Ядерная мультифрагментация в статистическом подходе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Статистическая модель ядерной мультифрагментации

1 Формулировка статистической модели

1.1 Рекуррентные уравнения.

1.2 Термодинамические средние.

1.3 Ядерная система с несохраняющимся электрическим зарядом

2 Множественные распределения

2.1 Распределение по полной множественности фрагментов т

2.2 Распределение по множественности фрагментов промежуточной массы М.

2.3 Рекуррентные соотношения для совместного распределения по множественно стям т и М.

2.4 Распределение по множественности фрагментов N^ данного сорта (&,/)

3 Статистическая модель мультифрагментации с копенгагенской параметризацией свойств фрагментов

3.1 Средние по ансамблю.

3.2 Калорическая кривая.

3.3 Критический параметр г.

4 Выводы лава 2 Квантово - статистическая модель ядерной мультифрагментации

1 Идеальный квантовый газ N тождественных частиц

1.1 Рекуррентные уравнения.

1.2 Флуктуации чисел заполнения.

2 Идеальный многокомпонентный квантовый газ ядерных фрагментов 59 2.1 Термодинамические средние.

3 Квантово-статистическая модель ядерной мультифрагментации с сохранением барионного заряда

3.1 Флуктуации.

3.2 Термодинамические средние.

3.3 Распределение по множественности фрагментов промежуточной массы.

3.4 Распределение по полной множественности фрагментов

4 Квантово-статистическая модель ядерной мультифрагментации с сохранением барионного и электрического зарядов

5 Выводы лава 3 Ядерная мультифрагментации в обобщенной статистической механике Цаллиса

1 Обобщенная статистическая механика Цаллиса. Канонический ансамбль

2 Идеальный классический газ N тождественных частиц

2.1 Точный результат. Метод прямого интегрирования

2.2 Точный результат. Метод гамма-функции.

2.3 Приближенный метод факторизации.

3 Статистическая модель ядерной мультифрагментации 128 3.1 Приближенный метод факторизации.

4 Выводы 134 Заключение 142 Приложения

А Полезное рекуррентное соотношение для статистической суммы и средних чисел заполнения

В Другое доказательство рекуррентных уравнений

С Суммирование по импульсу

Исследование свойств конечных ядерных систем в экстремальных условиях, предельно далеких от основного состояния, занимает важное место в современной ядерной физике. Сильно возбужденные состояния ядер достигаются в адрон-ядерных реакциях и в столкновениях тяжелых ионов промежуточных и высоких энергий. Современные экспериментальные возможности стимулируют большой теоретический интерес к свойствам ядер и механизмов распада при высоких энергиях возбуждения. Экспериментально установленно, что при энергиях возбуждения ядра, сравнимых с энергией связи, Е* ~ 5 — 10 МэВ/нуклон, существенный вклад в механизм девоз-буждения ядер дает процесс ядерной мультифрагментации. Этот процесс носит взрывной характер и сопровождается полной дезинтеграцией ядра на большое число фрагментов промежуточной массы (фрагменты с зарядом 3 < / < 20). Явление ядерной мультифрагментации часто интерпретируют как фазовый переход типа жидкость-газ, так как он реализуется в области сосуществования двух основных фаз ядерной материи: фазы, состоящей преимущественно из фрагментов промежуточной массы, и фазы легких фрагментов и свободных нуклонов. Измеренная зависимость температуры от энергии возбуждения (калорическая кривая) рассматривается как экспериментальное подтверждение того факта, что ядерная мульти-фрагментация является критическим явлением в конечной возбужденной ядерной системе [1, 2].

Процесс полной дезинтеграции ядер на нуклоны и а - частицы как предельный случай процесса фрагментации экспериментально был открыт в ядерных реакциях с протонами промежуточных и высоких энергий [3, 4]. Вначале 80-х годов мультифрагментацию впервые наблюдали в столкновениях тяжелых ионов промежуточных энергий [5,6]. Название "мультифраг-ментация" было введено в работе [7], в которой рассматривались быстрые процессы, ведущие к конечным состояниям с несколькими фрагментами.

До настоящего времени не существует законченного и убедительного теоретического объяснения явления ядерной мультифрагментации как из-за неясности относительной роли динамических и равновесных эффектов, так и в силу общей сложности решения многочастичной проблемы. Эти неопределенности дают повод множеству приближений, используемых для описания ядерной мультифрагментации: от последовательного испарения частиц [8] и простых перколяционных моделей [9, 10, 11, 12] до статистического описания [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27] и сложных динамических моделей [28, 29, 30, 31, 32, 33]. Статистическая модель, предполагающая образование в результате реакции равновесной системы, и кинетическая модель, сводящая взаимодействие двух систем к последовательным двух-частичным столкновениям, представляются предельными случаями описания, имеющими свои достоинства и недостатки.

Ядерная мультифрагментация в столкновениях тяжелых ионов является заведомо динамическим процессом. Предполагается, что при промежуточных энергиях процесс столкновения тяжелых ядер может происходить в две стадии. На начальной существенно неравновесной стадии имеет место сжатие и нагрев системы с ее последующим расширением и охлаждением, что сопровождается эмиссией неравновесных частиц. На некотором этапе взаимодействия возможно установление термодинамического равновесия в системе и образование таким образом ядерного файербола. На второй стадии реакции ядерный файербол, находящийся в состоянии термодинамического равновесия, распадается на нуклоны и фрагменты, которые разлетаются под действием кулоновских сил. Для описания этого явления необходимо решить неравновесную проблему многих тел с переменным числом частиц каждого сорта. Эта задача очень сложная и практически нерешенная. Однако при применении статистического подхода задача мультифрагмента-ции сильно упрощается. В этом случае от динамики столкновения остаются лишь эффективные термодинамические параметры распадающейся равновесной системы: число нуклонов в системе, их электрический заряд, энергия возбуждения. Статистический подход предназначен для описания именно этой, второй стадии ядро-ядерного взаимодействия. Основная идея статистического подхода заключается в том, чтобы каждому каналу распада конечной ядерной системы поставить в соответствие определенное микросостояние системы с заданной вероятностью из микроканонического, канонического или большого канонического распределений по микросостояниям системы, т.е. каждое конечное состояние системы реализуется с определенной вероятностью, зависящей только от термодинамических параметров системы и энергий этих состояний. Статистический подход позволяет выявить основные статистические особенности ядерной мультифрагмента-ции на примере распада идеализированного возбужденного ядра, когда неважно каким образом оно образовалось. Такое рассмотрение имеет ряд преимуществ перед другими подходами, поскольку учитывает все каналы распада ядерной системы, допускает вероятностную интерпретацию и дает возможность единого описания множественных характеристик ж термодинамических средних. Статистическая теория учитывает коллективный характер взаимодействий и позволяет описывать ядерную мультифрагмента-цию как критическое явление, фазовый переход. Недостатком статистической теории является предположение о термодинамическом равновесии и неспособность описывать динамические корреляционные эффекты, сопутствующие процессу мультифрагментации.

Статистические модели ядерной мультифрагментации различаются между собой по выбору ансамбля (микроканонический, канонический или большой канонический ансамбли), по степени детализации описания свойств фрагментов и по методу вычисления (метод Монте-Карло, точные и приближенные решения). Микроканонический ансамбль с физической точки зрения наиболее полно соответствует описанию конечной ядерной системы, так как в этом ансамбле сохраняются барионный и электрический заряды и полная энергия системы. Однако в рамках микроканонического ансамбля получить точные решения не удается и для расчета средних характеристик обычно используется численный метод Монте-Карло. Применение канонического ансамбля позволяет сохранить барионный и электрический заряды системы, но энергия сохраняется в среднем за счет введения температуры системы. В последнее время в рамках канонического ансамбля для термодинамических средних и физических характеристик системы удалось получать точные результаты с помощью рекуррентных уравнений. В большом каноническом ансамбле получаются точные аналитические результаты ценой сохранения барионного, электрического зарядов и энергии системы лишь в среднем. Такой ансамбль менее всего соответствует точному описанию свойств конечной ядерной системы, однако привлекателен сравнительно простым методом вычисления.

Рекуррентные уравнения для группового разложения Майера введены в работе [34]. Работы Мекияна [35, 36, 37, 38, 39] открыли уникальную возможность для построения точно решаемых статистических моделей ядерной мультифрагментации в каноническом ансамбле на основе рекуррентных уравнений [34], но только для статистики фрагментов Максвелла -Больцмана. В этих работах [38, 40, 41, 42] рассматривались рекуррентные уравнения в приложении к ядерной мультифрагментации для системы нуклонов. Для системы нейтронов и протонов рекуррентные уравнения были разработаны в работе [39] и применены к изучению мультифрагментации в работах [43, 44].

В данной работе мы развиваем статистический подход к описанию муль-тифрагментационного распада возбужденной ядерной системы. В рамках равновесной статистической механики в каноническом ансамбле построена точно решаемая статистическая модель ядерной мультифрагментации с сохранением барионного и электрического зарядов со статистикой фрагментов Бозе-Эйнпгтейна, Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана с учетом возбуждения внутренних степеней свободы ядерных фрагментов. Квантовое статистическое описание применялось ранее к процессу мультифрагментации только в рамках большого канонического ансамбля, обеспечивающего сохранение числа протонов и нейтронов в среднем [45, 46, 47, 48, 49]. Канонический метод, который более адекватен описанию мультифрагментации конечной системы, соответствует точному сохранению барионного и электрического зарядов. Однако до сих пор он использовался только для случая классических больцмановских фрагментов. Таким образом, по сравнению с другими статистическими моделями ядерной мультифрагментации, преимущества нашего подхода [50] сводится к трем пунктам: в используемом каноническом ансамбле точно учтены сохранение барионного и электрического зарядов, модель обобщается на случай квантовой статистики фрагментов и развитая модель допускает точное решение проблемы. По сравнению с численным методом Монте - Карло точный метод рекуррентных уравнений позволяет более аккуратно учесть вклады всех (особенно редких) каналов распада. При решении рекуррентных уравнений, показано, что статистическая сумма квантово-статистической модели мультифрагментации приводится к групповому разложению Майера с групповыми интегралами, зависящими от статистики фрагментов. Для модели мультифрагментации с сохранением барионного и электрического зарядов статистическая сумма приводится к обобщенному групповому разложению Май-ера.

Неэкстенсивная статистическая механика Цаллиса в каноническом ансамбле [51, 52, 53] впервые применена к изучению характеристик мультифрагментации ядер [54]. Предложенная модель позволяет учесть минимальным образом возможные отклонения от равновесного канонического распределения Гиббса в зависимости от параметра неэкстенсивности q. Сравнение характеристик модели с экспериментальными данными позволяет оценить, насколько реалистично описание ядерной мультифрагментации в рамках канонического распределения Гиббса.

Целью работы является исследование явления мультифрагментации возбужденных ядер, образованных в результате столкновения тяжелых ионов, на основе статистического подхода. Эта цель включает нахождение точных значений статистической суммы и средних по ансамблю в рамках статистических моделей ядерной мультифрагментации с точным сохранением барионного и электрического зарядов; анализ термодинамического поведения системы; применение обобщенной неэкстенсивной статистической механики Цаллиса к изучению процесса мультифрагментации.

В первой главе сформулирована статистическая модель ядерной мультифрагментации с точным учетом законов сохранения барионного и электрического зарядов для статистики фрагментов Максвелла-Больцмана. Дан метод точного вычисления статистической суммы и средних по ансамблю на основе рекуррентных уравнений. Получены аналитические выражения для некоторых множественных распределений: распределение по полной множественности фрагментов т, распределение по множественности М фрагментов промежуточной массы, совместное распределение по множественностям т и М и распределение по множественности фрагментов Nki сорта (&,/)• Формализм статистической модели ядерной мультифрагментации применяется к точному вычислению статистической суммы и средних по ансамблю для копенгагенской параметризации свойств фрагментов в приближение жидкой - капли.

Вторая глава является центральной. Метод, разработанный в первой главе, обобщается на случай квантовой статистики. В рамках равновесной статистической механики в каноническом ансамбле построена квантово

- статистическая модель ядерной мультифрагментации с законами сохранения барионного и электрического зарядов для статистики фрагментов Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. В первом параграфе рассмотрен идеальный газ N тождественных частиц в каноническом ансамбле в представлении чисел заполнения. Предложен метод нахождения рекуррентных уравнений для статистической суммы системы со статистикой частиц Бозе

- Эйнштейна и Ферми - Дирака. Во втором параграфе в рамках канонического ансамбля рассмотрен многокомпонентный (N\,. ,Na) идеальный квантовый газ ядерных фрагментов со статистикой Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака. В третьем параграфе в рамках канонического ансамбля сформулирована квантово - статистическая модель ядерной мультифрагментации с точным сохранением барионного заряда. Впервые для такой системы найдены рекуррентные уравнения, с помощью которых значения статистической суммы вычисляются точно. В четвертом параграфе подход, развитый в предыдущем параграфе, обобщается на случай одновременного учета законов сохранения барионного и электрического зарядов. Для точного вычисления статистической суммы найдена система рекуррентных уравнений.

В третей главе впервые неэкстенсивная статистическая механика Цал-лиса применяется для описания ядерной мультифрагментации. В рамках канонического ансамбля построена обобщенная статистическая модель для статистики фрагментов Максвелла-Больцмана с точным учетом законов сохранения барионного и электрического зарядов.

В заключении сформулированы результаты диссертации, выдвигаемые на защиту.

В приложении А найдено рекуррентное соотношение между числами заполнения и статистической суммой системы идеального квантового газа N тождественных частиц в каноническом ансамбле. На основе этого уравнения получены рекуррентные уравнения для статистической суммы системы.

В приложении В предложено другое доказательство рекуррентного соотношения для статистической суммы идеального газа N тождественных частиц в каноническом ансамбле. Дано также доказательство рекуррентного соотношения для статистической суммы квантово - статистической модели ядерной мультифрагментации с сохранением барионного заряда.

В приложении С приведен метод суммирования по импульсу и сформулировано условие, при выполнение которого возможен переход от суммирования к интегрированию. Даны необходимые формулы для суммирования и интегрирования импульсных выражений.

4 Выводы

Обобщенная статистическая механика Цаллиса с неэкстенсивной энтропией для канонического ансамбля построена на основе процедуры максимизации энтропии с двумя уравнениями связи: условием нормировки вероятностей микросостояний на единицу и заданием средней энергии системы, вычисляемой по этим вероятностям в степени q [52]. Условному экстремуму неэкстенсивной энтропии соответствует каноническое распределение р\ по микроскопическим состояниям системы, которое отличается от равновесного распределения Гиббса. Такое отклонение от стандартного распределения Гиббса ведет к качественным изменениям в поведение характеристик физической системы и к возможности имитации неравновесных эффектов. Доказанная связь между параметром (5 и температурой Т системы, (5 = 1/кТ} оставляет термодинамические соотношения такими же, как в стандартной статистической механики с q = 1. В этом формализме среднее по ансамблю имеет один существенный недостаток: среднее единицы не равно единице. Поэтому для удовлетворения соотношению (1}г/ = 1, среднее по ансамблю должно переопределяться.

Для выявления основных особенностей ОСМЦ в качестве простого примера рассмотрен идеальный классический газ N частиц в каноническом ансамбле. Методами прямого интегрирования и гамма-функции [82] получен точный аналитический результат для двух представлений: средних по ансамблю {0)W и соответствующих перенормированых выражений (0)q при двух областей параметра неэкстенсивности q < 1 и q > 1. Используя метод факторизации, для этих представлений, удается найти приближенные результаты, которые сравниваются с соответствующими точными выражениями. Средняя энергия 8^ в зависимости от температуры имеет более сложную зависимость по сравнению с соответствующим стандартным выражением £\ — 3JV/2/3. Однако перенормированная средняя энергия Eq отличается от Е\ лишь на положительный постоянный множитель, т.е. для перенормированых средних качественно картина не меняется по сравнению со стандартной статистической механикой.

Построена статистическая модель ядерной мультифрагментации в каноническом ансамбле в рамках ОСМЦ с неэкстенсивной энтропией [54]. Для вычисления статистической суммы и средних по ансамблю был применен приближенный метод факторизации позволяющий использовать рассмотренный ранее метод рекуррентных уравнений. Для вычисления внутренней статистической суммы фрагмента использовалось приближение жидкой-капли. Вне области фазового перехода кривые термодинамических средних и множественностей фрагментов для разных значений q практически совпадают. Сильная чувствительность к небольшим изменениям q наблюдается в критической области, связанной с фазовыми превращениями, при температуре Т « 4 — 8 МэВ. Значения q > 1 несколько увеличивают критическую температуру tc по сравнению с предельным случаем д = 1. Плато в калорической кривой при низких энергиях хорошо описывается неэкстенсивной статистикой с q > 1. Это указывает на то, что в статистической модели мультифрагментации каноническое распределение по микросостояниям ядерной системы может отличаться от стандартного распределения Гиббса.

11II I

20 30

T[MeV\

Рис. 3.1. Температурная зависимость средней энергии на нуклон для идеального классического газа N = 200 нуклонов размещенных в объеме V/Vo = 10 при двух значениях параметра неэкстенсивности q : 1 (сплошная кривая) и 1.001. Кривые 1, 3 соответствуют точным значениям средних энергий £q, а кривая 2 соответствует значениям в приближение факторизации. Значения £д в приближение факторизации совпадают со значениями средней энергии при q— 1с точностью до толщины линии.

T[MeV}

Рис. 3.2. Теплоемкость системы при постоянном объеме V на нуклон в зависимости от температуры Т для идеального классического газа N — 200 нуклонов размещенных в объеме V/V0 — 10 при двух значениях параметра неэкстенсивности q : 1 (сплошная кривая) и 1.001. Обозначения те же, что и на рис. 3.1.

10 8

Cr со

6 4 2

0 10 20 30 40 50

T[MeV\

Рис. 3.3. Зависимость энтропии на нуклон для идеального классического газа N — 200 нуклонов размещенных в объеме V/Vq = 10 при двух значениях параметра неэкстенсивности q : 1 (сплошная кривая) и 1.001. Кривые 1, 3 соответствуют точным значениям энтропии с>(2\ Sq, а кривые 2, 4 соответствуют значениям S^, Sq в приближение факторизации.

О 2 4 6 8 10 12 14 16

Г [Me VI

Рис. 3.4. Температурная зависимость средней энергии на нуклон для ядерной системы из А = 197 нуклонов (Z = 79 и N — 118) в объеме V/V0 = 4 при различных значениях параметра неэкстенсивности q : 1 (сплошная кривая), 1.0005 (пунктирная кривая) и 1.001 (точечная кривая).

25 20 15 s» О

10 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

T[MeV}

Рис. 3.5. Теплоемкость Cyq на нуклон в зависимости от температуры Т при различных значениях параметра неэкстенсивности q. Обозначения те же, что и на рис.3.4.

Рис. З.б. Средняя полная множественность т фрагментов в зависимости от температуры Т при различных значениях параметра неэкстенсивности q. Обозначения те же, что и на рис.3.4.

Рис. 3.7. Средняя множественность ФПМ в зависимости от температуры Т при различных значениях параметра неэкстенсивности q. Обозначения те же, что и на рис.3.4.

1-1-1-1--1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-r

16

14 0 0

-JIIIIIL

10 15 20

E/A [MeV]

25

Рис. 3.8. Зависимость изотопической температуры Тнеы от энергии возбуждения на нуклон для ядерной системы из А = 197 нуклонов и Z = 79 протонов в объеме V/Vo = 6 при различных значениях параметра неэкстенсивности q, в приближение холодных фрагментов. Обозначения кривых те же, что и на рис.3.4. Точки - экспериментальные данные группы ALADIN (черные квадраты [1] и треугольники [58]) (см. текст).

Заключение

На защиту вынесены следующие результаты

1. В рамках равновесной статистической механики Гиббса в каноническом ансамбле построена точно решаемая статистическая модель ядерной мультифрагментации с учетом законов сохранения барионного и электрического зарядов.

2. Найдена система рекуррентных уравнений для точного расчета статистической суммы со статистикой фрагментов Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.

3. Показано, что статистическая сумма модели дается суммой мультиномиальных коэффициентов с групповыми интегралами Май-ера, зависящими от типа статистики.

4. Установлено слабое влияние квантовой статистики фрагментов на термодинамические свойства и характеристики мультифрагментации конечной ядерной системы, в частности на свойства возможного фазового перехода.

5. Получены точные результаты для статистической суммы и средних по ансамблю в рамках копенгагенской параметризации статистических свойств фрагментов на основе модели жидкой - капли.

6. В рамках обобщенной неэкстенсивной статистической механики Цаллиса в каноническом ансамбле впервые построена статистическая модель ядерной мультифрагментации с учетом законов сохранения барионного и электрического зарядов для статистики фрагментов Максвелла - Больцмана. Установлено сильное влияние параметра неэкстенсивности q на термодинамические средние вблизи критической точки системы.

1. J. Pochodzalla et al., Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1040.

2. Y-G. Ma et al., Phys. Lett. B390 (1997) 41.

3. V.S. Barashenkov, K.D. Tolstov et al., JINR Preprint, P-331, Dubna, 1959.

4. N.A. Perfilov, O.V. Lozhkin and V.I. Ostroumov, Nuclear reactions induced by high-energy particles, Moscow, 1962.

5. B. Jakobsson et al., Z. Phys. A307 (1982) 293.

6. J.E. Finn, et al., Phys. Rev. Lett. 49 (1982) 1321.

7. J.P. Bondorf, Journal de Physique 37 (1976) C5-195.

8. W.A. Friedman, Phys. Rev. C42 (1990) 667.

9. X. Campi, J. Phys. A19 (1986) L917; Phys. Lett. B208 (1988) 351.

10. W. Bauer, U. Post, D.R. Dean and U. Mosel, Nucl. Phys. A452 (1986) 699.

11. S.Yu. Shmakov and V.V. Uzhinsky, Preprint JINR-E2-89-561, Dubna 1989.

12. K.K. Gudimaand Yu.A. Murin, Phys. Lett. B234 (1990) 1.

13. J.P. Bondorf, A.S. Botvina, A.S. Iljinov, I.N. Mishustin and K. Sneppen, Phys. Rep. 257 (1995) 133.

14. J.P. Bondorf, R. Donangelo, I.N. Mishustin, C.J. Pethick, H. Schulz and K. Sneppen, Nucl. Phys. A443 (1985) 321.

15. J.P. Bondorf, R. Donangelo, I.N. Mishustin, and H. Schulz, Nucl. Phys. A444 (1985) 460.

16. A.C. Ботвина, A.C. Ильинов и И.Н. Мишустин, ЯФ Т.42 (1985) 1127.

17. D.H.E. Gross, Rep. Prog. Phys. 53 (1990) 605.

18. J. Randrup and S. Koonin, Nucl. Phys. A356 (1981) 321; Nucl. Phys. A471 (1987) 355c.

19. S. Koonin and J. Randrup, Nucl. Phys. A474 (1987) 173.

20. A.H. Raduta and A.R. Raduta, Phys. Rev. C55 (1997) 1344; ibid. 61 (2000) 034611.

21. A. Le Fevre, M. Ploszajczak and V.D. Toneev, Phys. Rev. C60 (1999) R051602.

22. G. Fai and J. Randrup, Nucl. Phys. A381 (1982) 557; Nucl. Phys. A404 (1983) 551.

23. C.B. Das, A. Das, L. Satpathy and M. Satpathy, Phys. Rev. C53 (1996) 1833.

24. K.A. Bugaev, M.I. Gorenstein, I.N. Mishustin and W. Greiner, Phys. Rev. C62 (2000) 044320.

25. J. Pan and S. Das Gupta, Phys. Rev. C51 (1995) 1384; Phys. Lett. B344 (1995) 29.

26. S. Das Gupta and J. Pan, Phys. Rev. C53 (1996) 1319.

27. J. Elliott and A. Hirsch, Phys. Rev. C61 (2000) 054605.

28. J. Aichelin, Phys. Rep. 202, (1991) 233.

29. R. Botet and M. Ploszajczak, Int. J. Mod. Phys. E3 (1994) 1033.

30. H. Feldmeier and J. Schnack, Prog. Particle Nucl. Phys. 39 (1997) 393.

31. D. Kiderlen and P. Danielewicz, Nucl. Phys. A620 (1997) 346.

32. A. Ohnishi and J. Randrup, Phys. Lett. B394 (1997) 260.

33. Kh. El-Waged, V.V. Uzhinskii, Yad. Fiz. 60 (1997) 925.

34. J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis (Wiley, New York, 1958).

35. A.Z. Mekjian, Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2125; Phys. Rev. C41 (1990) 2103.

36. S.J. Li and A.Z. Mekjian, Phys. Lett. A149 (1990) 7; Phys. Rev. C45 (1992) 365; C45 (1992) 1284; Phys. Rev. C47 (1993) 2266; Phys. Rev. C50 (1994) 3025; Phys. Rev. C56 (1997) 2621.

37. A.Z Mekjian and S.J. Li, Phys. Rev. A44 (1991) 6294.

38. K.C. Chase and A.Z. Mekjian, Phys. Rev. C49 (1994) 2164; Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4732; Phys. Lett. B379 (1996) 50; Phys. Rev. C52 (1995) R2339.

39. K.C. Chase and A.Z. Mekjian, Phys. Rev. C50 (1994) 2078.

40. S. Das Gupta and A.Z. Mekjian, Phys. Rev. C57 (1998) 1361.

41. S. Pratt and S. Das Gupta, Phys. Rev. C62 (2000) 044603.

42. S. Das Gupta, A. Majumder, S. Pratt and A.Z. Mekjian, nucl-th/9903007.

43. A.C. Парван, В.Д. Тонеев, K.K. Гудима, ЯФ Т.62 (1999) 1593-1604; Препринт ОИЯИ Р7-98-33, Дубна, 1998.

44. P. Bhattacharyya, S. Das Gupta, and A.Z. Mekjian, Phys. Rev. C60 (1999) 054616; ibid. 064625.

45. P.R. Subramanian et al., J. Phys. G7 (1982) L241.46 47 [4849 5051 525360

46. D. Hahn and H. Stoecker, Nucl. Phys. A476 (1988) 719.

47. R.K. Tripathy and L.W. Townsend, Phys. Rev. C50 (1994) R7.

48. J. Konopka, H. Graf, H. Stoecker and W. Greiner, Phys. Rev. C50 (1994) 2085.

49. F. Gulminelli and D. Durand, Nucl. Phys. A615 (1997) 117.

50. A.S. Parvan, V.D. Toneev, M. Ploszajczak, Nucl. Phys. A676 (2000) 409451.

51. C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52 (1988) 479.

52. E.M.F. Curado and C. Tsallis, J. Phys. A24 (1991) L69; Corrigenda 24 (1991) 3187; J. Phys. A25 (1992) 1019.

53. C. Tsallis, R.S. Mendes and A.R. Plastino, Physica A261 (1998) 534; C. Tsallis, Braz. J. Phys. 29 (1999) 1-35.

54. K.K. Gudima, A.S. Parvan, M. Ploszajczak, and V.D. Toneev, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 4691.

55. K. Huang, Statistical Mechanics, Wiley, New York, 1963. T. Li et al., Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1924; Phys. Rev. C49 (1994) 1630. S. Albergo et al., Nuovo Cimento A89 (1985) 1. W. Trautmann, GSI-Preprint-98-20, 1998.

56. M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematics Functions, Nat. Bur. Stand. Appl. Math. Ser. No. 55, (U.S. GPO, Washington, D.C., 1965).

57. P.T. Landsberg, Thermodynamics, Interscience, New York, 1961. 61. P. Borrmann, G. Franke, J. Chem. Phys. 98 (1993) 2484.

58. F. Brosens, J.T. Devreese and L.F. Lemmens, Solid State Comm. 100 (1996) 123.

59. K.C. Chase, A.Z. Mekjian and P. Bhattacharyya, Phys. Rev. C55 (1997) 1410.

60. S. Pratt, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 4255.

61. И.А. Квасников, Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. -М.: Изд-во МГУ, 1991.

62. L.D. Landau and Е.М. Lifshitz, Statistical Physics (Pergamon Press, 1985).

63. P. Marmier and E. Sheldon, Physics of Nuclei and Particles (Academic, New York, 1970), vol.11, p.886.

64. D.H Rischke, M.I. Gorenstein, H. Stoecker and W. Greiner, Z. Phys. C51 (1991) 485.

65. Saeeduddin, Phys. Lett. B341 (1995) 361.

66. A.A. Shanenko,E.P. Yukalova and V.I. Yukalov, Int. J. Mod. Phys. B10 (1996) 669.

67. A. Majumder and S. Das Gupta, Phys. Rev. C59 (1999) 845.

68. A.H. Raduta and A.R. Raduta, nucl-th/9908089.

69. A.J. Cole, D. Heuer, and M. Charvet, Phys. Rev. C55 (1997) 2978.

70. M.I. Gorenstein, A.P. Kostyk and Ya.D. Krivenko, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 25 (1999) L75.

71. C.A Ogilvie at al., Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 1214.

72. P. Bozek, M. Ploszajczak and R. Botet, Phys. Rep. 252 (1995) 101.

73. П. Muller and В. Serot, Phys. Rev. C52 (1995) 2072.

74. A. Hauger et al., Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 235.

75. J. Hubele et al., Z. Physik A340 (1991) 263; Phys. Rev. C46 (1992) R1577.

76. J.H. Havrda and F. Charvat, Kybernatica 3 (1967) 30.

77. Q.A. Wang, Chaos Solitons Fractals 12 (2001) 1431.

78. D. Prato, Phys. Lett. A203 (1995) 165-168.

79. C. Tsallis, Extensive versus nonextensive Physics, in: New trends in magnetism, magnetic materials and their applications, eds. J.L.Morau-Lopez and J.M.Sanchez (Plenum, New York, 1994) p.451; Chaos Solitons Fractals 6 (1995) 539.

80. I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik, Table of integrals, series and products (Academic Press, New York, 1980) p.935.

81. A.R.Plastino, A.Plastino and C.Tsallis, J. Phys. A27 (1994) 5707.

82. S.H.Curilef and C.Tsallis, Physica A215 (1995) 542.

83. S.Abe, Phys. Lett. A263 (1999) 424-429; Erratum: Phys. Lett. A267 (2000) 456-457.

84. S.Abe, Physica A269 (1999) 403.

85. S.Abe, S.Martinez, F.Pennini and A.Plastino, Phys. Lett. A281 (2001) 126; cond-mat/0011012.

86. S.Abe, S.Martinez, F.Pennini and A.Plastino, cond-mat/0006109.

87. F. Buyukkilig, D. Demirhan and A. Guleg, Phys. Lett. A197 (1995) 209.