Задача Неймана-Кельвина для цилиндра, частично погруженного в поток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

О О В 9'V

ЛьЫиДТАДаСК! ОРДЕНА ЛйМНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШЗЕРСШЫ

На правах рукописи

АКИМОВ Александр Николаевич

ЗАДАЧА НйШНА-Кй/ШВШ ДЛЯ ЦШйНДРЛ,

ЧАьТИЧНО' ПОГРУЖЕННОГО В ПОТОК

01.01.02 - дифференциальные уравнения

■ АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград 1991

/

А

Работа >;ь:лолнени'я Ленинградском ордена Лс-нина и ордена1 Трудоаиго «ipacMcro Знамени Государственном университете.

Научна руководитель -

кандидат физико-математических наук, стар^пГ: науч.чкГ' сотрудник

¡¡.Г.КуЗНСЦОБ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент

В.Г.Осмоловский

доктор физико-математических наук, старший парный сотрудник

В.А.Козлов

Ведущая организация - Московский государствен!!!.:"

университет им. ¡.5.В.Ломоносова

Защита состоится nitOn HtCtUL Г>Л г. в № час. на заседании специализированного совета л.0оо.57.4& .¡о присуждения учексг? степени кандидата ^изикс-матсматическкх наук в Ленинградском государственном университете по адресу: licvO'l, г. Ленинград, Пс?рсдворец, Библиотечная площадь, дом 2, кате-матнко-механяческий факультет.

С диссертацией кожно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Ленинградского государственного университета.

Автореферат разослан "-/У" лсаЛ Kyi г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент А.И.Шепелявый

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСГ»Ш Р/иЗОТЫ

Актуальность проблемы. Анализ корректных постановок линейных краевых задач теории поверхностных волн представляет значительный математический интерес, а также интерес для гцншоже-ний. Можно считать практически- завершенным изучение вопроса об однозначной раэреиимости плоской задачи, которая описывает установившееся потенциальное обтекание тела под свободной поверхностью жидкости. Отметил в связи с этим работы Н.Е.Кочина, А.И. Тихонова, М.Д.Хаскинда, Б.Р.Вайнберга и В.Г.Мазья.

В последнее пятнадцатилетие на международных симпозиумах, конференциях и семинарах по корабельной гидродинамике широко обсуждались вопросы постановки линейной краевой задачи, которая описывает установившееся движение полупогруженного тела в идеальной, несжимаемой, тяжелой жадности. Вопрос об однозначной разрешимости этой задачи для двумерного случая изучался в работах Ф.Эрселла. Численными методами эту задачу решал К.Судзуки. Наиболее полный анализ различных постановок плоской задачи для жидкости бесконечной глубины проведен в работах Н.Г.Кузнецова и В.Г.Мазья. 3 частности, авторы получили необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости, аналогичные найденным Б.Р.Вайнбергом и В.Г.Мазья для плоской задачи о движении полностью погруженного тела. Представляется актуальным провести численный эксперимент по проверке этих условий. Кроне того, остается неизученной плоская задача для конечной глубины жадности. В гидродинамических приложениях особый интерес имеет волновое зопротивление,. формулу для определения которого в случае полу-югруженного цилиндра и бесконечнсглубокой жидкости, используя функцию Н.Е.Кочмна, нашел.Н.Г.Кузнецов.

Одним из наиболее эффективных численных методов реиения фаевых задач, возникающих в теории идеальной жидкости, явля- . ¡тся метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). Этому нап-твлению посвлл;зно много публикаций. Наиболее известны»,!« являйся работы Дж.Хесса и А.Смита, в которых с помощью метода ГИУ юшаетея трехмерная задача потенциального обтекания.

Цзль работы - анализ различных постановок задачи потенци-льного обтекания для пол;,"погруженного'цилиндра и определение

волнового сопротивления в случае конечной глубины жидкости, разработка элективного метода численного решения задач теории поверхностных волн й проведение некоторых численных экспериментов.

Научная нояизна. Получены новые результаты по вопросу об однозначной разрсжймости плоской задали потенциального обтекания полулогрукеннэго тела. Для численного решения предлагается свести линейную краевую задачу, описывающую движение тела в идеальной жидкости, к граничному интегральному уравнению относительно потенциала обращенного движения. Новизна такого подхода заключается в том, что, используя прямой метод потенциала, получаем граничное уравнение с простой правой частью.

Практическая ценность. Результаты работы представляют собой дальнейшее развитие в изучении математических аспектов теории поверхностных волн, а также могут бить полезны для исследований в- области корабельной гидродинамики. Разработанные численные методы использовались в лаборатории методов вычислений _ К ¡И математики и механики км. акад. 8.И.Смирнова при выполнении хоздоговорных тем.

Апробация рг.боту и публикация. Основные результаты докладывались на пятом рабочем совещании по методу ГйУ \г.Пушило, I98& г.), на научно-технической конференции "Методы математического и физического моделирования волновых и вихревых течений жидкости", посвященной 125-летию со дня ро:едекия академика А.Н. Крылова Сг.Ленинград, 1966 г.), на второй Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (г.Дрогобыч, 1989 г.), на пятой всесоюзной школе-семинаре "Современнее проблемы механики »едкости и газа" (г.Иркутск, 1990 г.) а также на семинарах лаборатории методов вычислений ШШЫ ЛГУ. По теме диссертации опубликовано весть работ.

Структура и объем диссертации; Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 53 наименования. Общий объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста, 6 рисунков, 3 таблицы.

СОДЕЕ^АШЕ РАБОТЫ

Во введения даны постановка задачи Неймана-Кельвина, краткий обзор работ по теме, сформулированы цели диссертационной работы и кратко изложено ее содержание.

Будем считать, что глубина потока равна единице, что не ограничивает общности, так как всегда может быть обеспечено соответствующим выбором единиц измерения. Пусть £ - полоса

-/< • а поперечное сечение движущего-

ся цилиндра представляет собой ограниченную односв/.зную область

. Граница д5) состоит из отрезка С (у-

и "простой замкнутой дуги 8 , концами которой служат точки р+ =.( л±,о) . Предполагается, что б принадлежит классу С^ % 1к£ Ё Я-) содержится в полосе «У , а обращенные

в сторону жидкости углымекду односторонними касательными к 6 Б точках А. и луча*ш Ff заключены в интервале (О, Ж) . Здесь у. ~о;Оч.< х < + ; - < х< а}.

Положим = - область, заполненная жидкостью,

- свободная поверхность «едкости.

_ Задача Неймана-Кельвина состоит в отыскании функции

V/ э —^ ЩХ^у.) <= Я, , которая удовлетворяет уравне-

нию Далласа

в (!)

}

краевым условиям:

¡¿^-0 на Р , (2)

и иАв, (з)

где $ при = , а на В функция ^ принадлежит классу С й>Л ; условиям на бесконечности:

£сьь 1хги>1?:0, (4)

X —» 4- оо

где (г - произвольный компакт в £ , такой, что 3) С- (г и р^ Л & Ф ф .и условию локальной конечности энергии

^/Р&Л^А^у. < ое, (6)

= ¥сс$(П,£) и , то эта задача

описыЕает установившееся волновое движение жидкости, вызванное поступательным перемещением ц/линдра вдоль оси абсцисс с постоянной скоростью и , Здесь /й • единичный вектор, нормальный к ЭМ и направленный в сторону области , - ускорение свободного падения.. С гидродинамической точки зрения и. - ото потещилл вызванных скоростей жидкости в системе координат, связанной с цилиндром.

В случае потока бесконечной глубины вместо полосы £ берется полуплоскость /2.5 ■= £(Х.у.) : ^ < С } , а краевое условие при ^ - - { (С;.,. соотношение (3)) следует опустить.

Перрол. глава посвящена исследованию корректных постановок задачи ИеЯмаиа-Кельвина в случае конечной глубины жадности.

В первом параграфе приведены асимптотики решения задачи (1)-(6) на'бесконечности к вблизи угловых то^ек . В частности, при 1х{ «ч; имеем

ШХ,Ц) = С++ У+(Х-,Щ+Н(-Х}[&Х

* ~ - * (7)

где У± = 0(<хГ*) *0<!ХГ*-) , Н - функция Хе-

висайда, а через обозначен единственной положительный корень уравнения V X = А . существуюций при V > / . Иардеш формулы для определения крнстакг О. , Л , Л и соотношение, связывающее С+ и С. . '

Во втором параграфе дано определение двух корректных постановок задачи Неймана-Кельвина.

Определение X, Назовем функцию и решением ¿задачи Г Л (I .2), если она удовлетворяет соотношениям (1)-(6) й для нее заданы значения Сх в асимптотике

Ь)

и производной

(разности МР+)-а(£Ку.

¿¿лее укиз&ны де& геометрических услолпя, ка-адое аз которых сйесг.счпгаот единственность решений задач 1.1 л 1.2 в классе функций с л-окечыг.5 интегралом энергии.

У^логпе 1 1Б.?.Ба;";;1г с-рга и В.Г.ыазья). На криво"! £ выполнено нгравснсгсо X СС$(И>£) ^ О .

Условие 2 и,Д?<опа). ОСлаогь 3) содержится в прямоугольнике {< 3 > а. ¿х 5. а.+ } .

Для V 1 в асимптотике (7) отсутствует волновой член, поэтому при выполнении условий I или 2 решения задач 1.1 и 1 .2 единстве!«;!,!.

Третий п;.рагра|з поевлцен исследовании разреди: :ссти задачи I для случая закритической скорости потока ( V ■< / ),

Сначала доказаны вспомогательное утверждения относительно функции Грипп Е^-*^';'!' ^ задачи I в полосе <5 . Зате?: получены свойства потенциала простого слоя х

( 11^(1) ДСТ) 11 ¿г £ , г е Г, В

с,у

где £-Х.+С%. , + , а олотность/хё С(ыЬ&),

О У, .>£ < 'I . Через С^(В) обозначено банахово пространство, образованное непрерывными на (л1 6 функциями, для которое конечна норма

Vм-"л3 : геиив},

Решение задач ищем в виде суммы

Ш) = (%/!*)(2) +■ X]/6± Е1 (г, А±),

где неизвестен вектор (/Чр^М.+руМ*-)Т, <~ . Далее чз краевого условия (3) и двух дополнительных услоБИЛ находки ин-тегро-алгебраическую систему, для которой справедлива альтернатива Фредгольма в пространстве £ (В) X ■, если

удовлетворяет неравенству

Je < »ил [l+lf- LJi.t 'Л '/ J /

Возможен неправильный случай (по терминологии Ф.Джона), когда однородная интегро-алгебраическая система имеет нетривиальное решение. В этом случае нельзя искать решение задач Г.I и 1,2 в виде (8). Чтобы преодолеть оти ограничения вводится вспомогательная краевая задача с симметричной функцией Грина. Для этой задачи доказывается однозначная разрешимость. Искомш функция ^ выражается через решения вспомогательных задач. Наконец, имеем следующую теорему.

Теорема I. Пусть выполнено условие I или 2, тогда для любых троек Cf, & > их(Й.)} и (f, a.il(P,¡-U(p.j) задачи [.! и [ .2 ( V' < í ) соответственно имеют единственное (г точностно до постоянного слагаемого) решение.

В четвергом параграфе рассматривается вспомогательная задача дифракционного типа при докритической скорости потока {V'-»/ ), Для этой задачи удастся доказать теорему однозначной разрешимости. Сразу отметим, что в терминах решений этих задач, отсе-чаацих специальным данным, в § Ъ будет сформулирован признак однозначной разрешимости задач Lí(¿ = 1,t) .

Определение 2. Назовем функцию V решением задачи Ц.I ( Н.2), если она удовлетворяет соотношениям (1)-(3), (6), имеет заданное значение ) (^(tlhl/íi-l) и допускает представление

V(X,<¿.) - Q/х/ +С- S^L(x.) + V-c (X,!j), (у)

Г, .г

Здесь кл - постоянная, которую следует задавать, С - некоторая

константа, а для функции V¡ справедливо условие излучения ( ?1С/¿;x¡ - L\tVc) = С.

/XI

Далее показано, что при ¡xjимеет место соотношение

щх.}) = tí\jyH}etíÁ>x , tx.>o, (ю)

где

Решение задач 11.1 и ¡1.2 ищем в виде суммы

Ь1Ю = ( Ци.1 )п) ( * У м Л Л Ъ А

—

где

г

В

<'

I

I)п) ^(г;Ь.(¿;ч/1?у ¿>с,

соответственно потенциал простого слот и объемный потенциал, - функция Грина зада« I С '*( В) О С ¿¿(В),

О < ,УуЖ < ( , ул г С ( ¿С) - неизвестные плотности, а-' неизвестные комплексные числа. Вводим дополнительное условие -ДV ~ IV' б А) и получаем интегрс-алгебраическую систему. Такой подход устраняет неправильный случай» который при использовании методики ¿г.Дкона приводит к некоторым ограничениям в теореме разрешимости задачи 5 . 3 результате проведенного исследования приходим к следующей теореме.

Теорема '¿. Пусть выполнено условие 1 или 2, тогда дЛя любых троек (а , ^ (Р_)} и ( / , 0-, у(Р+}-1г(Я.)) задачи Я. I и Л-2 ( / ) соответственно имеют единственное решение.

В пятом параграфе изучается вопрос об однозначной разрешимости задачи I при V"/ и доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнено условие I или 2, тогда однородная задача 1.1 ( может иметь не более одного (с точностью до постоянного множителя и слагаемого) нетривиального решения. п 7

Теорема 4. Пусть выполнено условие I или 2, а фуям'"« V -решение задачи со следующими исходными даитши:

-=■¿1 аЛм*'.)^'3"]/ди, в услсыш (3); 0-0 Р прздс.тавле-

1«щ <*); = ПАке^' , если ,\Г(Р+)~

-У(Р)* 'ЖК(е°ай*-е1Ха') , если ¿=1 . Тогда следу-

юцие утверждения эквивалентны.

Iе. Однородная задача [. -£. имеет лишь тривиальное (с точностью до постоянного слагаемого) реиение.

£и. Справедливо неравенство 5),. ^ { , где - коэффициент в асимптотике (10) для функции • с

3° . Для функции "V имеет место неравенство ¡с0~1 £ ^ , где - коэффициент из формулы (10).

Тоорсна о .'Пусть однородная падача Г, I (-С-1,1) имеет лишь тривиальное реыение. Тогда для любого набора исходных данных задача I- £ имеет единственное (с точностью до постоянного слагаемого) решение.

Кроме того) в § 5 обсуждаются еще две постановки задачи I . 3 местом параграфе вычисляется волновое сопротивление. Получека формула, которая обобщает классически:"; результат-.М.Д. Хаскизда, справедливый только для полностью погруженного цилиндра. Следует отметить, что эта формула также аналогична результату Н.Г.Кузнецова для частично погруженного цилиндра в потоке бесконечной глубины.

Втера.д глава, посвящена разработке численного метода решения задач потенциального обтекания- и описанию численных экспе-рименгов. £инейНук> краевую задачу, описывающую движение тела в идеальной жидкости, предлагается свести к граничному интегральному уравнению относительно потенциала обращенного движения. Новизна такого подхода заключается в том, что, используя прямой метод потенциала, получаем уравнение с простой правой частью. Дискретизация уравнения фредгольмовского типа проводится методом коллокации с кусочно-постоянной аппроксимацией решения.

В первом параграфе рассмотрен случай полностью погруженного циливдра в жадности бесконечной глубины. Получено граничное интегральное уравнение, которое для регулярных точек контура тлеет вод г

---Г.*,

в

(II)

где

'Ь

функция Грина задачи I в полуплоскости К_ , ¥(%}- ИЩ 1ГХ -потенциал обращенного движения, V - скорость набегающего потока.

. Далее разработан приближений метод решения граничного уравнения (II). Для оценки погрешности результатов было решено несколько тестовых задач. В конце параграфа описан численный эксперимент, иллюстрирр/идий возникновение дополнительных условий в задаче Иеймана-Кельвкна для полупогружен лого цилиндра. (Обтекание "луночки" и сегмента при глубине отстояния от свободной поверхности, стремящейся к нулю).

Бо вторсм параграф« рассмотрен случай полупогруженного цилиндра. Здесь уравнение имеет следующий вед:

В ; (12)

При дискретизации уравнения 112), используя асимптотику йотен-. циала обращенного движения У вблизи точек Р+ , внражаеы У ГА ) и через значения функции У в" трех бликаЯ-

ших точках коллонации н учитьгааем дополнительные условия.

Кроме того, в § 2 рассматривается вопрос о проверке признака однозначной разрешимости задачи I, Ь ( £ = и » который формулируется б терминах решения вспомогательной задачи Л со специальными данными. Благодаря ряду численных эксперимент? с различными семействами кривых В обнаружена возможность нарушения единственности решения задачи Г Л при некотор!ж су чениях V .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исследована разрешимость различных постановок задачи Неймана-Кельвина для цилиндра, частично погруженного в поток конечной глубины (задачи 1.1 и 1.2).

а) Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задач Г.I и 1.2 при докригической скорости потока. (Обобщены результаты Н.Г.Кузнецова и В.Г.Мцзья на случай конечной глубины жидкости).

б) Доказана однозначная разрешимость задач 1.1 и 1.2 при некоторых геометрических условиях для закритической скорости потока. (Обобщены результаты Б.Р.Вайнберга и В.Г.Мазья на случай частично погруженного цилиндра)^.

2. Предложен эффективный метод для приближенного решения задач потенциального обтекания. Проведены численные эксперименты:

а) демонстрирующие необходимость дополнительных условий в задаче Неймана-Кельвина для частично погруженного цилиндра,

б) указывающие на возможность нарушения единственности решения задач« 1.1.

.Основные результаты диссертации опубликованы в с л едущих работах:

1. Акимов А.Н.- Численное решение плоских задач теории поверхностных волн // Методы возмущений в механике, - Иркутск. -1984. - С. 64-73.

2. Акимов А.К. О прямом методе потенциала // Новые подходы ■ решении дифференциальных уравнений / Тезисы докл. П Всесоюзной кокф., Дрогобыч - М. - 198У. - С. 5.

3. ¿кинов А.Н., Кузнецов Н.Г. Плоская задача Неймана-Кельвина *случая закритической скорости потока) // Вихревые, волновые и струйные явления в гидродинамике судна / Доклады конф. -

. Л. Судостроение, 1890. - С. 4-М.

4. Акимов А.Н., Кузнецов Н.Г. Об однозначной разрешимости

/

плоской задачи Неймана-Кельвина для патока .конечной глубины, имеющего докритическу» скорость / Ред. журн. "ЗестНик ЛГУ". -Л. - 1990. - 39 с. - Дел. в ШШТИ 04.04.90, .V 1836 - В 90.

5. Акимов А.Н., Кузнецов Н.Г'. Волновое сопротивление полу-погрукенного цилиндра, двиг.уцоГося с докритичесгсой скоростью

в жидкости конечной глубины // Сосременныо проблемы мехе ики жидкости и газа / Тезисы докладов 5-ой всесоюзной школы-семинара. - Иркутск: Ир. ВЦ СО АН СССР. - 1990'. - С. 9-10.

6. Кузнецов К.Г., 'Акимов А.Н. Волнообразование при обтекании'цилиндра, частично погруженного в поток конечной глубины - Л., 1990. - 37 с. - (Препринт / ЛЖААШ АН СССР; К 44).

Подпя сано к печати 26.04.91, формат 60 х 84 Г/16, печ.л. 1,0, зак. 79, тар. 100 экз. бесплатно. ПО-3 "Ленуприздата"