Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЙААКБАРИЕХ АМИР

ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02. - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

IG СЕН 2015

Москва - 2015

005562235

Работа выполнена на кафедре Прикладной Математики факультета физико-математических и естественных наук ФГАОУ ВО "Российский университет дружбы народов".

Научный руководитель: Сакбаев Всеволод Жанович д.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры высшей математики МФТИ

Официальные оппоненты:

Муравник Андрей Борисович д.ф.-м.н., заместитель начальника научно-технического отдела ОАО "Концерн "Созвездие" "

Прнлепко Алексей Иванович д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры математического анализа МГУ

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии Наук

Защита состоится «00» октября 2015 года в 15-30 на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117198 г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б.

Автореферат разослан «_» _2015 г.

Ученный секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Савин А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертации проводятся исследования дифференциально-разностных эволюционных уравнений. Изучаются условия корректной разрешимости начально-краевых задач, в которых дифференциально-разностный оператор (действующий в пространстве числовых функций, заданных на прямом произведении временной полуоси на координатное пространство Rd) содержит как отклонение пространственных переменных, так и отклонение временной переменной (причем может иметь как запаздывание, так и опережение временного аргумента).

В случае оператора со сдвигами лишь пространственного аргумента или операторов без запаздывания начальными условиями задачи Коши являются предельные значения неизвестной функции (для уравнения параболического тина) или предельные значения функции и ее производной по временной переменной (для гиперболического уравнения) в пространстве, соответствующем постановке задачи Коши.

В случае операторов с запаздыванием временного аргумента начальные данные задаются как значения неизвестной функции на промежутке запаздывания, причем выбор функционального пространства для начальных значений входит в постановку задачи с начальным условием.

Корректная разрешимость начально-краевых задач для эволюционных уравнений с запаздыванием временного аргумента и с отклонениями пространственных переменных является актуальной проблемой теории дифференциальных уравнений (см. 1 , 2 , 3, 4 , 5).

В работах 6, 7 исследованы корректная разрешимость и свойства решений задачи с начальными данными для параболического уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, а в статье8 исследованы аналогичные вопросы для гиперболических уравнений с отклоняющимся временным аргументом.

В монографии А.Л. Скубачевского 9 исследовано нарушение гладкости решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений за счет влияния сдвигов пространственного аргумента, выводящих за пределы области или на ее границу (См. также обзор 10). Подобный эффект нарушения гладкости решенияпараболического

*А.М. Зверки к, Г.А. Каменский, С.Б. Норкин, Л.Э. Элъсголъц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 17. УМН. .V» 2ю С. 77-1G4.

2А.Д. Мышкие. Смешанные функционал ьио-диффере! щи ал ьные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

3 B.C. Рабинович. О дифференциально-разности их уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. N* 11.

С. 2030-2038.

*А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин. Смешанная задача для параболического диффереициально-разностноо уравнения. Математические заметки. 191)9. Т. бб, .V» 1. С. 145-153.

5В.В. Власов, Д. А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 30, С. 3-173.

6 В. В. Власов, В. Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № У. С. 1194*1202.

7В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О корректной разрешимости векторных дифференциальнч-разностных уравнений в пространствах Соболева. Математические заметки. Т. 68, X» б. С. (J3fJ-'J42.

*В.В. Власов, К.А. Шматов. Труды MIIAH им. В.А. Стеклова. 2001.

9 A.L. Shulachevskii, Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, 1997.

10Л. E. Россовский, А. Л. Скубачевский. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Итоги науки и техн. Сер. Сов])ем. мат. и ее прил. Темат. обз., GG (1999), 114-192

дифференциально-разностнаго уравнения исследован в работе 11. В работе 12 изучаются свойства эллиптических дифференциально-разностных операторов со сдвигами пространственных аргументов в ограниченных областях.

В работе 13 установлена теорема существования и единственности решения задачи Коши для неоднородного параболического дифференциально-разностного уравнения с отклонениями пространственных переменных и найдено интегральное представление решения с помощью фундаментального решения задачи. Исследованию корректной разрешимости параболических функционально-дифференциальных уравнении, свойствам стабилизации их решений и влиянию сингулярности коэффициентов уравнения на свойства решения задачи посвящена монографиия 14.

В работах А.Д. Мышкиса, Г. А. Каменского, Л.Э. Эльсгольца (см.15,16 и цитируемую там литературу) исследуются свойства решений функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами временного аргумента. Определен класс функциональных пространств ограниченного экспоненциального роста, в которых сформулирована постановка задач с начальными условиями и найдены достаточные и необходимые условия ее корректной разрешимости.

В работах B.C. Рабиновича 17 , 18 исследован широкий класс параболических дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами в полупространстве. Свойства обратимости и нетеровости таких дифференциально-разностных операторов и свойство корректной разрешимости задачи Коши для таких уравнений изучались в пространствах Соболева-Слободецкого с экспоненциальным весом по временной переменной. Спецификой рассматримаевых в указанных работах дифференциально-разностных уравнений является их запаздывающий тип и, как следствие, свойство корректности задач Коши в пространствах Соболева с экспоненциальным весом e-pt, t > 0, при достаточно больших р.

В диссертационной работе показано, что такое свойство присуще параболическим дифференциальным уравнениям в полупространстве именно запаздывающего типа. В случае же уравнений с запаздыванием и опережением в полупространстве множество показателей экспоненциального веса р, в весовых пространствах с которым имеет место корректность задачи Коши, представляет собой ограниченный промежуток или пустое множество.

В диссертации исследуются задачи с начальными данными для дифференциально-разностных уравнений, сочетающих отклонения по пространственным переменным с отклонениями временной переменной. Рассматриваются дифференциалльно-разностные

11 А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский, "Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения", Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26, Изд-во Моск. ун-та, М., 2007, 324-347

12Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах Л. В. Бородулина, Л. Е. Россовский Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 26 (2007), 39-57

13А.Б. Мураеник. О э;щаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-раэносгаых параболических уравнений. Математические заметки. 2003. Т. 74. No 4. С. 538-548.

14Л- Б. Муравпик, "Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коти", Уравнения в частных производных, СМФН, 52, РУДН, М., 2014, 3-141

15 А.Д. Мышкис. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения. Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

1&В.В. Власов, Д. А. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения и связанные с ними вопросы спектральной теории. Современная математика, фундаментальные направления. 2008. Т. 30, С. 3-173.

17B.C. Рабинович. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве // Дифф. ур-я. 1980. Т. 16. № 11. С. 2030-2038.

18В. С. Рабинович О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами // Дифф. ур-я. 1983. Т. 19. К» 6. С. 1032-1038.

уравнения вида

ju{t)=Au(t), t> 0, (1)

в которых неизвестная функция и является определена на временной полуоси (h, +00) (здесь h < 0 и в случае h < 0 интервал (h, 0) - промежуток запаздывания) и принимает значения в банаховом пространстве X числовых функций на координатном пространстве Rd (например X = L\{Rd), или X = lV21(/îd)), а оператор А является дифференциально-разностным оператором в пространстве таких отображений полуоси (Л, +оо) в банахово пространство X, содержащем сдвиги по пространственным и по временной переменным (класс рассматриваемых операторов описывается ниже).

Параметр h < 0 имеет смысл максимального запаздывания по временной переменной. В случае отсутствия запаздывания по времени параметр h = 0 и дифференциальное уравнение (1) снабжается начальным условием - предельным значением неизвестной функции и при t —> +0:

u(+0) = и0, UQ 6 X. (2)

При наличии запаздывания h < 0 и дифференциальное уравнение (1) дополнено начальным условием - заданием неизвестной функции и на промежутке запаздывания:

Ч(/,,о) = Ф- (3)

Изучаются постановки задачи Кошн (1), (2) н задачи с начальными условиями (1), (3). Установлены достаточные условия корректной разрешимости и, при некоторых дополнительных предположениях, необходимые условия.

Основным модельным объектом исследования диссертации является дифферснциально-разностное уравнение вида

d N

—u{t) = Cu(t) + + hk) + ckCu{t + hk)) + /(t), t > 0.

it=i

Изучается задача найти решение указанного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

u(t) = <f>{t), t е [М].

Здесь h = h\ < h2 < ... < Ь.ц - заданный конечный набор вещественных отклонений временного аргумента, причем h < 0, а величина Лдг может быть как отрицательной, так и положительной.

Коэффициенты ai.....atj,C\,...,Cn являются вещественными числами. Функции / и

ф, заданные на промежутках R+ = (0, +оо) и [ft, 0] соответственно, принимают значения в некотором гильбертовом пространстве Ч числвых функций на координатном пространстве Rd, d 6 N (например, Ч = £2(Я*), или Ч = W^{Rd)).

Оператор С- является дифференциальным оператором или дифференциально-разностным оператором в пространстве Ч. Относительно оператора С, действующего по пространственным переменным, будем предполагать самосопряженность и полуограниченность. Модельным примером такого оператора С является следующий:

Cv(x) = Av(x) + a(v(x - г) + v(x + г)) + cA(v(x - г) + v(x + г)), х 6 Rd, где a, с £ R, г £ Rd - параметры, Д - оператор Лапласа в пространстве L2(Rd) с

областью определения 1У22 (Л11).

Подчеркнем, что поскольку величина /г^ может быть положительна, то будет исследована задача не только с запаздывающим, но и с опережающим аргументом, корректность которой установить более затруднительно из-за того, что спектр дифференциально-разностного оператора с запаздыванием, в отличие от оператора с опережением, не заполняет некоторую правую полуплоскость комплексной плоскости.19 Отчасти поэтому дифференциально-разностные уравнения с опережающим аргументом изучены в меньшей мерс, чем уравнения с запаздыванием.

Исследования уравнений с опережением, проводимые в диссертации, являются продолжением исследований статьи.20

Сама постановка исследуемой в диссертации задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа является новой в то смысле, что для поиска неизвестной функции, удовлетворяющей ДРУ на положительной полуоси, задаются значения неизвестной функции на отрезке, длина которого равна величине наибольшего запаздывания в дифференциально-разностном выражении. Установлено, что при выборе подходящего пространства решений ДРУ (пространства Соболева с экспоненциальным весом И/21л(—/г,+оо), то есть при выборе подходящих условий на скорость экспоненциального роста решения) и при условии достаточной малости коэффициентов при слагаемых с опережением, задача с начальными условиями имеет единственное решение в подходящем функциональном пространстве при любом выборе условия из пространства начальных данных И^1 ([—/цО]).

Следует отметить, что постановка задачи с начальными условиями для ДРУ различных типов исследовалась в работе21 (см. также монографию 22). В указанных работах предложена классификация ДРУ на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. В этих же работах установлены следующие свойства задач с начальными условиями для ДРУ этих типов:

1. решения ДРУ запаздывающего типа имеют гладкость, нарастающую с ростом аргумента решения;

2. решения ДРУ нейтрального типа сохраняют гладкость;

3. решения ДРУ опережающего типа имеют убывающую гладкость.

Последнее свойство служит одной из причин нарушения корректности задач с начальными условиями для ДРУ опережающего типа на полуоси: для существования классического (непрерывно дифференцируемого) решения такой задачи требуется его бесконечная гладкость, а для корректной разрешимости этой же задачи на конечном отрезке требуется его достаточно высокая гладкость в совокупности с выполнением условий согласования.

Возникают вопросы - имеется ли у заданного ДРУ с опережением такой запас бесконечно дифференцируемых решении, который, во-первых, достаточно полон для того, чтобы аппроксимировать произвольные начальные данные в подходящей топологии, и, во-вторых, не переполнен для того, чтобыне нарушалась единственность решения. И,

19В.В. Власов, А. Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3-173.

20В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О р!1зрешимости одного класса функционально-дифференциальных уравнений с опережающим аргументом в гильбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаметнальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1097. С. 72-823.

^А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, С.Е. Норкин, Л.Э. Элъсгалъц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. 10112. Т. 17. УМН. -У* 2. С. 77-Ш.

Г.А. КаменскиЛ, А.Л. Сублчевский. Лнненные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

наконец, какова та топология, в которой непрерывно преобразование сдвига начального условия вдоль решения.

Есть основания полагать, что в диссертации найдены ответы на эти вопросы. Проиллюстрируем это на примере модельного обыкновенного дифференциально-разностного уравнения опережающего типа

u'(t) = au(t) + bu(t - h) + cu{t + h), t > 0, (4)

где h > 0, a, 6, с € R, а и : (-Л, -t-oo) —> R - неизвестная функция.

Следует подчеркнуть различие в постановках задачи с начальными условиями для ДРУ (4) опережающего типа, рассматриваемых в диссертации и в монографии23 , (см. также работу24 ).

В указанной монографии рассматривается задача определить функцию на некотором конечном промежутке (—h,T) или бесконечной полуоси (—/»,+ оо), которая удовлетворяет ДРУ (4) на этом промежутке, сужение которой на промежуток {—h, h) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

u(t) = фЦ), t 6 (-h, h). (5)

В диссертации, следуя подходу работы25 к изучению корректной разрешимости ФДУ, ставится задача определить функцию на бесконечной полуоси (—/г, +оо), которая удовлетворяет ДРУ (4) на этом промежутке, сужение которой на промежуток (—h, 0) совпадает с заданной на этом промежутке функцией (начальным условием):

u(t) = <p(t), t € (-М). (6)

Заметим, что при малом изменении коэффициентов, т.е. при рассмотрении ДРУ с малым параметром е > 0:

u'(t) = au(t) + bu(t - h) + cu(t + h) + e[u'(î + h) + u'(t - /i)], t > 0. (7)

происходит изменение типа ДРУ: при 6 = 0 такое дифференциально-разностное уравнение принадлежит к опережающему тину, а при е > 0 - к нейтральному типу.

Различие в постановах задачи приводит к различию в условиях ее корректной разрешимости.

Так, для корректной разрешимости задачи (4), (5) на интервале (0,Т) с некоторым Т = 2Nh, N 6 N, в классе непрерывно дифференцируемых функций требуется достаточная гладность начального условия ф б C"+1([—/i, /t]) и выполнение ряда (а именно, N) условий согласования.

Для корректной разрешимости задачи (4), (5) на интервале (0, +оо) в пространстве Соболева с экспоненциальным весом (—h, +оо) с некоторым у—а при произвольном начальном условии уз 6 ((—/», 0)) как достаточным, так и необходимым условием является малость коэффициентов b и с.

Начальные данные при этом задаются на вдвое меньшем интервале, но кроме того,

21 Г.А. Каменский, А.Л. Субачевский. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд. МАИ. 1992.

7,А.М. Заеркин, Г.А. Каменский, С.Б. Иоркин, Л.Э. Элъсгольц. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся

аргументом. 1062. Т. 17. УМН. .4. 2. С. 77-164.

35В.В. Власов, А.Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3-173.

рассматриваются только решения, удовлетворяющие условию ограниченного роста на бесконечности вида принадлежности решения пространству h, +00). Это избав-

ляет от необходимости накладывать условия согласования. При этом проблема неединственности решения задачи на конечном промежутке остается так как в случае конечного промежутка условие принадлежности решения пространству И/21л(—h, +00) не накладывает никаких ограничений.

Заметим, что "малые"возмущения коэффициентов уравнения, превращающие уравнение опережающего типа (1) в уравнение запаздывающего типа (4), существенно изменяют корректную постановку задачи с начальными условиями: при каждом е ^ О ДРУ (4) является уравнением нейтрального типа и, согласно работам20, 27 для него корректной является постановка с заданием произвольных начальных условий из пространства W^d—h, /1]). Но при е = Ои достаточно малых коэффициентах Ь, с согласно результатам диссертации корректной постановкой задачи для уравнения (4) является постановка с заданием произвольных начальных условий из пространства W'21([—h, 0]), тогда как при задании начальных условий из пространства h, /г]) требуется учитывать условия

согласования. Таким образом, для уравнений нейтрального или запаздывающего типов вида (4) для определения единственного решения задачи из пространства Соболева с весом необходимо и достаточно задавать начальные условия на отрезке [—h,h], а в случае уравнения опережающего типа - на отрезке [—h, 0].

В третьей главе диссертации для полугрупп, порождаемых дифференциально-разностным уравнением параболического типа, получена аппроксимация с помощью формул Фейнмана.

Формулами Фейнмана называют представление полугруппы Шредингера ехр(—iH), t > 0, пли группы Шредингера exp(iiH), f £ R, с помощью пределов конеч-нократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного пространства (при стремлении к бесконечности кратности) классической гамильтоновой системы, при квантовании которой получается оператор Гамильтона Н (здесь Н - самосопряженный оператор, сопоставленный функции Гамильтона Н(р, q), (р, q) £ Л2 классической системы; в частности, Н может быть псевдодифференциальным оператором; символом которого является функция Гамильтона Я).

Представление группы е_,|Н, t £ Я, или полугруппы е-1П, i > 0, Шредингера в виде предела конечнократных интегралов по декартовым степеням конфигурационного или фазового пространства впервые было предложено Р. Фейнманом в 1948 году. Математически строгое обоснование применимости подхода Фейнмана было впервые получено Э. Нельсоном в 1964 году с помощью формулы Троттера.

В работах О.Г. Смолянова (см. 28, 2Э) получены представления формулами Фейнмана различных полугрупп, порождаемых эволюционными уравнениями математической физики. В диссертационной работе подход формул Фейнмана впервые применен к аппроксимации полугрупп, порожденных дифференциально-разностными уравнениями.

Поскольку формулы Фейнмана определяют аппроксимации марковского случайного

26В.В. Власов, А.Д. Медведев. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории. СМФН, Т. 30 (2008), с. 3-173.

27В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев. О разрешимости одного класса функционально-дифференциально уравнений с опережающим аргументом в ^льбертовом пространстве. Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 1997. С. 72-82.

28 О.G.Smolyanov, A.G.Tokarev, A.Truman. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula J.Math.Phys., 43:10, (2002), 5161-5171.

OG. Smolyanov, И. Weizsäcker, O. Wittib. Chemoff'e theorem and discrete time approximations of Brownian motion on manifolds. Potential Anal. 2007. 26. /'. 1-29.

процесса, математическими ожиданиями функционалов от которого являются решения задачи Коши, то аппроксимация формулами Фейнмана полугруппы операторов, порожденной задачей Коши для уравнения теплопроводности с отклоняющимся аргументом, позволяет не только выразить решение задачи Коши с помощью конструктивных алгоритмов, но и исследовать вероятностную структуру явлений отклонения аргументы в уравнении теплопроводности.

Цель работы

Целью работы является исследование задачи с начальными условиями для дифференциально-разностных уравнений отклонением как пространственных, так и временных переменных.

1. Существование и единственность решений задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения параболического типа с отклонением пространственных и вре-меных переменных.

2. Существование и единственность решений задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа с отклонением пространственных и вре-меных переменных.

3. Аппроксимация формулами Фейнмана полугрупп, порождаемых задачей Коши для параболического дифференциально-разностного уравнения с отклонением пространственных переменных.

Методика исследования

В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов и их аппроксимаций.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. В терминах полуограниченности дифференциально-разностного оператора установлены достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши для параболических и гиперболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственной переменной. Получены явные формулы, представляющие решение задачи Коши.

2. Найдены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и на параметры функционального пространства, достаточные для корректной разрешимости задачи с начальными данными для дифференциально-разностного уравнения опережающего типа в весовых пространствах Соболева с экспоненциальным весом.

3. В терминах спектра оператора получены условия, необходимые для корректной разрешимости. Показано, как изменение весового параметра пространства Соболева приводит к либо к нарушению единственности решения задачи с начальными данными, либо к нарушению существования ее решения.

4. Получены представления полугруппы преобразований пространства начальных данных задачи Коши для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами пространственных переменных посредством формул Фейнмана.

Научная новизна

1. Получен единый подход к исследованию корректности задачи Коши для

дифференциально-разностных уравнений параболического и гиперболического типов со сдвигами пространственных переменных.

2. Получены условия на параметр весового пространства Соболева (на показатель экспоненты весовой функции), достаточные для корректной разрешимости в этом пространстве задачи с начальными условиями как для параболического, так и для гиперболического дифференциально-разностного уравнения с опережением.

3. Установлены причины нарушения корректности задачи с начальными условиями при расширении или сужении весового пространства Соболева при изменении показателя экспоненты весовой функии.

4. Найдены аппроксимации посредством формул Фейнмана полугрупп, порождаемых задачей Коши для дифференциально-разностного уравнения параболического типа.

Теоретическая значимость.

Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы, кроме самостоятельного интереса с точки зрения теории дифференциально-разностных операторов, могут иметь применения в теории управления, в теории усреднения дифференциальных уравнений (в которой возникают дифференциально-разностные операторы30) и физике пористых сред.

Апробация диссертационной работы.

Основные результаты диссертации и отдельные се части докладывались на научных семинарах:

• На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора A.JI. Скубачевского, 1 апреля 2014, 11 ноября 2014 (РУДН).

• На семинаре по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика РАН, профессора В. А. Садовничего, 29 октября 2014 (МГУ).

• На научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ "МЭИ"под руководством профессора A.A. Амосова и профессора Ю. А. Дубинского, 18 марта 2015.

• На семинаре квантовой математической физики под руководством чл.-корр. РАН профессора И. В. Воловича, 25 марта 2015 (МИАН им .В. А. Стеклова).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 4 статьи в научных журналах и 9 тезисов докладов на научных и международных конференциях. Все результаты, опубликованные в совместных работах и выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура диссертации.

Диссертация "Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений" состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 35 наименований. Объем диссертации составляет 115 страниц.

30L. Tartar, Memory effects and homogenization. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 111, 121-133.

Содержание работы

Во введении дается обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой части первой главы рассмотрены параболические ДРУ с отклонением пространственного аргумента.

Установлено, что оператор Лапласа, возмущенный симметричной линейной комбинацией операторов сдвига аргумента, является генератором сжимающей полугруппы в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций.

В этой части изучены вопросы корректной разрешимости задачи Коши для модельного параболического дифференциально-разностного уравнения вида

N

ut(x,t) = Au(x,t) + Y^ak{u(x-hh,t) + u(x + hk,t))1 (x,t)eRxR+ (1.1) i=l

дополненного начальным условием

u(x,0) = uo(x),xeR (1.2)

Предположим, что существует решение и(х, t), t >0, х 6 R, задачи Коши (1.1), (1.2). Чтобы найти представление решения задачи Коши(1.1), (1.2) через начальное условие, применим преобразование Фурье Т к левой и правой части уравнения (1.1):

N

?{ut{x, t)} = Т{Аи(х, t)} + - hk, t) + u(x + hk, t))}, (1.3)

¿=i

Пусть функция U(s, t), s S R, t G (0, +oo) является преобразованием Фурье функции u(x,t) по первой переменной. Тогда получаем, что

N

U{s, t) = Ua{s) exp [(-s2 + 2 J2 ^ cos{shk))t}, (1.4)

i=l

где U(s, 0) = U0(s) = .F(uo)(s), s € R.

Теорема 1.1. Формула(1.4) определяет силы/о непрерывную полугруппу U(i), t > 0, преобразований пространства L-2(R).

Теорема 1.2. Задана Коши (1-1), (1-2) имеет единственное обобщенное решение и(£), t > 0, которое определяется как действие полугруппы U(i), t > 0, на начальное условие щ.

Во второй части первой главы рассмотрены гиперболические ДРУ с отклонением пространственного аргумента. В этой части исследуются, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида

З2

ОрФ,*) = Cu{x,t) + f(x,t), (x, t) € Rd x (0, +oo) (1.5)

u{x, +0) = u0(rr), u't{x, +0) = x), x £ Rd, (1.6)

где

N

Си{х,€) = Аи(х,Ь) + ^{[а/с(и(х - кк,€) + и(х + Льг))]+ [г((Ьь Vи{х - кк,«)) + (Ьь Уи(х + Л*, <)))]+

[ск(Аи(х -1гк,Ь) + Аи(х + А*, г))]} - ки(х, г) (1.7)

Здесь ак,ск,к £ Я и Нь £ В.л при каждом к £ а Ьк £ Я!1 - вектор в Я"* при

каждом к £ 1,..., АГ, / - числовая функция, заданная на множестве (0, +оо) х Я"*, а и неизвестная числовая функция, заданная на области (0, +оо) х К1.

Областью определения оператора С, действующего из СИ в И, является гиль-

бертово пространство ^(К1) = «^Я"1).

Теорема 1.3. Пусть —С. строго положительный оператор в гильбертовом пространстве Н и —С = А2. Тогда если щ £ £)(Аг) и щ £ £>(Аз), / £ £2л(Я+,'Н1) при некотором 7 > 0, то задача Кош и (1.5) и (1.6) имеет в пространстве 1К21Т(Я+, А2) единственное решение и, которое допускает представление

и(х, I) = е*[д{х, г) + А"1 [ зт(А(г - 5))е-^1~'>Р7(х, в)^], (1.8)

где F7 определено равенством

Р,{х, Ь) = /7 - (А2 + 72/)я - ^(х, г) - 27^(х, 4). где = (>0и

д(£) = е-— [совСАфо + А-18т(А«)и1], « > 0.

Установлено, что однородная задача Коши (1.5) и (1.6) (то есть задача Коши с / = 0), имеющая единственное решение из пространства И/22(Я+,Л2) при произвольных начальных условиях иц £ -О(Аз) и щ

бС(Лз),

задает полугруппу в гильбертовом

пространстве начальных данных

/С = £>(Л2)е£>(Д*).

Определим на пространстве К. функционал энергии равенством

щ) = ||Аао|1и + Цщ11н- (1-9)

Рассмотрим одноиараметрическое семейство преобразований и(4), 4 > 0, гильбертова пространства /С, сопоставляющее каждому начальному условию (ио>"1) 6 К- упорядоченную пару функций (и(-,г),и'((-,4)), где и{х,€), (ж, <) 6 Я х - решение задачи Коши (1.5) и (1.6) с начаьными условиями (иа,щ) £ К..

Теорема 1.4. Пусть —С строго положительный оператор в гильбертовом пространстве И. Тогда при любом 7 > О однородная задача Коши (1.5) , (1-6) (то есть задача Коши с f = 0) имеет единственное решение из пространства Л2)

при произвольных начальных условиях и0 6 D(Ai) и щ € D(Ai). При этом однопа-раметрическое семейство преобразований U(t), t > 0, сопоставляющих каждой паре (uQ,ui) G К знечение (u(t),u[(t)) решения однородной задачи Коши с начальными условиями (ио,щ) и его производной в момент времетси t, является полугруппой о пространстве К, сохраняющей значение функционала энергии.

Вторая глава содержит исследования ДРУ параболического и гиперболического типов с отклонением временного аргумента. При этом от оператора С, действующего по пространственным переменным, требуются самосопряженность и полуограниченность, что не запрещает ему быть дифференциально-разностным оператором. Установлены достаточные условия корректной разрешимости задачи в пространствах Соболева с экспоненциальным весом.

В этой части главы изучаются, вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного параболического дифференциально-разностного уравнения вида

ut{t,x) = Cu(t,x) + f{t,x), t>0,x€Rd (2.1)

где

N

Cu{t, ж) = Au{t, x) + ^{[at(u(i + hk, z))] + i[(bt, Vu{t + hk, x))]+ k= 1

[ckAu{t + hk,x)]}- 7ou{t, x), (t, x) £ (0, +00) x Rd. (2.2)

В равенстве (2.2) Д - оператор Лапласа на К1 - линейный самосопряженный оператор в пространстве И = Ьз^*), действующий из области определения Г>(Д) = С Нв пространство Н\ коэффициенты ак, ск,Ик,к = 1, ./V - вещественные числа, /г = /11 < /г2 < ... < км, причем Н < 0, но может быть положительным. Коэффициенты 1>1, Ь2,..., Ь^у представляют собой векторы евклидова пространства Rd. Ставится задача определить функцию и : (/1, +оо) х Rd С, которая в области (0, +оо) х Rd удовлетворяет уравнению (2.1), а на множестве (Л,0] х Rd удовлетворяет начальному условию

и |(/1,о]х/г-'= V. (2-3)

где х) - начальная функция, заданная на множестве (/г, 0] х Rd.

Для исследования модельной задачи с начальными условиями (2.1)-(2.3) предположим, что А = —Д. Положим

Ц7) = £ + ||Ь*||(1 + ¿) + 2с,} + 7 > 0.

£11 7 7 7

Теорема 2.1. Пусть и^у) < 1 на интервале (а,/3) С R. Тогда если ¡р 6 \VH\h, 0], А) и / € 1/2Л(Л+,'Н) при некотором 7 е (а,/3), то задача с начальным условием (2.1) -

(2.3) умеет, единственное решение и в пространстве W27((Л, +оо), А), причем норма решения допускает оценку

1Н1^2'Л((Ь,+ОС),А) - с[11/1|£а,7(Д+,И) + IMIwjtMl.A)]'

с постоянной с, не зависящей от выбора / е L,2n{R+, ~H) и <р € W2 ([/г, 0], А).

Наряду с задачей (2.1) - (2.3) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного параболического дифференциально-разностного уравнения вида

ut{t) = Mu(t) + f(t), t > 0, (2.4)

где

N

Mu(t) = —Au(t) + ^{[a,t(u(t + Л*))] + [ctAu(i + hk)}} - 7oti(i), t=i

t 6 (0, +00). (2.5)

В равенстве (2.5), A - линейный самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве V. с плотной областью определения D С И, имеющий дискретный спектр с(А) = {sn, п 6 N)}, причем каждому собственному значению s„ соответствует единственная собственная функция vn оператора А; коэффициенты ak,ck,hk, k = 1,N - вещественные числа, h = < Л2 < ... < hti, причем h < 0. В равенстве (2.4) / - заданная функция из пространства £2((0> +00), Н), а и - неизвестная числовая функция, заданная на множестве (h,+ 00) х Rd из пространства + оо),Н).

Ставится задача определить функцию и : (h, +00) х Н, которая в области (0, +00) х Rd удовлетворяет уравнению (2.1) , а на множестве (/i,0] х R? удовлетворяет начальному условию

« |(«Ч= V. (2.6)

где (p(t) : (h, 0] -4 И - заданная начальная функция.

Рассмотрим связанные с собственным значением s„ оператора А характеристическое уравнение

N

-s„-7o-i + ^e'"i[at+Cfc5n]=0. (2.7)

к= 1

При каждом п £ N характеристическое уравнение (2.7) имеет счетное множество комплексных корней Б„. По множеству Е = (J Н„ и интервалу (а,/3), существование ко-

neN

торого предполагается в теореме 2.1, определим числа

а = sup{iieA : А е 5, Re А < a}; b = inf{HeA : А 6 S, Re А > /3}.

Теорема 2.2. Пусть ш(7) < 1 на интервале (а,/?) С R. Тогда если 7 > 6, то однородная (с нулевыми начальным условием и правой частью) задача(2.4)~ (2.6) имеет нетривиальное решение и € +00), А). А если 7 < а, то не при всех началь-

ных данных ф € Wj([h,0], А) однородное уравнение (2-4) ut(t) = Mu(t), t > 0, имеет решение из пространства W2'7((/i, +00), А).

Во второй части второй главы рассмотрены гиперболические ДРУ с отклонени-

ем временного аргумента. В этой чаете исследуются вопросы постановки и корректной разрешимости задачи с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида

uu(t,x) = Cu(t,x) + f(t,x), t>0,xeRd (2.8)

где

N

Cu(t,x) = -A2u(t,x) + ^{[at(«(i + /гьх))] + 1=1

[ck{Au(t + hk, x))]} — 7o«(i, x), (t,x) 6 (0,+oo) x Rd. (2.9)

Здесь коэффициенты at, et, hk, к = 1, N - вещественные числа, h = hi < h2 < ... < hN, причем h < 0, / - заданная числовая функция на области (0, +оо) x Rd, а и - неизвестная числовая функция, заданная на множестве (h, +оо) x Rd.

В равенстве (2.9), А - самосопряженный положительный оператор в пространстве U = L2(Rd) с точной нижней гранью а0 > 0, действующий из области определения D(A) = W2(Rd) СП в пространство Н.

Ставится задача определить функцию и : (h, +оо) x Rd —> R, которая в области (0, +оо) x Rd удовлетворяет уравнению (2.8) , а на множестве (h, 0] x Rd удовлетворяет начальному условию

" ItMlxfi^V, (2.10)

где ip(t,x) - начальное значение функции и, заданное на множестве (/î,0] x Rd. При этом предполагается, что функция <р удовлетворяет условию ip 6 W2((—ft, 0), А2).

Для исследования модельной задачи с начальными условиями (2.8)—(2.10) предположим, что А2 = —Д. Положим

w(7)■S e"{akwèr^+сФ+7 6 л

Теорема 2.3. Пусть u(l) < 1 к а интервале (а, /3) С R. Пусть функции </> 6 IVj ([/г, 0], А3). Тогда если f G L,2n(R+,'H1) при некотором у е (а,/3), то задача с начальным условием (2.8)-(2.10) имеет единственное решение и в пространстве +оо), А2), причем норма решения допускает оценку

1М1и'з2,,((Л,+оо)1А») ^ c[||/||i2T(n+1w) + llvllw'»(|fc,0],^)]i

с постоянной с, не зависящей от выбора f € L2,-t(R+,'H) , ¡р 6 IV2([/i, 0], А2) .

Наряду с задачей (2.8)-(2.10) рассмотрим задачу с начальными условиями для модельного гиперболического дифференциально-разностного уравнения вида

uH(t) = Zu(t) +f{t), t> 0, (2.11)

где

N

Zu{t) = -A2u{t) + ^{[at(u(i + /г*))] + [ckA2u{t + /¡t)]} - 7ou(i), t=i

i6(0,+oo). (2.12)

В равенстве (2.12), А - линейный самосопряженный положительный оператор в гильбертовом пространстве W с плотной областью определения D СН, имеющий дискретный спектр <т(А) = {s„, п 6 N)} с точной нижней гранью а0 > 0, причем каждому собственному значению s„ соответствует единственная собственная функция v„ оператора А. Ставится задача определить функцию и : (h, +00) X которая в области (О, +оо) х Rd удовлетворяет уравнению (2.11) , а на множестве (h, 0] х Rd удовлетворяет начальным условиям

и |(л,о]= <Л (2.13)

где 1p(t) : (Л, 0] —> Н - заданная начальная функция из пространства W|((ft, 0), А3).

Рассмотрим связанные с корнем s„ оператора Z характеристическое уравнение

N к=1

При каждом п 6 N характеристическое уравнение (2.14) имеет счетное множество комплексных корней Е„. По множеству 5 = (J Е„ и интервалу (a,ß), существование

neN

которого предполагается в теореме 2.3, определим числа

а = sup{i?eA : А 6 Е, Re А < a}; Ъ = ini{Re\ : А е Е, Re А > ß}.

Теорема 2.4. Пусть функции ip е W%([h, 0], Л2). Пусть ш(7) < 1 на интервале (a,ß) С R. Тогда если 7 > Ь, то однородная (с нулевыми начальным условием и правой частью) задача (2.11)-(&.13) имеет нетривиальное решение и 6 (ft, +00), а2). А если 7 < а, то не при всех начальных данных ф € (\h, 0], А3) однородное уравнение (2.11), utt(t) = Zu(t), t > 0, имеет решение из пространства w227((ft, +00), а2).

Третья глава посвящена представлению решений задачи Коши для ДРУ параболического типа из главы 1 континуальными интегралами. Следуя подходу, предлагаемому в работах О.Г. Смолянова, определим операторнозначную фунцию, эквивалентную по Чернову полугрупе операторов U(t), t > 0. Теорема Чернова (31) утверждает, что:

Пусть операторнозначная функция F(i), t > 0, со значениями в банаховом пространстве В(Н) непрерывна в сильной операторной топологии, допускает оценку l|F(i)l|s(H) < 1 + ai, i > 0, при некотором а > 0 и, кроме того, оператор F'(0) замыкаем и его замыкание является генеретором сильно непрерывной полугруппы U(i),t > 0. Тогда для любого абНи любого Т > 0 выполняется равенство

lim sup ||U(t)u - (г(-Л и\\н = 0. n-»°°ie[o,r] \ п J

Следуя данному в работе 32 определению, операторнозначную функцию F(i), t > 0, будем называть эквивалентной по Чернову полугруппе U(t), t > 0, если для любого и выполняется равенство

lira sup ||(F(-))"u - U(i)u||* = 0

3'R.P. Chcnwff. J. Fund. Anal. 19G8. V. 2, pp. 238-242.

z2O.G. Smolyanov, H. Weiuacker, O. Wittih. Chemoff't theorem and discrete time approximations of Brownian motion on

manifolds. Potential Anal. 2007. 26. P. 1-39.

при любых Т > 0.

Для заданных в уравнении (1.1) параметров а и ¡г рассмотрим опсраторнозначную функцию : Я+ В(Н), определенную на полуоси Я+ = [0, +оо) и принимающую значения в банаховом пространстве В{'Н) ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве П. При каждом значении < > 0 определим ее значение равенством

1 -(х-у)2

= «((,*) = -7=Уте [ехр( ух41 У> )+

аЦеМ'^'?'^2) + еМ~{Х~£ + кУ))Ыу)<1у (3.1)

для произвольной функции щ из плотного в пространстве И линейного многообразия

о = с?" (Д).

Предлагаемый вид чсрновскон аппроксимации полугруппы связан с тем, что первое слагаемое в формуле (3.1) соответствует динамике, порожденной невозмущенным уравнением теплопроводности, а второе и третье слагаемые при малых значениях переменной Ь учитывают влияние смещенных источников.

Теорема 3.1. Оператоорнозначпая функция Ь > 0, эквивалентна по Чер-

нову полугруппе и(£), < > 0.

Исследуем задачу Коши для возмущеного уравения (1.1), в котором отклонение аргумента представлено сверткой неизвестной функции с некоторым ядром. В качестве такого возмущения рассмотрим уравнение

N

щ(х,г) = Ди(х,<) + ^2ак(иЦ - Нк) + и(г + Л*))+ *=1

/ К{х-у)и(у,^у = Ьки(г,х), (х,г)еЛхЯ+, (3.2)

JR

в котором К является фукцией из простраства (Я) , а остальные слагаемые определены при рассмотрении уравнения (1.1).

Для того, чтобы найти аппроксимации решения задачи Коши по Чернову, определим, обобщая формулу (3.1), оператор-функцию

р„Л,к(дц, = «С.®) = тЪ/Г[ехр(^4Г^)+ *[е»рГ<*+ «фГ^ + Ц'н

^ехрС{Х~*)2)К(г - у)йг)]щ{у)йу

Теорема 3.2. Пусть К 6 Ь\(Щ- Тогда оператоорнозначная функция I >

0, эквивалентна по Чернову полугруппе еЬк', £ > 0.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных журналах

1. Йаакбариех. А, Сакбаев В. Ж. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента. Известия вузов, 2015. № 4, С. 17-25.

2. Йаакбариех. А. О полугруппах, порождаемых задачей Коши для гиперболических дифференциально-разностных уравнений с отклонениями пространственных переменных. ТРУДЫ МФТИ, 2014. Т. G, № 2, С. 38-43.

3. Йаакбариех. А, Сакбаев В.Ж. Представление формулами Фейнмана полугрупп, порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами. ТРУДЫ МФТИ, 2012. Т. 4, № 4, С. 113-119.

4. V. Sakbaev, A. Yaakbarieh. Feynman Formulas Representation of Semigroups Generated by Parabolic Difference-Differential Equations. American Journal of Computational Mathematics, 2012. V.2, № 4, C. 295-301.

Тезисы научных и международных конференций

5. Йаакбариех. А. Представление Формулами Фейнмана полугрупп порожденных параболическими дифференциально-разностными операторами.// Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования, посвященная 90-летию члена-корреспондента РАН, академика Европейской Академии Наук, профессора Л.Д. Кудрявцева. Москва 25-29 марта 2013г. Российский университет дружбы народов.

6. Йаакбариех. А. Описание решений функционально-дифференциальных уравнений параболического тапа формулами Фейнмана.// Труды 55-й научной конференции МФТИ. Всероссийская научная конференция "Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обще-стве"Москва 19 - 25 ноября 2012 г МФТИ.

7. Йаакбариех. А. О полугруппах генерируемых задачей Коши для гиперболических функционально-дифференциальных уравнений с отклонениями пространственных переменных.// Труды 50-й научной конференции МФТИ. Всероссийская молодёжная научно-инновационную конференция "Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения "Москва 25 - 30 ноября 2013 г МФТИ.

8. Йаакбариех. А. Корректность задачи с начальными условиями для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента.// Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы 11-й международной Казанской летней школы-конференции. Казань, 22-28 августа 2013г.

9. Yaakbarieh. A. The presentation of semigroups generated by parabolic difference-differential equations by Feynman formulas// The International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems. June'29 to July'4, 2012, Suzdal, Vladimir region, Russia.

10. Yaakbarieh. A. Describing the solution of functional differential equations with the deviations spatial of the argument.// The sixth Turkish-Ukrainian scientific conference in the field of mathematical analysis, differential equations and their applications. September 04-09, 2012, Mersin, Turkey.

11. Yaakbarieh. A. The presentation of semigroups generated by parabolic difference-differential equations by Feynman formulas.// The 44th Annual Iranian Mathematics Conference. Ferdowsi University of Mashhad, Iran 27-30 August 2013.

12. Yaakbarieh. A. On the semigroups generated by parabolic functional differential equations with deviation of time argument.// The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 26-28, 2014. Peoples' Friendship University of Russia.

13. Yaakbarieh. A. On the semigroups generated by Cauchy problem for hyperbolic functional differential equations .// The eighth International Conference of Iranian Students in the Russian Federation. St. Petersburg, Russia, April 24-26, 2015. Saint Petersburg State University.

Йаакбариех Амир

Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений

Аннотация

Диссертация посвящена изучению задачи с начальными условиями для эволюционных дифференциально-разностных уравнений параболического и гиперболического типов с отклонениями как пространственных, так и временных переменных. Рассмотрен случай сочетания запаздывания и опережения по временной переменной. Исследованы условия корректной разрешимости этих задач в весовых пространствах Соболева. Найдены условия на коэффициенты дифференциально-разностного оператора и на параметры функционального пространства, достаточные для корректной разрешимости рассматриваемых задач с начальными данными для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах Соболева с экспоненциальным весом. Получены условия, достаточные для нарушения единственности решения задачи и для нарушения существования решения. Получены представления полугруппы преобразований пространства начальных данных задачи Коши для дифференциально-разностного уравнения со сдвигами пространственных переменных посредством формул Фейнмана.

Yaakbarieh Amir

The initial value problem for the evolution linear difference-differential

equations

Abstract

The thesis is devoted to the study of the initial value problems for evolution difference differential equations of parabolic and hypcrbolic type with deviation of both space and time argument are studied. The case of both advancing and delay in time argument is considered. The well-posedness conditions in the weight Sobolev spaces for this problems are investigated. The sufficient conditions on the coefficients difference differential operator and on the parameters of functional spaces for the correct solvability of considered initial value problems for difference differential equations in the Sobolev spaces with exponential weight are obtained. The sufficient conditions of destruction of either the uniqueness or the existence of solution of the initial value problem are obtained. The presentation of semigroup of transformation of the initial data space for the Cauchy problem for parabolic difference differential equation with deviation of the space arguments is obtained by using of Feynman formulas.

Подписано в печать 19.08.2015 Объем 1,2 усл.п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 159 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, пр-т Мира, д.38 +7(495)979-98-99, www.reglet.ru