Высокоточная численная теория вращательного движения Земли тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

? Г Б ОД

Пашкевич Владимир Витальевич • "](]]

УДК 521.15

ВЫСОКОТОЧНАЯ ЧИСЛЕННАЯ ТЕОРИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЗЕМЛИ

Специальность 01.03.01. — астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пашкевич Владимир Витальевич

УДК 521.15

ВЫСОКОТОЧНАЯ ЧИСЛЕННАЯ ТЕОРИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЗЕМЛИ

Специальность 01.03.01. — астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Главной астрономической обсерватории РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Г. И. Ерошкиы

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ю. В. Батраков

кандидат физико-математических наук Е. Н. Полякова

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится ¿^¿¿^^¿^ 2000 г.

часов РОьшаух на заседании Диссертационного совета (шифр К002.92.01) в Главной астрономической обсерватории Российской Академии наук по адресу: 196140, Санкт-Петербург, Пулково, ГАО РАН.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке ГАО РАН. Автореферат разослан "<^3 " ОЬ_2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физ.-мат наук

Ю. А. Наговицын

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Изучение вращательного движения Земли является одной из наиболее важных и актуальных задач современной астрономии, геодезии и геофизики. Повышение за последние десятилетия точности методов измерения геоцентрических положений искусственных и естественных небесных тел привело к необходимости разработки высокоточных методов определения ориентации тела Земли в пространстве и, следовательно, построению высокоточных теорий вращения Земли. В частности, метод РСДБ наблюдений позволяет в настоящее время определить ориентацию тела Земли в пространстве с точностью до 20 микросекунд дуги. Таким образом, необходимость создания высокоточной (на микросекундном уровне точности) теории вращательного движения Земли достаточно очевидна.

Характер вращательного движения Земли определяется воздействием возмущающих тел (Солнца, Луны и больших планет), а также ее внутренним строением. Самой простой моделью внутреннего строения Земли является абсолютно твердое протяженное тело. С динамической точки зрешм такая модель очень удобна и чрезвычайно полезна, так как позволяет воспроизвести очень многие особенности вращательного движения реальной Земли. Построение высокоточной теории вращения абсолютно твердой Земли является необходимым этапом и основой построения высокоточной теории вращения нетвердотельной Земли.

Целями настоящей работы являются:

а) создание высокоточной численной теории вращательного движения абсолютно твердой Земли, динамически адекватной современным высокоточным эфемеридам Солнца, Луны и больших планет;

б) численное исследование вращательного движения абсолютно твердой Земли как в ньютоновом приближении, так и с учетом в ее вращательном движении наиболее существенных из релятивистских возмущений - геодезических возмущений.

Научная иовтна работы:

а) впервые построена высокоточная (на микросекундном уровне точности) долгосрочная численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли, учитывающая наиболее существенные из релятивистских возмущений - геодезические возмущения;

б) с точностью до первых степеней динамического сжатия Земли получено аналитическое выражение для релятивистской части функции Лагранжа, порождающей геодезические возмущения во вращательном движении Земли;

в) разработана методика и создан комплекс программ уточнения полуаналитических теорий вращательного движения Земли путем их сравнения с высокоточным численным решением данной задачи.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

а) созданная высокоточная численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли является основой для построения высокоточной численной теории вращательного движения нетвердотельной Земли;

б) результаты данной работы могут быть использованы для расширения математической модели задачи орбитально-вращательного движения больших тел Солнечной системы, используемой для построения высокоточной эфемериды Солнца, Луны и больших планет;

в) разработанная методика позволяет уточнить и динамически согласовать некоторые полуаналитические решения БККЕЗб (БоисЬау I, КтоБЬйа Н., 1996) и 5МАЛТ97 (Вге1а§поп Р., е1 а1., 1998) задачи о вращении абсолютно твердой Земли.

На защиту выносятся:

а) построение высокоточной численной теории вращательного движения абсолютно твердой Земли;

б) численное исследование вращательного движения абсолютно твердой Земли как в ньютоновом приближении, так и с учетом геодезических возмущений в ее вращательном движении;

в) методика уточнения полуаналитических теорий вращательного движения Земли и ее применение к некоторым полуаналигическим решениям.

Апробация работы н публикации- Основные результаты работы докладывались и получили положительные отзывы на международных научных конференциях: "Journées 95" в Варшаве в 1995 году, Коллоквиуме MAC No 165 в Познани (1996 г.), "Journées 97" в Праге (1997г.), "Journées 99" в Дрездене (1999 г.); на научной конференции "Компьютерные методы в небесной механике", проходившей в ИТ А РАН в Санкт-Петербурге в ноябре 1997 года, на научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (ГАИШ, Москва, декабрь 1997 года), на астрометрическом семинаре ГАО РАН (1999г.).

Всего по теме диссертации опубликовано 9 работ. В них изложены основные результаты, выносимые на защиту.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы из 40 наименований, содержит 83 страницы текста, 10 иллюстраций и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определяются цели диссертационной работы, обосновывается актуальность выбранной темы, раскрывается ее новизна и показывается практическая ценность полученных результатов. Перечислены основные положения, выносимые на защиту. Приводится краткая характеристика диссертации и список статей, в которых опубликованы ее основные результаты.

Первая глава является вводной. В ней кратко описываются особенности вращательного движения Земли. Подчеркивается то обстоятельство, что основная часть особенностей вращательного движения Земли определяется в рамках динамики вращательного движения абсолютно

'. твердого тела. Дается обзор основных работ, посвященных теоретическому исследованию проблемы вращения Земли.

Во второй главе излагается постановка задачи диссертационного исследования и алгоритм ее решения. Дается описание общей математической модели задачи и приводится вывод дополнительной релятивистской части функции Лагранжа, порождающей геодезические возмущения. Приводятся описание методов численного интегрирования и обработки невязок.

Третья глава посвящена численном)- моделированию прецессионно-нутационного движения динамического экватора абсолютно твердой осесимметричной Земли с учетом геодезических возмущений. Из высокоточных частных решений задачи о вращательном движении Земли компилируется общее полуаналитическое решение задачи о вращательном движении осесимметричной абсолютно твердой Земли, необходимого для определения в первом приближении начальных условий движения численного решения данной задачи. Дается описание математической модели задачи. Приводятся полученные результаты сравнения численного решения данной задачи с ее полуаналитическим решением и анализ этих результатов. Получены поправки к выражениям лунно-солнечной прецессии и лунно-солнечного наклона полуаналигического решения (Williams J.G., 1994) и ряд поправок к нутационным гармоникам полуаналигического решения SKRE96. Таким образом, с точностью до ±0.32 миллисекунд на 600-летнем интервале времени наборы полученных поправок к прецессионным и нутационным разложениям приводят модели полуаналитических теорий прецессии (Williams J.G., 1994) и нутации (Souchay J., Kinoshita H., 1996) Земли в соответствие с моделью данной задачи.

В четвертой главе рассматривается общий случай вращательного движения абсолютно твердой Земли. Описывается математическая модель задачи о вращательном движении абсолютно твердой Земли. Определяются начальные условия движения численного решения задачи о вращении Земли. Приводятся результаты сравнения численного решения данной задачи с ее полуаналитическим решением в ньютоновом приближении и с учетом геодезических возмущений и анализ этих результатов. Получены поправки к выражениям лунно-солнечной прецессии и лунно-солнечного наклона решения SMART97 и ряд поправок к нутационным гармоникам

решення SMART97. В результате численного исследования на 200-летнем интервале времени построена высокоточная (на микросекундном уровне точности) численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли. При этом построенная теория в ньютоновом приближении согласована с решением SMART97 с точностью до ±4.5 микросекунд. С точностью до ±25 микросекунд численная теория согласована с решением SMART97, учитывающем геодезические возмущения во вращательном движении Земли.

В заключении сформулированы основные итоги работы:

а) на 600—летнем интервале времени построена высокоточная (на миллисекундном уровне точности) численная теория прецессионно-нутационного движения динамического экватора осесимметричной абсолютно твердой Земли, учитывающая геодезические возмущения;

б) на 200-летнем интервале времени создана высокоточная (на микросекундном уровне точности) численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли, динамически адекватная эфемеридам Солнца, Луны и больших планет DE403/LE403;

в) с помощью разработанной методики были уточнены полуаналитические решения SKRE96 (Souchay J., Kinoshita Н., 1996) и SMART97 (Bretagnon Р., et al., 1998) задачи о вращении абсолютно твердой Земли;

г) с точностью до первых степеней динамического сжатия Земли получено аналитическое выражение для релятивистской части функции Лагранжа, порождающей геодезические возмущения во вращательном движении Земли.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Пашкевич В. В.: 1996, "Построение численной модели прецессионно-нутационного движения динамического экватора Земли", Препринт ИТА РАН N0 51, стр. 1-18.

2. Пашкевич В. В.: 1997, "Численное исследование вращательного движения Земли в пост-ньютоновом приближении", Препринт ИТ А РАН No 68, стр. 1-20.

3. Пашкевич В. В.: 1997, "Численное решение вращательного движения Земли в пост-ньютоновом приближении", Тезисы конф. ИТА РАН: Компьютерные методы в небесной механике

4. Пашкевич В. В.: 1997, "Численная модель вращательного движения Земли", Тезисы конф. ГАИШ: Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики

5. Пашкевич В. В.: 1999, "Результаты численного исследования вращательного движения Земли", Депонирование No 2514-В99 30 июля 1999 г., стр. 1-30.

6. Eroshkin G. I., Paslikevich V. V.: 1997, "Numerical Simulation of the Rotational Motion of the Earth and Moon", IAU Colloquium 165 Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies, pp. 275-281.

7. Pashke\ich V. V.: 1995, "Precessional-Nutational Motion of the Earth's Figure Equator", Journées 1995: Earth rotation, reference systems in geodynamics and Solar system, pp. 87-88

8. Pashkevich V. V.: 1996, "Numerical investigation of the motion of the rigid Earth's equator in Post-Newtonian approximation", Artificial Satellites, Planetary Geodesy - No 27, Vol 31 No 2, pp. 87-97

9. Pashkevich V. V.: 1997, "Numerical model of the rotational motion of the Earth", Journées 1997: Reference systems and frames in the space era: Present and future astrometric programmes, pp. 95-98

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Souchay J., Kinoshita H.: 1996, "Corrections and new developments in rigid Earth nutation theory: I. Lunisolar influence including indirect planetary effects.", Astron. Astrophys. 312, pp. 1017-1030.

2. Bretagnon P., Francou G., Rocher P., and Simon J. L.: 1998, "SMART97: A new solution for the rotation of the rigid Earth", Astron. Astrophys., 329, No.l, pp. 329-338.

3. Williams J. G.: 1994, "Contributions to the Earth's Obliquity Rate, Precession, and Nutation", Astron. J., 108, No 1663, pp. 711-724.

Введение

1 Современное состояние теоретических исследований проблемы вращательного движения Земли

1.1 Характерные особенности вращательного движения Земли

1.2 Полу аналитические теории вращательного движения Земли.

1.3 Численные исследования проблемы вращательного движения Земли.

1.4 Некоторые теоретические исследования вращательного движения модели нетвердотельной Земли

2 Постановка задачи и описание ее математической модели и методов решения

2.1 Алгоритм построения высокоточной численной теории вращательного движения абсолютно твердой Земли.

2.2 Общее описание математической модели задачи

2.3 Вывод дополнительной части функции Лагранжа

2.4 Метод численного интегрирования.

2.5 Методы обработки невязок сравнения

Численное моделирование прецессионно-нутационного движения динамического экватора абсолютно твердой осесимметричной Земли

3.1 Компиляция полуаналитического решения вращательного движения осесимметричной абсолютно твердой Земли

3.2 Редукция полуаналитического решения и определение начальных условий движения. I

3.3 Математическая модель. £

3.4 Полученные результаты и их анализ. £

Общий случай вращательного движения абсолютно твердой Земли

4.1 Математическая модель.(

4.2 Определение начальных условий движения.(

4.3 Полученные результаты и их анализ.(.

4.3.1 Решение задачи в ньютоновом приближении . (

4.3.2 Решение задачи с учетом геодезических возмущений .Г

Изучение вращательного движения Земли является одной из наиболее важных и актуальных задач современной астрономии, геодезии и геофизики. Повышение за последние десятилетия точности методов измерения геоцентрических положений искусственных и естественных небесных тел привело к необходимости разработки высокоточных методов определения ориентации тела Земли в пространстве и, следовательно, построению высокоточных теорий вращения Земли. В частности, метод РСДБ наблюдений позволяет в настоящее время определить ориентацию тела Земли в пространстве с точностью до 20 микросекунд дуги. Таким образом, необходимость создания высокоточной (на микросекундном уровне точности) теории вращательного движения Земли достаточно очевидна.

Характер вращательного движения Земли определяется воздействием возмущающих тел (Солнца, Луны и больших планет), а также ее внутренним строением. Самой простой моделью внутреннего строения Земли является абсолютно твердое протяженное тело. С динамической точки зрения такая модель очень удобна и чрезвычайно полезна, так как позволяет воспроизвести очень многие особенности вращательного движения реальной Земли. Построение высокоточной теории вращения абсолютно твердой Земли 3 является необходимым этапом и основой построения высокоточной теории вращения нетвердотельной Земли.

Целями настоящей работы являются: а) создание высокоточной численной теории вращательного движения абсолютно твердой Земли, динамически адекватной современным высокоточным эфемеридам Солнца, Луны и больших планет; б) численное исследование вращательного движения абсолютно твердой Земли как в ньютоновом приближении, так и с учетом в ее вращательном движении наиболее существенных из релятивистских возмущений - геодезических возмущений.

Научная новизна работы: а) впервые построена высокоточная (на микросекундном уровне точности) долгосрочная численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли, учитывающая наиболее существенные из релятивистских возмущений - геодезические возмущения; б) с точностью до первых степеней динамического сжатия Земли получено аналитическое выражение для релятивистской части функции Лагранжа, порождающей геодезические возмущения во вращательном движении Земли; в) разработана методика и создан комплекс программ уточнения полуаналитических теорий вращательного движения Земли путем их сравнения с высокоточным численным решением данной задачи.

Практическая ценность работы заключается в следующем: а) созданная высокоточная численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли является основой для построения высокоточной численной теории вращательного движения нетвердотельной Земли; б) результаты данной работы могут быть использованы для расширения математической модели задачи орбитально-вращательного 4 движения больших тел Солнечной системы, используемой для построения высокоточной эфемериды Солнца, Луны и больших планет; в) разработанная методика позволяет уточнить и динамически согласовать некоторые полуаналитические решения (SKRE96 и SMART97) задачи о вращении абсолютно твердой Земли.

На защиту выносятся: а) построение высокоточной численной теории вращательного движения абсолютно твердой Земли; б) численное исследование вращательного движения абсолютно твердой Земли как в ньютоновом приближении, так и с учетом геодезических возмущений в ее вращательном движении; в) методика уточнения полуаналитических теорий вращательного движения Земли и ее применение к некоторым полуаналитическим решениям.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и получили положительные отзывы на международных научных конференциях: "Journées 95" в Варшаве в 1995 году, Коллоквиуме MAC 7V°165 в Познани (1996 г.), "Journées 97" в Праге (1997 г.), "Journées 99" в Дрездене (1999 г.); на научной конференции "Компьютерные методы в небесной механике", проходившей в ИТА РАН в Санкт-Петербурге в ноябре 1997 года, на научной конференции "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики" (ГАИШ, Москва, декабрь 1997 года), на астрометрическом семинаре ГАО РАН (1999 г.).

Всего по теме диссертации опубликовано 9 работ. В них изложены основные результаты, выносимые на защиту.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы из 40 наименований, содержит 83 страницы текста, 10

Заключение

Таким образом, по итогам проведенного численного исследования вращательного движения абсолютно твердой Земли были получены следующие результаты: а) на 600-летнем интервале времени построена высокоточная (на миллисекундном уровне точности) численная теория прецессионно-нутационного движения динамического экватора абсолютно твердой Земли, учитывающая геодезические возмущения; б) на 200-летнем интервале времени была создана высокоточная (на микросекундном уровне точности) численная теория вращательного движения абсолютно твердой Земли динамически адекватная эфемеридам Солнца, Луны и больших планет БЕ403/ЬЕ403; в) с помощью разработанной методики были уточнены полуаналитические решения 8К11Е96 и 8МАКГ97 задачи о вращении абсолютно твердой Земли; г) с точностью до первых степеней динамического сжатия Земли получено аналитическое выражение для релятивистской части функции Лагранжа, порождающей геодезические возмущения во вращательном движении Земли.

В ходе проведения данного исследования была выявлена зависимость теории 8МА11Т97 от ее начальной эпохи. Это проявилось в появлении дополнительных гармоник в невязках сравнения при

77 интегрировании от начального момента, достаточно удаленного от начальной эпохи теории SMART97. Данное обстоятельство свидетельствует о необходимости уточнения полуаналитического решения SMART97.

В результате данного исследования было так же обнаружено, что поправки, найденные для угла собственного вращения Земли, не устраняют систематический ход в его невязках сравнения, в отличие от поправок, найденных для других углов Эйлера. Систематический ход в невязках сравнения угла собственного вращения Земли был устранен подбором начальной даты численного интегрирования. Это, по-видимому, означает, что численное решение данной задачи на микросекундном уровне точности предпочтительнее выполнять на компьютере с более длинной, чем 16 десятичных знаков, мантиссой.

Представляется также достаточно очевидным, что на результатах построенной численной теории вращения Земли отразились (на микросекундном уровне точности) ошибки полиномиальной интерполяции используемой эфемериды DE403/LE403. Для всех эфемерид серии DE/LE характерно возрастание ошибок интерполирования эфемеридных данных по мере удаления интервала интерполирования от начальной эпохи этих эфемерид JD2440400.5 [36]. Одним из способов устранения ошибок такого рода из численного решения задачи о вращении Земли является ее дополнение уравнениями орбитального движения. Иными словами, более строгое решение данной задачи заключается в совместном численном решении уравнений орбитально-вращательного движения Земли в рамках высокоточного численного моделирования движения больших тел Солнечной системы в пост-ньютоновом приближении.

78

1. Williams J. G.: 1994, "Contributions to the Earth's Obliquity Rate, Precession, and Nutation", Astron. /., 108, No 1663, pp. 711-724.

2. Kinoshita H. and Souchay J.: 1990, "The Theory of the Nutation of the Rigid Earth Model at the Second Order", Celest. Mech.vol.48 No.3, pp. 187-265.

3. Bretagnon P., Francou G., Rocher P., and Simon J. L.: 1998, "SMART97: A new solution for the rotation of the rigid Earth", Astron. Astrophys., 329, No.l, pp. 329-338.

4. Вулард Э.: 1963, "Теория вращения Земли вокруг центра масс", Физматгиз, Москва, 142 стр.

5. Kinoshita Н.: 1977, "Theory of the Rotation of the Rigid Earth", Celest. Mech.vol.l5 No.3, pp. 277-326.

6. Lieske J.H., Lederle Т., Fricke W. and Morando В.: 1977, "Expression for the Precession Quantities Based upon the IAU (1976) Sistem of Astronomical Constants", Astron. Astrophys., vol.58 No.1/2, pp. 1-16.79

7. Zhang H., Huang T.-Y. and Xu B.-X.: 1987, "A Method for Derivation of Precession Expressions", report series, Department of Physical Sciences University of Turku, informo No. 118.

8. Fukushima T.: 1991, "Geodesic Nutation", Astron. Astrophys., 244, No.l, pp. L11-L12.

9. Chapront-Touzé M., Chapront J.: 1983, "The lunar ephemeris ELP2000", Astron. Astrophys., 124, 50.

10. Bretagnon P.: 1982, "Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solution VSOP82*", Astron. Astrophys., 114, p. 278.

11. Simon J. L., Bretagnon P., Chapront J., Chapront-Touzé M., Francou G. and Laskar J.: 1993, "Numerical Expressions for Precession Formulae and Mean Elements for the Moon and the Planets", Bureau des Long, prepr. No.9302.

12. Souchay J., Kinoshita H.: 1996, "Corrections and new developments in rigid Earth nutation theory: I. Lunisolar influence including indirect planetary effects.", Astron. Astrophys.312, pp. 1017-1030.

13. Souchay J., Kinoshita H.: 1997, "Corrections and new developments in rigid Earth nutation theory: II. Influence of second-order geopotential and direct planetary effect.", Astron. Astrophys., 318, 639.

14. Souchay, J., Loysel, B., Kinoshita, H., Folgueira, M.: 1998, "Corrections and new developments in rigid Earth nutation theory III." submitted in Astronomy and astrophysics.

15. Bretagnon P., Rocher P., and Simon J. L.: 1997, "Theory of the rotation of the rigid Earth", Astron. Astrophys., 319, pp. 305-317.80

16. Bretagnon P., Francou G.: 1988, "Planetary theories in rectangular and spherical variables. VSOP87 solutions", Astron. Astrophys., 202, p. 309.1718 1920 2122 23 [2425

17. Chapront-Touzé M., Chapront J.: 1988, "ELP2000-85: A semi-analytical Lunar ephemeris adequate for historical times", Astron. Astrophys., 190, 342.

18. RS: 1992, "1ER Standards (1992)", IERS Technical Note 13, D.D. McCarthy, (éd.), Observatory de Paris.

19. Standish E. M., Newhall X X, Williams J. G. and Folkner W. M.: 1995, "JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403", JPL IOM. 314.10-127.

20. Bretagnon P.: 1998, private communication.

21. Васильев H. H., Войиов А. В.: 1987, "Поступательно-вращательное движение пробного твердого тела в релятивистской небесной механике", Кинематика и Физика небесных тел, том 3, No 5, стр. 18-24.

22. Voinov А.V.: 1988, "Motion and rotation of celestial bodies in the post-newtonial approximation", Celest. MechAl, pp. 293-307.

23. Bois E., Vokrouhlicky D.: 1995, "Relativistic spin effects in the Earth-Moon system", Astron. Astrophys., 300, pp. 559-567.

24. Brumberg V. A.: 1997, "GRT equations of the Earth's rotation", Notes Scientifiques et Techniques du Bureau Des Longitudes, S057, Paris.

25. Kubo Y. and Fukushima T.: 1986, "Numerical Integration of Precession and Nutation of the Rigid Earth", IATJ symposium81

26. No. 128 The Earth's Rotation and Reference Frames for Geodesy and Geodynamics, pp. 331-340.

27. Schastok J., Soffel M., Ruder H.: 1989/90, "Numerical Derivation of Forced Nutation Terms for a Rigid Earth", Celest. Mech.vol.'47, No.2, pp. 219-223.

28. Souchay J. and Kinoshita H.: 1991, "Comparison of New Nutation Series with Numerical Integration", Celest. Mech.vol.52 No.l, pp. 45-55.

29. Wahr J.M.: 1981, "The forced nutation of an elliptical, rotating elastic and oceanless earth", Geoph. Journ. Roy. astr. Soc., vol.64, 3, pp. 705-727.

30. Stephenson F. R. and Morrison L. V.: 1984, "Long-term changes in the rotation of the Earth: 700 B.C. to A.D.1980", Phil. Trans. R. Soc. bond. A313, pp. 47 70 .

31. Молоденский С. M.: 1984, "Приливы, нутация и внутреннее строение Земли", Институт Физики Земли АН СССР, Москва, 213 стр.

32. Bursa М.: 1986, "On the non-tidaland secular acceleration of the Earth's rotation", Studia Geoph. et Geod., Vol. 30, pp. 28-30.

33. Bursa M.: 1987, "Secular deceleration of the Moon and of the Earth rotation and variation in the zonal geopotencial harmonic", Bull. Astron. Inst. Czechosl., Vol. 38, No 5, pp. 309-313.

34. Авсюк Ю. H.: 1996, "Приливные силы и природные процессы", Москва.82

35. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М., Теория поля: 1967, "Наука", Москва, 460 стр.

36. Ерошкин Г. И., Тайбаторов К. А., Трубицина А. А.: 1993, "Построение специализированных численных эфемерид Луны и Солнца для решения задач динамики ИСЗ", Препринт ИТА РАН No 31

37. Ерошкин Г. П.: 1997, частное сообщение.

38. Агекян Т. А.: 1972, "Основы теории ошибок для астрономов и физиков", "Наука", Москва, 172 стр.

39. Standish E. M.: JPL February 4,1998],"JPL PLANETARY AND LUNAR EPHEMERIDES: Export Information", (IAU Commission 4 http://ssd.jpl.nasa.gov/iau-comm4/)