Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517 095

005538068

Шгщ

МЕЛИІІІЕВА Екатерина Петровна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ЭЛЛИИТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 4 І.0Л 2013

Казань - 2013

005538068

Работа выполнена на кафедре математики и методики обучения ФГБОУ ВПО "Поволжская гоез'дарственная социально-гуманитарная академия" и в отделе физико-математических и технических наук ГАНУ "Институт прикладных исследований АН РБ"

Научный руководитель: Сабитов Камиль Басирович,

доктор физико-математических наук, чл.-корр. АН РБ, профессор, ГАНУ "ИПИ АН РБ"

Официальные оппоненты: Солдатов Александр Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО НИУ "БелГУ"

Хайруллин Равиль Сагитович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "КГАСУ"

Ведущая организация: ФГБУН "Научно-исследовательский

институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН", г. Нальчик

Защита состоится 5 декабря 2013 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008 Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35, НБ КФУ

Автореферат разослан ноября 2013 г. и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.ksu.ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта.

Затем Ф. И. Франкль впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева М. А.

ихх + sgn у -иуу = 0. (1)

Позднее он был установлен для других уравнений смешанного типа и других краевых задач.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, C.S. Morawetz, M.N. Protter, Л. Берс, В.Ф.Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джу-раев, В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, И.Л. Кароль, Н.Ю. Капустин, Г.Д. Ка-ратопраклиев, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, L. Nireiiberg, H.B. Плещинский, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллип, М.М. Хачев и многие другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Здесь отметим исследования A.Kneser, L.Lichtenstein, а также более поздние, W.Gibson, J.Groh и других.

Нагруженные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения рассматривали в своих работах Н.Н.Кочина, Нахушев A.M., Кожанов А.И., Пулькина Л.С. и другие. Именно в работах A.M. Нахушева было дано общее определение нагруженных уравнений.

Потребность в изучении нагруженных уравнений возникает в различных ситуациях, таких как: при приближенном решении интегро-

дифференциальных уравнений, при исследовании некоторых обратных задач, при линеаризации нелинейных уравнений, при соответствующем преобразовании нелокальных краевых задач дифференциальных уравнений в локальные задачи нагруженных уравнений, при изучении различных задач оптимального управления, моделировании процессов фильтрации, а также управления и регулирования уровнями грунтовых вод, моделировании процессов переноса частиц и т.д.

Задача Дирихле для дифференциальных уравнений рассматривалась в работах Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, В.И. Жегалова., J.R. Cannon, A.M. На-хушева, А.П. Солдатова, К.Б. Сабитова, Е.А. Уткиной, P.C. Хайруллина, М.М. Хачева, В.Б. Шабата и многих других.

Степень разработанности проблемы. Работы А.М.Нахушева и его учеников дали начало интенсивному и систематическому изучению краевых задач для уравнений вида

в области О, С К2, где Ь - дифференциальный оператор, а М -- дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомой функции и(х, у) на многообразиях из замыкания размерности строго меньше 2. В их работах исследовались вопросы существования и единственности решения уравнения (2) в классических областях О,, т.е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Наиболее близкой к нашей теме является следующая нелокальная задач для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с характеристической нагрузкой и с параметром А = А+ при у > 0 и А = А- при у < О

в области ограниченной отрезками АС : х + у = 0, 0 < х < г/2 ВС : х - у = г, г/2 < х < г; ААо : х = 0, 0 < у < ВВ0 : х = г, 0 < у < Н; А0В0 : у = И, 0 < х < г.

Задача. Найти регулярное в областях и Г2~ решение и(х, у) уравнения (3) из класса С1(П) П С(Г2), удовлетворяющее условию

Ки = Lu(x, у) + Ми(х, у) = f(x, у)

(2)

ихх -иу- А+и(х, 0) = 0, у > 0, ихх - иуу - А~и(х, 0) = 0, у < 0,

(3)

u(iy) = <ро(у), и(г + гу) = ipT(y), 0 <у <h,

и граничному условию на характеристике АС:

и [в0(х)] = A ~D~lnu{t) + ф(х), 0 <х<г,

где <Ро(у) и <рт{у) - заданные непрерывные на сегменте [0, h] функции, а ©о(х) = х(1 — г)/2, ф(х) - заданная функция из класса С2 (/г) , /г =

X

{х : О < х < г} , D~lnu{t) = f (х- t)u(t)dt.

о

A.M. Нахушевым получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи. Само решение u(z) в области определяется как решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа, а в области il f - как решение u(z) первой краевой задачи для уравнения параболического типа.

К.Б. Сабитов рассмотрел начально-граничную задачу для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu=[ut- Uxx + Ci (t)u(x, 0) = 0, t > 0, u \ utt - uxx + C2(t)u(i, 0) = 0, t < 0,

в прямоугольной области D = {(ж, i)| 0 < x < 1, —a < t < ß} , где C\(t), Сг(£) - заданные непрерывные функции, а и ß - заданные положительные действительные числа, со следующими условиями:

u(x, t) е C\D) П C\D_) П C^t(D+y,

Lu(x, t) s 0, (x, t) G D+ U D-\

u(0,i) = u(l,t) = 0, -a < t < ß;

u(x, —a) = <p(x), 0 < x < 1,

здесь <p(x) - заданная достаточно гладкая функция, при этом V'(O) = <р( 1) = 0, = ö(l{f>0}, Z>_ = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности решения. Само решение при некоторых ограничениях на функцию tß(x) и число а построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи на собственные значения.

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возник после известных работ Ф.И. Франкля, в которых впервые обращено внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнения Чаплыгина.

На некорректность задачи Дирихле для уравнения (1) в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 <х + у<х — у< 1, впервые обратил внимание A.B. Бицадзе. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенной между 7 и у = 0.

Результат A.B. Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В.Б. Шабат исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева-Вицадзе в области у > —h, h > 0. и области, гиперболическая часть которой лежит целиком внутри характеристического треугольника, построенного на отрезке действительной оси [0,1].

В работе J.R. Cannon доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области при определенных ограничениях на область гиперболичности.

A.M. Нахушев установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

B.И. Жегалов доказал однозначную разрешимость нелокальной задачи Дирихле для уравнения (1) в области D, где - квадрат 0 < —у,х < 1, a D+ - односвязная область при у > 0, ограниченная простой дугой а с концами в точках (0,0), (1,0) и интервалом I = (0,1) оси х.

В работах А.П. Солдатова доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами Г и 7 с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга 7 при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

М.М. Хачев доказал теоремы единственности и существования решения задачи Дирихле для уравнения

Lu = (sgny) [а(х)ихх + Ь{х)ит + с(х)и] + иуу = 0

в прямоугольной области D = {(х,у)| 0 < х < 1, —а < у < ß}, а, ß > 0, в которой на числа а и ß наложены некоторые ограничения.

Р.И. Сохадзе для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа

ихх + уиуу + buy = 0, где 0 < b < 1 и 6 > 1 - не целое число, исследовал первую краевую задачу в прямоугольной области D = {(х,у)\0 < х < I, —а < у < ß} при определенных условиях на а и ß.

К.Б. Сабитовым исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода

(.sgny)\y\muxx + uvv-b2{sgny)\y\mu = ü, т > 0, Ь > 0 (4)

в прямоугольной области D = {(х,у)|0 < х < 1, —а < у < ß} , a,ß -заданные действительные числа. Методом спектрального анализа установ-

лен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

В работах К.Б. Сабитова и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) для двух видов уравнений смешанного типа второго рода

иХх + {sgny)\y\muyy — b2u = 0, 0 < m < 2, b = const > 0,

uXx + УЩу + auy — b2u = 0, a = const,

исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения и коэффициента а.

P.C. Хайруллин установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения

иХх + уиуу + аиу = 0

в прямоугольной области D = {(х, у) : 0 < х < 1, —а < у < ß} при отрицательных значениях параметра а < —1/2.

Задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уравнений более высоких порядков рассмотрена в работах P.C. Хайруллина, Е.А. Уткиной.

В данной работе, в отличие от рассмотренных выше работ, рассматривается задача Дирихле для нагруженных уравнений эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области. Ранее были изучены краевые задачи (локальные и нелокальные) для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в классических областях, т.е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматривается задача Дирихле для нагруженного уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu ее К(у)ихх + иуу - Ь2К{у)и + С(у)и{х, 0) = 0 (5)

в прямоугольной области D = {(а;, у)|0 < х < 1, —a<y<ß}, где К (у) = sgny ■ \у\п, п > 0, & > 0, а > 0, ß > 0 - заданные действительные числа,

С[у)'\с2(у), У< о,

= 1,2, - заданные непрерывные функции. Задача Дирихле. Найти в области £> функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х, у) £ С1 (О) ЛС2(£>+ и О,); (6)

Ьи(х,у) = 0, (х, г/) € £>+и£>_; (7)

и (0, у) = и (1, у) = 0, -а<у<р; (8)

и (х, Р) = (х), и (ж, -а) = гр (х), 0 < х < 1, (9)

где <р(х) , ■ф (х) - заданные достаточно гладкие функции, при этом р (0) = у? (1) = ф (0) = ф (1) = 0, Б+ = £ п {у > 0} , £>_ = £> П {у < 0} .

Основными задачами исследования являются постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений задачи Дирихле для уравнения (5) в области О.

Объектом исследования является задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе и обобщенным оператором Трикоми.

Теоретическую и методологическую основу исследования вопросов единственности, существования и устойчивости решения задачи Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа составляют методы общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, спектрального анализа и теории специальных функций.

Научная новизна исследования. Результаты работы, выносимые на защиту являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области. Для поставленной задачи установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда Фурье с обоснованием сходимости в классе регулярных решений, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения задачи Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области. Установлен критерий единственности, решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье с обоснованием сходимости в классе регулярных решений, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории задачи Дирихле для дифференциальных нагруженных уравнений в частных производных смешанного типа.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах: по теории дифференциальных уравнений имени С.П. Пулькина при Поволжской государственной соцнально-гуманитарной академии и Институте прикладных исследований АН РБ (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2010- 2013 гг.), кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель -д.ф.-м.н.профессор Л.С. Пулькина, 2010 - 2013 гг.), кафедры дифференциальных уравнений Казанского федерального университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов, 2013 г.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: 1. Седьмая школа молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики "(г. Нальчик, 25 - 30 июня 2010 г.) 2. Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения "(г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.). 3. Девятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2010"(г. Казань, 1-6 октября 2010 г.). 4. Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г. Москва, 30 мая -4 июня 2011 г.). 5. Всероссийская научная конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Стерлита-мак, 27-30 июня 2011 г.). 6. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чи-сел"(г. Белгород, 17-21 октября 2011 г.). 7. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики"(г. Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.). 8. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы "(г. Стерлнтамак 26-30 июня 2013 г.). 9. XI Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 22-28 августа 2013 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12] общим объемом 3,93 п.л. При этом статьи [1] - [3] опубликованы в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. В совместной работе [2] постановка задачи и идея доказательств принадлежат научному руководителю К.Б. Сабитову.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 104 наименования. Общий объём диссертации - 93 страницы.

Автор выражает глубокую признательность н благодарность научному руководителю К.Б. Сабитову за предложенную тематику исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Краткое содержание диссертации

Во введении даётся обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В главе 1 § 1.1 исследуется задача Дирихле (6) — (9) для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболичсского типа (5) при п = 0, Ь = 0, т.е. для уравнения Лаврентьева Бицадзе

Ьи = (здпу)ихх + иуу + С(у)и(х, 0) = 0 (10)

в прямоугольной области О = {(я, у)\ 0 < х < 1, —а < у < (3} .

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (10), которые имеют следующий вид: Чк{х,у) = Хк(х)Ук(у),

Хк(х) = уДБтякх, к = 1,2,..., (11)

Ук (у) = / СкеХкУ + Лке~ХкУ - у > (12)

| акс05Лку + Ьктп\ку+ ^С2к{у), У < 0, '

здесь ак , Ьк , ск , с1к — произвольные постоянные,

у о

С1к(у) = У (£) зЬ [тгА; (у - «)]<Й, С2к(у) = J С2 (0 яп [пк (« - у)]<И.

О у

Используя частные решения (11) и (12), решение задачи (6), (8) — (10) построено в виде суммы ряда

+оо

и(х, у) = у/2^2щ(у)вт-ккх, (13)

к=1

где

ш м = ] таЛ/^ (к) + (к), у> О,

ю ^ У< о,

о о

Даг/1 {к) = — sin жка ch жку — sh жку cos жка+

+ жк ^ SÍn Жка ~ С2к ^~а^Sh Жку^' У > Ayfj (к) = С1к (у) shжк(3 - Cik {/3) shnky + wksh [жк (у - /3)], у > О,

Д_у/31 (к) = sin жку ch жкр — sh жкр cos жку— (P) sin тгfcy + C2k (y) shTrЩ , у < 0,

BVa (к) = C2k (y) sin ттка + C2k (—a) sin ж ky + ж к sin жк (а + у), у < О, при условии, что при всех fceN

Ai СО = — sin жка ch жкр — sh жкР cos жка+

+A" [Cik (Р) sin жка - С2к {-a) sh жЩ ф 0. (15)

жк

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {\/2sin7rkx}k=1 в пространстве Ьг[0,1].

Если Ai (к) = 0 при некоторых а, р, Ci (у), С2(у) и к = р е N, то однородная задача (6) — (9) для дифференциального уравнения (10) (где (р (х) = 0, ф (х) =0) имеет нетривиальное решение

и (х v]-i (р)sin7r^' У > о. (16]

где ар ф 0 - произвольная постоянная.

При некоторых а выражение Ai (к) обращается в нуль, например, при С2к {—ot) = 0, следует, что Ai (к) = 0 только в том случае, когда

Tí- п с* =+ -, тг€ N. ж к к

Теорема 1.1. Если существует решение задачи (6), (8) — (10), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (15) при всех к е N.

Поскольку а, ¡3 — любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение Ai(fc) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей". В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, Р и

функций Сг (у), i = 1, 2, таких, что при достаточно больших к выражение Ai (к) отделено от нуля.

Лемма 1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р -натуральное; 2) а = p/q N,p,q € N,(p,q) = 1,(^,4) = 1, то существуют постоянные Со и к0 6 N, такие, что при всех к > к0 и любом фиксированном ß > 0 справедлива оценка

|Ai(fc)| > C0e*w > 0. (17)

Пусть ||Ci II = max | Cj (у) | и ||C2|| = maxn | C2 {у) |.

Лемма 1.2. Если а является любым алгебраическим иррациональным числом степени 2 и нормы ||Ci|| и ЦСгЦ достаточно малы, то существуют положительные постоянные Со и ßo, такие, что при всех к € N и ß > ßo справедлива оценка

|Ai (k) I > (18)

Если при указанных в лемме 1.1 чисел а выражение Ai (I) = 0 при к = I = ki, к2, ..., кр < ко, где 1 < к\ < к2 < -•• < кр, ki,i = 1 ,р, и р — заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (6), (8) — (10) достаточно, чтобы выполнялись условия

ipi = ipi = 0, I = кик2, ...,кр. (19)

В этом случае решение задачи (6), (8) — (10) определяется в виде ряда

(kj-l к,-1 +0О \

Y2+-+ + "fc (у) sin 7гЬ:+

í:=l к=кр^,+1 к=к„+\)

+ ^С1щ{х,у), (20)

i

где щ{х,у) определяется по формуле (16), С; — произвольные постоянные,

в сумме индекс I принимает значения к\, к2,..., кр, конечные суммы в i

(20) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 1.2. Пусть функции <р(х),ф {х) G С3[0,1], </?(t>(0) = т/>(0(0) = VC0(1) = V<(0(1) = 0, г = 0,2, С\ (у) € С[0, ß), С2{у) е С {-а, 0] и выполнена оценка (17) при всех к > ко. Тогда если Ai (к) 0 при всех к = 1, feo, т,о задача (6), (8) — (10) имеет единственное решение, которое определяется рядом (13); если Ai (к) = 0 при к = I = к\, к2,..., кр < ко, то задача (6), (8)— (10) разрешима, когда выполнены условия (19) и решение в этом случае определяется рядолг (20).

Теорема 1.3. Пусть функции <р(х),ф (х) Є С4[ 0,1], <р(')(0) = =

^О(і) = = о, г = 0,2, С! (у) Є С [0, /3], С2 (у) Є С [-а, 0], нормы

||Сх || и 11С211 достаточны малы и выполнена оценка (18). Тогда задача (6), (8) — (10) имеет единственное решение, которое определяется рядом (13).

Теорема 1.4. Пусть выполнены усювия теоремы 1.2 и Ді (к) ^ 0 при к = 1, ко ■ Тогда для решения (13) задачи (6), (8) — (10) имеют место оценки:

\\и(х,у)\\Ь2<А41(М\ь2 + \ть2), (21)

IIи{х,у) ||с(в) < М2 + \\ф\\1У}) . (22)

Теорема 1.5. Пусть выполнены условгія теоремы 1.3. Тогда для решения (13) задачи (6), (8)— (10) имеют место оценки:

\\и{х,у)\\ь2<М3{Ы\щ + ІМІИ,.), (23)

IIи(х,у) ||с(5) < М4 {Ы\щ + \\ф\\^). (24)

В последних теоремах постоянные М,-, г = 1,4, не зависят от <р (х) и ф (х).

В § 1.2 исследуется задача (6) — (9) для уравнения (5) при п = 0 и Ь > 0, которое можно привести к следующему виду:

Ьи = ихх + вдп у • ііуу Ъ2и (х, у) + С (у) и (х, 0) = 0, (25)

в прямоугольной области £> — {(ж, у)|0 < х < 1, —а < у < /3} .

Методом спектрального анализа построено решение задачи (б) — (9) для уравнения (25) в виде суммы ряда (13), где

( ) = 11>кОур {к) + щА^ (к)] , у > 0,

і дій (к) + Х-к1пЕау (А)] , у < 0,

\1 = Ь2 + (тгк)2,

(26)

Ацу2 (к) = эт \ка сЬ \ку + эЬ Аку соэ Хка+

[Сік {у) йіп Хка + С2к (—а) йЬ Аку], у > 0,

Ву0 (к) = С1к (у) зЬ Ак(3 - С^ (¡3) зЬ Аку + Аа зЬ [\к {р - у)}, у > 0, Д-у/32 (к) = - эт Аку сЬ Аф + бЬ Ак(5 сое Аку+

+Т- [С2к (у) эЬ \ф - с1к (/?) БІП Аку], у < О, -и

Еау = Ак єіп Хк (а + у) + С2к (у) віп Ака + С2к (-а) эт Аку, у < 0,

у и

Cik (у) = У Cl (i) Sh [A* (í - y)]dt, С2к (y) = J C2 (í) sin [Afc (у - t)]dt,

О V

Уь Фк — коэффициенты разложения функций ip(x) и ф(х) по системе {v^sin7rA;x}^, при условии что при всех к € N

Д2 (к) = sin Хка ch Ак(3 + sh Хк(3 cos Хка+

[Clk(ß) sin Хка + С2к {-a) shXkß} ^ 0. (27)

Если нарушено условие (27) при некоторых a, ß, b, Ci(y), C2(y) и к = p 6 N, то однородная задача (6) — (9) для дифференциального уравнения (25) (где <р (х) = 0, ф (х) 50) имеет нетривиальное решение

Г . ДаЦ2 (р) sin ттрх, у > 0, М \ ÄÄs^WsmTTpa;, у < 0, V ;

где ap 0 — произвольная постоянная.

Теорема 2.1. Яслм существует решение задачи (6), (8), (9), (25), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (27) при всех к £ N.

В представлении (26) функции ик(у) в заменателе присутствует выражение Д2 (к), которое при некоторых а обращается в нуль. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, ß, b и функций C¿ (у), i = 1, 2, выражение Д2(к) отделено от нуля.

Лемма 2.1. Если выполнено одно из следущих условий: 1) а = р -натуральное; 2) а = p/q,p,q G N, (p,g) = 1 ,p/q $ N, (g,4) = 1, то существуют постоянные Со и ко G N, такие, что при всех к > ко и любых фиксированных b > 0 и ß > 0 справедлива оценка

|Д2 (к) | > С0ед> 0. (29)

Лемма 2.2. Если a является любым алгебраическим иррациональным числом степени п = 2, нормы ||Ci|| и \\С2\\ достаточно малы, то существуют положительные постоянные Ьо и Со, вообще говоря, зависящие от a, ||Ci||, ЦС2Ц, такие, что при всех к € N и b < Ьо справедлива оценка

|А2(/С)| >еА^. (30)

Если при указанных в лемме 2.1 чисел а выражение Д2 (I) = 0 при k = I = ki,k2,...,kp < ко, где 1 < ki < к2 < ... < кр, ki,i = 1,р, и р —

заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (6), (8), (9), (25) достаточно, чтобы выполнялись условия

ipl = = О, I = fcbfc2, ...,кр. (31)

В этом случае решение задачи (6), (8), (9), (25) определяется в виде ряда

kp-i +00 \

+ I ufc(y)sin7rfo;+

к=1 fc=fcp_i + l к=к„+1 J

+ Y,CiUi{x,y), (32)

/

где щ(х,у) определяется по формуле (28), С/ — произвольные постоянные,

в сумме ^ индекс I принимает значения к\, к2,..., кр, конечные суммы в I

(32) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 2.2. Пусть функции 1р(х),ф(х) G С3[0,1], <pw(°) = VW(°) = <р<0(1) = ipW(l) = 0, г = 0, 2, Ci (у) G С [0, 0], С2 (у) € С [-а, 0] и выполнена оценка (29) при всех к > fc0. Тогда если А2 (fc) ^ 0 при всех к = 1, fco, то задача (6), (8), (9), (25) имеет единственное решение, которое определяется рядом (13); если А2 (fc) = 0 при к = к\,к2, ...,кр < fco, то задача (6), (8), (9), (25) разрешима, когда выполнены условия (31) и решение в этом случае определяется рядом (32).

Теорема 2.3. Пусть функции ¡р(х),ф(х) е С4[0,1], f{i)(0) = ?/>w(0) = V>W(1) = V(i)(l) = 0, г = 0,2, Сг (у) е С [0, ß], С2 (у) е С [-а, 0], нормы ||Ci|| и ЦС2Ц достаточны малы и выполнена оценка (30) при всех к 6 N. Тогда задача (6), (8), (9), (25) имеет единственное решение, которое определяется рядом (13).

При обосновании устойчивости построенного решения установлены оценки (21) - (24), но только с другими постоянными.

Во второй главе рассматривается само уравнение смешанного типа (5) в прямоугольной области D = {(х, т/)|0 < х < 1, —а < у < ß} и изучена задача Дирихле (6) — (9). Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (5): ик(х, у) = Xk(x)Yk(y), где Хк(х) определяется по формулам (11), а функции Yk (у) имеют вид

{аку/у1± (РкУ9) + Ък^/уК±. (pkyq) + Ьк-укс1к (у), у> 0, Ck\/-yJ± (Рк(-У)я) + dk'y/=yY± Ы-У)4) + (33)

¿q 2 q

+dk~/kC2k {у), у < 0,

где ак, bk, ск, dk — произвольные постоянные, q = (2 + п)/2, рк = л/62 + (я-k)2/q, /_l(z) и Kj_(z) — соответственно модифицированные

2<j 2q

функции Бесселя первого и третьего рода, и Ух (г) — функции

2 <7 2ч ^

Бесселя первого и второго рода соответсвенно, = Г^^ 2", у

сік (у) = \[у J сг (І) уД [/л. {ркг") {рку") - (ркї>) /х (рку<)] <Й, о

о

Сгк (у) = у/ч{ с2(і)у/=Іх

х 1 y± 21

Ы-уУ) Ы-t)') - Ы-у)я) Yb ы-ty)] dt.

Используя частные решения (11) и (33), решение задачи (6) — (9) найдено в виде суммы ряда (13), где функции ик (у) определяются по формулам

„ /,л = / [<Рк^(к) + ■фкРур(к)] А31 (к), у > О, Щ[У> {[ФкСчЮ + фкАуЖкЯА^к), У< О,

здесь

А0уз (к) = у/щ>1± (№2/?) Ух (рка0) + (ркач) К, (ркУ4) +

2д 2я 2ч 2q

7Г

+ о \/У7к1± (РкУ9) С2к (-а) ~ (рк<хя) Си (у),

Рур(к) = уГф (рку') /х (ркР") ~ Кх. (рк/Р) /х (ркуя)\ + +УУ7*/х (РкУ9) С1к (/?) - у/р1к1л. (РкР4) с1к (у),

Gay{k) = v^ [jx (Pkofl) Ух Ы-У)я) - J.l Уі (p*a')]

C2k (y) - -¿V-yikJi- {Рк{-у)я) C2k (-a), z 24 z 2q

+

Д_уда (Л) = уГу0і± (Pk/34) Ух (рк(-уУ) + Ы-уУ) к л. (ркрч) +

2 я 2 q ¿q ¿q

(pkPq) С2к (у) + V=yikJ± (pk(-y)4) Clk (P),

Z 24 2я

fx ы-уу) = ^¿r ы-уу) + j-* ы-уу)} >

1q

при условии, что при всех к Є N

Дз (к) = v^/x ІРк/З4) Ух (fta9) + \/a/3Jj_ (рка«) Кх +

2д 2 J<7

+-zyßlkI± (Ptßч) С2к {-а) + sfä-ykJj- (Pk<*4) С1к (ß) ¿ 0. (34)

Пусть при некоторых а, ß, Ь, n, Ci (у), C2 (у) и А; = / е N нарушено условие (34), тогда однородная задача (6) -.(9) (где <р(х) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

Аау3(1) \y/äJi (pía")] sin nlx, у > 0, «i Z/) = <¡ rL 2a nJ-i (35)

Gay(l) l-^a-Zj. (р;а9)1 sin7rZa;, у < 0.

Лемма 3.1 Выражение Д3 (fc) = 0 имеет счетное множество нулей относительно aq , где ая = a4/q, при любом фиксированном ß > 0, Ь > 0, fc € N.

Теорема 3.1. Если существует решение задачи (G) - (9), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (34) при всех к € N.

Лемма 3.2 Если aq = p/t, p,t е N, (р, t) = 1 и Lt ф f + s, где г - остаток от деления р на t, s G N0, то существуют положительные постоянные Со и fco (fco € N), зависящие, вообще говоря, от а, ß, q, b, ||Ci||, ||C2||, такие, что при всех к > fco справедлива оценка

\VkÄ3(k)\ > С0 = const > 0. (36)

Если при указанных в лемме 3.1 значений aq выражение Д3 (/) = 0 при k = I = fci, fc2,..., кт, где 1 < ki < fc2 < ... < кт < ко, h,i = 1 ,т, и т — заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (С)-(9) достаточно, чтобы выполнялись условия

tpi = ipi = 0, т = ki, к2,..., кт. (37)

В этом случае решение задачи (6) (9) определяется в виде ряда

(¿i-l кт-1 +оо \

+ I «fc (у) sin

к=1 k=km-i + l к—кт + 1 J

+ ^2,Ctui (у) sin nix, (38)

I

где щ (х,у) определяется по формуле (35), С; — произвольные постоянные,

в сумме Y1 индекс I принимает значения к\, fc2, •••, кт , конечные суммы в I

(38) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 3.2. Пусть функции <р (х), ф (х) 6 С4[0,1], <^"'(0) = =

V<0(1) = = 0, г = 0,2, Ci(y) е С [0,13], С2(у) е C[-a,0] и

выполнена оценка (36) при всех к > ко. Тогда если A3 (к) Ф 0 при всех к = 1,/со, то задача (6)-(9) имеет единственное решение, которое опре-де.іяется рядом (13); если A3 (/с) = О при к — т = к\, fc2, < ко, то задача (6)~(9) разрешима, когда выполнены условия (37) и решение в этом случае определяется рядом (38).

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теремы 3.2 и Д3 (к) ф 0 при к = 1,ко. Тогда для решения (13) задачи (6)-(9) имеют место оценки:

\\и{х,у)Ці, <м5ОМк + 1МкО>

llc(D) < М6 {M\w> + IIV-'llu',2) І где постоянные и не зависят от <р (х) и ф {х).

Публикации по теме диссертации

1. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа [Текст] / Е.П. Мелишева // Вестник СамГУ

— Естественнонаучная серия. - 80(6). - С. 39-47 (2010) - 0,5 п.л.

2. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области [Текст] / Е.П. Мелишева, К.Б. Сабитов // Известия Вузов. Математика.

- №7. - С. 62-76 (2013) - 0,87 п.л.

3. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области [Текст] / Е.П. Мелишева // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - 107(6). - С. 40 - 53 (2013). - 0.88 п.л.

4. Мелишева, Е.П.: Критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе [Текст] / Е.П. Мелишева // Материалы Седьмой школы молодых учёных "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик. - С. 67-72 (2010) - 0,31 п.л.

5. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа [Текст] / Е.П. Мелишева // Материалы второй Международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: ООО "Книга". - С. 227-229 (2010) - 0,13 п.л.

6. Мелишева, Е.П.: Критерий единственности решеїшя краевой задачи для нагруженного уравнеїшя Лаврентьева-Бицадзе [Текст] / Е.П. Мелишева // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Казан, матем. об-во. - 40. - С. 225-229 (2010) - 0,25 п.л.

7. Мелншева, Б.П..: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа [Текст] / Е.П. Мслишева // Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского. - М.: Изд-во МГУ. - С. 272 (2011) - 0,06 и.л.

8. Мелншева, Е.П.: Критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области [Текст] / Е.П. Мелишева / Труды Всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения". Уфа: Гилем. С. 158 163 (2011) 0,31 п.л.

9. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа со степенным вырождением на переходной линии [Текст] / Е.П. Мелишева // Сборник материалов Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". - С. 81-82 (2011) -0,06 п.л.

10. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения сме-шаниого типа в прямоугольной области [Текст] / Е.П. Мелишева // Обратные и некорректные задачи математической физики. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. - Новосибирск: Сибирское научное издательство. - С. 398 (2012) - 0,06 п.л.

11. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения [Текст] / Е.П. Мелишева // Труды Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". - Уфа: РИЦ БашГУ. - Т.1. - С. 189-195 (2013) - 0,38 п.л.

12. Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области [Текст] / Е.П. Мелишева // Материалы Одиннадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". - Казань: Казан, ун-т. - 46 - С. 301-302 (2013) - 0,12 п.л.

Подписано в печать 28.10.2013. Формат 60 х Гарнитура «Times». Печать оперативная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ JV* 32 /2.

Отпечатано в типографии ООО "ПК Поволжье": г. Самара, Студенческий пер., За; тел.:322-61-76

ФГБОУ ВПО " Поволжская государственная социально -

гуманитарная академия "

ГАНУ " Институт прикладных исследований Академии наук

Республики Башкортостан"

Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, чл.-корр. АН РБ, профессор Сабитов К.Б.

Самара — 2013

На правах рукописи

04201 451 1 56

МЕЛИШЕВА ЕКАТЕРИНА ПЕТРОВНА

/

Содержание

Введение.......................................................................................................3

Глава 1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного

типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе...................................20

§ 1.1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе...................................................................20

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения............20

1.1.2. Обоснование существования решения задачи............27

1.1.3. Устойчивость решения..................................................38

§ 1.2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе...................................41

1.2.1. Постановка задачи. Единственность решения............41

1.2.2. Обоснование существования решения задачи............46

1.2.3. Устойчивость решения..................................................56

Глава 2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного

типа со степенным вырождением................................................57

§ 2.1. Постановка задачи. Единственность решения.................57

§ 2.2. Существование решения.....................................................70

§ 2.3. Устойчивость решения.......................................................82

Библиографический список...................................................................84

й

Введение

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.

Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа на плоскости является уравнение

У^хх ~Ь tLyy = О,

для которого известной краевой задачей является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми [67] в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Геллерстедтом [85] для уравнения

У2т+1ихх + иуу = 0, т е N U {0}.

Затем Ф. И. Франкль [70] впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. И. Н. Векуа [13] указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

А. В. Бицадзе [6] впервые сформулировал принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева М. А.

иХх + sgny • иуу = 0. (1)

Позднее он был установлен для других уравнений смешанного типа и других краевых задач.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались К.И. Вабенко [2], JI. Берс [4], A.B. Бицадзе [8, 10], В.Ф.Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [19], В.И. Жега-лов [20, 21], А.Н. Зарубин [23], Н.Ю. Капустин [27], Г.Д. Каратопраклиев [28], И.Л. Кароль [29], Ю.М. Крикунов [32], А.Г. Кузьмин [33], O.A. Ладыженская [34], Е.И. Моисеев [36], A.M. Нахушев [41], L. Nirenberg [42], Н.Б. Плещинский [43], С.П. Пулькин [44], O.A. Репин [46], К.Б. Сабитов [47], М.С. Салахитдинов [58], М.М. Смирнов [60], А.П. Солдатов [61, 62], Ф.И. Франкль [71, 72], P.C. Хайруллин [74], М.М. Хачев [76, 77], C.S. Morawetz

е

[90], M.N. Protter [91, 92] и многие другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Здесь отметим исследования A.Kneser [88], L.Lichtenstein [89], а также более поздние, W.Gibson [86], J.Groh [87] и других.

Нагруженные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения рассматривали в своих работах Н.Н.Кочина [31], Нахушев A.M. [39]— [41], Кожанов А.И. [30], Пулькина J1.C. [45] и другие.

Работы А.М.Нахушева [39]—[41] и его учеников [И, 18, 19, 24, 25, 26] дали начало интенсивному и систематическому изучению краевых задач для уравнений вида

Ки ЕЕ 1м(х, у) + Ми(х, у) = /(ж, у) (2)

в области Q С I2, где L - дифференциальный оператор, a M - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомой функции и(х,у) на многообразиях из замыкания Q размерности строго меньше 2. В их работах исследовались вопросы существования и единственности решения уравнения (2) в классических областях О,, т.е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Для примера рассмотрим работы [41], [26].

A.M. Нахушев [41, с. 165] рассмотрел нелокальную задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu= { ихх -Щ- А+и(х, 0) = 0, у > 0, \ ихх - иуу - А~и(х, 0) = 0, у < 0,

в области Q, ограниченной отрезками AC :x-\-y = Q,0<x<r/2] ВС : х - у = г, г/2 < х < г] AAq : х = 0, 0 < у < h ; ВВ0 : х = г, 0 < у < h] А0В0 :у = h, 0<x<r.

Задача. Найти регулярное в областях fi+ и решение и(х, у) уравнения (3) из класса C1(Q) П C(Q), удовлетворяющее условию

u{iy) = v?o(y), и(г 4- iy) = (рг(у), 0 < у < h,

и граничному условию на характеристике АС:

и [©о(а:)] = A~D^/2u{t) + ф(х), 0 < х < г,

где ipo(y) и <рг(у) - заданные непрерывные на сегменте [0, h] функции, а 9о(ж) = — г)/2, ф(х) - заданная функция из класса С2 (Тг) ,

Ir = {x : 0 < x < r} , DQx,2u(t) = f(x — t)u(t)dt. Получено условие одно-

o

значной разрешимости поставленной задачи. Само решение u(z) в области определяется как решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа, а в области - как решение u(z) первой краевой задачи для уравнения параболического типа.

В.М. Казиев [26] исследовал задачу Гурса для уравнения

к

иуу ~ IУ\Шихх 4- аз(х1 v)Dtxu 0] = 0, m = const > 0, у < 0,

¿=i

с данными на характеристиках

, „ ^ 2 , ч т+2 2 . . т+2

АС:£ = х----(-у) » =0, ВС:»7 = ® + ——(-у » -1,

т + 2 т + 2

выходящих из точки Здесь Л(0,0), 5(1,0), 0 <

О(х) < х, О(х) е С[0,1], < < ... < ai < 1. Доказал одно-

значную разрешимость поставленной задачи, где ос\ имеет специальный вид при т > 0.

К.Б. Сабитов [50] рассмотрел начально-граничную задачу для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu = Г Щ - ихх + Ci(t)u(x, 0) = 0, t > 0, \ utt - Uxx + c2(t)u(x, 0) = 0, t < 0,

в прямоугольной области D = {(я, t) \ 0 < х < 1, —а < t < /3}, где C\{t), С*2(£) - заданные непрерывные функции, а и /? - заданные положительные действительные числа, со следующими условиями:

t) е С1^) n C2(D-) П

£) = 0, (ж,i)GD+Ui)-;

u(0,t) = u(l,t) = 0, -ск < t < р;

и{х, —а) = ц>{х), 0 < х < 1,

здесь <р(х) - заданная достаточно гладкая функция, при этом <¿>(0) = <р(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности решения. Само решение при некоторых ограничениях на функцию <р(х) и число а построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи на собственные значения.

Интерес к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа возник после известных работ Ф.И. Франкля [70, 72], в которых впервые обращено

е

внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа.

В. Б. Шабат [82] исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области у > —h, h > 0, и области, гиперболическая часть которой лежит целиком внутри характеристического треугольника, построенного на отрезке действительной оси [0,1].

На некорректность задачи Дирихле для уравнения (1) в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 <х + у<х — у< 1, впервые обратил внимание A.B. Бицадзе [7]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенной между 7 и у — 0.

Результат A.B. Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В работе J.R. Cannon [83] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области при определенных ограничениях на область гиперболичности.

A.M. Нахушев [38] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

Жегалов В.И. в своей работе [22] доказал однозначную разрешимость нелокальной задачи Дирихле для уравнения (1) в области D, где D_ -квадрат 0 < —у, х < 1, a D+ - односвязная область при у > 0, ограниченная простой дугой <т с концами в точках (0,0), (1,0) и интервалом I = (0,1) оси х.

В работах А.П. Солдатова [61, 62] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами Г и 7 с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга 7 при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

М.М. Хачев [77, 78] доказал соответствующие теоремы единственности и существования решения задач Дирихле для уравнения

Lu = sgny [a(x)uxx + b{x)ux + c(x)u] + uyy = 0 в прямоугольной области D = {(x, y)\ 0 < x < 1, —a < у < ß} , a, ß > 0,

в которой на числа а и ß наложены некоторые ограничения.

Р.И. Сохадзе [63, 64] для уравнения смешанного эллиптико- гиперболического типа

ихх + уиуу + buy = О,

где 0<6<1и6>1-не целое число, исследовал первую краевую задачу в прямоугольной области D = {(х,у)\ 0 < х < I, —а < у < ßj при определенных условиях на а и ß.

В работе К.Б. Сабитова [47] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода

{sgny)\y\muxx + иуу - b2(sgny)\y\mu = О, т > 0, b > 0,

в прямоугольной области D = {(гс, у) \ 0 < х < 1, —а < у < ß} , а, ß -заданные действительные числа. Методом спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

К.Б. Сабитовым и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) [48, 49, 66] для двух видов уравнений смешанного типа второго рода

ихх + {sgny)\y\muyy — b2u = 0, 0 < га < 2, 6 = const > 0,

Uxx + УЩу + CLUy — b2u = 0, a = const,

исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения и коэффициента а.

В работе P.C. Хайруллина [75] установлен критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения

ихх + уиуу + аиу = 0

в прямоугольной области D — {(х,у) : 0 < х < 1, —а < у < ß} при отрицательных значениях параметра а < —1/2.

Также задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уравнений более высоких порядков рассмотрена в работах P.C. Хайруллина [73], Е.А. Уткиной [68, 69].

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений задачи Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu ее К(у)ихх + иуу - Ь2К{у)и + С(у)и(х, 0) = 0 (4)

в прямоугольной области D = {(х,у) \ 0 < х < 1, —а < у < ß} , где К (у) — sgny ■ \у\п, п > 0, 6>0, а > 0, ß > 0 - заданные действительные числа,

С{У) ~ \ с2(у), у< 0,

Ci(y)ii — 1)2, - заданные непрерывные функции.

Задача Дирихле. Найти в области D функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) е С1 ( D ) П С2 (£>+ U £>_) ; (5)

Lu{x,y) = 0, (ж,у)еЯ+и£>_; (6)

и (О, !/) = «(1, у) = 0, -а<у<Р; (7)

и {х, /3) = (р (ж), и (ж, —а) = ф (х), 0 < х < 1, (8)

где </? (ж) , ф (х) - заданные достаточно гладкие функции, при этом </? (0) = ^ (1) = ф (0) = ф (1) = 0, D+ = D П {у > 0} , = D П {y < 0} .

В § 1.1 первой главы исследуется задача Дирихле для уравнения (4) при тг = 0, 6 = 0, т.е. для уравнения Лаврентьева - Бицадзе

Lu = (sgn у)ихх + иуу + С(у)и(х, 0) = 0. (9)

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (9), которые имеют следующий вид: ик{х,у) = Xk(x)Yk(y), где

Хк(х) = \Z2sin7rfo;, к = 1,2,..., (10)

П (у) = i СквХкУ + dk6~XkV " ^^ У > (11)

кКУ) \akcos\ky + bksm\ky + j¡;C2k(y),y<0,

где ак, Ък, ск, dk — произвольные постоянные, у о

Cik{y) = J С i (í) sh [тгА: {у - t)]dt, C2fc(y) = J С2 (t) sin [тгА; (í - y)]dí.

0 2/

Используя частные решения (10) и (11), решение задачи (5), (7) — (9) построено в виде суммы ряда

+оо

и(х, у) = V2^uk (y)sinTrkx, (12)

к=1

здесь функции ик (у) определяются по формулам

„ ,,л = / ЛЙИ^ №) + « . » > 0.

«*IW S {к) _ -J^Bya (к), у< 0,

где

№ = \/2 J y (х) sin Trkxdx, фк = V~2 J ф (фш.кхЧх,

Адад (&) — — sinтгкаchтгку — shirky cosтгка+ [C\k (y) Sin ттка - С2к (-a) sh тгку], у > О,

Аур (к) = Clk {у) sh тгк(3 - С1к (/3) sh тгку + irk sh [тгА; (г/ - /?)], у > О,

Д-2,/31 (к) = sin тгку ch ттк(3 — sh ттк(3 cos тгку— 1

[Cub (/?) sin тгку + С2к (у) shTrkp], у < О,

Вуа{к) = C2A;(í/)sin7rfca + C2fc(-üí)sin7rA;?/ + 7rfcsin7r/c(a + i/), г/ < О, при условии, что при всех fe £ N

Ai (fc) = — sin тгka ch тгк/3 — sh тгk¡3 eos тгка+

[Cik (P) sin 7тка - C2k (-<*) shnkfí ф 0, (13)

здесь Ai (к), помимо переменной к, зависит также от а, /?, С\(у), С2(у) как от параметров.

Если Ai (к) = 0 при фиксированных к = р (Е N и некоторых а, (3, Ci (у), С2 (у), тогда однородная задача (5) — (8) для дифференциального уравнения (9) (где ip (х) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

„ (х v] _ / (Р)^Р*. У > (14)

где ар ф 0 - произвольная постоянная.

Для нахождения нулей выражения Ai (р) относительно а представим его в следущем виде:

а = ízD!arcs.т^У0-СгА~а) + Ъ+Ц = f(a) „ £ „ (15)

ТГ р Ap{¡3) ттр р

где

Ар (/?) = ^[С1р (/?) - тгр ch тгр{3}2 + (тгр sh тгр(3)\

. 7rp sh тгр(3 > = arcsin^p

при условии, что

sh7Tр(3 • С2р(-а)

AM

< \С2р{-а), < 1 Р

Если С2р (—а) = 0, то из выражения (15) следует, что Ах (р) = 0 только в том случае, когда

тгр р 9

Если С2 (у) = С<2 = const О, ТО С2Р(—а) = С2 (1 — COS7rpQ;) /(тгр). Тогда Ai (р) = 0 только тогда, когда

а

(-D'

7Гр

arcsm

С2 sh 7грР п в.

+---п2 € N,

(тгр)' (/3) Р ТГР

здесь

= arcsin

(С2 - (тгр)2) sh 7гр/5

М2тр(/?)

Гр (/5) =

Cip (/з)

— ch 7гр(3

+

Пусть

тгр

Ci(y)\, \\С2\\ =

С2 sh ттр/3 (тгр)2

— sh ттрР

тах

-а<у<О

С2(у)

С\ 11= тах

О <у<Р

Для разрешимости нелинейного уравнения (15) достаточно потребовать, чтобы \/(а)\ < й < 1, т.е. при а < тт/{л/2\\С2\\) или р > к/(а\/2\\С2\\).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.1. Если существует решение задачи (5), (7)— (9), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (13) при всех к 6 N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {\Z2sin7rкх}к1 в пространстве 1/2[0,1] •

Поскольку а, (3 — любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение А\{к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[1, 47]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, (3 и функций (у), г = 1, 2, таких, что при достаточно больших к выражение Д^А;) отделено от нуля.

Лемма 1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р -натуральное; 2) а — р/д ф д €Е М, (р, д) = 1,(д, 4) = 1, то существуют постоянные Со и ко £ М, такие, что при всех к > ко и любом фиксированном (3 > 0 справедлива оценка

|А1(Л)| > Сое*к0 > 0. (16)

Лемма 1.2. Если а является любым алгебраическим иррациональным числом степени 2 и нормы ЦС1Ц и ||С2|| достаточно малы, то существуют положительные постоянные Со и (Зо, такие, что при всех к £ N и (3 > (Зо справедлива оценка

Д1 (/с)|>е^.

к

(17)

Если при указанных в лемме 1.1 числах а выражение Ах (/) = 0 при к = I = к1,к2,...,кр < ко, где 1 < к\ < к2 < ... < кр, = 1 и р

— заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (5), (7) — (9) достаточно, чтобы выполнялись условия

<pi = ф1 = О, I = ki,k2:...:kp. (18)

В этом случае решение задачи (5), (7) — (9) определяется в виде ряда

/ ki-í кр-1 +оо \

u(x,y) = V2 Yl + Wfc (у) sin7гА;ж+

у к=1 k-kp-i+í к=кр+1J

+ ]ГЯМ(х,у), (19)

i

где щ(х,у) определяется по формуле (14), Н\ — произвольные постоянные, в сумме индекс I принимает значения к\, к2,..., кр, конечные

i

суммы в (19) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 1.2. Пусть функции (р(х),ф(х) £ С3[0,1], =

0) = <рЩ1) = ^)(1) = 0,г = 0,2, С\ (у) £ С [0, /3], С2(у) £ С [—а, 0] и выполнена оценка (16) при всех к > ко . Тогда если Ai (к) ^ 0 при всех к = 1, ко, то задача (5), (7)—(9) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12); если А\ (к) = 0 при к = I = к\,к2, ...,кр < ко, то задача (5), (7)—(9) разрешима, когда выполнены условия (18) и решение в этом случае определяется рядом (19).

Теорема 1.3. Пусть функции (р(х),ф(х) £ С4[0,1] 7 </>^(0) = 0) = ^(0(1) = фЩц = о,i = 0,2, С\ (у) £ С [0,0], С2(у) £ С [—а, 0], нормы ||Ci|| и \\С2\\ достаточны малы и выполнена оценка (17). Тогда задача (5), (7)—(9) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12).

При обосновании устойчивости построенного решения (12) используем следующие известные нормы:

Iи {х, у) \\ь2[0,1] = 11« (х, у) I\l2 = í J \и (ж, у) \2dx

1/2

,0

\и (х> У) llcp) = \и у)

n/wik= /¿k(fc)w

lo \ V2

2

dx

, /с£ N.

о k=° /

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и Дх (к) ф О при к = 1, /¿о • Тогда для решения (12) задачи (5), (7) — (9) имеют место оценки:

\\и (х, у) \\ь2 < Мх {Ы\ь2 + \\Ф\\ь2),

IЫ(х,у) ||сру) < М2 (\\<р\\щ + MIh/i) ,

где постоянные Mi здесь и далее не зависят от <р (х) и ф (х).

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда для решения (12) задачи (5), (7) — (9) имеют место оценки:

\\и{х,у) \\ь2 < М3 (IMIwi + \\l/>\\Wi) , I\и(х,у) \\с(щ < М4 (\\if\\W2 + \\ф\\^) .

В § 1.2 исследуется задача (5) — (8) для уравнения (4) при п = О, которое можно привести к следующему виду:

Lu = ихх + sgny иуу - b2u (х, у) + С (у) и (ж, 0) = 0, (20)

в прямоугольной области D = {(х,у)| 0 < ж < 1, —о; < у < (3} , где 6 = const > 0.

Методом спектрального анализа построено решение задачи (5) — (8) для уравнения (20) в виде суммы ряда (12), где

X^faDyf} (к) + <рк&ау2 (&)] , У > 0, Фк&-у(32 (к) + X^ifkEay (fc)] , У < 0,

ик{у) = > ^к)

1

д2(*)

Х\ = b2 + (тгк)2,

Дат/2 {к) = sin Хка ch Хку + sh Хку cos Хка+

+Т- PiA (у)sin + ^Sfc (-л) sh Afcy], у > 0,

Afc

Dyp (к) = Cik (у) sh А*/? - C7ljfc (/?) sh A^j/ + Ал sh [A* (/? - y)], 1/ > 0, Д—у/32 (&) = - sin ch Ak(3 + sh Ak(3 cos Aky+

[