Взаимодействующие двумерные электроны в случайном потенциале на высоких уровнях Ландау тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

БУРМИСТРОВ Игорь Сергеевич

Взаимодействующие двумерные электроны в случайном потенциале на высоких уровнях Ландау

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка - 2004

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук

Баранов М. А.,

доктор физико-математических наук Фейгельман М.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Иорданский С. В.,

доктор физико-математических наук, Пудалов В. М.

Ведущая организация: Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится 24 июня 2004 года в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан мая 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Фальковский Л. А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Двумерные электронные структуры остаются в течение долгого времени объектом интенсивных исследований как экспериментальных, так и теоретических. Устойчивый интерес к двумерным электронным структурам обуславливается в значительной мере благодаря их разнообразному и эффективному применению в микроэлектронике [1]. К концу семидесятых годов казалось, что все явления в двумерных электронных структурах хорошо изучены с экспериментальной точки зрения и поняты теоретически [2]. Открытие в этой области принципиально нового фундаментального явления - квантового эффекта Холла, сначала целочисленного [3], за который К. фон Клитцингу была присуждена Нобелевская премия по физике в 1985 году [5], а затем и дробного [4], за который Р. Лафлин, X. Стормер и Д. Цуи получили в 1998 году Нобелевскую премию по физике [5, 7, 8], привело к интенсивному исследованию свойств двумерных электронных структур в сильных магнитных полях [9, 10].

В 1999 году было открыто явление сильной анизотропии магнитосопротив-ления в высококачественных двумерных электронных структурах при достаточно низких температурах и в относительно слабом магнитном поле [11, 12]. Оно

состоит в том, что сопротивления Н-хх и ^¡/у■ измеренные при факторах заполнения V = у, Т> У и темпеРатУРах ниже 100 тК могут отличаться на два порядка по величине. Позже было найдено, что кристаллические оси в гетероструктуре связаны с направлением осей мёиыпего и бблыного сопротивлений, а приложенное параллельно двумерному слою магнитное поле может взаимно поменять их [13, 14, 15, 16]. Активное экспериментальное исследование транспортных свойств в высококачественных двумерных электронных структурах при достаточно низких температурах и в относительно слабом магнитном поле продолжается до сих пор [17]. Обнаружение в 2002 году явления обращения в нуль магнитосопротивления в высококачественных двумерных электронных структурах, облучаемых миллиметроволновым излучением, в слабом магнитном поле [18, 19] показывает, что до сих пор двумерные электронные структуры, особенно в магнитном поле, остаются актуальным объектом для изучения.

Явления целочисленного и дробного квантового эффекта Холла - это проявление наличия как беспорядка (случайный потенциал), так и взаимодействия электронов между гпбпр /Тппгпг ирпып тгптттгм электрон-

РОС. НАЦИОНАЛЬНА*

библиотека

т

электронного взаимодействия на свойства двумерных электронов в слабом магнитном поле пренебрегалось. Создание последовательной теории, учитывающей наличие электрон-электронного взаимодействия, для случая слабого магнитного поля было начато в работах [20, 21, 22, 23], которые однако рассматривали двумерные электроны без случайного потенциала. Открытие явления сильной анизотропии магнитосопротивления двумерных электронов на высоких уровнях Ландау привело к пониманию важности электрон-электронного взаимодействия в этой ситуации. При этом только в нескольких работах были сделаны попытки учета наличия случайного потенциала [17]. Однако последовательная теория, описывающая систему двумерных электронов на высоких уровнях Ландау, которая бы учитывала как электрон-электронное взаимодействие, так и наличие беспорядка не была построена.

Целью работы являлось:

1. Создание эффективной теории для описания низкоэнергетической динамики взаимодействующих двумерных электронов в случайном потенциале и в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровней Ландау. В частности, вычисление эффективного взаимодействия между электронами на последнем из заполненных уровней Ландау.

2. Исследование влияния беспорядка на фазовую диаграмму взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле.

3. Вычисление тензора проводимости взаимодействующих двумерных электронов на последнем из заполненных уровне Ландау при половинном заполнении ниже температуры перехода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности.

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Построена теория, позволяющая описывать динамику взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в случайном потенциале и в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровней Ландау, через эффективное действие только для электронов на последнем из заполненных уровне Ландау. В рамках этой теории вычислены фактор, спектр и величина затухания спиновых возбуждений, а также исследована туннельная аномалия.

2. Вычислено разложение свободной энергии взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле и в случайном потенциале, по параметру порядка состояния волны зарядовой плотности. Найдена

фазовая диаграмма системы. Показано, что наличие случайного потенциала существенно ограничивает область существования состояний волны зарядовой плотности.

3. Показано, что существование однонаправленной волны зарядовой плотности на высоком уровне Ландау, заполненном на половину, приводит к анизотропии тензора проводимости. Получено, что ниже линии фазового перехода второго рода анизотропные поправки к тензору проводимости прямо пропорциональны отклонению от критической температуры. Также изучаются флуктуационные поправки к проводимости вблизи температуры фазового перехода.

Научная и практическая ценность. Полученные новые результаты и методы позволяют лучше понять физику взаимодействующих двумерных электронов в случайном потенциале на высоких уровнях Ландау и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований и анализа новых экспериментальных данных.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной летней школе по мезоскопической физике (Эриче, Италия, 2002), на Международной конференции по мезоскопической физике (Черноголовка, Россия, 2003), а также на научных семинарах Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, научная новизна исследований, а также сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Кратко описана структура диссертации.

В главе 1 строится эффективная теория для описания взаимодействующих двумерных электронов в присутствие случайного потенциала и в перпендикулярном магнитном поле. При этом предполагается, что

1. магнитное поле Н слабое, т.е электроны занимают N 1 уровней Ландау, при этом последний из занятых уровней заполнен частично;

2. число примесей ЛГ,тр так велико, что выполняется условие МШ1[,го/О 5/(27г^), где ¿о обозначает толщину двумерного электронного газа, Б толщину гетероструктуры в направлении перпендикулярном двумерному слою, £ - площадь двумерного электронного слоя, 1н = \)\[еЛ1 - магнитную длину (е - заряд электрона) 1 ;

3. случайный потенциал К]1Я(г) дельта-коррелирован, т.е. (1418(г)1^18(г )) = д6(г - г');

4. безразмерный параметр, характеризующий силу кулоновского взаимодействия между электронами, который в отсутствие магнитного поля имеет вид г8 = л/2е2/ (еьр), где е обозначает диэлектрическую проницаемость среды, ур скорость Ферми, удовлетворяет условию N 1 С г8 < 1;

5. ширина уровня Ландау 1/(2т) лежит в интервале

1/(2т) <С и>н, где и>н = еН/т - циклотронная частота, причем т - масса электрона.

При выполнении вышеперечисленных условий система может описываться только в терминах электронных состояний на частично заполненном Л/-ом уровне Ландау, но с экранированным электрон-электронным взаимодействием

ТГ , ч 2тге2_1 , 7Г

и^М) = —--2гу-> а = 1 ~ «177" I1)

* 1 + ^ С1 - ЯШ) Н

где ав = е/тле1 обозначает радиус Бора, Я,- = Vр/- циклотронный радиус, и ¿7о(х) ~ функцию Бесселя первого рода. Экранированное взаимодействие иж1(г) показано на Рис. 1. Как видно, наличие случайного потенциала уменьшает эффект экранирования по сравнению с чистым случаем, рассмот-

1 Заметим, что используется система единиц, в которой Л = 1, с = 1 и = 1.

1Л

-(у)-1-ОД

н

а

Рис. 1: Экранированное взаимодействие и^г) в единицах е2/а» как функция г/ав при значении параметра Яс/ац = 3. Для сравнения показана зависимость затравочного куло-новского взаимодействия (точечная линия).

ренным в работе [20]. Можно ожидать, что при примесном уширении уровня Ландау г-1 ~ и>н эффект экранирования пропадет, в связи с исчезновением смысла вообще говорить об отдельных уровнях Ландау.

Изучено влияние экранированного взаимодействия (1) между электронами на последнем из заполненных А^-ом уровне Ландау на обменное усиление д-фактора системы. Показано, что наличие случайного потенциала уменьшает эффект усиления по сравнению с чистым случаем, рассмотренным в работе [20], согласно следующему выражению

где до - это значение «/-фактора в отсутствие взаимодействия.

Также исследованно влияние экранированного взаимодействия (1) на спектр нейтральных возбуждений (спиновых волн) для фактора заполнения V — 2М + 1. В отличие от чистого случая [24, 25, 20], спектр спиновых волн ш = и(к) имеет действительную Езцг(к) и мнимую Гй'и^/с) части: ш(к) = Езцг(к) + Появление мнимой части Г,5и<'(^) связано с тем, что в присутствие случайного потенциала динамическая диэлектрическая проницаемость е(ц,и)), которая и учитывает эффект экранирования взаимодействия электронами с других уровней, имеет мнимую часть порядка (ш#т)-1. Это приводит к появлению конечного времени жизни спиновых волн. Физически оно связано с рассеянием спиновых волн на примесях.

На малых волновых векторах к11с 1 получается квадратичный закон

т

9еЯ — 90 Н--1п

ттл/ 2

5

(2)

>

кП

Рис. 2: Левый рисунок: Энергия ю^) спиновых волн при значениях параметров г„ = 0.2 и N = 5. Правый рисунок: Затухание Г,<цу(к) спиновых волн при тех же значениях параметров.

дисперсии для энергии спиновых волн

г8ин

Е3]г(к) = Яо^н +

ТТЛ

1 + -

г „а

уД У у/21

(кЯс)2,

(3)

а на достаточно больших волновых векторах 1 кЯ.с <С энергия

спиновых волн имеет осциллирующий характер

ЕМ® =

тсу/2

, 2\/2« , / , 1п —---1п 1 +

Г Мк) = -

л/2гькИса 1 зат!

апЛап(2и)//тд0)

+ ■

вт 2кЯ, 2 кЯг

О**")

На малых волновых векторах кЯс <С 1 затухание спиновых волн тоже квадратично

:(кЯс)2

(4)

24 Ит (у/2 + ту)2 а на достаточно больших волновых векторах 1 <С кПс затухание

почти не имеет дисперсии

Г ж(к) =

arctan(2 шнтдед)

7ГТ

1 ^г^гс«« 12ЛГ 2\/2(4А^)2

Зависимость действительной и мнимой частей энергии спиновых волн от волнового вектора к представлена на Рис. 2. Как видно из левого рисунка, наличие случайного потенциала уменьшает энергию спиновых волн, но качественно вид спектра не меняется.

В рамках подхода, предложенного Левитовым и Шитовым [26], рассмотрено туннелирование электрона на заполненный на половину высокий уровень

Рис. 3: Туннельный кондактанс С(У)/Со как функция от 1п У/У0 при значениях параметров г, = 0.2, N = 5 и (шнт)'1 = 0.2. Сплошная линия соответствует (5), а прерывистая построена без учета экранирования.

Ландау. Зависимость туннельного кондактанса от напряжения оказывается равной

/1 т г тл„,4\ 1

(5)

16ЛГ-г' где параметр 7 равен

7 = ехр (--— 1п

7г \ и>нт

-Ыгви)Нт

(6)

Наличие экспоненты в выражении (6) связано с учетом экранирования электрон-электронного взаимодействия. Характерная величина щели в туннельной плотности состояний е1/о определяется шириной уровня Ландау и тем меньше, чем больше N. Зависимость туннельного кондактанса от напряжения представлена на Рис. 3.

В главе 2 изучается фазовая диаграмма электронов на последнем из заполненных УУ-ом уровне Ландау. При этом, кроме предположений 1-5, требуется выполнение еще одного условия, что г6 Ы"1!2. Это условие эквивалентно тому, что радиус экранированного взаимодействия ав много меньше магнитной длины 1Н) что позволяет решать задачу в приближении Хартри-Фока [23].

Для изучения фазовой диаграммы аналитически вычислены разложения свободной энергии для состояний однонаправленной и треугольной волн зарядовой плотности по параметру порядка до четвертой степени включительно. Обращение в нуль коэффициента при квадратичном члене разложений Ландау соответствует неустойчивости однородного состояния, относительно

перехода в состояние волны зарядовой плотности, характризуемое волновым вектором <2о = Г()/Дг, где го и 2.4 - это первый нуль функции Бесселя ^о(х). Температура неустойчивости Т1ПЙ определяется решением уравнения

ную часть, ^дг - химический потенциал, отсчитываемый от положения Д^-ого уровня Ландау, а Тд соответствует температуре перехода при половинном заполнении г = 0) для чистого случая (1/т —> 0) [21]. В двух предельных случаях уравнение (7) решается аналитически,

Как видно, неустойчивость однородного состояния имеет место только, если ширина ТУ-ого уровня Ландау 1/2т меньше критического значения 1 /2тс(рк), которое зависит от химического потенциала ц^. Наибольшее значение \/тс{ры) достигается при /лдг = 0 и равно

Для случая заполненного на половину УУ-ого уровня Ландау (ддг = 0) переход из однородного состояния происходит в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности, причем температура перехода определяется уравнением (7) с цн = 0. На Рис. 4 показана фазовая диаграмма при половинном заполнении уровня Ландау. Проведено качественное сравнение с экспериментальными данными из работ [11] и [12]. В черных точках в эксперименте наблюдалась анизотропия в сопротивлении наблюдалась, а в серых нет. Для сравнения использовалось значение То = 0.008шя, а ширина уровня Ландау оценивалась как

где ф (г) это производная дигамма функции, Ые обозначает действитель-

(10)

где пе - это плотность электронного газа, а - подвижность электронов в отсутствие магнитного поля.

Также было проведено сравнение с численными результатами работы [27], в которой изучался вопрос об образовании состояния волны зарядовой плотности на уровне Ландау с N = 2 при половинном заполнении и нулевой температуре в присутствие дельта-коррелированного случайного потенциала. Авторами было численно найдено, что состояние волны зарядовой плотности переходит в однородное состояние при значении 1/2г = 0.12о>#. В диссертации для рассматриваемых ими параметров было получено, что переход должен происходить при 1/2т = 0.14шд. Как видно, имеется хорошее согласие с результатами численного счета.

При нулевой температуре аналитически можно исследовать область фазовой диаграммы вблизи половинного заполнения, т.е. когда ¡л^ То, и при почти критической ширине уровня Ландау 1 — 7г/8Тог <С 1. При фиксированном значении химического потенциала /лдг уменьшение ширины уровня Ландау приводит к переходу первого рода из однородного состояния в состояние треугольной волны зарядовой плотности, которое образуется с волновым вектором <3 = (г0 - 0.003/^/Г02при

^- = 1-0.45^, м*«Т0. (11)

При дальнейшем уменьшении ширины уровня Ландау происходит фазовый переход первого рода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности, когда

^ = 1-2.84|, <12>

Топология фазовой диаграммы при нулевой температуре показана на Рис. 4.

Представленные выше результаты получены в предположении о малости флуктуаций параметра порядка состояния волны зарядовой плотности. По мере приближения к линии фазового перехода второго рода (для простоты рассматриваем случай половинного заполнения /хдг = 0) флуктуации параметра порядка растут. В диссертации был развит подход, аналогичный предложенному Бразовским [28], для исследования влияния флуктуаций на линию фазового перехода. Было получено, что фазовый переход из однородного состояния в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности становится первого рода и происходит при более низкой температуре, которая определяется уравнением

Г.271 1 Т0 ~ 7г2 \ ' 2 + 4тгГт

АттТт

ЛГ

-2/3

(13)

Рис 4: Левый рисунок• Фазовая диаграмма при иц = 1/2. Линия фазового перехода получена из уравнения (7) и показана сплошной линией. Треугольники, ромбы, звездочки и квадраты - экспериментальные точки из работ [11] и [12]. В черных точках анизотропия в сопротивлении наблюдалась, а в серых нет Правый рисунок: Фазовая диаграмма при нулевой температуре около иц = 1/2. Сплошная линия соответствует спинодали (7), точечно-пунктирная линия - переходу из однородного состояния в треугольную волну зарядовой плотности, а пунктирная - переходу из нее в однонаправленную волну зарядовой плотности.

где член с функцией д{г) возникает из-за флуктуаций. Функция д(г) монотонно убывает от значения 0.46 при г = 0 до нуля при г —» оо. Поэтому можно написать следующее неравенство на величину сдвига 8Т температуры перехода за счет флуктуаций

^ < 0.46ЛГ2/3, N» 1, (14)

где равенство соответствует чистому случаю. Следовательно критическая область оказывается параметрически мала и разложение Ландау оправдано при N » 1.

Также получен критерий возможности существования однонаправленной волны зарядовой плотности. Как известно, существование одномерной периодической структуры в бесконечной двумерной системе не возможно [29]. В данном случае для системы, ограниченой размерами порядка Ь. состояние однонаправленной волны зарядовой плотности может существовать, если

г'-Ш*1' (15)

Функция в правой части неравенства монотонно возрастает от значения 0.55

до оо когда 1 /4тгТт меняется от нуля до бесконечности, поэтому условие (15) выполняется тем лучше, чем ниже температура и больше N.

В главе 3 вычисляется тензор проводимости на постоянном токе взаимодействующих электронов на заполненном на половину высоком уровне Ландау при температуре вблизи температуры фазового перехода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности.

Сначала изучается проводимость в состоянии однонаправленной волны зарядовой плотности без учета флуктуаций параметра порядка Д. В рамках разложения линейного отклика в ряд по параметру порядка найдено, что при Тс - Г С Тс тензор проводимости имеет вид

о хх ауу

2АГ , ы

=--47тN

7Г

К

1

4тг Та

1

4тг7>

совр ф]

А2, (16)

К = т 4тгЛГ 7 УХ I

Д2.

Здесь ф - это угол между направлением вектора С}0 однонаправленной волны зарядовой плотности и осью х. Функции Ь(г), Нхх{г), и Ьху(г) определены как

к(г) = 5 г'

з С (6, | +

[С (2' \ + г)}

2'

2г((2,± + г)

С(М + *)

(17)

Ку{г) =

ЯЫ

1т ф

1тф[- + {1-{)г

1

2 [С (2. \ + г)]

2>

Рис. 5: Левый рисунок: Графики функций /1(2), кхх(г) и Нху(г). Правый рисунок• Графики функций Н(г), Нхх(г) и Нху(г).

имеют следующее ассимптотическое поведение ( 4тг2 ,

1

3

2'

Ьхх(г) = <

Г 2

зг'

^12Ы + 3

г«1,

)

г » 1, 3^2(г„)

2/(1)

2^2(г0)

2< 1, 2> 1,

2« 1,

2 » 1,

(18)

и показаны на Рис. 5.

Выражения (16) составляют один из основных результатов этой главы. Как анизотропные, так и изотропные поправки оказываются пропорциональными (Тс — Т)/Тс, так как в теории Ландау параметр порядка Д а у/(Тс — Т)/Тс. Угловая зависимость проводимости ахх имеет минимум при ф = О, что соответствует вектору С50, направленному вдоль оси х. При этом модуляция плотности вдоль оси у отсутствует. Видно, что при ф — 0 проводимость охх (проводимость вдоль модуляции параметра порядка) меньше, чем проводимость ауу (проводимость поперек модуляции параметра порядка). Отметим, что при ф = 0 проводимости аху и аух становятся равными. Если же вектор С}0 направлен под углом ф = 7г/4 к оси х, то наоборот проводимости ахх и (Ууу равны из-за симметрии между осями хну. При этом различие в проводимостях аху аух достигает максимума. Также необходи-

мо отметить, что поправки к проводимости оказываются пропорциональны N также, как и проводимость однородного состояния [2]. Еще отметим, что изотропная поправка к проводимости аху содержит дополнительную малость шах{Тс, т~1}/шн по сравнению с остальными результатами.

При Т > Тс параметр порядка волны зарядовой плотности равен в среднем нулю (Д) = 0, но среднее значение его квадрата отлично от нуля (Д2) ф 0. Этот факт приводит к появлению поправки к тензору проводимости в однородном состоянии, благодаря наличию слабых корреляций, соответствующих состоянию волны зарядовой плотности. Те же флуктуации параметра порядка ниже Тс приводят к дополнительным поправкам к тензору проводимости состояния однонаправленной волны зарядовой плотности. Ниже предполагаем, что существует внутренняя анизотропия, которая фиксирует направление вектора Q0 в состоянии волны зарядовой плотности вдоль оси х. Экспериментальные исследования анизотропии, которая ответственна за выбор направления, вдоль которого образуется однонаправленная волна зарядовой плотности, были выполнены в ряде работ [13, 14, 15, 16]. Результат этих исследований можно объяснить, если предположить, что в потенциале Хартри-Фока появляется член пропорциональный cos 2ф. Типичное значение энергии анизотропии Еа на один электрон оказывается порядка 1 тпК, как показывает эксперимент [15].

Для удобства представления полученных результатов введем следующее обозначение

Г~Гс т>Т

rp 1 1 1С1

Тс-Т (19)

Т < Тс.

Тогда флуктуационные поправки к тензору проводимости как выше, так и ниже Тс, даются следующими выражениями

t =

Vt

(20)

Здесь параметр анизотропии г] = Ea/Tq, функции H(z), Hxx(z), и Hxy(z) определены как

^„.«MffiM (21)

\l\z) V7(«)

где

причем постоянная (3\ « 2.58. Функции Я(г), Нхх(г), и Нху(г) имеют следующее ассимптотическое поведение

т =

Hxx(z)

Hxy{z) =

2тг4 з

зж2'

V3

ч/3(1 +4^2(г0)) 1

и^Ы + з/з^'

г < 1, г » 1,

1,

-г » 1,

(23)

Ж

1

Зтг - 8Ji(r0)

z < 1, 2 » 1,

UV3v/J?MT3Ä'

и показаны на Рис. 5. Функции Fa(x) и Fj(x) определяются через полные

эллиптические интегралы первого и второго рода,

х

2 | 1 +- | K[iy/x) -

X

Fa{x) = -

7Г

1 + ^ K(iy/x) - *E(iy/x)

х < 1,

In 16е ж 1,

(24)

1,

ж< 1,

= -AT(tvS) = t 1

7Г I—— In 16a;, x 1,

.TVy/X

В отсутствие анизотропии (77 = 0) флуктуационные поправки к тензору

(flue)

проводимости становятся изотропными, т.е. пропадает различие между ахх и Выражения (24) расходятся при t —> 0. Это означает, что эти ре-

зультаты не применимы вблизи Тс. Предел применимости, определяющийся требованием малости флуктуационной проводимости по сравнению с проводимостью однородного состояния может быть записан как

|ТС-Т|

1»

тс

»AT

-2

(25)

Temperature, (T-T)/Tt

Рис. 6: Зависимость анизотропной части проводимости (ст — ахх)/2<т£' при значениях параметров 1/4жТст = 0.24, т\ = 0.01, N = 2п ст® = Прерывистая линия показывает

результат (16), который не учитывает флуктуадионные поправки.

Отмстим, что флуктуационные поправки (24) к тензору проводимости аналогичны поправкам к проводимости нормального металла из-за сверхпроводящего спаривания [30].

Для анализа анизотропии тензора проводимости удобно рассматривать только анизотропную часть т.е. величину (ауу — ахх)ж/АЫ. Согласно результату (16), полученному без учета флуктуаций параметра порядка, ниже температуры Тс фазового перехода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности появляется анизотропная часть тензора проводимости, которая при (Тс — Т)/Тс -С 1 пропорциональна отклонению температуры от критической, Тс — Т. Как показано на Рис. 6, это приводит к излому в температурной зависимости анизотропной части проводимости в точке перехода Т = Тс. Учет флуктуаций параметра порядка, как выше, так и ниже Тг, приводит к сглаживанию излома (см. Рис. 6). Качественно температурная зависимость анизотропной части тензора проводимости, полученная в диссертации, соответствует результатам экспериментов [11, 12].

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты

Для системы взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровней Ландау, и в присутствие случайного потенциала:

1. Построена пизкоэнергетическая теория, позволяющая описывать динамику системы, с помощью эффективного действия для электронов, находящихся на последнем из заполненных уровне Ландау. Это становится возможно благодаря частичному экранированию кулоновского взаимодействия между электронами на последнем из заполненных уровне Ландау электронами с полностью заполненных уровней. Показано, что наличие случайного потенциала уменьшает эффект экранирования. В рамках этой теории вычислен ^-фактор системы, как функции магнитного поля, ширины уровня Ландау и параметра взаимодействия г8. Исследование влияние случайного потенциала па спектр спиновых волн. Показано, что его наличие уменьшает энергию спиновых волн, но качественный вид спектра не меняется. Найдено, что в присутствие случайного потенциала спиновые волны имеют затухание, причем в широком диапазоне значений волнового вектора затухание оказывается порядка Также исследование туннелирование электрона в двумерный электронный газ. Получено, что щель в туннельной плотности состояний пропорциональна /Ерт^2.

2. Исследован вопрос об образовании состояния волны зарядовой плотности на последнем из заполненных уровней Ландау, с учетом наличия случайного потенциала. Вычислено разложение свободной энергии по параметру порядка состояния волны зарядовой плотности. Найдена фазовая диаграмма системы. Оказалось, что вблизи половинного заполнения уровня Ландау выгодно состояние однонаправленной волны зарядовой плотности, а вдалеке состояние треугольной волны зарядовой плотности. Показано, что наличие случайного потенциала существенно ограничивает область возможного существования состояний волны зарядовой плотности: ширина уровня Ландау должна быть меньше, чем 1/2тс = 4То/тг. Также показано, что наличие случайного потенциала может приводить к изменению периода волны зарядовой плотности, по-сравнению с чистым случаем. Исследованно влияние флукту-аций параметра порядка в рамках одномодового приближения (слабая кристаллизация), исходя из чего, оценена критическая область вблизи фазового перехода. Она оказывается малой в меру малости величины ДГ^2/3 <С 1.

3. Показано, что существование однонаправленной волны зарядовой плотности на высоком уровне Ландау, заполненном на половину, приводит к анизотропии тензора проводимости. Вблизи линии фазового перехода, Тс — Т Тс, вычислен тензор проводимости в состоянии однонаправленной волны зарядовой плотности при половинном заполнении уровня Ландау. Оказалось, что анизотропная часть тензора проводимости пропорциональна отклонению температуры от критической. Изотропная часть тензора проводимости в состоянии однонаправленной волны зарядовой плотности, как оказывается, отличается от тензора проводимости в однородном состоянии членами, пропорциональными Тс — Т. В непосредственной близости от линии фазового перехода (1 ;§> |Т — Тс\/Тс 7У~2) электронные корреляции, ответственные за образование состояния однонаправленной волны зарядовой плотности ниже Тс, приводят к флуктуационным поправкам для тензора проводимости как состояния однонаправленной волны зарядовой плотности, так и однородного состояния. Эти флуктуационные поправки оказываются не аналитическими функциями Тс — Т. Эти флуктуационные поправки сглаживают излом при Т = Тс, который получается без их учета. Полученная температурная зависимость тензора проводимости качественно согласуется с экспериментальной.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. I.S. Burmistrov, Two-dimensional electron liquid with disorder in a weak magnetic field, ЖЭТФ 122, 150 - 163 (2002).

2. I.S. Burmistrov and M.A. Baranov, Mean-field phase diagram of two-dimensional electrons with disorder in a weak magnetic field, Phys. Rev. В 68, 155328-1 - 155328-12 (2003).

3. I.S. Burmistrov, The anisotropic conductivity of two-dimensional electrons on half-filled high Landau level, Письма в ЖЭТФ, 79, 212 - 217 (2004).

Цитируемая литература:

[1) Z.I. Alferov, Rev. Mod. Phys., 73, 767 (2001).

[2] T. Ando, A.B. Fowler, and F. Stern, Rev. Mod Phys. 54, 437 (1982).

|3] K von Klitzing, G Dorda, and M Pepper, Phys. Rev. Lett 45, 494 (1980).

[4] D.C. TW, H.L. Stormer, and A.C. Gossard , Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

[5] K. von Klitzing, Rev. Mod. Phys. 58, 519 (1986).

[6] R.B. Laughlin, Rev Mod. Phys. 71, 863 (1999).

[7] H.L. Stormer, Rev. Mod. Phys. 71, 875 (1999).

[8] D.C. Tsui, Rev. Mod. Phys. 71, 891 (1999).

[9] The Quantum Hall effect, ed. by R.E. Prange and S.M. Girvin, Springer-Verlag, Berlin, (1987).

[10] T.Chakraborty and P. Pietiläinen, The Fractional Quantum Hall Effect, Springer-Verlag, Berlin, (1988).

[11] M.P.Lilly, K.B. Cooper, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. Lett.

82, 394 (1999).

[12] R.R. Du, D.C. Tsui, H.L. Stormer, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Solid State Commun. 109, 389 (1999).

[13] W Pan, R.R. Du, H L. Stormer, D.C Tsui, L.N. Pfeiffer, K W Baldwin and K.W. West, Phys. Rev. Lett. 83, 820 (1999).

[14] MP Lilly, KB Cooper, JP Eisenstein, LN Pfeiffer, and KW. West, Phys Rev Lett.

83, 824 (1999).

[15] K.B. Cooper, M.P.Lilly, J.P. Eisenstein, T Jungwirth, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Solid State Commun. 119, 89 (2001).

[16] K.B. Cooper, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Phys. Rev. Lett. 92, 026086 (2001).

[17] M.M. Fogler in High magnetic fields: Applications in condensed matter physics and spectroscopy, ed. by C. Berthier, L.-P. Levy, and G. Martinez, Springer-Verlag, Berlin, (2002).

[18] R.G Mani, J.H. Smet, K. von Klitzing, V. Narayanamurti, W.B. Johnson, V Umansky, Nature 420, 646 (2002).

[19] M.A Zudov, R R Du, L.N Pfeiffer, and K W. West Phys Rev Lett 90, 046807 (2003)

[20] I.L. Alciner and L I. Glazman, Phys. Rev. B 52, 11296 (1995)

[21] A.A. Koulakov, M.M. Fogler, and B.I. Shklovskii, Phys. Rev. Lett. 76, 499 (1996).

[22] M.M. Fogler, A A. Koulakov, and B.I. Shklovskii, Phys. Rev. B. 54, 1853 (1996).

[23] R. Moessncr and J.T. Chalkcr, Phys. Rev. В 54, 5006 (1996).

[24] Ю. А Бычков, С В. Иорданский, и Г М. Элиашберг, Письма в ЖЭТФ 33, 152 (1981).

[25] С. Kallin and B.I. Halpcrin, Phys. Rev. В 30, 5655 (1984)

[26] L.S. Levitov and A.V. Shytov, in: Correlated fermions and transport in mesoscoptc systems, Edition Frontieres, (1996).

|27] D.N. Sheng, Z. Wang, and B. Friedman, Phys. Rev. В 66, 161103 (2002).

[28] C.A. Бразовский, ЖЭТФ 68, 175 (1975).

[29] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, том V, Наука, Москва (1976). ]30] L.G. Aslarnasov and A.I. Larkin, Phys. Lett. A 26, 238 (1968).

»

f^ ' Л -W

* t" ö ii

РНБ Русский фонд

2005-4 2853

Введение

1 Неупорядоченная двумерная электронная жидкость в слабом магнитном поле

1.1 Введение.

1.2 Вывод эффективного действия.

1.2.1 Введение.

1.2.2 Действие.

1.2.3 Плазмонное поле и усреднение по случайному потенциалу

1.2.4 Выделение N-ого уровня Ландау.

1.2.5 Перевальное решение для поля Q в отсутствие плазмон-ного поля А" (г)

1.2.6 Сдвиг перевального решения плазмонным полем А"п(г)

1.2.7 Эффективное действие

1.3 Экранированное взаимодействие, химический и термодинамический потенциалы.

1.3.1 Экранированное взаимодействие.

1.3.2 Химический и термодинамический потенциалы.

1.3.3 Ограничение на ширину уровня Ландау.

1.4 Эффективный ^-фактор, спектр и время жизни спиновых волн

1.4.1 Эффективный ^-фактор.

1.4.2 Спектр и время жизни спиновых волн.

1.5 Туннелирование на высокий уровень Ландау, заполненный на половину

2.2 Свободная энергия состояния волны зарядовой плотности . 49

2.2.1 Введение.49

2.2.2 Приближение Хартри-Фока.51

2.2.3 Усреднение по случайному потенциалу .52 щ 2.2.4 Термодинамический потенциал.53

2.2.5 Свободная энергия.57

2.2.6 Свободная энергия состояний волны зарядовой плотности 58

2.3 Фазовая диаграмма в приближении среднего поля.60

2.3.1 Линия неустойчивости (спинодаль).60 4

2.3.2 Заполненный на половину уровень Ландау (ун — 1/2) . . 62

2.3.3 Фазовая диаграмма при нулевой температуре.64

2.4 Слабая кристаллизация.67

2.5 Обсуждение полученных результатов.72

2.5.1 Сравнение с экспериментом.72

2.5.2 Сравнение с численными расчетами.74

2.6 Заключение.

2.7 Приложение: Вектор неустойчивости

75 75

3 Анизотропная проводимость двумерных электронов на высо ком уровне Ландау, заполненном на половину 77

3.1 Введение.77

3.2 Трехуровневая модель.79

3.2.1 Введение.79

3.2.2 Эффективное действие для трехуровневой модели . 80 ш

3.2.3 Приближение Хартри-Фока.81

3.2.4 Усреднение по случайному потенциалу .83

3.2.5 Термодинамический потенциал. Вклад второго порядка . 85

3.2.6 Трехуровневая модель.88

3.3 Проводимость состояния однонаправленной волны зарядовой плотности при Тс - Т < Тс.89

3.3.1 Тензор проводимости сгаь.89

3.3.2 Анизотропная часть тензора проводимости .93

3.3.3 Изотропная часть тензора проводимости а.94 ц 3.4 Флуктуационная проводимость.96

3.4.1 Флуктуации параметра порядка с учетом анизотропии . 96

3.4.2 Флуктуационные поправки к анизотропной части тензора проводимости .98

3.4.3 Флуктуационные поправки к изотропной части тензора проводимости .99

3.4.4 Пределы применимости результатов (3.70), (3.75) и (3.76)101

3.5 Обсуждение полученных результатов.101

3.6 Заключение.105

3.7 Приложение: Вычисление характерной температуры Ti.106

3.8 Приложение: Вычисление величин IplP2p3P4(Qo).107

Заключение

109

113

114 #

Публикации автора по теме диссертации % Литература Введение

Актуальность темы.

Двумерные электронные структуры остаются в течение долгого времени у объектом интенсивных исследований как экспериментальных, так и теоретических. Устойчивый интерес к двумерным электронным структурам обуславливается в значительной мере благодаря их разнообразному и эффективному применению в микроэлектронике [1]. К концу семидесятых годов казалось, что все явления в двумерных электронных структурах хорошо изучены с экспериментальной точки зрения и поняты теоретически [2]. Однако вскоре был открыт целочисленный квантовый эффект Холла [3], за который в 1985 году К. фон Клитцингу была присуждена Нобелевская премия по физике [5]. Позже был измерен дробный квантовый эффект Холла [4], за который P. Jla-флин, X. Стормер и Д. Цуи получили в 1998 году Нобелевскую премию по физике [5, 7, 8]. Открытие этих новых фундаментальных явлений квантового эффекта Холла, целочисленного и дробного, - привело к интенсивному исследованию свойств двумерных электронных структур в сильных магнитных полях [9, 10].

В 1999 году было открыто явление сильной анизотропии магнитосопротивления в высококачественных двумерных электронных структурах при достаточно низких температурах и в относительно слабом магнитном поле [11, 12]. Оно состоит в том, что сопротивления Rxx и Ryy, измеренные при факторах заполнения v = у и температурах ниже 100тК, могут отличаться друг от друга на два порядка по величине. Позже было найдено, что направления осей меньшего и большого сопротивлений связаны с кристаллическими осями в гетероструктуре, причем приложенное параллельно двумерному слою магнитное поле может взаимно поменять оси меньшего и % большого сопротивлений [13, 14, 15, 16]. Активное экспериментальное исследование транспортных свойств в высококачественных двумерных электронных структурах при достаточно низких температурах и в относительно слабом магнитном поле продолжается до сих пор [17]. Обнаружение в 2002 году явления обращения в нуль магнитосопротивления в высококачественных дву-^ мерных электронных структурах, облучаемых миллиметроволновым излучением, в слабом магнитном поле [18, 19] показывает, что до сих пор двумерные электронные структуры, особенно в магнитном поле, остаются актуальным объектом для изучения.

Явления целочисленного и дробного квантового эффекта Холла - это проявление наличия как беспорядка (случайный потенциал), так и взаимодействия электронов между собой. Долгое время влиянием электрон-электронного взаимодействия на свойства двумерных электронов в слабом магнитном поле пренебрегал ось. Создание последовательной теории, учитывающей наличие электрон-электронного взаимодействия, для случая слабого магнитного поля было начато в работах [20, 21, 22, 23], которые однако рассматривали двумерные электроны без случайного потенциала. Открытие явления сильной анизотропии магнитосопротивления двумерных электронов на высоких уровнях Ландау привело к пониманию важности электрон

• электронного взаимодействия в этой ситуации. При этом только в нескольких работах были сделаны попытки учета наличия случайного потенциала [17]. Однако последовательная теория, описывающая систему двумерных электронов на высоких уровнях Ландау, которая бы учитывала как электрон-электронное взаимодействие, так и наличие беспорядка не была построена.

Целью работы являлось:

1. Создание эффективной теории для описания низкоэнергетической динамики взаимодействующих двумерных электронов в случайном потенциале и в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровне Ландау. В частности, вычисление эффективного взаимодействия между электронами на последнем из заполненных уровней Ландау.

2. Исследование влияния беспорядка на фазовую диаграмму взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле.

3. Вычисление тензора проводимости взаимодействующих двумерных электронов на последнем из заполненных уровне Ландау при половинном заполнении ниже температуры перехода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности.

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Построена теория, позволяющая описывать динамику взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в случайном потенциале и в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровней Ландау, через эффективное действие только для электронов на последнем из заполненных уровне Ландау. В рамках этой теории вычислены ^-фактор, спектр и величина затухания спиновых возбуждений, а также исследована туннельная аномалия.

2. Вычислено разложение свободной энергии взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле и в случайном потенциале, по параметру порядка состояния волны зарядовой плотности. Найдена фазовая диаграмма системы. Показано, что наличие случайного потенциала существенно ограничивает область существования состояний волны зарядовой плотности.

3. Показано, что существование однонаправленной волны зарядовой плотности на высоком уровне Ландау, заполненном на половину, приводит

13 к анизотропии тензора проводимости. В рамках разложения по параметру порядка найдено, что анизотропная часть тензора проводимости появляется сразу при Т = Тс и пропорциональна отклонению температуры от критической. Учет флуктуаций параметра порядка приводит к размытию этого резкого перехода, т.е. тензор проводимости становится Ш анизотропным еще при температурах выше Тс.

Структура диссертации такова:

В главе 1 строится теория для описания взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в случайном потенциале и в слабом магнитном noil ле, в терминах эффективной теории для электронов на последнем из заполненных уровней Ландау, но с перенормированными взаимодействием и химическим потенциалом. Вычисляются поправки к ^-фактору и спектру спиновых возбуждений из-за уширения уровней Ландау случайным потенциалом. ^ Показывается, что рассеяние на примесях приводит к появлению конечного времени жизни спиновых возбуждений. Также обсуждается туннельная аномалия.

В главе 2 предложен метод аналитического вычисления разложения свободной энергии взаимодействующих двумерных электронов в случайном по* тенциале и в слабом магнитном поле по параметру порядка состояния волны зарядовой плотности. Выписано разложение Ландау до четвертого порядка, с помощью которого исследована фазовая диаграмма системы. Показывается, что если ширина уровня Ландау становится больше определенного предельного значения, которое тем не менее гораздо меньше расстояния между уровнями, то состояние волны зарядовой плотности образоваться не может даже при нулевой температуре.

В главе 3 вычисляется тензор проводимости взаимодействующих двумерных электронов на высоком уровне Ландау, заполненном на половину. Показывается, что ниже температуры фазового перехода второго рода в состояние однонаправленной волны зарядовой плотности тензор проводимости становится анизотропным, причем вблизи линии фазового перехода анизотропная часть оказывается пропорциональной отклонению температуры от критической. Также изучаются флуктуационные поправки к проводимости вблизи температуры фазового перехода.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Для системы взаимодействующих двумерных электронов, находящихся в слабом магнитном поле, когда заполнено много уровней Ландау, и в присутствии случайного потенциала:

1. Построена низкоэнергитическая теория, позволяющая описывать динамику системы, с помощью эффективного действия для электронов, находящихся на последнем из заполненных уровне Ландау. Это становится возможно благодаря частичному экранированию кулоновского взаимодействия между электронами на последнем из заполненных уровне Ландау электронами с полностью заполненных уровней. Показано, что наличие случайного потенциала уменьшает эффект экранирования. В рамках этой теории вычислен ^-фактор системы, как функции магнитного поля, ширины уровня Ландау и параметра взаимодействия rs. Исследование влияние случайного потенциала на спектр спиновых волн. Показано, что его наличие уменьшает энергию спиновых волн, но качественный вид спектра не меняется. Найдено, что в присутствии случайного потенциала спиновые волны имеют затухание, причем в широком диапазоне значений волнового вектора затухание оказывается порядка Также исследованно туннелирование электрона на высокий уровень Ландау, заполненный на половину. Получено, что в этом случае щель в туннельной плотности состояний пропорциональна

42/Ерт}/2.

2. Исследован вопрос об образовании состояния волны зарядовой плотности на последнем из заполненных уровне Ландау, с учетом наличия случайного потенциала. Вычислено разложение свободной энергии по параметру порядка состояния волны зарядовой плотности. Найдена фазовая диаграмма системы. Оказалось, что вблизи половинного заполнения уровня Ландау выгодно состояние однонаправленной волны зарядовой плотности, а вдалеке состояние треугольной волны зарядовой плотности. Показано, что наличие случайного потенциала существенно ограничивает область возможного существования состояний волны зарядовой плотности: ширина уровня Ландау должна быть меньше, чем 1/2тс — ATq/ж. Также показано, что наличие случайного потенциала может приводить к изменению периода волны зарядовой плотности, по-сравнению с чистым случаем. Исследованно влияние флуктуаций параметра порядка в рамках одномодового приближения (слабая кристаллизация), исходя из чего, оценена критическая область вблизи фазового перехода. Она оказывается малой в меру малости величины TV-2/3 <С 1.

3. Показано, что существование однонаправленной волны зарядовой плотности на высоком уровне Ландау, заполненном на половину, приводит к анизотропии тензора проводимости. Вблизи линии фазового перехода, Тс — Т «С Тс, вычислен тензор проводимости в состоянии однонаправленной волны зарядовой плотности при половинном заполнении уровня Ландау. Оказалось, что анизотропная часть тензора проводимости пропорциональна отклонению температуры от критической. Изотропная часть тензора проводимости в состоянии однонаправленной волны зарядовой плотности, как оказывается, отличается от тензора проводимости в однородном состоянии членами, пропорциональными Тс — Т. В непосредственной близости от Тс, 1 |Тс — Т\/Тс N~2, флуктуации параметра порядка приводят к флуктуационным поправкам для тензора проводимости, которые являются не аналитическими функциями Тс — Т. Эти флуктуационные поправки сглаживают излом при Т — Тс, который получается без их учета. Полученная температурная зависимость тензора проводимости качественно согласуется с экспериментальной.

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям: МА. Баранову за научное руководство, подробное обсуждение многих вопросов, связанных с темой диссертации, и постоянное внимание к работе; М.В. Фейгельману за научное руководство, внимание к работе, ценные советы и поддержку. Автор искренне благодарен также своим соавторам — М.А. Скворцову, Н.М. Щелкачеву, и, особенно, А.М.М. Прауискену — за совместную работу и неоднократные полезные обсуждения. Автор также благодарен А.Г. Абанову, П.Б. Вигману, Л.И. Глазману, П.Д. Григорьеву, A.M. Дюгаеву, А.С. Иоселе-вичу, С.В. Иорданскому, А. Каменеву, А.Б. Кашубе, С.Е. Коршунову, Д.С. Любшину, П.М. Островскому, Д.И. Подольскому, К.А. Сарайкину, A.M. Фин-келыптейну, Я.В. Фоминову и Д.Е. Хмельницкому за полезные обсуждения различных вопросов. Отдельная благодарность Г.М. Элиашбергу за указание на конечность времени жизни спиновых волн (Раз.1.4.2). Автор также благодарен всем сотрудникам Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау и Института теоретической физики университета г. Амстердам, ответы которых на различные вопросы оказали большую помощь в работе.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований Na03-02-16677 и Na 03-02-168-64а; программы «Квантовая макрофизика» Российской академии наук; Министерства промышленности, науки и технологий Российской Федерации; фонда "Династия"; Нидерландского научного фонда FOM; фонда Landau Scholarship от Forschungszentrum Jtilich (Германия).

Публикации автора по теме диссертации

1. I.S. Burmistrov, Two-dimensional electron liquid with disorder in a weak magnetic field, ЖЭТФ 122, 150 - 163 (2002).

2. I.S. Burmistrov and M.A. Baranov, Mean-field phase diagram of two-dimensional electrons with disorder in a weak magnetic field, Phys. Rev. В 68, 155328-1 - 155328-12 (2003).

3. I.S. Burmistrov, The anisotropic conductivity of two-dimensional electrons on half-filled high Landau level, Письма в ЖЭТФ, 79, 212 - 217 (2004).

Заключение

1. Z.1. Alferov, Nobel lecture: The double het его structure concept and its applications in physics, electronics and technology, Rev. Mod. Phys., 73, 767(2001).

2. T. Ando, A.B. Fowler, and F. Stern, Electronic properties of two-dimensional systems, Rev. Mod. Phys. 54, 437 (1982).

3. K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, New method for high-accuracy Ъ determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

4. D.C. Tsui, H.L. Stormer, and A.C. Gossard , Two-dimensional magneto-transport in the extreme quantum limit, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

5. K. von Klitzing, Nobel lecture: The quantized Hall effect, Rev. Mod. Phys.58, 519 (1986).

6. R.B. Laughlin, Nobel lecture: Fractional quantization, Rev. Mod. Phys. 71, 863 (1999).

7. H.L. Stormer, Nobel lecture: The fractional quantum Hall effect, Rev. Mod. Phys. 71, 875 (1999).

8. D.C. Tsui, Nobel lecture: Interplay of disorder and interaction in two-dimensional electron gas in intense magentic field, Rev. Mod. Phys. 71, 891 (1999).

9. The Quantum Hall effect, ed. by R.E. Prange and S.M. Girvin, Springer-Verlag, Berlin, (1987).

10. T.Chakraborty and P. Pietilainen, The Fractional Quantum Hall Effect, Springer-Verlag, Berlin, (1988).

11. M.P.Lilly, K.B. Cooper, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Evidence for an anisotropic state of two-dimensional electrons in high Landau levels, Phys. Rev. Lett. 82, 394 (1999).

12. R.R. Du, D.C. Tsui, H.L. Stormer, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Strongly anisotropic transport in higher two-dimensional Landau levels, Solid State Commun. 109, 389 (1999).

13. W. Pan, R.R. Du, H.L. Stormer, D.C. Tsui, L.N. Pfeiffer, K.W. Baldwin and K.W. West, Strongly anisotropic electric transport at Landau level filling factor v = 9/2 and и = 5/2 under a tilted magnetic field, Phys. Rev. Lett. 83, 820 (1999).

14. M.P.Lilly, K.B. Cooper, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Anisotropic states of two-dimensional electron systems in high Landau levels: Effect of an in-plane magnetic field, Phys. Rev. Lett. 83, 824 (1999).

15. K.B. Cooper, M.P.Lilly, J.P. Eisenstein, T. Jungwirth, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, An investigation of orientational symmetry-breaking mechanisms in high Landau levels, Solid State Commun. 119, 89 (2001).

16. K.B. Cooper, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Metastable resistance anisotropy orientation of two-dimensional electrons in high Landau levels, Phys. Rev. Lett. 92, 026086 (2004).

17. M.M. Fogler in High magnetic fields: Applications in condensed matter physics and spectroscopy, ed. by C. Berthier, L.-P. Levy, and G. Martinez, Springer-Verlag, Berlin, (2002).

18. R.G. Mani, J.H. Smet, K. von Klitzing, V. Narayanamurti, W.B. Johnson, V. Umansky, Zero-resistance states induced by electromagnetic-wave excitation in GaAs/AlGaAs heterostructures, Nature 420, 646 (2002).

19. M.A. Zudov, R.R. Du, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Evidence for a new dissipationless effect in 2D electronic transport, Phys. Rev. Lett. 90, 046807 (2003).

20. I.L. Aleiner and L.I. Glazman, Two-dimensional electron liquid in a weak magnetic field, Phys. Rev. В 52, 11296 (1995).

21. A.A. Koulakov, M.M. Fogler, and B.I. Shklovskii, Charge density wave in two-dimensional electron liquid in weak magnetic field, Phys. Rev. Lett. 76, 499 (1996).

22. M.M. Fogler, A.A. Koulakov, and B.I. Shklovskii, Ground state of a two-dimensional electron liquid in a weak magnetic field, Phys. Rev. B. 54, 1853 (1996).

23. R. Moessner and J.T. Chalker, Exact results for interacting electrons in high Landau levels, Phys. Rev. В 54, 5006 (1996).

24. Electron-electron interactions in disordered systems, ed. by A.L. Efros and M. Pollak, North-Holland, Amsterdam (1985).

25. A.M. Finkelstein, Electron liquid in disordered conductors, vol. 14 of Soviet Scientific Reviews, ed. by I.M. Khalatnikov, Harwood Academic Publishers, London, (1990).

26. A.M.M. Pruisken, M.A. Baranov, and B. Skorid, Mishandling gauge invari-ance in the theory of the QHE (I), Phys. Rev. В 60, 16807 (1999).

27. M.A. Baranov, A.M.M. Pruisken, and B. §ko ric, Mishandling gauge invari-ance in the theory of the QHE (II), Phys. Rev. В 60, 16821 (1999).

28. A.M.M. Pruisken, В. Skoric, and M.A. Baranov, Mishandling gauge invari-ance in the theory of the QHE (III), Phys. Rev. В 60, 16838 (1999).

29. M.A. Baranov, I.S. Burmistrov, and A.M.M. Pruisken, Nonfermi liquid theory for disordered metals near two dimensions, Phys. Rev. В 66, 075317 (2002).

30. A.H. MacDonald and S.M. Girvin, Collective excitations of fractional quantum Hall states and Wigner crystallization in higher Landau levels, Phys. Rev. В 33, 4009 (1986).

31. R. Morf and N. dAmbrumenil, Stability and effective masses of composite fermions in the first and second Landau level, Phys. Rev. Lett. 74, 5116 (1995).

32. L. Belkhir and J. Jain, Fractional quantum Hall effect in higher Landau levels, Solid State Commun. 94, 107 (1995).

33. A.H. MacDonald, Influence of Landau-level mixing on the charge-density-wave state of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field, Phys. Rev В 30, 4392 (1984).

34. D.J. Yoshioka, Effect of the Landau level mixing on the ground state of two-dimensional electrons, J. Phys. Soc. Japan 53, 3740 (1984).

35. A.P. Smith, A.H. MacDonald and G. Gumbs, Quasiparticle effective mass and enhanced g factor for a two-dimensional electron gas at intermediate magnetic fields, Phys. Rev. В 45, 8829 (1992).

36. D. Bohm and D. Pines, A collective description of electron interactions: III. Coulomb interactions in a degenerate electron gas , Phys. Rev. 92, 609 (1953).

37. Е.М. Баскин, JI.H. Магарилл, М.В. Энтин, Двумерная электрон-примесная система в сильном магнитном поле, ЖЭТФ 75, 723 (1978).

38. Е. Brezin, D.J. Gross, and С. Itzykson, Density of states in the presence of a strong magnetic field and random impurities, Nucl. Phys. В 235, 24 (1984).

39. A.M. Дюгаев, П.Д. Григорьев, Ю.Н. Овчинников, Снятие вырождения уровней Ландау двумерных электронов точечными примесями, Письма в ЖЭТФ 78, 180 (2003).

40. I.S. Burmistrov and М.А. Skvortsov, On the effect of far impurities on the density of states of two-dimensional electron gas in a strong magnetic field, Письма в ЖЭТФ 78, 188 (2003).

41. Т. Ando and Y. Uemura, Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic field. I. Characteristics of level broadening and transport under strong fields, J. Phys. Soc. Japan 36, 959 (1974).

42. И.В. Кукушкин, С.В. Мешков и В.Б. Тимофеев, Плотность состояний двумерных электронов в поперечном магнитном поле, УФН 155, 219 (1988).

43. М.Е. Raikh and T.V. Shahbazyan, High Landau levels in a smooth random potential for two-dimensional electrons, Phys. Rev. В 47, 1522 (1993).

44. A.A. Abrikosov, L.P. Gor'kov, and I.E. Dzyaloshinskii, Methods of quantum field theory in statistical physics, Prentice Hall, New-York, (1963).

45. Jl.B. Келдыш, Диаграмная техника для неравновесных процессов, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).

46. A. Kamenev and A. Andreev, Electron-electron interactions in disordered metals: Keldysh formalism, Phys. Rev. В 60, 2218 (1999).

47. С. Chamon, A.W.W. Ludwig, and C. Nayak, Phys. Rev. В 60, 2239 (1999).

48. S.F. Edwards and P.W. Anderson, Theory of spin glasses, J. Phys. F 5, 965 (1975).

49. P.JI. Стратонович, Об одном методе вычисления квантовых функций распределения, Докл. Акад. Наук СССР 115, 1097 (1957); J. Hubbard, Calculation of partition functions, Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959).

50. К.Б. Эффетов, А.И. Ларкин, Д.Е. Хмельницкий, Взаимодействие диффузионных мод в теории локализации, ЖЭТФ 79, 1120 (1980)

51. A.M.M. Pruisken, On localization in the theory of the quantized Hall effect: A two-dimensional realization of the 6-vacuum, Nucl. Phys. В 235, 277 (1984).

52. Л.П. Горьков, А.И. Ларкин, Д.Е. Хмельницкий, "Взаимодействие диффузионных мод в теории локализацииПисьма в ЖЭТФ 30, 248 (1979).

53. P.W. Anderson, Е. Abrahams, and T.V. Ramakrishnan, Possible explanation of nonlinear conductivity in thin-film metal wires , Phys. Rev. Lett. 43, 718 (1979).

54. M.L. Mehta, Random matrices, 2nd Ed., Academic Press, San Diego (1991).

55. Э.И. Рашба и В.Б. Тимофеев, Квантовый эффект Холла, ФТП 20, 977 (1986).

56. X.G. Wu and S.L. Sondhi, Skyrmions in higher Landau levels, Phys. Rev. В 51, 14725 (1995).

57. Т. Ando and Y. Uemura, Theory of oscillatory g factor in an MOS inversion layers under strong magnetic field, J. Phys. Soc. Japan 37, 1044 (1974).

58. С. Kallin and B.I. Halperin, Excitations from a filled Landau level in the two-dimensional electron gas, Phys. Rev. В 30, 5655 (1984).

59. К. Suzuki and Y. Kawamoto, The g-factors of interacting electrons in silicon inversion layers, J. Phys. Soc. Japan 35, 1456 (1973).

60. Ю. А. Бычков, С.В. Иорданский, и Г.М. Элиашберг, Двумерные электроны в сильном магнитном поле, Письма в ЖЭТФ 33, 152 (1981).

61. S.-R.E. Yang and А.Н. MacDonald, Coulomb gaps in a strong magnetic field, Phys. Rev. Lett. 70, 4110 (1993).

62. Y. Hatsugai, P.A. Bares, and X.G. Wen, Electron spectral function of an interacting two dimensional electron gas in a strong magnetic field, Phys. Rev. Lett. 71, 424 (1993).

63. S. He, P.M. Platzman, and B.I. Halperin, Tunneling into a two-dimensional electron system in a strong magnetic field , Phys. Rev. Lett. 71, 777 (1993).

64. I.L.Aleiner, H.U. Baranger, and L.I. Glazman, Tunneling into a two-dimensional electron liquid in a weak magnetic field, Phys. Rev. Lett. 74, 3435 (1995).

65. L.S. Levitov and A.V. Shytov, in: Correlated fermions and transport in mesoscopic systems, Edition Frontieres, (1996).

66. R.C. Ashoori, J.A. Lebens, N.P. Bigelow and R.H.Silsbee, Equilibrium tunneling from the two-dimensional electron gas in GaAs: Evidence for a magnetic-field-induced energy gap, Phys. Rev. Lett. 64, 681 (1990).

67. R.C. Ashoori, J.A. Lebens, N.P. Bigelow and R.H.Silsbee,Energy gaps of the two-dimensional electron gas explored with equilibrium tunneling spectroscopy, Phys. Rev. В 48, 4616 (1993).

68. L.S. Levitov and A.V. Shytov, Spatial coherence of tunneling in double wells, cond-mat /9597058.

69. H. Fukuyama, P.M. Platzman, and P.W. Anderson, Two-dimensional electron gas in a strong magnetic field, Phys. Rev. В 19, 5211 (1979).

70. H.A. Fertig, Unlocking Transition for Modulated Surfaces and Quantum Hall Stripes, Phys. Rev. Lett. 82, 3693 (1999).

71. A.H. MacDonald and M.P.A. Fisher, Quantum theory of quantum Hall smectics, Phys. Rev. В 61, 5724 (2000).

72. M.M. Fogler and V.M. Vinokur, Hydrodynamics of the quantum Hall smectics, Phys. Rev. Lett. 84, 5828 (2000).

73. R. C6t£ and H.A. Fertig, Collective modes of quantum Hall stripes, Phys. Rev. В 62, 1993 (2000).

74. H. Yi, H.A. Fertig and R. Cote, Stability of the smectic quantum Hall state: A quantitative study , Phys. Rev. Lett. 85, 4156 (2000).

75. E. Fradkin and S.A. Kivelson, Liquid-crystal phases of quantum Hall systems , Phys. Rev. В 59, 8065 (1999).

76. A. Lopatnikova, S.H. Simon, B.I. Halperin, and X.-G. Wen, Striped states in quantum Hall effect: Deriving a low-energy theory from Hartree-Fock, Phys. Rev. В 64, 155301 (2002).

77. S. Scheidl and F. von Oppen, Elastic theory of quantum Hall smectics: Effects of disorder, Europhys. Lett. 55, 260 (2001).

78. T.D. Stanescu, I. Martin, and P. Philips, Finite-temperature density instability at high Landau level occupancy, Phys. Rev. Lett. 84, 1288 (2000).

79. А.А. Абрикосов и Jl.П. Горьков, К теории сверхпроводимости сплавов с парамагнитными примесями, ЖЭТФ 39, 1781 (1960).

80. А.И. Ларкин, Векторное спаривание в сверхпроводниках малых размеров, Письма в ЖЭТФ 2, 205 (1965).

81. А.А. Абрикосов, Основы теории металлов, Наука, Москва (1987).

82. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, том V, Наука, Москва (1976).

83. С.А. Бразовский, Фазовый переход изотропной системы в неоднородное состояние, ЖЭТФ 68, 175 (1975).

84. D.N. Sheng, Z. Wang, and В. Friedman, Role of disorder in half-filled high Landau levels, Phys. Rev. В 66, 161103 (2002).

85. J.P. Eisenstein, M.P. Lilly, K.B. Cooper, L.N. Pfeiffer, K.W. West, New collective states of 2D electrons in high Landau levels, Physica E 9, 1 (2000).

86. F. von Oppen, B.I. Halperin, and A. Stern, Conductivity tensor of striped qunatum Hall phases, Phys. Rev. Lett. 84, 2937 (2000).

87. A.M. Dykhne and I.M. Ruzin, Theory of the fractional quantum Hall effect: the two-phase model, Phys. Rev. В 50, 2369 (1994).

88. J. Zhu, W. Pan, H.L. Stormer, L.N. Pfeiffer, and K.W. West, Density-induced interchange of anisotropy axs at half-filled high Landau levels, Phys. Rev. Lett. 88, 116803 (2002).

89. Т. Jungwirth, А.Н. MacDonald, L.Smrcka, and S.M. Girvin, Field-tilt anisotropy in quantum Hall stripe sates, Phys. Rev. В 60, 15574 (1999).

90. D.V. Fil, Piesoelectric mechanism of orientation of stripe structures in two-dimensional electron systems, Sov. J. Low Temp. Phys. 26, 581 (2000).

91. D.V. Fil, On the role of electron-phonon interaction in the resistance anisotropy of two-dimensional electrons in GaAs heterostructures, Sov. J. Phys.: Condens Matter 13, 11633 (2001).

92. L.G. Aslamasov and A.I. Larkin, The influence of fluctuation pairing of electrons on the conductivity of normal metal, Phys. Lett. A 26, 238 (1968).

93. D. Weiss, K. von Klitzing, K. Ploog, and G. Weimann, Magnetoresistance oscillations in a two-dimensional electron gas induced by a submicrometer periodic potential, EuroPhys. Lett. 8, 179 (1989).

94. R.R. Gerhardts, D. Weiss, and K. von Klitzing, Novel magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas, Phys. Rev. Lett. 62, 1173 (1989).

95. C.W.J. Beenakker, Guiding-center-drift resonance in a periodically modulated two-dimensional electron gas, Phys. Rev. Lett. 62, 2020 (1989).

96. C. Zhang and R.R. Gerhardts, Theory of magnetotransport in two-dimensional electron systems with unidirectional periodic modulation, Phys. Rev В 41, 12850 (1990).

97. F.M. Peeters and P. Vasilopoulos, Electrical and thermal properties of a two-dimensional electron gas in a one-dimensional periodic potential, Phys. Rev. В 46, 4667 (1992).

98. A.D. Mirlin and P.Wolfle, Weiss oscillations in the presence of small-angle impurity scattering, Phys. Rev. В 58, 12986 (1998).

99. I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzik, Mathematical Tables, Academic Press (1980).