Задача Неймана для квазилинейных уравнений вариационной структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

взво

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЩЕГЛОВА Александра Павловна

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВАРИАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ

01 01 02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2 2 СЕН 2008

2008

003446368

Работа выполнена на кафедре математической физики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент НАЗАРОВ Александр Ильич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор ИВОЧКИНА Нина Михайловна,

доктор физико-математических наук КОНЬКОВ Андрей Александрович

Ведущая организация Владимирский государственный

гуманитарный университет

Защита состоится 2 октября 2008 г в часов на заседании совета Д 212 232 49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр , 28, математико-механический факультет, ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

рхипова А А

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Краевые задачи для квазилинейных уравнений н качественные свойства их решений привлекают большое внимание в постедние десятилетия Исследованиями в этой области занимаются, в частности, такие известные математики, как С И Похожаев, В А Кондратьев, Ь Уегоп, \¥ -М N1 и другие

Одно из простейших уравнений такой структуры — уравнение Эйлера для функционала, порождаемого теоремой вложения В диссертации рассматривается задача Неймана для некоторых уравнений такого типа

Наиболее интересным для исследования является уравнение, порождаемое теоремой вложения И^П) е—> ¿д(^) Это уравнение встречается во многих областях прикладной науки Например, оно описывает систему реакции-диффузии при морфогенезе Исследованию этой задачи посвящены работы \¥ -М N1, М Сюзз1,1 Така§1 и других Здесь полечены тонкие результаты о структуре непостоянных положительных решений (в основном для областей "большого размера") Однако вопрос о структуре положительных решений для областей "малого размера" исследован недостаточно Исчерпывающий ответ пол> чен только в одномерном случае в работах А И Назарова

Цель рг.боты Основной цечью диссертационной работы явтает-ся исследование условий постоянства решения с минимальной энергией для краевой задачи, порождаемой теоремой вложения Соболева, и изучение эффекта возникновения множественных положительных решений краевой задачи, порождаемой теоремой вложения на границу

Методика исследования Использованный в диссертационной работе математический аппарат представляет развитие классических методов исследования квазилинейных эллиптических уравнений Существенно используются интегральные методы получения априорных оценок решений, теоремы вложения и интерполяционные неравенства для пространств Соболева, метод Лионса для доказательства существования решения в случае предельного показателя вложения При изучении краевой задачи, порождаемой теоремой

вложения на границ}', применен метод Нехари

Научная новизна и значимость работы. Все выносимые на защиту положения диссертационной работы новыми К наиболее существенным результатам диссертации можно отнести следующие

— изучение условий непостоянства решения с минимальной энергией краевой задачи, порождаемой теоремой вложения Соболева,

— доказательство постоянства решения с минимальной энергией краевой задачи, порождаемой теоремой вложения Соболева в тонкой цилиндрической области,

— доказательство существования множественных положительных решений краевой задачи, порождаемой теоремой вложения на границу,

— доказательство существования нерадиальных решений краевой задачи, порождаемой теоремой вложения на границу, при суперкритических показателях вложения

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения качественных свойств решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям п динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006 год), на семинаре им В И Смирнова по математической физике (ПОМИ РАН, руководители Г А Серегин и Н Н Уральцева)

Основное содержание диссертации изложено в работах [1]-[3] В работе [1] научному руководителю принадлежит постановка задачи и общая идея метода решения, реализация метода проведена автором Статья [2] опубликована в издании, включенном в Перечень ВАК на момент публикации (Бюллетень ВАК РФ N0 4 2005 г)

Структура и объем работы Диссертационная работа, объемом 120 машинописных страниц, состоит из введения, трех глав и

списка литературы, содержащего 41 наименование Первая и вторая главы включают в себя по 4 параграфа, третья — 5 параграфов

Работа поддержана грантом поддержки ведущих научных школ НШ-227 2008 1 и грантом РФФИ 08-01-00748

Содержание работы

Во введении дан кратки/1 обзор исследуемых математических объектов и сформулированы основные результаты диссертационной работы

В первой главе изучается вопрос о постоянстве решения с минимальной энергией £{и) = -I- ||и||рП задачи

{ -Ари + \и\р~2и =\и\ч-2и в О, \ ^ =0 насШ (1)

Если рассмотреть в ограниченной области С И" задачу о нахождении точной константы в теореме вложения ЬЯ(П)

то минимайзер (после домножения на подходящую константу) является решением (1) с минимальной энергией £ Здесь и далее предполагается, что д < р*, где р* — предельный показатель вложения Соболева, то есть пнфимум в (2) положителен

Предложение 1 1 При д < р существует единственное положительное решение задачи (1), которое является постоянной функцией

Введем нормировку области П, то есть замену —> еО, Тогда можно считать, что теаз(Г2) = 1, и изучать зависимость от параметра е решения с минимальной энергией задачи

-Ари + £р\и\р~2и = \и\ч~2и вП ди

ш

& =0 на дС1 (3)

Очевидно, что при заданных р и д константа не дает глобального экстремума в (3) при больших е Вводя вспомогательные функцио-

можно переформулировать вопрос так при каких е константа дает минимум функционалам 2р 5)£ и

ТЕОРЕМА 1 1 Пусть 1 <р<пид = р* Тогда существует £о — £о{р,п,&) такое, что для любого е < во инфимум до-

стигается

Вычисляя второй дифференциал функционала на константе, легко получить

Предложение 1 2 Пусть 2 < р < д Тогда постоянная функция не дает функционалу минимума (даже локального) Следовательно, постоянная функция не является решением (3) с минимальной энергией

Поэтому содержательным является случай 1 < р < 2 В §1 2 рассматриваются 1 < р < 2

ТЕОРЕМА 1 2 При 1 < р < 2 « любых д € (р,р*\ е > О постоянная функция доставляет локальный минимум функционалам Зр

и 0,РЯл

Дальнейшие рассуждения показывают, что при заданном р на полуинтервале д б {р,р*\ определена функция е = ер(д), такая что при £ > ер постоянная функция не является решением (3) с минимальной энергией, а при £ < ер является Функция ер(д) положительна и ер(д) —+ оо при д [р

ТЕОРЕМА 1 3. Функция ер непрерывна на (р,р*] и строго убывает

Наиболее интересным для исследования является случай р = 2, который рассмотрен в §1 3 Задача (3) тогда принимает вид

налы

-Ди + е2и = \и\ч~2и в 9. = 0 на дП

Хорошо известно, что решение (4) с минимальной энергией заведомо непостоянная функция при е > £сг(д) = ^^ру, где Л^п - первое положительное собственное число задачи Неймана

Однако вопрос о постоянстве решения с минимальной энергией при е < е^ исследован мало Лишь в одномерном случае А И Назаровым доказано, что такое решение постоянно при всех е < е„

ТЕОРЕМА 1 4 Пусть д <2* и д < +оо, г < еп.(д) Тогда функция 1 дает, функционалам Згд* и 0.2,q,с локальный минимум

Так же как в §1 2 доказывается, что на полуинтервале д £ (2,2*], д < +оо определена функция £ = е(?), такая что при е > £ постоянная функция не является решением (4) с минимальной энергией, а при е <ер является Функция е(д) положительна, —► оо при д I р и справедлива

ТЕОРЕМА 1.5 Функция £ непрерывна на всей области определения и строго убывает

Очевидно, что £{д) < Есг(д) для всех д е (2,2*] В диссертации показано, что если П — асимметричная область общего положения, то е(д) < £сг{ч) Для всех д € (2, 2*] Кроме того, если О — единичный куб в пространстве Е" (п > 3), то при д близких к 2* снизу е(д) < £гг{ч)

В §1 4 рассматривается функционал, порожденный теоремой вложения И^ДП) в Здесь П — плоское риманово многообразие со строго липшицевым краем, а норма в пространстве (Г2) определена так = + В этом случае ключевым оказывается факт наличия/отсутствия на многообразии О линейных функций Если на О существует линейная функция, то при 1 < р < д < р** константа не дает соответствующему функционалу минимума, даже локального Если линейные функции отсутствуют, то справедливы результаты, аналогичные полученным в §1 2 и §1 3

Во второй главе задача (4) рассмотрена в тонком цилиндре

—Аи = Хи, в П ^ = 0 на дП

= <1"Ш х й V), п > 3 Здесь ограниченная область ш строго липшицева и теаза; = 1, (I е (0,1) При достаточно малых в, вычисляем

£сМ) =

(5)

После замены переменных уравнение (4) превращается в

- иуу + и2и = Л в

= 0 наШь

ГДе -1 1

П! = и> х (0,1), у £ (0,1), хви;

Решение задачи (5) с минимальной энергией является минимай зером функционала

, п , * /2|к»|п1 + 1Му1к+;<2|1ЦИ2Д ,2

=-йй;-= ^

и при

яг < Хсг(д) =

постоянная функция дает локальный экстремум функционалу

Лемма 2 1 Пусть 5 = 2* Существует йо = такое,

что для всех цилиндров П^, 6 < а!0 для любого е < е<т(2*) инфимум 2г,2- е достигается

Введем вспомогательный "одномерный" функционал

шГ = тГ "2'(0 "2'(01),

«^Ч 1М1,(0,1,

нормированный в Ь,(0,1) минимайзер которого обозначим V Известно, что при х < х„ V = 1

Цель этой главы — доказать, что при достаточно малых ё, для функционала 22,?,е в области Щ) = £<т(?), Ч £ (2,2*] Для этого понадобятся априорные оценки решения (5) при х = нСТ{д),

равномерные по д и <1 В §2 2 вынесены вспомогательные предложения, а в §2 3 получены необходимые оценки Доказано, что при д € (2,2*] супремум и И^-норма решения с минимальной энергией задачи (5) равномерно 01раничены по д и <1, и при д £ (2,2 + 2/п] инфимум решения равномерно ограничен по д и й

Основные результаты этой главы доказаны в §2 4

Теорема 2 1 Пусть д £ (2,2*] х > О Для любой пары (д,х) существует (¿¡ос(п,а;,д,х) такое что для всех д < дцос минимай-зер V "одномерного" функционала дает локальный минимум функционалу

Теорема 2 2 Пусть п > 3 Тогда для любой строго липшицевой области и) существует ¿„{п^ш) такое, что при й < ¿ст ^

Мв). 9 6(2,2*]

В третьей главе изучается эффект возникновения множественных положительных решений задачи

-Ари + \и\Р~2и = 0 в Вн ^м|р-2(Уи,п) = \и\*-2и на 5д

Здесь Вд — шар радиуса Д в пространстве К", 5д = дВц Поскольку при д < р задача (6) имеет единственное положительное решение (радиальное), то да нее считаем д > р

Положительные решения задачи (6) можно искать, минимизируя функционал

1М1ип(Вп)

QP,q,R{u) = -г-р-

на различных подпространствах Шр (Вц)

Предложение 3.2 Пусть Л — замкнутая подгруппа в 0(п), и подпространство Ьц всех Н-инвариантных функций из ]¥р(Вд) компактно вкладывается Ьд(3ц) Тогда функционал 0,рлд достигает на Ьц ненулевого минимума и минимайзер после домножения на подходящую константу дает положительное в Вц обобщенное решение задачи (6) (в дальнейшем будем говорить просто "решение ")

Обозначим р* предельный показатель вложения на границу

Введем обозначения Пусть пара чисел т £ М, к € N и {0} удовлетворяет условиям

1) 7П 1 + к = п для некоторого I 6 К,

2) т > 2, (7)

3) к = 0 или к>т

Тогда соответствующее разложение пространства К"

ЕГ = Кт 9 Ф К™ © Шк 2 = {Х\ , , XI , у)

называется (т, /с)-разложением

Функция и называется т-радиальной, если и зависит только от |х,|, г = 1, , / и (при к Ф 0) от \у\ Если и инвариантна относительно всех перестановок векторов х\, ,х; и (при к ф 0) зависит только от |у\, то и называется (т, &)-симметричной функцией Если функция и одновременно т-радиальна и (то, &)-симметрична, то такая функцию называется (тп, £)-радиальной функцией

Далее, в §3 2 решения задачи (6) получены в результате минимизации функционала 2р,д,д на множестве (т, &)-радиальных функций пространства И^Дбд) и доказано, что при достаточно больших Я найденные решения будут различны

предложение 3 3 Множество т-радиалъных функций из и^1 (вд) образует пространство, которое компактно вложено в Ьд(3к) при условии

1 /п — ш — р+

Ч<Рш, — = г \ ) (8)

Рт V р{п-т) J +

Теорема 3.1 Пусть 1 < р < q Тогда существует R = д) такое, что при любом R > R для всех пар (m,fc), удовлетворяющих условиям (7) и (8), существует [т, к)-радиальное решение задачи (6) Все решения с различными (т,к) неэквивалентны

Очевидно, что (8) выполнено при всех q < оо для т ~ п Это соответствует тому факту, что задача (6) имеет радиальное решение при любом q < оо Если р > [(п + 1)/2] + 1, то для всех q < оо найдется такое нетривиальное (то есть с т < п) (т, £)-разложение, что выполнено (8) Поэтому задача (6) при любом q < оо имеет нерадиальное решение для достаточно больших R

В §3 3 функционал 2м,д минимизируется на подпространствах ¿рк,на всех (2, &)-симыетричных функций из У/р{Вя), ^-инвариантных по хи где Ль — подгруппа 0(2), порождаемая поворотом на угол 2^r/t,teN

ТЕОРЕМА 3 2 Пусть п ф 3 1 <р<оо, р<д<р* Для любого ¿о £ N существует Я = Я(р, д, ¿о), такое, что при любом Я > Я для всех к, удовлетворяющих условию (7) с т = 2, и для всех 2 < < < ¿о существует {2, к)-симметричное, Н.Гинвариинтное решение задачи (6) Все решения с различными (к, 2:) различны, если не выполнены равенства

Ь = 2, £' = 4, 2к' -к = п или £' = 2, £ = 4, 2к - = п

Таким образом получена множественность решений задачи (6) при больших Я

В §3 4 рассматривается "двойственный" случай, когда радиус шара Я зафиксирован и меняется показатель д

ТЕОРЕМА 3 3 Пусть п четное число, п < р < оо Тогда для любого ¿о 6 N существует д = д(р, Я, такое, что при любом д е (д, оо) для всех Ь < ¿о существует (2,0)-симметричное 'Нь-инвариантпое региение задачи (6) Все решения с различны ми Ь неэквивалентны

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть + 1 < р < оо Тогда существует д = д[р, Я) такое, что при любом д > д для всех т, удовлетворяющих условию

тах{2, п — р+ 1} <т< п/2,

существует (т, п—т)-радиальное решение задачи (б) Все решения с различным тп неэквивалентны

В §3 5 результаты §3 2 и §3 3 распространены на более общий случай задачи

( — (¿IV а(\7и) + а1ИР~1 = д(и) в Вц \ (а(УгО,п) + а2«р-1 = /(и) на 5Я

при подходящих условиях на функции а К" —► Ж" и д, / М+ —> К

Публикации автора по теме диссертации

[1 ] Назаров А И, Щеглова А П, О некоторых свойствах экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева // Проблемы математического анализа, Новосибирск, ТРожковская, выпуск 27 (2004), стр 109-136

[2 ] Щеглова А П, Множественность решений одной краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Проблемы математического анализа, Новосибирск, Т Рожковская, выпуск 30 (2005), стр 121-144

[3 ] Щеглова А Я, Задача Неймана для полулинейного элчипти-ческого уравнения в тонком цилиндре Решения с наименьшей энергией // Записки научных семинаров ПОМИ, СПб, том 348 (2007), стр 272 302

[4 ] Назаров А И, Щеглова А П, О некоторых свойствах экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Тезисы доктадов Владимир, 2004 г Стр 147 148

[5 ] Щеглова А П, Множественность решений одной краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Тезисы докладов Владимир, 2006 г Стр 235

Подписано в печать 01072008 Формат 60x841/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ листов 0,7 Тираж 100 экз Заказ №41

ЦОП типографии Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр, д 41

Введение

1 Задача Неймана для уравнения, порожденного теоремой вложения Соболева

1.1. Постановка задачи.

1.2. Случай 1 < р < 2.

1.3. Случай р = 2.

1.4. Некоторые обобщения.

2 Задача Неймана в тонком цилиндре

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вспомогательные утверждения.

2.3. Априорные оценки решения.

2.4. Локальный и глобальный минимум

3 Множественность решений задачи Неймана с неоднородным граничным условием

3.1. Постановка задачи.

3.2. (ш, &)-радиальные решения в шаре.

3.3. Множественность решений при больших R.

3.4. Множественность решений при больших q

3.5. Некоторые обобщения.

Краевые задачи для квазилинейных уравнений и качественные свойства их решений привлекают большое внимание в последние десятилетия. Исследованиями в этой области занимаются, в частности, такие известные математики, как С.И. Похожаев, В.А. Кондратьев, Ь. Уегоп, \V.-M. N1 и другие.

Одно из простейших уравнений такой структуры — уравнение Эйлера для функционала, порождаемого теоремой вложения. В диссертации рассматривается задача Неймана для некоторых уравнений такого типа.

В первой главе изучается вопрос о постоянстве решения с минимальной

Если рассмотреть в ограниченной области Г2 с Кп задачу о нахождении то минимайзер (после домножения на подходящую константу) является решением (0.1) с минимальной энергией £. Здесь и далее предполагается, что Я < Р*1 гДе Р* ~ предельный показатель вложения Соболева, то есть инфимум в (0.2) положителен. энергией £{и) = 1М1 р,а заДачи

0.1) точной константы в теореме вложения Ьд(П): = Ы , т иеи^п),«?^

0.2)

Введем нормировку области О, то есть замену —> вО,. Тогда можно считать, что теа8(0) = 1, и изучать зависимость от параметра г решения с минимальной энергией задачи

Очевидно, что при заданных ри д константа не даст глобального экстремума в (0.3) при больших в. Вводя вспомогательные функционалы можно переформулировать вопрос так: при каких в константа дает минимум функционалам 0,рл,е и

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть 1 <р<пиц = р*. Тогда существует £о = £о{р, п, такое, что для любого в < Во инфимум 0,р,р*,е достигается.

Вычисляя второй дифференциал функционала Ур1Ч,£ на константе, легко получить

Предложение 1.2. Пусть 2 < р < Тогда постоянная функция не дает функционалу минимума (даже локального). Следовательно, постоянная функция не является решением (0.3) с минимальной энергией.

Поэтому содержательным является случай 1 < р < 2. В §1.2 рассматриваются 1 < р < 2.

Теорема 1.2. При 1 < р < 2 и любых # е {р',р*], в > 0 постоянная функция доставляет локальный минимум функционалам ¿Грд,£ и Qp,q,e■

0.3) р

I р,П

Дальнейшие рассуждения показывают, что при заданном р на полуинтервале q G определена функция £ = ep(g), такая что при s > sр постоянная функция не является решением (0.3) с минимальной энергией, а при £ <£р является. Функция положительна и £~p(q) —оо при q J, p.

Теорема 1.3. Функция £v непрерывна на {р,р*} и строго убывает.

Наиболее интересным для исследования является случай р = 2, который рассмотрен в §1.3. Задача (0.3) тогда принимает вид

Г-Au + £2и = \u\q~2u в ft , ^ i = о н! an • (0'4)

Задача (0.4) встречается в различных областях прикладной науки. Например, она описывает систему реакции-диффузии при морфогенезе. Иследова-нию этой задачи посвящены работы W.-M. Ni, M. Grossi, I. Takagi и других. Здесь получены тонкие результаты о структуре непостоянных решений (в основном при £ —> оо). Хорошо известно также, что решение (0.4) с минимальной энергией заведомо непостоянная функция при е > £cr{o) = где Л^п - первое положительное собственное число задачи Неймана

Г —А и = Хи, в f1 \ Ц = 0 на diï.

Однако вопрос о постоянстве решения с минимальной энергией при £ < £сг исследован мало. Лишь в одномерном случае А.И. Назаровым доказано, что такое решение постоянно при всех £ <

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть q <2* и q < +оо; £ < £cr(.Q)• Тогда функция 1 дает функционалам J2,q,£ и Q/i,q,e локальный минимум.

Так же как в §1.2 доказывается, что на полуинтервале q G (2; 2*], q < +оо определена функция е = е(д), такая что при е > е постоянная функция не является решением (0.4) с минимальной энергией, а при е < е~р является. Функция £(д) положительна, —» сю при д р и справедлива

ТЕОРЕМА 1.5. Функция £ непрерывна на всей области определения и строго убывает.

Очевидно, что е~(д) < £сг(д) для всех д Е (2; 2*]. В диссертации показано, что если — асимметричная область общего положения, то £~(д) < £сг{я) для всех д € (2; 2*]. Кроме того, если П — единичный куб в пространстве К" (п > 3), то при д близких к 2* снизу е(д) < £сг(я)

В §1.4 рассматривается функционал, порожденный теоремой вложения в Здесь Г2 — плоское риманово многообразие со строго липшицевым краем, а норма в пространстве И^(!Г2) определена так: |М1и/2(П) =

В этом случае ключевым оказывается факт наличия/отсутствия на многообразии О линейных функций. Если на Г2 существует линейная функция, то при 1 < р < д < р** константа не дает соответствующему функционалу минимума, даже локального. Если линейные функции отсутствуют, то справедливы результаты, аналогичные полученным в §1.2 и §1.3.

Во второй главе задача (0.4) рассмотрена в тонком цилиндре Г^ = в^из х п > 3. Здесь ограниченная область ш строго липшицева и теаэа; = 1, с? € (0; 1). При достаточно малых с? вычисляем

После замены переменных уравнение (0.4) превращается в

0.5) где ш х (0; 1), у е (0; 1), хеш.

Решение задачи (0.5) с минимальной энергией является минимайзером функционала т£ Яъ«4{и) ее -^-= иф О 4,1 и при

7Г < = постоянная функция дает локальный экстремум функционалу .

Лемма 2.1. Пусть д = 2*. Существует = С1) такое, что для всех цилиндров д < с?о для любого £ < £„.(2*) инфимум 0,2,2',е достигается.

Введем вспомогательный "одномерный" функционал нормированный в Д?(0; 1) минимайзер которого обозначим V. Известно (см. [24]), что при к < Хс- V = 1.

Докажем, что для функционала ^{я) = £сг(я), Я £ (2; 2*]. Для этого нам понадобятся априорные оценки решения (0.5) при х — >Ссг{ч)-, равномерные по д и с!. В §2.2 вынесены вспомогательные предложения, а в §2.3 получены необходимые оценки. Доказано, что при д 6 (2; 2*] супремум и И^1-норма решения с минимальной энергией задачи (0.5) равномерно ограничены по д и и при д £ (2; 2 + 2/п] инфимум решения равномерно ограничен по д и б?.

Основной результат этой главы доказан в §2.4.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть д е (2; 2*], к > 0. Для любой пары (д, я) существует д, к) такое, что для всех (1 < д,10С минимайзер V "одномерного" функционала дает локальный минимум функционалу

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть п > 3. Тогда для любой строго липшицевой области и> существует ^(п,^) такое, что при (1 < с^ = £сг(ч), Я. 6 (2; 2*].

В третьей главе изучается эффект возникновения множественных положительных решений задачи

Ари + \и\р~2и = 0 в Вк

0.6)

Чи\Р-2{Чщп) = \и\9-2и на вп Здесь В л — шар радиуса В. в пространстве Мп, Бп = дВц. Поскольку при д < р задача (0.6) имеет единственное положительное решение (радиальное), то далее считаем д > р.

Положительные решения задачи (0.6) можно искать, минимизируя функционал

1М1и?(дд) на различных подпространствах \Ур(Вц).

Предложение 3.2. Пусть Н — замкнутая подгруппа в 0{п), и подпространство Ьц всех И.-инвариантных функций из У/р(Вл) компактно вкладывается Тогда функционал я достигает на Ьп ненулевого минимума и минимайзер после домножения на подходящую константу дает положительное в В л обобщенное решение задачи (0.6) (в дальнейшем будем говорить просто "решение").

Обозначим р* — предельный показа/гель вложения на границу.

Следуя [25], введем обозначения. Пусть пара чисел т 6 14, к £ N и {0} удовлетворяет условиям:

1) т -1 + к = п для некоторого I £ 14;

2) т > 2; (0.7)

3) к — 0 или к > т.

Тогда соответствующее разложение пространства К"

К'

К' е . © кт © к*

2 = {Х1

XI ; у) называется (га, /с)-разложением.

Функция и называется ш-радиальной, если и зависит только от |а-г|, г = 1,и (при к ф 0) от \у\. Если и инвариантна относительно всех перестановок векторов ., и (при к ф 0) зависит только от |у|, то и называется (га, /с)-симметричной функцией. Если функция и одновременно гтг-радиальна и (т, &)-симметрична, то такая функцию называется (га, к)-радиальной функцией.

Далее, в §3.2 решения задачи (0.6) получены в результате минимизации функционала на множестве (га, &)-радиальных функций пространства р{Вц) и доказано, что при достаточно больших Я найденные решения будут различны. предложение 3.3. Множество т-радиальных функций из \¥р(Вп) образует пространство, которое компактно вложено в Ьч(3л) при условии что при любом Я > Я для всех пар (га, к), удовлетворяющих условиям (0.7) и (0.8), существует (га, к)-радиальное решение задачи (0.6). Все решения с различными (га, к) неэквивалентны.

Очевидно, что (0.8) выполнено при всех д < схз для га = п. Это соответствует тому факту, что задача (0.6) имеет радиальное решение при любом

0.8)

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть 1 < р < д. Тогда существует В, = Я(р,д) такое, д < оо. Если р > [(« + 1)/2] + 1, то для всех д < оо найдется такое нетривиальное (то есть с т < п) (т, &)-разложение, что выполнено (0.8). Поэтому задача (0.6) при любом д < оо имеет нерадиальное решение для достаточно больших Я.

В §3.3 функционал 0,рлд минимизируется на подпространствах Ь(2,к,н^ всех (2, /с)-симметричных функций из И^}(Дд), ^-инвариантных По Х{, где Нь — подгруппа 0( 2), порождаемая поворотом на угол 27г/£, ¿ЕМ.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть п Ф 3, 1 < р < оо, р < д < р*. Для любого ¿0 £ N существует Я = Я(р, д,£о), такое, что при любом Я > Я для всех к, удовлетворяющих условию (0.7) ст~2, и для всех 2 < £ < ¿о существует (2, к)-симметричное, ТСь-инвариантное решение задачи (0.6). Все решения с различными (к, £) различны, если не выполнены равенства = 2, // = 4, 2А/ — к = п или = 2, £ = 4, 2к — к' = п.

Таким образом получена множественность решений задачи (0.6) при больших Я.

В §3.4 рассматривается "двойственный" случай, когда радиус шара Я зафиксирован и меняется показатель д.

Теорема 3.3. Пусть п — четное число, п < р < оо. Тогда для любого ¿о € N существует д = д(р, Я, ¿о) такое, что при любом д е (д; оо) для всеж £ < ¿о существует (2, 0)-симметричное Нгинвариантное решение задачи (0.6). Все решения с различными I неэквивалентны.

Теорема 3.4. Пусть + 1 < р < оо. Тогда существует д = д(р, Л) такое, что при любом д > д для всех т, удовлетворяющих условию тах{2;п — р-\-1} <т< п/2, существует (т,п — т)-радиальное решение задачи (0.6). Все решения с различным т неэквивалентны.

В §3.5 результаты §3.2 и §3.3 распространены на более общий случай задачи div a(Vw) + а\ир~1 = g{u) в Br (a(Vw);n) +a2up-x = f(u) на SR при подходящих условиях на функции а : Мп —> Шп и д, / : К+ —К.

Результаты работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006 год), на семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике (ПО-МИ РАН, руководители Г.А. Серёгин и H.H. Уральцева)

Основное содержание диссертации изложено в работах [37]-[39]. В работе [37] научному руководителю принадлежит постановка задачи и общая идея метода решения; реализация метода проведена автором. Статья [38] опубликована в издании, включенном в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации "(Бюллетень ВАК РФ No. 4 2005 г).

Параграфы имеют двойную нумерацию. Формулы, предложения и теоремы также имеют двойную нумерацию, сквозную в пределах главы. Список обозначений приведен перед первой главой.

Список обозначений п 15, 44, 74 \Нл 16 к, I, т 76 А р 15, 74 37 р* 17 А?,* 45 р** 37 Ир,д,я 74 р* 74 Ав>1М 45 р*т 77 27 д 15, 75 - Ал/->п 41 в, 44 Ал/> 45 ¿Г 47 е 16 с* 47

26 М 54 е 35 М) 52 сг 28 А^ 54 е 43 Ма 64 ер 41 то 56

41 т* 61 х 45 *(и,т) 51

45 «ь «2 99

Д 74 и 99

7 99

15 ^ъ Ю2 а;, г/, г 45, 76 <?о ЮЗ г, г{ 76 •д, 76 w¿ 15 n 15

37 Ap 15

L4 15 V2 37

L>n 75 ux 45

L(m,k,H) 86 n 75, 86

102 Ht 88

104 m,k) 108 u 21, 47 m,fc) 108 U(m,A:) 80

100 Щт,к,Н) 86

100 U(2 ,k,t) 88 e 103 108

111 n 15, 37 Û(2,fc,i) 111 dVL 15 V 46

44 С 22

Ol 45 h 21

2f 51 hi 21

U) 44 h2 66

Br 74 g 66

Sr 74 w 66

Bj(r), B¿i(r) 83 a, A 99

83 f 99

78 9 99

Ф 100

Л 100

21 100

15

15

99

Т 100

Ъ 100

С 99

100

5 100

21

38

45

46 а 100 а 100 д(е> и;) 67

16

37

Qq,x,d 45

Qq,>c 45

74 линейная функция 38 ш, ^-разложение 76 т-радиальная функция 76 т, &)-радиальная функция 77 т, А;)-симметричная функция 76

1. Adimurthi, G. Mancini, The Neumann problem for elliptic equations with critical nonlinearity // Nonlinear analysis, Quaderni, Scuola Norm. Sup., Pisa, 1991, p. 9-25.

2. O.B. Бесов, В.П. Ильин, С.M. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения. Изд. 2 // М., Наука, 1996.

3. H. Brezis, L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear equations involving critical Sobolev exponent // Comm. in Pure and Appl. Math. Vol. 36 (1983), p. 437-477.

4. C.V. Coffman, A non-linear boundary value problem with many positive solutions// Journal of Differential Equations, Vol. 54 (1984), p. 429-437.

5. A.B. Демьянов, А.И. Назаров О существовании экстремальной функции в теоремах вложения Соболева с предельным показателем // Алгебра и Анализ, Т. 17, No. 5 (2005), стр. 105-140.

6. J. Fernandez Bonder, Е. Lami Dozo, J.D. Rossi, Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding // Ann. I. H. Poincare, Vol. 21 (2004), p. 794-806

7. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, Existence results for the p-Laplacian with nonlinear boundary conditions // Journal Math. Anal. Appl. Vol. 263 (2001), p. 195-223.

8. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, Asymptotic behavior of the best Sobolev trace constant in expanding and contracting domains // Comm. on Pure and Appl. Anal. Vol. 1, No. 3 (2002), p. 75-94.

9. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, On the existence of extremals for the Sobolev trace embedding theorem with critical exponent // Bull. London Math. Soc. Vol. 37, No. 1 (2005), p. 119-125.

10. M. Grossi, Uniqueness of the least-energy solution for a semilinear Neumann problem // Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 128, No. 6 (2000), p. 1665-1672.

11. E. Hebey, M. Vaugon, Sobolev spaces in the presence of symmetries // Journal Math. Pures Appl. Vol. 76 (1997), p. 859-881.

12. C.B. Иванов, А.И. Назаров, О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и Анализ. Т. 18, No. 1 (2006), стр. 108-123.

13. F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation // Comm. on Pure and Appl. Math., Vol. 14, No. 2 (1961), p. 415-426.

14. JI.B. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ. Изд. 3 // М., Наука, 1984.

15. В. Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE // Springer Lecture Notes in Math., Vol. 1150, 1985.

16. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. второе // М.: Наука, 1973.

17. Е. Lami Dozo, О. Torne, Symmetry and symmetry breaking for minimizers in the trace inequality // Comm. in Contemporary Math., Vol. 7, Issue 6 (2005), p. 727-746.

18. Y.Y. Li, Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations 11 Journal of Differential Equations, Vol. 83 (1990), p. 348-367.

19. C.-S. Lin, W.-M. Ni, I. Takagi, Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis system // Journal Differential Equations, Vol. 72, No. 1 (1988), p. 1-27.

20. F.-H. Lin, W.-M. Ni, J.-C. Wei, On the number of interior peak solutions for a singularly perturbed Neumann problem // Vol. 60, Issue 2 (2007), p. 252-281.

21. P.L. Lions, F. Pacella, M. Tricarico, Best constant in Sobolev inequalities for functions vanishimg on some part of the boundary and related questions // Indiana University Mathematics Journal, Vol. 37, No. 2 (1998), p. 301-324.

22. S. Martinez, J.D. Rossi, Isolation and simplicity for the first eigenvalue of the p-Laplacian with a nonlinear boundary condition // Abstract and Appl. An., Vol. 7, No. 5 (2002), p. 287-293.

23. R. Molle, D. Passaseo, Positive solutions ■ of slightly supercritical elliptic equations in symmetry domains // Ann. I. H. Poincare, Vol. 21 (2004), p. 639656

24. А.И. Назаров, О точной константе в одномерной теореме вложения // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Научная книга, Вып. 19 (1999), стр. 149-163.

25. А.И. Назаров, О решениях задачи Дирихле для уравнения, включающего р-лапласиан, в сферическом слое // Труды СПб мат. общества, Т. 10 (2004), Новосибирск, Т. Рожковская, стр. 33-62.

26. А.И. Назаров, О точных константах в одномерных теоремах вложения произвольного порядка // Вопросы современной теории аппроксимации. Изд. СПбГУ, 2004, стр. 146-158.

27. Z. Nehari, On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 95 (1960), p. 101-123.

28. R.S. Palais, The principle of symmetric criticality // Comm. in Math. Phys. Vol. 69 (1979), p. 19-30.

29. A.L. Pereira, M.C. Pereira, A generic property for the eigenfunctions of the laplacian // Topological Metods in Nonlinear Analysis, Vol. 20 (1988), p. 283313.

30. M. del Pino, C. Flores, Asymptotic behavior of best constants and extremals for trace embedding in expanding domains // Comm. in Partial Diff. Eq. Vol. 26 (2001), p. 2189-2210.

31. D. Smets, M. Willem, Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Calc. Var., Vol. 18 (2003), p. 57-75.

32. В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Пространства Соболева // В кн.: Избранные главы анализа и высшей алгебры. Уч. пособие. Ред. М.З. Со-ломяк. Л., ЛГУ, 1981.

33. J.-O. Stromberg, A. Torchinsky, Weighted Hardy Spaces // Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1381, Springer-Verlag, New York, 1989.

34. G. Talenti, Best constant in Sobolev inequality // Ann. Mat. Рига ed App., Ser. 4, Vol. 110 (1976), p. 353-372.

35. N. Trudinger, On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. in Pure and Appl. Math. Vol. 20 (1967), p. 721-747.

36. X.J. Wang, Neumann problem of semilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Journal Differential Equations, Vol. 93, No. 2 (1991), p. 283-310.

37. А.И. Назаров, А.П. Щеглова, О некоторых свойствах экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Т.Рожковская, выпуск 27 (2004), стр. 109-136.

38. А.П. Щеглова, Мноэюественностъ решений одной краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Т.Рожковская, выпуск 30 (2005), стр. 121-144.