Задача о движении твердого тела в идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ < И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Рачоданов Сергей Михайлович

ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 531.01

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механи ко-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Козлов В. В.

Официальные оппоненты:

д. ф. -м. н., профессор В. А. Самсонов к. ф. -ы. н., доцент Л.Н.Фурта

Ведущая организация:

Институт Прикладной Механики РАН

Защита диссертации состоится "ОТ' ^е к.а а 1995 г. в ча сов на заседании специализированного совета 1 по механик! /Д-053.05.02/ при МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы. МГУ механико-математический факультет, ауд. 36-10^ € 4010.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "£¿1" нрД-^/ьА_ 1995г.

Ученый секретарь Спец совета 2 по механике при МГУ

Д.ф.-м-н. Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении тела в жидкости является одной из наиболее сложных и важных для приложений проблем гидродинамики. Изучению этой проблемы посвящено большое число теоретических и экспериментальных работ, многие из которых восходят к классикам механики. В том случае если жидкость идеальная и покоится на бесконечности движение тела описывается системой дифференциальных уравнений Кирхгофа. Однако даже в том случае, когда систему Кирхгофа удается проинтегрировать в квадратурах, качественная картина движения тела остается неизвестной. Анализ решений уравнений Кирхгофа, а также интегрирование кинематических соотношений позволяют определить качественную картину движения тела в некоторых частных случаях.

Цель работы состоит в теоретическом изучении динамики твердого тела в жидкости при наличии внешних сил, действующих на тело.

Методика исследования. Теоретические исследования проведены методами теоретической механики. Задачи решались теоретическими и качественными методами дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации впервые - в рамках исследования плоскопараллельного движения тела под действием следящей силы исследованы все возможные случаи движения твердого тела в зависимости от начальных

данных, определена качественная картина движения тела} проведено моделирование эффектов вязкости и исследовано движение тела

в этом случае.

- в пространственной задаче о движении тела под действием следящей силы рассмотрены некоторые поступательные и винтовые движения тела, обсуждена их устойчивость, исследованы движения тела, полученные малыми начальными возмущениями устойчивых движений.

- в задаче о падении твердого тела в жидкости проведено сравнение падения цилиндрического тела и тела с отверстием. Показано, что добавление циркуляции в этих во многом идентичных задачах приводит к качественно различным эффектам.

-построена асимптотика решений уравнений Чаплыгина вблизи положения равновесия.

Практическая ценность. Результаты и методы проведенных исследований могут быть использованы при решении задач о движении тел в жидкости.

Апробация. Результаты работы докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ и ИПМ РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 68 с. и состоит из введения, трех глав, добавления и списка литературы, содержащего 28 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении проводится краткий исторический очерк и излагаются основные результаты. Дан обзор работ, посвященный рассматриваемым в диссертации проблемам.

В первой главе рассматривается задача о движении тела в жидкости под действием следящей силы.

В11 дана постановка задачи, указаны первые интегралы исследуемой системы уравнений. Один из интегралов получен методом последнего множителя Якоби. Выписаны кинематические соотношения, описывающие движение тела.

Вустановлена связь рассматриваемой задачи с задачей о движении математического маятника под действием постоянного момента. На основании этой связи проведена классификация решений системы уравнений Кирхгофа. Интегрированием кинематических соотношений получены формулы, описывающие траекторию движения твердого тела.

В$3 исследованы некоторые частные решения системы уравнений Кирхгофа. Показано, что как и в случае движения тела по инерции, движение Широкой стороной вперед устойчиво, а узкой - неустойчиво. Исследовано движение твердого тела, полученное с помощью малых начальных возмущений устойчивого движения.

В$'4. проведено моделирование эффектов вязкости с помощью функции Рэлея. В случае, когда сила приложена к широкой стороне, удалось определить качественную картину для любых начальных данных. Доказано, что если следящая сила достаточно мала, то движение узкой стороной вперед может быть устойчивым.

Вторая глава посвящена пространственной задаче о движении

tena в жидкости под действием следящей силы.

В$'з дана постановка задачи, выписаны уравнения движения. Получены соотношения, определяющие траекторию тела и его ориентации .

2 доказывается устойчивость движения тела широкой стороной вперед. Это позволяет рассмотреть движение с малыми начальными возмущениями. Получены асимптотические формулы t+*°, определяющие траекторию тела и его ориентацию.

в|'3 рассмотрено частное решение уравнений движения, представляющее собой композицию поступательного равноускоренного движения вдоль оси приложения силы и вращения с постоянной угловой скоростью вокруг этой оси. Рассматривается устойчивость данного решения в первом приближении. Рассмотрено возмущенное винтовое движение тела. Получены асимптотические формулы определяющие траекторию тела и его ориентацию.

Третья глава рассматриает влияние циркуляции на падение тяжелого твердого тела в жидкости.

Падение тяжелого твердого тела в жидкости в отсутствии циркуляции была рассмотрена Чаплыгиным. Качественный анализ задачи Чаплыгина дан Козловым В.В. Предполагалось, что тело имеет плоскость симметрии, которая остается вертикальной во время движения, таким образом задача сведена к задаче плоской гидродинамики.

рассмотрена задача о падении тяжелого цилиндрического тела в жидкости. Доказано, что перемещение тела по высоте ограничено. Указана качественная картина движения тела для всех начальных данных. Построена двупараиетрическая система периодических решений для системы дифференциальных уравнений типа Кирхго-

фа, описывающих движение тела.

В § 2 рассмотрена пространственная задача о падении тяжелого твердого тела с отверстием в бесконечном объеме идеальной жидкости. Предполагается, что тело имеет три плоскости симметрии. Рассматриваются движения, при которых одна из плоскостей симметрии остается вертикальной. Доказано что тело при t стремится занять такое положение, при котором его широкая сторона горизонтальна. А в случае гидродинамической симметрии тело стремится занять такое положение, при котором его циркуляционный вектор направлен вниз.

Задачи, рассмотренные в njf2 относятся к задачам плоской гидродинамики и в отсутствии циркуляции они представляют собой по сути одну и ту же задачу плоской гидродинамики. Однако, из-за разности в топологии циркуляционного обтекания, добавление циркуляции приводит в этих задачах к качественно различным эффектам.

В добавлении рассмотрено уравнение Чаплыгина, полученное при решении задачи о падении тяжелого твердого тела в жидкости в отсутствии циркуляции. Это уравнение имеет вид: f= kt2 sirifcos^ где k = const > 0, зависящая от физических параметров задачи.

' - ............Доказано, что почти при

всех начальных данных ft*J mod fii) при В настоящей работе

установлен асимптотический характер поведения разности*Р-Л/2 при t-»

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Рамоданов С. М. К задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1992. N1, С. 64 - 72.

2. Рамоданов С.М. К пространственной задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы. // Изв. АН СССР. МТТ 1995. N5. С. 75-80.

3. Рамоданов С.М. 0 влиянии циркуляции на падение тяжелого твердого тела в жидкости // Изв. АН СССР. МТТ.

• 4. Рамоданов С.М. Асимптотика решений уравнения Чаплыгина. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995. С. 94-97.