Выпучивание конструкций при неограниченной ползучести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г г: од . •

лей Месхопскпй государственный упниерснтет \ 3 Фсо . ь • имени М.П. ЛОМОНОСОВА

.\1скапико-математический ^акультсг

На прат>х

Кирсанов Михаил Николаевич

ВЫПУЧИВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

О'. 02. 04 леформпруо.ого твердот 'шла

А ВТОР БФЕГ А Г диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995 г.

Работа выполнена в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук« профессор Быков Д.Л., доктор физико-математических наук, профессор Лохащенхо A.M., доктор технических наук, профессор Потапов В Л.

Ведущая организация - Тверской государственный технический университет.

Зашита состоится 1995 г.

в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Л 053.05.03 в Московской государственной университете им. М.В.Лоионосова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механнко-математическнй факультет, аудитория 16-10,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

"Ж" 1995 г.. .

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.03

профессор Шешенин C.B.

' . • г1* . • ■ ' '

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ •

Актуальность пели. Безрпасная эксплуатация строительных

-------конструкций, элементов иашин, приборов требует точного расчета их-------

надежности. Одной из важнейших характеристик надежности конструкции является ее способность выдерживать сжимающие нагрузки. Стержни и тонкостенные системы имеют тенденцию к выпучивашю, что. приводит, как правило, к катастрофическим последствиям. Диссертация посвящена анализу процесса сжатия конструкция из реологи- -ческих материалов в связи с изучением явления выпучивания.

, Внимание. к проблеме вызвано применением р строительстве я машиностроении материалов, обладающих реологическими свойствами при отсутствии теории, сбъясняидей выпу'пгеяи*® • конструк- •

ций, изготовлэшшх из гак, и предсказывающей значения критических параметров.

Если при упругой и пластической работо материала выпучивание закономерно связывается с явлением неустойчивости, то для реологических сред все обстоит сложнее. Важно замбтить, что по отношению к этой проблеме реологические материалы можно разделить на два основных типа: материалы,- обнаруживающие при постоянных нагрузках ограниченную ползучесть .и материалы с неограниченной во времени деформацией ползучести. Явление выпучивания при ограниченной ползучести скатах тел может Сыть проанализировано с помощью опроделе1ия неустойчивости на бесконечном интервале времени (критерий Ляпунова). Критической здесь является нагрузка так называемого длительного модуля, который макет быть выд лен только для таких сред из условия затухаши движения на бесконечности.

Попытка изучения явления выпучивания тел, обладающих свойства™ неограниченной ползучести, на основе классического определения неустойчивости приводит к тривиальному результату. Реологическое тело оказывается изначально.неустойчивым, следствием чего должно бить выпучивание при любой нагрузке, однако это в практике не наблюдается.

Существует и другое направление исследований ■явления выпучи- , Г вания, основанное на анализе начальных несовершенств конструкции. Такой подход берет свое начало из задач упругости, где он хорошо

развит и имеет практическое значение, раскрывая реальную картину развития прогибов вплоть до разрушения. Однако, следует заметить принципиальное отличие приложения метода начальных несовершенств

-2в упругости п 'в реологии. В шргоы случае супествуот предельный переход по величмтм и&чалышх кесоьермнств. При устрешешш их к пула из решешш вытекает известная критическая нагрузка по Эйлеру. В реологю! этого не мо:;;от быть в связи с тем, что помаю величин несовершенств (найти которые также достаточно сложная задача), необходимо знать еще и истории ¡к проксхоягденпя. Последнее в большинства случаев • является ' керазрепкмой задачей. Поэтому, для анализе явления выпучивания при неограниченной пол- ■ зучести следует отказаться кап от классического понятия устойчивости,. так и от анализа начальных несовершенств.

В 60-е годи были разработаны критериальные подхода к явлению выпучивания при ползучести . 1Куртн Л.13. (1961), Рабатов й.В. и Сесшерш:о6 С.А. (1357), Ессжршюб С.А. .(1959), Иванов Г.В.' (1961), -БПапХеу Т. (1952), Сегргй С. (1956)]. В некоторых случаях критическая ситуация, предсказываемая на основе этих теорий, достаточно близко соответствует реальному явлению. Однако, в основном такое направление не получило развития как недостаточно обоснованное и неудовлетворительно описывающее эксперимент.

Целью работ является: разработка теории, описывающей поведение сжатых тел в условиях ползучести по отношению к возмущению высших производных прогиба в связи с анализом явления выпучивания.

Для аостикения цели были проанализированы известные критерии .выпучивания. Уточнение постановки задачи псевдобнфуркашш Кмотшова В.Д. привело к обнаружений особых точек процесса деформирования, которые и были положены в основу предлагаемой теории,

- Научная новизна полученных результатов зшинвчается в следующем:

1) обнаружены особые точки процесса деформирования реологических сред и найдены ' рекуррентные соотношения для их определения; • . .

2) сформулированы и доказаны свойства корней полиномов, порождающих особые точки;

3) проведено сопоставление существующие подходов к проблеме выпучивания при ползучести с предлагаемой теорией;.

4) предложен способ выявления особых точек в трехмерных задачах, основанный на методе упругого эквивалента, найдены

соогкетстьу'гжь кт: и «.!■;

Г>> ротни кг.нкретшг задачи: внпучивыиг- армированиог..-ч- слоилтоя пластины.- осесимметричное_и. неоевеиммограчио» випучип'ям* кругоро^ шшшлричвской ооолочкк пря ссуго'.« счатп» » внешнем.давление,

6) обработаны и соаоставиню с теорией оеобих точек лз»?стш;р экспериментальные данные -

пр«я«о«йН' приближенный метод оценки явления ьйлучивзни.; >гр:л уотааовйтеейся голзучеетг.

Лоаяоберюал: рззудьтагоя огнояйга на строгости '.¡.-стгното которая обеспечивается последовательным и полным анализом уравне-

Приленение и■ прситичесная ценность работа. Результаты, ■ полученные в работе, могут быть использованы в практических инженерных расчетах, в частности, при оценке снижения несущей .способности екатых элементов конструкций со временем. Матрицы упругого эквивалента позволяют находить решения задач выпучивания тонкостенных систем при различных вариантах нагрузок. Апробация.

¡•пгл'льтахк -ппйят!: лекдедав»лим. и обстадались:

„ar.ji.iypi, -ъ • ; , ;,. '.Ч'.'скй "с;

..¡1;,..- Воронг:;:с::огс госудйрст.-^инога университета ¡,' 1

•■!!■< гечинана... к&фгдхл теерх! ПХЛГ«П«ЙОСТН (1980,1990.1 991 :■ «.а "екилзсн- •••»Тйдры азеряи утф'ггости МГУ

зссеД2!2П* ткода "Совремзвкае яробле*® чехатзга и матемч-тпческой .'&!зш-лГ(Ворсиег.. 1994);

на городском семинаре по механике (Тула, 1394). па семинаре по мгяспжг- ¿сформируемого • твердого тола зртгого государственного технического университета (1995); ■Публикации. По теме диссертаций опубдикСвако 12 работ. Структура' диссертационной■ робот.. Диссертация изложена на 176 страницах и состоит из введения, шести глав, заключения, стглскз основных обозначений, гашекз литературы -и приложения. На 164 страницах изложено содержание, включающее в себя 17 рисунков, '4 таблицы', на остальных страницах - список литературы из ш наименований и 1 таблица приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации разрабатывается критерий выпучивания реологи- . ческих систем.

Основой предлагаемой теории является понятие особой точки процесса деформирования тел из'нелинейного реологического материала. Источником теории является, с одной стороны, идея псевдо- . бифуркации В.Д.Илкшшоба, уточнение которой в постановочной части приводит к понятию особой точки. С другой стороны, из обобщения условных критериев С.А.Еестерикова и Л.М.Курита на высшие производные и иной трактовки, получающихся зависимостей также вытекает понятие особой точки.

Основную идею в последнем варианте можно проиллюстрировать на простом примере, приведенном во введении. Рассмотрим дифференциальное .уравнение

х=Н-г)х, ' (1) '

где точкой обозначена производная по времени Г- ; т - некоторый параметр размерности времени. Если считать, что х - это скорость, то уравнение (1) можно рассматривать, например, как. уравнение движения точки под действием переменной силы. Решение уравнения ■ при начальном условии х(0)=х0 имеет вид

х-х0е« . " (2)

Вычислим скорость, ускорение и высшие производное (до пятого порядка) функции х при

0 0 О (3)

х(4) (0)=хо(х4~6х2+3)-,1 х(5>(0)^:хо(т:4-т2+15). Зададим теперь • в качестве начальных данных для решения не

х(0)=хд, а, например, ускорение. Пусть 5(0)=?/,=сопаС. Вычислим, какое при этом получится значение функщш в начальный момент времени. Из (3) имеем х(0)=1/г/(г2-1).

При т>т;2=±1 начальное значение х(0) стремится к бесконечности. Такое.же явление, но при других значениях %, возникает при задании в начальный момент высших производных и^. Находя нетривиальна корни ' уравнений (0)=0 из (3), получим гд=г{3)'/2, д =ь13г{6)1/г]1/г, 1=115±{Ю)1/г],/г . Значения т„ являются для

4 5 ' л

-5- "J

системы особым«. Полученную последовательность иошо продолжить. ----------Очевидна опасность таких ситуаций (особых точек на шкалз ¿^ Цдол

вндэдчшш подоЗьих -гочеч при анализе процесса сжатия кокстрзпадай з условиях ползучее'"-ч павозкена в основу выдвигаемого ергяерия. Анаяогсм х будет прогттб, т - дафорзджт ползучести, развитая в систем» к нечвнту возмущения. Задача, в которой для дифференциального уравнения порядка л в качестве начальных даш^х дактсл 3"ПЧ(чшч ирэИЗДОШШХ проясводпчу. ФУНКЦИИ, НОЗНГМОТС«" и .-дссер тоц'Ли ойоо^;о№;оЯ зодочел Г.ОП:,

В первой главе дается аналитический обзор известных подходов

к пги-if î ними кнцмчишпйл и un jiUjio f rûcprzîî

выоракы те, в которых прддеквзывадмыо кря7«ч<?си»*о зи^чеплл uspe-метров напряженно-деформированного состояния не зависят от каких-либо количественных характеристик задачи - внешних (например, ограш1чения На максимальный прогиб или его скорость) пли внутренних (начальное несовершенство). Изложение существа этих подходов показывает, в чем состоит их условность и позволяет провести качественное и количественное сравнение результатов.

Рассматривается среда, неограниченная ползучесть которой списывается нелинейная соотношением для напряжений, деформаций и их скоростей. Кспользуются определение соотношения теории упрочнения.

Все подходы к проблеме выпучивания при ползучести, о которых идет речь, применимы для произвольного тола. Однако, ради наглядности в качество модели объекта взят гибкий парнирно-опертый стержень, для которого результата представ!М1 в наиболее простой

форме.

Существующие подхода условно разделены на четыре группы. К первой " группе отнеСенн те подхода, в которых " основой является идея убывания мгновенной жесткости материала в процессе деформирования. Известны два таких критерия, отличающиеся способом наховдения . модуля упругости ira . изохронной кривой касательного модуля Ф.Иенли и критической деформации Г.Дхерарда. Для соотношения ползучести вида

Jpi(p)=f(o), (4)

•где р=е-о/£ - деформация ползучести, h(p)- некоторая монотонно возраставшая функция. (обычно степенная), характеризующая упрочне-

пне материала, /(о) - функция, показывающая зависимость деформации ползучести от уровня напряжений (степенная, гиперболический синус и др.), приводятся аналитические результаты этих подходов.

Рассмотрены критерии, основанные на анализе движения в начальный после возмущения момент времени (вторая группа критериев). Это подходы Ю.Н.РсШотиова-С.А.Щескершюеа и Л.П.Кцрша. Показано, что критерий Нуртна помимо известных. реиеннй при определешшх началышх условиях на возмущенноо двшхошю дает еде одно, ранее 'незамеченное. Обобщение этого решения по высшие про-изводгше прогиба -есть один из путей вывода понятия особой точки.

Получена формула для A4Ï производной прогиба U в момент возмущения tQ, соответствующий деформации ползучести р0

где u=a/oo, aQ -'эйлерово напряжение упругого стержня, Ри и' BJ( -некоторые функции переменной pQ, которые можно представить в виде полиномов по \={fl/f)Ba/(1~u). При JM и 2 их вид следует из критериев РаОотнова-Шестерикова и Куршщю. Приведем вид полиномов для N=1-4:

D --1, В =Х, T>=X(l-2k), D =Х1Хг-5Х1г+3(Sis^-fc ) 1, 0 12 3 1 (g)

D,=И V3 -9\2к+\ ( 26k2-9Ii )+4(7îîfe-fc -6k3) ),

4 i ? а

B3=X3-6X2fe+X (11^-4^ (7)

В =\4-10\31г+5Х2(71г2-2&, )+5\(9№-le-10]^)+

4 I f ¿Г

» ■

Здесь использованы обозначения к (8)

Полиномы D„ и В„ строятся по рекуррентным формулам

Л I*

-Т-

И-1

■ 1=1 Я-1

В =АВ - V В 0я Р К И-1 11^-1 '

ЛИ ,2,3..

\=о

где функции Р„ введены соотношениями

Л •

'(10)

(11)

а-г 1 а л !

- ¡1-1.2,3,..

К третьей груше критериев отнесены те, в которых на конечном интервале времени анализируется движение системы, возмущенное в начале нагружэния (критерии С.А.Шестерикова, -Г.В. Иванова). Показывается, что при определенных начальных условиях для возмущенного процесса, критерии Шестерикова и Нуршина дают одид и тот же результат, который определяется корнями полиномов

Отдельно . рассматривается ■ теория . .псевдобифуркации 5 .Л. Клхглпикова. •

В общем случае точка ясевдобифуркации порядка ,У "(ЛБУ) задается условием СГ при Показывается, что примени-

тельно к соотноеошш ползучести (4) уравнения, порождающие точки

ТЕ, образуют систему, уравнениями

которую запишем, ограничиваясь четырьмя

? -к ( •г 0 0 0 "

2 1 0 0

1 0

6Гг л

(12)

Для произвольного числа уравнений Н, система- записана в виде

.-.•••. . (13)

где вектор правой части- 2 вводится по правилу 2 -0 при &<0 , Ъ =-и , V . (Н - порядок, системы, по I не суммировать),, I

единичная матрица, а элемента матрица Н имеет вид

. о^а/иш-ЛП. и=1.г...к. . (14)

Утверадается, что псевдобифуркационные точки различных ■ порядков получаются из равенства нулю диагональных элементов матрицы

Учет взаимосвязи производных возмущений различных порядков приводит к уточненной теории псевдобифуркации или к теории особых точек (Кирсанов II.Н.,Клюшншюв В.Д., 1993). Особая точка порядка Я получается из равенства нулю определителя матрицы соответствующего порядка.

Во второй главе дается определение особой точки.

Особые точки процесса деформирования обнаруживаются при рассмотрении взаимосвязи начальных условий, задаваемых системе при ее отклонении от 'основного процесса. Очевидно, что если рассматривать квазистатический процесс (не учитывая силы инерции), то число начальных условий связано с порядком определяющего уравнения.

В качестве примера рассмотрен сжатый стержень.- Начальные значения прогиба Ид и его скорости 111 связаны уравнением, которое получено в первой главе из уравнения равновесия, геометрических соотношений и линеаризованного соотношения ползучести

Возмущающие факторы, являющиеся причиной выпучивания, могут быть любой природы. Вполне реальна ситуация, когда изгиб вызывается начальной скоростью прогиба вследствие какого-либо возмущения, происхождение которого здесь не изучается. Тогда по заданной величине (амплитудное значение, скорости прогиба) величина . и (амплитуда прогиба) определяется из равбнства

и. и1

• и0 ---1— - —I . (16)

р(Зг-\). рВ(

Это соотношение имеет особенность при й(р)=А.(о), т.е. в корне полинома В) (7). Если напряжения и деформации ползучести в момент•возмущения удовлетворяют указанному равенству, то началь-

ная скорость должна вызывать бесконечный прогиб. Такая ситуация ■ названа особой, а -соответствуйте- соотношение между р и а-особой точкой процесса. Термин "особая", который выбран для обозначения такой точки, оправдан сходством с традиционным в математика обозначением того значения аргумента, при котором функция стремится к бесконечности.

Обратпзя ситуация, когда скорость бесконечна, а прогиб конечен, встречается часто и не является критической, а просто соответствует быстрому нарастанию прогиба. В частности, это наблюдается у прогиба стержня при возмущении в начале нагрукения.

. Зздашю начального ускорения требует привлечения уравнения

; • (17)

полученного на основе опрэделящего соотношения,: продифференцированного по времени. Три величины: прогиб 1!д, скорость 17( л ускорение иг связаны двумя уравнениями (1в) и (17). В предположении, что иг - известная величина, из этой системы следует

и =

о

и■

{г2) р2?^

(18)

Р "

и - Ю .

рв2

Здесь и в (16) обнаружена интересная закономерность. Определитель матрицы Н порядка N совпадает (с точностью до знака) с полиномом Вп, встречавшимся ранее для этого же соот!Юшения ползучести в формулировке, математического обобщения условных критериев. •' •

Аналогично, для произвольного порядка N начальной производной прогиба, значения р и о, при которых определитель матрицы (13) обращается в нуль, названы особыми точками, порядка N. Критерий Работнова-Шестерикова, а- также ПВО' соответствуют особой точке первого порядка.■ • .

Если определяющее .соотношение ползучести представлено н фостло. (4), то задача отыскания особых точек сводится к проблем.' собственных чисел матрицы 11 (14), йот к нахождению корней полинома В^. .

Особые точки могут иметь и другое определение, также связан

ное с.заданием высших производных прогиба в качестве начальных условий для возмущенного движения. Это определение вытекает из обобщенной задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка для прогиба стержня.

Особые точки во второй главе находятся и для определяющего соотношения более общего вида

р = Ф(р,о). Система (13) принимает вид

(19)

V1

о2 о,

О -1

2а* а1

О О -1

0

г 0

0

ив и4

(20)

о За За а 4 з г 1

Коэффициенты системы образуются по правилу

о>+;=аЛ=р0аЛ/ар=ФЗаЛ/ар, ,2,... ак=0 при к<б, а0"~1 , .

(21)

где индекс р или • о обозначает частную производную по

соответствующей . величине. Введена ..переменная- размерности напряжения

. £=Ш/(00-0). • ' • (22)

Особые точки процесса определяются из равенства нулю опреде-

Jet I (21)

лителя матрицы Ъ системы типа (20). Выписаны значений Ъя=<3е^ Ь

для, матрицы размерностей //=1-4. С учетом закономерности выражения для определителей имеют вид

Ь,=£фа+Фр' .

(Ф_<Н2Ф <& НФФ' +Ф2, 2 0 ро р а рр р

Имеется рекуррентная формула

ь„+'=а»Ь» +ФаЧ/сгР- ЛМ.2,3... (24)

Показано, что порядок особой точки г.е грятян г-^рачн!^ порядком системы, а определяется порядком той производной

гп-итпиЛа ипфп-паа тшншшяотпя пя НЯКОТОТУУЮ НЯВЯСТНУЮ ВвЛИЧИНУ. ЭТЗ вашлтцп, арпаагч. няианиии у<ммжинм ii.ii>, нопм'ЛвтМиЛ и ПЬОЦоьСа.

зависит от внешних факторов. Для доказательства рассмотрен случай, когда в качестве начального условия возмущенного движения задано ускорение прогиба иг. Перегруппировка и в правую часть -(20) вместо и„ дает

4

а1 -1 0 0 и0 0

а2 а. 0 0 -1

2а г 0 -'I 1 1° 1 '

а 4 За, ь\ к

Определитель этой системы а совпадает с полиномом и. следовательно, вырождается в особых точках второго порядка. То же можно повторить, принимая V и У3 за известные величины, задающие условия. Равенство нулю получающегося определителя даст соответственно осьбые точки первого и третьего порядков. Не обнаружится особой точки лишь в одном случае когда в качестве воз-муяення задается величина прогиба V . Матрица прй этсч получится треугольной с -1 по диагонали.

Таким образом, не размер исследуемой матрицы определяет порядок особой точки, а тип возмущения. •

При отсутствии упрочнения, т.е. когда скорость ползучести не завидит от накопленной деформации ползучести '(<5 =0), по.тппюгя! .вырождаются и имеют вид функций Ъ^г^)* , которые обращаются в нуль при Г=0 (или, что то. же, 0=6), а также, если Ф =0. '¡ос

леднего равенства нельзя найти Отсюда сделан вывод, что процесс деформирования тел при установившейся ползучести материала не имеет нетривиальных особых точек.

Если Ф=/(а)/Л(р), то соотношения (19) и (4) совпадают по существу, различаясь лишь по форме. В (4) функция ?г(р) находится в левой части соотношения, а в (19) в знаменателе правой части. Полиномы В„ для соотношения (4) и Ъ„ для (19) при этом отличаются

N л

на сомножитель

Ья=Вя[/(0)/71(р)]*,

Корни полиномов Ь и В„ совпадают, что доказывает инвариант-

л л

ность особых точек по отношению к форме определяющего соотношения. Последнее требование очевидно, однако, ему не удовлетворяют некоторые условные критерии. -

Доказаны следующие свойства корней полиномов.

Свойство 1. Мехду нуляли функции Ья(р) (если, они существуют) лежит по крайней »ере один нуль функции. Ьи+) (р)'.

Свойство 2. Кратный корень уравнения Ь^=0 совпадает с нулел функции Ьд+).

Доказательства основаны на равенстве (24), которое рассматривается как дифференциальное уравнение для

Применительно к . теории особых точек во второй главе излагается метод упругого эквивалента решения задач выпучивания реологических систем. Метод основан на разделении задачи отыскания особых точек на две.

Первйя задача, решение которой зависит только от геометрии . конструкции, ; - нахождение критической нагрузки соответствующей упругой системы. Часто этр задача уже решена: для многих конст-. рукций критические нагрузки по Эйлеру найдены. Эти нагрузки зави- . сят от геометрии тела и модулей упругости. • •

Вторая задача, связанная о реологией материала, состоит в отыскании некоторого модуля, который следует подставить в крити-■ ческую нагрузку упругой .конструкции, вместо модуля Юнга. В одномерных задачах это скалярная величина, в пространственных -тензор.

Для нахождения модуля.' упругого эквивалента необходимо выяснить, как связаны приращения напряжений и приращения деформа-

ций в момент выпучивания, соответствующего особой точке. По — определению, - в - особой—точке- вырождается _ система _ уравнений-для. прогиба системы и производных прогиба по времени. Для того, чтобы составить такую систему, необходимо использовать уравнения равновесия и геометрию тела. Однако, можно определить особую точку из условия вырождения системы уравнений только для приращений деформаций и их производных по . времени. Уравнения системы являются вариациям;! определяющего соотношения продифференцированного по времени. Приращения напряжений, которые при этом возникают, исключаются с помощью связи типа закона Гуна с искомым модулем упругого эквивалента.

Заметным преимуществом метода упругого эквивалента является его универсальность и легкость при переносе на различные конструкции. Для определения особых точек необходимо знать критическую нагрузку по Эйлеру и модуль упругого эквивалента среды.

. Применение метода иллюстрируется на примере процесса деформирования сжатого стержня из материала, следующего закону ползучести (4). Доказывается тождественность результатов, полученных . непосредственно по определению особых точек и. с: помощью метода упругого эквивалента.

Найден скалярный модуль упругого эквивалента для особой точки порядка N

ЕкМ/Г)

Л = д_

* Е+Х^(///')'

Величина \ находится как корень уравнения В^=0.

Метод упругого эквивалента использован в гл.6 для практического определения особых точек процесса деформирования тонкостенных систем. .

В заключении второй главы особые точки определяются для теорш типа старения.

Выписываются характеристические полиномы й рекуррентные формулы, их связывающие.

"Третья глава посвящена особым точкам процесса сжатия стержня для конкретных соотношений ползучести, в частности, для наиболее распространенного'со' степенным упрочнением

-1А-

¿ра=/<0). (26) Полиномы (7) в этом случае имеют вид

В, =|-<х, В2=£2-3£а+а (2а+1),

В3=£3-6а£2+а(4+11оО£-а(2а+1 )(За+2), (26)

В =£4-10а£3+5а(2+7а)Е2-5а(2а+1) (5а+2)£+а(2а+1) (За+2) (4а+3),

4

где

£=*.р=£р(/'//)а/(о0-а) (27)

- безразмерный параметр, монотонно связанный со временем, критическое значение которого будет вычисляться.

Имеется дифференциальная рекуррентная зависимость •

В^_)[£+1-»(1+а)3+В№=2,3,4,... .

Корни полиномов В;, В2> ...В^ являются искомыми особыми точками на оси ¿. Отмечено, что не для всех соотношений ползучести особые точки могут быть изображены только на одной оси. В общем случае каждой особой точке соответствует кривая на плоскости нагрузка-время (или напряжение-деформация ползучести). Корни первых двух полиномов имеют простой вид

Е,=а. Е2=(3си /а2-4а )/2.

Корни полиномов В^ в зависимости от а при N=1-7 изображены ' на рис. 1. Рисунок является иллюстрацией свойств- нулей функции (гл.2), которые используются при их поиске. Кривая £э(л) проходит между ветвями кривой (а),-а верхняя ветвь Е6(а) меаду двумя решениями £5(а). То же можно сказать и о кривых (а.) и ££(а) и т.д. Кроме того, в соответствии со свойством 2, кратный корень £2 равен корню £3, а кратный корень б5 - корню £б.

Показано асимптотическое совпадение решения по теории особых точек с псевдобифуркационным при а-»«.

Результаты сравниваются с известными условными подходами к явлению выпучивания (приводятся конкретные'формулы и их анализ) и

Рис. 1 Кор.'Ш П0ЛШ!0».'0В В^.

экспврамвнталылюли данными. На рис.2 в осях относительных пап-

данные эксперимента Н'.Хоффа с сотрудниками (1960). Испытываются стержни из сплава 2024-Т4 длиной 06.5 мм, сечением 12. Л 6.35 мм1-' при температуре 2БО °С. Модуль упругости материала 5.87-104 МЛа. Материал подчиняется соотношению ползучести ■ (4) со степенной правой частью /=Аап . Параметр £ особых точек для <х=2.4 имеет следунщ» значения (рис.1): .^=2.40, £^=4.55, £5=5.77, О, £7=6-39. Им соответствуют прямые

лроходягпо через точку о>=1, е =0. В расчетах использовалось теоретическое (недостижимое в опыте) значение

Результаты эксперимента ближе •

проходя5ио

о л

эйлеровой нагрузки 0^=208.8 МПа всего располагается к сгув»нив трех прямых г, {„ .

5 6( * )

Приводится такке сопоставление теории особых точек при других формах оцрододякцэго соотношения (в том числе и для теории старения) с экспериментом Кузнецова А.П. (1961).

При определенном вы'боре, реологических констант определяющие соотношения с временным и деформационным упрочнением дают одну и ту же кривую ползучести. Показано, что соответствующие особые

Рис. 2 Теоретические зависимости, соответствующие особым точкам (прямые - и експеримент (Chapman J.С.,

Eriokson В., Holt N.J.)

■точки получаются различными (с точностью до' сомножителя 1+а при переменной £).

Находятся' особые точки для нестандартного, но теоретически

допустимого -определяющего соотношения вида p=f{o)e'cp/f(0}. Константы в этом соотношении определяются по известной кривой ползучести соотношения (4). Приводятся характеристические полиномы для определения особых точек и рекуррентные зависимости.

Теория особых точек применяется для оценки несущей способности сжатого армированного стержня. Рассматривается следующая модель стержня. Арматура' (прямолинейные упругие'пруты) располагается в продольном направлении. Сечение' стертая и механические свойства материала постоянны по длине, материал наполнителя принимается однородным с определяющим соотношением (4). упругая часть деформации наполнителя нелинейно' зависит от напряжений

;е=р+Ф(о). Показано', что характеристические- полиномы для

определения особых точек совпадают с (7) при замене X на Х.А=/'(Г-ГА)/(/ф'(Г -Г)), где Г - осевая нагрузка на стержень, Т0=ДгГ=7н/ф'+ЕА<7А)7 ^а^^х^аГ-_эйлерош~пагрузки_для"армировэн--но го стержня и отдельно арматуры роответственно, д - параметр волнообразования. При 24 ГА стержень не выпучивается (особых точек нет). • ■

Решается задача об 'особых точках стержня при продольном деформировали с постоянной скоростью. Нагрузка прикладывается к образцу за счет линейного по времени сближения захватов испытательной машины р = с£, (е- скорость деформирования). Материал подчиняется определяющему соотношению (4) со степенной правой чнстыи /-Аоп. Предполагается, что упругая деформация преноСриэкимо мала по сравнению с деформацией ползучести, или Характе-

ристические полиномы имеют вид

В =г-а, •

В,=тг-2ат+а(а+1), .

В1=т:3-Зси:2+з<х(а+1 )т-а'(а+1 )(а+2),

В --т;',-4атэ+ба(а+1 )%г-4а(а+1 )(а+2)т+а(а+1 )(а+2) (а+3),

где введено безразмерное время х-оХп/д. Параметр Т) характеризует геометрию стержня: О - Jц2/0.

Легко проверить общую формулу

к

(-1

1=с?

(а) ) (а+2).. (ссИ-1) - сшвол Похгаммера, (сО^-Н . Приво-

дится дифференциальная зависимость В' --¡УВ„ . , которая полезна при

л л — т

численном поиске корней полиномов. Вычисления показывают, что четные полиномы корней не имеют, корни нечетных полиномов растут с увеличением а и упорядочены по степеням полиномов. 4

Полученное решонис- могло гсЯользовзть, лапримор, для оценки

безопасной в отношении выпучивания скорости приложения нагрузки в опыт« на сжатие постоянной нагрузкой о,. Для того, чтобы еще на

стадии роста нагрузки от нуля до рабочего значения а4 не произошло выпучивания, время наращивания усилия должно быть меньше, чем время, соответствующее первой особой точке. И^еем

с> А0"(пУ£ф)л*с$.

Таким образом, скорость деформирования должна быть больше

Предлагаемый подход сравнивается с результатами, следующими из некоторых известных условных критериев устойчивости при ползучести.'

В четвертой главе разыскивается матрица упругого эквивалента трехмерного тела. Рассматривается соотношение ползучести типа-течения

р^д"^^-', ■ ■ (28)

где а. А, п - параметры материала, - девиатор

тензора напряжений, - его интенсивность,

- деформация ползучести. Предполагается несжимаемость материала. В качестве меры упрочнения выбирается вектор длины неупругого деформирования

<7= (р р ),/2

'Связь девиатора напряжений и деформации для упругого эквивалента среды имеет форму закона Гукала =2 С ^Ле!^, . К=0,1,2.. (29)

тп 'тлЫ Ы

■В процессе поиска матрицы СтпЫ доказывается ряд-тождеств и применяются преобразования, связанные с обращением матриц. В результате для особой точки-порядка Я получено'

05

• и®«. 2<ЗО+5Е , I 1п 2&}П+8£

Л /

20? £„- П&-) . •)

ее + -^¿-к,, . .(30)

1п г(к}п+5£„ 1}тп)

Здесь введен тензор К. =5 .5 /Б2 и использовано его свойство

Г 1,)1пп и тп

К К -К Коэффициентами в матрице являются уже встречав-

lJmn тпМ I }Ы f

шиеся в одномерном случае величины ^ - корни полиномов (7).

.1 -191 Рассматривается теория ползучести типа старения '

---------_____________'• . ____________________________

Матрица упругого эквивалента имеет' в этом случае вид, аналогичный (30). • " *

Приводится поправка в решение для учета скимаемости среды. .

В пятой главе упругий эквивалент трехмерного тела разыскивается применительно к теории ползучести деформационного типа •

Получена матрица упругого эквивалента г г здк -П) 1

итп 2е[ I*. .»п '-»н I

Из сравнения (31) с аналогичной матрицей теории течения-(30) замечено, что в теории ползучести Деформационного типа упругий эквивалент проще не только по форме, но и по содержанию. В матрицу (31) входят только корни полинома В^, а в теории течения (30) - еце и 1„ . За счет того, что £„ имеет V значений, в

и-1 ъ "

последнем случае получается И" решений, а в (31) - только а, как в одномерной задаче. Кроме этого, при малых а .(рис.1) корни четных полиномов не существуют, а так как в матрицу С{)тп по теории течения еходят одновременно 'корни чотш'х и нечетных полиномов, то получается, что при малых а здесь решений нет.

В рамках основных предположений деформационной теории

ползучести изучаются особые точки для упрочнения временного типа (теория старения)

Я'т.э).

Выводится матрица упругого эквивалента. Показано, что особой точки первого порядка в рамках теории старения не существует.

В шестой главе,решаются конкретные задачи выпучивания тонкостенных систем. Для этого устанавливается связь мезду упругим

- -20- ._ эквивалентом (29) общего'вида,'где

С,, = СК, . +Б6, б, /2 . (32)

I Jmn t^^^m 1т Jn ,

и упругим эквивалентом при плоском напряженном состоянии (0(Э=

=о =а =0): '■ гэ зэ '

До, =Е, , Де , 1,/,ш,п=1,2.' • . • (33)

I J171Т1 пп •

(В и С - коэффициенты в (30). или. (31)). Находится вид матрицы

^Jmn

Е, , = 2Со, ,о /Б2 + В(б, б, + б, ,6 ). ^J,m,n=UZ.

1,)тп ^ тп 1щ ,}п. ^J тп

(34)

С помощью метода упругого эквивалента решается задача о выпучивании шарнирно-опертой цилиндрической оболочки длиной I, толщиной Н и радиусом Я при осевом сжатии. Используются уравнения совместности деформаций и равновесия в приращениях

Де,.22 + Ле2,и -2ДГ.,г + >Г.,/Я-0, ■ .

^/ч/"^/^0' ' (35>

где е}, е^, Т - деформации срединной поверхности, 17 - прогиб оболочки.

Для цилиндрической оболочки, сжатой вдоль образующей напряжениями о.,, имеем а„ = О, Э=у£/3 а. . Из соотношения (33) с мат-• 11' 1 1 ■ рицей упругогр эквивалента (34) в данном случае следует

Дои = (ЗС+2В)Деи+ВДе22, До22=В(Дбм+2Дег2), Дсз^ВДе;,,. (36)

Критическая нагрузка потери устойчивости некоторой упругой оболочки с законом Гука в виде (36) получена.обычным образом из рассмотрения системы (35). Для осесимметричного выпучивания 'найдено

0)} = (ПЛ?)/В(2С+В). ' (37)

Из (37) с учетом вида коэффициентов В и С в терминах относительной деформации ползучести (г(=Ер11/а0) и относительного напряже-

1 -21-

ния (и=о()/оо, а0=2ЬЕ/(ЗЯ)) следует

е0= [±»^Ь(а+Ь)+и2а2 -ы(а+2Ь)]/2, ------------------------------(38)

Коэффициенты а и Ь зависят от используемой теории ползучести. Для теории течения: а=(Е -Ьп)/п, , для деформационной

теории: а=£^п-1, Ь=1.

Для того, чтобы эйлеровой нагрузка, ш=1 соответствовало мгновенное выпучивание ( £^=0), из двух решений необходимо брать физически оправданное решение со знаком +.

Решение задачи неосесимме'тричного выпучивания зависит от знака коэффициент С, который в свою очередь определяется корнями характеристических полиномов. При С>0 реализуется осесимметричное решение (37). При С<0 имеется два решения для

а1( = (П/Я)»£(2С+В) - СП2!)2. .- (39)

а^=(п/ю/в(в+2С) /г/(г+бс), г*6в(зс+2ю +гв. ио)

Практически используется решение меньшее по нагрузке. Различие иезду (39) и (40) состоит я форме выпучивания. Так как с увеличением 'о нагрузка о , вычисленная по (39), при СХ) возрастает, то, очевидно, необходимо взять наименьшее значение - г)=1 /Я, что соответствует одной волне или боковому выпучиванию оболочки как стержня. При достаточно большом отношении Л/Й (в пределах, допускаемых технической теорией оболочек), решение (39) меньше, чем (40). Это и следовало ожидать: толстостенные оболочки выпучиваются боковым образом как стержни,- в на тонкостенных образуются вмятины. Однако, практические расчеты показывают, что, как правило, реализуется решение (40). .

Приводится сравнение теоретических расчетов цилиндрической оболочки по теории особых точек с экспериментами Кузнецова А.П. и Юнгермана Н.М., Баранова А.Н. и Морозова М.А. (рис.3). При а=0.75 теория течения не выделяет особых точек. По деформационной теории < для особых точек порядков 1-11 рассчитываются коэффициенты, входящие в упругий эквивалент .

аш~0.813. а(з;=-0.534, а,в;~0.251. а(7;=0.035, о(д;=0.322, а( ,„-0.609 .

-гг-

Рис.З. Зависимости относительной нагрузки 10=0/0^ от относительной деформации ползучести цилиндрической

оболочки по теории упрочнения для особых точек порядков 1-11 и вксперимент (Со! - Кузнецов А.П., Юигериан Н.М., {+) -.Баранов А.К.. Морозов М.А.).

Форма выпучивания оболочки зависит от знака С. Показывается, что знак С совпадает со знаком а . следовательно, особым точкам

13% £5 соответствует осесимметричная форма выпучивания, а особым точкам £7, 1д и - •нэосесиммэтричная. Из двух формул, которые справедливы для критических . параметров напряженно-деформированного состояния ,(ЗЭ) и (40), как выясняется из расчетов, ' формула (40) дает меньшее напряжение при той же деформации ползучести. Кривые для особых точек 6,, £3 и £5 построены по формуле (38), а. для точек ,£7, 1д и £м -. на основе численного решения уравнения,-'следующего из (40). Координаты экспериментальных точек рассчитывались, исходя из эйлеровых нагрузок, получавшие в опыте (оо=150 МПа .{+) и 00=38 МПа {о}). Таким образом приближенно учитывались начальные несовершенства оболочек. Заметно характерное сгущение кривых, соответствующих особым точкам высо-. ких порядков. Хотя верхней границы особых точек не существует, следует отметить, что сгущение критических кривых приходится на

1 -23-

.тзракеитаяьше даншю.

Iv.t .та ¡жспоркквнт cpajjRMpasvc.i с особым1.! точками, по;;у-

• чьта» по теории старения. Как ¡1 д»!Я jsopisi ползучести с дефор-ynpoHiwinifiii обнаруживается сгуцешю кривых при повнхо-шш порядка особых точек и почта'яшойпая зависимость

".'•Ci.:-'orp£H оксг.>;{лшяталышЛ i итериел Самуильсоно Л.А. • ,,'Г'■ ГО сслг:очо" из чистого .'¡лклъ'лшя при течшера

ГГ." Т. Г. lp;-u!;Gii.;:i содеии ь гы;,шду. Почти дли

••.'«•¡г.. in:;:::;, злачеккя «раапчс-с.ссго ьрсг-.лз! иыгадаот между особыми то'псаод 1 и 3.

П гг/-\гзтл mei/^tvjrr* irv mnxraxs namoun опттаио rv тэмтп/»гтгт} oittxt*

IJU ТПГТТ li mnto niAAff ЛЛЛТТЛШЛТ ТТ/Л ТГ T5TIQItTTTTIT»/l ПОП TIQlItiflll UainOTTTIfi . ОЛГГЛЛТОО —

лоно с экспериментом Локощенко A.M. и Шестернкова С.А. (1985). Использована матрица упругого эквивалента, найденная для соотношений деформационной теории ползучести. Относительная деформация ползучести £0~ЕРг^ао П0'5Ч1ШЯЗТСЯ Уравнению иестого порядка. Получено приближенное решение

е =(1/2) (1-w)(b(a+b) (3a+4b)2)t/'4,

О I

''.1-п/о -;qk/,i)/o , .¿I3е''"1 г -'/г - критическая

ООО 1

нагрузка потира устойчивости упругой оболочки.

При ползучести материала без упрочнения особых точек процесса не существует и списать этсспорименталыто дагашо с помощь» теории особых точек непосредственно нельзя. Предлагается приближенный способ для оценки условий выпучивания, при исчезакш

малом параметре о. в соотношении ppa-,ion. В оснсвэ приема лежит характерная закономерность, обнаруженная в зависимости tQ -а при малых а.

■ /

Предполагается,.что упругие деформации малы по сравнению с деформациями ползучести (Е-*»). Получена формуле для критического времени оболочки под внешним давлением

Р.,- *е„/„,'л3/г t „ SSZ---QUL1-, ; . (41)

A(QM\)n 3 9/4Al(QRb)nR,/2

где &0(11) значение скачка относительной деформации ползучести в нуле зависимости е - а, (ff - порядок особой точки).

' В таблице приведены данные оболочек, давление и критическое

время t по результатам испытаний, а также теоретические значения t*, полученные авторами эксперимента по методу начальных несовершенств. В последних двух столбцах - результаты вычислений по формуле (41) при N=7 и ЛГ=9, <e0(7J=0.6, eofgJ=0.72). .Длина оболочек X = 380 мм, реологические свойства' нержавеющей стали Х18Н10Т при 850 °С- характеризуются константами 4=4.3?« 10~в(Ша)'3-28час'1, п*3.28. Если не считать существенных расхождений t и t оболочек 1 и 10 (для которых метод начальных несовершенств такие дает худший результат), то совпадение теории и эксперимента можно считать

ХОРОШИМ. '

Таблица

N пп 2 R к и Л ии Q Ми а го час (Опит) t* час 4S с

(Н=71 (К*9)

1 60 1.0 0.10 84.0 194.83 190.98 228.24

2 45 1.5 0.90 3.5 6.10 2.92 3.49

3 45 0.5 0.10 . 29.0 26.32 20.62 24.65

4 45 0.5 0.13 11.3 11.13 8.72 10.42

5 45 0.5 0.14 8.0 8.73 6.84 8.17

6 45' 0.5 0.18 ■ 4.0 3.83 3.00 3.58

7 36 0.5 О.Ю 112.0 82.89 47.94 57.29

8 36 0.5 0.12 51.0 45.58 26.36 31.50

9 ' 36 о:5 0.14 23.0 27.49 15.90 19.00

10 22 0.5 0.50 8.0 5.97 1.57 1.88

Решена задача о выпучивании неоднородной пластины. * Рассмотрена удлиненная по оси и сжатая в этом направлении пластина, шарнирно-опертая по длинным сторонам, 0£г <1 ,

г(»12. Пластина состоит из армирующих упругих слоев с модулем упругости ЕА и наполнителя, ползущего по закону (28). Равновесие пластины при малом отклонении от плоскости описывается уравнением

где Я -прогиб, N - Погонное усилие сжатия.

Для армирующих слоев при коэффициенте Пуассона у=1/2 и

-25- .

модуле упругости Е=£д из закона Гука следует

Л0);=2/3 Вд(2Ае)(+Де22),---------------------------------------------------------'

(43)

&022-2/3 ВА(Деп+2Ле22), Л012-г/3 Ехйе12.

Для вязкого наполнителя в особой точке процесса-такая -связь определяется упругим эквивалентом и, зависит от напряженно- _

деформированного состояния пластины. При с) (=о, о22=0, о

из (34) имеем соотношение (36), как в задаче об осевом сжатии оболочки. На основании уравнений (42) и соотношений (36) и (43) определено критическое напряжение. Раскрывая коэффициенты, входящие в связь (36), получено уравнение для переменной С= яв/Б (С -модуль сдвига в наполнителе)

64С3ш(шА-ы)-2£2{1 бы2(а+ЗЬ)-16о1шд (а+2Ь)+Ь)+3шд (шд-1)а)-

■ | (44)

-С{16шг(2а+ЗЬ)-1бсо[шд(а^)+а+2Ь]+3(шд-1 )а)+8Ь2(а+Ь)ш(1-ш)=0,!

где ш=.У(/?<'0> . Величины Ио и"]?д представляют собой эйле-

ровы нагрузки • пластины и отдельно арматуры: К0=1 б/З(%/1г)2ииЕ^п0), Яд=1б/З(х/12.

Переменная С играет роль времени, и - нагрузки. В общем случае £ выражается через реальное' время 1 в результате решения задачи о распределении напряжений в наполнителе и арматуре.

Дается пример расчета. Найдены зависимости , следующие из (44) для нескольких первых особых точек. Рассмотрена деформационная теория ползучести. Замечена асимптота ш=шд кривых ш - Нагрузки, меньшие ыд1 безопасны в отношении выпучивания пластины, что обеспечивается действием упругой арматуры.

С учетом уже замеченной особенности теории течения, вследствие которой особые точки при малых а не существуют, сопоставлены . наиранние в истсрии деформирования пластины особые точки1 по теории течения и деформационной теории ползучести.--Яри шд«0.5, ы«0.7 и п-4 получены зависимости, изобранагешэ на рис. 4.

Для каждой особой точки выбиралось ншшэньиее значение из все}; возможных (с учетом многозначности 6 и комбинаций и ъя ■ в коэффициентах матрицы упругого эквивалента теории течения). Как

6п

5-:

3-; 1-

. N==12

Теория течения \

<N=10 N=8

N=6_

-- N=4

Двформацхояааа твори* (N«1)

ос

Ч I I 1 I I I I I I I I I 1 .1 I I I I I Ч I I I I I I I I I

0.0 1.0 2.0 3.0

Рис.4 Первые в истории деформирования армированной пластины особые точки по двум теориям ползучести (шд=0.5, ш=0.7 и П=4).

видно из графиков, деформационная теория соответствует существенно меньшим значениям-параметра С» чем теория течения, давдая дискретные по а значения. При малых а по теории течения первыми будут особые точки'высоких порядков, особая точка //=2 появляется, 'начиная с а=4 (не изображена на рисунке). Особой точки первого порядка нет.

Решение задачи об однородной пластине получено как частный случай при

'В заключении главы на примере одноосного скатал (о( приводится матрица упругого эквивалента при плоском напряженном состояшш с учетом сжимаемости материала : . '

да, }={ 1В (В+2С) +ЗК (-2В+ЗС) ]Деп+й(ЗЯ-В-2С)Де22}/(2В+С+ЗЯ),. й022= {В (ЗК-В-2С) Де ^ +В (6Я+В+2С) Де.,.,]/(2В+С+ЗК). Да =ВДе .

12 12' • где К=Е/13(1-2г>)). При К-*в> отсюда следует прежняя связь (36).

С

ЗАКЛЙЧЕШЯЗ

---------Ознсш1ше_ результата диссертации заключаются в следующем:

Поставлена задача определении осо5&ГтоЧзЗ "Процесса-деформи-----------

гхвагая конструкций о условиях ползучести. Дан алгоритм их нмоздегпгя.

Установлена взаимосвязь мокду существующими критериями выпучивания при ползучести к особыми точкам!. Показано ссвпаде-результатов по теории особых -ючкс с итаестанмя услов-.-•гл критериями при определенном шборэ шжалыш датах и асимптотическое совпадений с теорией нсевдобифурксцик. 4 "'»■'(««ва ^«^¡рспггг. для определения особых

точек Дли раала'ШХ ;ЭЗТЯСЗ?г!Й 7К\Ч«уч«С»Н.

4. Доказаны свойства корней характеристических полиномов.

5. Исследовано на- особые точки соотношение ползучести нестандартного вида (экспоненциальное упрочнение).

6. Решена задача об особых торсах линейного во времени процесса продольного деформирования стержня. Определена критическая скорость деформирования. Результат сопоставлен с известными критериями.

ИзЯден упругйй эквивалент для' зр&№3£*сяс тел в р»мкчх дафор-

•лацисшюй тоор'.ш ползучести и теории течения, позволяющий решать широкий класс задач.

Решена задача о выпучивании цилиндрической оболочки при осевом сжатии в осесимметричной и неосесимметричной постановках. Обнаружено сгущение особых точек с увеличением их порядка. Результаты сопоставлены с экспериментом. 9. Решена задача о сплющивании цилиндрической оболочки под

внешним давлением. _ ю. На примере решения задачи о сплющивании • цилиндрической оболочки предложен приближенный 'способ, позволяющий применять теорию особых точек для оценки момента выпучивания ■в условиях установившейся ползучести. Конкретные расчеты показывают хорошее согласование с экспериментом. 11. Решена задача об армированной пластине, сжатой по одной оси. Выявлена область Нагрузок," в которой ссобнх точек не Существует.

з -га- '

12. На примере задачи о сжатии армированной пластины сопоставлены наиранние особые точки то теории деформации и теории течения. Установлено, что теория деформации дает меньшие значения критических нагрузок, а в теории течения зависимость первых в истории процесса особых точек от параметра упрочнения является разрывной. ■

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Кирсанов H.H. Особые точки процесса деформирования и неустойчивость при ползучестд//Дед. ВИНИТИ, 1965. М 2205-85 деп.

2. Кирсанов H.H. Неустойчивость цилиндрической оболочки при ползуче сти//Изв. АН СССР. МТТ. 1986. М 6. С.126-129.

3. Кирсанов lf.fi. Определение неустойчивости реологических тел //Эффективные, композиты и конструкции. Воронеж: ВПИ, 1988. С.120-127.

4. Кирсанов М.Я. Особые бифуркационные точки процесса деформиро- 1 вания продольными силами гибкого стержня из материала, обла-дапцего свойством ползучести со степенным законом упрочнения //Метода и алгоритмы расчета соорук. и коистр. Воронеж, ВПИ, 1990. С. 97-1CJ0. -

5. Кирсанов U.U. К определению особых точек процесса деформирования оболочек при ползучести//Актуальные задачи механики деформируемого твердого тела. Воронеж:ВГУ, 1990, С.69-76.

6. Кирсанов 11.И. Выбор критерия неустойчивости конструкций с • учетом ползучести материала//Расчет прочности, устойчивости и

колебаний сооружений. Воронеж: ВГУ, 1990. 0.71-76.

7. Кирсанов H.H. Начальное еакритическое поведение сжатого стержня в условиях по^зучести//ШТФ. 1993. И2. С. 152-156.'

8. Кирсанов H.H. О влиянии выбора критерия неустойчивости при . ползучести на ■ решение задачи- оптимизации стержневых

' Конструкций/ЛЮФ. 1992. Ä4С. 107-110.

9. Кирсанов U.U., Кммншов В.Ц. Определение особах точек процесса деформирования сжатого стержня в условиях ползучести //Изв. РАН. ММ. 1993. Ä3 .0.144-1БО.

10. Кирсанов U.U. О реакции сжатого стержня на возмущение высших * производных прогиба в условиях ползучести//Проблемы машиностроения и надежности машин., 1394. ЛИ С.43-47.

-29-

"I

11. Кирсанов М.И. Учет погрешности аппроксимации в решении задачи выпучивания при установившейся ползучести по теории особых

. точек//Современные проблемы механики и математической физики-Вороне*: ВГУ, 1994. С.49. .

12. Кирсанов М.Н. Особые точки процесса деформирования трехмерных тел при ползучести. //Современные метода статического и динамического расчёта сооружений я конструкций, Воронеж: ВГАСА, 1993. ВЫП.2, С. 19-27.