Взаимодействия элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

1. Ударно-волновые системы и их элементы.

1.1. Ударно-волновые системы и их оптимальность.

1.2. Интенсивности элементов ударно-волновых систем. Соотношения на скачках и волнах.

1.3. Поворот потока на скачках и волнах. Плоскость интенсивностей волн.

1.4. Дифференциальные условия динамической совместности на скачках уплотнения и слабых разрывах.

1.5. Огибающая семейства прямолинейных характеристик и основные неравномерности течения в волне Прандтля-Майера.

1.6. Взаимодействие элементов систем. Ударно-волновые структуры.

1.7. Течения с несколькими ударно-волновыми системами.

2. Взаимодействия догоняющих скачков уплотнения и волн Прандтля-Майера.

2.1. Взаимодействие волны Прандтля-Майера и последующего догоняющего скачка.

2.1.1. Схема воздействия волны Прандтля-Майера на последующий догоняющий скачок.

2.1.2. Определение формы скачка на основе дифференциальных условий динамической совместности.

2.1.3. Модель взаимодействия, предполагающая равенство статических давлений и сонаправленность потоков за исходящими волнами.

2.1.4. О точности предлагаемых моделей взаимодействия.

2.1.5. Форма и перегибы криволинейного скачка.

2.1.6. Смена типа течения за скачком и в отраженной волне.

2.1.7. Вырождение исходящих скачков и волн.

2.1.8. Возникновение дозвукового течения за скачком и отраженной волной.

2.1.9. Построение скачка с дозвуковым течением за ним.

2.1 ЛО.Влияние показателя адиабаты на решение задачи.

2.2. Взаимодействие скачка уплотнения с последующей догоняющей волной

Прандтля-Майера.

2.2.1. Схема взаимодействия скачка и догоняющей волны.

2.2.2. Определение параметров исходящих скачков и волн.

2.2.3. Свойства отраженной волны.

2.2.4. Особые случаи взаимодействия скачка с догоняющей волной.

Неотъемлемым атрибутом многих течений газа, изучаемых в сверхзвуковой газовой динамике, являются образующиеся в сверхзвуковых потоках скачки уплотнения и волны Прандтля-Майера. Последовательно расположенные друг за другом, эти скачки и волны образуют ударно-волновые системы и называются элементами этих систем. Исследование особых свойств ударно-волновых систем, оптимизация и анализ взаимодействия (интерференции) их элементов имеют большое значение при исследовании сверхзвуковых течений в соплах, струях, каналах, воздухозаборниках воздушно-реактивных двигателей, разработке оптимальных форм летательных аппаратов и их несущих поверхностей. Большую сложность при анализе представляет взаимодействие элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями, особенно те его формы, которые не локализуются в одной точке, а занимают некоторую (конечную или полубесконечную) область в поле течения. К таким взаимодействиям относится интерференция скачков с волнами Прандтля-Майера и волн Прандтля-Майера с поверхностями различной формы и природы. Эти виды взаимодействия значительно усложняют картину течения, но их практическая важность обусловливает необходимость их исследования и актуальность проведенной работы.

Первые работы по исследованию ударно-волновых систем относятся к 40-м годам XX века, принадлежат Г.И.Петрову и Е.П.Ухову [50] и, независимо от них, К.Осватичу (ссылка в [14]). Они посвящены созданию последовательностей скачков уплотнения, тормозящих сверхзвуковой поток до дозвуковых скоростей с наименьшими потерями полного давления. Тема этих исследований возникла вследствие необходимости конструирования эффективных сверхзвуковых воздухозаборников в первых воздушно-реактивных двигателях зарождавшейся сверхзвуковой авиации.

Аналитические и численные исследования ударно-волновых систем значительно упростились при введении соотношений на скачках уплотнения в современной, удобной для практики форме (Шуберт, 1943 г.). Решению задач о взаимодействии скачков уплотнения между собой, их регулярном и маховском отражении способствовала разработка теории "разветвленных" скачков (Г.Эгинк, 1943 г.; Л.Смит, 1945 г.; В.Бликни и А.Тауб, 1946 г.; [12,85,18]) и введение плоскости интенсивностей волн для их анализа (В.Вюст, [13]). Современные работы В.Н.Ускова и В.Н.Омельченко [42-47,22,34] позволяют обнаружить ударно-волновые системы, оптимальные по различными критериям (например, доставляющие экстремумы статического давления, температуры, скоростного напора, суммарного угла поворота потока) при разнообразных ограничениях на составляющие их элементы.

Одновременно с исследованиями ударно-волновых систем рассматривались задачи о взаимодействии скачков уплотнения со слабыми возмущениями [71,73] и, в первом приближении, с волнами Прандтля-Майера [32,97]. Результаты теории ударных волн и их взаимодействия, полученные в 40-50-е годы, наиболее полно изложены в работах Р.Куранта и К.Фридрихса [32], Л.Д.Ландау [33], У.Д.Хейза и Р.Ф.Пробстина [71], Г.Г.Черного [73], Л.Б.Зельдовича [23].

Новое развитие теории интерференции скачков уплотнения (в частности, их тройных конфигураций) в 60-х годах связано с работами Л.Хендерсона [87-91]. Результаты целого ряда исследований, появившихся в это время, стали классическими [53,54,70]. Дальнейшие исследования взаимодействия скачков уплотнения между собой и с поверхностями были проведены И.И.Глассом, Г.Бен-Дором, Х.Хорнунгом [92-94] и их учениками. В нашей стране исследованием взаимодействия скачков уплотнения и смежными проблемами занимались Т.В.Баженова и Л.Г.Гвоздева [8], Г.М.Арутюнян и Л.В.Карчевский [7], В.Н.Усков [5,54,64], А.Н.Крайко [11], М.С.Иванов [95]. В настоящее время локальную теорию интерференции газодинамических разрывов (в том числе и скачков уплотнения) можно считать в основном завершенной [5].

Задачи о взаимодействии элементов ударно-волновых систем, не локализованном в одной точке, обладают большей сложностью и вызывают повышенный интерес. Взаимодействие скачка с последующей догоняющей волной исследовалось М.Дж.Лайтхиллом и Г.Г.Черным [74] в связи с построением оптимальных головных частей летательных аппаратов, а взаимодействие волны со скачком - в работе [32], где впервые предложено использовать дифференциальные условия динамической совместности, связывающие производные от параметров газа на сторонах искривленного скачка в неравномерном потоке. Эти условия получены, в частности, В.В.Русановым [56], а в современном, наиболее удобном для практики виде - в работах В.Н.Ускова [5]. Полного теоретического анализа взаимодействия скачков и волн между собой, по-видимому, не проводилось, из-за чего поиски наиболее приемлемой модели этого взаимодействия продолжаются и в наше время [96].

Для анализа взаимодействия изоэнтропных волн Прандтля-Майера с поверхностью используются методы, основанные на касательном преобразовании Лежандра [41,72], введении дополнительной связи между функцией Прандтля-Майера и углом Маха [17], применении численных методов. Недостатки этих подходов заключаются или в необходимости перехода от переменных годографа на физическую плоскость, или в узости диапазона чисел Маха течения, или в сложности теоретического анализа численных результатов. Поэтому требуется создание универсальной приближенно-аналитической модели, пригодной для исследования отражения волн в широком диапазоне чисел Маха при заданных, достаточно произвольных свойствах отражающей поверхности.

Цель настоящей работы - провести теоретический анализ не локализованных в одной точке процессов взаимодействия элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями, показать практическое значение полученных результатов, в частности, в сверхзвуковой аэродинамике и газовой динамике струйных течений.

Работа состоит из пяти глав, заключения и приложения, содержит 163 страницы, 40 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 101 наименования.

В главе 1 приводятся определения ударно-волновых систем и структур, понятие об их оптимальности и примеры течений с их образованием, обосновывается необходимость их анализа. Для анализа ударно-волновых систем предлагается использовать условия динамической совместности [5], которые выражают связь между параметрами газа и их производными на сильных и слабых газодинамических разрывах, а также в поле течения волны Прандтля-Майера.

В главе 2 решаются задачи о воздействии волны Прандтля-Майера на догоняющий скачок уплотнения и о взаимодействии скачка уплотнения с последующей волной. Предлагаются достоверные приближенные методы анализа взаимодействия. Один из этих методов основан на решении задачи взаимодействия скачка со слабым разрывом и допущении о прямолинейности результирующего скачка, а второй - на предположении о равенстве статических давлений и коллинеарности линий тока за исходящими волнами. С помощью данных методов определяются параметры исходящих из области взаимодействия скачков и волн, критерии смены их типа, свойства формы взаимодействующего скачка, другие особенности взаимодействия. Результаты данной главы изложены в работах [76,37-40].

В главе 3 разрабатываются приближенно-аналитические модели взаимодействия волн Прандтля-Майера с поверхностями различной формы и природы. Проверка этих моделей производится при решении задач о падении волны разрежения на твердые прямолинейные и искривленные стенки, свободную поверхность, границу области квазиодномерного течения. Производится параметрический анализ решения задачи о сопряжении квазиодномерной области с волной Прандтля-Майера. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [66,75].

Главы 4 и 5 посвящены приложениям полученных решений задач взаимодействия в сверхзвуковой аэродинамике и газовой динамике струйных течений.

В главе 4 исследуются ударно-волновые системы, возникающие при сверхзвуковом обтекании простейших тел (одиночной пластины, пластины с передним щитком, многоугольных профилей). Выявляется связь между оптимальными свойствами образующихся систем и особенностями взаимодействия их элементов. Основные результаты этой главы изложены в работах [15,49,67,77].

В главе 5 решения задач о взаимодействии элементов ударно-волновых систем применяются для построения приближенно-аналитической модели течений в плоской перерасширенной струе и в сужающемся канале между двумя клиньями. Исследуемое поле течения разбивается на несколько областей, в каждой из которых решается модельная задача взаимодействия. В результате определяется форма всех имеющихся газодинамических разрывов и структура течения в целом. Производится также анализ тройных конфигураций скачков уплотнения, возникающих при маховском отражении со сверхзвуковым течением за отраженным скачком. Основные результаты этой главы отражены в работах [16,48,68].

В приложении даны формулы, полученные в [5] и выражающие дифференциальные условия динамической совместности на скачках уплотнения. Эти соотношения активно используются в данной работе, но их большой объем заставляет поместить их за пределами основной части диссертационного исследования.

На защиту выносятся:

1. Результаты решения задачи о воздействии волны разрежения или сжатия Прандтля-Майера на догоняющий скачок уплотнения. Аналитические соотношения, описывающие особенности формы скачка, тип отраженной волны и критерии его (возможно, неоднократной) смены, возможность вырождения взаимодействующего скачка в слабый разрыв или же перехода потока за ним от сверхзвуковых к дозвуковым скоростям.

2. Результаты анализа взаимодействия скачка уплотнения с последующей догоняющей волной разрежения или сжатия Прандтля-Майера. Аналитические решения, описывающие форму взаимодействующего скачка, тип отраженной волны и возможность его смены, вырождение взаимодействующего скачка в слабый разрыв.

3. Общая методика решения на физической плоскости задачи об отражении волн Прандтля-Майера от поверхностей различной формы и природы. Результаты анализа сопряжения волны Прандтля-Майера с областью квазиодномерного течения, отделенной тангенциальным разрывом.

4. Методика использования результатов анализа возникающих ударно-волновых систем и взаимодействия их элементов в задачах оптимизации тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком.

5. Приближенно-аналитические модели плоскопараллельных течений с нерегулярным (маховским) отражением возникающих скачков уплотнения.

Практическая ценность работы состоит в том, что произведен теоретический анализ не локализованных в одной точке взаимодействий элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями и показано прикладное значение полученных результатов. Результаты работы могут быть применены, в частности, при оптимизации формы летательных аппаратов, газодинамическом конструировании сверхзвуковых воздухозаборников, разработке аппаратов струйных технологий, расчетов взаимодействия элементов конструкций со сверхзвуковыми потоками.

По материалам диссертационного исследования опубликовано 3 статьи в научных журналах "Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика", "Известия Тул-ГУ", сборнике "Механика и процессы управления" Уральского отделения РАН.

Основные результаты работы доложены и обсуждены на Всероссийских молодежных научных конференциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагаринские чтения" (Москва,

1997, 1998); Международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения" (Москва, 1999); XVII Всероссийском и XVIII Международном семинарах "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997, 2000); Всероссийских молодежных научных конференциях "II Королёвские чтения" и "VI Королёвские чтения" (Самара, 1997, 2001); Юбилейной молодежной научной конференции "Неделя науки - 98" (Санкт-Петербург, СПАГА); Второй (Санкт-Петербург, 1998) и Третьей (Истра-Москва, 1999) Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях; Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999); VIII и X международных научно-технических конференциях ученых Украины, России и Белоруссии "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1999, 2001); научных семинарах кафедры плазмогазодинамики и теплотехники БГТУ под руководством проф. В.Н.Ускова (Санкт-Петербург, 2001, 2002); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики СПбГУ под руководством проф. С.К.Матвеева (Санкт-Петербург, 2002).

Основные результаты и выводы диссертационного исследования таковы:

1. Разработаны достоверные приближенно-аналитические модели взаимодействия элементов ударно-волновых систем (скачков уплотнения и волн Прандтля-Майера) между собой. Проведено аналитическое и численное исследование данных взаимодействий. Получены явные зависимости, описывающие их свойства: особенности отраженных скачков, критерии смены типа исходящих волн, возможность образования области дозвукового течения за взаимодействующими скачками и оптимизации процесса взаимодействия.

2. Предложена приближенно-аналитическая модель взаимодействия волн Прандтля-Майера с поверхностями различной формы и природы. Ее точность и достоверность показана на примерах взаимодействия волны с твердыми прямолинейными и искривленными стенками, свободной поверхностью и границей области квазиодномерного течения. Решена также задача о сопряжении волны Прандтля-Майера с квазиодномерной областью.

3. Проведен параметрический анализ ударно-волновых систем, образующихся при обтекании простейших тел (одиночной пластины, пластины со щитком, многоугольных профилей). Методами математического программирования найдены системы, доставляющие экстремальные аэродинамические коэффициенты тел и значения параметров газа на их сторонах. Аналитически показана связь между экстремальными свойствами ударно-волновых систем и сменой типа отраженных возмущений, образующихся при взаимодействии их элементов.

4. Аналитически исследованы тройные конфигурации скачков уплотнения, образующиеся при маховском отражении со сверхзвуковым течением за отраженным скачком. Выявлены и проанализированы особые и оптимальные свойства конфигураций, отвечающих смене типа отражения скачка по критерию фон Неймана.

5. Результаты решения задач о взаимодействии элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями применены для анализа сверхзвуковых течений с маховским отражением скачков уплотнения в плоской перерасширенной струе, а также в сужающемся канале между двумя клиньями. Разработан метод расчета и анализа поля течения, определения формы и размеров возникающих газодинамических разрывов. Сравнение с численными и экспериментальными данными показывает высокую точность и достоверность предложенного метода, а также применимость результатов исследования для решения широкого круга задач.

Заключение

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976. 888 с.

2. Авдуевский B.C., Ашратов Э.А., Иванов А.В., Пирумов У.Г. Газодинамика сверхзвуковых неизобарических струй. М.: Машиностроение, 1989. 320 с.

3. Авдуевский B.C., Ашратов Э.А., Пирумов У.Г. Сверхзвуковые неизобарические струи газа. М.: Машиностроение, 1985. 248 с.

4. Адрианов A.J1. Об одной модели течения за криволинейным скачком уплотнения //Математическое моделирование в механике: Сб. трудов. Красноярск: ВЦ СО РАН, 1997. 12 с. (Деп. в ВИНИТИ 07.11.97 №3357-1397).

5. Адрианов A.JL, Старых А. Л., У сков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: ВО "Наука", 1995. 180 с.

6. Аржанников Н.С., Чаплыгин С.А. К теории открылка и закрылка /Чаплыгин С.А. Собрание сочинений. В 3 т. Т.П. М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. С.472-487.

7. Арутюнян Г.М., Карчевский Л.В. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973. 376 с.

8. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977. 274 с.

9. Борисенко А.И. Газовая динамика двигателей. М.: Оборонгиз, 1962. 793 с.

10. Булат П.В., Засухин О.Н., Усков В.Н. Формирование струи при плавном запуске сопла Лаваля //Течение газа в каналах и струях (Газодинамика и теплообмен; вып. 10) /Под ред. В.Г. Дулова. СПб.: Изд-во СПб. гос. ун-та, 1993. С.3-22.

11. Васильев Е.И., Крайко А.Н. Численное моделирование дифракции слабых скачков на клине в условиях парадокса Неймана //ЖВМиМФ. 1999. Т.39. №8. С. 1393-1404.

12. Веккен Ф. Предельные положения вилкообразных скачков уплотнения //Сб. переводов "Механика". 1950. №4. С.24-34.

13. Вюст В. К теории разветвленных скачков уплотнения //Сб. статей "Газовая динамика". М.: Иностр. лит-ра, 1950. С. 131-143.

14. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физматгиз, 1960. 290 с.

15. Горячев В.Л., Усков В.Н., Чернышов М.В. Теоретический анализ ударно-волновых систем на пластине с передним щитком в сверхзвуковом потоке газа //Отчет по НИР № Р5-13-0515/7. СПб: БГТУ "Военмех", 2000. 116 с.

16. Горячев B.JL, Уеков В.Н., Чернышов М.В. Особые и оптимальные свойства тройных конфигураций скачков уплотнения //Отчет по НИР № Р5-13-1559. СПб: БГТУ "Военмех", 2001.38 с.

17. Гриб А.А., Рябинин А.Г. К вопросу о приближенном интегрировании уравнений плоского установившегося сверхзвукового движения газа //Докл. АН СССР. 1955. Т.100. №3. С.425-428.

18. Гриффите У. Ударные волны //Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С.120-146.

19. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 424 с.

20. Джонс Р.Т. Теория крыла. М.: Мир, 1995. 208 с.

21. Еггерс А.Дж., Савин Р.К., Сайвертон К.А. Обобщенный метод применения теории скачков уплотнения и теории течения разрежения к обтеканию тел, движущихся с большими сверхзвуковыми скоростями //Сб. переводов "Механика". 1956. №3. С.3-16.

22. Ерофеев В.К., Омельченко А.В., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. №4. С.663-668.

23. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М.: Физматгиз, 1963. 420 с.

24. Камзолов В.Н., Пирумов У.Г. Расчетное исследование сверхзвуковой струи, истекающей из отверстия с плоскими стенками //ПМТФ. 1967. №2. С. 117-122.

25. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулиншина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. М.: ВЦ АН СССР, 1961.60 с.

26. Келдыш В.В. Оптимальные формы несущих тел, обтекаемых с плоским скачком уплотнения //Изв. РАН. МЖГ. 1996. №4. С.131-141.

27. Киреев В.И., Минин С.Н., Пирумов У.Г. Влияние профиля сопла на характеристики газодинамического лазера //Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. №6. С. 163-167.

28. Кожемякин А.О., Омельченко А.В., Усков В.Н. Наклонное взаимодействие сверхзвуковых потоков //Изв. РАН. МЖГ. 1999. №4. С.116-124.

29. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В 3 ч. 4.II. М.: Физматгиз, 1963. 727 с.

30. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

31. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. В 2 ч. 4.1. М.: Высшая школа, 1980. 495 с.

32. Курант Р., Фридрихе К.О. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Иностр. лит-ра, 1950. 420 с.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

34. Малоземов В.Н., Омельченко А.В., Усков В.Н. О минимизации потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.6. 1998. С.1015-1021.

35. Медведев А.Е., Фомин В.М. Приближенно-аналитический расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале //ПМТФ. 1998. Т.39. №3. С.52-58.

36. Мельников Д.А. Отражение скачков уплотнения от оси симметрии //Изв. АН СССР. ОТН. Сер. Механика и машиностроение. 1962. №3. С.24-30.

37. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. 368 с.

38. Омельченко А.В., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Изв. РАН. МЖГ. 1995. №6. С. 118-126.

39. Омельченко А.В., У сков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы при ограничениях на суммарный угол поворота потока //Изв. РАН. МЖГ. 1996. №4. С.142-150.

40. Омельченко А.В., У сков В.Н. Экстремальная система "волна разрежения скачок уплотнения" в стационарном потоке газа//ПМТФ. 1997. Т.38. №3. С.59-68.

41. Омельченко А.В., У сков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем /ЯТМТФ. 1997. Т.38. №5. С.29-35.

42. Омельченко А.В., Усков В.Н. Максимальные углы поворота потока в ударно-волновых системах //Изв. РАН. МЖГ. 1998. №3. С.148-156.

43. Омельченко А.В., Усков В.Н. Оптимальные догоняющие скачки уплотнения с ограничениями на суммарный угол поворота потока //ПМТФ. 1999. Т.40. №4. С.99-108.

44. Омельченко А.В., Чернышов М.В. Нелинейная оптимизация крыла в сверхзвуковом потоке //XXIII Гагаринские чтения: Тез. докл. молодежной научной конференции. М.: Изд-во РГТУ-МАТИ, 1997. 4.4. С.18-19.

45. Петров Г.И. Аэромеханика больших скоростей и космические исследования: Избр. труды. М.: Наука, 1992. 306 с.

46. Пирумов У.Г. Аналитическое исследование плоского сверхзвукового изоэнтропи-ческого течения в канале постоянного сечения и в примыкающем сопле Лаваля с угловой точкой. М.: Изд-во МАИ, 1992. 60 с.

47. Пирумов У.Г. Аналитическое исследование сверхзвукового изоэнтропического течения в канале постоянного сечения и в примыкающем сопле Лаваля. Сравнение с численными и экспериментальными результатами //Изв. РАН. МЖГ. 1994. №4. С.158-167.

48. Полачек X., Зигер Р.И. Взаимодействие ударных волн //Основы газовой динамики. Под ред. Г.Эммонса. М.:Иностр. лит-ра, 1963. 702 с.

49. Росляков Г.С. Взаимодействие плоских скачков одного направления //Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1965. С.28-51.

50. Росляков Г.С., Старых A.JL, Усков В.Н. Интерференция стационарных скачков уплотнения одного направления //Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №4. С.143-152.

51. Русанов В.В. Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. М.: Ин-т прикл. матем. АН СССР им. М.В.Келдыша, 1973. 18 с.

52. Сверхзвуковые струи идеального газа /Г.И.Аверенкова, Э.А.Ашратов, Т.Г.Волконская и др. 4.2. М.: Изд-во МГУ, 1971. 170 с.

53. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

54. Седов Л.И., Черный Г.Г. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах //Теоретическая гидромеханика. 1954. №12. Вып.4. С.27-45.

55. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике /Глазнев В.Н., Запрягаев В .И., Усков В.Н. и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 200 с.

56. Тао Ган. Тройные конфигурации скачков уплотнения в неравномерных сверхзвуковых потоках. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. СПб: БГТУ "Военмех", 2000. 18 с.

57. Теория оптимальных аэродинамических форм /Под ред. А.Миеле. М.: Мир, 1969. 508 с.

58. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

59. Усков В.Н. Ударные волны и их взаимодействие. Л.: Изд-во ЛМИ, 1980. 90 с.

60. Усков В.Н., Цымбалова Е.Н. Скачки уплотнения в течении со сдвигом //Межвуз. сб. /Ленингр. ин-т авиац. приборостр. Вып.173. Специальные вопросы аэрогазодинамики летательных аппаратов. Л., 1984. С. 104-111.

61. Усков В.Н., Чернышов М.В. Взаимодействие волны разрежения с различными поверхностями //Вторая Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях: Тезисы докладов. М.: Изд-во МАИ, 1998. С.163.

62. Усков В.Н., Чернышов М.В. Теоретический анализ аэродинамических коэффициентов многоугольных профилей в сверхзвуковом потоке //Механика и процессы управления: Труды XXXI Уральского семинара. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С.187-191.

63. Усков В.Н., Чернышов М.В. Особые и оптимальные свойства стационарных ма-ховских конфигураций //Известия ТулГУ. Сер. Проблемы специального машиностроения. Тула, 2001. Вып.4.4.1. С.216-220.

64. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 463 с.

65. Хейз У.Д. Основы теории газодинамических разрывов //Сб. статей "Основы газовой динамики". Под ред. Г.Эммонса. М. .Иностр. лит-ра, 1963. 702 с.

66. Хейз У .Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Иностр. лит-ра, 1950. 426 с.

67. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1980. 560 с.

68. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

69. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

70. Чернышев М.В. Интерференция газодинамических разрывов с приходящими изо-энтропными волнами //XXV Гагаринские чтения: Тез. докл. Международной молодежной научной конференции. М.: Изд-во «ЛАТМЭС», 1999. Т.1. С.177-178.

71. Чернышов М.В. Теоретический анализ ударно-волновых систем на пластине со щитком в сверхзвуковом потоке //Вестник молодых ученых. Сер. Прикладная математика и механика. 2000. Вып.З. №2. С.105-110.

72. Честер У. Диффракция и отражение ударных волн //Сб. переводов "Механика". 1956. №3. С.17-37.

73. Чжен П. Отрывные течения. В 3 т. T.I. М.: Мир, 1972. 300 с.

74. Швец А.И. Аэродинамика сверхзвуковых форм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 208 с.

75. Швец А.И. Сверхзвуковые летательные аппараты. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 240 с.

76. Щепановский В.А. Газодинамическое конструирование. Новосибирск: Наука, 1991. 200 с.

77. Azevedo D.J., Liu C.S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows //AIAA Journal. 1993. Vol.31. №1. Pp.83-90.

78. Bertin J.J., Smith M.L. Aerodynamics for engineers. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1979.410 pp.

79. Bleakney W., Taub A.H. Interaction of shock waves //Review of modern physics. 1949. Vol.21. Pp.548-605.

80. Chisnell R.F. The motion of a shock wave in a channel with applications to cylindrical and spherical shock waves //Journal of Fluid Mechanics. 1957. Vol.2. Pp.286-298.

81. Henderson L.F. On the confluence of three chock waves in a perfect gas //Aeron. Quart. 1964. Vol.15. Pp.181-197.

82. Henderson L.F. On a class of multishock interactions in a perfect gas //Aeron. Quart. 1966. Vol.17. Pp. 1-20.

83. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigid wall in the presence of a boundary layer //Journal of Fluid Mechanics. 1967. Vol.30. Part 4. P.699-712.

84. Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition of Mach reflection //Journal of Fluid Mechanics. 1975. Vol.68. Part 1. Pp.139-155.

85. Henderson L.F., Lozzi A. Further experiments on transition of Mach reflection //Journal of Fluid Mechanics. 1979. Vol.94. Part 3. Pp.541-559.

86. Hornung H.G. Regular and Mach reflection of shock waves //Annual Review of Fluid Mechanics. 1986. Vol.18. Pp.33-58.

87. Hornung H.G., Oertel H., Sandeman R.J. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation //Journal of Fluid Mechanics. 1979. Vol.90. Part 3. Pp.541-560.

88. Hornung H.G., Robinson M.I. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2: The steady-flow criterion //Journal of Fluid Mechanics. 1982. Vol.123. Part 1. Pp.155-164.

89. Ivanov M.S., Gimelstein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves //Physics of Fluids. 1995. Vol.7. №4. Pp.685-687.

90. Li H., Ben-Dor G. Oblique Shock Expansion Fan Interaction - Analytical Solution //AAIA Journal. 1996. V.34. №2. Pp.418-421.

91. Moeckel W.E. Interaction of oblique shock waves with regions of variable pressure, entropy, and energy. NACA TN 2725. 1952. 35 pp.

92. Pack D.C. The reflection and diffraction of shock waves //Journal of Fluid Mechanics. 1964. Vol.18. Part 4. Pp.549-576.

93. Russell D.A. Shock wave strengthening by area convergence //Journal of Fluid Mechanics. 1967. Vol.27. Pp.305-314.100. von Neumann J. Oblique reflection of shock waves //Collected Works. London: Pergamon Press, 1963. Vol.6. Pp.238-299.

94. Whitham G.B. A new approach to problems of shock dynamics. Part I. Two dimensional problems //Journal of Fluid Mechanics. 1957. Vol.2. Pp.146-171.