Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины

Миколайчук, Михаил Александрович

Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Миколайчук, Михаил Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины»

Автореферат диссертации на тему "Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины"

О1

На правах рукописи

Миколайчук Михаил Александрович

ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ ОДНООСНОГО КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ ПЛАСТИНЫ

01.02.04 Механика деформируемого твёрдого тела

-6 СЕН 2012

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск —2012

005046863

Работа выполнена- в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения Российской академии наук и Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Князева Анна Георгиевна

доктор физико-математических наук, профессор Скрипняк Владимир Альбертович

доктор физико-математических наук, профессор Трусов Пётр Валентинович

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной механики Российской академии наук

Защита состоится «28» сентября 2012 г. в 14:30 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан «27» августа 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Общая характеристика работы Актуальность работы. Исследование взаимного влияния напряжений и диффузии (как теоретическими, так и экспериментальными методами) имеет богатую историю, первые работы связаны с именем Горского С.А. и посвящены изучению явления восходящей диффузии. В настоящий момент наблюдается очередной всплеск интереса как отечественных, так и зарубежных исследователей к этому вопросу. Это объясняется тем, что диффузионные процессы являются, с одной стороны, определяющими и зачастую лимитирующими в большом количестве наблюдаемых явлений, а, с другой стороны, сам массообмен подвержен влиянию различных физических полей, включая температурные, электромагнитные поля, либо поля механических напряжений. Влияние последних активно изучают в связи с разработкой и исследованием различных технологических процессов. С диффузионными явлениями связаны многие процессы механического поведения материалов под нагрузкой. Однако экспериментальные исследования в этой области осложнены тем фактом, что диффузия - процесс медленный, и даже при достаточно высоких температурах эксперименты могут быть довольно продолжительными по времени, что исключает возможность широкого варьирования параметров эксперимента. Это приводит к необходимости построения математических моделей связанных процессов и разработки методов их анализа. В настоящее время, для изучения закономерностей влияния напряжений на диффузию, широкое распространение получили методы молекулярной динамики (Vollenweider К., Treglia G., Laudon М.), однако такой подход вызывает скепсис, т.к. во взаимодействии концентрационных полей и полей механических напряжений большую роль играют масштабные эффекты, а методы частиц, несмотря на колоссальный прогресс вычислительной техники, в силу объективных причин могут помочь разобраться только с тем, что происходит на микроуровне. Модели, построенные на основе континуального подхода, в этом ключе выглядят наиболее предпочтительными. Некоторые авторы пытаются свести влияния напряжений на диффузию к учёту изменения активационных характеристик процесса (Cowem N.E., Aziz M.J., Zalm P.C.), т.е. учесть изменение коэффициента диффузии с изменением напряжённо-деформированного состояния тела, таким образом модель строится на основе тех же определяющих соотношений, что и модель массопереноса в отсутствие влияния каких-либо полей. Многие авторы (Гегузин Я.Е., Любов Б.Я., Паукшто М.В., Денисюк Е.Я., Бекренёв А.Н., Свистков АЛ, Bird R.B., Svoboda J„ Lärche F.C., Kattis M.A., Aifantis E.C.) осознают этот факт и учитывают влияние напряжений при формулировке физических соотношений, входящих в математическую постановку модели, однако связанностью процессов при этом зачастую пренебрегают. Существующие модели в связанной постановке (Simon A.M., Архангельская Е.А., Stephenson G.B., Erdely Z.) не учитывают влияние внешней нагрузки и изменение активационных характеристик процесса и восходят к работам Cahn J.W. и Lärche F.C.

В связи с этим, построение строгой связанной модели совместно протекающих в условиях нагружения процессов деформирования и массопереноса и её последующая численная реализация является актуальной задачей.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании взаимного влияния процессов диффузии и деформирования с помощью связанных моделей,

построенных на основе аппарата механики сплошных сред. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать возможные пути влияния напряжений на диффузию в условиях квазистатического нагружения и способы их описания в рамках механики сплошной среды.

2. На основе общего подхода предложить варианты описания напряжённо-деформированного состояния пластины, изготовленной из материала с эффективными свойствами и находящейся в условиях одноосного нагружения, сопровождаемого диффузией. Проанализировать характер возникающих при этом полей напряжений и деформаций.

3. Обобщить модель для структурно-неоднородной среды, учитывая различие в скоростях диффузии по границам и в объёме зерен поликристаллического материала.

4. Изучить влияние внешней нагрузки на характер проникновения примеси в основной материал из покрытия или из окружающей среды, а также особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) в рамках выделенных моделей.

5. Исследовать влияние геометрических факторов, физических и механических свойств и диффузии на напряжённо-деформированное состояние пластины в условиях изотермического отжига под нагрузкой и без неё.

Научная новизна работы: В диссертационной работе впервые

1. На основе связанной теории массоупругости сформулированы и исследованы задачи о равновесии пластины, находящейся в условиях одноосного растяжения (сжатия), учитывающие диффузионные напряжения и различные пути влияния напряжений на диффузию.

2. Выявлены условия для проявления разных механизмов воздействия механических напряжений на диффузию. Установлено, что интенсивность влияния нагрузки на диффузию, а также характер напряжённо-деформированного состояния зависят от начальной конфигурации нанесения покрытия на образец.

3. Предложена модель диффузии в деформируемом поликристаллическом материале с явным учётом зернограничной структуры, позволившая описать дискретные распределения концентраций и неоднородные поля напряжений в пластине под нагрузкой и без неё.

Теоретическая значимость работы состоит в дальнейшем развитии общей теории массопреноса в условиях приложения нагрузки. Полученная информация о характере механизмов влияния напряжений на диффузию может быть использована для решения не только квазистатических, но и динамических задач.

Практическая значимость работы определяется тем, что представленные в работе теоретические исследования могут служить основой для формулирования задач оптимизации технологических процессов, явление диффузии в которых играет главенствующую роль. Разработанные модели и методы, а также полученные аналитические решения их исследования можно использовать для прогнозирования напряжённо-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в агрессивных средах. В работе получены новые знания о характере влияния внешней нагрузки на диффузию.

Достоверность научных результатов и обоснованность выводов обеспечивается корректной постановкой решаемых в диссертационной работе задач; использованием современных моделей механики и физических представлений, математических и вычислительных методов, тщательным тестированием программ; непротиворечивостью полученных результатов и их соответствием в предельных случаях теоретическим результатам, известным из литературы, а также имеющимся экспериментальным данным.

Личный вклад автора заключается в анализе литературных данных, написании и отладке программного кода, численном исследовании сформулированных задач, обсуждении полученных результатов, формулировании основных научных положений и выводов. Все работы, опубликованные в соавторстве, выполнены при личном участии автора. На защиту выносятся:

1. Математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние пластины процесса перераспределения примеси в пластине, находящейся в условиях одноосного нагружения, учитывающая связанность диффузионных процессов и процесса деформирования.

2. Аналитические решения частных задач о механическом равновесии использованные далее в решении диффузионных задач, и анализе сопутствующих полей напряжений и деформаций.

3. Результаты подробного численного исследования частных задач, заключающиеся

3.1 В неоднозначном влиянии знака внешней нагрузки и механических свойств подложки на процессы массопереноса и характер напряжённо-деформированного состояния.

3.2 В зависимости степени увеличения среднего содержания диффузанта в подложке при отжиге под нагрузкой от относительной толщины покрытия.

3.3 В зависимости интенсивности и качественного характера воздействия внешней нагрузки на диффузию и напряжённо-деформированное состояние от начальной конфигурации нанесения покрытия.

4. Модель диффузии с сопутствующими диффузионными напряжениями в структурно-неоднородной среде и результаты её исследования.

Апробация работы: Результаты диссертационной работы были представлены на 3 всероссийских и 8 международных конференциях: Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (г. Томск, 2009, 2011); XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2009); II Международная школа-конференция молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (г. Томск, 2009); XXXVIII International Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2010); VII Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (г. Новосибирск 2010); IV Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (г. Бийск 2011); XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011); XVII зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2011); Международная

конференция «Современные проблемы прикладной механики: теория, эксперимент и практика» (г. Новосибирск, 2011); Международная молодежная научная конференция «XXXVII Гагаринские чтения» (г. Москва, 2011)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения и списка литературы из 122 наименований, содержит 58 рисунков и одно приложение. Общий объем диссертации 130 страниц.

Работа выполнена в лаборатории компьютерного конструирования материалов Института физики прочности и материаловедения СО РАН и лаборатории «Моделирование физико-химических процессов в современных технологиях» НИ ТПУ.

Основное содержание работы Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель исследований, основные положения, выносимые на защиту, дана оценка научной и практической значимости работы, приведены сведения об апробации результатов.

В первом разделе проведен краткий литературный обзор основных работ, посвященных теоретическому описанию взаимовлияния механических напряжений и диффузии. Проанализированы работы, предлагающие разные подходы к моделированию совместно протекающих разномасштабных процессов. Даны определения различных понятий, используемых в обсуждаемой области исследования. В обзоре представлены как работы, анализирующие проблему с точки зрения континуальной механики, так и работы, использующие методы молекулярной динамики. Часть обзора посвящена экспериментальным исследованиям данного вопроса.

Во втором разделе приводится полная система уравнений теории массо-упругости. Представлен вывод двух определяющих соотношений, требующихся в этой теории. К первым относятся уравнения состояния, связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций с концентрациями. В рамках термодинамики необратимых процессов они следуют из уравнения Гиббса:

du ■

-- Tds + ae{jp 1deij + gkdCk, k= 1

(1)

гДе Т—температура, в—локальная энтропия, дк—химические потенциалы компонентов, Ск— массовые концентрации компонентов системы, <т?—упругая часть компонентов тензора напряжений, ег] — компоненты тензора деформаций. Из (1) следует

ди

дГ

■р и

У / s,Ct

dS +

депя

dS +

s,ct

dCi-

dCk,

для изотропной среды имеем

dffjj = 2/xtfey + 6ц

Adekk otkdCk

k=l

(2)

где Л, /л — коэффициенты Ламэ, К = А + §/л, а^ —коэффициенты концентрационного расширения. Это есть диффиренциальная форма соотношений Дюамеля-Неймана в теории массоупругости. Другими определяющими соотношениями будут выражения для потоков, которые в линейной термодинамике получаются на основе формализма теории Онзагера. В случае бинарной химически инертной системы (С\ + С2 = 1), рассматриваемой в изотермических условиях, достаточно одного диффузионного потока:

¿1 = -рО^дпУСг + а^'У'У акк, (3)

где — коэффициент самодиффузии примеси, тпх — молярная масса, дп — термодинамический множитель. Система уравнений теории массоупругости для бинарной смеси (среды) включает уравнение баланса компонента

которое после подстановки в него (3) примет вид

а10\тп\

^ = V • Щдп УСх] - V ■

КГр

СхУакк

(4)

уравнение равновесия

и уравнение неразрывности

$ + л7 • V = 0. (6)

аг

В приближении малых деформаций, удовлетворяющих соотношениям Коши

1 ( дщ дг^

^Н^гвд- ■ (7)

где щ —компоненты вектора перемещений, уравнение неразрывности нам не требуется. Кроме того, если малы скорости и ускорения, то в (4) полную производную по времени можно заменить на частную в (5)

а дифференциальное соотношение (2) для бинарной смеси примет вид

а^ = 2цец + ¿у [Ае** - 3 К {а,- а2) - С10)]. (9)

В третьем разделе представлены результаты модельного эксперимента, иллюстрирующего взаимовлияние диффузии и напряжений. В качестве образца рассматривалась пластина, изготовленная их поликристалли-

ческого никеля, к поверхностям которой ±L/2 приложена растягивающая нагрузка, а покрытие из другого материала (медь) нанесено либо

на одну из поверхностей пластины, свободную от нагрузки, либо на две стороны — симметрично относительно срединной плоскости пластины. Покрытие наносилось электролитическим способом. Толщина медного покрытия составляла ¿1 = 10 мкм. Толщина пластины никеля (основы) 25 = 600 мкм. Перед нанесением покрытия пластины никеля были отожжены при температуре 1273 К в течение одного часа. Диффузионный отжиг проводился при температуре Т = 1073 К в течение 5 часов. Величина растягивающего напряжения составляла р = 25 МПа. Для сравнения были подготовлены образцы, отожженные без приложения нагрузки. Концентрационные профили распределения меди по глубине в никеле снимались в поперечном сечении пластины методом Оже-спектроскопии. В результате исследований установлено, что растягивающая нагрузка заданной величины способствует насыщению никелевой пластины медью, причём влияние нагрузки менее заметно в случае, когда примесь нанесена симметрично.

Геометрия задачи, наличие примеси и условия нагружения позволяют использовать приближение плоского напряжённого состояния, аналогичное тому, которое возникает в задаче термоупругости [4] для пластины с температурой, меняющейся только по толщине. Отличие состоит в наличие внешней нагрузки и в ином механизме взаимодействия полей. Если рассматривать напряжения, возникающие в диффузионной зоне, находящейся на значительном расстоянии от места приложения нагрузки, то задача становится одномерной

ffyy = ауу{г)> ахх = O'xx(z),

и можно принять

<*ху = &ух = 0.

В этом случае уравнения равновесия выполняются тождественно, для их решения используем уравнения совместности деформаций, из которых в простейшем приближении остаются два. Эти решения имеют вид

ехх = Az + В, £уу = Gz + D. (10)

Постоянные интегрирования определяем из интегральных условий равновесия для средних по толщине пластины напряжений и моментов. В результате получаем систему четырёх линейных уравнений для определения А, В, G, D. Это решение затем используется при формулировке диффузионной задачи.

Описанное одномерное приближение содержит в себе два варианта, требующих отдельного рассмотрения. В предположении, что насыщение пластины диффузантом происходит из окружающей среды, или диффузант в покрытии, нанесённом симметрично с двух сторон пластины, находится в избытке (рис. 2, а), а свойства покрытия не влияют на НДС, имеем задачу

Ы дг

(И)

г = -5 : С*! = С0; л = 5 : Сх = С0, £ = О : С\ = О,

* = +си**.

аг 02:

Если покрытие нанесено несимметрично, или одна из поверхностей изолирована от окружающей среды (рис. 2, б), имеем граничные условия

г = ~5 : Сх = С0; г = 6 : Л = 0.

Информация о напряжённо-деформированном состоянии содержится в коэффициентах Л и С, а также в коэффициентах переноса £>1 и Вь пропорциональных коэффициенту самодиффузии

А ~ • /(СО; В, ~ 01

= Оа ехр

" Е ' 'Ш"

ехр ВТ

где П—работа механических напряжений. Таким образом, диффузионная задача (11) включает два механизма влияния напряжений на диффузию. Первый связан с появлением «конвективного течения» со скоростью V,.;/ и зависит от характера НДС. Второй приводит к изменению эффективного коэффициента диффузии:

Де//= £>1 + В!С-

12цКАа \ + 2[1

Оказалось, что в симметричной конфигурации Уец = 0, а в несимметричной— К// / 0. Это приводит к различным результатам.

г, 1 а)

с, = С0 0 26 и

с, = С0 V

■Л = 0 0 26

С, = Со

Рис. 2. Схематическое изображение пластины в симметричном (а) и асимметричном (б) случаях

Для проведения подробного параметрического исследования перешли к безразмерным переменным

В модели появляются безразмерные комплексы

9а\Кт.1 кр А а 2ц р

" =-тут ' х = —' а<= =-> 7 = х , о 5 = .

где П — коэффициент связанности, показывающий насколько сильно напряжения влияют на диффузию, и—безразмерный коэффициент чувствительности к работе напряжений, ас— безразмерный коэффициент относительного концентрационного расширения, 7—параметр, характеризующий механические свойства основы, 5е—безразмерная внешняя нагрузка.

Задача решена численно. С помощью интегро-интерполяционного метода получена неявная консервативная разностная схема. Система линейных алгебраических уравнений, полученная из конечно-разностных соотношений, решена методом прогонки. Осуществлено подробное тестирование программы. Численный анализ в случае асимметричной конфигурации показал, что характер влияния нагружения на диффузию значительно зависит от механических свойств образца. При малых значениях параметра г) и растяжение, и сжатие будут препятствовать диффузии, причём при небольших нагрузках этот эффект незаметен. При увеличении г/ внешняя нагрузка сказывается более заметно. Меняется характер воздействия нагрузки при смене знака 5е: в случае сжатия диффузионные процессы замедляются, тогда как растяжение способствует насыщению образца диффузантом. Это заметно по профилям распределения примеси по толщине образца в разные моменты времени, полученные с нагрузкой и без неё, в пластинах с разными механическими свойствами (рис.3, а, б). Видно качественное различие распределения концентраций по толщине образца.

« f С

Рис. 3. Концентрационные профили при Q = 300, ^ = 150, ас = 0.03 а) т? = 0.32 и б) г/ = 0.52 в последовательные моменты времени 1: т = 0.003, 2: г = 0.006, 3: г = 0.009, 4: т = 0.012, 5: г = 0.015, б: т = 0.018. Черным цветом показаны кривые для случая 5е = 0.0016, серым— Se = 0, а так же интенсивности напряжений (в) при т) = 0.52 и S" = 0

В случае т? = 0.52 наблюдаются резкие профили (рис. 3, б), что характерно для таких систем, как Mo-V (г/ = 0.61) [1]. При этом нагрузка начинает оказывать влияние не сразу, а лишь начиная с момента времени г = 0.006. Таким образом, если бы мы проводили натурный эксперимент и ограничились только этим временем наблюдения, никаких явных указаний на возможное влияние вследствие нагружения мы бы не получили. Т.е. время наблюдения также является полноценным параметром.

В случае т] = 0.32 с самого начала внешняя нагрузка тормозит диффузию. Напряжённо-деформированное состояние системы проанализируем по поведению интенсивностей напряжений и деформаций, выражения для которых в простейшем одномерном приближении имеют вид

^ /в?, + + (вп - в22)2

-Е; = V(е22 - езз)2 + (е33 - ец)2 + (вц - е22)2,

т.е. мы имеем напряжения в плоскости, перпендикулярной направлению диффузии. Видно, что примесь порождает существенно неоднородное поле напряжений (рис. 3, в), можно сказать, что в области диффузионного фронта существует скачок напряжений, который сохраняется с течением времени, однако интенсивности напряжений с течением времени выравниваются с обеих сторон диффузионного фронта.

Отклонение диаграммы нагружения (рис.4) от упругого поведения в точке связано с прохождением по образцу диффузионного фронта, на котором напряжения меняют знак. Диффузия— процесс необратимый и ведёт к появлению необратимых деформаций, чем и обусловлено поведение деформационных кривых.

0.005 0.0045 • 0.0040.0035 0.003-

0.004 Е,

0.006

0.007 0.008 0.009 {Е.)

Рис. 4. а), в) Средние интенсивности напряжений в зависимости от средних интенсивностей деформаций; б) интенсивности напряжений в зависимости от интенсивностей деформаций в точке £ = 0.025; при ц = 0.52 (а,б), т/ = 0.32 (в), Sе = 0.0016, х = 150, ас = 0.03, время окончания счёта т = 0.02; стрелками отмечено направление процесса во времени

Для сравнения на рис.4 представлены условные диаграммы нагружения для случая т] = 0.32 и г) = 0.52, что соответствует различным материалам основы. В случае, когда примесь нанесена с двух сторон, а к торцам образца приложена растягивающая или сжимающая нагрузка, за то же самое время, что и в асимметричном случае, положительная нагрузка скорее тормозит процесс диффузии, но с некоторого момента характер влияния нагрузки на диффузию'меняется на противоположный. Разница между средней концентрацией диффузанта в образце в нагруженном и свободном состояниях составляет 3.8%, тогда как в асимметричном случае эти величины отличаются на 10%. Отсюда можно сделать вывод, что степень влияния внешней нагрузки зависит от характера нанесения примеси на образец, что согласуется с заключением, сделанным при анализе механической части задачи.

В четвёртом разделе анализируется сопряжённая задача, т.е. учитывается, что происходит перераспределение концентраций между подложкой и покрытием конечной толщины (рис. 5). Решение задачи о механическом равновесии пластины осуществлено аналогично предыдущему.

V —

0 У

•

Рис. 5. Схематическое изображение пластины в симметричном (а) и асимметричном (б) случаях

Контакт между материалами считается идеальным. Константы интегрирования содержат информацию о механических свойствах материалов покрытия и подложки. В качестве модельной системы выбрана система №(Си), что соответствует модельному эксперименту. Согласно особенностям системы, в задаче диффузии на границе раздела материалов ставится условие

За = Зс, С3 = Сс •

где — коэффициент распределения. Индекс в относится к основе, с— к покрытию (медь). В расчётах использованы следующие значения параметров: Кх = 140ГПа, Ех = 128ГПа, тл = 63.54г/моль, Р1 = 8940кг/м3, К2 = 180ГПа, Е2 = 200ГПа, т2 = 58.69г/моль, р2 = 8900кг/м3. Определение коэффициента чувствительности диффузии к работе напряжений для этой системы осуществлялось следующим образом. Проведена серия расчётов без нагрузки. В этом случае глубина проникновения меди в никель должна соответствовать среднему диффузионному пути Дхд = \J~D~t, где Б — коэффициент диффузии меди в никеле, £ — время наблюдения. При температуре Т = 1073 К, по данным [2], О = 2.6 • 10~12 см"/с. Следовательно к моменту времени £ = 9.4- 107с должно быть Джд яа 50мкм. Варьируя параметр к и сравнивая расчётную ширину диффузионной зоны с эталонной, для данной системы получили к = 2600. В расчётах ширина диффузионной зоны определялась по положению плоскости, где С, = 0.05. При изменении значения концентрации С« в пределах 5% величина яг изменяется не более чем на 15%.

Проведены расчёты для системы №(Си), находящейся в условиях нагру-жения, в рамках предложенной модели. Результаты качественно согласуются с результатами эксперимента. Для наглядности рассмотрена иная, нежели чем в эксперименте геометрия образца, его толщина составляла 200 мкм, толщина покрытия 30 мкм. Температура отжига Т = 1073 К, величина приложенной нагрузки р = 25 МПа. Из рис. 6 видно, что как в первой, так и во второй конфигурациях растягивающая нагрузка явно способствует проникновению примеси вглубь образца, однако в асимметричном случае это влияние наиболее интенсивно. Для точной оценки различия степени влияния той или иной конфигурации рассчитаны средние по толщине пластины концентрации меди. В асимметричном случае эти значения отличаются на 17%, в симметричном случае—на 10%. Дополнительно проведено качественное сравнение с результатами работы [3].

Полученный в результате наших расчётов профиль соответствует данным эксперимента (рис. 7, а). Анализируя поведение деформационной кривой (рис. 7, б), можно сделать вывод, что в среднем по образцу интенсивность напряжений невысока и отклонение в поведении системы от упругого невелико.

0.6

)

0.4 -

0.2 -О

покрытие

0.8 -0.6' 0.4 0.2 -0

, 2 покрытие

-100 -50 0 50 /. мкм

-100 -50 0 50 100 I, мкм

Рис. 6. Профили распределения меди в никеле, полученные под нагрузкой р = 25 МПа (1) и без таковой (2), в асимметричном (а) и симметричном (б) случаях

юо -| 80 -| 60 Со 40 20 -

0.025 -

0.02-

с и 0.015-

Ь 0.01 -

0.005-

0 2 4 6 8 10 12 14 Глубина проникновения, мкм

4е-06 8е-06 1.2е-05 < >

Рис. 7. Распределение меди по глубине никелевого слоя (а), «диаграмма нагружения» (б) в результате отжига при температуре Т = 923К, в течение 1.20 • 10г' с

Однако концентрационные напряжения, возникающие в диффузионной зоне в окрестности границы раздела локально, могут достигать высоких значений. Это связано с тем, что модель явно не учитывает механизмов релаксации концентрационных напряжений.

В пятом разделе представлены результаты исследования двумерной модели. Предполагается, что сечение, в котором анализируется взаимовлияние напряжений и диффузии, находится на достаточном удалении от нагружаемых поверхностей (рис. 1). Покрытие может быть нанесено на пластину с одной, двух, трёх или четырёх сторон. Т.е. задача в общем случае—трёхмерная. Для качественного исследования взаимовлияния полей можно выделить частные двумерные задачи, позволяющие считать напряжённое состояние пластины плоским, т.е.

агг = О,

а о~уу, <тхх, сХу—функции координат х и 2. Задача о механическом равновесии в этом случае решена аналитически с использованием гипотезы плоских сечений Бернулли-Эйлера.

В результате, используя решение задачи о равновесии в безразмерных переменных

С, т = ф = С = £ = % =

получим уравнение диффузии

-у " т ^ I еу —

3 К2ос1'

уу

дс _ д -ас д - д -зс д _ г<

(12)

где £>, Уф, 1/г—эффективный коэффициент диффузии и конвективные скорости, содержат в себе всю информацию об НДС пластины.

Безразмерные комплексы имеют тот же смысл, что и в предыдущих разделах. На внешней границе расчётной области ставим граничные условия второго рода (покрытие не взаимодействует со средой), на внутренней границе — граничные условия четвёртого рода или условия идеального контакта. В начальный момент времени медь в пластине отсутствует. Численное решение задачи было получено при помощи метода конечных разностей и метода расщепления по координатам. При численном исследовании набор параметров был фиксированным и соответствовал диффузионному отжигу системы №(Си) при Т = 1025 К со следующими геометрическими характеристиками образца: 6 = 100 мкм, ¿1 = 20 мкм, / = 2000 мкм. На рис. 8 показаны распределение концентраций в поперечном сечении пластины (а) и вдоль прямой ф = 0 (б), а также первый инвариант тензора напряжений к моменту времени т = 8 • 10~4 в случае, когда примесь нанесена с трёх сторон.

ЩШШЖ«МИД»*

0.8 0.6 -0.4 0.2 0

-1 -0.5 0 0.5 1 (

Рис. 8. Распределение концентраций (а,б) и первый инвариант тензора напряжений (в) в поперечном сечении пластины (показана только часть расчётной области)

Особенности поведения системы проявляются в области покрытия, контактирующего с углом пластины. Различный характер распределения примеси по толщине пластины сохраняется по всей её ширине. Несмотря на тот факт, что характерные масштабы диффузии невелики, её связь с напряжениями позволяет наблюдать влияние таких масштабных эффектов, что переводит процессы массопереноса на другой масштабный уровень. Видно, что концентрационный профиль асимметричен (рис. 8, б). Этот факт следует учитывать при постановке

экспериментов на измерение коэффициента диффузии для систем, роль внутренних напряжений в которых высока. Характер поля напряжений во многом продиктован геометрическими особенностями системы, а также описанной выше спецификой распределения примеси по образцу (рис. 8, в).

Представленные ранее результаты и варианты задач не учитывают того факта, что в поликристаллическом материале диффузия идёт преимущественно по границам зёрен. Для учёта этого факта модель была модифицирована. Анализ проведён в размерных величинах. При обсуждении вопросов диффузии по границам зёрен и обработке данных эксперимента по диффузии в окрестности выделенных границ,

как правило, пользуются представлениями, развитыми в модели Фишера: выделяют индивидуальную границу и окружающую её объёмную фазу, отличие между которыми состоит в разных , значениях коэффициента диффузии. Обобщим этот подход на рассматриваемую в нашей 30 40 50 60 70 80 работе задачу. При описании Номер узла структуры реального поли-

Рис. 9. Участок разностной сетки: светлым показаны кристаллического материала узлы, принадлежащие зернограничной фазе, тёмным— будем говорить о некоторой объёмной фазе области влияния границы,

ширина которой зависит от природы изучаемых явлений. В этой области механические свойства должны быть иными. Но, во-первых, значения механических модулей в окрестности границы нам неизвестны, а, во-вторых, механическая часть задачи решена на основе интегральных условий равновесия, когда внутренняя структура материала во внимание явно не принимается (учитывается отличие эффективных макроскопических свойств только основного материала и покрытия). Поэтому примем, что в разных фазах (в объёме и в граничной фазе) различными будут только коэффициенты диффузии, причём учтём известный факт, что коэффициенты зернограничной дис|х})узии меди в никеле как минимум на 5 порядков превышают коэффициенты диффузии в объёмной фазе. Т.о., задавая структуру явно и нанося её на конечно разностную сетку (рис.9), можем проводить расчёт с явным учётом значения коэффициента диффузии в той или иной фазе. Проведены расчёты в полном соответствии с ходом эксперимента. Рассмотрены две конфигурации нанесения диффузанта: симметричная, когда диффузант нанесён на поверхности г = ±300 мкм и асимметричная, когда примесь нанесена на поверхность г = —300 мкм. Температура отжига Т = 1023 К, величина нагрузки р = 25 МПа. Сравнивая распределение диффузанта по границам зёрен в асимметричном случае в условиях приложения нагрузки и без таковой (рис. 10), можно сказать, что для системы №(Си) растягивающая нагрузка малой величины действительно способствует проникновению меди в никель. В симметричном случае (рис. 11) это влияние также наблюдается, но менее заметно.

Поведение поля концентраций в области покрытия, находящейся рядом с окрестностью границы, заметно отличается в случае свободного отжига и отжига под нагрузкой. Этот факт лишний раз подтверждает важность влияния внешней нагрузки на диффузию по границам зёрен.

300 200 100 0 -100 -200 -300

X, мкм

Рис. 10. Распределение концентрации меди (градиентная заливка) по границам зёрен никеля в поперечном сечении пластины к моменту времени t = 5 часов, полученное в результате численного решения; Т = 1023 К а) р = 0 , б) р = 25; диффузант нанесен асимметрично

зоо

200 100 ¡—

0 ¡-.....

-100 ■ -

-20О ьА -300

(У "

_3а

г. мкм

300 200 100 а 0

-100 -200 -ЗОО

Рис. 11. Распределение концентрации меди (градиентная заливка) по границам зёрен никеля в поперечном сечении пластины к моменту времени { = 5 часов, полученное в результате численного решения; Т = 1023 К а) р = 0 , 6) р = 25; диффузант нанесен симметрично

Поле напряжений и деформаций в этом случае оказывается существенно неоднородным, типичным для задач физической мезомеханики.

Выводы

1. В рамках модели массоупругости для двухкомпонентной среды проанализированы и обоснованы с помощью термодинамики необратимых процессов механизмы влияния напряжений на диффузию и способы их описания. Первый механизм сводится к изменению активационного объёма вследствие совершения механической работы, второй механизм непосредственно связан с переносом примеси под действием градиента напряжений. Третий механизм обусловлен течением вещества с эффективной скоростью, зависящей от времени и от структурных и геометрических особенностей образца.

2. Предложены варианты описания напряжённо-деформированного состояния пластины с диффузией в условиях одноосного нагружения. Показано, что существуют распределения концентраций, обеспечивающие плоское напряжённое состояние пластины. Среди них: одномерное распределение концентрации примеси, поступающей из окружающей среды или из покрытия, нанесённого на одну или две плоскости пластины, перпендикулярные направлению растяжения (сжатия); двумерное распределение при условии нанесения покрытия на 2, 3 или 4 поверхности пластины. Для формулировки задач о механическом равновесии применима гипотеза плоских сечений Бернулли-Эйлера.

3. Предложено обобщение модели массоупругости для структурно-неоднородной среды в которой учтено различие в скорости диффузии по границам и в объёме зёрен поликристаллического материала. Проиллюстрировано, что дискретные распределения концентраций вызывают существенно неоднородное поле напряжений в пластине как с нагрузкой, так и без неё.

4. Изучены особенности напряжённо-деформированного состояния пластины в рамках выделенных моделей и влияния внешней нагрзуки на характер проникновения примеси в основной материал. На основе численных расчётов, согласующихся с результатами эксперимента для системы №(Си), установлено, что растягивающая внешняя нагрузка способствует проникновению меди никель.

5. Установлено, что геометрические характеристики пластины с диффузией оказывают значительное влияние на её механическое поведение вследствие связанности процессов диффузии и деформирования. Показано, что отношение толщины нанесённого покрытия к толщине основы неоднозначно влияет на распределение полей концентраций, напряжений и деформаций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

В рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:

1. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине в условиях одноосного нагружения // Прикладная механика и техническая физика. —2010. —Т. 51, № 3. —С. 147-157.

2. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Диффузия в кристаллическом теле в условиях нагружения // Изв. вузов. Физика. —2010. —№ 11/3. —С. 54—57.

3. Князева А. Г., Миколайчук М. А. Насыщение пластины примесью из окружающей среды в условиях механического нагружения // Изв. РАН. МТТ. —2011. —№ 5. —С. 43-57.

4. Князева А. Г., Миколайчук М. А. Об одной задаче диффузии в трехкомпо-нентной системе с двумя временами релаксации // Изв. вузов. Физика. — 2011. —№ 11/3. —С. 34-38.

В других научных изданиях:

1. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Сопряженная задача диффузии в условиях одноосного нагружения // XXXVII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 5-8 апреля 2011. —М.:МАТИ, 2008. —Т.1 —С. 201-204

2. Миколайчук М. А., Князева А. Г., Евстигнеев Н.К. Некоторые модели «твердых» сред С диффузией и химическими Реакциями // Труды Всероссийской конференции «XXXV-ая Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е.В. Золотова»,Владивосток, 31 августа —5 сентября 2010 г. С.536-541

3. Mikolaychuk M. A., Knyazeva A. G. Influence mechanisms of strains and stresses to diffusion in loaded plate // Proceedings of XXXVIII International Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics. —2010. — p.464-470

4. Миколайчук M. А. Модель диффузионного насыщения пластины примесью в условиях одноосного механического нагружения с учетом изменения активационного объема /ЯХ Международная научно-техническая Уральская школа-семинар металловедов молодых ученых: Сборник трудов, Екатеринбург, 1-5 декабря 2008 г, —Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2008.—С. 139-141.

5. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Влияние диффузионных процессов на напряженно-деформированное состояние пластины И Материалы XVII международной конференции по вычислительной механике и1 современным прикладным программным системам, Украина, Алушта, 25-31 мая 2011. —С.370-371

6. Миколайчук M . А., Князева А. Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине, находящейся в условиях дополнительной внешней нагрузки // Сборник материалов V Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергитических систем», 2009.—С.338-342

7. Миколайчук М. А. Диффузионное насыщение пластины примесью из окружающей среды в условиях одноосного механического наргружения // Труды V международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2008.—С.312-314

Список цитируемой литературы:

1. Anand M. S., Murarka S. P., Agarwala R. P. Diffusion of Copper in Nickel and Aluminum //Journal of Applied Physics. — 1965. — Vol. 36, no. 12. — Pp. 3860-3862.

2. Erdélyi Z., Beke D. L. Stress effects on diffusional interface sharpening in ideal binary alloys // Phys. Rev. B. —2003. —Vol. 68. —P. 092102.

3. Kawanami Y., Nakano M., Kajihara M. Growth Rate of Fine Grains Formed by Diffusion Induced Recrystallization in Ni Layer of Cu/Ni/Cu Diffusion Couples /Materials Transactions. —1998. —Vol. 39, no. 1. —Pp. 218-224.

4. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. —Киев: Наукова думка, 1970. — 307 С.

Печ. л. 1.

Тираж 100 экз. Заказ № 61.

Тираж отпечатан в типографии ИОА СО РАН. 634055, г. Томск, пл. Академика Зуева, 1. Тел. 49-10-93.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Миколайчук, Михаил Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1. ДИФФУЗИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ.

1.1. Законы Фика.

1.2. Атомная теория диффузии.

1.3. Механизмы влияния напряжений на диффузию

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.1. Уравнения механики сплошной среды.

2.2. Определяющие соотношения.

2.3. Изотермические условия.

2.4. Бинарная система.

2.5. Коэффициенты концентрационного расширения.

3. ЗАДАЧА О НАСЫЩЕНИИ ПРИМЕСЬЮ ПЛАСТИНЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ ОДНООСНОГО НАГРУЖЕНИЯ

3.1. Постановка эксперимента.

3.2. Результаты эксперимента.

3.3. Общая постановка задачи.

3.4. Плоское напряженное состояние в теории упругости.

3.5. Плоское напряженное состояние пластины с диффузией

3.6. Задача о равновесии пластины с диффузией.

3.7. Диффузионная задача.

3.8. Безразмерные переменные.

3.9. Численное решение.

3.10. Результаты тестирования.

3.11. Результаты численного решения.

3.12. Выводы.

4. СОПРЯЖЁННАЯ ЗАДАЧА.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Задача о равновесии пластины с покрытием.

4.3. Диффузионная задача.

4.4. Численное решение.

4.5. Проверка на сходимость

4.6. Результаты расчётов.

4.7. Выводы.

5. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ.

5.1. Физическая постановка.

5.2. Задача о равновесии.

5.3. Диффузионная задача.

5.4. Результаты численного решения.

5.5. Проверка на сходимость

5.6. Влияние геометрии системы.

5.7. Учёт неоднородной структуры материала.

5.8. Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Взаимное влияние напряжений и диффузии в условиях одноосного квазистатического нагружения пластины"

Актуальность работы. Исследование взаимного влияния напряжений и диффузии (как теоретическими, так и экспериментальными методами) имеет богатую историю. В настоящий момент наблюдается очередной всплеск интереса как отечественных, так и зарубежных исследователей к этому вопросу. Это объясняется тем, что диффузионные процессы являются, с одной стороны, определяющими и зачастую лимитирующими в большом количестве наблюдаемых явлений, а с другой стороны сам массообмен подвержен влиянию различных физических полей, включая температурные, электромагнитные поля, либо поля механических напряжений. Влияние последних активно изучают в связи с разработкой и исследованием различных технологических процессов. С диффузионными явлениями связаны многие процессы механического поведения материалов под нагрузкой. Однако экспериментальные исследования в этой области осложнены тем фактом, что диффузия - процесс медленный, и даже при достаточно высоких температурах эксперименты могут быть довольно продолжительными по времени, что исключает возможность широкого варьирования параметров эксперимента. Это приводит к необходимости построения математических моделей связанных процессов и разработки методов их анализа. Большинство имеющихся моделей сводит влияние напряжений к изменению эффективных коэффициентов диффузии или к оценке полей напряжений по данным об изменении полей концентраций. В связи с этим построение строгой связанной модели совместно протекающих процессов деформирования и массопереноса и её последующая численная реализация для конкретных систем является актуальной задачей.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании взаимного влияния процессов диффузии и формирования напряжений с помощью моделей, построенных на основе аппарата механики сплошных сред. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

4. Изучить влияние внешней нагрузки на характер проникновения примеси в основной материал из покрытия или из окружающей среды, а также особенности напряженно-деформированного состояния в рамках выделенных моделей.

Научная новизна работы: В диссертационной работе впервые

1. На основе связанной теории массоупругости сформулированы и исследованы задачи о равновесии пластины находящейся в условиях одноосного растяжения (сжатия), учитывающие диффузионные напряжения и различные пути влияния напряжений на диффузию.

2. Выявлены условия для проявления разных механизмов воздействия механических напряжений на диффузйю. Установлено что интенсивность влияния нагрузки на диффузию а так же характер Напряжённо-деформированного состояния зависят от начальной конфигурации нанесения покрытия на образец.

Теоретическая и практическая значимость работы: Представленные в работе теоретические исследования могут служить основой для оптимизации технологических процессов, явление диффузии в которых играет главенствующую роль. Разработанные модели и методы их исследования можно использовать для прогнозирования напряжённо-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в агрессивных средах. Описанный подход к учёту структуры и различных механизмов взаимодействия диффузии и напряжений может послужить толчком для новых исследований в этой области. В работе получены новые знания о характере влияния внешней нагрузки на диффузию.

2. Аналитические решения частных задач о механическом равновесии использованные далее в решении диффузионных задач и анализе сопутствующих полей напряжений и деформаций.

3. Результаты подробного численного исследования частных задач, заключающиеся

3.2 В зависимости увеличения среднего содержания диффузанта в подложке при отжиге под нагрузкой от относительной толщины покрытия.

Апробация работы:

Результаты диссертационной работы были представлены на 3 Российских и 8 Международных конференциях:

1. Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (г. Томск, 2009, 2011);

2. XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2009);

3. II Международная школа-конференция молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (г. Томск, 2009);

4. XXXVIII International Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2010);

5. VII Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (г. Новосибирск, 2010);

6. IV Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (г. Бийск, 2011);

7. XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011);

8. XVII зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2011);

9. Международная конференция «Современные проблемы прикладной механики: теория, эксперимент и практика» (г. Новосибирск, 2011);

10. Международная молодежная научная конференция «XXXVII Гагарин-ские чтения» (г. Москва, 2011) Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В результате выполнения работы, в соответствии с поставленной целью, теоретически исследовано взаимовлияние процессов диффузии и деформирования в условиях одноосного нагружения пластины на основе аппарата механики сплошных сред. Описаны условия, налагаемые на поле концентраций, приводящие к одномерной и двумерной формулировкам задач о равновесии. Реализованы численные алгоритмы, позволившие провести обширное параметрическое исследование. Адекватность моделей подтверждена сравнением с экспериментальными данными.

По результатам исследований сформулированы следующие выводы:

Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Князевой А.Г. за постоянное внимание к работе, плодотворное и своевременное обсуждение результатов, помощь в организации доступа к кластеру ТПУ. За грамотную постановку и проведение эксперимента, а также обсуждение его результатов выражаю признательность Грабовецкой Г.П. Благодарю Найдёнкина Е.В. за предоставленную EBSD-карту микроструктуры образца никеля.

Отдельные слова благодарности за моральную поддержку коллективу лаборатории компьютерного конструирования материалов ИФПМ СО РАН, и нашей рабочей группе в лице Назаренко H.H., Чумакова Ю.А., Крюковой О.Н., Шанина С.А.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №10-01-00034-а и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт № 16.740.11.0122.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Миколайчук, Михаил Александрович, Томск

1. Горский В. С. Исследование упругого последействия в сплаве Си-Au с упорядоченной решеткой // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1936. —Т. 6, № 3. —С. 272-276.

2. Гегузин Я. Е. Диффузионная зона. —М.: Наука, 1979. —343 С.

3. Любов Б. Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. —М.: Наука, 1981. —295 С.

4. Еремеев В. С. Диффузия и напряжения. —М.: Энергоатомиздат, 1984. — 180 С.

5. Еремеев В. С. О влиянии концентрационных напряжений на диффузию в случае упругой изотропной матрицы // Диффузионные процессы в металлах. —ТПИ, 1977. —Pp. 35^0.

6. Ostrovsky A. S., Bokstein В. S. Grain boundary diffusion in thin films under stress fields // Applied Surface Science. —2001. —Vol. 175-176, no. 3. — Pp. 312-318.

7. Ascoli A., Bollani В., Guarini G., Kustudic D. Diffusion of Gold in Lead under Hydrostatic Pressure // Phys. Rev. — 1966. — Vol. 141, no. 2. — Pp. 732-738.

8. Georges M., Lazarus D., Mitchell J. Pressure Dependence of Self-Diffusion of Na22 in NaCl // Phys. Rev. B. —1973. —Vol. 8, no. 4. —Pp. 1726-1731.

9. Werner M., Mehrer H., Hochheimer H. D. Effect of hydrostatic pressure, temperature, and doping on self-diffusion in germanium // Phys. Rev. B. — 1985. —Vol. 32, no. 6. —Pp. 3930-3937.

10. Erdélyi G., Erdélyi Z., Веке D. L., Bernardini J., Lexcellent C. Pressure dependence of Ni self-diffusion in NiTi // Phys. Rev. В. —2000. — Vol. 62, no. 17. —Pp. 11284-11287.

11. Zhao Y., Aziz M. J., Gossmann H. J., Mitha S., Schiferl D. Activation volume for boron diffusion in silicon and implications for strained films // Applied Physics Letters. —1999. — Vol. 74, no. 1. —Pp. 31-33.

12. Nygren E., Aziz M. J., Turnbull D., Poate J. M., Jacobson D. C., Hull R. Pressure dependence of arsenic diffusivity in silicon // Applied Physics Letters. —1985. — Vol. 47, no. 2. —Pp. 105-107.

13. Decker D. L., Ross R. A., Evenson W. E., Vanfleet H. B. Pressure effects on the diffusion and solubility of Zn in Pb // Phys. Rev. B. — 1977. — Vol. 15, no. 2. —Pp. 507-513.

14. Candland C. T., Vanfleet H. B. Effect of Pressure on the Interstitial Diffusion of Nickel in Lead to 50 kbar // Phys. Rev. B. — 1973. — Vol. 7, no. 2. — Pp. 575-580.

15. Druyvesteyn M.J., Berghout C.W. Influence of an Elastic Strain on the Self-Diffusion of Copper at Low Temperatures // Physycal Review. — 1956. — Vol. 102, no. 6. —P. 1686.

16. Bejina F., Jaoul O., Liberman L. C. Diffusion in minerals at high pressure: a review // Physics of the Earth and Planetary Interiors. —2003. —no. 139. — Pp. 3-20.

17. Cowern N. E. B., Zalm P. C., van der Sluis P., Gravesteijn D. J., de Boer W. B. Diffusion in strained Si(Ge) // Phys. Rev. Lett. —1994. — Vol. 72, no. 16. — Pp. 2585-2588.

18. Moriya N., Feldman L.C., Luftman H.S., King C.A., Bevk J., Freer B. Boron diffusion in Strained Si\-xGex Epitaxial Layers // Physical review letters. — 1993. —Vol. 71, no. 6. —Pp. 883-886.

19. Kringhnoj P., Larsen N., Shirayev S. Yu. Diffusion of Sb in Strained and Relaxed Si and SiGe // Physical Review Letters. —1996. — Vol. 76, no. 18. —Pp. 3372-3375.

20. Bal J. K., Hazra S. Atmospheric pressure induced atomic diffusion into solid crystal // Phys. Rev. B. —2009. —Vol. 79, no. 15. —P. 155405.

21. Lin L., Kirichenko T., Sahu B. R., Hwang G. S., Banerjee S. K. Theoretical study of B diffusion with charged defects in strained Si // Phys. Rev. B. — 2005. —nov. —Vol. 72, no. 20. —P. 205206.

22. Ganster P., Tréglia G., Saúl A. Strain effect on self-diffusion in silicon: Numerical study // Phys. Rev. B. —2009. — Vol. 79, no. 11. —P. 115205.

23. Jang J.W., Kwon J., Lee B.J. Effect of stress on self-diffusion in bcc Fe: An atomistic simulation study // Scripta Materialia. —2010. —Vol. 63, no. 1. — Pp. 39-42.

24. Vollenweider K., Sahli В., Fichtner W. Ab initio calculations of arsenic in silicon: Diffusion mechanism and strain dependence // Physycal Review B. — 2010. —Vol. 81, no. 174119. —Pp. 174119-1-174119-6.

25. Haftbaradaran H., Song J., Curtin W. A., Gao H. Continuum and atomistic models of strongly coupled diffusion, stress, and solute concentration // Journal of Power Sources. —2011. —no. 196. —Pp. 361-370.

26. Laudon M., Carlson N. N., Masquelier M. P., Daw M. S., Windl W. Multiscale modeling of stress-mediated diffusion in silicon: Ab initio to continuum // Applied Physics Letters. —2001. — Vol. 78, no. 2. —Pp. 201-203.

27. Cowern N. E. B. Diffusion in a Single Crystal within a Stressed Environment // Phys. Rev. Lett. —2007. —Vol. 99, no. 15. —P. 155903.

28. Aziz M. J. Thermodynamics of diffusion under pressure and stress: Relation to point defect mechanisms // Appl. Phys. Lett. —1997. —Vol. 70, no. 21. — Pp. 2810-2812.

29. Yang F. Interaction between diffusion and chemical stresses // Materials Science and Engineering: A. —2005. —Vol. 409, no. 1-2. —Pp. 153-159.

30. Shao S.S., Xuan F. Z., Wang Z., Tu S. T. Stress in film/substrate system due to diffusion and thermal misfit effects // Journal of Physics D: Applied Physics. —2009. —Vol. 42, no. 17. —P. 175413.

31. Князева А. Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. —Томский госуниверситет, 1996.

32. Князева А. Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. труд. —2005. —№ 1. —С. 45-60.

33. Князева А. Г. О моделировании необратимых процессов в материалах с большим числом внутренних поверхностей // Физическая мезомеханика. —2003. —№ 5. —С. 11-27.

34. Князева А. Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией // ПМТФ. —2003. —Т. 44, № 3. —С. 85-99.

35. Paukshto М. V. Diffusion-induced stresses in solids // International Journal of Fracture. —1999. — Vol. 97. —Pp. 227-236.

36. Денисюк E. Я., Терешатов B.B. Теория механодиффузионных процессов переноса многокомпонентных жидкостей в сшитых эластомерах // ПМТФ. —1997. —Т. 38, № 6. —С. 113-129.

37. Bekrenev А. N. Mass transport in metals under intensive impulse reactions // Journal of physics and Chemistry of Solids. — 2002. — Vol. 63, no. 6. — Pp. 1627-1631.

38. Svistkov A. L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. of Eng. Sci. —2001. —Vol. 39. —Pp. 1509-1532.

39. Gurtiss C. F., Bird R. B. Multicomponent Diffusion (review) // Ind. Eng. Chem. Res. —1999. — Vol. 38. —Pp. 2515-2522.

40. Svoboda J., Fisher F. D., Pratzl P., Kroupa A. Diffusion in multi-component systems with no or dense sources and sinks for vacancies // Acta Materialia. —2002. —Vol. 50. —Pp. 1381-1396.

41. Nowacki W. Dynamical problems of thermoelastic diffusion in Solids, I // Bull Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Tech. —1974. — Vol. 22. —Pp. 55-64.

42. Подстригач Я. С. Диффузионная теория неупругости металлов // ПМТФ. — 1965. —№ 2. —С. 67-72.

43. Aouadi M. Generalized theory of thermoelastic diffusion for anisotropic media I I J. of Thermal Stresses. —2008. — Vol. 31. —Pp. 270-285.

44. Simon A. M., Grzywna Z. J. On the Larche-Cahn theory for stress-induced diffusion // Acta Metallurgica et Materialia. — 1992. — Vol. 40, no. 12. — Pp. 3465 3473.

45. Архангельская E. А., Лепов В. В, Ларионов В. П. Связная модель замедленного разрушения повреждаемой среды // Физическая мезомеханика. —2001. —Т. 4, № 5. —С. 81-87.

46. Larche F. С., Cahn J. W. A linear theory of thermochemical equilibrium of solids under stress // Acta Metallurgica. —1973. —Vol. 21, no. 8. —Pp. 10511063.

47. Cahn J. W., Larche F. C. Surface stress and the chemical equilibrium of small crystals —II. Solid particles embedded in a solid matrix // Acta Metallurgica.1982. — Vol. 30, no. 1. —Pp. 51-56.

48. Larche F. C., Cahn J. W. The effect of self-stress on diffusion in solids // Acta Metallurgica. —1982. — Vol. 30, no. 10. —Pp. 1835-1845.

49. Larche F. C., Cahn J. W. The Interactions of Composition and Stress in Crystalline Solids // Journal of Research of the National Buerau of Standarts.1984. — Vol. 89, no. 6. —Pp. 467-500.

50. Larche F. C., Cahn J. W. Overview no. 41 The interactions of composition and stress in crystalline solids // Acta Metallurgica. —1985. —Vol. 33, no. 3. —Pp. 331-357.

51. Larche F. C., Cahn J. W. Phase changes in a thin plate with non-local self-stress effects // Acta Metallurgica et Materialia. —1992. —Vol. 40, no. 5. — Pp. 947-955.

52. Stephenson G.B. Deformation during interdiffusion // Acta Metallurgica. — 1988. —Vol. 36, no. 10. —Pp. 2663-2683.

53. Aifantis E. С. On the problem of diffusion in solids // Acta Mechanica. — 1980. —Vol. 37. —Pp. 265-296.

54. Kattis M. A. On the uncoupled problem of stress-assisted diffusion through a linear elastic solid // Acta Mechanica. —1993. —Vol. 96. —Pp. 37-46.

55. Mehrer H. Diffusion in Solids. — Springer, 2007. — Vol. 155 of Springer Series in Solid-State Sciences.

56. Crank J. The Meathematics of Diffusion. —Clarendo Press, Oxford, 1975. — 418 P.

57. Старк Дж. П. Диффузия в твердых телах. —М.: Энергия, 1980. —239 С.

58. Ghez R. Diffusion Phenomena. — Kulwer Academic / Plenum Publishers, New York, 2001. —328 P.

59. Бокштейн B.C., Ярославцев А.Б. Диффузия атомов и ионов в твердых кристаллах. —М.:МИСИС, 2005. —362 Р.

60. Erdelyi Z., Parditka В., Веке D. L. Stress effects on the kinetics of nanoscale diffusion processes // Scripta Materialia. — 2011. — Vol. 64, no. 10. — Pp. 938-941.

61. Маннинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. —М.:Мир, 1971. —277 С.

62. Vineyard G. Н. Frequency factors and isotope effects in solid state rate processes // Journal of Physics and Chemistry of Solids. — 1957. —Vol. 3, no. 1-2. —Pp. 121-127.

63. Wert C. A. Diffusion Coefficient of С in a-Iron // Phys. Rev. — 1950. — Vol. 79. —Pp. 601-605.

64. Глесстон С., Лейдер К., Эйринг Г. Теория абсолютных скоростей реакций. —М.:Изд-во иностранной литературы, 1948. —583 С.

65. Бокштейн Б. С. Диффузия в металлах. —М.:Металлургия, 1978. —246 С.

66. Страумал Б. Б., Клингер Л. М., Швиндлерман Л. С. Диффузия индия по одиночным межфазным границам олово-германий при высоких давлениях // Физика твердого тела. —1983. —Т. 25, № 7. —С. 2085-2089.

67. Jeffery R. N., Lazarus D. Calculating Activation Volumes and Activation Energies from Diffusion Measurements I I J. Appl. Phys. —1970. —Vol. 41, no. 3186. —Pp. 3186-3187.

68. Aziz M. J., Sabin P. C., Lu G. The activation strain tensor: Nonhydrostatic stress effects on crystal-growth kinetics // Phys. Rev. B. — 1991. —Vol. 44. —Pp. 9812-9816.

69. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Статистическая физика. —М.:Наука, 1976. —Т. 5. —548 С.

70. Aziz М. J. Dopant diffusion under pressure and stress // IEEE International Conference on Simulation of Semiconductor Processes and Devices SISPAD 2003. —Piscataway, N.J.: IEEE., 2003. —Pp. 137-142.

71. Конобеевский С. Т. К теории фазовых превращений. II. Диффузия в твердых растворах под влиянием распределенных напряжений // Журнал экспериментальной и теоретической физики. —1943. —Vol. 13, по. 6.

72. Любов Б. Я., Фастов Н. С. Влияние концентрационных напряжений на процессы диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. — 1952. — Vol. 84, по. 5.

73. Shewmon P. Diffusion in Solids. —Second edition. —The Minerals, 1989. — 245 P.

74. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. —М.:Мир, 1974. —304 С.

75. Трусов П. В., Келлер И. Э. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. —Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. —98 С.

76. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. —М.: Наука, 1977. —399 С.

77. Гуров К. П., Карташкин В. А., Угасте Ю. А. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. —М.: Наука, 1981. —350 С.

78. Onsager L. The Collected Works of Lars Onsager (with commentary) / Ed. by P.C. Hemmer, H. Holden, Ratkje S. Kjelstrup. —World Scientific Publishing, 1996. —Vol. 17 of World Scientific Series in 20th Century Physics. —764 P.

79. Гуров К. П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. —Наука, 1978. —128 С.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоритическая физика: Теория упругости. —М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. —264 С.

81. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.:Высш. шк, 1961. —537 С.

82. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.:Наука, 1975. — 576 С.

83. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.:Мир, 1964.—510 С.

84. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. —Киев:Наукова думка, 1970. — 308 Р.

85. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Основные положения и общие методы. —М.: Мир, 1991. —Т. 1. —504 С.

86. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Влияние напряжений и деформаций на перераспределение примеси в пластине в условиях одноосного нагруже-ния // Прикладная механика и техническая физика. —2010. —Т. 51, № 3. —С. 147-157.

87. Mikolaychuk М.А., Knyazeva A.G. Influence mechanisms of strains and stresses to diffusion in loaded plate // Proceedings of XXXVIII International Summer School-Conference АРМ 2010. —2010. —Pp. 464-469.

88. Князева А. Г., Миколайчук M. А. Насыщение пластины примесью из окружающей среды в условиях механического нагружения // Изв. РАН. МТТ. —2011. —№ 5. —С. 43-57.

89. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.:Наука, 1987. —254 С.

90. Волков Е. А. Численные методы. —М.:Наука, 1982. —254 С.

91. Самарский А. А. Теория разностных схем. —Наука, 1989. —616 С.

92. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. —М.: Мир, 1979. —392 С.

93. Hutton D. V. Fundamentals of Finite Element Analysis. —The McGraw-Hill Companies, 2004. —494 P.

94. Самарский А. А., Вабищевич П. H. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. —Едиториал УРСС, 2004. —248 С.

95. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. —М.: Энергоатомиздат, 1984. —152 С.

96. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. —784 С.

97. Калиткин Н.Н. Численные методы. —М.:Наука, 1978. —512 С.

98. Alves W. J., Genuchten М. Th. Analytical solutions of the one-dimensional convective-dispersive solute transport equation. —U.S. Dept. of Agriculture, 1982. —151 P.

99. Бабичев А. П., Бабушкина H. А., Братковский A. M. Физические величины. —Энергоатомиздат, 1991. —1232 С.

100. Erdelyi Z., Веке D. L. Stress effects on diffusional interface sharpening in ideal binary alloys // Phys. Rev. B. —2003. —Vol. 68. —P. 092102.

101. Ильюшин А .А. Пластичность. Часть 1. Упруго-пластические деформации. —М.: Логос, 2004. —388 С.

102. Миколайчук М. А., Князева А. Г. Диффузия в кристаллическом теле в условиях нагружения// Изв. вузов. Физика. —2010. —№ 11/3. —С. 5457.

103. Anand M. S., Murarka S. P., Agarwala R. P. Diffusion of Copper in Nickel and Aluminum // Journal of Applied Physics. — 1965. —Vol. 36, no. 12. — Pp. 3860-3862.

104. Kawanami Y, Nakano M, Kajihara M, Mori T. Growth Rate of Fine Grains Formed by Diffusion Induced Recrystallization in Ni Layer of Cu/Ni/Cu Diffusion Couples // Materials Transactions. — 1998. — Vol. 39, no. 1. — Pp. 218-224.

105. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. —М.: Наука, 1989. — 608 С.

106. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. —М.: Гидрометеоиздат, 1974. —303 С.

107. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — Наука, 1989. — 429 С.

108. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии ОрепМР: Учебное пособие. —МГУ, 2009. —77 С.

109. Xinmin Т., Aart В., Milind G. Intel® ОрепМР C++/Fortran Compiler for Hyper-Threading Technology: Implementation and Performance // Intel Technology Journal. —2002. — Vol. 6, no. 1. —Pp. 36-45.

110. Бокштейн B.C., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. —М.: Металлургия, 1986. —224 С.

111. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зёрен и фаз. — М.: Машиностроение, 1991. —447 С.

112. Popov V. V. Modem Models of Grain Boundary Diffusion // Defect and Diffusion Forum. —2011. —no. 312 315. —Pp. 1116-1125.

113. Belova I. V., Murch G. E. Diffusion in nanocrystalline materials // Journal of Physics and Chemistry of Solids. —2003. —Vol. 64, no. 5. —Pp. 873 878.

114. Mishin Yu. M., Yurovitskii I. V. A generalized model of grain boundary diffusion // Philosophical Magazine A. —1991. —Vol. 64, no. 6. —Pp. 12391249.

115. Sommer J., Herzig Chr. Direct determination of grain-boundary and dislocation self-diffusion coefficients in silver from experiments in type-C kinetics // Journal of Applied Physics. —1992. —Vol. 72, no. 7. —Pp. 27582766.

116. Кесарев А.Г., Кондратьев B.B. О влиянии внутренних напряжений на диффузию в наноструктурных сплавах // Физика металлов и металловедение. —2007. — Vol. 6, no. 1. —Pp. 5-11.

117. Kolobov Yu. R, Grabovetskaya G. P, Ivanov M. B, Zhilyaev A. P, Valiev R. Z. Grain boundary diffusion characteristics of nanostructured nickel // Scripta Materialia. —2001. — Vol. 44, no. 6. —Pp. 873 878.

118. Миколайчук M. А., Князева А. Г. Моделирование формирования кристаллической структуры покрытия при магнетронном напылении // Изв. вузов. Физика. —2009. —№ 12/2. —С. 89-91.

119. Балохонов Р. Р., Романова В. А. Моделирование деформации и разрушения материалов с покрытиями различной толщины // Физическая мезо-механика. —2009. —№ 12. —С. 45-55.

120. Christopher S. A., Kumar M., King W. E. Analysis of grain boundary networks and their evolution during grain boundary engineering // Acta Materialia. —2003. —Vol. 51, no. 3. —Pp. 687 700.

121. Панин В. E., Макаров П. В., Псахье С.Г. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В. Е. Панина. — Новосибирск: Наука, 1995. —Т. 2. —320 С.

122. Князева А. Г., Миколайчук М. А. Об одной задаче диффузии в трехком-понентной системе с двумя временами релаксации // Изв. вузов. Физика. —2011. —№ 11/3. —С. 34-38.