Вычисление радиационных поправок в Стандартной Модели к наблюдаемым величинам на современных ускорителях высоких энергий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

¡шиїшіііш

—■"Я" —

005011294

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК В СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ К НАБЛЮДАЕМЫМ ВЕЛИЧИНАМ НА СОВРЕМЕННЫХ УСКОРИТЕЛЯХ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

2-2012-3

На правах рукописи УДК 539.12, 539.125.17

ХРИСТОВА Пена Христова

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 МАР Ш1

Дубна 2012

005011294

Работа выполнена в Лаборатории ядерных проблем им. В.П. Джелепова Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Илья Файвильевич Гинзбург (ИЯФ СО РАН)

доктор физико-математических наук Николай Иннокентьевич Кочелев (ОИЯИ)

доктор физико-математических наук Рудольф Николаевич Фаустов (ВЦ РАН)

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына, МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва.

Защита диссертации состоитс в 15— на

ненном институте ядерных исследований (ул. Жолио-Кюри д. 6, г. Дубна Московской области, 141980).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

заседании диссертационного

Объеди-

Автореферат разослан "Ц" 0$' 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований.

Стандартная модель (СМ) фундаментальных взаимодействий элементарных частиц — единственная на сегодняшний день теория, которая продолжает оставаться фундаментом прецизионных теоретических расчетов, необходимых для корректной интерпретации экспериментальных данных. В течение последних двадцати лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий. В пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного расхождения от предсказаний СМ. С появлением новых ускорителей ( LHC, ILC, CLIC) появляется возможность проверки СМ с точностью « 1%, что предполагает выполнение теоретических расчетов с еще большей точностью, чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории.

Важная роль высокоточных теоретических предсказаний в физике высоких энергий известна со времен экспериментов на LEP1 и LEP2, где точность измерений значительно превысила 0.1% и 1% соответственно. Во времена LEP прецизионные расчеты, в основном, проводились для проверки СМ. Еще большая точность потребуется на будущих электронных линейных ускорителях (ILC, CLIC) и мюонных фабриках. На адронном коллайдере LHC ожидается точность измерений ~ 1%. Это потребует соответствующих теоретических предсказаний, по крайней мере, на уровне однопетлевых (NLO) расчетов в электрослабом секторе (ЭС) СМ, а в квантовохромодинамическом (КХД) секторе СМ — двухпетлевых (NNLO) поправок.

Из-за присутствия большого числа диаграмм и энергетических масштабов (массы бозонов, топ-кварка), вычисление полных ЭС радиационных поправок является несравненно более сложной задачей, чем вычисления квантовоэлек-тродинамических (КЭД) радиационных поправок. В силу этих причин в последние годы стала актуальной проблема автоматизации вычислений ЭС радиационных поправок. Известными примерами компьютерных систем, автоматизировавших эти вычисления, являются FeynArts/FeynCalc и GRACE-loop. В течение ряда последних лет в ЛЯП ОИЯИ была создана и продолжает развиваться компьютерная система SANC, позволяющая вычислять однопетлевые ЭС и КХД радиационные поправки к множеству процессов, исследуемых в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий.

Процедура вычисления ЭС радиационных поправок должна учитывать специфику эксперимента. Не всегда удаётся сделать это аналитически, как, например, это было сделано в программе ZFITTER. Намного удобнее проделать эту процедуру с помощью методов Монте Карло. Её можно реализовать лишь в тесном сотрудничестве теоретиков и экспериментаторов, поэтому возникло понятие "теоретическая поддержка" эксперимента.

В настоящей диссертации представлен цикл работ именно по теоретической поддержке экспериментов физики высоких энергий за последние 25 лет вплоть до настоящего времени.

Цель диссертационной работы — описать теоретическую поддержку экспериментов на ускорителях с высокими энергиями, которая проводилась на протяжении многих лет в рамках СМ для электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц. Речь идёт о нескольких этапах этой работы:

• Разработка схемы перенормировки в СМ, максимально близкой к схеме перенормировки в электродинамике. Вычисление однопетлевых ЭС и КХД поправок к ширине распада бозона Хиггса на фермионные и бозонные пары в унитарной калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности (OMS).

• Полное аналитическое вычисление О {а) КЭД поправок к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP с реалистическими обрезаниями.

• Расчеты однопетлевых электрослабых поправок к процессам глубоконе-упругого рассеяния поляризованных электронов на поляризованных протонах в лептонных переменных как теоретическая поддержка эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

• Создание многочисленных автономных модулей компьютерной системы SA NC по аналитическому расчёту вкладов тормозного излучения фотонов и глюонов для большого числа процессов взаимодействия элементарных частиц в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий (LHC, ILC и др.). Аналитические вычисления однопетлевых ЭС и КХД поправок для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов для экспериментов на LHC.

• Создание КХД сектора SANC на языке FORM для аналитического вычисления собственно-энергетических, вершинных и диаграмм типа "box", и контрчленов на однопетлевом уровне. Вычисление соответствующих формфакторов амплитуд множества процессов с виртуальными глюона-ми. Вычисление сопутствующего тормозного излучения глюонов.

• Вычисление в среде SANC однопетлевых КХД поправок для четырёхфер-мионных процессов с топ кварком с учётом его ширины распада: распадов топ кварка, процессов одиночного рождения топ кварка в s и t каналах.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• Впервые была разработана схема перенормировки в Стандартной Модели с набором независимых переменных: заряд электрона, массы W и Z бозонов, массы трёх поколений кварков и заряженных лептонов, и масса бозона Хиггса.

• Впервые вычислены полные однопетлевые электрослабые и квантовохро-модинамические поправки к ширине распада Хиггсовского бозона на фермионные пары. Рассмотрено нестандартное поведение КЭД и КХД попра-

вок при больших значениях массы Хиггсовского бозона. Вычислены полные однопетлевые электрослабые поправки к ширине распада на бозонные пары (фотоны, Z бозоны и W бозоны).

• Впервые проделано полное аналитическое вычисление ö(a) КЭД поправок к полному сечению и асиммерию вперёд-назад с реалистическими обрезаниями для процесса рождения пары фермионов в е+е" аннигиляции на LEP. Результаты вошли в фортранную программу ZFITTER, использованную при обработке данных на LEP.

• Впервые в среде компьютерной системы SANC вычислены аналитически ЭС и КХД радиационные поправки к процессам Дрелла-Яна. Результатом является создание фортранных модулей, нацеленных на теоретическую поддержку экспериментов на ускорителе LHC.

• Впервые на языке FORM в среде компьютерной системы SANC при аналитическом вычислении поправок от излучения виртуальных и реальных глюонов для процессов с участием топ кварка учитывается ширина топ кварка.

Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и т.п., а в случаях, где это было возможно, путем сравнения с результатами вычислений других групп.

Практическая ценность

Фортранная программа ZFITTER использовалась для анализа данных на ускорителе LEP. Также она полезна для многих экспериментальных и феноменологических исследований.

Фортранная программа HECTOR 1.11 ( "New beta version of the source code" (http://www.ifh.de/theory/publist.html)) использовалась как рабочая программа для анализа данных по глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах в эксперименте HERMES на ускорителе HERA.

Созданные программные продукты в рамках проекта SANC нацелены на теоретическую поддержку анализа данных в эксперименте ATLAS на LHC.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработана универсальная схема вычисления однопетлевых электрослабых и КХД радиационных поправок к процессам взаимодействия частиц при высоких энергиях с учётом экспериментальных условий. Эта схема реализована в рамках компьютерной системы SANC и применена для получения прецизионных теоретических предсказаний для процессов изучаемых на современных ускорителях.

2. Вычислены ширины распада бозона Хиггса на фермионные и бозонные пары с учётом однопетлевых электрослабых и КХД поправок в Стандартной Модели в унитарной и Щ калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности. Слабые и КХД поправки большие и должны учитываться в экспериментах на LHC и ILC.

3. Учтены реалистические обрезания при вычислении 0(а) КЭД поправок от жёсткого тормозного излучения фотонов к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP. Полученные результаты были внедрены в программу ZFITTER, которая применялась при обработке данных.

4. Внедрены в программу HECTOR эффекты поляризации электронов и протонов при расчёте однопетлевых электрослабых поправок в лептонных переменных к процессам глубоконеупругого рассеяния. Созданная программа P0LHECT0R использовалась в теоретической поддержке эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

5. В системе SANC проведено полное аналитическое вычисление однопетлевых КХД поправок для процессов одиночного рождения топ кварка в s и t каналах с последующим его распадом в приближении факторизации. Реализован учёт ширины распада топ кварка в духе схемы комплексных масс. Созданные стандартные модули SANC внедрены в Монте Карло генераторы и интеграторы, которые являются удобными инструментами для анализа данных на LHC.

6. В системе SANC аналитически вычислены однопетлевые электрослабые и КХД поправки для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов. Полученные результаты уже используются при анализе данных эксперимента ATLAS на LHC.

Аппробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории Теоретической Физики им. H.H. Боголюбова и Лаборатории Ядерных Проблем им В.П. Джелепова ОИЯИ, на семинарах в Институте Физики Высоких Энергий в Цойтене (Германия), в CERN (Швейцария), на Рабочих Совещаниях по физической программе ATLAS в ОИЯИ (28 апреля и 25 ноября 2005 г., 14 апреля и 22 декабря 2006 г., 25 декабря 2007 г. и 21 апреля 2008 г.), а также докладывались на следующих международных рабочих совещаниях и школах: "IX Silesian School of Theoretical Physics", Szczyrk, Poland, Sep. 1985; Workshop on "Physics at HERA", Hamburg, Germany, Oct. 1987, "Theory of Elementary Particles", Sellin 1987; "Czechoslovak Hadron Symposium", 1988; "Cracow International Symposium on Radiative Corrections" (CRAD 96), Cracow, Poland, Aug. 1996; Symposium "RADCOR1998", Spain, Sep. 1998, Barcelona; ECFA/DESY Linear Collider Project Meetings at Frascati, Nov. 1998 and Oxford, Mar. 1999 and at LEP-2 Miniworkshop at CERN, Mar. 1999; Workshop for a Worldwide Study on Physics and Experiments

with Future Linear e+e~ Colliders at Sitges/Barcelona, Apr. 1999; "5th Workshop of the 2nd ECFA - DESY Study on Physics and Detectors for a Linear Electron - Positron Collider", Obernai, France, Oct. 1999; Workshop of "Loops and Legs in Quantum Field Theory", Bastei, Germany, April 2000; International School-Workshop "Calculations for Modern and Future Colliders", (CALC) JINR, Dubna, 2000; Conference "RADCOR 2002", Kloster Banz, Germany, Sep. 2002; 8th International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research "ACAT 2002", Moscow, Russia, Jun. 2002; ECFA LC Workshop "Study of Physics and Detectors for a Linear Collider", Montpellier, Nov. 2003; International School-Workshop "Calculations for Modern and Future Colliders", (CALC) JINR, Dubna, 2009;

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 16 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Личный вклад автора.

Из всех работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены положения и результаты, полученные либо лично автором, либо при ее определяющем участии в постановке задач и разработке методов их решения.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 191 наименований. Общий объем диссертации 316 страниц. Диссертация содержит 28 таблиц и 118 рисунков.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы: I. Статьи в рецензируемых журналах

1. P. Christova. The One Loop Effects In The Electroweak Glashow-Weinberg-Salam Theory, Acta Phys. Polon. B18 (1987) 3-20.

2. D. Bardin, C. Burdik, P. Christova, T. Riemann. Electroweak Radiative Corrections to Deep Inelastic Scattering at HERA. Neutral Current Scattering. Zeit. f. Phys. C42 (1989) 679-692.

3. D. Bardin, K. Burdik, P. Christova, T. Riemann. Electroweak Radiative Corrections To Deep Inelastic Scattering At HERA. Charged Current Scattering. Zeit. f. Phys. C44 (1989) 149-156.

4. D. Bardin, B. Vilensky, P. Christova. Calculation of the Higgs boson decay width into fermion pairs, Sov.J.Nucl.Phys. 53 (1991), 152-158, Yad.Fiz. 53 (1991) 240-250.

5. D. Bardin, P. Christova, B. Vilensky. Calculation of the Higgs boson decay widths into boson pairs, Sov.J.Nucl.Phys. 54 (1991), 833-844, Yad.Fiz. 54 (1991) 1366-1383.

6. D. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya, T. Riemann. QED and electroweak corrections to deep inelastic scattering. Acta Phys.Polon. B28 (1997) 511-528.

7. D. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya. O(q) QED corrections to neutral current polarized deep inelastic lepton-nucleon scattering. Nucl. Phys. B506 (1997) 295-328.

8. P. Christova, M. Jack, T. Riemann. Hard photon emission in e+e~ —► // with realistic cuts. Phys.Lett. B456 (1999) 264-269.

9. P. Christova. QED radiative corrections under the SANC project. Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 578-580.

10. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava. Update of one loop corrections for e+e~ —* //, first run of SANC system. Phys.Part.Nucl. 34 (2003) 577-618, Fiz. Elem. Chast. Atom. Yadra 34 (2003) 1125-1195.

11. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, R. Sadykov. One-loop corrections to the Drell-Yan process in SANC. I. The Charged Current case. Eur.Phys.J. C46 (2006) 407-412, Erratum-ibid. C50 (2007) 505.

12. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, R. Sadykov, W. von Schlippe. SANCnews: Sector 4f, Charged Current. Eur.Phys.J. C51 (2007) 585-591.

13. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, R. Sadykov. Implementation of NLO QCD corrections into the framework of computer system SANC. Phys.Part.Nucl.Lett. 4 (2007) 451-460.

14. D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, R. Sadykov. One-loop corrections to the Drell-Yan process in SANC. (II). The Neutral current case. A. Arbuzov, Eur.Phys.J. C54 (2008) 451-460.

15. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko P. Christova, V. Kolesnikov, G. Nanava, R. Sadykov. NLO QCD corrections to Drell-Yan processes in the SANC framework. Yad.Fiz. 73 (2010) 1810-1818.

16. D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, W. von Schlippe. SANCnews: top decays in QCD and EW sectors. Phys.Part.Nucl. Lett. 7 (2010) 72-79; Письма в ЭЧАЯ, 7 (2010) 128-141.

II. Материалы конференций и рабочих совещаний

17. D. Bardin, C. Burdik, P. Christova, T. Riemann. Study Of Electroweak Radiative Corrections to Deep Inelastic Scattering at HERA. JINR-E2-87-595, Jul

1987. In the Proceedings of the Workshop on "Physics at HERA", Hamburg, Germany, Oct. 12-14, 1987.

18. D. Bardin, C. Burdik, P. Christova, T. Riemann. Electroweak Radiative Corrections At HERA Energies. In the Proceedings of the Workshop on "Theory of Elemantary Particles", Sellin 1987, 324-330.

19. D. Bardin, C. Burdik, P. Christova, T. Riemann. On QED Radiative Corrections At HERA. JINR-E2-88-682, In "Czechoslovak Hadron Symposium", Sep.

1988, 0347

20. P. Christova, M. Jack, S. Riemann, T. Riemann. Predictions for fermion pair production at LEP. DESY-98-184, Sep. 1998. In the proceedings of 4th International Symposium on Radiative Corrections "RADCOR 98", Spain, 8-12 Sep.

1998. Barcelona 1998, "Radiative corrections: Application of quantum field theory to phenomenology", 392-400. hep-ph/9812412.

21. P. Christova, M. Jack, S. Riemann, T. Riemann. Predictions of ZFITTER v.6 for fermion pair production with acollinearity cut. DESY-99-037, Aug 1999. Based on talks presented at ECFA/DESY Linear Collider Project Meetings at Frascati, Nov. 1998 and Oxford, Mar. 1999 and at LEP-2 Miniworkshop at CERN, Mar. 1999 and at Workshop for a Worldwide Study on Physics and Experiments with Future Linear e+e~ Colliders at Sitges/Barcelona, Apr.

1999. hep-ph/9908289.

22. P. Christova, M. Jack, S. Riemann, T. Riemann. Radiative corrections to e+e~ //. LC-TH-2000-008, In the proceedings of "5th Workshop of the 2nd ECFA - DESY Study on Physics and Detectors for a Linear Electron-Positron Collider", Obernai, France, Oct. 1999, 525-538. hep-ph/0002054.

23. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, G. Passarino. Present status of the SANC project. ECFA LC Workshop "Study of Physics and Detectors for a Linear Collider", Montpellier, 13-16 November 2003.

24. R. Sadykov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava. On the electroweak corrections to t —» bl+vi(7) decay. International Workshop on Top Quark Physics, Coimbra, Portugal, 12-15 Jan. 2006. Published in PoS TOP2006:036,2006.

25. A. Arbuzov, A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, G. Nanava, R. Sadykov. Radiative corrections to the

Drell-Yan like processes in SANC. XII International Workshop on Advanced Computing and Analysis Tekniques in Physics Research, 2008, Erice, Italy.

III. Препринты

26. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava. Further study of the e+e~ —> // process with the aid of CalcPHEP system. Preprint JINR-E2-2002-20; CERN-TH/2002-068. hep-ph/0202112.

27. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, R. Sadykov. QCD branch in SANC. hep-ph/0610268.

28. D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, W. von Schlippe, К. Yordanova. Standard SANC Modules for NLO QCD Radiative Corrections to Single-top Production. 1110.3622[hep-phJ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основная цель и задачи, возникающие при ее достижении, рассматривается научная новизна проведенных исследований, а также представляется обзор литературы в данной области.

Первая глава диссертации посвящена описанию разработки схемы перенормировки в СМ в унитарной калибровке на массовой поверхности, максимально близкой к схеме перенормировки в КЭД.

В разделе 1.1 рассматривается однопетлевая фермион-фермион-фотонная вершина ff А с участием W бозонов внутри петли. Исследуется справедливость тождества Уорда в унитарной калибровке.

В разделе 1.2 описана процедура перенормировки в СМ в унитарной калибровке. Набор независимых параметров: электрический заряд е, массы калибровочных бозонов Mw и Mz, масса бозона Хиггса Мя и массы всех элементарных фермионов. Вводятся константы перенормировки заряженного векторного бозона W и нейтрального бозона Хиггса Н. Так как на однопетле-вом уровне и выше возможен переход фотона в Z бозон и наоборот, константы перенормировки нейтральных векторных бозонов А и Z вводятся в матричном виде. Перенормировка фермионных полей так же имеет матричный вид: foL = (zi/2hi fí /од = (zr\ /д. где h - столбец левых компонент фермионных полей всех поколений, a fR— столбец правых компонент.

Вследствие выполнения тождества Уорда, перенормировка электрического заряда имеет простой вид: ео = е.

Все приведенные константы перенормировки определяются требованием: вычет для всех пропагаторов частиц на массовой поверхности равен единице.

Вторая глава диссертации посвящена описанию вычисления поправок для различных каналов распада бозонов Хиггса.

В разделе 2.1 описано вычисление поправок для фермионных мод распада.

В параграфе 2.1.1 представлена КЭД поправка для фермионных мод распада. Даётся вклад вершины с виртуальным фотоном и вклад тормозного излучения фотона. Обсуждается логарифмический массово сингулярный член поправки.

В параграфе 2.1.2 обсуждается слабая поправка для фермионных мод распада. и её квадратичный рост.

В параграфе 2.1.3 рассматривается КХД поправка для фермионных мод распада и приводится её вид в пределе т; < М}{, который убеждает, что нельзя ограничиваться приближением порядка аИспользуя результат суммирования по всем порядкам теории возмущений в приближении ведущих логарифмов, полученный в работе Е. Вга^еп, Л.Р. Ьєуєііє (РЬуБ.ІІеу. Б22 (1980) 715), приходим к следующему виду КХД поправки к ширине в пределе т/ < Мн:

24

2т/"

-,сісо ^ р

Го = Г0

1п -

1п

Мн Л -I

33 - 2Ы{

(1)

где через Г0 обозначено модифицированное древесное приближение ширины распада, включающее в себя часть КХД поправок.

В параграфе 2.1.4 обсуждается полная поправка для фермионных мод распада бозонов Хиггса. Демонстрируется время жизни и ширина распада Я бозона на фермионы в зависимости от массы Я бозона в древесном и однопетлевом приближении.

В разделе 2.2 описано вычисление ЭС поправок для бозонных мод распада.

В параграфе 2.2.1 дана зависимость ширины распада Я бозона в два фотона от масс Н бозона и £ кварка.

В параграфе 2.2.2 приводится результат вычисления поправки к ширине распада Хиггс бозона на 2 бозон и фотон. Обсуждается зависимость ширины распада Я бозона на 2 бозон и фотон от масс Я бозона и £ кварка.

В параграфе 2.2.3 рассматривается распад Я бозона на два 2 бозона. Приводится только асимптотический вид поправки к ширине распада при М# » М2:

Дм =

16тг2

З3/2тг . 5тг2 . 19^ М% _]п2 Щ

+■

+

24 8 )М1

V/

/13 9

м'Ат^-

4Я

Щ 2М&

Щг

В этом выражении виден квадратичный рост. Дана зависимость ширины этого канала распада Я бозона от масс Я бозона и г кварка. С увеличением массы Мн ширина очень быстро возрастает. Очевидно, в полную ширину распада Я бозона включится большое значение ширины этого канала, если масса Я бозона окажется достаточно большой, чтобы могли родиться два 2 бозона.

В параграфе 2.2.4 рассматривается распад Я бозона на пару IV бозонов. Приводится вклад тормозного излучения фотонов. В пределе Мн > Мм КЭД

часть поправки выходит на константу Dias = ——. Приводится асимптотика

тг о

поправки слабого взаимодействия. Обсуждается поведение этих двух поправок.

В конце параграфа приводятся две таблицы, дающие ширины отдельных каналов распада Н бозона и полную ширину. Данные в этих таблицах получены,

МИ ГэВ \уп WZl Www t 130ГэВ W" 1991 \ytot

50 4,31.Ю-7 1,77.10~3 1,77. Ю-3

100 3,95.10-° 1,15.Ю-7 3,21.Ю"3 3,21.10—3

200 7,23.Ю-5 2,33.10"4 0,39 1,12 5,78.10~3 1,51

500 2,65.Ю-5 4,93.Ю-4 17,90 37,31 11,83 67,05

1000 2,80.Ю-4 5,32.Ю-4 177,06 356,17 31,78 565,01

Таблица 1: Ширины каналов и полная ширина распада Н бозона в зависимости от массы Мн (1991, унитарная калибровка).

Мн ГэВ W11 WZl wzz Www t 174ГэВ Wff SANC \уш

50 4,17.10-' 2,38.10~3 2,38.10~3

100 3,85.10"ü 1Д3.10-7 4,92.10~3 4,92.Ю-3

200 7,23.10~ö 2,34.Ю-4 0,39 1,10 9,88.10~3 1,49

500 3,13.НГ& 4,84. Ю-4 17,87 37,78 11,50 67,15

1000 1,93.10-4 3,64.Ю-4 178,68 359,15 56,49 594,32

Таблица 2: Ширины каналов и полная ширина распада Н бозона в зависимости от массы Мн (2010, БАЛС, Щ калибровка).

соответственно, в 1991 году, когда эта работа была опубликована, и в 2010 году в среде современной компьютерной системы ЗАМС, при современных значениях параметров: т( = 174,2 ГэВ, ть = 4,7 ГэВ, тс = 1,5 ГэВ, т3 = 0,215 ГэВ, тТ = 1,77699 ГэВ, М2 = 91,1876 ГэВ, М1У = 80,403 ГэВ.

Точные выражения вычисляемых поправок, которые не представлены в диссертации, можно найти в соответствующих публикациях 1991 года.

Третья глава диссертации посвящена вычислению 0(а) КЭД поправок к сечению и к асимметрии "вперёд - назад" процесса е+е~ —> + ц+ на ЬЕР с реалистическими обрезаниями. Ставятся условия:

• ограничение для максимального угла неколлинеарности между и

• ограничение по минимальной энергии мюонной пары: > Ё;

• ограничение по углу 9 рассеяния мюонов.

В разделе 3.1 даётся выражение дифференциального сечения процесса е~(кг) + е+(к2) > /¿"(ра.) + М+(рг) в древесном приближении с учётом поляризации начальных и конечных частиц.

В разделе 3.2 рассматривается тормозное излучение жёстких фотонов с учётом поставленных условий.

В параграфе 3.2.1 рассматривается фазовое пространство тормозного излучения жёстких фотонов с реалистическими обрезаниями. Выражение для элементарного фазового объёма имеет вид:

» 0.8

0.6 0.4

0.2

kinematîcolly allowed phase space region

1 0.2f f 0.4f 0.6

Rf

Рис. 1: Области интегрирования.

dT{3) = -г——г7 ds' dV2 d^-, d{cos9), (2?r)5 16S 7

где У-1 = 2р° (р§ — |р2| сое а р° и р° - энергии фотона и конечного антимюона.

в' У2

Введены переменные Я = — И У2 = —, по которым проводится интере-

й я

сующее нас интегрирование с обрезаниями. Обрезание по энергиям конечных фермионов даёт:

г.

Введено обозначение Не = —р- Обрезание по углу неколлинеарности £ приво-

л/5

дит к уравнению:

Я =

4Д^(1 - v2)v2 Щу2 + (1- Rs)2'

1 - sin I

где Rt= 1 ^ • Г 1 + sin I

Это уравнение даёт кривые, соединяющиеся в Д = й^. Они пересекают — Д и 1 — в одной и той же точке Нтт- Таким образом они формируют область "III" в фазовом пространстве на Рис.1, которая в эксперименте не учитывается.

В параграфе 3.2.2 обсуждается интегрирование в трёх областях, очерченных на Рис. 1. Дифференциальное сечение имеет следующий вид:

йоНагЛ

dR ¿Уо ¿совв— ^ л

Ли.

dRdv2d cos в

Принимается общее выражение для v™ax и v™m как функция параметра А:

1.

«Г* =2 (1-Д)(1 + А),

mm v2

= І(1-д)(1_Л).

До 2w

ДЯ<Д<1- —

Этот параметр А = A(R) в трёх областях имеет вид: - \ „

Ац = ----——, Rmin < R < Re,

Rmin 5: R

Am =

1 -

Д(1 -

Rt(l- R)2'

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

Интегрирование no v2 и cos в проводилось аналитически, a no R — численно. Интегрирование no cos в даёт следующие вклады в полное сечение и в асимметрию "вперёд-назад":

dcosO

a^ard{s) = JdR J -і

Г +i о'

o%d(s) = JdR J-J

d(Jhard

dRd cos 9'

Ю -і

dcos6

dohari dRd cos (

(10)

(П)

В диссертации показаны аналитические выражения для вклада излучения реального фотона из начальных частиц, из конечных частиц и соответствующая интерференция в полное сечение и в асимметрию "вперёд-назад".

В параграфе 3.2.3 приводится результат аналитического интегрирования по всем переменным в области "III" фазового пространства для вклада излучения

реального фотона из конечных частиц. Ради приближения к экспериментальной ситуации интегрирование по cos в проводится в пределах —с < cos в < +с (с обрезанием по углу рассеяния с).

В этой области удобнее интегрировать по переменным cos в, R и v2 в другом порядке, т.е. сначало по cos в, а потом по R:

R-. +с

dafin

da}Tin{v2) = —V(s) -Q) dv2 [ dR fdcos6 d/ (12)

J s 7Г 1 J J dv2 dR d cos в

Rae Г +C 0'

dapSM = ~A(S) dv2 J dR J-J

dcos9 aa (13)

dv2 dR d cos в

и и о r \ v2(l-v2) (l + ßi)2

Верхний предел интегрирования по R: RaC(v2) = -где p = --—.

p-l + v2

Здесь используются следующие обозначения:

V(s) = QlQl+2QeQfvev^x(s) + (vl + a2e)(vl+alßl)\x(s)\2, (14)

= 2QeQ)1aeaß$tex{s)+'iveaevllall\x{s)\2, (15)

" läi^l' m| = Mi-ШгГгМ, (16)

vf = а/ — 2sinf^ а{-1j. (17)

Интегрирование по v2 проведено аналитически. Получен вклад в полное сечение и Gpg в асимметрию "вперёд-назад". Выражение сг£т сравнивалось с аналогичным выражением ct^3(s,c) в работе G. Montagna, Or. Nicrosini и G. Passarino (Phys.Lett. B309 (1993) 436 - 442). Результаты совпадают.

Четвёртая глава диссертации содержит подробное описание вычислений однопетлевых электрослабых поправок, выраженных в лептонных переменных, к глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах для эксперимента HERMES на ускорителе HERA. Во всех экспериментах глубоконеупругого рассеяния поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах измеряются, как правило, кинематические переменные, связанные с рассеянным лептоном. Вычисления проводились в Кварк-Партонной Модели (КПМ).

В разделе 4.1 рассматривается кинематика эксперимента для процесса:

e{h)+p(plM)->e{k2) + X{Pi). (18)

Используя величины, полученные от "электронного измерения", получаем выражение для Бьёркеновской переменной у:

Здесь <3/ — переданный импульс к\ — к2. Для переменной Бьёркена х имеем:

XI = -Щ-, = -2р1М ■ к(20)

У10М

В разделе 4.2 рассматривается древесное приближение процесса. В параграфе 4-2.1 рассматривается элементарный подпроцесс

<кх) + д(Р1) - е{к2) + я(р2). (21)

Дифференциальное сечение этого процесса и элемент фазового объёма двух вылетающих частиц (электрон и кварк) имеют вид:

¿стя = а ¿г<3>, ¿Г® = ¡(Бц ~ Я2) йвийЯ2., (22)

2^/х3 «7г ^/ав

Щ£ ¿г®, ¿г® = ^ 1

2^ 8тг

где Ме, — амплитуда процесса, Ад = (—2рх ■ кх)2 — 4р\к\ — кинематическая функция, Я2 = —2тпе + 2к°к° — собв — квадрат переданного импульса,

Бц = Б—и = —2р1~Я = 2тч{к\—к2). Переходим к дважды дифференциальному сечению процесса (18):

С учётом вектора поляризации налетающего электронного пучка: X ( ~ к® - \ X

Ь = М- 777^ ~ — А:1> (24)

получаем дважды дифференциальное сечение процесса (18):

+рерч{1-у1)Л о(д2)]. (25)

Принято обозначение ух = 1 — у1, а также:

щд2) = №\ут + 2ц^х{я2)у1+х\я2)уг, (26)

ШЯ2) = 0ХУ1 + 20еЦчх(Я2)У1 + х2(Я2)М2, (27)

МЯ2) = + (28)

Здесь не учитывалась поляризация протонов. Коэфициенты в функциях У0(<32), УУо(<52) и Ац(Я'1) являются следующими комбинациями констант связи:

У7 = 1, V: = (уе - Хреае)уч, У2 = (и2 + а2 - 2Хреаеуе)(у2 + а2), Л7 = 0, = (ае - Хреуе)ая, Аг - [2аеье - Лре(а2 + ?;2)]2а9и„ (29)

\¥г = {у2е+а1-2\Реаеуе)(у2-а2ч).

Л — степень поляризации лептонного (электронного) пучка, а знаковый коэфи-циент имеет значения pe(q) = +1 для частиц и ре^ = — 1 для античастиц. Через x(Q2) обозначена величина:

2 Q2 Gf Ml X[Q j"Q2 + MlV2 2тга'

В параграфе 4-2.2 рассматривается древесное приближение для процесса и соответствующего элементарного подпроцесса с заряженным током:

£+р^1уе + Х, e + + (31)

Действуя как и в случае с нейтральным током, получаем следующее дважды дифференциальное сечение:

Ш' 0 - +"М+•? +«*>]}• W

где u(xi) — uv(xi) + us(xi) и c(xi) = cs(xi) — функции распределения и и с кварков, a d{x{] = ds{xi) и s(xi) = ss(xi) — функции распределения d и s антикварков. Индекс v означает валентный кварк, а индекс s означает морской кварк.

В разделе 4.3 представлено вычисление однопетлевых виртуальных поправок.

В параграфе 4-3.1 показано вычисление слабых поправок для процесса с нейтральным током. Получено дважды дифференциальное сечение процесса (18) в борноподобной форме, в котором учтён вклад слабых однопетлевых виртуальных поправок.

В параграфе 4-3-2 получено дважды дифференциальное сечение процесса (31) с учётом слабых однопетлевых виртуальных поправок.

В параграфе 4- 3.3 рассмотрены виртуальные КЭД поправки для процесса с нейтральным током. Работа проведена в приближениях т2 М2 -С Q2 и т2 <<. М2 Q2. В этих приближениях амплитуды, соответствующие двум вершинным диаграммам с виртуальным фотоном, факторизуются на амплитуду в древесном приближении Mf°Tn. Получено:

¿2 Vertex ¿2 Bom Q

А») = Qe2<!(l-lnb|ln3-2+^lng-iln2g +

|Д rn2J m2

Km -

В обоих выражениях имеется инфракрасная расходимость. Она представлена логарифмом с инфинитезималыюй массой фотона т7.

Инфракрасно расходящиеся вклады в амплитуду от диаграмм типа "box" факторизуются на амплитуду в древесном приближении. Получена соответствующая поправка:

ЛВох-IR ,/2Вогп .-,2

■ ■ = -j-j- - Aeq(S, U), Дeq(S, и) и -2 QeQq In ^ 1п(1 - ш). (36) dxidyi axidyi к т*

Остаток вклада "box" диаграмм не содержит инфракрасной расходимости. Он представлен в диссертации.

В параграфе 4-3-4 приведены виртуальные КЭД поправки для процесса с заряженным током.

В разделе 4.4 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с нейтральным током.

параграфе 4-4-1 проводится вычисление вклада от мягкого тормозного излучения фотона в п - мерном пространстве. Инфракрасно расходящийся вклад в сечение, из-за мягкости излучающихся фотонов, имеет вид:

d<TS°ft = У [dxh fq(xh) dr(2) dT1 в{и - k°) = dcrBom - (37)

^ J 2-V/A S tt

Вычислены вклады излучения мягкого фотона из кварковых и лептонных линий и их интерференция. В принятом нами приближении получено:

=[(ь | - 0in ^+1+in S -1,121 - и'{]i)] ■ <з8>

-lln2yi-Lz2(l)], (39)

^ = 2QeQq (ln^-ln|) ШЫ- (40)

Подчёркивается сокращение инфракрасной расходимости, когда вклад тормозного излучения мягких фотонов добавляется к соответствующему виртуальному вкладу.

В параграфе 4-4-% подробно рассматривается вклад от излучения жёстких фотонов. Приведены аналитические результаты.

Выражение для вклада тормозного излучения фотона из начального кварка содержит массовую сингулярность в виде логарифмической зависимости от

массы кварка тч. Член с массовой сингулярностью имеет вид:

сРа3™9

г™2(і+уі) v0т+Ре Рч (і - у?) л0т

йхійуі

1

-л і . z z

о

Используя КХД теорему факторизации, можно переопределить функцию кваркового распределения /,(£;,<5?) так, чтобы она включила в себя этот массово сингулярный член.

В разделе 4.5 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с заряженным током.

В параграфе 4-5.1 даны результаты вычисления в п-мерном пространстве вклада от мягкого тормозного излучения фотона.

В параграфе 4-6.2 рассматривается получение вклада от жёсткого тормозного излучения фотона. С учётом связи между зарядами частиц, весь вклад жёсткого тормозного излучения можно представить в следующем виде:

В разделе 4.6 представлены результаты в случае, когда поляризован и поток электронов, и поток протонов:

_ К 1-А ад?

йхійуі 7г (фї' + М^)2 2 7г xi

52 ¡^ Ф £ № РРЦ + ці грі. + деди гп.д). (42)

и

Р=(М,б),

Рг = Р,

с „ _ с „. _ П

кг

А р — степей:

У

В параграфе 4-6.1 рассматривается эффект от поляризации протонов в древесном приближении для нейтрального тока. Удобно переписать дважды дифференциальное сечение древесного приближения как сумму следующих двух вкладов:

^2^-Вогп—ипро1 ^2^-Вогп—ро1

-= ----1----, (43)

йХ1<1у1 йХ1(1у1 '

где каждый из них имеет вид, соответственно:

¿2аВогп-ипро1 2жа1

dxidyi Qf

d2 Born-pol 2?rQ2

SnY, (44)

i=l 5

ep_ _ _

dxhdVl Qf

APSNT St(xi,yi)5i(xhQ2). (45)

Здесь учтена только продольная поляризация протонов и Хр обозначает степень протонной поляризации. Кинематические коэффициенты в (44) и (45), соответственно, для неполяризованного и для поляризованного вклада, даны в диссертации. Там же описываются комбинированные структурные функции нейтрального тока Тг и 0г, объединяющие структурные функции Н/1^ и д^2, где индексы Л, Лч принимают значения 7 и Я.

Параграф 4-6-2 посвящён тормозному излучению фотонов в случае с поляризованными как электроном, так и протоном. Лептонные О (а) КЭД поправки к дважды дифференциальному сечению могут быть записаны следующим образом:

¿ЧГ'1 = £ + 53ой) + = + _

dx^dy^ к dxldyl dx^dy^ dx^dy^ dx^dy^

Вклад жёсткого тормозного излучения фотонов имеет вид:

2тг

= 7 № Ь (47)

о 4 '

где Л;дг = у^Бм + 4М2<3;2, а и XV^ — лептонный и адронный тензоры. Вклады от тормозного излучения фотонов можно представить в виде интегралов от радиационных функций и Я^Уи, <2%). Получено, что структуры дважды дифференциального сечения для глубоконеупругого рассеяния в случаях неполяризованного и продольно поляризованного нуклона различаются. Вклад жёсткого тормозного излучения в сечение такой:

d°ep

Hard

dxidm = 2 a3VlSN J dyhdQ2hI ^(yi,Qi,yh,Ql№h,Q2h)

+Xp ¿4 E Ql)) - (48)

Функции Sf(yh Qf, yh, Ql) и Sf-(yh Qf, yh, Q\) приведены в диссертации.

на интегрирование по

Заменяем интегрирование по переменной ун = —-

хиЬи

XI Я2 д2

переменной г = —, а именно: г/л = ^—рт-, ¿2/л = —тт'Лг, Х{ < г < 1.

Можно упростить выражения для границ <3^,

Так как ¿>АГ ~

105<7е1Л Имеем:

/

dyhdQl

і -6ft

¡dz J ^ê~dQl

Ql^

xiSN

'^<Ql< S. (49)

1-я г

roo £0 60 40 20

■20 ■40 -SO ■30

-roo

HECTOR Complete HECTOR LLA, i+f POLRAD Complete

0 0Л 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 0.9 Î

У

Рис. 2: КЭД поправки в случае продольной поляризации протонов.

Производя интегрирование по Q\ аналитически, а по z численно, мы приходим к результатам для поправки в случае поляризованных протонов.

На Рис. 2 показана полная лептонная О (а) КЭД поправка в процентах §iong _ d2o^ld2x 100% к поляризованной части дважды дифференциального сечения глубоконеупругого рассеяния электронов с энергией пучка Ее = 27.5 GeV на продольно поляризованных протонах в кинематической области эксперимента HERMES на ускорителе HERA. Сравниваются поправки, полученные разными методами: через КПМ в нашей программе HECT0R1.11

(http://www.ifh.de/theory/publist.html ), через ведущие логарифмы и с помощью программы POLRAD — N.Shumeiko и I. Akushevich, (J.Ph.G20 (1994)513; Yad.Fiz.58(1995)507).

Пятая глава диссертации посвящена разработке системы SANC. В ней описано создание многочисленных модулей в системе SANC для расчётов тормозного излучения фотонов и глюонов. В SANC представлены три модели взаимодействий элементарных частиц: КЭД, ЭС и КХД. Они являются основными ветвями на дереве, где находятся следующие созданные программы для расчётов соответствующих процессов:

• сектор КЭД:

Brem_Aff_decay.frm =$■ Распад тяжёлого фотона А —» / 4- / + 7 Brem_4f_NC_AA.frm / + /->/' + /' + 7

• сектор ЭС:

Brem_Wff_QED.frm Wf + f + 7 Brem_NC_decay.frm Z f + f + 7 и Я -» / + / +7 Brem_tWb_QED.frm ==> t-^b + W + j Brem_4f_CC.frm => fu + fdfL +¡¡¡ +7 Brem_4f_NC.frm / + /-+/' + /' + 7 Brem_4f_top.frm =i> £->6 + / + /' + 7

• сектор КХД: Brem_Wqq_QCD.frm ==> W-^q + q' + g Brem_Zqq_QCD.frm Z -> q + q + g Brem_Hqq_QCD.frm => H ~^q + q +g Brem_tWb_QCD.frm => t-^b+W + g Brem_DY_CC_QCD.frm qu + qd vt + î + g Brem_DY_NC_QCD.frm q + q-^i + i + g Brem_udtb_QCD.frm => qu + qd —1> t + b + g Brem_butd_QCD.frm =>• qu + b —» t + qd + g Brem_4f_top_QCD.frm =4- t-*b + qu + qd + g

В разделе 5.1 описывается создание соответствующих процедур для получения амплитуд этих процессов с тормозным излучением фотона или глюона.

В разделе 5.2 рассматривается вычисление вклада мягкого тормозного излучения. Для этой цели созданы процедуры для каждого рассматриваемого процесса. Так как энергия излучающегося мягкого фотона или глюона находится в бесконечно малом интервале 0 < р\ < ш, то на нижней границе получаем

логарифмическую инфракрасную расходимость. Используется размерная регуляризация.

В параграфе 5.2.1 рассматривается вычисление элементарного фазового объёма для процесса мягкого тормозного излучения фотона или глюона. Если энергия излучающегося фотона или глюона находится в интервале 0 < р" < и, его фазовое пространство является сферой с очень малым радиусом и>. Пусть в древесном приближении рассматриваемого процесса имеем тп конечных частиц, а излучающийся фотон или глюон будет т 4- 1. Тогда можно написать выражение для элементарного фазового объёма рассматриваемого процесса с мягким тормозным излучением фотона или глюона:

= ¿Гт+10(о> - р°5) = ¿Г^-'Л^)^ - (50)

Имеем важные равенства:

|М8ой|2 = |МВот|2 «р**^) или Ш**? = ¡М*™? ^ Р8о£' (С08 вЛ. (51) 7г 1 1 7г

Таким образом мы получаем следующее выражение для вклада мягкого тормозного излучения фотона или глюона:

¿<т3ой = ¿<7Вогп - или ёо** = ¿аВот ^ <53ой (52)

7г 7г

где поправка имеет вид

4 ./_r

Чь^+ыа-а

FSoit(0- (53)

£ /Г

В параграфе 5.2.2 представлена таблица интегралов по переменной интегрирования £ = cos0T или £ = COB0J.

В разделе 5.3 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения.

Чтобы приготовить полностью дифференциальное выражение для численного интегрирования в Монте Карло интеграторе или генераторе, создавались соответствующие аналитические модули Hard(...).frm.

Чтобы приготовить выражение, в котором аналитически произведено по возможности большее число интегрирований, работали с процедурами Hard(...).prc в рамках соответствующих программ Brem(...).frm. Частично или полностью интегрированный вклад жёсткого тормозного излучения далее включается в программу на языке FORTRAN для получения численных результатов,

В параграфе 5.3.1 подробно описывается вычисление элементарного фазового объёма для жёсткого тормозного излучения с тремя конечными частицами.

Процесс fiipi) "Ь/2(р2) —> МРз) +fi(Pi)+l(9)(P&) можно рассматривать как каскад следующих двух подпроцессов:

і- Л(рі) + Л(Р2)-77(Р4) + ВД,

II. Х(Р) - /з(рз) + 7Ы (или д(р5)). (54)

X — компаунд частица с импульсом Р = р3 + Угол в между частицами с импульсом р2 и р^ такой же, как и в древесном приближении. Для элементарного фазового объёма трёх конечных частиц получаем следующее выражение:

¿в' й сов в й<р .„„.

=-т^ггл-(55)

32(2тг)4 Й ^ '

= — 2р4 • р5 является независимой переменной, по которой интегрируется в пределах от ггп(з') до г?"(в'), где

^«.тт {з>) = _ т2 + т2 ± . (56)

Через А(з') обозначили: А(б') = в12 - 2в'(т| + гщ) + (т2 - т2)2.

Другая стратегия при вычислении жёсткого тормозного излучения фотона или глюона для процессов типа 2 —+ 2 (+1) — рассматривать процесс как следующий каскад двух подпроцессов:

/• Л(Р1) + /2Ы -_7(Р5) (или д(ръ)) + Х(Р), II. Х(Р)-,/з(рз)+/4(р4). (57)

Здесь X — компаунд частица с импульсом Р = р3 4- р4, причём Р2 = —5'. Таким образом получаем для трёхчастичного элементарного фазового объёма следующее выражение:

dl<а) = ^ dcose iT^Pr (58)

27Г 1о7Г5 8(27T)J s'

Здесь в — угол между одной из начальных частиц и излучающимся фотоном (или глюоном) в системе центра масс двух начальных фермионов, а $ — угол между одной из конечных частиц и излучающимся фотоном (или глюоном) в системе центра масс двух конечных фермионов.

В параграфе 5.3.2 описывается вычисление элементарного фазового объёма

для жёсткого тормозного излучения с четырьмя конечными частицами. Например, для распада t кварка. Рассматриваем основной процесс:

i(p2) Ь(р0 + /зЫ + ТлЫ) + 7(Рб) (или д(р5)) (59)

как каскад из трёх подпроцессов:

I- /аЫ - fM) + X(Q),

II. X(Q) - у(р5) (или д(Р5)) + Г(Р),

III. Y(P) Ь(р3) + Мрл). (60)

Получаем элементарный четырёхчастичный фазовый объём в следующем виде:

,тШ dsds' J\(s) s-s' , „ х/М7\ n ,

dP] = -ir-rrf-т--dcosfl — rfcosi? dip. 61

(2тг)2 8тгт? IGtt s В 2тг 2 .s' ^ '

Теперь s является переменной интегрирования, изменяющейся в интервале:

(m3 + m4)2 < s < (mt — тъ)2. (62)

Здесь в — угол между Ъ кварком и излучающимся фотоном (или глюоном) в системе, где Q = 0 и Qn — л/s. Имеем: A(s) = (т2 + m2 - s)2 — 4т2т2.

В разделе 5.4 обсуждаются ЭС поправки для процесса е+е~ —> //.

В параграфе 5-4-1 рассмотрен путь получения вклада в амплитуду процессов /i/i —> // от "box" диаграмм Фейнмана с излучением и поглощением виртуальных фотонов и Z бозонов.

В параграфе 5-4-2 рассматривается вычисление вклада тормозного излучения фотонов.

В разделе 5.5 представлено получение электрослабых поправок для процессов распада топ кварка £ —> b(+ve и t —* bud.

В параграфе 5.5.1 описано получение дифференциальной ширины этих распадов. Демонстрируется сравнение результатов двукратного численного инте-

Гиоп'=0.1490949(2) GeV

Г( = 0

ш ю-1 10"2 10"3

plloop 0.159510(6) 0.15948(2) 0.15950(4)

¿и 6.986(4) 6.97(2) 6.98(3)

р 1 loop 0.160736(2) 0.160784(2) 0.160787(8)

би 7.810(1) 7.841(2) 7.842(5)

Таблица 3: Ширина распада £ —► без учёта и с учётом ширины топ

кварка _

ГВогп=0.4472847(7) GeV

Г( = 0

и> 10"1 10"2 Ю-3

plloop 0.47921(1) 0.479110(5) 0.47923(7)

<5 7.137(3) 7.11(1) 7.14(2)

plJoop 0.482930(4) 0.48311(1) 0.48309(5)

5 7.969(1) 8.009(3) 8.01(1)

Таблица 4: Ширина распада t —> bud без учёта и с учётом ширины топ кварка

грирования с результатами, полученными при использовании программ СотрНЕР и PYTHIA, а также распределения по углу между импульсами b и и распределения по инвариантной массе пары (/i+, vfl).

В параграфе 5.5.2 рассматривается получение вклада тормозного излучения фотонов для обоих процессов t —> bi^vt^) и t —* budfo). Обсуждаются приведённые таблицы с численными результатами.

В параграфе 5.5.3 обсуждается получение вклада тормозного излучения фотонов с учётом ширины распада топ кварка. Даны таблицы с численными результатами для древесной и однопетлевой ширины распадов i —> Ъ + /i+ + и t —> b + it + d в а ЭС схеме и соответствующие поправки в двух вариантах: без учёта и с учётом ширины распада топ кварка, проводится обсуждение.

В шестой главе диссертации подробно рассматривается применение системы SANC к прецизионному анализу процессов типа Дрелла-Яна на LHC. Показано как вычисляются в системе SA.NC полные однопетлевые электрослабые и КХД поправки к сечениям процессов рождения одиночных калибровочных бозонов И/± и Z на адронных коллайдерах с их последующим распадом на пару лептонов или на пару кварков.

В разделе 6.1 описан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с заряженным током:

pp^W± + X + X и pp-^W* + Х t* vc{g,1) + X. (63)

В параграфе 6.1.1 рассматривается древесное приближение для процесса на кварк-партонном уровне d(pi)+u(p2) —> W+(px +рг) —* vt(ps) + £+(рц). Сечение этого процесса имеет вид:

-вог„ы _ LikJ! G?Mw Л _ ^УЛ + 1тЛ (64) (S) - 6*Nc [s - Щ,)* + T\vMl V1 s) [S+ 2m0 ' (64)

где Nc = 3 — число цветовых состояний кварков.

В параграфе 6.1.2 приводится процесс вычисления поправок от вклада собственно-энергетических и вершинных фейнмановских диаграмм с промежуточным глюоном.

В параграфе 6.1.3 приводится однопетлевая амплитуда, дающая вклад в КЭД поправку. Описывается вычисление этой поправки.

В параграфе 6.1.4 вычисляется вклад тормозного излучения глюонов. Де-

монстрируется сокращение инфракрасных расходимостей при суммировании вклада мягкого излучения с однопетлевым виртуальным вкладом:

(S) = fin -2)+^ in 4

W a w2iTJ[ S \ mj ml /2 ml

+ V|. (65)

2 mrd 3 J

Приведена формула для вклада жёсткого тормозного излучения глюонов:

olt = g Г"Х dz d%g"(zs) Pqq{z) [2In ~ + In £ + In ^ - 2]. (66) z7r Jzmin L P mu md J

Здесь z = s'/s, s = — 2(pi.p2), s' = -{рз + Pa)2 — инвариантная масса пары конечных лептонов. zmax = 1 — 2u>/\/s, где lj — малый параметр. zmin = m^/s, Г! +z2]

Pqq(z) = Cf -- — кварк-кварковая функция расщепления.

1 - z +

^SoftVirt аСС

В параграфе 6.1.5 описано вычисление вклада тормозного излучения фотонов. Приводятся результаты для мягкого тормозного излучения фотонов. Показано сокращение инфракрасных расходимостей при сложении КЭД вкладов от виртуальной поправки и соответствующих вкладов от мягкого тормозного излучения фотонов.

В явном виде даны выражения для вклада жёсткого тормозного излучения, проинтегрированные по всем переменным, кроме cos 6, в которых присутствует произвольный малый параметр и/. Они пропорциональны дифференциальному сечению процесса в древесном приближении, так что можно выделить поправку iHard(w), зависящую от параметра ш. Демонстрируется сокращение членов, содержащих uj.

В параграфе 6.1.6 рассматривается учёт кварковых массовых сингулярно-стей. Работаем с массивными кварками. Однопетлевые радиационные поправки содержат слагаемые, пропорциональные логарифмам масс кварков \\\{s/m2uJ). Они появляются во вкладах излучения из начального состояния, включая мягкое и жесткое тормозное излучение и виртуальное излучение фотона или глю-она.

Проводим вычисление в n-мерном пространстве в MS - схеме и получаем:

- g /р а - Мад ("г)(67)

Для сравнения с аналогичным выражением (66), где коллинеарные расходимости представлены в вид< ражение в пределе е —> 0:

и2 и2

мости представлены в виде логарифмов 1п —-, 1п —необходимо взять это вы-

гп1

0,

сс

= g jyz offiiza) Pqq{z) + 2 In ± + 4 ln(l - z)) . (68)

Таким образом, находим выражение, которое надо вычесть из нашего результата, потому что оно уже учтено в PDF:

■41п(1 - г)

(69)

В полном сечении лептонные массовые сингулярности сокращаются в соответствии с теоремой Киношиты-Ли-Науенберга.

В параграфе 6.1.7 описан выход на адронный уровень: dapp(SN)/dcos вh = v^ ri ri j j ,, 2 \ If da(xix2SN)

/о /„ dx\dx2 qi(Xltf) л») dcos^ (,1+ga-(,1-xa)ccegh)a-

Альтернатива для вычитания кварковых массовых сингулярностей — вычитать из PDF:

(Lz х q q'(x,n2) = q(x,p,2)- J — д(-У)_

Q]

1 + 22

1-г V mQ

(70)

+

и взять q(х, р.2) непосредственно из существующих PDF в MS - схеме.

В параграфе 6.1.8 представлены численные результаты. Модули на языке FORTRAN использовались в интеграторах и генераторе SANC для численного интегрирования. Полученные результаты сравнивались с результатами других групп.

В разделе 6.2 показан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с нейтральным током:

рр~> Z/7 + X- е+е-(-у,д) + Х и pp-* Zh + X i+i~{1,g)+X. (71)

В параграфе 6.2.1 рассматривается получение сечения в древесном приближении для процесса на кварк-партонном уровне:

4 7го2

sNc

(72)

В параграфе 6.2.2 приводится процесс вычисления поправки от вклада собственно-энергетических и вершинных фейнмановских диаграмм с промежуточным глюоном.

В параграфе 6.2.3 приводится однопетлевая амплитуда, дающая вклад в КЭД поправку. Проводится вычисление этой поправки.

В параграфе 6.2-4 вычисляется вклад тормозного излучения глюонов. В сумме вклада мягкого излучения с однопетлевым виртуальным вкладом инфракрасные расходимости сокращаются:

«""<•> - [,„ £ (ь, '!) + >,,,■„- 14 (73,

Вклад жёсткого тормозного излучения глюонов в сечение имеет вид:

-Hard 'NC

,, fZmax

= ^ / dzd*?{zs)P„{z

J Zmin

1п4 + 1П4-1

M mí

(74)

/1 — шкала факторизации.

В параграфе 6.2.5 вычисляется вклад тормозного излучения фотонов. Даны вклады мягкого тормозного излучения из начальных и конечных частиц и их интерференция в сечение. Показано сокращение инфракрасных расходимостей.

В параграфе 6.2.6 рассматривается учёт кварковых массовых сингулярно-стей.

В параграфе 6.2.7 описан выход на адроиный уровень.

В параграфе 6.2.8 представлены численные результаты.

Седьмая глава диссертации описывает вычисление однопетлевых КХД поправок в БАИС к одиночному рождению и распаду I кварка.

В разделе 7.1 рассматривается процесс вычисления N1/0 КХД поправок к одиночному рождению Ь кварка в в канале.

В параграфе 7.1.1 рассматривается древесное приближение для процесса на кварк-партонном уровне сЦр{) + и(р2) —»£(рз) + Ь(рц).

В параграфе 7.1.2 приводятся КХД поправки от диаграмм Фейнмана с виртуальными глюонами. Пришедшая из контрчленов функция £>£(—тл|, 0, тг) может содержать инфракрасную расходимость. Она выступает в роли регулятора инфракрасной расходимости, если учитывается ширина топ кварка. Приводится явный вид вершинной функции Со{—т2,— т1,— з, т*,0, т&), в которой учитывается ширина £ кварка, где гп(2 = т2 — гт^П.

Паралелыш рассматривается вариант с обычной размерной регуляризацией инфракрасной расходимости.

В параграфе 7.1.3 вычисляется поправка от мягкого тормозного излучения глюонов. Демонстрируется сокращение инфракрасных расходимостей при суммировании вкладов однопетлевых диаграмм и вкладов мягкого тормозного излучения глюонов. Рассматриваются два варианта для вкладов, идущих от конечных £ и Ь кварков — с учётом ширины £ кварка и без её учёта. В первом случае имеем:

Эой-сгсо , Уіг(-0СО „ Вот

7}гп + аЦп =Ч~аСС-з

-1-ЩІІ А-Ш^2

т( \ т2 т2

1, 4ш2 , 5 - т?, 5 Л, Л 5 А, 5

-- 1п--1п-^ 1п -о - 31п 1--- } + — 1н —» ) 1п —*

2 Й т? \ \ в / 2 7П( / Ш(

2 т4т(, V 2 V в / / \ в / V 3

к* гі кй і2 с4.а& щ? (5 - ш2)2 а;

Этте2 (в - А/2,)* +

7Г

т

(75)

Здесь присуствуют одновременно параметр ш, разделяющий вклады мягкого и жёсткого тормозного излучения, а также ширина Г( распада I кварка.

В параграфе 7.1.4 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов.

В параграфе 7.1.5 обсуждается вклад тормозного излучения из конечных £ и Ъ кварков. После интегрирования по угловым переменным, в окончательном результате присутствует комплексная функция:

л 2 / -р ч , 0 ~ в') і3' + гп}-т2ь- \А7) - 2г5'т(Г( (з - в') (я' + ті - + \/Лз>) - 2гз'тгГг

если учитывалась ширина распада £ кварка. Проинтегрировав по я' аналитически, пренебрегая везде, где это возможно, массой Ъ кварка, получаем два выражения: с учётом ширины топ кварка и без учёта. Первое выражение выглядит

так:

Наг<1-С}С0 _ /іп

, в —ті, в

+ ІП-^ ІИ —X +

2 т^ь

-ЗІл2(1)

В диссертации представлено и второе выражение, полученное без учёта ширины распада t кварка.

В параграфе 7.1.6 представлены результаты на кварк-партонном уровне. Складывая аналитически выражение (75) для суммы вкладов виртуального и мягкого тормозного излучения с выражением (77) для вклада жёсткого тормозного излучения, получаем:

ГШЭ-ОСО „ "5 I „Вогп

= с/ — < асс_,

аЦп

Уы |2| V* I2

єи-й

3

4 " то?

1п

IV "Ч

24ТГ52 {з-МЫ+Т^Щ

(45771? + 5(52 - то*)) іп

-3 (з-то?)2

0-И))-

4тпЦв - тп\)

(78)

Видно, что сократились члены, содержащие параметр ш. Сократились также члены, содержащие ширину Г( распада Ь кварка. Полученный результат не содержит и массовой сингулярности при устремлении массы Ь кварка к нулю. Точно такой же результат получается, когда складываем соответствующие выражения, вычисленные без учёта ширины распада топ кварка. Очевидно, инфракрасную расходимость из-за излучения глюонов из і кварка можно регуля-ризовать одинаково хорошо, как с помощью ширины распада і кварка, так и с помощью размерной регуляризацией (см. параграф 5.2.1).

В таблице 5 сравниваются наши численные результаты с результатами программы СошрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения. В этой таблице символ БАМС — 4сі означает, что результат для <7Наг(і-РС0 получен численно, интегрируя полностью дифференциальное выражение. Символ ЭАМС — г' означает, что результат для получен, интегрируя аналитически по угловым пе-

ременным и численно по переменной в'.

В разделе 7.2 рассматривается процесс вычисления КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в £ канале.

yfs,GeV 200 1000 7000

Гг=0

СотрНЕР 0.72930(2) 1.6340(1) 0.071223(1)

SAMC-4d 0.72927(1) 1.6341(1) 0.071229(1)

SAUC-s' 0.72928(1) 1.6338(1) 0.071227(1)

r^o

СотрНЕР 0.72638(2) 1.6323(1) 0.070946(1)

SANC-4d 0.72636(1) 1.6322(1) 0.070942(1)

SANC-s> 0.72636(1) 1.6322(1) 0.070942(1)

Таблица 5: Сравнение alI:ird QCD для процесса и + d —» £ + b без учёта и с учётом ширины топ кварка.

В параграфе 7.2.1 рассматривается древесное приближение для процессов на кварк-партонном уровне b + u —>d + tnb + d—> й +t.

В параграфе 7.2.2 приводятся КХД поправки от диаграмм Фейнмана с виртуальными глюонами.

В параграфе 7.2.3 вычисляется поправка от мягкого тормозного излучения глюонов.

В параграфе 7.2-4 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов. Обсуждается более подробно вычисление вклада тормозного излучения глюонов из £ и b кварков.

В параграфе 7.2.5 представлены численные результаты. В таблицах б и 7 сравниваются наши результаты с результатами программы СошрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения в процессах b + и —>d + tnb + d—> й + £ при as = 0.122010 и mq = ти — md = 66 MeV. Символ SANC(F) означает,

yfsj GeV 200 1000 7000

Г« = 0, mq

СотрНЕР 17.908(1) 415.04(6) 617.40(6)

SANC(S) 17.904(1) 416.39(1) 618.94(1)

r, î o, mQ

СотрНЕР 17.761(1) 404.29(6) 574.02(6)

SANC(S) 17.759(1) 405.62(1) 575.61(1)

SANC(F) 17.760(1) 405.63(1) 575.62(1)

Таблица 6: Сравнение аНш-а-СКГО без

учёта и с учётом ширины £ кварка для

процесса Ь + и —* д + £.

что результат получен при сохранении массы лёгких кварков везде, а ЗАМС(З) означает, что массы лёгких кварков сохранялись только в пропагаторах частиц, излучающих глюон.

Раздел 7.3 посвящён вычислению КХД поправок к процессам распада £ кварка.

^/веУ 200 1000 7000

Г« = 0, т,

СотрНЕР 10.335(1) 388.74(7) 615.5(1)

БАЖХЗ) 10.332(1) 389.87(1) 616.86(1)

Гг ф 0, тд

СотрНЕР 10.245(1) 378.21(7) 572.0(1)

8АЫС(Б) 10.241(1) 379.34(1) 573.58(1)

ЭАШЮ 10.241(1) 379.35(1) 573.59(1)

Таблица 7: Сравнение <тНаг<1 400 без учёта и с учётом ширины £ кварка для процесса Ь + й —* й + £.

В параграфе 7.3.1 приводятся КХД поправки от диаграмм Фейнмана с виртуальными глюонами для различных каналов распада £ кварка.

В параграфе 7.3.2 вычисляются поправки от мягкого тормозного излучения глюонов для различных каналов распада £ кварка.

В параграфе 7.3.3 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов. Обсуждается каскадное приближение.

В параграфе 7.3.4 обсуждается вычисление вклада тормозного излучения глюонов из £ и Ь кварков без учёта и с учётом ширины I кварка.

В параграфе 7.3.5 представлены численные результаты и сравнение наших результатов с результатами программы СотрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения в а схеме.

Шд, СеУ 5 10

Г» = 0 г( = о

СотрНЕР 72.29(2) 71.80(2) 47.24(2) 47.13(2)

БАИС 72.28(1) 71.79(1) 47.20(1) 47.10(1)

>6 + ц + с! + д

СотрНЕР 1296.9(6^ 1295.6(5) 820.3(3) 819.7(3)

ЭАиС 1296.3(1) 1294.9(1) 819.8(1) 819.5(1)

Таблица 8: Сравнение ширины £ кварка ГНагс1~С!С1) в МеУ для двух каналов его распада.

В Заключении кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертации, формулируются положения, выносимые на защиту. Выражаются благодарности коллегам по совместной работе.

Получено 19 января 2012 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 20.01.2012. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,06. Уч.-изд. л. 2,68. Тираж 100 экз. Заказ № 57559.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish^jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение.

1 Схема перенормировок на массовой поверхности в унитарной калибровке.

1.1 Тождество Уорда в унитарной калибровке.

1.2 Перенормировка.

2 Расчёт поправок для различных каналов распада Хиггс бозонов

2.1 КЭД, слабые и КХД поправки для фермионных мод распада

2.1.1 КЭД поправка.

2.1.2 Слабая поправка.

2.1.3 КХД поправка.

2.1.4 Полная поправка

2.2 Поправки для бозонных мод распада

2.2.1 Распад на два фотона.

2.2.2 Распад на Z - бозон и фотон.

2.2.3 Распад на два Z - бозона.

2.2.4 Распад на пару W - бозонов.

3 О (а) поправки от тормозного излучения жёстких фотонов к е+е~ аннигиляции на LEP с реалистическими обрезаниями

3.1 Древесное приближение

3.2 Тормозное излучение жёстких фотонов.

3.2.1 Фазовое пространство тормозного излучения жёстких фотонов.

3.2.2 Общий подход интегрирования в трёх областях

3.2.3 Полностью проинтегрированный вклад излучения реального фотона из конечных частиц в области III

4 Однопетлевые электрослабые поправки к глубоконеупруго-му рассеянию поляризованных частиц

4.1 Кинематика эксперимента для процесса I + N —» I + X,

4.2 Древесное приближение.

4.2.1 Нейтральный ток.

4.2.2 Заряженный ток.

4.3 Однопетлевые виртуальные поправки.

4.3.1 Слабые поправки для процесса с нейтральным током

4.3.2 Слабые поправки для процесса с заряженным током

4.3.3 Виртуальные КЭД поправки. Нейтральный ток.

4.3.4 Виртуальные КЭД поправки. Заряженный ток.

4.4 Тормозное излучение фотона. Нейтральный ток.

4.4.1 Излучение мягкого реального фотона.

4.4.2 Излучение жёсткого реального фотона.

4.5 Тормозное излучение фотона. Заряженный ток.

4.5.1 Излучение мягкого реального фотона.

4.5.2 Излучение жёсткого реального фотона.

4.6 Поляризованный HECTOR версия 1.

4.6.1 Древесное приближение.

4.6.2 Тормозное излучение фотона.

5 Разработка системы SANC, создание ветви по тормозному излучению фотонов и глюонов

5.1 Амплитуда тормозного излучения.

5.2 Вычисление вклада мягкого тормозного излучения

5.2.1 Элементарный фазовый объём для мягкого тормозного излучения.

5.2.2 Составление таблицы интегралов.

5.3 Вычисление жёсткого тормозного излучения.

5.3.1 Элементарный фазовый объём для жёсткого тормозного излучения с тремя конечными частицами

5.3.2 Элементарный фазовый объём для жёсткого тормозного излучения с четырьмя конечными частицами

5.4 Электрослабые поправки для процесса е+е~ —► //

5.4.1 Вклад в амплитуду от box - диаграмм Фейнмана

5.4.2 Вклад тормозного излучения фотонов.

5.5 Электрослабые поправки для процессов распадов топ кварка t M+ve и t -> bud

5.5.1 Древесное приближение.

5.5.2 Вклад тормозного излучения фотонов.

5.5.3 Результаты с учётом ширины топ кварка.

6 Применение системы SANC к прецизионному анализу процессов типа Дрелла-Яна на LHC

6.1 Процессы Дрелла-Яна с заряженным током

6.1.1 Древесное приближение.

6.1.2 Однопетлевые виртуальные КХД поправки.

6.1.3 Однопетлевые виртуальные КЭД поправки.

6.1.4 Вклад тормозного излучения глюонов.

6.1.5 Вклад процессов Дрелл-Яна заряженного тока с начальным глюоном

6.1.6 Вклад тормозного излучения фотонов.

6.1.7 Учет кварковых массовых сингулярностей

6.1.8 Адронный уровень.

6.1.9 Численные результаты.

6.2 Процессы Дрелла-Яна с нейтральным током.

6.2.1 Древесное приближение.

6.2.2 Однопетлевые виртуальные КХД поправки.

6.2.3 Однопетлевые виртуальные КЭД поправки.

6.2.4 Вклад тормозного излучения глюонов.

6.2.5 Вклад процессов Дрелл-Яна нейтрального тока с начальным глюоном

6.2.6 Вклад тормозного излучения фотонов.

6.2.7 Учет кварковых массовых сингулярностей

6.2.8 Адронный уровень.

6.2.9 Численные результаты.

7 Однопетлевые КХД поправки в S ANC к одиночному рождению и распаду t кварка

7.1 КХД поправки к одиночному рождению t кварка в s канале

7.1.1 Древесное приближение.

7.1.2 Виртуальные КХД поправки.

7.1.3 Мягкое тормозное излучение глюонов.

7.1.4 Жёсткое тормозное излучение глюонов.

7.1.5 Вклад тормозного излучения из конечных частиц

7.1.6 Результаты на кварк - партонном уровне.

7.2 КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в t канале

7.2.1 Древесное приближение.

7.2.2 Виртуальные КХД поправки.

7.2.3 Мягкое тормозное излучение глюонов.

7.2.4 Жёсткое тормозное излучение глюонов.

7.2.5 Численные результаты на кварк - партонном уровне

7.3 КХД поправки к процессам распада t - кварка

7.3.1 Виртуальные КХД поправки.

7.3.2 Мягкое тормозное излучение глюонов.

7.3.3 Жёсткое тормозное излучение глюонов.

7.3.4 Вычисление вклада жёсткого излучения глюона без учёта и с учётом ширины Ь кварка

7.3.5 Численные результаты

Актуальность темы исследований.

Единственная на сегодняшний день теория, которая продолжает оставаться фундаментом прецизионных теоретических расчетов, необходимых для корректной интерпретации экспериментальных данных — Стандартная Модель (СМ) взаимодействий элементарных частиц. В течение последних двадцати лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий. В пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного расхождения от предсказаний СМ. Более того, в декабре коллаборации ATLAS и CMS докладывали, что вполне вероятно обнаружить и бозон Хиггса с массой « 126 GeV, который так долго оставался неуловимым на экспериментах. С появлением новых ускорителей ( LHC, ILC, CLIC) появляется возможность проверки СМ с точностью œ 1%. Чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории, выполнение теоретических расчетов должно происходить с еще большей точностью.

Высокоточные теоретические предсказания в физике высоких энергий известны со времен экспериментов на LEP1 и LEP2, где точность измерений значительно превысила 1% и 0.1% соответственно. Во времена LEP прецизионные расчеты, в основном, проводились для проверки СМ. Еще большая точность потребуется на будущих электронных линейных ускорителях (ILC, CLIC) и мюонных фабриках. На адронном коллайдере LHC ожидается точность измерений ~ 1%. Это потребует соответствующих теоретических предсказаний, по крайней мере, на уровне однопетлевых (NLO) расчетов в электрослабом секторе (ЭС) СМ, а в квантовохромодинамиче-ском КХД секторе СМ — двухпетлевых (NNLO) поправок.

Из-за присутствия большого числа диаграмм и энергетических масштабов (массы бозонов, топ-кварка), вычисление полных ЭС радиационных поправок является несравненно более сложной задачей, чем вычисления квантовоэлектродинамических (КЭД) радиационных поправок. В силу этих причин в последние годы стала актуальной проблема автоматизации вычислений ЭС радиационных поправок. Известными примерами компьютерных систем, автоматизирующих эти вычисления, являются FeynArts/FeynCalc [1, 2] и GRACE-loop [3]. В течение ряда последних лет в ЛЯП ОИЯИ была создана и продолжает развиваться компьютерная система SANC, позволяющая вычислять однопетлевые ЭС и КХД радиационные поправки к множеству процессов, исследуемых в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий.

Процедура вычисления ЭС радиационных поправок должна учитывать специфику эксперимента. Не всегда удаётся сделать это аналитически, как, например, это было сделано в программе ZFITTER. Намного удобнее проделать эту работу с помощью методов Монте Карло. Вычисление радиационных поправок можно реализовать лишь в тесном сотрудничестве теоретиков и экспериментаторов, поэтому возникло понятие "теоретическая поддержка" эксперимента.

В настоящей диссертации представлен цикл работ именно по теоретической поддержке экспериментов физики высоких энергий за последние 30 лет вплоть до настоящего времени, При этом ставились следующие цели: Цели диссертационной работы

• Разработка схемы перенормировки в СМ, максимально близкой к схеме перенормировки в электродинамике. Вычисление однопетлевых ЭС и КХД поправок к ширине распада бозона Хиггса на фермионные и бозонные пары в унитарной калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности (OMS).

• Полное аналитическое вычисление О (а) КЭД поправок к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP с реалистическими обрезаниями.

• Расчеты однопетлевых электрослабых поправок к процессам глубо-конеупругого рассеяния поляризованных электронов на поляризованных протонах в лептонных переменных как теоретическая поддержка эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

• Создание многочисленных автономных модулей компьютерной системы SANC по аналитическому расчёту вкладов тормозного излучения фотонов и глюонов для большого числа процессов взаимодействия элементарных частиц в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий (LHC, ILC и др.). Аналитические вычисления однопетлевых ЭС и КХД поправок для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов для экспериментов на LHC.

• Создание КХД сектора SANC на языке FORM для аналитического вычисления собственно-энергетических, вершинных и диаграмм типа "box" и контрчленов на однопетлевом уровне, вычисление соответствующих формфакторов амплитуд множества процессов с виртуальными глюонами и сопутствующее тормозное излучение глюонов.

• Вычисление в среде SANC однопетлевых КХД поправок для четырёх-фермионных процессов с топ кварком с учётом его ширины распада: распадов топ кварка, процессов одиночного рождения топ кварка в 5 и t каналах.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• Впервые была разработана схема перенормировки в Стандартной Модели с набором независимых переменных: заряд электрона, массы W и Z бозонов, массы трёх поколений кварков и заряженных лептонов и масса бозона Хиггса.

• Впервые вычислены полные однопетлевые электрослабые и квантово-хромодинамические поправки к ширине распада Хиггсовского бозона на фермионные пары. Рассмотрено нестандартное поведение КЭД и КХД поправок при больших значениях массы Хиггсовского бозона. Вычислены полные однопетлевые электрослабые поправки к ширине распада на бозонные пары (фотоны, Z бозоны и W бозоны).

• Впервые проделано полное аналитическое вычисление О (а) КЭД поправок к полному сечению и ассимерию вперёд-назад с реалистическими обрезаниями для процесса рождения пары фермионов в е+е-аннигиляции на LEP. Результаты вошли в фортранную программу ZFITTER, использованную при обработке данных на LEP.

• Впервые в среде компьютерной системы SANC вычислены аналитически ЭС и КХД радиационные поправки к процессам Дрелла-Яна. Результатом является создание фортранных модулей, нацеленных на теоретическую поддержку экспериментов на ускорителе LHC.

• Впервые на языке FORM в среде компьютерной системы SANC при аналитическом вычислении поправок от излучения виртуальных и реальных глюонов для процессов с участием топ кварка учитывается ширина топ кварка.

Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и т.п., а в случаях, где это было возможно, путем сравнения с результатами вычислений других групп. Практическая ценность

Фортранная программа ZFITTER использовалась для анализа данных на ускорителе LEP. Также она полезна для многих экспериментальных и феноменологических исследований.

Фортранная программа HECTOR 1.11 ( "New beta version of the source code" (http://www. ifh.de/theory/publist .html)) использовалась как рабочая программа для анализа данных по глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах в эксперименте HERMES на ускорителе HERA.

Созданные программные продукты в в рамках проекта SANC нацелены на теоретическую поддержку анализа данных в эксперименте ATLAS на LHC.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется основная цель и задачи, возникающие при ее достижении, рассматривается научная новизна проведенных исследований, а также представляется обзор литературы в данной области.

Первая глава диссертации посвящена описанию разработки схемы перенормировки в СМ в унитарной калибровке на массовой поверхности, максимально близкой к схеме перенормировки в КЭД.

В разделе 1.1 рассматривается однопетлевая вершина ff А (ферми-он-фермион-фотонная) с участием W бозонов внутри петли. Исследуется справедливость тождества Уорда в унитарной калибровке.

В разделе 1.2 описана выбранная процедура перенормировки в СМ в унитарной калибровке. Набор независимых параметров: электрический заряд е, массы калибровочных бозонов Mw и М^, масса бозона Хиггса Мн и массы всех элементарных фермионов. Вводятся константы перенормировки бозонов, фермионов и электрического заряда.

Вторая глава диссертации посвящена описанию вычисления ЭС и КХД поправок для различных каналов распада бозонов Хиггса.

В разделе 2.1 описано вычисление КЭД, слабые и КХД поправки для фермионных мод распада.

В разделе 2.2 описано вычисление ЭС поправок для бозонных мод распада.

Третья глава диссертации посвящена вычислению О {а) КЭД поправок к сечению и к асимметрии "вперёд- назад" процесса е+е~ —» на LEP с реалистическими обрезаниями.

В разделе 3.1 даётся выражение дифференциального сечения процесса е~(к\) + е+(&2) —* ß~{Pi) в древесном приближении с учётом поляризации начальных и конечных частиц.

В разделе 3.2 рассматривается тормозное излучение жёстких фотонов с учётом поставленных условий.

Четвёртая глава диссертации содержит подробное описание вычислений однопетлевых электрослабых поправок, выраженных в лептон-ных переменных, к глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах для эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

В разделе 4.1 расматривается кинематика эксперимента для процесса е{к\) +p(pitf) е(к2) + X(pj).

В разделе 4.2 рассматривается древесное приближение этого процесса.

В разделе 4.3 представлено вычисление однопетлевых виртуальных поправок.

В разделе 4.4 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с нейтральным током.

В разделе 4.5 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с заряженным током.

В разделе 4.6 представлены результаты в случае, когда поляризован и поток электронов и поток протонов. Сравниваются поправки, полученные разными методами: через Кварк-Партонную Модель в нашей программе HECT0R1.11, через ведущие логарифмы и с помощью программы P0LRAD Шумейко и Акушевича.

Пятая глава диссертации посвещена разработке системы SANC. В ней представлены три модели взаимодействий элементарных частиц: КЭД, ЭС и КХД.

В разделе 5.1 описывается создание соответствующих процедур для получения амплитуд рассматриваемых процессов с тормозным излучением фотона или глюона.

В разделе 5.2 рассматривается вычисление вклада мягкого тормозного излучения.

В разделе 5.3 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения.

В разделе 5.4 обсуждаются электрослабые поправки для процесса е+е- -> ff.

В разделе 5.5 представлено получение электрослабых поправок для процессов распада топ кварка t —> М+щ и i —» bud.

В шестой главе диссертации подробно рассматривается применение системы SANC к прецизионному анализу процессов типа Дрелла-Яна на LHC. Показано как вычисляются в системе S ANC полные однопетлевые электрослабые и КХД поправки к сечениям процессов рождения одиночных калибровочных бозонов W* и Z на адронных коллайдерах (рр и рр) с их последующим распадом на пару лептонов или на пару кварков.

В разделе 6.1 показан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с заряженным током. Приводятся результаты для мягкого тормозного излучения фотонов. Показано сокращение инфракрасных расходимостей при сложении КЭД вкладов от виртуальной поправки и соответствующих вкладов от мягкого тормозного излучения фотонов. Получено выражение с массовыми сингулярностями, которое надо вычесть из нашего результата, потому что оно уже учтено в PDF. Описан выход на адронный уровень. Представлены численные результаты.

В разделе 6.2 показан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с нейтральным током. Описание такое же, как и в предыдущем случае.

В седьмой главе диссертации описывается вычисление однопетлевых КХД поправок в системе SANC к одиночному рождению и распаду топ кварка.

В разделе 7.1 рассматривается процесс вычисления КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в s канале. Вычисляется поправка от мягкого тормозного излучения глюонов. Пропагатор топ кварка не имеет полюса при энергии глюона стремящейся к нулю, если учитывается ширина топ кварка. В этом случае нет его вклада при мягком тормозном излучении глюона. Рассматриваеся вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов с учётом ширины топ кварка. Сравниваются наши результаты с результатами программы СотрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения.

В разделе 7.2 рассматривается процесс вычисления КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в t канале. Описание такое же, как и в предыдущем случае.

Раздел 7.3 посвящён вычислению КХД поправок к процессам распада топ кварка. Приводятся КХД поправки от диаграмм Фейнмана с виртуальными глюонами для различных каналов распада топ кварка. Вычисляются поправки от мягкого тормозного излучения глюонов для этих каналов распада топ кварка. Рассматриваеся вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов. Обсуждается каскадное приближение. Учитывается ширина топ кварка. Представлены численные результаты и сравнение наших результатов с результатами программы СотрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения.

В Заключении кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертации, формулируются положения, выносимые на защиту. Приводится список семинаров и научных конференций, где докладывались и обсуждались основные результаты диссертации. Выражаются благодарности коллегам по совместной работе.

Заключение

Основные научные результаты, представленные в диссертации.

Цель диссертационной работы — описать теоретическую поддержку экспериментов на ускорителях с высокими энергиями, которая проводилась на протяжении многих лет в рамках СМ для электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц. Речь идёт о нескольких этапах этой работы:

• Разработка схемы перенормировки в СМ, максимально близкой к схеме перенормировки в электродинамике. Вычисление однопетлевых ЭС и КХД поправок к ширине распада бозона Хиггса на фермионные и бозонные пары в унитарной калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности (OMS).

• Полное аналитическое вычисление О (а) КЭД поправок к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP с реалистическими обрезаниями.

• Расчеты однопетлевых электрослабых поправок к процессам глубо-конеупругого рассеяния поляризованных электронов на поляризованных протонах в лептонных переменных как теоретическая поддержка эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

• Создание многочисленных автономных модулей компьютерной системы SANC по аналитическому расчёту вкладов тормозного излучения фотонов и глюонов для большого числа процессов взаимодействия элементарных частиц в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий (LHC, ILC и др.). Аналитические вычисления однопетлевых ЭС и КХД поправок для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов для экспериментов на LHC.

• Создание КХД сектора SANC на языке FORM для аналитического вычисления собственно-энергетических, вершинных и диаграмм типа "box", и контрчленов на однопетлевом уровне. Вычисление соответствующих формфакторов амплитуд множества процессов с виртуальными глюонами. Вычисление сопутствующего тормозного излучения глюонов.

• Вычисление в среде SANC однопетлевых КХД поправок для четырёх-фермионных процессов с топ кварком с учётом его ширины распада: распадов топ кварка, процессов одиночного рождения топ кварка в s и t каналах.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в применении созданных программных продуктов при анализе данных в экспериментах на ускорителях высоких энергий. Фортранная программа ZFITTER использовалась для анализа данных на ускорителе LEP. Фортранная программа HECTOR 1.11 (http://www.ifh.de/theory/publist.html) использовалась как рабочая программа для анализа данных по глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах в эксперименте HERMES на ускорителе HERA. Созданные программные продукты в рамках проекта SANC нацелены на теоретическую поддержку анализа данных в эксперименте ATLAS на LHC (см. ATL-COM-PHYS-2010-325). Основные результаты и положения выносимые на защиту:

1. Разработана универсальная схема вычисления однопетлевых электрослабых и КХД радиационных поправок к процессам взаимодействия частиц при высоких энергиях с учётом экспериментальных условий. Эта схема реализована в рамках компьютерной системы S ANC и применена для получения прецизионных теоретических предсказаний для процессов изучаемых на современных ускорителях.

2. Вычислены ширины распада бозона Хиггса на фермионные и бозон-ные пары с учётом однопетлевых электрослабых и КХД поправок в Стандартной Модели в унитарной и Щ калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности. Слабые и КХД поправки большие и должны учитываться в экспериментах на LHC и ILC.

3. Учтены реалистические обрезания при вычислении О (а) КЭД поправок от жёсткого тормозного излучения фотонов к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP. Полученные результаты были внедрены в программу ZFITTER, которая применялась при обработке данных.

4. Внедрены в программу HECTOR эффекты поляризации электронов и протонов при расчёте однопетлевых электрослабых поправок в леп-тонных переменных к процессам глубоконеупругого рассеяния. Созданная программа P0LHECT0R использовалась в теоретической поддержке эксперимента HERMES на ускорителе HERA.

5. В системе S ANC проведено полное аналитическое вычисление однопетлевых КХД поправок для процессов одиночного рождения топ кварка в 5 и t каналах с последующим его распадом в приближении факторизации. Реализован учёт ширины распада топ кварка в духе схемы комплексных масс. Созданные стандартные модули SANC внедрены в Монте Карло генераторы и интеграторы, которые являются удобными инструментами для анализа данных на LHC.

6. В системе SANC аналитически вычислены однопетлевые электрослабые и КХД поправки для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов. Полученные результаты уже используются при анализе данных эксперимента ATLAS на LHC.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории Теоретической Физики им. Н.Н. Боголюбова и Лаборатории Ядерных Проблем им В.П. Джелепова ОИЯИ, на семинарах в Институте Физики Высоких Энергий в Цойтене (Германия), в CERN (Швейцария), на Рабочих Совещаниях по физической программе ATLAS в ОИЯИ (28 апреля и 25 ноября 2005 г., 14 апреля и 22 декабря 2006 г., 25 декабря 2007 г. и 21 апреля 2008 г.).

Также докладывались на следующих международных рабочих совещаниях и школах:

IX Silesian School of Theoretical Physics", Szczyrk, Poland, Sep. 1985; Workshop on "Physics at HERA", Hamburg, Germany, Oct. 1987, "Theory of Elementary Particles", Sellin 1987; "Czechoslovak Hadron Symposium", 1988;

Cracow International Symposium on Radiative Corrections" (CRAB 96), Cracow, Poland, Aug. 1996;

Symposium "RADCOR 1998", Spain, Sep. 1998, Barcelona; ECFA/DESY Linear Collider Project Meetings at Frascati, Nov. 1998 and Oxford, Mar. 1999 and at LEP-2 Miniworkshop at CERN, Mar. 1999; Workshop for a Worldwide Study on Physics and Experiments with Future Linear e+e~ Colliders at Sitges/Barcelona, Apr. 1999; "5th Workshop of the 2nd ECFA - DESY Study on Physics and Betectors for a Linear Electron -Positron Collider", Obernai, France, Oct. 1999; Workshop of "Loops and Legs in Quantum Field Theory", Bastei, Germany, April 2000;

International Workshop "Calculations for Modern and Future Colliders", (CALC) JINR, Bubna, 2000;

Conference "RADCOR 2002", Kloster Banz, Germany, Sep. 2002; 8th International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research "ACAT 2002", Moscow, Russia, Jun. 2002;

ECFA LC Workshop "Study of Physics and Detectors for a Linear Collider", Montpellier, Nov. 2003;

International Workshop "Calculations for Modern and Future Colliders", (CALC) JINR, Dubna, 2009; Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 28 работ, в том числе 16 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Благодарности.

Я благодарю Д.Ю. Бардина за многолетнюю совместную работу, за его заботу и научное руководство.

Благодарю JI.B. Калиновскую за совместную работу, за дружбу и заботу.

Благодарю и других моих соавторов: Бориса Виленского, Торда и Сабины Риманн, Иоханеса Блюмляйна, Марка Джака, Антона Андонова, Андрея Арбузова, Сергея Бондаренко, Гизо Нанава, Джампиеро Пассари-но, Владимира Колесникова, Рената Садыкова и Корнелии Йордановой за плодотворную совместную работу.

Я благодарю замечательную команду — группу SANC: Д.Ю. Бардина, JI.B. Калиновскую, С.Б. Бондаренко, А.Б. Арбузова, А.Д. Андонова, В.А. Колесникова, JI.A. Румянцева, P.P. Садыкова, A.A. Сапронова, Е.Д. Угло-ва, Г.С. Нанаву за радость созидания нашего совместного проекта SANC.

Благодарю руководства ОИЯИ и моей Лаборатории за то, что мне была дана возможность работать в команде SANC и написать настоящую диссертацию.

1. Т. Hahn, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 89 (2000) 231-236, hep-ph/0005029.

2. T. Hahn, Comput.Phys. Commun. 140 (2001) 418-431, hep-ph/0012260.

3. G. Belanger, F. Boudjema, J. Fujimoto, T. Ishikawa, T. Kaneko, et al, Phys.Rept. 430 (2006) 117-209, hep-ph/0308080.

4. S. Glashow, Nucl.Phys. 22 (1961) 579-588.

5. S. Weinberg, Phys.Rev.Lett. 19 (1967) 1264-1266.

6. A. Salam, Originally printed in *Svartholm: Elementary Particle Theory, Proceedings Of The Nobel Symposium Held 1968 At Lerum, Sweden*, Stockholm 1968, 367-377.

7. P. W. Higgs, Phys.Lett 12 (1964) 132-133.

8. P. W. Higgs, Phys.Rev. 145 (1966) 1156-1163.

9. H. Fritzsch, M. Gell-Mann, and H. Leutwyler, Phys.Lett. B47 (1973) 365368, Introduces the term 'color'.

10. D. Gross and F. Wilczek, Phys.Rev. D8 (1973) 3633-3652.

11. D. Gross and F. Wilczek, Phys.Rev.Lett. 30 (1973) 1343-1346.

12. S. Weinberg, Phys.Rev.Lett. 31 (1973) 494-497.

13. S. Weinberg, Phys.Rev. D8 (1973) 4482-4498.

14. H. Politzer, Phys.Rept. 14 (1974) 129-180.

15. D. Ross and J. Taylor, Nucl.Phys. B51 (1973) 125-144.

16. T. Appelquist, J. Primack, and H. R. Quinn, Phys.Rev. D7 (1973) 29983009.

17. W. Marciano and A. Sirlin, Phys.Rev. D8 (1973) 3612-3615.

18. P. Salomonson and Y. Ueda, Phys.Rev. Dil (1975) 2606.

19. M. Lemoine and M. Veltman, Nucl.Phys. B164 (1980) 445.

20. M. Green and M. Veltman, Nucl.Phys. B169 (1980) 137.

21. M. Veltman, Phys.Lett. B91 (1980) 95.

22. M. Consoli, Nucl.Phys. B160 (1979) 208.

23. F. Antonelli, M. Consoli, and G. Corbo, Phys.Lett. B91 (1980) 90.

24. F. Antonelli, G. Corbo, M. Consoli, and O. Pellegrino, Nucl.Phys. B183 (1981) 195-222.

25. F. Antonelli, G. Corbo, and M. Consoli, Phys.Lett. B99 (1981) 475-480.

26. W. J. Marciano, Phys.Rev. D20 (1979) 274.

27. A. Sirlin, Phys.Rev. D22 (1980) 971-981.

28. W. Marciano and A. Sirlin, Phys.Rev. D22 (1980) 2695.

29. A. Sirlin and W. Marciano, Nucl.Phys. B189 (1981) 442.

30. J. Fleischer and F. Jegerlehner, Phys.Rev. D23 (1981) 2001-2026.

31. D. Bardin and O. Fedorenko, Sov. J.Nucl.Phys. 30 (1979) 418.

32. D. Bardin, O. Fedorenko, and N. Shumeiko, Sov.J.Nucl.Phys. 32 (1980) 403.

33. D. Bardin, O. Fedorenko, and N. Shumeiko, J.Phys.G G7 (1981) 1331.

34. J. Wheater and C. Llewellyn Smith, Nucl.Phys. B208 (1982) 27.

35. K.-i. Aoki, Z. Hioki, R. Kawabe, M. Konuma, and T. Muta, Prog. Theor.Phys. 65 (1981) 1001.

36. K. Aoki, Z. Hioki, M. Konuma, R. Kawabe, and T. Muta, Prog. Theor.Phys.Suppl. 73 (1982) 1-225.

37. Z. Hioki, Nucl.Phys. B229 (1983) 284.

38. G. Passarino and M. Veltman, Nucl.Phys. B160 (1979) 151.

39. D. Bardin, P. Khristova, and O. Fedorenko, Nucl.Phys. B197 (1982) 1.

40. D. Bardin, O. Fedorenko, and P. Khristova, Yad.Fiz. 35 (1982) 1220-1230.

41. P. Khristova, Acta Phys.Polon. B18 (1987) 3-20.

42. D. Y. Bardin and G. Passarino, Oxford, UK: Clarendon (1999) 685 p.

43. E. Braaten and J. Leveille, Phys.Rev. D22 (1980) 715.

44. P. Janot, Phys.Lett. B223 (1989) 110.

45. D. Bardin, B. Vilensky, and P. Khristova, Sov.J.Nucl.Phys. 53 (1991) 152-158.

46. M. Veltman, Acta Phys.Polon. B8 (1977) 475.

47. T. Kinoshita, J.Math.Phys. 3 (1962) 650-677.

48. T. Lee and M. Nauenberg, Phys.Rev. 133 (1964) B1549-B1562.

49. D. Bardin, P. Khristova, and O. Fedorenko, Nucl.Phys. B175 (1980) 435.

50. F. Halzen and A. D. Martin, New York, Usa: Wiley ( 1984) 396p.

51. W. J. Marciano, Phys.Rev. D29 (1984) 580.

52. D. Bardin, P. Khristova, and B. Vilensky, Sov.J.Nucl.Phys. 54 (1991) 833-844.

53. J. R. Ellis, M. K. Gaillard, and D. V. Nanopoulos, Nucl.Phys. B106 (1976) 292.

54. M. A. Shifman, A. Vainshtein, M. Voloshin, and V. I. Zakharov, Sov.J.Nucl.Phys. 30 (1979) 711-716.

55. R. Cahn, M. S. Chanowitz, and N. Fleishon, Phys.Lett. B82 (1979) 113.

56. J. Gunion, G. L. Kane, and J. Wudka, Nucl.Phys. B299 (1988) 231.

57. A. Akhundov, D. Bardin, and T. Riemann, Nucl.Phys. B276 (1986) 1.

58. M. S. Bilenky and A. Sazonov, JINR-E2-89-792.

59. D. Y. Bardin, M. S. Bilenky, A. Chizhov, A. Sazonov, Y. Sedykh, et al, Phys.Lett. B229 (1989) 405.

60. D. Y. Bardin, M. S. Bilenky, A. Chizhov, A. Sazonov, A. Sazonov, et al, Nucl.Phys. B351 (1991) 1-48, hep-ph/9801208.

61. P. Christova, M. Jack, S. Riemann, and T. Riemann, hep-ph/9812412.

62. P. Christova, M. Jack, and T. Riemann, Phys.Lett. B456 (1999) 264-269, hep-ph/9902408.

63. P. Christova, M. Jack, S. Riemann, and T. Riemann, hep-ph/0002054.

64. G. Montagna, O. Nicrosini, and G. Passarino, Phys.Lett. B309 (1993) 436-442.

65. M. Klein and T. Riemann, Z.Phys. C24 (1984) 151.

66. D. Bardin, C. Burdik, P. Khristova, and T. Riemann, Preprint JINR-E287.595 (1987).

67. D. Bardin, C. Burdik, P. Khristova, and T. Riemann, Preprint JINR-E288.682 (1988).

68. D. Bardin, C. Burdik, P. Khristova, and T. Riemann, Z.Phys. C42 (1989) 679.

69. M. Böhm and H. Spiesberger, Nucl.Phys. B294 (1987) 1081.

70. M. Böhm and H. Spiesberger, Nucl.Phys. B304 (1988) 749.

71. C. M. Kiesling, Proceedings, HERA Workshop (1987) 653-676.

72. D. Bardin, K. Burdik, P. Khristova, and T. Riemann, Z.Phys. C44 (1989) 149.

73. D. Y. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Acta Phys.Polon. B28 (1997) 511-528, hep-ph/9611426.

74. D. Y. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, and L. Kalinovskaya, Nucl.Phys. B506 (1997) 295-328, hep-ph/9612435.

75. G. Altarelli and G. Parisi, Nucl.Phys. B126 (1977) 298.

76. D. Duke and J. Owens, Phys.Rev. D30 (1984) 49-54.

77. J. Vermaseren, math-ph/0010025.

78. A. Sirlin, Phys.Rev. D29 (1984) 89.

79. A. Akhundov, D. Bardin, and N. Shumeiko, Preprint JINR-E2-10205 (1976).

80. A. Akhundov, D. Bardin, and W. Lohmann, Preprint JINR-E2-86-104 (1986).

81. L. W. Mo and Y.-S. Tsai, Rev.Mod.Phys. 41 (1969) 205-235.

82. N. Shumeiko, Sov. J.Nucl.Phys. 29 (1979) 807.

83. A. De Rujula, R. Petronzio, and A. Savoy-Navarro, Nucl.Phys. B154 (1979) 394.

84. European Muon Collaboration Collaboration, J. Ashman et al., Phys.Lett. B206 (1988) 364.

85. European Muon Collaboration Collaboration, J. Ashman et al., Nucl.Phys. B328 (1989) 1.

86. G. Altarelli and G. Ridolfi, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 39BC (1995) 106-117.

87. G. Altarelli, Proceedings, Quarks and colliders (1995) 1-60.

88. M. Karliner and J. R. Ellis, Proceedings, Prospects of spin physics at HERA (1995) 3-24.

89. R. Voss, Proceedings, Prospects of spin physics at HERA (1995) 25-48.

90. J. Feltesse and A. Schaefer, Proceedings of the Workshop 1995/96 Future physics at HERA 2 (1995) 760-776.

91. E143 Collaboration Collaboration, K. Abe et a/., Phys.Rev.Lett. 76 (1996) 587-591, hep-ex/9511013.

92. I. Akushevich and T. Kukhto, Sov.J.Nucl.Phys. 52 (1990) 913-915.

93. I. Akushevich and T. Kukhto, Acta Phys.Polon. B22 (1991) 771-784.

94. I. Akushevich and N. Shumeiko, J.Phys. G G20 (1994) 513-530.

95. I. Akushevich, A. Ilichev, and N. Shumeiko, Phys.Atom.Nucl. 58 (1995) 1919-1930.

96. I. Akushevich and N. Shumeiko, Preprint Hamburg DESY -Int.Rep.Zeuthen-94-02 (1995) 3-21.

97. I. Akushevich, N. Shumeiko, and A. Tolkachev, Preprint Hamburg DESY Int.Rep.Zeuthen-94-02 (1995) 43-49.

98. J. Blumlein, hep-ph/9508387.

99. J. Kripfganz and H. Perlt, Z.Phys. C41 (1988) 319-321.

100. J. Blumlein, Z.Phys. C47 (1990) 89-94.

101. H. Spiesberger, Phys.Rev. D52 (1995) 4936-4940, hep-ph/9412286.

102. J. Blumlein and N. Kochelev, Phys.Lett. B381 (1996) 296-304, hep-ph/9603397.

103. J. Blumlein and N. Kochelev, Nucl.Phys. B498 (1997) 285-309, hep-ph/9612318.

104. A. A. Akhundov, D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Fortsch.Phys. 44 (1996) 373-482, hep-ph/9407266.

105. A. Arbuzov, D. Y. Bardin, J. Blumlein, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Comput.Phys.Commun. 94 (1996) 128-184, hep-ph/9511434.

106. T. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Z. Skands, Comput.Phys. Commun. 178 (2008) 852-867, 0710.3820.

107. M. Bahr, S. Gieseke, M. Gigg, D. Grellscheid, K. Hamilton, M. Seymour, et al, Eur.Phys.J. C58 (2008) 639-707, 0803.0883.

108. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, et al., Phys.Part.Nucl. 34 (2003) 577-618, Based on two preprints: CERN-TH-2001-308 and CERN-TH-2002-068, hep-ph/0207156.

109. F. A. Berends, W. van Neerven, and G. Burgers, Nucl.Phys. B297 (1988) 429.

110. W. Hollik, Fortsch.Phys. 38 (1990) 165-260.

111. G. Montagna, O. Nicrosini, F. Piccinini, and G. Passarino, Comput.Phys.Commun. 117 (1999) 278-289, hep-ph/9804211.

112. D. Y. Bardin, P. Christova, M. Jack, L. Kalinovskaya, A. Olchevski, et al., Comput.Phys.Commun. 133 (2001) 229-395, hep-ph/9908433.

113. J. Fujimoto and Y. Shimizu, Mod.Phys.Lett. ЗА (1988) 581.

114. W. Beenakker, S. van der Marck, and W. Hollik, Nucl.Phys. B365 (1991) 24-78.

115. W. Beenakker and W. Hollik, Phys.Lett. B269 (1991) 425-431.

116. W. Beenakker, A. Denner, and A. Kraft, Nucl.Phys. B410 (1993) 219-244.

117. D.Yu. Bardin, C. Burdik, P.Kh. Khristova, and T. Riemann, Proceedings, Theory of elementary particles, Sellin (1987) 324-330.

118. E. Бюклинг и К. Каянти, Москва, Мир, (1975).

119. V. Driesen, W. Hollik, and A. Kraft, hep-ph/9603398.

120. A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, et al, hep-ph/0202112.

121. W. Hollik and C. Schappacher, Nucl.Phys. B545 (1999) 98-140, hep-ph/9807427.

122. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, et al, Eur.Phys.J. C51 (2007) 585-591, hep-ph/0703043.

123. A. Denner and T. Sack, Nucl.Phys. B358 (1991) 46-58.

124. G. Eilam, R. Mendel, R. Migneron, and A. Soni, Phys.Rev.Lett. 66 (1991) ^ 3105-3108.

125. B. A. Irwin, B. Margolis, and H. D. Trottier, Phys.Lett. B256 (1991) 533-539.

126. T. Kuruma, Z.Phys. C57 (1993) 551-558.

127. B. Lampe, Nucl.Phys. B454 (1995) 506-526.

128. S. Oliveira, L. Brucher, R. Santos, and A. Barroso, Phys.Rev. D64 (2001) 017301, hep-ph/0011324.

129. M. Fischer, S. Groote, J. Korner, and M. Mauser, Phys.Rev. D65 (2002) 054036, hep-ph/0101322.

130. H. Do, S. Groote, J. Korner, and M. Mauser, Phys.Rev. D67 (2003) 091501, hep-ph/0209185.

131. B. H. Smith and M. Voloshin, Phys.Lett. B340 (1994) 176-180, hep-ph/9405204.

132. S. Mrenna and C. Yuan, Phys.Rev. D46 (1992) 1007-1021.

133. K. Chetyrkin, R. Harlander, T. Seidensticker, and M. Steinhauser, hep-ph/9910339.

134. Q.-H. Cao and C. Yuan, Phys.Rev.Lett. 93 (2004) 042001, hep-ph/0401026.

135. A. Pukhov, E. Boos, M. Dubinin, V. Edneral, V. Ilyin, et al., User's manual for version 33, hep-ph/9908288.

136. CompHEP Collaboration Collaboration, E. Boos et al., Nucl.Instrum.Meth. A534 (2004) 250-259, hep-ph/0403113.

137. R. Sadykov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, et al., PoS TOP2006 (2006) 036.

138. S. Drell and T.-M. Yan, Phys.Rev.Lett. 25 (1970) 316-320.

139. M. Dittmar, F. Pauss, and D. Zürcher, Phys.Rev. D56 (1997) 7284-7290, hep-ex/9705004.

140. S. Frixione and M. Mangano, JEEP 0405 (2004) 056, hep-ph/0405130.

141. CDF and DO Collaboration Collaboration, V. Abazov et al., Phys.Rev. D70 (2004) 092008, hep-ex/0311039.

142. CDF Collaboration Collaboration, A. Abulencia et al, J.Phys.G G34 (2007) 2457-2544, hep-ex/0508029.

143. V. Mosolov and N. Shumeiko, Nucl.Phys. B186 (1981) 397-411.

144. A. Soroko and N. Shumeiko, Sov.J.Nucl.Phys. 52 (1990) 329-334.

145. D. Wackeroth and W. Hollik, Phys.Rev. D55 (1997) 6788-6818, hep-ph/9606398.

146. U. Baur, S. Keller, and D. Wackeroth, Phys.Rev. D59 (1999) 013002, hep-ph/9807417.

147. U. Baur, O. Brein, W. Hollik, C. Schappacher, and D. Wackeroth, Phys.Rev. D65 (2002) 033007, hep-ph/0108274.

148. S. Dittmaier and . Kramer, Michael, Phys.Rev. D65 (2002) 073007, hep-ph/0109062.

149. U. Baur and D. Wackeroth, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 116 (2003) 159-163, hep-ph/0211089.

150. U. Baur and D. Wackeroth, Phys.Rev. D70 (2004) 073015, hep-ph/0405191.

151. C. Carloni Caíame, G. Montagna, O. Nicrosini, and A. Vicini, JEEP 06122006) 016, hep-ph/0609170.

152. C. Carloni Caíame, G. Montagna, O. Nicrosini, and A. Vicini, JEEP 07102007) 109, 0710.1722.

153. R. Hamberg, W. van Neerven, and T. Matsuura, Nucl.Phys. B359 (1991) 343-405.

154. K. Melnikov and A. Vainshtein, Phys.Rev. D70 (2004) 113006, hep-ph/0312226.

155. K. Melnikov and F. Petriello, Phys.Rev. D74 (2006) 114017, hep-ph/0609070.

156. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, et al, Eur.Phys.J. C46 (2006) 407-412, hep-ph/0506110.

157. A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, et al, Eur.Phys.J. C54 (2008) 451-460, 0711.0625.

158. A. Arbuzov, A. Andonov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, et al, PoS ACAT08 (2008) 109.

159. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, et al, Phys.Part.Nucl.Lett. 4 (2007) 451-460.

160. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, et al, Phys.Atom.Nucl. 73 (2010) 1761-1769, 0901.2785.

161. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, et al., Comput.Phys.Commun. 174 (2006) 481-517, hep-ph/0411186.

162. C. Buttar, S. Dittmaier, V. Drollinger, S. Frixione, A. Nikitenko, et al, hep-ph/0604120.

163. TeV4LHC-Top and Electroweak Working Group Collaboration, C. Gerber et al., 0705.3251.

164. W. Placzek and S. Jadach, Eur.Phys.J. C29 (2003) 325-339, hep-ph/0302065.

165. C. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini, and M. Treccani, Phys.Rev. D69 (2004) 037301, hep-ph/0303102.

166. C. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini, and M. Treccani, Eur.Phys. J. C33 (2004) S665-S667, hep-ph/0310334.

167. M. Roth and S. Weinzierl, Phys.Lett. B590 (2004) 190-198, hep-ph/0403200.

168. A. Martin, R. Roberts, W. Stirling, and R. Thorne, Eur.Phys. J. C39 (2005) 155-161, hep-ph/0411040.

169. W. A. Bardeen, A. Buras, D. Duke, and T. Muta, Phys.Rev. D18 (1978) 3998.

170. G. Altarelli, R. Ellis, and G. Martinelli, Nucl.Phys. B157 (1979) 461.

171. H. Lai, J. Huston, S. Kuhlmann, F. I. Olness, J. F. Owens, et al, Phys.Rev. D55 (1997) 1280-1296, hep-ph/9606399.

172. P. Richardson, R. Sadykov, A. Sapronov, M. Seymour, and P. Skands, 1011.5444.

173. C. Buttar, J. D'Hondt, M. Kramer, G. Salam, M. Wobisch, et al, * Temporary entry 0803.0678.

174. J. M. Campbell and R. Ellis, Nucl.Phys.Proc.Suppl 205-206 (2010) 1015, 1007.3492.

175. R. K. Ellis, Nucl Phys. Proc.Suppl. 160 (2006) 170-174.

176. DO Collaboration Collaboration, V. Abazov et al, Phys.Rev.Lett. 982007) 181802, hep-ex/0612052.

177. DO Collaboration Collaboration, V. Abazov et al, Phys.Rev.Lett. 103 (2009) 092001, 0903.0850.

178. CDF Collaboration Collaboration, T. Aaltonen et al, Phys.Rev.Lett. 1012008) 252001, 0809.2581.

179. CDF Collaboration Collaboration, T. Aaltonen et al, Phys.Rev.Lett. 1032009) 092002, 0903.0885.

180. CMS Collaboration Collaboration, S. Chatrchyan et al., Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 091802, 1106.3052.

181. G. Bordes and B. van Eijk, Nucl.Phys. B435 (1995) 23-58.

182. B. Harris, E. Laenen, L. Phaf, Z. Sullivan, and S. Weinzierl, Phys.Rev. D66 (2002) 054024, hep-ph/0207055.

183. J. M. Campbell, R. Frederix, F. Maltoni, and F. Tramontano, Phys.Rev.Lett. 102 (2009) 182003, 0903.0005.

184. Z. Sullivan, Phys.Rev. D70 (2004) 114012, hep-ph/0408049.

185. S. Frixione, E. Laenen, P. Motylinski, and B. R. Webber, JHEP 0603 (2006) 092, hep-ph/0512250.

186. E. Boos, V. Bunichev, L. Dudko, V. Savrin, and A. Sherstnev, Phys.Atom.Nucl. 69 (2006) 1317-1329.

187. M. C. Smith and S. Willenbrock, Phys.Rev. D54 (1996) 6696-6702, hep-ph/9604223.

188. D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, et al., * Temporary entry *, 1110.3622.

189. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Schlippe, Eur.Phys.J. C71 (2011) 1533, 1008.1859.

190. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, et al, hep-ph/0610268.

191. D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, et al, Phys. Part. Nucl Lett. 7 (2010) 72-79, 0903.1533.