Задача Коши для параболических уравнений с возрастающими коэффициентами в пространствах обобщенных функций типа ультрараспределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



\ • ЧЕРШВЕЦЬКИП ДЕГЖАВНИЙ У1ПВЕРСИТЕТ 1М. Ю. ФЕДЬКОВИЧЛ

на правах рукопису

Дршь 1рина 1гор1ваа

Задача Кони для парабсшчннх р1впшв- ¡з зростаючими коефицептами в просторах узагальнених функщн типу ультрарозподияв

01.01.0? - лиферснщальш р1вняния

Автореферат дисертацн на здобуття наукового ступеня кандидата «{пэнко-магема'тичнихнаук

Чгр'пши 1996

Днсерташев е рукошс

Робота виконанз в Черкшецысому В1ддии 1нституту прикладних проблем мехашки I математкш ш. Я.С. Шдстригача НАН Укранш

Науковий кер1вник - докуор ф1з.-мэт. наук, доцэнт Городэцький- Василь Васильович

0ф1Щйн1 опошли! - доктор ф!з.-мат. наук, професор ГорСачук Мирослав Львович - кандидат ф1з.-мат. наук, доцент Лявренчук Болодимир Петрович

Проводка ортйшаащя - Нацюналъний ун1верситет ш. Тараса Шевченка

г* хи 14

Захист в'дОудеться "_и____1996 р. о ___ годин!

на заспданш спешал:Зовеио! вчено! ради К 07.01.04 при-Чер-швецъкому державному ушверситет! за адресою: 274012, Чершвц! - 12, вул. Ушверситетська, 28, математичний факультет

3 десертащею иожна ознайомитися у б!<Шатещ ЧДУ за адресою: м. Чершвш, вул. Лесг Укратки, 23

го

Автореферат роз!слано "__" _ 1996 р.

Вчений секретар ¿о

сшщал1зовано1 вчэно! ради ¡1/л.с^У > А.М. Садов'як

Загальна характеристика роботи

Актуалыис'ть теш дослид-еякя.

У теор!! задач! Кош: для лппйнлх ггараболгпяк ршшнь на то-пэршшй час одержан! доснть повн! результата з питань коректно! розв'яиост!, штегрэльного зображешш розв'язшв та дослм.женкя tx властивостей у випадку, коли ггочатков! умови е звичайнимя функщями. Значно менше вивчеко задачу Кои! для р!внянь з р!зними особливостя-Ш1, коли, нанриклад, р!Еняняя замють диференщальних оператор!в шстять поевдодиференщалып оператори, у р!вняннях наявш ь.шадко-в! збуренгя, вироджуеться тип отнятом 1 т.п., причому така задача мае природну постановку з почзтк^вкми умзвами, як! s; узагальнениш Функщями скипеннсго аоо нескшченного порядку. 0ск1льки множили почзткових значень розз'ягшв таких р!внянь зб1гаються з множинами почпткових даних задали Кош, при яких тозв'язки я елементами пев-них функцюнэльнкх npocioptB-, то розвинення теорп грятгпшх зна-чень для вказаних ршнянь Bt;ttrpas ванииву роль при постанови! та досл!джнш задач! Кош для щ£х р1внянь.

Теор1я граничних значень у просторах 1 та спещэлышх ваговпх Ь - просторах розв'язк1в лгшйшх ptBuoMtpfio параЯолггних за Пет-ровсысим рпшянь ! систем рIвнянь з гладами у inapi Пт-(0,Т]«К комитентами, а також гь-гПара0ол1чнкх систем р!внянь та пзраболрших р1вдянь з оператором Бесселя розвипена в герацях й. Шабровського, С.Д. Гвасииена, В.П. Ланренчука, Т.В. Дутчак, JI.M. Лндросоьо! та ih. При цьому одержано вамив) результат« з пигань зобрэження розв'яз-к1в у вигляд1 1нтеграл:в Пуассона деяких. Функций або узагальнешх борельовга utp, сукушюст! яких утпорвють инокини початкових зна-чень цих розв!язк!в.

. У той я:э час граш'лн1 мзстивост) гладких в Пг розв'язшв р!в-пяиь пара бол 1Ч1ЮГ0 гьлу з неоомокепо зроотмк/пмя при •-■» в pia-гагс просторах узагальнених функц!й (розподшв, ультрарозподинБ тощо) досл1джен! у випадку модолышх piвнянь М.Л. Горбэчуком, П.Г. Дуднкковям, 0.1. Каияпровськтм, В.В. Городадъким. При цьому or !сэ-и! множили початкових даних задгч1 Komi, при яких розв'язки в не-скшчзнно дифороншйсгаяыи по х в Q фуНКЦТЯМИ.

Тому моягаэ Евакэтк онтуалъчикл розьипекня теерп задачi Кош! для вказаних р!внянь (у клас таких piвнянь (з зростаючими коефии-

унтами природно ыит-гати р!вняння, що мютять пох1дн! по Ь вщих порядк i е^ або ж рг «знания з оператором дробового диференщювання по часозш змппий) а ночатковими умовами, як! е узагальненими функциями октченого аЗс нескшчешюго порядк!в.

Мета робота. Метою дисертац1йно1 роботи е:

1) знаходження загального вигляду вс1х гладких у шар! ((0,Г]»(0,оо)) розв"язк1в Р1ВНЯНЬ парабол1чного типу !з необмежено зростаючими при 1x1—к» коеф1 тентами, як! мютять оператор дробового диференщювання по часов!й зшншй або мають особлив !сп при по-х1дн1й но I;

2) досл!дзкення граничим власгивостей розв'язк1в при наближен-ь! до мек! шару <М-{ОЬК (эбо 6П*{0}«(0,«>)), тобто, встановления юнування у ни, езагал: какучи, узагальнених границь при Х-* +0 1 знаходження множта початкових значень;

3) доведения коректно1 розв'язност1 задач1 Кош! для таких р1в-нянь з початковими умовчми, як1 е узагальненими функщями, нескш-

чонтюго порядку типу ультрарозподшв (типу Б*}; встановления влас-тивост! локал1заци розв'язк1в задач! Кош1. для вказаних р1внянь, яка полягае в тому, що якщо почэткова умова - узагальнена функтя /■ - на деякому 1нтервал1 (а,Ь) с к (<п,Ъ)с (С,а>)) зб!гаеться з непе-рервнои функтею ц, то роз'язок иа.т) в[дпов1дяо1 задач [ КошI зб1-гаеться при í—нО рЛЕИОшрно на кожному В1др1зку [с,<1]с(а,Ь);

4) досл!дження властивостей перотЕорень типу Гауссе-Вейерштра-. сса формальних раД1в Фур'е-Ерм1та, Фур'е-Лагзррэ та 1хшх ядер.

Каукова новизна результата дисертацп полягае у:

- одержанн! загального зображення вс!х гладких розв'язк1в:

а) одного класу рIваянь параСол!чнсго типу !з необмежено зростаючими при |5г|—« коеф1щенгзш, яш мютять оператор дробового диферешишання пэ часов!й змшшй?

0) двяних нер;ьном1рно парабол1чних за Петровськкм у шгл! ит> ((0,Т]«(0,о>)) р!внянь 13 необмежено зростаючими при |лг|-"-к*> коефЩ!-енташ, як! мають особливючь при пох1дн\й по г;

- встановленш гснуванкя грангачних значень гладких розв'язк1в таких р1внаиь при Г—у просторах узагальнених функтй типу ультрарозподшв;

- доведении .а) ксректан розв'язност! задач! Кош для ьказа-ш1х р!вн.ль " початковими укорам! в просторах узагальнених функтй

типу Б , а гакож у деяких Занахових просторах; б) властивост! лока-Л1зацп розв'язрш задач! Кош! у досить широких класах узагальнених Функщй;

- дослдаенш властивостей перетворень типу Гаусса-Вейерштрас-са формальних ряд!в Фур'е-Ершта, Фур'е-Лагерра та !хн!х ядер (вста-новлено оцпши псх!дних ядер перетворень та юнування грашшшх зна-

чень вказаних перетЕорень у просторах узагальнених функцШ типу Б* при прямуванн! параметра сумувания до нуля; для формальних ряд!в Фур'е-Ерм1та, Фур'е-Лагерра, просумова»шх методами типу Гау^.са-Ве-йерштрасса доведено аналог принципу локзл1заци Р1мана для тригоно-метричних ряд!в).

При знаходжэнш загального внгляду гладких розв'язк!в вказаних р!внянь та встаневленн! коректно! рочв'язт'( п задач! Ком! для такта р.'впянь у просторах узагальнених функщй рикорнстоЕуеться та розвиваеться методика досл!дуень М.Л. Городчукя I В.1. Горбачук з теори граничних значекь розв'язтв абстрактаих дифереиц 1 алыю-оно -раторних ртнянь першого порядку, а також методика досл1джень Г.6. Шилова, 1.М. Гедьфанда, С.Д. ЕНдэлшана з теори парзбол!чких ршнянь 1 систем р!внянь.

Наукова I практична щнн?сть рсботи. Робота носить теоретичний характер. Результата та методика дисертатйног робота можуть знайти застосування I подалызий• розвпток у теори задач! Кош! для л!н!йних параболгших р!внянъ при дослнгжеши властивостей розв'язк!в, у теори узагальнених функщй, теори сзмоспряжеких операторов у пль-бяртовому простор!, теори еумування" формальних ряд1в л!НШшми регуляряими методами.

На захист вшюсяться:

Теореми про загальний вигляд ус!х нескшчешю дал^эренц1 Певши .по х. розв'язкгв: а) одного класу р1вяянь парабол!чного типу !з необмекено зростаючими при ¡,г|--+а> коефииея'гамл, як! мютять оператор дробового диференщювання по часовШ гкишпй; б) деяких нэ-Р1ЕН0М1ПН0 парабол!чних за Петровським.р1внянь 13 зроставчими при 1х(—о» коеф!щектзми, як! мають особливють при гсшдшй по I.

2. Теореми про юнувзкня грзгеших значень гладк:1х резв'язщв таких р! вняпь при г—Ю у просторах узагальнених фупкщй т:оту 3 .

3. Теореми про а) коректну рсзв'Яйнють задач! Коии для екк-ззних ртадянь з початкоадам дакими у просторах уз'агальнених функ-

щй типу б', а також у деяких Оэнахових просторах; б) властны сть локал1зацп шзп'язк1в задач! Ксш у просторах узагальнених ФункцШ типу ультраразгюд1л1в.

4. Теореми про властивост! перетворень типу Гаусса-Вейерштрас-са формальних ряд!з Фур'е-Ермггз, Фур'е-Дагерра та !хшх ядер.

АпроОатя роооти. исновш результата допов!дались на^ науко-аому сем¡нар 1 Чершвецького В1дд1лу 1нституту прикладних проблем механ»ки I математики 1м. Я.С. Шдстригача ПАН Украпш (кер1виик

- доктор ф1з.- мат. наук, професор С.Д. 1васишей, 1994 р.); пауковому сьм!нэр1 В1дд1лу р1внянь з частшшми похшшми 1нституту математики Ш1 Украпш (Ки1в, кер!внкк доктор ф!з.-мат. наук, професор V,.Л. Горбачук, 1996 р.); чауковому сем шар 1 математачного факультету Чэршвецького державного ушверслтету 1м. Ю. Федьковича (1996 р.): Всеукрашсьшй науковШ конфзренцп "Нов! шдходи до розв'язання диферентальних р1вняньг (м.Дрогобич, 1994 р.); М!жна-роднгй математичягй кслферетцг, нриавя-дшШ ггам'ятг Ганса Гана (м-Чершвт, 1994 р.); Всеукра1нськ!й кокференц!; "Диференшаль-но-функцюн&льт рIвняння та ¡х застосування" (Черн1вц!, 1996 р.).

Пуол1кащ1. По тем! дасертац!1 опуол!ковано 6 праць. 3 результат! в сп1лымх. праць [1-3) автору дасертац! i належать теореми про:

- загальшй вигляд ус'.х гладких у шар1 розв*язк1в р!внянь парабо-л1чнрго типу 1з неоомежено зростаючими при |:г|—<и коеф!Ц!ентамн, як! мхстять опэратор дробгшоге диференц1»ваннл по часов!Я змишй або мають особливгсть ¡три шшдшй по I;

- юнуваннл граничим значзнь гладких розь'я?к!в таких ргвнянь при

+0 у просторах узагальнених функтй типу з';

- корекгну розв'язшсть задач! Копи для вказэних ршнань з ночатко-

вими умовами у просторах узагальнених функтй типу 3*;

- 1снуванкя граяичню: зпачень у просторах типу 5' перетворень типу Ггусса-Вейерытрасса формгльних ряд!в Фур'е-Ершта, Фур'е-Лэгерра при прямуьашп параметра сумувакня до пуля.

Б.В. Городзцькому, з результатов чказангх от! л ¿лих праць, належать тьердаекня: 1) про ей?ляд ядра переборе чня Гаусса-Вейершт-раеса формального ряду Фур'?-Ерм"га у килацку 7-1; 2) про оцтки нэх1дних яда ¡терзтворення Гаусса -Бейврштрасса формального ряду Зур'е-Лагерра у випадку 1.

Структура та об'см ропоти. Дкертащя складав'1 ься о ьстуиу,

двсх параграф п.» -та списку цитоьано! Л! тератур;; > що t. .стать ¿8 инй-менувань. Повнай ой'еш росхгса склздае 1U3 машяпокиснн? сторшки.

а.пст дигортащj У естцп, рогрунтовуетьея акгуалынсть теми дссшд.кчшм, визначатая м^'та дослщжешы, даетьел стислий огляц прэдь по т«.и дн-еертацп, опвсустьгя зм»ст дисертацн та it ошоьш результата.

Парэгр&Т) пераиП присвячений: t V зоорэчсвчню аэтэльното ьиглялу ecu; гладких у шар1 ..о,оо.ык розв'язк!б одного нлаеу рплшш пара-бо.'нчнсго Гилу !з кеоочежено гростаючими при |г|—ш кос-фипентши, як 1 мютять оператор дроосвого ¿Дорешитакня по часоь:й зшнн!й; 2) коректтй роов'язкост! задач! Кош! для гачзаних ризияиь з почот-ковиш! дакими, як! е узагяльданими эдлкшлми иту ультрарозиодшв. • Вид!л.четься максимальней простip уаагальнеыа початкошх. даних, лю заЗезпгчуютъ iciiyRamn единого гладкого в £1 розв'язку маз^по! Sa-

дзч!.

Оонобшм згсоСом досл'день е ¿.ормалг.ы ради ■Ъур'с-Ериита. Ца яав'язаяо з тем, що ¿казанi рюняння зобрэжакться у вигллд! диф»-ренщальио-опора'Кфних р!вня.нь ьягллду

+ r[ii]+'DiroAad(t (г,.г)-:0. ' (I)

д9 (i е [-3,0), и:-0 - ф.'ксобзе! числа, ifll - щяа, а {(]} - црозова чьстини числа р, - оператор дробового днферекдшьяикя, лкий д)е

по зм(Ш!й t у. простер! 1)\ (простгр, яккЛ складав'Гв.-'Я з ycix узз-галыгснах функц!й з D що зглгаються а нулем ua niEoci (-»,0)>:

V д*

•У"

-f-i fliili

—- , (i:-0, '

Г(р)

"¡-[(П.

в - фуикцiя Хев1 сайда, А - неыд'бмннй самосгтрякгший оператор в L,((R) 31 Щ1лыгою соластю ьизначення ь LgCK) спектр якогс е чисто дискротшш"! оператор Л будуеться так, цо фупкци Ермла Пк, ki2, -'>ртонорнований базис в 1,(5') - е Пою вдаенжя функщ я,чи, що ыдпо-ыдаоть вдаонш зи&ченням'-А ^"(2/2+1 > , ki?)t д? гм! - фшсованд чкс-

ло. При цьому позишш \а нэга'сивш простора, як! будуються за оператором Л та проепр вкладаютвся в иростчр формальних ря-

• ио

д1в Фур'е-Ерм1Тй бтгляду'У що стотсшшться з лшйннми не-

перерБни,и Фуштоналами над простором

ж

Ф-гшшФ , Ф Мс< мда.

„ п п т 2 / , л й я

Перейдено до короткого викладу результат:е иершого параграфу, який складаэтъся з тести пуштв. Пунктк 1,1-1,3 ноеять дспом.жний характер.

У пункт: 1.1 наведано осеовк! означения та твердження, що сто-оуються простор:в основшц та узагзльжшкс елементт, поО.удованих за самослря:кеш!м оператором з дискретшм спектром у сепарабельному плъбертовому простор!.

У" пупки 1.2 наЕедено осковш поняття теорп формальних ряшв Фур'е-Ерштэ, розышеко1 в працях М.Л. ГорОачука I В.1. Гср£ачук; встанозлено сшшалып оц:нки для пох1дких.функц!й Ершта.

У пункт! 1.3 кэведеш* осноеш означения та властивост: простора пшу 3 та простор!в улътрарозподипв типу Б .

Як вже вшначалося,' розглядуваш у даному параграф! гогтакня Т!С!Ю пов'язан! з сумувэшмм формальшх ряд!в Фур'е-Ерм!та методам!1 типу Гаусса-Вейерштрасса. У пункт! Г.4 вивчаються ооновн1 властивост! перетворения

со

еГПгк + 1 7>0. '

формальних ряд! в Фур* в-Ерш та вигляду у козкэн з яких ототож-

Ь'О >

нюеться з певнов узагалъненою функщею з простору (Б^)', (ц"И/2, шцо 7>1; и.'-1/(27), якщо 0<7<1). Тут Ск=</,Нк>, кеЖ+, - коеф!щенти Фур"е-Ерм]та узагалъшно1 фуиукци / (.</,•> - позначае дно функцю-

налу / на основпу Функции), (3^)'- сукупнють ус!х лгшйних непе-

рервних функцюшиив над простором яккй в!дноситься до просторна типу 3, вве.цених 1.М. Гельфэвдом та Г.6. Ииловыд. Цей проспр

окладаеться з усíx фушцгй ^-G^itk),, що задовольияпть умову

3 V №-:Z+ V .reff1: |ф(т) U)Kr?fíVwüe.íp{-ar' '''"}.

Зокрзма, у теорем! 1.1 стьердкуеться, що для перетьоренчн / пра-нильним е зоорьхенал

■ •)■'-, í^n, Y>0. «К.

де К т - ядро методу еумування. Вс-тановлено оц;нки пох!дш!х яцри £ , з яких вжимвае,- що С, öS"" при кожному г-0, 7,-0, х ч й:. Грышчне значения шретвсрення /„ „ птл! t—+0 icwye у простор!

Е f 7

(S®)', tocto ft —/, f— +û у простор» (3^)'. Лаеться також в1дпо-s!дь на питания про те, як пешею повс^игись перетворення /. яри í—• +0, 'ДОС його граничив значения налетало до певних простор!в, роз

мнцених mix L-. (К) : (S")'.

Для класичин ряд!в Фур'е-Ерьита мак мкце аналог в)дсмого нрн-нципу локал:зац!1 Пиана для тригенометричних ряд ¡в (про локальна посиления збикносп ): якщо функци if,g) L2(K) зои'амься на ш-тервал! (a,t>)çtë. то на будь-якому в!др!зку [rjis,b-Ej с (а.о) ptw-надя ix ряд!в Фур'е-Ершта рткошрно зсигаеться до нуля. У клас! ро£под!л!в цей принцип вже ш Еиконуеться. Якщо ж ряд ijp'e-EpMi-та узагальпено! функци просумувати методом типу Гауеса-ВеЯ^рштрас-са, то як встаноьлено у п. 1.4, принцип локал'нзц!! мае мюцо вжэ у досить широкому клас! узагальнених фушеци! несх!нчеиного порядку.

Бказан! результата у п. 1.5 зэстсоовуютюя для знаходкенпя за-гального взгляду bcix нескшчеино диферентйовних но х розв*язк!в рÎВНЯННЛ (1). П!Д розв'язком Р1ВНЯННЯ (t ! резумтмеыо фуякцио и, яка задоволъкяе умови:

1) и( • ,:г)<ф'гЛ 0~[|3:|((0,'Л)) при кожному jftK;

u(í, • )cD(Aa)cl.,(K) при кожному í>Q; u(t,-)-0 при t«гО;

3) и задовольняе р!внчння (i).

Якщо 0 е (-3,-1), то припускаемо, що и эадовольняе також наступну умоьу:

4) для дов1льного ф!ксованого прем иску [о, «х-МО,*; ¡cuya ста-¡a c-c(ö)>0 така, що

зир , с.

f t1 », )

Одни.! з оснивша результата першого параграфу е. наступив гвердження:

1адреса Функцш ие розв'язком ртнянчя (1) тод! t т;льки iодi, коли Бона тюдаеться у еигмяд! к»

и. (/, .г) (9 (г) ÜXр{- í (ZP. +1)'•'(~1 fl ] 1} */_ (р > (í)< Оh\ (х) -

Ь-й

№

'¿L e íipl1 l'-um'l "(í.')tS^ при кожному t>0.

3 тйореш! 1.6 аишшшс, що формулою (2) оннсуються при с>0 за неаинчеяно диф»эренщ?.овн1 по х розв'язки р1вняння (1).

Наел i док 1.2. ¡'ранлчве значения Sl^uU. • > при í-—+0 юнуе в ПрЭСЮр] (S™).', тйо'го

' CS-)' с --СЛ.

О-гкг, (Sе у извному розушгои "максимальиш" простором у

лксму «снушть j'paHu-íHl значения функцп Э^'щ?, •) при-1—+0. Ско-рьстаыавсь зобрвиеашм функщ j у ьйгдяд! формальних ряд» в Фур.'е-Ер.мпэ, у п. 1 .5 даються необидн! 1 достатн! уыоси, при впконанш

л«:х граничн! 'лшчоння íP^iut, •) при i—+0 ¡снують у ьужчих (проткни х) просторах, розмпц-зпих шж I2(S<) i (S®) .

Зэдвавйння 1. Якщо параметр р набувае о дне1 13 зн&чонь о ыно-кини Í-! ,-2,-3}. то (|3}'0, s Ф^-Ф^-Е (Е - одишчянЯ оператор), , arü(t;.)

£ru(ífO------, ¡3, сгО - фгксоьань число. Очке, ш/уюв1дно

* 0tp

маемо ршнлння

ÓUkX,Z)

-------- + ,.г)*и, (t,.r)t;Ü,

tí i

--:—г---haUlJ „D'Cl, (t.XKiJ,

3 t

iluJ( t ,x)

--— + hau(t ,-Zl'0, U.-i'K Q,

dt"

або

б' и , „

--; (-1 (Г.ГКП, Pi{ I ,2,3) . (J)

dt2'

При i о розн'язки Min р1внянъ зосражамтьел фориулоь а-о

А«:)'. ГО, J*®.

тоито при i'-Q mik мшметою гладких розв'язшв piehhhiih (3.1 та су-кугшгстю перетворень типу raycca-BeitepinTpacca формальши рядш ¿у-

р'0-Ермгга узагальнених функщй з простору (S™)' Генуе ьзаемо однозначна втдповгдшетъ.

Заувзжання 2. Якщо г^-1, то оператор А c2iгаеться з оператором,

ь'

породаеним в I, (1И) диферакцшльним влразом ----т- * vocVro р.

а.г

даному ы'лбдку л - гяриотйниД оецклятор, власниш числами' якого числа , rf<-:2+. Якщо а-и, «бШ. то, як в)домо,

. '.v'uf г ,,z i A";U(i,.r)-(--— • I- > С4 J^-----,

за" K-, ^

O^p + q^a?,-!

де С™ - стал! коеф1Ц!еятя, для якях спрагдкуються ощнки 10м K10rV5"'ptq?/2.

F ,q

У рб'ЯЧКУ 3 цдм р1вняння (1; öjwmo ЫДНОСИТП ДО plehxüb сарабслпшого типу 13 зростаючими коефищвнтами.

Для ртьнянь (3) наел 1 док 2 а гоореми 1.6 формулюеться так:

граничне значения nit,-) при t—>0 генуе у npoc-ropi (."!')',

'IOCÍTO

(S'")' "

u(t-,x)—s;—/-> e n

i-O ■

Пункт 1.6 першого параграфу присвячений питаниям хоректноi розв'язносп задач! Кош! для р!внянни (И та властизост! локалюа-

ЦП I! розв'язк1в у просторах узагальнены функшй тту з', а також у деяккх оанахових просторах.

Наслгдок 2 з теореми 1.3 дозЕоляе ставити задачу Кош! для piB-няння'(1) так. Для (1) задаю почагкову умову

£>?u(t, • >j t=o"/- í}>

да /e(S™)'. Шд розз'язком- задач 1 Кош! (1),(4) роэуьптимемо рсзв'я-зок р IВНЯЩ1Я (1), який эадоБольняе початкову умову (4) у тему сенс i,

щр 3><P}U(t, • )->J при t — +0 у простор! iSjp'.

Освоений результат п. 1.6 складае наступив тверджйкяя. Теорема 1.8. Задача Кош! коректяо розв'язн& у простор! почат-

коыи дапих <s") . I! резв'язок зобрахаетьсч 'формулою (2); при"цьому u(í,')€ При коа&юму t >0.

Отжз, íS^)' е максимзльиим простором початкових даши задач i Кош! ДЛЯ рIЕНЯНПЯ (1), при ЯКИХ В1ДП0В1ДН! розв'язки (1) е при í;-D нескшченно дифоренщйошшш по х функщяш.

Що стосуетъся р1внянь (3); то-задача Кош! в цьому випадку ставиться так:

д- /с(S^)'. При цьому теорема 1.8 стосовно задач! Komi (3),(Б) па-реформ.удьозуеться в!дпов1ддим чином. Зазначимо ще, що розв'язок задали Komi (6), (8) за умови г«/р>1 волоД1в властирлстю лоисиСэацИ (влаотмшетю локального посилэпня зйшюст!): якщо початкова уза-

гальнола Фулкц1я(S^)', £>wai{i ,и>}, зсНгаеться на штор-

вал! (о,Ь) с к з непярершюи фунище» g, то r^t 8 "Ри í—+0

ия [t-vzi, д* ft\ci}c(a,ü).

П;д1фьс.г.»&.о, що при р>0 в основному простор! е ф!Н!ТН! функ-

i 3

цп, тому можна говорит}] upo рпшсть двох"узагалшоних ФункцШ на деяксму пггервал! (а,Ь) с а:.

Пехай тепер К - дов'лыгай Оанахш простtp функц1й, аизначених

на 1Р, такиЯ, що З^сз^сХс^/с^^Гсф', прмчому -X i вка-заш вкладешш е неперервними («япряялад, за X мояша йзяти преет i р

L, (!R)), S:-Á4jx - звуження оператора i" на X, д* Д'* - оператор, який д!я в простор i ф' за правилом:

к'о fe'o

де ¡'>0 - ф!ксоЕаш'й параметр, 1з неязсзрЕтооН вклэяень X с (sj¡J) с

)'сф'знлливав, (до В - зямккеш'Л ь X оператор, область визна-ченкя £>(В) якого 'Щльна в X i micthti проетчр Ф. Розгллнемо р1Екяння

óuv

--+ (-1 )p+1Bíx=ü, (í,-.tjp(0,'»)»!Ph¿í1 (tí)

dtP

де р иабувге одне 1з значень (1,2,3).Говоритимонс, що задача Кош i для рiвняння (6) розв'ягна в простор! X, чадо для довгльного f t X гладкий розв'язок и ргвняшя (S), що Егдлсыдаз /, задоЕольняе гра-нччне сг£!вв[дноаення u(t,0—•/, í—>-»0, у простор! X.

.У пугает: 1.6 встановлено, що задача Ксшг (5), (6) резв'язна тэ-

Д1 i тмьки тод1, коли оператор -в1/р в генератором гпвгрупк класу

Перейдемо до викладу оснсбних результат iв другогэ параграфу, який складаегься з трьох пункт!в. Параграф присвячений встялоблйнню коректно! розв'язност! задач! Komi для деяша першюмгрно парабо-.Л1чних за Петровським у иар! Цр-(0,1]"(Q,«j) ptBuara» t3 необмажено зростаючиыи при \х\~<•» коефицентами, як! можуть мати осооливост! при жшдшй по í, у випадку, коли початков! унови е узагальненими Функтями несктченного порядау.

У пункт1 2 И будуються простори осноьних та узагалънених еле-мвнт1в невгд'емпого сатоспряяеного оператора з чисто дискретам спектром. Нехай

Ь Э Г *L --lf' Ё Uí;+1 }Gnln& •

m.

9-11тШ ®и- {ф с I2((0.»))¡ ф-£ bfcl^. bfc ó í>,

дв l , - фушсцü Лагерра, 4' - простtp лнийшх наперербних

функцхонализ па Ф si с лайкою pOíxhicjío- Елементи ф' назкваютьоя узагальнешми функтями. Коша узагальнена фуккщя /еФ ототокню-

еться з II рядом Фур'е-Лагерра V Cfc7.fc, да С *</,!>, feeZ,. - кэеф!-

Ро

Шелти Фур'е-Лагерра узагалънеко! функцп /. У простор! формально:

ряд1Б Фур'е-Лагерра побудузко оператор А, д:я иного впзначаеться так:

о

ф .

п=0 - п*0

Оператор А в дпийним t неперервним.

Нахай А - гвухешя опзратора А на H-í„((U,w)). Тед», як остановлено б п. 2.1, А - невгд'емнлй самоспряжений оператор з? щкльною в н областю визначйшш 'Р(А), ггричому ф=2>(а). Як наелiдок дютаемо, що спектр оператора А чисто дискретный з единою граничною точкою у неск:нче1шс!ст1. Функцп Лагерра {í , е влагашми для оператора

а, що бI.адов;дають власним значениям ¡л -4п+1, r»éZ+. Кожне власне значения з простим.

Клао ¡1'евре tí... U)-Z tmind G- „(А), да в—®

CpjB(A):-|(pí 3 a,B> 0: ¡Ar\p¡ $ cBV13, neZ,, p>üj.

Теорема 2.1. При р>1 правильною е тополог)чйа р1ешсть:

Тут символом ря/2, гюзначаеться сукушпсть фукктй

i-»+

Ц/: (0,К таких., iip ыдгсозгдн: функцп ц>:К К, хеЖ,

в олементами простору S¡?. Мшкину'можна трактувати як сукуп-t' ¿»

шсть ycîx Фуякшй ф(лг)-^cpiv х ), :Г£[0,ю), де ip - парна фучкщя з простору sjj, звужена на niBBtcb (О,»). Наприклад, функцп Лагер-ра I , mZ., е элементами множики s!'?'*, осальки I (;г2)»ft, (г),

ft ' 1 Л t J ' tt ^tl

г t î, л ( z+, де h. - фузпсци Ерм!та, яти належать до простору S У*. 36îжнiсть в sf'î означило так: посл1довн!сть {Ф , с

< / с Р » V р # т

ээ

зсЯгаеться в st'l до функцп ф € Sg**. явдо <р--»- ср, де ер (г):' * " • v V—wo v

:(х2 ), <р(х)«ф(л^), лгеК. vcN.

У пунктi 2.2 досл:дкуються властивост! леретворень типу Гаус-са-Вейерштрасс& формальних рад/в Фур'e-larapna та ixhix 'Ядер, вста-новлюетъся принцип локал!заци для таких ряд!в у просторах узагаль-нених функцШ типу ультрарозиодшв Жеврз.

У пункт! 2.3 одержан! результата застосовуються до р!вняль вигляду

Ou

a(t>— = I'(t.A)u. (i.DiiL, (?)

ôf ^

2b

де P(t,A)-^T ak(t)Ak, a4çC([0,T])f fe={t.,... ,2b}, bcM, a - неперерв-fe-1 '

Г

«■• Зг

si а додатна на (0,T) функшя така, ¡до г--«к, а многочлен P'(t,£;

а{%) о ■

(по змший Ç) задовольняе умову: •

v tc(o,T] v çe« з с0,б.,о2>о (о,?аг):

Стосовно оператора А тут доводиться! що Л-В??В|ц, де В - cnvpn-тср, яэтгй д!е в Ф* за правилом:

«V —bf-As/'-Vf'

Вкдзичий оперятор визначеккй коргктно, оеюльки в простор! основни*

функц!й Ф визначсш 1 ненерервж операцп множешш на незалетеу змпшу та дифереициоваяня.

У зв'яаку з цим р!вняккя (7) В1ДНОСИКО до р!внянь параСолп-ного типу з лар? Пт !я зростаючими коефшентами.

Знчйдено загальнкй вигляд розв'язгив р!вняння ('/), при цьому множина початкових значень таких розв'язмв зеггаеться з

/ [др >'■•] • Дозволяз всгановити коректну розв'язшсть задач1

Кош! для р!внйння (10) з початковими данимя у простор! узагальне-

НИХ ФУПКЦ1Й • е максимальним простором початкових

даних зада'п КошI, при яких розв'язки р!вняння (7) е неск!нчонно дифоренц!йовииш по а: функтями. Мэлог 1чн1 результата мають м!с-це для Р1ВНЯННЯ

ди

— + аЦ)Аи=0, <Л,х)еЦр,

та ¿лвняння

11 *

Ои Г Г /о№> 1 би

ви г а^и г * о 1

— = а( {) 1~г +2 |2х- + 4х- +1

« I йг2 I /0и> /о:х) )

дх

С 'о(х) 1 + 2--т и , и.хкП,

I Г0(х) ]

де /0 - ф!кс:ована функтя з простору С(°((0,со)), яка е чульткшикагором у простор! 3^2*+ 1 — € С"((0,оо)). Ц1 р1вняш1я е нер!вном1р-

но парабол1ЧИИМИ за Петровським у гаар] От р!вняннями, коефипенти яких зростають при |г;—«».

ОсновнI результата та висновки

1. Энэйдено загальнкй вигляд уси нзскютенно диференщйовних ю х рогв*яск!з: а) одного гласу ршняяь парабол 1чаого типу !з не-сомезкено зростаючими при коефщ;енгамиг як! шстять опера-

тор дросовсго диференц-ювання по часов 18 зшншй; б) деаких нер!в-ном!рно паракшчних за Потровськкм р1внянь ¡з зрзс.такчиш при к.оефщш ?ами. акт мають сссоливють пр;; пох!дн:й по t.

1Т

2. Дослужено граничш влястивост! гладких розв*язк!в таких

р1в!гянь при í—<+0 у просторах узагальнених функщй типу s'.

3. Встанозлено коректну розв'лзшсть задач; Komi для вказаних р1внянь з початковими дзними у просторах узагальнених функц1й типу S*, а 'гэкож у деяких Санахових просторах; дослгджено hkichi влэстивост! розв'язк1з задач! Komi, зокрема, властив!сть локал!за-цп.

4. Досл1даено властивост1 перетворень типу Гаусса-Вейерштрасса формальних ряд!в Фур'е-Ершта, Фур'е-Лагерра та txHix ядер.

Отже, в дисергаци розЕиненэ теор!я задач! Кош! для деяких клзсte ршняиь ¡шрабо.'пчного типу 13 неоСмекено зростаючими при

и коефппянтамл та початковими умовамц у просторах узагальнених функшй типу s'. Описано гладк! розз'язки таких р!внянь та множили IX початкових значень. Досшджена ях!сн! влзстивост! розв'яа-к!в, зокрема, властавють. локзлтацп.

Основа! положения дисертац!i опуол¡ковано в праиях:

1. Gorodetsky V.V., YermoiyK I.I. About the summation of the Io;mal Fourier-Hermlte series by the Abel-Poisson method // Доп. AH Укрзиш.- 1994.- H6.~ 0.20-26.

2. Городецьккй В.В., Дршь I.I. формэльн! ряда Оур'е-Лагерра та узэ-гальнен! фунта»1 неск!нчешюго порядку //1ятегралыи пере творения та !х застосування до хрзйових задач: 30. наук, пгаць. - K.s Ih-t математики HAH Укрзпт, 1S95.- Бот.- с. 174-180.

3. Городе цыск? в.В., Др'нь I.I. Про глздк! шзв'язки . парабол пик р1внянь !з зростаючими коефниентачн та 'множит» !х початкових значень // 1нтегральн1 перетворення та ix застосування до кряйо-вих задач: 36. наук, праць.-'К.: 1н-т математики НШ Украгни," 1996.- Вип. 12.- С.41-53.

4. ДршЬ' 1:1. Формам141 ряди Фур'е-Еряпта та деяк) р1вняння кзтема-Т1ГШ01 ф!зики // Гнтегральн! перэтворз»шя тз IX застосування до

- крайових задач: 30. наук, прзць.- К.: 1н-т математики fíAH

- Укра!НИ, 1995.- Вип.10.- С.238-243. '

5. Др1нь I.I. Задача Кош для деяких р1внянь парабол Iчного■ типу Г5 зростаючими коеф1Д1ентэш //Всеукрагнська конференшя "Диф-эрен-ц1ально-функц:ональн'; р1вняння та !х застосування": Тези дсчт.-КИ1В, 1996.- C.b?.

Др!нь 1.1. Про гладк! розв'язки деяних р1внянь парабсшчного типу )з зростэючими коефщ;енташ //Яаукова конферэншя "Нелпийт нрсйлеми япашау" (24-27 верзскя 1996 р., м. 1вано-Франк1вськ): Тезп доп.- 1вано-Франк1вськ, 1936,- С.30.

Drin I.I. The Cauchy problem for the parabolic equations with increasing coefficients m the spaces of generalized functions cr the ultradistribution type. Manuscript. Dlsertation to obtain the science-degree candidate or physical-raathematlc scinses by the speciality 01.01.02 - differential equations. Chernlvtsi State University named after Y. Fedkovych, Chernivt3l, 1996.

The correct solvability of Cauchy problem for the equations of the parabolic type with increasing coefficients and initial condition in the spaces of ¿runerallzeà functions of the ultradistrlbutlon type Is proved. The smooth solutions cf such equations and seta of И initial values are described.

Дринъ M.И. Задача Коыи для параболических уравнений с возрастающими коэффициентами в пространствах обобщенных функций иша ультрараспределений. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физтсо-магематических наук по специальности 01.01.02 -дифференциальные уравнения. Черновицкий .государственный университет им. ¡0. ФздькоЕича, Черновцы, 1996.

Устанавливается корректная разрешимость задачи Коши для уравнений параболического типа с возрастающими коэффициентами и начальными условиями в пространствах обобщенных функций типа ультрараспределений, описывающие гладкие решения таких уравнений и множества юс начальных значений.

Ключов! слова: ■

Задача Komi, г;а()абал1ЧН1 ртняння, узагзльнен! функцп, ультрароз-

ПОД1ЛИ.