Задача ®-линейного сопряжения в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Никоненкова Татьяна Владимировна

ЗАДАЧА М-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЛИНИЙ РАЗДЕЛА РАЗНОРОДНЫХ

ФАЗ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 КАП 201}

Казань — 2014

005548921

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Обносов Юрий Викторович.

Официальные оппоненты: Сильвестров Василий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина»,

Шабалин Павел Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Казанский государственный архитектурно-строительный университет».

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Московский физико-технический

институт (государственный университет)».

Защита состоится «5» июня 2014 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35, Институт математики и механики им.Н. И.Лобачевского, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан « /А> апреля 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.10

кандидат физ.-мат. наук, доцент _ Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию одной из общепринятых в теории гетерогенных сред моделей, описываемой краевой задачей для эллиптического уравнения (уравнения Лапласа).

Актуальность темы диссертации. Математические модели, описываемые краевой задачей для уравнения Лапласа в неоднородных средах, часто привлекаются для объяснения различных явлений, таких как, распространение тепла, явление диффузии, движение электрического тока в проводящей среде, ламинарное движение идеальной жидкости, распространение магнитного потока и потока электрического смещения и т.д. в композиционных материалах. Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, поиск его точного решения, удовлетворяющего краевым условиям, описывающим поведение поля на произвольных межзональных границах, вызывает порой значительные трудности.

В числе многих проблем, возникающих при изучении различных явлений в системах с неоднородной структурой, задача точного описания распределения силовых полей занимает одно из центральных мест. Этой проблемой исследователи занимаются уже более ста лет, начиная с Максвелла и Рэллея. При изучении электрофизических, теплофизических, диффузионных, магнитных и механических свойств неоднородных сред было предложено значительное количество методов, приемов исследования, эмпирических и полуэмпирических формул и т.д. Наибольшее число таких работ было опубликовано в период с 1960-1980гг., среди них упомянем монографии A.B. Лыкова, В.Л. Бердичевского, Л.Л. Васильева, Е.А. Литовского и И.А. Пучкелевич, Н.С. Бахвалова и Г.П. Панасенко.

Обилие работ по данной проблеме обусловлено запросами ряда областей техники, например, приборостроения (композиционные электрообогреватели, электроавтоматические и радиотехнические устройства) или разработка нефтяных и газовых месторождений. Однако, и по сегодняшний день, преобладающее большинство результатов не имеют строгих аналитических решений проблемы, а базируется в основном на численных, вариационных и асимптотических методах. Конечно, роль последних подходов при решении современных задач неоспорима. Но в ряде случаев, когда необходимо более полно описать структуру поля в области контактов разнородных фаз, объяснить поведение эффективных параметров особенностями формирования полей, а также для оценки численных методов расчета физических полей, для обоснования приближенных приемов вычисления эффективных параметров важное

значение имеют точные решения. Результаты посвященные последнему направлению представлены, к примеру, в работах В.В. Митюшева, Ю.П. Емеца, C.B. Рогозина, В.В. Сильвестрова, Г.А. Гринберга, G.W. Milton, P.M. Adler, и др.

Цель работы. Целью данной диссертации является построение точных аналитических решений в классах кусочно-голоморфных и кусочно-мероморфных функций краевой задачи R-линейного сопряжения для многофазных сред с гиперболическими линиями раздела между разнородными компонентами среды.

Методы исследования. При обосновании полученных в диссертации результатов применялись общие методы теории функции комплексного аргумента (конформное отображение, метод симметрии, метод аналитического продолжения) и методы краевой задачи Римана. С помощь пакета Mathematica произведена численная проверка точности всех полученных результатов, а также дан расчет линий тока и эквипотенциалей полученных полей, что позволило наиболее полно воссоздать реальную картину для всего множества физических и геометрических параметров, характеризующих конкретную среду.

Научная новизна. В диссертационной работе получены аналитические решения новых краевых задач R-линейного сопряжения, позволяющие восстановить точную картину установившихся плоскопараллельных силовых полей в многофазных гетерогенных структурах с гиперболическими линиями раздела их разнородных фаз. Рассмотрены также предельные случаи вырождения гипербол, когда каждая ветка гиперболы заменяется парой ее асимптот. Для полученной таким образом веерообразной среды, симметричной относительно вещественной оси, найдены точные решения соответствующих краевых задач. Все результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, представляют как самостоятельный теоретический интерес, так и могут использоваться специалистами при решении конкретных прикладных задач. Они также могут служить тестовыми для существующего стандартного программного продукта и для разрабатываемых приближенных методов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела математического анализа НИИММ им. Н. Г.Чеботарева Казанского университета (руководитель - профессор Ф.Г. Авхадиев); на Девятой и Десятой международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009, 2011 г.г.);

на итоговой научной конференции Казанского университета (2009 - 2012 г.г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2010 и 2012 г.г.); на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (Москва, 2011 г.; Ульяновск, 2012 г.), на кафедре дифференциальных уравнений КФУ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 117 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы из 100 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, постановку рассматриваемой задачи, обзор литературы по теме диссертации и краткое изложение основных результатов.

В введении говорится о том, что общепринятая в теории гетерогенных сред математическая модель, описываемая краевой задачей для уравнений в частных производных, может быть сведена к эквивалентной задаче в терминах комплексного потенциала. Эта задача состоит в построении пары сопряженных гармонических функций в каждой изотропной фазе Бк, рассматриваемой многофазной среды, которые являются действительной и мнимой частью комплексного потенциала '^г) = ¡рк(х,у) + 1фк{х,у), где г = х + '\у. При этом, функции ерь, "фк должны удовлетворять условиям сопряжения на границе контакта двух фаз Бк и й; за исключением угловых точек М:

дфк дгр1

РкШ = рт, (1)

где 5 - натуральный параметр (длина дуги), рк - постоянный в фазе Б к коэффициент, характеризующий среду.

Ю.П. Емец,1 изучая электрические поля в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах, предложил метод сведения задачи (1) к однородной задаче Маркушевича (задаче К-линейного сопряжения)

ф+(г) = о(4)Ф"(*) + Ь(ь)ф-(г), г е с.

*Емец, Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропнопроводящих сред. - Киев: Наук.думка. 1987. - 254 с.

Именно, интерпретируя физическую плоскость (х,у) как плоскость комплексного переменного z = х + 1 у, а вектор v как комплекснозначную функцию v(z) = vx+\ vy комплексного аргумента z = х+\ у, Ю.П.Емец в качестве неизвестной функции, рассматривает функцию

v{z) = ~w'(z) = dip/dx — idip/dy = vx — ivy,

которая является комплексно сопряженной с функцией v(z). Функция v(z) должна быть голоморфной в каждом из компонентов Sk• В замыкании Sk функция v(z) непрерывна всюду, за исключением разве лишь угловых точек М на границе dSk (если таковые имеются), где у нее допускается наличие интегрируемых особенностей. Ю.П.Емец показал, что вещественные граничные условия (1) преобразуются к следующей эквивалентной комплексной форме

17*(«) = Акт{1) - вк1[ь'(з)]-\(ь), ь е ски (2)

где £(в) - функция точки контура Сы от натурального параметра в, производная ¿'(в) = ехр^а^)) совпадает с единичным вектором касательной к Сц в точке Ь = £(в) (а(й) - угол, который касательная к дуге Сы в точке Ь образует с вещественной осью),

4« = вы = (3)

2 Рк 2рк

или в более общем случае

, Рк + Р1 . РкРк~ Р1Р1 о Рк~ Рх . РкРк ~ РФ1 ,.ч

Ац = —--1-^-, Вы = —--1-г--, (.4;

2 Рк %Рк 2рк 2рк

где рк - сопротивление (величина обратная проводимости), а ¡Зк - параметр Холла материала фазы Бк (рк > 0, (1к ^ 0).

Диссертация состоит из двух глав, которые посвящены изучению краевой задачи (2), в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз.

В первой главе рассматривается случай, когда искомая функция у(г) не имеет особенностей на комплексной плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, в окрестности которой справедлива оценка

\у{г)\ = о(|г|) при \г\ > 1.

В первом параграфе приведено решение двухфазной задачи о двух гиперболических включениях, имеющих одинаковые физические свойства и расположенных симметрично относительно обеих осей координат (линия раздела фаз - обе ветви гиперболы С = {z = х + iy : (х/а)2 — (у/Ъ)2 = 1}. Прежде всего показывается, что функции v(z), v(—z), v(z) и v(—z) удовлетворяют краевому условию (2) одновременно, если ßi = ß2 = 0. В дальнейшем в этом параграфе дополнительно предполагается, что искомое решение четно. Следует отметить, что данные исследования являются продолжением работы Ю.В. Обносова2, в которой, задача (2) рассматривалась в случае одного гиперболического включения. Также как и в работе Ю.В. Обносова общий случай сводится к двум частным - построению решений vr(z) и Vi(z), принимающих в точках, симметричных относительно осей координат, значения, симметричные относительно действительной и мнимой оси, соответственно. Ограничиваясь затем лишь первой четвертью плоскости, мы, с помощью конформного отображения z(£) = с/2(£ + 1/С) (с - фокус гиперболы) и последующего аналитического продолжения, получили в первой четверти плоскости £ относительно кусочно голоморфной функции У(С) = (С — 1/c)vr(z(0) задачу R-линейного сопряжения с постоянными коэффициентами А = Л12, В = В12 на луче С = {С : arg £ = 7га} - образе верхней половины правой ветви гиперболы С. Функция V(C) должна быть вещественной на действительной и мнимой па мнимой полуосях, удовлетворять условию симметрии V(l/C) = — V"(C) и иметь в начале координат и на бесконечности степенные особенности ниже второго порядка. К аналогичной задаче сводится и проблема построения решения vj(z). В обоих случаях соответствующие решения найдены в виде линейных комбинаций степенных функций £±7. Показатель 7 при этом определяется из следующих трансцендентных уравнений

cos(tt7/2) =F А cos[tt7(1/2 - 2а)] = 0, (5)

где |Д| = |-В/Л| < 1. Показывается, что каждое из двух последних уравнений имеет на интервале (0,2) по одному корню, при этом соответствующие решения вспомогательных задач определяются с точностью до постоянного действительного множителя. Общее четное решение исходной задачи, сумма vr(z) + vj(z), получается зависящим от двух произвольных вещественных параметров. Справедлива

Теорема 1. Если р\ ф р2 и ф 0, оо, то задача (2) для пары симмет-

2Обносов, Ю.В. Решение задачи R-липейного сопряжения в случае гиперболической линии разделения разнородных фаз / Ю.В. Обносов // Изв. вузов. Матем. - 2004. - № 7. - С. 53-62.

ричных гиперболических включений имеет четное решение вида

v1(z)=icixi{z;ii) +С2хЛг;ъ), z € 5Ь

, cos(7t7i/2) . cos(7t72/2)

В sin(27T7ia) Ssin(27T72a)

где 7i, 72 - корни уравнений (5), а = 7r_1arg(a + ib) € (0,1/2), (а ф однозначные ветви функций

_ + у22 _ ¿2)7 + _ yz2 _ с2)7

Xl'Z' 2\/л2 - с2

, . (z + V¿2 - с2)т - (г - л/г2 - с2)-^ X2(z;7)=--'

фиксированы в соответствующих областях S\, S2 и принимают мнимое и вещественное значения на мнимой и действительной осях соответственно, ci, С2 - произвольные вещественные параметры.

Если а = 1/4, то общее решение задачи (2) определяется по формулам

vi(z) = íqxi(257) -02X1(2; 2 -7), 2 е Su

v2{z) = (А2 - В2)"1/2 (с1Х2(г; 7) + i c2X2(z; 2 - 7)), z е S2,

где 7 = 27Г-1 arceos Д.

В отличие от работы Ю.В. Обиосова2, где было получено три линейно независимых решения, четное решение задачи о двух симметричных гиперболических включениях всегда зависит лишь от двух произвольных вещественных параметров. Поэтому единственность решения в этом случае обеспечивается заданием его значения в одной точке, например, в фокусе с.

Далее, в этом параграфе изучается задача (2), в случае вырождения ветвей гиперболы в пару пересекающихся прямых. С помощью замены V{z) = zv(z) эта задача сводится к ранее изученной, что позволяет сразу выписать ее общее решение в классе четных функций. Фиксация значения искомого решения в точке z = 1 обеспечивает единственность решения.

Характер линий тока, построенных с помощью результатов этого параграфа, показывает, что при выбранном ограничении на поведение искомого решения в бесконечно удаленной точке и требовании его четности, соответствующее поле порождается диполем на бесконечности. В следующем параграфе будет показано, что отказ от четности приводит к еще одному решению,

которое соответствует полю, порожденному квадруполем на бесконечности.

В §2, ограничиваясь случаем вещественных коэффициентов (3), рассматривается существенное обобщение предыдущей задачи па случай п-фазной среды, в предположении, что граница контакта разнородных фаз состоит из (те — 1) ветвей различных софокусных гипербол. В общем случае такая структура, в отличие от рассмотренной ранее, имеет лишь одну ось симметрии - вещественную ось. Однако, и здесь показывается, что вместе с функцией v(z) соответствующим краевым условиям (2) будет удовлетворять и функция v(z). Это позволяет опять представить общее решение нашей задачи в виде суммы двух частных - vr(z) и Vi(z), принимающих в точках, симметричных относительно вещественной оси, значения, симметричные относительно действительной и мнимой оси соответственно. Такие частные решения достаточно построить лишь в верхней полуплоскости. Тем же способом, что и в первом параграфе, относительно функции V(£) = (С — 1/C)uä(-z(C)) мы приходим к задаче К-липейного сопряжения с постоянными коэффициентами Ак = Акк+1, Вк = Вкк+1 на совокупности п — 1 лучей 1к = {т : arg г = жак}. Решение последней задачи отыскивается в следующем виде:

Ук(() = с1к(е^»С - е-^С7), < arg С < тгак, k = T~fi,

где Qo = 0, ап = 1, </?i = 0, а остальные вещественные параметры с\к, —1/2 < ifik < 1/2, к = 1,п и 0 < 7 < 2 подлежат определению из системы 2п — 2 трансцендентных уравнений при условии, что tpn = —7. Условие разрешимости полученной системы представляет из себя следующее уравнение относительно 7:

sin^WM - со8[тг7]^п2(7) = 0, (6)

где Ак = Вк/Ак (-1 < А*; < 1), И?(7) = 1, = О,

Wl+i = + cospTrya*]) + И^Д* втртгуа*], = W2k+l = Wl Ak sin[27r7afc] + W|(1 - Дк cosßjrya*]),

Каждому решению уравнения (6) соответствует единственный набор параметров ipk, к = 2,п — 1, а коэффициенты С\к, к = 1 , п, определяются с точностью до одного произвольного мультипликативного множителя.

Решение Vi(z) строится аналогично и сводится к решению уравнения (6), в котором надо лишь заменить все Ак на — Ак. Уравнение (б) и получаемое

из него указанной заменой при п = 2 сводятся к уравнениям, полученным в работе Ю.В. Обносова2, где было показано, что оба уравнения разрешимы, а в совокупности они имеют три решения (исключение - случай равносторонней гиперболы, когда каждое из уравнений имеет по одному решению). При п > 2 нам не удалось аналитически исследовать вопрос о разрешимости уравнения (6). Однако, многочисленные вычислительные эксперименты, проведенные с помощью команды FindRoot в пакете Mathematica в широком диапазоне изменения п при случайном выборе как вершин гипербол Ск, так и сопротивлений фаз Sk, показали, что уравнение (6) имеет не менее одного и не более двух решений. В совокупности пара уравнений (6) и с ним родственное имеют от двух до четырех решений € (0, 2) и, соответственно, исходная задача имеет от двух до четырех линейно независимых частных решений. Причем случаи двух и четырех решений можно считать исключительными, а три стандартной ситуацией. Исходя из физических соображений, мы потребуем, чтобы решение было единственным при фиксации его значения в одной точке, например, в фокусе с:

Vl(c) = Vo = V0x-iV0y. (7)

Тогда, если число частных решений больше двух, то встает вопрос - линейную комбинацию какой пары vr(z) и vj(z) из трех (четырех) построенных частных решений следует брать в качестве решения исходной задачи? Построение линий тока показало, что следует брать пару vr(z), vj(z), отвечающую двум наименьшим значениям 7^, если поле порождается диполем и любую другую пару, если поле порождается квадруполем.

В конце этого параграфа приведено решение задачи М-линейного сопряжения для симметричного "веера" - структуры, в которую вырождается выше рассмотренная, если в качестве линий раздела разнородных фаз вместо гипербол взять их асимптоты.

Вторая глава посвящена изучению задачи R-линейного сопряжения в более широком классе функций, а именно, в классе кусочно-мероморфных функций с фиксированной главной частью.

В §1 изучается задача R-линейного сопряжения, в случае, когда инородным включением является прямоугольный "клин" Si = {z = х + iy : х > О, у > 0}. Следует упомянуть, что подобными проблемами, т.е. проблемами секториалыюго распределения проводящих сред занимались Г.А. Гринберг3

3Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г.А. Гринберг. - М.-Л.: Издательство Академии наук СССР, 1948. - 727 с.

и А.Я. Чилап4. В частности, А.Я. Чилап изучал задачу о прямоугольном клине, в классе функций имеющих лишь логарифмические особенности. Он сводил эту задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма, точное решение которой было получено операционным методом.

Нами же исследуется случай, когда у заданного потенциала f(z) помимо логарифмических особенностей имеется и конечное число полюсов произвольного порядка в конечных точках областей, т.е. F(z) = f'(z) = F\(z) + Fiiz), где Fi(z), F2(z) - произвольные рациональные функции с полюсами в областях Si и ¿>2 соответственно. Для поставленной задачи получено математически замкнутое решение, в предположении, что коэффициенты краевого условия (2) являются вещественными числами.

С помощью условия сопряжения па мнимой оси, функция v\ (z) аналитически продолжается из первого квадранта во второй. Таким образом, относительно продолженной кусочно-голоморфной в плоскости С функции V(z) приходим к задаче сопряжения на всей вещественной оси. Далее вводятся функции

0!(z) = V(z), fy(z) = V(-z), Фз(г) = V(S), Ф4(г)=УрЩ,

и показывается, что вектор-функция Ф(г) = $2(2), $3(2), $4(2))

удовлетворяет краевым условиям векторной задачи Римана с кусочно-постоянным матричным коэффициентом, а именно,

Г Ф+(х) = С?ф-(®) + Н(х), х > 0; \ Ф+(х) = PGP&-{x) + РЩ-х), х<0.

Здесь G = Е — AGq - постоянная невырожденная матрица (Е - единичная матрица, G0 = {(Д, Д, 1,1), (0,0,0,0), (-1,-1,0,0), (0,0,0, 0)}), a F -перестановочная матрица с единичными элементами на побочной диагонали. Компоненты свободного члена, вектор-функции H (а;), являются рациональными функциями, они однозначно определяются через заданные главные части F1(z) и F2(z) искомого решения. Для решения последней задачи применяется развитый аппарат матричной задачи Римана, при этом все интегралы типа Коши, входящие в решение, удается вычислить в квадратурах.

В §2 задача о прямоугольном "клине" обобщается на случай гиперболического включения с границей в виде правой ветви равносторонней гиперболы.

4Чилап А.Я. Задача нахождения поля давлений в некоторых кусочно-однородных пластах / А.Я. Чилап // Уч. зап. Казанск. ун-та. - 1958. - Т. 118, Вып. 2. - С. 234-251

Задача М-линейного сопряжения в случае одного гиперболического включения и заданного невозмущенного комплексного потенциала f(z) рассматривалась в работе О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевого5. Авторы этой работы сначала идентично переносят задачу на дубль - риманову поверхность радикала \/z2 — с2. Затем дубль разрезается по одной из гипербол и с помощью функции, обратной к функции z — ccos(£ — а/2) (с - фокус, а - угол между асимптотами гиперболы), отображается на полосу ширины 2тг. При этом внутренность обеих гипербол переходит полосу {С —а/2 < Re£ < а/2}, а их внешность в ее дополнение. Наконец, с помощью 2тг периодического распространения получается задача М-линейного сопряжения для 27г-периодической системы двухкомпонентных полос. Решение последней задачи выписывается в виде формальных рядов, сходимость которых не доказывается. Мы же свели задачу о равносторонней гиперболе к рассмотренной ранее задаче о прямоугольном "клине" и получили ее решение в элементарных функциях. В частности, доказана

Теорема 7. Если заданный комплексный потенциал имеет в области S\ единственную логарифмическую особенность: f(z) = 7ilog(2 — zi), то решение задачи (2) находится по формулам

с ( е1™ /-\

vk{z) = -j===^k\—~(z+Vz2-c2)j, zeSk, k = 1,2,

где

Фг (V) = Hrf) ~ ^(i h) ~ A (WM - WM) +

+ u{rj) - u{ i/rj) - Д (Üpfi - WM) ,чес;

Mv) = (1 + A) (F{ri) - ^(i Ы + U(v) ~ U(i /77)), V € C\C+,

в свою очередь

с \77 — 771 77 — 1 /771У „Tri/4 /--р> Д 2 д _

7?i = + - с2), Д = —, А=1-^- + 1-ч/4-Д2 = е™, И < 1/2,

5Голубева О.В. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка / О.В. Голубева, А.Я. Шпилевой // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1967. - № 2. -С. 174-179.

U(-v) = -

с

, дтг

im (X{V; r?i)+X(7?; -ift))-^- (Xfa; i/TjiHXfa; -i/»h)) +

i щ (У (7?; jji) + у (77; -7?i)) + = № -i /щ) + i /m))

Vi

c(A - 1)

x(v;vi)=N{v;vi)ix(r})-x 1Ы), Y{v;vi)=N(v,m) {x(v)+^xi(m)), m (x-4vi) + ^4vim-x(vi)/x(v))

Шт) =-(l + A)(A2-4)(i7-?7i)-'

функции x(z) и Xi(z) ~ однозначные ветви функции za, фиксированные условиями | argz| < 7Г и 0 < arg z < 2ж соответственно.

Аналогичный результат имеет место и в случае, когда особенность заданного потенциала расположена во внешности гиперболы.

В третьем параграфе исследуется задача в случае двухфазной среды с линией сопряжения в виде правой ветви гиперболы, величина угла, 2аж, между асимптотами которой рационально кратна 7г, т.е. а = р/k < 1/2 и р//г - несократимая правильная дробь. Предполагается, что заданный комплексный потенциал f(z) не имеет особенностей на линии сопряжения и что число логарифмических особенностей и полюсов f(z) конечно. Как и в предыдущем параграфе наша задача сначала сводится относительно функции V(£) = (£ — l/£)w(c/2(£ + I/O) к задаче о "клине" (в данном случае раствора 2-кр/к). Затем ^-плоскость разбивается лучами {г : argт = 7Г(р + 2j)/к}, j = 0, к — 1 на к равных секторов. В каждом секторе формально вводится новая функция, совпадающая с искомой. Таким образом получается задача о правильном к лепестковом "веере". Затем задача переносится на к листную риманову поверхность радикала степени к, причем каждый сектор переходит на свой лист римановой поверхности, а его граница переходит в разрез по положительной части вещественной оси. Избавляясь обычным приемом от комплексно сопряженных функций, мы окончательно приходим к векторной задаче Римана на R+ относительно 2/с-мерной вектор функции с постоянным матричным коэффициентом. Решение последней задачи сводится к проблеме представления в жордановой форме матрицы порядка 2к, которая в пашем случае успешно решается.

В заключение отметим, что для всех полученных решений были проведены аналитические и численные проверки. На примерах продемонстрировано распределение линий тока и эквипотенциалей в соответствующих структурах.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследования

[1] Obnosov, Yu.V. Solution of an R-linear conjugation problem on the case of hyperbolic interface / Yu.V. Obnosov, T.V. Nikonenkova // Lithuanian Mathematical Journal. - 2008. - V. 48, No 3. - P. 322-331.

[2] Никоненкова, T.B. Об одной трехфазной задаче R-линейного сопряжения / T.B. Никоненкова // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. физ.-мат. науки. -2008. - Т. 150, кн. 4. - С. 127-136.

[3] Никоненкова, Т.В. Решение n-фазной задачи R-линейного сопряжения / Т.В. Никоненкова // Изв. вузов. Математика. - 2011. - №4. - С. 1-8.

[4] Никоненкова, Т.В. Задача R-линейного сопряжения для прямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функций / Т.В. Никоненкова // Учен. зап. Казан, уп-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2012. - Т. 154, № 1. - С. 134146.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисов докладов на научно-практических конференциях

[5] Никоненкова, Т.В. Решение одной n-фазной задачи R-линейного сопряжения /Т.В. Никоненкова // Материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2009 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2009. - Т. 38. - С. 194-196.

[6] Никонеикова, Т.В. Обобщенная теорема Милн-Томсона для прямоугольного клина / Т.В. Никоненкова // Материалы молодежной школы-конференции (Казань, 1-6 октября 2010 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2010. - Т. 40. - С. 244-245.

[7] Никоненкова, Т.В. Задача R-линейного сопряжения для параболического кольца в классе кусочио-мероморфиых функций / Т.В. Никоненкова // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конферепции (Казань, 1-7 июля 2011 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2011. - Т. 43. - С. 265-266.

[8] Никоненкова, Т.В. Задача R -линейного сопряжения для прямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функций / Т.В. Никоненкова // Сборник научных трудов победителей всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля наук. - Издательство РГСУ. - М., 2011. - С. 210-216.

[9] Никоненкова, Т.В. Задача R-линейного сопряжения в классе кусочно-

мероморфных функций для одного гиперболического включения / Т.В. Ни-коненкова // Материалы молодежной школы-конференции (Казань, 1-6 ноября 2012 года). Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского, 2012. - Т. 45. - С. 154-156.

[10] Никоненкова, Т.В. Обобщение теоремы Милн-Томсона на случай гиперболического включения / Т.В. Никоненкова // Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сборник работ победителей / под общ. ред. А. С. Андреева. -Ульяновск : УлГУ, 2012. - С. 27-28.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертационной работе получены аналитические решения следующих краевых задач сопряжения

1. Задачи К-линейного сопряжения в классе кусочно-голоморфных функций в случае, когда линиями раздела разнородных фаз являются ветви софо-кусных гипербол, а также в случае веерообразной структуры симметричной относительно оси абсцисс.

2. Задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций с фиксированной главной частью для прямоугольного "клина".

3. Задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций в случае, когда линией сопряжения является ветвь гиперболы, асимптоты к которой образуют угол рационально кратный 7Г. Наиболее полно изучен случай равносторонней гиперболы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Обносову Юрию Викторовичу за постоянное внимание к работе, поддержку, за ценные советы и критические замечания.

Подписано в печать 07.04.2014. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Тираж 100 экз. Заказ 53/4

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59, 233-73-28

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

04201^эбб^и

На правах рукописи

НИКОНЕНКОВА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

ЗАДАЧА К-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ЛИНИЙ РАЗДЕЛА РАЗНОРОДНЫХ ФАЗ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. Обносов

Казань — 2014

Оглавление

Введение 4

1 Задача Ж-линейного сопряжения в классе кусочно-голоморфных функций 19

1. Решение задачи К-линейного сопряжения в случае, когда линия раздела фаз состоит из двух ветвей гиперболы ...... 19

1.1. Постановка задачи..................... 19

1.2. Решение задачи (1.1.3) в случае вещественных коэффициентов А, В ...................... 21

1.3. Вырожденный случай................... 34

1.4. Решение задачи (1.1.3) в случае комплексных коэффициентов ........................... 38

2. Решение задачи К-линейного сопряжения в случае, когда линиями сопряжения разнородных фаз служат п — 1 ветвей со-фокусных гипербол......................... 40

2.1. Постановка задачи..................... 40

2.2. Решение задачи (1.2.2), (1.1.4) .............. 41

2.3. Вырожденный случай................... 55

2 Решение задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций 59

1. Решение задачи К-линейного сопряжения для прямоугольного

"клина" в классе кусочно-мероморфных функций ....... 60

1.1. Постановка задачи..................... 60

1.2. Случай, когда все особенности заданного комплексного потенциала расположены в области 5х........ 67

1.3. Случай расположения особенностей потенциала /(г) в области 52 ......................... 73

2. Решение задачи М-линейного сопряжения в классе кусочно-мероморфных функций в случае равностороннего гиперболического включения......................... 78

2.1. Постановка задачи..................... 78

2.2. Заданный комплексный потенциал имеет особенности

в области £1......................... 87

2.3. Заданный комплексный потенциал имеет особенности

в области ¿2......................... 92

3. Задача К-линейного сопряжения для для произвольного гиперболического включения в классе кусочно-мероморфных функций............................... 94

3.1. Постановка задачи..................... 94

3.2. Решение задачи....................... 95

Заключение 105

Литература 106

Введение

Данная диссертация посвящена исследованию одной из общепринятых в теории гетерогенных сред моделей, описываемой краевой задачей для эллиптического уравнения (уравнения Лапласа).

Как известно, при исследовании стационарных процессов различной физической природы таких как: распространение тепла, явление диффузии, движения электрического тока в проводящей среде, ламинарное движение идеальной жидкости, распространение магнитного потока и потока электрического смещения и т.д. приходят к одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных эллиптического типа - уравнению Лапласа. Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, поиск его точного решения, удовлетворяющего краевым условиям, описывающим поведение поля на произвольных межзональных границах, вызывает порой значительные трудности.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая стационарные физические процессы в гетерогенных средах. В числе многих проблем возникающих при изучении различных явлений в системах, с неоднородной структурой, задача точного описания распределения силовых полей занимает одно из центральных мест. Этой проблемой исследователи занимаются уже более ста лет. Первые работы связаны с именами Максвелла и Рэллея. При изучении электрофизических, теплофизических, диффузионных, магнитных и механических свойств неоднородных сред было предложено значительное количество методов, приемов исследования, эмпирических и полуэмпирических формул и т.д.. Наибольшее число таких работ было опубликовано в период с 1960-1980 г.г., среди них упомянем монографии A.B. Лыкова [36], В.Л. Бердичевского [1], Л.Л. Васильева [5], Е.А. Литовского и И.А. Пучкелевич [37], а также работы [28], [90], [22]. Обширная библиография работ, сфокусированных на связи между микро-

структурой композита и эффективными параметрами, его характеризующими, приведена в недавней монографии Милтона [94].

Обилие работ по данной проблеме обусловлено запросами ряда областей техники, например, приборостроения (композиционные электрообогреватели, электроавтоматические и радиотехнические устройства) или разработка нефтяных и газовых месторождений. Однако, и по сегодняшний день, преобладающее большинство результатов не имеют строгих аналитических решений проблемы, а базируется в основном на численных, вариационных и асимптотических методах. Конечно, роль последних подходов при решении современных задач неоспорима. Но в ряде случаев, когда необходимо более полно описать структуру поля в области контактов разнородных фаз, объяснить поведение эффективных параметров особенностями формирования полей, а также для оценки численных методов расчета физических полей, для обоснования приближенных приемов вычисления эффективных параметров важное значение имеют точные решения.

Опишем классическую модель плоскопараллельных установившихся процессов. Хорошо известно, что моделью таких процессов, описывающей силовое поле

vO, у) = чк(х, у) = (укх, уку), (х, у) е вк, к = 1, N

в отсутствие источников (стоков) и вихрей, являются уравнения в частных

производных - уравнение неразрывности и уравнение потенциальности:

дУкх | дуку _ дуку дукх _ р

дх ду ' дх ду выполняющиеся в каждой изотропной фазе рассматриваемой многофазной среды. Дополнительными условиями, устанавливающими связь между векторами и V; на кусочно-гладкой границе контакта (£/-/) разнородных фаз в к и 5/, за исключением угловых точек М (где у вектора v допускаются интегрируемые особенности), служат соотношения

Мя,г/)]„ = [^(а;, ?/)]„, [рк4к(х,у)]т = \р1лг1(х,у)]т, (х,у) £ (2)

означающие равенство нормальных и пропорциональность касательных составляющих предельных значений векторов у к, V/. Здесь рк - постоянный в фазе 5/г коэффициент. При изучении того или иного конкретного явления этот коэффициент характеризует физические свойства среды. Так в задачах термодинамики р - коэффициент теплопроводности, при этом V будет вектором теплового потока. Если изучается движение жидкости через пористые среды (теория фильтрации), то функция v - скорость фильтрации, а р

- коэффициент фильтрации; в теории диффузии р - коэффициент проницаемости, при этом v - концентрация; в теории упругости р - модуль сдвига, v смещение и т.д.. Как правило, при реализации конкретных физических моделей коэффициент р > 0 и принимает скалярные вещественные значения. Однако в некоторых случаях, например, в задачах электродинамики при изучении движения электрического тока в проводящей среде, коэффициент р есть тензор, в данном случае - тензор удельного сопротивления (V

- вектор плотности тока).

Вводя, на основании уравнений (1) функцию тока фк(х,у) (ух — дф/ду, уу = —дф/дх) и потенциальную функцию (рк(х,у) (ух = дф/дх, уу = д(р/ду) приходим ([4], [71], [8], [74]) к эквивалентной задаче о построении пары сопряженных гармонических функций в каждой изотропной фазе которые являются действительной и мнимой частью комплексного потенциала лу(г) = <рк(х,у) +1 фк(х, у), где г = х + \у. При этом, в силу условий (2) функции щ, фк должны удовлетворять условиям сопряжения на Сы\М:

дфк дф1

где й - натуральный параметр (длина дуги). Для определенности можно считать, что ориентация на См выбрана таким образом, что фаза Эк остается слева, а ^ - справа при к <1.

Сведение задачи (1) к отысканию комплексного потенциала (аналитической функции) позволяет применить один из наиболее мощных аппаратов

математического анализа - теорию функций комплексного переменного [29], [2], [16], [18]. В рамках этой теории, начиная с 40-х годов, было выполнено множество работ, которые можно разделить на три основные группы: 1) когда границей однородных зон являются прямые (работы В.Н. Щел-качева и Б.Б. Лапука [89], Г.Б. Пыхачёва, Р.Г. Исаева [73], М.А. Гусейн-Заде [19], И.А. Чарного [84], Ю.В. Обпосова [53], А.М. Пирвердяна [61], Р. Коллинза [26], А.Ю. Казарина [25], О.В. Голубевой [8], [9]); 2) когда границы представлены окружностями (работы П.Я. Полубариновой-Кочиной [72], Ю.В. Обпосова [54]-[98], М.А. Лукомской [38], Г.В. Голубева [И], [12], В.В. Митюшева [40]-[96], Ш.И. Георгицэ [7], Е. Хоиейна [92], [93], Н.В. Лам-бина [30]-[32], Г.М. Голузина [14], [15], О.В. Голубевой [9], Л.И. Костицыной [27], Ю.А.Антипова и В.В. Сильвестрова [91]); 3) когда границы отличаются от окружностей и прямых (в частности, являются кривыми второго порядка) (труды В.П. Пилатовского [66]-[70], А.И. Гусейнова [20], Г.Г. Ту-машева [80] и Б.И. Плещинского [81], Г.В. Голубева [13], А.Я. Чилапа [87], [88], И.А. Чарного [84], [85], А.Я. Шпилевого [10], А.И. Селин-Бекчурипа [78], В.Ф. Пивня [62], [63], Ю.В. Обносова [97]-[58], М.И. Хмельника [83] и др. [82], [82], [48]). Известны работы, в которых граничные задачи сопряжения решены методом интегральных уравнений: в теории фильтрации это исследования Г.Г. Тумашева [80], [12], В.Ф. Пивня [64] , [65], в гидро- и аэродинамике - труды И.К. Лифанова [34], [35], в электродинамике - работы В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [21] и других авторов.

Ю.П. Емец, изучая электрические поля в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах [23], [24], предложил метод сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче - однородной задаче Маркушевича (задаче М-липейпого сопряжения). Интерпретируя физическую плоскость (х, у) как плоскость комплексного переменного г = х + [ у, & вектор v как комплекс-позначную функцию = ух + 1 уу комплексного аргумента г = х + 1 у,

Ю.П. Емец в качестве неизвестной функции, рассматривает функцию

у (г) = (г) = дср/дх — \д(р/ду — ух — [уу,

которая является комплексно сопряженной с функцией В силу условий (1) функция у (г) голоморфна в каждом из компонентов Бк- В замыкании Б к функция у (г) непрерывна всюду, за исключением разве лишь угловых точек М на границе дБк (если таковые имеются), где у нее допускается наличие интегрируемых особенностей. В [24] показано, что вещественные граничные условия (2) преобразуются к следующей эквивалентной комплексной форме

= Аычф - выр(з)]-2Щ, г е ски (3)

где £(я) - функция точки контура £ы от натурального параметра я, производная ¿'(з) = ехр(1а(з)) совпадает с единичным вектором касательной к См в точке £ = ¿(я) (а;(з) - угол, который касательная к дуге Сц в точке t образует с вещественной осью),

л _ Рк + 91 _Рк~Р1 ш

Как отмечалось выше, в теории электродинамики параметр р в общем случае является тензором, который в комплекснозначной интерпретации может быть отождествлен с комплексным числом

Рк(1~^к), (5)

где рк - сопротивление (величина обратная проводимости), а (Зк ~ параметр Холла материала фазы Як (Рк > 0, (Зк ^ 0). В этом случае задача (2) приводится к задаче (3) с комплексными коэффициентами

Ак1 = рк + р1 _ 1 рк^к ~ р1@1 вы = Рк ~ Р1 - 1 Рк^к ~ (6)

%Рк Ърк ' 2 рк 2 рк

Краевая задача (3) относится к так называемой трехэлементной задаче линейного сопряжения аналитических функций

Ф+(*) = а®Ф"(*) + Ь®Ф"й + д(1), I € (7)

которая в частном случае впервые была поставлена А.И. Маркушеви-чем в 1946 году [39]. В дальнейшем она исследовалась многими авторами (Г.С. Литвинчук, И.Н. Векуа, И.М. Спитковский, Б.В. Боярский, Л.И. Чиб-рикова и Л.Г. Салехов, A.M. Николайчук и др.), которые изучали вопросы разрешимости и устойчивости этой задачи в различных классах функций. Наиболее обстоятельно вопрос о разрешимости задачи в классе кусочно-аналитических функций был рассмотрен Л.Г. Михайловым [42], который при исследовании трехэлементной задачи Маркушевича выделял три случая: гиперболический, когда \a(t)\ < \b(t)\, эллиптический, при |а(£)| > |&(£)| и параболический при |a(i)| = \b(t)\. Качественная теория задачи наиболее полно построена в двух последних случаях. В эллиптическом случае Л.Г. Михайловым для решения задачи (7) применяется принцип сжатых отображений, с помощью которого было получено приближенное решение задачи и доказано, что число линейно независимых решений и условий разрешимости задачи Маркушевича точно такое же как и у задачи Римана с коэффициентом a(t). В параболическом же случае задача Маркушевича сводится к двум задачам Гильберта. Вопросам устойчивости и разрешимости задачи (7) посвящены работы [33], [79], [43], [6], [3]. В этих работах краевая задача в классе кусочно аналитических функций, в основном рассматривалась, когда контур L состоит из конечного числа простых замкнутых дуг Ляпунова. В частности, когда L - окружность, краевая задача (7), методом симметрии сводилась к краевой задаче Римана для двумерной вектор-функции, и было показано, что случай эллиптичности |a(i)| > \b(t)\ является случаем устойчивости решения задачи.

В работах [86], [77] получено решение трехэлементной задачи Маркушевича в замкнутой форме при условии, что коэффициенты задачи являются краевыми значениями некоторых функций, аналитических внутри контура L. Используя метод симметрии, авторы последних работ сводили задачу (7)

для произвольной алгебраической кривой к эквивалентной многомерной задаче Римана на некоторой замкнутой римановой поверхности. Однако здесь возникает проблема факторизации матричного коэффициента задачи Римана, которая, как известно, в общем случае до настоящего времени не решена.

K.M. Расулов в своих работах [75], [76] показал, что краевая задача Мар-кушевича (7) может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, откуда условия разрешимости задачи (7) полностью определяются условиями разрешимости интегрального уравнения Фредгольма. В случае, когда коэффициенты задачи (7) - рациональные функции, решение уравнения Фредгольма, а следовательно, и задачи Маркушевича (7) выписывается в замкнутой форме.

Задача Маркушевича, в случае кусочно-постоянных коэффициентов на гиперэллиптических римановых поверхностях рассматривалась Э.И. Зверо-вичем и его учениками. Решение в замкнутой форме задачи Маркушевича, а также общая картина ее разрешимости, как в классе аналитических, так и в классе функций, автоморфных, относительно фуксовых групп второ-гого рода, при некоторых ограничениях на коэффициенты было получено A.A. Патрушевым [60].

Однако, полной теории разрешимости задачи (7) в настоящее время нет, как нет и конструктивных методов ее решения.

Перейдем к изложению основных результатов нашей работы.

Диссертация состоит из двух глав, которые посвящены изучению краевой задачи (3), в случае гиперболических линий раздела разнородных фаз.

В первой главе рассматривается случай, когда искомая функция v(z) не имеет особенностей на комплексной плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, в окрестности которой справедлива оценка

\v(z)\ = o(|z|) при \z\ > 1. В первом параграфе приведено решение двухфазной задачи о двух гипербо-

лических включениях, имеющих одинаковые физические свойства и расположенных симметрично относительно обеих осей координат (линия раздела фаз - обе ветви гиперболы С, = {z = х + \у : (х/а)2 — (y/b)2 = 1}. Прежде всего показывается, что функции v(z), v(—z), v(z) и v(—z) удовлетворяют краевому условию (3) одновременно, если ßi = = 0. В дальнейшем в этом параграфе дополнительно предполагается, что искомое решение четно. Как и в работе [56] общий случай сводится к двум частным - построению решений vr{z) и vi(z), принимающих в точках, симметричных относительно осей координат, значения, симметричные относительно действительной и мнимой оси соответственно. Ограничиваясь затем лишь первой четвертью плоскости, мы, с помощью конформного отображения = с/2(£ + 1/£) (с - фокус гиперболы) и последующего аналитического продолжения, получили в первой четверти плоскости £ относительно кусочно голоморфной функции V(£) = (С - 1 заДачУ ^-линейного сопряжения с посто-

янными коэффициентами А — А\2, В = В\2 на луче £* = {£: arg£ = па} -образе верхней половины правой ветви гиперболы L. Функция V(£) должна быть вещественной на действительной и мнимой на мнимой полуосях, удовлетворять условию симметрии V(1 /С) ~ —У (О 11 иметь в начале координат и на бесконечности степенные особенности ниже второго порядка. К аналогичной задаче сводится и проблема построения решения vj(z). В обоих случаях соответствующие решения найдены в виде линейных комбинаций степенных функций £±7. Показатель 7 при этом определяется из следующих трансцендентных уравнений

cos(TT7/2) ^ A COS[TT7(1/2 - 2а)] = 0,

где А = В/А (|Д| < 1). Показывается, что каждое из двух последних уравнений имеет на интервале (0,2) по одному корню, при этом соответствующие решения вспомогательных задач определяются с точностью до постоянного действительного множителя. Общее четное решение исходной

задачи, сумма + г>/(;г), получается зависящим от двух произвольных

вещественных параметров.

Следует отметить, что данные исследования являются продолжением работы Ю.В. Обносова [56], в которой, задача (3) рассматривалась в случае одного гиперболического включения. В отличие от работы [56], где было по�