Задача Трикоми с обобщенными граничными условиями для модельной системы уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

нижегородский ордена. трудового красного знамени государственный

университет шши н.и.лобачевского

r¡ :j ■ ел

iia правах рукописи

красидьников Михаил Геннадьевич

ЗАДАЧА ТРИШИ С ОБОБЩЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДНЯ

' мошьной сжтжы уравнений cmsüahhoid тша

0I.0I.G2 - ди^ферендиальше уравнения

Автореферат

;зссбр?вЛ2Е на соЕсканге уч&Еой степени каняезага фкзико-магекапггесгапс наук

IL Новгород - 1ЭЭЗ

Работа выполнена в Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени техническом университете ( Горьковском политехническом институте )

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, . . ' профессор Чекмарёв Т.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жегалов В.И. (Казанский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор Морозов С.Ф. (Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского)

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " Л //п Л. 1993 года в

часов (аудитория<0 на Заседании специализированного Совета К 063.77.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, г. Н.Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета имени Н.И.Лобачевского. -

Автореферат разослан

" ,-и? " 1993 г.

Учёный секретарь

специализированного Совета, доцент В.И.Лукьянот

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРЕ! ТИКА РАБОТЫ

В диссертации изложены метода решения ряда граничных задач типа Трикоми дяя системы дифференциальных уравнений смешанного типа

где й-й.('х,у), 6 = 6/'х.у/1 .С-С[л,у)гН=в(х,у)- заданные функции, а также определены условия существования хотя бы обобщённых решений таких задач для некоторых частных случаев системы (I).

Актуальность теш. Теория уравнений и систем смешанного типа, зародившаяся в трудах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта, в настоящее время является важнейшим разделом теории уравнений с частными производными. Решение её проблем имеет не только большое чисто теоретическое значение, но и находит глубокие приложения во многих областях естествознания. Впервые, прикладной характер задач теории уравнений и систем смешанного ишь установили в своих ра- • ботах отечественные математики - О.И. Франкль и И.Н. Векуа (околозвуковая газовая динамика, теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака). Сейчас, вопросы данной теория привлекают внимание многих исследователей. Достаточно подробная библиография по уравнениям и системам смешанного типа содержится в монографиях А.В.Ез-цадзе ^ и М.М.Смирнова 2'.

Успех решения граничных задач для систем уравнений смешанного типа связан с развитием теории как эллиптических, так и гиперболических систем. 3 этой связи следует отметить работы А.В.Бн-цадзе, О.М.Теута, С.А.Терсенова, Р.М.Ганеева и др. авторов, которые, используя метод интегральных уравнений, редуцирует исходную гранкчкув задачу к эквивалентному ей особое интегральному уравнении» Необходимо особо выделить метода, развитые в работах

■^Екцадзе А.З. Некогорте классы уравнений в частных производных. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 448с.

^.Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука. Гл. ред. фиэ.-мат. лит., 1970. - 295с.

И. Н. Веку а ^, а также математический аппарат, разработанный для исследования шроадающихся систем Т.В.Чекмарёшм К

За семь десятилетий, прошедаие с момента появления исследований Ф.Трикоми, математики различным образом обобщали полученные им результаты. Так, например, А.В.Бицадзе отмечал, что безусловно представляет научный интерес изучение следующего обобщения задачи Трикоми: " в смешанной области ¡0 , ограничен- • ной в эллиптической части полуплоскости дугой Жордана 5 , а в гиперболической части полуплоскости характеристиками АС и СВ систеш (^гт*1их~гг!/ ¡¿¿,+1% =си + с/У ), найти решение

у) и 1Г(х,у) этой систеш по граничному условию

у на 5" и на АС, где , и ^ - заданные функции". В данной диссертации сделана попытка отыскания общего метода редукции этой задачи к обычной задаче Трикоми.

Цель работы - исследование вопросов разрешимости следующих краевых задач:

1) задачи Трикоми для систеш (I) с обобщёнными граничными условиями, где на кривой в эллиптической части полуплоскости и на характеристике заданы линейные комбинации искомых функций;

2) задачи Трикоми для неоднородной систеш Лаврентьева-Би-

^Векуа H.H. Новые метода решения эллиптических уравнений. - М. -I.: Гостэхиздат, 1949.

Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции / Под ред. О.А.Олейиик и В.В.Шабата -М.: Наука. Гл. ред.- физ.-мат. лит., 1988. - 512с.

^Чекмарёв Т.В. Основше грацичные задачи для некоторых систем уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов /Горьковск. политехи, ин-т. - Горький, 1985. - 155с. - Деп. в ВИНИТИ 23.01.85, № 1999-85.

Чекмарёв Т.В. Основше граничные задачи для некоторых систем уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типов /Горьковск. политехи, ин-т. - Горький, 1985. - 165с. - Деп. в ВИНИТИ 23.01.85, № 2000-85.

^Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. - M.s Изд-во АН СССР, 1959. - 163с.

цадзе

LLX - Son У Vs , Lly + V^ - kcx.y) (2)

в смешанных областях, эллиптическая часть которых представляет собой полуплоскость У>0 или полукруг a.z+nz< у у-0 , в. гиперболическая - характеристический треугольник;

3) задачи Трикоми для неоднородной модельной- системы уравнений j

' -¡лкчщ lnlZt/u.y + гл = А(х.*)(0<1/<£). (з)

областью эллиптичности которой является полуплоскость;

4) задачи Трикоми для систеш (I) при J=0 в областях специальных видов, указанных в пункте 2).

Методы исследования. Цри изучении задачи Трикога с обобщёнными граничными условиями применяются метода теории аналитических функций. В частности, используется метод построения рехуля-ризуэдего множителя, разработанный при решении краевой' задачи Гильберта для многосвязной области в-монографии Ф.Д.Гахоза Основным приёмом исследования задачи Трикоми в областях специальных видов является е§ редукция к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши. При этом широко применяется математический аппарат, развитый в работах Т.В.Чекмарёва. Автор также получает некоторые результаты, опираясь на метода общей теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории рядов.

Научная новизна. К числу новых в диссертации относятся сле-дигаие результаты:

. I. Получение общего метода редукции обобщённой задачи Трикоми для систеш (I) к обычной задаче Трикоми.

2. Получение, непрерывного во всей замкнутой области, резе-еул задачи Трикоми для неоднородной систеш Лаврентьева-Бицадзе (2) в смешанных областях, эллиптическая часть которых представляет собой полуплоскость и полукруг.

3. Получение решения задачи Трикоми для неоднородной модель- ' ной систеш уравнений (3), областью эллиптичности которой являет-

т\

■"Тахо в Ф.Д. Краевые задачи. - II.: Фнзматгиз, 1963. -639с.

ся полуплоскость.

4. Построение формального решения задачи Трикоми для обобщённой модельной системы (I) в виде суш рядов, члены которых являются решением соответствуй идах краевых задач в смешанных областях, указанных в пункте 2.

5. Установление "'условий существования обобщённого решения задачи Трикоми для системы (I) при ^ =0 ъ смешанных областях специального вида для следующих частных случаев: а = ё - с =

= 0 С у< о) ;а--с,3=с1=оСу< о); а = -ё,с--с! Су < О); а = Л , 6 = с (у<о); о, + с = ё + с! Су<о); $ = с+6(у<о) .

Теоретическая и практическая ненность. С достаточным основанием можно утверждать, что проведённые в настоящей работе исследования представляют определённый теоретический интерес, поскольку проблема Трикоми для обобщённых модельных систем уравнений далеко не исчерпана. Полученные в работе явные формулы решения задачи Трикоми для некоторых частных систем уравнений могут найти прдменеше при решении прикладных задач в газовой динамике, в теории,изгибания поверхностей и в других областях науки и техники.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции: "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции", проводившейся на базе Самарского государственного педагогического института с 24 по 31 мая 1992г.; на семинаре по краевым задачам в Казанском государственном университете в 1993г. (руководитель - профессор В.И.Жегалов); на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа в Нижегородском государственном ушгаерснтете (руководитель - профессор М.В.Долов); а также на седанарах по уравнениям в частных производных при кафедре "ЕЬсшая математика" в Нижегородском техническом университете (Герьковском политехническом институте) в 1990-1993 гг.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 4 работы.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 123 страницах машинописного текста и состоит: из введения, трёх глав, двух приложений и библиографического списка, содержащего 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения приводятся краткие исторические сведения, обосновывается актуальность теш и излагаются основные результаты диссертации.

В главе I найден общий метод редукции задачи А к обычной задаче Трикоми. С целью формулировки задачи А введём обозначения: Вг. Се - соответственно точки (- Я, 0) , {И, 0) , (о,~И) ; Ц" -- гладкая кривая Жордана, расположенная в полуплоскости а> о и примыкающая к оси Ох. в точках А} и Зо ; Д - конечная область, ограниченная дугой Ь и отрезками квСв и В^С^ ; Д + ~ А Л Л 1(х,и)бМг-1а>0}; Д Л {(х,у)£ я11 В<0} . Цусть на кривой I? , включая её концы, заданы непрерывные по Гёльдеру функции сЛ =£>(£.а), , а на отрезке каСе оп-

ределена дифференцируемая функция Чг(х, у) , производная которой непрерывна по Гёльдеру.

Задача А. Требуется на множестве Д* V Д-' найти решение и. , V сиз тема дифференциальных уравнений (I), непрерывно продолжимое на границу области Д , за исключением быть может точек к0 , Вс, удовлетворяющее граничным условиям

(Л и. V) У -у , (е^и*^ - V (4)

и условиям склеизанзя

И(х, + 0) = и.и.-0) , у(х.+о) « т(х,-о) (-И<х<И). (5)

Указанная зышэ редукция проводится в следующей последовательности. В § 1.1 определены формулы прообразовавши систем (I), не изменяющие её зида. Так, при выполнении линейной подстановки

и=А*и + У~1,/&*У, + (6)

тесто систешг (I) при У>0 получена система уЬ' * V, *с, У (7)

А/ц у-г/с

Аналогичные соотношения найдены при У < О :

и* А.+ В,«V, 2Г= /у\г%У+АлУ, (8

1У1г%+Гу 1У11%+Ух=Сг1Т+с}гУ, (9

Мг =сАя+Ш"е!Ьл - ЫиАшъ - 1у11УВ,х ;. А/, = /йГ^г в, -А*х .

При этом предполагается, что к*. В*, Аж, В* - дафференцируеше функции действительных переменных х и И .

Основываясь на формулах (6),(7),(8),(9), в § 1.2 проведена редукция к обычной задаче Трикоми задачи А с граничными условиями, в которых Л. и /> является следами функций А* и -в'^Ъ* на кривой Ц" ; А'я. = О, А* -В* ~ & в области ; В*(х,+о)=0 .

В § 1.3, задача А с граничными условиями общего вида редуцирована к случаю, рассмотренному в § 1.2. При этом, функции и ¿> , заданные на кривой Ц~ , доопределены на дуге ¿Г , симметричной Ц* относительно оси Ох , следующим образом: ^ (х. -у)-= ¿(х, у) . Далее, у функции ЛгуСЛ*

выделена однозначная ветвь + , обладающая свойст-

вом

В

Затеи определён регудяризующкй множитёль р , такой что функция р •(ai + lul1^ i ) , заданная на контуре Г* L? UIS , является краевым значением некоторой аналитической функции в конечной области, ограниченной кривой Г:

p^&xpí-urj/JcLi + W^f?-', (И)

где ûJu - функция, гармонически-сопряжённая функции ох ; а иг -- решение обобщённой задачи Дирихле, удовлетворяющее граничному условию bfltfuC ~QA^(c¿+IUll^3¿) . В итоге, условие (¿u+f>v)¡i + = tf заменяется равносильным условием (A*u-H'i'/B*v)jct= - pif , в котором функции А*и В* удовлетворяют указанным выше соотношениям.

В заключении параграфа 1.3 получены формулы для положительного регуляризующего множителя р в случае, когда кривая L* пиедставляет полуокружность xl+nt= (а также, когда

ЬW—

' Наряду о выше изложенным, в главе I проведена редукция задачи А к обычной задаче Трикоми для систеш Лаврентьева-Еицадзе:

их-ггч = о , иу + 1Гл 5д.нУ = о. (12)

я тчгя-иа 2 найдены решения задачи Трикоми для систем уравнений (2),(3) в областях специальных видов. В § 2.1 исследована задача Т0( Д+ ). Условимся в обозначениях: Д+ - полуплоскость (у>0, -<~<х. < + <-); Д" - открытый треугольник с вершинами в точках (d, о) , (fi, 0), ( ¿If » ) (¿<fi)\ ¡0 - конечная область, симметричная оси Ох. , содержащая в себе отрезок L<L,fil ; Я + -ЗЛ {(*,*)£ ЯЧ*>0 ИП((х,ч)£Яг1^о]%е(х,ч) , А (л, у) - функции, непрерывные по Гёльдеру в замкнутой области л+уд* и равные нули в дополнении области Я7" до полуплоскости А* ; %(х) - функция, заданная на сегменте [<¿, (<¿ J ;

УмМ'О.

Задача Te( Д* ). Требуется на множества A*U& найти непрерывно-продолжимое на границу области дf и¿\~ решение и., Y систеш (2), удовлетворяющее граничным условиям

H(x.*0)°0 fxé U (J,, (13)

и(хи-х) = (X) Гх С [ci, (d+J>)/zl), (14)

условиям склеивания

и (х, tО}= и(х,-о), 2г(х,+о) = irfx.-o) U<x<J,) (15)

п условию исчезновения решения на бесконечности

и.(х,ч)-~0, v(x,y) -»■ О при Хг+У1 . (16)

Решение и. , и задачи Т0 ( д*" ) шйдено в виде суммы следующих операторов:

и -5aU,U *S0[{fJt-ue(x,cl-x)].ûe'Sele,U(y<o), .(17)

V= %1e.il +%[?*-Uc(x.d-x)î, (18)

>

гдэ Sc [ е, к 1, Тс [ С, fil- операторы, дающие решение .систеш (2) в области Д* , удовлетворяющее условиям (13),(16) и непрерывно- продолженное^ из области в область А" ;

Г Ч* 1 » % f % У ~ операторы, составляющие решение однородной систеш

LCX - 4V3 = 0 , Uъ + ггх = О (19)

в области , удовлетворяющее условиям (13),(14),(15),

(16). При этом получены формулы

—~-1 -il-dfdf(y>o); (21)

x-n

(23)

(a<o) ;

г ' 2-я (24)

(з<0)}

Y х) = -- Jj — -7 : a (\?-хГ+?г

глее, построены операторы S0 и X Г . в качества кото-¿х в области ззяты соответственно реальная и мнимая части яалитической функции

tV'bi-g-«.

d.

де tp(-x) idi x<f>) - непрерывная по Гёльдеру вещественная утшщя, и интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. атем, указанное шше решение продолжено непрерывным образом из олуплосяости ûf в область Л- п, с учётом условия (14), получе-о особое интегральное уравнение с ядром Коши для определения ункцхщ <р(х) :

сад

сL об

тку да ■

де последашЯ интеграл сходится при ci ^ х , если функция

непрерывна ' по Гёльдеру с показателем-большим -f-В § 2.2 рассмотрена задача Т), которая отличается от адачи Т0( А+ ) тем, что отыскивается решение и. , V систем* (2) :а множестве Д*я и А~ ( = {(х, Мг1 у >0. xz*yz< FLl}) , ус-:овие (13) заменяется условиями

ч = о (% е {-и ,аС] и С/, а)), (-1<<L<0<J<IL),

С

а условие исчезновения решения и. , V на бесконечное ги опускается. Решение задачи Т„ ( Д £) найдено аналогично решению задачи Тг(Д + ):

и*£я1е,&] '^[уь-и^х.сС-х)}; (2<о)- (■

где операторы ВцСе. £ 1, Т^ [е, я.7и Б^Г у* 1, ТЛ Г ] предстаз-ляаг решение неоднородной систеш (2) и соответствующей однородной систе&а при определённых условиях. Для указанных операторов получены следующие соотношения:

^дгм <г

Решение из области Д X продолжено непрерывным образом в область Л". Далее, на основании условия (14), найдено интегральное уравнение для определения функции и доказана его однозначная разрешимость.

Рассматривая вопрос гладкости полученных решений задачи ) и соответственно задачи Т0( Д+ ), в работе отмечено, что в о&тасткдд {& решение и , V 'является классическим, то есть принадлежит классу С (5%) (с1-°(&г) П .

В области же Д- , с учётом лишь непрерывности по Гёльдеру <|унк-цни , решение и, , V является обобщённым в сшсле

!.Л.Соболева Если считать функцию непрерывно-диффе-

ренцируемой, то решение будет классическим и в области Д- .

Следуя той же схеме, что и при решении задач Тц(д-+ ), (д£ ), в § 2.3 поотроено решение задачи Т^( Д* ) для системы ^3). При этом предполагается, что У*(х) - дифференцируемая функция, заданная на сегменте 1 , производная которой

попускает представление (/>< = (х-аС)е(р1 (х) (¿>о) , гда <рлМ-- непрерывная по Гёльдеру функция с показателем большим . Хроме того %(<С) = О и £= е.(х,ч), 1 = &(х,н) - функции, непрерывные по Гёльдеру в замкнутой области Д+ и А" " и равные нулю в дополнении полукруга д£ до полуплоскости д+ .

Задача д + ). Требуется найти решение системы (3), аринадлежазее классу С исГ) Л С (л* и Д_ ) , удовлетво-

ряющее условиям С13),(14),(15),(16).

Не останавливаясь на подробном изложении результатов параграфа 2.3, отметим, что решение и. , V задачи Д + ) получено з виде

(36)

+ / (з?)

V V

где операторы [у,], Т/ Г У* 1 * дающие рещэние задачи Ту(( д+ ) дай системы

М'^+йе-О (38)

заимствованы из работы Т.В.Чекмарёва а операторы 5, [в, к], составляющие решение систеш (3) при условиях и.(х,+о} = -О и—О, У-+0 при «— , построены на

основании соотношений, приведённых в монографиях Т.В.Чекмарёва3^.

^Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Гостехиздат, 1950. - 424с. 2)

'Чекмарёв Т.В. Задача Трикоми для модельной систеш уравнений в областях специальных видов //Дифференц. уравнения. -- 1950. - Т.26, №5. - С.860-871.

3^см. сноску 2) на стр.4.

3 главе 3 дая система (I), в которой а ,В,С,с} являются известными вещественными' функциями действительных переменных х. к и , исследована, задача Трикоми в областях а£ и при выполнении соответственно условий (28),(29),(14),(15) или (13),(14),(15),(16). При этом, используя операторы, построенные з главе 2, и считая функции а , 6, С , с непрерывными по Гёльдеру в соответствующих замкнутых областях, в § 3.1 определено формальное решение в виде суш рядов

с

= ^ - ^ 2и ^ * о1

л.'О к-о

где функции И о , 1Г0 являются решением систеш

ч

которое удовлетворяет соответственно условиям (13),(14),(15),(16) зля задач ТДД* ) (/=£>,£>< £ ) или (28),(29),(14),(15) дая задачи Т0( ); функции ик, = являются решением

система

ох ах

С 4!

которое удовлетворяет указанным шша условиям соответственно для задач Ту( д* ) к 1е( ), в которых вместо функции берёт-

сл ьуль.

¿алее, в § 3.2 и § 3.3 определены условия абсолютной и рав-исчараоЛ сходимости рядов (39) для следующих частных случаев сис-тож (I) пр : Л = = = С в области А- ; С. - - с ,

I - 6 ■= 0 з области А- ; О. -- ё,С - - д в области Л" . Затем в о 3.4, результаты § 3.2 и § 3.3 обобщаются, то есть записаны ус-.-.огг-л существования хотя бы обобщённого решения задачи Трикоми „-л сг.сте^! (I) при V * О , в которой &*с! = С в области а" ; й.*с * £ т а в области. А" \& + ё= С*с1 в области Д~ . В ракете отмечено что, если ряд»' (39) сходятся в областях А+ , А~

iA/fl. , но не допускал? почленное дифференцирование, то фор-адулы (39) дают обобщённое решение задачи Т/ Л"1") (Т0( Д*)) в следующем сшсле.

Определение. Система функций LL , V , удовлетворяющая условиям (13),(14),(15),(16) ((28),(29),(14),(15)) называг-ется обобщённым решением задачи А+) (Т0( Д^)), если

U. - tim. Iftf , 2Г= йт.%/,

М = О * »0

Эх *

У-.С-» $.3 ах

где te, у) £ 1/д7соотвбтственно дан задачи

Ту(Д+ ) (Т0(Д£)). Данное определение аналогично определению обобщённого решения в смысле С.1.Соболева (см. сноску ' на стр. 13).

В приложении I с помощью интегральной формулы Кош и формул Сохоцкого вычислены некоторые интегралы, используешв в работе. Рисунки даны в приложения 2.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Красильников М.Г. Редукция к обычной задаче Трикоми одного её обобщения для системы Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. и интег. ■ уравнения. Межвуз. сб. / Нижегородск. у»-т. - 1991. -

С.72-76.

2. Красильников М.Г. Редукция к обычной задаче Трикоми одного её обобщения, относящегося к системе уравнений // Дифференц. и интег. уравнения. Матем. физика и спец. функции: Тез. докл. межд. науч. конф. 24-31 мая 1992 г. - Самара, 1992. - С.140.

3. Красильников М.Г. Задача Трикоми для обобщённой системы Лаврентьева-Бицадзе в области специального вида / Нижегородск. политехи, ин-т. - Н.Новгород, 1993. - 20с. - Деп. в ВЖ11ГИ 6.12.92, JS I46-B93.

4. Красильников М.Г. Задача Трикоми для одного обобщения систеш Лаврентьева-Бицадзе в области специального вида / Нижегородец техн. ун-т.' - Н.Новгород, 1993. - 22с. - Дзд. в ВИНИТИ 1.07.93, Й 1827-ВЭЗ.

а.'.:п. г; па^. 12.II.93. Сереет бОхВ^/Н. Буизге гаьетнап. Печьт! гУчтггг.я. 1,0. Ткргг 1С0 зкз. озкег 322. Бесплатно.

.'.^Сг-:т.1-гг!««1 псе:кой яечате по.пкгрз'!::чзек;Г. Озс;; НГТУ.

ЛГ'-' Г г4" Р»-Г^ГГ1-^ I.