Задача сопряженного теплообмена плоских и осесимметричных тел в сверхзвуковом потоке совершенного газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

□□3448434

Решетько Сергей Михайлович

ЗАДАЧА СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

Специальность. 01 02 05-"Механика жидкости, газа и плазмы"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ОКТ 2008

Москва - 2008

003448434

Диссертация выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте им проф Н Е Жуковского (ФГУП ЦАГИ)

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Башкин Вячеслав Антонович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Ревизников Дмитрий Леонидович, Московский авиационный институт (государственный технический университет)

- кандидат физико- математических наук доцент Шалаев Владимир Иванович, Московский физико-технический институт

Ведущая организация Институт Проблем Механики РАН

Защита диссертации состоится "_"_ 2008 г на заседании

Диссертационного совета Д 212 125 14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) Отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, просьба отправлять по адресу 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4, А-80, ГСП-3

Автореферат разослан " "_ 2008 г

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212 125 14 кандидат физико-математических наук

[¿С/ / ВЮ Гидаспов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

При движении с большими сверхзвуковыми скоростями ЛА самолетного типа, обтекаемые поверхности которых изготовлены из традиционных авиационных материалов с относительно большой теплопроводностью, теплофизические свойства материала могут оказывать существенное влияние на температурный режим обтекаемой поверхности Для учета этого влияния необходимо решать задачу сопряженного теплообмена, т е наряду с уравнениями Прандтля должно интегрироваться уравнение теплопроводности, определяющее поле температуры в оболочке тела Выход современных самолетов на крейсерские режимы полета с большими сверхзвуковыми скоростями обострил проблему аэродинамического нагревания, поскольку обычно используемые конструкционные материалы начинают работать на пределе своих возможностей Поэтому снижение максимальной температуры поверхности за счет теплопроводности даже на сравнительно небольшую величину = 50° - 100°) может расширить область приме-

нения того или иного материала, что влечет за собой определенный экономический эффект В связи с этим вновь усилился интерес к решению стационарных и нестационарных задач сопряженного теплообмена при обтекании тел сверхзвуковым потоком газа Исследование температурного режима передних кромок крыльев И носовых частей фюзеляжей ЛА в каждом конкретном случае экспериментальными методами сопряжено со значительными материальными затратами, поэтому получение надежных численных результатов в широком диапазоне определяющих параметров является весьма актуальной задачей

Диссертационная работа посвящена разработке эффективных методов решения сопряженной задачи теплообмена, изучению на основе созданного комплекса программ влияния определяющих параметров и получению обобщенных данных для инженерных расчетов максимальной температуры обтекаемой поверхности

Цель диссертационной работы:

- Методами вычислительной аэродинамики исследовать влияние параметров сверхзвукового потока и геометрических характеристик на температурный режим затупленных клиньев и конусов при стационарном и нестационарном режимах обтекания

- Обработать результаты решения сопряженной задачи теплообмена в параметрах подобия для инженерного расчета максимальной температуры обтекаемой поверхности в широком диапазоне определяющих параметров на основе обобщенных функциональных зависимостей без совместного решения внешней и внутренней задач на ЭВМ

- Изучить влияние на теплообмен и сопротивление перехода ламинарного течения в турбулентное, а также наличия стоков тепла

- Разработать методику и исследовать особенности теплообмена для случая сверхзвукового обтекания тел с малой теплопроводностью (условия трубного эксперимента)

Научная новизна работы и практическая ценность.

1 Многие исследователи при решении стационарной и нестационарной задач сопряженного теплообмена используют тот или иной упрощенный (одномерный) подход При двумерном же подходе часто рассматривается простейшая геометрия обтекаемого тела (пластина, оболочка постоянной толщины и т д) Автором диссертационной работы эта задача решена в двумерной постановке для тела со сложной геометрией.

2 оценка тепловых потоков на основе решения уравнений Прандтля при тех или иных предположениях о состоянии обтекаемой поверхности (7^= сопб1, = О и т д) без решения внутренней задачи, а также с использованием приближенных коэффициентов теплообмена, может давать погрешность, поэтому автором диссертационной работы разработан программный комплекс для совместного решения уравнений Прандтля и теплопроводности

3 построение ортогональной системы координат позволяет решать задачу для широкого класса тел, сократить объем вычислений и улучшить сходимость итерационного процесса

4 сочетание метода суммарной аппроксимации с методом потоковой прогонки для решения тепловой задачи существенно сокращает время решения задачи по сравнению с иньми методами

5 обобщение результатов решения стационарной задачи сопряженного теплообмена позволяет определять максимальную температуру поверхности, не решая уравнений Прандтля и теплопроводности

Достоверность результатов.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется путем сопоставления результатов численных решений на основе предлагаемого автором программного комплекса с аналитическими решениями и данными, полученными другими исследователями с использованием иных методов численного анализа

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносится следующее

• Результаты численного построения ортогональной полуаналитической эл-липтико-гиперболической системы координат в телах сложной формы, моделирующих передние кромки стреловидных крыльев и носовых частей фюзеляжей ЛА для решения тепловой задачи

• Результаты верификации используемого метода численного моделирования на частных примерах по прогреву теплопроводной оболочки тела при обтекании сверхзвуковым потоком совершенного газа

• Результаты численного анализа стационарной задачи сопряженного теплообмена для сверхзвукового обтекания плоских и осесимметричных тел Максимальная температура обработана в параметрах подобия

• Результаты исследования температурного режима затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое

• Результаты численного анализа нестационарной задачи сопряженного теплообмена в полной и упрощенной постановке

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на

- 10-й юбилейной научно-технической конференции по аэродинамике больших скоростей, посвященной 70-летию ЦАГИ, 1988, Жуковский,

- Х1-м Всесоюзном семинаре по численным методам механики вязкой жидкости, 1988, Свердловск,

- 3-й ежегодной научной Школе-семинаре "Механика жидкости, газа и плазмы", ЦАГИ, 1990, Жуковский,

- 5-й ежегодной научной Школе-семинаре "Механика жидкости, газа и плазмы", ЦАГИ, 1992, Жуковский,

- "Research m the hypersonic flows and hypersonic technologies", Sept 1921,1994, TsAGI, Section 2,

- XIX ежегодной научной Школе-семинаре "Механика жидкости, газа и плазмы", ЦАГИ, 2008, Жуковский

- VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2008)

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ Список опубликованных работ приведен на последней странице автореферата

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 138 наименования Общий объем - 166 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткая характеристика современного состояния проблемы сопряженного теплообмена при аэродинамическом нагревании JIA при гиперзвуковых режимах обтекания, сформулированы цели диссертационной работы и кратко изложено содержание ее глав

В первой главе диссертационной работы рассмотрена проблема сопряженного теплообмена для тел с неаблирующей поверхностью применительно к задачам внешней аэродинамики Дана постановка стационарной и нестационарной задачи сопряженного теплообмена, проанализированы упрощающие предположения, установлены параметры подобия и особенности теплообмена на телах различной конфигурации

В § 1 1 приведена постановка стационарной задачи сопряженного теплообмена, из уравнения локального баланса тепла на обтекаемой поверхности выведены параметры подобия задачи и установлен их физический смысл

В § 1 2 эта задача рассмотрена для плоской пластины конечной толщины, а в разделе § 1 3 для острого клина и конуса при различных упрощающих предположениях о перетекании тепла В § 1 4 обсуждается подход к решению задачи для плоских и осесимметричных затупленных тел

Параграф 1.5 посвящен постановке нестационарной задачи сопряженного теплообмена Приведены условия, при выполнении которых течение газа в пограничном слое можно рассматривать в квазистационарном приближении, а эффекты нестационарности проявляются только при решении уравнения теплопроводности.

Во второй главе диссертации в обзорном плане рассматриваются основные отечественные и зарубежные работы, посвященные решению стационарных и нестационарных задач сопряженного теплообмена для случая обтекания различных тел В § 2 1 приведен обзор исследований стационарных задач сопряженного теплообмена в разделе 2 11 для плоской пластины, в разделе 2 1.2 для острых клиньев и конусов и в разделе 2 1 3 для плоских и осесимметричных затупленных тел. Параграф 2 2 посвящен обзору работ по решению нестационарных задач сопряженного теплообмена В разделе 2 2 1 изложены некоторые результаты, полученные для плоской пластины Исследование различными авторами теплообмена затупленных тел приводится в разделе 2 2 2 Методы численного анализа в обзорном плане рассмотрены в § 2 3

В третьей главе диссертации приводится математическая постановка стационарной задачи сопряженного теплообмена для случая сверхзвукового обтекания практически важных классов тел, моделирующих передние кромки и носовые части ЛА (бесконечные скользящие цилиндрические тела, плоская и осесимметричная задачи) Излагаются принципы построения системы координат и методика численного анализа

Параграф 3 1 посвящен постановке задачи. Приведены дифференциальные уравнения пограничного слоя и теплопроводности и граничные условия в выбранной системе координат

В § 3 2 описаны используемые для решения задачи методы численного анализа Интегрирование уравнений Прандтля, записанных в обобщенных переменных подобия, проводилось конечно-разностным методом И В Петухова Уравнение теплопроводности интегрировалось численно методом релаксации с помощью консервативной схемы второго порядка точности При расчетах теплофизические свойства материала принимались либо постоянными, либо известными функциями температуры. Задача сопряженного теплообмена для заданных условий обтекания решалась итерационным путем в силу ее эллиптического характера в целом

В § 3 3 приводится построение ортогональной системы координат £,77 для выпуклого тела с вырезом произвольной формы (рис. 1) при условии, что внешняя и внутренняя границы тела не являются вогнутыми, имеют

непрерывную касательную и кусочно-непрерывную кривизну В качестве семейства координатных кривых, ортогональных указанным границам, используется семейство эллипсов - гипербол с вершинами на внешней границе Выбор ортогональной системы позволяет сократить объем вычислительной работы при решении тепловой задачи и избежать ухудшения сходимости итерационного процесса, которое имеет место при использовании неортогональной системы координат

В разделе 3 3 1 выведены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка для определения семейства координатных кривых г) = const, в которые входят внешняя и внутренняя границы Параметрическое задание ограничивающих кривых дано в разделе 3 3 2 В разделе 3 3 3 получены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка для определения семейства координатных кривых £ = const Раздел 3.3 4 посвящен описанию процедуры решения Здесь же как теоретическое обоснование предлагаемого метода доказана теорема о непересекаемости координатных кривых На основе изложенного была составлена вычислительная программа, в которой соответствующие дифференциальные уравнения решены методом Рунге-Кутга Примеры использования метода приведены в разделе 3 3 5 На рис. 2 показана координатная сетка для клина с углом полураствора 9к = 2 5° и относительной толщиной носовой части Д = 1 О

Результаты решения стационарной задачи сопряженного теплообмена для случая сверхзвукового обтекания различных классических тел изложены в четвертой главе диссертации Рассмотрено влияние определяющих параметров, пространственности и режимов течения на температурный режим тела, данные по максимальной температуре поверхности представлены в зависимости от параметров подобия, установлены особенности температурного режима затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое

Для обобщения результатов многочисленных расчетов из уравнения локального баланса тепла в окрестности критической точки получены локальные параметры подобия, с помощью которых получаются универсальные зависимости для оценки максимальной температуры

с'р, Рг - соответственно продольный компонент скорости газа, энтальпия

газа, плотность газа, коэффициент динамической вязкости газа, теплоемкость газа при постоянном давлении, молекулярное число Прандтля газа, у

- отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме, Л* - характерный размер (радиус затупления), £

- степень черноты поверхности тела, а - постоянная Стефана-Больцмана, X - угол скольжения, нижние индексы со, 0 и е обозначают параметры в набегающем потоке, торможения и на внешней границе пограничного слоя соответственно, ] - 0 или 1 соответственно для плоского или осесимметрично-го тела Здесь и ниже по тексту верхней звездочкой обозначены размерные физические величины

В случае нетеплопроводного тела параметр Д = 0 и максимальная температура на затуплении коррелируется по двум параметрам Вг и В3 Получаемые зависимости являются универсальными в том смысле, что они справедливы для любого затупленного тела с конечным радиусом кривизны в критической точке В случае теплопроводного тела такой универсальности уже нет, и полученные зависимости в параметрах подобия будут применимы лишь для определенного класса тел Результаты систематических расчетов температурного режима затупленных клиньев и конусов дают возможность не только проследить влияние определяющих параметров задачи на максимальную температуру, но и обобщить эти результаты с помощью указанных

Г » 'I1

Ср{(\ + ЛРХ^К ]

|1/2

ее РгГУ2

■иг

локальных параметров подобия, эти обобщенные зависимости будут полезными для инженерной оценки максимальной температуры затупленного тела Обтекаемая поверхность тела представляет собой затупленный клин (конус) длиной С с углом полураствора вк и радиусом затупления Я' Внутренняя поверхность тела образована гиперболой, асимптота которой параллельна направляющей клина и отстоит от нее на расстоянии 5' (рис 3)

В § 4 1 на частных примерах рассмотрено влияние на максимальную температуру тела относительной длины тела Ь, относительной толщины оболочки в плоскости симметрии тела Д, угла полураствора клина (конуса) вк и радиуса затупления Я' Для этих расчетов были выбраны следующие значения коэффициента теплопроводности материала оболочки тела Х% = 20 Вт/мК (сталь), 118 Вт/мК (графит) По результатам этого исследования были выбраны геометрические характеристики тела для проведения систематических расчетов по влиянию условий полета на температурный режим обтекаемого тела

Влияние длины тела на исследовалось для клина под нулевым углом скольжения (Д =0) и конуса с вк = 5° с фиксированными параметрами Л = 0 25,£> = 01. Расчеты были проведены для следующего режима полета М„~6,Н = 20км, Я =0 015л< для клина и Д*=0 030л< для конуса

Для общности результаты этих расчетов обработаны в параметрах подобия в

• «

виде зависимости АТ„ (Л, ф 0) от относительной длины

Ь Для слаботеплопроводной поверхности (Ц <0 025) изменение величины Ь в рассмотренном диапазоне (1 9 < Ь 1 Я' < 12) не влияет на величину максимальной температуры, поскольку в этом случае кондуктивные потоки тепла в оболочке тела малы и зона влияния теплопроводности не выходит за пределы затупления С увеличением параметра Ц возрастают кондуктивные потоки тепла в оболочке тела, область влияния теплопроводности

расширяется и захватывает часть боковой поверхности, в результате изменение длины тела начинает все в большей степени влиять на максимальную температуру поверхности клина и конуса

Влияние толщины оболочки Д в плоскости симметрии профиля исследовалось на примере клина и конуса с параметрами дк =5°, 3 = 0 1; 1 = 44 при том же режиме обтекания, что и при анализе влияния длины тела. Из результатов расчетов, представленных в параметрах подобия, следует, что изменения радиационно-равновесной температуры в критической точке по мере увеличения Д для очень больших и очень малых значений параметра £>, практически не происходит Это объясняется тем, что при А, -> 0 или X] со влияние геометрии оболочки тела уменьшается, и максимальная температура поверхности определяется в основном условиями в набегающем потоке Для тела из материала с умеренной теплопроводностью имеется область изменения параметра £>,, в которой можно заметно снизить за счет увеличения толщины оболочки, вне этой области увеличение Д к заметному снижению максимальной температуры поверхности не приводит.

Для установления влияния угла полураствора исследовано увеличение относительной температуры <5Г„Ш =Ю°)-Гв,ти(/9([ =5°) в критиче-

ской точке в зависимости от параметра подобия £>, Это изменение наиболее существенно для тонкостенных оболочек и с увеличением толщины стенки Д влияние Вк уменьшается

Влияние высоты полета Я* на максимальную температуру показано на рис 4 для числа Маха Ма =88 Максимально возможное снижение температуры за счет теплопроводности практически не зависит от высоты полета -кривые 1 и 4 идут почти эквидистантно. Однако для конечной теплопроводности увеличение высоты приводит к возрастанию эффективности работы теплопроводности - с ростом Я кривые 2 и 3 смещаются в сторону зависимости 4 для абсолютно теплопроводной поверхности

2500

2000 _

1500-

Т*

МЛХ,

Условия расчета

1-Х =0

2- 20 Вт/мК

3- 118

—Г" 20

30

Н км 40

Рис 4 Влияние высоты полета на Т „»,

Исследование влияния радиуса затупления клина Я и числа Маха Ма набегающего потока на показало, что с увеличением Ма возрастает уровень радиационно-равновесной температуры, но возрастает и возможность воздействия на ее максимальное значение с помощью теплопроводности Этот максимально возможный диапазон воздействия характеризуется разностью температур для абсолютно нетеплопроводной и абсолютно теплопроводной поверхности тела ДТ^

В § 4 2 рассмотрено влияние пространственности течения. Получено, что для одинаковых материалов снижение максимальной температуры за счет теплопроводности в осесимметричном случае существенно больше, чем в плоском случае Иными словами, пространственный характер обтекания тела способствует повышению эффективности теплопроводности как средства снижения максимальной температуры обтекаемой поверхности

В § 4 3 выведены параметры подобия На основании серии предварительных расчетов по влиянию геометрических параметров на температурный режим тела систематические расчеты проводились для затупленного клина и конуса с углом 9к =5°, толщинами Д = 0 25 и 5 = 01 и относительной длиной 1 = 4 4. Данные по максимальной температуре поверхности, обработанные в зависимости от параметров подобия, представлены на рис 5-гб.

Рис 5 ДТздпах клина и конуса взависимости от параметров подобия

О 10

0 05

1 5

0 65 015

ООО

_1_!_I_I_I_:

05 10 15 20 02 2 5

О

Рис 6 ДТтпац клина ^зависимости от параметров подобия

В § 4 4 установлены особенности температурного режима затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое В настоящих расчетах предполагалось, что в пограничном слое может реализовываться ламинарный, переходный и турбулентный режим течения При численном интегрировании определяющей системы уравнений динамическая вязкость вычислялась по формуле Сазерленда, а турбулентная вязкость - согласно алгебраической модели Прандтля о длине пути смешения с поправкой Ван-Дриста Для определения точки начала перехода использовался критерий Роуза, а в области смешанного течения развитие турбулентности оценивалось с помощью коэффициента перемежаемости, основанного на теории распространения турбулентных пятен Эммонса

Нестационарная задача сопряженного теплообмена в полной и упрощенной постановке исследуется в пятой главе диссертации Значительное внимание уделяется методике численного анализа и тестовым расчетам На примере аэродинамического нагревания многослойной конической оболочки исследуется влияние определяющих параметров

Параграф 5 1 посвящен полной постановке задачи. Выявлены особенности задания начальных и граничных условий, выведены параметры подобия

Методика численного анализа изложена в § 5 2 Решение нестационарной задачи сопряженного теплообмена формально расщепляется на две задачи - интегрирование уравнений Прандтля в квазистационарном приближении на каждом временном шаге и интегрирование нестационарного уравнения теплопроводности Эти две задачи связываются между собой через граничное условие на обтекаемой поверхности - уравнение локального баланса тепла Уравнение теплопроводности записывается в строго консервативной форме с последующей дискретной аппроксимацией разностной схемой ин-

тегро-интерполяционного типа Методом суммарной аппроксимации начально-краевая задача сводится к цепочке одномерных задач, каждая из которых (при а = 1 и а-2) рассматривается на временном интервале г»н.(а-1)« < г < тт+с,п' -1>2, Используемая схема с весами (0<ст<1) имеет первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространственным координатам Нелинейная задача (излучение, переменность теплофизических свойств и т п) решается с привлечением итерационного процесса до выполнения заданной точности. Система разностных уравнений цепочки решается методом потоковой прогонки

В § 5 2 приведены тестовые расчеты Для проверки работоспособности и эффективности пакета программ были проведены методические расчеты, которые можно разбить на две группы К первой группе относятся задачи о прогреве тел относительно простой конфигурации Они при сделанных предположениях имеют точное решение (в квадратурах или в виде рядов), и на их примере анализировалась эффективность работы программы по решению уравнения теплопроводности Ко второй группе относятся частные задачи по нестационарному сопряженному теплообмену при обтекании тела сверхзвуковым потоком совершенного газа при ламинарном течении в пограничном слое Установлено влияние числа узлов расчетной сетки на точность расчета, полученные результаты согласуются с данными других авторов, полученными иными методами

Полная задача по нестационарному сопряженному теплообмену была рассмотрена на примере прогрева конической оболочки в сверхзвуковом потоке совершенного газа при движении под нулевым углом атаки с постоянной скоростью, соответствующей числу Маха Ма= 6

Термодинамическая система поток - тело является замкнутой, поэтому естественно ожидать установления характеристик системы при г ад. Рассмотрение этого процесса является необходимым для проверки надежности работы программы и для подтверждения возможности решения с помощью данной программы и стационарной задачи сопряженного теплообмена Процесс установления был рассмотрен для случая аэродинамического нагревания конической однослойной оболочки с углом полураствора 9к = 5° при обтекании ее сверхзвуковым однородным потоком газа при числе Маха - 6, на высоте Я = 20км. Расчеты прогрева оболочки были выполнены для двух случаев, соответствующих материалам с малой и большой теплопроводностью и характеризуемых значениями параметров подобия Д = 3 59 10"5 и 3 59 соответственно В качестве примера на рис 7 приведены распределения температуры вдоль обтекаемой поверхности конуса в различные моменты времени, здесь же сплошными линиями нанесены зависимости, полученные в данной работе для стационарного режима для различных значений параметра подобия £>,

Таким образом, приведенные результаты расчетов показывают, что разработанная программа позволяет не только проследить эволюцию прогрева оболочки, но и получить стационарное решение задачи.

Рис. 7. Эволюция температуры поверхности при г —* оо.

Раздел 5.4.1 посвящен решению задачи о прогреве осесимметричной носовой части, которая до начального времени двигалась на заданной высоте с трансзвуковой скоростью (Мх «1), а в момент времени т* =0 стала внезапно двигаться с большой сверхзвуковой скоростью, соответствующей числу Маха Мх = б. Движение происходит на высоте Н = 20юи, число Рей-нольдса, вычисленное по параметрам набегающего потока и радиусу затупления носовой части R = 0.05л, равно 5.54Т03. При этом предполагается, что до начала изменения скорости полета движение тела происходило достаточно долго и вся оболочка имеет одинаковую температуру. По теплофи-зическим свойствам материала оболочки рассматривались' как однослойная (однородная), так и многослойная (неоднородная).

Параграф 5.5. посвящен упрощенному решению нестационарной задачи, когда аэродинамическое нагревание тела, помещенного в стационарный сверхзвуковой поток, происходит при отсутствии излучения с обтекаемой поверхности. Такая ситуация имеет место, например, при исследовании аэродинамического нагревания тел в аэродинамических' трубах с помощью термоиндикаторных покрытий, физические свойства которых меняются при достижении определенной температуры. Небольшие времена эксперимента и, следовательно, небольшая глубина прогрева тела позволили упростить математическую постановку задачи (раздел 5.5.1). В этом же разделе приводится описание реализации численного решения задачи. В разделе 5.5.2. задача сопряженного теплообмена была исследована для сферически затуплен-

ных круговых конусов с полууглами раствора дк = О, 10° и 30°, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа при нулевом угле атаки Для всех тел радиус кривизны г*(0) = 1 в критической точке принимался равным 0 015м Рассматривались два случая

1)А/„=б, 9'в=500К;р'а= 0 8М7а, Т° = Т'(х',0,0)/Го* = 0 6 и

2) мл = 10, в;=1 юоа:, ^ = 8М7д, т;° = о 283

Здесь М - число Маха, р' - давление газа, Т - температура газа в потоке, Т'(х',у',т') - температура в теле на расстоянии х* вдоль поверхности от критической точки, на расстоянии у' по нормали к поверхности в момент

времени г , индекс "оо" характеризует параметры набегающего потока, индекс "О" - параметры торможения

В первом случае расчеты были проведены также для гиперболоида вращения с асимптотическим углом вк = 10°

Результаты расчетов сопряженной задачи были обработаны в виде зависимостей величины / q'w0 и числа Стантона Ск от температурного фактора Т„ для различных точек обтекаемой поверхности Здесь - местный удельный тепловой поток в критической точке в начальный момент времени, СЛ = <?*/[/0*и*с*(ГгТг - адиабатическая температура поверхности, отнесенная к температуре торможения В качестве примера такие зависимости для варианта 2 приведены на рис 8

(\Jqwt

09 0

05 04 03

02 0 1 0

Вариант 2

- "6"53--

ггг^—~__ "оё?^:

1 /10

—г±:-»

Рис 8 Зависимость теплового потока от температурного 4актора

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1 Методами вычислительной аэродинамики исследованы стационарная и нестационарная задачи сопряженного теплообмена при обтекании плоских и осесимметричных затупленных тел сверхзвуковым потоком совершенного газа

2 Разработан эффективный численный метод решения уравнений сопряженного теплообмена тела сложной формы, основанный на использовании эллиптико-гиперболической полуаналитической ортогональной системы координат и метода суммарной аппроксимации

3 Для стационарной задачи расчеты проведены в широком диапазоне определяющих параметров и установлено влияние на распределение температуры в оболочке условий полета, геометрических характеристик и теплопроводности материала тела. Показано, что пространственный характер обтекания тела способствует повышению эффективности теплопроводности как средства снижения максимальной температуры обтекаемой поверхности

4 Для обобщения результатов многочисленных расчетов выведены локальные параметры подобия, с помощью которых получены универсальные зависимости для инженерной оценки максимальной температуры тела

5 Исследовано влияние определяющих параметров на температурный режим, теплопередачу и коэффициент трения затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое Показано, что наличие области переходного и турбулентного течения снижает эффективность воздействия теплопроводности на максимальную температуру тела

6 В случае нестационарной задачи сопряженного теплообмена выполнен большой объем методических расчетов по выбору параметров пространственно-временной сетки для численного анализа уравнений Прандтля и теплопроводности и тестированию предложенной методики путем сопоставления наших результатов с данными аналитических и численных решений других исследователей, которое показало хорошее их согласование как для внутренней, так и для сопряженной задачи

7 Эффективность используемой методики продемонстрирована на задаче прогрева многослойной осесимметричной носовой части Исследованы температурный режим одно-, двух- и трехслойной оболочки и возможность снижения температуры за счет локальных стоков тепла

8 Для численно-аналитического решения нестационарной задачи сопряженного теплообмена в упрощенной постановке разработана разностная схема и составлена программа, по которой проведен расчет теплообмена при аэродинамическом нагревании тела применительно к условиям испытаний в аэродинамических трубах Установлено, что при некоторых условиях возможно увеличение теплового потока с ростом температурного фактора

ЛИТЕРАТУРА

Петухов И В Численный расчет двумерных течений в пограничном слое В сб "Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы" M Наука 1964 С 304-325 ПирумовУГ Численные методы//M Дрофа, 2007

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Башкин В А, Решетько С M Нестационарная задача сопряженного теплообмена для затупленных тел в сверхзвуковом потоке. // Ученые за-пискиЦАГИ 1987.Т 18 №3 С 39-47

Башкин В А , Решетько СМ Влияние теплопроводности материала на температурный режим затупленного тела. // Труды 10-й юбилейной научно-технической конференции по аэродинамике больших скоростей, посвященной 70-летию ЦАГИ, 1988, С 102 - 106

Петухов И В, Решетько С M Построение ортогональной системы координат для выпуклого тела с вырезом произвольной формы // Ученые записки ЦАГИ 1989 Т 20 №4 С 26-56

Башкин В А, Решетько С M Расчет максимальной температуры затупления с учетом теплопроводности материала //Ученые записки ЦАГИ 1989 Т. 20. № 5 С 53 - 59.

Башкин В А, Решетько С M Стационарная задача сопряженного теплообмена для плоского затупленного тела в сверхзвуковом потоке // Моделирование в механике Сборник научных трудов ВЦ ИТПМ АН СССР (Сибирское отделение) Т 4(21) №1 -Новосибирск 1990 С 83-87 Башкин В А, Решетько С M Температурный режим затупленных клиньев и конусов в сверхзвуковом потоке с учетом теплопроводности материала стенки //Ученые записки ЦАГИ. Т 21 1990 №4 С 11-17. Башкин В А, Решетько С M Нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных тел // Методы исследований аэротермодинамических характеристик гиперзвуковых летательных аппаратов Тезисы докладов ежегодной научной Школы-семинара ЦАГИ "Механика жидкости и газа" 1992 С 13-14

Башкин В А, Решетько СМ О температурном режиме на затупленных конусах и клиньях при наличии областей переходного и турбулентного течения //Ученые записки ЦАГИ 1993 Т 24 № 1 С 163 - 166 Bashkm VA, Reshet'ko S M Coupled problem boundary layer + heat conductive wall //"Research in the hypersonic flows and hypersonic technologies", Sept 19 -21,1994, TsAGI, P 17-19

Башкин В А, Решетько CM Нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных тел // Ученые записки ЦАГИ 1996 Т 27.№3-4 С 75-90

Решетько СМ Представление решения задачи сопряженного теплообмена затупленных тел в сверхзвуковом потоке Вестник МАИ, 2008г (в печати)

Решетько С М Переходный и турбулентный режим течения в пограничном слое на теплопроводных конусе и клине // Тез докл XIX Школы-семинара ЦАГИ "Аэродинамика летательных аппаратов", Москва - 2008 Решетько С М Исследование температурного режима обтекаемой оболочки при наличии на ней изотермических участков // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ОТМ-2008), 24 - 31 мая 2008 г, Алушта - М Изд-во МАИ, 2008, с 340 - 343

I

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от¿0. г Тиражб£) экз

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. проблема сопряженного теплообмена: различнее постановки задачи.

§1.1. Стационарные задачи сопряженного теплообмена. Постановка задачи и параметры подобия.

§ 1.2. Плоская пластина конечной толщины.

§1.3. Острый клин и конус в сверхзвуковом потоке.

§ 1.4. Плоские и осесимметричные затупленные тела.

§ 1.5. Нестационарные задачи сопряженного теплообмена.

Глава 2 обзор исследований по проблеме сопряженного теплообмена.

§2.1. Стационарные задачи сопряженного теплообмена.

Плоская пластина (35). Острые клинья и конусы (40). Плоские и осесимметричные затупленные тела (42).

§ 2.2. Нестационарные задачи сопряженного теплообмена.

Плоская пластина (45). Теплообмен на затупленных телах (45).

§ 2.3. Методы численного анализа.

Глава 3 стационарная задача сопряженного теплообмена.

§ 3.1. Постановка задачи и дифференциальные уравнения.

§ 3.2. Методы численного анализа.

§ 3.3. Затупленные клиновидные и конические тела. Построение системы координат.

Построение семейства координатных кривых т) = const (73).

Ограничивающие кривые (74). Семейство эллипсов - гипербол (76). Процедура решения (79). Теорема о непересекаемости координатных линий (81). Примеры построения координатной сетки (83).

Глава 4 исследование температурного режима ПЛОСКИХ и осесимметричных тел.

§4.1. Влияние геометрических параметров на максимальную температуру тела.

§ 4.2. Влияние пространственности течения. Влияние угла скольжения и осесимметричности течения.

§ 4.3. Параметры подобия и обработка максимальной температуры в параметрах подобия.

§ 4.4. Температурный режим затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое.

Глава 5. нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных

§5.1. Постановка задачи.

§ 5.2. Методика численного анализа и тестовые расчеты.

§5.3. Тестовые расчеты.

§5.4. Примеры расчетов.

Прогрев многослойной конической оболочки (133).Влияние локальных стоков тепла (138).

§ 5.5. Упрощенное решение задачи.

Постановка задачи (142). Аэродинамическое нагревание затупленных конусов (145).

ВЫВОДЫ.

В рамках механики сплошной среды при больших числах Рейнольд-са справедлива классическая постановка задачи об обтекании тела потоком вязкого газа. Она состоит из двух последовательно решаемых задач -внешней и внутренней. Внешняя задача описывается уравнениями Эйлера и определяет распределение давления вдоль обтекаемой поверхности, а также распределение скорости на внешней границе пограничного слоя. Внутренняя задача в общем случае описывается нестационарными уравнениями Прандтля и определяет распределение напряжения трения и теплового потока на омываемой поверхности.

В задачах внешней аэродинамики при анализе температурного режима обтекаемых поверхностей часто используется предположение об их абсолютной нетеплопроводности. Такой подход облегчает решение задачи и оправдан во многих случаях, в особенности, если материал обтекаемой поверхности обладает малой теплопроводностью. Такая ситуация имеет место, например, при движении спускаемых JTA в плотных слоях атмосферы, обтекаемые поверхности которых покрыты теплозащитными материалами.

При движении с большими сверхзвуковыми скоростями ЛА самолетного типа, обтекаемые поверхности которых изготовлены из традиционных авиационных материалов с относительно большой теплопроводностью, ситуация меняется и теплофизические свойства материала могут оказывать существенное влияние на температурный режим обтекаемой поверхности. Для учета этого влияния необходимо решать задачу сопряженного теплообмена, т. е. наряду с уравнениями Прандтля должно интегрироваться уравнение теплопроводности, определяющее поле температуры в оболочке тела. При этом в рамках постановки задачи сопряженного теплообмена задачу, описываемую уравнениями пограничного слоя, называют внешней, а задачу, описываемую уравнением теплопроводности, — внутренней. Эти две задачи связываются между собой уравнением локального баланса тепла, имеющим место на границе раздела сред.

При больших сверхзвуковых скоростях передние кромки крыльев и носовые части фюзеляжей JIA имеют некоторый радиус затупления, величина которого оказывает существенное влияние на их аэродинамическое нагревание и на волновое сопротивление JIA. Для уменьшения аэродинамического нагревания необходимо выбирать размер радиуса затупления максимально большим, а для уменьшения волнового сопротивления минимально возможным. Поэтому выбор радиуса затупления представляет собой поиск некоторого компромисса между этими противоречивыми требованиями. В поиске разумного компромисса определенную роль может сыграть учет теплопроводности материала стенок.

При обтекании затупленных тел ламинарным потоком максимум теплового потока qw и, следовательно, максимум радиационно-равновесной температуры Tw абсолютно нетеплопроводной поверхности имеет место в окрестности критических точек и линий, а по мере отхода от них величины qw и Tw быстро уменьшаются. Поэтому уже на начальном этапе развития аэрокосмических JIA было предложено отводить часть тепловой энергии с окрестности критической точки (линии) на боковую поверхность тела за счет теплопроводности материала стенки с последующим переизлучением ее в окружающее пространство. Но в то время эта идея не нашла практического применения, поскольку спускаемые JIA должны были обладать большим волновым сопротивлением для диссипации кинетической энергии, а проблема теплозащиты JIA была решена с помощью аблирующих теплозащитных покрытий.

Выход современных самолетов на крейсерские режимы полета с большими сверхзвуковыми скоростями обострил проблему аэродинамического нагревания, поскольку обычно используемые конструкционные материалы начинают работать на пределе своих возможностей. Поэтому снижение максимальной температуры поверхности за счет теплопроводности даже на сравнительно небольшую величину (ATw = 50°-Н00°) может расширить область применения того или иного материала, что влечет за собой определенный экономический эффект. В связи с этим вновь усилился интерес к решению стационарных задач сопряженного теплообмена при обтекании тел сверхзвуковым потоком газа.

В большинстве случаев приходится иметь дело с нестационарной задачей сопряженного теплообмена. При этом внешняя задача, которая связана с определением поля течения около рассматриваемого тела, решается в квазистационарном приближении, а внутренняя задача, связанная с определением поля температуры в оболочке тела путем решения уравнения теплопроводности, - в нестационарном приближении.

В ряде случаев, в особенности, когда интересует начальная стадия прогрева оболочки тела, можно пренебречь перетеканием тепла вдоль обтекаемой поверхности и рассматривать нестационарную задачу сопряженного теплообмена в одномерном приближении (по координате, ортогональной обтекаемой поверхности).

Однако, если рассматривать большие времена движения или если материал обладает достаточно большой теплопроводностью, а оболочка является достаточно толстой, то нестационарную задачу сопряженного теплообмена необходимо решать уже с учетом продольного перетекания тепла.

Проблемой сопряженного теплообмена на протяжении последних трех — четырех десятилетий успешно занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи. Ввиду математической сложности задачи первые исследования были посвящены случаю обтекания тел простейшей конфигурации при различных упрощающих предположениях. Такой подход позволил выявить характерные особенности, установить погрешность, возникающую при решении задач аэродинамического нагревания в раздельной постановке, не выполняя при этом большого объема вычислений.

Поэтому перед диссертантом были поставлены следущие задачи:

1. Проанализировать различные постановки стационарных и нестационарных двухмерных задач сопряженного теплообмена применительно к телам простой конфигурации, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа при больших числах Рейнольдса.

2. Дать обзор работ, посвященных изучению стационарных и нестационарных двухмерных задач сопряженного теплообмена применительно к телам простой конфигурации. На основе обзора методов численного анализа этих задач выбрать наиболее простой и эффективный подход к интегрированию уравнения теплопроводности.

3. Составить комплекс программ для численного анализа двухмерных задач сопряженного теплообмена и изучить с его помощью особенности теплообмена и температурный режим различных плоских и осесимметричных тел для условий полета гиперзвукового самолета.

В диссертации рассматривается проблема сопряженного теплообмена применительно в основном к двумерным задачам внешней аэродинамики. Но и в такой формулировке указанная проблема охватывает слишком большой круг вопросов, поэтому рассмотрение ограничивается кругом задач для тел с неразрушающейся поверхностью, что свойственно JIA самолетного типа.

Всюду выше предполагалось, что движущаяся среда является однородной и неизменной по составу. При больших сверхзвуковых скоростях полета температура среды в поле возмущенного течения может принимать столь большие значения, что начинают проявляться эффекты реального газа: возбуждение колебательных степеней свободы, реакции диссоциации, ионизации и т. п. (см., например, монографию [Гришин А. М., Фомин В. М., 1984]). Эти вопросы здесь рассматриваться не будут.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы.

ВЫВОДЫ

1. Методами вычислительной аэродинамики исследованы стационарная и нестационарная задачи сопряженного теплообмена при обтекании плоских и осесимметричных затупленных тел сверхзвуковым потоком совершенного газа.

2. Разработан эффективный численный метод решения уравнения теплопроводности в теле сложной формы, основанный на использовании эллип-тико-гиперболической полуаналитической ортогональной системы координат и метода суммарной аппроксимации А.А. Самарского.

3. Для стационарной задачи расчеты проведены в широком диапазоне определяющих параметров и установлено влияние на распределение температуры в оболочке условий полета, геометрических характеристик и теплопроводности материала тела. Показано, что пространственный характер обтекания тела способствует повышению эффективности теплопроводности как средства снижения максимальной температуры обтекаемой поверхности.

4. Для обобщения результатов многочисленных расчетов выведены локальные параметры подобия, с помощью которых получены универсальные зависимости, полезные для инженерной оценки максимальной температуры тела.

5. Исследовано влияние определяющих параметров на температурный режим, теплопередачу и коэффициент трения затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое. Показано, что наличие области переходного и турбулентного течения снижает эффективность воздействия теплопроводности на максимальную температуру тела.

6. В случае нестационарной задачи сопряженного теплообмена выполнен большой объем методических расчетов по выбору параметров пространственно-временной сетки для численного анализа уравнений Прандтля и теплопроводности и тестированию предложенной методики путем сопоставления наших результатов с данными аналитических и численных решений других исследователей, которое показало хорошее их согласование как для внутренней, так и для сопряженной задачи.

7. Эффективность используемой методики продемонстрирована на задаче прогрева многослойной осесимметричной носовой части. Исследованы температурный режим одно-, двух— и трехслойной оболочки и возможность снижения температуры за счет локальных стоков тепла.

8. Для численно-аналитического решения нестационарной задачи сопряженного теплообмена в упрощенной постановке разработана разностная схема и составлена программа, по которой проведен расчет теплообмена при аэродинамическом нагревании тела применительно к условиям испытаний в аэродинамических трубах. Установлено увеличение теплового потока с ростом температурного фактора.

1. Бахвалов II. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. —М.: Наука, 1987.

2. Башкин В. А., Колина Н. П. Ламинарный пограничный слой на эллипсоидах вращения/ТИзв.АН СССР. МЖГ. 1966. №8.

3. Башкин В.А. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения//Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №5. С. 76-82.

4. Башкин В.А., Колина Н.П. Расчет сопротивления трения и теплового потока на сферически затупленных круговых конусах в сверхзвуковом пото-ке//Труды ЦАГИ. 1968. вып. 1106.

5. Башкин В. А., Решетько С.М. Влияние теплопроводности материала на температурный режим затупленного тела//Труды 10-й юбилейной научно-технической конференции по аэродинамике больших скоростей, посвященной 70-летию ЦАГИ, 1988, С. 102 106.

6. Башкин В. А., Решетько С.М. Расчет максимальной температуры затупления с учетом теплопроводности материала//Ученые записки ЦАГИ. 1989. Т. 20. №5. С. 53 -59.

7. Башкин B.A., Решетъко С.М. Нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных тел// Ученые записки ЦАГИ. 1996. Т. 27. № 3 4. С. 75 - 90.

8. Башкин В.А., Солодкин Е.Е. Расчет ламинарного пограничного слоя при отсутствии продольного градиента давления и в окрестности критической точки при переменной температуре поверхности тела//Труды ЦАГИ. 1961. Вып. 825.

9. Березовская Л.М., Деулъ О.И., Юртин И.И. Математические модели тепловых процессов в многослойных цилиндрических стенках//АН УССР, Ин-т математики. Препр.69.22.-Киев. 1989. ЗОС.

10. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. -М.: Энергия. 1975.

11. Буреев А. В., Ефимов К. Н. и др. Исследование характеристик сопряженного тепломассообмена при наличии вдува с поверхности//Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации АН СССР. Институт проблем механики -М. 1990. С.116-117.

12. Веселовский В. Б. Решение задач нестационарной теплопроводности для многослойных теплозащитных покрытий//Прикладные вопросы аэрогазодинамики Киев. 1987. С. 95 - 100.

13. Гришин A.M., Берцун В.Н. Итерационно-интерполяционный метод и теория сплайнов//Доклады АН СССР. Т. 214. 1974. №4.

14. Гришин A.M., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред//Новосибирск.: Наука. 1984.

15. Давыденко Б.В. Решение сопряженной задачи конвективного теплообмена для эллиптического цилиндра//Конвективный теплообмен и гидродинамика. Киев.: Наукова думка. 1985. С.63 67.

16. Демченко Л.И., Листецкий Т.Е., Вакал Е.С. Численное решение нелинейного уравнения теплопроводности в средах с тонкими слабопроводящими включениями//Научные труды Латвийского университета. — 554. 1990. С. 151 — 157.

17. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики//Тр. 3-го Всесоюзного математического съезда, июнь-июль 1956. Т. 3. Издательство АН СССР. 1958.

18. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя//ЖПМТФ. 1960. № 3. С.44 55.

19. Дорфман А.Ш., Давыденко Б.В. Сопряженный теплообмен при обтекании эллиптических цилиндров//Теплофизика высоких температур. 1980. 18. №2. С. 334-340.

20. Замула Г.Н., Тесленко С.Ф. Численная реализация метода конечных элементов в задачах теплопроводности авиаконструкций//Труды ЦАГИ. 1984. Вып. 2229. С. 57-71.

21. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. Решение неавтомодельных задач теории ламинарного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 4. С. 59 64.

22. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. Решение неавтомодельных задач теории пограничного слоя с учетом нестационарного сопряженного теплообмена и вдува//ИФЖ. 1980. Т. 38. № 3. С. 543 550.

23. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. О расчете характеристик тепловой завесы 1 при наличии сопряженного теплообмена//Газодинамика неравновесных процессов. Новосибирск. 1981.

24. Зинченко В. И., Путятина Е. Н. Исследование турбулентного пограничного слоя на сферических телах с учетом нестационарного сопряженного теплообмена и вдува//Газодинамика неравновесных процессов. Новосибирск. 1981. С.111-118.

25. Зинченко В.И., Федорова О.П. Численное исследование пространственного ламинарного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//ПМТФ 1988. №2. С. 34-42.

26. Зинченко В.И., Федорова О.П. Исследование пространственного турбулентного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//ПМТФ. 1989. №3. С. 118-124.

27. Карлслоу Г., ЕгерД. Теплопроводность твердых тел//М.: Наука. 1964. Катаев А.Г. Исследование сопряженного тепломассообмена при обтекании затупленных по сфере конусов в рамках теории пограничного слоя//Автореферат диссертации. Томск. 2000.

28. Киселев И.Г., ред. Расчет температурных полей узлов энергетических установок. Л.: Машиностроение. 1978. 192 С.

29. Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплопереноса между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами//Автореферат диссертации. М. 2005.

30. Костюков Н. П. Уточнение численных решений дифференциального уравнения теплопроводности методом экстраполяции по Ричардсону/ДТроектир. теплонагружен. конструкций ЛА. М. 1989. С. 36-41.

31. Костюков Н.П., Дзюба А.К. Сравнительный анализ численных решений нелинейной задачи теплопроводности на крупных сетках/УГагарин.науч. чтения по космонавт, и авиации 1990,1991 гг. //АН СССР. Ин-т пробл. мех. М. 1991. С. 107- 108.

32. Круз Т., Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений//М.:Мир. 1978. Кудинов В. А., Темников А. В. и др. Теплопроводность в многослойной стенке трубы при переменных коэффициентах теплоотдачи//Ред. Инж. физ. ж. Минск. 1988.

33. Кумар И.Дж., Бартман А.Б. Сопряженная задача теплопереноса в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа с излучением//Тепло и массо-перенос. 1968. Т. 9. Минск. С. 481 -490.

34. Кутыш И.И. Решение задач тепломассообмена спектральным методом Фурье// Тепло и массообмен в двигателях летательных аппаратов. Моск. авиац. ин-т. М. 1991. С. 61 - 70.

35. Лебедев М. Г. и др. Сверхзвуковое обтекание плоских затупленных тел// Издательство Московского университета. 1974.

36. Литвин О.Н., Сергиенко И.В. Численная реализация метода ЛИДУ для уравнения нестационарной теплопроводности//Докл. АН УССР. А. 1990. №10. С. 70 74.

37. Лощянскгт Л.Г. Механика жидкости и газа//М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1987. 840 С.

38. МарчукГ.И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем//М.: Наука. 1979.

39. Махин В. В., Махина Н. Е. Метод граничных конечных элементов в задачах теплопроводности// Проектирование летательных аппаратов и их систем. Киев.: Наукова думка. 1985. С. 138- 146.

40. Павловец Г.А. Влияние теплопроводности материала на температуру клиновидных и конусообразных передних кромок//Труды ЦАГИ. 1964. № 906. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости//М.: Энергоатомиздат. 1984. 152 С.

41. Перелъман Т.Л., Левитин Р. С., Гдалевич Л.Б., Хусид Б.М. Сопряженный нестационарный теплообмен пластины с ламинарным потоком сжимаемой жид-кости//Тепло и массоперенос. Минск. 1972. Т. 8. С. 286 295. (Сб. научн. трудов ИТМО АН БССР).

42. Рубцов Н.А., Пономарев Н.Н., Тимофеев A.M. О поведении коэффициентов переноса в прямых дифференциальных методах теории радиационного теплообмена в рассеивающих средах//Изв. СО АН СССР. Серия технических наук. 1987. Т. 18. Вып. 5. С. 3 8.

43. Сафонов В. Е., Ревизников Д. Л. Программно-алгоритмический комплекс для исследования процессов теплообмена в пограничном слое при аэродинамическом нагреве ЛА//Проектир. теплонагружен. конструкций ДА. М. 1989. С. 52-59.

44. Соколова И. Н. Температура пластинки в сверхзвуковом потоке с учетом из-лучения//Труды ЦАГИ. 1950.(см. также в Сб. теорет. работ по аэродинамике. М. Оборонгиз. 1957).

45. Спэрроу Э.М. Решение задач теплопроводности и конвекции методом орто-нормированных функций//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск. 1968.

46. Хрестовой Ю. Л., Сайко В. П., Голуб С. Л. Расчет и программирование трехмерной нестационарной задачи теплопроводности в неоднородной области// Харьков: Энерг. машиностр. 1989. №48. С. 29 35.

47. Чушкин П. И., Шулишнина Н. П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов//М.: ВЦ АН СССР. 1961. 92с.

48. Швец Ю.И., Диденко О.И., Липовецкая ОД. Численное решение нестационарной сопряженной задачи теплообмена при ламинарном обтекании пласти-ны//Пром. теплотехника. 1988. 10. № 4. С. 21 25.

49. Эмлюнс Г. В. Нестационарный аэродинамический нагрев пластины//В книге Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи. М. JL: Госэнерго-издат. 1960. С. 329-337.

50. Юмашев М.В. Модификация приближенного метода решения уравнения теплопроводности в случае нестационарных граничных условие/Динамические задачи механики деформируемых сред. Московский государственный университет. Мех.-мат.фак. М. 1990. С. 166- 175.

51. Ярхо А. А. Приближенный метод решения одномерных нелинейных задач теплопроводности//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск. 1968. С. 272 282.

52. Bialecki R. Solving Nonlinear Heat Transfer Problems by BEM//Boundary Elem. X. V.2 Heat Transfer, Fluid Flow and Elec. Appl. Southampton etc. 1988. P. 195-222.

53. Capey E. C. Alleviation of leading — edge heating by conduction and Radiation// ARC R&M. 1968. 3540.

54. Cess R.D. The effect of radiation upon forced convection heat transfer//Appl. Sci. Res. 1961. 10A. P. 430-438.

55. Chen К. K., Thy son N. A. Extension of Emmons spot theory to flows on blunt bodies//AIAA Journal. 1971. 9. № 5.

56. Driest van E. The problem of Aerodinamic Heating//Aeron. Eng. Review. 1956. X. P. 26 41. (см также перевод БНИ ЦАГИ № 9319).

57. Eguchi Yu., Fuchs L. Conjugate-Gradient Methods Applied to the Finite-Element Approximation of the Navier-Stokes equations//"Comput. Mech. '86: Theory and Appl. Proc. Int.Conf. Tokio, May 25 29, 1986. Vol. 2". Tokio e.a. 1986. VII/109 -V1I/114.

58. Feldhuhm R. H. Heat transfer from a turbulent boundary layer on a porous hemisphere//AIAA Paper № 111.1976. P. 9.

59. Gladden H. J., Melis M. E., Mockler Т. T. Thermal/Structural Analyses of Several Hydrogen-Cooled Leading-Edge Concepts for Hypersonic Flight Vehicles// AIAA Pap. 1990. № 90 0053.

60. Godbole D.B., Date A. W. Numerical Algorithms for Solving System of Equations Resulting from Elliptic Equations in Heat Transfer//"Proc. 8th Nat.Heat and Mass Transfer Conf., Visakhapathan, Dec.29 31,1985". New Dehli. e.a., s.a., 1985. P. 325-329.

61. Goodman T. R. Advances in Heat Transfer. -1. N-Y.: Academic Press. 1964. P.51. Gossi J. Analise simplifee du couplage conduction-convection pour un ecoulement a couche limite laminaire sur une plaque plane//Rev. gen. therm. 1980. 19. № 228. P.967 — 971.

62. He Guangyu. Numerical Solutions for Laplace Equation Using Cubic Splines//J. Lanzhou Univ. 1989. 25. № 1. P. 32 36.

63. KarvinenR. Note on conjugated heat transfer in a flat plate//Lett. Heat Mass Transfer. 5. 1978. P. 197 202.

64. Karvinen R. Some new results for conjugated heat transfer in a flat plate//Int. J. Heat Mass Transfer. V. 21. 1978. № 9. P. 1261 1264.

65. Nonweiler T. Surface Conduction of the Heat Transfered from a boundary Layer// The colledge of aeronautic. Cranfield. 1952. Rep. № 59.

66. Rene is Dv. Dv., Mullen R. L. A Self-adaptive Mesh Refinement Technique for Boundary Element Solution of the Laplas Equation//Comput. Mech. 1988. Vol. 3. №5. P. 309-319.

67. Shin T.M. A Literature Survey on Numerical Heat Transfer (1982-1983)//Numeri-cal Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 1 24.

68. Shin T.M. A Literature Survey on Numerical Heat Transfer (1984 1985)//Numer. Heat Transfer, Vol. 11. № 1. P. 1 - 29.

69. Sohal M.S. Howell J.R. Determination of plate temperature in case of combined conduction, convection and radiation heat exchange//Int. J. Heat Mass Transfer. 1973. V. 16. № 11. P. 2055-2066.