Задача Коши для полулинейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

(Ленинградское отделений)

На правах рукописи

КАПИТАНСКИЙ Лез Вильович

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ШШЛИНЕЙНД ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград 19 9 1

Работа выполнена в лаборатория математической физики Ленинградского отделения ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.М.Бабич

доктор физико-математических наук Н.Б.Маслова

доктор физико-математических наук А.В.Фурсиков

Ведущая организация : Ленинградский государственный

университет

Защита состоится иЛСЛ^Л 1991 г. в Щ часов

на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Ленинградском отделении ордена Ленина а ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР

(Ленинград, наб.р.Фонтанки, д. 27, комн. 311). С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан М МаЛ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор! 1\{1]

А.П.Осколков

V "П.1

■ " Ш1

У^Л

сортаций

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Задача Коши для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка давно привлекает внимание исследователей. Еще в 30-е года Д.Шаудером, Ф.И.Франклем.С.Л. Соболевым и И.Г.Петровским било показано, что при весьма общих предположениях о структуре уравнений задача Коши с достаточно гладкими начальными данными однозначно разрешима в малом по времени. Однако вопрос о существовании и единственности глобальных по времени решений долгое время оставался полностью откритим.

С начала 50-х годов в физической литературе стали активно обсуждаться различные нелинейные модели теории поля. В простейшей из этих моделей лагранжиан задается плотностью!i/2) (¿.к t U-м^ц.!1- FOO ) о вещественно-значной функцией F , опи-оывающей самодействие поля и . Классические уравнения движения, получающиеся варьированием этого лагранжиана, теперь называют нелинейныгли уравнениями КлеЯна-Гордона. Они имеют вид

u^-Ли = i-tfiT, (I)

где $(u)-*bV-(u.)/bui • а Д = ZiVir.- оператор Лапласа в .

Уравнение (I) с нелинейностью |(м)=1«|ги ,и при

впервые появилось в работе Л.Шиф$а в 1951 r. 'Ja прошедшие 40

лет задаче Коши (I), (2),

и(о,х) = ЧЧэс), и^о.х.)-(2)

было посвящено значительное число исследований. В 1957 г. Де. Келлер указал класс нелинейностей (функций) £ , при которых для некоторых начальных данных € С0 (IR")' решение U.(t i) уходит за конечное время (-fc т1 Т < °о) на + «о равномерно по IR* .Из этого результата следовало, что существование глобальных по времени решений задачи (I), (2) возможно лишь при некоторых условиях па ^ . Из физических соображений разумно считать таким условием положительность плотности энергии

£(«>(h-= J0\M\ |7Kuf. r2iu|?t F(iO)Jr, • ы

т.е. г(г<.)> О . Я действительно, в 1953 г. Ирвин Сегал доказал, что для степенных нелинейностей

при любом 5 > 1 (ив любой размерности п^ { ) задача (1),(2) всегда имеет по крайней мере о дао глобальное по времени решение с конечной (цри п.в. -Ь ) энергией (3), коль скоро энергия конечна при ^ = 0 (для начальных даншх). Аналогичный результат для гораздо более широкого класса нелинейностей • и.) доказал В.Штраусе в 1970 г. (его предположения относительно конечно,, содержат некоторое условие "положительности" для первообразной V ).

С помощью энергетической оценки и теорем вложения Соболева нетрудно доказать в случае или У\.= 0. (при весьма общих ) теорему единственности для энергетических решений. При н ^ 3 те же соображения позволяют доказать теорему единственности, в предположении, что 1?(лО\ растет не быстрее 1и|3 при 1я1 , причем П./СП.-2.') (при ^=3 имеем: ). Проблема единственности в случаед>п./(п-2) оказа -лась весьма сложной, и до сих пор вопрос о единственности при даже в случае чисто степенной нелинейности (4) остается открытым. Отметим, что показатель

$*ОО=0г+2>/СЛ-2) (5)

связан с критическим показателем 2п./(п-2) в теореме

вложения Соболева: "Ц^ с . Таким образом, если

¿¿^¿^оо (6)

и , то для конечности функционала энергии (3) до-

статочно просто конечности \/*-нормы «(+,•) и Ьй-нормы с^ц •) . В предположении (6) естественно поставить вопрос о единственности решения задачи (I), (2) при любых начальных данных и У 6 . Только недавно Ж.Кинибр и Г.Вело

(1985,1989) доказали, что при теорема единственности

(слабого решения) действительно справедлива. Их рассуждения существенно используют конкретный вид линейной части уравнения (I) и-не позволяют, например, рассматривать уравнения, в

которых вместо оператора Лдламбера стоит гиперболический дифференциальный оператор второго порядка с переменными коэффициентами, не говоря уже о задачах на компактном многообразии, изученных вообще значительно меньше, чем (I), (2). Кроме того, метода Жинибра я Вело не позволяют решить вопрос о единственности решений даже душ уравнения (I) со степенной нелинейностью (4) в случае критического показателя к-).

Более сильный метод изучения проблемы единственности слабых решений задачи Копи для общих полулинейных гиперболических уравнений вида

(7)

где ос меняется или на гладком замкнутом многообразии

Ш. размерности Ю 3 , а В и А - псевдодифференциальнив операторы (ВДО) на Ж1 порядков I и 2, - был предложен автором ¡4 - З3 . Этот метод позволил в случае дифференциальных операторов А и В при естественных (и более слабых, чем у $иниб-ра и Вело) ограничениях на |(-^ос; н) и при всех из интервала (6), включая = ^(п.} , доказать существование и единственность глобальных слабых решений задачи (7), (2) с определенными свойствами "интегрируемости по пространству-времени", такими же, как и у решений линейных задач. В случае псевдодиф-фвренцкалышх операторов А и/или оказалось, что есть еще некоторое целое число Иг , которое определяется главными символами операторов А и ЕЬ , лежит в интервале [0, п -1 ] ,и от которого зависит критический допустимый показатель^=^(и,т) роста ;н)\ при

При изучении задачи (I), (2) естественно возникает вопрос о том, как зависит гладкость решения 11 от гладкости начальных данных. В линейном случае, как хорошо известно, если >?€Н и

Ч'бИ3 , то ■и(4:>-) и Э и(*,0 цринадяежат Цй+1 и 1\ при всех ^ и непрерывно зависят от в соответствующих нормах. Для нелинейной задачи (I), (2) было желательно установить аналогичное свойство сохранения гладкости начальных данных (при £>0 ). Однако, эта проблема сколько-нибудь подробно не рассматривалась (за исключением случая п/(п-2) ).Таи

не менее, в ряде работ изучался вопрос о существовании глобальных сильных или гладких решений задачи (1),(2), т.е. решений, которые удовлетворяют уравнению (I) в обычном смысле, а не в смысле распределений (в классе таких решений при ограничении (6) единственность заведомо имеет место, так что основная трудность перемещается в доказательство существования). Первый, сильный результат в этом направлении принадлежит К.йоргенсу (1961 г.), доказавшему в случае п=2> существование глобального решения И€С{сс(1К'из) при любых начальных данных «РеС^ СК1) И ^еС^(^) , когда <э<5 = £м(3) . Затем,

в работах Ф.Бреннера, В.фон Валя, Х.Пехера и Т.Мотай (1976 -1990 г.) было доказано существование глобальных сильных решений для (I) с начальными данными Н5С- Н5 , Н* .5 = 1 ,при тех или иных условиях на £ и при ограничениях на ^ вида 5>< ^(и") - , где £к= 0 , еслиЗ^пПО , и £п>0 при

К>40 . Совсем недавно М.Струве (1988) - в сферически-сиы-метричном случае, и М.Гриллакис (1990) - в общем случае, -доказали существование глобального решения и е С2(1^4+3 ) при любых начальных данных ^еС^К5) иЧ^СХ^5) МЯ уравнения (I) с р=0 и £(10= и5 , усилив (для этого конкретного уравнения) результат йоргенса. Отметим, что в работах Иорген-са, Струве и Гриллакиса существенно используются специфические свойства волнового оператора в случае трех цространствен-ных переменных.

Автором [з] была рассмотрена общая задача (7), (2) при более слабых, чем в упомянутых работах, условиях на £ и доказано, что если Н**1,^ Ц5 ,0<35-5Л , то глобальное слабое решение сохраняет гладкость начальных данных на всем интервале времени, где оно сильно непрерывно по { в энергетической норме.

Заметное продвижение в решении проблем единственности и существования для задачи (I), (2), было достигнуто в работах Ейлибра и Зело, Бреннера, Пехера и др., благодаря новым оценкам для решений волнового уравнения. Оти оценки были доказаны с помощь») красагого неравенства Р.Стркхарца (1970)

справедливого при всех ре[2п/(п-0 ,2(пнУ(л-03 , а также, обобщений этого неравенства, полученных Ф.Бреннером (1975) Автором было замечено [4] , что неравенства Стрихарца-Бренне-ра можно интерпретировать как оценки норм в пространствах Бесова решений уравнения = тГ . В работе [4] били получены оценки для решений более общих гиперболических псевдо-дифференциалышх уравнений первого порядка \чг = IК (в I/ • При этом выяснилось, что даже в случае К("1:)= неравенства

Стрихарца-Бреннера допускают некоторое уточнение. Кроме того, было обнаружено новое свойство разрешающего оператора для уравнений первого порядка - овойство сглаживания (в определенном смысле). Применение полученных результатов к линейным гиперболическим уравнениям второго порядка позволило автору £5] существенно обобщить и уточнить оценки Стрихарца, Бреннера, Жинибра и Вело. Доказанные автором в [53 новые оценки для решений линейных задач играют важную роль при исследовании нелинейной задачи (7), (2). Однако, они имеют и самостоятельное значение. Отметим, например, следующую неожиданную оценку для решения неоднородного волнового уравнения с начальными условиями (2) в случае двух пространственных переменных ( СС меняется в или, скажем, на двумерной сфере);

«р "Г I

при всех и. , 1/4 , где слева под интегралом стоит

норма функции и(Ь^) в пространстве Гельдера с показатели

<* .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I. Исследовать проблему единственности глобальных по времени слабых решений задачи Коши для общих полулинейных гиперболических уравнений второго порядка в случаях как докритического, так и критического значения показателя ^ (роста нелинейности на бесконечности).

2. Для тех же задач исследовать гладкость глобального слабого реыения в зависимости от гладкости начальных данных.

3. Получить обобщения неравенств Стрихарца, Бреннера, Жинибра и Вело на случай линейных гиперболических уравнений первого и второго порядков с переменными коэффициентами.

МЕТОДУ ИССЛЕДОВАНИЯ. Используются методы теории линейных гиперболических уравнений, теории ВДО и интегральных операторов Фурье, наряду с некоторыми методами, предложенными 0.А.Ладыженской для изучения нелинейных гиперболических задач.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты.

1) Для общих полулинейных гиперболических уравнений второго порядка (на (К. или на гладком замкнутом римановом п-мерном многообразии) в случае как докритического, так и критического значения £ показателя роста нелинейности доказано существование и единственность глобальных по времени слабых решений о определенными свойствами интегрируемости по пространству-времени, такими же, как у решений линейных задач, фи этом, в случае докритического показателя слабые решения сильно непрерывны по Ь в энергетической норме, а в случае критического ^ сильная непрерывность может нарушаться, по не более,чем в счетном числе моментов времени, где, тем не менее, сохраняется слабая непрерывность.

2) При тех же общих предположениях доказано, что если начальные данные обладают большей гладкостью (измеряемой в шкале пространств Соболева ), то той же гладкостью будет обладать глобальное (единственное) слабое решение на всем интервале времени, где оно сильно непрерывно по "к в энергетической норме.

3) Получены обобщения и уточнения оценок Стрихарца,Бреннера, Еинибра и Бело для решений линейных гиперболических уравнений первого и второго порядков.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы иогут быть использованы при изучении начально-краевых задач лля полулинейных гиперболических уравнений. Кроме того, их

ггохно применить, как заметила О.А.Ладыженская, для доказательства существования компактного аттрактора для полулинейного диссипативного гипepбoлячec¿coгo- уравнения на замкнутом многообразии. Оценки решений линейных задач можно использовать для получения Ьр- и Вр^-оценок собственных функций эллиптических операторов. Методы, развитые применительно к гиперболическим уравнениям, полезны, например, и при изучении задачи Коиш для полулинейного уравнения типа Шредингера.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Ленинградском общегородском семинара им.В.И.Смирнова (1986-1990), на Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (ЛОМИ,1989), на 1У Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Болгария, г.Русе, 1989), на семинарах по анализу в Курантовском институте и Принстонском университета (США,1990).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в работах [I - 5] .

СТРУКТУРА РАБОШ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Во введении изложена история вопросов, затронутых в диссертации, и сформулированы основные результаты работы. Глава I содержит необходимые определения и утверждения из теории функциональных пространств и теории ЦЦО.

2. Глава 2 посвящена доказательству первой части основных результатов диссертации - новых оценок в нормах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля решений линейных гиперболических уравнений первого и второго порядков. Ниже приводятся только оценки в шкале пространств Бесова . Соответствуйте оценки в шкале пространств Лизоркина-Трибеля Ррдвыводятся из них с помощью подходящих теорем вложения.

3. Цусть №. есть либо , либо гладкое замкнутое и -мерное многообразие, . Через 01 обозначим в случае

замкнутого - множество классических ЦЦО на порядка

I , а в случае - множество классических ЦДО класса ОрЙ'

о полными символами 1с(хд}~Ц к (1 у которых однородные по

¿:=. 1ч 'V

члены к» . не зависят от X , когда \х\>К. с каким-либо

V0-

Теорема I. Цусть при каждом t € [О/Г} задан оператор К0:)€ 01К с вещественным главным символом ^(^зсд) (первого порядка), и пусть К(^) гладко зависит от . Определи целое число Щ как минимум ранга матрицы вторых производных по переменным символа при , Х€УУС и £еТк'Ш\0 . Тогда существует такое £,0<£$Т (величина £ определяется лишь символом ), что при любых Ь/КС: ,И:-т|.$ £ , любом целом £ £ 0 и произвольном-Г€:1Я для решений и.^,") уравнения справедливы априорные оценки

Р4 р К «V

при ^р^ос^^^оо ) п(р-й)/р ; Сю')

Ц!«а>0 г.,, < " ¥ ||и(^|!г+г (и)

Р'1 Ор^оо

при 2<р«оо,т>0,(а- п(р-г)/? ;' <п'>

И^иШИ ^ (12)

при т>0, и.(р-2)/р-, <12)

РА ^р^ -о

при ? ¿>ц(р-2)/р г (13 )

Как обычно, р' - сопряженный к р показатель:4/р*- I .

Этот результат доказан в § 2. Следующие оценки, доказанные в § 3, отражают сглаживающие свойства разрешающего оператора для уравнений первого порядка.

Теорема 2, Пусть оператор К"(-к) удовлетворяет предположениям теоремы I, причем т>0 . ГЬ'сть вещественные параметры Э , Г , р , , а удовлетворяют соотношениям - < ь , г <• м , й<р$оо , а также, I) либо2<<^«> и

п „ , Г < 1 , если

| а ' (14)

I т , если

2р >

2) либо 2. и

I Р-2

< — , если т-т-— 31

2 ^ ' (15)

1 | < т , если 0<т.-^<1;

Ар 2-р

3) либо 1 ^ £ оо > О - г - Б +- И , 4. ^ СО , (16)

Тогда при любых ^Н** и А бЦССо/г]-*'НЬ) решение и(^) задачи Коти <^и(1:) = £$ч(Ои(■!:), и(о) = £ , принадлежит пространству 1-х^ (&/Г]^^ я справедлива оценка

о о н ° „

с не зависящей от г и Ь постоянной С>0 .

4. В §§ 4 - 7 рассматривается задача Коши доя линейных

гиперболических уравнений второго порядка

(18)

где & [С^Т] . операторы

сладко зависят

от , имеют вещественные главные символы сцС^х^') и

• причем й^/х^:* с|£|2, г>о .при всех Н[о/г]

и (я, iТх ПК . По а2(-) и (•) поотроим символы первого

порадка k*(t,*jS) = Аа^^хд-)' ] ,

определим по ним, как в теореме I, числа it»4 и £* и положим hi = tnUi{m+tn~\ , e = mln.^£+, , Отметим, что m = п-i в случае дифференциальных операторов А и 6> , а в общем случае О £ m $ n- i.

Теорема 3, фи It-rUe для решения U(t) задачи (18) имеют место следующие априорные оценки с произвольным г б IR. и

fjb^-1 3 (19)

РЛ

при условии (10');

(20)

- - и.,. - , р.оо -

V

при условии (II7); '

V

при условии (12г);

г.г £ с [ч>, М ; еГ,^ ] (22)

Р >00

при условии (13'), где обозначение 3

использовано для сокращенной записи суммы

+ н*|| * ) + $бО:-е)1!и0)11 5 •

Аналогом .теоремы 2 для задачи (18) является

Теорема 4. Предположим, что п.=с1илХЙ^2 , т.>0 и параметры 5 , г , р , , удовлетворяют тем же соотношениям,что и в теорема 2. Тогда при любых Н5 .Ч^Н^" Ч^еК/Хо/П-^Н5"1,) решение К задачи (18) принадлежит пространству

(Со.Т] Ё>Г" 1п ) и справедлива оценка (2 = 0,1)

о I Н Н 0 Н 3

Отметим, что (9) - частный случай оценки (23). 5. В главе 3 рассматривается задача Копи (7),(2) в многомерном случае: У\- . Относительно операторов А и Ь

предполагается, что

=А2Ш+Ач(+), В0(Д:) , где

операторы А2(-0 и удовлетворяют условиям п.4, причем

число т. , определяемое: по главным символам операторов Аа и , положительно: т>0 . Операторы А,, (-Ь) и рассма-

триваются как младшие, по отношению к А2 л Ь, и вз предполагаются псевдодифференциальнымя. От них лишь требуется,чтобы

А^Н^ДЮ'.Н^Н^, ЬоЮ^гЦ ДС^Н^-Н»"1 •

где^ = и./(2п-ш), причем соответствующие нормы непрерывно зависят ОТ'

Предположения о нелинейности - функции - со-

стоят в следующем: = + , где

I(-Г € ЬДО/П -10 дая каждой *Г€ и&;гЫУ)

и при любых Ц.^С^ССоуП-^Н1) выполняется неравенство

$ ^ 5 в(М) ^Р , (24)

со Ц ; ^ Н *

где сЗ - произвольное подмножество в [оДЗ меры , и

^•о(') - неотрицательная непрерывная функция, ^„Ст:) ^о при ъ \0 . Функция -"старшая нелинейность"- удовлетворяет условиям: I) отображение^:[о,С4-^(Е' непрерывно,

а:52")= 0 при 4 ; 2) существуют такие постоянные

эе2>0 и 5 .«¿у^Ог+гУСп-й) . что^/с^-^С^^и

для любых 4: е^т] , ос € Ш

^ ' 3) существует такое £о>0 , что при любых * , расстояние между которыми меньше , справедливо неравенство

чря Бсех

; 4) функция г) представима в виде

с вещественно-значной неотрицательной нецрерывной по ос и непрерывно дифференцируемой по церемонным £ иСг^!-) функцией р такой, что = 0 и

^(■^•х^г)^о некоторой постоянной

6. В этих предположениях в § & доказана Теорема 5» фи любых начальных данных Ч>&Н , Ч'бЬз задача (7), (2) имеет единственное решение \к на интервале [Р/П со следующими свойствами.

1) Если ^ удовлетворяет неравенствам а

I в случае т= п-1,

, в случае 2п/3£ггип-2^

3-<<2('2п+тХи-2)1(2и-т")А , при Зт^Лп,

то

(1){чг\«\ еСО/П-Н1*^)',

(и } Ц([0/Т\] -Ьгр^ ) , где г - любое из интерва-

ла (з/2-л/т)<г^ 1 цри 2п$3т , и при Зт<2п, ар и

определяются по г соотношениями 4/р = к/г -20-0/(2п-ш), V«), -тО-Г)/(2п-пг,>;

(Ш) и( ГД8 р^ _ ЛЮ(5ов из интервала 2),

2^/01-3) [ при2п.&5ги, е [2пЛм-2),2(2п-гн)Д2п-т-А)3 црИ

Ьт<2и,а = У\

2) Если ка

5>-1 = А С п.- 2) , в случае т. =■ п-1,

а(2п.+т)(п-2Т,(2и-т")1{!5-1 $ 4(2п-т-4 при 5тп 2п.^

¥0 функция 1иДиЬ[°,'П-*'Н<|,и1 слабо непрерывна, причеи существует такое дизъюнктное покрытие интервала не более чем счетных числом полуоткрытых интервалов I -- [т. [ и одним ваикнутым интервалом Х^^Д! ,Т00< Т , что для каждого

(О К^Сит^тТ-нЧ*),

при тех же ограничениях на г , р , р^ и ^ .

В § 7 приводится уточнение этой теоремы для случая дифференциальных операторов А и В в ; в частности,удается отказаться от требования стабилизации при 1x1 — «> коэффициентов при младших членах операторов А , £> .

7. Проблеме гладкости глобального решения в зависимости от гладкости начальных данных посвя'цен последняя параграф главы 3. Полный результат, охватывающий все возможные значения пь , выглядит громоздко (теорема 3.8.1 диссертации), поэтому здесь мы ограничимся случаем дифференциальных операторов А и В> , удовлетворяющих условиям п.4 (так что щ = п-1 ). Относительно г) будем предполагать, что в дополнение к условиям п.5 для выполняются аналогичные условия, в которых пространства и Н' заменены на Н''* и Н^**1 с некоторым %>о (которое будет характеризовать гладкость начальных данных). Функция удовлетворяет либо, случа;'; (а), тем же условиям, что и в п.5, либо, случай (в), в дополнение к ним требуется, чтобы была непрерывно дифференцируема по переменным х , г и ъ , а ее производные удовлетворяли условиям Липшица

| . если з»2,

[ • если ?<2->

I *х?0 (*,X. г «)- КДх; \ < эе50 г, 1*"VI I «V- га I,

а также

I ^ г ) - ; 2 >и Х5 I 2 I5 С*^ )

цри <1иЬ (.

И. в том и в другом случае предполагается, что § лежит в интервале (6).

Теорема 6. Цусть Н , Ч^ Н ий- решение задачи (7), (2), причем еС(вт>Н" 1а>Ц^ТЬЬ^ *В^) при всех тех же значениях Г , р и ,что и в теореме 5. Тогда, если, в случае (а), о при 3бп413?0<5#< при , либо, в случае (в),

(и при < 2 ) цри

< 2 < пЧ?п + 2 при.

то для решения М. имеем

также при всех г , р , , которые допускаютоя в теорема 5.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Капитанский Л.В. Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. I //Зап.научн.семин.ЛОМИ. 1987. Т.163. С.76-104.

2. Капитанский Л.В. Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. П // Зап.научн.семин.ЛОМИ. 1990. Т.182. С.38-85.

3. Капитанский Л.В. Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. Ш // Зап.научн.семин.ЛОМИ. 1990. Т.181. С.24-64.