Вычисление объемов многогранников в неевклидовой геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Байгонакова Галия Аманболдыновна

Вычисление объемов многогранников в неевклидовой геометрии

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 и ЯНВ 2013

Новосибирск - 2012

005047895

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Горно-Алтайский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Медных Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты:

Родионов Евгений Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный университет»

Пашкевич Марина Геннадьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Защита состоится 17 января 2013 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан « » декабря 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета ^ ;

кандидат физико-математических наук А.А. Егоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вычисление объема многогранника - это классическая задача, известная со времен Евклида, не потерявшая актуальность в настоящее время. Диссертационная работа посвящена вычислению объемов неевклидовых многогранников.

Существенную роль в вычислении объемов евклидовых многогранников сыграли работы И. X. Сабитова [7] и А. А. Гайфуллина [13]. В 1996 году И. X. Сабитов [7] доказал, что объем трехмерного евклидова симплициального многогранника есть корень алгебраического уравнения, коэффициентами которого являются многочлены, зависящие только от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер. В 2011 году четырехмерный аналог этой теоремы был получен в работе А. А. Гайфуллина [13].

В гиперболическом и сферическом случаях ситуация является более сложной, формула объема для бипрямоуголыюго тетраэдра была известна со времен Н. И. Лобачевского [16]. Объемы куба Ламберта и некоторых других неевклидовых многогранников вычислены Э. Б. Вин-бергом [2], Р. Келлерхальц [14], Я. 3. Мохантп [21], Д. А. Деревянным, А. Д. Медных [12], А. Ю. Весниным [18], Дж. Паркером [19], М. Г. Пашкевич [5[ и другими авторами. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. В. Винбергом [2].

До последнего времени оставалась нерешенной классическая задача о вычислении объема произвольного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. В 1999 году в работе Ю. Чо и X. Кима [11] была получена формула объема произвольного тетраэдра в виде суммы шестнадцати дилогарифмичеекпх функций. Позже в 2005 году Дж. Му-раками и У. Яно [22] также получили достаточно сложную формулу для вычисления объема произвольного тетраэдра. Более простое доказательство этой формулы, которое включает также объемы усеченных тетраэдров, было найдено А. Ушиджимой [24] в 2006 году. Элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра в 2004 году предложили Д. А. Деревнин, А. Д. Медных [4].

Известно, что если многогранник обладает симметрией, то формула его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [16] для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор [20] в 1982 году представил соответствующий результат в весьма простой форме. В общем случае объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах

найден в работе Д. А. Деревнина, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [5] в 2005 году. Объемы октаэдров, обладающих различными симметриями, и двойственных к ним гексаэдров в сферическом пространстве найдены Н. В. Абросимовым, М. Годой Молиной и А. Д. Медных [1].

Одним из актуальных направлений современной геометрии является изучение множества геометрических структур на заданном многообразии. Это множество, как правило, зависит от конечного числа параметров и представляет собой многообразие с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или ор-бифолдом. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости восстановления классических теорем в этой области. Данная мысль в равной мере относится и к геометрии узлов, заложенной в работах Р. Райли и У. Терстона в последней четверти XX в. Отметим, что указанное направление активно развивается новосибирской геометрической школой ([1], [18], [20], [26]). Изложенные ниже результаты могут быть также использованы и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны ([1], [26], [27]).

Цель работы заключается в получении аналога формулы Милно-ра для случая идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве; вычислении объема гиперболического октаэдра, обладающего тптгп-симметрией; нахождении площади трапеции в сферическом случае; получении аналогов формулы Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях.

Методы исследований. Полученные основные результаты опираются на идеи и методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Доказан аналог формулы Милнора для идеального гиперболического октаэдра.

2) Получены формулы объемов гиперболического октаэдра, обладающего тттп-симметрией.

3) Найдена формула площади сферической трапеции через длины ее сторон.

4) Получены сферический и гиперболический аналоги формулы Бретшнайдера площади четырехугольника.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами из области геометрии и

комплексного анализа. Материалы диссертации могут быть применены при организации спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 2009, 2 - 8 августа 2010 г., 13 - 19 августа 2011 г., 11 - 19 августа 2012 г.); ХЫХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 16 - 20 апреля 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); X Международной Казанской летней научной школе-конференции (г. Казань, 1 7 июля 2011 г.); X молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.); С юбилейной международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 13-19 апреля 2012 г.); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» (г. Новосибирск, 30 августа - 1 сентября 2012 г.); Международной школе-семинаре «Ломоносовские чтения на Алтае» (г. Барнаул, 20 - 23 ноября 2012 г.).

Резз'льтаты диссертации обсуждались на семинарах ведущих научно-исследовательских институтов и университетов: кафедры математического анализа Горно-Алтайского государственного университета под руководством д.ф.-м.и. А. В. Тетенова; отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка; «Геометрия и топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством академика И. А. Тайманова; «Инварианты трехмерных многоообразий» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина; «Геометрическая теория функций» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. А. Ю. Веснина, проф. А. Д. Медных и проф. В. В. Асеева; кафедры математического анализа Алтайского государственного университета иод руководством проф. Е. Д. Родионова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях журналов перечня ВАК и 10 тезисах международных и российских конференций. Вклад авторов в совместные работы ([26]-[30]. [33], [35], [39]) равноценный.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 использованных источников. Общий объем диссертации - 81 страница.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме, излагается краткое содержание работы, формулируются основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена вычислению объема идеального симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве.

В параграфе 1.1 изложена история данного вопроса из работы Дж. Милнора [20], где им доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Объем V идеального гиперболического тпстпра- ^ эдра Т = Т(А, В, С) с двугранными углами А, В, С, (А + В + С = п) вычисляется по формуле:

где Л (ж) = - log |2sin£|iZ£ - функция Лобачевского. Сформулируем следствие из данной теоремы.

Следствие 1.1.1. Максимальный объем V идеального гиперболического тетраэдра достигается при А = В — С = — и равен:

Целью первой главы является перенесение результатов работы [ 20] на случай идеального симметричного гиперболического октаэдра.

Пусть О - идеальный симметричный октаэдр р. пространстве Я3 с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах, обозначим его двугранные углы через А В, С, /Л Е и Г, тогда объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Объем V гиперболического идеального симметричного октаэдра О с двугранными углами А, В, С, Д Е и Р равен:

V{T) = Л(Л) + Л(В) + Л(С),

/ ,7Г + А + В + Е. .,

V(0) = 2 (Л(---) + Л(

7Г + А + В + Е

ТТ-А-В + Е ~ 2

где 0 < A, В, С, D,E,F < тт.

Сформулируем полученное следствие из доказанной теоремы. Следствие 1.2.1. Максимальный объем V идеального симметрнч-

7Г

ного октаэдра достигается при А = В = С = 0 = Е = Р-- — и равен:

У'(0) = 4Л(|) « 3.66386... .

Вторая глава диссертации посвящена вычислению объема октаэдра с ттгтт-симметрией в гиперболическом пространстве.

Рассмотрим гиперболический октаэдр О = 0(А,В,С), обладающий mmm-симметрией, то есть зеркальной симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих вдоль его реберных циклов, где А, В,С его двугранные углы. Обозначим через a.b.с соответствующие длины его ребер.

Отметим, что объем 7птт-симметричного октаэдра в евклидовом и сферическом случаях был вычислен ранее. Далее приведем эти результаты. Так, в евклидовом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.2. (Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов) [3]. Пусть V - объем евклидова октаэдра 0(А,В,С), обладающего ттт-симметрией, с длинами ребер п,Ь,с, тогда величина V может быть найдена как положительный корень уравнения:

9V2 = 2(а2 + И2 - с2)(а2 + с2 - Ь2)(Ь2 + с2 - а2).

В сферическом случае известна следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.3. (Н. В. Абросимов, А. Д. Медных и М. Годой Мо-лина) [1]. Пусть О = 0(А,В,С) - сферический октаэдр, обладающий ттт-симметрией, тогда объем V = V(О) задается выражением:

dr

2 / ( arctanh(Xcosr) + arctanh(Ycosr))--Ь

JíL ' COST

fe dr

+2 / ( arctanh(Zcosr) + arctanhlcosr))-,

J 3 COS Г

7Г

где X = cos Л, Y = cos В, Z = cos С и 0 < 0 < — - корень уравнения:

1 + Х + Y + Z

В данной главе эти результаты распространяются на гиперболический случай.

В параграфе 2.1 доказывается теорема существования гиперболического октаэдра 0(А,В,С), обладающего mmm-симметрией.

Утверждение 2.1.1. Пусть даны числа О <А,В,С < jr. Октаэдр 0(А,В,С), обладающий тптпт-симметрией, реализуется в Н3 тогда и только тогда, когда

1+ cos А 4- cos В + cos С > О, А + В > к. .4 + С > ж, В + С > тт.

Для того, чтобы вычислить объем mmm-симметричного гиперболического октаэдра, нам нужны будут следующие тригонометрические соотношения, связывающие длины ребер и двугранные углы указанного многогранника. В частности, это дает возможность выразить длины через двугранные углы.

ТЕОРЕМА 2.1.4 (Правило синусов-тангенсов). Пусть 0(А, В. С) -гиперболический октаэдр, обладающий ттт-симметрией, с двугранными углами А, В, С и соответствующими длинами ребер а, Ь, с, тогда выполняются следующие тригонометрические соотношения:

sin А _ sin В _ sin С _ tanha tanhft tanhc ' где Т .положительный корень уравнения:

2 = (l + X)(l + y)(l + Z) 1 + X + Y + Z X = cos A, Y - cos В, Z = cos С.

Отметим, что если гиперболический октаэдр О существует, то имеет место неравенство:

(1 + Х)(1 + У)(1 +-Z) 1 + X + Y + Z

Основной результат данной главы приведен в параграфе 2.2 в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть 0(А,В,С) - гиперболический октаэдр, обладающий ттт-симметрией. Положим X = cos Л, Y = cos В, Z = cos С и обозначим через Т положительный корень уравнения:

2 = (1+ *)(! + Y)(l + Z) 1 +X+Y + Z

тогда объем V = V {(У) находится по следующим формулам: (I) Если 0 < Т < 1, то объем V равен:

V = - [ log J о

(1 — cosí)(cos A — cost)(cosБ — cosí)(cosС - cosí) |

(1 + cos í)(cos A + cosi)(cos В + cos i)(cosС + cos t) I

7Г

где величина г, 0 < г < —, находится из уравнения sin т — Т. (ii) Если Т = 1, то при а < b < с объем V равен:

X <1х

V = 2l Г — + Г— - Г

lio cosh a; J0 cosh х J0

cosh ж / '

где а, Ь, с - длины соответствующих ребер, (iii) Если Т > 1, то объем V равен:

V - 2 [ (arctan (—— ) + arctan (—) ) + Je V \ tan 7/ / \tarw;/ J eos //

+2 / arctan - + arctan ' 1 1

/(arctan ( —-—] V \ tan 77/

при этом в, 0 < 0 < I, находится из уравнения: _ _п -= Т.

v tan 77) ) cos?;' J_

cos в

В качестве следствия из данной теоремы получим следующий результат.

Рассмотрим прямоугольный тетраэдр Т. имеющий три прямых угла при вершине, с длинами существенных сторон а, Ь, с.

ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть существенные стороны прямоугольного тетраэдра Т связаны соотношением cosh с = cosh а + cosh Ь — 1. Тогда объем тетраэдра V(T) вычисляется по следующей формуле:

V{T) = \ ¿Ь dx + /о /о ^ dx) .

Третья глава посвящена вычислению площадей неевклидовых четырехугольников. В данной главе нами вычислена площадь сферической тралении через длины ее сторон и получены сферическая и гиперболическая версии теоремы Бретшнайдера.

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника S через длины его сторон о, b и с. Она может быть представлена в следующем виде:

S2 = (р- а)(р - Ь)(р - с)р,

где р = а + ^ + С ~~ полупериметр треугольника. Данная формула известна как формула Герона, названной так по имени Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в

I 13.н.э.

Формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон, а для многоугольников с большим количеством сторон формулы такого типа не существует, так как площадь многоугольника может меняться при его изгибании с сохранением длин сторон.

Площадь четырёхугольника, вообще говоря, не определяется через длины его сторон. Однако, это справедливо в некоторых частных случаях, например, когда четырёхугольник является вписанным, либо когда он представляет собой трапецию. В первом случае нам известна теорема Брахмагунты, а именно, площадь S вписанного в окружность четырёх-

а + Ь + с + d

угольника со сторонами a,b,c,d и полупериметром р = ---

равна:

S2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d.).

Формула Брахмагунты является обобщением формулы Герона. Формулировку и доказательство данной теоремы можно найти в книге ([6], с. 90).

Немецкий математик Карл Бретшнайдер в 1842 году нашел площадь произвольного евклидова четырехугольника.

Классическая теорема Бретшнайдера [10] утверждает, что пощадь S евклидова четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d и противолежащими углами А и С находится по формуле:

А + С

S2 = (р- а)(р - b)(p - с)(р -d)- abed cos2 —-—,

a + 6 + c + d огЛ где р = ----полупериметр четырехугольника цо|, с. a'J).

Отметим, что для сферического четырёхугольника формула площади через длины его сторон и диагонали была получена в монографии W. J. M'Clelland, Т. Preston 1886 г. ([23], с. 165). В гиперболическом случае варианты формулы Брахмагунты для вписанного четырехугольника найдены в работе А. Д. Медных [17]. Формула площади трапеции на

гиперболической плоскости через длины её сторон получена в работе Д. Ю. Соколовой [8].

Целью параграфа 3.1 является перенос результата работы [8J на сферический случай.

Определение 3.1.1. Выпуклый четырёхугольник ABCD называется трапецией, если для его внутренних углов справедливо соотношение:

ZA + ¿B = ZC + ¿D.

В этом случае стороны AD и ВС называются основаниями трапеции ABCD, а АВ и С D - её боковыми сторонами, а. Ь, с, <1 - соответствующие длины сторон трапеции, ей/- длины диагоналей АС и BD. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что b ф d. Сформулируем основную теорему данного параграфа.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Площадь S сферической трапеции ABCD со сторонами а, Ь, с, d находится из соотношения:

. 2 b + d а + b — с — d с sin -sin -——--

о О о Л

tan2 - =

4 ,2Ь — с/ а — b — с — d

sin -cos---

2 4

. a + b + c — d . --a + b + c — d . a-b + c + d

sm---sin-sin-

__4__4___4

a — b + с — d a + b — c + d a + b + c + d '

cos--cos---cos-

4 4 4

Замечание 3.1.2. Площадь S& евклидовой трапеции со сторонами а, Ь, с, d вычисляется по формуле:

2 _ (■b + d)2(a + Ь-с.- d)(a + b + c- d)(-a + b + c- d){a -Ь + c + d)

16(6 - Vi)2

Отметим, что tan2 — ~ (—при достаточно малых величинах а, Ь, с, d.

В параграфе 3.2 получен аналог теоремы Бретшнайдера в сферической геометрии. Сформулируем основной результат.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Площадь S сферического четырехугольника со

i/ л оп ъ a+b+c+d сторонами а, о, с, а, углами Л, Н, С, и и полупериметром р =--

находится по формуле:

р — а . р — b , р — с . р — d ,5 sinsm —— sin —- sin —- abed , К

sin 4 = -"-a b 'с d---taU 2 ttm 2 tan 2 tan 2 ИП T'

cos — cos — cos — cos —

где К = A - В + С - D.

Имеют место представленные ниже следствия из доказанной теоремы.

Напомним, что сферический четырёхугольник с углами А, В, С и D является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда А + С — В+ £>[15].

Следствие 3.2.1. Площадь S вписанного сферического четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d находится по формуле:

sin2 —

р — а . р — b . р — с . р -§ sin —-—sin —-—sin —-—sm —

4 abed

cos - cos - cos 2COS 2

a+b+c+d где p =-—■

Замечание 3.2.1. Данный результат является сферическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в монографии ([23], с. 164).

Следствие 3.2.2. Если сферический четырёхугольник со сторонами а, 6, с и d вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

п S a b с d sin — = tan — tan - tan - tan —.

Следствие 3.2.3. Сфергпеский четырёхугольник со сторонами а, Ь,с и d имеет максимальную плои^адь S тогда и только тогда, когда он вписан в окружность.

Замечание 3.2.2. Данный результат известен из работы [15].

Аналог теоремы Бретшнайдера в гиперболической геометрии со следствиями получены в параграфе 3.3. Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Площадь S гиперболического четырехугольника со сторонами a,b,c,d, углами A.B,C,D находится по формуле:

p-ap-bp-cp-d

с smh-smh-smn-smh-

. 2 9 9 9 1 9 Sin2 - = -*---^-c/ d-^--

cosh — cosh -cosh -cosh -2 2 2 2

, a , b с d 2 К —tanh —tanh -tanh -tanh - sm —, 2 2 2 2 4 '

t- < n ^ n a + fe + c + rf где К = A — В + С - и, р = ----полупериметр.

Следствие 3.3.1. Площадь S вписанного гиперболического четырехугольника со сторонами a, b, с, d. находится по формуле:

■ , Р~а . р-b р~ с p-d

q snili- sinh- srnh- smh-

siu2 £ = _2___2__2_2_

cosh - cosh - cosh - cosh -2 2 2 2

a+b+c+d где p = -.

2

Замечание 3.3.1. Данный результат является гиперболическим аналогом формулы Брахмагупты, полученным в работе [17].

Следующее следствие выражает площадь описанного четырехугольника через стороны и сумму противолежащих углов. В этом случае выполняется равенство а + с = b + d.

Следствие 3.3.2. Площадь S описанного гиперболического четырехугольника со стороналш а, Ь, с, d и углами А, В, С, D находится, по формуле:

. 2S а Ь с d 2 А-В + C-D

sm — = tanh — tanh - tanh - tanh - cos -.

4 2 2 2 2 1

Следствие 3.3.3. Если гиперболический четырёхугольник со сторонами a, b, cud вписан в одну окружность и описан около другой, то его площадь S находится по формуле:

■ 1 S 1 а , b ic , d

sm — = tanh — tanh - tanh - tanh -.

4 2 2 2 2

Следствие 3.3.4. Гиперболический четырёхугольник со сторонами а,Ь,с и<1 имеет максимальную площадь 5' тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистанты.

Замечание 3.3.2. Данный результат хорошо известен из многих работ ([9], [15], [25]), однако в цитируемых работах он доказывается либо через изопериметрические неравенства, либо с помощью исследования функций от нескольких переменных на экстремум. В диссертации приводится его элементарное доказательство.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Дмитриевичу Медных за постановку задач, постоянную поддержку и помощь в работе.

Используемая литература

[1] Абросимов, Н. В. Об объеме сферического октаэдра с симметрия-ми / Н. В. Абросимов, М. Годой Молина, А. Д. Медных // Соврем, мат. и ее прил. - 2008. - Т. 60. - С. 3-12.

[2] Винберг, Э. Б. Геометрия 2. Современные проблемы математики / Э. Б. Винберг - М.: ВИНИТИ (Итоги пауки и техники), 1988. Т. 29. - С. 1-146.

[3] Галиулин, Р. В. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра / Р. В. Галиулин, С. Н. Михалев, И. X. Сабитов // Мат. заметки. - 2004. - Т. 76, № 1. - С. 27-43.

[4] Деревнин, Д. А. О формуле объема гиперболического тетраэдра / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Успехи мат. наук. - 2005. - Т. 60, Л* 2. - С. 159-160.

[5] Деревнин, Д. А. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных, М. Г. Пашкевич // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 5. -С. 1022-1031.

[6] Понарин, Я. П. Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия / Я. П. Понарин. - М.: МЦНМО. 2004. - С. 312.

[7] Сабитов, И. X. Объем многогранника как функция длин его ребер / И. X. Сабитов // Фундамент, и прикл. мат. - 1996. - Т. 2, № 4. - С. 305-307.

[8] Соколова, Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского / Д. Ю. Соколова // Сиб. электрон, матем. изв. - 2012. - Т. 9. -С. 256-260.

[9] Bezdek, К. Ein elementarer Beweis für die isoperimetrische Ungleichung in der euklidischen und hyperbolischen Ebene / K. Bezdek //' Ann. Univ. Sei. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Math. -1984. - V. 27 - P. 107-112.

[10] Bretschneider, С. A. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes / С. A. Bretschneider // Arch. Math. -1842. - Bd. 2. - S. 225-261.

[11] Cho, Yu. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra / Yu. Cho, H. Kim // Disc, and Comp. Geometry. - 1999. - V. 22. -- P. 347-366.

[12] Derevnin, D. A. On the volume of spherical Lambert cube / D. A. Derevnin, A. D. Mednykh //' Mat. Zametki. - 2009. - V. 86, № 2. - P. 190-201.

[13] Gaifullin, A. A. Sabitov polinomials for polyhedra in four dimensions / A. A. Gaifullin // arXiv: 1108.6014vl [math.MG]. - 2011.

[14] Kellerhals, R. On the volume of hyperbolic polyhedra / R. Kellerhals // Math. Ann. - 1989. - V. 285. - P. 541-569.

[15] Lienhard, W. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry / W. Lienhard // Elem. math. - 2011. - V. 66, №. 2. - P. 74-82.

116] Lobachevsky, N. I. Imaginäre Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale / N. I. Lobachevsky // Deutsche Übersetzung von H. Liebmann. Leipzig: Teubner. - 1904.

[17] Mednykh, A. D. Brahmahupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane / A. D. Mednykh // Sib. Electron. Math. Reports. -2012. - V. 9. P. 247-255.

[18] Mednykh, A. D. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds / A. D. Mednykh, A. Ya. Vesnin // SCIENTIA, Series A: Mathematical Sciences. - 2002. - V. 8. - P. 1-11.

[19] Mednykh, A. D. On hypcrbolie polyhedra arising as convex cores of quasi-Fuchsian punctured torus groups / A. D. Mednykh, J. Parker, A. Yu. Vesnin /'/' Bol. Soc. Mat. Mexicana. - 2004. - V. 10, № 3. -P. 357-381.

[20] Milnor, J. W. Hyperbolic geometry: the first 150 years / J. W. Milnor /'/' Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - V. 6, № 1. - P. 9-24.

[21] Mohanty, Ya. Z. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence Ph. D. in Mathematics, UCSD. - 2002. - P. 123.

[22] Murakami, J. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron / J. Murakami, M. Yano // Comm. Anal. Geom. - 2005. -V. 13. P. 379-200.

[23] M'Clelland, \V. J. A treatise on spherical trigonometry with application to spherical geometry and numerous examples. P. II / W. J. M'Clelland, T. A. Preston // London: Macmillian and Co. -1886. - P. 400.

[24] Ushijiina, A. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra / A. Ushijima /'/ In: Non-Euclidean Geometries. Math, and Its Appl. -2006. - V. 581. - P. 249-265.

[25] Walter, R. Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area / R. Walter // arXiv:1008.3821vl [math.MG], - 2010.

Список публикаций автора по теме диссертации

[26] Байгонакова, Г. А. О формуле Милнора для объема гиперболического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мат. заметки ЯГУ. - 2010. - Т. 17, № 2. - С. 3-9.

[27] Байгонакова, Г. А. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией /

Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных, М. Годой Молина // Вестник КемГУ. - 2011. - Т. 47, № 3/1 - С. 9-14.

[28] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера для сферического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мат. заметки ЯГУ. - 2012. Т. 19, № 2. - С. 3-12.

[29] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера для гиперболического четырехугольника / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных // Мат. заметки ЯГУ. - 2012. Т. 19, № 2. - С. 12-20.

[30] Байгонакова, Г. А. О площади трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Вестник КемГУ. -2012. - Т.2, № 4 (52). - С. 6-10.

[31] Байгонакова, Г. А. Объем гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 19 -25 августа 2010 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. - С. 5-6.

[32] Байгонакова, Г. А. Об объеме гиперболического тетраэдра с прямыми углами при вершине / Г. А. Байгонакова // Сборник научных трудов кафедры математического анализа № 2. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. - С. 12-17.

[33] Байгонакова, Г. А. Об объеме идеального симметрического октаэдра / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медньгх // Сборник трудов кафедры математического анализа № 3. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ,

2010. - С. 57-62.

[34] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема идеального симметричного октаэдра / Г. А. Байгонакова // Материалы ХЫХ международной научной студенческой конференции: Математика (Новосибирск, 16 - 20 апреля 2011 г.). - Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та,

2011. - С. 73.

[35] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема гппгт-симметричного октаэдра в гиперболическом пространстве / Г. А. Байгонакова, А. Д. Медных. М. Годоч Молина // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функции, ее приложения и смежные вопросы // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 г.). - Казань: изд. Казанского математического общества, изд. Казанского государственного университета, 2011. Т. 43. - С. 29-31.

[36] Байгонакова, Г. А. Объем симметричного октаэдра в Я3 / Г. А. Байгонакова // Материалы школы конференции по геомет-рическомз' анализу (13-19 август, 2011 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011. - С. 12-13.

[37] Байгонакова, Г. А. Объем идеального октаэдра в гиперборличе-ском пространстве / Г. А. Байгонакова // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского / Материалы десятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения» — 2011 (Казань, 31 октября - 4 ноября 2011 г.). Казань: изд. Казанского математического общества, 2011. Т.44. - С. 86-87.

[38] Байгонакова, Г. А. Вычисление объема пипт - симметричного октаэдра в простейшей геометрической ситуации / Г. А. Байгонакова / / 50-я юбилейная Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 13 - 19 апреля 2012 г.). - Новосибирск: изд. Новосиб. гос. ун-та, 2012. - С. 73-75.

[39] Байгонакова, Г. А. Площадь трапеции в сферической геометрии / Г. А. Байгонакова, Д. Ю. Соколова // Материалы школы кон-

ференции по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 11-19 августа, 2012 г.). - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. - С. 12-13.

[40] Байгонакова, Г. А. О формуле Бретшнайдера в гиперболическом и сферическом случаях / Г. А. Байгонакова // Сборник научных статей международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 20 - 23 ноября, 2012 г.). - Барнаул: АлтГ-ПА, 2012. 4.1. - С. 248-252.

Байгонакова Галия Аманболдыновна

Вычисление объемов многогранников в неевклидовой геометрии

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 7.12.2012. Формат 00*84 1/16. Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд. л. 1. Заказ № 175. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090 Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6