Взаимодействие волны нагрузки в деформируемой среде с твердыми слоистыми телами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ШЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬННИ ИНСТИТУТ им. В.В.Куйбышева

На правах рукописи

ХАНОВ РАВИЛЬ КЯНИЛЕВИЧ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНЫ НАГРУЗКИ В ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЕ С ТВЕРДЫМИ СЛОИСТЫМИ ТЕЛАМИ

01.02,04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Бишкек - 1992

Работа выполнена в институте математики АН Кыргызстана.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

старший научный оотрудаип Шамгунов Ш.Д.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор

Сагомошш А.Я.

доктор технических наук, профессор Филиппов И.Г.'

Ведущая организация - ЦЕМИМАШ

Защита состоится " " ¡ts/M <ъоА 1992г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 053,11.02 при Московов инженерно-строительном институте им, В.В.КуЁбышева по адресу: 113114, Москва, Шлюзовая наб., 8, ауд.

Просим Вас принять участив в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " У/Г " (Of^m^O^Á^ 1992г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

д.т.н., профессор Г.Э.Шаблинокий

. 3 -

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современная инженерная практика нуждается в способа* определения параметров взаимодействия ударных волн с различными инженерными объектами, а также - в других процессах, где возникает проблема прочности при интенсивных краяковременнщ нагрузках. Вследствие ограниченной применимости экспериментальных методов математическое моделирование мехапичоских процессов является необходимы!/ компонентом решения задач для прогнозирования и оценки прочности сооружений, конструкций и массивов, подвержен» пш нагрузкам высокой интенсивности.

Несмотря на определенные труднооти при исследовании взаимодействия волн в твердых деформируемых средах с различного типа препятствиями, мяогин задачи, особенно связанные о необходимостью учета таких факторов, как физическая и геопетрическая нелинейности, сложность граничных условий, наличие многократных отражений волн от границ рассматриваемых областей, остаются нерешенными.

В связи с вышеизложенным, исследование проблемы взаимодействия волн в слоиотых средах о преградами' различной формы, яаляются актуальными.

Цель работы.Разработка схемы и построение алгоритма численного решения плоской задачи о набегании ударной волны в грунте на цилиндрические вяпистые конструкции и последующим взаимодействием о ними; наследовании интенсивности нагрузки в набегающей волне и геометрических параметров тела на формирование количественных характеристик полей напряжений, скоростей и смещений; выявление основных качественных особенностей напряженно-деформированного состоя ая многослойного вдлин.пра; разработка схемы м построение алгоритма численного решения осесимметричной задачи о набегании ударной волны, вызываемой в полупространстве, злпятой грунтом, нагрузкой,

- 4 -

приложенной к его границе, на твердую однослойную деформируемую конструкцию и последующим взаимодействии с пей.

НА защиту выносятся:алгоритм чмслеилого решения плоской и осе-оимметричпой задач о взаимодействии набегающих удариыг волнсо ело- . истыми осесимметричными цилиндрическими и плоскими конструкциями; чиаяеллое исследование параметров задачи на формирование количественных характеристик полей напряжений, скоростей и смещений при . взаимодействии волн с препятствиями и т.д.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Разработаны алгоритмы числэнного решения с использованием ЭВМ задач, плоокой и осесимметричной, о набегании ударной волны да твердую слоистую деформируемую конструкцию, помещенную в среду, по которой распространяется ударная волна, и последующем взаимодействии о ней.

2. Определены параметры, характеризующие напряжегмо-деформирре-ианное состояние многослойного цилиндра на основе уравнений состояния рассматриваемых сред, учитывающих физическую и геометрическую нелинейность, а также в режимах чередующихся многократных нагрузок и разгрузок элементов сред, для которых закон разгрузки существенно отличается от закона нагрузки.

3. Разработан специальный метод удовлетворения граничным условиям па контактных поверхностях, обеспечивающий повышенную точиост! вычислений, который может быть применен к другим задачам о взаимодействиях сред .

Практическая значимость работы. Алгоритмы, построенные в диссертации, использовались при выполнении хоздоговорных работ, получены 2 акта о внедрении. Предлагаемые в работе методы расчета могут найти применение при решепие вопроса о прочности многослойных конструкций при выяснения возможности снижения амплитуды нагрузки

на сооруаения с помощью защитных слоистых прокладок, а так яе для оценки предельной нагрузки, предшествующей разрушению конструкции, характера и места начальной стадии разрушения.

Приведенные графики позволяют выявить особенности взаимодействия упругих и упругопластических волн со слоистыми конструкциями, помещенными в среду, и дают возмояность судить о влиянии упругопластических свойств грунта, профилей нагрузки и физико-механических характеристик защитной прокладки на распределение напряяений на контактных поверхностях.

Достоверность результатов. Полученные в работе результаты подтвермдаится: корректностью постановки динамических задач и выводов разр"Е«ающих уравнений; использованием общеизвестных моделей механики сплоиной среды и методов математической физики; сравнением с численными решениями других авторов для частных случаев,

- Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзной конференции по распространению упругих и упругопластических волн (1903г., г.Фрунзе); на II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (1Э85г,,г,Фрунзе); на II) Всесоюзной сьезде по теретнческой и прикладной механике (1986г., г.Ташкент); на научном семинаре кафедры "Волновая и газовая динамика" ИГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях 131, [51 и тезисах докладов II], [21, [4].

' Обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Изложена на 125 страницах маомшшшппи а текста, содераит 53 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРВАНИЕ 1'АШИ Во введении дан обзор работ по проблеме, сформулированы зада

чи о взаимодействии волны нагрузки с различными препятствиями в упругой и упругопластической средах, определена цель работы, изложены основные научные полонения, выносимые на защити, и краткое, содержание работы.

В первой главе рассматривается задача о набегании плоской ударной волны на деформируемую многослойную цилиндрическую конструкцию в грунте.

В п.1,1 дается постановка задачи и общая схема ее решения. Предполагается, что плоская ударная волна, распространяющаяся в неограниченном пространстве, занятом грунтом, в начальный момент времени касается внешней поверхности бесконечно длинного многослойного (до трех слоев) цилиндрического кольца, вмонтированного в грунт, Требуется по заданному профилю набегающей ударной волны найти для последующих моментов времени поля смещений, скоростей и напряжений в грунте и толще кольца в зависимости от свойств материалов слоев кольца, среды и условий на границе их раздела.

Все вычисления относятся к плоскости сечения тела, проведенного перпендикулярно к образующей цилиндрической поверхности. Такое сечение тела представляет собой многослойное плоское кольцо.

Уравнения движения в полярных координатах (Огу) с началом 0 в центре кольца и полярной осью Ог, направленной перпендикулярно навстречу фронту набегающей волны в условиях геометрической линейности имеют вид

и* - 1дб„/дг + (д<атч./дЧ> + 6хг - ф,* )/г]/р,) ,

(I)

1)у г [д<3Тч./Эг + (3(Зц-ч./дЧ» + 2<Эщ>)/г]/Ру , где ро - плотность материалов кольца (V = 1,2,3) и среды (V = 4), 1)г . IIф - смещения вдоль соответствующих координатных линий,

, б'ч.ц,, - компоненты напряяения. Рассмотрены такие уравнения двивения в условиях геометрической нелинейности.

Для компонент деформации и напряжения в случае'геометрической линейности .используются известные соотноиения:,. " £*т = аих/Эг . £*ч>= сэич»/дч»+ ит)/г £-1*= (&их/5? - М/г + ЭШр/дг . ' (2)

£ = втт + £ФЧ» »

£( = ^ V ( £-4 - *+ + + ! ¿Т'Р

<5Чт = ;ЦЕ+2(5^£гг . <3"х ч» = Е ^ £ т ч> .

(4)

6ч>¥= -Л^^ * . И = 1,2,3,4) , (3)

9» . *

где , постоянные Ламе, если V -область заполнена линейно

упругой средой, и являются перемешшми величинами, если V -область занята физически нелинейной средой.

Вследствие симметрии картины двизения сред относительно оси 0г,!решение задачи достаточно иайти для углов 0 < ч» < ЗГ , а при Ч" = 0 и -Ч» = ЗГ требовать соблидения условий ■ Цц. = 0 , вит/дЧ" = Э(Гхг/Э1п = д6щ/дЧ> =-'0; СБ)

На разделительных окружностях г = П^ с ^ = 2,3,4) требуется выполнение условий

си,)^ = си^ , см„ = (им.г, ' . '

С?)

а1 гфи г = принимается '

• ' : <3,х ~ <3Т<Р = 0 . (8)

, .Начальные условця-начальное" распределение смещений и сиорой-тей-определяится из решения простейшей задачи о распространении'

- о -

Таким образом, требуется найти решение системы уравнений (1) с учетом соотношений (2)-(5), удовлетворяющее указанным начальный условиям и граничным условиям (6)-(8).

Для решения рассматриваемой задачи используется модифицированная схема Уилкинса. Исследуемая область с условной внешней границей , расположенной за пределами существенного влияния отраженных волн в рассматриваемый промежуток времени, покрывается сеткой с шагами: по радиусу - ¿¿г и по полярному углу - 41? . Для любой функции РСг.Ч'Д) принимается обозначение вида

(рО

Г^ = Г(Г1, (]-1)дч>, к-дЪ). Частные производные в центре ячейки вычисляются по формулам

,1 . С"': г(ю ш сю («I , , '

(9р/аг)И,И * р«ч.г рм 1/(24Г) •

(9)

а* , М 1„(К> >1 (К) „<*», „

имеющим погрешность порядка 0(СДт)г + (ДЧ>)г). Аналогично вычисляются частные производные в узлах ячеек.

Значения' величин , Цц> определяются для ряда моментов, времени с некоторых фиксированный шагом ьЬ, При вычислениях для момента времени сначала определяются смещения на границе раз-'; * сред в момент времени ^ . Затем, заменяя частные производ--оотношениях (2) или в надлежащих соотношениях в случае . "ской нелинейности выражениями вида (9), находим компо-

чций . б^, а затем, согласно (3), (4) - и

.0«)

ч , для центров ячеек, как среды, так и слоев ; согласно (5) определяется и компоненты напря-

Далее, на основании формул С1) или соответствующих соотношений в случае геометрической нелинейности определяются значения ускорений 0Т , йч> в узловых точках. При этом частные производные от напряяений вычисляются с использованием соотношений типа (3), с заменой индексов 1,] на 1-1/2, 1-1/2 соответственно.

' После определения ускорений , У* для всех внутренних узлов полагается

сй^Г' = + <1)^1 . .

(10)

„ • Ос* иг) ,„ Ск«11

Соверввпиа д^логично определяются величины си*)^ , С ич> ,

В п.1,2 приводятся формулы для вычисления компонент напряае-ния в грунте, который предполагается упругопластической средой. Расчеты производятся согласно деформационной'теории грунтов: в соотношениях (5), переменные коэффициенты, являющиеся аналогами констант Ламе, выранаются через среднее гидростатическое давление <3(|Е1) и интенсивность напряжений (э, :

. Д = Сер /£ - 26^/9 , & = б^/З . Функции бер = бсрСС )=-6(1Ш, <Я1 =<31(£, £0 получаются посредством интерполяции и экстраполяции зависимостей, содержащихся в экспериментальных графиках <3 = - бСр(£), (э^ = Вследствие наличия разных ветвей для нагрузки и разгрузки при нахоядении величин 6ср(£) и <91 (£,£() предварительно производится анализ, согласно какой из ветвей графиков следует выполнить вычисления.

В п.1.3 предлагается схема вычислений компонент смещений в узлах, располоиенных на разделительных окруяностях кольца, На на основании двух последних соотношений из (7) полагаем

для всех рассматриваемых значений индекса 1, где Ь - значение дискретнлй переменной, соответствующей г, для узлов контактной окруанЬсти, ■' .

Заменяя частные производные в соотношениях (5) конечными разностями, а затем подставляя в систему (11) и ревая ее, учитывая,; что' смещение на линии раздела сред считаются одинаковыми для обеих сред, | определяем смещения ^ , (и ^ Для всех I

рассматриваемых значений индекса Ь Затем полагаем ' '

; = им^. +■ (и!)(;;н ]/2 .

Аналогично определяется (Цц>,

В случае,.когда рассматриваемая среда является физически нр-, линейной/, принимается а'"'= Л1"'1'.Е0^ Б01*" в соответствующих •им контактирующих ячейках<'

п.1¿4,описано вычисление начальных значений для компонент смещений'и скоростей в рассматриваемой области и компонент сне- ■ денийдлй лЦого момента времени в узлах, располовенных на пери-'¡рарийной окруяности. Считается, что в любой момент времени значение :напрявения на участках фронта ударной волны, располовеиной I вне. области.влияния кольца, известно. Кроме того, принимается, ,51Тр, двиквмие' за "фронтом ;волйы является плоским, одномерный,, при-. 'ЧеМ110ля. д8форыац11й и напрйаений однородны, Рассматривается слу-. ^а^Лог^'йОТ'внсивнбсть' набегавшей ударной'волны представляется 1 ¿УвиДе дбйаа&цей функции, и е.форме ступеньки/ "размазанной" по

Й; п,1.5;:И9ло18Н ,анализ результатов ряда расчетов на ЭВМ для

- il -

конкретных исходная данных, Приведена графит, построенные на основании результатов расчетов, выполненных применительно к задачам

!

. о набегании ударной волны на одно- , двух- и трехслойные кольца с различными сочетаниями механических свойств его слоев. Графики представляют слояную волновуп картину, обусловленную многократными отражениями .волн от границ раздела сред, ; Из полученных результатов следует, что добавление к весткой однослойной конструкции внешнего слоя не приводит к существенному ^менывении абсолютных значений компонент напрявений , GV^

для внутреннего слоя, независимо от того, обладает ли дополни-

i

тельный слой яесткостьш того яе порядка, как внутренний слой, или i»e - значительно менызей яесткостью, Если не внутренний слой сос-; тоит из материала со значительно меньзей зесткостыз в сравнении с материалом внешнего слоя, то абсолютные значения величин , <5ч>ч> во внутренней слое значительно иеньао таковых в однослойной кольцо, состоящей из более гесткого иатериала. при одной и том ае-профиле набегаицей па конструкции извно волны. "-: Вали выполнена расчета для конкретной задачи о4 набегании'-, Ударной волна в упругой среде на цилиндрическуи полость. Эта за-дача'ранев реаалась Л,Н.Ковшовым;'15.Л.Баронов, Д.Г.Ивтьвсои д$зу-■ ..гини методами. Сопоставление результатов показало их удовлетворительную близость. •:.,,'•

fía рис.i приведены графики зависимости <5n(t) на контактах Jipi! ч* = 0 в случае набегания ударной волны в грунте на трехслой-нуп конструкции. Б качества материалов внутреннего-, проаеауточ-ного и внезнего слоев соответственно вийрана: сталь, пескиц9иент> И явле'эобетон, Профиль фронта ударной волна представляет собой стапенькд с йнтенсиНиостьв А » М^кг/м*.

Как видно из рисунка 1, значения €Г?т для точки вблизи внутренней границы могут быть как положительными, так и отрицательными, Графики, .относящиеся к точкам двух разделительных линий, практически совпадают,

, Рис, 1

Во второй главе рассматривается задача о взаимодействии плоской упругой волны с однослойной конструкцией, облаДапцей осью : симметрии. .

В п.2.1 дается постановка задачи и общая схема ее ревения, Предполагается, что фронт ударной волны, вызываемой в упругом полупространстве заданной на его границе осесимметричной нагрузкой, в некоторый момент времени набегает на препятствие, представляющее собой однослойное тело вращения, состоящее из упругого материала; ось врацения ттла расположена перпендикулярно к фронту набегающей волны. Требуется для последующих моментов времени най-- ти поля напряжений, смещений и скоростей в среде и в конструкции,

Данная задача является осесимметричной, Сравнения движения

в цилиндрических координатах (Orz) с осьп Oz, направленной вдоль оси вращения тела имеют вид

Üi = [Э<этг/Эг + 3c>z7/3z + (<J*X -Gvv)/r]/ps ,

С12)

Ü? = i 0Стг/ар + ÖG*,/3z + ,

где Ut , Uf - компоненты смещения .вдоль координатных линий г, г соответственно; , G"V4>, GJt , - соответствующие компоненты напряяения; pg - плотностъ для среды (у =1) и материала конструкции (¡f =2).

Для компонент деформации и компонент напряяения имеем ^тг r ^у ^ + , буф = + 2Gy£v(f,

+ 2С,£„. б„ = . (13Х

£« = Зи,/Эг , Е7? = öU?/3z , = Ur/r , 1

ft? = 3Ut/öz + 3Ujr/3r , , £ = (хг + + • . (14) Граничные условия на внутренней поверхности Г0 конструкции " заключаются в отсутствии нагрузки на ней

S-nlr. 0 • 0 • . ' (15)

где индекс "п" относится к направлении, нормальному к поверхности в данной ее точке, а "£"- к таковому, касательному к ней. На' границе. Г{ конструкции и среды требуется соблюдение равенства смещений, а такве нормальной и касательной составлявших напряяения ' (Ut),|r| = (В,),|Г4 , (Mj,. = (U7),|rx .

(10)

«Gm,)^ = (<»«n ),lrt . CGhf )4|rt = ^ .

Краевые условия на границе S полупространства .заклпчаптез в задании нормальной и касательной компонент напряяения

<5fJ(M\t> = P(H\t) . <j7,(M\l) = a(M".t) (H'«S), (1?) . где P(H#,t). 8(H",t) - заданные функции.

Считается, что среда перед фронтом волны, распространяющейся в полупространстве, покоится.

.Таким образом, требуется найти реиеиие систем уравнений (12) с учетом соотношений (13), (14), при граничных условиях (15Ы17) и надлежащих начальных условиях.

■ Для решения рассматриваемой задачи, как и в первой главе, используется видоизмененный метод Уилкинса. С этой целью исследуемая область в меридианном сечении конструкции с условной внешней границей Г2 , расположенной за пределами влияния отраженных " волн в рассматриваемый промежуток времени, покрывается прямоугольной сеткой, получаемой в результате пересечения прямых, па-■ раллельних осям Ог , Ог и располагаемых с интервалами а г, л г, србтветственно. •

.¡,Значения величин их , Ь'г определяются для ряда моментов . времени, возрастающих с некоторым фиксированным шагом ¿1. При

вычислениях для момента времени вначале определяются сме-

'•'•'-' ' ,1»! цения для граничных узлов в момент времени I . Затем, заменяя

частные производные в (14) выражениями, подобными (9) (при этом вместо <в используется г), находим компоненты деформаций Е1^ , • &>е > И*гв> ^ > а потом, согласно (13) - и величины , , , <эг$ в центрах ячеек. Далее, на основании формул (12) определяются значения ускорений ит ., Йц, в узловых точках. При этой частные производные от напряжений вычисляются с. использованием' соотношений, прдобны'х (9), с заменой индексов 1,1 нр. 1-1/2, 1-1/2 соответственно.

После определения ускорений Уи , У* вычисляются значения рмещени: , и^*", с помощью соотношений, подобных (К)/.

.Производится вывод приближенных формул для определения.зна-

- 15 -

1

чений гладкой функции в точках внутри треугольника, а такяе -значений ее частных производных в центре масс треугольника, если известны значения функции в трех верпинах треугольника. Эти равенства выведены на основании формул Грина.

В п.2.2 построен алгоритм выявления в процессе расчетов граничных узлов, примыкавших к внесшей и внутренней поверхностям конструкции.

В п.2.3 определяются компоненты смещения на линии раздела двух сред и в привыкающих к ней граничных узлах. При этом используется следующий способ. Для каадого граничного узла внделяотся два треугольника с общей вершиной на разделительной линии. Остальные версигш находятся по разные стороны от указанной линии. . При этом упомянутый граничный узел долпен находиться внутри одного из треугольников, з зависимости от того, к какой из контактирующих сред он относится. На основании последних двух условий в " (16) требуется, чтобы нормальная к разделительной линии и касательная к ней компоненты напряяения в центрах масс контактирующих треугольников были соответственно равны. При этом в согласии с первыми двумя условиями в (16) считается, что компоненты смещения общей вершины треугольников для контактирующих сред совпадают.

Сформулированные требования, с использованием упомянутых выве приблизенных формул для вычисления Функции и ее частных производных внутри треугольника, приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений относительно компонент смещения общей вершины соприкасающихся треугольников. Определив эти .компоненты, находим затем такяе и компоненты смещений для граничного узла.

В п.2.4 изложен способ реализации граничных условий на внутренней поверхности-конструкции. В соответствии с условиями (15)

требуется, чтобы в центрах граничных ячеек нормальная и касательная к граничной поверхности компоненты напрявения были равны нули,

В п.2,5 предложен один из возможных способов представления криволинейных участков контактных линий посредством элементарных функций,

В п.2.6 приведен ряд графиков, иллюстрирующих расчеты, для конкретных исходных данных. Профиль .фронта представляет собой ступеньку с интенсивностью А = ю'нг/м1,

На рис.2 представлены графики зависимостей Ш в трех характерных точках контакта. Зти графики выражают монотонную зависимость, на которую накладываются колебания.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ 1. Разработана схема и построен алгоритм численного решения плоской-гадачи о набегании ударной волны в грунте на цилиндрическую слоистую конструкцию и последующем взаимодействии с ней.

В алгоритме решения задачи учтена возмояность наличия у грунта и материалов, из которых выполнены слои кольца, свойств, характерных для физически и геометрически нелинейных сред, а такае - различие законов нагрузки и разгрузки.

2, Выполнен ряд расчетов для различных исходных данных, которые относятся к свойствам грунта и материалов слоев кольца, а такяе - к профиля набегающей на конструкции ударной волны.

Результаты расчетов представлены в виде графиков. Произведен анализ и сопоставление указанных графиков, на основании чего выявлено, что выполняя внутренний и внешний слои кольца из материала, обладающего значительно меньшей яесткостью, чем материал прмезуточного слоя, молно добиться снияения значений величины

| С|рг?| ,

3, Разработана схема и построен алгоритм численного решения осесимметрической задачи о набегании ударной волны, вызываемой в.. полупространстве, занятом грунтом, нагрузкой, приложенной к его границе, на твердую деформируемую конструкцию и последующем взаимодействии с ней'. Считается, что механические свойства, как грунта, так и материала конструкции, описываются моделью линейно-упругой среды.

4. Выполнены расчеты для различных исходных данных. Результаты этих расчетов представлены в виде графиков. Большинство приведенных графиков выраяают монотонную зависимость, на которую накладываются колебания.

5. Произведен численный эксперимент, результаты которого позволяют сделать заключение об устойчивости метода и сходимости результатов расчетов при уменьшении в.згов по геометрическим координатам и врг.ени.

Публикации по теме диссертации:

1. Иамадалиев Н., Ханов Р.К., Еаыгунов И.Д, Набегание ударной волны на полость в грунте // Тез. докл. конф. по распространению упругих и упругопластических волн, 4.2, Фрунзе, 1983. -с. 61-63. .

2. Мамадалиев Н., Ханов Р.К. .Еамгунов В. Д. Набегание ударной волны на двухслойное цилиндрическое кольцо в грунте // Тез. докл. 2 Всесоюзной конф. по нелинейной теории упругости, Фрунзе, 1985. - с.221-223.

3. Ханов Р.К. Набегание плоской одномерной ударной волны на упругое бесконечно длинное цилиндрическое кольцо в упругом пространстве // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. -Фрунзе: .Илии, 1985, вып.18. - с. 356-363.

4. Мамадалиев Н., Ханов Р.К., Вамгунов В.Д. Нестационарное взаимодействие плоской волны с многослойным цилиндром в упруго-пластической среде // Вестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикла),|Юй механике, аннотации докладов, Таикент, 1986,

5. Ханов Р.К. Численное исследование системы дифференциальных уравнений, описывающей взаимодействие плоской волны с цилиндрический кольцом в грунте // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1989, вып.22. - с.220-226,

Подписано в печать б.10.92 Формат 6üx841/I6 Печ .офс. И-233 Объем I уч.-изд.л. Т. 100 Заказ^»¡бесплатно

Ротапринт МИСИ им. В. В.Куйбышева