кристаллитах и при малом разбросе в ориентациях осей кристаллитов.

1) Пусть кристаллиты слабо анизотропные, т.е. |а-1|«1. Тогда в квадратичном по (а-1) приближении

[ст^ ~ ст0 [ 1 + 0,5(а -1)(1 - /1) - (а -1)2 (1 - Д2 )/12 ], [0Г»оо[1 + (а-1)/1-(а-1)2/1(1-/1)/3], где /[ определяется из (1.17). При равномерном распределении из (3.13) следует о? -а|г ~ст0[1+(а-1)/3-2(а-1)2/27], результат Херринга ([11]).

2) Пусть распределение ориентаций кристаллитов имеет малый разброс, т.е. начальный момент второго порядка я2 случайной величины мал. Тогда в линейном по я2 приближении:

при а>1: + --(ЗЛ4)

= сг0 [а - (а -1)(1+а(а -\)~ч2 алят ■V1 - а"1)■ я2 ],

, { а^ = ст0 [1 - • 1п[аН'2 + (а^2 -1)] ■ *2 ], „

ст? =ст0[а+(1-а)(1+а(1-а)-|/21п[а-1/2 +(а^2 -1)])^2].

3) При слабой макроскопической анизотропии среды аналитическое решение в линейном приближении по степени неравномерности распределения имеет вид:

о?=а0(1-ио-*|0Д/1)> а»=аоа-ио+2Л,°Д/1), (3.16)

где и0 =0,25[3-л/9+8(а-1)];

1 0,04(а-1)(75-и0 + 66(а-1)) 1

27+24(а-1)-18ы0 -12,04(а-1)и0 +2,64(а-1)2 ' '

А/[ =7, , где =1/3 - значение 7) при равномерном распределении; А/[ зависит от степени неравномерности распределения ориентаций.

Получены асимптотические оценки для коэффициента анизотропии ае при слабо анизотропных и сильно анизотропных кристаллитах,

например, при а«1 (сильно анизотропные кристаллиты с Стц^стх)

ае«1-(450/133)[1-(401/133)а]Д/1. (3.18)

Зависимость Л^ от параметров распределения можно понять, взяв в качестве модели слабо неравномерного распределения (1.16); тогда Д/| «8/12 (см. (1.19)).

В среде МАТЪАВ были проведены вычисления для некоторых поликристаллических сред: находились значения компонент тензора ае эффективной проводимости путём решения системы уравнений (3.8) методом Ньютона при различных значениях параметра я2 (дисперсии координат Бельтрами направляющего вектора оси кристаллита, см.

(1.12)), характеризующего разброс осей кристаллитов относительно оси текстуры, при этом плотность распределения углов 0 принималась в виде (1.14). Также было проведено сравнение значений компонент тензора ае поликристаллов, полученных численным решением системы

(3.8), с аналогичными значениями, даваемыми аналитическими приближениями (3.13), (3.14)-(3.15), (3.16)-(3.17) в соответствующих случаях. На рис. 3.1-3.2 представлены некоторые из полученных результатов. Аналитическое квадратичное приближение решения формулами

(3.13), выведенное при условии слабой анизотропии кристаллитов, как показывают расчёты (см. рис. 3.1), обеспечивает хорошую точность и для определённой доли умеренно анизотропных кристаллитов. Относительная погрешность вычисления компонент тензора ое при аналитическом приближении меньше 1% в сравнении с решением системы (3.8) наблюдается для поликристаллов, состоящих из кристаллитов с коэффициентом анизотропии а, удовлетворяющем неравенству

0,47<а<1,81, (3.19)

при любой дисперсии распределения ориентаций. Например, для олова

2

(а=1,46) относительная погрешность менее 0,23%.

Линейные аналитические приближения решения формулами (3.14)-(3.15) (рис. 3.2) и (З.16)-(ЗЛ7) при 52«1 и |б|«1 (см. (1.16)) соответственно хорошо согласуются со значениями а", <зг/, полученными решением системы (3.8). Исследованы зависимости диапазонов дисперсий .у2 и параметра 5 (задающего степень неравномерности распределения), в которых относительная погрешность данных приближений меньше 1%, от коэффициента анизотропии а кристаллитов.

Поликристалл олова

хх-комп. (сист.ур.) О гг-'комп. (сист.ур. |

хх-комп.(аналит.) -•—гг-комп. ¡аналит.)

—в—О

О 10 20 30 40 Дисперсия координат Бельтрами

Рис. 3.1. Сравнение компонент а", а Iх поликристалла олова

(а=1,46, а0 =0,764-105 (Ои-си)-1), полученных решением системы (3.8), с их приближениями (3.13) для слабо анизотропных кристаллитов.

Поликристалл магния,

ХЮЮпт малые дисперсии

О 2.75

8 2-65 о

з 2.55

о 2.45 £

"к- хх-комп.(сист.ур.) ■■о- гг-комп. (сист.ур.) "-"-хх-комп. (аналит.) — гг-комп.(аналит.)

О 0.025 0.05 0.075 0.1 дисперсия координат Бельтрами

Рис. 3.2. Сравнение компонент ст£* и ст*2 поликристалла магния (а = 1,21, а0 = 2,37• 105 (Ом■ см)~1), полученных решением системы (3.8), с их приближениями по формулам (3.14) при малых я2.

В третьем параграфе главы 3 рассматривается задача вычисления тензора ае эффективной проводимости поликристалла, состоящего из двуосных кристаллитов_(задача 2), имеющих в системе своих главных осей матрицу тензора проводимости

10 0

а'= ст0 0 а2 0 . (3.20)

0 0 а3

Текстура в рассматриваемом поликристалле предполагается аксиальной, плотность распределения ориентаций кристаллитов - имеющей форму (2.12). Тензор се в системе координат хуг, связанной с тексту-

рой среды, ищется в виде (3.4), как и для одноосных кристаллитов, т.е. с двумя независимыми компонентами а™ и ст|2, которые, согласно методу самосогласованного решения, должны удовлетворять уравнениям для компонент ()ии ()33 тензорного уравнения (3.1). Используя теорию представлений группы 80(3), получены аналитические решения задачи для двух специальных случаев.

1) Если кристаллиты слабо анизотропные, т.е. |а2 -1| «1, |схз—1] «1, компоненты тензора <те находятся с квадратичной точностью по (а2 -1), (аз -1) из выражений

*а0

1+1(а2-1)(1 + /1)+1(а3-1)(1-/1)-

-¿(а2 -1)2 (1 + Ь )(3 -/,) ~(а3 - 1)(а3 - а2)(1 -7,2)

;а0

1+^(а2 -1)(1-/,)+(а3 -1)/, -^(а2 -1)2(1 -7,2)-

2 „12 (321)

-|(аз-1)(аз-а2)/1(1-/1)

которые являются обобщением формул (3.13), выведенных для поликристалла с одноосными кристаллитами.

2) Если распределение углов в между осью текстуры и осями ^ кристаллитов имеет малый разброс, т.е. л'2 «1 (см. (1.14)), а также |а2 «1 > т-е- Два из Трёх главных значений тензора о проводимости кристаллита мало отличаются друг от друга, в линейном приближении по 52 , (а2 -1) компоненты тензора ае равны:

[ о? « 0,5(а2 + 1)<т0 + (а3 - 1)а0 [ 1 + <т0Г0я (а3 -1) ], «а0а3 -2я2(а3 -1)сто[1-стоГ^(аз -1)],

(3.22)

рже _ Уаз ~1 ~ а3 агоэт - 1/а3 _ агевт -1/а3 - -у/а3 -1 п 23)

0 " 2а0(а3-1)3/2 ' 0 " а0(а3-1)3/2

при а3 -1 > (а2 -1)/2, а2 > 1;

Г*с=аз ^(УУаГ+л/Уаз -1)—л/1 - а3 _ лД-аз -1п(л/УаГ+л/1/а3 -1) и 24)

2а0(1-а3)3/2 ' 1о ' а0(1-а3)3/2

при 1 - а3 > (1 - а2 )/2 , а2 < 1. Случай при |а3 -1| < |а2 -1|/2 рассмотрен точнее в п. 1). При одноосных кристаллитах с осью С, (сс2 =1, а3 = а) формулы (3.22)-(3.24) переходят в (3.14)-(3.15).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов, состоящих из однородной изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных кристаллитов, ориентированных в пространстве по некоторому вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры. Данный метод основан на приближении Максвелла-Гарнетга и использует теорию представлений группы 80(3).

2. Получена аналитическая зависимость тензора эффективной диэлектрической проницаемости композита с текстурой от диэлектрических проницаемостей матрицы и включений, от размеров полуосей эллипсоидальных включений, от объёмной доли включений, от плотности распределения ориентаций включений. Решение задачи получено в предположении, что главные оси тензора каждого включения совпадают с его главными геометрическими осями. Данная зависимость представлена формулами (2.5), (2.10).

3. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированных композитов со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

4. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композитов со сложной текстурой, при которой распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких стандартных распределений ориентаций, соответствующих модельным текстурам; рассмотрены случаи суперпозиции двух и трех распределений с аксиальной симметрией относительно взаимно перпендикулярных осей.

5. Разработан метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой, состоящей из одноосных или двуосных сферических кристаллитов одного вида. Метод основан на одном из вариантов обобщенного подхода эффективной среды - приближении самосогласованного решения. При учёте ориентаций двуосных кристаллитов используется теория представлений группы БО(3).

6. Получены аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой как функции компонент тензоров проводимости кристаллитов и параметров распределения ориентаций их кристаллографических осей для случаев: слабо анизотропных кристаллитов; при малом разбросе в

ориентациях осей кристаллитов. Для среды, состоящей из одноосных

кристаллитов, получено также решение при слабой макроскопической

анизотропии среды. Данные решения представлены формулами (3.13),

(3.14)-(3.15), (3.16)-(3.17), (3.21), (3.22)-(3.24).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Иванов E.H., Лавров И.В. Об одном методе вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой // Опто-, наноэлектр., нанотехн. и микросист.: Тр. IX межд. конф.- Ульяновск: УлГУ. - 2007. - С. 20.

2. Иванов E.H., Лавров И.В. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Часть 1 .// Обор, комплекс - науч.-техн. прогрессу России - М.: ФГУП ВИМИ. - 2007. - №1. - С. 73-78.

3. Лавров И.В. Влияние слабо выраженной текстуры на тензор эффективной электропроводности поликристаллической среды // Выс. технол., фунд. и прикл. иссл., образование: Сб. тр. 7-й межд. науч.-практ. конф. «Иссл., разраб. и примен. выс. технол. в промышл.» // Под ред. Кудинова А.П., Матвиенко Г.Г. - С.-Пб.: Изд. Политехи, ун-та, 2009.-С. 217-218.

4. Лавров И.В. Влияние случайности формы включений на тензор эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала с текстурой // Выс. технол., фунд. и прикл. иссл., образование: Сб. тр. 7-й межд. науч.-практ. конф. «Иссл., разраб. и примен. выс. технол. в промышл.» // Под ред. Кудинова А.П., Матвиенко Г.Г. - С.-Пб.: Изд. Политехи, ун-та, 2009. - С. 218-220.

5. Лавров И.В. Вычисление тензора эффективной электропроводности случайной поликристаллической среды с текстурой // Выс. технол., фунд. и прикл. иссл., образов. Т.12: Сб. тр. 5-й межд. науч.-практ. конф. «Иссл., разраб. и примен. выс. технол. в промышл.» // Под ред. Кудинова А.П., Матвиенко Г.Г. - С.-Пб.: Изд. Политехи, ун-та, 2008. - С. 224-225.

6. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экол. вестник науч. центров Черномор, экон. сотрудн-ва. - 2009. - №1. - С. - 52-58.

7. Лавров И.В. Теория электропроводности неоднородных материалов с текстурой // Изв. вузов. Электроника. - 2008. - №1. - С. 3-9.

8. Лавров И.В. Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и двуосные кристаллиты // Изв. вузов. Электроника. - 2010. - №3. - С. 3-12.

9. Физико-механические характеристики однородных и неоднородных конденсированных сред / Яковлев В.Б., Иванов Е.Н., Бардушкин В.В., Лавров И.В.,Силибин М.В.,Чекасина И.И., Кузнецов М.В.,Булахова И.В. II Отчёт о НИР. - М.: МИЭТ, 2007. - 123 с.

10. Lavrov I.V. Theoretical treatment of the conductivity of textured in-homogeneous materials // Semiconductors. - 2009. - Vol.43, №13. - P. 1623-1627.

Список литературы

1. Борен К, Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. - М.: Мир. - 1986. - 660 с.

2. Боровков М.В., Савёлова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). -М.: МИФИ.-2002.-96 с.

3. Гелъфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. - М.: ГИФМЛ. - 1958. - 294 с.

4. Иванов Е.Н, Валиев К.А.. Вращательное броуновское движение // УФН. - 1973. - Т. 109, Вып.1. - С.31-64.

5. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. - М. - Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - Т. 1. - 512 с.

6. Ландау Л.Д., Лифишц Е.М. Теоретическая физика. - Т.8. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука. - 1992. - 664 с.

7. Савёлова Т.И. Функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах и их гауссовские приближения. - Завод, лабор-я -1984.-Т. 50, №4.-С. 48-52.

8. Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. - 1996. - Т. 166, № 10. -С. 1069-1093.

9. Levy О., Stroud D. Maxwell Garnett theory for mixtures of anisotropic inclusions: Application to conducting polymers. // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol.56, № 13.-P. 8035-8046.

10. Spanoudaki A., PelsterR. The dependence on Effective dielectric properties of composite materials: the particle size distribution // Phys. Rev. B. -2001. - Vol. 64. - P. 064205-1-064205-6.

11. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material // Phys. Rev. B. - 1975. - Vol.12, № 8. - P. 3368-3373.

Подписано в печать:

Заказ № Тираж /О0ЭКЗ. Уч.-изд. л. и Формат 60x84 1/16. Отпечатано в типографии МИЭТ(ТУ). 124498, Москва, МИЭТ(ТУ).

Список сокращений

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ (обзор). СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ

1.1. Обзор литературы и краткое описание некоторых теорий

1.1.1. Краткий обзор теоретических исследований диэлектрических и проводящих свойств неоднородных материалов

1.1.2. Теория Бруггемана экстраполяции диэлектрической проницаемости неоднородной среды для произвольных концентраций компонентов

1.2. Приближение Максвелла-Гарнетта для исследования эффективных диэлектрических свойств неоднородной среды

1.2.1. Классическое приближение Максвелла-Гарнетта (МГ)

1.2.2. Новейшие исследования приближения МГ и его обобщение с учетом конечности размеров включений и многократного рассеяния. Применение приближения МГ к изучению оптических свойств-нанокомпозитов.

1.3. Обобщенный подход эффективной среды Д.Страуда. Метод самосогласованного решения

1.3.1. Постановка задачи и вывод интегрального уравнения

1.3.2. Получение решения задачи в приближении эффективной среды для материала, состоящего из эллипсоидальных кристаллитов

1.4. Элементы теории представлений группы 80(3)

1.4.1. Вращения, их интерпретация как преобразований пространства и как преобразований базиса. Элементарные сведения из линейной алгебры

1.4.2. Способы описания вращений

1.4.3. Операторы бесконечно малых поворотов

1.4.4. Инвариантное интегрирование по группе вращений

1.4.5. Понятие представления группы. Неприводимые представления (НПГ)

1.4.6. Прямая сумма представлений. Разложение унитарного представления в прямую сумму неприводимых представлений

1.4.7. Неприводимые представления группы Б0(3). Ортогональность матричных элементов неприводимых представлений

1.4.8. Разложение представлений группы SO(3) на неприводимые

1.4.9. Основные сферические функции (ОСФ) / -го порядка как канонический базис НПГ SO(3) веса

1.4.10. Матричные элементы НПГ SO(3). Обобщенные сферические функции (ОбСФ)

1.4.11. Преобразование ОСФ и компонент тензоров 1 -го и 2-го рангов при вращениях системы координат

1.4.12. Разложение функций на группе по матричным элементам НПГ

1.5. Некоторые специальные виды координат и распределений

1.5.1. Координаты Бельтрами точки единичной сферы и их связь со сферическими координатами

1.5.2. Модели слабо неравномерных распределений на сфере

1.5.3. Нормальные распределения на группе SO(3)

1.5.4. Некоторые интегралы и их приближения*

2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ

2.1. Базовая задача: изотропная матрица и изотропные эллипсоидальные включения'одного вида. Вывод общего решения 58

2.1.1. Постановка задачи. Вывод основного уравнения

2.1.2. Вывод общего решения задачи для случая-однотипных кристаллитов

2.1.3. Вычисление компонент тензора ЭДЭП в лабораторной системе координат

2.2. Базовая задача: решение для частных случаев формы включений и распределения их ориентаций

2.2.1. Вид решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях

2.2.2. Сфероидальные кристаллиты

2.2.3. Частные случаи формы сфероидальных кристаллитов

2.2.4. Кристаллиты в форме эллипсоидов общего вида - частные случаи распределения ориентаций

2.2.5. Результаты численных расчётов для конкретных видов композиционных материалов

2.3. Обобщение задачи на среду со случайной формой включений (в рамках эллипсоидальной)

2.3.1. Случай эллипсоидальных кристаллитов фиксированной формы, близкой к сферической

2.3.2. Форма эллипсоидальных кристаллитов является случайной величиной с малым отклонением от формы шара

2.4. Некоторые обобщения для случаев анизотропных включений, нескольких видов кристаллитов и сложных текстур

2.4.1. Случай анизотропных эллипсоидальных кристаллитов

2.4.2. Обобщение задачи на случай нескольких видов кристаллитов и сложных текстур

Выводы по главе

3. ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕКСТУРОЙ

3.1. Задача 1: Одноосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и вывод системы уравнений для компонент тензора эффективной проводимости (ТЭП) в общем случае

3.1.1. Постановка задачи и метод решения <

3.1.2. Сведение задачи к системе двух трансцендентных уравнений для ненулевых компонент ТЭП

3.1.3. Решения задачи в некоторых наиболее простых предельных случаях

3.2. Задача 1: Аналитическое решение задачи в некоторых специальных случаях

3.2.1. Метод решения задачи в случае малых компонент тензора ад^а - ае)

3.2.2. Случай слабо анизотропных кристаллитов

3.2.3. Распределение ориентаций кристаллитов имеет малый разброс

3.2.4. Случай слабой макроскопической анизотропии среды

3.2.5. Компоненты ТЭП в лабораторной системе координат

3.2.6. Примеры численного моделирования для конкретных видов поликристаллических сред

3.3. Задача 2: Двуосные кристаллиты и аксиальная текстура. Постановка задачи и аналитическое решение в двух специальных случаях

3.3.1. Постановка задачи и метод решения

3.3.2. Вычисление компонент тензора проводимости кристаллита в системе текстуры и вывод некоторых вспомогательных соотношений

3.3.3. Аналитическое решение в случае слабо анизотропных кристалитов

3.3.4. Вычисление ТЭП при отсутствии разброса в ориентациях осей С, кристаллитов

3.3.5. Решение задачи в случае малого разброса в ориентациях осей £ при условии, что |а2 -1| «

Выводы по главе

ВЫВОДЫ

Неоднородные материалы, в том числе поликристаллы, стёкла различной природы и дисперсные системы, композиты и нанокомпозиты, используются во многих областях человеческой жизнедеятельности. В частности, в микро- и наноэлектронике широчайшее применение находят пористые структуры на кремнии и углероде, а также тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. При стремительном уменьшении размеров элементов интегральных схем появляются новые специфические требования к свойствам таких материалов, например, высокая диэлектрическая проницаемость у диэлектрика в затворе и, наоборот, низкая у подложки в интегральных схемах. Также возрастают требования к обеспечению точности воспроизводимости их характеристик, поэтому изучению упругих, оптических, электрических, теплопроводящих и других свойств неоднородных материалов.уделяется большое внимание [19,53,72,74, 75]. Задачи теоретического исследования физических свойств неоднородных сред, например, эффективных диэлектрической проницаемости и проводимости, относятся к числу классических, поскольку многими исследователями, еще начиная с конца 19 века, предлагались свои варианты решения этих задач. И все же, несмотря на обилие работ по данной тематике и разнообразие моделей неоднородных сред, ощущается недостаток теорий, в которых рассматриваются системы с частично упорядоченными ориентациями их составляющих.

Между тем, исследования показывают [4,11,35,36,50,54,87,165,166], что многие реальные материалы являются текстурироваными, т.е. ориентации текстуры формы и кристаллографической текстуры их составляющих распределены по некоторому вероятностному закону. В связи с этим представляется актуальным построение теорий, позволяющих получать аналитические выражения для объяснения физических свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

Среди наиболее известных аналитических подходов, применяемых для исследования эффективных характеристик случайно-неоднородных сред приближения Максвелла-Гарнетта [137] и эффективной среды [97,158]. Приближение Максвелла-Гарнетта используется обычно для сред, состоящих из непрерывной фазы - матрицы, в которую погружены не соприкасающиеся друг с другом частицы других фаз. К достоинствам его следует отнести то, что оно позволяет, в отличие от подхода эффективной среды, верно предсказать наличие оптических аномалий (например, пиков поглощения) в системах, состоящих из изолятора и проводника [51,89,155]. Также несомненным преимуществом приближения Максвелла-Гарнетта является возможность получить во многих, достаточно общих, случаях искомое выражение для эффективной константы среды в явном виде. Недостатком его, как считалось до недавнего времени, является сравнительно невысокая объёмная доля включений, при которых приближение Максвелла-Гарнетта может давать результат с достаточной степенью точности, однако недавние исследования [157] показывают, что верхний порог доли включений для некоторых сред оказывается равным «0,3, т.е. для многих реальных композитов применение приближения Максвелла-Гарнетта вполне оправдано.

Подход эффективной среды может быть применён для вычисления эффективных характеристик как композитов с высокой долей включений, так и поликристаллических сред, но при этом вычислительная сложность указанного метода значительно выше, чем у приближения Максвелла-Гарнетта. Например, если среда в целом получается анизотропной, подход эффективной среды приводит к тензорному уравнению, включающему операцию усреднения обратной матрицы, поэтому получение его аналитического решения в явном виде (в некотором приближении) возможно только в специальных случаях при значительных ограничениях на область изменения параметров, характеризующих составляющие неоднородной среды, их объемные доли и статистическое распределение ориентации в пространстве. Тем не менее, важность аналитических решений, полученных для таких специальных случаев (например, при слабо анизотропных кристаллитах, при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры или при слабой макроскопической анизотропии среды) несомненна, поскольку они позволяют качественно исследовать зависимость эффективных характеристик случайнонеоднородной среды от параметров её составляющих.

Изучение влияния ориентации составляющих случайно-неоднородной среды на её эффективные свойства без привлечения специальных методов является сложной вычислительной задачей даже для таких сравнительно простых включений, как эллипсоиды вращения из изотропного материала, или шары с одноосным тензором физического свойства [137]. Но если включение является изотропным эллипсоидом общего вида или шаром с трёхосным тензором физического свойства, для задания его ориентации требуются три скалярных параметра (например, углы Эйлера), поэтому видится необходимым использование в данном случае теории представлений группы вращений 80(3) [14,18], нашедшей широкое применение в теории вращательных стохастических процессов [12,26,28-30], а также, при исследовании текстур материалов [9,56,64,65,101,102,152,154]. Дополнительное преимущество использования теории гфедставленийгруппь1 БО(3) состоит в том, что в выражении для решения при произвольном распределен™ ориентаций включений участвуют обобщенные сферические функции, а плотность распределения ориентаций часто записывают в виде ряда по обобщенным сферическим функциям [9, 11], что позволяет упростить аналитические выражения.

В ряде случаев текстуру случайно-неоднородной среды можно считать аксиальной, например, если формирование материала происходит под влиянием внешнего однородного поля, в частности, при напылении плёнок [72]. В случае произвольной текстуры соответствующее ей распределение ориента-ций составляющих среды аппроксимируют суперпозицией канонических нормальных распределений на ЭО(3) [9,64,154], поэтому представляется актуальной возможность обобщения решения на среды со сложными текстурами, т.е. с распределением ориентации составляющих, являющимся суперпозицией нескольких модельных распределений.

Поскольку в реальных случайно-неоднородных средах форма включений так же, как и ориентация, является случайной, необходимы модели, учитывающие эту случайность. В силу чрезвычайной сложности задачи для произвольной формы включений, на первых этапах несомненную пользу могут принести модели, в которых форма включений является случайной величиной в рамках эллипсоидальной с малым разбросом вокруг некоторой усредненной формы.

Цель работы

1. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированного композиционного материала как функций компонент тензоров диэлектрической проницаемости изотропной матрицы и эллипсоидальных анизотропных включений, формы и объемной доли включений, а также параметров распределения ориентаций включений. б) Обобщить метод решения данной задачи на композиты со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической-формы. в) Обобщить метод решения задачи на материалы со сложными-текстурами, в которых распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

2. а) Разработать метод решения-задачи о нахождении компонент тензора эффективной проводимости текстурированной поликристаллической среды как функций компонент тензоров проводимости кристаллитов, а также параметров распределения ориентаций их кристаллографических осей. б) Получить в явном виде аналитическое решение задачи (в некотором приближении) для специальных случаев распределения ориентаций кристаллитов или значений компонент тензоров проводимости кристаллитов.

Научная новизна работы

- Приближение Максвелла-Гарнетта обобщается для аналитического решения задачи о нахождении тензора эффективной диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды с включениями эллипсоидальной формы, ориентации которых распределены по вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры.

- Для преодоления вычислительной сложности учёта ориентаций включений используется теория представлений группы 80(3) - метод разложения симметричного тензорного представления 2-го ранга в прямую сумму неприводимых представлений весов 0 и 2.

- Приближение эффективной среды обобщается для решения задачи' о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды, состоящей из кристаллитов, ориентированных в пространстве по вероятностному закону, предполагающему наличие аксиальной текстуры. В случае двуосных кристаллитов применяется теория представлений группы 80(3).

Достоверность полученных результатов .,

Построенные теории в асимптотических случаях согласуются с разра-, ботанными ранее соответствующими теориями; полученные аналитические решения, в рамках своей применимости дают результаты, совпадающие с численными расчётами для более общей модели.

Практическая и научная значимость работы

- Построенные в настоящей работе модели- случайно-неоднородных сред с текстурой-и разработанные методы расчёта тензоров их эффективной' диэлектрической проницаемости и эффективной проводимости представляют собой аппарат для прогнозирования эффективных диэлектрических и проводящих свойств текстурированных композитов и поликристаллов в зависимости от распределения ориентаций и формы их составляющих, что может быть, использовано в микро-: и наноэлектронике при конструировании материалов с желаемыми физическими характеристиками.

- Поскольку при условии линейности неоднородной среды уравнения, описывающие процессы взаимодействия электрического или магнитного полей с макроскопической средой, а также распространения электрического тока или тепла в веществе, имеют один и тот же вид [66], то полученные результаты могут быть перенесены для исследования эффективных магнитных и теплопроводящих свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.

- Полученные в работе выражения для компонент тензоров эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных текстурированных материалов могут быть использованы для прогнозирования оптических свойств таких материалов в инфракрасном диапазоне, например, спектров поглощения, отражения и пропускания тонких плёнок.

- Результаты данной работы могут послужить отправным пунктом для создания теорий более сложных моделей случайно-неоднородных текстури-рованных сред с учётом нелинейностей, конечного размера включений, более общей их формы и ориентации тензора их физического свойства внутри включения.

- Полученные результаты могут быть применены для оценки параметров распределения ориентации составляющих случайно-неоднородных сред, т.е. величины разброса или степени макроскопической анизотропии, что в перспективе может быть использовано для создания дешёвых тензодатчиков.

Основные научные положения, выносимые на защиту

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала с текстурой, состоящего из однородной^ изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных включений, основанный на приближении Максвелла-Гарнетга и использующий теорию представлений группы 80(3).

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости-композита со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

- Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала со сложной текстурой, в котором распределение ориентации включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.

- Метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллического материала с текстурой, основанный на приближении эффективной среды и использующий теорию представлений группы 80(3) (для среды, состоящей их двуосных кристаллитов).

- Аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристалла с текстурой для следующих случаев: при слабо анизотропных кристаллитах; при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры; при слабой макроскопической анизотропии среды.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертационной работы были представлены на:

- IX Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотех-нологии и микросистемы» (Ульяновск, 2007);

V, VII Международных конференциях «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2008, 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в [31, 33, 39-44, 76, 135], в том числе 5-ти статьях [33, 42-44, 135] из списка рекомендованных ВАК журналов для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Личный вклад автора

Автором настоящей работы самостоятельно получены все результаты глав 2 и 3, за исключением пунктов 2.1.1, 3.1.1.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и девяти приложений. Работа содержит 167 страниц, 34 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 171 наименования.

выводы

1. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов, состоящих из однородной изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных кристаллитов, ориентированных в пространстве по некоторому вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры. Данный метод основан на приближении Максвелла-Гарнетта и использует теорию представлений группы 80(3).

2. Получена аналитическая зависимость тензора эффективной диэлектрической проницаемости композита с текстурой от диэлектрических проницае-мостей матрицы и включений, от размеров полуосей эллипсоидальных включений* от объёмной доли включений; от плотности распределения ориентации включений. Решение данной задачи найдено в предположении, что главные оси тензора диэлектрической проницаемости каждого включения совпадают с его главными геометрическими осями.

3. Разработан метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированных композитов со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.

4. Разработан метод вычисления, тензора эффективной диэлектрической проницаемости композитов со сложной текстурой, при которой распределение ориентаций включений является суперпозицией нескольких стандартных распределений ориентаций, соответствующих модельным текстурам; рассмотрены случаи суперпозиции двух и трех распределений с аксиальной симметрией относительно взаимно перпендикулярных осей.

5. Разработан метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой, состоящей из одноосных или двуосных сферических кристаллитов одного вида. Метод основан на приближении эффективной среды; при учёте ориентаций двуосных кристаллитов используется теория представлений группы 80(3).

6. Получены аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды с осевой текстурой как функции компонент тензоров проводимости кристаллитов и параметров распределения ориентации их кристаллографических осей для случаев: слабо анизотропных кристаллитов; при малом разбросе в ориентациях осей кристаллитов. Для среды, состоящей из одноосных кристаллитов, получено также решение при слабой макроскопической анизотропии среды.

В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, к сожалению, безвременно ушедшему Иванову Евгению Николаевичу, без творческих идей и поддержки которого настоящая работа была бы невозможна.

Я искренне признателен заведующему кафедрой «Высшая математика -2» МИЭТ к.ф.-м.н., доценту Кальнею С.Г., декану вечернего факультета д.ф.-м.н., профессору Яковлеву В.Б. и д.ф.-м.н., профессору кафедры «Высшая математика -2» Бардушкину В.В. за помощь в подготовке диссертации, ценные советы и замечания.

1. Александров П. С Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - М. : Наука.-1979.-512 с.

2. Балагуров Б.Я. О проводимости неоднородных сред с малой концентрацией включений //- ЖЭТФ. 1985. - Т.89, Вып. 5. - С. 1796-1809.

3. Балагуров Б.Я. Соотношения взаимности в двумерной теории протекания // -ЖЭТФ. 1981. - Т.81, Вып. 2. - С. 665-671.

4. БезиковичЯ.С. Приближённые вычисления. JI.-M.: ГИТТЛ. - 1941. - 290 с.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М. : ГИФМЛ, 1962, Т.2, 640с

6. Бореи К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. — М'.: Мир, 1986.-660 с.

7. Борисенко А.И., Таранов И.Е, Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа. - 1966. - 252 с.

8. Боровков М.В., Савёлова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). M.:1. МИФИ.-2002.-96 с.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин H.H. Классическая электродинамика. -М.: Наука. 1985.-400 с.

10. И. Буриличев Д.Е. Текстура и упругая анизотропия оливиносодержащих мантийных пород при высоких всесторонних давлениях. / Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Дубна. - 2002. - 143 с.

11. Валиев К.А., Эскин Л.Д. О вращательной диффузии молекул и рассеянии света в жидкостях // Оптика и спектроскопия. — 1962. Т.ХП, Вып.6. - С.758-764.

12. Варшалович ДАМоскалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука. 1975. —439 с.

13. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука. - 1965.-588 с.

14. Виноградов А.П., Дорофеенко A.B., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // УФН. 2008. - Т. 178, №5. - С. 511-518.

15. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М: ГИТТЛ, 1956, 784с.

16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. - 1966. - 280с.

17. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: ГИФМЛ - 1958. - 294 с.

18. Головань Л.А., Тимошенко В.Ю., Кашкарое П.К. Оптические свойства наноком-позитов на основе пористых систем // УФН. 2007. - Т. 177, №6. - С.619-638.

19. Градштейн И.С., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ. - 1962. - 1100 с.

20. Давыдов A.C. Квантовая механика. — М.: Наука. 1973. - 704 с.

21. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир. - 1965. - 703 с.

22. ДубновЯ.С. Основы векторного исчисления. М.: ГИТТЛ, 1952. - Т.2. -416 с.

23. ДыхнеА.М. Проводимость двумерной двухфазной системы //ЖЭТФ. 1970. -Т. 59, Вып.1.-С. 110-115:

24. Заттдорога O.A., Самойлов В.Н., Проценко И.Е. Проблема получения высокого показателя преломления и оптические свойства гетерогенных сред // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2002. - Т. 33, №1. - С. 99-157.

25. Иванов E.H. Теория вращательного броуновского движения // ЖЭТФ. 1963. -Т.45.-С. 1509-1517.

26. Иванов E.H. Теория групп и ее применение в физике. М.: МИЭТ. - 2006. - 160 с.

27. Иванов Е.Н, Валиев К.А. Вращательное броуновское движение // УФН. 1973. -Т. 109, Вып. 1.-С.31-64.

28. Иванов E.H., Лавров ИВ. Еще о проблеме случайных блужданий // Обор, комплекс -науч.-техн. прогрессу России-М.: ФГУП ВИМИ,-2007.-№3.-С. 101-105.

29. Иванов E.H., Лавров ИВ. К теории стохастических процессов в конденсированных средах. // Обор, комплекс науч.-техн. прогрессу России -М.: ФГУП ВИМИ. - 2007. - №1. - С. 60-68.

30. Иванов E.H., Лавров ИВ. Об одном методе вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой// Опто-, наноэлектр., нанотехнол. и микросистемы: Тр. IX междунар. конф. -Ульяновск: УлГУ. 2007. - С. 20.

31. Иванов E.H., Лавров ИВ. О новом подходе в теории стохастических процессов в конденсированных средах. // «Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент»: Мат-лы 5-й междунар. Науч. конф. — Астана- Изд-во ЕНУ 2006. - Часть 1. - С. 95-96.

32. Иванов E.H., Лавров ИВ. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Часть 1 // Обор, комплекс — науч.-техн. прогрессу России М.: ФГУП ВИМИ. - 2007. - №1. - С. 73-78.

33. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М. - Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. -Т.1-512 с.

34. Колесников В.И., Чекасина И.И., Бардушкин В.В., Сычёв А.П., Яковлев В.Б. Энергетический подход при моделировании формирования текстуры в поликристаллах под влиянием внешних напряжений. // Вестник Южного научного центра РАН. 2008. - Т. 4, № 3. - С. 3-8.

35. Коренев Г.В. Тензорное исчисление М.: МФТИ. - 1996. - 240 с.,

36. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа-М.: Высш. школа, 1981. — Т. 1,2.-687 е., 584 с.

37. Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экол. вестник науч. центров Черномор, экон. сотрудн-ва (ЧЭС). 2009. - №1. — С. - 52-58.

38. Лавров И.В. Теория электропроводности неоднородных материалов с текстурой // Изв. вузов. Электроника. 2008. - №1. - С. 3-9.

39. Лавров И.В. Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и двуосные кристаллиты // Изв. вузов. Электроника. 2010. - №3. -С. 3-12.

40. Ландау Л.Д., Лифшщ Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука, 1989. - 768 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшщ Е.М. Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1992. - 664 с.

42. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: T.I. Статика и кинематика. М.: Наука. — 1982. - 352 с.

43. Лурье А.И. Аналитическая механика М.: ГИФМЛ. - 1961. - 824 с.

44. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гостехиздат. — 1957.-354 с.

45. Максимов С.К., Максимов К.С. Проблемы текстурированности в нанотехноло-гии. Контроль текстур // Изв. вузов. Электроника. 2008. - №1. - С: 49-55.

46. Моисеев С.Г. Оптические свойства композитной среды Максвелла-Гарнета с серебряными включениями несферической формы // Изв. вузов. Физика. -2009:-№11.-С. 7-12.

47. Моисеев С.Г., Пашинина Е.А., Сухов C.B. К проблеме прозрачности металлоди-электрических композитных сред с диссипативнымии усиливающими компонентами // Квантовая электроника. 2007. - Т.37, №5. - С. 446-452.

48. Нанотехнологии в электронике. / Под ред. Чаплыгина Ю.А. М. «Техносфера», 2005.-448 с.

49. Никитин А.Н., Иванкина Т.И., Буриличев Д.Е., Клима К., ЛокаичекТ., ПросЗ. Анизотропия и текстура оливиносодержащих мантийных пород при высоких давлениях. Изв. РАН, Физика Земли, 2001. -№ 1. -С. 64-78.

50. Никифоров А. Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. ~ М.: Наука. 1984. - 344 с.

51. Николаев Д.И., Савёлова Т.И. Об аппроксимации решения одной обратной задачи дифракции б -функциями и гауссовскими распределениями // ЖВМ и МФ. 1987. - №5. - С. 88-91.

52. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. I. Матричные двухфазные системы с невытянутыми включениями // ЖТФ. -1951. Т. 21, Вып. 6. - С. 667-677.

53. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. П. Статистические смеси невытянутых частиц //ЖТФ.- 1951.-Т.21, Вып. 6. С. 678-685.

54. Ораевский А.Н., Проценко И.Е. Оптические свойства гетерогенных сред // Квантовая электроника. 2001. - Т.31, №3. -С. 252-256.

55. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981, 800с.

56. Пугачёв B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука. - 1968. - 368 с.

57. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир. -2005.-Т. 2.-381 с.

58. Розанов ЮА. Случайные процессы: Краткий курс. М.: Наука - 1979. - 184с.

59. Савёлова Т.Н. Функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах и их гауссовские приближения // Завод, лабор-я. 1984. - Т. 50, N. 4. - С. 48-52.

60. Савёлова Т.И., Бухарова Т.Н. Представления группы SU(2) и их применение. Учебное пособие М:: МИФИ. - 1996. - 114 с.

61. Сиротин Ю.И., Шасколъская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука. -1975.-640 с.

62. Снарский A.A. Знал ли Максвелл о пороге протекания? // УФН. 2007. - Т. 177, №12.-С. 1341-1344.

63. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С.Королюка:- Киев: Наукова думка. — 1978. 584с.

64. СтрэттонДж. Теория электромагнетизма. М.-Л.: ГИТТЛ. - 1948. - 539с.

65. Сухое С.В: Нанокомпозитный материал с единичным показателем преломления // Квантовая электроника. 2005. - Т. 35, №8. - С. 741-744.

66. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука. 1989. - 504 с.

67. Технология тонких пленок (справочник)/ Под ред. Л. Майссела, РТлэнга. Т.2.- М: «Сов. радио». 1977. - 768 с.73.- Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука.- 1966.-724 с.

68. Физика композиционных материалов / Под ред. H.H. Трофимова. Т. 1. - М.: Мир, 2005, 456 с.

69. Физика композиционных материалов / Под ред. Н.Н.Трофимова. — Т.2. М.: Мир, 2005, 344 с.

70. Физико-механические характеристики однородных и неоднородных конденсированных сред / Яковлев В.Б., Иванов E.H., Бардушкин В.В., Лавров И.В.,Сшибин М.В., Чекасина И.И., Кузнецов М.В.,Булахова ИВ. // Отчёт о НИР.- М.: МИЭТ, 2007. 123 с.

71. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З.Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

72. Финкелъберг В.М. Диэлектрическая проницаемость смесей // ЖТФ. 1964. - Т. 34, Вып. З.-С. 509-518.

73. Фокин AT. Диэлектрическая проницаемость смесей //ЖТФ. 1971. - Т. 41, Вып. 6.-С. 1073-1079.

74. Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. 1996. - Т. 166. №10.- С. 1069-1093.

75. Фокин А.Г. О границах для эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных материалов // ЖТФ; 1973. - Т. 43, Вып. 1. - С. 71-77.

76. Фокин А.Г. О расчете средней интенсивности скалярных волн в случайно-неоднородной среде //ЖЭТФ. 1995. -Т. 107, Вып. 4. - С. 1122-1134.9

77. Фокин А.Г. Скалярные волны в неоднородной среде: учет пространственной дисперсии в приближении парных взаимодействий // ЖЭТФ. 1992. - Т. 101, Вып. 1.-С. 67-79.

78. Фокин А.Г. Статистические свойства неоднородных твердых сред. Центральные моментные функции материальных характеристик // ПММ. -1978. Т. 42, Вып.З. - С. 546-554.

79. Фокин А.Г. Эквивалентность методов расчета эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных сред // ЖТФ. 1977. - Т. 47, №6. - С. 1121-1126.

80. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам М.: Едиториал УРСС - 2002. - 588 с.

81. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред // УФН. 1975. - Т. 117. № 3. - С. 401-435.

82. Abeles В., Gittleman J. I. Composite material films: optical properties and applications // Appl. Opt. 1976.- V. 15,1. 10, P. 2328-2332.

83. Agranovich V.M., Shen Y.R., Baughman R.H., Zakhidov A.A. Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69.-P.165112-1-165112-7.

84. Barabash S. V., Stroud D. Negative magnetoresistance produced by Hall fluctuations in a ferromagnetic domain structure // Appl. Phys. Letters. 2001. - V. 79, N 7. - P.979-981.

85. BarreraR.G., Villasenor-Gonzalez P., Mochan W.L., Monsivais G. Effective dielectric response of polydispersed composites // Phys. Rev. B. 1990. - V. 41. - P. 7370-7376.

86. Bergman D.J. Bounds for the complex dielectric constant of a two-component composite material //Phys. Rev. B. 1981. - V. 23. - P. 3058-3065.

87. Bergman D.J. Exactly Solvable Microscopic Geometries and Rigorous Bounds for the Complex Dielectric Constant of a Two-Component Composite Material II Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 44. - P. 1285-1287.

88. Bergman DJ. Rigorous bounds for the complex dielectric constant of a two-component composite // Ann. Phys. 1982. - V. 138 N 1. - P. 78-114.

89. Bergman D.J. The dielectric constant of a composite material—A problem in classical physics // Phys. Rep. 1978. - V 43, N 9. - P. 377-407.

90. Bergman D. The self-consistent effective medium approximation (SEMA): New tricks from»an old dog // Physica B. 2007. - V. 394. - P. 344-350.

91. Bergman D.J., StroudD. High-field magnetotransport in composite conductors: Effective-medium approximation//Phys. Rev. B. -2000,-V. 62, N 10. P. 6603-6613.

92. Böttcher C.J.F., Bordewijk P. Theory of electric polarization. -Amsterdam. -Oxford. New York: Elsevier Scientific Publishing Company, 1978. - V. 2. - 562 p.

93. Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalisher Konstanten von heterogenen Substanzen //Ann. Phys. Lpz. - 1935. - B. 24. - S.636-679.

94. Bunge HJ. Texture analysis in material science. London: Butterworths. - 1982. -593 p.

95. Bunge HJ., Siegesmund S., Skrotzki W. Textures of geological materials. -Informationsgesellschaft. Verlag. 1994.-400 p.

96. Carmona F., ElAmartiA. Anisotropie electrical conductivity in heterogeneous solids with cylindrical conducting inclusions // Phys. Rev. B. 1987. - V. 35. - P. 3284-3290.

97. Claro F., Rojas R. Correlation and multipolar effects in the dielectric response of particulate matter: An iterative mean-field theory // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. -P. 6369-6375.

98. Datta S., Chan C. T., Ho K. M., Soukoulis C. M. Effective dielectric constant of periodic composite structures // Phys. Rev. B. 1993. - V. 48. - P. 14936-14943.

99. Day A.R., McGurn A.R., Bergman DJ., Thorpe M.F. Spectral representation of the electrical proporties of layered materials // Physica B. 2003. - V. 338. - P. 24-30.

100. Dias-Guilera A., Tremblay A.-M. S. Random mixtures with orientational order, and the anisotropic resistivity tensor of high-Tc superconductors // J. Appl. Phys. -1991. -V. 69, N 1. -P.379-383.

101. Djordjevic B.R., Hetherington J.H., Thorpe M.F. Spectral function for a conducting sheet containing circular inclusions I I Phys. Rev. B. 1996. - V. 53, N. 22. - P. 14862-14871.

102. Doyle W.T. Optical properties of a suspension of metal spheres I I Phys. Rev. B. 1989. - V. 39. - P. 9852-9858.

103. Draine B. T. The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains // Astroph. J. 1988. -V. 333, N. 2. - P. 848-872.

104. Fokin A. G. Macroscopical dielectric permittivities of nonhomogeneous media // Phys. Status Solidi. 1983. - V. 119, N 2. - P: 741-754.

105. Foldy L. The multiple scattering of waves // Phys. Rev. 1945. - V. 67. - P. 107119.

106. Fricke H. A mathematical treatment of the electric conductivity and capacity of disperse systems I. The electric conductivity of a suspension of homogeneous spheroids // Phys. Rev. 1924. - V. 24, P. 575 - 587.

107. Genchev ZD. Anisotropic electrical conductivity tensor of granular high- Tc superconductors in an effective-medium.theory// Supercond. Sci. Technol. 1993. -V. 6.-P. 532-536.

108. Golden K., Papanicolaou G. Bounds for effective parameters of heterogeneous media by analytic continuation. // Commun. Math. Phys. 1983. - V. 90. - P. 473-491.

109. Guerin C.-A., Mallet P., SentenacA. Effective-medium theory for finite-size aggregates // J. Opt. Soc. Am. A. 2006. - V. 23, N. 2. - P. 349-358.

110. Harter T., Knudby C. Effective conductivity of periodic media with cuboid inclusions // Adv. Water Resources. 2004. - V. 27. - P. 1017-1032.

111. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. - V. 33, N 10. -P. 3125-3131.

112. Hashin Z„ Shtrikman S. Conductivity of polycrystals // Phys. Rev. 1963. -V.130-P. 129-133.

113. Helsing J., Helte A. Effective conductivity of aggregates of anisotropic grains // J. Appl. Phys. 1991. - VoI.'69, N 6. - P.3583-3588.

114. Herring C. Effect of Random Inhomogeneities on Electrical and Galvanomagnetic Measurements //J. Appl. Phys. 1960. - Vol. 31. - P. 1939-1953.

115. Hui P.M., Stroud D. Effective linear and nonlinear response of fractal clusters // Phys. Rev. B.- 1994.-Vol.49,N 17.-P. 11729-11735.

116. Hui P.M., Stroud D. Theory of second harmonic generation in composites ofnonlinear dielectrics // J. Appl. Phys. 1997. - Vol. 82, N-10. - P. 4740-4743.t

117. Hui P.M., Xu C., StroudD. Dimensional crossover in the effective second-harmonic generation of films of random dielectrics // Phys. Rev. B. 2004. - Vol.69. -P. 014202-1-014202-5.

118. Hui P.M., ZhangX., Markworth A.J., Stroud D. Thermal conductivity of graded composites: Numerical simulations and an effective medium approximation // J. of Material Science. 1999. - Vol. 34. - P. 5497-5503.

119. Jones R.C. A Generalization of the Dielectric Ellipsoid Problem // Phys. Rev. -1945. Vol.68, N 3,4. - P.93-96.

120. Keller J.B. Conductivity of a medium containing a dense array of perfectly conducting spheres or cylinders or nonconducting cylinders // J. Appl. Phys. 1963. -Vol. 94. P. 991-993i

121. Keller J.B. A Theorem on the Conductivity of a Composite Medium // J. Math.

122. Phys. 1964. - Vol. 5. P. 548-549.

123. KirkpatrickS. Percolation and Conduction // Rev. Mod. Phys. 1973. - Vol. 45. -P. 574-588.

124. Kolokolova L., Gustafson V.A. Scattering by inhomogeneous particles: microwave analog experiments and comparison to effective medium theories // J. Quant. Spec-trosc. Radiat. Transf. 2001. - Vol.- 70. - P. 611- 625.

125. Lakhtakia A. Size-dependent Maxwell-Garnett formula from an integral equation formalism // Optik (Stuttgart) 1992. - Vol. 91. - P. 134-137.

126. Landauer R. The Electrical Resistance of Binary Metallic Mixtures // J. Appl. Phys. 1952. - Vol. 23, N 7. - P. 779-784.

127. Lavrov I. V. Theoretical treatment of the conductivity of textured inhomogeneous materials // Semiconductors. 2009. - Vol.43, №13. - P. 1623-1627.

128. Lax M. Multiple scattering of waves. II. The effective field in dense systems // Phys. Rev. 1952. - Vol.85. - P. 621 - 629.

129. Levy O., Stroud D. Maxwell Garnett theory for mixtures of anisotropic inclusions: Application to conducting polymers. I I Phys. Rev. B. 1997. - Vol.56, N 13. - P. 8035-8046.

130. Liang Fu, Macedo P.B., Resca L. Analytic approach to the interfacial polarization of heterogeneous systems // Phys. Rev. B. 1993. - Vol.47. - P. 13818 - 13829.

131. Looyenga H. Dielectric constants of heterogeneous mixtures // Physica. 1965. - B.31. - 401-406.

132. Mallet P., Guerin C.-ASentenacA. Maxwell-Garnett mixing rule in the presence of multiple scattering: Derivation and accuracy // Phys. Rev. B. 2005. - Vol.72. -P. 014205-1-014205-9.

133. Maxwell J.C. Treatise on Electricity and Magnetism. 1954. - V.l. - P:440.

134. Mendelson K.S. Effective conductivity of two-phase material with cylindrical phase boundaries // J. Appl. Phys. 1975. - Vol. 46. - P. 917-918.

135. Mendelson K.S. A theorem on the effective conductivity of a two-dimensional heterogeneous medium // J. Appl. Phys. 1975. - Vol. 46. - P. 4740 -4741.

136. Milton G. W. Bounds on the complex dielectric constant of a composite material. // J. Appl. Phys. Lett.- 1980. Vol.37. - P. 300-302 .

137. Milton G. W. Bounds on the complex permittivity of a two-component composite material. // J. Appl. Phys. -1981.- Vol.52. P. 5286-5293 .

138. Milton G. W. Bounds on the transport and optical properties of a two-component composite material. // J. Appl. Phys. 1981. - Vol.52. - P. 5294-5304 .

139. Monecke J. Bergman spectral representation of a simple expression for the dielectric response of a symmetric two-component composite // J. Phys.: Cond. Mat. -1994.-Vol6.-P. 907-912.

140. Osborn J.A. Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid I I Phys. Rev. -1945. Vol. 67. - P. 351 - 357.

141. Polder D., van Santen J.H. The effective permeability of mixtures of solids // Physica. 1946. - B.12. - S.257-271.

142. Protsenko I.E., Zaimidoroga O.A. and Samoilov V.N. Heterogeneous medium as a filter of electromagnetic radiation // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2007. - V.9. -P.363-368.

143. Rayleigh J.W.S. On the Influence of Obstacles arranged in Rectangular Order upon the Properties of a Medium // Phil. Mag. 1892. - Vol.34. - P.481-502.

144. Roe D.J. Description of crystallite orientation in polycrystalline materials. III1 General solution to pole figure inversion // J. Appl. Phys. 1965. - Vol.36, N.6. - P." 2024-2031.

145. Ruibao Tao, Zhe Chen, Ping Sheng. First-principles Fourier approach for the calculation of the effective dielectric constant of periodic composites // Phys. Rev. B. -1990. Vol.41. - P. 2417- 2420.

146. Savyolova T.I. Approximation of the pole figures and the orientation of distribution of grains in polycrystalline samples by means of canonical normal distributions // Textures and Microstructures. 1993. - Vol. 22. - P. 17 - 27.

147. Sheng P. Theoiy for the dielectric function of granular composite media // Phys. Rev. Lett. 1980. - Vol. 45, N 1. - P.60-63.

148. ShvidlerM.I. (Швидлер М.И.) Effective conductivity of two-dimensional anisotropic media// Jh. Eksp. Teor. Fiz. 1983. - Vol. 84. - P. 1185 - 1189.

149. Stroud D. Giant anhancement of cubic nonlinearity in a polycrystalline quasi-one-dimensional conductor // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54, N. 5. - P. 3295-3299:

150. Stroud D. "Classical" Theory of the Magnetoresistance and Hall' Coefficient of Normal-Superconducting Composites // Phys. Rev. Letters. 1980. - Vol.44, N 25. -P. 1708-1711.

151. Stroud D. The effective media approximations: Some recent developments // Su-perlattices and Microstructures. 1998. - Vol. 23, N 3/4. - P. 567-573.

152. Stroud D., Hui P.M. Nonlinear susceptibilities of granular matter I I Phys. Rev. B. 1988,-Vol.38,N 15.-P. 8719-8724.

153. StroudD., Pan F.P. Magnetoresistance and Hall coefficient of inhomogeneous metals // Phys. Rev. B. 1979. - Vol.20, N 2. - P. 455-465.

154. Tao Ни, GrosbergA. Yu., Shklovskii B.I. Conductivity of a suspension of nanowires in a weakly conducting medium I I Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73. - P. 155434-1 - 155434-8.

155. Textures in Materials Research / Ed. RK.Ray, A.K.Singh I I Science Publishers. -1999.-P.489.

156. The mechanism of particle formation in Y-doped Zr02 / T.E.Konstantinova, A. V.Ragulya, A.S.Doroshkevich et al. II Intern. J. of Nanotechnology. 2006. -Vol.3., N 1. -P.29-38.

157. Wiener O. Die Theorie des Mischkörpers für das Feld der stationären Strömung II Abh.-Sachs. Geselsch. 1912. - B.32. - S.509-604.

158. Xiangting Li, Ma H.R. The Bergman spectrum of the effective dielectric constant in two-dimensional media I I J. Phys.: Cond. Matter 1999. - Vol. 11,- L241-L246.

159. Yuan Hsiao-Kuan, Chettiar U.K., Cai W. et al. A negative permeability material at red light // Optics Express. 2007. - V. 15, N 3. - P. 1076-1083.

160. ZengX.C., Bergman D.J., Hui P.M., StroudD. Effective-medium theory for weakly nonlinear composites //Phys. Rev. B. 1988-11. - V.38, N 15. - P. 1097010973.

161. Zhang S., Fan W., Panoiu N.C. et al. Experimental demonstration of near-infrared negative-index metanaterials // Phys. Rev. Lett. 2005. - V.95. - P. 137404-1-137404-4.